PROGRAM PROGRAM PENSISWAZAHAN PENSISWAZA HAN GURU (PPG) MOD KURSUS DALAM CUTI
IJAZAH SARJANA MUDA PERGURUAN DENGAN KEPUJIAN
MODUL MATEMATIK PENDIDIKAN RENDAH
KOD KURSUS : MTE3103
GEOMETRI
INSTITUT INSTITUT PENDIDIKAN PENDIDIKAN GURU KEMENTERIAN KEMENTERIAN PELAJARAN MALAYSIA ARAS 1, ENTERPRISE BUILDING 3, BLOK 2200, PERSIARAN APEC, CYBER 6, 63000 CYBERJAYA Berkuat kuasa pada Jun 2011 2011
Falsafah Pendidikan Kebangsaan Pendidikan di Malaysia adalah suatu usaha berterusan ke arah memperkembangkan lagi potensi individu secara menyeluruh dan bersepadu untuk mewujudkan insan yang seimbang dan harmonis dari segi intelek, rohani, emosi, dan jasmani berdasarkan kepercayaan dan kepatuhan kepada Tuhan. Usaha ini adalah bagi melahirkan rakyat Malaysia yang berilmu pengetahuan, berketrampilan, berakhlak mulia, bertanggungjawab, dan berkeupayaan mencapai kesejahteraan diri serta memberi sumbangan terhadap keharmonian dan kemakmuran keluarga, masyarakat, dan negara.
Falsafah Pendidikan Guru Guru yang berpekerti mulia, berpandangan progresif dan saintifik, bersedia menjunjung aspirasi negara serta menyanjung warisan kebudayaan negara, menjamin perkembangan individu, dan memelihara suatu masyarakat yang bersatu padu, demokratik, progresif, dan berdisiplin. berdisiplin.
Cetakan Jun 2011 Kementerian Pelajaran Malaysia Hak cipta terpelihara. Kecuali untuk tujuan pendidikan yang tidak ada kepentingan komersial, tidak dibenarkan sesiapa mengeluarkan atau mengulang mana-mana bahagian artikel, ilustrasi dan kandungan buku ini dalam apa-apa juga bentuk dan dengan apa-apa cara pun, sama ada secara elektronik, fotokopi, mekanik, rakaman atau cara lain sebelum mendapat izin bertulis daripada Rektor Institut Pendidikan Guru, Kementerian Pelajaran Malaysia.
i
MODUL INI DIEDARKAN UNTUK KEGUNAAN PELAJAR-PELAJAR YANG BERDAFTAR DENGAN BAHAGIAN PENDIDIKAN GURU, KEMENTERIAN PELAJARAN MALAYSIA BAGI MENGIKUTI PROGRAM PENSISWAZAHAN GURU SEKOLAH RENDAH (PGSR) IJAZAH SARJANA MUDA PERGURUAN. MODUL INI HANYA DIGUNAKAN SEBAGAI BAHAN PENGAJARAN DAN PEMBELAJARAN BAGI PROGRAM-PROGRAM TERSEBUT.
Cetakan Jun 2011 Institut Pendidikan Guru Kementerian Pelajaran Malaysia
ii
KANDUNGAN MUKA SURAT
Falsafah Pendidikan Kebangsaan Falsafah Pendidikan Guru Panduan Pelajar
i ii-iii
Pengenalan
iv
Agihan Tajuk (Interaksi dan Modul)
v
Tajuk Pembelajaran – Pengujian dan Penilaian
Tajuk 1 : Teselasi Satah
1
1.1 Sipnosis 1.2 Hasil Pembelajaran 1.3 Kerangka Tajuk
1 1
1.4 Teselasi
2
1.5 Teselasi dan seni
8
1.6 Geometri fraktal
11
Tajuk 2 : Satah Simetri dan Transformasi 2.1 Sipnosis 2.2 Hasil Pembelajaran 2.3 Kerangka Tajuk
23 23 23
2.4 Satah Isometri
2.4.1 Translasi
24
2.4.2 Pantulan
25
2.4.3 Putaran
26
2.4.4 Pantulan Geluncuran
27
2.5 Satah Simetri
28
2.6 Kumpulan Simetri Finit dan Tujuh Pola Frieze
29
Tajuk 3 : Pepejal Sekata dan Separa Sekata 3.1 Sipnosis
33
3.2 Hasil Pembelajaran
33
3.3 Kerangka Tajuk
33
3.4 Lima Pepejal Platonik
34
3.5 Bucu, Muka dan Sisi
40
3.6 Pepejal Archimedes
41
3.7 Pepejal Kepler-Poinsot
43
Tajuk 4 : Pembinaan Model Geometri 4.1 Sipnosis
45
4.2 Hasil Pembelajaran
45
4.3 Kerangka Tajuk
45
4.4 `Paper Engineering’ 4.4.1 Model `Pop-up’
46
4.4.2 Teknik `Pop-up’
47
4.4.3 Seni dan Reka Bentuk
Tajuk 5 : Konik 5.1 Sipnosis 5.2 Hasil Pembelajaran 5.3 Kerangka Tajuk 5.4 Lokus 5.5 Parabola 5.6 Elips 3.7 Hiperbola
Bibliografi Panel Penulis Modul Ikon Modul
ii
49
PANDUAN PELAJA R
Modul ini disediakan untuk membantu anda menguruskan pembelajaran anda agar anda boleh belajar dengan lebih berkesan. Anda mungkin kembali semula untuk belajar secara formal selepas beberapa tahun meninggalkannya. Anda juga mungkin tidak biasa dengan mod pembelajaran arah kendiri ini. Modul ini memberi peluang kepada anda untuk menguruskan corak pembelajaran, sumber-sumber pembelajaran, dan masa anda. Pembelajaran arah kendiri memerlukan anda membuat keputusan tentang pembelajaran anda. Anda perlu memahami corak dan gaya pembelajaran anda. Adalah lebih berkesan jika anda menentukan sasaran pembelajaran kendiri dan aras pencapaian anda. Dengan cara begini anda akan dapat melalui kursus ini dengan mudah. Memohon bantuan apabila diperlukan hendaklah dipertimbangkan sebagai peluang baru untuk pembelajaran dan ia bukannya tanda kelemahan diri.
Modul ini ditulis dalam susunan tajuk . Jangka masa untuk melalui sesuatu tajuk bergantung kepada gaya pembelajaran dan sasaran pembelajaran kendiri anda. Latihan-latihan disediakan dalam setiap tajuk untuk membantu anda mengingat semula apa yang anda telah pelajari atau membuatkan anda memikirkan tentang apa yang anda telah baca. Ada di antara latihan ini mempunyai cadangan jawapan. Bagi latihan-latihan yang tiada mempunyai cadangan jawapan adalah lebih membantu jika anda berbincang dengan orang lain seperti rakan anda atau menyediakan sesuatu nota untuk dibincangkan semasa sesi tutorial. Modul ini akan menggantikan satu kredit bersamaan dengan lima belas jam interaksi bersemuka dalam bilik kuliah. Tiada kuliah atau tutorial diadakan untuk tajuk-tajuk dalam modul ini. Walau bagaimanapun, anda boleh berbincang dengan pensyarah, tutor atau rakan anda melalui email jika terdapat masalah berhubung dengan modul ini. Anda akan mendapati bahawa ikon digunakan untuk menarik perhatian anda agar pada sekali imbas anda akan tahu apa yang harus dibuat. Lampiran A menerangkan kepada anda makna-makna ikon tersebut. Anda juga diperlukan untuk menduduki peperiksaan bertulis pada akhir kursus. Tarikh dan masa peperiksaan akan diberitahu apabila anda mendaftar. Peperiksaan bertulis ini akan dilaksanakan di tempat yang akan dikenal pasti.
Tip untuk membantu anda melalui kurs us ini.
1. Cari sudut pembelajaran yang sunyi agar anda boleh meletakkan buku dan diri anda untuk belajar. Buat perkara yang sama apabila anda pergi ke perpustakaan. 2. Peruntukkan satu masa setiap hari untuk memulakan dan mengakhiri pembelajaran anda. Patuhi waktu yang diperuntukkan itu. Setelah membaca modul ini teruskan membaca buku-buku dan bahan-bahan rujukan lain yang dicadangkan.
vi
3. Luangkan sebanyak masa yang mungkin untuk tugasan tanpa mengira sasaran pembelajaran anda. 4. Semak dan ulangkaji pembacaan anda. Ambil masa untuk memahami pembacaan anda. 5. Rujuk sumber-sumber lain daripada apa yang telah diberikan kepada anda. Teliti maklumat yang diterima. 6. Mulakan dengan sistem fail agar anda tahu di mana anda menyimpan bahanbahan yang bermakna. 7. Cari kawan yang boleh membantu pembelanjaran anda.
vii
Pengenalan Kursus ini memberi peluang kepada pelajar untuk menerokai aplikasi geometri. Kursus ini juga membincangkan konsep dalam geometri satah, teselasi, simetri dan transformasi. Selain itu, pelajar juga akan didedahkan kepada geometri 3-dimensi bagi pepejal sekata dan separa sekata. Teknologi maklumat dan komunikasi seperti geometer sketchpad (GSP) akan digunakan sebagai alat untuk menyiasat geometri satah, geometri 3-dimensi dan seksyen konik. Kemahiran praktikal melibatkan pembinaan model geometri ditekankan.
Tajuk-tajuk dalam modul; Topik 1 : Teselasi Teselasi Satah Jenis-jenis teselasi Teselasi dan seni Geometri fraktal
Topik 2 : Satah Satah Simetri Simetri dan Transfo Transfo rmasi Satah isometri putaran o o pantulan o alihan pantulan geluncuran (glide reflection) o Satah simetri Kumpulan simetri finit and tujuh pola Frieze
Topi k 3 : Pepejal Sekata dan Separa Sekata
Lima pepejal platonik Bucu, muka dan sisi Pepejal Archimedes Pepejal Kepler-Poinsot
Topik 4 : Pembinaan Model Geometri Model ‘pop-up’ Teknik ‘pop-up’
Seni dan reka bentuk
Keperluan Kursus : Tiada Latihan-latihan diselitkan pada bahagian-bahagian tertentu dalam sesuatu tajuk dengan tujuan menggalakkan anda mengaplikasi konsep dan prinsip yang anda telah pelajari kepada situasi sebenar. Pelajar juga digalakkan menghubungi pensyarah untuk mendapatkan maklumat lanjut yang berkaitan dengan tajuk-tajuk yang dipelajari .
Maklumat Maklumat A gihan Topik-topik Dalam Dalam Kursu s Proform a Yang Yang Dimodul kan Dan Yang Memerlukan Interaksi Bersemuka Kod & Nama Kur sus : MTE 3103 3103 – Geometri Geometri
AGIHAN AGIHA N TAJ UK
Kandungan modul ini akan menggantikan satu kredit bersamaan dengan 15 / 30 jam interaksi bersemuka. Jadual di bawah menjelaskan agihan tajuk-tajuk untuk interaksi bersemuka atau pembelajaran melalui modul. modul. (Agihan Tajuk Interaksi Bersemuka dan Modul Mengikut Kursus Proforma )
Bil.
Tajuk/Topik
1
Teselasi Satah
2
Simetri Satah dan Transformasi
3
Pepejal Sekata dan Separa Sekata
4
Pembinaan Model Geometri
5
Konik
Interaksi Bersemuka (jam)
Modul (jam)
Jum. Jam
5
5
5
5
5
5
7
7
8 JUMLAH
8 30
30
(MTE3103 : GEOMETRI)
TAJUK 4
PEMBINAAN GEOMETRI
4.1 Sinopsis Topik ini memberi pendedahan kepada pelajar tentang kejuruteraan kertas (paper engineering) terutama dalam menghasilkan kad ucapan dan buku pop-up dengan mengintegrasikan teknik-teknik asas pembinaan model geometri. Disamping itu pelajar akan dapat mengembangkan kreativiti mereka melalui aktiviti `hands-on’. 4.2 Hasil Pembelajaran 1.
Mengintegrasikan teknik-teknik asas untuk membina model geometri
2.
Menghargai peranan geometri dalam seni dan reka bentuk.
4.3 Kerangka Tajuk
Pembinaan Model Geometri
Model `Pop-Up’
Teknik `Pop-Up’
Seni dan Reka Bentuk
4.4 `Paper Engin eerin g’ Kejuruteraan Pop Up adalah satu mekanisme untuk menghasilkan bentuk-bentuk geometri dan bukan geometri dalam tiga dimensi. Aplikasi kejuruteraan pop-up dapat dilihat dalam penghasilan kad ucapan dan buku cerita kanak-kanak. Kemahiran
memotong, membentuk, melipat dan menampal adalah antara
kemahiran-kemahiran yang diperlukan.
45
(MTE3103 : GEOMETRI)
4.4.1 Model `Pop-Up’ Beberapa model pop-up ditunjukkan dibawah. i) Kad Ucapan
ii) Buku
46
(MTE3103 : GEOMETRI)
4.4.2 Teknik-teknik `pop-up’ a)
Ada pelbagai teknik dalam menghasilkan buku atau kad pop-up. Antaranya ialah teknik lipatan-V. Antara jenis-jenis lipatan-V yang paling popular dan mudah adalah :
i) `valley fold’
ii) `hill fold’
Cuba
anda
layari
internet
bagi
mendapatkan
maklumat
teknik
kejuruteraan pop-up yang lain seperti `angled fold’ dan `parallel fold’
b)
Antara simbol-simbol yang digunakan dalam teknik pop-up ditunjukkan
Garis memotong
Hill fold
Valley fold
Kawasan menampal objek 2D Hill fold
c)
Langkah-langkah pembinaan satu contoh kad pop-up. Langkah 1 : Buat `valley fold’ dimana kertas dilipat kepada dua bahagian yang sama.
47
(MTE3103 : GEOMETRI)
Langkah 2 :
Garis memotong
Gunting dua bahagian pada `garis memotong’ seperti pada rajah. Langkah 3: Lipatan hill
Angkat bahagian tengah yang telah digunting dan buat lipatan hill untuk membentuk tiang (stand) Langkah 4: Tutup dan tekan rata kad itu Langkah 5: stand
Apabila kad itu dibuka , dinding pada sebelah dalam akan terbuka dan membentuk sudut 90 o. Dinding tegak bertindak sebagai tiang ( stand).
48
(MTE3103 : GEOMETRI)
Langkah 6 : extra
stand
stand tabs
Anda boleh menampal objek 2D pada tiang atau tiang tambahan agar lebih menarik seperti rajah di bawah. Reka dua keping kad ucapan pop-up yang menarik.
4.4.3 Seni dan Reka Bentuk Seni dalam pop-up boleh ditafsirkan sebagai lukisan interaktif dalam bentuk tiga dimensi. Unsur-unsur kreativiti dalam pop-up dapat dikembangkan dengan memasukkan elemen-elemen alam semulajadi seperti flora dan fauna. Rekaan arkitektur juga boleh diaplikasikan dalam bentuk model.
Contoh-contoh seni dan reka bentuk dalam kejuruteraan pop-up boleh dilihat seperti dibawah ini:
Model Bandar New York oleh Daisy Lew
49
(MTE3103 : GEOMETRI)
Halloween Pop-Up Card oleh Canon Creative Park
Model Fairy Castle Magic Kingdom oleh Michelle
Model Kirigami Flower Basket oleh Dr Sonia S.V
50
(MTE3103 : GEOMETRI)
Model kelkatu oleh Frunzel Kumpulkan seberapa banyak maklumat mengenai seni dan rekabentuk dalam pop-up dan disimpan dalam folio.
--SELAMAT MENCUBA SEMOGA B ERJAYA—
51
MTE3103 Geometri
Topik 3
3.1
Pepejal Sekata dan Separa Sekata
Sinopsis
Dalam topik 1 dan 2, kita mempelajari corak-corak 2-dimensi dalam satah.
Kita akan
mengkaji bentuk 3-dimensi yang dibina dari poligon-poligon sekata. Pepejal Platonik adalah pepejal sekata yang berbucu cembung (convex regular solid). Pepejal Archimedean adalah pepejal separa sekata yang juga berbucu cembung serta Pepejal Kepler-Pointsot yang berbucu cekung.
3.2
Hasil Pembelajaran
1.
Mengukuh dan membina pengetahuan tentang konsep asas geometri
2.
Meningkatkan kemahiran dan pengetahuan tentang teknik untuk pembinaan geometri yang tepat
3.
Menghargai peranan dan sejarah geometri
4.
Menghubungkait geometri dalam kurikulum matematik sekolah rendah dan menengah.
3.3
Kerangka Kon septu al
Pepejal Sekata dan Separa Sekata
5 Pepejal Platonik
Bucu, Muka & Sisi
Pepejal Archimedes
33
Pepejal KeplerPointsot
MTE3103 Geometri
3.4
Pepejal Platonik
Rajah 3.1 di bawah me unjukkan lima jenis pepejal
latonik.
Pepejal-pe ejal ini
dinamakan tetra edron, kiub (heksah dron), oktahedron, dodekahedro dan ikos hedron. Semua nama ini berasal d ri perkataan Greek y ng meruju kepada bilangan pe mukaan pepej l.
3.4.1
Nama-nam a pepejal Platonik
Cuba ca dan na akan setiap pepejal Platonik dalam Rajah 3.1 di bawah, berdasark n poligon yang mem entuk per ukaan pepejal dan bilangan pe mukaan yang me bentuk pepejal ters but (tetrahedron, kiu , oktahedron, dodekahedron dan ikosa edron)
Rajah 3.1
Pepejal
latonik di atas dikelaskan ke dalam ku pulan polihedra. Polihedron
adalah p pejal yang disempadani poligon satah (pl ne poligon s). Poligon-poligon tersebut membentu
muka (f aces). Per mukaan-permukaan i i bertemu di sisi
(edges), titik pertem an di man tiga atau lebih sisi dipanggil bu cu (vertice ).
Fikir ejenak Semua permukaan pepejal Plato ik mempunyai polig n sekata. Hanya 5 jenis pepejal sekat yang mungkin. Ken pa?
34
MTE3103 Geometri
3.4.2 Hubung an pepejal Platonik dengan uns ur alam semulajadi
Pepejal
Platonik
mula
ditemui
dan
diketahui
pada
zaman
Plato
(427 – 347 S.M). Tapi perlu di ingatkan pepejal Platonik bukan ditemui oleh Plato. Pepejal-pepejal ini dinamakan sedemikian kerana kajian-kajian yang dibuat oleh beliau dan pengikut-pengikutnya. Plato percaya tentang perkaitan mistikal antara empat pepejal tersebut dengan empat unsur alam semulajadi seperti berikut:
Kiub
Bumi
Tetratedron
Api
Oktahedron
Udara
Ikosahedron
Air
Dodekahedron menyeliputi keseluruhan alam semesta.
3.4.3 Defin isi Polihedr a
Semua polihedron adalah 3-dimensi di mana permukaan-permukaannya terdiri dari satah poligon. Dalam bahasa Greek ‘ poly ’ bermaksud banyak dan ‘hedron ’ bermaksud permukaan banyak. Polihedron sekata adalah polihedron
yang
mempunyai
permukaan-permukaan
poligon
sekata.
Permukaan-permukaan ini hanya terdiri dari satu jenis poligon sahaja.
35
MTE3103 Geometri
Ak ti vi ti 1: Menyi asat bi lan gan poli gon y ang bo leh mem bentu k b uc u 1. Potong bentuk poligon sekata, segitiga sama sisi sebagai templat. 2. Dengan menggunakan segitiga sisi sama sebagai tempat, cuba bina bentangan (net) polihedra sekata. Hasilkan satu bentangan yang terdiri dari 6 segitiga. Cuba cantumkan poligon-poligon di bawah untuk mendapat satu pepejal. Adakah anda dapat membentuk pepejal? Kemudian cuba dengan bentuk segiempat sama dan pentagon. Adakah anda dapat membina pepejal 3-dimensi berbucu cembung, jika sudut adalah sama dengan 360 0? Peringatan: Untuk membentuk objek 3-dimensi, kita mesti cantumkan sekurangnya 3 permukaan untuk bertemu di bucu. Jika anda mencuba dengan 2 poligon sahaja anda tidak akan dapat membentuk bucu pepejal). 3. Kenapa kita tidak dapat membina pepejal 3-dimensi berbucu cembung (convex 3-dimensional figure) dengan 6 permukaan bertemu pada satu bucu?
Kita tidak dapat membina pepejal 3-dimensi berbucu cembung dengan 6 permukaan bertemu pada satu bucu kerana sudut segitiga sama sisi ialah 600, maka 6 x 600 = 3600. Tetapi untuk membina pepejal 3-dimensi berbucu cekung (concave 3-dimensional figure) kita boleh guna lebih dari 6 permukaan atau lebih 360 0. Bermakna bilangan segitiga yang bertemu pada satu bucu untuk membentuk pepejal 3-dimensi berbucu cembung ialah 3, 4 atau 5 seperti yang ditunjukkan di rajah di sebelah.
36
MTE3103 Geometri
Tetra edron: Tiga segitiga pa a satu bu cu : 3 x 600 = 1800 Okhtahedron: Empat segitiga ada satu ucu : 4 x 600 = 2400 Ikosa edron: Lima egitiga pa da satu bu cu : 5 x 600 = 3000
Kiub: Tiga s giempat s ma pada satu 0
0
bucu : 3 x 90 = 270
Dode ahedron: Tiga pentagra
sekata pada
satu bucu : 3 x 1080 = 324
Perhatikan untuk
embentu
regular polyhedron , jumlah
polihedr n berbuc cembun g sekata convex udut perr mukaan
ada satu bucu tida k boleh
melebihi 600.
Oleh itu, hanya ada lima polihedra s kata yan dapat m mbentuk pepejal latonik.
37
berbucu cembung sahaja
MTE3103 Geometri
Bukti : (i)
ju lah sudut semua permukaan yang ber emu pad
satu bucu mesti
ku ang dari 600. (ii)
Pada setiap bucu se urang-kur angnya hanya tiga segitiga s ma sisi ya g bertemu pada satu bucu boleh diwakilkan dengan simbol Schläfli (3, ). Simbol Schlafli ( ,q) berm kna poihedron mempunyai pe mukaan polygon sekata p-sisi de gan q poligon bertem pada satu bucu.
Simbol
chlafli (p, q)
Poligo sekata p sisi
bilanga n polygon yang bertemu pada sat u bucu.
Ak ti vi t i 2: Memb ina Pepej al Platoni k
Buat model etiap jeni pepejal P latonik. G nakan bentangan y ang sesu i. Sel pas and membua t setiap
epejal Pl tonik, per hatikan d n buat a alisa
dari segi per ukaan, si i dan bucu. Kemudian isikan Jadual 1. De gan me ggunakan progra
Geomet ers Sket h Pad (GSP) lukiskan
kesemua be tangan-b ntangan yang mungkin un uk setia jenis p pejal Pla onik. [Nota : Anda boleh gun kan bent ngan yan Walaubagaimanapun anda
disediakan – Lampi an‐lampiran 3A.
estilah menggunakan skala yang tepat agar dapat
membina pepejal yang kemas dan cantik. Cadangan: Un uk menda at pepejal yang can ik dan menarik, cetakkan bentangan‐ be tangan m nggunaka kertas be corak.]
Sila la ari intern t dan cari bahan-ba han yang berkaitan engan pe pejal Platonik (Platoni solids)
38
MTE3103 Geometri
Lengkap jadual di bawah berdasar an kefah man anda terhadap topik
epejal
a pepejal latonik
ilangan rmukaan da satu bucu imbol lafli (p,q) ilangan rmukaan (F) gan bucu (V) ngan sisi (E) Dual
JADUAL 1
39
MTE3103 Geometri
3.4.4
Dual pepejal Platoni k
Sila rujuk Jadual 1. Anda akan dapat perhatikan perkaitan yang rapat di antara simbol Schlafli (p,q) untuk setiap pepejal Platonik. Misalnya simbol Schlafli untuk kiub ialah (4, 3) dan oktahedron ialah (3, 4). Bilangan sisi kedua-duanya adalah sama iaitu 12. Bilangan permukaan untuk kiub adalah sama dengan bilangan bucu oktahedron dan sebaliknya. Maka dikatakan dual untuk kiub adalah oktahedron dan sebaliknya. Begitu juga dengan dodekahedron dan ikosahedron. Simbol Schlafli (p,q) untuk dodekahedron ialah (5,3) dan ikosahedron ialah (3, 5). Bilangan sisi untuk kedua-duanya adalah 30. Maka dodekahedron adalah dual untuk ikosahedron dan sebaliknya. Untuk tetrahedron, dualnya ialah tetrahedron juga.
3.5
Bucu, Muka dan Sisi
Sekarang anda telah meghasilkan
pepejal platonik, anda boleh mengkaji
muka, bucu dan sisi pepejal-pepejal tersebut. Pertama, kita tahu berapa bilangan permukaan untuk setiap pepejall (kecuali kiub) dengan nama tersendiri.
Walau bagaimanapun, kita boleh
mengkaji setiap pepejal dan mengira bilangan permukaan bagi setiap pepejal tersebut. Kita boleh mendapatkan cara berkesan untuk mendapatkan bilangan permukaan polihedron. Contohnya, jika sebuah dodekahedron diletakkan pada meja yang rata, anda dapat melihat muka atas, satu pada bahagian bawah, lima berada di bahagian atas dan lima pada bahagian bawah, menjadi 1 + 1 + 5 + 5 = 12 kesemuanya. Sebenarnya, mengira bilangan muka dengan cara ini akan membuat anda mengenali pepejal dan membantu anda mengetahui bilangan muka dan sisi pepejal.
40
MTE3103 Geometri
Kita ambil contoh untuk dodekahedron.
Dodekahedron mempunyai 12
muka, setiap muka adalah pentagon sekata dengan setiap muka mempunyai 5 sisi. Jadi jika kita mengira setiap muka berasingan, kita akan dapat 5 X 12 = 60 sisi kesemuanya. Tapi setiap sisi pada dodekahedron mencantumkan dua muka, maka cara kiraan ini akan mengira kesemua sisi sebanyak dua kali. Jadi bilangan sisi sebenar adalah 60 ÷ 2 = 30. Sekarang setiap sisi bertemu pada dua bucu. Jadi jika kita mengira setiap sisi berasingan kita akan dapat 2 X 30 = 60 bucu. Tapi untuk dodekahedron, tiga sisi bertemu pada setiap bucu jadi kita akan mengira setiap bucu sebanyak tiga kali. Jadi, sekali lagi bilangan bucu adalah 60 ÷ 3 = 20.
Apakah formula umum untuk meng ira bilangan muka, bucu dan sisi suatu poligon ?
3.6
Pepejal Arc imedes
Pepejal Archimedean adalah pepejal separa sekata ( semi regular solids) kerana ia terbentuk dari dua atau lebih poligon cekung sekata ( regular convex polygon).Ciri utama pepejal Archimedean ialah setiap permukaan adalah poligon sekata dan pada setiap bucu, poligon-poligon berulang dalam susunan yang sama, misalnya heksagon-heksagon-segitiga pada ‘truncated tetrahedron. Terdapat dua atau lebih poligon sekata pada pepejal Archimedean dan polihedron tersebut perlulah cembung.
Terdapat 13 jenis pepejal Archimedean (pepejal separa sekata) 1.
(3, 4, 3, 4) kuboktahedron
2.
(3, 5, 3, 5) ikosidodekahedron
3.
(3, 6, 6) truncated tetrahedron (truncated merujuk kepada proses di mana bucu yang di potong) 41
MTE3103 Geometri
4.
(4, 6, 6) runcated ktahedro
5.
(3, 8, 8) runcated iub
6.
(5, 6, 6) runcated i kosahedr n
7.
(3, 10, 1 ) truncat d dodeka edron
8.
(3, 4, 4, 4) rho bikuboktahedron, ( uga dipa nggil rho bikubokt hedron kecil)
9.
(4, 6, 8) truncated kubokt hedron, ( juga dipanggil rho bikubokt hedron besar)
10.
(3, 4, 5, ) rhombik osidodek hedron,
11.
(4, 6, 10 truncated ikosidod kahedron,
12.
(3, 3,
, 3, 4)
nub kiu , snub kuboktahe ron (snu adalah proses
mengelil ingkan satu-satu pol igon deng n segitig ) 13.
(3, 3, 3, , 5) snub dodekahe dron (snu ikosidod ahedron)
Ruju kepada ampiran 3 .11 (Pepe al Archim dean)
Ak ti vi t i 3: Mem ina pepej al Archim edean
Anda boleh g na beber pa benta gan yang disediaka n dalam la mpiran 3 . Ca angan : c tak guna kertas ya g mempu yai corak yang men arik.
42
MTE3103 Geometri
3.7
Pepejal Kepler-Po insot
Polihedr n bukan erbucu c kung sek ta (Regul ar non-co vex polyh dron)
Juga dinamakan p lyhedron bintang s kata (reg lar star p lyhedra)
Kesemu permuk an adala h poligon sekata k ngruen ( ll the fa es are congrue t (identic l) regular polygons)
Bilangan permuka n yang b rtemu pa a kesemua bucu adalah sama .
Terdapa empat je is pepejal Kepler-P insot.
(i)
Stellat ed dodek hedron k ecil
12 p rmukaan, 12 bucu, 0 sisi
Dual ya ialah
Simbol Schläfli ialah { , }
Terdiri dari 12 ermukaa pentagra
(ii)
odekahe ron besar
Dodek ahedron
esar
12 p rmukaan, 12 bucu, 0 sisi
Permukaan ce ung
Simbol Schläfli ya ialah { ,
Merupakan
p lihedra
}
berbucu
cekung
polyhedral). Dual ya ialah s tellated d dekahedr n kecil
43
sekata
(concave
regular
MTE3103 Geometri
(iii)
Stella ed Dode ahedron Besar
12 pe mukaan, 0 bucu, 3 0 sisi
Perm kaan adal ah cekun .
Simb l Schläflin a ialah { , 3}
Dualn a ialah Ik osahedro Besar
(iv)
Ikosah edron be ar
20 per ukaan, 12 bucu, 30 sisi
Simbol Schläfliny a ialah {3,
Dualnya ialah St llated dod ekahedro besar
}
ktiviti 4: Membin pepejal
epler-Po insot
Anda boleh una bebe rapa bent ngan yan g disediak an dalam l ampiran 3C. Cadangan : etak gun kertas yang ada corak yang
enarik.
--SELA AT MENCUBA SEMOGA B RJAYA
44
MTE3103 Geometri
Topik 1
Teselasi Satah
1.1 Sinops is
Topik ini merupakan permulaan pendedahan kepada kegunaan matematik dalam seni dan rekaan manusia.
Ia merupakan satu bidang yang luas dan untuk bahagian ini, kita akan
bincangkan ciptaan untuk satah 2-Dimensi. Bahagian ini meliputi jenis-jenis teselasi, teselasi dan seni serta fraktal geometri.
1.2 Hasil Pembelajaran
1.
Menambahkan pengetahuan anda dalam konsep matematik yang berkaitan dengan geometri pada satah.
2.
Menghargai peranan geometri dalam seni dan rekaannya.
1.3
Kerangka Kons eptual
Teselasi Satah
Jenis-jenis Teselasi
Teselasi dan Seni
1
Geometri Fraktal
TE3103 Ge metri
1.4
Teselasi
Teselasi adalah sat bentuk pola yang melitupi sesuat permukaan sepenuhnya, dengan tiada celah di ntara bent k dan tanp sebarang ertindihan entuk (yang digunaka ) berlaku.
Contoh teselasi yang paling asas termasu lah jubin di bilik air. Bentuk-bentuk teselasi yang lebih menarik termasuklah teselasi Islam berbentuk bi tang dan teselasi cipt an Escher yang akan dibincangkan kemudian.
Teselasi Isl am Berbentuk Bintang
Teselasi Ci ptaan Esch r
2
TE3103 Ge metri
1.4.1
Jenis -Jenis Tes lasi
Terdapat be erapa cara untuk men kategorikan teselasi, t ermasuklah bilangan b ntuk berlainan ya g digunak n dalam satu-satu te elasi atau mengkateg rikan telasi dari segi sama a a menggu akan polig n sekata (r gular poly ons), polig n separa s kata ( emi-regular polygons) atau poligon tidak sek ta (Irregula r polygons). Modul ini akan
engkatego ikan teselasi berdasark n bilangan bentuk berlainan yang igunakan.
1.4.1.1
Tes elasi Berd sarkan Sat u Bentuk Poligon
Kita mulakan dengan m rujuk kepa a bentuk p aling ringk s teselasi pada satah yang teselasi berdasark n satu be tuk sahaja. Ia boleh
bagi
ibahagikan kepada te elasi
berdasarkan satu bentuk sekata dan satu bentu tidak seka a.
Terdapat tig jenis tes lasi satu bentuk seka ta sahaja
apat dihasilkan, iaitu asas
segitiga sisi ama, segi empat sisi s ma dan he sagon sisi ama.
Tesel si dengan egitiga sisi sama sebagai be tuk asas
Teselasi dengan segiempat isi sama sebagai bentuk asas
Teselasi dengan heksagon sisi sama sebagai bentuk asas
3
TE3103 Ge metri
Berehat sebentar dan cuba renun i, mengapa hanya terdapat tiga bentuk sekata yang bole membentuk teselasi?
Jika kita per atikan den an teliti, kita akan dapati setiap b cu dalam satu-satu te elasi haruslah keli atan sama dan sekurang-kurangn a bertemu dengan tiga poligon. A a itu bucu? Gam aran bagi bucu ditunju kan seperti di bawah:
Bucu
Poligon adal h rajah pa a satah de gan sekurang-kurang
engandun i tiga garis lurus
yang bercantum, yang dikenali seba ai sisi. Unt uk permuk an satah, jumlah sudut pada bucu haruslah berjumla
360⁰. Misalnya sudu dalaman
60⁰, terdapat 6 segitiga ertemu pa a setiap bu cu. embentuk teselasi. setiap bucu,
Bagi segiempat sisi sa a, sudut .
agi segitig
sisi sama ialah
, ma ka segitiga oleh alaman adalah 90⁰.
Pada
Oleh itu, segi empat sek ta juga b leh memb ntuk
t selasi.
Poligon sisi lima dikenali sebagai pe tagon. Setiap sudut d laman adalah 108⁰, . Maka penggunaa pentagon ahaja tidak dapat membentuk teselasi.
Gabungan bagi tiga pentagon.
4
TE3103 Ge metri
Bagi poligon sisi enam pula, ia dikenali seb agai heksagon. heksagon s kata adalah 120⁰.
Sud t dalaman bagi
ada setia bucu,
.
Oleh itu
heksagon boleh membe tuk teselasi.
Jika dilanjutkan kepada heptagon, akni poligo
dengan sisi tujuh, se iap sisi dal man
adalah 128.57⁰. Apabila tiga heptag n bertemu pada satu ucu, Pertindahan kan berlak ; seperti ra ah yang dit njukkan di bawah:
Bagi poligon dengan bil ngan sisi y ng lebih b nyak, pencantuman tiga poligon s kata yang sama
ada satu bucu tanpa
ertindihan adalah mu tahil. Ole yang demikian,
hanya terdapat tiga bent k poligon sekata yang boleh membentuk teselasi. Bagai ana pula dengan teselasi dengan bentuk tidak sekat ?
Teselasi jug boleh dibentuk denga menggun kan bentuk asas yang tidak sekat . Di sini disertakan beberapa contoh teselasi dengan bentuk asas yang tida sekata:
Se iempat Tepat
Tr apezium
5
TE3103 Ge metri
1.4.1.1
Tes elasi Berd sarkan Du atau Lebi h Poligon
erlainan
Homogenus teselasi ad lah teselasi yang men gunakan dua atau lebih poligon s kata yang akan
embentuk teselasi de gan syarat, pada seti p bucu m mpunyai b ntuk
yang sama. Homogenus teselasi j ga dikenali sebagai te elasi polig n separa s kata ( emi-regula polygons). Beberapa ontoh tesel asi poligon separa sekata adalah s perti berikut:
3.6 .3.6
4. 8.8
3. 3.3.4.4
3.3.3.3.6
6
TE3103 Ge metri
Teselasi poligon separa sekata di eri nama atau simbol berdasarkan bilanga poligon-polig n yang b rtemu pad
setiap bucu.
Misal ya pada t selasi pertama,
t rdapat dua heksagon dan dua segitiga yang bertemu p da setiap empunyai nam sisi d n segitiga putaran, ia
ibaca sebagai 3.6.3.6.
Tetapi jika
ucu. Heksagon
empunyai tiga sisi. O leh itu, bila dibaca me gikut Mungkin anda tertanya-tanya,
dibaca seba ai 6.3.6.3? Memang da bahan 6.3.6.3. Ian a tidak salah, tapi kit
sisi
engapa ia tidak
acaan yang meletakk n nama se agai
cuba mel takkan no bor yang
ecil di had pan.
nda melet kkan nombor 3.3.6.6, ia bukanlah nama bagi teselasi yang
pertama itu, erana ia haruslah diba a mengikut susunan p taran.
Nama bagi eselasi se ara sekata adalah penting untu homogenus tau tidak.
memastik n sama a a ia
erdapat juga teselasi y ang terdiri daripada lebih sejenis p ligon
sekata teta i dikategor ikan seba ai
teselasi tidak h mogenus. Di bawah ini
enunjukka satu teselasi yang ti ak homog nus.
Bol hkah anda bezakan antara
t selasi hom genus dan tidak homo enus?
Cuba lua gkan masa setengah m dan cari teselasi homogenus s banyak ya g anda oleh dengan mencantumkan segiempat sisi sa ma, segitig sisi sama, pentagon sisi sama, heksagon sisi sama, heptagon sisi sama atau oktag n sisi sa a. Selamat menc ba !
7
TE3103 Ge metri
1.5
Teselasi dan Se i
Jika kita kait an teselasi dengan se i, kita tida dapat tida menyentu hasil seni yang t lah dikembangkan oleh seorang artis terken al Belanda yang dike ali sebagai M.C Escher (189 -1972). Terdapat beb rapa hasil kerja M.C E scher yang mempunyai nilai atematik y ng tinggi, termasuklah yang telah dicetak pa a baju-T,
uku, cawa
dan
‘jingsaw puz le’.
Salah satu pencetus Es her dalam
emulakan rekaannya berlaku ap bila dia melawat
lhambra, S panyol pada tahun 1922. Pada ketika itu, dia sedang me eliti jubin r kaan oorish yan sangat menarik. Wal u bagaima apun, tidak seperti Mo rish yang anya encipta jubin daripada bentuk geo etri, Esch r cuba me gubah idea Moorish dengan enggunakan bentuk yang menyerupai benda, inatang, b rung dan s bagainya.
Baca bah n bacaan dari ‘Reader’: Escher— eometry meets art ole B. Ansell, The Magic Mirror f M. C. Escher oleh B. Ernst dan . C Escher at work ole G.A. Esch r.
Beberapa contoh hasil kerja M. . Escher:
8
MTE3103 Geometri
1.5.1
Menghasil kan Teselasi Jenis-Escher
Pada bahagian ini, kita akan membincangkan dua cara termudah untuk membentuk teselasi Jenis-Escher. Walaupun prinsipnya kelihatan sangat mudah, tetapi anda harus sedar (daripada pembacaan anda sebelum ini) bahawa untuk menghasilkan teselasi yang berasaskan binatang adalah tidak mudah. Daripada artikel yang telah anda baca, Escher sebenarnya meluangkan banyak masa dalam proses menyelidik, melatih dan menggunakan rekaannya untuk membentuk teselasi.
1.5.1.1 Teselasi Berdasarkan Mengubah si si B ertentangan yang Selari
Teknik ini melibatkan mengubah pada satu sisi dan seterusnya mengubah sisi bertentangan yang selari dengan perubahan yang serupa.
Teselasi ringkas yang berasaskan segiempat sisi sama. 9
TE3103 Ge metri
1.5.1.2
Tes elasi Berdasarkan Put aran
Kita telah melihat hanya terdapat tiga jenis
oligon sek ta yang b leh memb ntuk
t selasi, iait segitiga sisi sama, segiempat sisi sama dan heks gon sisi sama. Segiempat sisi sama da heksagon boleh menggunakan teknik mengu ah satu sisi dan seterusnya
engubah sisi bertentangan yang selari dengan perubahan yang serupa.
alau bagai anapun, i i tidak dap t dilakukan untuk segitiga sisi sama kerana ia tidak empunyai isi bertenta gan yang selari.
Namun demikian, kita boleh mengubah pada satu sisi dan men ubah sisi yang bersebelaha dengan b ntuk yang ama dengan menggunakan teknik putaran. Teknik i i juga dilak kan untuk eksagon sekata.
ajah di ata menunjuk an hasil ci taan yang t knik yang
igunakan
enggunakan bentuk asas segitig dan
dalah men ubah pada satu sisi d an kemudi nnya mengubah
pada sisi ya g bersebel han dengan bentuk y ng sama
engan menggunakan teknik
putaran. Jik anda perh tikan deng n teliti, sisi yang ketiga dibentuk d ngan mengubah separuh daripada sisi t rsebut dan sisi yang telah dibentuk itu diputarkan pad
titik
t ngah sisi tersebut. Da atkah anda melihat ba aimana ia ibentuk? Bincangkan alam kumpulan !
Cuba cipt satu teselasi jenis-Escher dengan mengguna an antara satu teknik yang dinyatakan di atas.
10
TE3103 Ge metri
1.6
eometri Fr ktal
Pernahk h
anda
membesar an
menggu akan kom uter?
sebahagian
ma a-mana
ambar
dengan
Ap bila gamb r tersebut dibesarkan dengan skala yang inggi
daripada gambar asal, gamba tersebut Mandelbrot (1924-
dar ipada
elihatan k bur.
Seo ang ahli matematik,
enoit
) men atakan ba awa pem esaran se atutnya m mbolehkan kita
mendap tkan makl mat yang lebih jelas dan lengk p.
Pada tahun 197 -an, Mand lbrot
menemui satu cara yang mem olehkan kita untuk mereka bentu geometri
engan satu sifat
khas: jik sebahagian daripada entuk itu dibesarkan b rulang, maka maklumat tambahan yang jelas da lengkap akan diperolehi. Mand lbrot menamakan bentuk geometri yang ber lang tanpa had ini sebag i ‘fraktal’.
Set Mandelbro
11
TE3103 Ge metri
Benoit
andelbrot
ikenali sebagai bapa epada ‘Fraktal Geom tri’. Beliau bukanlah
rang
yang pe tama yang mencipta fr ktal, tetapi beliau merupakan orang pertama ang mengabung idea be erapa ahli matematik seperti G org Canto , Giuseppe Peano, Helge Von
och,
Waclaw Sierpinski dan Gaston ulia untuk membentu jenis geo etri yang baru. Mand lbrot juga me dapati bahawa keban akkan fraktal berkong i sifat yang sama dalam alam s mula jadi.
Misalnya, pa a daun pakis, bila kit bandingk n dengan keseluruha daun pakis, ia
kelihata hampir sa a dari segi bentuk, cu a berbeza dari segi saiiz.
Buat masa ini, frakt l tidak ada efinisi yan dipersetuj i secara u um. Wala bagaiman pun, fraktal b lehlah din atakan sebagai bentu geometri
ang mempunyai motif serupa-diri (self-
similar motif ) yang b rulang tan a had. Sat contoh m tif serupa-diri ditunjukk n di bawah:
Mo if Serupa
iri yang Di unjukkan
12
leh Sierpi ski Gasket
TE3103 Ge metri
Rekaan fraktal umu nya menggunakan pr ses lelaran (iterative), dengan ha il lelaran s ngat mengha piri motif asalnya. Mi alnya dala pembinaan ‘ Koch Curve’, cara p mbinaan a alah seperti di bawah:
Tahap 0: Bermula d ngan satu garis lurus. Garis lurus ini dikenali sebagai init iator .
Tahap 1: Garis lur s tersebut dibahagi k pada tiga bahagian yang sama.
Pada bah gian
tengah tersebut, sat segitiga sama sisi d ilukis dan garis pada tapak diali kan. Tahap ini ikenali seb gai generato r .
Tahap 2: Gantikan setiap bent k initiator dengan bentuk gener ator pada
membent k tahap s lanjutnya
alam Koc Curve.
ersi skala
Panjang versi skala pada
generator adalah sa a dengan panjang g ris yang digantikannya. seterusny , tahap 2 diulang.
Contoh (i): Koch C rve
Tahap 0:
Tahap 1:
13
ntuk
Untuk tahap
TE3103 Ge metri
Tahap 2:
Contoh (ii): Sierpin ski gasket
Tahap 0:
Tahap 1:
Tahap 2:
14
TE3103 Ge metri
Contoh (iii): Box Fr actal
Tahap 0:
Tahap 1:
Tahap 2:
15
TE3103 Ge metri
Contoh (iv): Peano curve
Tahap 0:
Tahap 1:
Tahap 2:
Cuba apatkan ta ap 3 dan t hap 4 bagi semua contoh fraktal di atas.
16
TE3103 Ge metri
1.6.1
Frakt al Serupa-d iri Tepat (Strictly Self- Similarity ractals)
Semua fraktal menunjukkan motif serupa-diri dengan s ala yang
enyusut,
alau
bagaimanap n terdapat beberapa fr aktal yang f raktal seru a-diri tepat, yang mem nuhi definisi berik t. efinisi:
esuatu fraktal dikatakan fraktal serupa-d iri tepat
ika sebarang
ahagian pada fraktal it merupaka replika ba i keseluruhan fraktal.
Contoh:
Tentukan sa a ada fraktal berikut a alah fraktal serupa-diri tepat. a. ‘Koch sno flake’.
b. ‘Koch cu rve’
Penyelesaian: a.
Ko h snowflake adalah s tu bentuk
ang tertutup. Mana- ana bahagian yang diambil
da ipada Koch snowflake( isalnya yang dibulatk n) bukanlah satu bent k yang tertutup. Maka Koch sn wflake buk nlah fraktal serupa-diri tepat.
Bahagi n yang dibulatkan bukan merupa an replika agi manamana b hagian bagi snowflake tersebut.
17
TE3103 Ge metri
b.
Da at diperhatikan denga jelas bah wa mana- ana bahagian pada K ch curve a alah replika bagi ke eluruhan fr ktal, Maka Koch curve adalah fraktal serupa-diri tepat.
Didap ti bahawa ana-mana bahagian p da Koch c rve adalah replika bagi seluruh Koch curve.
Tentukan sama ada Sierpinski Gasket dan Peano curve adalah fraktal serupa-diri tepat.
1.6.2
Nisb h Gantian Replacem nt Ratio) d an Nisbah Skala (Scal ing Ratio)
ua bentuk kiraan yan boleh dilakukan terh dap fraktal ialah Nisb ah Gantian dan Nisbah Skal .
akna bagi
isbah Gan ian dan Ni bah Skala:
Jika generator bagi sesuatu f aktal meng andungi N r eplika bagi initiator, maka Nisbah Ga tian bagi f aktal terseb ut adalah N. Jika i itiator bagi raktal tersebut mempu yai r kali lin ear dimensi bagi replik nya pada generator, maka Nisbah Skalanya dalah r .
18
TE3103 Ge metri
Contoh:
(i) Koc Curve
Tahap 0:
Tahap 1:
(ii) Sie pinski Gas et
Tahap 0:
Tahap 1:
Cari nisbah gantian an nisbah kala bagi (i) Koc Curve (ii) Sie pinski Gas et
Penyele aian:
(i)
Pada generator mengan ungi empat garis lurus , tetapi initi tor menga dungi satu garis l rus. Maka nisbah gan ian bagi Koch Curve ialah 4 : 1, at u 4.
aris lurus pada initiator adalah iga kali le ih panjan generator.
aka nisbah skalanya ialah 3 : 1, at u 3.
19
daripada replikanya pada
TE3103 Ge metri
(ii)
Pada gener tor menga dungi tiga segitiga, te tapi initiator mengand ngi satu setiga. aka nisba gantian ba i Sierpinski Gasket ial h 3 : 1, ata 3.
Segitiga pad initiator m mpunyai k lebaran du kali lebih anjang daripada segiti anya pada replika di generator . Maka nis ah skalany ialah 2 : 1, atau 2.
apatkan ni bah gantia dan nisba skala bagi . Peano curve b. Bo Fractal
1.6.3
Dimensi Keseru aan (Simil arity Dimen sion)
Satu perwakilan yang di enali seba ai dimensi keserupaan , D diguna an untuk menilai kemampatan fraktal serupa-diri tepat.
Dimensi keserupaan,
bagi frakt l serupa-di ri tepat dib ri sebagai
D=
Dengan N ebagai Nis ah Gantian dan r seba gai Nisbah Skala.
Contoh: Cari dim nsi keseru aan bagi, (i) Koch Curve (ii) Sierpinski Gasket
Penyele aian:
(i)
Koch Curve adalah fra tal serupa-diri tepat,
aka kita
oleh mendapatkan di ensi
keserupaannya. Daripa a soalan s belum ini, nisbah gantian bagi Koch Curve ialah 4 dan nisbah s alanya ialah 3. Maka imensi kes rupaannya adalah: D
20
TE3103 Ge metri
(ii)
aripada so lan sebelu
ini, nisbah gantian ba i Sierpinski Gasket ialah 3 dan nisbah
skalanya ialah 2. Maka imensi kes rupaannya adalah:
D=
Cari dimensi keseru aan bagi a. Peano curve
1.6.3
b. Box Fractal
Fraktal Geo etri di Keh idupan Se arian
1.6.3.1
Fra tal pada A lam Semul Jadi
Sung ai
Himp unan Awan
21
TE3103 Ge metri
Panc ran Kilat
1.6.3.2
Fr ktal pada
Ur t Daun
ekaan Man usia
Ba-Ili di Afrika
Menara Eiffel di Pari s
Untuk men apatkan pemahaman yang lebih, anda
igalakkan untuk me buat
pembacaan ambahan dan melayar i internet u tuk tajuk di atas. Pa tinya anda akan berasa seronok, betapa
Ingatan:
enariknya mempelaja i matematik! Selamat
Sila pas tikan semu a bahan
embaca!
acaan yan g telah di cetak, ter asuk nota dan
penyelesaian soala disimpan dengan baiik di dalam portfolio a da.
22
MTE3103 Geometri
Topik 2
Satah Simetri dan Tranformasi
2.1 Sinops is
Topik ini merupakan lanjutan daripada topik teselasi pada satah. Dalam penghasilan teselasi, kita juga harus mengetahui cara pembentukan teselasi tersebut.
Dengan
menggunakan motif yang tertentu, kita boleh memenuhi seluruh satah dengan menggunakan transformasi yang mengekalkan bentuk dan saiz asal motif tersebut. Dalam topik 2 ini, hanya dua sub-topik yang akan dibincangkan iaitu isometri pada satah (putaran, pantulan, translasi dan pantulan gelangsar) dan kumpulan simetri terhingga serta Tujuh-Pola ‘Frieze’ (Seven Frieze Patterns). Simetri pada satah akan dibincangkan dalam sesi kuliah.
2.2 Hasil Pembelajaran
1.
Menambahkan pengetahuan dalam simetri dan tranformasi pada satah.
2.
Memahami pola dan rekaan Tujuh-Pola Jalur.
2.3
Kerangka Kons eptual
Satah Simetri dan Tranformasi
Satah Isometri
Satah Simetri
23
Tujuh‐Pola ‘Frieze’
TE3103 Ge metri
2.4
Satah Isom etri
Isometri ialah satu t anformasi ang mengekalkan bent uk dan saiz motif asal. Hanya ter apat empat isometri yang telah diken l pasti iaitu translasi, p ntulan, put aran dan pu taran gelan sar.
2.4.1
Tran lasi
Translasi ad lah satu transformasi yang mengel onsorkan k seluruhan bjek dalam satu j rak yang tetap dengan arah yang tetap. Oleh kerana itu, kita perlu u tuk menya akan arah dan jarak objek tersebut berger ak. Contoh translasi a dalah sepe rti berikut:
imej
(i) Objek
(ii)
Satu translasi yang boleh ditemui pada ala m semula jadi: gambar sayap kupu-kupu ya g dibesark n skala.
24
TE3103 Ge metri
(iii)
Apabil a anda engelonso r dari papan gelonsor seperti ga bar di sebela h, anda sebenarnya meng lami translasi. Bada anda berger ak pada s tu jarak (panjang papan gelonsor) dan arah yang tertent u. Saiz dan bentuk badan anda tiidak beruba h.
2.4.2
Pant lan
Pantulan ad lah sejenis tranforma i yang secara asasnya membali kan semu
titik
dalam suatu satah pada satu garis yang dinam kan sebag i paksi pan ulan. Obje dari i ej mempu yai bentuk dan saiz ya g sama, y ng berbeza tetapi den an orientasi imej yang terbalik. Titik-titik pada paksi pantulan a alah tidak berubah.
leh itu, inv riant
point (Titik ti ak berubah) bagi transformasi jeni s ini adalah tidak terhingga. Setiap titik pada objek
an jarak i ej yang telah dipantu lkan mempunyai jarak yang sam
dari
paksi pantul n. Dalam erkataan lain, paksi pantulan terletak di tengah-tengah antara objek dan im j.
(i)
25
TE3103 Ge metri
(ii)
uba anda fikirkan, men apa perkataan AMBUL ANCE dala m keduduk n terbalik s perti yang ditunju kan pada (ii).
2.4.3
Putar an
Putaran me utarkan semua titik b gi suatu o jek pada
atu titik tetap yang di enali
sebagai seb gai pusat, melalui sudut putaran dan arah t rtentu. O jek asal dengan i ej mempunyai bentu dan saiz yang sam , tetapi imej yang te bentuk mungkin enunjukkan arah yang berlainan.
Apabil a anda men aiki roda F rris, anda seben arnya mengalami satu utaran.
26
TE3103 Ge metri
2.4.4
Pant lan Gelu curan
Pantulan geluncuran se enarnya a alah kombinasi bagi ranslasi dan pantulan pada garis selari
engikut arah tersebut. Transforma si ini memberikan imej ang sama, tidak
kira pantula atau translasi berla u terlebih dahulu.
leh yang demikian, untuk
enyatakan pantulan g luncuran secara spesiifik, haruslah dinyatakan translasi yang berlaku dan paksi pantulan yang te tentu (selar i dengan ar ah translasi tersebut). Satu contoh yang ketara tent ng pantulan geluncura n ialah tap k kaki yan kita berjalan i tepi pantai.
(i)
(ii)
27
tertera semasa
TE3103 Ge metri
Nyata an apakah transforma i yang dilak ukan untuk membentuk teselasi di bawah:
.
2.5
b.
Satah Sime ri
Sesuatu bentuk itu adalah si etri jika
entuknya
ekal tidak berubah s telah men alani
transfor asi seperti translasi, putaran, pant lan atau pa ntulan gelu curan. Sebagai contoh :i) huruf- uruf E da A mempunyai bilate al line sy metry kerana kedua-duanya terb ntuk apabila iletakkan c rmin pada kedudukan seperti raja h di bawah.. (pantulan ntara satu ama lain pad paksi pant lan)
E ii) huruf N tidak ber ubah bila diputarkan pada sudut 180o sam da mengik t arah jam atau lawan ja pada pus t putaran.
N 28
MTE3103 Geometri
2.6
Kumpulan Simetri Finit d an Tujuh Pola ‘ Frieze ’
Apakah yang dimaksudkan dengan pola-pola ‘Frieze’? Pola-pola ‘frieze’ dikelaskan sebagai kumpulan Simetri Diskrit Tidak Terhingga (infinite discrete symmetry groups). Kumpulan simetri ini dikelaskan dalam kumpulan isometri satah jalur.
‘Frieze’ merupakan ukiran atau corak
hiasan dalam satu jalur mendatar (horizontal band). Ukiran atau corak yang berulang ini boleh didapati pada renda, hiasan dinding, hiasan siling, hiasan bangunan dan lain-lain.
2.6.1
Jenis-jenis transf orm asi yang terlibat
Corak ini hanya dalam satu jalur. Oleh itu transformasi yang terlibat adalah translasi sepanjang jalur sahaja. Putaran yang dibenarkan hanya 1800 sahaja (‘half-turn’).
Corak dalam jalur ini hanya membenarkan 2 jenis pant ulan iaitu: (i)
garis pantulan serenjang dengan jalur (iaitu garis pantulan mencancang jika jalur itu dianggap mendatar) Garis pantulan
(ii)
Garis pantulan mendatar sepanjang ‘garis tengah’ jalur. Garis pantulan
Translasi dan pantulan gelangsar boleh digunakan untuk membentuk corak tidak terhingga tanpa gabungan mana-mana transformasi. Menganda-dua putaran melalui 1800 dan pantulan akan menghasilkan identiti semula.
29
TE3103 Ge metri
Secara ringkasnya trans ormasi yang terlibat da lam satah j alur untuk
embentuk orak
tidak terhing a ialah: (i)
Translasi
(ii)
Pantulan gelangsar (Pantulan gelangsa adalah ga bungan 2 j nis transfo masi iaitu antulan dan diikuti den an translas i dalam ara yang sam )
(iii)
Putar n melalui 1800 sahaja an
(iv)
Pantulan (garis
antulan serenjang de gan jalur dan garis
antulan di garis
tengah jalur) Terdapa tujuh jenis pola ‘frieze’. Pola-pola tersebut ada lah seperti erikut: Cor k
Je is transfor masi
1. C
∞
Translasi sahaja
2. C
∞
Pantulan gelangsar
Bentuk c orak
Con oh corak
sah ja
3. D
2 kali separuh p taran
∞
(1800)
4. D
2 kali pantulan
∞
(pantulan mencancang da mendatar)
5. D
1 pantulan dan 1
∞
sep ruh putaran (1800)
6. C x D1 ∞
1 translasi dan 1 Thisimagecannotcurrently bedisplayed.
pantulan (garis pantulan sepanj ng gari tengah jalur)
7. D
∞
D1
3 pantulan
Petunjuk: C
Cyclic (Kit ran)
= Dihedral (Kombinasi putaran da pantulan) 30
MTE3103 Geometri
2.6.2
Carta aliran untu k mengecam pola-pola ‘fri eze’
Adakah terdapat pantulan mencancang (vertical reflection)? ya
tidak
Adakah terdapat pantulan mendatar (horizontal)
ya
Adakah terdapat pantulan mencancang atau pantulan geluncuran?
tidak
7
ya
Adakah terdapat separuh pusingan (half turn)? ya
tidak
5
Adakah terdapat pantulan mendatar (horizontal
ya
3
tidak
tidak
6
2
Adakah terdapat separuh pusingan(half turn)?
tidak
ya
4
Rajah di adaptasi dari Hayley Rintel, Melissa Shearer, and the 1999 Exploring Symmetry class
31
1
MTE3103 Geometri
Nota untuk pelajar: 1.
Semua pola-pola ‘frieze’ mempunyai simetri tranlasi.
2.
Apabila pola-pola ‘frieze’ mempunyai simetri pantulan mencancang, bermakna sekurang-kurangnya 1 garis mencancang boleh dilukis supaya imej pantulan adalah objek yang bersebelahan dengannya. Biasanya terdapat banyak garis pantulan mencancang.
3. Apabila pola-pola ‘frieze’ mempunyai simetri mendatar melalui garis tengah jalur, maka hanya terdapat satu garis pantulan sahaja. 4. Cara terbaik untuk mengecam simetri pantulan gelangsar ialah melihat kepada kesan tapak kaki di pasir.
2.7 Mengum pul Maklu mat (Buku skrap) 1. Sila kumpulkan bahan-bahan yang berkaitan dengan pola- pola ‘frieze’ yang terdapat di sekeliling anda. Contoh bahan-bahan yang boleh anda kumpulkan ialah renda, sulaman pada baju, corak pada gelang tangan atau rantai, sejadah, gril pagar (ironworks), bingkai, dan lain-lain bahan yang mempunyai corak dalam satah jalur. 2. Perhatikan corak-corak tersebut dan camkan jenis-jenis transformasi yang tersebut. Catatkan dalam buku skrap anda.
32
Bahan Rujukan
Laman Web Berg una
1.
http://www.metacafe.com/watch/yt-J0O3exniKa4/ dinosaur_danger_pop_up_book_libro_popup_peligro_dinosaurios/
2.
http://www.technologystudent.com/designpro/popup1.htm
3.
http://www.technologystudent.com/designpro/popup1.htm
4.
http://www.popupmailers.co.uk/popup_vfoldcards.php
5.
http://www.inspirationblog.nl/en/2010/06/inspiring-popup-postcards.html
PANEL PENULIS MODUL PROGRAM PENSISWAZAHAN GURU SEKOLAH RENDAH (XXX PENDIDIKAN RENDA H) NAMA
KELAYAKAN
(NAMA) : TOLHAH BINTI ABDULLAH
(KELULUSAN) : Sarjanamuda Sains (Matematik)
(JAWATAN) : PPPS (PENSYARAH)
PHD/SARJANA/SARJANA MUDA/DIPLOMA/SIJIL : Sarjana Sains (Matematik)
(EMEL) :
[email protected].
(PENGALAMAN KERJA): Sekolah (11 tahun) IPG (5 tahun)
(NAMA) : RAHA BINTI YAHYA
(KELULUSAN) : Sarjanamuda Sains dengan Pendidikan (Kepujian)
(JAWATAN) : PPPS (PENSYARAH) (EMEL) :
[email protected]
PHD/SARJANA/SARJANA MUDA/DIPLOMA/SIJIL : Sarjana Pendidikan (Teknologi Pendidikan) (PENGALAMAN KERJA) : Sekolah (16 tahun) IPG ( 5 tahun)
(NAMA)
(KELULUSAN)
(JAWATAN)
PHD/SARJANA/SARJANA MUDA/DIPLOMA/SIJIL
(EMEL) (PENGALAMAN KERJA)
