Modelado y simulación de un Motor BLDC (sin escobillas) aplicando regulación por realimentación de estados Fase I. Elaborado por: Diego Fernando Sánchez Flórez
Código: 2061495
FUNCIONAMIENTO FUNCIONAMIENTO DEL MOTOR SIN ESCOBILLAS (BLDC MOTOR) Un motor sin escobillas ( Brushless DC Motor ) es un motor síncrono de imanes permanentes que usa detectores de posición y un inversor PWM para controlar las corrientes de armadura. Algunas veces es mencionado como un motor dc de adentro hacia afuera porque la armadura es en el estator y los imanes están ubicados en el rotor, pero sus condiciones de operación se parecen a esas de un motor dc común y corriente. En vez de usar un conmutador mecánico mecáni co como el motor dc convencional, el motor bldc emplea conmutación electrónica que lo convierte un motor virtualmente libre de mantenimiento. Hay principalmente dos tipos de motores bldc: los de tipo trapezoidal y los de tipo sinusoidal. En el motor trapezoidal la FEM inducida en las bobinas del estator tiene una forma trapezoidal y las fases deben ser suplidas con corrientes casi cuadradas para una operación libre de rizado del par. El motor sinusoidal por el toro lado tiene una FEM inducida formada sinusoidalmente y requiere corrientes de fase sinusoidales para que la operación de troque del par esté libre de rizado. La forma de la EM inducida es determinada por la l a forma de los imanes del rotor y la distribución de l as bobinas del estator. El motor sinusoidal necesita un sensor de posición de alta resolución porque la posición del rotor deber ser conocida en todo instante de tiempo para una operación óptima. También requiere software y hardware más complejos. El motor trapezoidal es una alternativa muy atractiva para más aplicaciones debido a que tiene mayor simplicidad, menor precio y alta eficiencia. En el presente documento trataremos solamente el motor de tipo trapezoidal, más específicamente el de cuatro polos en su rotor. Los motores bldc existen en distintas configuraciones pero el motor de tres fases es el tipo más común gracias a su eficiencia y a su bajo rizado de torque. Este tipo de motor también ofrece un buen compromiso entre control preciso y número de dispositivos electrónicos de potencia necesarios para el control de las corrientes del estator. La figura 1 muestra la sección transversal de un motor bldc.
Figura 1. Sección transversal y frontal de un motor bldc (Townbiz, 2009)
La detección de la posición es implementada usualmente usando tres sensores de efecto Hall que detectan la presencia de imanes pequeños que generalmente están ubicados en el eje del motor, pero también pueden ubicarse en el estator. OPERACIÓN El motor bldc de tres fases es operado en la forma de dos fases encendidas, esto es que las dos fases que producen el mayor torque son energizadas mientras la tercera fase está apagada. Que 1
dos fases estén energizadas depende de la posición del rotor. Las señales desde los sensores de posición producen un número de tres dígitos que cambia cada 60° (grados eléctricos). El máximo par se produce cuando las líneas de campo son perpendiculares entre sí.
Figura 2. Secuencia de activación de las bobinas del motor bldc según las señales de posición de los sensores de efecto hall (Townbiz, 2009).
Para mayor profundidad en la operación de la secuencia de activación de estos motores, ir a (Baldursson, 2005) y las fuentes de (Dobra), pues este no es el objeto del presente trabajo. Como se puede observar en la figura 2, la secuencia de activación se puede realizar por medio circuito de decodificación de las señales de posición, seguido por un inversor de tres columnas (por las tres fases), el cual puede estar constituido por transistores de unión bipolar (BJT), o también transistores de efecto de campo de semiconductor metal-oxido (MOSFET).
2
MODELADO DEL MOTOR BLDC. El modelo matemático del motor bldc puede ser dividido en dos subsistemas: un modelo eléctrico y uno mecánico. A. Subsistema Eléctrico. La velocidad del motor es controlada por el ajuste del voltaje de entrada en las bobinas del estator. Para ese propósito la tasa del PWM es modulada en el transistor activo de la fila superior de transistores mostrada en figura 3. El modelo matemático de una bobina puede ser derivado de la figura 4.
Figura 3. Motor BLDC conectado al inversor PWM (Dobra).
Figura 4. Circuito Equivalente de una fase (Dobra).
La FEM inducida trapezoidal de la fase 1 es
3
Donde ( ) es la velocidad angular del rotor y la constante de FEM inducida. denota el voltaje de fase con respecto al potencial de referencia y es el voltaje en el punto neutro de la estrella. Por lo tanto todas las tres fases tienen el siguiente sistema de ecuaciones
(1)
Usualmente, el punto neutro no está disponible, por eso el voltaje respectivo es desconocido. Como una de las bobinas esta siempre abierta, la ecuación se vuelve más simple y se puede eliminar en (1). Previsto eso las bobinas 1 y 2 están conduciendo, las condiciones = , y = 0, es sustituido en la ecuación (1), Así resultando en = 0, =
−
(2)
∗ ∈
El termino denota el voltaje de alimentación modulado PWM de los transistores, con = [ 0,1] . Para proporcionar una solución razonablemente económica, y evitar la medición de todos los voltajes y corrientes de las tres fases, solo la corriente de entrada del circuito de puente completo de 6 fases y el voltaje de alimentación son medidos. La corriente de fase promedio î puede ser derivada de la corriente del puente considerando el balance de potencia
Por lo tanto
Usando esta propiedad y formando el valor medio de la ecuación (2) se obtiene
∗
Finalmente sustituyendo 2/ 3 (
+
+
)
∗
por R y 2/ 3 (
+
+
) , por
lleva a
(3)
4
B. Subsistema mecánico Luego de modelar el subsistema eléctrico del actuador, las ecuaciones de la parte mecánica pueden ser obtenidas. El par del rotor resulta del campo magnético causado por las corrientes de las bobinas del estator. Este par es proporcional al enlace de flujo magnético y la corriente de fase promedio. Por lo tanto
Con denotando la constante de torque. Para un motor ideal de onda cuadrada esta es igual a la constante de FEM-inducida . La ecuación para el subsistema mecánico es deducida del balance de torques
∗
Donde es el torque de carga, denota la inercia del rotor y las pérdidas ( fricción. Las perdidas mecánicas pueden ser divididas en la fricción de Coulomb la fricción viscosa ( ) . Por lo tanto, finalmente produce
∗
(4)
) resulta de la ( ( )) y
(5)
Por tanto, el modelo matemático del motor MLDC puede ser resumido por (3) y (5). El modelo resultante es descrito en la figura 5. Se puede notar fácilmente que este modelo es similar al modelo del motor DC clásico.
Figura 5. Diagrama de bloques del modelo del Motor BLDC (Dobra).
C. Modelado en Matlab y Simulink. Para el trabajo de simulación en Matlab se necesita representar el modelo de un motor BLDC real en el dominio del espacio de estados, por lo cual primero se realizó una selección de motor con la empresa Maxon Presicion Motor Inc. mencionada en (Baldursson, 2005), ya que especifica la mayoría de parámetros del mismo encontrados en (Maxon EC Motor, 2011). A continuación se resumen los parámetros del motor elegido.
5
Tabla 1. Especificación de Parámetros (Maxon EC Motor, 2011).
Referencia del Motor Voltaje Nominal Velocidad sin Carga Corriente sin carga Velocidad Nominal Par Nominal Continuo Corriente Nominal Continua Par a 0 [RPM] (Stall torque) Corriente de arranque Resistencia Terminal de Fase a Fase (R) Inductancia Terminal de Fase a Fase (L) Constante de Torque (Kt) Constante de Velocidad (Ke) Constante de tiempo mecánica (te) Inercia del Rotor (J) Constante de fricción Viscosa (B o Kf 1) Constante de fricción de Coulomb (Kc) 2
Maxon EC Motor 368849 12 [V] 71200 [RPM] 175 [mA] 63900 [RPM] 4.8866 [mN*m] 3.17 [A] 55.363 [mN*m] 34.5 [A] 0.348 [Ω] 18 [µH]
1.603 [mN*m/A] 1.5995 [mV/rad/s] 3.47 [ms] 25.492 [nN*m*s^2] 112 [nN*m*s] 554.5 [µN*m]
Una vez definidos los Parámetros a utilizar para el modelo, se comienza a trabajar las ecuaciones diferenciales para que la representación en espacio de estados quede más sencilla de realizar. Tomando a (3) y despejando la variable derivada que es ( ) :
− ∗ − ∗
(6)
∗ − ∗ −
(7)
( )
( )
=
( )
Haciendo lo mismo para (5), pero teniendo en cuenta que la fricción de Coulomb es una característica no lineal que depende del sentido de la velocidad, y cuya constante tiene un valor despreciable para el modelo lineal, se toma sin estas pérdidas quedando: ( )
( )
=
( )
Ahora se organiza las correspondientes matrices de la representación del modelo en espacio de estados, quedando las siguientes expresiones:
− − ′′ − ∗ ∗ =
1 0
=
0 1
+
+
0 0
− ∗ ∗ 0
(8)
0
0 0
(9)
Donde (8) corresponde a la ecuación de estados y (9) corresponde a la ecuación de salida y:
− − − − ′ ′′ =
,
=
0
0
,
=
1 0
0 1
,
=
0 0
0 0
,
=
,
=
,
=
.
1
Kf Para no confundir con el B de la matriz de Representación de espacio de estados. Kf y Kc se determinaron por medio de la ecuación diferencial del subsistema mecánico, asumiendo las condiciones de vacío y las de carga nominal a velocidad constante, para crear un sistema de dos ecuaciones y así hallar el valor de estos parámetros, pues no vienen especificados en la hoja de datos. 2
6
En Simulink se realizó el modelo completo no lineal, teniendo en cuenta la fricción de Coulomb para hallar las diferencias entre este y el modelo lineal definido como sistema en Matlab. También se separó en los correspondientes subsistemas para que se vea más organizado.
Figura 6. Modelo desarrollado en Simulink y su correspondiente Separación en Subsistemas en lazo abierto.
D. Simulación en Matlab y Simulink En lazo abierto, el sistema presento un comportamiento similar tanto el modelo lineal como el no lineal con una entra de Par de 0.004 [N*m] y una tensión de entrada de 12 [V]. Se observa en las figuras 7 y 8, cada vez que la tensión cambia la corriente de armadura tiene picos característicos que se atenúan al cabo de poco tiempo pero que no desaparece del todo. Cuando ocurre un flanco de subida de tensión, el pico de corriente es positivo, y cuando el flanco es de caída de tensión, dicho pico es negativo, cercano a su valor nominal de corriente bajo la carga antes mencionada. Las RPM también tienden a subir a su valor nominal característico bajo estas condiciones, aunque cuando la tensión es cero, las RPM tienden a ser negativas, o sea, girar hacia el otro lado, y eso es por la carga que se le está ejerciendo al motor como entrada constante.
Figura 7. Simulación en Simulink del modelo no lineal en lazo abierto.
7
Voltaje de entrada [V] y Torque de Carga [N*m]
X: 0.02469 Y: 12
20
Tension de entrada
10 0
X: 0.08306 Y: 0.004
0
0.05 X: 0.02469 Y: 2.995
50
Par de Entrada 0.1
X: 0.05027 Y: 35.08
0.15
0.2
0.25
0.15
0.2
0.25
0.15
0.2
0.25
0.15
0.2
0.25
0.15
0.2
0.25
Corriente de Armadura [A]
X: 0.00022 0 Y: 32.92
-50
0
0.05 X: 0.02469 Y: 0.004801
0.1
0.1
X: 0.05024 Y: 0.05645
Torque electric o [N*m]
X: 0.00022 0 Y: 0.05277
-0.1 1
0 x 10
0.05
1
0 x 10
X: 0.07431 Y: 6850
0.05
0
0.1
5
Velocidad Angular [RPM] X: 0.02469 Y: 6.542e+004
0 -1
Velocidad Angular [rad/s] X: 0.02469 Y: 6851
0 -1
0.1
4
X: 0.07431 Y: 6.541e+004
0.05
0.1
Figura 8. Simulación en Matlab del modelo lineal en lazo abierto.
En lazo cerrado se realiza la realimentación sin control del sistema, realimentando la salida de ω en la entrada de tensión, y la salida de corriente a la entrada del par de carga, bajo condiciones iniciales distintas de cero obtenidas con el modelo de Simulink en lazo abierto, lo cual produce que hallan oscilaciones amortiguadas durante aproximadamente 0.5 [ms] en los estados del sistema, y esto se debe a que la nueva matriz “A” del sistema realimentado posee valores propios imaginarios son de valor -9.6689e+003 + 1.4786e+006i y -9.6689e+003 - 1.4786e+006i , los cuales su parte real es bastante grande, por lo tanto su constante de tiempo es de alrededor de 103.4244 [µs], y la frecuencia de oscilación es de más o menos 235.32 [KHz].
Figura 9. Sistema no lineal en lazo cerrado 8
Voltaje de entrada [V] y Torque de Carga [N*m] 1 0 -1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5 x 10
-3
Corriente de Armadura [A] 50 0 -50
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5 x 10
-3
Torque electrico [N*m] 0.1 0 -0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5 x 10
-3
Velocidad Angular [rad/s] 1000 0 -1000
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5 x 10
4
1
-3
Velocidad Angular [RPM]
x 10
0 -1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5 x 10
-3
Figura 10. Sistema en lazo cerrado del sistema lineal.
En el sistema regulado por realimentación del estado, se colocaron como parámetros de diseño un tiempo de asentamiento de 20 [ms] con un factor de amortiguamiento de 1, con la cual se obtuvo la siguiente K para el sistema:
−− ∗∗ =
344.4000 10 1.6030 10
−− ∗∗ 1.5995 4.9864
10 10
Figura 11. Sistema regulado no lineal. 9
Voltaje de entrada [V] y Torque de Carga [N*m] 1 0 -1
0
0.05
40 20 0
0.1
X: 0 Y: 32.87
0.15
0.2
0.25
0.15
0.2
0.25
0.15
0.2
0.25
0.15
0.2
0.25
0.15
0.2
0.25
Corriente de Arm adura [A]
X: 0.0204 Y: 0.5557
0
0.05
0.1 Torque electrico [N*m]
0.1
X: 0 Y: 0.05269
0.05 0
X: 0.02052 Y: 0.0008697
0
0.05
400 200 0
Velocidad Angular [rad/s]
X: 0.02025 Y: 4.958
0
0.05
0.1 Velocidad Angular [RPM]
X: 0 Y: 2718
4000 2000 0
0.1
X: 0 Y: 284.6
X: 0.02024 Y: 47.44
0
0.05
0.1
Figura 12. Sistema regulado lineal.
En la figura 11 y 12 se presentan los resultados para el modelo no lineal y para el lineal respectivamente. Nótese que se cumple a cabalidad los requerimientos de diseño en ambos casos, pero se nota un cambio brusco al comienzo de la regulación de velocidad en el caso no lineal. Aunque igual se ve claramente que la regulación por medio de la matriz de ganancias se comporta de forma óptima aun en un sistema que posee una no linealidad. En el código adjunto se pueden realizar las modificaciones que se requieran para mejorar el análisis del sistema, y también cambiar parámetros en el modelo no lineal de Simulink que también se encuentra adjunto. OBSERVACIONES
El modelo no lineal se puede mejorar teniendo en cuenta los efectos en todas las fases del motor y las señales de los sensores de efecto hall, para así corroborar la reducción realizada por (Dobra) en su obra, y que tan eficiente es la regulación por realimentación de estados. Si el sistema se realimenta mal sin control, puede producir un sistema inestable.
CONCLUSIONES
El motor BLDC posee un modelado y un comportamiento para modulación PWM similar a un motor DC clásico aun teniendo características físicas diferentes. Un motor BLDC posee mayor eficiencia que un motor DC de escobillas, pues al tener menos partes en contacto, es menos propenso a necesitar mantenimientos correctivos y preventivos para su óptimo funcionamiento. La regulación por realimentación de estados es muy versátil en sistemas que poseen más de una entrada lo cual permite un control adecuado en sistemas MIMO. Siempre y cuando un sistema no lineal no posea discontinuidades muy pronunciadas, se le puede aplicar el tipo de regulación trabajada, previamente diseñada para el sistema linealizado del mismo. 10
BIBLIOGRAFIA
Baldursson, S. (2005). BLDC Motor Modelling and Control - A Matlab/Simulink Implementation. Sverige. Dobra, P. (s.f.). Robust PID Controller of BLDC Motor via State Feedback Design. Cluj, Romania. Maxon EC Motor. (Mayo de 2011). Catalog Page EC size 5 Ø0.5 in, brushless, 30 Watts, sterilisable , 11. Recuperado el 24 de 07 de 2011, de https://downloads.maxonmotor.com/Katalog_neu/eshop/Downloads/Katalog_PDF/maxon_e c_motor/EC-programm/new/newpdf_11/EC-size5-368849_11_EN.pdf Townbiz. (2009). 4-POLE BRUSHLESS DC MOTOR ANIMATION . Recuperado el 24 de 07 de 2011, de http://www.townbiz.com/animations/4-pole_bldc.html Townbiz. (2009). BRUSHLESS DC MOTOR ANIMATION . Recuperado el 24 de 07 de 2011, de http://www.townbiz.com/animations/brushless_motor.html
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CONTENIDO FUNCIONAMIENTO DEL MOTOR SIN ESCOBILLAS (BLDC MOTOR) ......................................... 1 OPERACIÓN ................................................................................................................................. 1 MODELADO DEL MOTOR BLDC. ................................................................................................. 3 A. Subsistema Eléctrico. ..................................................................................................... 3 B. Subsistema mecánico......................................................................................................... 5 C. Modelado en Matlab y Simulink. ......................................................................................... 5 D. Simulación en Matlab y Simulink......................................................................................... 7 OBSERVACIONES ...................................................................................................................... 10 CONCLUSIONES ........................................................................................................................ 10
LISTA DE FIGURAS Figura 1. Sección transversal y frontal de un motor bldc (Townbiz, 2009) ....................................... 1 Figura 2. Secuencia de activación de las bobinas del motor bldc según las señales de po sición de los sensores de efecto hall (Townbiz, 2009). .................................................................................. 2 Figura 3. Motor BLDC conectado al inversor PWM (Dobra). ........................................................... 3 Figura 4. Circuito Equivalente de una fase (Dobra). ........................................................................ 3 Figura 5. Diagrama de bloques del modelo del Motor BLDC (Dobra). ............................................. 5 Figura 6. Modelo desarrollado en Simulink y su correspondiente Separación en Subsistemas en lazo abierto. ................................................................................................................................... 7 Figura 7. Simulación en Simulink del modelo no lineal en lazo abierto. ........................................... 7 Figura 8. Simulación en Matlab del modelo lineal en lazo abierto. .................................................. 8 Figura 9. Sistema no lineal en lazo cerrado .................................................................................... 8 Figura 10. Sistema en lazo cerrado del sistema lineal. ................................................................... 9 Figura 11. Sistema regulado no lineal............................................................................................. 9 Figura 12. Sistema regulado lineal. .............................................................................................. 10
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