Sciences Industrielles TD 1 - Enoncé
Cinématique chaînes fermées
MELANGEUR 1.
Description Le mécanisme dont le schéma cinématique est donné ci-dessous représente un mélangeur. Un moto-réducteur non représenté entraîne en rotation uniforme autour de l’axe (A, y 0 ) !
l’arbre d’entrée 1. Le déplacement de l’axe de transmission 3, ainsi produit, permet la rotation alternative de l’arbre récepteur 4 autour de l’axe (C, z 0 ) . !
2.
Dessin technique en coupe du mélangeur
B
2
1
3
4
A C
La pièce 2 est une sphère.
Page 1
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3.
Cinématique chaînes fermées
Repères associés aux solides B0 = R0 =( A; x0; y0; z 0) lié au bâti 0 !
!
!
B1 = R1 =( A; x1; y1; z 1) lié à l’arbre d’entrée 1 !
!
!
B2 = R2 =( B; x2; y2; z 2) lié à l’axe de transmission 3 !
!
!
B3 = R3 =( B; x3; y3; z 3) lié à la sphère 2 !
!
!
B4 = R4 =(C ; x4; y4; z 4) lié à l’arbre de sortie 4 !
4.
!
!
Paramétrage
L a gé omé trie : AB=l z 1 CB=λ z 3 AC =h y0 L a position angul air e des repè res les uns par rapport aux autr es. !
!
!
z4
x1 x 0
y0
z3
y0=y1
5.
z0
x0
y4
z1
Θ01
y4
Θ34 x3=x4
θ40
y3
z4=z0
x4
Torseurs cinématiques associés aux liaisons Li/j
{V
(Si / S j )}A
p ij = q ij r ij
u ij
v ij w ij
A
Ω(Si / S j ) = p ij x + q ij y + r ij z avec V(A, S / S ) = u x + v y + w z i j ij ij ij !
!
!
!
!
!
6.
!
!
TRAVAIL DEMANDE
Question 1 : Tr acer le graphe du mé cani sme en i ndi quant les li aisons Question 2 : Tracer le sché ma ci né matique du mé langeur en perspecti ve isomé tr ique et placer sur ce sché ma l es diffé rents r epères R0, R1,R2, R3 et R4. Question 3 :
Dé term iner l e tor seur é qui valent àl’ associati on des liaisons L perspecti ve isomé tr ique le sché ma ci né mati que mi nimal.
Question 4 :
Ecr ire la fer meture gé omé tr ique du mé can isme. Quel est le par amètr e d' entré e et quels sont les par amètr es de sor ti e ?
Question 5 :
Calcul er tan θ 40 , λ et cos θ 34 en fonction de tous les paramètr es utiles et notamment l, h et θ 01 .
Questi on 6 :
Ecrire la f ermetur e ciné matique du mé cani sme au point C dans l a base B 0 = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) . !
Questi on 7 : Questi on 8 : Page 2
!
12 et
L 23 , et tr acer en
!
Quell e est la mobilitédu mé canisme ? Dé termi ner la relation entr é e-sorti e soit par amètr es uti les.
r 40 en fonction de q 10 et de tous les
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Ciné matique chaînes fermé es
Questi on 1 : Tr acer le graphe du mé cani sme en indi quant les liaisons
L 01
Nom de la l iai son Pivot d’axe (A, y 0 )
L 21
Rotule de centre B
L 32 L 40
Pivot glissant d’axe ( B, z 2 ) Pivot d’axe ( C, z 4 )
L 34
Pivot d’axe ( C, x 4 )
Liaison
!
!
!
!
Qu estion 2 : Tracer le sché ma ciné matique du mé langeur en perspecti ve isomé tr ique et pl acer sur ce sché ma l es di ffé rents repè res R0, R1,R2, R3 et R4. z1 z0 z2
x4
z04
θ04
S2
B
y01
S3 θ01 C
S1
x0
S4 A
S0
S0
Questi on 3 : Dé termi ner l e tor seur é quivalent àl’ associati on des liaisons L 12 et L 23 La liaison équivalente à l'association en série des deux liaisons L 21 et L 32 est une liaison linéaire annulaire d’axe (B, z 2 ) . !
Sché ma ci né matique mi nimal :
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Ciné matique chaînes fermé es z1 z0
z04
z2 BA
S3 C
θ01
S1 S4 A
S0
S0
Questi on 4 : Ecrire la f ermeture gé omé tr ique du mé canisme. Quel est le par amètr e d' entré e et quels sont les paramètr es de sor ti e ?
AB + BC + CA = 0 lz1 − λz 3 − hy 0 = 0 !
(1)
!
!
!
!
Projection de (1) sur B 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) , on obtient : !
!
!
l sin θ 01 − λ sin θ 34 sin θ 40 = 0 − −λ θ h sin 34 cos θ 40 = 0 l cos θ − λ cos θ = 0 01 34 Question 5 : Calcul er tan θ 40 , λ et cos θ 34 en f onction de tous les paramè tr es uti les et notamment l, h et θ 01 . tgθ 40
=−
λ= cos θ 34 =
Page 2
l h
sin θ 01
l2 + h 2 l l
2
+h
2
cos θ 01
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Ciné matique chaînes fermé es
Questi on 6 : Ecr ire la fermeture ciné mati que du mé cani sme au point C dans la base B0 = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) . !
!
!
0 {V (S1 / S0 )}= q10 0
0
0 {V 0 C, B 0
p 43 {V (S 4 / S3 )}= 0 0
{V
(S1 / S 0 )}C
+ {V
p 31 (S3 / S1 )}= q 31 r 31
0
0 {V 0 C, B 4
(S3 / S1 )}C
+ {V
0 w 31 B, B3 0
0 (S 4 / S 0 )}= 0 r 40
(S 4 / S 3 )}C
− {V
0
0 C, B 4 0
(S 4 / S 0 )}C
= {0}
Ω(S1 / S 0 ) + Ω(S3 / S1 ) + Ω(S 4 / S 3 ) − Ω(S 4 / S 0 ) = 0 V(C, S / S ) + V(C, S / S ) + V(C, S / S ) − V(C, S / S ) = 0 1 0 3 1 4 3 4 0 !
!
!
!
!
!
!
!
(3)
!
!
(4)
Le calcul de V(C, S3 / S1 ) = V(B, S 3 / S1 ) + CB ∧ Ω(S 3 / S1 ) donne : !
!
!
α 31 − λβ 31 V(C, S3 / S1 ) = w 31z 3 + 0 ∧ β 31 = λα 31 λ γ 31 w 31 R 0
!
!
3
Projections de (3) et (4) sur B 4 = ( x 4 , y 4 , z 4 ) !
!
!
(1)
−q10 sinθ 40+
( 2)
q10 cosθ 40 + q31cosθ 34 + r 31sinθ 34
( 3)
p31
+ p43=0 =0
−q31sinθ 34 +r 31cosθ 34− r 40 =0 −λ q31
( 4)
=0
(5)
w31sinθ 34 +λ p31cosθ 34
=0
( 6)
w31 cosθ 34 −λ p31sinθ 34
=0
Questi on 7 : Quell e est la mobilitédu mé canisme ?
Les inconnues cinématiques sont : p 31 , q 31 , r 31 , w 31 , r 40 , q 10 et p 43 soit N c = 7 . Le rang cinématique r c = 6 . La mobilité du mécanisme vaut donc : m = N c
− r c = 1
Questi on 8 : Dé termi ner l a relation entr é e-sortie soit r 40 en f onction de q 10 et de tous les par amètr es uti les.
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Ciné matique chaînes fermé es
q 31
= =
r 31
= − q 10
w 31 p 43
= =
r 40
=
p 31
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0 0 cos θ 40 sin θ 34 0
q 10 sin θ 40 cos θ 40 − q 10 tgθ 34
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