Métodos de los Mínimos Cuadrados 1
GLOSARIO
1. RESUMEN DEL INFORME. 2. MARCO TEORICO. 3. OBJETIVOS. 4. EQUIPOS Y MATERIALES. 5. TABLAS. 6. GRAFICOS. 7. CONCLUSION. 8. BIBLIOGRAFIA.
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RESUMEN DEL INFORME
Utilizamos el método de los mínimos cuadrados para obtener una relación, entre las medidas de las piezas que medimos ya anteriormente (cilindro, esfera, disco). Con la ayuda de tablas, Obtuvimos la ecuación de la recta, además también de los valores de la discrepancia de la recta. Después aprovechando las bondades de las maquinas calculadoras, vimos que podemos obtener obtener los mismos mismos valores mas fácilmente, fácilmente, pero pero para el caso del disco y la esferas, esferas, aunque podíamos obtener la ecuación, no era así para el caso de las discrepancias. Por lo que tuvimos que lineal izar las funciones primero. Finalm Finalment ente e verifi verifica camos mos que las relac relacion iones es obteni obtenida das, s, por por el método método de los mínimo mínimos s cuadrados era muy próximos al de la medidas que hicimos.
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MARCO TEORICO
Una técnica adecuada para obtener un ajuste objetivo de una línea recta a una serie de datos, es el de los mínimos cuadrados. Un teorema importante en estadística matemática nos plantea que para una situación determinada, la recta ajustada por el método de los mínimos cuadrados es la recta del mejor ajuste. El termino que mejor se emplea aquí para indicar que de esta manera resulta minimizada la suma de las divisiones de los datos respecto de la recta.
Sy = n*a + b Sx Sxy = a Sx +b Sx^2 Considerando que la recta de tendencia estimada es de la forma:
y = a + b*x
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OBJETIVOS
Desarrollar la destreza del alumno en el ajuste por el método de los Mínimos Cuadrados, además también de ver las ventajas que tiene este método respecto de los demás.
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EQUIPOS Y HERRAMIENTAS
Equipos: - Una Calculadora Científica. Herramientas: - Tablas de medidas (cilindro, disco, esfera).
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TABLAS
Tabla # 1: Cilindros L(cm) m(g) n 1 6.000+-0.001 52.01+-0.01 2 3 4 5 6
5.009+-0.002 3.995+-0.002 2.981+-0.002 2.000+-0.001 1.000+-0.001
43.42+-0.01 34.65+-0.01 25.98+-0.01 19.32+-0.01 8.64+-0.01
Tabla # 3: Esfera D(cm) m(g) n 1 2.222+-0.002 44.73+-0.01 2 1.904+-0.001 28.21+-0.01 3 1.793+-0.003 23.50+-0.01 4 1.498+-0.001 13.75+-0.01 5 0.900+-0.001 2.97+-0.01 6 0.714+-0.001 1.49+-0.01
Tabla # 2: Disco D(cm) m(g) n 1 5.991+-0.002 41.32+-0.01 2 5.008+-0.002 30.72+-0.01 3 3.992+-0.002 19.51+-0.01 4 2.996+-0.002 10.42+-0.01 5 2.000+-0.002 4.90+-0.01 6 1.000+-0.002 1.23+-0.01
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Haga los ajustes para: 1) La relación masa-longitud (cilindros. Tabla #1) 2) La relación masa-diámetro (disco. Tabla#2) 3) La relación masa-diámetro (esfera. Tabla#3)
1. Ajuste por el MMC los datos de la tabla 1. La grafica#1 es de tipo lineal, es decir; que el modelo es una recto. Aplique el MMC y determine los parámetros a, b de la recta y sus errores.
n 1 2 3 4 5 6
y 52.01 43.42 34.65 25.98 19.32 8.64 192.8
x x*y 6 312.06 5 217.10 4 138.60 3 77.94 2 32.64 1 8.64 20.98 827.43
x^2 36 25 16 9 4 1 90.86
di=yi-A-Bxi -2.07 -1.90 -1.91 -1.82 0.28 -1.64
di^2 4.28 3.61 3.65 3.31 0.08 2.69 17.62
Discrepancia = (( Sdi)^2)/(n-2) = 2.21 Discrepancia de A =(((( Sxi)^2)*(DIS^2))/ ((n*S(x i)^2)-((xi)^2) ))^(1/2) = 0.50 Discrepancia de B =((n*DIS^2)/ ((n*S(x i)^2)-((xi)^2) ))^(1/2) = 0.50 A = 0.88+-0.5 B = 8.51+-0.5
Entonces la ecuación será: m = 0.88 + 8.51D
2. Ajuste por el MMC los datos de la Tabla#2. Logaritmizando los datos de la tabla#2, tenemos:
n 1 2
y 1.62 1.49
x x*y 0.77 1.25 0.69 1.03
x^2 0.59 0.48
di=yi-A-Bxi -0.03 0
di^2 0.0009 0 3
3 4 5 6
1.29 1.20 0.69 0.09 6.38
0.60 0.77 0.48 0.58 0.30 0.21 0 0 2.84 3.83
0.36 0.23 0.09 0 1.75
-0.02 0.13 -0.02 -0.02 -0.04
0.0004 0.0169 0.0004 0.0004 0.02
Discrepancia = (( Sdi)^2)/(n-2) = 0.01 Discrepancia de A =(((( Sxi)^2)*(DIS^2))/ ((n*S(x i)^2)-((xi)^2) ))^(1/2) = 0.02 Discrepancia de B =((n*DIS^2)/ ((n*S(x i)^2)-((xi)^2) ))^(1/2) = 0.01 A = 0.11 +- 0.02 B = 2.00 +- 0.01
La ecuación de la recta: m = 0.11 +2D
Volviendo a la ecuación original: Calculo de las discrepancias de a, b. Discrepancia de a = (10^A)*(Log 10)*DIS A = 0.14 B = b = 0.01 Log a = A, entonces: a = 10^A = 1.3 +- 0.14 B = b = 2.00 +- 0.01
La relación será: m = 1.3*D^2
3. Ajuste por el MMC los datos de la Tabla#3. Logaritmizando los datos de la tabla#3, tenemos:
n 1 2 3 4 5 6
y 1.65 1.45 1.37 1.14 0.47 0.17 6.25
x 0.34 0.28 0.25 0.18 -0.05 -0.14 0.86
x*y 0.56 0.41 0.34 0.21 0.02 0.02 1.47
x^2 0.12 0.08 0.06 0.03 0 0.02 3.11
di=yi-A-Bxi 0.02 0 0.01 -0.01 0.02 0 0.04
di^2 0.0004 0 0.01 0.01 0.0004 0 0.02
Discrepancia = (( Sdi)^2)/(n-2) = 0.01 Discrepancia de A =(((( Sxi)^2)*(DIS^2))/ ((n*S(x i)^2)-((xi)^2) ))^(1/2) = 0.01 Discrepancia de B =((n*DIS^2)/ ((n*S(x i)^2)-((xi)^2) ))^(1/2) = 0.02 A = 0.60 +- 0.01 B = 3.04 +- 0.02
La ecuación de la recta: m = 0.6 +3D 4
Volviendo a la ecuación original: Calculo de las discrepancias de a, b. Discrepancia de a = (10^A)*(Log 10)*DIS A = 0.03 B = b = 0.02 Log a = A, entonces: a = 10^A = 4 +- 0.03 B = b = 3.00 +- 0.02
La relación será: m = 4*D^3
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CUESTIONARIO
1. Con las ecuaciones obtenida por el MMC calcule: a) Para cada valor de longitud, tabla# 1 la masa correspondiente a cada cilindro. b) Para cada valor del diámetro, tabla# 2 la masa correspondiente a cada disco. c) Para cada valor del diámetro, tabla# 3 la masa correspondiente a cada esfera.
Tabla # 1: Cilindros L(cm) m(g) n 1 6.000+-0.001 51.94+-0.01 2 3 4 5 6
5.009+-0.002 3.995+-0.002 2.981+-0.002 2.000+-0.001 1.000+-0.001
43.50+-0.01 34.88+-0.01 26.25+-0.01 17.90+-0.01 9.39+-0.01
Tabla # 2: Disco D(cm) m(g) n 1 5.991+-0.002 46.66+-0.01 2 5.008+-0.002 32.60+-0.01 3 3.992+-0.002 20.71+-0.01 4 2.996+-0.002 11.66+-0.01 5 2.000+-0.002 5.20+-0.01 6 1.000+-0.002 1.30+-0.01
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Tabla # 3: Esfera D(cm) m(g) n 1 2.222+-0.002 43.88+-0.01 2 1.904+-0.001 27.61+-0.01 3 1.793+-0.003 23.02+-0.01 4 1.498+-0.001 13.44+-0.01 5 0.900+-0.001 2.91+-0.01 6 0.714+-0.001 1.46+-0.01
2. En las graficas correspondientes del trabajo anterior, grafique con un color diferente los datos de las nuevas tablas. 3.¿Qué comentario puede hacer respecto a las graficas #4, 5 y 6 (respecto a la coincidencia de los datos experimentales y de los datos calculados) ? Rta. Ambas graficas son muy similares, por lo que se puede ver prácticamente la valides de este método, además que los puntos de la curva que se forma, están mas cerca de la recta sino están ya sobre ella. 4.¿Que ventajas tiene el MMC sobre el método grafico ? Rta. Es más rápido, y mucho más exacto.
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CONCLUSION
Otro método para obtener la ecuación de la línea recta, de los pares de los valores (x,y) es el de los mínimos cuadrados, dicho método es mas exacto, además que nos brinda herramientas para calcular la discrepancia de los valores obtenidos. Además también podemos, una vez encontrada la relación calcular un valor muy próximo al verdadero, solo reemplazando el valor de la variable independiente en la ecuación.
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BIBLIOGRAFIA
“Fundamentos de la Estadística” de Rufino Moya. “Guía de Laboratorio de Física Básica I.”
Biblioteca de consulta Encarta 2004. Notas de clase.
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIAS INGENIERIA ELECTRONICA
LAB FIS 100
Método de los Mínimos Cuadrados INFORME DE LABORATORIO
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Docente:
Ing. Virginia Vargas Universitario: xxx Cochabamba - Bolivia
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