Mekanika Batuan-Analisis Tegangan.pdf

n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

ANALISIS TEGANGAN Ridho K. Wattimena Laboratorium Geomekanika FIKTM – ITB

©RKW

1

Mengapa mempelajari tegangan? n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

• Pada Pada mass massa a batu batuan an terd terdap apat at kond kondis isii tega tegang ngan an awal awal yang harus dimengerti, baik secara langsung maupun sebagai kondisi tegangan yang diterapkan pada analisis dan desain. • Sela Selama ma dila dilaku kuka kan n peng pengga gali lian an pada pada mass massa a batu batuan an kondisi tegangan akan berubah secara dramatik karena batuan batuan yang tadinya mengalami tegangan tegangan telah digali sehingga tegangan akan diredistribusikan. • Tegangan Tegangan merupakan merupakan besara besaran n tensor dan tensor tidak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. ©RKW

2

1

Skalar, Vektor, dan Tensor n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

• Skalar merupakan merupakan besaran yang hanya memiliki besar (contoh: suhu, waktu, massa). • Vektor Vektor merupa merupakan kan besaran besaran yang memiliki besar besar dan arah (contoh: gaya, kecepatan, percepatan) • Tensor Tensor merupak merupakan an besaran besaran yang memiliki besar besar dan arah serta bergantung kepada bidang tempat bekerjanya (contoh: tegangan, regangan, permeabilitas).

©RKW

3

Definisi Tegangan n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

Gaya-gaya yang bekerja pada sebuah titik O titik O dalam dalam suatu benda dapat diterangkan sebagai berikut • Untuk Untuk seti setiap ap arah arah OP melalui OP melalui O dapa dapatt dian diangg ggap ap bahw bahwa a bend benda a dapa dapatt dipo dipoto tong ng mela melalu luii suat suatu u bidang bidang kecil A melalui O dan normal terhadap OP terhadap OP.. • Permuk Permukaan aan pada pada sisi sisi P disebut sisi positif , sedangkan pada sisi lainnya disebut sisi disebut sisi negatif.

©RKW

4

2

Skalar, Vektor, dan Tensor n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

• Skalar merupakan merupakan besaran yang hanya memiliki besar (contoh: suhu, waktu, massa). • Vektor Vektor merupa merupakan kan besaran besaran yang memiliki besar besar dan arah (contoh: gaya, kecepatan, percepatan) • Tensor Tensor merupak merupakan an besaran besaran yang memiliki besar besar dan arah serta bergantung kepada bidang tempat bekerjanya (contoh: tegangan, regangan, permeabilitas).

©RKW

3

Definisi Tegangan n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

Gaya-gaya yang bekerja pada sebuah titik O titik O dalam dalam suatu benda dapat diterangkan sebagai berikut • Untuk Untuk seti setiap ap arah arah OP melalui OP melalui O dapa dapatt dian diangg ggap ap bahw bahwa a bend benda a dapa dapatt dipo dipoto tong ng mela melalu luii suat suatu u bidang bidang kecil A melalui O dan normal terhadap OP terhadap OP.. • Permuk Permukaan aan pada pada sisi sisi P disebut sisi positif , sedangkan pada sisi lainnya disebut sisi disebut sisi negatif.

©RKW

4

2

Definisi Tegangan (Lanjutan) n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

• Efek Efek dari dari gaya-g gaya-gaya aya interna internall di dalam benda adalah sama dengan dengan gaya gaya F yang dialami bend benda a pada pada sisi sisi posi positif tif.. Juga Juga akan terdapat kopel yang dapat dibaik dibaikan an karena karena A dianggap sangat kecil. • Nila Nilaii limi limitt dari dari ras rasio F/ A dengan A mendekati nol adalah vektor vektor tegangan tegangan pada pada titik titik O yang yang bek bekerja erja pada ada bidan idang g dengan normal pada arah OP arah OP.. ©RKW

5

Definisi Tegangan (Lanjutan) n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

• Vektor Vektor tegangan tegangan ini ini adalah adalah vektor vektor p pOP yang didefinisikan sebagai:

p OP

δF δ A →0 δA

= lim

©RKW

6

3

Konvensi Tanda n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

• Gaya-gaya Gaya-gaya yang dianggap dianggap positif positif adalah adalah gaya-gaya gaya-gaya tekan, yaitu yang yang bera berara rah h sepe sepert rtii yang yang ditunjukkan oleh F. • Hal ini ini berl berlaw awan ana an den dengan gan konvensi yang digunakan dalam teor teorii elas elastis tisita itas s dan dan meka mekani nika ka kontinu.

©RKW

7

Konvensi Tanda (Lanjutan) n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

• Dalam mekanik mekanika a batuan, batuan, akan lebih memuda memudahkan hkan untuk untuk menggunakan tegangan menggunakan tegangan tekan bertanda tekan bertanda positif positif karena: karena: – Kondisi tegangan tegangan (tegangan (tegangan in situ akibat overburden overburden,, tekanan pemampatan dalam peralatan-peralatan, dan tekanan fluida di dalam pori) selalu berupa tegangan tekan. – Konvensi ini digunakan digunakan juga juga di dalam dalam mekanika tanah tanah dan geologi struktur. – Banyak problem problem dalam mekanika batuan batuan menyangkut menyangkut gesekan gesekan pada permukaan dan dalam kasus ini tegangan normal pada permukaan adalah postif.

©RKW

8

4


• Perhatikan sebuah kubus dengan sisi paralel dengan sumbu x, y, dan z. • Tegangan-tegangan yang bekerja pada sisi kubus dapat dinyatakan dengan: – Tiga tegangan normal dan σzz

σxx, σyy,

– Enam tegangan geser τxy, τyx, τyz, τzy, τzx, dan τxz

©RKW

9

Konvensi Tanda (Lanjutan) • Arti subscript pada tegangan: n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

– Subscript pertama menunjukkan arah dari normal bidang dimana tegangan tersebut bekerja. – Subscript kedua menunjukkan arah dari tegangan tersebut.

• Catatan: Untuk tegangan normal, kadang-kadang hanya digunakan satu subscript. • Sebagai syarat kesetimbangan rotasional, maka semua gaya yang bekerja pada sisi kubus harus setimbang, sehingga: τxy = τyx, τyz = τzy, dan τzx = τxz

©RKW

10

5


• Konvensi tanda untuk komponen tegangan dapat didasarkan pada normal kedalam (inward normal) yaitu normal dari muka kubus yang berarah ke pusat kubus. • Tegangan yang searah dengan normal kedalam adalah positif.

©RKW

11


• Pada muka horisontal bagian atas yang paralel dengan bidang x-y, normal kedalam berarah ke arah sumbu z negatif . • Tegangan normal zz yang bekerja pada muka ini searah dengan arah normal kedalam, sehingga dianggap positif .

©RKW

12

6


• + zx dan + zy bekerja pada arah negatif sumbu x dan y. • Semua tegangan pada muka yang terlihat pada gambar di samping adalah positif. • Pada muka bagian bawah, normal kedalam berarah ke arah sumbu z positif, sehingga + zz berarah yang sama. ©RKW

13

Tegangan Dalam Dua Dimensi n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

• Perhatikan sebuah elemen bujursangkar dengan sisi yang sangat kecil pada bidang x-y dan tebal t. • Elemen ini mengalami tegangan normal σx, σy dan tegangan geser τxy = τyx.

©RKW

14

7

Tegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan) n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

• Akan ditentukan tegangan normal dan tegangan geser yang bekerja pada sebuah bidang yang normalnya membentuk sudut terhadap sumbu x dimana σx bekerja. • Perlu digunakan prinsip kesetimbangan gaya dalam sebuah segitiga yang sangat kecil dengan tebal t. ©RKW

15

Tegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan) • Panjang sisi segitiga: n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

– AB = a – OA = a sin θ – OB = a cos θ

• Untuk memenuhi kondisi kesetimbangan, seluruh gaya yang bekerja pada arah σ dan τ dalam keadaan setimbang.

©RKW

16

8

Tegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan) ΣFσ = n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

0

σ at = σx cosθ a cosθ t + τxy sinθ a cosθ t + σy sinθ a sinθ t + τyx cosθ a sinθ t

σ = σx cos2θ + σy sin2θ + 2τxy sinθ cosθ Dari trigonometri:

1 (1 + cos2θ ) 2 1 sin2θ = (1 − cos2θ ) 2 2 cos θ + sin2θ = 1 cos2θ =

2 sinθ cosθ = sin 2θ ©RKW

17


σ

=

σ

=

σ

=

σx

σy

(1 − cos2θ ) 2 σ cos2θ σx σ cos2θ σ y + x + − y + τ xy sin2θ 2 2 2 2 2

σx

(1 + cos2θ) + τ xysin2θ +

+ σ y ⎛ σ x − σ y ⎞ ⎟⎟cos2θ + τ xy sin2θ + ⎜⎜ 2 2 ⎝ ⎠

©RKW

18

9

Tegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan) ΣFτ = n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

0

τ at = -σx sinθ a cosθ t + τxy cosθ a cosθ t + σy cosθ a sinθ t - τyx sinθ a sinθ t

τ = (σy-σx)sinθcosθ + τxy(cos2θ-sin2q) Dari trigonometri:

sinθ cosθ =

1 sin 2θ 2

cos2θ − sin2θ = cos2θ

©RKW

19


⎛ σ − σ x ⎞ ⎟⎟sin2θ + τ xycos2θ τ = ⎜⎜ y ⎝ 2 ⎠ ⎛ σ − σ y ⎞ ⎟⎟sin2θ + τ xycos2θ τ = −⎜⎜ x ⎝ 2 ⎠

©RKW

20

10

Tegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan) Persamaan – persamaan : n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

σ

=

σx

+ σ y ⎛ σ x − σ y ⎞ ⎟⎟cos2θ + τ xy sin2θ + ⎜⎜ 2 2 ⎝ ⎠

⎛ σ − σ y ⎞ ⎟⎟sin2θ + τ xycos2θ τ = −⎜⎜ x 2 ⎝ ⎠ Memungkinkan kita untuk menentukan tegangan normal dan tegangan geser pada setiap bidang yang didefinisikan oleh untuk setiap kombinasi nilai x, y, dan xy. ©RKW

21


• Persamaan-persamaan yang diturunkan untuk σ dan τ dapat juga dilihat sebagai persamaan untuk menghitung σx’ dan τx’y’ pada sebuah sistem sumbu O,x’,y’ yang merupakan hasil rotasi sumbu O,x,y sebesar θ. • Tegangan σy’ dapat dihitung dengan mengganti θ dengan θ+90O ©RKW

22

11


Sehingga persamaan-persamaan untuk perubahan sumbu menjadi:

σx’ = σxcos2θ + 2τxysinθcosθ + σysin2θ σy’ = σxcos2(θ+90O) + 2τxysin(θ+90O)cos(θ+90O) + σysin2(θ+90O) σy’ = σxsin2θ – 2τxysinθcosθ + σycos2θ

©RKW

23

Tegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan) Dengan menjumlahkan n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

σx’ = σxcos2θ + 2τxysinθcosθ + σysin2θ dan σy’ = σxsin2θ – 2τxysinθcosθ + σycos2θ diperoleh

σx’ + σy’ = σx(cos2θ+sin2θ) + σy(cos2θ+sin2θ) σx’ + σy’ = σx + σy Jadi, hasil penjumlahan komponen-komponen tegangan normal yang saling tegak lurus adalah konstan atau invariant dengan perputaran sumbu. Ini merupakan sifat skalar dari tegangan dalam dua dimensi. ©RKW

24

12

Tegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan) Ekspresi untuk tegangan geser tidak berubah: n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

1 2

τx' y ' = − (σx − σy ) sin2θ + τ xycos2θ • Arah-arah dimana τ=0 disebut sumbu-sumbu utama (principal axes) dan komponen-komponen tegangan pada arah ini disebut tegangan-tegangan utama (principal stresses) dan dinotasikan dengan 1 dan 3. • Akan terdapat satu nilai tidak ada (τ=0).

θ untuk mana tegangan geser

©RKW

25


⎛ σ − σ y ⎞ τ = −⎜⎜ x ⎟⎟sin2θ + τxycos2θ ⎝ 2 ⎠ ⎛ σ x − σ y ⎞ 0 = −⎜⎜ ⎟⎟sin2 θ + τ xycos2θ ⎝ 2 ⎠ ⎛ σ x − σ y ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟sin2θ = τxycos2θ ⎝ 2 ⎠ 2τxy sin2θ = cos2θ σ x − σ y 2τxy tan 2θ = σx − σy ©RKW

26

13


• Sudut 2θ merupakan sudut dari sumbu x yang menunjukkan arah tegangan-tegangan utama σ1 dan σ3. • Karena tan 2θ = tan (2θ+180O) maka – Sudut θ merupakan arah σ1 – Sudut θ+90 merupakan arah σ3.

• Setelah sudut θ diperoleh, σ1 dan σ3 dapat dihitung dengan menggunakan persamaan untuk menghitung σ di depan.

©RKW

27


Tunjukkan bahwa σ1 dan σ3 dapat dinyatakan sebagai:

σ1 =

1 (σx 2

+ σy ) +

1 (σx 4

− σ y )2 + τ2xy

σ3 =

1 (σx 2

+ σy ) −

1 (σx 4

− σ y )2 + τ2xy

©RKW

28

14

Lingkaran Mohr Lihat kembali persamaan untuk menghitung σ dan τ n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

+ σ y ⎛ σ x − σ y ⎞ ⎟⎟ cos2θ + τ xy sin2θ + ⎜⎜ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎛ σ − σ y ⎞ ⎟⎟ sin2θ + τ xycos2θ τ = −⎜⎜ x ⎝ 2 ⎠

σ

=

σx

©RKW

29

Lingkaran Mohr (Lanjutan) n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

Kedua persamaan tersebut dapat ditulis kembali dengan menempatkan semua 2θ di sebelah kanan

⎛ σ − σ y ⎞ ⎟⎟ cos2θ + τxy sin2θ = ⎜⎜ x 2 2 ⎝ ⎠ ⎛ σ − σ y ⎞ ⎟⎟ sin2θ + τ xycos2θ τ = −⎜⎜ x 2 ⎝ ⎠

σ−

σx

+ σy

©RKW

30

15

Lingkaran Mohr (Lanjutan) Pengkuadratan persamaan yang mengandung σ menghasilkan: n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

2 ⎞ ⎛ σ x + σ y ⎞ ⎛ ⎛ σ − σ y ⎞ ⎜⎜ σ − ⎟⎟ = ⎜ ⎜⎜ x ⎟⎟cos2θ + τ xysin2θ ⎟ ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ 2

2

2

⎛ σ x + σ y ⎞ ⎛ σ x − σ y ⎞ ⎜⎜ σ − ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ cos2 2θ 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎛ σ − σ y ⎞ ⎟⎟τ xy sin 2θ cos 2θ + 2⎜⎜ x 2 ⎝ ⎠ + τ2xy sin2 2θ ©RKW

31

Lingkaran Mohr (Lanjutan) Pengkuadratan persamaan yang mengandung τ menghasilkan: n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

⎛ ⎛ σ − σ y ⎞ ⎞ ⎟⎟sin2θ + τ xycos2θ ⎟ τ = ⎜⎜ − ⎜⎜ x ⎟ ⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠

2

2

2 ⎛ σ x − σ y ⎞ ⎟⎟ sin2 2θ τ = ⎜⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎛ σ − σ y ⎞ ⎟⎟τ xy sin 2θ cos 2θ − 2⎜⎜ x 2 ⎝ ⎠ + τ2xycos2 2θ 2

©RKW

32

16

Lingkaran Mohr (Lanjutan) Penjumlahan kedua persamaan hasil pengkuadratan menghasilkan: n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

2 2 ⎛ σ x + σ y ⎞ ⎛ σ x − σ y ⎞ 2 ⎜⎜ σ − ⎟⎟ + τ = ⎜⎜ ⎟⎟ + τ2xy 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠

Persamaan apa yang mempunyai bentuk seperti ini?

PERSAMAAN LINGKARAN

©RKW

33

Lingkaran Mohr (Lanjutan) Persamaan umum lingkaran berbentuk: n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

(x − a)2 + (y − b)2 = R2

©RKW

34

17


Persamaan :

2 2 ⎛ σ x + σ y ⎞ ⎛ σ x − σ y ⎞ 2 ⎜⎜ σ − ⎟⎟ + τ = ⎜⎜ ⎟⎟ + τ2xy 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠

adalah Persamaan Lingkaran dengan:

Sistem sumbu σ, τ

⎛ σ x + σ y ⎞ ,0 ⎟⎟ 2 ⎝ ⎠

Titik pusat : ⎜⎜

2 ⎛ σ x − σ y ⎞ ⎟⎟ + τ2xy Jari - jari : ⎜⎜ ⎝ 2 ⎠

©RKW

35


©RKW

36

18


• Untuk memplot tegangan geser pada Lingkaran Mohr, digunakan konvensi tanda positif dan negatif yang hanya valid untuk keperluan presentasi grafis. • Tegangan geser diplot positif jika tegangan tersebut akan memutar elemen berlawanan dengan arah putaran jarum jam. • Tegangan geser diplot negatif jika tegangan tersebut akan memutar elemen searah dengan arah putaran jarum jam.

©RKW

37


+ + +

-

+ + + ©RKW

38

19

Lingkaran Mohr (Lanjutan)


©RKW

39


• Lingkaran Mohr merupakan metode grafis sederhana dan cepat yang dapat digunakan untuk: – Menentukan besar tegangan normal dan tegangan geser pada bidang tertentu. – Menentukan besar dan arah tegangan-tegangan utama.

©RKW

40

20

Latihan 1


•

Tentukan tegangan normal dan tegangan geser (ke arah mana?) yang bekerja pada Bidang C

•

Tentukan besar dan arah tegangan utama mayor ( σ1) dan tegangan utama minor (σ3)

©RKW

41

Latihan 1 (Lanjutan)


©RKW

42

21



Perhatikan Bidang C Normalnya bersudut 30O counter clockwise dari arah bekerjanya

x (sumbu

x)

ATAU Bersudut 30O counter clockwise dari bidang tempat

x bekerja

(Bidang A)

PADA LINGKARAN MOHR DIUKURKAN COUNTER CLOCKWISE 2 x 30O = 60O ©RKW

43


n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 Perhatikan A T

Bidang C

Normalnya bersudut 60O clockwise dari arah bekerjanya

y (sumbu

y)

ATAU Bersudut 60O clockwise dari bidang tempat

y bekerja

(Bidang B)

PADA LINGKARAN MOHR DIUKURKAN CLOCKWISE 2 x 60O = 120O ©RKW

44

22

Latihan 1 (Lanjutan) • Jadi secara grafis: n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

σ = 23.2 MPa τ = 3.9 MPa • Dengan menggunakan persamaan-persamaan terdahulu:

+ σ y ⎛ σ x − σ y ⎞ ⎟⎟ cos2 θ + τ xysin2θ + ⎜⎜ 2 2 ⎝ ⎠ ⎛ σ − σ y ⎞ ⎟⎟ sin2θ + τ xycos2θ τ = −⎜⎜ x 2 ⎝ ⎠

σ

=

σx

©RKW

45


+ σ y ⎛ σ x − σ y ⎞ ⎟⎟cos2θ + τ xy sin2θ + ⎜⎜ 2 ⎝ 2 ⎠ 22 + 6 ⎛ 22 − 6 ⎞ +⎜ σ= ⎟ cos60O + 6 sin600 2 ⎝ 2 ⎠ σ = 14 + 4 + 5.196 = 23.196 MPa σ


=

σx

⎛ σ − σ y ⎞ ⎟⎟sin2θ + τ xycos2 θ τ = −⎜⎜ x ⎝ 2 ⎠ 22 − 6 ⎞ τ = −⎛ ⎜ ⎟ sin60O + 6 cos60 O ⎝ 2 ⎠ τ = −6.928 + 3 = −3.928 MPa ©RKW

46

23

Latihan 1 (Lanjutan) Secara grafis: n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

σ = 23.2 MPa τ = 3.9 MPa

Dengan rumus: OK

σ = 23.196 MPa

OK?

τ = -3.928 MPa

©RKW

47



1 =

24 MPa

Bekerja pada bidang yang normalnya bersudut 18.5O counter clockwise dari arah bekerjanya x (sumbu x) ATAU Bekerja pada bidang yang bersudut 18.5O counter clockwise dari bidang tempat bekerjanya x (Bidang A) ©RKW

48

24



3 =

4 MPa

Bekerja pada bidang yang normalnya bersudut 108.5O counter clockwise dari arah bekerjanya x (sumbu x) ATAU Bekerja pada bidang yang bersudut 108.5O counter clockwise dari bidang tempat bekerjanya x (Bidang A) ©RKW

49

Latihan 1 (Lanjutan) • Dengan menggunakan persamaan-persamaan terdahulu: n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

σ1 =

1 (σx 2

+ σy ) +

1 (σx 4

− σ y )2 + τ2xy

σ3 =

1 (σx 2

+ σy ) −

1 (σx 4

− σy )2 + τ2xy

©RKW

50

25



σ1,3 =

1 2

1

(σ x + σ y ) ±

4

1

1

2 σ1,3 = 14 ± 10 σ1 = 24 MPa

4

σ1,3 = (22 + 6 ) ±

(σ x − σ y )2 + τ2xy

(22 − 6)2 + 62

σ3 = 4 MPa

©RKW

51



2θ = tan −1

2τ xy σx

− σy

2( 6) 22 − 6 12 2θ = tan −1 16 2θ = tan −1

2θ1 = 36.87O 2θ2

(

⇒ θ1 = 18.43O

)

= 180O + 36.87O ⇒ θ2 = 108.43O

©RKW

52

26

Latihan 1 (Lanjutan) Dari rumus :

Secara grafis : n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

σ1 = 24 MPa ⇒ θ1 = 18.5O

OK

σ1 = 24 MPa ⇒ θ1 = 18.43O

σ3 = 4 MPa ⇒ θ2 = 108.5O

OK

σ3 = 4 MPa ⇒ θ2 = 108.43O

©RKW

53



©RKW

54

27

Tegangan dalam 3 Dimensi • n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

Tegangan-tegangan yang bekerja pada sisi kubus dapat dinyatakan dengan: – Tiga tegangan normal σxx, σyy, dan σzz – Enam tegangan geser τ xy, τyx, τzy, τzx, dan τxz

τyz,

•

Sebagai syarat kesetimbangan rotasional : τxy = τyx, τyz = τzy, dan τzx = τxz

•

Tegangan-tegangan yang bekerja cukup dinyatakan dengan enam komponen ©RKW

55

Tegangan dalam 3 Dimensi (Lanjutan) n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

• Jadi, kondisi tegangan pada sebuah titik dapat dinyatakan dengan matriks tegangan [ ], sebagai berikut:

⎡ σ x τ xy τzx ⎤ ⎢ ⎥ [σ] = ⎢τ xy σ y τ yz ⎥ ⎢τzx τ yz σ z ⎥ ⎣ ⎦

©RKW

56

28

Transformasi Tegangan


•

Sumbu-sumbu referensi untuk penentuan kondisi tegangan dapat dilakukan secara bebas.

•

Sistem sumbu asal (x,y,z)

•

Sistem sumbu baru (l,m,n)

•

Orientasi dari sumbu tertentu, relatif terhadap sumbu-sumbu asal didefinsikan oleh sebuah vektor baris dari cosinus arah.

•

Cosinus arah adalah proyeksi dari vektor satuan yang paralel dengan salah satu sumbu baru (l, m, atau n) pada salah satu sumbu lama ( x, y, atau z). ©RKW

57

Transformasi Tegangan (Lanjutan) •

Cosinus arah sumbu l: lx = cos αl, ly = cos βl, lz = cos γl


©RKW

58

29


Cosinus arah sumbu m: mx = cos αm, my = cos βm, mz = cos γm


©RKW

59


Cosinus arah sumbu n: nx = cos αn, ny = cos βn, nz = cos γn


©RKW

60

30

Transformasi Tegangan (Lanjutan)


•

Tetrahedron OABC adalah bagian dari kubus yang digunakan untuk menentukan kondisi tegangan sebelum ini.

•

Untuk kesetimbangan, material yang dihilangkan digantikan oleh gaya penyeimbang sebesar t per unit luas yang bekerja pada ABC.

•

Normal bidang ABC, yaitu OP mempunyai cosinus arah ( λx, λy, dan λz).

©RKW

61

Transformasi Tegangan (Lanjutan) • n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

Jika luas ABC adalah A, maka proyeksi ABC pada bidangbidang dengan normal sumbusumbu x, y, dan z adalah: – OAC = Ax = Aλx – OAB = Ay = Aλy – OBC = Az = Aλz

•

Anggap komponen-komponen vektor traksi t adalah tx, ty, tz.

©RKW

62

31


Syarat kesetimbangan gaya pada arah x akan menghasilkan: tx A – σx Ax – τxy Ay – τzx Az = 0 tx A – σx Aλx – τxy Aλy – τzx Aλz = 0 atau tx = σxλx + τxyλy + τzxλz

•

Dengan menggunakan syarat kesetimbangan gaya pada arah y dan z, diperoleh:

©RKW

63

Transformasi Tegangan (Lanjutan) n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

⎡t x ⎤ ⎡ σ x τ xy τzx ⎤ ⎡λ x ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ t ⎥ = ⎢τ σ τ y xy y yz ⎥ ⎢λ y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ t z ⎥⎦ ⎢⎣τzx τ yz σ z ⎥⎦ ⎢⎣λ z ⎥⎦ atau

[t ] = [σ] [λ] •

Dengan melakukan hal yang sama untuk sumbu-sumbu l, m, dan n diperoleh:

©RKW

64

32


⎡ tl ⎤ ⎡ σl τlm τnl ⎤ ⎡ λl ⎤ ⎢t ⎥ = ⎢τ ⎥⎢ ⎥ ⎢ m ⎥ ⎢ lm σm τmn ⎥ ⎢λm ⎥ ⎢⎣ t n ⎥⎦ ⎢⎣ τnl τmn σn ⎥⎦ ⎢⎣ λn ⎥⎦ atau

[t *] = [σ *][λ *] •

[t], [t*], [l], dan [l*] adalah vektorvektor yang dinyatakan relatif terhadap sistem koordinat x,y,z dan l,m,n.

©RKW

65


Dari dasar-dasar analisis vektor (MA2132): Suatu vektor [v] ditransformasikan dari satu sistem sumbu x,y,z ke sistem sumbu l,m,n melalui persamaan transformasi:

⎡ vl ⎤ ⎡ l x ⎢v ⎥ = ⎢m ⎢ m ⎥ ⎢ x ⎢⎣ vn ⎥⎦ ⎢⎣ n x

l y m y n y

⎤ ⎡v x ⎤ ⎥⎢ ⎥ m z ⎥ v y ⎢ ⎥ n z ⎥⎦ ⎢⎣ v z ⎥⎦ l z

atau

[v *] = [R ][v]

©RKW

66

33


•

Matriks [R] adalah matriks rotasi yang baris-barisnya dibentuk oleh vektor baris cosinus arah dari sumbu baru terhadap sumbu asal.

•

Sifat khas matriks [R] adalah bahwa invers-nya sama dengan transpose-nya, atau:

[R]−1 = [R]T •

Kembali ke persamaan-persamaan yang menghubungkan [t] dan [t*] serta [ ] dan [ *]:

©RKW

67


[t *] = [R][t ] ⇒ [t ] = [R]T [t *] dan

[λ *] = [R][λ ] ⇒ [λ ] = [R]T [λ *] sehingga

[t *] = [R ][t ] = [R ][σ ][λ ] = [R ][σ ][R ]T [λ * ] karena

[t *] = [σ *][λ *] maka

[σ *] = [R][σ ][R]T atau dalam bentuk yang diperluas :

©RKW

68

34


⎡ σl τlm τnl ⎤ ⎡ lx ly lz ⎤ ⎡ σ x τ xy τzx ⎤ ⎡l x m x nx ⎤ ⎥⎢ ⎢τ ⎥ = ⎢m m m ⎥ ⎢τ ⎥ τ τ σm σy lm mn x y z xy yz ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢l y m y ny ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ τnl τmn σn ⎥⎦ ⎢⎣ nx ny nz ⎥⎦ ⎢⎣τzx τ yz σ z ⎥⎦ ⎢⎣lz mz nz ⎥⎦ Jadi, dengan melakukan perkalian matriks pada ruas kanan persamaan di atas, maka komponen-komponen tegangan akibat perputaran sumbu-sumbu dapat ditentukan

©RKW

69

Tegangan Utama n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

•

Seperti telah diuraikan sebelumnya, bidang utama (principal plane) adalah bidang dimana tidak terdapat tegangan geser.

•

Pada bidang ini hanya bekerja tegangan normal yang merupakan tegangan utama (principal stress), sedangkan normal dari bidang tersebut merupakan arah dari sumbu utama (principal axis).

•

Karena terdapat tiga acuan arah yang harus diperhitungkan, akan terdapat juga tiga sumbu utama.

•

Jadi, ada tiga tegangan utama dan tiga sumbu utama yang harus ditentukan untuk menggambarkan kondisi tegangan di sebuah titik.

©RKW

70

35

Tegangan Utama (Lanjutan) n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

•

Misalkan bahwa bidang ABC pada pembahasan terdahulu mempunyai orientasi sedemikian rupa sehingga resultan tegangan yang bekerja padanya hanya tegangan normal σp.

•

Komponen-komponen traksi pada bidang ABC adalah:

⎡t x ⎤ ⎡λ x ⎤ ⎢ t ⎥ = σ ⎢λ ⎥ p ⎢ y⎥ ⎢ y⎥ ⎢⎣ t z ⎥⎦ ⎢⎣λ z ⎥⎦ •

Pada pembahasan terdahulu komponen-komponen traksi dapat dihubungkan juga dengan kondisi tegangan dan orientasi bidang:

⎡t x ⎤ ⎡ σ x τ xy τzx ⎤ ⎡λ x ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢t ⎥ = ⎢τ ⎢ y ⎥ ⎢ xy σ y τyz ⎥ ⎢λ y ⎥ ⎢⎣t z ⎥⎦ ⎢⎣τzx τ yz σz ⎥⎦ ⎢⎣λ z ⎥⎦ ©RKW

71

Tegangan Utama (Lanjutan) • n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

Dengan mengurangkan kedua persamaan di atas, diperoleh:

⎡σ x − σp ⎢ ⎢ τ xy ⎢ τzx ⎣

τ xy σ y − σp τ yz

τzx ⎤ ⎡λ x ⎤ ⎥ τ yz ⎥ ⎢⎢λ y ⎥⎥ = [0] σ z − σp ⎥ ⎢ ⎦ ⎣λ z ⎥⎦

•

Persamaan matriks ini menunjukkan satu set dari tiga persamaan simultan yang homogen dalam λx, λy, dan λz.

•

Persamaan di atas akan mempunyai solusi non-trivial jika determinan dari matriks koefisien = 0, yang menghasilkan persamaan pangkat tiga:

©RKW

72

36

Tegangan Utama (Lanjutan) 3 σp


− I1σp2 + I2σp − I3 = 0 dimana I1 = σ x

I2 I3

+ σy + σz

(

= σ x σ y + σ y σ z + σ zσ x − τ2xy + τ2yz + τ2zx

= σ x σ y σ z + 2τ xy τ yz τzx −

(

2 σ x τ yz

)

+ σ y τ2zx + σ z τ2xy

)

I1 = Invariant tegangan (Stress invariant) pertama I2 = Invariant tegangan (Stress invariant) kedua I3 = Invariant tegangan (Stress invariant) ketiga

©RKW

73


Solusi dari persamaan 3

σp

− I1σp2 + I2σp − I3 = 0

adalah tiga tegangan utama, dengan urutan dari yang terbesar ke terkecil sebagai berikut:

σ1 = Tegangan utama mayor (Major principal stress) σ2 = Tegangan utama tengah (Intermediate principal stress) σ3 = Tegangan utama minor (Minor principal stress)

©RKW

74

37


Setiap tegangan utama akan berhubungan dengan sumbu utama, yang cosinus arahnya (λx,λy,λz) dapat dicari langsung dari persamaan matriks:

⎡σ x − σp ⎢ ⎢ τ xy ⎢ τzx ⎣

τ xy σ y − σp τ yz

τzx ⎤ ⎡λ x ⎤ ⎥ τyz ⎥ ⎢⎢λ y ⎥⎥ = [0] σ z − σp ⎥ ⎢ ⎦ ⎣λ z ⎥⎦

dan sifat dasar dari cosinus arah, yaitu:

λ2x + λ2y + λ2z = 1

©RKW

75


Brady & Brown (1993) mengusulkan bahwa untuk setiap tegangan utama σi (i =1,2,3), cosinus arahnya adalah:

(

)1 2

(

)1 2

(

)1 2

λ xi = A A 2 + B2 + C2 λ yi = B A 2 + B2 + C2 λ zi = C A 2 + B2 + C2 dengan A, B, dan C adalah:

©RKW

76

38

Tegangan Utama (Lanjutan) A


=

σy

τ yz σ z − σi

τ yz

B=−

C=

− σi

τ xy τ zx

τ xy τzx

τ yz σ z − σi σy

− σi

τ yz

©RKW

77


•

Prosedur untuk menghitung tegangan-tegangan utama dan orientasi dari sumbu utama secara sederhana adalah penentuan nilai-nilai eigen (eigenvalues) dari matriks tegangan dan vektor eigen (eigenvector ) dari setiap nilai eigen (Ingat: MA2132)

•

Karena ketiga sumbu utama saling tegak lurus, maka hasil perkalian skalar (dot product) dari vektor cosinus arahnya sama dengan nol:

λ x1λ x2 + λ y1λ y2 + λ z1λ z2 = 0 λ x 2λ x 3 + λ y 2λ y 3 + λ z 2λ z 3 = 0 λ x3λ x1 + λ y3λ y1 + λ z3λ z1 = 0 ©RKW

78

39


Karena penjumlahan komponen tegangan normal yang saling tegak lurus bersifat inv ariant (ingat materi terdahulu), maka: σ1 + σ 2

•

+ σ3 = σ x + σ y + σ z

Kedua hal ini dapat digunakan untuk memeriksa hasil perhitungan besar dan arah tegangan utama

©RKW

79

Latihan 2 n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

Tentukan besar dan arah tegangan-tegangan utama pada suatu titik jika keenam komponen tegangan pada t itik tersebut adalah

σx = 7.825 MPa τxy = 1.422 MPa σy = 6.308 MPa τyz = 0.012 MPa σz = 7.866 MPa τzx = -1.857 MPa

©RKW

80

40

Latihan 2 (Lanjutan) I1 = σ x n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

+ σ y + σ z = 22.0 MPa

( 2 z + 2τ xy τ yz τ zx − ( x τ yz +

)

I2

= σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x − τ2xy + τ2yz + τ2zx = 155.0 MPa

I3

= σ xσ yσ

σ

2

σ y τ zx

)

+ σ z τ2xy = 350.0 MPa

sehingga persamaan pangkat tiga untuk menghitung tegangan utama menjadi: 3

σp

− 22.0 σp2 + 155.0 σp − 350.0 = 0

yang menghasilkan: σ1 σ2 σ3

= 10.0 MPa = 7.0 MPa = 5.0 MPa ©RKW

81

Latihan 2 (Lanjutan) Mencari cosinus arah σ1: n a u A t a B a k i n a k B e M 1 1 1 3 A T C

=

σy

τ yz 6.308 − 10.0 0.012 − 3.682 0.012 = = = 7.857 σ z − σ1 0.012 7.866 − 10.0 0.012 − 2.134

τ yz

=−

=

− σ1

τ xy τzx

τ xy τzx

τ yz 1.422 0.012 1.422 0.012 =− =− = 3.012 σ z − σ1 − 1.857 7.866 − 10.0 − 1.857 − 2.134 σy

− σ1

τ yz

=

1.422

6.308 − 10.0

− 1.857

0.012

©RKW

=

1.422

− 3.692

− 1.857

0.012

= −7.38

82

41



(

)1 2 = 7.857 10.843 = 0.7246 (cos 43.60 )

(

)1 2 = 3.012 10.843 = 0.2778 (cos 73.90 )

(

)1 2 = − 6.839 10.843 = −0.6307 (cos 129.10 )

λ x1 = A A 2 + B2 + C2 λ y1 = B A 2 + B2 + C2 λ z1 = C A 2 + B2 + C2 Periksa:

λ2x1 + λ2y1 + λ2z1 = (0.7246 )2 + (0.2778) 2 + (-0.6307)2 = 1.0000

©RKW

83

Latihan 2 (Lanjutan) Mencari cosinus arah σ2: n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

A

=

− σ2 τ yz

B=−

C=

τ yz 6.308 − 7.0 0.012 − 0.692 0.012 = = = −0.599 σ z − σ2 0.012 7.866 − 7.0 0.012 0.866

σy

τ xy τzx

τ xy τzx

τ yz 1.422 0.012 1.422 0.012 =− =− = −1.254 σz − σ2 − 1.857 7.866 − 7.0 − 1.857 0.866 − σ 2 1.422 6.308 − 7.0 1.422 − 0.692 = = = −1.268 τ yz − 1.857 − 1.857 0.012 0.012

σy

©RKW

84

42


(

)1 2 = − 0.599 1.881 = −0.3186 (cos 108.60 )

(

)1 2 = − 1.254 1.881 = −0.6664 (cos 131.80 )

(

)1 2 = − 1.268 1.881 = −0.6740 (cos 132.40 )

λ x 2 = A A 2 + B2 + C2


λ y 2 = B A 2 + B2 + C2 λ z 2 = C A 2 + B2 + C2 Periksa:

λ2x2 + λ2y2 + λ2z2 = (−0.3186)2 + (-0.6664)2 + (-0.6740)2 = 0.9999

©RKW

85

Latihan 2 (Lanjutan) Mencari cosinus arah σ3: n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

A

=

− σ3 τ yz

B=−

C=

τ yz 6.308 − 5.0 0.012 1.308 0.012 = = = 3.749 σ z − σ3 0.012 7.866 − 5.0 0.012 2.866

σy

τ xy τzx

τ xy τzx

τ yz 1.422 0.012 1.422 0.012 =− =− = −4.098 σ z − σ3 − 1.857 7.866 − 5.0 − 1.857 2.866 − σ3 1.422 6.308 − 5.0 1.422 1.308 = = = 2.446 τ yz 0.012 − 1.857 − 1.857 0.012

σy

©RKW

86

43



(

)1 2 = 3.749 6.069 = 0.6177 (cos 51.80 )

(

)1 2 = − 4.098 6.069 = −0.6752 (cos 132.50 )

(

)1 2 = 2.446 6.069 = 0.4031(cos 66.20 )

λ x3 = A A 2 + B2 + C2 λ y3 = B A 2 + B2 + C2 λ z3 = C A 2 + B2 + C2 Periksa:

λ2x3 + λ2y3 + λ2z3 = (0.6177)2 + (-0.6752)2 + (0.4031)2 = 0.9999

©RKW

87

Latihan 2 (Lanjutan) Periksa ketegaklurusan sumbu utama 1 terhadap sumbu utama 2 n a u t a B a k i n a k e M 1 1 1 3 A T

λ x1λ x 2 + λ y1λ y 2 + λ z1λ z2 = (0.7246 )( −0.3186 ) + (0.2778 )( −0.6664 ) + ( −0.6307 )( −0.6740 ) = 0.009 ≈ 0 Periksa ketegaklurusan sumbu utama 2 terhadap sumbu utama 3

λ x 2λ x 3 + λ y 2λ y 3 + λ z 2 λ z 3 = ( −0.3186 )(0.6177 ) + ( −0.6664)( −0.6752) + ( −0.6740 )(0.4031) = − 0.018 ≈ 0 Periksa ketegaklurusan sumbu utama 3 terhadap sumbu utama 1

λ x3λ x1 + λ y3λ y1 + λ z3λ z1 = (0.6177 )(0.7246 ) + ( −0.6752)(0.2778 ) + (0.4301)( −0.6307 ) = 0.006 ≈ 0 ©RKW

88

44

Mekanika Batuan-Analisis Tegangan.pdf

Recommend Documents