Métodos de Optimización Aplicados Roberto León
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Universidad Andrés Bello Facultad de Ingeniería Viña del Mar
Asignación
El centro de distribución de una empresa debe estimar cuántos vehículos necesita en un mes para entregar el pedido a N clientes con demanda mensual definida por el peso y volumen del pedido: p i [kg], v i [m3 ]. Los clientes están ubicados a una distancia d i [km] del centro de distribución. El centro de distribución cuenta con M tipos de vehículos, y una disponibilidad M , cada uno con capacidad de H j vehículos del tipo j para j = 1 mensual de entrega medida en peso y volumen: cp j [kg] y cv j [m3 ]. Cada vehículo tiene un costo fijo de utilización f j [$], que considera el arriendo del $ ], vehículo y el salario del personal, y un costo variable de utilización g j [ km que depende de los kilómetros recorridos. , ...,
Asignación El modelo de optimización que determina la cantidad de vehículos que serán utilizados y cuál de los vehículos atiende a un cliente, de manera de minimizar los costos fijos y variables es el siguiente: Variables de decisión y j x ijk
= número de vehículos del tipo j que se utilizan. =
para i = 1
1 0
, ...,
si el cliente i es atendido por el vehículo k del tipo j si no N , j = 1
, ...,
M y k = 1
, ...,
H j .
Función Objetivo M
min
M
N
H j
f j y j +
j =1
j =1 i =1 k =1
g j d i x ijk
Asignación Restricciones Cada cliente es atendido por un vehículo H M j
x ijk = 1
para i = 1
, ...,
N
j =1 k =1
Los vehículos que no se utilizan, no trasladan productos. H N j
x ijk = y j
para j = 1
, ...,
M
i =1 k =1
Se puede utilizar como máximo H j vehículos del tipo j : y j ≤ H j
para j = 1
, ...,
M
Asignación
Capacidad de peso H N j
p i x ijk ≤ cp j para j = 1
, ...,
M
v i x ijk ≤ cv j para j = 1
, ...,
M
i =1 k =1
Capacidad de volumen H N j
i =1 k =1
Distribución
Considere el problema de distribución de artículos desde tres centros productores a dos centros consumidores. Los artículos pueden ser transportados entre cada centro productor y cada centro consumidor considerando dos rutas posibles. La utilización de cada ruta tiene asociada un costo fi jo que es independiente de la cantidad de artículos transportados por esa ruta. La siguiente tabla presenta las capacidades de producción, las demandas estimadas, el costo fijo por la utilización de cada ruta y el costo de transporte de un artículo desde cada centro productor a cada centro consumidor.
Distribución
Destino Origen 1
Ruta A B 2 A B 3 A B Demanda
1 Costo Fijo Costo Unitario 10 3 20 2 15 5 25 4 30 7 35 6 300
2 Costo Fijo Costo Unitario 12 9 24 8 16 12 32 10 18 16 36 14 500
Oferta 200 400 600
Formule un modelo lineal mixto que permita determinar la cantidad a transportar por cada ruta que minimiza el costo total, satisfaciendo todas las demandas. Defina claramente variables, función objetivo y restricciones.
Distribución Variables de decisión x ijk
:
cantidad transportada entre el origen i y el destino j a través de la ruta k
y ijk
=
1
si la ruta k entre el origen i y el destino j es utilizada
0
si no
para i = 1 2 3 , j = 1 2 y k = A,B. ,
,
,
Función Objetivo Sea, para la ruta k entre el origen i y el destino j , cf ijk y cu ijk el costo fijo y el costo unitario respectivamente. 3
min
2
B
i =1 j =1 k =A
(cu ijk x ijk + cf ijk y ijk )
Distribución Restricciones Ofertas x 11A
+
x 11B + x 12A
+
x 12B
≤
200
x 21A
+
x 21B + x 22A
+
x 22B
≤
400
x 31A
+
x 31B + x 32A
+
x 32B
≤
600
Demandas x 11A
+
x 21A
+
x 31A
+
x 11B + x 21B + x 31B
=
300
x 12A
+
x 22A
+
x 32A
+
x 12B + x 22B + x 32B
=
500
Activación de variables x ijk ≤ M y ijk
parai = 1 2 3 j = 1 2 k = A B ,
,
,
,
No negatividad x ijk ≥ 0
parai = 1 2 3 j = 1 2 k = A B ,
,
,
,
Aceites
Una fábrica se dedica a la producción de aceite de cocina a partir de aceites vegetales y aceites no vegetales. Cada aceite requiere un proceso de refinamiento diferente. La fábrica tiene capacidad para refinar 210 litros de aceite vegetal y 260 litros de aceite no vegetal. Los aceites refinados son mezclados pudiendo venderse a $180 el litro del producto final. Existen 2 proveedores de aceite, cada uno ofreciendo dos variedades de aceite vegetal y tres variedades de aceite no vegetal. La siguiente tabla presenta el costo c ij , en pesos, ofrecido por cada proveedor
Proveedor 1 Proveedor 2
vegetal 1 115 110
vegetal 2 128 130
Aceites no vegetal 3 132 125
no vegetal 4 109 108
no vegetal 5 114 116
Aceites
Existe un costo fijo por ordenar al proveedor 1 de $2000 y al proveedor 2 de $2500, independiente de la variedad y cantidad de aceite ordenado. Finalmente, las siguientes condiciones se imponen sobre la producción de aceite: el producto final no puede estar compuesto de más de tres variedades de los aceites originales, y cualquier aceite, si es usado, debe usarse por lo menos 30 litros
Aceites
Variables de decisión x ij ≥ 0
:
w i
=
y ij
=
z j
para i = 1
=
, ...,
cantidad de aceite tipo i comprada al proveedor j
1 0
si se compra el aceite tipo i si no
1 0
si se compra el aceite tipo i al proveedor j si no
1 0
si se compra al proveedor j si no
5 y j = 1 2. ,
Aceites Restricciones 1
2
Capacidad de refinamiento x 11 + x 21 + x 12 + x 22
≤
210
x 31 + x 41 + x 51 + x 32 + x 42 + x 52
≤
260
Activación de variables x ij ≤ M y ij
3
para i = 1
, ...,
5 y j = 1 2
con M 1
,
Si se compra a cada proveedor
5
y ij ≤ 5 z j
para j = 1 2 ,
i =1 4
Mínimo a comprar x ij ≥ 30 y ij
para i = 1
, ...,
5 y j = 1 2 ,
Aceites 5
Utilización aceite tipo i
2
y ij ≤ 2 w i
para i = 1
, ...,
5
j =1 6
Cantidad máxima de aceites originales
5
w i ≤ 3
i =1
Función Objetivo
5
m« ax 180
2
5
x ij
i =1 j =1
2
−
i =1 j =1
c ij x ij − 2000 z 1 − 2500 z 2
