Mecánica de materiales (Intro-323).pdf

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Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 11:41:42.

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C ontenido Capítulo 1 Introducción a la mecánica de materiales ...... 1 Introducción ............................................................................ ..........................................................................................................2 ..............................2 1.1 Hipótesis fundamentales fundamentales en mecánica de materiales.................5 Hipótesiss 1............. Hipótesi ............................ .............................. .............................. ............................... ............................... .............................. .............................. .............................. ....................5 .....5 Hipótesiss 3............. Hipótesi ............................ .............................. ............................... ............................... .............................. .............................. .............................. .............................. ....................7 .....7 Hipótesiss 4............. Hipótesi ............................ .............................. .............................. ............................... ............................... .............................. .............................. .............................. ....................7 .....7 Hipótesiss de Navier .............. Hipótesi ............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .................. ...9 9

1.2 Ley de Hooke y límite elástico........................................................... 10 1.3 Esfuerzos y deformaciones deformaciones lineales................................................. 15 Definiciones Definicio nes de esfuerzo .............. ............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .....................1 ......15 5 P

Restricciones de la fórmula s 5

A

.............................. ............... .............................. .............................. .............................. .............................. ................17 .17

Esfuerzo de aplast aplastamiento amiento ............... .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. ................18 .18 Esfuerzo de corte ............... .............................. .............................. ............................... ............................... .............................. .............................. ............................. ..................19 ....19

1.4 Esfuerzos y cargas permisibles .......................................................... 21 Factor Fact or de segurida seguridad d .............. ............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. ............... 21

1.5 Equilibrio de los cuerpos cuerpos deformables deformables ........................................... 23 Equilibrio Equilibri o de fuerzas concurre concurrentes ntes ........................................ ....................................................... .............................. .............................. .................... ..... 27 Momento de una fuerza............... .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .................... ..... 33 Pares de fuerzas ............... .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .................... ..... 37 . d e v r e s e r


Equilibrio Equilibri o de sistema sistemass de fuerza no concurre concurrentes ntes ............. ............................. ............................... .............................. ................... 42 Fuerzass distribui Fuerza distribuidas das .............. ............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. ............... 54

Preguntas de evaluación .............................................................................. ................................................................................ 60 Capítulo 2 Esfuerzo normal y deformación lineal........... 61 Introducción ............................................................................ ....................................................................................................... ...........................62 62 2.1 Definición de esfuerzo esfuerzo.......................................................................... 62 Esfuerzo ............. ............................ .............................. .............................. ............................... ............................... .............................. .............................. .............................. ...................... ....... 63 Tipos de de esfuerzo ............... .............................. .............................. .............................. .............................. ............................... ............................... .............................. ................... 67


VI

Contenido

2.2 Esfuerzos de tensión y compresión compresión en cuerpos ......................... 69 Factor Fact or de segurida seguridad d ............. ............................ .............................. .............................. ............................... ............................... .............................. .............................. ................73 .73 Factores que intervienen en la confiabilidad de un componente compon ente.......... .................... .................... .............77 ...77

2.3 Deformaciones ante esfuerzos esfuerzos normales...................................... 80 Relación Relació n esfuerzoesfuerzo-deformac deformación ión ............... .............................. .............................. ............................... ............................... .............................. .....................8 ......81 1 Esfuerzos de origen térmico............... térmico.............................. .............................. .............................. .............................. .............................. ............................ ............. 86

2.4 Relación de Poisson Poisson ................................................................... .............................................................................. ...........94 94 2.5 Esfuerzos cortantes ..................................................................... ................................................................................ ...........99 99 Cálculo Cálcul o del esfuerzo cortante ............................. ............................................ ............................... ............................... .............................. ....................... ........10 101 1 Esfuerzos en planos oblicuos .................................. ................................................. ............................... ............................... .............................. ..................106 ...106

Preguntas de evaluación .................................................................... ............................................................................ ........ 11 110 0

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Capítulo 3 Torsión....................... Torsión................................................ ........................................ ............... 111 Introducción ............................................................................... .................................................................................................... ..................... 11 112 2 3.1 Momentos torsionantes .................................................................... 11 116 6 3.2 Consideracion Consideraciones es básicas sobre el caso de torsión .................. 11 117 7 3.3 Momento polar de inercia................................................................ 12 120 0 3.4 Esfuerzos durante la torsión ........................................................... 12 127 7 3.5 Transmisiones mecánicas mecánicas ................................................................. 13 134 4 3.6 Torsión de de ejes ............................................................................ ..................................................................................... ......... 142 3.7 Ejes giratorios (árboles de transmisión) transmisión)...................................... 146 3.8 Acoplamiento de ejes ........................................................................ 149 3.9 Casos hiperestáticos ................................................................... ........................................................................... ........ 15 153 3 Preguntas de evaluación.................................................................... evaluación ............................................................................ ........ 15 158 8 Capítulo 4 Vigas ...................... ............................................... ............................................ ...................159 159 Introducción ............................................................................... .................................................................................................... ..................... 160 4.1 Elementos sujetos a flexión flexión ............................................................. 163 4.2 Esfuerzo de elementos sujetos sujetos a flexión .................................... 17 170 0 Deducción Deducci ón de la fórmula de la flexión ............... .............................. .............................. .............................. .............................. ..................... ......17 171 1 Ejemplo de elemento elementoss sujetos a flexión ............................ ............................................ ............................... .............................. .................. ... 17 172 2


Contenido

4.3 Esfuerzos y deformaciones deformaciones .............................................................. 180 Diagrama de fuerzas cortantes y momentos flexionantes ............................................180 Fuerzass cortantes y momento Fuerza momentoss flexionan flexionantes tes .................... ................................... .............................. .............................. ....................180 .....180 Diagramas de momentos flexionantes y fuerzas cortantes ..........................................181 Convención Convenci ón de signos .............. ............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .......................182 ........182 Construcción de diagramas de fuerzas cortantes y momentos flexionantes .........183 Consideraciones especiales para el trazo de diagramas de fuerzas cortantes y momentos momentos flexionantes flexionantes............... .............................. .............................. .............................. ............................... ............................... ..............................206 ...............206 Localización de puntos de momento máximo............... máximo............................... ............................... .............................. .................... .....20 207 7 Cálculo Cálcul o de momentos por suma de áreas.... áreas................... .............................. .............................. .............................. .........................211 ..........211

4.4 Pares.................................................................... ......................................................................................................... ..................................... 21 214 4 4.5 Diseño de vigas que tienen tienen formas geométricas geométricas simples.... simples.... 21 217 7 Diseño usando perfiles estándar y comerci comercial al ................. ................................. ............................... .............................. ....................220 .....220

4.6 Esfuerzo cortante en en el diseño....................................................... 222 Preguntas de evaluación ............................................................................ 230 Capítulo 5 Esfuerzos combinados ...................... .................................... ..............233 233 Introducción ............................................................................ .................................................................................................... ........................ 234 5.1 Esfuerzos normales simultáneos simultáneos ................................................... 235 5.2 Combinación de esfuerzos esfuerzos cortantes........................................... 244 5.3 Estado general general de esfuerzos ........................................................... 248 Convención Convenci ón de signos .............. ............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .......................250 ........250 . d e v r e s e r


Esfuerzos principa principales les ............. ............................ .............................. .............................. ............................... ............................... .............................. .........................251 ..........251 Esfuerzos cortantes máximos........................................ ....................................................... .............................. .............................. ............................252 .............252 Círculo de Mohr ............. ............................ .............................. ............................... ............................... .............................. .............................. .............................. ....................255 .....255 Construcción Construc ción del círculo de Mohr ........................ ....................................... ............................... ............................... .............................. ....................255 .....255

5.4 Esfuerzos normales normales combinados con torsión ........................... 259 5.5 Análisis de deformaciones planas ................................................. 27 271 1 Análisiss de deformac Análisi deformaciones iones unitaria unitariass......................... ........................................ ............................... ............................... ..............................271 ...............271 Galgas extensométricas de resistencia eléctrica ...............................................................276 Rosetas .............. ............................. .............................. ............................... ............................... .............................. .............................. .............................. .............................. .................... .....27 278 8 Roseta rectangular y el círculo de Mohr ..............................................................................280

Preguntas de evaluación ............................................................................ 284 Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 11:42:40.

VII

VIII

Contenido

Capítulo 6 Teoría de columnas ...................... ......................................... ...................285 285 6.1 Introducción a la teoría de columnas........................................... 286 6.2 Definiciones ...................................................................... ........................................................................................... ..................... 28 287 7 Columna.............. ............................. .............................. .............................. ............................... ............................... .............................. .............................. .............................. .................. ...28 287 7 Pandeo............... .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .............................. .....................288 ......288 Relación Relació n de esbeltez.......................................... ......................................................... .............................. .............................. .............................. ............................289 .............289 Procedimiento para calcular la relación de esbeltez .......................................................292 Carga crítica. Fórmula de Euler para columna fundamental ........................................293 Cargas y esfuerzos críticos para columnas con diferentes condiciones condicio nes de soporte ............... .............................. .............................. ............................... ............................... .............................. .............................. ..................300 ...300 ¿Cómo se diseña una columna columna?............ ?........................... ............................... ............................... .............................. .............................. ....................308 .....308 Fórmulas para columnas del AISC (American Institute of Steel Construction) .....311 La fórmula de J.B. Johnson ................. ................................ .............................. .............................. .............................. .............................. ..........................313 ...........313 ¿Qué hacer cuando cambian las condiciones de soporte en los extremo extremoss de una columna? ........................ ....................................... ............................... ............................... .............................. .................. ...31 314 4 La fórmula de la secante ..................... .................................... .............................. .............................. .............................. .............................. ..........................325 ...........325

Preguntas de evaluación .................................................................... ............................................................................ ........ 335 Capítulo 7 Métodos energéticos ....................... ...................................... ...............337 337 Introducción ............................................................................... .................................................................................................... ..................... 338 7.1 Fundamento Fundamentoss del tema (conceptos básicos) ............................ 338 Energía de deformac deformación ión .............. ............................. .............................. .............................. ............................... ............................... .............................. ..................338 ...338 . d e v r e s e r


Energía complem complementaria entaria de deformac deformación ión ............... ............................... ............................... .............................. ............................339 .............339 Energía específic específicaa de deformac deformación ión........................ ........................................ ............................... .............................. .............................. ..................340 ...340 Energía de deformac deformación ión en barras.... barras................... .............................. .............................. .............................. .............................. .........................342 ..........342

7.2 Desplazamiento Desplazamientoss virtuales ................................................................ 355 7.3 Trabajo virtual ..................................................................... ......................................................................................... .................... 359 Método del trabajo virtual .............. ............................. .............................. ............................... ............................... .............................. ............................360 .............360 Teorema T eorema de de Castigliano Castigliano ............... .............................. .............................. ............................... ............................... .............................. .............................. ..................362 ...362 Segundo teorema de Castig Castigliano liano ........................... .......................................... ............................... ............................... .............................. ..................364 ...364

7.4 Carga dinámica: Impacto ................................................................... 367 Esfuerzo y deflexión producidos por impacto lineal y a la flexión .............................369

Preguntas de evaluación .................................................................... ............................................................................ ........ 37 379 9 Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 11:42:51.

Contenido

Apéndice I Equivalenc Equivalencias ias y conve conversion rsiones es

Apéndice II Repase de estática

Apéndice III Deflexión en vigas y vigas hiperstáticas

Apéndice IV Propiedades físicas promedio de materiales comunes

Apéndice V Diagramas de vigas

Apéndice VI Propiedades geométricas de áreas planas

Apéndice VII Propiedades de dimensiones estándar de piezas de madera

Apéndice VIII Perfiles laminados de acero estructural

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Apéndice IX Rescas estándar para tornillos

Apéndice X Dimensiones y propiedades de tubos

Apéndice XI Esfuerzo de compresión admisible para acero de 36 Klb/in2

Apéndice XII Fundame Fundamentos ntos de mecánica de materiales


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CAPÍTULO 1

1

Introducción a la mecánica de materiales

Con qué saberes cuento… . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C



¿Qué es la mecánica de los materiales?



¿Qué son los materiales en la ingeniería?



¿Qué científicos conoces que contribuyeron al desarrollo de la mecánica de materiales?



¿Qué antecedentes conoces acerca de la mecánica de materiales?



¿Qué hace un ingeniero?



¿Qué es diseñar?



¿Por qué no se caen los edificios?



¿Cómo se clasifican los materiales?



¿En qué se diferencia la mecánica de materiales de la resistencia de materiales?



¿Qué entiendes por equilibrio y por cuerpos rígidos?



¿Cuáles son los criterios o hipótesis utilizados en la mecánica de materiales?



¿En qué radica la importancia del estudio de la mecánica de materiales?


2

Mecánica de materiales. Teoría y aplicaciones

Introducción La mecánica de materiales es una disciplina básica y esencial en la ingeniería debido a que estudia el comportamiento mecánico de todo tipo de estructuras, además de que examina las deformaciones y el desplazamiento provocados por cargas que actúan sobre estas estructuras y sus componentes. Por esta razón es fundamental para el diseño y el cálculo seguro de todo tipo de máquinas y estructuras. En este capítulo se revisan los antecedentes de la mecánica de materiales a través de un eje cronológico y geográ�co, a �n de mostrar la importancia de su uso en el desarrollo tecnológico en las distintas zonas geográ�cas de nuestro planeta. Asimismo, se hace una descripción de las propiedades y las características mecánicas de los materiales empleados con mayor frecuencia en ingeniería. Por último, también se presentan las recomendaciones e hipótesis utilizadas para el desarrollo de problemas en mecánica de materiales, con el objetivo de resolverlos en forma lineal. De igual modo, a lo largo de este capítulo se aborda el tema del equilibrio de los cuerpos deformables. De acuerdo con Luis Ortiz Berrocal: La mecánica de materiales tiene como objetivo analizar el comportamiento de los sólidos deformables y fijar criterios que permitan definir el material, la forma y las dimensiones adecuadas que hay que dar a estos sólidos cuando se les emplea como elementos de una construcción o de una máquina, a fin de que puedan resistir la acción de una determinada solicitación exterior y obtener los resultados de la forma más económica posible. 1

Por lo anterior, la mecánica de materiales se puede de�nir como: El estudio de las propiedades de los cuerpos sólidos que les permite resistir la acción de las fuerzas externas, el estudio de las fuerzas internas en los cuerpos y de las deformaciones provocadas por los estados de solicitación de las fuerzas externas. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

A diferencia de la estática, disciplina que estudia las fuerzas que se inducen en los diferentes componentes de un sistema analizándolo como cuerpo rígido, la mecánica de materiales se ocupa del estudio de los efectos causados por la acción de las cargas externas que actúan sobre un sistema deformable. Por lo común, los conceptos de mecánica de materiales y resistencia de materiales se entremezclan y confunden, al grado que en determinados momentos se consideran semejantes; sin embargo, existen diferencias conceptuales entre ambas disciplinas que las diferencian. La resistencia de materiales es un área de la física que se dedica al estudio del comportamiento de los cuerpos sólidos mediante el análisis de la relación entre las cargas aplicadas a un cuerpo deformable y la intensidad de las fuerzas internas que actúan sobre éste; en otras palabras, estudia el comportamiento de los cuerpos sólidos sometidos a diferentes tipos de carga por medio del análisis del comportamiento de sus deformaciones. 1

Ortiz Berrocal, L. (2007). Resistencia de materiales . 3ª Ed. Madrid, España: McGraw-Hill.



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Su estudio es importante porque proporciona los elementos fundamentales para determinar las capacidades de carga de los elementos utilizados en ingeniería. La teoría de la resistencia de materiales tiene como objeto determinar los métodos que permiten determinar los materiales, las formas y las dimensiones adecuadas que requieren los elementos de una estructura o máquina para resistir o transmitir la acción de fuerzas exteriores y de esa forma cumplir la función para la que fue diseñada. Es importante mencionar que una estructura es un elemento diseñado para resistir o transmitir cualquier tipo de carga, como pernos, pasadores, engranes, piezas metálicas, vigas, entre otros. En tanto la mecánica de materiales considera aspectos tales como: Forma y dimensiones del material Fuerzas externas aplicadas Fuerzas internas Rigidez de la estructura (medida de la deformación del material) Aplica el método de las secciones que consiste en hacer cortes o secciones en la región donde se determinarán las cargas internas La razón principal de la mecánica de materiales es determinar los esfuerzos, las deformaciones unitarias y los desplazamientos en estructuras y sus componentes, producidas por las cargas que actúan en éstas. La determinación de estos valores, incluso de aquellos que provocan una falla, permite obtener una representación completa del comportamiento mecánico de las estructuras y(o) los componentes de dichas estructuras. Comprender el comportamiento mecánico es esencial en la ingeniería, para diseñar de forma segura estructuras y componentes. Los ejemplos y problemas que se ilustran en toda esta obra utilizan el Sistema Internacional de Unidades (SI), así como el Sistema Inglés de Unidades de uso acostumbrado en Estados Unidos de América. En el Apéndice A se encuentran ambos sistemas de unidades y tablas de factores de conversión. » » » » »

A ctividades de aprendizaje . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

1. En equipos organizados por el profesor, analicen los antecedentes históricos de la mecánica de

materiales y elaboren su propia línea de tiempo con los materiales físicos o digitales disponibles.



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2. Investiga y relaciona la columna de las aportaciones a la mecánica de materiales con el o los persona-

jes que desarrollaron cada una de éstas. (

) Estudió la resistencia a la �exión de las vigas en voladizo.

(

) Ley de la reciprocidad de las tensiones.

(

) En su libro De Potentia Restitutiva (1679) estableció la ley que relaciona fuerzas y deformaciones.

a) Dureza b) Fragilidad c) Tenacidad

(

) Creación de la fórmula de pandeo.

(

) El traslado de este obelisco del Monte Vaticano a la Plaza de San Pedro en 1586 fue una prueba de ingeniería que signi�có el esfuerzo de 900 hombres, 75 caballos, innumerables poleas y centenares de metros de cuerda.

d) Resistencia a la fluencia

) Construyeron grandes ciudades, pero carecían de reglas para estimar la resistencia de las vigas y columnas que usaban.

f)

(

e) Maleabilidad Elasticidad

g) Penetrabilidad

(

) Estudió la resistencia de los cuerpos sometidos a fuerzas en las dos formas de resistencia.

h) Plasticidad

(

) Aplicó los multiplicadores de LaGrange al análisis matemático en estructuras mecánicas.

i)

Resilencia

(

) Su experiencia como ingeniero lo llevó a investigar la resistencia de materiales y a determinar las fuerzas que afectan a objetos sobre vigas, contribuyendo, de esa manera, al campo de la mecánica estructural.

j)

Fatiga

k) Alargamiento

3. Re�exiona y responde las siguientes preguntas. Entrega a tu profesor.


a) ¿En qué se basaron para realizar las construcciones en la época prehispánica? b) Menciona al menos tres grandes construcciones de las civilizaciones antiguas y cómo se aplicó la mecánica de materiales. c) Describe y diagrama el experimento de Robert Hooke mediante el cual estableció la ley que relaciona las fuerzas y deformaciones. d) Investiga la función de Airy y escribe para qué sirve. e) Investiga y describe el eorema de Cauchy. f ) ¿Cómo se llama el libro que escribió Galileo Galilei que se considera como la base de la elasticidad y la resistencia de materiales? g) Investiga en diferentes fuentes y describe los aportes de Claude-Louis Marie Henri Navier a la mecánica de materiales. h) ¿Qué es el coe�ciente de Poisson?



Resuelve los siguientes ejercicios 1. Asocia las columnas según corresponda a las propiedades mecánicas de los materiales. (

( (

(

(

(

(

) Se re�ere a la capacidad de un material para ser conformado en láminas delgadas sin romperse. ) Indica la fuerza necesaria para que un material se rompa. ) Es la propiedad de los materiales de recuperar su forma original al cesar el esfuerzo que los deformó. ) Es la capacidad que tienen los materiales de mantener la forma que adquieren al estar sometidos a un esfuerzo que los deforma. ) Propiedad de un material de romperse con facilidad sin que se produzca deformación elástica. ) Se re�ere a la capacidad de un material para ser conformado en láminas delgadas sin romperse. ) Indica la fuerza necesaria para que un material se rompa.

a) Dureza b) Fragilidad c) enacidad d) Resistencia a la �uencia e) Maleabilidad f) Elasticidad g) Penetrabilidad h) Plasticidad i) Resilencia j) Fatiga k) Alargamiento

2. Investiga los conceptos de las propiedades de los materiales que no fueron asociadas en la actividad

anterior y escríbelos a continuación: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

1.1 Hipótesis fundamentales en mecánica de materiales Para el estudio de la mecánica de materiales es preciso establecer simpli�caciones que ayuden a abordar la problemática de análisis de cada uno de los casos desde un punto de vista operativo, con el objeto de evitar procesos en la solución que, aunque más precisos, por su di�cultad no tengan sentido en la solución que presentan. Con base en esta premisa, en esta obra se aborda un análisis de mecánica de materiales asumiendo como bases de análisis las hipótesis que se explican a continuación.

Hipótesis 1 En primera instancia, se establece la idealización y el modelo del problema; luego, se hacen suposiciones acerca de los elementos, las cargas aplicadas y los apoyos (reacciones).


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A continuación se enuncian algunos ejemplos de idealizaciones que se emplean al modelar el problema: Los objetos �nitos normalmente se modelan como partículas; por ejemplo, cuando se determinan las fuerzas que actúan sobre el nodo de una armadura. Los cuerpos deformables se representan como cuerpos rígidos; por ejemplo, cuando se determinan las reacciones de una viga o las fuerzas en los elementos de una armadura. Simpli�cación de la geometría y formas de los objetos; por ejemplo, cuando se a�rma que la ierra es una esfera o que una viga es perfectamente recta. Las fuerzas distribuidas que actúan sobre máquinas y estructuras se pueden representar mediante fuerzas concentradas equivalentes. Ignorar los efectos de las cargas que son muy pequeñas comparadas con otras que no lo son, razón por la cual son despreciadas; por ejemplo, en ocasiones la fuerza de fricción se puede considerar de esta manera. Los soportes de estructuras se consideran �jos. »

»

»

»

»

»

Hipótesis 2 Se in�ere que todos los materiales se comportan perfectamente elásticos. En la �gura 1.1 se muestra la relación de proporcionalidad entre esfuerzo y deformación; linealidad de los materiales en donde las tensiones y deformaciones están relacionadas linealmente. s

Esfuerzo de fractura real

f

Esfuerzo último d


Límite proporcional a

b

Región elástica

Comportamiento elástico

Límite elástico

Fluencia

c

Límite de �uencia superior

Endurecimiento por deformación

e Esfuerzo de fractura o ruptura

Estricción

Comportamiento plástico

Figura 1.1 Diagrama esfuerzo-deformación de un material.

La elasticidad es la propiedad del material que le permite recuperar su forma y dimensiones originales una vez retirada la acción de la carga. Para que el material se comporte elásticamente perfecto es necesario que cumpla la ley de Hooke, la cual establece que los esfuerzos son proporcionales a las deformaciones y se representa con la siguiente fórmula:



s L e

(1.1)

Donde: s 5 Esfuerzo

a inlb b 2

e 5 Deformación unitaria (adimensional)

Dada esta proporcionalidad, para volver una identidad que relacione directamente los esfuerzos con las deformaciones, es necesario agregar a esa proporción una constante denominada: E, llamada módulo de elasticidad o de Young, la cual es constante y propia de cada material y se representa con la siguiente fórmula: s L E e

(1.2)

Donde: E : módulo de Young en lb/in 2, N/m2.

Un material elástico no cumple necesariamente la ley de Hooke; no obstante, todo material que cumple dicha ley es elástico.

Hipótesis 3


Se supone que el material no contiene vacíos interiores, lo que signi�ca que es continuo. Las propiedades de los materiales son iguales en cualquier punto, son homogéneos y sus propiedades son iguales en cualquier dirección; es decir, son materiales isotrópicos. Los materiales, de acuerdo con sus características, se clasi�can en cinco clases: 1. Homogéneos 2. Heterogéneos 3. Isotrópicos 4. Anisotrópicos 5. Ortotrópicos

Hipótesis 4 Linealidad geométrica. Los desplazamientos son pequeños en comparación con las dimensiones de la estructura. De este modo, se cumple la teoría de los desplazamientos pequeños. Las ecuaciones de equilibrio se pueden establecer en función de la geometría original de la estructura. En mecánica de materiales existen tres principios generales que se describen a continuación. Principio de rigidez relativa a los sistemas elásticos

Al aplicar el sistema exterior de fuerzas, la forma del sólido no varía en forma significativa. Por tanto, las condiciones de equilibrio se expresan como si el sólido deformado tuviera la misma forma y las mismas dimensiones que antes de producirse la deformación.


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8


Principio de superposición de efectos

Es aplicable a los sistemas en los que las relaciones entre fuerzas exteriores y desplazamientos son lineales y en los que las líneas de acción de las fuerzas no quedan modificadas en forma significativa por los desplazamientos. Expresa que el estado de equilibrio, debido a varias acciones exteriores, es igual a la superposición de las soluciones que corresponden a cada uno de los estados, si cada acción exterior actuara independientemente. Dicho de otra forma, los desplazamientos y las tensiones en un punto de un sólido elás tico sometido a varias fuerzas exteriores directamente aplicadas son, respectivamente, la suma de los desplazamientos y las tensiones que se producen en dicho punto por cada fuerza actuando aisladamente.

Una consecuencia inmediata que se deduce del citado principio es que el estado �nal del cuerpo no depende del orden en que se apliquen las fuerzas. La aplicación de este principio es válida para sistemas en los que las relaciones entre fuerzas exteriores y desplazamientos son lineales; en otras palabras, las tensiones son proporcionales a las deformaciones; es decir, sistemas en los que se veri�ca la ley de Hooke (véase ecuación 1.1). Este principio es de gran utilidad, dado que permite dividir el caso de una solicitación general, que puede ser compleja. Asimismo, también es de gran ayuda en casos sencillos, al hacer actuar por separado las diversas fuerzas o acciones de cualquier tipo, como pueden ser variaciones térmicas, asientos de los apoyos de una estructura, etcétera. A pesar de que el principio de superposición es de aplicación generalizada a los sistemas elásticos, éste tiene sus limitaciones. Por tanto, no es válido en los casos en los que no es aplicable el principio de rigidez que se trató con anterioridad. Ni en los casos en los que los efectos de las fuerzas no son independientes de las deformaciones, como ocurre en el ejemplo en la viga recta AB que se muestra en la �gura 1.2, sometida a una fuerza de compresión F y a una carga P aplicada en la sección media de AB. A

B

F . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

F

P A

B

y

B

F

F P

Figura 1.2 Representación del principio de superposición de efectos.

Como se puede apreciar en la �gura 1.2, si las fuerzas F y P se aplican simultáneamente, la deformación de la línea media de la viga es diferente que si se aplica P por una parte y F por otra, separadamente, ya que la fuerza no produce ningún desplazamiento en la dirección del eje y



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cuando actúa sola. Por el contrario, si ambas fuerzas actúan en forma simultánea, el momento producido por F aumenta la deformación producida por P . En este caso, se cumple el principio de Saint-Venant , que a�rma que los esfuerzos que actúan en una sección distante al punto de aplicación de la carga tienen una distribución uniforme . Principio de Saint-Venant

Se fundamenta en el análisis de las fuerzas internas, aquellas que actúan entre las partículas constituyentes de un material y que se oponen al cambio de forma y dimensiones (deformación) del cuerpo solicitado.

El principio de Saint-Venant establece que el valor de las fuerzas interiores en un punto de un cuerpo (sólido) que se sitúa a una distancia su�cientemente lejana del punto de aplicación de la “carga” depende muy poco del modo de aplicación de la misma. Resulta muy interesante resaltar que la aplicación de este principio permite sustituir (con ciertas reservas) un sistema de fuerzas por otro estáticamente equivalente, lo que ayuda a un gran número de casos a establecer simpli�caciones que favorecen el análisis. (Suárez Riestra)

Hipótesis de Navier Establece que las secciones planas permanecen planas después de la deformación. Sean DE y CF las trazas de los planos que contienen a dos secciones rectas inde�nidamente próximas de un prisma mecánico sometido a �exión pura (véase �gura 1.3). y M

M y z

dx


P

y

M

M D

C

J

P

M

N

dx

d

Mf

B

A E

H

F

Figura 1.3 Hipótesis de Navier.

Si algunas �bras se alargan y otras se acortan, por la continuidad de las deformaciones, entonces existirá una �bra neutra que no experimente variación de longitud alguna. Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 07:48:02.

Y máx y

10


Sea AB la traza de la super�cie neutra, cuyo radio de curvatura es r. Es fácil demostrar que los triángulos MNB y AB0 son semejantes. Por tanto: MN AB

5

MB A0

(1.3)

Donde: MN 5 Ddx ;

AB 5 dx ;

MB 5 y ;

A0 5 r

Así se tiene: Ddx

dx

5

y r

(1.4)

En virtud de la ley de Hooke resulta: Ddx

dx

s

5e5

E

Por tanto: s

E

5

y r

Lo que es lo mismo: s52

E s

(1.5)

El signo negativo se re�ere al hecho que para la ordenada y positiva la tensión s es de compresión, y suponiendo positivo el radio de curvatura. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Como el cociente

E r

es constante en cada sección, entonces se puede enunciar:

En una sección sometida a flexión pura, los módulos de las tensiones que se ejercen sobre las distintas fibras son directamente proporcionales a sus distancias a la fibra neutra.

La representación grá�ca de dichas tensiones es lineal (véase �gura 1.2), por lo que, como era de esperar, las máximas tensiones de compresión y de tracción corresponden a las �bras extremas.

1.2 Ley de Hooke y límite elástico Los objetos sólidos que se utilizan a diario en la vida cotidiana no son perfectamente rígidos, puesto que se deforman cuando se les aplica un esfuerzo, además de que responden con una fuerza recuperadora que hace que tiendan a recobrar su forma original.



Muchos materiales responden en forma lineal ante las cargas; esto es, si se les aplica un determinado esfuerzo se deforman en una determinada cuantía, por lo que si se les aplica el doble de esfuerzo se deforman el doble y si se les aplica la mitad de esfuerzo se deforman la mitad, y así sucesivamente. Los materiales que responden de esta manera son conocidos como materiales elásticos lineales. La respuesta elástica lineal es muy común (al menos cuando las deformaciones son lo bastante pequeñas). La ley del comportamiento elástico lineal es conocida como ley de Hooke. En su aplicación más básica, esta ley describe el comportamiento de un muelle sometido a una carga y se representa con la siguiente ecuación: (1.6)

F 5 kx

Donde: F : Fuerza aplicada en un resorte N, lb. x : Valor de la deformación. k 9: Constante de proporcionalidad. F 2

F 1

x 2

x 1

x 3 F 3

Figura 1.4 Cuerpo elástico lineal sometido a diferentes cargas. En color negro se representan las fuerzas aplicadas y en blanco, los desplazamientos en los puntos de aplicación. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

La inversa de esta constante, simbolizada por k 5

1 k 9

, se denomina constante elástica y es carac-

terística de cada cuerpo. De acuerdo con este principio, para distintas fuerzas aplicadas sobre un cuerpo elástico se producen diferentes deformaciones proporcionales a éstas, lo que se representa de la siguiente manera: k 5

F 1 F 2 F 1 5 5 5… x 1 x 2 x 3

La ley de Hooke se puede generalizar de muchas maneras. Por ejemplo, al describir los desplazamientos de muchos puntos de un objeto sólido en el régimen elástico lineal en función de las fuerzas aplicadas en dichos puntos, se tiene la ecuación de un resorte multidimensional: Fi 5

∑k x ij j

j Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 07:48:02.

(1.7)

11

12


Donde: F i: Fuerza aplicada en el punto número i . x j : Desplazamiento del punto j . k ij : Coe�ciente de rigidez que relaciona el desplazamiento x j y la fuerza aplicada F i. Es posible entender estas fuerzas y estos desplazamientos de una manera generalizada; no obstante, también pueden ser, por ejemplo, momentos y rotaciones. Por supuesto, esta formulación en términos de rigidez (que expresa las fuerzas en función de los desplazamientos) es equivalente a una formulación en �exibilidad (que expresa los desplazamientos en función de las fuerzas).

Figura 1.5 La parte superior muestra un sólido en reposo. En la parte central se observa un sólido sometido a compresión, donde hay repulsión entre las partículas, lo que re presenta una fuerza recuperadora. Y en la parte inferior se ve el sólido sometido a la tracción y a la atracción entre partículas, lo que constituye una fuerza recuperadora.


La mecánica de materiales estudia la parte elástica del diagrama esfuerzo-deformación; esto es, el lugar donde la grá�ca presenta una línea recta, la cual demuestra la proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación unitaria de un material, lo que establece que el aumento de esfuerzo causa un aumento en la deformación y viceversa. Esto fue descubierto en 1676 por el cientí�co inglés Robert Hooke, por lo que se le designa como ley de Hooke: Cuando se trata de deformar un sólido, éste se opone a la deformación, siempre que ésta no sea demasiado grande.

En 1807, Tomas Young se apoyó en esta ley e introdujo la expresión matemática que la demuestra; esto lo hizo al encontrar la pendiente de la recta en el diagrama, representada por la letra E , que no es otra cosa que la relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria. De esta manera: E 5

s e


(1.8)


Que al despejar el esfuerzo queda (ecuación 1.9): s 5 E e


(1.9)

De esta forma, es más fácil visualizar la ley de Hooke, donde el esfuerzo y la deformación tienen una relación directamente proporcional, como se a�rma antes. Dicha pendiente E , la cual tiene las mismas unidades que el esfuerzo, pues la deformación unitaria es adimensional, introdujo una constante de proporcionalidad conocida con anterioridad como módulo de Young , pero que en la actualidad se conoce como módulo de elasticidad , la cual representa una medida de la rigidez de un material. En el diagrama esfuerzo-deformación (véase �gura 1.1) se distingue lo siguiente: 1. Al iniciar la carga de prueba en el material, el diagrama muestra una respuesta proporcional. a) La tensión crece con la deformación en relación proporcional. b) La relación proporcional se conoce como constante de proporcionalidad o módulo de Young del material. c) La respuesta proporcional tiene, además, otra propiedad fundamental y es que es reversible, lo que signi�ca que cuando la tensión disminuye, la deformación también lo hace. Además, el camino de descarga es la misma recta que la de carga. d) El límite está de�nido en la curva por el límite de proporcionalidad , región lineal (entre 0A). 2. Al incrementar el valor de la tensión se observa que en la curva s 2 e pierde su linealidad. El valor de la tensión por encima del cual esto ocurre se conoce con el nombre de límite de proporcionalidad . Cuando la tensión supera este valor característico del material, la respuesta (y por tanto la curva) pasa a ser no lineal, pero se sigue manteniendo la reversibilidad del proceso parcialmente. Al igual que antes, al reducir el valor de la tensión, se puede observar cómo la curva se recorre en sentido contrario a la carga hasta el origen; sin embargo, se mantiene una deformación residual permanente, la cual se observa en la AB de la región elástica. 3. Al incrementar más la tensión se supera un valor característico en todo material, conocido como límite elástico (punto A), a partir del cual las deformaciones que se producen no son por completo recuperables. Este proceso se veri�ca de manera idéntica a la tracción y a la compresión, por lo que el límite elástico en ambos casos es idéntico. 4. Si en el ensayo de tracción se supera el límite elástico (punto B), en el diagrama puede observarse una región en la que la tensión se mantiene constante mientras la deformación crece, como si el material �uyera. Este valor de la tensión se conoce como límite de �uencia o esfuerzo de �uencia . La deformación que ocurre durante la �uencia es plástica; es decir, con deformación permanente. 5. Si el material continúa deformándose, la curva tensión-deformación también continúa con pendiente positiva; en este caso, la deformación es en mayor medida plástica. Para identi�car la parte de la deformación plástica de la elástica basta con eliminar la carga en cualquier instante, pues la deformación plástica es la que permanece con tensión nula.


13

14


6. Después de una descarga completa se observan dos fenómenos:

a) Al cargar nuevamente el material, el proceso es elástico hasta que se alcanza la tensión en la que comenzó la descarga. Dicha tensión es mayor que el límite elástico y, debido a la deformación plástica, se dice que el material ha sufrido un endurecimiento isótropo o por deformación. b) Si el material se descarga y después se continúa ensayando a compresión, se comprueba que el límite elástico a compresión ha disminuido con respecto a su valor original, lo que se conoce como efecto Bauschinger. c) Para modelar este efecto se supone que la disminución del límite elástico en un sentido es igual al incremento del límite elástico en el otro, debido al endurecimiento isótropo, donde el primero es conocido como endurecimiento cinemático. 7. En los metales se observa de manera experimental que prácticamente toda la deformación plástica es desviadora; es decir, que el �ujo plástico es isocórico. 8. Si las tensiones de tracción siguen incrementándose se llega a la rotura del material.

A ctividades de aprendizaje Resuelve los siguientes ejercicios. 1. Ordena las palabras de los cuadros hasta formar, en cada inciso, una oración congruente

relacionada con el tema. a) regrese a su es la propiedad que hace ha sido que un forma original La elasticidad cuerpo que deformado Si las tensiones se llega a del material incrementándose la rotura siguen de tracción . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

indeformables son que algunos la física cuerpos considera

b)

c)

proporcionales causadas elástico son a las fuerzas las provocan las deformaciones en un cuerpo que directamente

la tensión deformación proporcional en relación con la crece



d) causa de esfuerzo viceversa el aumento en la un aumento y deformación

e)

límite que se recuperables completamente elástico no son producen deformaciones del cual las es a partir

1.3 Esfuerzos y deformaciones lineales Definiciones de esfuerzo Tipos de esfuerzos y sus ecuaciones características El esfuerzo es un concepto básico que se utiliza para designar la intensidad de una fuerza interna producida por cargas externas. Se de�ne como la relación que hay entre la fuerza aplicada sobre un elemento y el área del mismo por considerar. Se denomina esfuerzo normal o axial al esfuerzo que actúa sobre un área perpendicular a la fuerza aplicada (véase �gura 1.6); se representa por la letra griega sigma ( s), y esfuerzo de corte o tangencial cuando su aplicación es en un área paralela a la acción de la fuerza; se representa por la letra griega tau ( t). La ecuación que caracteriza al esfuerzo es:

Esfuerzo 5

Fuerza Área

(s o t) 5

P A

Donde: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

s o t: Esfuerzo unitario (normal o cortante), en lb/in 2, N/m2 o Pa.

P : Carga aplicada en lb o N. A: Área sobre la cual actúa la carga en m 2, in2.

P

P A

 =

P A

Figura 1.6 Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 07:48:02.

(1.10)

15

16


Esfuerzo normal (tensión y compresión) El esfuerzo es la relación entre una fuerza sobre un área aplicada. Si se considera una fuerza normal o perpendicular al área, éste se convierte en esfuerzo normal (véase �gura 1.7). En este caso, si se analiza por el método de las secciones, cualquier área perpendicular a la fuerza P muestra un esfuerzo interno normal en la barra, que es uniforme en la sección transversal (es decir, perP . A Es importante destacar aquí que siempre debe considerarse el sentido de la fuerza aplicada P ,

pendicular al largo de la pieza) y que tiene un valor equivalente a (véase ecuación 1.10): s 5

ya que si la fuerza hace que el cilindro se estire o se tense (véase �gura 1.7 a) se le llama esfuerzo de tensión (o tracción) y si se invierte el sentido de la fuerza, haciendo que el cilindro se comprima (véase �gura 1.7 b), se le llama esfuerzo de compresión.

Tracción

Compresión

a)

b)

Figura 1.7 Efectos de cargas: a) tracción y b) compresión.

Por una convención de signos usados en las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos es posible establecer los efectos que causan las fuerzas al actuar sobre los materiales: 1. Para las cargas que causan elongación y, por consiguiente, esfuerzos de tracción, los esfuer-

zos normales se de�nen como positivos. 2. Para el caso contrario, los esfuerzos de compresión se de�nen como negativos.


La dimensionalidad de esfuerzo es la misma que la de presión, y se representa con la ecuación unidades de fuerza (ecuación 1.10), según el sistema de unidades con el que se trabaje, ya sea el unidades de área Sistema Internacional de Unidades (Pa 5 N/m2) o el Sistema Inglés (Psi 5 lb/in). Es conveniente mencionar aquí que la ecuación de esfuerzo normal se presenta en una forma tan simple al tomar en cuenta diversas suposiciones que se cumplen con respecto al material y la forma de aplicar la fuerza, pues el análisis exige que el cuerpo experimente una deformación y un estado de esfuerzos uniforme. En este sentido, las suposiciones que se deben tomar en cuenta son: » »

»

La carga P debe ser aplicada a lo largo del eje centroidal de la sección transversal. El material debe ser homogéneo; es decir, debe tener las mismas propiedades tanto físicas como mecánicas en todo su volumen. El material debe ser isótropo; es decir, debe tener las mismas propiedades en todas las direcciones.



La fuerza P considerada debe ser la fuerza interna en el elemento. Sin embargo, se debe tener cuidado de no confundirla con fuerzas externas, por lo que se emplean diagramas de cuerpo libre y condiciones de equilibrio para poder determinar dicha fuerza interna en la sección o corte imaginario que se está analizando por medio del método de las secciones. P

Restricciones de la fórmula s 5

A

Para poder utilizar la fórmula de esfuerzo (véase ecuación 1.10), la cual representa un esfuerzo promedio en el elemento donde se aplica la carga, se deben considerar ciertas limitaciones que condicionan su uso: 1. Cuando existe un cambio brusco de la sección trasversal en un elemento, las cargas sobre dichas áreas hacen que la fórmula no sea válida (véase �gura 1.8).

P

P

A2

A1

s

= /

P A

Figura 1.8 Restricciones de la fórmula s 5 P/A. 2. Cuando la carga no es axial; es decir, cuando no pasa por el eje geométrico del elemento,

la fórmula no es válida (véase �gura 1.9).


P

P

Figura 1.9 Restricciones de la fórmula s 5 P/A. 3. Cuando existe inestabilidad elástica, donde la relación de las dimensiones transversales de

un elemento juega un papel muy importante, pues si dicha relación no se encuentra dentro de ciertos límites (véase �gura .1.10), se produce pandeo en la estructura; por tanto, la fórmula de esfuerzo ya no es válida para esta condición. L P L P # 10, s 5 . 10, s Z D A D A


(1.11)

17

18


Donde: D : menor dimensión trasversal.

D

L

L D

Figura 1.10 Restricciones de la fórmula s 5 P/A.

Esfuerzo de aplastamiento Este tipo de esfuerzo ocurre cuando un cuerpo es soportado por otro; es decir, es el esfuerzo de compresión desarrollado entre dos cuerpos en su super�cie de contacto. Un caso muy común en el que se presenta esfuerzo de aplastamiento es en la interacción entre un poste, su zapata y el terreno que los soporta (véase �gura 1.11 a)), dado que entre cada uno de estos elementos existe una P

super�cie de contacto que genera el esfuerzo y cuya magnitud puede determinarse como s 5 A (ecuación 1.10), donde las cargas se aplican a través del centroide de la sección transversal. Los esfuerzos de aplastamiento también pueden ocurrir en super�cies curvas, como en un perno y una placa (véase �gura 1.11 b)), donde la distribución real del esfuerzo por el contacto de super�cies curvas es muy compleja, por lo que el esfuerzo de aplastamiento se toma como la carga transmitida por el perno P , dividida entre el área proyectada del agujero A 5 Dt ; es decir, un rectángulo que tiene por base el diámetro del perno y por altura el espesor de la placa. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

s P 5

P P 5 A Dt

Donde: sp: Esfuerzo de aplastamiento.

D : Diámetro del agujero en in, mm, m. t : Espesor de la placa en in, mm, m. P : Carga transmitida en lb, N.


(1.12)


19

P P

P

P P

p

P

t P f

D

p

a)

b)

Figura 1.11 Esfuerzo de aplastamiento: a) perno y placa y b) poste soportado por una zapata.

Esfuerzo de corte


El esfuerzo de corte, esfuerzo cortante o cizalladura considera un área paralela o tangencial a la dirección de la fuerza aplicada, y aparece siempre que las fuerzas aplicadas obliguen a una sección del material que va a desplazarse o deslizarse sobre la sección adyacente (véase �gura 1.12). Estas fuerzas actúan en un plano paralelo a la carga aplicada y no en un plano perpendicular a la carga, como en el caso de los esfuerzos normales. El esfuerzo cortante es igual a la fuerza cortante dividida entre el área sobre la cual actúa. Que se representa como:

P

d c b a d

P

c

b a

Cortante

P

Figura 1.12 Esfuerzo cortante simple de superficies adheridas.

t5

P A

Donde: t: Esfuerzo cortante, en lb/in 2, N/m2 o Pa.

P : Fuerza aplicada cortante en lb o N. A: Área sobre la cual actúa la carga en m 2 o in2.


(1.13)


20

En el caso de uniones atornilladas o remachadas es importante visualizar el número de super�cies que están involucradas en el soporte de las cargas que actúan sobre el elemento. Como se observa en la �gura 1.13, hay un área de corte única en el tornillo. Como se ve en la �gura 1.14, donde los soportes BD se consideran rígidos (sin deformación), la carga P es lo su�cientemente Figura 1.13 Esfuerzo cortante simple en perno. grande para que el material se deforme y falle como se indica. En la �gura 1.14, al observar la falla del elemento AC es evidente que las áreas de falla son paralelas a la fuerza aplicada P , por lo que existe un esfuerzo cortante, el cual se evalúa de la misma forma que los casos anteriores. La única consideración que debe hacerse es tomar en cuenta el número de áreas involucradas en la reacción del elemento; como se puede ver, en este caso hay dos áreas que se oponen, siendo la suma de éstas el área total a utilizar. Figura 1.14 Esfuerzo cortante doble. A este tipo de esfuerzo cortante se le llama esfuerzo cortante doble. C

F

A

E

E’

B

F’

D

P

A

B

C

D

A ctividades de aprendizaje 1. Resuelve el siguiente crucigrama. 1

2

Horizontal:

1. Ocurre cuando un cuerpo es soportado por

3

4. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

5.

4

5

6

7

6. 8. 9.

8

otro. Representación del esfuerzo tangencial. Esfuerzo que actúa sobre un área perpendicular a la fuerza aplicada. Efecto de cargas. Sin deformación. Efecto de cargas.

Vertical: 9

2. Esfuerzo normal. 3. Designa la intensidad de una fuerza interna

producida por cargas externas. 7. Esfuerzo tangencial o de....



1.4 Esfuerzos y cargas permisibles El criterio de carga permisible está intrínsecamente relacionado con el concepto de esfuerzo permisible o de trabajo, debido a que su de�nición proviene de la misma ecuación de esfuerzo. Por tanto: Carga trabajo s trabajo 5 Área Despejando: Carga trabajo 5 (strabajo)(Área) Se puede utilizar indistintamente cualquiera de los dos conceptos, no obstante el concepto de esfuerzo permisible es el que se usa con mayor frecuencia. La mecánica de materiales considera dos criterios fundamentales en el diseño de piezas o estructuras que van a soportar o a transmitir cargas: criterio de seguridad y economía. En el estudio de elementos o estructuras que soportan cargas, por lo común se presentan fallas o fracturas, que aunque parezcan similares son completamente diferentes. Es importante recordar que las fallas se presentan cuando el o los elementos no realizan de manera satisfactoria la función para la cual fueron diseñados, ya sea por proceso de deformación o por otras causas, incluso por la fractura, que constituye la rotura del material. Al seleccionar un esfuerzo límite menor que el esfuerzo que soporta el elemento, se garantiza el criterio de seguridad. A este esfuerzo límite se le denomina esfuerzo permisible, admisible o de trabajo, que es el esfuerzo que se considera para el diseño de la estructura mediante la expresión: s trabajo 5


Carga trabajo P 5 Área A

(1.14)

Donde: P : Fuerza aplicada (lb o N). A: Sección donde trabaja la carga (m 2 o in2).

Factor de seguridad La ingeniería no es una ciencia exacta; tanto en el cálculo de las estructuras como en la previsión de las cargas que actuarán sobre éstas, los ingenieros están expuestos a incertidumbres de distintos tipos, lo que hace que deban tomar previsiones que garanticen, con una alta probabilidad, que no se producirán fallas. Estas previsiones se denominan factores de seguridad . No obstante, en mecánica de materiales, las fallas ocurren. Por tanto, en la mecánica de materiales el factor de seguridad ( F. S.) se plantea como sigue. El esfuerzo real (esfuerzo último su o esfuerzo de fluencia s yp ) de una estructura, dado en tablas, debe ser mayor que el esfuerzo requerido (esfuerzo permisible o de trabajo).


21

22


Factor de seguridad (F. S.) 5

Esfuerzo último Esfuerzo de trabajo

(1.15)

Por lo común, se conoce el esfuerzo último o la resistencia de falla de un material, por tanto de la ecuación anterior se despeja el esfuerzo permisible. Estas previsiones se denominan factor de seguridad de trabajo 5 Esfuerzo último / F. S. En este caso, se emplea un factor que obviamente es mayor que 1, debido a que el esfuerzo permisible es menor, al igual que para encontrar el esfuerzo de diseño del elemento. Por ejemplo, se tiene que en el diseño de edi�cios se utiliza un factor de seguridad respecto al acero en tensión de 1.67, por lo que un acero dulce con esfuerzo último de 36 kpsi (klb/in 2) tiene un esfuerzo de trabajo de 21.6 kpsi. Es importante recordar que el esfuerzo y el área del elemento están inversamente relacionados, por lo que no se puede utilizar un factor de seguridad demasiado grande, pues disminuiría considerablemente el esfuerzo último y el esfuerzo de trabajo sería muy pequeño, creando áreas de estructuras muy grandes y pesadas, por lo que se sobrediseña el elemento. Por lo regular, se considera un límite mayor para el factor de seguridad en 10.0.

A ctividades de aprendizaje Resuelve los siguientes ejercicios Planteamiento

1. En la �gura 1.15, tres pernos de ¾ in de diámetro se utilizan


para unir la placa de acero a una viga de madera. Si se sabe que la placa puede soportar una carga de 24 kpsi y el esfuerzo último para el acero es de 52 kpsi, encuentra el factor de seguridad (ecuación 1.15) para este diseño (véase �gura 1.15). Desarrollo


24 klb

Figura 1.15


23

1.5 Equilibrio de los cuerpos deformables Para el estudio y comprensión de la mecánica de materiales es imprescindible poseer su�cientes conocimientos de la estática, ya que esta disciplina se utiliza en el diseño de cualquier estructura para determinar las fuerzas que actúan sobre y dentro de los diversos miembros de la estructura, el tamaño de los miembros, sus de�exiones y su estabilidad, ya que no solo dependen de cargas internas y externas, sino también del tipo de material del que están hechos, por lo que una de�nición precisa y comprensión básica del comportamiento del material será de vital importancia La estática que es parte de la mecánica estudia el comportamiento de los cuerpos y los sistemas en equilibrio, considerando los sistemas en reposo. Las ecuaciones que determinan el equilibrio se relacionan con las fuerzas y los momentos. Las condiciones de equilibrio a considerar son: ∑ F x 5 0 ∑ F y 5 0

(1.16)

∑ M o 5 0

En el estudio de la estática de los cuerpos rígidos se analiza el equilibrio de las fuerzas externas en los cuerpos sin considerar los efectos internos que las fuerzas producen. Una fuerza es la acción que ejerce un cuerpo sobre otro al que puede empujar o jalar. La fuerza se de�ne como una cantidad vectorial que se representa grá�camente por un vector, que posee las cinco características que se enuncian a continuación (véase �gura 1.16). Magnitud Dirección (incluyendo el sentido) Punto de aplicación Orientación Línea de acción Como ejemplo de esto, considérese a un hombre como el que se muestra en la �gura 1.17, jalando un polipasto. La fuerza es la acción de sus manos que estiran el cable �jo a la pared; la magnitud de la fuerza es el número de libras o newtons de fuerza con que jala; la orientación es la dirección angular con respecto a algún eje de referencia (u° con respecto al eje vertical en este caso); el sentido es jalando (tensión), el punto de aplicación en el punto de agarre del cable. » » » » »


F

u

I

H

 = 38.4°

 : Orientación H: Línea de acción I: Punto de aplicación u: Magnitud F : Dirección o sentido (punta de flecha)

Figura 1.16 Características de un vector o fuerza. Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 07:48:02.

24


2

60 kg

2

u a)

b)

60 kg

F

Figura 1.17

La representación de la �gura 1.17 b) comúnmente se conoce como una fuerza, más bien que un vector. Además, la magnitud de un vector con frecuencia se expresa escribiendo el número de libras, kilo libras, newtons, kilo newtons, etcétera, a un lado de la �echa, en lugar de trazar el vector a escala. Esto es conveniente en las soluciones analíticas. Debería notarse, sin embargo, que los vectores que tienen tanto magnitud como dirección también se usan para representar otras cantidades, como pares, velocidades, desplazamientos, etcétera. Las fuerzas se combinan o se descomponen de varias maneras para facilitar la solución de los problemas.

A ctividades de aprendizaje 1. Resuelve los siguientes ejercicios.


Identi�ca a qué corresponde cada uno de los puntos en la imagen de la �gura 1.18.

F

u

F: ____________________



I

H: ____________________ u: ____________________

H

I: ____________________

β: ____________________

Figura 1.18



25

3 000 N

Resuelve los siguientes ejercicios. 1. Determinar magnitud y dirección de la resultante de las fuerzas concurrentes indicadas en cada �gura.

20°

2 000 N

a)

40°

Diagrama de cuerpo libre 2 400 N

4

3 4 500 N

Figura 1.19

90 lb

200 lb

Desarrollo

1

b) . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C


2

1 1

300 lb

Figura 1.20

26


Diagrama de cuerpo libre

Desarrollo




Equilibrio de fuerzas concurrentes En todo cuerpo en equilibrio, la resultante de las fuerzas que actúan sobre él es cero. Las ecuaciones que rigen ese comportamiento se conocen como ecuaciones generales de equilibrio de fuerzas (ecuación 1.16) y son: ∑ F x 5 0, ∑ F y 5 0

Éstas se aplican a las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en reposo o en movimiento sobre una línea recta con velocidad constante. Dado que estas ecuaciones solo relacionan fuerzas en el espacio cartesiano, su uso permite determinar un sistema de ecuaciones para dos incógnitas ( R x y R y ). Por tanto, si aparecen más de dos incógnitas en el sistema de fuerzas, el sistema es indeterminado y no podrá resolverse solo con estas dos ecuaciones. Los problemas de este tipo se conocen como estáticamente indeterminados. El procedimiento recomendado para resolver problemas que involucran equilibrio de fuerzas concurrentes o divergentes consta de los siguientes pasos: 1. Se traza un diagrama de cuerpo libre. 2. Se descomponen todas las fuerzas en componentes rectangulares. 3. Se aplican las ecuaciones de equilibrio ∑ F x 5 0 y ∑ F y 5 0 (ecuación 1.16) a las compo-

nentes de las fuerzas. 4. Se resuelve algebraicamente el sistema de ecuaciones.


Para solucionar problemas de equilibrio, el primer paso es el más importante. El diagrama de cuerpo libre es un esquema que representa al sistema con todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. En caso de fuerzas concurrentes o divergentes, el cuerpo se considera un punto, que es el lugar a donde llegan o salen las fuerzas, por lo que en ese punto se trazan todas esas fuerzas. Al dibujar diagramas de cuerpo libre, con frecuencia no es posible determinar el sentido correcto de alguna fuerza que no conocemos, cuando esto sucede colocamos una �echa sobre el vector, la cual supone el sentido de la fuerza desconocida. Al utilizar las ecuaciones de equilibrio, por lo común se obtienen resultados algebraicos con respuestas negativas, esto indica que la fuerza actúa en sentido opuesto al dado originalmente. Cuando se presenta este caso: a) Se cambia analíticamente en la expresión algebraica el valor negativo por el valor positivo, agregando al lado un vector que indique la dirección correcta. b) En el diagrama de cuerpo libre se encierra la punta de �echa en un círculo, para indicar de manera grá�ca que el sentido real es opuesto al marcado y que ya fue veri�cado por las ecuaciones de equilibrio de fuerzas.


27

28


E jemplo 1.1 Determinar la fuerza en los miembros AC y BC del marco o estructura que se muestra en la �gura 1.21. A C

3 4 1 000 N

B

30°

Figura 1.21

Solución 1. Se construye el diagrama de cuerpo libre (véase �gura 1.22). El sentido de las fuerzas se

supone como el mostrado. F A 30° 3 4 1 000 N

F B

Figura 1.22 2. Se descomponen las fuerzas en componentes rectangulares (véase �gura 1.23). F A . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

800 N

0.866 F B

0.500 F B

600 N

Figura 1.23

Como las fuerzas en los miembros AC y BC se desconocen, se usan las letras F A y F B para indicar su magnitud. El sentido de las fuerzas se supone como el mostrado. Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 07:48:02.


29

3. Uso de las ecuaciones de equilibrio. Si el signo algebraico de F A y F B resulta ser positivo, los

sentidos supuestos son correctos. ∑ F y 5 0:

0.5F B 2 600 5 0

F B 5 1 200 N

∑ F x 5 0:

F A 2 0.866

F B 2 800 5 0

F A 5 800 1 0.866(1 200) F A 5 1 839.2 N

En este caso, los sentidos de F A y F B mostrados en los diagramas de cuerpo libre son correctos. El miembro AC está en tensión y BC está en compresión.

E jemplo 1.2 C 1 000 lb

Determinar las fuerzas en los miembros AC y BC de la estructura que se muestra en la �gura 1.24.

N

3

Solución

Los diagramas de cuerpo libre de las fuerzas y las componentes de las fuerzas se muestran en las �guras 1.25 y 1.26, respectivamente. En este caso, se supone el sentido de las fuerzas desconocidas F A y F B como se muestra en los diagramas de cuerpo libre. C

B

4 45° A 500 lb

Figura 1.24

1 000 lb

0.707 F A . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

1 000 lb

3

0.8 F B 4

F B 45°

0.707 F A

0.6 F B

F A 500 lb

Figura 1.25

500 lb

Figura 1.26

Al aplicar las ecuaciones de equilibrio de fuerzas con las fuerzas concurrentes mostradas en la �gura 1.26 se obtiene: ∑ F x 5 0:

0.800F B 2 0.707F A 1 1 000 5 0

∑ F y 5 0:

0.600F B 2 0.707F A 1 500 5 0


30


Resolviendo simultáneamente las ecuaciones, resulta:

 0.800 2 0.707 521000   0.600 1 0.707 52500 1.4 F s

521500

F B 21 071.43 lb 5 1 071.43 lb h

Entonces, la fuerza es: 0.600( 21071.43) 1 0.707F A 5 2500 0.707F A 52500 1 642.86 F A 5 142.86 lb

En este caso, la fuerza F B tiene signo negativo, lo que signi�ca que su sentido, tal como se supuso en los diagramas de cuerpo libre anterior, era incorrecto. La �echa sobre el cuerpo libre original puede marcarse con un círculo para indicar que su sentido no estaba correcto o, en su caso, reescribir el valor en positivo y poner la dirección correcta al lado.

A ctividades de aprendizaje 1. En los siguientes problemas desarrollar y resolver los

B

diagramas de fuerzas correspondientes. a) Determinar las fuerzas en los miembros AC y BC.

Cable

Diagrama de cuerpo libre

30° C


A


24 kN

Figura 1.27


31

Desarrollo

30 kN

b) Determinar las fuerzas en los miembros AC y BC. Diagrama de cuerpo libre

A C 3 5 45 kN 3 5 B



Figura 1.28

32


Desarrollo

c) Se tiene un cilindro que pesa 1 000 lb apoyado entre dos paredes, como se indica en la �gura 1.29. Determinar la fuerza de las paredes sobre el cilindro en los dos puntos de contacto. Diagrama de cuerpo libre

A B

60°



Figura 1.29


33

Desarrollo

Momento de una fuerza Un concepto importante en la solución de problemas sobre sistemas de fuerzas no concurrentes (es decir, cuando no todas las fuerzas se intersecan en un punto) es el del momento de una fuerza. El momento de una fuerza se de�ne como la tendencia de la fuerza a girar alrededor de algún eje. La magnitud del efecto de giro de la fuerza alrededor de un eje se llama intensidad del momento y se de�ne como: M 5 Fd . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

(1.17)

Donde: M : Intensidad del momento, en ft ∙ lb, o en N ∙ m. F : Magnitud de la fuerza considerada, en lb o en N. d : Distancia perpendicular del eje de rotación a la línea de acción

de la fuerza, en pies o en m.

dA

Las unidades de un momento son fuerza-distancia, tales como lb ∙ ft, klb ∙ ft, lb ∙ in, N ∙ m, etcétera. El momento de la fuerza de la �gura 1.30 con respecto al eje que pasa por A es M A 5 Fd A y el momento de la fuerza con respecto a un eje que pasa por B es M B 5 Fd B. Un momento, similarmente a una fuerza, tiene sentido. El sentido F de M es en el sentido del giro de las manecillas del reloj, mientras Figura 1.30 Momento de una fuerza. que el de M B es contrario al del giro de las manecillas del reloj. A


B

dB


34

La determinación de la distancia d a menudo involucra bastante geometría y trigonometría. Para evitar esta di�cultad, puede usarse el teorema de Varignon, con el �n de determinar el momento de una fuerza con respecto a un eje. El teorema de Varignon establece que el momento de una fuerza con respecto a un eje es igual a la suma de los momentos de las componentes de la fuerza con respecto al eje. Este teorema es un método conveniente para determinar el momento de fuerzas oblicuas con respecto a un eje.

E jemplo 1.3 Determinar el momento de la fuerza de 300 lb con respecto a un eje que pasa por A, como se muestra en la �gura 1.31.

3

L = 10 in 4 300 lb 30°

A

Figura 1.31

Solución 240 lb

180 lb


5 in A 8.66 in

Como es sabido, la fuerza se descompone en componentes rectangulares. El momento de estas componentes con respecto a A es igual al momento de la fuerza original con respecto a A. Sin embargo, la determinación de las distancias perpendiculares es considerablemente más fácil. Por tanto, se calcula el momento con respecto a A como en sentido contrario al del giro de las manecillas del reloj. M A 5 180(8.66) 2 240(5) 5 360 lb ∙ ft

Figura 1.32

A ctividades de aprendizaje Resuelve los siguientes ejercicios. 1. Determinar el momento que la fuerza produce en los puntos A y B, para los casos:



a) A 450 lb

4

L = 5 in L = 5 in

3 3

3

L = 5 in

4

4

4 3

B

Figura 1.33 Desarrollo


b) 1 200 N R = 0.7 m 3 7

B

A


35

36


Desarrollo

c) 2m

1 1

B

3 2

8 kN 3m

7

2

A

Figura 1.35 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Desarrollo



Pares de fuerzas

37

F

Un par se de�ne como dos fuerzas iguales en magnitud, de sentidos opuestos, con líneas de acción paralelas y separadas una cierta distancia. La �gura 1.36 muestra un par de fuerzas. d

Donde: M 5 Fd : Intensidad de un par (medida de su tendencia a

girar). d : Distancia perpendicular entre fuerzas. anto el par como el momento tienen una tendencia a la rotación, y aunque a ambos se les asigna la letra M , sus conceptos son sutilmente diferentes.

F

Figura 1.36 Pares de fuerzas.

B

80 N A 4m

Figura 1.37


Para entender la diferencia entre par y momento se toma la barra de la �gura 1.38. En el diagrama de cuerpo libre (véase �gura 1.39), R y representa la componente vertical de la fuerza ejercida por la mano, y las fuerzas F indican el par. d La fuerza aplicada en el extremo de 80 N en B tiende a provocar un giro a la barra en el sentido de las manecillas del reloj, equivalente al producto de esta fuerza por la dis- F tancia perpendicular a partir del punto A, lo que recibe el F nombre de momento de la fuerza con respecto al punto A. Este momento es equilibrado por el par aplicado en A, que actúa en sentido contrario al del giro de las manecillas del reloj (véase �gura 1.39). Ry = 80 N

M = 160 N . m

Figura 1.38 80 N

80 N

2m

Figura 1.39


80 N

38


El momento se representa normalmente como una línea curva. La línea curva y la �echa indican el par y su sentido y el valor numérico su magnitud.

Descomposición de una fuerza en una fuerza y un par M = P . e B

B P 

=

A

P 

A

=

P

P a)

P

b)

c)

Figura 1.40

Cuando se analiza el efecto de una fuerza aplicada en un determinado punto A con respecto a otro punto B (véase �gura 1.40 a)) y se desea trasladar esa fuerza al punto B, sin que se modi�que el efecto original, es necesario ubicar la fuerza en el nuevo punto B y el efecto que se producía originalmente estando en A. Para lograr esto, se aplican en B (véase �gura 1.40 b) dos fuerzas iguales y opuestas de magnitud P , que tienen una línea de acción paralela a la de la fuerza original. Estas fuerzas son de igual magnitud y al ser de sentidos opuestos no tienen efecto sobre el cuerpo. Al observar las fuerzas representadas en la �gura 1.40 b) se aprecian dos magnitudes iguales y de sentidos opuestos separadas una distancia e , las cuales forman un par de fuerzas, dicho efecto puede sustituirse por un momento equivalente al producto de P ∙e y puede representarse por la línea curva (véase �gura 1.40 c)), quedando como resultado una fuerza y un par que producen un efecto equivalente al original.

E jemplo 1.4


Una fuerza de 6 000 N se aplica a una arista de un poste corto de 0.8 m de ancho, como se indica en la �gura 1.41 a). Descomponer esta fuerza en una fuerza que pase por el centro del poste, y un par. 6 000 N

6 000 N

6 000 N

6 000 N

M = 2 400 N . m

0.4 m

6 000 N 0.8 m

a)

b)


c)


Solución

Primero, se aplican en el centro dos fuerzas iguales y opuestas, de 6 000 N lb, como se muestra en las �guras 1.41 b) y c). La fuerza original y la fuerza hacia arriba en el centro constituyen un par. Este par y la fuerza hacia abajo que queda en el centro se muestran en la �gura 1.41 c). M 5 P 3 e 5 6 000(0.4) 5 2 400 N ∙ m

E jemplo 1.5 En una placa plana con cuatro tornillos de sujeción (véase �gura 1.42) se aplica una fuerza de 1 300 lb, descomponer esta fuerza por una fuerza al centro del grupo de tornillos A y un par. P = 1 300 lb 5 12

4 in A 4 in

4 in

4 in

Figura 1.42

Solución


Como primer paso, por conveniencia, la fuerza de 1 300 lb se descompone en sus componentes cartesianas a lo largo de su línea de acción. En este caso la fuerza se descompone en componentes en el remache superior, como se muestra en la �gura 1.43. 500 lb

1 200 lb

A

Figura 1.43


39

40


En A se aplican fuerzas iguales y opuestas de 500 lb y 1 200 lb (véase �gura 1.44). 500 lb

1 200 lb

1 200 lb

A

500 lb

1 200 lb

500 lb

Figura 1.44

Momento producido por el par de fuerzas de 500 lb y excentricidad 0. 500 lb

1 300 lb 5 12 A

A

1 200 lb

M = 4 800 lb/in

M = 1 200 (4) lb/i n

Figura 1.45

M A 5 500 3 0 5 0 lb ∙ in


El momento producido por el par de fuerzas 1 200 excentricidad 4 in. M A 5 1 200 3 4 5 4 800 lb ∙ in Por lo que se desarrollan pares en A de 4 800 lb ∙ in y 0 lb ∙ in. Estos pares y las fuerzas restantes se muestran en la �gura 1.45.

A ctividades de aprendizaje Resuelve los siguientes ejercicios. 1. rasladar la fuerza aplicada del punto A al B manteniendo el efecto original para cada caso siguiente. a)


2 000 N 0.8 m A B


Desarrollo

b) 5 000 N 0.4 m

3 4

B

A

Figura 1.47 Desarrollo . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C


41

42


c) 1m B

A

60 kN

3 4 2m

Figura 1.48

Equilibrio de sistemas de fuerza no concurrentes Cuando un cuerpo está sometido a la acción de fuerzas no concurrentes; es decir, cuando no se intersecan sus líneas de acción en un punto en común, se dice que está en equilibrio si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él es igual a 0 (ecuación 1.16), cumpliéndose las siguientes condiciones: ∑ F x 5 0 ∑ F y 5 0

Sin embargo, al tratarse de fuerzas no concurrentes existe separación entre éstas, lo que provoca la tendencia al giro del mismo, por esa razón también se debe cumplir que la resultante de los momentos en todo el cuerpo sea 0, cumpliéndose la condición: ∑ M 5 0 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

A estas condiciones se les conoce como condiciones de equilibrio. El método general de solución para problemas de equilibrio con fuerzas no concurrentes consiste de los siguientes pasos: 1. razar un diagrama de cuerpo libre. 2. Descomponer las fuerzas en componentes rectangulares, si es necesario. 3. Aplicar las tres ecuaciones de equilibrio (ecuación 1.16), ∑ F x 5 0, ∑ F y 5 0, ∑ M 5 0,

a las fuerzas sobre el cuerpo libre. 4. Resolver las ecuaciones de equilibrio para las cantidades desconocidas.

Dado que existen tres ecuaciones de equilibrio, solo pueden determinarse tres incógnitas a partir de cualquier diagrama de cuerpo libre. No existe un procedimiento absoluto para la solución de problemas, ésta debe ajustarse a los requisitos de cada caso. Sin embargo, el paso más importante en la solución es la construcción de un diagrama de cuerpo libre completo y correcto.



43

Diagramas de cuerpo libre Para la solución de problemas relacionados con el estudio de la mecánica de materiales es en extremo importante la representación correcta de las fuerzas que actúan sobre los cuerpos rígidos. Para lograrlo se utiliza una representación esquemática denominada diagrama de cuerpo libre. Los pasos para la construcción de un diagrama de cuerpo libre son: 1. Aislar el cuerpo en cuestión de toda conexión con el medio. Es decir, se traza la forma

general del cuerpo sin las fuerzas aplicadas ni las reacciones. 2. Mostrar todas las fuerzas externas e internas (peso), que actúan sobre el cuerpo. Estas fuerzas son, tanto las fuerzas externas aplicadas como las fuerzas producidas por las reacciones (véase tabla 1.1). Las �guras.1.49 a 1.51 muestran ejemplos de sistemas junto con sus correspondientes diagramas de cuerpo libre. 3 900 N

3 900 N

3 200 N

3 200 N

12 5

A

0.6 m

12

B

1m

Veáse Tablas

W = 3 000 N/m

0.4 m

3 000 N/m

5

R AX

1.2 m R AY

R BY

Figura 1.49


odos estos ejemplos son estáticamente determinados, lo que signi�ca que pueden resolverse mediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrio de la estática. Los elementos de los sistemas se consideran sin peso, a menos que se señale lo contrario. Si el peso de un cuerpo no es despreciable con respecto a las otras fuerzas, se le debe mostrar actuando a través del centro de gravedad del cuerpo. M = 1 000

M = 1 000 lb/ft

lb/ft

DX P

D

P T 1

T 2 DY

T 1

T 2

RAX

A B

C

RAY 1

1 2

in

4

1 2

in

Figura 1.50


44

Mecánica de materiales. Teoría y aplicaciones RDY

RDY

D

RDX

RDX

T = W

CX

4 in T = W

A

RAX

B

CY

BX

C

T = W BY

RAY

T = W

W

BY

CY

RAX

2 in

4 in

BX

1 in

CX

RAY

Figura 1.51

En los diagramas de cuerpo libre es muy importante señalar de manera correcta los elementos y los sentidos de las fuerzas. Pero, en ocasiones, es necesario separar los elementos de algunos sistemas, debido a su complejidad, esto conlleva a realizar n 1 1 diagramas de cuerpo libre para encontrar la solución al problema. Por ejemplo, en la �gura 1.51 se muestra un sistema constituido por el ensamble de tres cuerpos rígidos; como se puede ver en el esquema 1, se representa el diagrama de cuerpo libre general con más incógnitas que se pueden resolver mediante las ecuaciones de equilibrio, por tanto se le considera un sistema estáticamente indeterminado; sin embargo, se pueden separar los elementos y generar tantos diagramas de cuerpo libre como elementos tenga el sistema, para obtener las incógnitas con las ecuaciones de equilibrio de la estática, tantas veces como cuerpos rígidos se generen. En la �gura 1.51, en la parte (1), se puede ver que la magnitud y la dirección de la fuerza en la articulación B se desconoce, por lo cual se supone el sentido para esta reacción. Una vez que se escogen los sentidos en las direcciones x y y (B x y B y ) en la parte (2), los sentidos de B x y B y ya no pueden ser arbitrarios en la parte (4). Es así como se aplica el principio de acción y reacción (tercera ley de Newton), sustituyendo las reacciones que actúan sobre el elemento. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Método de solución A la fecha, no existe una pauta determinada que muestre un procedimiento único en la solución de los problemas de equilibrio en mecánica de materiales, pues por lo común deben ajustarse a las condiciones del problema. Las ecuaciones de equilibrio no tienen un orden especí�co de utilización; sin embargo, se sugiere que se inicie con el uso de aquella ecuación que resuelva un mayor número de incógnitas, por esta razón es común usar primero la suma de momentos. En este caso, se toman los momentos con respecto al punto que contiene el mayor número de incógnitas, ya que “el brazo de palanca de estas incógnitas es cero”, ya que las líneas de acción de estas incógnitas pasan por ese punto y no formarán parte de la ecuación de equilibrio. Cuando se hace esto, es más difícil que surja la necesidad de resolver ecuaciones simultáneas. Los ejemplos 1.6 y 1.7 muestran el procedimiento del método de solución para sistemas de fuerzas no concurrentes.



E jemplo 1.6 Determinar las reacciones A y B de la viga que se muestra en la �gura 1.52. 500 lb

800 lb

4 A

3

2 in

B

3 in

10 in

Figura 1.52

Solución

El diagrama de cuerpo libre de las fuerzas se muestra en la �gura 1.53. En este caso, calculamos las reacciones verticales tomando momentos con respecto a A y después con respecto a B . De este modo, se dispone de una veri�cación de los cálculos aritméticos al sumar fuerzas en dirección vertical. 400 lb

800 lb

800 lb

500 lb 4 3

AX

=

AY

AX

BY

300 lb

AY

Figura 1.53

Así: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

∑ M A 5 0: B y (10)2400(2)2800(5) 5 0 B y 5

800 1 4000 10

B y 5 480 lb

∑ M B 5 0: A y (10)2400(8)2800(5) 5 0 A y 5

3200 1 4000 10

A y 5 720 lb

Veri�cación: ∑ F y 5 0: A y 1 B y 24002800 5 0 Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 07:48:02.

BY

45

46


720 1 480 5 400 1 800 1 200 5 1 200 ∑ F x 5 0: A x 1 300 5 0 A x 5 0 2 300 lb A x 5 300 lb m

E jemplo 1.7 Determinar la fuerza P necesaria para mantener en equilibrio el mecanismo de palanca angular mostrado en la �gura 1.54. ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre la articulación en B? C

P

Mecanismo de palanca angular

300 mm B 60°

A 48 kN

200 mm

Figura 1.54

Solución . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

El diagrama de cuerpo libre se muestra en la �gura 1.55. P 30.3

30.3

36.96

BX

48

F F = 60.6

48 kN

BY



En la �gura 1.55, B x y B y se conocen como las componentes de la fuerza ejercida por la articulación en B . Las tres cantidades desconocidas se calculan como: ∑ M B 5 0: 48(200 3 1023)2P (300 3 1023 sen 60º) 5 0 P 5 36.96 kN

∑ F y 5 0: B y 5 48 kN ∑ F x 5 0: B x 5 36.96 kN

La fuerza que actúa sobre la articulación es la resultante de B x y B y , como se indica en la �gura 1.55. F 5 (48)2 1 (39.96)2 F 5 60.6 kN

E jemplo 1.8 Determinar las reacciones de la viga que se representa en la �gura 1.56. 3 000 N A B 5 12 1.2 m

6 500 N

2.4 m

Figura 1.56


El diagrama de cuerpo libre se puede ver en las �guras.1.57 a) y 1.57 b). A partir de la �gura 1.57 b), las reacciones se calculan como sigue: 3 000 N

3 000 N

AX

6 000 N

AX =

5 MA

MA

12 AY

6 500 N

a)

2 500 N AY

b)

Figura 1.57


47

48


∑ F y 5 0: A y 523 000 2 2 500 5 0 A y 5 5500 N

∑ F x 5 0: A x 1 6 000 5 0 A x 5 6000 N

∑ M A 5 0: M A 5(3 000)(1.2) 2 (2 500)(3.6) 5 0 M A 5 12 600 N ∙ m

El signo menos para A x indica que el sentido de A x se escogió incorrectamente. Los círculos colocados en las �echas de las �guras 1.57 a) y 1.57 b) indican que A x tiene en realidad el sentido opuesto.

E jemplo 1.9 Determinar las reacciones del mecanismo mostrado en la �gura 1.58. 9

in 9

B

in

A E

4 3 D

1 200 lb 6 in

3 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

C

4

12 in

Figura 1.58

Solución

En el diagrama de cuerpo libre (véase �gura 1.60) se observa que hay cinco componentes de reacción (3 en A y 2 en C ); sin embargo, solo se dispone de tres ecuaciones de equilibrio (ecuación 1.16). Por tanto, es necesario separar los elementos y elaborar varios diagramas de cuerpo libre que permitan apoyar en la solución general.


Introducción a la mecánica de materiales AX

MA

4 3

AY

1 200 lb

3 CX

4

CY

Figura 1.59 BB

BN

BN

3 A

AX

B

4 DN

4 MA

3

4 3

AY

Bn

Dn

Figura 1.60

Figura 1.61 DP


DN

3 1 200 lb

CX

CY

Figura 1.62

Las �guras 1.59 a 1.62 muestran los cuatro posibles diagramas de cuerpo libre. El uso de tres de ellos cualquiera sería su�ciente para resolver el problema. A continuación se describe uno de los posibles métodos de solución. En la �gura 1.61 se observa que las componentes de las fuerzas en las articulaciones B y D se tomaron en direccio-


49

50


nes normal y paralela al miembro BD, lo que solo se hizo por conveniencia, ya que se habrían podido usar las componentes horizontal y vertical, pero entonces encontrar estas fuerzas hubiera requerido un poco más de trabajo. Al considerar el cuerpo libre de la �gura 1.61 se encuentra que: 5 0 ∑ M B 5 0: D N(9)

D N 5 0

∑ F N 5 0: B N 5 0

Si se considera el cuerpo libre de la �gura 1.62 se tiene que:

 4  ⋅  5 0  5 

∑

M c 5 0: D F (12) 2 1200 18

D p 5 1 440 lb

∑ F 5 0: I

3 5

C x 2 D P 5 0

3 5

C x 5 (1440)

C x 5 864 lb

∑ F 5 0: y

4 5

C y 1 1200 2 (1440) 5 0

C y 5 1 150-1 200 C y 5 250 lb . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

C y 5 50 lb h

Ahora bien, al considerar el diagrama de cuerpo libre de la �gura 1.60 resulta: ∑ F p 5 0: B p 5 D p 5 1 440 lb

Y al considerar el diagrama de cuerpo libre de la �gura 1.60 resulta:

∑ F 5 0: A 35 B 5 35 (1440) 5 864 lb 4 4 0: (1440) 5 1152 lb 5 5 F A B ∑ 5 5 ∑ M 5 0: M 45 B (9) 5 45 (1440)(9) 51037 lb ⋅ in x

x

P

y

y

F

A

A

P



Para comprobar estos resultados se sustituyen los valores numéricos de las reacciones en la �gura 1.59 y se escriben las ecuaciones de equilibrio (ecuación 1.16) para demostrar que: ∑ F x 5 0, ∑ F y 5 0 y ∑ M 5 0

A ctividades de aprendizaje Resuelve los siguientes ejercicios. 1. Determinar la fuerza P necesaria para mantener en equilibrio la palanca de la �gura 1.63 y calcular la magnitud y la dirección de la fuerza que actúa sobre la articulación en B . A

30° 400 mm

B

P

3 500 N

250 mm

1 000 N

250 mm

Figura 1.63 Diagrama de cuerpo libre (DCL) . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C


51

52


Desarrollo

2. El brazo de freno que se observa en la �gura 1.64 está sujeto a una fuerza normal contra el tambor del freno de N 5 1 300 N y a una fuerza cortante de F t 5 380 N. Determinar la fuerza P necesaria para producir estas cargas y la fuerza sobre la articulación A. 0.8 m

2.0 m

A 260 mm

P

C B F t = 380

N = 1

N

300 N

Figura 1.64 Diagrama de cuerpo libre (DCL) . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C



Desarrollo

3. Determinar las reacciones del sistema que se representa en la �gura 1.65. 9 000

N

D 0.3 m C 0.6 m B A

1.4 m


0.6 m

Figura 1.65 Diagrama de cuerpo libre (DCL)


53

54


Desarrollo

Fuerzas distribuidas


Las fuerzas aplicadas al sólido rígido pueden ser de naturaleza discreta o continua; es decir, pueden aplicarse sobre puntos discretos o sobre una región determinada (por ejemplo, la fuerza del viento sobre la fachada de un edi�cio se distribuye en toda la fachada y la fuerza que ejerce un pilar sobre su base se distribuye en su super�cie de apoyo). En estos casos se dice que la fuerza está distribuida en dicha región. En lo que respecta a las fuerzas distribuidas, la densidad fuerza o densidad de carga es la fuerza que actúa por unidad de volumen o por unidad de super�cie o longitud, según esté distribuido el sistema de fuerzas. La carga distribuida puede reemplazarse por una carga concentrada (a la que en esta obra se denomina como carga resultante), que tiene la misma magnitud que las fuerzas totales hacia abajo y se localiza en el centro de gravedad de las cargas distribuidas (véase �gura 1.66). w = lb/ft A

B

a

L

Figura 1.66

La carga distribuida se sustituye por una carga concentrada interrumpida F a (véase �gura 1.67), solo con �nes de cálculo de reacciones en el diagrama de cuerpo libre del sistema. En el cálculo y estudio de las vigas se utiliza normalmente en forma original, ya que se consideran en el estudio de las fuerzas cortantes internas y momentos.


Introducción a la mecánica de materiales F a

a

2

AX

AY

BY

a L

Figura 1.67

E jemplo 1.10 Determinar las reacciones de la viga que se ejempli�ca en la �gura 1.68. w = 2 500 N/m A

B

3m 4m

Figura 1.68

Solución

En la �gura 1.69 se representa el diagrama de cuerpo libre de la viga, donde la fuerza de 7 500 N trazada con línea interrumpida es la resultante de la carga distribuida y no una carga adicional. 7 500 N . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

w = 2 500 N/m AX

AY

BY

3m 4m

Figura 1.69


55

56


Las reacciones son: ∑ M A 5 0: B y (4)2(2 500)(3)(1.5) 5 0 B y 5 2 812.5 N

∑ M B 5 0: A y (4)2(2 500)(3)(2.5) 5 0 A y 5 4687.5 N

Comprobando resulta: ∑ F y 5 0: A y 1 B y 2(2 500)(3) 5 0

4 687.5 1 2 812.5 – 7 500 5 0 1 4867.5 1 2 812.5 5 7 500 7 500 5 7 500 ∑ F y 5 0: A y 5 0

E jemplo 1.11

w = 6 klb/ft

Determinar las reacciones en A y B para la viga de la �gura 1.70. La carga distribuida varía uniformemente desde 6 klb/ft hasta 0 klb/ft sobre un claro de 9 ft.

B

A 9 ft

3 ft

Figura 1.70

Solución

La resultante de la carga distribuida es: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

 1   (6)(9) 5 27 klb  2 

R 5 

27 klb 3 ft

w = 6 klb/ft

AX AY

BY 9 ft 12 ft



Y se localiza en el centro de gravedad del triángulo correspondiente a la distribución de la carga,  1  o sea a 3 pies a partir de A  base  . Una vez que se conoce la magnitud y la localización de la  3  resultante, se calculan las reacciones en A y B, considerando el cuerpo libre de la �gura 1.71. ∑ M A 5 0: B y (12) 2 (27)(3) 5 0 B y 5 6.75 klb

∑ M B 5 0: A y (12) 2 (27)(9) 5 0 A y 5 20.25 klb

Comprobando: ∑ F y 5 0: A y 1 B y 2 27 5 0

20.25 1 6.75 2 27 5 0 ∑ F x 5 0:

27 5 27

A y 5 0

A ctividades de aprendizaje Resuelve los siguientes ejercicios. 1. Calcular el valor de las reacciones en sus apoyos de la viga que se muestra en la �gura

1.72. Solución 2 600 lb . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

w = 60 lb/ft

w = 200 lb/ft

2 ft

10 ft



57

58


Desarrollo

2. La prensa que se observa en la �gura 1.73 ejerce una presión de P 5 60 lb/in 2 sobre la placa circular D, que tiene un diámetro de 16 in. Determinar la fuerza, P , necesaria para

mantener esta presión y la reacción resultante en la articulación A. 16 in

A

B

10 in

C

D

Placa circular D = 16 in

p = 60


P

32 in

Diagrama de cuerpo libre (DCL)



Desarrollo

3.

3 ft

w = 58 lb/ft




59

60

Mecánica de materiales. Teoría y aplicaciones Desarrollo

P reguntas de evaluación Responde las siguientes preguntas:


1.1

Menciona cuál es el objeto de estudio de la mecánica de materiales.

1.2

¿Por qué es importante saber construir el esquema de análisis a partir de un objeto real?

1.3

Explica qué significa que un elemento esté sometido a tracción-compresión axial.

1.4

¿Cómo se calculan las fuerzas internas en una barra sometida a tracción-compresión?

1.5

¿Cómo se determinan las tensiones?

1.6

¿Cómo se calculan las deformaciones?

1.7

Qué tipo de problemas puedes resolver a partir de las condiciones de resistencia y rigidez.

1.8

Explica en qué caso se dice que se está en presencia de una comprobación de la resistencia o la rigidez de un elemento.

1.9

Menciona en qué caso se dice que se está en presencia de problemas de diseño.

1.10 Explica

en qué caso se dice que se está en presencia de determinación de P .

1.11 Escribe con tus propias palabras por qué

es importante conocer los problemas mecánicos de

los materiales. 1.12 ¿Qué

es un sistema hiperestático y cómo se resuelve?

1.13 ¿Qué

es un diagrama de cuerpo libre y cuáles son los pasos para su elaboración?

1.14 ¿Cuál

es la diferencia entre mecánica de materiales y resistencia de materiales?

Más problemas para resolver


CAPÍTULO 2

61

Esfuerzo normal y deformación lineal Con qué saberes cuento…




¿Por qué los puentes no se caen con el embate de un huracán o un sismo?



¿En qué consiste el trabajo del ingeniero para el desarrollo de maquinaria o sus componentes?



¿Qué entiendes por esfuerzo en mecánica de materiales?



¿Qué tipos de esfuerzo conoces?



¿Qué es el esfuerzo cortante?



Al momento de diseñar una estructura, ¿se deben tomar en cuenta los fenómenos meteorológicos? ¿Por qué?



¿Qué es el triángulo de fuerzas?



¿A qué se refiere el concepto de deformación en mecánica de materiales?



¿Cuáles pueden ser las causas de la fractura de un material?



¿Qué es la expansión térmica?



¿Conoces los tipos de deformación? ¿Cuáles son?



¿Cómo se mide la confiabilidad de un componente?



¿A qué se pueden exponer los operadores si se llegara a presentar una falla en alguno de los componentes que integran una maquinaria?



¿Qué criterios se deben evaluar para evitar una potencial falla en un componente?



¿Qué es el factor de seguridad?


62


Introducción En la actualidad es común ver maquinaria, equipos y construcciones que son impresionantes por sus dimensiones y las cargas que soportan. Resulta casi imposible dejar de preguntarse: ¿Cómo es posible que soporte todo ese peso? El estudio de la mecánica de materiales parte justamente de la premisa de que hay un límite de esfuerzo que un material puede soportar de manera segura en el momento de realizar la actividad o función para la cual fue diseñado (véase �gura 2.1). Por lo anterior, la actividad del ingeniero puede tomar algunas vertientes comunes, como la evaluación de la magnitud de esfuerzos a que está sometido un componente en funcionamiento o el Figura 2.1 El puente Akashi Kaikyo, en la pre- dimensionamiento de los componentes para que puedan fectura de Honsu, Japón, posee el mayor claro desempeñarse de manera adecuada. Éstas serán las líneas entre apoyos del mundo (1991 m). por seguir a lo largo de este capítulo.

2.1 Definición de esfuerzo odos los objetos que rodean y con los que interactúan las personas día con día en todo el mundo se hallan bajo diferentes tipos de cargas; es decir, están sometidos a diversas condiciones de esfuerzo. Inclusive, todos y cada uno de los órganos y sistemas que conforman el cuerpo de los seres vivos interactúan de manera continua, en forma externa e interna y son sometidos a esfuerzo. Por ejemplo, si se observa un árbol mecerse por acción de la brisa, difícilmente se considera que el tronco se encuentra realizando un esfuerzo; no obstante, si el mismo árbol cede por el efecto de un viento muy fuerte, ya sea fracturándose o desprendiéndose del suelo, será obvio que éste ejerció una fuerza que supera la capacidad del tronco o las raíces de soportar las acciones del medio (véase �gura 2.2). . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Figura 2.2 Una magnitud suficientemente alta de carga puede causar el fallo de un cuerpo.

Figura 2.3 Fractura debida a un esfuerzo excesivo.


Esfuerzo normal y deformación lineal

Esfuerzo La forma más simple para de�nir el esfuerzo es bajo el concepto de esfuerzo normal, de�nido por la letra griega sigma s. Este esfuerzo se expresa como la relación entre la carga aplicada y la sección transversal resistente. Esto es (ecuación 1.10): s5

P A

Donde: s: Esfuerzo normal. P : Carga aplicada al cuerpo expresada en N o lb (SI). A: Área de la sección transversal expresada en m 2 o in2 para el Sistema Inglés. Así, las unidades que de�nen el esfuerzo son N/m2 (Pascal) o lb/in2 (psi). En el Sistema Internacional de Unidades (SI) se tiene como unidad de esfuerzo el Pascal; no obstante, 1 Pa constituye una magnitud de esfuerzo sumamente baja, por lo que con regularidad se trabaja con MPa. 1 MPa 5 1 3 106 N/m2 este orden de magnitud es común, por lo que es muy importante familiarizarse con éste. La ecuación anterior identi�ca la intensidad del esfuerzo considerando una distribución uniforme de la fuerza sobre la sección transversal del cuerpo. Debido a que estos esfuerzos actúan en una dirección perpendicular a la super�cie de la sección reciben el nombre de esfuerzos normales. P


La ecuación s 5 (ecuación 1.10) es válida solo si el esfuerzo está uniformemente distri A buido sobre la sección transversal de la barra y la carga P actúa sobre el centroide de la sección. En caso contrario, se tendrán condiciones que propicien la �exión, por lo que deberá darse un tratamiento diferente, el cual se aborda en apartados posteriores. Un punto que debe entenderse con esta de�nición es que el esfuerzo no es más que la respuesta interna del cuerpo ante la carga aplicada. Si se toma como ejemplo la grúa de la �gura 2.4, puede observarse que ésta se eleva por medio de cuatro cilindros hidráulicos para dar rigidez y mayor seguridad a la operación. Cada uno de los cilindros estará sometido a una carga de compresión correspondiente a la suma del peso del vehículo y de la carga a izar. Así, para determinar el valor del esfuerzo al que se encuentra sometido el componente será necesario solo identi�car el valor de la carga aplicada y dividirla entre el área de su sección transversal.


63

64


Figura 2.4 Acción de compresión sobre cilindro de elevación.

En este caso, si se aísla el cilindro, se puede ver que éste recibe una carga axial (a lo largo de su eje principal), la cual ejerce una acción de compresión que tiende a compactar el material. Ante esta situación, lo primero es identi�car dos tipos de esfuerzo normal (actuante normal o perpendicular a la sección transversal): esfuerzo de tensión y esfuerzo de compresión, ambos simples en su concepción, representan una parte importante de los problemas de ingeniería. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

A ctividades de aprendizaje Resuelve los problemas utilizando la fórmula de esfuerzo (ecuación 1.10), vista anteriormente, y tus conocimientos previos acerca de la estática. Entrega los problemas resueltos a tu profesor. s5

P A

a) Dos barras sólidas cilíndricas están soldadas en el punto B, como se muestra en la �gura 2.5. Encuentra el esfuerzo normal en el punto medio de cada barra. Figura 2.5




Desarrollo


b) Se tiene una barra horizontal CBD cuya longitud es de 2.5 m, se sostiene y carga como se muestra en la �gura 2.6, el miembro vertical AB tiene un área de sección transversal de 500 mm2. Determina la magnitud de la carga P que produzca un esfuerzo normal igual a 40 MPa en el miembro AB.


65

66




Desarrollo



Tipos de esfuerzo La capacidad de soportar la carga de un elemento mecánico depende del límite elástico del material utilizado para su manufactura. Para el diseñador es crucial realizar una correcta selección de materiales; de ello dependerá en gran medida tanto el nivel de seguridad y con�abilidad del elemento, como de la esbeltez o robustez �nales de un conjunto mecánico. Recuérdese que en los materiales dúctiles existe una región llamada de proporcionalidad o zona elástica, que obedece a la ley de Hooke y para la cual existe una total correspondencia entre la magnitud del esfuerzo aplicado y la magnitud de deformación unitaria. Las deformaciones aplicadas nunca serán permanentes, por lo que se considera que el material no alterará su forma a lo largo de su vida útil. Las condiciones de carga de los cuerpos pueden ser muy diversas. No obstante, los tipos de esfuerzo que se experimentan se pueden resumir en tres: tensión, compresión y cortante. Sin embargo, es común revisar casos particulares de estos esfuerzos, como el aplastamiento, la �exión o las concentraciones de esfuerzo, que a su vez generan condiciones de esfuerzos normales en zonas del material del que está hecha la pieza en estudio. Revísese, por ejemplo, el caso del extractor de poleas de la �gura 2.7. En este caso, cuando se aplica una torsión a través de la entrada hexagonal del tornillo, se da un avance del tornillo de extracción, que genera, en combinación con las uñas del extractor, una mezcla de cargas actuantes en cada uno de los componentes.

Barra de carga

Tornillo de extracción

Uña


Figura 2.7 Acción del extractor de poleas.

Si se analiza cada uno de los elementos por separado, es posible observar las relaciones de cargas y esfuerzo sobre las piezas. Esfuerzo de compresión. El tornillo se encuentra bajo la acción compresiva al forzar un avance de la pieza sobre el eje en que está alojada la polea o engrane a desmontar (véase �gura 2.8). Figura 2.8 Compresión sobre el tornillo de carga.


67

68




Esfuerzo de tensión. Las uñas del extractor tratan de elevar el com-

ponente a desmontar. Para ello, es necesario ejercer una tensión que incrementará por cada grado de avance que se genere en el tornillo (véase �gura 2.9). Esfuerzo de aplastamiento. El espesor de las barras o uñas genera un esfuerzo de compresión localizado en una pequeña región de la super�cie del material, lo que conduce al aplastamiento (véase �gura 2.10 a). Esfuerzo cortante. La región en la que se aloja el tornillo resiste una carga que actúa de manera periférica sobre un área cilíndrica, la cual trata de cortar los �letes del tornillo (véase �gura 2.10 b).

A

P

Figura 2.9 Tensión sobre las uñas.

a)

Zona cortante

a)

b)

b)

Figura 2.10 a) Aplastamiento aplicado a la barra. b) Cortante aplicado a la barra.

A ctividades de aprendizaje Análisis de esfuerzo en componentes de una retroexcavadora. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

En la �gura 2.11 se muestra una máquina retroexcavadora con un equipo para fracturar rocas. Evalúa para cada elemento que conforma el conjunto de orientación si se encuentra sometido a esfuerzo de tensión o compresión cuando se aplica la carga para fracturar y completa la tabla siguiente. Compresión

Punto

Tensión

(…….)

A

(…….)

(…….)

B

(…….)

(…….)

C

(…….)

(…….)

D

(…….)



Figura 2.11

2.2 Esfuerzos de tensión y compresión en cuerpos En el caso de un gato automotriz (véase �gura 2.12), cuya función es apoyar en el cambio de llantas. Si se considera una posición de las barras de 35°, en la que el auto pierde el contacto con el piso, y una carga aplicada de 5 000 N en el extremo superior, ¿bajo qué tipo de esfuerzo se encuentran sometidas la barra de carga indicada y en el tornillo de elevación? 5 000 Diámetro del tornillo = 20 mm Espesor de barra = 1 mm A

Tornillo de elevación

Barra de carga


30 mm

35° 30 mm

Figura 2.12 Condiciones de análisis de gato de tijera.

Con base en los conocimientos de estática, recuérdese que al analizar una máquina, las cargas que mantienen el equilibrio en un componente son aplicadas bajo la misma línea de acción, pero en sentido opuesto al elemento o eslabón con el que se conectan (véase �gura 2.13).


69

70


5 000 N

5 000 N

A

35°

Figura 2.13 Separación de los componentes de un gato de tijera (diagramas de cuerpo libre separados).

En la �gura 2.13 se puede identi�car que las barras de carga en su totalidad se encuentran sometidas a una acción de esfuerzo compresivo, mientras que el tornillo de elevación está bajo la acción de un esfuerzo de tensión. En este caso, será necesario estimar la magnitud del esfuerzo en los componentes indicados (véase �gura 2.14). 5 000 N F B

55° 5 000 N

A

70° 55°

F B

F C

35°

35° F C

Figura 2.14 Determinación de magnitudes de carga mediante triángulo de fuerzas. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Puesto que todas las cargas convergen a un mismo punto, es posible aplicar el triángulo de fuerzas para determinar las magnitudes de las cargas F B y F C, aplicadas sobre las barras de carga (véase �gura 2.15). Por ley de senos: 5000 FB F C 5 5 sen 70° sen 55° sen 55°

Donde: FB 5 F C

5 000 sen 55° 5 4 240.24 N sen 70°



Para determinar el esfuerzo de compresión actuante se aplica la expresión de esfuerzo normal (véase ecuación 1.10). Por tanto, se tiene: s5

P A

El área de la sección es: A 5 (30 3 30) 2 (28 3 29) 5 88 mm2

Así, el esfuerzo normal es: s5

4 240.24 5 48.18 N/mm 2 5 48.18 MPa 88

El perno que conecta las barras de carga con la tuerca del tornillo está sometido a la acción simultánea de las cargas que se aplican en las barras, las cuales se trans�eren en forma directa al eje del tornillo de elevación (véase �gura 2.15). De este modo se tiene: 4 240.24 N

4 240.24 N 35°

110°

35°

PTornillo

Figura 2.15 Cargas transmitidas sobre el tornillo de elevación.

Si se aplica la ley de senos: P tornillo

sen 110° . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

5

4 240.24 sen 35°

Al despejar P tornillo, se tiene: P tornillo 5

4 240.24 sen 110° 5 6 946.80 N sen 35°

Así, el esfuerzo actuante en el tornillo de elevación es: s5

N P tornillo 6 946.8 5 2 5 22.11 mm 2 Atornillo p(20 ) 4

Como 1 N/mm2 5 1 MPa, stornillo 5 22.11 MPa.


71

72


A ctividades de aprendizaje Resuelve el ejercicio. En el laboratorio de la clase de mecánica de materiales se determina que un alambre metálico hecho con una nueva aleación presenta deformaciones permanentes cuando se aplica una fuerza de tensión de 95.8 N, perpendicular a cada extremo. Si el diámetro del alambre es de 1.64 mm, ¿cuál es el esfuerzo de cedencia de la aleación? Diagrama de cuerpo libre (DCL)

Desarrollo




Factor de seguridad La mayoría de los materiales de ingeniería empleados para el desarrollo de maquinaria, equipo u obras civiles son altamente conocidos y se dispone de su�ciente información sobre sus propiedades mecánicas. Así, el trabajo de diseño o análisis del ingeniero consiste normalmente en calcular la magnitud de las fuerzas actuantes sobre el componente que se diseñará y, con base en ello, establecer las dimensiones requeridas para que el material no se vea sometido a niveles de esfuerzo superiores a su punto de cedencia. En caso contrario, conforme a la revisión de las dimensiones del componente y la magnitud de los esfuerzos aplicados, se estima si el material trabaja bajo esquemas de seguridad o se encuentra bajo condiciones de riesgo (véase �gura 2.16). Una condición base para todo ingeniero encargado del diseño de elementos de máquina es entender el nivel de riesgo o afectación al que se puede exponer a los individuos si se llega a presentar una falla en alguno de los componentes que integran un conjunto mecánico. Es un grave error menospreciar la posibilidad de falla de un componente, aun cuando se tiene plena con�anza en el procedimiento de diseño o análisis empleados.


Figura 2.16 Fractura de dientes de engrane ante una sobrecarga por inversión de movimiento.

Ante estas condiciones, es necesario incluir el concepto de factor de seguridad. Éste se de�ne como la relación existente entre el esfuerzo de cedencia del material, o máximo esfuerzo admisible en rango elástico, y el esfuerzo de trabajo. Es decir, una magnitud de esfuerzo menor a la que el material puede soportar. F . S . 5

s yp s trabajo

(2.1)

Donde: s yp: Esfuerzo de cedencia (Por sus siglas en Inglés “yield point”) N/m 2, lb/in2.

Para ilustrar este tema, tómese como muestra un tornillo de sujeción fabricado en acero, cuya resistencia de cedencia está �jada por normas en 360 MPa, pero si se lo somete a un esfuerzo constante de 144 MPa, se tiene que el factor de seguridad es: Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 07:48:02.

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74


F . S . 5

360 5 2.5 144

Este valor puede interpretarse bajo diferentes ópticas: »

»

»

»

El material del tornillo puede soportar un incremento de 2.5 veces la magnitud de esfuerzo aplicado a su sección sin que sobrevenga la falla. El acero del tornillo se encuentra sometido a un esfuerzo 2.5 veces menor a su capacidad total. El tornillo tiene una sección mayor a la necesaria y, por tanto, el costo del componente se incrementa. El factor de seguridad constituye un incremento de las dimensiones necesarias del material para soportar un esfuerzo con objeto de mantener condiciones de �abilidad en el componente.

odas estas observaciones son ciertas y se complementan unas con otras. Por tanto, es necesario identi�car las condiciones que determinan la elección de un factor de seguridad para asegurar que se mantendrán en todo momento medidas óptimas para la estructura o componente de máquina sin poner en riesgo la rentabilidad del diseño en su totalidad.

E jemplo 2.1 El eslabón AB fue fabricado con un acero cuya última resistencia a la tensión es de 450 MPa. Se determina el área de la sección transversal de AB para la cual el factor de seguridad es 3.50, tomando en cuenta que el eslabón se reforzará correctamente alrededor de los pasadores en A y B.


Figura 2.17

Primero, hay que convertir la fuerza distribuida en puntual: P 5 8

kN 3 1.20 m 5 9.6 kN m



Si se aplica momento respecto al punto D se tiene:

∑ M 5 0 D

(2F AB sen 35°)(0.8 m) 1 (F )(0.4 m) 1 (P )(0.2 m) 5 0 (F AB sen 35°)(0.8 m) 5 (20 kN)(0.4 m) 1 (9/6 kN)(0.2 m) (F AB sen 35°)(0.8 m) 5 8 kNm 1 1.92 kNm (F AB sen 35°)(0.8 m) 5 9.92 kN F AB 5

9.92 kN 5 21.6 kN 5 21.61 310 3 N (0.8)(sen 35°)

Como es sabido, el factor de seguridad (ecuación 2.1) es el esfuerzo máximo sobre el esfuerzo de trabajo: F . S . 5

s yp s trabajo

Donde: s yp 5 450 MPa 5 450 3 106 N/m2 s trabajo 5

F AB A AB

Si se despeja se tiene: s yp 5 F. S. 3 strabajo . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

s yp 5 F . S . 3

A AB 5

F AB A AB

F . S . 3 F AB s c

Si se reemplaza queda como sigue: 3.50 3 21.61 310 3 N 5 1.68 3 10 4 m 2 5168 mm 2 A AB 5 6 450 3 10 N


75

76


A ctividades de aprendizaje Resuelve el ejercicio. Los elementos AB y CD de la armadura mostrada están fabricados con la misma aleación. Se sabe que una barra cuadrada de 20 mm por lado, de la misma aleación, se ensayó hasta la falla y se registró una última carga de 120 kN. Si debe lograrse un factor de seguridad de 3.2 para ambas barras, determina las dimensiones requeridas para el área de la sección transversal de: a) La barra AB. b) La barra AC. Diagrama de cuerpo libre (DCL) Figura 2.18


Desarrollo



77

Factores que intervienen en la confiabilidad de un componente Durante la práctica del diseño de un elemento sujeto a condiciones de esfuerzo; es menester que el equipo de diseño evalúe los factores de riesgo que pueden incidir en el componente y causar un potencial fallo a una sección o la totalidad de la pieza. Recuérdese que no es necesario que el material se fracture para considerarse bajo condiciones de falla; es su�ciente con que se presente una deformación en rango plástico que impida el correcto desempeño del elemento para considerar que Figura 2.19 Fractura de prensa de sujeción para maquinado. no es viable para efectuar el trabajo. La mayor parte de las veces es difícil revisar la totalidad de condiciones susceptibles de afectar a un componente bajo carga. Por ejemplo, el caso de la prensa para maquinado mostrada en la �gura 2.19. La referencia dada por el usuario es que la fractura se presentó al momento de apretar la pieza que se pretendía maquinar. Es importante acotar que el componente no se impactó previamente ni se le aplicó una sobrecarga al usar un mayor brazo de palanca para sujetar el bloque a ser maquinado, ni tampoco se identi�caron deformaciones o grietas previas en el material. Si las condiciones de trabajo eran normales, ¿cuál puede ser la causa de una fractura súbita del material? Análisis

Cuando se observa a detalle la zona de fractura fue posible identi�car tres potenciales razones del fallo de la prensa: 1. Hay una zona altamente rugosa en la región de fractura, que corresponde a los granos del me . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

tal y permite deducir que el material poseía una estructura granular grande, resultado normal de un crecimiento libre durante el proceso de solidi�cación del metal al ser vaciado y al cual no se le aplicó un tratamiento térmico posterior para a�nar la estructura. Recuérdese que en el caso de los materiales metálicos, la resistencia mecánica está ligada al tamaño del grano y es mejor la respuesta ante carga cuando la estructura granular es pequeña. 2. Se observa que presenta una discontinuidad en el centro de la zona de la fractura, similar a un barreno practicado en el mismo plano de corte. Al observar con mayor detalle, se identi�ca la región como una vacancia en el vaciado; es decir, una región en la cual el metal no alcanzó a llenar el molde, debido a la fundición del metal a una temperatura cercana al punto de solidi�cación. 3. La prensa está manufacturada en fundición gris. La fundición es un material de naturaleza frágil debido a su elevada dureza; por tanto, no responde bien a los impactos o a las cargas de tensión, justo en la condición aplicada en la base de la mandíbula �ja de la prensa. Si


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bien, el uso de la fundición gris no es un error,1 sí debe cuidarse la calidad de los procesos para garantizar un adecuado desempeño del componente hecho con este tipo de metal. Estructira granular grande

Vacancia en el vaciado

Figura 2.20 Razones potenciales de fractura de la prensa.

Si bien el diseño y las dimensiones planteadas para la pieza pudieron ser correctas, la aparición de dos factores atribuibles a los procesos de manufactura contribuyó potencialmente a la formación de la grieta y fractura súbita de la sección. Por tanto, el diseñador deberá tomar en cuenta la posi bilidad de ocurrencia de algún factor externo, que potencialmente pudiera afectar su desempeño y con�abilidad. Los criterios por evaluar son: » » » »


» » »

Nivel de con�abilidad en los materiales. Complejidad del sistema para de�nir los esfuerzos aplicados. Experiencia y dominio del tema del diseñador o equipo de diseño. Grado potencial de afectación por razones medioambientales. Posibilidad de fallo durante las etapas de fabricación. Capacidad para aplicar programas de mantenimiento rutinarios. Nivel de riesgo para la integridad de las personas o los equipos en caso de una falla.

Estas condiciones base siempre deben ser consideradas durante las etapas de desarrollo del producto para procurar reducir o, si es posible, eliminar una falla potencial que ponga en riesgo a las personas o a los equipos circundantes. Es importante acotar que los factores de seguridad para diseñar un componente pueden oscilar entre 1.3 como mínimo y 7 como máximo. Usar 1.3 tiene una posibilidad latente de fallo, aun cuando todos los parámetros sean favorables al diseñador; mientras que un valor de 7 comúnmente se emplea cuando existen condiciones de riesgo altas que comprometen signi�cativamente la integridad del equipo o de la maquinaria. Debe recordar1

La fundición gris posee una elevada moldeabilidad, bajo coe�ciente de fricción, notable amortiguación de vibraciones mecánicas y una alta capacidad de absorber los lubricantes, condiciones que hacen de esta fundición una excelente opción para bastidores o bancadas de máquinas. Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 07:48:02.


se, además, que emplear valores altos para el factor de seguridad de forma rutinaria, implicará un mayor volumen y peso del equipo, requiriendo a la par mayor potencia para su funcionamiento y un costo elevado de producción.

A ctividades de aprendizaje Caso de análisis: Juego mecánico. 1. Evalúa cada uno de los criterios descritos para

de�nir el factor de seguridad requerido para este caso. La �gura 2.21 muestra parte de un juego mecánico pensado para los niños y sus padres. Cada una de las canastillas esta soportada por una estructura metálica en forma de L, la cual a su vez está conectada con un mecanismo de cuatro barras que asegura mantener la orientación conforme la canastilla sube y baja por acción de un cilindro hidráulico. El material empleado es acero estructural A36 y tubo sin costura, calibre 10; las piezas Figura 2.21 Juego mecánico para niños. son manufacturadas por medio de mecano soldadura y pintadas posteriormente para proteger de la corrosión. 2. Para determinar el factor de seguridad mínimo en los componentes contesta las preguntas. ¿Existe riesgo de lesiones graves o muerte si algún componente falla? ¿Cuáles son las condiciones ambientales de trabajo? ¿Cuáles son las posibles situaciones de falla que pueden presentarse en el juego mecánico? 3. Discutan grupalmente cada una de las preguntas e integren un concentrado de los puntos comunes y relevantes. Escriban sus conclusiones. 4. Evalúe cada parámetro de acuerdo con el caso de estudio, señalando la respuesta que considere correcta: Posibilidad de usar materiales con fallos. »

»

»


»

»

»

Alta Media Complejidad para determinar las cargas.

Baja

Alta Media Experiencia para desarrollar el diseño.

Baja

Alta

Baja

Media


79

80


»

»

»

»

»

Afectación del medio ambiente al equipo. Alta Media Nivel de complejidad en la fabricación.

Baja

Alta Media Imposibilidad de dar mantenimiento.

Baja

Alta Media Posibilidad de lesión si se presenta una falla.

Baja

Alta Media Baja Factor de seguridad sugerido para el diseño de los componentes del juego mecánico:

____________________________________________________________________ 5. Compara tu respuesta con la sugerida por otros alumnos y establece una conclusión tomando en cuenta una última pregunta: ¿Subirías al juego con ese nivel de seguridad? ¿Por qué? »

2.3 Deformaciones ante esfuerzos normales


Existen dos criterios básicos para el dimensionamiento y análisis de componentes mecánicos y estructurales: diseño por resistencia y diseño por rigidez. Ambos criterios revisten la misma importancia en el ámbito de la mecánica de materiales. La mayoría de los componentes mecánicos serán útiles en las operaciones para las que han sido conceptualizados si y solo si existe certeza de que las magnitudes de esfuerzo aplicado al componente se encuentran por debajo del punto de cedencia y las deformaciones inducidas son controladas en rangos que no comprometen el correcto desempeño del elemento. ómese como ejemplo un puente colgante; como es sabido, en este tipo de puente es evidente la falta de rigidez de la estructura. No obstante, la resistencia de los materiales está asegurada, es difícil mantener un paso constante ante la continua deformación del puente debido a las cargas aplicadas en sus diferentes secciones. Este ejemplo, si bien resulta extremo, permite entender que tanto la resistencia como el nivel de rigidez serán relevantes al momento de dimensionar un elemento estructural. Considérese un puente vehicular con una �exibilidad equivalente a la de un puente colgante (véase �gura 2.22). Si se toma como referencia la estructura que se muestra en la �gura 2.22, se puede observar por comparación que la altura total del marco es conFigura 2.22 Una estructura o componente debe siderable para permitir el paso vehicular en tres nigarantizar la resistencia y rigidez adecuada.



81

veles. Durante la etapa de selección de materiales, puede optarse por dos alternativas típicas: concreto reforzado o acero. La primera opción resulta ser económicamente ventajosa al proveer de una alta solidez y con�abilidad para soportar las cargas. No obstante, en caso de emplearse en una región con movimientos sísmicos, el concreto, debido a una elevada rigidez, tendrá poca capacidad de absorber la energía del movimiento telúrico mediante deformación elástica, por lo que existe un elevado riesgo de colapso. El acero, por su parte, si bien resulta costoso, ofrecerá mayor con�anza en el caso de absorción de energía al permitir deformaciones controladas que eviten el fallo de la estructura.

Relación esfuerzo-deformación Para el estudio de la relación entre el esfuerzo y la deformación generada en un cuerpo, se parte de las siguientes premisas: 1. Los esfuerzos aplicados estarán por debajo del límite de cedencia del material. Por tanto,

los materiales estudiados se comportarán conforme a la ley de Hooke. 2. Solo se evaluarán materiales que presenten zonas elásticas y plásticas bien de�nidas. 3. No se consideran materiales de comportamiento elastoplástico, porque éstos deberán analizarse de forma particular. 4. Se considerará que el material es homogéneo en todas sus direcciones. El caso de deformación en materiales heterogéneos o compuestos no está contemplado dentro de los objetivos de esta publicación.


Si se revisa el comportamiento del material dúctil en un ensayo esfuerzo-deformación unitaria, se observa que existe un patrón de comportamiento que identi�ca las regiones elástica y plástica del material (véase �gura 2.23). La región elástica, de�nida por una línea recta que parte del origen del diagrama se mantiene con una pendiente continua hasta el punto de cedencia. Para el estudio de la mecánica de materiales, tanto la capacidad de carga del material como su deformación, son evaluadas en este rango. Después del límite elástico, se presenta una pequeña región Deformación que exhibe un comportamiento de  plástica Esfuerzo máximo transición entre las zonas de deformación elástica y plástica; esta re- Punto de gión reviste poca importancia para cedencia el estudio de este capítulo, ya que está por arriba del límite de cedenE cia. Posteriormente, se presenta Esfuerzo de Región ruptura una región donde la tasa de deforelástica mación se incrementa, pero los incrementos en el esfuerzo aplicado no tienen una elevada magnitud,  denominada rango plástico, en el que el material desarrolla deforma- Figura 2.23 Diagrama esfuerzo-deformación unitaria para un material dúctil. ciones permanentes.


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Un recurso importante para determinar las propiedades de los materiales es la pendiente de la región elástica, la cual de�ne el módulo de elasticidad, que puede escribirse: E 5

s e

El módulo de elasticidad tiene las mismas unidades que el esfuerzo; es decir, pascales o psi, de acuerdo con el sistema empleado. Si la expresión del módulo de elasticidad se expresa en función de la deformación unitaria: e5

Como s 5

s E

P , por tanto: A e5

P AE

Puesto que e identi�ca la deformación unitaria, la cual es adimensional. Es necesario, con el ob jetivo de identi�car la deformación verdadera, multiplicar por la dimensión original. Así, se tiene: d 5 eL

Por tanto: d5

PL AE

Esta expresión nos permite evaluar la magnitud de la deformación a lo largo de su eje principal cuando se aplica una carga alineada al eje principal. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

E jemplo 2.2 Una grúa móvil, que extiende su brazo un total de 20 m a un ángulo de 70° (véase �gura 2.24), debe elevar una carga de 100 000 N, ubicada a nivel de piso por medio de un sistema de cable doble cuyo diámetro es de 10 mm. Si el módulo de elasticidad del acero es de 200 GPa, determina la deformación experimentada por el cable.

Figura 2.24 Detalle del cable de izaje.



Solución

Puesto que la grúa extiende un total de 20 m en un ángulo de 70°, es necesario de�nir la longitud de los cables bajo estas condiciones en la �gura 2.25.

20 m

L

L

20 m

70°

Figura 2.25 Diagrama esquemático de los cables de la grúa.

Así: L 5 20 sen(70°) 5 18.79 3852 m. El área: A 5 0.00007854 3 2 5 0.00015708 m 2 Por tratarse de dos cables: A 5 0.00007854 3 2 5 0.00015708 m 2. Por tanto, la deformación es: d5 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

10 000 (18.793852) 18 7 938.52 5 5 0.00598 m 15.7079 3 1025 (200 3 109 ) 7854000

La deformación del cable es de 5.98 mm, equivalente a una de 0.03%. Del ejemplo anterior se puede observar que las magnitudes de deformación, si bien pueden representar pequeños porcentajes con respecto a las dimensiones originales de los cuerpos; en este caso se debe prestar especial atención a la magnitud efectiva de deformación, porque para muchos equipos de precisión, deformaciones cercanas a centésimas de milímetro pueden representar condiciones que imposibiliten su funcionamiento. Guías de precisión, alojamientos de rodamientos, sistemas de ensamble y manejo de materiales, entre otros, son ejemplos de equipos y condiciones que deben operar bajo tolerancias dimensionales y geométricas cerradas. Por ello, es responsabilidad del ingeniero de diseño evaluar el nivel de deformación generado en los componentes de la máquina o los sistemas estructurales para garantizar un correcto desempeño. Resuelve el problema que se plantea a continuación.


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A ctividades de aprendizaje La �gura 2.26 muestra el interior de la cúpula superior del edi�cio del parlamento alemán en la ciudad de Berlín. El sistema de tirantes de acero se emplea para soportar el peso del pasillo soportando la carga desde la cúpula. Si el peso proporcional a cargar por cada tirante se estima en 10 toneladas y se encuentran montados en un ángulo de 50°, respecto de la horizontal. Determine la deformación unitaria en las barras si su diámetro es de 40 mm y E 5 200 GPa. Diagrama de cuerpo libre (DCL) Figura 2.26 Sistema de tirantes usados en el interior del parlamento alemán.

Desarrollo . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Resuelve el problema que se plantea a continuación. Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 07:48:02.


Determina la deformación en la varilla de acero que se muestra en la �gura 2.27 bajo las cargas dadas E 5 39 3 106 psi. La primera sección tiene un área de 0.9 in 2, mientras que el extremo libre tiene un área de 0.3 in 2.


Desarrollo . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C


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Esfuerzos de origen térmico odos los materiales experimentan procesos de dilatación y contracción proporcionales a la temperatura a la que se encuentren. Esta capacidad de expansión o contracción es particular para cada material; es importante evaluar su efecto sobre los conjuntos de maquinaria y ensambles. Considérese, por ejemplo, el caso de un eje de acero de 15 mm de diámetro, apoyado sobre un cojinete de bronce. Para este tipo de aplicaciones, por lo regular se manejan ajustes cerrados como H7g6, esto implica que las tolerancias para el eje pueden �jarse en 15 micras por debajo de su medida nominal; para el alojamiento del cojinete puede manejarse un incremento máximo de 15 micras con respecto al dato de diseño. Estas 30 micras de holgura son necesarias para garantizar la entrada de grasa lubricante y el movimiento relativo entre ambas piezas. Si hay un incremento importante de la temperatura, es posible que la holgura existente se reduzca a un nivel en el que no sea posible garantizar un espesor adecuado de la película lubricante o que la holgura sea cero, con lo cual se presente abrasión entre metales. Otro ejemplo se presenta en el caso del concreto y la varilla de refuerzo. Es necesario que ambos materiales posean un coe�ciente de expansión térmica similar para garantizar dilatación o contracciones uniformes en ambos materiales; en caso contrario, se tendría el riesgo de fracturas graves en el concreto ante la dilatación o contracción del acero de la varilla. La proporción en la que un material experimentará cambio en su longitud o volumen ante una modi�cación de temperatura depende de su coe�ciente de dilatación térmica, denominado por la letra griega alfa (a). Algunos coe�cientes de expansión térmica para metales comunes de ingeniería se presentan en la tabla 2.1. Tabla 2.1 Coeficientes de expansión térmica para metales comunes en ingeniería Material


Aceros al carbono Acero inoxidable AISI 302 Fundición gris 4.5% C, ASTM A-48 Hierro fundido 2% C Aluminio 2014-T6 Aluminio 2024-T4 Aluminio 6061-T6 Aluminio 7075-T6 Cobre Latón amarillo Bronce 88 Cu, 8 Sn, 4 Zn Bronce al manganeso Bronce al aluminio

Coeficiente de expansión térmica, 10-6 /oC 11.7 17.3 12.1 12.1 23.0 23.2 23.6 23.6 16.9 20.9 18.0 21.6 16.2



Análisis de casos que involucran cambio de temperatura Para determinar la deformación producida en un material por la variación de la temperatura se aplica esta relación: dT 5 a(DT )L

(2.2)

Donde a representa el coe�ciente de expansión térmica en 10 26 /°C (grados Celsius) para el sistema internacional o 1026 /°F (grados Fahrenheit) para el sistema inglés, ∆T es la variación de temperatura y L, la longitud original del componente antes de la variación térmica. Para llevar a cabo el análisis de esfuerzos generados en un elemento sometido a expansión térmica es común partir de un esquema de dos etapas: permitir que el material se expanda o contraiga libremente por la acción del aumento o decremento de la temperatura y, posteriormente, basados en las condiciones de frontera del componente, aplicar deformaciones por carga en magnitudes su�cientes para retornar la pieza a su posición de restricción.

E jemplo 2.3 Supón que hay una barra cilíndrica de sección transversal uniforme y longitud L, sometida a una variación de temperatura ∆T . Si ésta se encuentra restringida en ambos extremos por paredes rígidas (véase �gura 2.28 a), determina la magnitud del esfuerzo inducido en la barra por acción de la expansión del material.

Solución Como se acotó en párrafos anteriores, es necesario suponer que la barra se expande libremente al eliminar de manera hipotética una de las restricciones y con ello de�nir la deformación por temperatura que se generaría en el material. Al permitir la expansión eliminando una restricción se tiene: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C



Figura 2.28

  

Figura 2.29


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88






  

Ahora se hace necesario incluir las condic condiciones iones de frontera. Esto signi�ca que la deformación del extremo derecho de la barra no está en condiciones de expandirse; es decir, d 5 0. Para ello, es necesario aplicar una carga de magnitud su�ciente para deformar por carga la barra en la misma proporción que la expansión térmica modi�có la longitud de la barra (véase �gura 2.30). Por tanto, con las ecuaciones 2.2, si:

Figura 2.30

dT 5 dP

Es decir: a( DT )L 5

P(L) A( E )

Como lo primero es identi�car la magnitud de carga requerida para lograr la deformación, al despejar P del del sistema se tiene: P 5 5 A(E )a(DT )

Como el esfuerzo es: s5

P A

s 5 a(E )(DT ) a compresión.


El análisis de sistemas sometidos a deformaciones de origen térmico por lo general resulta complejo, porque es necesario establecer las condiciones de deformación y cargas actuantes para asegurar una evaluación correcta del problema. Si bien, la premisa de permitir la deformación libre del conjunto y posteriormente aplicar cargas para cumplir condiciones de d e frontera es válida, resulta en la mayoría de las ocasiones un proceso complejo para quien se inicia en el estudio de este tipo de problemas. Las condiciones que se cumplen para un conjunto pueden no ser totalmente aplicables a otro sistema.

E jemplo 2.4 Dos barras, una de bronce y otra de aluminio, se encuentran alojadas entre dos paredes totalmente rígidas; se mantiene una holgura entre la pared izquierda i zquierda y la barra de bronce de 0.5 mm, como se muestra en la �gura 2.31. Si se presenta un aumento de la temperatura de 96 °C, determina:



a) La fuerza de compresión en las barras. b) El cam cambio bio correspondiente en la longitud del bronce.  

 

 





Figura 2.31

Datos: Bronce

Aluminio

A 5 1 500 mm2

A 5 1 800 mm 2

E 5 105 GPa

E 5 73 GPa

a 5 21.6 3 1 10 026 /°C

a 5 23.2 3 1026 /°C

Solución

a) Fuerza de compresión en las barras. Lo primero es evaluar la deformación total de ambas barras al aplicar el gradiente térmico. Si: dT 5 aLDT . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Para el bronce: 26 dT B B 5 (21.6 3 10 )(0.35)(96)

dT B 5 0.0007257 m

Para el aluminio: dT Al 5 (23.2 3 1026)(0.45)(96) dT Al 5 0.0001002 m

Por tanto: dT B B 1 dT Al 5 0.0007257 1 0.0001002 dT 5 0.001728 m


89

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Debido a que existe un claro de 0.5 mm, se debe identi�car la deformación total restringida por la pared, esto es: dT 5 0.001728 2 0.0005 5 0.001228 m

Esta magnitud de deformación se encuentra restringida por la acción de las paredes. Es necesario necesari o encontrar el valor del gradiente térmico ∆T , para el cual se logra una dilatación entre ambas barras de 12.28 3 1026 m. Primero, se obtiene la temperatura necesaria para dilatar 0.5 mm. Si, dT 5 0.5 mm dT 5 dT B B 1 dT Al dT 5 aB LB DT 1 a Al L Al DT dT 5 DT (aB LB 1 a Al L Al )

Sustituyendo: 0.0005 5 (21.6 3 1026)(0.35) 1 (23.2 3 1026)(0.45)DT 0.0005 5 0.000018∆T Donde:

∆T 5 27.77 °C Por tanto, el gradiente de trabajo será: ∆T 5 96 2 27.777 5 68.2223 °C.


0.35021

0.45029

Br

Al

Figura 2.32

El problema es ahora equivalente a tener ambas barras sin claro y sometidas a un incremento de temperatura de 68.2223 °C. En esta etapa del ejercicio, es necesario recordar que se debe suponer que los materiales son capaces de expandirse o contraerse libremente por acción del cambio de temperatura y, después, evaluar la carga necesaria para restringir las deformaciones conforme a las condiciones de frontera existentes en el sistema en estudio. Las nuevas dimensiones resultan de aplicar una dilatación en ambos materiales a 27.7777 °C, con el objetivo de eliminar la holgura inicial.

Evaluación a 68.2223 °C. Como es sabido, bajo esta temperatura ambos materiales se dilatan en forma conjunta 12.28 3 1024 m. No obstante, la pared izquierda impide esta deformación.



El procedimiento a seguir considera eliminar una pared y permitir la dilatación; después, para mantener las condiciones de frontera, d 5 0, se aplica una carga que forzará ambas barras a la posición con restricción. Otro aspecto relevante que el lector debe considerar es que existe una interacción entre ambas barras durante la dilatación; es decir, la dilatación del aluminio se opone a la del bronce y viceversa. Si se evalúan las condiciones actuantes sobre el bronce: 0.35021

TB

TAI

Figura 2.33 Tal / B

PE

PB

PE

TB

Figura 2.34

a la carga ejercida por la pared sobre las barras, tanto de aluminio como de P E E corresponde


bronce. Si se parte de la premisa: A la deformación d eformación térmica del bronce se le oponen la carga aplicada por las paredes y la dilatación del aluminio, los cuales generan una deformación por carga en el bronce y una producida por la fuerza que el aluminio ejerce sobre el bronce. Así, dT B 2 d

P Al B

2 d PB 5 0

 P( AI / B ) LB   PE LB   2   5 0  AB E B   AB E B 

a B ( LB )DT 2 

Al estar estar en en contacto contacto ambas barras barras,, las las magnitude magnitudess de las cargas cargas experime experimentadas ntadas por cada cada una una son iguales, P Al/B 5 P E , por tanto,

 P E (0.35021)  5 0 0.0015 015(200 (200.10 .109 )   0.0

0.0005157 2 2 


91

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Así,

P E 5 221 kN.

b) Para determinar la longitud �nal del bronce se aplican las condiciones de deformación térmica y por carga ejercida por la pared considerando ∆T 5 68.2223 y P 5 221 000 N. d 5 21.6 3 1026 (0.35021)(68.223) 2

221000 (0.350 221000 (0.35021 21)) 0.0015 (2 ( 200 3 109 )

d 5 5.16 3 1024 2 2.58 3 1024 5 2.58 3 1024 5 0.258 mm

A ctividades de aprendizaje Resuelve el siguiente problema.

0.3 m

una placa placa de aluminio aluminio (E 5 70 GPa), cuyo espesor 1. Se tiene una

de 10 mm se mantiene constante a todo lo largo del material. Se aplica una carga en su extremo de 100 000 N a tensión. a) Obtén la magnitud del desplazamiento producido producido por la carga, considerando la posibilidad de emplear: Un per�l de placa rectangular con un ancho promedio. Una sección escalonada de tres secciones. b) Compara los resultados.

1m

»

»

100 000 N

Deformación considerando tres secciones escalonadas: 0.1 m


Deformación considerando un ancho constante de 0.2 m:



bronce que se 2. Determina los valores del esfuerzo en los tramos AC y CB de la barra de bronce muestra en la �gura 2.36 cuando su temperatura es de 250 °C, tomando en cuenta que existe un ajuste en ambos soportes rígidos cuando la temperatura es de 32 °C. La sección transversal del segmento A – C es 0.6 in2 y C – B de 1.2 in 2.

Figura 2.36 Bronce

E 5 105 GPa a 5 21.6 3 1026/°C Desarrollo



93

94


2.4 Relación de Poisson Considérese el caso de una barra prismática que está sometida a la acción de una fuerza, que actúa a lo largo del eje principal de la sección, además de la deformación causada por la acción directa del esfuerzo sobre el material, se presentarán deformaciones de forma perpendicular al eje de la sección sometida a carga. Estas deformaciones, considerando que el material exhibe un comportamiento isotrópico y homogéneo y que se presentan dentro del rango elástico del material, mantienen una proporción constante Figura 2.37 en función de la naturaleza del material, siendo el menor valor para el concreto de 0.15, el mayor para el hule de 0.5 y para la mayoría de los metales, cercano a 3. Esta proporción en el nivel de deformación es conocida como coe�ciente de Poisson, en honor al físico francés, Simeon Denis Poisson, quien realizó el planteamiento de la relación entre deformaciones axiales y normales, en 1828. La relación de Poisson se de�ne como: v 52

e y e x

52

e z e x

(2.3)

Donde: n(Nu): Relación de Poisson. e x : Deformación axial o correspondiente a la dirección de aplicación de la carga. e y , ez : Deformaciones normales a la dirección de la deformación principal. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

El signo negativo se incluye en la expresión para acotar que para un esfuerzo de tensión o deformación positiva corresponde una reducción de la dimensión en la dirección normal. Para estimar la razón de deformación inducida se emplea la ley de Hooke generalizada. Para los casos en los que se aplique esfuerzo tan solo en un eje o dos, bastará con hacer el esfuerzo sobre el eje no considerado igual a cero; por tanto, es posible determinar las deformaciones unitarias en x , y , z . e x 5 e y 5 ez 5

1

[s x 2 v (s y 1 s z )]

E

1

[s y 2 v (s z 1 s x )]

E

1

[s z 2 v (s x 1 s y )]

E



Siempre que no se restrinja la deformación axial, se considera que los esfuerzos sobre los ejes normales a la línea de acción de la carga son iguales a cero. Caso contrario, será necesario llevar a cabo un análisis del nivel de esfuerzo producido sobre la cara en consideración para evaluar sus efectos sobre el cuerpo.

95

Y

E jemplo 2.5

X Z

Si se tiene un bloque de acero sometido a un estado de esfuerzo bidimensional sobre x y y , determina la magnitud de las deformaciones en cada uno de los ejes si se considera un coe�ciente de Poisson de 0.3.

Figura 2.38 y

Datos para el análisis: s x 5 140 MPa s y 52 60 MPa

x

4 cm

E 52 200 GPa Z

e x , e y , ez 5 ?

2 cm 10 cm

Figura 2.39

Solución

Si se sustituyen las magnitudes de esfuerzo en la ecuación generalizada de Hooke, se tiene: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

e x 5

1 9

[140 3 106 2 0.3(260 3 106 1 0)] 5 0.00079

200 3 10 1 [260 3 106 2 0.3(0 1 140 3 106 )] 520.00051 e y 5 9 200 3 10 1 [2 0.3(260 3 106 1 140 3 106 )] 520.00012 e z 5 9 200 3 10 Se recomienda familiarizarse con las condiciones de deformación generadas por cada uno de los esfuerzos aplicados sobre el material. Observa la diferencia en magnitud entre e y y ez . Mientras que en el eje y se experimenta una deformación lateral por la acción del esfuerzo en x , en y se tiene una deformación de compresión directa por el esfuerzo actuante sobre ese eje. Por su parte, el eje z, si bien experimenta una reducción por el esfuerzo actuante en x , el esfuerzo en y trata de expandirse en el eje z .


96


A ctividades de aprendizaje 1. Determina si los enunciados indicados para cada estado de esfuerzo son ciertos o falsos. Con-

sidera que se trata de un cubo perfecto en el que las dimensiones de cada cara son idénticas y el coe�ciente de Poisson es 0.3: sy

sy

sx

Z

Figura 2.40

La deformación en Z es cero.


F V

La deformación en X es cero.

F V

La deformación causada por s x se F V opone a la causada por s y .

La deformación en Z es cercana a F V un tercio de la generada en Y .

La deformación en el eje X es de la F V misma magnitud que la ocurrida en el eje Y , solo que de diferente sentido.

Debe evaluarse un esfuerzo equiva- F V lente, el cual produce que e x 5 0, y aplicarlo en la ley general de Hooke.



E jemplo 2.6 Una placa cuadrada de aluminio de 500 mm de lado con espesor de 20 mm y n 5 0.3, se encuentra insertada entre paredes laterales rígidas sin holgura entre ellas, dejando libre solo la sección en z . La placa experimenta un incremento de temperatura de 20 °C. Si el coe�ciente de expansión térmica es a 5 23.6 3 1026/°C y el módulo de elasticidad E 5 70 3 109 Pa, determina: a) El esfuerzo generado sobre las paredes de la placa. b) El espesor �nal de la la placa. placa. Solución

Lo primero es determinar la deformación causada por el gradiente de temperatura (véase �gura 2.40).

T = = 20 °C

T


dT 5 aLDT 5 23.6 3 1026(500)(20) 5 0.236 mm

Puesto que la placa se encuentra insertada entre paredes rígidas que q ue imposibilitan la deformación en los ejes x y y es es necesario identi�car una magnitud de esfuerzo esfuer zo que deforme la placa en la misma magnitud que la deformación térmica para cumplir con las condiciones de frontera. Como: d x 5 d y 5 0. Puesto que: d5

PL AE

P 5

d AE L

Por tanto, se tiene:


97

98


Debido a que las unidades de longitud y deformación se encuentran indicadas en milímetros, tanto se usa: E [N/mm [N/mm2]. P 5

0.2236 0. 36(5 (500 00 3 20 20))200 0000 0000 5 330 400 N 500

Conocida la carga aplicada en las paredes rígidas y puesto que A 5 500 3 20 5 10 000 mm2: s5

330 40 330 4000 N 33.0 .044 MP MPa a 5 33.04 5 33 10 00 0000 mm2

El problema es ahora equivalente a una placa sometida a esfuerzo en las caras x y y y , bajo acción de un gradiente térmico. Enseguida, se obtiene la deformación unitaria en z : v e z 5 2 [2s x 2 s y ] E

Debido a que el esfuerzo en x es es de igual magnitud que el aplicado en y se se tiene: v e z 52 5 2 [22s x ] E

Si se sustituye: e z 5 2

0.3 [22(33.04)] 5 99.1 31025 2000 00 20 0000

La deformación generada en z por por la acción de los esfuerzos laterales es: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

d 5 eL 5 99.1 3 1025(20)5 1.98 3 1023 mm

La deformación térmica en el eje z es: es: dTz 5 23.6 3 1026(20)(20) 5 0.00944 mm

La deformación total de la placa en z es: es: 0.00944 1 0.00198 5 0.01142 mm. El espesor �nal de la placa es: 20 1 0.01142 5 20.01142 mm.



99

2.5 Esfuerzos cortantes


En la sección anterior se estudió que cuando se tiene una interacción entre cuerpos y se presenta la aplicación de fuerzas entre ellos, de manera obligada se da la generación de esfuerzos es fuerzos a lo largo del material. La magnitud del esfuerzo, por su parte, está en función del valor de la carga aplicada y la dimensión de la sección transversal del cuerpo. Estos esfuerzos se han ido identi�cando como de tensión o de compresión, conforme se trate de estirar o comprimir al material, respectivamente. Así, por p or ejemplo, el cable de un elevador o la cadena de un columpio trabajarán siempre bajo condiciones de tensión, mientras que la base de una silla o la cimentación de una casa estarán sometidas a compresión. ambién se revisó que, en los casos de diseño, las magnitudes de los componentes estarán considerados en función del valor del esfuerzo de cedencia del material empleado y no se presentarán condiciones de riesgo, siempre que el esfuerzo aplicado al componente se mantenga por debajo del límite elástico. Existe, no obstante, otra condición que potencialmente puede ser causante de falla en los materiales. En la �gura 2.41 se muestra un ejemplo de la acción de una cizalla durante el corte de una sección de lámina. Se puede observar que la acción paralela de las cuchillas ejerce la carga necesaria para someter al material a un esfuerzo cortante que termina por separar la sección de acero a lo largo de la cuchilla. Este caso particular de aplicación de carga es común en tijeras, punzonadoras y cizallas, y se distingue por la aplicación de cargas opuestas en planos paralelos, a Figura 2.42 Corte por cizallamiento de una diferencia de los esfuerzos normales, los cuales se considera sección de lámina. que actúan uniformemente sobre la sección transversal del material. Es importante acotar la naturaleza de los esfuerzos producidos sobre los materiales en función de la forma en que son aplicados, para favorecer el entendimiento y posterior estudio de casos. Observa los esquemas de la �gura 2.43. Para el caso particular del esfuerzo cortante, es importante destacar que se genera siempre que se tienen pares de fuerzas actuantes sobre líneas de acción muy cercanas entre sí. La distancia a la que se aplica el par de fuerzas es importante para asegurar que se trata efectivamente de un esfuerzo cortante directo. Si la distancia se hace igual a cero, las líneas de acción actúan sobre el mismo eje, con lo que se tiene un caso de compresión o aplastamiento como en el uso de un cortaúñas o un cuchillo sobre carne. Si la distancia es excesiva, se tiene la generación de un par, lo que puede conllevar a una �exión. Para el caso particular del esfuerzo cortante, se considerará que las cargas no actúan sobre la misma línea de acción, aunque la distancia existente o claro de corte es tan pequeño que puede considerarse despreciable en los cálculos. (Nota. El cálculo del claro es relevante en los procesos de troquelado para garantizar un correcto desprendimiento del material.)


100

a)


P

P

P

c)

P

Se considera que la carga se aplica sobre la totalidad de la sección transversal, produciendo un esfuerzo de compresión. El esfuerzo se distribuye en la sección con deformaciones uniformes. b)

P

P

P P

La carga se aplica en planos paralelos separados con una pequeña distancia u holgura, lo que genera condiciones de cortante. Existe una deformación oblicua previa a la fractura del material. La carga se aplica solo en una región localizada de la super�cie produciendo compresión localizada o aplastamient produciendo aplastamiento. o. Solo una región de la sección se somete a esfuerzo y a deformación.

Figura 2.43 Diferencias entre aplicaciones de carga y tipo de esfuerzos generados: a) compresión, b) aplastamiento y c) cortante.

La falla por cortante directo es también un proceso combinado de los esfuerzos sobre la super�cie del material. Cuando la fuerza se aplica, se genera en primer lugar una condición de aplastamiento sobre la región en contacto directo con el cuerpo que ejerce la fuerza. Esto conlleva a una deformación elástica y, después, plástica, lo que produce un desfase en los ejes de cada sección deformada. Posteriormente, y ante la continuación de la carga, se inicia un proceso de surgimiento de grieta en ambos extremos del cuerpo. En función de la distancia existente entre los planos de corte, estas grietas podrán encontrarse rápidamente y generar un corte e�ciente del material; de lo contrario, se desarrollará en la sección fracturada una gran cantidad en condición de �ujo que se identi�ca como rebaba en el corte. 






Figura 2.44 Etapas del proceso de fractura fractura por acción de cortante cortante directo (secuencia 1-3) y ejemplo de tornillo con falla por cortante. Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 07:48:02.


101

Cálculo del esfuerzo cortante La determinación del esfuerzo cortante directo es muy similar al caso del esfuerzo normal. La expresión que identi�ca la magnitud del esfuerzo cortante es: t5

V A

(2.4)

t: Esfuerzo cortante actuante en la sección transversal del material.

para diferenciar de la carga aplicada en esV : Carga cortante aplicada al material (Se emplea V para fuerzo normal). A: Área de la sección transversal del material.

La expresión es simple y no representa un esquema complejo de entendimiento o cálculo. En la mayoría de los casos es necesario solo veri�car el número de regiones resistentes resi stentes y, y, por tanto considerar si se trata de un caso de cortante simple, doble, triple…, o n número de áreas resistentes a ser consideradas.

E jemplo 2.7


Una estructura metálica está unida por medio de dos placas �jadas mediante cuatro pernos como se muestra en la �gura 2.45. Esta estructura está sometida a una carga directa de 1 3 105 N. La resistencia al cortante de los pernos es de 100 MPa, la resistencia a la cedencia de las placas está identi�cada en 320 MPa y se requiere un factor de seguridad de 3. Determina el diámetro di ámetro necesario de los pernos para evitar fallo por cortante y el espesor correspondiente de las placas centrales para eliminar la posibilidad de aplastamiento en los alojamientos de los tornillos.

100 000 N

100 000 N

Figura 2.45 Caso de cortante.

Solución El primer detalle que debe observarse es que los cuatro pernos actúan en forma conjunta en las placas externas de unión, pero solo dos tornillos se encuentran resistiendo la carga aplicada sobre el tramo central de la estructura. Por ello, en el cálculo deben considerarse dos tornillos como los resistentes a la acción cortante ejercida por la carga aplicada.


100 000 N

Figura 2.46

102


Es importante identi�car que cada tornillo ofrece dos regiones de resistencia a la acción del cortante; es decir, se trata de un cortante doble para cada perno empleado. Regiones resistentes al cortante

Figura 2.47

Lo primero es determinar el esfuerzo cortante permisible ante condiciones de seguridad: t perm 5

Como el esfuerzo cortante es: t 5

100 t 33.3 .333 MP MPa a 5 5 33 3 F . S .

V V 100 000 2 n A 5 5 6 5 0.003 m . Entonces, el área total A t 33.33.10

 pD  2 resistente al cortante ejercido sobre el perno es A 5 4 3   .  4  Donde: D 5 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

A p

Sustituyendo el valor obtenido de A: D 5

0.003 p

5 0.0309 m

L

1 31 mm mm L 1 in 4

Determinación del espesor de placa. Los tornillos ejercen sobre la super�cie de los barrenos de alojamiento una carga de aplastamiento que deforma el material y produce una región alargada. La sección considerada para el cálculo corresponde al diámetro proyectado de cada tornillo y el espesor de placa. Es importante acotar que la distribución de carga no es uniforme sobre el alo jamiento jamien to y es más conveniente conveniente suponer suponer un tercio del diámetro como región región donde se aplica la fuerza; sin embargo, la mayoría de los textos contempla una aproximación más simple, que por lo observado en la práctica cotidiana no supone un factor de error relevante.



Área proyectada en aplastamiento

Figura 2.48 s máx 5

s cedencia 320 5 5 106.66 MPa 5 106.66 N/mm 2 3 F . S .

El área resistente es A 5 2(D 3 t ) 5 2(31 3 t ). Por tanto el esfuerzo es: s5

P A

A 5

P s

Así:

Donde: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

2(31 3 t ) 5 t 5

100 000 106.66

100 000 5 15.12 mm 62 3 106.66

E jemplo 2.8 El conjunto que se observa en la �gura 2.49 consta de un cilindro que actúa sobre una placa a la que conectan en su extremo izquierdo con una barra anclada al piso y una barra conectada en D a la que se le aplican 400 lb. Para la con�guración mostrada y considerando una condición de


103

104


equilibrio estático entre todos los elementos, determina el esfuerzo cortante en el perno C considerando un cortante simple. El área de la sección transversal del perno es de 0.11 in 2. 7 in D

4 in

75°

20° C B

400 lb 12.6°

=? Ac = 0.11 in c

77.4°

Figura 2.49

Solución

Separando los componentes, se evalúan las condiciones de carga y equilibrio que actúan en la placa conectora (véase diagrama de cuerpo libre, �gura 2.50). 7 in

4 in

RCX . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

RCY

400 lb

RB

Figura 2.50

Para poder obtener la carga aplicada en el perno C es necesario conocer primero la magnitud de la reacción ejercida por la barra de la izquierda en B. Ahora bien, para aplicar la suma de momentos es necesario conocer la distancia normal (d ) de la línea de acción de la carga en B al punto C (véase �gura 2.51).


Esfuerzo normal y deformación lineal a

= 90°

2 20° 212.68°

a

= 57.32°

12.68°

D

d 20°

a

C

B

Figura 2.51

La distancia normal d , se obtiene por la ley de senos: d

sen 57.32°

5

4 ⇒ d 5 3.3668 sen 90°

Para la carga de 400 lb aplicada en D se requiere determinar de forma análoga la distancia normal d 2, de su línea de acción al punto B. D

x n 7 i

20°

75°

400 lb C . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Figura 2.52 g 5 180° 2 75° 2 20° 5 85°

7 in d 2 5 sen 90 sen 85 



d 2 5 6.9733 in

Ya conocidas las distancias de las líneas de acción de cada carga al punto C, es posible aplicar las condiciones de equilibrio.


105

106


Así: ∑ M C 5 0 5 R B (3.3668)2 400 (6.9733) R B 5 828.48

Para obtener la carga actuante en el perno C. RCX

RCY 400 lb

828.5 lb

Figura 2.53 n1∑F x 5 0 52 828.5 (cos 77.4°) 2 R cx 1 400 (cos 75°)

R cx 5 77.34 lb h1∑F y 5 0 5 2828.5 (sen 77.4°) 1 R cy 2 400 (sen 75°)

R cy 5 1 194.92 lb

Conociendo la magnitud de las componentes de la carga R c actuante en el perno, es posible calcular la fuerza cortante actuante en éste: 2

2

2

1 2 2

Rc 5 Rcx 1 R cy 5 [(77.342) 1 (1194.91) ] 5 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

R c 5 1197.41 lb

Por tanto: t5

1197.41 R c 5 5 10.885 kpsi 0.11 Acorte

Esfuerzos en planos oblicuos Hasta aquí se han revisado casos en los que se presentan cargas normales o perpendiculares a la sección principal de un elemento mecánico. En las primeras se dice que es un esfuerzo normal. En caso contrario, la carga actúa perpendicular al eje principal del elemento o paralela a la sección principal, por lo que se dice que se tiene una carga cortante.



107

Un caso particular se presenta cuando la carga se aplica sobre un ángulo en planos de sección del material. Estos casos se presentan cuando la unión de elementos estructurales se lleva a efecto de manera angular con respecto a los ejes principales. Uniones pegadas, cilindros a presión con soldadura en ángulo o componentes de madera, cuya carga no se alinea a las vetas de crecimiento, resulta un buen ejemplo de esta condición de esfuerzo. En estos casos es necesario determinar las componentes actuantes normal y paralela al plano para evaluar la magnitud de los esfuerzos cortantes y normales a que está sometida la pieza.

E jemplo 2.9 Para el bloque de madera mostrado, determina la magnitud de los esfuerzos normal y cortante actuantes entre vetas si se aplica una carga de 10 000 N y los planos de crecimiento de la madera se encuentran a 30° con respecto a la línea de acción de la carga.

Figura 2.54 Ejemplo de tubo soldado angularmente.

50 mm

30° 100 mm 200 mm . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Figura 2.55 Bloque de madera con carga oblicua con respecto a las vetas.

La �gura 2.56 muestra la rotación del material y el corte sobre la línea de acción de las vetas: es decir, 30°. Si bien la carga de 10 000 N actúa sobre la misma línea de acción, igual que antes del corte, se generan dos componentes.

10 000 N

30°

10 000 N


108


Solución

Cuando actúa la carga en un ángulo con respecto a la cara resistente se identi�can dos componentes actuantes sobre un sistema de referencia complementario, que tiene al eje de las x paralelo al plano de corte y el eje de las y perpendicular al mismo plano. Fy9 60° Fx9

Figura 2.57

El valor de las componentes es: F x 9 5 10 000 N(cos 60°) 5 5 000 N F y 9 5 10 000(sen 60°) 5 8 660.25 N

Para determinar los esfuerzos es necesario calcular la super�cie total resistente.

h h 50 mm


30°

Área resistente 100 mm

Figura 2.58

cos u 5

h5

CO h

50 CO 5 cos u cos 30




Figura 2.59


h 5 57.73 mm A 5 57.73 mm (100 mm) 5 5 773.5 mm 2

El esfuerzo normal corresponde a la carga aplicada normalmente a la carga de referencia. s5

F y ′ A

5

8 660.2 N 5 1.5 5 773.5 mm2

El esfuerzo cortante corresponderá a la carga actuante paralelamente a la cara. t5

5000 N F x ′ 5 5 0.866 mm2 A 5 773.5

A ctividades de aprendizaje Resuelve el problema. Para el bloque que se muestra en la �gura 2.60, determina la magnitud de los esfuerzos normal y cortante actuantes si se aplica una carga de 35 000 N y los planos de crecimiento de la madera se encuentran a 40° con respecto a la línea de acción de la carga. Desarrollo

Figura 2.60



109

110


P reguntas de evaluación 2.1

Define esfuerzo de compresión e indica tres ejemplos de objetos que sufran este esfuerzo.

2.2

Define esfuerzo de tracción e indica tres ejemplos de objetos que sufran este esfuerzo.

2.3

Define esfuerzo de cortadura e indica tres ejemplos de objetos que sufran este esfuerzo.

2.4

Define esfuerzo de flexión e indica tres ejemplos de objetos que sufran este esfuerzo.

2.5

Define esfuerzo de torsión e indica tres ejemplos de objetos que sufran este esfuerzo.

2.6

Identifica los esfuerzos de las siguientes imágenes. 

a) __________________

b) __________________



c) __________________

2.7

¿Qué tipo de esfuerzo sufre un tornillo?

2.8

Los tirantes de una estructura, ¿a qué esfuerzos están sometidos? Explica tu respuesta.

2.9

¿Qué tipo de esfuerzo ocurre cuando un elemento de una estructura o máquina tiende a estirarse?

2.10 ¿Qué tipo de estructura geométrica se

define como la más rígida?

2.11 Investiga

en diferentes fuentes por qué una estructura tiene mayor estabilidad cuando su centro de gravedad se encuentra lo más bajo posible.


d) __________________

2.12 Identifica

los esfuerzos de la siguiente figura y anota en el paréntesis el número que corresponda. ( ) Tracción ( ) Compresión ( ) Cortadura ( ) Flexión ( ) Torsión



CAPÍTULO 3

Torsión




¿Qué se entiende por torsión?



¿Conoces el tornillo de Arquímedes? Descríbelo



¿Qué aplicaciones tiene el tornillo de Arquímedes?



¿Cómo se obtiene el momento torsor?



¿Cuáles son los efectos que produce la torsión?



¿Qué es el ángulo de torsión?



¿Qué es una transmisión mecánica?



Menciona tres sistemas de transmisión de potencia.



¿Qué es la transmisión total?


111

112


Introducción


El estudio de la torsión es de vital importancia en el ámbito de la mecánica de materiales y el diseño de elementos de máquinas. Diversos casos de maquinaria y equipos domésticos e industriales requieren de una transmisión de potencia a través de sistemas sometidos a torsión para generar la transformación de los cuerpos y los cambios en sus estados de reposo o movimiento. Por esto, es preciso identi�car las condiciones de esfuerzo que son inducidas por la aplicación de un par mediante la sección transversal de una �echa o un eje, para garantizar que no Figura 3.1 Tornillo de Arquímedes. se presentarán fallas o deformaciones importantes. El uso de conjuntos mecánicos basados en la torsión ha acompañado a la sociedad desde sus primeros pasos tecnológicos. El tornillo de Arquímedes (véase �gura 3.1) es un ejemplo del uso e�ciente de sistemas basados en la torsión. Este mecanismo facilitaba la extracción de agua mediante un tornillo, el cual era accionado por una palanca en su extremo superior, la cual generaba el par necesario para rotar el tornillo y permitir el ascenso del agua. La �gura 3.2 muestra un antiguo autómata japonés del siglo �� llamado karakuri . El autómata emulaba el movimiento ceremonial para servir el té, su fuente motriz era un resorte tipo espiral que debía comprimirse por medio de un tornillo similar al usado por los juguetes de cuerda del siglo ��. El resorte accionaba un engrane central que activaba una serie de mecanismos que permitían el movimiento de los brazos para ofrecer el té. odos los movimientos del autómata se debían al par generado en el eje central. Figura 3.2 Autómata japonés o karakuri . El conocimiento y las ventajas de los sistemas de transmisión de potencia en pares torsores se identi�caron y utilizaron por artesanos, artí�ces e ingenieros como un medio e�ciente y relativamente económico para lograr el movimiento de sistemas simples o complejos. Las limitaciones eran impuestas por la calidad y capacidad de los materiales disponibles en cada generación, así como los recursos de manufactura con los que se contaba para lograr los mecanismos. De la historia es sabido que en los inicios de la humanidad, los primeros mecanismos aprovechaban las fuentes de energía naturales tanto como era posible; el uso de ruedas de agua para molinos o forjas, los molinos de viento basados en aspas y engranes rudimentarios, y el aprovechamiento de la fuerza animal o humana son muestra de la necesidad de transformación por medio de sistemas rotativos. Con el surgimiento de la energía de vapor se incrementó en forma notable el número de aplicaciones fabriles basadas en conjuntos rotativos. Hoy día puede resultar difícil entender qué conjuntos


Torsión

113

de máquinas fueran accionados no por motores independientes, como observamos en un taladro portátil o en una máquina-herramienta, sino por largos ejes continuos que obtenían su energía de un motor a vapor, la cual era derivada a través de poleas y bandas de piel a cada una de las máquinas de producción (véase �gura 3.3). El aprovechamiento de la torsión como medio de transformación no se restringe a los sistemas de producción, diversas aplicaciones domésticas y de entretenimiento se han visto favorecidas con el conocimiento que a lo largo de los años se ha acumulado sobre la transmisión de potencia. El popular juego mecánico del carrusel (véase �gura 3.4) es un ejemplo en el que el movimiento rotativo es generado por la transmisión de potencia desde un motor al eje central a través de diversas etapas de reducción de velocidad; esto debido a que la rotación de un motor tipo jaula de ardilla es cercana a 1 800 rpm y la requerida para el funcionamiento del carrusel es de 10 rpm. El par suministrado por el motor incrementará progresivamente conforme se llevan a efecto las reducciones de velocidad; de forma análoga, el movimiento descendente y ascendente de cada una de las monturas del carru3.3 Eje único para suministro sel se debe a la acción de simples cigüeñales que al rotar permiten su Figura de par torsor con banda plana movimiento (véase �gura 3.5). de cuero (arriba) y derivaciones para accionamiento de las máquinas de telar (abajo).


Figura 3.4 Carrusel tradicional.

Figura 3.5 Sistema cigüeñal para movimiento ascendente y descendente de los usuarios.

En el caso de los carruseles, un ingeniero debe calcular el par necesario para vencer la inercia de cada carrusel, el peso de la persona y su montura; a partir de ahí, en función de la distancia que se desea elevar al usuario, debe identi�car la excentricidad requerida en el cigüeñal y el correspondiente par aplicado en el eje. Con los datos del par y la velocidad angular necesaria se debe identi�car los conjuntos de transmisión necesarios y, ya que se cuente con la información, es necesario dimensionar la sección transversal de los ejes para que soporten las condiciones de trabajo.


114


E jemplo 3.1

150 N m m 0 0 3

Figura 3.6 Condiciones de trabajo.

Con base en el caso anterior del carrusel (véase �gura 3.6) hacer lo que se pide a continuación. a) Determinar el par necesario por ejercer si se desea generar un movimiento alternativo de 300 mm en una montura, considerando un peso máximo de 1 500 N. A diferencia del caso mostrado en la �gura 3.5; considérese solo una �gura con movimiento. b) Estimar las etapas de transmisión si se cuenta con un motor que trabaja a 1 750 rpm y se requiere un ciclo de ascenso y descenso cada 5 segundos. c) Identi�car los elementos mecánicos requeridos para poder llevar a efecto la transmisión de movimiento para el caso citado. Condiciones generales de trabajo » »

150 mm »

Velocidad requerida en el cigueñal: 12 rpm Velocidad de salida del motor: 1 750 rpm Número de �guras por eje: 1

Solución

Par torsor (T) 1 500 N . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Figura 3.7

a) Puesto que se requiere mover una carga de 1 500 N en ciclos de 5 segundos, se debe emplear una transmisión por cigüeñal con excentricidad de 150 mm desde el eje principal del eje, como se ilustra en la �gura 3.7. Para determinar el par torsor requerido para establecer una condición de equilibrio (ecuación 1.16) se emplea la sumatoria de momentos con respecto al eje de la sección principal:

∑ M o 5 0 T 2 1 500(150) 5 0 T 5 225 000 N mm 5 225 N . m

Este par debe multiplicarse por un factor de servicio en caso de que se quiera estimar la potencia del motor necesaria para impulsar el conjunto. La velocidad de entrada se estima cercana a 1 750 rpm, mientras que la requerida para el eje del cigüeñal se de�ne en 12 rpm; para ello se debe estimar la relación de transmisión entre la velocidad angular de entrada y la velocidad angular de salida de la siguiente forma. Relación de transmisión:


Torsión

i 5

w i w f

(3.1)

Donde: w i: Velocidad angular de entrada. w f : Velocidad angular de salida.

De modo que: i 5

1750 5 145.8 L 146 12

Esta magnitud debe interpretarse como la razón en la que la velocidad de rotación del motor se reduce 146 veces para lograr la velocidad de trabajo requerida. Es importante acotar que una reducción de este tipo no se logra en una sola etapa, por lo que serán necesarias varias etapas de reducción de velocidad. Para determinar el número de etapas necesarias basta con recordar que en la mayoría de los sistemas de transmisión de potencia, como las bandas, cadenas y engranes, la máxima relación por usarse entre pares es de 7; una relación de transmisión (ecuación 3.1) mayor producirá deslizamientos entre la banda y la polea motriz, interferencia entre dientes de engranes o un de�ciente contacto si el par se transmite por cadena o banda de tiempo, lo que redundará en una transmisión de�ciente y de vida reducida. Se debe considerar que al presentarse diversos sistemas de reducción de velocidad en forma serial, la relación de transmisión total es igual al producto de la totalidad de las relaciones usadas en cada etapa. Esto es: i total 5 i 1 3 i 2 3 … 3 i n

(3.1a)

Al considerar una reducción de dos etapas resulta: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

146 5 12.08 . 7 ∴ no viable Y si se plantea reducir la velocidad a través de tres conjuntos de transmisión se tiene: 3

146 5 5.26 , 7 ∴ puede usarse

Como 1/5.26 es una relación difícil de lograr se emplean dos reducciones: una de 1:6 y una de 1:4. Obsérvese en la �gura 3.8 que el primer elemento de reducción de velocidad es un sistema de banda y polea, con el �n de contar con un elemento �exible que permita amortiguar las �uctuaciones en el sistema como picos de carga, que potencialmente tienden a dañar el motor o los elementos rígidos, como engranes, levas o acoplamientos. ampoco se recomienda integrar más de una reducción por banda debido a las di�cultades constructivas incurridas al tener que disponer de un sistema de tensión de banda adicional y al incremento de las dimensiones de la transmisión mecánica.


115

116

Mecánica de materiales. Teoría y aplicaciones Transmisión por engranes

12.25 rpm

292 rpm Transmisión por poleas 1 i= 6

1 i= 6 1 i= 4

49 rpm

1 500 N 1 750 rpm

Figura 3.8 Configuración base de la transmisión.

b) Con�guración del sistema de transmisión. Como puede observarse, para el cálculo de la velocidad se consideraron relaciones fraccionales. Cuando se trata de evaluar el cambio del par torsor por etapa se emplean magnitudes enteras (6, 6, 4), debido a que conforme la velocidad disminuye, el par incrementa en la misma razón.

T D = 70 N.m T C = 100 N.m

Torsión positiva (+)


3.1 Momentos torsionantes

Un diagrama de momentos torsionantes es la representación grá�ca del momento torsor interno con resD pecto a la longitud del elemento; para elaborarlo debe C considerarse una convención de signos arbitraria que B Torsión depende de la dirección de los momentos torsores. En negativa A (–) este caso se propone la siguiente convención en la que (+) . . 50 N m 70 N m se ilustra el trazo del diagrama de momentos torsioA B C D . 30 N m nantes internos. (–) En la �gura 3.9 se localizan cuatro momentos torFigura 3.9 Trazo de diagramas de momentos sionantes aplicados a lo largo del eje ABCD. Se distorsionantes por sección. tinguen como momentos positivos T A (50 Nm) y T C (100 Nm), y como negativos los momentos T B (80 Nm) y T D (70 Nm), sentidos antihorario y horario, respectivamente. En la �gura se observa que existe un equilibrio en la aplicación de dichos momentos. De esta manera, la sumatoria ser momentos con respecto al eje de la �gura debe de 0, por lo que también debe existir equilibrio en los momentos de torsión internos. A continuación se lista la secuencia para trazar el diagrama de momentos torsionantes de la �gura 3.9. T B = 80 N.m

T A = 50 N.m

1. Se inicia en el punto A, en el que se aplica un momento de 150 Nm, por lo que el diagra-

ma es positivo. 2. El momento de 280 Nm, aplicado en el punto B, se suma algebraicamente y queda un valor de 230 Nm, que es el momento interno del tramo BC y que también se encuentra trazado en el diagrama.


Torsión

3. Se continúa a lo largo del eje hasta llegar al punto C, en el que se aplica un momento de 1100 Nm, que al sumarlo algebraicamente al valor de 230 Nm que se muestra en el diagrama, da como resultado 170 Nm. 4. Dado que la suma de momentos torsionantes en toda la barra debe ser 0, al llegar al punto D, en el que hay un momento torsor de 270 Nm, el diagrama de momentos torsionantes

�nalmente llega al valor 0. Esto indica que existe en el eje equilibrio interno y adicionalmente se observa en el diagrama los valores internos de momentos para los tramos AB, BC y CD, los cuales son 150, 230 y 170 Nm, respectivamente. 5. Se debe tener cuidado en el signo de cada momento, ya que es muy importante cuando se determinan los ángulos de deformación u.

3.2 Consideraciones básicas sobre el caso de torsión Con objeto de establecer la relación existente entre la magnitud del par torsor aplicado a un eje circular y los esfuerzos inducidos deben llevarse a cabo las siguientes suposiciones: 1. La sección transversal plana perpendicular al eje principal permanecerá plana durante y

después de la aplicación del par torsor; es decir, no se generan alabeos o distorsiones en planos normales al eje de la sección. 2. Un elemento de sección circular maciza o hueca, sometido a la acción de un par torsor, experimenta una deformación angular u, la cual varía linealmente desde su eje longitudinal, y una deformación de distorsión g gamma (véase �gura 3.10). T

L

A

T

C

g . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

g u

B

0

C u

0

B

Figura 3.10 Ángulo de torsión en un eje circular.

De igual forma, se establece que el esfuerzo cortante es directamente proporcional a la deformación angular de distorsión g gamma: (3.2) t 5 G g Donde: G : Módulo de rigidez MPa, lb/in2. g: Ángulo de distorsión.


117


118

t: Esfuerzo cortante MPa, lb/in2. B

Como se puede ver en la �gura 3.11, en el estudio de la torsión los esfuerzos no son uniformes en la sección transversal del elemento, pero presentan un comportamiento lineal; es decir, que varían linealmente con relación al radio. En la �gura 3.11 se puede ver que el esfuerzo de corte por el efecto de torsión desde el centro hasta el extremo de la super�cie es donde r alcanza el valor máximo del radio. Una �bra cualquiera, a una distancia r del centro del eje presenta una deformación tangencial (dt ) igual a la longitud de arco CD, la cual se evalúa:

D

A

C

0

t máx

Figura 3.11 Deducción de las fórmulas de torsión.

dt 5 ru

De igual forma, considerando el ángulo de distorsión g y el radio correspondiente que ahora es la longitud L del eje, nos queda: dt 5 Lg

Despejando el ángulo de distorsión g y sustituyendo dt 5 ru, se tiene: g5

ru

L

Dado que el esfuerzo cortante (ecuación 3.2) es directamente proporcional a la deformación angular de distorsión g gamma t 5 G g, se puede expresar: t 5 G g 5 G (ru)L


En la ecuación anterior existe una relación lineal entre el esfuerzo de corte ( t) y la distancia radial (r) por considerar en la �bra; el valor máximo de la distancia radial se considera que es cuando r 5 r . En la �gura 3.12 se muestra un corte perpenT dicular al eje principal de la sección y se traza el diagrama de cuerpo libre de ésta, de manera que permita deducir la fórmula de torsión. Si se considera un elemento diferencial de área dA, recuérdese que: r

0

t 5 P/A

dP 5 t dA

Por tanto: t 5 dP/dA

Figura 3.12 Diagrama de cuerpo libre de eje a torsión.

Despejando la diferencial de fuerza se tiene:


dP 5 t dA

Torsión

El diferencial de fuerza es perpendicular, ya que representa una fuerza resistente al momento torsionante T , y debe tener esa dirección respecto al radio para producir la máxima resistencia a la torsión. Como la porción del eje está en equilibrio estático se hace ∑ M 5 0, en el que se observa que: T 5 r dP 5

p ← rho (t dA )

Combinando esta última expresión con la ecuación de compatibilidad: t 5 (G u /L)r

Se puede observar que el término G u /L es constante y puede sacarse de la integral, lo que da: T 5 G u /L∫ r2dA

La integral ∫ r2dA de�ne a J , que es el momento polar de inercia del eje sometido a torsión; está referido a un eje perpendicular al plano del área, por lo que queda la fórmula de la siguiente manera: T 5 G u J/L

Para deducir el esfuerzo cortante (ecuación 3.2) en función del momento torsor T , el radio r y el momento polar de inercia J , se arregla la ecuación de la forma siguiente: G u /L 5 T/J

Para este caso recuérdese la igualdad vista antes, G u /L 5 t / r; de este modo, se sustituye y despeja el esfuerzo de corte T , que está en relación con el radio r: t 5 T r /J . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

(3.3)

La deformación angular está de�nida por la expresión: u5

TL GJ

Donde: u: Deformación angular expresada en radianes.

T : Par torsor aplicado a la sección transversal [Nm, lb, in]. L: Longitud de la barra a torsión [m, in]. G : Módulo de rigidez [MPa, psi]. J : Momento polar de inercia [m 4, in4]. r: Radio [m, in].


(3.4)

119

120


El ángulo de deformación por torsión debe ser normalmente convertido a grados para un mejor discernimiento de la magnitud de deformación generada en la pieza por acción del par. Recuerde que 2p radianes equivalen a 360o. La relación de deformación indicada anteriormente es solo aplicable para ejes de sección circular hueca o maciza.

A ctividades de aprendizaje En tu cuaderno contesta las siguientes preguntas elaborando mapas conceptuales sin limitarse a los aspectos mecánicos. Investiga ejemplos asociados a este fenómeno en la vida cotidiana. 1. ¿Qué es el fenómeno de torsión? 2. ¿Cómo puede plantearse la condición de resistencia en un estado de torsión? 3. ¿Cómo ocurren los desplazamientos por efecto de la torsión? 4. ¿Cómo se calcula el momento torsor? 5. ¿Qué es la resistencia a la torsión? 6. ¿Qué es el esfuerzo de torsión?

3.3 Momento polar de inercia Esta fórmula se deduce tanto en función del radio como del diámetro de la �echa. El momento de inercia se de�ne cómo ∫ r2dA; sin embargo, también puede encontrarse cuando se utiliza el valor máximo del radio (r 5 r ). Si se toma en cuenta una sección circular, la fórmula del área de un círculo está dada por A 5 pr 2, donde el diferencial de área es: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

dA 5 2prdr

Sustituyendo r en los límites desde r 5 0 hasta r 5 r : J 5 ∫ r2 (2pr )dr 5 2p∫ r3 dr

Resolviendo la integral y evaluando para los límites r y 0, el momento polar de inercia queda de la siguiente manera: J 5 2pr 4/4 5 pr 4/2

Donde se puede sustituir el radio como la mitad del diámetro d , ya que con frecuencia se trabaja con este dato. Sabiendo que r 5 d /2, se sustituye y resuelve para obtener el momento polar J para una sección sólida:


Torsión

121

J 5 p(d /2)4/32 J 5 pd 4/32

Si se trabaja con una �echa tubular, el momento de inercia es: J 5 p(D 4 2 d 4 )/32

E jemplo 3.2

(3.5)

1 000 N.m

Un árbol de acero de diámetro constante d 5 60 mm está cargado mediante pares aplicados a engranes montados sobre él, según se muestra en la �gura 3.13. Usando G 5 83 GPa, calcular el ángulo de torsión del engrane D respecto al engrane A; es decir, �jos en A viendo hacia D.

1 200 N.m

A

1 000 N.m

B

C

3m

Solución

800 N.m

3m

D

2m

Figura 3.13

Al calcular el ángulo de torsión resulta: u AD 5 ∑(TL/ JG )

Primero, se debe encontrar la torsión interna aplicada en el árbol; pero debe cuidarse de no confundirla con los momentos externos que se presentan. El momento torsionante interno en cada tramo a lo largo de la longitud del eje se localiza por las condiciones de equilibrio de momentos. En este caso se tiene: 1 000 N .m

1 200 N .m

1 000 N.m

800 N.m

B

C

D

(+) Torsión positiva . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

(–)Torsión negativa A

3m

(+)

3m

2m

–200 N.m

(–) 1 000 N.m

800 N.m

Figura 3.14 Diagrama de momentos torsionantes.

Los valores de la �gura 3.14 son la magnitud del momento torsionante interno para cada tramo, por lo que resulta: u AD 5 ∑(TL/ JG )


122


Dado que el diámetro del eje es el mismo a lo largo de A hasta D: u AD 5 (1/ JG )[1 1 000(3) 2 200(3) 1 800(2)]

Entonces: G 5 83 3 109 Pa y J 5 (p [4)/32 J 5 [p (0.060)4/32 5 1.27 3 1024 m4 u AD 5 1/( JG )(4 000) u AD 5 0.038 Rad

Convirtiendo: u AD 5 0.038(180/ p) 5 2.17° u AD 5 2°10'27''

El esfuerzo cortante máximo (ecuacion 3.3), el cual se ubica a una distancia r 5 radio del círculo, se obtiene con el T de mayor valor del diagrama de momentos torsionantes; es decir, 1 000 Nm. Así: tmáx 5 Tr / J Para: J 5 pd 4/32 tmáx 5 16T /pd 3 5 [16(1 000)] / [ p(0.060)3] tmáx 5 23.58 MPa

E jemplo 3.3 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Un motor transmite 180 hp a la polea motriz B. Suponiendo que en A se toman 40 hp y en C se toman 140 hp, diseñar la �echa para un esfuerzo cortante admisible (ecuación 3.3) de 8 000 psi y un ángulo de torsión admisible de 3°. La velocidad es de 630 rpm (revoluciones por minuto). Nota: Se toma en cuenta la conversión 1 hp 5 550 lb ft/s.

40 Hp apagado

180 Hp encendido

15 ft (180 in)

Figura 3.15

Solución

Sea: t perm 5

Tr Tr 16T 5 4 5 pd 3 J pd

32 Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 07:48:02.

140 Hp apagado

6 ft (72 in)

Torsión

Despejando los términos de J : pd 3/16 5 T /t perm

T es el mayor valor de momento torsionante en el árbol, que en este caso es el que corresponde

a una potencia de 140 hp. Si: 1 hp 5 550 lb ft/s Entonces: 140(550) 5 (77 000 lb ft/s)(12 in/ft) 5 924 000 lb in/s d 3 5 16T /pt perm d 3 5 16(924 000)/8 000 p d 3 5 588.24 d 5 8.38 in 5 9 in

Se procede a encontrar el material del que será fabricada la �echa, condición íntimamente relacionada con el módulo G . Se debe tener cuidado con la condición de que el ángulo de torsión no sobrepase un valor de u 5 3°, por lo que se aplica la de�nición para encontrar el ángulo de torsión y se despeja de la fórmula el valor de G . Las torsiones son los valores correspondientes para el sistema inglés de 40 y 140 hp, además de encontrar el momento de inercia para un diámetro de 4 pulgadas. Así: J 5

pd 4

5 644.12 in4

32 T 1 5240 hp 5 22 000 lb ft/s (12) 52264 000 lb in/s T 2 51140 hp 5177 000 lb ft/s (12) 51924 000 lb in/s . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

 p   5 0.05236 radianes  180   TL  u 5 S   JG   1  G 5   [(924 000)(72) 2 (264 000)(180)]  JG   1  G 5   [(19 008 310 3 )]  JG  u 5 3° 

G 5 (0.02965)(19 008 310 3 ) G 5 563 598 psi


123


124

E jemplo 3.4 Una �echa maciza de acero de 2 in de diámetro está cargada como se muestra en la �gura 3.16. Determina el ángulo de torsión de la polea D con respecto a la polea A. 7 klb.in

4 klb.in

A

3 klb.in

B

8 klb.in

C

5 in

4 in

D

4 in

Figura 3.16 7 klb.in

Solución

A T int

= 7 klb.in

Flecha AB

Figura 3.17


Como se desea determinar la rotación de la polea D con respecto a la de la polea A, se puede considerar a la polea A como �ja. Aunque hay otras soluciones aceptables para este problema, se resolverá calculando la rotación en cada segmento y después combinándolas teniendo en cuenta su sentido. En la �echa AB el par interno es de 7 lb � in y la rotación ocurre en el sentido del par interno, por lo que: u AB 5

7(6 3 12) TL 5 5 0.0267 rad JG ( p / 2)(12 3 103 )

7 klb.in

4 klb.in

A

B T int

Flecha BC

= 11 klb.in

Figura 3.18

En la �echa BC: u BC 5

(11)(4 3 12) TL 5 5 0.280 rad JG (p / 2)(12 3 10 3 )


Torsión 7 klb.in

4 klb.in

A

B

3 klb.in

C T int

Flecha CD

= 8 klb.in

Figura 3.19

La �echa CD: uCD 5

8(4 3 12) TL 5 5 0.0204 rad JG ( p / 2)(12 3 103 )

Como se puede ver, todos los pares internos actúan en el mismo sentido; es decir, en el sentido horario, tomando como referencia el punto A viendo hacia D. El ángulo de torsión total es: u AD 5 u AB 1 uBC 1 uCD u AD 5 0.0267 1 0.0280 1 0.0204 5 0.0751 rad

A ctividades de aprendizaje Contesta con detalle las siguientes preguntas. Entrégalas a tu profesor. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

1. ¿Qué es el momento polar de inercia? 2. ¿Cómo se calcula el producto de inercia? 3. ¿Qué es el radio de giro de un área? 4. ¿Qué es el esfuerzo cortante por torsión? 5. ¿Cuál es el signi�cado del momento polar de inercia en el cálculo del esfuerzo cortante por

torsión? 6. ¿En qué consiste el momento polar de inercia? 7. ¿Cómo se calculan las torsiones?


125

126


Resuelve los siguientes ejercicios. 1. Una �echa maciza de latón de 40 mm de diámetro y 1.5 m de longitud no debe torcerse más de 1/30 rad. Determina el par máximo admisible.

2. Determina la longitud máxima admisible de una �echa maciza de latón de 40 mm de diá-

metro. El par aplicado es de 1 600 Nm y el ángulo de torsión admisible es de 1/25 rad.


3. Una �echa de acero de 3 in de diámetro y 10 ft de longitud está sujeta a un par de 5 000

lb pie. Determina el ángulo de torsión tanto en grados como en radianes.


Torsión

4. Dos ejes sólidos están conectados por los engranes mostrados en la �gura 3.20; se aplica un par de torsión de P 5 100 hp a n 5 1000 rpm al eje AD. Se sabe que el cortante G 5 12 3 106 psi, el diámetro del eje EG es de 2.75 in y el del eje AD es

2 in. Determina el ángulo de torsión del punto A visto desde G y el esfuerzo cortante máximo admisible (ecuación 3.3). 3 in

D

n = 1 000 rpm P = 100 HP

G E

F

C

B 5 in A

15 in

30 in

Figura 3.20


3.4 Esfuerzos durante la torsión Cuando un elemento mecánico se encuentra sometido a condiciones de torsión se experimentan esfuerzos cortantes que incrementan su magnitud linealmente conforme se alejan del centro. El esfuerzo cortante, identi�cado por la letra griega t (tao) (ecuación 3.2), es resultado de la deformación angular del material; al inducir desplazamientos relativos entre planos contiguos genera condiciones de corte puro entre las secciones planas del material.


127

128


A B

A B

A B A

B

Figura 3.21 Deformación inducida durante la torsión que provoca esfuerzo cortante.


La �gura 3.21 muestra el comportamiento de dos elementos A y B, representativos de la super�cie de un eje circular sometido a torsión. En ésta se puede ver cómo inicia un movimiento relativo entre los planos de los elementos A y B en la �gura de la derecha. El desfase entre los elementos es la causa de la aparición de esfuerzos de tipo cortante entre secciones planas, el cual toma su máximo valor en la super�cie r 5 r y un mínimo igual a 0 en el centro del eje r 5 0. Conforme aumenta el par, el material presentará una marcada deformación angular que propenderá a la fractura entre planos cuando el material es de tipo dúctil (véase �gura 3.22). La pieza mostrada en la �gura 3.22 corresponde a una barra circular de 12.5 mm de diámetro y 350 mm de longitud de acero inoxidable tipo 304. Se aplicó un par torsor progresivo que permitió la deformación angular del material hasta vencer su límite elástico, con el objeto de evaluar el patrón de fallo en la zona plástica. Para la barra se lograron un total de 9 vueltas (las bandas angulares eran originalmente una línea recta a lo largo de la pieza). La fractura ocurre en un plano recto, lo que corresponde al esfuerzo cortante existente entre planos adyacentes en el material. ambién debe observarse la región de fractura en el material; nótense las bandas semicirculares que indican un �ujo plástico generado durante la torsión. Este patrón de fractura Figura 3.22 Barra de acero inoxidable con deformación por torsión permanente (9 vueltas) es común en el caso de falla por torsión en materiales y detalle en la región de fractura. dúctiles y suaves. Caso diferente si el material es de tipo frágil, como una cerámica o un acero endurecido por tratamiento térmico, en el que la fractura se presentará obligadamente en un ángulo de 45° respecto del eje principal (véase �gura 3.23).

Figura 3.23 Ruptura a 45° de una pieza frágil (gis) sometida a torsión. Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 07:48:02.

Torsión

El estado de esfuerzo cortante puro en la super�cie del material frágil es equivalente al de esfuerzos iguales de tensión y compresión que tienen lugar en un elemento girado 45° respecto al eje geométrico del árbol o la �echa de transmisión. Si un material que es más débil a tracción que a cortadura se somete a una torsión, la falla por tracción ocurrirá a lo largo de una hélice inclinada 45° con respecto a dicho eje (véase �gura 3.24).

45°

Figura 3.24 Cortante puro.

La �gura 3.25 ilustra la distribución del esfuerzo cortante a lo largo de un material cuya sección transversal es circular cuando ésta se encuentra sometida a la acción de un par torsor. Este patrón de comportamiento es afín al caso de ejes de sección circular hueca, con la observación de que no existe continuidad a cero en el centro de la pieza. t máximo T

T

Eje principal de la barra

t= 0

Figura 3.25 Distribución de los esfuerzos cortantes en un eje circular macizo.

El valor máximo del esfuerzo de corte, el cual resulta de mayor interés tanto para el análisis como para el diseño de elementos a torsión se determina a través de la ecuación: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

t5

Tc J

Donde: t: Esfuerzo cortante aplicado en el eje [N/m 2, MPa, lb/in2].

T : Par torsor [Nm, lb in]. c : Distancia del eje principal de la sección al punto a evaluar [m, in] ( r 5 c ). J : Momento polar de inercia [m4, in4] para sección circular maciza.

Si se considera un eje de sección circular maciza, evaluando la super�cie del material o: c 5

D

2


(3.6)

129

130


T 

t5

D 

 2  16T 5  D 4  pD 3 p  32  

E jemplo 3.5 Se lleva a efecto la transmisión de potencia por medio de dos ejes circulares macizos en cuyos extremos se montaron engranes rectos (véase �gura 3.26). El par torsor aplicado en A es de 600 Nm y se considera que el sistema se encuentra en equilibrio límite, lo que representa un incremento aún marginal del par aplicado que se traducirá en movimiento del conjunto. Si el material de los ejes soporta un esfuerzo cortante admisible t 5 60 MPa, determinar el diámetro de cada uno de los ejes del conjunto. Desprecia el efecto de pérdida de e�ciencia entre engranes. 600 N.m A 80 mm

B 50 mm

Figura 3.26 Sistema motriz a torsión.

Solución

Puesto que el esfuerzo cortante es t 5 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

16T pD 3

, es posible despejar el diámetro del eje. Así:

D 5 3

16T pt

El par aplicado en el eje B se calcula por medio de la expresión: T eje conducido 5 T eje motriz ∙ i ∙ h i : Relación de transmisión (ecuación 3.1) entre ejes. h: E�ciencia de los elementos de transmisión.

Ya que se indica la pérdida de e�ciencia como despreciable, se tiene que el par en el eje B es: T B 5 600 (50/80) 5 375 Nm


Torsión

Por lo que: D A 5 3

16(600) 5 0.03706 m ≅ 37.1 mm p60 3 106

D B 5 3

16(375) 5 0.03169 m ≅ 31.7 mm p60 3 106

E jemplo 3.6 La �gura 3.27 muestra un conjunto de transmisión por engranes rectos. Determinar para las condiciones indicadas la magnitud de los esfuerzos cortantes a los que son sometidos cada uno de los ejes. Diámetro de A 5 56 mm Diámetro de B 5 42 mm

Eje A 100 mm 1 000 N.m Eje B 40 mm

Figura 3.27 Transmisión simple por engranes. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Solución

La relación de transmisión (ecuación 3.1) entre ambos ejes es i 5

100 5 2.2727. 44

Por lo que el par en el eje A es: T A 5 T B ∙ i 5 1 000 ∙ 2.2727 5 2772.7 N ∙ m

ómese en cuenta que puesto que se lleva a cabo la transmisión del engrane mayor a menor se genera una disminución del par torsor con un incremento de la velocidad del segundo eje. Entonces, se calcula el esfuerzo cortante en cada eje:


131

132


16(2 272.7) N 65 910 309 5 5 65.9 MPa m2 pD 3 p(0.0563 ) 16T 16(1000) N t B 5 5 5 68 742 011 2 5 68.7 MPa 3 3 m pD p(0.042 ) t A 5

16T

5

A ctividades de aprendizaje Contesta las siguientes preguntas. 1. ¿Qué es un árbol o eje de transmisión? 2. ¿Cuál es la función del eje de transmisión? 3. Menciona y describe al menos tres ejemplos de sistemas de transmisión en los que se apli-

que el fenómeno de torsión. Resuelve los siguientes problemas. 1. Calcula el mínimo diámetro de un árbol de acero que, sometido a un momento torsio-

nante de 14 kNm, no debe experimentar una deformación angular superior a 3° en una longitud de 6 m. ¿Cuál es el esfuerzo cortante máximo que aparecerá en él? Considera G 5 83 GPa.



Torsión

2. Un árbol de transmisión de acero consta de una parte hueca de 2 m de longitud, diámetros

de 100 mm y 70 mm, y otra parte maciza de 70 mm de diámetro y 1.5 m de longitud. Determina el máximo momento torsionante que puede soportar sin que el esfuerzo sobrepase el valor de 70 MN/m² ni el ángulo total de torsión supere el valor de 2.5° en la longitud total de 3.5 m. Considera G 5 83 GN/m2.

3. El árbol macizo de un tren de laminación tiene que transmitir una potencia de 20 kW a 2 r 5 250 lb ∙ ft. ¿Cuál es el esfuerzo cortante máximo en la barra? ¿Cuál es el ángulo de

torsión en los extremos?



133

134


Una barra sólida de acero con sección transversal circular tieme un diámetro d 5 1.5 in, longitud L 5 54 in y un módulo de elasticidad en cortante G 5 11.5 3 106 psi. La barra está sometida a pares de torsión T que actúan en su extremos (véase �gura 3.28). a) Si los pares de torsión tienen una magnitud t 5 250 lb pie, ¿cuál es el ezfuerzo cortante máximo en la barra? ¿Cuál es el ángulo de torsión en los extremos b) Si el esfuerzo cortante permisible es 6 000 psi y el ángulo de torsión permisible es 2.5°, ¿cuál es el par de torsión máximo permisible?

d = 1.5 in

T

T

L = 54 in


3.5 Transmisiones mecánicas La transmisión de potencia es una práctica común en la ingeniería mediante conjuntos mecánicos que permiten el aprovechamiento de la energía de un motor para la generación de movimiento o en la producción. Para desarrollar transmisiones mecánicas debe entenderse que los ejes, sean macizos o huecos, están sometidos a diversas condiciones de carga además del par torsor aplicado. Estas condiciones de carga pueden ser esfuerzos �exionantes debidos a la tensión producida por la banda sobre las poleas, cargas axiales debidas al montaje de engranes cónicos o helicoidales y concentraciones de esfuerzo. En problemas de este tipo es necesario evaluar el eje con los criterios de teoría de falla y esfuerzos combinados, temáticas que serán abordadas posteriormente, por lo que no será su�ciente emplear las relaciones de torsión indicadas en este capítulo, ya que se tendrían resultados menores a los que se requiere en el sistema. La �gura 3.29 muestra un reductor


Torsión

135

de velocidad: la sección izquierda corresponde a la conexión con la salida del motor, mientras que la derecha corresponde a la salida del reductor. Como se puede ver, las diferencias en tamaño entre los ejes y engranes de entrada y sus contrapartes a la salida del reductor son notorias, así como el pequeño diámetro requerido en el primer eje (véase �gura 3.29). El cálculo de una transmisión mecánica reviste dos problemas básicos: la determinación de las relaciones de movimiento necesarias para lograr la velocidad angular �nal requerida y la determinación de los pares actuantes en cada uno de los ejes que integran el conjunto para poder establecer dimensiones base de los ejes y mecanis- Figura 3.29 Detalle de la primera etapa de mos utilizados. Cuando se pretende diseñar un sistema reducción. de transmisión normalmente se dispone de información sobre las condiciones de trabajo actuantes en un elemento �nal, siendo necesario que el ingeniero de diseño establezca las dimensiones y condiciones de seguridad necesarias para un correcto desempeño de la máquina por proyectar. Los siguientes ejemplos abordan el tema considerando dos perspectivas. El primero parte de la descripción de la transmisión y contempla de�nir la velocidad y los pares resultantes en cada uno de los ejes empleados. El segundo considera la necesidad de llevar a cabo una con�guración con base en las necesidades �nales para el conjunto y determinar la potencia del motor necesaria para poder ejecutar el trabajo descrito.

E jemplo 3.7


La �gura 3.30 ilustra las características de una transmisión mecánica de tres etapas accionada por un motor tipo jaula de ardilla que suministra 100 Nm a la �echa de salida. Con los datos indicados, determinar las velocidades angulares en rpm a las que se mueve cada elemento, los pares torsores aplicados a cada eje y los diámetros necesarios para soportar el par torsor aplicado. Considera un esfuerzo cortante admisible de 100 MPa. Solución

1

Z1 = 21 dientes

D = 300 mm i2 Z4 = 20

2

i1

Z2 = 63

i3 3

T = 100 N.m 1 750 rpm

Z5 = 40 D = 100 mm

Figura 3.30 Transmisión de tres etapas.

La transmisión cuenta con un total de tres etapas de reducción, una por banda y poleas en V y las dos siguientes por engranes rectos. Si se observan las dimensiones de los elementos motrices, es posible notar que en todos los casos se


136


lleva a cabo la conexión de un elemento pequeño a uno de mayor diámetro o mayor número de dientes. Este tipo de transmisión consiste en un medio de reducción de velocidad e incremento del par. Las velocidades en cada eje subsecuente serán menores a las de sus predecesores en una proporción directa a la relación de transmisión (ecuación 3.1), mientras que los pares torsores se incrementarán en la misma razón. Las relaciones de transmisión son, por tanto: i 1 5

300 53 100

i 2 5

63 53 21

i 3 5

40 52 20

La relación de transmisión total (ecuación 3.1 a) se de�ne como: i total 5 i 1 3 i 2 3 i 3 3 … 3 i n

Donde: i total 5 3 3 3 3 2 5 18

Se puede concluir que la velocidad desde la entrada hasta el eje 3 será reducida 18 veces (1 750/18) 5 97.22 rpm, mientras que el par aumentará 18 veces: T total 5 100 3 18 5 1 800 N � m

a) Se calculan las velocidades para cada uno de los pares cinemáticos: eje 1

w 1 5

1750 5 583 rpm 3

eje 2

w 2 5

583 5 194 rpm 3

eje 3

w 3 5

194 5 97 rpm 2

b) Pares tensores: T eje conducido 5 T eje motriz 3 i 3 h . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Donde: i : Relación de transmisión (ecuación 3.1). h: E�ciencia de la transmisión empleada en la etapa.

La determinación de la e�ciencia de transmisión depende de la evaluación del estado que presenta el conjunto mecánico; por ejemplo, para un sistema de transmisión por banda y poleas en V es común que se maneje una e�ciencia de 0.85 por razones de tensión de banda, alineación y estado de limpieza (véase tabla 3.1). El valor indicado corresponde a un estado ideal en el que el paralelismo entre ejes, tensión aplicada, relación de transmisión y distancia entre centros han sido cuidados. No obstante, estas condiciones son ideales y deberán ser replanteadas conforme se presentan situaciones adversas al mecanismo.


Torsión

Tabla 3.1 Transmisión vs. eficiencia Transmisión Banda en V Banda sincronización Cadenas de red Engrane recto Engrane helicoidal

Eficiencia 0.85 0.95 0.90 0.90-0.95 0.95-0.97

La transmisión estudiada consta de tres etapas de reducción de velocidad, este número n de etapas de reducción resulta adecuado para evitar pérdidas importantes por e�ciencia de cada elemento considerado. Así: h 5 (0.85)(0.95)(0.95) 5 0.7671

Los pares torsores en cada uno de los ejes son: T 1 5 100(3)(0.85) 5 255 N � m T 2 5 255(3)(0.95) 5 727 N � m T 3 5 727(2)(0.95) 5 1 381 N � m

c) Con el cálculo de los pares actuantes en cada eje es posible proceder a evaluar por torsión el diámetro requerido de cada eje. t5

T C J

 D     2 t5 4 T 

pD


32 1

16T 3 ⇒ t5 5 D  pt  pD 3 16(T )

De modo que el diámetro es: D 1 5 3

16(255) 5 0.023 m → 1 in p(100 3 106 )

D 2 5 3

16(727) 5 0.033 m → 1.5 in p(100 3 106 )

D 3 5 3

16(1381) 5 0.041 m → 1.75 in p(100 3 10 6 )


137

138


Como se puede comprobar, se acotó un valor cercano en pulgadas para indicar el diámetro más cercano en medida comercial para la manufactura de cada eje. No es posible considerar los resultados tal como se obtienen de los cálculos por la necesidad de montar el eje sobre rodamientos, los cuales vienen en medidas estandarizadas a las cuales debe ajustarse el diseño.

E jemplo 3.8 Un transportador de cangilones opera conforme a las especi�caciones mostradas en la �gura 3.31. Determinar la relación de transmisión total (ecuación 3.1 a), la con�guración requerida para el sistema, la potencia requerida por el motor y el diámetro de los ejes usados en el equipo. Considérese un esfuerzo cortante admisible de 80 MPa y el uso de un motor tipo jaula de ardilla que trabaja a 1 750 rpm.

12 cangilones cargados lado izquierdo @ P = 100 N

20 rpm

Solución a) Determinación de la relación de transmisión total. Para obtener la relación total (ecuación 3.1a) es necesario dividir la velocidad de salida del motor entre la velocidad �nal esperada para el transportador de cangilones, esto es:

500 mm

Figura 3.31 Transportador de cangilones.


i Total 5

1750 5 87.5 20

b) Con�guración de la transmisión.

La relación de transmisión obtenida de 87.5 indica que un valor como éste no es viable de conseguir en una sola etapa, a menos de que se trate de un reductor sinfín corona. Los valores permisibles entre etapas de transmisión pueden variar de acuerdo con la naturaleza de la transmisión y particularmente de los mecanismos, pero por seguridad se �ja en un máximo de i 5 7. Para determinar el valor de las relaciones de transmisión en cada etapa se debe considerar lo siguiente: Una Etapa i 5 87.5 Dos Etapas i 5 87.5 5 9.35 9.35 . 7 → No es viable res Etapas i 5 3 87.5 5 4.43 4.43 , 7 → Es viable para usarse Al considerar cuatro etapas se debe calcular la raíz cuarta de la relación total y así progresivamente; no obstante, entre más etapas, el conjunto resulta menos e�ciente, costoso y complejo de manufacturar debido al número de elementos involucrados. En este caso, la transmisión puede con�gurarse de manera similar al ejemplo 3.7.


Torsión

Por cuestiones de estándar de fabricación, la relación de transmisión obtenida, i 5 4.43, debe emplearse en la medida de lo posible en relaciones enteras o con un dígito decimal, con el objeto de manejar elementos mecánicos de corte estándar (no es posible un engrane con 25.7 dientes). Se �jan de forma particular las relaciones en 6, 4 y 3.7 para los ejes 1, 2 y 3, respectivamente.

139

1

i 2 = 4 2

i 3 = 3.7

i 1 = 6

3 1 750 rpm

Velocidad a la salida del motor 5 1 750 rpm. Velocidad del eje 1:

Figura 3.32

v 1 5

rpmentrada 1750 5 5 291 rpm 6 i 1

v 2 5

rpmentrada 291 5 5 72.75 rpm 4 i 1

Velocidad del eje 2:

Velocidad del eje 3: v 3 5

rpmentrada 72.75 5 5 19.66 rpm 3.7 i 3

c) Potencia requerida en el motor. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Se calcula el par generado por la carga de arrastre del transportador. Se cuenta con un total de 12 cangilones activos o con carga, condición que equivale a una carga de 1 200 N en el costado izquierdo del equipo.

500 mm

El par torsor: T 5 1 200(250) 5 300 000 N � mm

Considerar la relación:

1 200 N

T eje conducido 5 T eje motriz ∙ i ∙ h

Figura 3.33

En este caso se cuenta con la información del par �nal (en el eje conducido), por lo que son los pares de los ejes motrices los que deben ser calculados mediante despeje. Se inicia del �nal de la transmisión hasta el inicio en el motor:


140


T eje motriz 5

T eje conducido

i 3 h T3 5T final 5 300 000 N ⋅ mm

300 000 5 85 349 N ⋅ mm 3.7(0.95) 85349 5 22 460 N ⋅ mm T 1 5 4(0.95) 22 460 5 4 404 N ⋅ mm T motor 5 6(0.85) T 2 5

Una vez encontrado el par a la salida del motor es posible calcular la potencia mediante la siguiente expresión: N 5

Tmotor (rpm)

7 025 922

N : Potencia del motor en hp. rpm: Velocidad angular nominal del motor.

Por tanto: N 5


4 404(1 750) 5 1.09 hp 7 025 922

Si se consideran las potencias comerciales de los motores, habría que elegir 1.5 o 2 hp. En un curso de diseño se observaría la in�uencia del denominado factor de diseño, esto es, un factor que toma en cuenta la severidad y recurrencia potencial de �uctuaciones de carga y tendencias al paro, entre otros. Cuanto mayor es la severidad del trabajo, mayor es el factor de diseño por usar (oscila entre 1.2 y 3). Puesto que se trata de un transportador de cangilones, en este caso se selecciona la potencia en 2 hp. d) Cálculo del diámetro de los ejes. Ya que se seleccionó un motor de 2 hp es necesario calcular el par potencial aplicado en los ejes con esta potencia, aunque la potencia requerida es menor. T salida del motor 5 T salida del motor 5

7 025 922( N ) rpm

7 025 922(2) 5 8 030 Nmm 1750 rpm

T eje i 5 T i ∙ i ∙ h Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 07:48:02.

Torsión

T i : orque de entrada al eje i . T eje 1 5 8 030(6)(0.85) 5 40 953 N � mm T eje 2 5 40 953(4)(0.95) 5 155 621 N � mm T eje 3 5 155 621(3.7)(0.95) 5 547 009 N � mm

Empleando la expresión: D 5 3

16(T ) pt

Considerando que 1MPa 5 1 N/mm2 y sustituyendo la expresión anterior para cada uno de los pares correspondientes se tiene: 16( 40 953 N ⋅ mm ) 5 13.76 mm 3  N  p 80   mm 2  16 (155 621 N ⋅ mm ) 5 5 21.47 mm 3  N  p 80   mm 2 

D eje 1 5

D eje 2

≅ 9/16 in o ≅ 5/8 in

≅ 1 in

De igual forma, para el eje 3: D eje 3 5 32.7 mm (1.5 in)

Estos resultados corresponden a la sección más pequeña de cada eje. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

A ctividades de aprendizaje 1. Elabora un análisis comparativo entre ejes huecos y ejes sólidos. Justi�ca tu respuesta. 2. En equipo de dos o tres personas realicen un estudio sobre torsión en ejes no circulares y

elabora una presentación electrónica explicando el tema investigado. 3. En equipo de dos personas respondan la siguiente pregunta, ¿cuál debe ser el diámetro de una

�echa de acero que debe transmitir 25 hp a 1 200 rpm si el esfuerzo cortante admisible es de 8 000 lb/in2?


141

142


3.6 Torsión de ejes El primer efecto generado en un material de sección circular sometido a pares torsores es la generación de deformaciones angulares. En muchos equipos resulta crucial la determinación de la magnitud de esta deformación como en el caso de maquinaria CNC, robots y equipo de precisión en general. La generación de ángulos de torsión implica diferencias entre las lecturas de movimiento angular (por ejemplo, la medición hecha por un encoder absoluto) y el ángulo �nal del eje. A continuación se realizarán dos ejercicios para ilustrar las condiciones particulares del tema de ángulo de torsión.

E jemplo 3.9

T = 200 000 N · mm

40 mm 45 mm 50 mm

Se tiene una barra de acero con G 5 77 GPa. La barra presenta dos secciones relevantes, una hueca de 100 mm y otra sólida de 150 mm, tal como muestra la �gura 3.34. Se le aplica al extremo hueco un par de 200 000 N � mm. Determinar el ángulo total de torsión generado por la acción del par. Solución

150 mm

100 mm

Figura 3.34

Al tener solo un par torsor aplicado en el extremo de la barra de acero, el par es transmitido a lo largo de toda la sección (véase �gura 3.35) y con él es posible obtener por secciones la deformación angular total en el material.

-200 000 N.mm


200 000 N.mm

Figura 3.35

De la ecuación: u5

TL JG

Ya que son dos secciones, una hueca y una maciza, se suman las torsiones de cada sección. Debido a que G y T son constantes se tiene lo siguiente:


Torsión

uT 5 u H 1 u S 5

143

T  LH LS   1  G  J H J S 

  200 000  100 150   5 0.001684 radianes 5 0.096 uT 5 1 77 3 103  p(504 2 40 4 ) p(454 )     32  32



E jemplo 3.10 Un par de engranes se encuentran conectados como se muestra en la �gura 3.36. Considerando un módulo de rigidez torsional de 77 GPa para los ejes y que los engranes son lo su�cientemente rígidos para despreciar posibles esfuerzos cortantes, determinar la magnitud del ángulo de torsión en el extremo D del conjunto. Desprecia las pérdidas debidas a la transmisión por engranes. 750 mm Diámetros de componentes del sistema:

A

eje A-B = 30 mm eje C-D = 20 mm engrane B = 400 mm engrane C = 100 mm

B

C

D

1 250 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

mm

50

000 N.mm

Figura 3.36

Solución

Para resolver el ejercicio, lo primero es calcular el par torsor aplicado en el eje AB. Al no haber pérdidas se supone h 5 1:

Engrane B

200 000 N.mm  1

T AB 5 T CD 3 i 3 h T AB 5 50 000 3 (400/100) 3 1 5 2 3 105 N � mm

El ángulo de torsión total generado en el extremo D del conjunto es el resultado de la deformación de cada uno de los pares aplicados y de la relación de transmisión entre engranes. La �gura 3.37 ilustra el modo de deformación.


Engrane C  2

Figura 3.37

144


A

 1

C  D

Figura 3.38

El ángulo u2 es resultado de la deformación angular (ecuación 3.4) en el eje AB y la relación de transmisión, sin considerar aún el par aplicado en el eje CD. La relación entre engranes es de 1:4, lo que signi�ca que por cada grado que se rote el engrane B se tendrán 4 grados en el engrane C.

 TL    GJ 

u2 5 4u 1 5 4 

    5  2 3 10 ( 750 )  5 0.09796 rad 5 5.61 u2 5 4  4    p (30)  77 3 103      32    



El ángulo u2 es solo la rotación generada en el eje CD por la transmisión de movimiento entre engranes. Para conocer el ángulo total debe calcularse la deformación angular generada en el eje CD por el par de 50 000 N � mm. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

u D 5 u 2 1 u C 2 D 5

     50 000(1 250 )  u D 5 0.09796 1  5 0.0979 1 0.05167 5 0.1496 rad 4     77 3 10 3  p (20)     32     El ángulo total que gira el extremo C es 0.1496 radianes 5 8.57°.


Torsión

145

A ctividades de aprendizaje Resuelve los siguientes problemas. 1. El eje BC es hueco y tiene diámetros interior y exterior de 90 mm y 120 mm, respectivamente. Los ejes AB y CD son sólidos y de diámetro d para la carga mostrada en la �gura 3.39. Determina los esfuerzos cortantes máximo y mínimo en el eje BC, y el diámetro d requerido en los ejes AB y CD si los esfuerzos cortantes permisibles en estos ejes son de 65 MPa. 2. Bajo condiciones normales de operación, el motor eléctrico ejerce un par de torsión de 2.8 kN � m en el eje AB (véase �gura 3.40). Si se sabe que cada eje es sólido, determina el máximo esfuerzo cortante en el eje AB, el BC y el CD.

0.9 m d

A

T A = 6

0.7 m

120

kN.m

mm

0.5 m

B d T B = 14 kN.m

C T C = 26

D

kN.m

T D = 6

Figura 3.39

A

56

mm 48

mm 48

mm

B

T B = 1.4 kN.m

T C = 0.9


46

mm

C kN.m

E

D T D = 0.5 kN.m

Figura 3.40 3. El motor eléctrico ejerce un par de torsión de

500 N � m sobre el eje de aluminio ABCD, mientras gira a una velocidad constante. Si se sabe que G 5 27 GPa y que los pares de torsión ejercidos en las poleas B y C son como se muestran en la �gura 3.41, determina el ángulo de giro entre B y C, y entre B y D.

48

mm

D

300 N.m 44 mm

C

200 N.m 40

mm

B 0.9 m

A 1.2

Figura 3.41

1 m


m

kN.m

146


3.7 Ejes giratorios (árboles de transmisión) Algunos problemas en diseño de máquinas contienen �echas que transmiten potencia desde una fuente hasta el lugar donde se ejecuta el trabajo. Por ejemplo, un eje (o árbol) transmite potencia desde una fuente (el motor) para hacer girar la hélice de un barco. La relación entre la potencia desarrollada y el par en un eje se presenta a continuación. Considérese un eje de radio R con una fuerza F aplicada a su super�cie exterior, como se muestra en la �gura 3.42. El trabajo hecho por la fuerza F se de�ne como la fuerza multiplicada por la distancia recorrida en la dirección de la fuerza. En una revoF lución completa la fuerza habrá hecho un recorrido igual a la circunferencia del eje o 2 pR . El trabajo desarrollado por la fuerza es: R

rabajo 5 F (2pR ) lb � in o N � m

(3.7)

Si el árbol gira con velocidad de N revoluciones por minuto (rpm), la distancia total recorrida por un minuto en la circunferencia es (2pR )N in/min o m/min. Dado que la potencia es la cantidad de trabajo realizado por unidad de tiempo y la distancia sobre el tiempo es la velocidad, la ecuación de potencia se escribe de la siguiente manera:

Figura 3.42

P 5

rabajo fuerza 3 distancia 5 5 fuerza 3 velocidad iempo tiempo

Para la velocidad lineal desarrollada en la periferia del eje: P 5 F (2pR )N � lb in/min o N � m/min


(3.8)

Como es sabido, hp es la unidad usual de potencia en el Sistema Inglés con un equivalente a 33 000 lb ∙ ft/min en el Sistema Internacional de Unidades (SI). Para encontrar en el sistema inglés una expresión que determine esta potencia P en hp se divide por el producto 12 in/ft (33 000 lb ∙ ft/min) como factor de conversión, lo que da: P 5

(F )(2pR )N FRN 5 (12)(33 000) 63 000

Considerando T 5 FR de la ecuación anterior, se tiene: P 5

TN

63000

Donde: P : Potencia en hp [caballos de potencia]. Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 07:48:02.

Torsión

T : Par en el eje [lb-in]. N : Velocidad en el eje [rpm].

La ecuación P 5 F (2pR )N � lb ft/min o N ∙ m/min describe la potencia transmitida por una �echa giratoria como el producto del par de torsión por el ángulo a través del cual gira el árbol por unidad de tiempo. Si el par de torsión se mide en N ∙ m y la rapidez del eje se expresa en revoluciones por segundo N , la ecuación se transforma en: P 5 F (2pR )N Nm/s

Donde: La ecuación P 5 F (2pR )N Nm/s puede transformarse en otra ecuación en la que la fuerza F multiplicada por su brazo de palanca R representa un par de torsión T . Como T 5 PR , la expresión para la potencia se convierte en: P 5 2pTN

(3.8)

Donde: P : Potencia [Nm/s]. T : Par de torsión en la �echa [N ∙ m]. N : Velocidad en el eje [rps o Hz].

E jemplo 3.11 Determinar la potencia transmitida por un eje si el par es de 2 520 lb ∙ in y la velocidad es de 600 rpm. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Solución

Usando la ecuación: P 5

TN

63000

La potencia en caballos se calcula del siguiente modo: P 5

TN

63000 (2 520)(600) 1512 000 P 5 5 5 24 hp 63000 63000


147

148


E jemplo 3.12 Una �echa girando a 15 Hz transmite una potencia de 90 kW. Determinar el par de torsión que se desarrolla en ésta. Solución

Usando la ecuación: P 5 2pTN

El par de torsión interno se calcula como: P 2pN (90 3 103 N ⋅ m/s) T 5 2p(15 / s) T 5 955.4 N ⋅ m T 5

A ctividades de aprendizaje Resuelve los siguientes ejercicios 1. Diseña una �echa maciza de acero para transmitir 45 kW de potencia con una rapidez de


30 Hz. El esfuerzo cortante admisible en la �echa es de 50 MPa. 2. Calcula el diámetro de una �echa de acero de 1 m de longitud acoplada a un motor eléctrico monofásico que consume 14 amperes a plena carga con un voltaje de línea de 115 volts y una e�ciencia de 91%. El esfuerzo admisible en el acero empleado es de 85 MPa y la deformación no debe ser mayor a los 2°. 3. El motor de un automóvil entrega 95 hp a 5 600 rpm. Esta potencia es transmitida mediante una �echa corta a una caja de 4 velocidades con las siguientes relaciones: Primera: 3.6 a 1 Segunda: 2.7 a 1 ercera: 1.8 a 1 Cuarta: 4.1 a 1 La potencia a la salida de la caja se transmite al diferencial trasero mediante una �echa hueca de 1.2 m de longitud y una relación entre el diámetro interior y exterior de 4/5. Calcula el diámetro necesario para la �echa corta y los diámetros interior y exterior para la �echa hueca.


Torsión

El esfuerzo cortante no debe exceder de 10 000 psi y la deformación angular de la �echa hueca no debe exceder de 1.5°. Nota: Para el desarrollo de los problemas es importante la visualización mediante el uso

de esquemas.

3.8 Acoplamiento de ejes Con frecuencia se hace necesario ensamblar �echas largas a partir de piezas más cortas, y por lo común se ensamblan mediante acoplamientos (véase �gura 3.43).

F T F T F T F

a)

b)

c)

Figura 3.43


El acoplamiento consiste en un conjunto de bridas con agujeros perforados previamente en los extremos de las piezas que se van a unir (véase �gura 3.43 a)). Se unen dos bridas y se sujetan (véase �gura 3.43 b)) mediante pernos, formando un conjunto más largo. El campo de la estática incluye el análisis de las fuerzas que actúan sobre los pernos de un acoplamiento. El acoplamiento transmite el par entre las dos secciones de la �echa. Que esto ocurra depende de la �jación mediante los pernos de sujeción, los cuales quedan sometidos a esfuerzo cortante y esfuerzo de aplastamiento (véase �gura 3.43 c)). Considerando una sección a través de las bridas (véase �gura 3.43 c) se encuentra que al par T se opone el momento de las fuerzas cortantes en los pernos. Si todos los pernos son equidistantes del centro de la �echa, las fuerzas actuantes en los pernos son iguales. Si el acoplamiento contiene pernos dispuestos a diferentes distancias respecto del eje de la �echa, la fuerza en cualquier perno es proporcional a la distancia del centro de la �echa. En la �gura 3.43 cada uno de los pernos soporta una fuerza igual a F , por lo que se puede obtener la relación entre las fuerzas en los pernos y el par en la �echa tomando momentos con respecto al centro. Considerando el equilibrio de momentos de la �gura 3.43 c) se tiene: ∑ M centro 5 0, T 2 n ∙ F ∙ r 5 0


149

150


Despejando T : T 5 n ∙ F ∙ r

(3.9)

Donde: T : Par aplicado. n: Número de pernos. F : Fuerza cortante en cada perno. r : Distancia de los pernos medida desde el centro de la �echa.

E jemplo 3.13 Determinar el par máximo que puede ser transmitido por un acoplamiento del eje que contiene seis pernos de ½ in, igualmente espaciados sobre un círculo de 4 in de diámetro, como se muestra en la �gura 3.44. El esfuerzo cortante permisible para los pernos es de 5 000 lb/in 2. Solución

La fuerza cortante permisible en cada perno es:

T

4 in

T . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

a)

b)

Figura 3.44

1  1  2 A 5 p   5 0.196 in2 4  2  P 5 t A 5 5 000(0.196) P 5 980 lb


Torsión

omando momentos con respecto al centro del eje de la �echa se tiene: ∑ M centro 5 0, T 2 n 3 F 3 r 5 0 T 5 n 3 F 3 r 5 (6)(980)(2) T 5 11 760 lb � in

E jemplo 3.14 Determinar el esfuerzo cortante que actúa en cada perno de ½ in de un acoplamiento, suponiendo que el par aplicado es de 6 000 lb ft. Los pernos están distribuidos de tal forma que seis quedan sobre un círculo de 6½ in de diámetro y cuatro quedan sobre un círculo de 5 in de diámetro (véase �gura 3.45). Solución

Las fuerzas que actúan sobre los pernos pueden calcularse por estática. En este caso se presentan dos fuerzas desconocidas, F 1 sobre el círculo a y F 2 sobre el círculo b: ∑ M centro 5 0 T 2 n1 ∙ F 1 ∙ r 1 2 n2 ∙ F 2 ∙ r 2 5 0 T 5 n1 ∙ F 1 ∙ r 1 1 n2 ∙ F 2 ∙ r 2

(6 000)(12) 5 6F 1(3.25) 1 4F 2(2.5) 72 000 5 19.5F 1 1 10F 2 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

D = 6 1 in a

F 1

2

b

T

F 1

F 2 F 1 F 2 F 2

T

F 1

T F 2

F 1

D = 5 in F 1

a)

b)

Figura 3.45


c)

151

152


Se puede obtener la relación entre las fuerzas F 1 y F 2 considerando que la fuerza en cada perno es proporcional a la distancia del perno al centro del eje de la �echa. Por tanto: F2

2.5

5

F 1

3.25 2.5 F2 5 F 3.25 1 Sustituyendo: 72 000 519.5 F1 110

2.5 F 3.25 1

F 1 5 2 650 lb

2.5 (2 650) 3.25 F 2 5 2 030 lb F 2 5

El esfuerzo cortante en cada perno del anillo exterior (a 3.25 in del eje) es: t5

P 2650 5 5 13 500 lb/in2 A 0.196

El esfuerzo cortante en cada perno del anillo interior (a 2.5 in) es: t5 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

P 2030 5 5 10 400 lb/in2 A 0.196

A ctividades de aprendizaje Resuelve los siguientes ejercicios. Compara tus resultados con tus compañeros de clase. 1. Determina el par máximo que puede transmitirse mediante un acoplamiento de �echa

que tiene cuatro pernos de 10 mm espaciados de forma equidistante sobre un círculo de 170 mm de diámetro. El esfuerzo cortante permisible en los pernos es de 80 MPa. 2. Calcula el esfuerzo cortante en los pernos de un acoplamiento de eje que transmite un

par de 2 300 lb pie. Hay seis pernos de ¾ in espaciados de forma equidistante sobre un círculo de 6 in de diámetro. Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 07:48:02.

Torsión

3. Establece el número de pernos de 8 mm necesarios para transmitir un par de 2 000 N � m.

El diámetro del círculo en el que se localizarán los ejes de los pernos es de 100 mm y el esfuerzo cortante admisible en los pernos es de 78 MPa.

3.9 Casos hiperestáticos Los casos de sistemas hiperestáticos bajo torsión no se presentan en la práctica con frecuencia. Los ejes sometidos a la acción de pares torsores obedecen normalmente a la necesidad de transmitir potencia entre ejes o realizar un trabajo (como el caso de un ventilador) y difícilmente se tienen condiciones que restrinjan totalmente el movimiento del eje; sin embargo, el estudio de los sistemas hiperestáticos permite un entendimiento más profundo del comportamiento de elementos mecánicos sometidos a torsión.

Procedimiento de análisis Cuando se tiene un caso hiperestático se procede a su análisis con procedimientos similares a los desarrollados para esfuerzos normales. Primero se aplica la condición de equilibrio (ecuación 1.8) con la sumatoria de momentos para identi�car relaciones base entre el eje, el par o los pares, y las reacciones en los apoyos. Posteriormente se aplican condiciones de deformación angular que permitan expresar alguna de las variables en términos de otra.

E jemplo 3.15


Una barra de acero hueca de 1 m de longitud empotrada en sus extremos está sometida a la acción de un par torsor de 500 N � m. El par es aplicado a una distancia de 0.3 m a partir del empotramiento izquierdo. Si el diámetro exterior es de 0.1 m y el interior de 0.09 m, calcular la magnitud de los pares torsores actuantes en los extremos de la barra. 500

N.m

0.3 m 1 m

Figura 3.46


153

154


Solución

Se aplica la sumatoria de momentos considerando que en los extremos empotrados se generan pares torsores de sentido contrario al aplicado sobre el cuerpo del cilindro. 500

T A

A

N.m

B

C

T C

Figura 3.47

∑ M o 5 0 T A 1 T C 2 500 5 0

Donde: T A 1 T C 5 500

Es posible suponer en forma errónea que cada extremo de la barra está sometido a pares equivalentes, es decir: T A 5 T C 5 500/2 5 250 N � m

Debido a que el par no es aplicado al centro de la barra, se tienen condiciones de deformación angular diferentes y, por tanto, la respuesta en cada apoyo empotrado es diferente. Por lo anterior, es importante involucrar la relación entre la deformación angular (ecuación 3.4) generada para cada tramo del eje. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

u A-B

u B-C

Figura 3.48

Debido a que se encuentra un doble empotramiento en los extremos, la rotación en estas regiones es igual a 0; esto es: u AB 2 uBC 5 0


Torsión

Si: u5

TL GJ

Entonces: T A LAB TC LBC 2 5 0 GJ GJ

Al ser una barra homogénea en sección y material a lo largo de su sección, el módulo de rigidez y el momento de inercia son eliminados de la relación: T A LAB TC LBC 5 GJ GJ T AL AB 5 T CL )/L AB BC n T A 5 (T CL BC

Sustituyendo: T A 5 T C (0.7)/0.3 T A 5 2.33T C

Sustituyendo T A en la expresión T A 1 T C 5 500 se tiene: 2.33T C 1 T C 5 500 3.33T C 5 500


T c 5

500 5 150 N ⋅ m 3.33

Por tanto: T A 5 2.3333(150) 5 350 N � m

E jemplo 3.16 En la �gura 3.49 se muestra una barra de aluminio de 30 cm de largo y 5 cm de diámetro unida �rmemente a una de acero de 60 cm de largo y 4 cm de diámetro. Se aplica en el punto de unión un par torsor de 5 000 N � m. Si los módulos de rigidez del acero son 80 GPa y 30 GPa, determinar la magnitud de los esfuerzos cortantes en cada sección.


155

156

Mecánica de materiales. Teoría y aplicaciones 5 000

N. m

Aluminio

Acero

0.3 m

0.6 m

Figura 3.49

Solución

Procediendo de forma análoga al caso anterior: ∑ M o 5 0 T Al 1 T Ace 2 5 000 5 0

Que se expresa: T Al 1 T Ace 5 5 000

Debido a que se encuentra un doble empotramiento en los extremos, la rotación en estas regiones es igual a 0; esto es: u AB 2 uBC 5 0

Dado que: u5 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

TL GJ

Resulta: T Al LAB TAce LBC 2 50 GJ GJ

Al ser una barra con cambios de sección y material, el módulo de rigidez y el momento de inercia deben ser considerados: T Al LAB T Ace LBC 2 G Al J Al G Ace J Ace

Calculando los momentos de inercia de cada sección: J o 5

pD 4

32


Torsión

J Al 5

J Ace 5

p(0.05)4

32

5 61.35 3 1028 m 4

p(0.04)4

32

5 25.13 3 1028 m 4

Sustituyendo en las expresiones de deformación angular: T Al (0.3) T Ace (0.6) 5 30 3 109 (61.35 31028 ) 80 3 109 (25.13 31028 )

Sustituyendo: T Al 5 1.81T Ace

Ahora, sustituyendo T Al en la expresión resultante de la suma de momentos: 1.81T Ace 1 T Ace 5 5 000 2.81T Ace 5 5 000 T Ace 5

5000 5 1 779.35 Nm 2.81

Por tanto: T Al 5 1.81(1 779.35) 5 3 220.64 N � m

El cálculo de los esfuerzos se realiza empleando la ecuación: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

t5

16T π

D 3

Para el aluminio: t5

16(3 220.64) 5 1.29 MPa 3 π 0.05

t5

16(1779.35) 5 1.38 MPa 3 π 0.04

Para el acero:


157

158


A ctividades de aprendizaje 1. En equipos de dos o tres personas desarrollen una investigación que amplíe el tema de

casos hiperestáticos en torsión e incluyan al menos tres ejemplos más para su aprendizaje. 2. Elabora, junto con tu equipo, una presentación electrónica con el producto de su investigación. Expongan en clase.

P reguntas de evaluación Responde con detalle las siguientes preguntas.


3.1

Explica cómo se calcula el momento torsor.

3.2

¿Cómo se cuantifica la deformación por torsión?

3.3

¿La geometría de la sección transversal influye en el cálculo de la deformación por torsión? Explique brevemente.

3.4

¿Qué característica del material influye sobre su deformación por torsión?

3.5

¿Qué tipo de esfuerzo se produce en elementos sometidos a torsión?

3.6

¿En qué unidades se expresa la deformación por torsión?

3.7

¿Por qué es importante saber si un elemento está sometido a torsión?

3.8

¿Qué es el par de torsión?

3.9

¿Qué es torque o momento de fuerza?

3.10 ¿Qué

es el momento polar de inercia?

3.11 ¿Cuál

es el significado de torsión?

3.12 ¿Qué

es el momento de inercia de áreas?

3.13 ¿Qué

diferencia existe entre momento polar de inercia y momento de inercia de áreas? Explica.

3.14 Investiga

sobre los efectos del par o momento en actividades cotidianas. Especifica cómo y en dónde se presenta este efecto.



CAPÍTULO 4

Vigas




¿Qué es una viga?



¿Cuál es la función de una viga?



¿Qué tipos de vigas conoces?



¿Qué tipos de esfuerzos sufren las vigas?



¿Qué entiendes por flexión?



¿Qué es la flexión en mecánica de materiales?



¿Qué es la flexión en una viga?



¿Qué es una superficie neutra?



¿Cuál es el eje neutro de una viga?


159

160


Introducción En el análisis y diseño de los sistemas mecánicos es importante estudiar un fenómeno denominado �exión, que se presenta en los elementos mecánicos que soportan cargas o reacciones perpendiculares a su eje de simetría. Una viga se de�ne como el elemento que soporta cargas aplicadas perpendicularmente a su eje longitudinal que está diseñado para trabajar principalmente por un concepto llamado �exión; por ello, cualquier elemento de máquina o estructura que se comporte de esta manera se le denomina viga. Las vigas se pueden clasi�car de acuerdo con su ubicación y el tipo de apoyos, así como por la manera en que se deforman (véase �gura 4.2) en: Figura 4.1 Las vigas sólidas de acero que cruzan el tablero a lo ancho se apoyan en las armaduras de acero que recorren la longitud del puente. Bajo el tablero se encuentra una red de seguridad temporal.


» Estudio

de vigas isostáticas (estáticamente determi-

nadas cumple con las condiciones de equilibrio). »

Estudio de vigas hiperestáticas (estáticamente inde-

terminadas que necesitan condiciones adicionales a las condiciones de equilibrio).

Simple

Continua

En voladizo

En voladizo con un extremo apoyado

Combinada

Fija

Vigas isostáticas

Vigas hiperestáticas

Figura 4.2

Esta división corresponde a las condiciones de apoyo presentes en el elemento objeto de estudio. De este modo, si en la viga existe un número igual o inferior a tres incógnitas en sus reacciones, solo es su�ciente aplicar las condiciones de equilibrio estático.


Vigas

∑ F 5 0,

∑ F 5 0,

x

y

∑ M 5 0

Sin embargo, la presencia de un mayor número de incógnitas es su�ciente para volver el problema indeterminado (hiperestático); en este caso, el análisis requiere del estudio de las deformaciones que experimentará la viga luego de ser cargada. Otra forma de clasi�car las vigas es de acuerdo con sus condiciones de apoyo: »

Viga simplemente apoyada. Es una pieza de carga transversal con sus dos apoyos articu-

lados, uno de los cuales es deslizable (véase �gura 4.3), así se descarta la posibilidad de que existan reacciones horizontales y momentos en los apoyos, por lo que las reacciones solo serán verticales. F

a

b

R A

RB

L

Figura 4.3 »

Viga en voladizo. Es una pieza de carga transversal, con un extremo libre y el otro empo-

trado, en el que solo se impiden los movimientos verticales y de rotación (véase �gura 4.4). F a

M R . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

L

Figura 4.4 »

Viga con voladizo. Es aquella en la que sobresalen de los apoyos uno o ambos extremos

de la viga (véase �gura 4.5). F

L

a

R A

RB


161

162

Mecánica de materiales. Teoría y aplicaciones »

Viga continua. Viga estáticamente indeterminada que se extiende sobre tres o más apoyos

(véase �gura 4.6). F

A

C

B

H A

a

b

c

V A

V B

V C

Figura 4.6

Las cargas que soportan las vigas provienen de su mismo peso (carga muerta), además de otras formas que deba soportar; sin embargo, aunque puedan parecer bastante complicadas solo existen cinco tipos básicos de cargas aplicadas; una viga puede soportar cualquiera o una combinación de ambas: » Viga sin carga. Viga sin peso o con un peso muy pequeño comparado con las otras fuerzas que se aplican (véase �gura Figura 4.7 4.7). » Viga con carga concentrada. Es aquella con una carga aplicada sobre un área pequeña, también llamada carga concentrada en un punto (véase �gura 4.6). » Viga con carga uniformemente distribuida. Es la viga en la que la carga está distribuida de igual manera sobre una porción de la longitud de la viga (véase �gura 4.8). w


Figura 4.8 »

Viga de carga variable. Es aquella que muestra una carga de intensidad variable de un

lugar a otro, también conocida como generalmente distribuida (véase �gura 4.9). » Vigas con par o torsión. Viga que soporta una torsión aplicada en alguna de sus partes (véase �gura 4.10).


Vigas

w(x )

j

k

 k

yk

 j

y j M j

M k

L

V j

V k

Figura 4.9 A

M1

B

M1

M1

M

0

Figura 4.10

Vigas con par o torsión.

4.1 Elementos sujetos a flexión


Como se dijo antes, un concepto íntimamente relacionado con el comportamiento de las vigas es el de �exión, que es la deformación que presenta un elemento estructural alargado en una dirección perpendicular a su eje longitudinal; el término alargado se aplica cuando una dimensión es dominante frente a las otras. De igual manera, el término de �exión se extiende a los elementos estructurales super�ciales como placas o láminas. Una viga inicialmente recta con la carga se deforma adquiriendo una ligera curvatura, que se conoce con el nombre de elástica (véase �gura 4.11). Todas las secciones de la viga sufren desplazamientos que por lo general son verticales, lo que provoca que la viga no modi�que su longitud. y f (x) A

A

B

Figura 4.11 Viga deflectada y curva elástica.


B

x

163


164

Si se toman dos secciones transversales y próximas entre sí, antes de aplicar las cargas éstas son paralelas; a a’ b’ b después de lo cual aunque continúan siendo rectas, ya no son necesariamente paralelas entre sí (véase �gura 4.12). Esto signi�ca que las secciones en un inicio planas y normales al eje de la pieza se mantienen planas dx y normales al eje; sin embargo, el eje cambió su forma M M de recta a curva de la elástica. Como se puede observar en la �gura 4.12, unas �bras del sólido se acortan y otras se alargan, por lo que entre ambas existe una capa que no sufre variación, la c’ c d d’ cual se conoce como zona o capa de �bras neutras. Figura 4.12 Segmento de una viga recta sin carga Un segmento diferencial curvo de viga puede y curvo sin carga. considerarse como un arco de círculo con centro en O y radio r. En éste se observa que la parte superior a’b’ tiene menor longitud que la inferior c’d’, lo que sugiere que las �bras superiores se comprimieron y las �bras inferiores se alargaron. Los per�les más recomendados en vigas son los que tienen valores elevados de momentos de inercia, por lo que se pre�eren aquellos con secciones de mayor altura que ancho. En la �gura 4.13 se muestran per�les preferidos para secciones transversales de vigas. d


Figura 4.13 Perfiles comunes en vigas.

1

2

F ib r a n eu tr a

1

2

Figura 4.14

Un objeto sometido a �exión por lo general presenta una super�cie de puntos que se conoce como �bra neutra (véase �gura 4.14). Todas las �bras neutras forman una zona a la que se le denomina super�cie neutra de la viga (véase �gura 4.15), de manera que la distancia a lo largo de cualquier curva contenida en ella no varía con respecto al valor previo antes de la deformación. Se llama eje neutro de una sección a la intersección entre ésta y la super�cie neutra. El eje neutro pasa por el centro de gravedad de la sección transversal.


Vigas

l1

165

l1

Super�cie neutra ex = 0 l2

Eje neutro ex = 0

l2

x

Segmento C Sección transversal

Figura 4.15

Si se toma un trozo de viga y antes de deformarse se mide la unidad; después de la deformación solo la �bra neutra continuará midiendo la unidad. Una �bra situada a una distancia y , por debajo de la �bra neutra, medirá más de la unidad, debido a que está sometida a tensión y su alargamiento constituye el alargamiento unitario e (véase �gura 4.16).

r

y 1

En la �gura 4.16: r 1 5 y e

Figura 4.16

Despejando: e5 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

y r

Para un radio de curvatura dado, el alargamiento de una �bra es proporcional a la distancia de una �bra a la �bra neutra. Internamente, la �exión provoca en el elemento una reacción de oposición que se denomina momento �ector. Para describir la acción de los esfuerzos de �exión, considérese una viga sujeta a �exión pura (en la que no se presentan esfuerzos cortantes) (véase �gura 4.17 a). Considerando que la viga está formada de un gran número de �bras longitudinales, al momento de �exionarse las �bras que conforman la porción superior de la viga se comprimen, mientras que las de la porción inferior se alargan. En forma intuitiva se observa que debe existir alguna super�cie en la que ocurra la transición entre compresión y tensión; esta super�cie en la que el esfuerzo o las reacciones son cero se denomina super�cie neutra, o eje neutro, y coincide con el centro de gravedad de la sección transversal. La �gura 4.17 b) es un diagrama de cuerpo libre de la porción izquierda de la viga y muestra la distribución de las fuerzas en sus �bras.




166


M

M

a) M A C

E j e n e ut

ro

T b)

Figura 4.17

2. 3. 4. 5. 6. 7. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

B

Las fuerzas resultantes de compresión y de tensión (C y T) son iguales en magnitud y conforman el momento resistente interno de la viga. La magnitud de los esfuerzos máximos de tensión y de compresión en la viga, asociados con este momento, pueden determinarse a partir de la fórmula de la �exión. Para deducir esta fórmula es necesario considerar ciertas suposiciones con respecto a la acción de la viga, aproximándolas a una situación real. Entre las suposiciones que se hacen al usar la fórmula de la �exión destacan: 1. La viga inicialmente recta tiene una sección transversal

constante y se conserva así cuando está cargada. Aunque las vigas en realidad sufren ligeras �exiones y torceduras producidas durante su fabricación, este efecto se desprecia. Las cargas se aplican de forma que no se presenta torsión. Al aplicarse las cargas de manera excéntrica da lugar a una combinación de �exión y torsión. Los esfuerzos en la viga se consideran por debajo del límite de proporcionalidad, por tanto, se aplica la Ley de Hooke. El módulo de elasticidad de las �bras a compresión es igual al de las �bras a tensión. Tanto la parte de la viga que está comprimida como la que está extendida están restringidas para moverse lateralmente. La dirección de la acción de las fuerzas aplicadas sobre la viga se consideran paralelas a un eje principal pasando por el centro del cortante. Las secciones planas antes de la �exión se mantienen planas después de la �exión. Es decir, un plano que pase a través de una sección transversal antes de la �exión no se alabeará después de que se cargue la viga. Esta suposición explica la distribución de esfuerzos en forma lineal (OA y OB) mostrada en la �gura 4.17 b).

Las consideraciones anteriores, así como las características físicas asociadas al fenómeno de la �exión, se muestran en la �gura 4.18. Las �guras 4.18 a) y b) muestran la viga y dos secciones planas (a-b y c-d) antes y después de la �exión. Las secciones planas antes de la �exión se mantienen planas después de la �exión (suposición 7), las �bras de la viga deben cambiar de longitud. La posición original de las �bras que se muestran en la �gura 4.18 c) (con líneas interrumpidas) se ha desplazado, después de la �exión, a la posición mostrada por las líneas continuas. Se puede observar cómo las �bras superiores se acortan, mientras que las �bras inferiores se alargan y las �bras localizadas en el eje neutro no varían su longitud. En la �gura 4.18 d) se muestra la distribución de la deformación en la sección transversal, la cual varía linealmente desde cero en el eje neutro hasta el máximo de compresión en las �bras superiores y hasta un máximo de tensión en las �bras inferiores. Dado que se conserva la linealidad del sistema, el esfuerzo es proporcional a la deformación, se considera la Ley de Hooke (véase �gura 4.18 e).


Vigas

a

c

b

d

M

a

b

a)

M

c

d

b) a

c





Eje neutro

b



d c)



d)

e)

Distribución de la deformación

Distribución del esfuerzo

Figura 4.18

A ctividades de aprendizaje 1. Revisa los siguientes vínculos y elabora mapas mentales de cada uno.

a) Multimedia: https://www.youtube.com/watch?v 5rql-cpXTMU0 b) ViGas: https://www.youtube.com/watch?v 5RlsPuJfeevk 2. Resuelve el siguiente crucigrama.

Revisa

Revisa



167

168


Horizontal 3. Existe en los elementos mecánicos que soportan cargas o reacciones perpendiculares a

su eje de simetría. 4. Se le conoce de esta manera a la intersección de esa sección con la super�cie neutra. 5. La presencia de un mayor número de incógnitas bastará para volver el problema indeterminado. 6. Todas las �bras neutras forman una zona conocida como: 7. Super�cie de puntos que presenta un objeto sometido a �exión. 9. Tipo de carga que puede provenir del mismo peso de la viga. 11. Es el término que se aplica cuando una dimensión es dominante frente a otras. 12. Para un radio de curvatura dado, el alargamiento de una �bra es _____ a la distancia de una �bra a la �bra neutra. 13. Es una pieza cargada transversalmente con un extremo libre y otro empotrado, en el que solo se impiden los movimientos de: ______________. Vertical 1. Es una viga que soporta una torsión aplicada en alguna de sus partes. 2. El esfuerzo que provoca internamente la �exión en el elemento se denomina: 6. Tipo de viga que se considera sin peso o un peso muy pequeño comparado con las

otras fuerzas que se aplican. 8. Elemento que soporta cargas aplicadas perpendicularmente a su eje longitudinal. 10. Ley que indica que el esfuerzo es proporcional a la deformación. 3. Realiza el siguiente experimento. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Con este experimento visualizarás y deducirás el fenómeno no visible de las fuerzas cortantes y los momentos �exionantes que ocurren en el interior de una viga, ya que es difícil observar cómo cada una de las partículas del material se ven afectadas por la acción de las cargas que ésta soporta. Paso 1. Construye o utiliza una viga simple (la viga deberá ser su�cientemente �exible de modo

que se pueda �exionar con pequeñas fuerzas aplicadas, pero su�cientemente rígida para que se muestre como una viga bajo carga) y dos apoyos. De preferencia una viga con longitud de 250 a 1 250 mm y un ancho de 25 mm, hechas de cualquiera de los materiales: un pedazo plano de madera de 2 a 3 mm de espesor. a) b) c) d)

Cartón grueso de dimensiones similares Una tira de lámina de aluminio de 1.6 mm de espesor Una tira de acero de 0.5 mm de espesor Una tira de plástico de 2 mm de espesor


Vigas

169

Inténtalo al menos con tres materiales y dimensiones diferentes. Paso 2. Ambos apoyos deben quedar estables sobre una

super�cie plana que les permita soportar la viga por lo menos 15 mm fuera (por encima) de la super�cie. Se sugiere una estructura angular con longitud de alas de 20 a 30 mm de madera, plástico o metal. Los apoyos se colocarán de forma tal que se cree un soporte de cuña que dé la altura sugerida sobre el cual se apoye la viga. Utilice una regla de aproximadamente 150 mm de largo para tomar sus mediciones (véase �gura 4.19).

Ala 15 mm

Apoyo para viga

Figura 4.19

Tarea 1 1. Selecciona al menos tres materiales para construir la viga y realiza la aplicación de carga

para lograr �exionarla. Observa la forma que toma la viga y la dirección de las fuerzas requeridas para �exionarla; después de cada acción, elimina la acción de las fuerzas para llevar la viga a su posición de equilibrio sin cargas. Dibuja la viga en su forma �exionada, así como el punto de aplicación de las fuerzas de soporte o las acciones de agarre. Las formas en que puedes hacerlo son: Sujetar la viga con los pulgares y dos o más dedos de cada mano, y �exionarla. » Colocar los pulgares en la super�cie inferior de la viga y un dedo de cada mano hacia afuera de los pulgares. Empujar con los dedos hacia abajo. » Colocar los pulgares de cada mano en la super�cie inferior de la viga y un dedo de cada mano hacia dentro de los pulgares. Empujar hacia abajo con los dedos. Los pasos siguientes se facilitarán si se dispone de dos bloques rígidos de dimensiones aproximadas de 75 a 100 mm a cada lado de la viga, sujetándola como si fuera un emparedado. »


»

»

»

»

Sostener �rmemente un extremo de la viga con una mano, luego empujar hacia abajo con los dedos de la otra. Sostener �rmemente ambos extremos de la viga y girarla en diferentes direcciones de rotación de cada mano. Sujetar ambos extremos de la viga �rmemente y girarla con movimientos de la mano hacia arriba o hacia abajo con las muñecas �jas. Retirar una de las manos y observar lo que sucede a la forma de la viga. Al soltarla, tratar de mantenerla en la posición en la que estaba.

2. Responde las preguntas y entrégalas a tu profesor. » »

¿Qué acciones produjeron una curva continua en una dirección? ¿Cuáles acciones produjeron curvas parcialmente cóncavas o convexas?


170

Mecánica de materiales. Teoría y aplicaciones » »

»

Si alguna parte de la viga quedó fuera de los puntos de apoyo, ¿se �exionó? ¿Qué notaste al sujetar �rmemente la viga al hacer la de�exión? ¿Se alineó la viga con el punto de agarre? Explica por qué. ¿Qué forma tomó la viga al liberarla de una sujeción �rme?

Tarea 2 1. Realiza lo que se indica. »

»

»

Colocar la viga en dos apoyos separados entre sí, sobre una super�cie plana de forma tal que ¼ de la longitud de la viga sobresalga en los extremos. Aplicar con un dedo una fuerza dirigida hacia abajo en el punto medio de la viga equidistante a los apoyos. Medir la curvatura de la viga en los extremos de los apoyos y en el centro de la viga.

2. Completa y responde lo que se pide. »

» » »

La fuerza aplicada hacia _____________ a la viga en su parte media hace que la viga se _______________ y adopte una curvatura _______________ hacia arriba. Esta �exión se denomina _______________ _________________. ¿Cómo son las partes de la viga que sobresalen por encima de los apoyos? ¿Dónde ocurre la de�exión máxima de la viga? La de�exión entre los apoyos alcanza un nivel más ___________ que el de éstos, pero fuera de los apoyos la de�exión es hacia _________________.

4.2 Esfuerzo de elementos sujetos a flexión . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Las cargas aplicadas exteriormente sobre una viga producen momentos internos resistentes y cortantes, las dimensiones, forma o material de la viga que soporta las cargas aplicadas son factores ligados con la capacidad de soportar carga de la viga y con la naturaleza y distribución de sus esfuerzos internos. Existen dos tipos generales de problemas en el estudio de las vigas: el análisis y el diseño. En el análisis, el problema consiste en determinar el máximo esfuerzo para una carga dada o la carga permisible para un esfuerzo permisible dado, conociendo las dimensiones de la viga, en tanto que los problemas de diseño consisten en determinar las dimensiones necesarias de la sección transversal de la viga, conociendo el claro de la viga (de�exión), las condiciones de carga y los esfuerzos permisibles. La teoría de la �exión supone que la dirección de las fuerzas aplicadas y la forma geométrica de la sección transversal de una viga se adaptan a ciertas condiciones; sin embargo, cuando la geometría de una viga o las condiciones de carga no se adaptan a las hipótesis necesarias de la �exión, los esfuerzos internos diferirán de lo que se predice mediante la teoría.


Vigas

Deducción de la fórmula de la flexión En esencia, la fórmula de la �exión se deduce de la misma forma que la fórmula de la torsión de la sección 3.2. Primero, se establece la relación entre los esfuerzos en las �bras y el momento resistente interno, lo cual se puede hacer de la manera siguiente: a) Se analiza una �bra localizada a una distancia cualquiera y a partir del eje neutro se determina la fuerza ejercida en esta �bra debida a su esfuerzo, y el momento de esta fuerza con respecto al eje neutro. b) Se obtiene la suma de los momentos de todas las �bras, con respecto al eje neutro. El resultado es el momento resistente interno de la viga. La deducción tiene la forma siguiente: Considérese una sola �bra de área dA localizada a una distancia y del eje neutro (véase �gura 4.20). Si el esfuerzo que actúa sobre esta �bra es s, el esfuerzo que lo hace sobre la �bra externa es s y la distancia desde el eje neutro a la �bra externa es c ; entonces, por los triángulos semejantes de la �gura 4.20 e) se tiene: a

c

b

d

a

M

b)

a

c



 ’

y

b

y

y

dP y

c

d c)


M

d

b

a)

c

d)

e)

f)

Figura 4.20 s'

y

5

s

c

o

s95s

y c

Una vez que se conoce el esfuerzo sobre esta �bra y su área dA, se determina la fuerza ejercida por ésta: s5

P ; A

y dP 5 s9dA 5 s dA c

El momento de esta fuerza dP con respecto al eje neutro es:

 y  dM 5 dPy 5  s dA   c  Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 11:43:57.

171

172


y s

dM 5 y 2 dA c

Sumando los momentos de cada una de las �bras de la viga se obtiene:

∫ dM 5 ∫ sc y dA 2

M 5

s

∫ y dA c 2

1 c

El término

∫ y

2

dA es, por de�nición, el momento de inercia I de la sección transversal. La

2 c

fórmula de la �exión entonces se convierte en: M 5 s5

s

c

I

Mc I

Donde: s 5 Esfuerzo en las �bras externas de la viga, en lb/in 2, o en Pa.

M 5 Momento �exionante interno en la viga, en lb ∙ in, o en N � m. I 5 Momento de inercia de la sección transversal de la viga, en in 4 o en m4. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

c 5 Distancia desde el eje neutro de la viga hasta las �bras externas, en in o en m.

Nótese que el eje neutro siempre coincide con el centroide de la sección transversal.

Ejemplo de elementos sujetos a flexión Uso de la fórmula de la flexión Para determinar los esfuerzos máximos en las vigas cuando se conoce M , c e I , se utiliza la fórmula de �exión. Por lo común, las vigas poseen secciones transversales asimétricas con respecto al eje de �exión (véase �gura.4.21).


Vigas

c1

c1

c1

c2

c2

c1

c2 c2

a)

b)

c)

d)

Figura 4.21

Para determinar el esfuerzo máximo se debe usar la mayor distancia c . Si se van a determinar los esfuerzos tanto en las �bras de la parte superior como en las de la parte inferior, se aplica la fórmula s 5 Mc /I (dos veces, usando las respectivas distancias c ). Como el eje neutro siempre está en el centroide de la sección transversal, el primer cálculo consiste en localizar este eje para determinar las dos distancias c .

E jemplo 4.1 Determinar el esfuerzo en las �bras externas de la viga de 140 mm 3 200 mm indicada en la �gura 4.22. 2 000 N 140 mm

200 mm


3m

3m a)

b)

Figura 4.22

a) Despreciar el peso de la viga. b) Incluir el peso de la viga (el peso especí�co de la madera es de 5 600 N/m 3). Solución

a) El momento máximo debido a la carga concentrada puede determinarse según el Apéndice V. Así: M máx 5

PL

4

5

( 2 000) (6) 5 3 000 N ⋅ m 4


173

174


El momento de inercia es: I5

1 3 1 bh 5 (140 3 1023 m ) (200 31023 m)3 12 12 I 5 9.33 3 1025 m4

El esfuerzo en las �bras externas superiores o inferiores es: 23

Mc (3 000 N ⋅ m) (100 3 10 s5 5 I 9.33 3 1025 m4

m)

s 5 3.215434 MPa

b) Cuando se incluye el peso de la viga como una carga uniformemente distribuida, el valor w es: w 5 peso especifíco 3 volumen

5 600 N  (140 3 1023 m )(200 31023 m )(6 m) 3  m 

w 5 

w 5 940.8 N/m

El momento adicional (veáse Apéndice V) debido a esta carga que, se tiene para viga con carga concentrada en el centro (peso de ésta): M máx 5

PL

4

5

(940.8) ( 6)

4

5 1 411.2 N ⋅ m

El esfuerzo adicional debido a este momento es: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Mc (1 411.2 ) (100 310 s5 5 9.33 3 10−5 I

−3

) 5 1.512540 310 6 N/m 2 51.512540 MPa

Entonces, el esfuerzo máximo en la viga, incluyendo su propio peso, es: s 5 3.215434 11.512540 5 4.727975 MPa

E jemplo 4.2 Determinar el esfuerzo en las �bras externas de la viga mostradas en la �gura 4.23.


Vigas

Solución

El esfuerzo máximo puede determinarse a partir de s 5 Mc/I . En este caso, primero se calculan los momentos de inercia I . Para determinar el momento de inercia con respecto al eje neutro apoyándose tabularmente (véase tabla 4.1). 6 ft 3

2 ft w = 4 klb/ft

8 ft 2 6 ft 20 ft 1

2 ft

2 ft

Figura 4.23 Tabla 4.1 Sección


I 0

Ai

d i

Ai d i

2

I

1 (6)(2)3 5 4 12

(6)(2) 5 12

5

300

II

1 (2)(8)3 5 85.3 12

(8)(2) 5 16

0

0

III

1 (6)(2)3 5 4 12

(6)(2) 5 12

5

300

∑ I 0 5 93.3

∑ Ad 2 5 600

Por inspección, se observa que la �gura 4.23 es una �gura simétrica respecto a ambos ejes; por ende, el eje centroidal y la divide en dos pasando por el origen, y el eje x se encuentra 6 in por encima de la parte inferior. Con base en los datos de la tabla 4.1 es posible calcular el momento de inercia total de la sección: I 5 I 0 1 Ad 2 5 93.3 1 600 I 5 693 in 4


175

176


El momento máximo es: 1 8

1 8

M máx 5 wL2 5 ( 4) (20)2 5 200 klb ⋅ ft

Enseguida se calcula el esfuerzo y se obtiene: Mc (200 3 12 ) 6 5 693 I

s5

s 5 20.78 klb/in 2

E jemplo 4.3 Determinar el esfuerzo máximo en una viga W12 3 26 que está soportando la carga mostrada en la �gura 4.24. P = 3 000 lb

w = 2 000 lb/ft

6 ft

6 ft

Figura 4.24


En la descripción de un per�l laminado, la letra indica su forma (en este caso de ala ancha), el primer número representa el peralte (la altura) nominal de la viga, el segundo número representa su peso por pie de longitud. En este ejemplo, W12 3 26 signi�ca que es una viga en I de ala ancha, de aproximadamente 12 in de alto, que pesa 26 lb/ft (véase Apéndice VIII). Para determinar el esfuerzo, solo es necesario el momento de inercia con respecto al eje xx y la mitad del peralte obtenidos en el Apéndice VIII. I xx 5 204 in4 y c 5 12.22/2 5 6.11 in

Sin embargo, como la relación I/c se usa con mucha frecuencia, también está tabulada. En este caso I/c (llamado el módulo de la sección S) es de 33.4 in 3. El momento de la viga se calcula con la fórmula obtenida del Apéndice V: M máx 5

PL

4

1 8

1 wL2


Vigas

(3 000 ) (12 ) (2 000 ) (12)2 1 M máx 5 4 8 M máx 5 45 000 lb ∙ ft

Por último, se calcula el esfuerzo de la viga: Mc 45 000 3 6.11 5 5 1 347.8 lb/in 2 204 I M 45000 s5 5 5 1 347.3 lb/in 2 33.4 I /c s5

s 5 1 347.8 lb/in 2

E jemplo 4.4 Determinar los esfuerzos en las �bras externas, superiores e inferiores, de la viga de sección T indicada en la �gura 4.25. w = 2.5 kN/m

6m

a)

150 mm

50 mm

75 mm Eje neutro


150 mm

50 mm

125 mm

b)

c)

Figura 4.25

Solución

Para aplicar la fórmula de la �exión s 5 Mc /I se deben calcular tanto I como c . El primer paso es determinar la ubicación Mc /I , del centroide de la sección. En la �gura 4.25 b) se observa que existe una simetría sobre el eje, por lo que la coordenada x 5 0 está contenida en éste. Para encontrar la coordenada y se procede:

∑ Ay 5 (50 310 y 5 ∑ A

23

)(150 310 23 )(75 31023 ) 1 (150 310 23 )(50 310 23)(175 310 23) (50 3 1023 )(150 31023 ) 1 (150 310 23 )(50 310 23 )


177

178


y 5 125 3 1023 m

Posteriormente, se calcula el momento de inercia con respecto al eje neutro que pasa por este punto, apoyándose tabularmente (véase tabla 4.2): Al aplicar el teorema de los ejes paralelos: I 5 I 0 1 A ⋅ d 2 Tabla 4.2 I 0

Sección

1 b 3 h3 1 12 5 (50 3 1023)(150 3 1023)3 12 I 1 5 1.40625 3 1025 m4 1 I 2 5 b 3 h3 1 12 5 (150 3 1023)(50 3 1023)3 12 I 2 5 1.5625 3 1026 m4 I 1 5

I

II

Ai

d i

2

A1 5 b ∙ h 5 (50 3

1023)(150 3 1023)

75 3 1023 4.21875 3 1025

A1 5 (7.5 3 1023) m2 A2 5 b 3 h 5 (150 3

1023)(50 3 1023)

175 3 1023 2.296875 3 1024

A2 5 (7.5 3 1023) m2

∑I 0 5 1.40625 3 1025 1 1.5625 3 1026 ∑I 0 5 1.5625 3 1025 m4 IT 5 I l 1 I ll

Ai ∙ d i

∑ Ai 3 d i 2 5 2.71875 3 1024 m4

I T 5 (1.40625 31025 1 4.21875 310 25) 1(1.5625 310 26 12.296875 310 24) . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

I T 5 2.875 3 10 −4 m 4

Por consiguiente: 1 1  2.5 kN    (6 m)2 8 8  m  M máx 5 11.25N 3 m M máx 5 wL2 5

El esfuerzo máximo en las �bras externas inferiores es: Mc 2 (11.25 N ⋅ m ) (125 310 s5 5 2.875 31024 m 4 I

23

m)

s 5 4 831.25 Pa Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 11:43:57.

Vigas

179

El esfuerzo en las �bras externas superiores es: 23 Mc ( 4.5 N ⋅ m ) (60 3 10 m ) σ 5 5 2.875 31024 m 4 I

s 5 939.13 Pa

A ctividades de aprendizaje Resuelve los siguientes problemas. En todos los ejercicios desprecia el peso de la viga, a menos que se especi�que lo contrario. 1. Determina los esfuerzos en las �bras externas, superiores e inferiores de la viga I 18 3 54.7

bajo la acción de las cargas mostradas en la �gura 4.26. 3 000 N

1m

2m

Figura 4.26

300 mm

2. La escuadra mostrada en la �gura 4.27 tiene una sec-


ción transversal uniforme de 40 mm de ancho y 80 mm de alto. Calcula la carga W máxima que puede soportar, tomando en cuenta que el esfuerzo admisible es de 160 MPa. 3. Determina el momento máximo que pueden soportar las secciones de la viga de alma llena para un esfuerzo admisible s 5 22 klb/in2.

P A 80 mm

B

400 mm

C W 80 mm

Alma:

43

1 in 2

42

1 in 2

3 Placa de 42 1/2 in 3 in 8 Patín:

Figura 4.27

placa de 12 in 3 3 in 4 Dos ángulos: 5 in 3 5 in 3 1 in 2


180


4.3 Esfuerzos y deformaciones El objetivo del estudio de las vigas es determinar el estado interno de los esfuerzos y las deformaciones ocasionadas por la aplicación de cargas en éstas; para lograrlo es necesario determinar el estado de fuerzas cortantes en su interior, así como el de momentos �exionantes. Para el logro de este objetivo deben realizarse los siguientes pasos: 1. De�nir el estado de fuerzas cortantes y momentos �exionantes del sistema. 2. Construir los diagramas de fuerzas cortantes y momentos �exionantes mediante los prin-

cipios básicos de la estática. 3. Desarrollar métodos abreviados para construir los diagramas de cortante y momento �exionante respectivos.

Diagrama de fuerzas cortantes y momentos flexionantes Una ley fundamental de la estática establece que si un cuerpo está en equilibrio cualquiera de sus partes también lo está. Ésta es la razón por la que hay que apoyarse en el estudio de los sistemas mediante el uso de los diagramas de cuerpo libre. Sea el caso de una viga (véase �gura 4.29), a la que se aplican fuerzas y debido a éstas se deforma. Para explicar lo que ocurre en el interior es necesario hacer un corte en una sección.

C


C

Figura 4.29

Para ello, hay que apoyarse en el hecho de que el equilibrio existe en las �bras internas y externas del sistema (por seguir siendo un cuerpo en equilibrio). Por lo general, la determinación de las reacciones es el primer paso en el análisis de una viga. Una vez que se conocen, entonces se pueden determinar las fuerzas cortantes y los momentos �exionantes internos.

Fuerzas cortantes y momentos flexionantes Considérese la viga que se muestra en la �gura 4.30 a). Esta viga se puede cortar en cualquier sección y trazar un diagrama de cuerpo libre de cualquier parte. EI equilibrio se conserva sobre el cuerpo libre por medio de las fuerzas de la viga que actúan en la sección cortada. El diagrama


Vigas

de cuerpo libre de la porción izquierda se muestra en la �gura 4.30 b), ya que la fuerza externa R A actúa en forma vertical hacia arriba y ∑F V 5 0. Asimismo, debe haber una fuerza vertical que actúa sobre la cara del corte. Esta fuerza vertical V se conoce como el cortante vertical, o simplemente como el cortante en la viga. En el caso particular de la �gura 4.30 b), V 5 R B y estas fuerzas forman un par que tiende a hacer girar al cuerpo libre en el sentido de las manecillas del reloj Como ∑ M 5 0, sobre el cuerpo libre, en la sección del corte debe actuar un par de sentido contrario al de las manecillas del reloj y de la misma magnitud. Este par se llama el momento �exionante interno o momento en la viga.

P1

w

P2

C A

B x P1

a)

w

C

A

M V

B C RB

Figura 4.30

∫ dC

d T =

dC

∫ dT

Brazo R1

V

dT

a)

b)

c)

Figura 4.31


b)

M’

C =

V

P2

V’

RA

P

R1

181

Una fuerza de magnitud P aplicada provoca la de�exión de la viga (véase �gura 4.31 a), bajo el supuesto de que la viga es un conjunto in�nito de pequeñas �bras longitudinales; la de�exión de la viga tiende a reducir la longitud de las �bras cercanas a la parte superior y a aumentar la longitud de las �bras cercanas a la parte inferior. Esta deformación está asociada a un esfuerzo correspondiente debido a la Ley de Hooke, el esfuerzo multiplicado por el área sobre la cual actúa de�ne la fuerza axial correspondiente. Un par o momento es la resistencia a la rotación de dos fuerzas, de igual magnitud y de sentidos opuestos, actuando a una distancia de separación entre dichas fuerzas. El momento interno en una viga es el conjunto de acciones de muchos pares, producidas por las fuerzas de tensión y compresión en las �bras de la viga, la �gura 4.31 b) muestra la acción de un par de �bras y la �gura 4.31 c) señala las fuerzas resultantes de tensión y de compresión que generan el momento total interno.

Diagramas de momentos flexionantes y fuerzas cortantes Los diagramas de fuerzas cortantes y momentos �exionantes son representaciones grá�cas que permiten observar la magnitud de la fuerza cortante o del momento �exionante interno a lo largo de la viga. Aunque existen diversos métodos para trazar estos diagramas, en esta obra se recurre


182


a aquellos que se basan en el principio básico de la estática. Este procedimiento, posterior a la obtención de las reacciones en el sistema, consiste en: 1. Cortar la viga en varias secciones, dependiendo del estado y tipo de fuerzas que actúan

sobre ésta. 2. Calcular la fuerza cortante V para cada sección. 3. Calcular el momento �exionante M en cada una de las secciones. 4. Trazar los diagramas de cortante y momentos contra la longitud de la viga. Este método, aunque laborioso, es importante porque utiliza las ecuaciones de equilibrio de la estática y permite encontrar las relaciones entre la carga, la fuerza cortante y el momento �exionante interno en una viga.

Convención de signos Los signos en el análisis estático de fuerzas y momentos se dejan a la libre elección del usuario; sin embargo, para �nes de estos temas, se consideran los siguientes sentidos (véanse tabla 4.3 y �gura 4.32): Tabla 4.3 Signos en el análisis estático de fuerzas y momentos Fuerza

Momento

+ Positivas si sus sentidos están dirigidos a la derecha.

+ Positivos si las tendencias de giro son en sentido antihorario.

2 Negativas si sus sentidos están

2 Negativos si las tendencias de giro son

dirigidos a la izquierda. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

en sentido horario.

T + dT

T M

M + dM

dx

T + dT

T M

M + dM

dx

Figura 4.32 Criterio de signos de esfuerzo cortante y momento flector.

Para las grá�cas de fuerzas cortantes y momentos �exionantes internos en una viga, la �gura 4.33 ilustra la convención de signos que se usa comúnmente al trazar los valores positivos y negativos.


Vigas

V

183

V

V

V

Cortante positivo

Cortante negativo

a) M

b) M

M

M

Momento positivo

Momento negativo

c)

d)

Figura 4.33

Si se secciona una viga solo se permite el movimiento en la dirección P a vertical, la fuerza cortante interna resultante es entonces positiva; esto signi�ca que la sección de la izquierda tiende a moverse hacia arriba con respecto a la sección de la derecha. Por ejemplo, en la viga mosa trada en la �gura 4.34 a), si se corta la viga en la sección a-a, la sección a) de la izquierda tendería a desplazarse hacia arriba con respecto a la R = P2 sección de la derecha. Esto implicaría que en esta sección existe una fuerza cortante interna positiva. En la sección b-b ocurre lo contrario P y la fuerza cortante se considera negativa. El momento �exionante interno es positivo de acuerdo con la convención de signos cuando las �bras superiores en una viga se enR =P cuentran sometidas a compresión. La �gura 4.34 a) muestra un mob) mento interno positivo y la �gura 4.34 b), uno negativo. Figura 4.34 Para un trazo correcto de los diagramas de fuerzas cortantes y momentos �exionantes internos en una viga no se debe olvidar el uso de las convenciones de signos, dado que facilita la comprensión de los sentidos. 1

1


Construcción de diagramas de fuerzas cortantes y momentos flexionantes Para conocer el valor del momento �exionante máximo cortante en una viga, esta regla nos facilitará su localización: La localización del punto de momento máximo corresponde siempre a la posición en la que la curva de la fuerza cortante corta al eje de la viga.

Cada vez que el diagrama de fuerzas cortantes pasa a través del valor cero; es decir, cada vez que corta al eje de la viga, el diagrama de momentos tendrá un valor máximo. Por momento máximo se entiende que el valor del momento a cualquier lado de ese punto es numéricamente menor que el momento en esa sección. Sin embargo, el momento puede no ser el máximo absoluto para la viga si hay varios momentos máximos.


b

b RD =

P 2

P

RD = P

184


A continuación se describe un procedimiento general para trazar diagramas de fuerzas cortantes y momentos �exionantes: 1. Elaborar un diagrama de cuerpo libre de la viga con sus cargas y sus reacciones, dejando

2. 3. 4. 5.

6.

7.


su�ciente espacio debajo de ella para trazar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos �exionantes. Calcular por estática el valor de las reacciones. Considerar el valor y la dirección de la fuerza más alejada hacia la izquierda. No importa si es una reacción o una carga aplicada. Dibujar la magnitud y la dirección de esta fuerza en L 5 0, sobre el diagrama de fuerzas cortantes. Continuar a partir de este punto y trazar las pendientes generales del diagrama de fuerzas cortantes, calculando los valores de la fuerza cortante en cada uno de los puntos en los que cambia la carga. Si la fuerza cortante inicial es positiva, el diagrama de momentos inicialmente se inclina hacia arriba y a la derecha, y si es negativa, inicialmente lo hará hacia abajo y a la derecha. Dibujar el diagrama de momentos después de que se ha completado el diagrama de fuerzas cortantes. Si no hay un par en el extremo izquierdo, el diagrama de momentos comenzará en cero. A partir de este punto puede esbozarse la forma de los segmentos del diagrama de momentos, dependiendo del tipo de carga aplicada a la viga. En las secciones en las que la fuerza cortante es positiva, el diagrama de momentos tendrá una pendiente positiva (es decir, hacia arriba y a la derecha); si la fuerza cortante es negativa, la pendiente del diagrama de fuerzas cortantes es negativa. Nótese que cada vez que el diagrama de momentos pasa por cero, el diagrama de momentos tendrá un máximo. Calcular los valores del momento máximo mediante el método del cuerpo libre.

El procedimiento general para la construcción de diagramas de fuerzas cortantes y momentos �exionantes se ilustra en los ejemplos siguientes.

E jemplo 4.5 Trazar el diagrama de fuerzas cortantes y de momentos �exionantes de la viga simplemente apoyada con carga concentrada mostrada en la �gura 4.35 a); despreciar el peso de la viga. Solución

Aplicando las ecuaciones de equilibrio estático, primero se determinan las reacciones izquierda y derecha, R A y R B, respectivamente en la viga. Del diagrama de cuerpo libre de la �gura 4.35 b), aplicando momentos respecto al punto A y considerando positivos en sentido antihorario se tiene:


Vigas

∑ M 5 0 A

230(4) 1 R B (10) 5 0 30 klb A

B

4 ft

6 ft a) a

x 1 R A

a

30 klb

x 2 b)

b

b RB

Figura 4.35

Despejando R B : 10 R B 5 120 120 R B 5 10 R B 5 12 klb Aplicando la condición de equilibro de fuerzas verticales: 1↑ . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

∑ F 5 0 Y

R A 2 30 1 R B 5 0

Despejando R A : R A 5 30 1 R B

Sustituyendo el valor de R B obtenido previamente: R A 5 30 2 12 R A 5 18 klb


185

186


Diagrama de fuerzas cortantes Para el trazado de las fuerzas cortantes, por lo común se inicia de izquierda a derecha del diagrama de cuerpo libre con todas las reacciones ya obtenidas y se determinan n 21 secciones para las n fuerzas o sistemas de fuerza que aparezcan en el sistema. M

M

V

30 klb

x 1 R A = 18 klb

V

RB = 12 klb

a)

b)

Figura 4.36

Sección 1

Comprendida en el intervalo 0 ≤ x 1 ≤ 4 ft (véase �gura 4.36 a)) se tiene: 1↑

∑ F 5 0 V

R A 2 V 5 0 V 5 R B

Sección 2

Comprendida en el intervalo 4 ft ≤ x 2 ≤ 10 ft (véase �gura 4.37)) se tiene: 1↑ . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

∑ F 5 0 V

R A 2 30 2V 5 0 V 5 R A 2 30 V 5 18 2 30 5212 klb 30 klb

R A = 18 klb

M 4 ft x 2

Figura 4.37

El signo negativo indica que V está en sentido opuesto: V 5 12 klb h Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 11:43:57.

V

Vigas

187

Tabla 4.4 Distancia a partir de R

Fuerza cortante V

A

02

0

0+

18

1

18

2

18

3

18

42

18

4+

212

5

212

6

212

7

212

8

212

9

212

102

212

10+

0

En la tabla 4.4 se muestran los valores tabulados para la construcción del diagrama de fuerzas cortantes (véase �gura 4.38). 30 klb

R A = 18 klb . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

RB = 12 klb

18 V

18

0

212

212

Figura 4.38 Tabla 4.5 Distancia a partir de R

Fuerza cortante V

02 0+

0 18

42

18

4+

212

102

212

10+

0

A


188


En estos casos, los límites se re�eren a la carga que cambia de dirección (véase tabla 4.5); por ejemplo, en un inicio en R A no existe una fuerza vertical de equilibrio 02 al realizarse un desplazamiento a la derecha; así, de inmediato aparece la fuerza equilibrante V 01 al inicio del diagrama. 42 y 41 indica cambio de dirección por fuerza mayor, y para 10 2 y 101 se lleva a cabo la última reacción que cierra el ciclo, normalmente por ser un sistema en equilibrio la lleva a 0; de no ser así demostraría un error en la solución.

Diagrama de momentos Como se requieren los valores de los momentos, éstos deben calcularse en varios puntos a lo largo de la viga, por lo general en los mismos puntos que para fuerzas cortantes. Para ello, es necesario obtener una expresión que permita determinar el momento en cada punto o sección. Sección 1

Comprendida en el intervalo 0 # x 1 # 4 ft (véase �gura 4.36 a), se tiene:

∑ M

a 2 a

50

2R A x1 1 M 5 0 218 x1 1 M 5 0

M 5 18 x 1

Sección 2

Comprendida en el intervalo 4 ft # x 2 # 10 ft (véase �gura 4.37), se tiene:

∑ M

a 2 a

50

2R A x 2 1 30( x 2 2 4) 1 M 5 0 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

M 5 R A x 2 2 30( x 2 2 4) M 5 18 x 2 2 30( x 2 2 4)

Los valores correspondientes a las fuerzas cortantes V se muestran tabulados en la tabla 4.6. Tabla 4.6 Distancia a partir de R

Momento M (Figura 4.37)

0

0

1

18

2

36

3

54

4

72

A


Vigas

5

60

6

48

7

36

8 9

24 12

10

0

30 klb

R A = 18 klb

RB = 12 klb

18 0

V

18 212

212 Mmáx = 72 klb.ft

0

M

Figura 4.39

E jemplo 4.6 Trazar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos �exionantes de la viga que se muestra en la �gura 4.40 a). w = 8 klb/ft A


a B x

12 ft R A = 48 klb

a)

a b)

RB = 48 klb

x 2

(wx )

M

x

V

c)

Figura 4.40

Solución

En este caso, si se corta la viga en la sección a-a, el diagrama de cuerpo libre de la porción izquierda (véase �gura 4.40 c)) será típico para cualquier sección de la viga. Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 11:43:57.

189

190


Diagrama de fuerzas cortantes Dado que solo existe una carga distribuida, la sección puede ser en cualquier parte a lo largo de la viga entre reacción y reacción. La fuerza cortante en la viga se obtiene efectuando la suma de las fuerzas verticales sobre el cuerpo libre. Sección única

Comprendida en el intervalo 0 # x , 122 ft (véase �gura 4.40 c)), se tiene: 1↑

∑ F 5 0 V

R A 2 wx 2V 5 0 V 5 R A 2 wx 5 48 2 8 x

Caso particular para x 5 12+: V 5 R A 2 wx 1 R B 5 48 2 8 x 1 48

A continuación se muestran los valores correspondientes a las fuerzas cortantes a partir de las distancias medidas a partir de R A (véase tabla 4.7). El diagrama de fuerzas cortantes correspondientes se muestra en la �gura 4.41. Tabla 4.7 Distancia a partir de R

Fuerza cortante V

0-

0

0+

48

1

40

2

32

3

24

4

12

5

8

6

0

7

28

8

212

9

224

10

232

11

240

12-

248

12+

0

A



Vigas

Diagrama de momentos

191

w = 8 klb/ft

El momento en la sección a-a se obtiene sumando los momentos de todas las fuerzas con respecto al corte en el diagrama de cuerpo libre de la �gura 4.40 c). La fuerza resultante de la carga distribuida es wx y se supone actuando en el centro de gravedad de la porción cargada, que está a x /2 ft a partir del corte.

R A = 48 klb

RB = 48 klb

+48

V 0

248

Sección única Figura 4.41

Comprendida en el intervalo 0 ≤ x ≤ 12 ft (v éase �gura.4.40 c), se tiene:

∑ M

a 2 a

50

2R A x 1 wx ( x /2) 1 M 5 0 248 x 1 8 x ( x /2) 1 M 5 0 248 x 1 4 x 2 1 M 5 0

M 5 48 x 2 4 x 2

En la tabla 4.8 se muestran los valores correspondientes a los momentos �exionantes (véase �gura 4.42). Tabla 4.8 Distancia a partir de R

Momento M

0

0

1

44

2

80

3

104

4

128

5

140

6

144

7

140

8

128

9

104

10

80

11

44

12

0

A



192


w = 8 klb/ft

R A = 48 klb

RB = 48 klb

+48

V 0

144 klb . ft

248

M 0

Figura 4.42

E jemplo 4.7 Trazar los diagramas de fuerzas cortantes y de momentos �exionantes para la viga que se muestra en la �gura 4.43. Solución

La magnitud de la carga en cualquier posición x , por ser sección única en el intervalo completo de la viga de 0 , x , 10, se obtiene mediante triángulos semejantes (véase �gura 4.43 b)): 6 w w ′ x 5 , w ′ 5 w , w ′ 5 x 10 L x L . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Diagrama de fuerzas cortantes La expresión que permite evaluar la fuerza cortante en cualquier sección en el intervalo AB (véase �gura 4.43 c)), se determina por la expresión:

∑F 50 : v

V 5 10 2

1 2

V 2 RL 1 w ′x 5 0

1  6  3  x  ( x ) 5 10 2 x 2 2  20  10


Vigas

a

w’ A

B

A

B

x R A = 10 klb

RB = 20 klb

a

10 ft

10 ft

a) 1 w’x 2

b)

x 3 w=

(106 )x

M x V

c)

Figura 4.43

Esta expresión permite determinar los valores de la fuerza cortante en cualquier punto x , como se muestra en la tabla 4.9. El diagrama de fuerzas cortantes se muestra en la �gura 4.44. Tabla 4.9 Distancia a partir de R

Fuerza cortante V

0-

0

0+

10

1

9.7

2

8.8

3

7.3

4

5.2

5

2.5

6

20.8

7

24.7

8

29.2

9

214.3

A


10-

220

10+

0


193


194

Diagrama de momentos

w = 6 klb/ft

R A = 10 klb

Tomando la sección a-a de la �gura 4.43 c) se obtiene una expresión que permite determinar los momentos �exionantes en ese punto. 1 Sea la fuerza resultante de la carga distribuida w ′x y 2 concentrada en el centro de gravedad de la carga distribuida, que está ahí a partir del corte, por tanto:

RB = 20 klb

+10 klb

V 0

∑ M

corte

50 :

 1  2

  1    3 

M 2 R A x 1  w ′x   x  5 0

–20 klb M máx

M 5 10 x 2 M

0

1  6  1  x  ( x )( x ) 5 10x 2 x 3 6  10  10

En la tabla 4.10 se muestran los valores de los momentos internos correspondientes a las distancias x a partir de R A (véase �gura 4.44).

Figura 4.44

Tabla 4.10 Distancia a partir de R

A


Momento M (figura 4.44)

0

0

1

9.9

2

219.2

3

227.3

4

233.6

5

237.5

6

238.4

7 8

235.7

9

217.1

10

228.8

0

A continuación, se presenta un ejemplo en el que se utilizan cargas de características diferentes.

E jemplo 4.8 Trazar el diagrama de fuerzas cortantes y momentos �exionantes para la viga de la �gura 4.45. Supóngase que la viga no tiene peso.


Vigas

w = 4 klb/ft

10 klb

A

B

4 ft

C

D

4 ft

E

4 ft

6 ft

Figura 4.45

Solución

Primero se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la viga (véase �gura 4.46) y se calculan las reacciones R A y R D :

∑ M

A

5 0 : R D (12) 1 10(4) 2 4(10)(13) 5 0

R D 5 40 klb

∑ M

D

5 0 : 2 R A (12) 2 10(8) 2 4(10)(1) 5 0

R A 5210 klb 5 10 klb ↓

w = 4 klb/ft

10 klb

A

B

C

D

R A

E

RD


Siendo la sección AB (véase �gura 4.47) de�nida en el intervalo 0 , x , 4 ft, las fuerzas verticales positivas hacia abajo, por tanto: Sección AB

V

x

M

R A = 10 klb

Figura 4.47

∑ F 5 0 : V 110 5 0 y

V 5 210 klb

En el intervalo 0 , x , 4 ft Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 11:43:57.

195


196

∑ M

10 klb Sección BC

corte

5 0 : M 1 10 x 5 0

V

4 ft

M 52 10 x M

x

R A = 10 klb

En la sección BC de�nida en el intervalo de 4 ft , x , 8 ft se establecen las ecuaciones para V y M (véase �gura 4.48).

Figura 4.48

∑ F 5 0 :V 1 R y

A

2 10 5 V 1 10 2 10 5 0

V 5 0 klb

∑ M

corte

5 0 : M 1 R A x 2 10( x 2 4) 5 0

M 5210 x 1 10( x 2 4) 5240 klb ⋅ ft M 52 40 klb ⋅ ft

En la sección CD se establecen las ecuaciones para las fuerzas cortantes V y el momento �exionante M en el intervalo 0< x c < 4 ft, justo antes de llegar al apoyo en D (véase �gura 4.49). 10 klb Sección CD

w = 4 klb/ft

A

B

C

4 ft

M

R A = 10 klb 8 ft


x C

Figura 4.49

∑F 50 : V 1 R y

A

V

210 1 4 x c 5V 1 R A 210 1 wx c

V 52R A 1 10 2 wxc V 5210 1 10 2 4 x c

∑

 x c   5 0  2 

M corte 5 0 : M 1 R A ( x c 1 8) 2 10( x c 1 4) 1 wx c 

 x c    2   x  M 5210( xc 1 8) 1 10( x c 1 4) 2 4 x c  c  klb ⋅ ft  2  M 52R A ( xc 1 8) 1 10( x c 1 4) 2 wx c 


Vigas

Por último, para la sección DE de�nida en el intervalo 0 < x E < 6 ft (véase �gura 4.50) se establecen las ecuaciones para V y y M . En este caso, es conveniente tomar E como origen y considerar la sección derecha de la viga. Sección DE w = w = 4 klb/ft M

E V x E

Figura 4.50

∑ F 5 0 : V 1 wx y

E

5V 1 4 x E

V 52 4 x E klb

∑ M

 x E   5 0  2 

corte 5 0 : M 1 wx E 

 x E   5 22 x 2 klb ⋅ ft  2 

M 5 2wx E 

E

Con estas ecuaciones se determinan su�cientes puntos para trazar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos �exionantes (véase �gura 4.51). A continuación, se presentan los valores obtenidos de la fuerza cortante y momento �exionante a lo largo de la viga. Para las secciones AB y BC (véase tabla 4.11): Tabla 4.11 Distancia a partir de R

Fuerza cortante V

A


Sección AB

V

5 10 klb

Momento flexionante M M

5 10 x

0

210 klb

0 klb � ft

1

210 klb

210 klb � ft

2

210 klb

220 klb � ft

3

210 klb

230 klb � ft

Sección BC

V

5 0 klb

M

5 40 klb � ft

4

210 klb

240 klb � ft

5

0 klb

240 klb � ft

6

0 klb

240 klb � ft

7

0 klb

240 klb � ft

8

0 klb

240 klb � ft


197

198

Mecánica de materiales. materiales . Teoría Teoría y aplicaciones

Para la sección CD (véase tabla 4.12): Tabla 4.12 Distancia xE 8 ft después de R

Fuerza cortante

Momento flexionante M

V

A

V

Sección CD

5 210 1 10 2 4 x C

 x c   klb 3 ft  2 

M 5 210( xc 1 8) 1 10( x c 1 4) 2 4 x c 

0

20 klb

240 klb � ft

1

24 klb

242 klb � ft

2

28 klb

248 klb � ft

3

212 klb

258 klb � ft

4

216 klb

272 klb � ft

Para la sección DE véase tabla 4.13: Tabla 4.13 Distancia x de extremo derecho hacia la reacción R E

Fuerza cortante

Momento flexionante

V

M

D

Sección DE


V

5 24 x E klb

M 5 wx E

 x    5 22 x  2  E

0

0 klb

0 klb � ft

1

24 klb

22 klb � ft

2

28 klb

28 klb � ft

3

212 klb

218 klb � ft

4

216 klb

224 klb � ft

5

220 klb

250 klb � ft

6

224 klb

272 klb � ft


2 E

klb 3 ft

Vigas

10 klb w = w = 4 klb/ft

A

B

C

D

R A

E

RD 24

Fuerzas cortantes (V ) 0

Eje neutro

210

210 216

Momentos �exionantes (M) 0

Eje neutro

240

240

272

Figura 4.51

Se han mostrado y trazado diagramas de fuerzas cortantes y momentos �exionantes para cada tipo de carga que puede aplicarse a una viga. Por lo general, una viga soporta combinaciones de dos o más de esas cargas. Se sugiere la práctica para mejorar la comprensión del tema. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

E jemplo 4.9 Trazar el diagrama de fuerzas cortantes y momentos �exionantes para la viga mostrada en la �gura 4.52. Supóngase que la viga no tiene peso. w = w = 4 klb/ft

10 klb

A

B

4 ft

C

4 ft

D

4 ft

E

6 ft


199

200


Solución

Primero se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la viga (véase �gura 4.53) y se calculan las reacciones R A y R D D:

w = 4 klb/ft

10 klb

A

B

C

D

R A

E

RD

Figura 4.53

De la �gura 4.53:

∑ M

A

50 :

R D (12) 2 10( 4) 2 4(10)(13) 5 0

46.66 66 kl klbb R D 5 46.

∑ M

D

50 :

2R A (12) 1 10(8) 2 4(10)(1) 5 0

3.333 kl klbb R A 5 3.3 Sección AB

V

M

x R A = 3.33 klb


Siendo la sección AB (véase �gura 4.54) de�nida en el intervalo 0 < x < < 4 ft se establecen las ecuaciones para V y y M :

∑F

Y

5 0;

V 2 3.33 5 0

3.33 33 kl klbb V 5 3.

∑ M

corte

5 0;

M 2 3.3x 5 0

M 5 3.3 x klb ⋅ ft

En la sección BC de�nida en el intervalo de 4 < x < < 8 ft se establecen las ecuaciones para V y y M (véase �gura 4.55).


Vigas

10 klb Sección BC

V

4 ft

M x

R A = 3.33 klb

Figura 4.55

∑F

Y

5 0;

V 1 10 2 3.33 5 0

6.67 67 kl klbb V 52 6.

∑ M

corte

5 0;

M 2 3.33 x 1 10( x 2 4) 5 0

M 5 40 2 6.67 x

Lo siguiente es dibujar un diagrama de cuerpo libre de una sección en CD comprendida en el intervalo nuevo a partir del punto C 0 ft < x C < 4 ft y establecer las ecuaciones para fuerzas cortantes y momentos �exionantes V y y M (véase (véase �gura 4.56). En este caso, es más conveniente elegir el punto C como el origen de coordenadas, pues se evitan algunos pasos algebraicos. Esto es correcto, pero se debe tener cuidado cuando se construya el diagrama. Así: 10 klb Sección CD

w = = 4 klb / ft ft A

B

V

C

4 ft

M

R A = 3.33 klb 8 ft . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

x C

Figura 4.56

∑F

Y

5 0;

V 1 4 xC 1 10 2 R A 5 0

V 1 4 x C 1 10 2 3.33 5 0 klb V 52 4 x c 2 6.67 kl

∑ M

corte

5 0;

 x  M 1 4 x c  c  1 10( xc 1 4) 2 R A ( x c 1 8) 5 0  2 

M 5 22 xc2 210 xc 2 40 1 R A x c 1 8R A M 5 22 xc2 2 6.67 x c 2 13.36


201

202


Ahora se dibuja dibuja un un diagrama diagrama de cuerpo cuerpo libre libre en DE (véase (véase �gura �gura 4.57) 4.57) y se establec establecen en las ecuaecuaciones para fuerzas cortantes y momentos �exionantes V y M . En este caso, por conveniencia se toma como origen de referencia el punto E y se considera la sección derecha de la viga en el intervalo de izquierda a derecha comprendido entre 0 ft < x E < 6 ft:

∑F

Y

5 0;

V 2 vx E 5 0

V 5 vx E 5 4 x E Sección DE

w = 4 klb / ft ft M

E

V x E

Figura 4.57

∑ M

corte

 x E   5 0  2 

M 1 vx E 

5 0;

 x E   5 22 x E 2  2 

M 5 24 x E 

0 ft , x E E , 6 ft Con estas ecuaciones básicas se determinan su�cientes puntos para trazar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos �exionantes. A continuación, se tabulan estos valores en las tablas 4.14 a 4.16, respectivamente. Como se puede deducir, el propósito de estos ejemplos es proporcionar medios de veri�cación de resultados y valores. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Tabla 4.14 Para las secciones AB y BC Distancia a partir de R

A

Sección AB

Fuerza cortante V V

5 3.3

Momento flexionante M M

5 3.3 x

0

3.3 klb

0 klb � ft

1

3.3 klb

3.3 lb � ft

2

3.3 klb

6.6 klb � ft

3

3.3 klb

9.9 klb � ft

4

3.3 klb

13.2 klb � ft


Vigas

Distancia a partir de R

A

Fuerza cortante V

Sección BC

V


5 26.67

M

) 5 40 2 6.67( x

4

26.67 klb

13.32 klb � ft

5

26.67 klb

6.65 klb � ft

6

26.67 klb

20.02 klb � ft

7

26.67 klb

26.69 klb � ft

8

26.67 klb

213.36 klb � ft

Tabla 4.15 Para la sección CD Distancia x 8 ft después de R E

Fuerza cortante V


A

Sección CD

V

5 26.67 2 4 � x C

M

5 213.36 2 6.67 � x C 2 2 � x C

2

0

26.67 klb

213.36 klb � ft

1

210.67 klb

222.03 klb � ft

2

214.67 klb

234.7 klb � ft

3

218.67 klb

251.37 klb � ft

4

222.67klb

272-04 klb � ft

Tabla 4.16 Para la sección DE Distancia x de extremo derecho hacia la reacción R E

Fuerza cortante

V


D


Sección DE

V

5 4 3 x E

M

5 2 3 x E 2

0

0 klb

0 klb � ft

1

4 klb

22 klb � ft

2

8 klb

28 klb � ft

3

12 klb

218 klb � ft

4

16 klb

232 klb � ft

5

20 klb

250 klb � ft

6

24 klb

272 klb � ft


203

204


10 klb w = 4 klb/ft

A

B

C

D

R A

E

RD 24

Fuerzas cortantes (V ) 0

3.33

26.67

Momentos �exionantes (M) 0

13.32

222.67

272 klb . ft

Figura 4.58

A ctividades de aprendizaje 1. Traza los diagramas de cuerpo libre completos estableciendo las ecuaciones algebraicas para . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

representar las fuerzas cortantes y los momentos �exionantes de las secciones AB, BC y CD de la �gura 4.59. Asimismo, señala el origen de la variable x sobre el diagrama de cuerpo libre. 70 kN w = 5

kN m

A

D B

1m

C

2m

2m


Vigas

2. Traza los diagramas de cuerpo libre completos esta-

P = 10 000 N

bleciendo las ecuaciones algebraicas para representar las fuerzas cortantes y los momentos �exionantes en todas las secciones de la viga mostrada en la �gura 4.60. Señala el origen de la variable x sobre el diagrama de cuerpo libre. 3. Traza los diagramas de cuerpo libre completos estableciendo las ecuaciones algebraicas para representar las fuerzas cortantes y los momentos �exionantes en todas las secciones de la viga mostrada en la �gura 4.61. De igual modo, señala el origen de la variable x sobre el diagrama de cuerpo libre.

w = 750 N/m A

C B

4m

2m

Figura 4.60

w = 7 klb/ft A

C B

2 ft

8 ft

Figura 4.61 4. Traza los diagramas de cuerpo libre completos estableciendo las ecuaciones algebraicas

para representar las fuerzas cortantes y los momentos �exionantes en todas las secciones de la viga mostrada en la �gura 4.62. Señala el origen de la variable x sobre el diagrama de cuerpo libre. 1 000 lb

w = 650 lb/ft . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

A B

4 ft

C

8 ft

205

D

3 ft

3 ft

Figura 4.62 5. Investiga qué otra manera existe para localizar el punto de momento máximo con mayor

facilidad. 6. Investiga y ejempli�ca otro procedimiento para trazar diagramas de fuerzas cortantes y momentos �exionantes.


206


Consideraciones especiales para el trazo de diagramas de fuerzas cortantes y momentos flexionantes El método para dibujar diagramas de fuerzas cortantes y momentos �exionantes presentado en los ejemplos anteriores utiliza conceptos de estática que lo hacen más completo y complicado en la práctica real. Estos métodos básicos de estática (con diagramas de cuerpo libre) se usan con mucha frecuencia para el cálculo de la fuerza cortante y(o) el momento �exionante en un punto particular. Sin embargo, en la práctica cotidiana solo interesan los valores máximos de la fuerza cortante y los momentos �exionantes en una viga y una representación general de los diagramas. Las siguientes observaciones permiten trazar con mayor rapidez los diagramas de fuerzas cortantes y momentos �exionantes en las vigas, así como una aproximación general de sus diagramas; para ello, es necesario conocer la forma general de las curvas para los casos particulares de carga. Considerando cada uno de los tipos de carga y su efecto sobre las vigas para el trazo de esfuerzos cortantes y momentos �exionantes, las relaciones que se pueden mencionar son: »

Viga sin carga. Su diagrama de fuerzas cortantes está representado por una línea recta

horizontal y su diagrama de momentos por una línea recta inclinada (véase �gura 4.63). » Viga con carga concentrada (véase �gura 4.63). Su diagrama de fuerzas cortantes está representado por una recta vertical y su diagrama de momentos �exionantes por un quiebre en el punto de aplicación de la carga. » Viga con carga uniformemente distribuida (véase �gura 4.64). Su diagrama de fuerzas cortantes está representado por una línea recta inclinada (inclinada en la dirección de la carga) y su diagrama de momentos �exionantes por una curva parabólica continua.

P

w A

A . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

B

B

V 0 V 0

M 0 M 0

Figura 4.63


Figura 4.64

Vigas »

Viga con carga variable linealmente (uniformemente). Su

207

w

diagrama de fuerzas cortantes está representado por una curva parabólica continua (inclinada en la dirección de la carga) y su diagrama de momentos �exionantes por una curva continua de tercer grado (véase �gura 4.65).

A

Estas �guras básicas indican las formas generales de los diagramas de fuerzas cortantes y momentos �exionantes para cualquier combinación de cargas.

B

V 0

Localización de puntos de momento máximo

M 0

El punto de momento máximo se localiza en el punto (o puntos) en los que la fuerza cortante corta con cero. ¿Cómo se pueden localizar estos puntos donde la fuerza cortante es cero?

Figura 4.65

Por inspección

Para cargas concentradas o combinaciones de cargas en las que una carga concentrada está en el punto donde la fuerza cortante cambia de signo. Por cálculo

En el caso de cargas distribuidas el procedimiento general del cálculo es el siguiente: 1. Localizar por inspección la posición aproximada donde la fuerza cortante es cero en la viga;

es decir, “en algún lugar” entre ciertas cargas. 2. Escribir una expresión para la fuerza cortante aplicada a la posición anterior. 3. La expresión para V del paso 2 se iguala a cero. 4. Resolver las ecuaciones para encontrar la distancia desconocida. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

w = 5

Este procedimiento se usa en los tres ejemplos siguientes.

4m

R A = 13.34 kN

E jemplo 4.10 Determinar la localización del punto de momento máximo en la viga mostrada en la �gura 4.66 a).

kN m

2m

RB = 6.66 kN

a)

13.34

V 0 x

b)

M0

26.66

c)


26.66

208


Solución

Lo primero es calcular las reacciones: M A 5 0, R D (6) 2 (5)(4)(2) 5 0 R D 5 (5)(4)(2)/6 R D 5 6.66 k N

∑

∑ M

D

5 0,

2R A (6) 1 (5)(4)(4) 5 0

R A 5 (5)(4)(4)/6 R D 5 13.34 k N

En la �gura se observa que el diagrama de fuerzas cortantes corta al eje cero en un punto situado a una distancia x de R A , en algún lugar entre x 5 0 y x 5 4. Del diagrama de cuerpo libre de la �gura 4.67: w M

∑F

Y

V

13.34

x

Figura 4.67

5 0,

V 5 13.34 2 wx ,

Como el momento máximo ocurre en la posición x , donde V 5 0, se tiene: 0 5 13.34 2 (5) x x 5 13.34/5 x 5 2.668 m ≅ 2.67 m

El momento máximo ocurre a 2.67 m de R A . Otro análisis que facilita la obtención de x : 13.34

V . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

0

0

x

26.66

13.64

V

0

26.66

5 1

x

Figura 4.68

Con el diagrama de fuerzas cortante y tomando en cuenta consideraciones geométricas es posible determinar el punto de momento máximo, siempre y cuando se contemple que las cargas son uniformemente distribuidas. Como la pendiente de la recta es de 3 kN/m se puede aplicar la propiedad de triángulos semejantes, la pendiente y el propio diagrama de fuerzas cortante, entre x 5 0 y x 5 x (véase �gura 4.68). Por triángulos semejantes:


Vigas

5 8 5 1 x 8 x 5 5 2.668 m 5

E jemplo 4.11 Determinar la ubicación del momento máximo para la �gura 4.69. 2 klb w = 3

2 ft

R A = 15.4 klb

klb ft

8 ft

RB = 16.6 klb

a) 16.6

10.6 8.6

V 0 x

b) 215.4

M

0 c)

Figura 4.69


∑ M

A

5 0,

R B (10) 5 (2)(2) 1 (3)(10)(5) R B 5 15.4 klb

∑ M

B

5 0,

R A (10) 5 2(8) 1 (3)(10)(5) R A 5 16.6 klb

Del diagrama de cuerpo libre (véase �gura 4.70) se tiene: 2 klb w=3

klb ft M

2 ft 16.6 klb

x

V


209

210


∑F

Y

5 0,

V 5 16.6 2 2 2 3 x 514.6 23 x

Si V 5 0: 0 5 14.6 2 3 x ,

x 5

14.6 5 4.87 ft 3

E jemplo 4.12 Determinar el momento máximo para la viga mostrada en la �gura 4.71. w = 6

kN m

4m

R A = 8 kN

4m

RB = 4 kN

a) 8

V 0 x

24 b)

M

0 c)


Solución

∑

M A 5 0,

 1   8   (w )(4)   5 0  2   3 

RB (8) 2 

R A 5 4 kN

∑ M

B

5 0,

1 2

4 3

2R A (8) 1 (w )(4)( 1 4) 5 0

R B 5 8 kN

Siendo: w 5 6 kN/m Del diagrama de cuerpo libre (véase �gura 4.72) se tiene:


24

Vigas wx 3

M

x

R A = 4 kN

V

Figura 4.72

∑F

Y 5 0,

1  x  w  ( x ) 5 0 2  3  6 x 2 5 8 2 2 x 2 V 5 8 2 3

V 28 1

Y haciendo V 5 0 se tiene: 0 5 8 2 2 x 2 x 5 2 m

El valor del momento máximo se calcula utilizando el diagrama de cuerpo libre (véase �gura 4.72), lo que da como resultado:

∑ M 5 0,

1 2

1  3 

M 2 R A x 1 w ' x  x  5 0

x   2   w ' 5 w 5  6    R A 5 8 kN, x 5 2 m L   4   . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

M 5 8(2) 2

1   2    2  6    (2)   5 12 N ⋅ m 2   4    3 

M máx 5 12 N ∙ m

Cálculo de momentos por suma de áreas Otro método que permite calcular fácilmente y con rapidez la variación del momento entre dos puntos sobre una viga consiste en sumar el área bajo el diagrama de fuerzas cortantes entre esos dos puntos. A continuación, se describe el procedimiento.


211


212

a

1. Se corta una pequeña porción de una viga y se traza el

b w

a

b

dx

R A

RB

a) M

W

V a

diagrama de cuerpo libre correspondiente, como en la �gura 4.73 b). Considerando este cuerpo libre y tomando momentos con respecto a la cara b-b, se tiene:

∑ M

M + dM

bb

5 0,

b

M 1 Vdx 2

V + dV a

M 1 Vdx 2 wdx(dx / 2) 2 ( M 1 dM ) 5 0 w (dx )2

b

dx

9

2 M 2 dM 5 0

2. Simpli�cando y despreciando los términos de orden supe-

rior se obtiene la ecuación:

b)

Figura 4.73

dM 5 Vdx

Esta ecuación establece que el momento entre dos secciones transversales cualesquiera es igual al área bajo el diagrama de fuerzas cortantes comprendida entre ambos puntos. Conociendo el momento en un punto, como por lo general sucede, es posible determinar con mayor facilidad el momento en otro lugar. 5 klb A

7 klb B

4 ft

C

E jemplo 4.13

D

6 ft

5 ft

R A = 6 klb

RD = 6 klb

+6

Dibujar dos diagramas de fuerzas cortantes y momentos �exionantes para la viga mostrada en la �gura 4.74. Solución

+1

V 0 26

26 30


M

0

Figura 4.74

Las reacciones R A 5 6 klb y R D 5 6 klb se calculan mediante las ecuaciones de equilibrio de la estática. Los diagramas de fuerzas cortantes y momentos pueden trazarse mediante los procedimientos dados. Para este ejercicio, la variación en el momento entre A y B se determina algebraicamente, calculando el área bajo la curva de la fuerza cortante comprendida entre esos dos puntos.

D M 5 área entre A y B 5 (6 klb)(4 ft) 5 24 klb ∙ ft

Conociendo que el momento en A es cero, el momento actual en B es de 24 klb ∙ ft. De forma similar, la variación en el momento entre B y C es igual al área bajo el diagrama de fuerzas cortantes comprendida entre esos puntos: D M 5 área entre B y C 5 (1 klb)(6 ft) 5 6 klb ∙ ft


Vigas

213

El momento real en C es, entonces: M C 5 M B + cambio en el momento entre B y C M C 5 M B + D M 5 24 +6 5 30 klb ∙ ft

Para comprobarlo, obsérvese que el momento en C es de 30 klb ∙ ft y en D es cero; el área bajo la curva de fuerzas cortantes entre C y D debe ser igual a 30 klb ∙ ft, como sucede en este caso.

E jemplo 4.14

w = 5

Dibujar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos �exionantes para la viga mostrada en la �gura 4.75. Solución

12 kN

A

D B

C 4m

2m RD = 28 kN

R A = 4 kN

Por estática se calculan las reacciones R A 5 4 kN y R D 5 28 kN. Utilizando la metodología propuesta, se localiza el punto B donde el momento es máximo. Esta distancia es de 0.8 m a partir de A. De esta forma, se puede trazar el diagrama de fuerzas cortantes con todos los valores y la forma general del diagrama de momentos como se muestra en la �gura 4.75. Como el momento en A inicia en cero, el área bajo el diagrama de fuerzas cortantes entre A y B da el momento máximo en B (obsérvese que existe un punto de corte con la línea 0): . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

kN m

M B 5 área entre A y B 5

+12

+4

+12

V 0 216 +1.6 M

0

224

Figura 4.75

 1    (4)(0.8) 5 1.6 kN ⋅ m  2 

De igual forma se conoce que el momento en D es cero. El cambio del momento entre D y C es el momento en C, que es: M C 5 área entre D y C 5 (212)(2) 5 224 kN ∙ m

Para comprobarlo, se debe veri�car que el área bajo el diagrama de fuerzas cortantes entre B y C es igual a la variación del momento entre B y C, 1.6 2(224) 5 25.6 kN ∙ m. 1. El área es ½(4 2 0.8)16 5 25.6 kN ∙ m, esto comprueba el valor calculado.


214


4.4 Pares El efecto que provoca un par al actuar sobre una viga se ilustra en un problema en el que se utilizan los principios básicos de la estática. Este efecto se observa en los diagramas de fuerzas cortantes y momentos �exionantes. A continuación, se propone un ejemplo que ilustra la acción de un par en una viga.

E jemplo 4.15 2 klb

3 ft

A

B

C

3 ft

Para la viga de la �gura 4.76, trazar los diagramas de fuerzas cortantes y momentos �exionantes estableciendo las ecuaciones básicas de estática y representándolas grá�camente. Solución

2 klb

6 ft

4 ft

Lo primero es calcular las reacciones, como se muestra en la �gura 4.77.

10 ft

Figura 4.76 M = 12 klb . ft

1.2 klb

1.2 klb

V 0 21.2

21.2 +4.8


M

0

27.2

Figura 4.77

∑ M A 5 0, R C (10) 2 12 5 0 R C 5 1.2 klb (hacia arriba)

∑ M C 5 0, R A(10) 2 12 5 0 R A 5 1.2 klb (hacia abajo)


Vigas

215

Veri�cando:

∑R

V

5 0;

R AV 2 R CV 5 0

En la �gura 4.78 se muestra un diagrama de cuerpo libre de una sección entre A y B. Las ecuaciones para la fuerza cortante y el momento �exionante en esta sección son como sigue:

∑ ∑ M

corte

5 0;

1.2 klb x

Sección AB: FV 5 0;

M

Figura 4.78

V 521.2; M 521.2 x ,

0 ft , x , 6 ft V

M = 12 klb . ft

1.2 klb

M

6 ft x

Figura 4.79

En la �gura 4.79 se muestra un diagrama de cuerpo libre de una sección entre B y C. Las ecuaciones para la fuerza cortante y el momento �exionante en esta sección son como sigue: Sección BC:

∑ F 5 0; ∑ M 5 0; V


corte

V 521.2; M 1 1.2 x 2 12 5 0 M 5 12 2 1.2 x ,

6 ft , x , 10 ft

Al representar de manera grá�ca estas ecuaciones los resultados son como se muestra en los diagramas de fuerzas cortantes V y momentos �exionantes M de la �gura 4.77. Dando lugar a estas observaciones: a) Un par no tiene efecto sobre el diagrama de fuerzas cortantes (solo afecta a las reacciones). b) Un par se representa por una recta vertical en el diagrama de momentos, siendo la longitud de la misma la magnitud del par a la escala correspondiente.


V

216


A ctividades de aprendizaje 1. Traza los diagramas de V y M para las vigas indicadas en la �gura 4.80. w = 700

klb ft

1 200 lb

A 7 ft

5 ft

Figura 4.80 2. Traza los diagramas de V y M para las vigas indicadas en la �gura 4.81. M

L

Figura 4.81 3. Traza los diagramas de V y M para las vigas indicadas en la �gura 4.82. 8 ft A

C 1.5 ft

Agua

7 ft


B

Figura 4.82 4. Traza los diagramas de V y M para las vigas indicadas en la �gura 4.83. 14 klb

A w = 5

klb ft

2 ft

B

C 10 ft


Vigas

4.5 Diseño de vigas que tienen formas geométricas simples El diseño de vigas es complejo, ya que se deben considerar las características geométricas de la sección y, por ende, la determinación de relaciones como: I/c . Por otro lado, resolverlo en la práctica sugiere soluciones rápidas y simples, ya que la mayoría de las vigas se consiguen en dimensiones estándar con valores de I/c tabulados en forma adecuada. En el diseño de las vigas se debe determinar el valor I/c necesario a partir de la expresión I/c 5 M /s y después obtener las dimensiones de la sección transversal que proporcionará el I/c necesario o un valor estándar aproximado ligeramente mayor. El módulo de la sección se de�ne como: S 5

I c

Con esta de�nición, la fórmula de la �exión se puede escribir como: s5

Mc M 5 I S

Si el área de la sección transversal de una viga es una �gura geométrica, como círculo, rectángulo, triángulo u otra, se cuenta con fórmulas para determinar el momento de inercia y el centroide; bajo un estado de deformación, sus dimensiones pueden determinarse usando la de�nición del módulo de la sección. Si se dan las cargas y los esfuerzos admisibles, el módulo de la sección necesario puede calcularse a partir de S 5 M /s. Después se usa la de�nición de módulo de la sección (S 5 I /c ) para determinar las dimensiones de la sección transversal.


Una viga de aluminio de 2 m de longitud soporta una carga de 12 kN aplicada a 0.8 m de un extremo (véase �gura 4.84). La sección transversal de la viga debe ser rectangular, con un peralte igual al doble del ancho. El esfuerzo permisible es de 80 MPa. Determinar las dimensiones necesarias. P = 12 kN

0.8 m

1.2 m

Figura 4.84


217


218

Solución M máx 5

Pab (12 000)(0.8)(1.2) 5 5 5 760 N ⋅ m 2 L

El módulo de la sección necesario es: S 5

M s

5

5 760 N ⋅ m −6 72 10 m3 5 3 6 2 8 3 10 N/m La sección necesaria es rectangular (véase �gura 4.85). El módulo de la sección para esta forma se encuentra como sigue:

h

I5 c 5

1 3 bh 12 h

2

1 3 bh 1 I 12 S 5 5 5 bh 2 6 c h /2

b

Figura 4.85

Igualando el módulo de la sección necesario con el de un rectángulo se ve que:

S proporcionado 5 S necesario


1 2 bh 5 72 3 1026 6 h 5 2b 1 b(2b )2 5 72 3 1026 6 Por tanto: b3 5 108 3 1026 m3

Por consiguiente: b 5 0.0477 m 5 47.7 mm h 5 2b 5 95.4 mm


Vigas

219

E jemplo 4.17 Una parte de una máquina tiene 1.6 m de longitud y soporta una carga de 16 kN en su centro (véase �gura 4.86). El esfuerzo admisible es de 100 MPa. Determinar el diámetro necesario para una sección circular. 16 kN

0.8 m

0.8 m

Figura 4.86

Solución

(16 000)(1.6) 5 6 400 N ⋅ m 4 4 6 400 M 5 58.2 3 10−5 S necesario 5 5 6 σ 110 3 10

M máx 5

PL

5

El módulo de la sección para una circular (véase �gura 4.87) se deduce así: I 5 c 5 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

pD 4

64 D

2

I pD 4 /64 pD 3 5 S 5 5 32 c D /2

R

Igualando el módulo de la sección necesario con el de una sección circular se tiene: 3

S proporcionado 5 S requerido ;

pD

32

R

5 58.2 3 1026

D 3 5 593 3 1026 D 5 84 mm


Figura 4.87

220


Diseño usando perfiles estándar y comercial El diseño de vigas que tienen formas compuestas se hace mediante el siguiente proceso: 1. Se elige una sección a partir de las muchas formas y tamaños estándar disponibles comer-

cialmente. 2. Se lleva a cabo una aproximación por tanteos. El primer procedimiento es el más comúnmente utilizado en el diseño estructural, mientras que el método de aproximación por tanteos solo se utiliza en casos en que la forma y las dimensiones de la viga no sean estándar. El diseño estructural normal consiste en seleccionar la forma y las dimensiones de la viga más económica, a partir de per�les estándar comercialmente disponibles. En el diseño de vigas de acero, las formas más comúnmente usadas son de patín ancho (W), la estándar americana (S) en canal (C) o en ángulo. En el Apéndice VIII se presentan tablas con las dimensiones de algunos de estos per�les. Las vigas de madera son materiales estructurales muy comúnmente usados. Las dimensiones de una viga de madera se dan mediante su tamaño nominal; sin embargo, este valor no proporciona las dimensiones verdaderas, ya que las cuatro caras de una viga de madera se cepillan en el aserradero. El tamaño nominal, también llamado “dimensión sin labrar”, es la dimensión de la viga antes de que le maquinen los lados. El tamaño labrado es el tamaño después del maquinado que es como por lo común se adquiere en las madererías. Por ejemplo, un tamaño nominal de 2 3 6 en realidad mide 1 1/2 in 3 5 1/2 in. También se usa el símbolo SAS para describir una pieza de madera maquinada por los cuatro lados (véase Apéndice VII). En el diseño estructural, el procedimiento básico es determinar el módulo de la sección necesario dividiendo el momento �exionante máximo por el esfuerzo permisible; posteriormente, se selecciona un tamaño de viga que proporcione ese módulo de la sección o un valor inmediato superior estándar. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

E jemplo 4.18 Seleccionar una viga de acero que soporte las cargas señaladas en la �gura 4.88. El esfuerzo de �exión admisible es de 30 klb/in2. 4 klb

4 klb w = 1.5

6 ft

8 ft

klb ft

6 ft


Vigas

221

Solución

El momento máximo puede calcularse como sigue:

1 8

1 8

M 5 wL2 1 Pa 5 (1.5)(20)2 1 (4)(6),

S necesario 5

M σ

5

M 5 99 klb ⋅ ft

(99 3 12) 5 49.5 in3 24

Según las tablas de per�les estructurales del Apéndice VIII se pueden usar: S 5 43.3 in 3 W 14 3 34,

S 5 48.6 in 3

W 10 3 45, S 5 49.1 in 3 W 16 3 36,

S 5 56.5 in 3

W 8 3 48,

W 12 3 35, S 5 45.6 in 3 W 12 3 40.8, S 5 45.4 in 3

Entre estas posibilidades, el único per�l estructural que se ajusta por su módulo de sección es W 16 3 36.

E jemplo 4.19 Seleccionar la viga de madera más económica (tamaño labrado) para soportar las cargas que se muestran en la �gura 4.89. El esfuerzo de �exión admisible es de 1 500 lb/in2.

w 1 = 500 w = 600

klb ft


Las super�cies labradas o cepilladas pueden consultarse en el Apéndice VII. 1 8 1 M 5 (600)(10)2 1 0.0642(500)(0.577) 2(10) 2 5 7500 11068.7 8 M 5 8568.7 klb ⋅ ft M (8568.7 3 12) Snecesario 5 5 5 68.55 in2 1500 σ M 5 wL2 1 0.0642w1(0.577 L) 2 5


L = 10 ft

Figura 4.89

klb ft

222


Según el Apéndice VII se podrían usar: 4 3 12, S 5 73.8 in 3 6 3 10, S 5 82.7 in 3 8 3 8, S 5 70.3 in 3 Como se puede ver, el tamaño de 4 3 12 es el más económico, ya que tiene 4 ft tablón/ft.

4.6 Esfuerzo cortante en el diseño Aunque el esfuerzo cortante vertical se calcula ocasionalmente en el análisis y diseño de vigas, estos esfuerzos cortantes verticales se relacionan con los esfuerzos cortantes horizontales y esto es de gran importancia en el diseño de vigas. P

a



M 









V R A

a

RB

a)



R A

b)

c)

d)

e)

Figura 4.90

En las aplicaciones siguientes deben considerarse los esfuerzos cortantes horizontales:


a) Cuando el material utilizado para la viga posee baja resistencia al esfuerzo cortante en una dirección (generalmente la horizontal), por lo regular, en las vigas de madera. b) Cuando se unen dos o más partes para formar una sola viga, la unión debe efectuarse de manera segura. Si se trata de unir una viga de acero con otra puede reforzarse uniéndole placas remachadas, soldadas o atornilladas, según sea el caso. En cuanto a las vigas de madera pueden reforzarse uniéndole varias piezas más pequeñas. En estas aplicaciones se calculan las fuerzas cortantes horizontales a �n de determinar el número de clavos, remaches o de pernos, así como la longitud de soldadura necesaria para que la sección compuesta trabaje como una unidad.

Fórmula del esfuerzo cortante En el estudio de las vigas, conocer la magnitud y la distribución de los esfuerzos cortantes es en extremo importante. Para obtener una expresión que permita determinar los valores del esfuerzo cortante horizontal en una viga hay que realizar cada uno de los siguientes pasos: 1. La �gura 4.91 a) muestra una viga de ancho b que soporta cargas transversales. En este caso se quita una sección de la viga de longitud dx y se traza un diagrama de cuerpo libre de esa

porción de la viga (�gura 4.91 b)).


Vigas P1

P2

V a

c

b

d

M

a

c

b

d V + dV

dx

dx a)

M + dM

b)

Figura 4.91

El momento �exionante sobre la cara cd será mayor que el de la cara ab; por tanto, los esfuerzos sobre las �bras de la cara cd serán mayores que los de la cara ab. Si se considera el diagrama de cuerpo libre de una sección de la �gura 4.92 a), cortada a una distancia del eje neutro, el resultado se muestra en la �gura 4.92 b). En este diagrama de cuerpo libre, la fuerza de compresión C ab (resultante de C 5 sdA de cada �bra sobre ab arriba del corte) será menor que C cd , debido a que los esfuerzos sobre la cara ab son menores que los esfuerzos sobre la cara cd . Ya que esta sección debe estar en equilibrio y ∑F x 5 0, debe actuar una fuerza horizontal hacia la derecha. Esta fuerza es P s , la fuerza cortante horizontal en la viga en esta sección. ab

=

MC l

cd

=

(M + dM)C l

ab

cd

Cab y 1

Ccd y 1 PS

Eje neutro

a)

b)


Al dividir P s entre el área sobre la cual actúa, se obtiene el esfuerzo cortante horizontal t en ese lugar. Entonces, matemáticamente puede expresarse:

∫ 5∫

C ab 5 C cd

c y 1 c y 1

dA ∫ My I ( M 1 dM ) y dA 5 ∫ dA I c

s 'ab dA 5 s 'ab

∑ F 5 0 :

y 1 c

y 1

H

C ab 1 Ps 5 C cd 5 0 Ps 5 C cd 2 C ab 5 5

dM I

∫

c

( M 1 dM ) y

y 1

I

dA 2

My dA y 1 I

∫

c

Q ∫ y dA 5 dM I c

y 1


223

224


∫

c

Considerando que el término y y dA es el momento estático del área con respecto al eje neutro 1 y está representado por la letra Q . Si: Q 5 y A

Donde: y : Distancia desde el eje neutro al centroide del área (arriba o abajo del corte) en m, ft. A: Área de la sección transversal (arriba o abajo del corte) en m 2, ft2.

Dado que: P s 5 t A 5 tbdx

y dM 5 Vdx

Entonces se obtiene: Ps 5 tbdx 5

dM Q I

y t5

dMQ dxIb

Agrupando y despejando: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

t5

VQ Ib

Donde: t: Esfuerzo cortante horizontal, en lb/in2 o en N/m2.

V : Fuerza cortante vertical en la sección, en lb o en N. Q : Momento estático del área que queda arriba (o abajo) del corte en in 3 o m3. I : Momento de inercia de toda el área de la sección transversal con respecto al eje neutro, en in 4

o m4.

b: Ancho de la sección del corte, en in o en m. Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 11:43:57.

Vigas

Dado que q 5 tb 5

225

VQ el �ujo cortante [fuerza cortante por pulgada (metro) de longitud]. I

q : Flujo cortante N/m, lb/ft.

Con estas fórmulas se pueden resolver problemas que permitan: a) Determinar el esfuerzo cortante en materiales cuya resistencia al esfuerzo horizontal es pequeña. b) Realizar análisis o diseño en elementos compuestos, en lo que respecta a fuerzas cortantes horizontales.

E jemplo 4.20 Supóngase que se va a fabricar una viga de 8 in 3 12 in con secciones de madera como se muestra en la �gura 4.93. Si los clavos se van a espaciar cada 3 in, ¿son más deseables las cuatro secciones de 2 3 8 de la �gura 4.93 a) o las dos de 2 3 12 y las dos de 2 3 4 de la �gura 4.93 b) con respecto a los esfuerzos cortantes? Las secciones de madera son de tamaño natural y V 5 2 000 Ib. I 5 (1/12)bh 3

 1   1   (12)(16)3 2   (6)(10)3  12   12 

I 5 

3 in

10 in 16 in

16 in

3 in

6 in

6 in

12 in

12 in

a)

b)

Figura 4.93

I 5 4 096 2 500 5 3 596 in 4


Primero se calcula la fuerza horizontal sobre los clavos de la �gura 4.93 a). Para ello, lo primero es determinar el �ujo cortante: q 5

VQ I

12 in

3 in 8 in

6.5 in Eje neutro

De la �gura 4.94: q 5

VQ (2 000)[(3)(12)](6.5) 5 5 I 3596

q 5 130.15 lb/in


Figura 4.94

226


Como los clavos están espaciados 3 in se tiene: Ps 5 (q )(3 in) P s 5 (130.15)(3) 5 390.45 lb

6 in

3 in 8 in

6.5 in Eje neutro

Entonces, la fuerza cortante sobre cada clavo es la mitad de 390.45 lb, es decir: 195.23 lb. Para determinar la fuerza cortante horizontal sobre los clavos en la tabla de 336 (véase �gura 4.93 b)), apoyándose con el diagrama de cuerpo libre (véase �gura 4.95) se tiene:

Figura 4.95 q 5

VQ (2 000)[(6)(3)](6.5) 5 5 I 3596

q 5 65.07 lb/in

Como los clavos están separados 3 in: P s 5 (65.07 lb/in) (3 in) P s 5 195.22 lb

Entonces, la fuerza cortante sobre cada clavo es la mitad de 195.22 lb; es decir, 97.60 lb. Se puede concluir que el arreglo con secciones de madera de 3 3 6 in de la �gura 4.93 b) es preferible.

A ctividades de aprendizaje 1. Determina el esfuerzo cortante en el punto c y de la viga indicada en la �gura 4.96. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

w=2 90 mm

a

kN m

b

2m 5m a)

400 mm

180 mm b)


Vigas

2. Una viga de alma llena se forma de un alma de ¾ in 3 36 in, dos ángulos de 6 in 3 6 in 3 ¾ in arriba y abajo, y placas de 1 in 3 14 in, como se muestra en la �gura 4.97. Deter-

mina los esfuerzos sobre los remaches A y B. Considera que la fuerza cortante vertical en esa sección es de 180 klb y el espaciamiento de los remaches es de 4 in. A

B

37.5 in

39.5 in

Figura 4.97 3. Una viga de madera está hecha en forma de canal clavando dos piezas de 3 in 3 6 in a una pieza de 3 in 3 16 in, como se muestra en la �gura 4.98. Considera que cada clavo

puede resistir una fuerza cortante de 120 lb y la fuerza cortante sobre la sección es de 300 lb. Determina el espaciamiento longitudinal de los clavos. Puede trabajarse con la sección nominal de la madera. 16 in

3 in

6 in . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

3 in

3 in

Figura 4.98

Para el diseño y análisis de cualquier viga, debe considerarse el esfuerzo cortante, aunque con frecuencia, éstos no sean tan críticos como los esfuerzos de �exión. El procedimiento normal consiste en dimensionar la viga sobre la base de los esfuerzos de �exión y comprobar que no existan esfuerzos cortantes excesivos en esa sección. En la práctica, los esfuerzos cortantes no dominan el diseño de las vigas de acero, salvo que se apliquen cargas concentradas de gran magnitud cerca de los apoyos.


227

228


4. Investiga las especi�caciones de diseño requeridas en los casos en que se apliquen grandes

cargas concentradas cerca de los apoyos. En los casos de vigas de madera, debido a que su resistencia a las fuerzas cortantes es baja, se recomienda revisar los esfuerzos cortantes horizontales, si estos exceden, se deberá incrementar el tamaño o la forma de la sección para reducir su efecto. El esfuerzo cortante horizontal máximo ocurre comúnmente en el eje neutro (excepto en vigas que tienen lados ahusados, como un triángulo). La mayoría de las vigas de madera son rectangulares, por lo que la fórmula del esfuerzo cortante puede reescribirse como se muestra en los siguientes cálculos (véase �gura 4.99): t5

VQ V [b ( h / 2)]( h / 4) 5 Ib  1 bh 3  ( b )

 12

t5



3V 3V 5 2bh 2 A b

h 2

Eje neutro

h

b


El área A puede obtenerse en las tablas de propiedades de diseño dadas en el Apéndice IV.

E jemplo 4.21 Diseñar la viga de madera mostrada en la �gura 4.100. Considérese que el esfuerzo de �exión admisible es t 5 1 800 lb/in 2 y que el esfuerzo cortante admisible es de t 5 220 lb/in2. Solución

Por estática, primero se calculan las reacciones R A 5 3 900 lb y R B 5 2 700 lb. Los diagramas de V y M se muestran en las �guras 4.100 b) y 4.100 c).


Vigas

1 800 lb

w = 400

3 900 lb

2 ft

klb ft

a)

2 700 lb

10 ft

3 900

3 100

b)

1 300

V 0 400 22 700 6.75 ft 9 110 c)

M

0

Figura 4.100

Calculando: 1 2

M máx 5 (2 700)(6.75) 5 9 110 lb ⋅ ft S necesario 5

M σ

5

9110(12) 5 60.74 in3 1800

Analizando una sección de 4 3 12 (que tiene un S 5 73.8 in3) se veri�ca el esfuerzo cortante horizontal: t5


3 V 3(3 900) 5 5 148 lb/in 2 , 220 lb/in2 2 A 2(39.4)

Este diseño cumple las condiciones.


229

230



Define qué es un “estado límite” de un material.

4.2

¿Qué factores intervienen en el diseño de un elemento? Para cada uno, nombra dos de las principales causas de incertidumbre y cómo deben considerarse en el diseño.

4.3

Define qué es resistencia característica de los materiales.

4.4

Define en qué consiste el método de los estados límite.

4.5

Para una sección genérica: Plantee las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad.

4.6

Explica en qué punto se expresan las solicitaciones, en qué punto se expresan los equilibrios y el equilibrio de qué se está planteando.

4.7

Determina la expresión del cortante, y comparte con tus compañeros de clase.

4.8

Representa y explica las posibles formas de rotura en cortante.

4.9

En una viga sometida a flexión pura en toda su longitud, se puede afirmar: a)

Las tensiones normales en la sección de la barra varían linealmente.

b)

Las tensiones normales en la sección de la barra son constantes.

c)

La curvatura de la viga no es constante.

d)

La viga no tiene cortante.

4.10 La

fibra neutra en una viga simétrica sometida a flexión simple y fabricada de un material elástico lineal, se encuentra ubicada en:


a)

La fibra donde las tensiones normales son máximas.

b)

En el centro de gravedad de la sección.

c)

La fibra donde las deformaciones unitarias longitudinales son cero.

d)

La fibra donde la suma de las tensiones normales y tensiones tangenciales se hace cero.

4.11 Si

a una barra de acero sometida a tracción, que se le hace llegar hasta la zona de fluencia, posteriormente se descarga completamente y se vuelve a cargar. a)

La barra no tiene ninguna deformación.

b)

La deformación que tiene el material es la suma de la deformación elástica y la deformación plástica.

c)

La deformación que posee el material únicamente es deformación plástica.

d)

La rigidez del material es mayor que la inicial.

4.12 En una viga de

acero sometida al menos a flexión podemos afirmar.

a)

No tiene deformaciones longitudinales unitarias.

b)

Su deformación no será curvada.


Vigas

c)

Sus tensiones normales serán proporcionales a las deformaciones longitudinales unitarias.

d)

Sus tensiones normales no serán proporcionales a las deformaciones longitudinales unitarias.

4.13 La

curva de deflexión en una viga es:

a)

La deformación perpendicular a la horizontal.

b)

La deformación perpendicular a la directriz de la viga.

c)

La deformación que se produce en la viga, únicamente si su sección transversal es simétrica.

d)

La deformación que se produce en la viga, únicamente si está sometida a flexión pura.

Explica con detalle tu respuesta. 4.14 La longitud neta de anclaje de

una armadura en una sección determinada de una viga:

a)

Depende del tipo de acero.

b)

Depende de la cuantía que dispongamos.

c)

Depende de si el esfuerzo es debido a la existencia de flector positivo o negativo.

d)

Todas las respuestas son ciertas.

Explica con detalle tu respuesta. 4.15 ¿Qué

son los momentos de inercia I xx , I yy ?

4.16 ¿Qué

diferencia existe entre el momento de inercia y el momento polar de inercia?

4.17 ¿Qué

son los productos de inercia I xy ?

4.18 ¿Cómo


se calculan los esfuerzos en una viga? ¿Cuáles son?



231

232


N otas



CAPÍTULO 5

233

Esfuerzos combinados




¿Qué representan los esfuerzos combinados?



¿Cuáles son las limitaciones de este método?



¿Qué es el principio de superposición?



¿Con qué ley debe cumplir el material para aplicar el principio de superposición?



¿Cuáles son las características de los elementos cargados excéntricamente?



¿A qué tipos de elementos se aplican las fórmulas de esfuerzos para acciones separadas?



¿Cuáles son los esfuerzos principales?



¿Qué es un estado de esfuerzo plano?



¿Qué es y cómo se traza el círculo de Mohr?


234


Introducción


En los capítulos anteriores se establece la relación entre la carga aplicada y las condiciones de esfuerzo en un cuerpo, lo que produce una deformación en éste. Estos esfuerzos pueden ser normales o cortantes y su magnitud depende en forma directa tanto de la carga aplicada, como de las condiciones geométrico-dimensionales del material. Para cualquiera de los componentes estructurales y de máquina que intervienen al momento (eslabones, pernos, barras de torsión, vigas) se considera que la acción de la carga genera exclusivamente una respuesta en el material, conocida como esfuerzo. El esfuerzo se calcula con el uso de las condiciones de equilibrio interno del material. Sin embargo, las deformaciones no solo dependen de la magnitud de la carga aplicada, porque son función directa de las propiedades de los materiales empleados y de la geometría de su sección transversal. No obstante, los elementos utilizados en maquinaria, así como los elementos empleados en la realidad cotidiana, rara vez se encuentran sometidos a condiciones de esfuerzo únicas; por tanto, existen diferentes esfuerzos que actúan en forma simultánea en el cuerpo, los cuales deben evaluarse en forma particular. Por ejemplo, considérese el caso de una barrena de perforación como la que se muestra en la �gura 5.1. En este caso, el eje de la unidad de perforación está sometido de manera simultánea tanto a condiciones de torsión como de comFigura 5.1 Barrena de presión, debido, por una parte, a la resistencia opuesta por las rocas y la perforación. tierra removidas durante la rotación de las espiras, y, por otra, a las fuerzas compresivas ejercidas durante el avance de la herramienta para lograr el barrenado del terreno. Como en este caso, las condiciones de trabajo mencionadas actúan de manera paralela, por tanto se desarrollan esfuerzos cortantes y normales de compresión en las mismas regiones del material, lo que exige un análisis detallado de las implicaciones que estas acciones ejercen sobre el material del componente mecánico. Otro ejemplo que permite comprender las condiciones requeridas para tratar el caso como una combinación de esfuerzos es la grúa rotacional que se muestra en la �gura 5.2. Como se puede observar, sobre la base actúan una carga de compresión y un momento �exor resultante de la aplicación Figura 5.2 Grúa rotacional y condiciones de carga experimentados.



de una carga en el extremo de la viga y la tensión en el cable de apoyo. Esta combinación requiere la evaluación de los esfuerzos generados por la �exión y la carga normal, a �n de dimensionar el esfuerzo experimentado en la base de la columna.

5.1 Esfuerzos normales simultáneos Para comprender la naturaleza de los esfuerzos combinados en un cuerpo, primero hay que considerar uno de los casos más simples: el elemento sometido a combinación de esfuerzos normales. En la �gura 5.3 se muestra la aplicación de una carga P separada a una distancia e del eje principal de la sección. Esto signi�ca que se trata de una condición de carga excéntrica, equivalente a la acción de un momento �exionante y una fuerza normal sobre el eje principal. Para este tipo de casos es necesario tener presente las siguientes consideraciones: 1. Debido a la posición donde se aplica la fuerza, se genera una acción combinada de la carga

y un momento �exionante. 2. El esfuerzo al que está sometido el componente varía por zonas y la magnitud constituye el resultado de la acción de la fuerza y el momento sobre la sección transversal. 3. Con el uso del método de superposición es posible evaluar de manera independiente los esfuerzos producidos por cada una de las cargas y al �nal sumar los resultados. e

P

P

P

M

M = Pe

h

A


=

=

B

+

A

B

A

A

B

s

B

A

P

s

A

B

Mc I

Figura 5.3 Esfuerzos generados ante una carga excéntrica.

En este caso, si superponen los esfuerzos se puede obtener la magnitud de esfuerzo que actúa en cada lado de la pieza mostrada (véase �gura 5.4). E

+

=

A

B

N

Figura 5.4 Análisis de las condiciones de esfuerzo actuantes ante una carga excéntrica. Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 11:43:57.

235

236


Pero, antes del análisis de la distribución de esfuerzos experimentada por la base del componente del ejemplo, debe observarse que el eje neutro o la posición en la que el esfuerzo es igual a 0 no coincide con el centro de la pieza. Esta posición es importante en muchos casos de diseño para poder aplicar barrenos u otros elementos de unión de manera segura, sin generar concentraciones de esfuerzo importantes en las piezas. En la �gura 5.4, el extremo B de la base de la pieza que se muestra está sometida a la acción combinada de los esfuerzos generados por la acción del momento �exor y la carga normal, esto signi�ca que en este punto se desarrolla el esfuerzo normal máximo, que en este caso es de compresión. Por su parte, para el extremo A de la pieza de la �gura 5.4, el momento genera un esfuerzo que se opone a la acción compresiva de la carga normal, lo que disminuye la intensidad del esfuerzo; no obstante, no es posible asegurar que se trate de un esfuerzo de tensión. Así, dependiendo de la magnitud de la carga normal puede tenerse un esfuerzo de compresión de menor valor que en B, un esfuerzo nulo o un esfuerzo de tensión. Matemáticamente, el esfuerzo se de�ne en cada extremo como: »

Para A: P Mc s 52 1 A I

»

Para B: P Mc s 52 2 A I

E jemplo 5.1


0.5 m

Considérese una columna corta de sección circular, bajo la acción simultánea de dos fuerzas. La primera fuerza de 20 kN actúa sobre el eje principal de la pieza, mientras la segunda fuerza de 10 kN se aplica perpendicularmente a su eje (véase �gura 5.5). Determinar la magnitud y el tipo de los esfuerzos aplicados en las 20 000 N posiciones A y B en la base de la columna. Con base en las condiciones de carga, se desarrollan en forma simul10 000 N tánea dos tipos de esfuerzo: la carga de 20 kN produce un esfuerzo normal de compresión actuante sobre toda la sección transversal de la pieza, mientras que la carga de 10 kN al actuar perpendicular al eje principal de la sección desarrolla un momento �exor sobre la base del material, lo que implica una condición de esfuerzo normal adicional. La �gura A B 5.6 muestra el sistema equivalente carga-par al caso original, mientras que las secciones subsecuentes nos muestran cómo es la distribución de esfuerzo para cada caso. 0.1 m

Figura 5.5 Cargas aplicadas simultáneamente a una columna corta.



P 



= _ P

A

=

C

T

A

B

C

M A

B

A

B

Figura 5.6 Esfuerzos generados sobre la base.

Solución

El momento generado por la carga de 10 000 N es: M 5 10 000 (0.5 ) 5 5 000 N ⋅ m

De esta forma, se tiene que para el extremo marcado como (A) el esfuerzo es:

4 ( 20 000) P Mc s A 52 2 52 2 2 A I 0.1 p( )

 0.1    2 

(5000) 

5253.47 MPa

p (0.1 4 ) 64

Mientras que para el extremo B:


4 ( 20 000) P Mc s B 52 1 52 1 2 A I p (0.1 )

 0.1    2 

(5000 )  p (0.1

4

)

5 48.38 MPa

64 Por tanto, la distribución de esfuerzos es (véase �gura 5.7): sT = 48.38 MPa

A

B

sC = 253.47 MPa

Figura 5.7 Distribución de esfuerzos en la base de la columna.


237

238


E jemplo 5.2 Para el segmento de máquina que se muestra en la �gura 5.8, obtener los esfuerzos normales máximos, la distribución de esfuerzos y la ubicación del eje neutro. Considérese que la carga tiene una línea de acción perpendicular a la super�cie de aplicación. sena 5

7 24 , cosa 5 25 25 3 000 N

100 mm 100 mm

30 mm

500 mm 25 

7

Figura 5.8 Condiciones de carga del elemento acordado.

Solución

Al estar aplicada la carga en ángulo y fuera de la línea de acción del eje principal, se generan una fuerza horizontal P x y una vertical P y , las cuales producen condiciones de esfuerzo independientes. La �gura 5.9 muestra los efectos de las cargas en la base. A P x

M1 P x

= 2 880 N ( 24 25 ) 7 P = P sen a = 3 000 ( ) = 840 N 25 P x = P cos a = 3 000 y


B A

P y

M1 = Px (100) = 2 880 (100) = 288 000 N . mm M2 = Py (500) = 840 (500) = 420 000 N . mm

En el empotramiento

M2

M = M2 - M1 = (420 2 288) 3 10 = 132 000 N . mm

P y B

Figura 5.9 Reacciones en la base ante la acción de las componentes de la carga aplicada.

En la zona de empotramiento se tienen las siguientes condiciones de esfuerzo: a) Un esfuerzo de compresión en toda la sección debido a P x . b) Un momento �exor que genera compresión en B y tensión en A.



c) Cálculo del esfuerzo cortante provocado por la fuerza P y . Para determinar la magnitud de los esfuerzos actuantes en A y B se tiene lo siguiente. Área de la sección: A 5 b(h ) 5 30(100) 5 3 000 mm 2

Momento de inercia: b (h 3 )

30 (100 )3 I 5 5 5 2 500 000 mm 4 12 12 En A se tiene que la carga aplicada en el eje x genera un esfuerzo de compresión, mientras que el momento desarrolla tensión para la misma posición: s A 52

2880 132 000 (50 ) N P x Mc 1 52 1 5 1.68 5 1.68 MPa 3000 2500000 mm2 A I

Por su parte, en B tanto la carga directa como el momento resultante provocan un esfuerzo de compresión: s B 52

2880 132 000(50) N P x Mc 2 52 2 523.6 523.6 MPa 3000 2500000 mm2 A I

Por tanto, la distribución de esfuerzos es: A

1.68

N mm

s . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

=0

E

N

y

23.6

N

B

mm

Figura 5.10 Distribución de esfuerzo.

La distancia y al eje neutro (E 2 N) se obtiene por triángulos semejantes: 3.6 1 1.68 100 5 3.6 y y 5

3.6 (100 ) 5.28


239

240


y 5 68.18 mm (desde la base)

El esfuerzo cortante provocado por las fuerzas internas P y es: t5

VQ It

Donde: t: esfuerzo cortante horizontal lb/in2, N/m2.

Q : momento estático del área que queda arriba o debajo del corte ( Q 5 Ay ) en in3 o m3, mm3,… V : fuerza cortante vertical en la sección en lb, N. t : ancho de la sección del corte in, m, mm,…

y = 15.91 mm E

N

II E

N

I

y = 34.09 mm

30 mm

30 mm

Figura 5.11

Para la sección I de la �gura 5.11 se tiene que si: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

V 5 840 N,

t 5 30 mm, I 5 2 500 000 mm4

Q I 5 Ay 5 (31.82)( 30)(15.91) Q I 5 15187.69 mm 3

El esfuerzo cortante es: t5

VQ (840) (15187.69) 12 757 659.6 5 5 5 0.017 MPa It 75 000 000 ( 2 500 000) (30)

Para la sección II de la �gura 5.11 se tiene que si: V 5 840 N,

t 5 30 mm,

I 5 2 500 000 mm4



241

Q I 5 Ay 5 (31.82)(30)(34.09) Q I 5 32 542.31 mm 3

El esfuerzo cortante es: t5

VQ (840) (32 542.31) 27 335 540.4 5 5 5 0.36 MPa 75 000 000 It (2 500 000 ) (30 )

E jemplo 5.3 Para el eslabón que se muestra en la �gura 5.12, determinar la magnitud y la posición del esfuerzo normal máximo actuante.

10 000 N

10 000 N

30 mm

20 mm

50 mm

Figura 5.12 Elemento en C bajo carga.


Para poder determinar las condiciones de esfuerzo desarrollado por la sección transversal de la pieza es necesario segmentar el elemento justo en el eje de simetría y evaluar las reacciones internas desarrolladas por la pieza que permitan mantener el equilibrio del elemento en estudio. Se acota que el momento es evaluado desde el punto de aplicación de la fuerza hasta la distancia al centroide de la sección en análisis. Así, el momento �exor que actúa sobre la sección (véase �gura 5.13) es:

10 000 N

10 000 N

M 5 10 000 3 40 5 400 000 N · mm

400 000 N

Figura 5.13 Reacciones internas ante la aplicación de la carga. Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 11:43:57.

242


T =

C =

P A

+

P A

+

MC l

Esta combinación de cargas genera tanto un esfuerzo de tensión como una �exión que desarrolla tensión en la sección superior y compresión en la inferior. El momento ha sido tomado desde el punto de aplicación de la carga al eje de simetría de la sección de corte. Con las referencias indicadas, se tiene la siguiente distribución de esfuerzos: El esfuerzo máximo es de tensión y se aplica a lo largo de la sección superior de la región de corte; por tanto, su magnitud es: s T 5

MC l

P

A

1

Mc 10 000 400 000 (10 ) 5 1 50 (20 ) I 50 (20 3 )

Figura 5.14 Distribución de esfuerzos en la sección interna del material.

12 s T 5 130

N 5 130 MPa mm 2

Mientras que el esfuerzo en la parte baja es: s C 5

P

A

2

N Mc 10 000 400 000 (10 ) 5 2 52110 52110 MPa 3 50 ( 20 ) mm 2 I 50 (20 ) 12

Es importante mencionar aquí que el método conocido como “método de superposición” permite solucionar problemas que implican combinaciones de esfuerzo; pues este método permite evaluar en forma independiente los efectos de cada carga y, posteriormente, superponer los esfuerzos actuantes por carga para determinar las magnitudes totales. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

A ctividades de aprendizaje A continuación se presenta una serie de ejercicios por desarrollar, con objeto de mejorar la interpretación de las condiciones de trabajo en el material ante combinaciones de esfuerzo. 1. Para los siguientes casos determina por inspección la posición sometida al mayor esfuerzo. Supón que todas las cargas son de la misma magnitud y b 5 2a (véase �gura 5.15).



D

243

D C

C

A

A

B

a

b

B

a

b

Figura 5.15 2. Para el caso que se representa en la �gura 5.16, determina la

10 000 N

magnitud del esfuerzo actuante en las posiciones A y B.

5 000 N

sB 5 __________________________________________

0.2 m

s A 5 __________________________________________

D C A

3. Determina las tensiones normales máxima y mínima, así

B

como la posición de la línea neutra en la sección transversal para el caso que se muestra en la �gura 5.17.

Figura 5.16 80 000 N

P

60°

P


0.1 m

0.05 m

10a 2m 2 000 N/m

5a

P

D

D C

C

A

a

A

B

2a

0.1 m

B

0.2 m

Figura 5.17 D

C

smáx = ____________

smáx = ____________

smín = ____________

smín = ____________ A

B


D

C

A

B

244


1.2 m

4. Determina los esfuerzos máximos de la viga A 2 B mostrada en la �gura 5.18. Considera

1.2 m

B 1.5 m

1.5 m

1.8 m

que la sección transversal de la pieza es rectangular con una base de 100 mm y una altura de 300 mm. Se presenta una redundancia de cotas para simpli�car el cálculo posterior de las reacciones y de las componentes de las cargas.

27 000 N

A

13 500 N

5.2 Combinación de esfuerzos cortantes

Figura 5.18

Cuando se revisa el tema de la torsión se identi�ca que la principal causa de fallo de un eje circular son los esfuerzos cortantes actuantes en su super�cie; de igual forma, cuando se estudia el tema de vigas, es posible entender que los esfuerzos cortantes actuantes a lo largo del material pueden resultar relevantes si la sección de viga es de dimensión considerable. Bajo estas condiciones es importante comprender que si se trata de diseñar un eje de transmisión éste estará sometido a la acción de pares torsores y momentos �exores que inducirán esfuerzos cortantes de manera simultánea. Por tanto, éstos deberán ser evaluados en forma independiente y, posteriormente, aplicar el principio de superposición para de�nir la magnitud del esfuerzo cortante total actuante sobre el material. Tómese por ejemplo el caso de la revolvedora de concreto de la �gura 5.19.


Figura 5.19 Conjunto de transmisión de una revolvedora de concreto.

Como se puede observar, el conjunto consta de tres etapas de reducción de velocidad, las dos primeras se desarrollan por bandas y poleas en V, mientras que la tercera es generada por un par de engranes tipo cónico, responsables del movimiento giratorio de la tina de mezclado. Es importante poner atención en el último eje de la transmisión, que recibe el par torsor requerido para el movimiento del engrane por medio de una banda y polea. Este eje está soportado centralmente por medio de un cojinete y, �nalmente, se monta en voladizo el engrane cónico para transmitir movimiento a la corona colocada sobre la tina. Por el hecho de usar bandas en V se hace necesario su tensado. Éste debe ser lo su�cientemente elevado para evitar deslizamientos entre la banda y la polea y a la par evitar tensar tanto y que no se generen esfuerzos excesivos sobre los cables de refuerzo de la banda o �exiones innecesa-



245

riamente altas sobre el eje. Estas condiciones de trabajo inducen �exión simultánea a la torsión aplicada para la rotación, por lo que se tiene un eje que trabaja tanto a torsión como a �exión. Ante estas condiciones de traba jo, resulta obligado hacer una evaluación de los esfuerzos cortantes simultáneos (por torsión y �exión). Estos esfuerzos no desarrollan las mismas condiciones sobre el eje debido a la forma en que los cortantes se distribuyen: máximos en la periferia debido a la torsión y en el centro a razón de trabajar como una viga en voladizo. Por lo anterior, es necesario calcular por separado la magnitud del cortante generado por la acción del par torsor y el desarrollado al trabajar el eje como una viga (véase �gura 5.20) y, posteriormente, superponer los efectos, conforme las zonas de mayor magnitud. Figura 5.20 Torsión y flexión actuantes simultá Así, la distribución de los cortantes sobre la super�- neamente. cie del eje (véase �gura 5.21) es:

1

5

t = T C J

t = VQ lt

Posición del cortante máximo

Figura 5.21 Superposición de cortantes ante torsión y flexión. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Sustituyendo para las condiciones de los esfuerzos cortantes en una sección circular se tiene: T (

D

)

Tc 2 5 16T t5 5 pD 4 pD 3 J

32 t5

VQ 4V 16V 5 5 It 3 A 3 pD 2

∴t 5

16  T

V   3 1 2  3 D  p  D



246

E jemplo 5.4 500 mm

Para el eje que se muestra en la �gura 5.22, determinar el cortante máximo aplicado conforme las condiciones de carga y par indicados.

300 N

Solución

Por tratarse de un elemento cargado como viga en voladizo se tiene que si V 5 300 N, entonces el esfuerzo cortante total quedará determinado como:

1 000 N . m

40 mm

Figura 5.22 Elemento sometido a torsión y flexión.

∴

300  V  16  1000  5 79.577471 MPa 1 0.318309 MPa t5  3 1 1  5  3D 2  π  (0.04 )3 3(0.04) 2  π  D  16  T

Es importante resaltar que normalmente la acción del par torsor es la que genera el mayor valor de esfuerzo cortante, por lo que genera poco efecto que causa la �exión; condición que aplica principalmente para ejes de sección circular pequeña. No obstante, para efectos de diseño, es conveniente considerar la acción de ambos casos para garantizar una sección adecuada para las condiciones de trabajo.

300 mm

200 mm . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

50 000 N

20 000 N

80 000 N

E jemplo 5.5 El eje que se muestra en la �gura 5.23 está sometido a la acción simultánea de un par torsor y las fuerzas transversales indicadas. Determinar la magnitud del esfuerzo cortante generado por la acción combinada de las cargas y el par. Solución

500 000 Nmm

50 mm

Figura 5.23 Condiciones de carga.

Para garantizar condiciones de equilibrio, la reacción actuante en la base se obtiene mediante la aplicación de las condiciones de equilibrio estático:

ΣF y 5 0 52(20 1 50 ) x 10 3 1 R Ay ΣF x 5 0 5280 000 1 R Ax

∴ R Ay 5 70 000 N ∴ R Ax 5 80 000 N



La fuerza actuante en la base es: R A 5 (70 0002 1 80 0002 ) 5 106 301.5 N

Sustituyendo en la expresión combinada de esfuerzo cortante se tiene: N V  16  500 000 106 301.5  t5  3 1 5  1 5 92.5 2   2  3 3D  p  50 mm2 p  D 3 (50)  16  T

≅ 93 MPa

A ctividades de aprendizaje Para las siguientes combinaciones de par y cargas �exionantes, identi�ca la región sometida al mayor esfuerzo cortante (véanse �guras 5.24 a 5.26). 500 mm A H

500 mm

B

50 000 N G

C

F

D E

100 000 N . mm

50 mm


500 mm A H

500 mm

50 000 N

100 000 N

B

G

C

50 000 N F

D E

50 mm


247

248


500 mm A H

500 mm

50 000 N

B

G

100 000 N

C

50 000 N F

D E

50 mm

Figura 5.26

5.3 Estado general de esfuerzos El entorno está de�nido espacialmente por la ubicación de tres coordenadas con respecto a un punto y de referencia. Este sistema tridimensional permite ubicar cualquier punto mediante la de�nición de t t coordenadas en los ejes x , y , z . t t De igual forma, todos los cuerpos y objetos x están sometidos a la acción simultánea de cargas t t actuantes en forma tridimensional, las cuales obligadamente desarrollarán sobre cada cuerpo condiciones de esfuerzo normal o cortante que actúan en Figura 5.27 Estado tridimensional de esfuerzos. los tres ejes (véase �gura 5.27), también llamado estado tridimensional de esfuerzo. Esta condición de esfuerzo es poco común en la realidad, pues implica que el elemento u objeto se encuentre bajo la acción simultánea de carga en sus tres ejes, como es el caso de un cuerpo inmerso en agua o algún otro �uido y, a la par, experimentar condiciones de cortante en sus tres caras. Así, la mayoría de los casos de esfuerzo que experimentan los objetos o elementos en el entorno puede reducirse a condiciones de esfuerzo axial o bidimensional; es decir, solo es necesario considerar que sz , t xz , tzy y t yz son iguales a cero. Es importante identi�car aquí las condiciones que permiten ubicar un sistema bajo un estado de esfuerzo plano. Así, los elementos de la �gura 5.28, por ejemplo, tan solo desarrollan en el componente u objeto esfuerzos normales en uno o dos ejes. Esta condición, por tanto, permite que la evaluación de la capacidad de carga del material sea hecha comparando la magnitud del esfuerzo generado contra la resistencia a la cedencia propia del material por evaluar. Bajo estas condiciones, se tiene el caso de un esfuerzo simple, el cual no requiere un análisis más profundo que considere los particulares de las teorías de falla o combinación de esfuerzo. y

yz

yx

zy

z

z


xy

zx

xz

x



249

Entonces, se puede a�rmar que: El estado de esfuerzo plano en el punto está representado únicamente por dos componentes de esfuerzo normal y una componente de esfuerzo cortante que actúan sobre un elemento que tiene una orientación específica en el punto.

De acuerdo con la de�nición anterior es sencillo entender por qué el ejemplo de la �gura 5.28 no puede considerarse bajo el esquema de esfuerzo plano y ello obedece a que el elemento horizontal que trabaja como viga no se encuentra bajo la acción de un esfuerzo cortante en la zona donde los esfuerzos Figura 5.28 Ejemplo de normales son máximos. Además de que el cable que soporta la viga cilíndrica caso no correspondiente al esfuerzo plano. tan solo está sometido a una condición de tensión simple (esfuerzo axial).

Análisis de un sistema en estado de esfuerzo plano Un esfuerzo plano puede tener tanto los esfuerzos normales como el cortante en sus caras x , y (perpendiculares a ambos ejes), pero ningún esfuerzo en su cara z . El esfuerzo cortante en la cara del elemento se designará por t xy , donde el primer subíndice indica el plano en el que actúa x del el esfuerzo y el segundo la dirección del propio esfuerzo. Cuando se utiliza esta notación para identi�car o representar los esfuerzos cortantes, es aceptado suponer que el esfuerzo cortante es positivo, cuando actúa en el sentido positivo del eje y . Asimismo, el esfuerzo cortante en la cara superior del elemento se simboliza por t xy , lo que indica que el esfuerzo actúa en la cara y del del elemento y es positivo en este y sentido del eje x . Ahora, considérese considérese el caso en el que x 0 una sección inclinada tiene su normal a un ángulo u con el eje x . El esfuerzo normal y el esfuerzo cortante que se desarrollan en esta sección pueden hallarse a partir de las condiciones de equilibrio del elemento triangular (véase �gura 5.29). Figura 5.29 Elemento en esfuerzo plano. Así, el equilibrio equilibrio del sistema en la dirección de su da:  y

 yx

a

a



 xy

 x

 x

 xy


 x

 xy

 yx

 yx

 y

c osθ sθ 5 s x cos2θ 1 s y sen2θ 1 2txy senθ co

Y el equilib equilibrio rio en la dirección dirección de tu: tθ 5 (σ x 2 σ y ) senθ cosθ 1 t xy ( sen2θ 2 cos2θ )


 y

250


Aplicando las relaci Aplicando relaciones ones trigonométr trigonométricas icas correspondie correspondientes ntes es posible posible expresar expresar las ecuacione ecuacioness anteriores en estas formas alternativas: 1 2

sθ 5 (s x 1 s y ) 1

tθ 5 2

1 (s 2 sy ) cos2θ 1 txy sen2θ 2 x

1 ( s 2 s y ) sen2θ 1 txy cos 2θ 2 x

Estas ecuaciones permiten evaluar las magnitudes de los esfuerzos normal y cortante actuantes en un plano inclinado, teniendo como base los esfuerzos normales y cortante s x , s y , y t xy .

Convención de signos Al utiliza utilizarr las ecuac ecuaciones iones anterior anteriores es de su y tu las convenciones de signo para los esfuerzos deben observarse cuidadosamente: a) Todos los esfuerzos normales son positivos si son de tracción. b) El esfuerzo cortante t xy es positivo cuando actúa en este sentido del eje. c) El esfuerzo cortante tu es positivo cuando actúa en sentido contrario a las manecillas del reloj.

E jemplo 5.6

10 MPa

30 MPa

y

x

0


10 MPa

Para el elemento que se muestra en la �gura 5.30 emplear las ecuaciones para su y tu para determinar los esfuerzos en las caras que se giran 45° en sentido contrario a las manecillas del reloj, con respecto a la orientación original. Indicar los esfuerzos esf uerzos en el elemento girado. Solución

El problema planteado es un caso directo de sustitución sus titución donde para 2 la cara x , u 5 45° y para la cara y, u 5 135°. Sustituyendo: Figura 5.30

1 2

s 45 5 (10 2 10 ) 1

t 45 5 2

1 (10 2 (210 )) cos2 (45 ) 1 30sen2 (45 ) 5 30 MPa 2

1 (10 2 (210 )) sen2 (45) 1 30 cos 90 5 210 MPa 2



Para y 2, u 5 135° (véase �gura 5.31). Por tanto: 1 2

s135 5 (10 2 10 ) 1

1 (10 2 (210 )) cos2 (135 ) 1 30sen2 (135 ) 5 230 MPa 2

230 MPa

30 MPa

45°

210 MPa

Figura 5.31

Esfuerzos principales


Debido a que un componente estructural o de máquina puede experimentar falla si se presentan condiciones lo su�cientemente altas de esfuerzo esfuer zo normal o cortante, es crucial determinar las magnitudes de los valores máximos de esfuerzo normal y cortante que la sección experimenta, e xperimenta, al igual que los planos en los que éstas se presentan. En la siguiente sección se aborda el procedimiento para llevar a efecto el cálculo de los esfuerzos principales y cortante máximo en un componente sometido a condiciones de esfuerzo plano. Luego, se revisa el círculo de Mohr, como un recurso grá�co-visual que permite al lector interpretar las condiciones de esfuerzo analizadas primero en forma analítica. A medida que el ángulo u varía desde 0 hasta 360°, también se modi�can los esfuerzos su y tu. Los valores máximo y mínimo de su, corresponden a los esfuerzos principales y los planos principales en que actúan pueden situarse tomando la derivada d ds /d u, igualándola a cero y despejando u. Así se tiene que: d sθ 5 2( s x 2 s y ) sen 2θ 1 2txy cos 2θ 5 0 d θ

Simpli�cando se obtiene:

tan2θ p 5

2t xy s x

− s y

Donde sP se emplea para designar los ángulos que de�nen los planos principales, para uno de estos valores de sP , el esfuerzo normal su es máximo, mientras que en el otro plano es mínimo. Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 11:43:57.

251

252


Cuando se conocen los valores correspondientes a la orientación de los planos principales (s p ), éstos pueden sustituirse en la ecuación de su para obtener los valores de los esfuerzos principales para un caso particular de análisis. De igual forma, es posible obtener directamente expresiones para determinar los esfuerzos principales sustituyendo en forma algebraica la operación para determinar el ángulo su . Para hacerlo debe observarse que: cos2θ p 56

s x 1 s y

s

sen2θ p 56

2t xy s

Donde: s 5 (s x 2 s y )2 1 4t2xy ).

Sustituyendo estas expresiones se obtiene: s1,2 5

s x 1 s y

2

6

 s x 2 s y  2 2   1 t  2  xy

Donde s1, 2, expresados como s1 y s2 representan los esfuerzos principales máximo y mínimo, respectivamente.

Esfuerzos cortantes máximos


Otro de los casos que debe ser evaluado cuando se tiene un problema de esfuerzo plano es el relativo al esfuerzo cortante máximo; de hecho, la aplicación de este criterio de falla resulta ser una de las consideraciones más seguras cuando se trata de diseñar componentes de máquina. Cuando un elemento es evaluado conforme la teoría del esfuerzo cortante máximo se obtienen elementos con un valor de factor de seguridad por arriba de lo considerado como base. Es decir, las secciones resultan ser ligeramente más grandes de lo que en realidad se requieren para evitar el fallo. Este incremento de dimensión se acota, no es signi�cativo y no representa un incremento considerable en la cantidad de material involucrado para soportar el esfuerzo. De manera adicional, el procedimiento resulta simple y rápido, por lo que es una muy buena opción cuando un ingeniero inicia su actividad profesional como diseñador. Para determinar la magnitud del esfuerzo cortante máximo se evalúa la derivada d tu/d u 5 0, con lo que se obtiene: ctg2θ s 52

2t xy s x 2 s y

Donde us corresponde al ángulo en el cual se de�ne la orientación del plano de esfuerzo cortante máximo. Revisando las expresiones de esfuerzo se puede observar que ctg2us 5 2tan2u p; por tanto, se puede concluir que 2us y 2u p di�eren entre sí en un ángulo de 90°. De esta manera, los planos de esfuerzo cortante se encuentran a 45° con respecto a los planos principales. Al sustituir 2u determinado por la expresión anterior, se halla que el esfuerzo cortante máximo puede ser determinado mediante la expresión:



t máx 5

 σ x 2 s y  2 2   1 t xy  2 

Esta expresión resulta igual a: tmáx 5

s1 2 s2

2

En los planos de esfuerzo cortante máximo, los esfuerzos normales resultan: sθ 5 s'θ 5

s x 1 s y

2

E jemplo 5.7 Para el estado de esfuerzo dado, calcular los planos principales y los esfuerzos principales. 40 MPa

35 MPa

y

0


x

60 MPa

Figura 5.32

Solución

Para determinar la orientación de los planos principales se usa la expresión estudiada: tan2θ p 5

2τ xy s x 2 s y

Donde: 2θ p 5 tan21

2 (35) 52 74.05o 260 2 (240 )


253

254


Donde la orientación del primer plano corresponde a: θ p 5 274.05

2 ≈ 237°.

Puesto que los planos están separados entre sí 90°, es posible evaluar la orientación del segundo plano principal. Así, se tiene: 237 1 90 5 53°

Para determinar los esfuerzos principales se aplica la siguiente ecuación: s 1,2 5

s x 1 s y

2

6

 s x 2 s y  2 2   1 t xy  2 

6

 260 2 (240 )  2   1 35 2   2

Donde al sustituir se tiene: s 1,2 5

260 1 (240 )

2

De esta forma, se obtiene: s1 5 213.6 MPa s2 5 286.40 MPa

Sustituyendo el ángulo de 53° en la ecuación se tiene: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

1 2

sθ 5 ( s x 1 s y ) 1

1 (s 2 sy ) cos2θ 1 txy sen2θ . 2 x

Con lo que se obtiene: s 53 5

1 1 (260 1 (240 )) 1 (260 2 (240 )) cos (106 ) 1 35sen (106 ) 2 2

s 53 5 (250) 1 (210 ) (20.2756 ) 1 35 (0.9612 )

Donde: s53 5 213.6 MPa



255

Círculo de Mohr Christian Otto Mohr fue un célebre ingeniero civil alemán del siglo ��, quien se destacó por el diseño de las primeras armaduras y puentes de acero. En 1882, desarrolló el método grá�co en dos dimensiones para el análisis de tensión conocido como círculo de Mohr, que usó para proponer la nueva teoría de resistencia de materiales, basada en el esfuerzo cortante. También desarrolló el diagrama Williot-Mohr para el desplazamiento de armaduras y la teoría de Maxwell-Mohr para el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas. En secciones anteriores se analizan las condiciones para evaluar las magnitudes y los planos de actuación de los esfuerzos principales empleando calculadoras para hallar la solución a las ecuaciones planteadas; sin embargo, en el siglo �� y hasta �nales del �� estos recursos tecnológicos no existían, por lo que los cálculos se tornaban engorrosos y difícilmente se podía lograr una resolución más allá de cuatro cifras después del punto. Así, el círculo de Mohr se convirtió en una herramienta obligada para el entendimiento del problema de esfuerzo plano, porque además de ser totalmente grá�ca, permite tener una referencia de las condiciones existentes de esfuerzo en un componente de máquina. Además, su construcción es simple y rápida y si bien, hoy día, no es obligada para el análisis de sistemas mecánicos, aporta al estudiante un proceso visual de entendimiento de los estados de esfuerzo principal y máximo.

Construcción del círculo de Mohr Con el caso que se expone a continuación se explica paso a paso el desarrollo del círculo de Mohr para obtener la magnitud de los esfuerzos principales, el cortante máximo y los planos de acción. Determinar la magnitud de los esfuerzos principales s1, 2, tmáx y la orientación de los planos principales para el estado general de esfuerzo que se muestra en la �gura 5.33 usando el círculo de Mohr. 50 MPa

Procedimiento: 1. Establecer pares de coordenadas (s x , t) y (s y , t). . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

40 MPa

y

Para el primer par de coordenadas es necesario identi�car el signo correspondiente a t. Si el esfuerzo x 0 cortante actuante en la cara en x es positivo (es decir, contrario a las manecillas del reloj), se indicará como una referencia negativa, dejando en el siguiente par un signo opuesto al primero para el cortante. Así, nuestro par de coordenadas es (20, 240) y (250, 40) (véase �gura 5.33). 2. Ubicar las posiciones de estas coordenadas en un sisFigura 5.33 tema cartesiano a una escala apropiada a las magnitudes de los esfuerzos. Este sistema tiene por eje horizontal los esfuerzos normales s y por eje vertical los esfuerzos cortantes tao que actúan en el sistema. Cada posición se debe referir con respecto al origen del sistema. Este origen o punto de cruce considera valores de esfuerzo nulos (véase �gura 5.34).


20 MPa

256


3. De la �gura 5.35 unir ambos puntos a través de una rec-



4. 

5.

Figura 5.34

6.

(250, 40)

7. (20, 240)

Figura 5.35

ta. La ubicación en la que la recta corte al eje horizontal corresponde a su centro. Trazar el círculo tomando el centro en la intersección entre el eje horizontal y la línea que une ambas posiciones y el radio, coincidiendo cualquiera de las posiciones marcadas (véase �gura 5.36). Medir directamente sobre el eje horizontal, desde el origen hasta la parte positiva, el punto en el que la circunferencia interseque con el eje horizontal. Esta posición indica la magnitud del esfuerzo principal s1. La lectura en la parte negativa corresponde al segundo esfuerzo principal s2. El esfuerzo cortante máximo se mide evaluando la cota máxima del círculo desde el nivel 0 hacia arriba o abajo del eje horizontal (véase �gura 5.37). Los ángulos se miden nuevamente desde el eje horizontal a la línea recta usada para unir las posiciones que ubican las coordenadas de cada par (véase �gura 5.38). Como se puede recordar, este ángulo se encuentra al doble del valor real. En este punto la medición se debe hacer de manera directa sobre el trazo realizado. En el pasado era práctica necesaria el uso de papel milimétrico e instrumentos de medición y trazo profesionales para poder tener una mayor certeza de los resultados obtenidos. Con una medición simple en el sistema es posible obtener las magnitudes que se muestran en la �gura 5.39.

 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

máx

2

1



Figura 5.36

Figura 5.37



máx

máx

1

2

2

257

= 55 MPa

= 270 MPa

1

= 40 MPa

2u p = 45°

2 u p

Figura 5.38

Figura 5.39

Comprobación

 20 2 (250 )  2 20 1 (250 ) 2 s1,2 5 1   1 40 2 2   2θ p 5 tan21

2 (240) 20 2 (250 )

Se obtiene: s1 5 38.15 MPa s 2 52 68.15 MPa

2θ p 5248.81°, . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

tmáx 5

s1 2 s 2

5

2 tmáx 5 53.15 MPa

θ p 5224.4°

38.15 MPa 2 (268.15 MPa ) 2

Con lo cual se comprueban los resultados obtenidos por aproximación en el círculo de Mohr.

E jemplo 5.8 Para el estado de esfuerzo que se muestra en la �gura 5.40, determinar la magnitud de t xy , para el cual se obtiene un esfuerzo cortante máximo de 80 MPa. Se pide utilizar el círculo de Mohr y comprobar de manera analítica.


258


Solución

70 MPa

y

0

 xy

x

120 MPa

Figura 5.40

Siguiendo el procedimiento indicado para la construcción del círculo de Mohr, lo primero es ubicar sobre el eje horizontal las magnitudes de los esfuerzos en x y y (véase �gura 5.41). Puesto que no se conoce la magnitud del esfuerzo cortante, se proyectan líneas hacia arriba y abajo del eje horizontal y se realiza el corte con la proyección horizontal del esfuerzo cortante máximo. Puesto que el centro se ubica justo entre los dos esfuerzos normales, el centro de la circunferencia está en la posición 95. Con este dato se procede a generar un círculo con centro en 95 y radio 80 (véase �gura 5.42).

80

70

120

80

70

120

–80

–80

Figura 5.41


Figura 5.42

Luego, se identi�ca la posición de intersección entre el círculo y la proyección de las líneas de esfuerzo (véase �gura 5.43).

Aprox. 75 MPa

80

70

Analíticamente se tiene: tmáx 5

120

 σ x 2 σ y  2 2   1 t xy 2  

Despejando t xy se tiene: –80 Aprox. 75 MPa

t xy 5

 s x 2 s y  2 ( t máx ) 2    2  2



Sustituyendo valores resulta: t xy 5

 120 2 70  2 (80) 2   5 75.99 MPa  2  2

De esta forma, se comprueba el valor del cortante obtenido por inspección del círculo de Mohr.

A ctividades de aprendizaje 1. Para los casos que se muestran en las �gura 5.44 a 5.47, determina la magnitud de los

esfuerzos principales y cortante máximo. 10 MPa

100 MPa

20 MPa

0 MPa

y

0

y

x

10 MPa

Figura 5.44

x

0

Figura 5.45

50 MPa

100 MPa

75 MPa

50 MPa

y . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

0

100 MPa

y

x

Figura 5.46

100 MPa

0

x

0 MPa

Figura 5.47

5.4 Esfuerzos normales combinados con torsión Los elementos mecánicos que soportan simultáneamente la acción de un par torsor y momentos �exores o cargas aplicadas sobre el eje principal de la sección resultan comunes en los casos de diseño de componentes de máquinas y estructurales.


259

260


Los casos son variados, por lo que resulta difícil categorizar por tipos los procesos de análisis; no obstante, para el ingeniero de diseño, los procedimientos para el cálculo de los esfuerzos generados son similares en términos generales. La principal complejidad resulta en identi�car los ejes y los planos de acción de los esfuerzos y determinar su magnitud máxima conforme se tienen diferentes condiciones de carga. Por ejemplo, tómese el caso del sistema de transmisión de una sierra de cinta como el que se muestra en la �gura 5.48.

Figura 5.48 Transmisión por banda de sierra de cinta.

La �gura 5.49 constituye una excelente referencia de la inclinación del eje de la polea de la acción de una fuerza �exionante debida a la tensión de la banda, así como del par aplicado para generar el movimiento necesario para la acción de corte de la sierra, donde el eje debe diseñarse también para trabajar ante condiciones de �exión.


Tensión de

P

la banda Par torsor T

T

Figura 5.49 Cargas actuantes sobre el eje de la sierra.

En estos casos, es relevante denotar que la combinación de torsión y �exión genera esfuerzos normales y cortantes en el material. Ante esta combinación, no resulta viable considerar ambos esfuerzos de manera independiente. Pues resultaría un error grave suponer que basta con determinar la magnitud del esfuerzo normal generado por la �exión en la base del eje y compararlo con la magnitud del esfuerzo de cedencia del material empleado para la fabricación del eje. De igual forma, no basta con suponer que el cortante generado por la torsión debe ser menor al cortante permisible en el material para considerar una condición de diseño segura. Por lo anterior, en estos casos lo más recomendable es realizar el análisis considerando condiciones de esfuerzo cortante máximo y los esfuerzos principales con las siguientes expresiones:



s 1,2 5

s x

6

2

t máx 5

 s x  2   1 ( t xy ) 2  2 

 s x  2   1 ( t xp ) 2  2 

El siguiente ejemplo permite identi�car las diferencias entre los casos anteriores y los que implican una combinación entre esfuerzos normales y cortantes.

E jemplo 5.9 Para la barra circular de 20 mm de diámetro que se muestra en la �gura 5.50, determinar la condición de esfuerzo actuante en las posiciones A, B, C y D en la base. z 50 mm

1 000 N 200 mm

D C

x B A

A

y . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

B

y

x

Figura 5.50 Barra sometida a flexión y torsión.

Solución

La primera parte en el análisis de la barra es la determinación de las condiciones de carga actuantes en la base. Para ello, es necesario trasladar de manera progresiva la carga hasta la posición donde sea posible establecer totalmente los efectos de la fuerza de 1 000 N sobre el material. Por lo anterior, se desplaza la fuerza horizontal coincidiendo con el eje de la barra de la �gura 5.51. Esta condición obligadamente altera el caso de estudio original, por lo cual es necesario aplicar una carga opuesta para tener un sistema equivalente al original.


261

262


z

z

50 000 N

1 000 N

1 000 N

1 000 N

1 000 N

A

B

y

A x

y

B x

Figura 5.51 Sustitución de la carga en el extremo por una fuerza en el eje y el momento.

La condición de carga aplicada en el sistema equivalente permite observar que la base está sometida a la acción de una �exión y una torsión en forma simultánea. La �exión ocasiona:

T = 50 000 N . mm

Mx = 200 000 Nmm

1 000 N

Figura 5.52 Estado de cargas actuantes sobre la base de la barra. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

a) Esfuerzo normal sobre las posiciones A y D de la base (en A de compresión y en D de tensión). b) Esfuerzo cortante en B y C que se evalúa como cortante en vigas. Mientras que la torsión, por su parte, desarrolla un esfuerzo cortante que actúa en la sección transversal (véase �gura 5.52).

Ante estas condiciones de carga, la magnitud de los esfuerzos actuantes son los siguientes. Debido a la �exión:

 D    2  32 M 32 (200 000) 254.6 5 5 5 4 3 3

M 

s5

Mc 5 I pD

pD

p ( 20)

N mm 2

64 τ 5

4V 4V 16V 16 (1000) N 5 5 5 5 4.24 2 2  pD 2  3pD 3p(20) 3 A mm 2 3   4 



Por la acción de la torsión, el esfuerzo cortante es: t5

16T 16(50 000) N Tc T ( D /2) 5 5 31.8 5 31.8 MPa  5 3 5 4 3 mm2 J  ( pD /32)  pD p(20)

El cortante directo causado por la carga de 1 000 N actúa en un plano diferente a los producidos por la torsión y la �exión de la barra (véase �gura 5.53). = 254.6 Mpa (T) = 31.8 MPa

= 4.24 MPa

A

B

= 254.6 Mpa (C)

Figura 5.53 Distribución de esfuerzos sobre la base.

Así, las condiciones de esfuerzo para cada una de las posiciones solicitadas en el ejemplo son: A. Actúan un esfuerzo normal a compresión y el esfuerzo cortante originado por la torsión. B, C. No se desarrollan esfuerzos normales, el esfuerzo cortante debido a la �exión se adiciona al

originado por la torsión. D. Actúan un esfuerzo normal a tensión y el esfuerzo cortante originado por la torsión. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Por tanto, las condiciones principales de esfuerzo se originan en los puntos A y D. De este modo, el esfuerzo principal y el cortante máximo en D son: s 1,2 5

 s x  2 ±   1 ( t xy ) 2  2  2

s x

 254.6  2 254.6 5 6   1 (31.8) 2  2  2

s 1 5 258.51 MPa s 2 52 3.91 MPa t máx 5

 254.6  2   1 (31.8) 2  2 

5131.21 MPa

Los esfuerzos en A tienen la misma magnitud que los desarrollados en D, solo que, al ser el esfuerzo normal de compresión, las relaciones entre los esfuerzos principales resultan ser recíprocos, sin afectar el valor del esfuerzo cortante máximo. Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 11:43:57.

263


264

Para las posiciones B y C no se desarrollan esfuerzos normales, por lo que tan solo queda la acción de un esfuerzo cortante máximo igual a la suma de ambos cortantes: t 5 31.8 1 4.24 5 36.04 MPa

Como se puede ver, existe una diferencia importante entre los esfuerzos normales y cortantes obtenidos directamente por la acción de las condiciones de torsión y �exión actuantes en el componente de máquina, respecto de las magnitudes obtenidas cuando se calculan los esfuerzos principales y el cortante máximo. Para el trabajo de ingeniería es importante que al diseñar un eje de transmisión o un componente que esté sometido a condiciones combinadas de torsión y �exión, se considere el análisis bajo las premisas marcadas por los esfuerzos combinados. En caso contrario, se pueden tener magnitudes de esfuerzo superiores a lo previsto, con lo que se reduce el factor de seguridad del sistema y, por ende, se incrementa el riesgo de falla. 2 000 N

z

E jemplo 5.10

1 000 N

Se requiere llevar a efecto el diseño de una barra doblemente acodada bajo las cargas indicadas en la �gura 5.54. Si se emplea un cortante máximo tmáx 5 160 MPa y se considera un F . S . 5 2.5, determinar el diámetro requerido para el eje. (Se acota que el ejemplo resulta extenso en su solución ante la necesidad de ilustrar los efectos de las cargas sobre los esfuerzos aplicados en el material). Para poder llevar a efecto el cálculo del diámetro, primero hay que identi�car las condiciones de carga actuantes sobre la base (véase �gura 5.54); para ello, lo primero evaluar progresivamente los efectos de la carga (véase �gura 5.55).

0.3 m 0.5 m 1m

y

x

Figura 5.54 Condiciones de . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

carga para barra de doble codo. z

z 1 000 N

0.3 m 0.5 m

= 1 000 N

y

x

1.0 m

y

1 000 N

x 1 000 N

1 300 Nm

Figura 5.55 Efectos de la carga de 1 000 N sobre la base del componente. Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 11:43:57.


Para evaluar los efectos de la carga de 2 000 N sobre la base es necesario realizar un análisis progresivo, con el �n de identi�car cada uno de los pares y cargas actuantes (véanse �guras 5.56 y 5.57). 2 000 N

2 000 N

z

z

z 2 000 N

0.3 m

2 000 N 0.5 m

0.5 m

0.5 m

2 000 N 600 Nm

y

x

y

x

y

x

Figura 5.56 Primer desarrollo de los efectos de la carga de 2 000 N sobre el codo. z

2 000 N

2 000 N

z 1 000 Nm

2 000 N

2 000 N

0.5 m

600 Nm

600 Nm

y

x

y

x

2 000 N 1 000 Nm . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

z

z 1 000 Nm

1m 600 Nm

600 Nm

2000 N

y

2 000 N

x

2 000 N

y

x

2 000 Nm

Figura 5.57 Análisis progresivo de la carga de 2 000 N sobre la base.


265

266


MZ = T = 1000 N . m

MY = 1 300 N . m

MX = 2600 N . m

Figura 5.58 Pares y fuerzas

actuantes en la base por la acción de las cargas en el extremo del componente.

Una vez que se han evaluado los efectos de cada una de las cargas sobre la base, lo siguiente es superponerlos simultáneamente para identi�car la totalidad de condiciones de carga actuantes en la base previa al proceso de diseño para el componente (véase �gura 5.58). Evaluando los pares vectorialmente y denotándolos mediante un vector con doble cabeza de �echa es posible identi�car mejor las condiciones de los momentos actuantes (véase �gura 5.59). Como se puede ver, sobre el plano x 2 y actúan dos pares perpendiculares entre sí. En estos casos, es necesario obtener el momento resultante, con el �n de determinar el valor del esfuerzo normal aplicado. Es importante resaltar aquí que este tratamiento no se aplica con el par en el eje z , por tratarse del par que genera la torsión y desarrolla condiciones de esfuerzo cortante. z 2 907 N . m

MZ = T = 1 000 N . m

1 300 N . m

M y = 1 300 N . m x

M x = 2 600 N . m 2 600 N . m

x

y

y M=

̰

(2600) + (1300) = 2 906.88 2 907 N . m

Figura 5.59 Momento flexor resultante sobre la base.


Ya estimados los pares actuantes, es posible proceder al cálculo del esfuerzo normal y cortante generado por los pares:

 D    2  32 M (32) (2 907)

M 

s5

Mc 5 5 5 I pD 4 pD 3

pD 3

5

29 610 D 3

64

 D    2  16T

T 

t5

(16) (1 000) 5093 Tc 5 5 5 5 J D 3 pD 4 pD 3 pD 3

32

Como se cuenta con el cortante máximo susceptible de aplicarse a la pieza, se obtiene el cortante de trabajo: Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 11:43:57.


tw 5

267

160 tmáx 5 5 64 MPa 2.5 F . S .

Aplicando la expresión para el esfuerzo cortante máximo se tiene:

 s  2   1 ( t) 2  2 

t máx 5 6

 29 610  2  5093  2   1    2 D 3   D 3 

6

 29 610  2  5093  2   1    2 D 3   D 3 

64 3 10 5 64 3 10 5 64 3 10 6 5

15 656.5 D 3

Despejando D tenemos: D 5

15 656.5 5 0.062 m 64 3 10 6

El diámetro requerido para soportar las condiciones de carga indicadas es 62.5 mm. Para el caso de manufactura, el diámetro comercial más cercano es 2 1/2 in 5 63.5 mm. Conclusión al caso

El ejemplo, si bien resulta ser extenso, procura revisar las condiciones más relevantes que deben ser consideradas cuando se trabaja bajo condiciones de esfuerzos combinados. El familiarizarse progresivamente con estas condiciones reduce progresivamente el tiempo invertido en el diseño o análisis de este tipo de máquinas.

0.05 m


Para las condiciones de carga mostradas en la barra cilíndrica de 0.05 m de diámetro de la �gura 5.59, describir el estado de esfuerzos para las posiciones A y B. Solución

10000 N

2000 N . m

5 000 N

La carga de 10 000 N genera un esfuerzo de compresión actuante en la totali0.5 m dad de la sección transversal de la pieza (véase �gura 5.60). La carga de 5 000 N A B por su ubicación genera una �exión que induce compresión en el elemento B, mas no tiene efecto alguno sobre el elemento A. Además, también desarrolla un cortante por �exión en el elemento A, pero no genera cortante en B. El par torsor produce un esfuerzo cortante de igual magnitud en A y B (véase Figura 5.60 Condiciones �gura 5.61). de carga.


268


s A 52

P 4 (10 000 ) 5 2 52 5.09 MPa A p ( 0.05)

4 (10 000 ) 32 (5 000 ) (0.5 ) P Mc s B 52 2 52 52208.8 MPa 2 2 p(0.053 ) A I p ( 0.05) 5000  Tc 4V 16  T V  16  2 000 1 5  31 5 1    5 84.9 MPa J 3 A p  D 3D 2  p  0.053 3(0.052 )  Tc 16 T 16 2000 t B 5 5 5 5 81.5 MPa p 0.053 J pD 3 t A 5

5.09 MPa

208.8 MPa

84.9 MPa

A

81.5 MPa

B

Figura 5.61

A ctividades de aprendizaje 1. Para el juego mecánico que se observa en la �gura 5.62, determina el tipo de esfuerzo ac-

tuante en los elementos estructurales indicados en las �guras 5.62 a 5.68. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C



269

Componente: 1. _____________________________ 2. _____________________________ 3. _____________________________ 4. _____________________________ 5. _____________________________ 6. _____________________________ 7. _____________________________

Figura 5.63

Figura 5.64 2. Para los siguientes casos, identi�ca: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

a) las condiciones de carga aplicada, b) las combinaciones de esfuerzo inducidas por su uso cotidiano y c) la zona sometida a mayor esfuerzo. a) __________________________________________ __________________________________________ b) __________________________________________ __________________________________________ c) __________________________________________ Figura 5.65

__________________________________________


270


a) __________________________________ __________________________________ b) __________________________________ __________________________________ c) __________________________________ __________________________________ Figura 5.66

a) __________________________________ __________________________________ b) __________________________________ __________________________________ c) __________________________________ Figura 5.67

__________________________________ a) __________________________________ __________________________________ b) __________________________________ __________________________________ c) __________________________________


Figura 5.68

__________________________________

3. Para el equipo de gimnasio mostrado en la �gura 5.69, realiza las

actividades que se piden. a) Identi�ca y señala los elementos sujetos a combinación de esfuerzos. b) Con apoyo del profesor establece condiciones de carga del mecanismo y determina los esfuerzos de acuerdo con esas condiciones de carga de al menos dos de los elementos identi�cados que conformen el equipo. Efectúa los cálculos necesarios. Figura 5.69



5.5 Análisis de deformaciones planas La determinación de esfuerzos en un punto de una pieza o elemento de máquina no es algo que se realice con facilidad cuando existen circunstancias o factores que invalidan las restricciones impuestas en la deducción de las fórmulas obtenidas en las secciones estudiadas con anterioridad. Por ejemplo, si una pieza sometida a tensión axial no presenta cambios de sección, se puede calcular el esfuerzo normal inducido dentro del material con la relación s 5 P / A; sin embargo, es sabido que la pieza va a fallar cuando el valor del esfuerzo alcance una magnitud igual al esfuerzo de cedencia si el material es dúctil (o al esfuerzo de ruptura si el material es frágil). Sin embargo, cuando la geometría de las piezas es más compleja (por ejemplo, los álabes de una turbina o el ala de un avión) no es posible derivar relaciones sencillas que proporcionen la distribución de esfuerzos en forma directa. Entonces, ¿cómo se pueden determinar? Una solución práctica y sencilla es el uso de galgas extensométricas para la medición directa de las deformaciones producidas en un punto de la pieza. A partir de estos datos es posible determinar los esfuerzos correspondientes. A continuación, se estudia el caso de un elemento plano sometido a esfuerzos biaxiales.

Análisis de deformaciones unitarias


El análisis que se desarrolla en esta sección tiene como �nalidad el cálculo de las deformaciones unitarias principales, puesto que el interés fundamental siempre debe ser la determinación de los esfuerzos principales inducidos dentro de una pieza o elemento de máquina ligados a estas deformaciones. Hay veces en que la dirección de los ejes principales es deducible por simple inspección, como en el caso de un recipiente cilíndrico de pared delgada sometido a una presión interna, en la que los esfuerzos de membrana en un punto de la pared, s1 y s2, son fáciles de identi�car como los principales. Pero en piezas de geometría compleja la determinación de estos ejes ya no es obvia y debe recurrirse al análisis general de un elemento diferencial. La �gura 5.70 a) representa un estado biaxial de esfuerzos correspondientes a un elemento diferencial, mientras que en la �gura 5.70 b) se pueden ver las deformaciones lineales correspondientes (H x , dx , H y , dy )(dy ) y la deformación angular (g xy ) que representa el cambio en magnitud del ángulo entre los lados del elemento. y

Tyx

 x dx

 y dy

Txy x

x

dy



2 dx

Txy Tyx y

a)

b)


+ Y xy

271


272

y

B



Suponiendo que las deformaciones unitarias H x , H y , H xy son conocidas, ¿cómo se puede determinar el estado de A deformación correspondiente a dos ejes perpendiculares entre sí (OA y OB) (véase �gura 5.71), que forman un ángulo arbitrario u con los ejes de referencia x 2 y ? Para obtener las expresiones generales de deformación en fun ción de las deformaciones conocidas H x , H y , H xy se desig x nan como positivas las deformaciones lineales que tienden a alargar al elemento y a la deformación angular que increFigura 5.71 menta la magnitud del ángulo recto que forman los lados del elemento original. Ahora, se toma un elemento diferencial de lados (dx ) y (dy ), paralelos a los ejes x 2 y, cuya diagonal OA de longitud (ds ) forma un ángulo con el eje x . Bajo la acción de los esfuerzos, s x , s y , t xy este elemento se deforma como muestra la �gura 5.70. Estas deformaciones afectan también a la longitud de la diagonal OA, como muestra la �gura 5.72. Los cambios en la diagonal, producidos por cada una de las deformaciones en x y y son: d x a 5 ∈ x dx cos(θ );

d y a 5 ∈ y dy sen(θ );

d xy a 5 γ xy dx sen(θ ).

(5.1)

dy sen ( )

y

g xy dx sen ( )

dx cos ( )

y dy

x

ds ds

ds

dy dy

dx

dy

g xy dx

dx dx

x

g xy . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Figura 5.72

La suma de los tres valores dados por las expresiones (5.1) da la deformación total de la diagonal; esto es: ). Dds 5 ∈ x dx cos(θ ) 1 ∈ y dy sen(θ ) 2 g xy dx sen(θ

Dividiendo entre la longitud de la diagonal se obtiene la deformación unitaria que: 1 1 cos(2θ ) dx , cos 2 (θ ) 5 2 ds 1 2 cos(2θ ) dy sen(θ ) 5 , sen2 (θ ) = 2 ds sen(2θ ) 5 2sen(θ )cos(θ ) cos(θ ) 5


(5.2) y se observa

Ha


273

Así, se obtiene: ea =

∈ x 2 ∈ y 2

1

∈x 2 ∈ y 2

cos(2θ ) 2

gxy

2

sen(2θ )

(5.3)

La expresión (5.3) es la ecuación general para evaluar la deformación lineal unitaria en cualquier dirección de un elemento sometido a esfuerzos biaxiales. De manera similar, con ayuda de la �gura 5.73, se puede determinar la magnitud de la deformación angular gab entre las diagonales OA y OB, la cual está dada por:

 (∈ x 2 ∈ y )sen(2θ ) 1 γxy cos(2θ )  2  

(5.4)

gab 5   x dx’ B

B

y

dx’

dx

ds’ 

 x dx  y dy B

ds

A

dy





A

ds’

  0

x



0

ds

0  xy dx’

B

A



ds

dsl

  xy dx

0

Figura 5.73


Hay que considerar las ecuaciones (5.3) y (5.4) para determinar el esfuerzo normal y el de corte en un plano orientado u° con respecto al plano normal al eje x . Las deformaciones lineales Ha , H x , H y corresponden a los esfuerzos normales sn, s x , s y , respectivamente, mientras que la mitad de la deformación angular corresponde al esfuerzo cortante tnt . De esta similitud se puede concluir que existe un círculo de Mohr para deformaciones, cuyo trazo se ilustra en la �gura 5.74. Obsérvese que los ejes de coordenadas son:

y 2

a E

y ab

2a

2

Y xy 21 B

2

c



 y  x 1

∈ y

g

2

Figura 5.74

De la �gura 5.74 se puede obtener la magnitud de las deformaciones unitarias principales y su dirección con respecto de los ejes de referencia, las cuales están dadas por: Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 11:43:57.

D

274


∈1 5 OC 1 CD 5 OC 1 CE ∈1 5

∈ x 1 ∈ y

1

 ∈ x 2 ∈ y 2  g xy   2  1 2     

(5.5)

2

 ∈ x 2 ∈ y 2  g xy   2  1 2     

(5.6)

2 ∈ 2 5 OC 2 CD 5 OC 2 CE

∈2 5

∈ x 1 ∈ y 2

tan(2θ 1 ) 5

2g xy

(∈ x 2 ∈ y )

(5.7)

.

La magnitud de la deformación angular máxima se puede determinar notando que:

 n    5 Radio del círculo  2  máx  ∈ x 1 ∈ y  2  g xy  2  y    5   1  .  2  máx 2    2 

(5.8)

E jemplo 5.12 Dados H 52100 3 1026, H y 5 50 3 1026, y g xy 5 100 3 1026 X


a) Construir el círculo de Mohr para deformaciones. b) Determinar la magnitud y dirección de las deformaciones unitarias principales. c) Determinar las deformaciones que ocurren en las direcciones que se encuentran a 45° de los ejes x y y . Solución

a) Con los valores de ∈ x , ∈ y y

g xy

se traza el círculo como se muestra en la �gura 5.74. 2 b) Del mismo círculo se obtienen las deformaciones principales H� y H� , cuyos valores son: 26 26 H1 5 65 3 10 , H� 52 115 3 10 . 2f1 52146°

Respuesta



y 2

eb

f

= 0

2f1

Y xy –150

–100

y ba 2

–50 y ab 2

150

Y yx

° 5 4 =

f

e

100

ea

e x

e y

e2

e1

Figura 5.75

La dirección del eje principal máximo forma un ángulo de 73° con respecto al eje x , como se puede ver en la �gura 5.75 (en el círculo de Mohr, el ángulo medido es el doble) y el eje principal mínimo se encuentra a 17° con respecto a x . c) En la dirección con localización a 45° del eje x , que en el círculo de Mohr corresponde a un ángulo de 90°, medido a partir del radio que representa al eje x , la deformación resultante es de:

∈45 5 45 3 1026 En la dirección que se encuentra a 45° del eje y , o sea, a 135° del eje x , la deformación será de:

∈135 5 25 3 1026 La deformación angular entre estos dos ejes (45° y 135°), obtenida del círculo es: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

g( ab )

2

52

g(ba )

2

75 3 1026 52

150 3 1026 g ab 52gba 52 Resolviendo analíticamente los incisos (b) y (c) mediante el empleo de las ecuaciones (5.3), (5.4), (5.5), (5.6) y (5.7): b)

∈1 5 ∈1 5

∈ x 1 ∈ y 2

1

 ∈ x 2 ∈ y  2  g xy  2   1   2    2 

2100 310 −6 1 50 3 10 −6

2

1

 2100 3 10 −6 2 50 3 10 26  2  100 310 26  2   1   2 2    


275

276


∈ 1 5 225 1 (275) 2 1 (50 ) 2  310 26 ∈ 1 5 (225 1 90)10 26 5 65(10) 26 ∈ 2 5 (225 2 90) (10 26 ) 52115 310 26 3 2 f1 5

2g xy

(∈ x 2 ∈ y )

5

2 3

Respuesta

c)

(∈ 1 ∈ y ) ( ∈ x 2 ∈ y ) g ∈ a 5 x 1 cos ( 2 ∈) 2 xy sen ( 2 ∈) 2

2

2

∈45° 5 [(225) 1 (275 ) 2 50 ] 3 (10 )−6 H45°

5 75(10)26 Respuesta

∈135° 5 [(225) 1 (275) 1 50] (10)26 H135°

g ab

2 g ab

2 g ab . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

2

5

∈ x 2 ∈ y 2

sen(2θ ) 1

g xy

2

5 75(10)26 Respuesta

cos(2θ )

5 [(275)(1) 1 50(0)] 3 (10)26 ;

(para 45°)

52 75 3 1026 ;

g ab 52150(10)26

Respuesta

Galgas extensométricas de resistencia eléctrica En el análisis desarrollado antes, las deformaciones H x , H y , g xy de un elemento sometido a esfuerzos biaxiales eran conocidas, aunque no se indicaba qué procedimiento se había seguido para la evaluación. A continuación, se enuncian las características de una galga extensométrica de resistencia eléctrica (véase �gura 5.75), cuya aplicación principal es en el ramo del análisis experimental de esfuerzos para la determinación de las deformaciones unitarias lineales. A la fecha, su aplicación se ha diversi�cado en diferentes campos de la experimentación por su bajo costo y fácil instalación, así como la con�abilidad de los resultados en cargas estáticas o dinámicas; otras características son:



a) b) c) d)


Ajuste muy estable Ligeras y pequeñas Respuesta lineal al esfuerzo Simples o múltiples (de roseta)

El matemático y físico Lord Kelvin descubrió en 1856 que algunos conductores eléctricos mostraban un cambio de resistencia eléctrica al sufrir una deformación mecánica, lo que daba como resultado el principio básico Figura 5.76 del funcionamiento de una galga extensométrica de resistencia eléctrica. En la actualidad, las galgas se construyen con una rejilla de �lamento de alambre (una resistencia) de aproximadamente 0.001 in (0.025 mm) de espesor unida directamente a la super�cie de tensión mediante una capa delgada de resina epóxica. Para obtener la resistencia total necesaria en la galga se requieren de varios centímetros de longitud de alambre, que es colocado en forma de zigzag, con el �n de obtener un tamaño reducido de la galga. Hoy día, en el mercado hay un gran número de modelos y formas de Figura 5.77 galgas extensométricas, aunque la más utilizada es la que se muestra en la �gura 5.77. A partir de 1952, en Inglaterra se desarrollaron varios tipos de galga, cuyos espesores eran de alrededor de 0.00005 mm, fabricadas en laminillas, las cuales sustituyeron a las de alambre (véase �gura 5.78). Entre sus principales ventajas era una relación de super�cie de contacto por volumen del elemento sensible muy alto, mientras que sus antecesoras tenían una relación mínima por su sección circular. En la actualidad, las galgas extensométricas de resistencia eléctrica se construyen con la técnica de fotograbado, la cual ha registrado avances notables en los últimos años, permitiendo una mayor precisión en su proceso de fabricación. Pero cuando el diseño que va a fabricarse es complejo se utiliza el proceso de corte por troquelado. La Figura 5.78 base sobre la cual van montadas galgas de laminilla metálica pueden ser en papel, epoxy y resinas de baquelita, metal y otros plásticos. La tabla 5.1 muestra las propiedades de algunos materiales empleados para la fabricación de galgas extensiométricas.


277

278


Tabla 5.1 Nombre comercial del material

Composición

Sensibilidad a la temperatura

Nicromio

80% Ni; 20% Cr

Alta

Manganina

4% Ni; 12% Mn; 84% Cu

Muy Baja

Advance, copel, Constantan

45% Ni; 55% Cu

Despreciable

Isoelástico

36% Ni; 8% Cr; 0.5% Mo

Alta

Níquel

Ni

Inestable

Las galgas fabricadas con Advance son las más comunes, aunque cuando se trata de mediciones dinámicas es recomendable utilizar las que contienen un material isoelástico, ya que cuentan con una alta sensibilidad a la deformación. ¿Cómo se pueden medir las deformaciones lineales en un punto determinado en una pieza que está siendo sometida a un esfuerzo utilizando estos dispositivos?


a) En primer lugar, la galga se tiene que �jar sobre la pieza utilizando una resina, en el lugar donde se requiere medir las deformaciones. La super�cie a examinar debe estar limpia de grasa, polvo, pintura y ser uniforme, lo que puede realizarse con algún solvente, acetona o tetracloruro de carbono; en ocasiones, basta con utilizar una lija si la super�cie es demasiado lisa. b) Una vez que la super�cie ha sido preparada, se procede al pegado usando un adhesivo de acuerdo con el material de la pieza y de la galga. Se debe esperar a que seque el pegamento y éste puede variar en función de la marca utilizada. c) Lo siguiente es la conexión de la galga en el circuito, para lo cual se hace pasar una corriente eléctrica cuando la pieza se encuentra libre de esfuerzos, con lo que se registrará una caída de voltaje entre las terminales de las galgas, por lo que su resistencia eléctrica cambiará y al hacer pasar nuevamente una corriente eléctrica se registrará una caída de voltaje diferente a la anterior. Esta diferencia de lecturas sirve para determinar el cambio en la resistencia eléctrica de la galga y transformar este valor en la deformación unitaria lineal correspondiente del alambre de la galga, que es igual a la de la pieza. A la fecha, se cuenta con equipos que dan directamente la lectura en la que se produjo la deformación unitaria producida en el punto en el cual se cementó la galga.

Rosetas Para la aplicación de las ecuaciones generales de la deformación o el trazo del círculo de Mohr correspondiente se requiere conocer la magnitud de la deformación angular. Si no existe ningún dispositivo simple para medirla, debemos recurrir a algún otro método que permita su evaluación de manera indirecta. Esto es posible mediante un dispositivo de tres galgas extensiométricas de



resistencia eléctrica, conocido como roseta de deformaciones, orientadas en direcciones diferentes, como se muestra en la �gura 5.79.

Galga uniaxial

Galga biaxial

Con�guración biaxial

Galga triaxial

Figura 5.79 Galga tipo roseta (triaxial).

Este arreglo se coloca en el punto deseado, tomando las lecturas para cada una de las galgas que lo forman, mostrando respectivamente a cada una de las lecturas como Ha , Hb, Hc . Utilizando la ecuación (5.3) se pueden escribir estas ecuaciones:

∈ a 5 ∈b

5

∈ x 1 ∈ y 2

∈ x 1 ∈ y 2

5

5

∈ x 2 ∈ y 2

∈ x 2 ∈ y 2

cos (2θ a ) 2

cos (2θb ) 2

g x

y

sen ( 2θ a )

y

sen ( 2θ b )

2 g x

2

g ∈ 1 ∈ y ∈x 2 ∈y 5 cos ( 2θc ) 2 x y sen ( 2θ c ) ∈c 5 x

2


2

2

(5.8)

Obsérvese que el sistema de tres ecuaciones simultáneas es independiente; por tanto, se puede resolver para H x , H y , y g xy . Conocidos estos valores se pueden usar las ecuaciones (5.5) y (5.6) para determinar las deformaciones principales H1 y H2 o para trazar el círculo de Mohr correspondiente con el mismo �n. ¿Cuándo es necesario utilizar una galga tipo roseta para deformaciones? Cuando se quiere conocer las direcciones de los ejes principales; sin embargo, cuando éstos son conocidos, pueden emplearse para comprobar resultados.

E jemplo 5.13 En un tanque cilíndrico sometido a presión solo es necesario colocar un par de galgas en las direcciones axial y radial, debido a que se sabe que éstas son las direcciones principales. Tratándose de un elemento como una viga o per�l, solo basta una galga en dirección axial sobre la super�cie más alejada del eje neutro, ya que se presenta tensión simple. Una vez que los valores de H1 y H2 son calculados, se procede a determinar los esfuerzos principales mediante las ecuaciones (5.9) y (5.10).


279

280


El valor del esfuerzo cortante máximo se puede observar aplicando la ley de Hooke para esfuerzos cortantes: tmáx 5 Ggmáx

(5.11)

tmáx 5 (s1 2 s2)/2

Roseta rectangular y el círculo de Mohr Entre una variedad de las galgas extensométricas, destacan las rosetas rectangulares y rosetas delta. En las primeras, sus elementos están orientados a 0°, 45° y 90° con respecto al eje de referencia y, en la segunda, estos ángulos son de 0°, 60° y 120° (véase �gura 5.80). Estas rosetas son las más utilizadas, ya que se han desarrollado técnicas para trazar el círculo de Mohr de deformaciones sin ser necesario calcular H x , H y , y g xy , como se dijo antes. La precisión de estos métodos depende únicamente de la habilidad y la experiencia del analista para alcanzar buenos resultados en un tiempo muy corto. En la �gura 5.81 se representa el círculo de Mohr para una roseta rectangular, cuyos elementos están orientados como se muestran en la �gura 5.81; esto es, en sentido contrario a las manecillas del reloj. ¿Cómo debe iniciar su trazo? Se inicia trazando los ejes H y g/2, con los valores de Ha , Hb, Hc , así como con el trazo de las líneas aa 9, bb9 y cc 9, que cortan al eje en D , G y F , respectivamente. Obsérvese que el punto A corresponde a la dirección f Figura 5.80 Roseta tipo 5 0° y el punto C a f 5 90°, por lo que f en el círculo de Mohr, la línea delta. AC corresponde a un diámetro y corta al eje en el punto E, que es el punto medio entre OF y OD, esto es: OD 1 OF ∈ a 1 ∈c (5.12) 5 2 2 Como se puede ver ahora, los ángulos BEG y ECF son iguales, debido a que los radios BE y CE son perpendiculares entre sí y, por tanto: OE 5


CF 5 EG 5 OG 2 OE ( ∈ 1 ∈c ) CF 5 ∈b 2 a 2

(5.13)

Con lo anterior, se inicia el trazo del círculo, para ello es necesario: 1. Seleccionar los ejes. 2. Trazar líneas paralelas al eje de g/2 ( aa 9, bb9 y cc 9). A distancia

coordenadas. 3. Localizar el centro del círculo (punto E) usando la ecuación (5.12). Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 11:43:57.

,

,

Ha Hb Hc

del origen de


4. Sobre la vertical cc 9 (0 aa 9) y desde el punto donde

interseca al eje H, medir la distancia FC igual a la distancia entre el centro del círculo y el punto de intersección de la línea bb9 con el eje H (ecuación 5.13). 5. El radio del círculo será igual a la distancia EC. 6. Sobre el círculo indicar los puntos A, B, C en la misma secuencia que la galga; en nuestro caso en contra de las manecillas del reloj. Obsérvese que los puntos A’, B’, C’ corresponden a una roseta cuyos elementos están orientados como muestra la �gura 5.82.

281

g /2 C b

B

a

A’

C 2u c 2u b

F

0

c

B

G

D

C

A

B’

b a

a

Figura 5.81 Trazo del círculo de Mohr con las lecturas de una roseta rectangular.

b

c

0

Figura 5.82

E jemplo 5.14 En una práctica realizada a un elemento de una máquina se empleó una roseta delta, como la de la �gura 5.80. Las lecturas fueron:

∈a 5 300 3 1026 ; ∈b 52200 3 1026 ; ∈c 5 400 3 1026 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Encontrar los esfuerzos principales y su orientación con respecto al eje x , el elemento en análisis es de aluminio. Solución

En la roseta, los ángulos que forman las galgas son: ua 5 0°, ub 5 60°, uc 5 120°, por lo que las ecuaciones (5.8) se transforman al sustituir los valores de los ángulos en:

∈ a 5 ∈b

5

∈ x 1 ∈ y 2

∈ x 1 ∈ y 2

1

1

∈x 2 ∈ y 2

∈ x 2 ∈ y 2

cos (0°) 2

g xy

2

cos (120°) 2

sen (0° )

g x y

2

sen (120° )


282


g ∈ 1 ∈ y ∈ x 2 ∈ y cos ( 240°) 2 x y sen ( 240° ) 5 ∈c 5 x

2

2

2

Resolviendo para H x , H y , g xy en función de Ha , Hb, Hc se obtiene:

2 ∈ 1 ∈c ) 2 ∈ a ∈ x 5 ∈ a , ∈ y 5 ( b 3

g x y 5

2 ( ∈ c 2 ∈b ) 3

Sustituyendo los valores de Ha , Hb, y Hc con los datos anteriores, se tiene:

∈ x 5 300 3 1026 ; ∈ y 5 33 31026 ; g x y 5 693 310 26 Los valores de H1, y H2 se obtienen con las ecuaciones (5.5) y (5.6):

 300 1 33  300 2 33  2  693  2   3 10 26 ∈ 1 5 1   1    2  2  2   ∈ 1 5 (167 1 371) 3 10 26 5 538 310 26 ∈ 2 5 (167 2 371) 310 26 52204 310 26 La dirección de los esfuerzos principales se obtiene con la ecuación (5.7): 693 522.6 (300 − 33) 2f1 5 arc tan (22.6 ) 5269° por tanto: f1 52 34.50°. tan2f1 52 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Los esfuerzos principales se calculan con las ecuaciones (5.9) y (5.10), con E 5 740 000 kg/cm 2 y m 5 0.25, que son los valores de las constantes elásticas del aluminio: s1 5

538 1 0.25 (2204 ) (0.74 ) 1 2 0.252

s1 5 384 kg/cm 2

En la �gura 5.83 se representa el estado de esfuerzos del elemento analizado, orientado en la dirección de los esfuerzos principales. Díaz, de León Santiago, Vicente Miguel, et al. Mecánica de materiales: teoría y aplicaciones, Grupo Editorial Patria, 2018. ProQuest Ebook Central, http://ebookcentral.proquest.com/lib/vallemexicosp/detail.action?docID=5635861. Created from vallemexicosp on 2019-02-21 11:43:57.


Estos resultados se han obtenido con la utilización de una roseta rectangular, dando las siguientes lecturas:

283

y s2 s1

∈ a 5 100 3 10−6 ; ∈b 52200 31026 y ∈c 5 300 310 26 Determinar las deformaciones principales y su dirección mediante la construcción del círculo de Mohr. Los elementos de la galga están dispuestos como se muestra en la �gura 5.84. 1. Apegándose al procedimiento mostrado, se trazan los ejes H y g/2, así como las líneas aa 9 bb9, y cc 9, como se muestra en la �gura

x 34.5°

s1 s2

Figura 5.83 Representación de 5.84. los esfuerzos. 2. El centro del círculo se localiza en el punto medio entre las intera secciones de las líneas aa 9 y cc 9 y el eje H.

OD 5

∈ A 1 ∈C

5

2

100 1 300 3 1026 5 200 3 1026 2

b

3. Tomando la distancia entre la intersección de la línea bb9 y el círculo (ED) y midiéndola sobre la línea aa 9 (FG ), lo que sigue es determinar el punto G.

0

4. El radio del círculo es la distancia DG, con el cual se hace el trazo.

Figura 5.84

5. Los puntos A, B y C representan las direcciones de Ha , Hb y Hc , en la misma

secuencia que la roseta utilizada. 6. Los resultados obtenidos son:

∈1 5 606 3 10−6 , b . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

∈2 52206 310 −6 , y 2

a

ϕ 1 5252°

c

G,A

f= 0

2f 0

E

B

F

E

D

° 4 5

f =

f = 90° C

b’

a’

c’

Figura 5.85


Representación de los esfuerzos.

c

284



Construye el círculo de Mohr y determina la magnitud y las direcciones de las deformaciones principales, definidas por los siguientes datos: a)

∈ x 51200 3 1026 ∈ y 52100 3 1026 γ xy 51 400 3 1026 Comprueba tu resultado analíticamente. b)

∈ x 52300 3 1026 ∈ y 51400 3 1026 g xy 52200 3 1026 5.2

Demuestra que el valor de H1 cuando se usa una roseta rectangular está dado por la expresión:

∈1 5

∈ a 1 ∈c 2

1

2 (∈ a 2 ∈b )2 1 (∈c 2 ∈b )2 2

Resuelve lo que se indica.


5.3

¿Cómo están construidas las galgas extensométricas?

5.4

¿En qué principio se basa su funcionamiento?

5.5

Menciona algunos materiales empleados para la fabricación de galgas extensométricas.

5.6

¿Cuál es la técnica para la cementación de las galgas? Descríbela paso a paso.

5.7

¿Cuándo es necesario el uso de las rosetas para medir deformaciones?



CAPÍTULO 6

Teoría de columnas

Con qué saberes cuento . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C



¿Qué es una columna?



¿Qué aplicaciones tienen las columnas?



¿Qué estándares aplicados a columnas se usan en la industria?



¿Cuál es la función de las columnas?



¿Qué diferencia hay entre una columna y un pilar?



¿Qué es pandeo?



¿Cómo se clasifican las columnas?



¿Qué es la inestabilidad elástica?



¿Qué es la carga crítica?



¿Cuáles son las partes de una columna?



¿Qué es la longitud efectiva?


285

286


6.1 Introducción a la teoría de columnas Las columnas son elementos estructurales muy delgados con respecto a su longitud, que se utilizan primordialmente para soportar cargas de compresión, las cuales bajo la acción de esa carga gradualmente creciente rompen por �exión lateral (pandeo) ante una carga mucho menor que la necesaria para romperla por aplastamiento (véase �gura 6.1); aunque, ordinariamente, éstas también soportan momentos �ectores de una y dos direcciones. Las columnas están diseñadas para resistir las fuerzas laterales del viento o Pandeo de los movimientos sísmicos, además de que, con frecuencia, también se usan para soportar vigas o arcos sobre los cuales descansan las partes superiores de las paredes o los techos. Por la historia, se tiene conocimiento que las primeras columnas fueron construidas de piedras talladas de una pieza simple de roca o con múltiples secciones Figura 6.1 de roca unidas con material adhesivo o solo encimadas entre sí. Ya en la actua lidad, las columnas son construidas de acero, concreto vertido o prefabricado, ladrillo o madera. Las columnas suelen clasi�carse primordialmente en largas e intermedias, aunque, en algunos casos, los elementos cortos sometidos a compresión se consideran columnas cortas. Las columnas largas se caracterizan por: a) ser miembros con relaciones de esbeltez altas; b) su inestabilidad inicia en el intervalo elástico; es decir, los esfuerzos totales no llegan todavía al límite de proporcionalidad en el instante en que empieza el pandeo; c) su resistencia máxima depende de la rigidez en �exión y torsión, y d) no dependen del esfuerzo de �uencia Fy .


Por su parte, las columnas intermedias se caracterizan por: a) ser miembros con relaciones de esbeltez en un rango intermedio; b) su rigidez es su�ciente para posponer la iniciación del fenómeno de inestabilidad hasta que parte del material esté plasti�cado; c) su resistencia máxima depende de: » la rigidez del miembro, » el esfuerzo de �uencia, » la forma y las dimensiones de sus secciones transversales, y » la distribución de los esfuerzos residuales. d) tienden a fallar por inestabilidad elástica.


Teoría de columnas

287

En el caso de las columnas cortas se caracterizan por: a) b) c) d)

ser miembros que tienen relaciones de esbeltez muy bajas, resisten la fuerza que ocasiona su plasti�cación completa, su capacidad de carga no se afecta por ninguna forma de inestabilidad, su resistencia máxima depende solo del área total de su sección transversal y del esfuerzo de �uencia, y e) tienden a fallar por aplastamiento.

6.2 Definiciones Columna Una columna se de�ne como un elemento sometido siempre a compresión, para su diseño los ingenieros se basan en el análisis de las fuerzas internas y las condiciones de trabajo; además, cuando en una columna actúan fuerzas de compresión y de �exión, también se diseñan por �exión, de forma que a esta combinación se llama esfuerzos combinados (�exión y compresión), que se observa en la �gura 6.2. Diseñar una columna consiste en obtener las dimensiones que permitan resistir la compresión que se aplica sobre el elemento, así como la �exión que aparezca en ésta. La geometría de una columna aumenta o disminuye su resistencia y determina el tipo de falla. Según la geometría y las condiciones de carga, las columnas se clasi�can en:

»

Columnas largas Columnas de longitud intermedia Columnas con carga excéntrica

»

Columnas cortas con carga excéntrica

» »


e P P

P

P

Figura 6.2

Columnas largas Una columna se considera larga cuando su longitud es 10 veces mayor que la menor dimensión transversal y su esbeltez mecánica es mayor o igual a 100 (véase �gura 6.3).

Columnas intermedias Una columna se considera intermedia cuando su longitud es 10 veces mayor que la menor dimensión transversal y su esbeltez mecánica se encuentre entre 30 y 100 (véase �gura 6.3).

Columnas cortas Una columna se considera corta cuando su longitud no es mayor a 10 veces la menor dimensión transversal (la esbeltez mecánica no se considera) (véase �gura 6.3).



288

Las diferencias entre los tipos de columnas están determinadas por su comportamiento:

P

P

Las columnas largas fallan por pandeo o �exión lateral. » Las intermedias fallan por una combinación de aplastamiento y pandeo. » Las cortas fallan por aplastamiento. »

P

L L L b

b

a

a

L > 10a SR > 100 Columna larga

L > 10a 30 < SR < 100 Columna intermedia

b a L < 10a

Pandeo

Para entender el fenómeno de pandeo se analiza en forma intuitiva un ejemplo. Sea una barra de diámeFigura 6.3 tro D que es sometida a una fuerza axial de compresión; si la barra actúa como columna fuera de la longitud D, no presentará inestabilidad y, por tanto, será capaz de soportar una fuerza considerable. Si la misma barra tuviera una longitud de varias veces su diámetro, al ser sometida a una fuerza axial menor que la que puede soportar la pieza corta, podría llegar a ser lateralmente inestable, presentándose un pandeo lateral con posibilidad de falla o colapso, lo que signi�ca que una regla delgada ordinaria, si se somete a compresión axial, fallará de esta manera. Considerar únicamente la resistencia del material no es garantía que permita predecir el comportamiento de este miembro. Este fenómeno se presenta en muchas situaciones en las que existen esfuerzos de compresión, por ejemplo: »

» . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

»

Columna corta

Placas delgadas que son capaces de resistir cargas de tracción, las cuales son completamente ine�caces para transmitir compresión. Vigas angostas sin arriostramiento lateral (estructura de sujeción y equilibrio en la construcción de edi�caciones que utiliza contrafuertes, arbotantes o tirantes metálicos o de madera) que pueden doblarse lateralmente y romperse por la acción de una carga aplicada. Tanques al vacío y cascos de submarinos, a menos que estén apropiadamente diseñados, ya que éstos pueden deformarse gravemente por la presión externa y asumir formas que di�eren de manera notable de su con�guración geométrica original. Un tubo de pared delgada puede arrugarse o plegarse como papel de seda cuando se somete a torsión.

Por lo general, los fenómenos de pandeo o plegamiento que se observan en elementos cargados ocurren repentinamente. Por esta razón, muchas de las fallas estructurales por pandeo son espectaculares y muy peligrosas. Estas fallas se pueden evitar haciendo las consideraciones pertinentes durante el análisis y cálculo de la geometría de estos elementos, de tal forma que las tensiones y deformaciones máximas que se produzcan permanezcan dentro de los límites admisibles.


Teoría de columnas

Por lo anterior, el pandeo de una columna se de�ne como la deformación grande y repentina provocada por un pequeño incremento de una fuerza de compresión existente, pasando de un estado de equilibrio estable a uno de equilibrio inestable. El equilibrio estable en la �gura 6.4 muestra que al soltar la columna regresa a la posición 1; esto ocurre cuando la columna soporta cargas inferiores a la de pandeo y el desplazamiento producido por cualquier perturbación lateral se recupera por completo cuando dicha perturbación se retira. El equilibrio neutro ocurre cuando la columna soporta la carga de pandeo y, en teoría, es posible deformarla ligeramente, formando una onda sinusoidal de amplitud pequeña (véase �gura 6.5). El equilibrio inestable ocurre cuando las cargas superan a la carga de pandeo, por lo que una perturbación lateral, por pequeña que sea, producirá falla por pandeo (véase �gura 6.6).

(1)


N

N

N

(2)

(1)

(2)

(1)

Equilibrio estable

Equilibrio neutro

Equilibrio inestable

Figura 6.4

Figura 6.5

Figura 6.6

(2)

Relación de esbeltez El factor de esbeltez depende de la longitud libre de pandeo del elemento. Dicha longitud está regida por el tipo de unión de los extremos de los elementos por analizar. Para evaluar si una columna fallará por esbeltez o por resistencia es necesario determinar la relación de esbeltez. Para el diseño de columnas es básico seleccionar una sección transversal adecuada, con armadura capaz de soportar las combinaciones de cargas axiales y los momentos de primer orden, y considerar las condiciones de esbeltez de la columna (momentos de segundo orden). Los principales requisitos para diseñar y construir una estructura o elemento son: » » » »

Equilibrio Resistencia Funcionalidad Estabilidad


289

290


Una columna puede alcanzar la condición inestable antes de la deformación máxima permitida o el esfuerzo máximo. El fenómeno de inestabilidad, como se dijo antes, se re�ere al pandeo lateral, el cual es una de�exión que ocurre en la columna (véase �gura 6.7) cuando se incrementa el momento �ector aplicado sobre el elemento. El aumento de la de�exión magni�ca su valor, lo que provoca que la curvatura de la columna crezca hasta ocasionar la falla; por tanto, este caso se considera inestable. La resistencia de la columna sometida a compresión tiene dos límites (véase �gura 6.8): 1. Resistencia para columnas cortas. 2. Estabilidad para columnas largas.

Figura 6.7

La resistencia muestra la disminución del esfuerzo de compresión respecto a la esbeltez de la columna; por tanto, para el diseño de las columnas, la estabilidad es el nuevo parámetro por considerar, además de la resistencia y la rigidez. s = P/ A

A

D

Límite de resistencia

E

F

máx

B

sy

Límite de estabilidad kg/cm2 C . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Cor ta

Mediana

Larga

l e / r

Figura 6.8

La medida de esbeltez de una columna debe tener en cuenta la longitud y el per�l de la sección transversal, además de la forma de sujetar sus extremos en las estructuras en las que se aplican las cargas y las reacciones. La medida de esbeltez comúnmente utilizada es la relación de esbeltez, de�nida como: SR 5

K L r

5

Le r


Teoría de columnas

Donde: SR : Relación de esbeltez adimensional. L: Longitud real de la columna entre los puntos de apoyo o de restricción lateral (m, ft, etc.).

K: Factor de �jación de los extremos. Le : Longitud efectiva, considerando la manera de �jar los extremos (m, ft, etc.). r : Radio de giro mínimo de la sección transversal de la columna B (m, ft, etc.).

Factor de longitud efectiva K El factor de longitud efectiva es función de los apoyos en los extremos de la columna y estima el grado de limitación contra rotación, según el tipo de sujeción. Por lo común, se consideran tres tipos de sujeciones en los extremos: 1. Extremo de pasado 2. Extremo �jo 3. Extremo libre

La �gura 6.9 muestra múltiples combinaciones de estos tipos de sujeciones en los extremos con los valores correspondientes de K. a)


b)

c)

d)

e)

f)

Empotradaarticulada

Empotradaempotrada deslizable

Articuladaarticulada

Empotradalibre

Articuladaempotrada deslizable

El pandeo de la columna se muestra con la línea punteada.

Empotradaempotrada Valor teórico de K

0.5

0.7

1.0

1.0

2.0

2.0

Valor real de K

0.65

0.80

1.2

1.0

2.1

2.0

Figura 6.9 Factores para longitud efectiva K.


291

292


Cuando una columna con dos extremos de pasador se pandea, ésta toma la forma de una curva uniforme entre sus extremos, como se muestra en la �gura 6.9 d). Éste es el caso básico de pandeo de una columna y el valor de K 5 1.0 se aplica a columnas con dos extremos de pasador. La combinación de un extremo �jo y uno de pasador (véase �gura 6.9 b)) muestra que la forma pandeada se aproxima al extremo �jo con una pendiente cero, mientras que el extremo de pasador gira libremente. El valor teórico de K 5 0.7 se aplica a este tipo de �jación de los extremos, en tanto que K 5 0.80 se recomienda para usos prácticos. En teoría, ambos extremos �jos impiden la rotación de la columna en sus extremos. A medida que ésta se pandea, la curva de �exión del eje de la columna debe aproximarse al extremo �jo con una pendiente cero, como se ilustra en la �gura 6.9 a). El valor teórico del factor de �jación de los extremos es K 5 0.5, e indica que la columna actúa como si fuera la mitad de larga de lo que en realidad es, por lo cual en la práctica se recomienda un valor más alto. La medida de la esbeltez de la sección transversal de una columna es su radio de giro ( r ), de�nido como: r 5 I /A

(a)

Donde: I : Momento de inercia menor de la sección transversal de la columna con respecto a uno de los

ejes principales (m4, in4, etcétera). A: Área de la sección transversal (m 2, in2, etcétera). r : Radio de giro menor (m, in).

Procedimiento para calcular la relación de esbeltez A continuación se describe, paso por paso, el procedimiento para obtener la relación de esbeltez de columnas: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

1. Calcular la longitud real de la columna L entre sus puntos extremos o puntos de restricción 2. 3. 4. 5.

lateral. Determinar el factor de sujeción en los extremos con base en el tipo de apoyo de los extremos. Establecer la longitud efectiva Le 5 K L. Calcular el radio de giro mínimo de la sección transversal de la columna r 5 I / A . Determinar la relación de esbeltez con: SR 5

Le r mín


(b)

Teoría de columnas

Carga crítica. Fórmula de Euler para columna fundamental La fórmula de Euler es la base de la teoría de columnas y es válida para columnas largas; en general se utiliza para determinar la carga crítica de pandeo, es decir, la carga última que puede ser soportada por una columna larga o la que se encuentra presente en el momento del colapso (se identi�ca por el símbolo P ct ). Los factores que in�uyen en la magnitud de la carga crítica son: » » »

Longitud de la columna. Condiciones de los extremos. Sección transversal de la columna.

Estos factores se conjugan en la relación de esbeltez o coe�ciente de esbeltez, el cual es el parámetro que mide la resistencia de la columna. De esta forma, para aumentar la resistencia de la columna se debe buscar la sección que tenga el radio de giro más grande posible o una longitud que sea menor, ya que de ambas formas se reduce la esbeltez y aumenta la carga crítica. El pandeo en columnas de Euler parte de dos hipótesis: 1. Hipótesis geométrica en la que se establece que: » » »

Las columnas son simétricas y perfectamente rectas. La columna se encuentra perfectamente centrada. La carga es colineal con el eje de la columna.

2. Hipótesis mecánica en la que se establece que: » »


Los materiales con los que se construye una columna son isótropos y homogéneos. En todos los casos se cumple la ley de Hooke: “Las tensiones y las deformaciones son proporcionales siempre y cuando se permanezca dentro de la zona de proporcionalidad del material” .

»

La hipótesis de Bernoulli es válida: “Todas las secciones de la columna se mantienen aún después de las deformaciones, aún en el campo plástico” .

Deducción de la ecuación de carga crítica. Ecuación de Euler La ecuación de Euler utilizada para calcular la carga crítica se deduce a partir de la condición ideal de carga en una columna articulada-articulada (véase �gura 6.10). El comportamiento de esta columna articulada sometida a una carga axial P permite deducir que: » »

Si P , P cr , la columna se encuentra en posición recta en equilibrio estable. Si P 5 P cr , la columna se encuentra en una posición recta o ligeramente �exionada, es decir, en equilibrio neutro.


293

294

Mecánica de materiales. Teoría y aplicaciones »

Si P . P cr , la columna se encuentra en una posición recta, en equilibrio inestable y se pandeara ante cualquier perturbación.

De la forma �exionada de la columna ideal articulada (véase �gura 6.10 a) es posible determinar las cargas críticas. Aunque la ecuación de la carga (ecuación diferencial de cuarto orden) y la ecuación de la fuerza cortante (ecuación diferencial de tercer orden) son válidas para estudiar las columnas, por ser una ecuación cuya solución general suele ser más simple, se recomienda usar la ecuación de momento �exionante (ecuación de segundo orden): EI n0 5 M x

(6.1)

x

P

P

B

B

x P M

v

L

x

y

A

A

y

a)

y

b)

A

c)

Figura 6.10

Donde: M : Momento �exionante en cualquier sección transversal (N/m, lb/in). . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

n: De�exión lateral en la dirección y (m, in).

EI : Rigidez a la �exión en el plano xy . E : Módulo de elasticidad (N/m2, lb/in2). I : Menor momento de inercia de la sección (m 4, in4).

En el diagrama de cuerpo libre que se muestra en la �gura 6.10 c), toda vez que se sabe que el momento �exionante M actúa a una distancia x desde el extremo A en la columna pandeada, se observa a éste actuando en una dirección positiva, además de que también se puede ver la fuerza P . Como no existen fuerzas horizontales que actúen en los soportes, se puede decir que no hay fuerzas cortantes en la columna, de tal manera que por equilibrio de momentos con respecto al punto A se tiene:


Teoría de columnas

M 1 Pv 5 0 M 52Pv

(6.2)

x P

B

x P M

2 v

x

y

A

y

a

A

b

Figura 6.11

Si se supone que la columna se pandea a la derecha y no a la izquierda (véase �gura 6.11), la expresión para el momento �exionante que se obtiene es la misma, es decir: M 2 P (2v ) 5 0 M 52Pv

Entonces, la ecuación diferencial de la de�exión se convierte en: EIv " 1 Pv 5 0 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

(6.3)

Que al resolverla permite determinar la magnitud de la carga crítica P cr y la forma de la columna pandeada. Así, se rede�nen por conveniencia estas variables introduciendo: K 2 5 P / EI K5

P , → siendo: K . 0 EI

Reescribiendo: EIv " 1 Pv 5 0 EI v " 1 v 5 0 P


(6.4 a, b)

295

296


Multiplicando por K 2 la expresión 6.3 se reescribe: v " 1 K 2v 5 0

(6.5)

Considerando que la solución general de la ecuación está dada por: v 5 C1senKx 1 C 2 cosKx

(6.6)

Las constantes de integración C 1 y C 2 se evalúan utilizando las condiciones de frontera en los extremos de la columna: La de�exión es cero cuando x 5 0 y x 5 L (véase �gura 6.11b). n(0) 5 0 y n(L) 5 0

(c, d)

Por las condiciones c y d se puede deducir que: C 2 5 0, por tanto n 5 C 1senK x

(e)

C 1senK L 5 0

(f)

Siendo la segunda ecuación:

Por la expresión f se puede concluir que C 1 5 0 o senK L 5 0. Esta consideración implica dos posibilidades: 1. Si C 1 5 0, la de�exión n5 0 (analícese la ecuación e ); por tanto, la columna permanece

recta. Esto signi�ca que se obtiene la solución trivial para la ecuación diferencial. 2. Para satisfacer la condición de la ecuación f se utiliza la ecuación de pandeo:

senK L 5 0

(6.7)

Esta ecuación es válida cuando K L toma valores de K L 5 0, π, 2π, etcétera. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Cuando el valor de K L 5 0, entonces signi�ca que P 5 0 y esta solución no es de interés; por tanto, la solución que se considera es: K L 5 np

(g)

n 5 1, 2, 3, 4,…

Si: K L 5 np np ∴ L n 2p2 2 K 5 2 L

K 5


(h)

Teoría de columnas

297

Sustituyendo h en la ecuación 6.4a y agrupando, se tiene: n 2 p 2 EI P 5 L2

(6.8)

La ecuación 6.8 facilita encontrar los valores de P que satisfacen la ecuación de pandeo, además de que aporta soluciones de la ecuación diferencial. El término n representa los modos de pandeo de la columna. La ecuación de la curva de de�exión está dada por: npx v 5 C1senKx 5 C1sen L n 5 1,2,3,...

(6.9)

Los valores de P dados por la ecuación 6.8 son los valores de las cargas críticas para esta columna. Solo cuando P tiene un valor, teóricamente es posible que la columna tenga una forma �exionada por la ecuación 6.9.

Cargas críticas La menor carga crítica para una columna con extremos articulados se obtiene cuando n 5 1. p 2 EI P cr 5 2 L

(6.10)

La forma pandeada correspondiente (forma modal) puede observarse en la �gura 6.12 b). v 5 C 1sen . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

El pandeo de una columna articulada en su primer modo n 5 1 se denomina caso fundamental de pandeo de la columna. El pandeo descrito se designa pandeo de Euler y la carga crítica para una carga ideal se denomina carga de Euler (carga crítica). Cuando los valores del índice n > 1, en las ecuaciones 6.10 y 6.11 se obtiene un número in�nito de cargas críticas y formas modales correspondientes. La forma modal para n 5 2 tiene dos semiondas (véase �gura 6.12 c) y su carga crítica es cuatro veces mayor que la carga crítica para el caso fundamental.

p x L

(6.11) x

P

Pcr =

B

x Pcr =

B

B

C1

C1 L C1

y

A a)

A

y

b)

Figura 6.12


A

c)

298


Esfuerzo crítico Una vez que se determina la carga crítica para una columna, ya es posible calcular el esfuerzo crítico correspondiente al dividir la carga entre el área de la sección transversal. Así, para el pandeo de la columna que se muestra en la �gura 6.12 b), el esfuerzo crítico es: P cr p 2 EI s cr 5 5 A AL2

(6.12)

Ahora bien, si en ésta se introduce la notación r 5 I / A ecuación a (radio de giro de la sección transversal en el plano de �exión), la ecuación 6.12 se convierte en: p 2 E scr 5 ( L /r )2

(6.13)

Donde L /r es la razón adimensional denominada relación de esbeltez, SR ecuación b.

A ctividades de aprendizaje Contesta las siguientes preguntas que se plantean a continuación. Compara tus respuestas con la de tus compañeros de clase. 1. ¿Qué es una columna? 2. ¿Cómo se clasi�can las columnas? 3. ¿De qué materiales se construyen normalmente las columnas? ¿Por qué? 4. Investiga y menciona tres ejemplos de columnas arquitectónicas en la historia. 5. ¿Cuál es la función principal de las columnas? 6. ¿Qué ocasionan las de�exiones, las imperfecciones grandes y el comportamiento inelástico . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

a una columna? Investiga en diversas fuentes de información. 7. ¿De qué manera afecta la forma de la sección transversal de la columna en el comportamiento de la �exión? 8. Busca tres ejemplos a tu alrededor que se ajusten a la de�nición de columna y describe cada uno de ellos, determinando las siguientes características: » Longitud » Material » Dimensiones de su sección transversal 9. Toma una regla de un metro (de madera o aluminio) para cargar cada uno de estos elementos con una fuerza de compresión axial directa; la línea de acción de la carga estará en línea con el eje mayor de la columna. Apoya la regla en una mesa o en el piso y empújala hacia abajo con la mano; trata de empujarla recta hacia abajo y no lateralmente, sin que los dedos la sujeten con �rmeza.


Teoría de columnas

Nota: Ten cuidado de no empujarla con demasiada fuerza, ya que puede romperse.

Describe a continuación lo que sucedió: 10. La siguiente actividad ilustra los dos tipos extremos de falla que por lo general ocurren

cuando miembros rectos se sujetan a cargas de compresión. Toma dos barras de acero que tengan el diámetro de un lápiz. Una barra de un metro de longitud y la otra de dos centímetros de longitud. 11. ¿Qué sucede si se aplica una fuerza de compresión creciente gradualmente sobre la barra

larga? 12. ¿Qué sucede con la barra corta? 13. ¿Cuál de las dos barras soporta una carga mayor? ¿Por qué? 14. Resuelve el siguiente crucigrama. Horizontal 2. Combinación de columnas dise-

3.

4.

8. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

9.

ñadas para �exión y compresión se le llama... Tipo de columna que su longitud es mayor de 10 veces la menor dimensión transversal Se re�ere al pandeo lateral, el cual es una de�exión que ocurre en la columna Cuando la excentricidad es pequeña la �exión es Cuando la carga no se aplica directamente en el centroide de la columna, se dice que la carga es

Vertical 1. Parámetro que mide la resisten-

cia de la columna 5. Es un elemento sometido principalmente a compresión 6. Tipo de fallo que puede tener lugar en el caso de elementos estructurales esbeltos sometidos a compresión 7. La longitud que combina la longitud real con el factor de �jación de extremos


299

300


Cargas y esfuerzos críticos para columnas con diferentes condiciones de soporte El pandeo de una columna con apoyos articulados se considera el caso fundamental mediante el cual Euler dedujo las ecuaciones de carga y esfuerzos críticos. Como se especi�có antes, para diferentes tipos de apoyos el procedimiento de obtención de la carga crítica y el esfuerzo crítico se puede hacer de manera similar, aplicando las respectivas condiciones de frontera o restricciones de apoyo en los extremos, las cuales modi�can algunos parámetros o constantes de la ecuación original. La fórmula de Euler para columnas con extremos articulados de la ecuación 6.10 puede modi�carse para tomar en consideración otros tipos de �jación en los extremos. La longitud efectiva relaciona la carga crítica de una columna con los extremos articulados. En este caso, L es la longitud real de la columna: Le 5 K L

P

(6.14)

La carga crítica en función de la longitud efectiva es: p 2 EI P cr 5 2 Le

(6.15)

L = Le

Columna doblemente articulada (columna fundamental) Para un factor de longitud efectiva K 5 1 (véase �gura 6.13) se tiene: Le 5 K(L) K=1


Le 5 L

Entonces, la carga crítica es igual a la ecuación 6.10: p 2 EI p2 EI P cr 5 2 5 2 Le L

Pcr

P B

B

El esfuerzo crítico se determina por la ecuación 6.12: Le = 0.7 L L

A

K = 0.7

A a)

b)

Figura 6.14

P cr p 2 EI s cr 5 5 A AL2

Columna empotrada-articulada Para un factor de longitud efectiva K 5 0.7 (véase �gura 6.14) se tiene:


Teoría de columnas

301

Le 5 K(L) Le 5 0.7L

Así, la carga crítica es: p 2 EI p 2 EI P cr 5 2 5 (0.7 L )2 Le

(6.16)

P cr 2.04p2 EI scr 5 5 A AL2

(6.17)

2

P cr 5

2.04p EI L2

El esfuerzo crítico se determina por la ecuación 6.12:

Columna empotrada-libre

P

P

B

Para un factor de longitud efectiva K 5 2 (véase �gura 6.15) se tiene: Le = 2L

L

Le 5 K(L) Le 5 2L

A

Y así la carga crítica es:

a)

p 2 EI p 2 EI P cr 5 2 5 (2 L )2 Le

P cr 5 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

0.25p 2 EI

b)

K=2 P

Figura 6.15

(6.18)

L2

El esfuerzo crítico se determina por la ecuación 6.12: P cr 0.25p 2 EI scr 5 5 A AL2

Columna empotrada en sus extremos Para un factor de longitud efectiva K 5 0.5 (véase �gura 6.16) se tiene: Le 5 K(L) Le 5 0.5L


(6.19)

302


Y la carga crítica es: p 2 EI p 2 EI P cr 5 2 5 (0.5L )2 Le 4p 2 EI P cr 5 L2

(6.20)

x

P

Pcr M0 B

L 4

Le =

L

A

y

L 2

L 4 M0

K = 0.5 Pcr

Figura 6.16

El esfuerzo crítico se determina por la ecuación 6.12: P cr 4p 2 EI s cr 5 5 A AL2

(6.21)

Columna articulada-empotrada desplazable Para el factor de longitud efectiva K 5 2 (véase �gura 6.17) se tiene: . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

Le 5 K(L) Le 5 2L

Y la carga crítica igual a la ecuación 6.18 es: p 2 EI p 2 EI P cr 5 2 5 (2 L )2 Le

P cr 5

0.25p 2 EI L2

El esfuerzo crítico se determina igual que la ecuación 6.19: P cr 0.25p 2 EI s cr 5 5 A AL2


Figura 6.17

Teoría de columnas

303

Columna empotrada-empotrada desplazable K 5 1 Para un factor de longitud efectiva K 5 1 (véase �gura 6.18) se tiene: Le 5 K(L) Le 5 L

Así, la carga crítica es igual que la ecuación 6.10: p 2 EI p2 EI P cr 5 2 5 2 Le L

Y el esfuerzo crítico es igual que la ecuación 6.12: Figura 6.18

P cr p2 EI s cr 5 5 A AL2

E jemplo 6.1


W8 3 28

2

B

A X C Una columna larga y esbelta, ABC, está P 1 articulada en los extremos y se comprime X por una carga axial P (véase �gura 6.19). L L Asimismo, tiene soporte lateral en el pun2 2 2 to medio B en el plano de la �gura; sin Secci ón X-X embargo, solo cuenta con soporte lateral a) b) perpendicular al plano de la �gura en los Figura 6.19 extremos. La columna está construida con un per�l de acero de patín ancho (W8 3 28) con módulo de elasticidad E 5 29 3 103 ksi y límite de proporcionalidad sY 3 42 ksi. La longitud total de la columna es L 5 25 ft. Determinar la carga permisible P perm , empleando un factor de seguridad F. S. 5 2.5; con respecto al pandeo de Euler de la columna por su posición, despreciar el peso de la columna para evitar el efecto viga.

Solución

Es importante resaltar que esta columna se puede pandear en cualquiera de los dos planos principales de �exión. Dado que tiene dos soportes laterales, como primera posibilidad puede pandearse en el plano de la �gura, en cuyo caso la distancia entre los soportes laterales es L/ 2 5 12.5 ft; en este caso, ocurre con respecto al eje 2-2 (véase �gura 6.12 c)) para la forma modal de pandeo. Como segunda posibilidad puede pandearse en dirección normal al plano de la �gura con �exión respecto del eje 1-1, debido a que el único soporte lateral en esta dirección está en los extremos. La distancia entre soporte laterales es L 5 25 ft (véase �gura 6.12 b)).


1

304


Del apéndice VIII se obtienen los momentos de inercia y el área transversal siguientes para una columna W8 328: A 5 8.25 in2 I 1 5 98.0 in4 I 2 5 21.7 in4

Si la columna se pandea en el plano de la �gura, la carga crítica es: 4p 2 EI 2 pEI 2 P cr 5 5 ( L /2)2 L2 Sustituyendo los valores numéricos se tiene: P cr 5

4p2 EI 2 L2

4p 2 (29 3 103 ksi)(21.7 in 4 ) 5 5 276 klb 2 [(25 ft)(12 in/ft)]

Si el pandeo de la columna es en dirección normal al plano de la �gura, la carga crítica es: p 2 EI 2 p 2 (29 3 103 ksi)(98.0 in 4 ) P cr 5 5 5 312 klb 2 L2 [(25 ft)(12 in/ft)]

Por tanto, la carga crítica para la columna es el menor de los dos valores calculados, P cr 5 276 klb y el pandeo ocurre en el plano de la �gura 6.19. El esfuerzo crítico es: s cr 5 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

P cr 312 klb 5 5 37.8 ksi A 8.25 in2

Dado que el esfuerzo crítico es menor que el esfuerzo en el límite de proporcionalidad, los dos cálculos de la carga crítica son satisfactorios (scr , sY ). La carga permisible para la columna con base en el pandeo de Euler es: P perm 5

P cr 276 klb 5 5 110 klb 2.5 FS

E jemplo 6.2 Una terraza está soportada por una �la de columnas tubulares de aluminio con una longitud L 5 3.5 m y diámetro exterior d 5 100 mm. Las bases de las columnas están empotradas en


Teoría de columnas

zapatas de concreto y las partes superiores están soportadas lateralmente por la plataforma. Deben diseñarse las columnas para soportar cargas de compresión de 120 kN. Determinar el espesor mínimo requerido t de las columnas de la �gura 6.20 si se requiere un factor de seguridad F. S. 5 2.75 con respecto al pandeo de Euler. Utilizar un módulo de elasticidad E 5 62 GPa y esfuerzo en el límite de �uencia sY 5 420 MPa para el aluminio.

t

L

Solución

d

d

Debido a la manera en que están construidas las columnas, se debe considerar cada una como una columna empotrada-articulada, por lo que la carga crítica es:

Figura 6.20

2.041p 2 EI p 2 EI p2 EI P cr 5 5 5 ( KL)2 (0.7 L )2 L2 Donde I es el momento de inercia de la sección transversal tubular: I5

p

d 4 2 (d 2 2t )4  64

Sustituyendo el diámetro exterior d 5 100 mm o 0.1 m se tiene: I5 . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

p

(0.1)4 2 (0.1 2 2t )4  64

Donde t se expresa en metros. Como la carga por columna es 120 kN y el factor de seguridad es F. S. 5 2.75, cada columna se debe diseñar para la carga crítica siguiente: Pcr 5 ( F . S .)P 5 2.75(120) 5 330 kN

Sustituyendo este valor en P cr en la ecuación para encontrar la carga crítica y reemplazando I resulta: 2.041p 2 (62 310 9 )  p   330 000 5   (0.1) 4 2 (0.1 2 2t ) 4  2  64  (3.5) Los términos en esta ecuación se expresan en newtons y metros.


305

306


Simpli�cando: 6.59395 310 −5 5 (0.1) 4 2 (0.1 2 2) 4 (0.1 2 2t )4 5 (0.1)4 2 6.59395 310 −5 5 3.40605 310 −5 Calculando la raíz cuarta de la ecuación anterior se obtiene: 0.1 2 2t 5 0.0764 m y t 5

0.1 2 0.0764 0.0236 5 5 0.0118 m 2 2

Por lo que el espesor mínimo requerido de la columna para cumplir con las condiciones especi�cadas es: t mín 5 11.8 mm

Una vez que se conocen el diámetro y el espesor de la columna, se procede a calcular el momento de inercia, el área transversal y el radio de giro. Empleando el espesor mínimo de 11.8 mm se tiene: I5

p

A 5

d 4 2 (d 2 2)4  5 p (100)4 2 (100 2 2(11.8))4  5 3.236 310 6 mm 4 64 64 p

4

2 2 d 2 (d 2 2)  5

p

(100) 4

2

2 (100 2 2(11.8))2  5 3 269.64 mm 2

3.236 310 6 I 5 5 31.46 mm r 5 3 269.64 A


La relación de esbeltez de la columna es L/r 5 3.5/0.03146 5 111.25, lo que indica que es una columna esbelta adecuada para evitar el pandeo. El esfuerzo crítico scr en la columna debe ser menor que el límite proporcional del aluminio sY , para que la fórmula para la carga crítica sea válida. El esfuerzo crítico es: s cr 5

330 000 N P cr 5 5 100.93 MPa A 3 269.64 mm 2

Como se puede ver, es menor que el límite de proporcionalidad; por tanto, el cálculo de la carga crítica empleando la fórmula de Euler es satisfactorio.

E jemplo 6.3 Utilizando las expresiones de Euler, determinar la carga y los esfuerzos críticos de pandeo de una columna de acero de sección redonda de 3 in de diámetro y 15 ft de longitud.


Teoría de columnas

Solución

De tablas se obtiene el valor de E 5 30 3 106 lb/in2 2 6 4 p 2 EI p (30 3 10 ) p(3) /64 P cr 5 2 5 (15 3 12)2 L

1177 269 568 32 400 P cr 5 36 335.48 lb P cr 5

Es importante hacer notar que para obtener la carga admisible, la carga obtenida corresponde a la carga última para la columna, por lo que se debe usar un factor de seguridad. Como práctica adicional se van a determinar las cargas críticas de pandeo en columnas con diferentes tipos de soporte. Articulado-articulado: 2 6 4 p 2 EI p (30 3 10 ) p(3) /64 P cr 5 2 5 (15 3 12)2 L

1177 269 568 32 400 P cr 5 36 335.48 lb P cr 5

Empotrado-articulado


2.04( p2 )(30 310 6 ) p(3)4 /64 p 2 EI 5 P cr 5 (0.7 L )2 (15 3 12)2 2.04(1177 269 568) 32 400 P cr 5 74124.32 lb P cr 5

Empotrado-empotrado: 4p 2 (30 3 106 ) p(3)4 /64 p 2 EI P cr 5 5 (0.5L )2 (15 3 12)2 4(1177 269 568) 32 400 P cr 5 145 341.92 lb P cr 5


307

308


Empotrado-libre: 2 6 4 p 2 EI 0.25( p )(30 3 10 ) p(3) /64  P cr 5 5 (2 L )2 (15 3 12)2

0.25(1177 269 568) 32 400 P cr 5 9 083.87 lb P cr 5

Debido a que la sección es circular, es decir que el pandeo ocurre en cualquier dirección, normalmente I debe tomarse respecto al eje alrededor del cual ocurre el pandeo (el menor I ).El esfuerzo crítico se determina por la ecuación 6.12: P cr 0.25( p 2 )EI s cr 5 5 A AL2 0.25( p 2 )(30 3 10 6 ) p(34 )/64 s cr 5 (p(32 ) / 4)(152 )(12) s cr 5 1285.10 lb/in 2

¿Cómo se diseña una columna? Aunque no existen procedimientos especí�cos para su diseño, lo primero es la elección de la fórmula adecuada para el cálculo de las cargas y los esfuerzos admisibles; a partir de ahí, mediante tanteos se realizan los pasos que a continuación se mencionan, dando por hecho que se conocen longitud, condición de apoyos y cargas aplicadas. 1. Seleccionar las dimensiones de la columna. . d e v r e s e r s t h g i r l l A . a i r t a P l a i r o t i d E o p u r G . 8 1 0 2 © t h g i r y p o C

2. Determinar el esfuerzo de la columna por medio de s 5 P/A. 3. Determinar el esfuerzo admisible mediante el uso de las fórmulas de Euler para cargas

críticas y esfuerzos. 4. Comparar los esfuerzos de los pasos b) y c) bajo las siguientes condiciones: » Si s paso2b . s paso2c , rediseñar utilizando otras dimensiones para la columna. » Si s paso2b V s paso2c , rediseñar para alcanzar una mayor aproximación. 5. Continuar el procedimiento hasta obtener una sección que consideres aceptable.

E jemplo 6.4 Calcular la carga crítica de pandeo para una columna redonda de acero estándar de 2 in de diámetro y 10 ft de longitud, cuyos extremos están articulados. Considérese que E 5 30 3 106 lb/in2.


Teoría de columnas

309

Solución

Para el caso en el que los extremos están articulados, el factor de longitud efectiva es K 5 1. La inercia para una sección circular es I 5 pD 4/64 y en este problema toma el valor de 0.785 in 4. p 2 (30 3 106 )(0.785) P c 5 (10 3 12)2

P c 5 161 49.1 lb

E jemplo 6.5 Una columna de aluminio de longitud L y sección transversal rectangular tiene un extremo empotrado B y soporta una carga centrada en A. Dos placas �jas de bordes redondeados y suaves restringen el desplazamiento del extremo A en uno de los planos verticales de simetría de la columna, pero le permiten el desplazamiento en el otro plano. a) Determinar la relación a/b de los dos lados de la sección transversal, correspondiente al diseño más e�ciente para pandeo. b) Diseñar la sección transversal más e�ciente de la columna, sabiendo que L 5 500 mm, E 5 70 GPa, P 5 20 kN, y que el factor de seguridad debe ser 2.5. Solución


En la �gura 6.21 se observa que se tienen dos posibles planos de pandeo, el xy y el xz , cada uno de los cuales presenta diferente restricción en el extremo superior y, por consiguiente, un valor distinto para el coe�ciente de longitud efectiva k . Al pandearse en el plano xy , las secciones transversales girarían alrededor del eje z , por tanto la inercia por considerar sería en relación a éste; el coe�ciente de longitud efectiva es 0.7, por lo que:

P

z

A

y b

a

I z 5 1/12ba 3 y A 5 ab L

Y dado que: 2

B

I z 5 Ar z

rz2 5 I z / A 5 (1/12ba 3 )/ ab 5 a 2 /12

x

Figura 6.21 r z 5 a /12


Mecánica de materiales (Intro-323).pdf

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