IIT Departamento de Ciencias Físico Matemáticas
CALCULO II Apuntes y Ejercicios-Una Visión Docente Material Didáctico y de Apoyo para el curso de Calculo Integral (Matemáticas II o Calculo II - UACJ)
Mtro. Mtro. Jesús Estrada Cabral Cd. Juárez Chih. Chih. emestre! "ne.- Jun. Del #$%& Apuntes y Ejercicios para Curso
de Caá Caá lculo Integ Integralral- Mtro. Mtro. Jesuá s Estrada Estrada Cabral Cabral/Ene. /Ene. 201 !age 1
PRESENTACION "n la permanente 'sueda de cada *ez más y me+ores recursos para la ense,anza y la apropiacin del sa'er en el área del cálculo cálculo integral se presenta para estudiantes estudiantes y maestros ue lo deseen el siguiente siguiente material de apoyo didáctico particularmente til para los estudiantes de los mltiples grupos de matemáticas II de cálculo II ue semestralmente se programan en el II/ y CU de la UACJ además de en otros programas de la misma misma institucin porue se 0undamenta en el tiempo disponi'le para este curso (1$ a &$ horas clase) a'orda los contenidos y sigue el orden indicado en el programa y carta descripti*a UACJ para estas asignaturas sin em'argo es de0initi*o ue el material podrá ser de gran utilidad para todo estudiante de ingeniería o múltiples programas educativos que también incluyen calculo integral en su currículo.
2os contenidos se presentan en tres unidades ue sal*o peue,as *ariantes corresponden al curso habitual para calculo integral en la mayoría de las instituciones de educación superior 3 "ntre las *ariantes se encontrará una secuencia en la ue se incluyen parcialmente desarrollados los antecedentes 'ásicos para cada tema es tarea del pro0esor pro 0esor determinar la rapidez con la ue a'ordará a' ordará estos aspectos3 "n lo particular pre0iero aunue de manera muy 0luida retomar estos conceptos 'ásicos. En el desarrollo del curso recomiendo recomiendo insistir y demostrar que mediante los problemas y ejercicios ejercicios planteados se generaran los conocimientos teórico-matemáticos y de aplicación que todo ingeniero requerirá durante toda su carrera carrera universitaria, pero pero dada mi experiencia docente, pretenderé más que eso; A medio curso todos mis estudiantes, deberán estar comprobando comprobando que calculo integral es el medio idóneo para desarrollar desarrollar hábitos y habilidades de excelencia para lo proesional, lo laboral y lo personal! Los problemas problemas que se se presenten presenten serán el medio y no necesariamente necesariamente la finalidad finalidad del curso . Invariablemente para cada unidad y para la mayoría de los temas, el inicio es a partir de algún problema de aplicación. "n 're*e tiempo los estudiantes se dan cuenta de ue e0ecti*amente este curso les
será de gran utilidad tanto en lo acad4mico como en lo 0ormati*o y lo personal. Como pro0esor de amplia e5periencia he podido constatar lo educati*amente *alioso ue es el incluir desde el inicio inicio de cada cada tema el 6para u47 , en el procedimiento paso procedimiento paso a paso pas o se s e clari0ican y hasta aparecen con gran sencillez el 6por u47 y el 6cmo7. Una *ez ue capturamos la atencin del estudiante a'ordamos la indispensa'le 0ase de operati*idad o e+ercitaci e+ercitacinn con mltiples mltiples e+emplos e+emplos y e+ercicios e+ercicios per0ectamente per0ectamente graduados graduados y en di0icultad di0icultad creciente so're resolucin resolucin de integrales y pro'lemas pro'lemas de aplicacin aplicacin (8ara los estudiantes estudiantes de este curso resol*er resol*er integrales utilizando 0ormulario de'erá con*ertirse en algo sencillo). "l material se presenta en 0orma compacta para permitir ue en clase maestro y estudiantes interacten y para complementar los e+ercicios se recomienda ue el maestro ela'ore y utilice el aula *irtual para su'ir materiales adicionales ("n mi caso su'o o'ser*aciones y9o materiales complemento in*aria'lemente despu4s de cada clase a'ordando principalmente las dudas o'ser*adas en clase) Cada tema incluye ejemplos resueltos y enseguida su ejercicio propuesto con las soluciones de al menos la mitad de los problemas.
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e solicita al estudiante imprimir y utili!ar
este material en clase para anotar en el mismo los datos m:nimos necesarios para la resolucin del pro'lema y ampliaciones (Dependiendo de las preguntas y ni*el de los estudiantes se harán en clase y *:a red ampliaciones del tema ue no están en este material). "os estudiantes que desean asegurar su dominio conceptual de los temas, utili!an su cuaderno para registrar completo el procedimiento y sobre todo sus valiosas observaciones propias.
"l orden orden en ue ue se prese present ntaa cada cada tema tema de0ine de0ine clara clarame ment ntee la secue secuenc ncia ia didáct didáctic icaa u uee se está está proponiendo el maestro de'erá desarrollarla desar rollarla segn las necesidades del grupo y su propia creati*idad. Cada tema y so're todo las reglas de integracin ue en este curso se utilizan son pre*iamente demostrados esta o'tencin de'e realizarse con la participación de los estudiantes y en la #orma más intuitiva posible haciend haciendoo nue*amen nue*amente te 4n0asi 4n0asiss en ue la esenci esenciaa del curso curso no necesari necesariame amente nte es la resolucin de integrales. 2as matemática matemáticass y particularmen particularmente te el cálculo cálculo integral integral son una *aliosa herramienta herramienta ue permitirá permitirá al estudiante estudiante comprender ue las matemáticas no son solo números sino que se constituyen en una #orma de ser, de vivir, de actuar. "as matemáticas no solo le serán tiles al ingeniero nos son útiles en todo evento y a todas las personas.
y al pro0esionista de toda área de in*estigacin
"l pensamiento ue particularmente con el cálculo se genera y ue este material pretende acentuar nos encauza para ue en cada cuestionamiento sigamos el proceso de!
i) 6;u4 uieren de m:7 ii ) 6;u4 se reuiere para resol*er esto - ue de ello conozco7 iii$ % el proceso ineludible para cada problema de integración, del ejercicio pro#esional e incluso de la vida personal& 'Cómo trans#ormo lo que tengo en lo que se necesita(
"ste proceso mental de tres sencillos sencillos pasos es lo ue con este curso de cálculo integral pretender4 logren acentuar acentuar en su proceso acad4mico cada cada uno de mis estudiantes. estudiantes. Mtro !es"s Estra#a Ca$ra%
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I
Carta Descripti*a o0icial........................................................................................1 %.% "l concepto de integracin. (='tener la distancia recorrida ecuacin de posicin >reas y *olmenes 'ásicos . "+ercicio .* 2a
????????????????? %$
%.% 8ro'lemas % a %&......................................................%@
regla 'ásica y general de las potencias.....................................................%& .* "+ercicio
.*. Integracin
%.# 8ro'lemas % a #......................................................#$
por cam'io de *aria'le............................................................##
.*. "+erc. Integracin por cam'io de *aria'le 8ro's % a %%.............#@ .- 2as
0unciones logar:tmica y e5ponencial.......................................................# .-. Caracter:sticas
de las 0unciones logar:tmica y e5ponencial.......#
SE APLICAR& LA PRIMER EVALUACION PARCIAL .-. "+ercicio
%.@.% 8ro'lemas % a B..................................................#&
.-.* Deri*ada e integral de las 0uncs. 2ogar:tmica y "5ponencial....# .-.- 2a .
e5ponencial en la modelacin del crecimiento.....................@$
2a integral del producto o integracin por partes.........................................@# /nidad II
/.II
! /IE=<=M"/ICA
"+ercicio Inicial y presentacin ..................................................................@
*.
2a Integral Del producto3 Antecedentes 'ásicos de las trigonom4tricas.........
*.*
='tencin de Deri*ada e Integral de trigonom4tricas......................................
*.-
dv Casos "speciales! con+ugados y /rigonom4tricas o'tenidas con ∫ v ........
*. 2as
0unciones /rigonom4tricas In*ersas............................................................
='tencin de las reglas para Deri*acin-Integracin de las /. In*ersas *.0 "l
caso 0actorizacin..........................................................................................
*.1 "l
caso descomposicin - 0actorizacin.............................................................
*.2 Integracin *.+ "l caso
(8or partes) de las trigonom4tricas in*ersas...................................
∫ V dv n
con trigonom4tricas ............................................................
*.3 "l caso eno y Coseno a la potencia Impar.......................................................
*.4
"l caso eno y Coseno a la potencia 8ar........................................................
*. "l caso
Sen n VCos n V =(
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1 2
Sen 2 V )n
.........................................................
de Caálculo Integral- Mtro. Jesuás Estrada Cabral/Ene. 201 !age #
*.* "l caso productos de trigonom4tricas con ángulos di0erentes ........................
5ercera /nidad
U.III
M"/=D= D" I
"+ercicio Inicial y presentacin ........................................................................................................&$ @. Antecedentes de sustitucin trigonom4trica (eglas más usuales)............................................ -.*
"l caso en general de Integracin por sustitucin trigonom4trica..............................................
-.-
Caso 'ásico de integracin por descomposicin en 0actores .....................................................
-.
"l caso en general de integracin por descomposicin en 0actores............................................
-.0 "l caso especial con 0actores repetidos........................................................................................ -.1 "l
caso con 0actores cuadráticos en el denominador...................................................................
-.2 Integracin por
partes ("l caso con repeticin)...........................................................................
-.+ >rea entre dos cur*as -.3 Golmenes
.................................................................................................................
de slidos de re*olucin .......................................................................................B
C ar ta D es cr ip ti 'a I I#enti(ica#ores #e% Pro)ra*a+ C%a'e+
Materia+ CALCULO II
CBE100396
No Cr,#itos+
II U$icación+ Antece#entes
C%a'e
C!"C#"$ %
CBE100&96
Consecuente
C!"C#"$ %%% C!"C#"$ %( EC#!C%$)E* D%FE+E)C*. %
F%*%C!
%%%
C%a'e
CBE100'96 CBE&00& CBE100,96
CBE1&0396
III Antece#entes+ Conoci*ientos- Dominio de l/ebra ri/onometría 2eometría !nalítica Calc4lo Di5erencial a niel de preparatoria. C4rso de !l/ebra Calc4lo % 7C. Di58 de 1er. semestre #!CJ. a$i%i#a#es y #estre.as- $bserador de patrones de 5ormacin n4m:ricos. Actitu#es y 'a%ores- 24sto por el aprendi;a
24sto por la e
IV Propósito+ a8 Formar pro5esionistas capacitados para en el entorno in/enieril identi5icar la ?roblemática @4e se les presente asociarla a procesos sistemáticos 4tili;ar s4s Aabilidades desarrolladas en la inte/racin para plantear aplicar e5icientes prop4estas de sol4cin. b8 !plicar la metodolo/ía de %nte/racin a problemas del entorno in/enieril en /eneral para la inesti/acin cientí5ica. c/ Me
V O$jeti'os+ Co*pro*isos (or*ati'os e in(or*ati'os
Conoci*ientos- !sociar a la deriada con s4 correspondiente inte/ral 7Concepto de antideriada8 +econocer aplicar m:todos de %nte/racin a inte/rales no 54ndamentales. !cent4ar a niel de aplicacin s4s conocimientos de cálc4lo en 4na ariable. a$i%i#a#es y #estre.as- 2enerali;acin de ?atrones n4m:ricos aplicar el al/oritmo de inte/racin a s4 entorno pro5esional laboral 5orma de ser. Actitu#es y 'a%ores- ?ersistencia en la bús@4eda de modelos de sol4cin /eneral a los problemas or/ani;acin disciplina en todas s4s actiidades. Apuntes y Ejercicios para Curso
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Pro$%e*as 0ue pue#e so%ucionar- *4ma de in5initas cantidades en c4al@4ier área del conocimiento problemas de áreas ol4men elocidad aceleracin posicin de partíc4las ob
VI Con#iciones #e operación Espacio- = ípica ?oblacin Deseable$tro- /6C7 89"I9:
Ma@4inaria
M:nimo
?rácticas Má=imo-
30
"aptop yCa;ón
VII Conteni#os y tie*pos esti*a#os #)%D!DE* %8 C$)CE?$* E %)E2+!C%) F#)D!ME)!" %%8 %)E2+!C%$) DE +%2$)$ME+%C!* %%%8 ME$D$* DE %)E2+!C%$) !M?"%!C%$) ! !?"%C!C%$)E*. En todo el c4rso Aabrá aplicaciones de la inte/ral.
otales
eoría
&0 +*. && +*. 1& +*.
&0 +*. && +*. 1& +*.
10 +*.
10 +*.
?ráctica
CONTENIDO TEMATICO UNIDAD I+ INTE1RACION 2UNDAMENTAL 1.1 El concepto de %nte/racin a partir de problemas como obtener la ec4acin de posicin reas olúmenes básicos @4e permitan concl4ir con el teorema 54ndamental del cálc4lo. 1.& "a re/la básica la re/la /eneral de las potencias. El caso especial con cambio de ariable 1.3 El caso especial características 4tilidad de los lo/aritmos
LnVdv
1.' $btencin de la 5rm4la de inte/racin por partes para 1. Deriada e inte/ral de las 54nciones lo/arítmica e=ponencial.
UNIDAD II+ INTE1RACI3N DE LA 2UNCION TRI1ONOMETRICA &.1 $ri/en antecedentes básicos posibilidad de aplicacin de las tri/onom:tricas. &.& $btencin aplicacin de las 10 primeras re/las de %nte/racin tri/onom:trica. &.3 Casos especiales- Con<4/ados reciprocas dG con tri/onom:tricas. &.' $btencin antecedentes básicos de las tri/onom:tricas inersas. &. %nte/ral de e=presiones obtenidas al deriar las tri/onom:tricas inersas dv dv dv
H
&.6 &., &. &.9
H
H
# v
I a
a# v# v # a# Iv# "os casos 5actori;acin descomposicinK en dos partes con las re/las anteriores. %nte/ral de las tri/onom:tricas inersas 7el m:todo de inte/racin por partes8. %nte/racin de tri/onom:tricas a la nLpotencia. El caso con án/4lo di5erente.
UNIDAD III- METODOS DE INTE1RACION 3.1 %nte/racin por s4stit4cin tri/onom:trica a partir de la necesidad de resoler
∫ ArcSecXdx
. $btener las re/las más 4s4ales de raí; de s4ma di5erencia de c4adrados. 3.& El caso en /eneral de inte/racin por s4stit4cin tri/onom:trica. 3.3 El m:todo de inte/racin por descomposicin en 5actores iniciando con las 5ormas-
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de Caálculo Integral- Mtro. Jesuás Estrada Cabral/Ene. 201 !age %
∫ a dv− v 2
∫ v dv−a
2
2
2
3.' "os di5erentes casos la 5orma en 2ral. de inte/racin por descomposicin en 5racciones. 3. El caso en /eneral de %nte/racin por partes. UNIDAD IV- AMPLIACION A LAS APLICACIONES DE LA INTE1RAL '.1 rea entre dos re/iones planas. '.& (olúmenes de slidos en reol4cin.
I4 Criterios #e e'a%uación y acre#itación A/ Instituciona%es para %a acre#itación+ ¾ !creditacin mínima de 0 de las clases pro/ramadas. ¾ Entre/a oport4na de traba
0
?rácticas tareas- 7del e=amen parcial8 ¾
¾ ¾
?articipacin en clase asistencia- 7del e=amen parcial8 E=amen Departamental *emestral-
10 10 &0
4 5i$%io)ra(6a !8 Biblio/ra5ía $bli/atoria- !p4ntes de Calc4lo %nte/ral de Jesús Estrada 7#!CJ8 Calc4lo de 4na ariable>- !4tor James *teNart Editorial Cen/a/e "earnin/ Editores *.!. Calc4lo!4tor D:bora 4/Aes Mc. 2raN ill8
H) Biblio/ra5ía complementaria de apoo 7"arson O ostetler > Pill *AoNQoNsQ otros
4I O$ser'aciones y caracter6sticas re%e'antes #e% curso +ea5irmacin de los c4rsos de Matemáticas anteriores antecedente básico para todas las disciplinas s4bsec4entes.
4II Per(i% #esea$%e #e% #ocente Maestro del área o materia a5ín. 4III Instituciona%i.ación 6cademia de =atemáticas.
Comité >e =atemáticas II
Coord. ! Mtro. Mario . A*ila esp.! Mtro. Jess "strada C.
!e(e #e% Departa*ento+ Mtro Nati'i#a# Nieto S E%a$ora#o por+ MC !es"s Estra#a C
FecAa de elaboracin- Febrero del &00'
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2ec7a #e re'isión+ !ec Mar.o 8 9:;<
de Caálculo Integral- Mtro. Jesuás Estrada Cabral/Ene. 201 !age
?+E*E)!C%$) C!"C#"$ %% 7CBE1003968 %% de la #!CJ )ombre-
Matr.
2po. !4la or.
C$+E"
Mtro- M.C. Jesús Estrada Cabral
/otales
UNIDADES
#$ . I) CONCEPTOS E INTEGRACIÓN FUNDAMENTAL
# . II) INTEGRACION DE F. TRIGONOMETRICAS
#$ . III) METODOS DE INTEGRACION Y AMPLIACION A LAS APLICACIONES
U6=:956". %.% "l Concepto de Integral teorema 0undamental del cálculo o'tener la distancia recorrida ecuacin de posicin el área y el *olumen de 0unciones 'ásicas. %.# Integral de monomios y polinomios alge'raicos (2a regla 'ásica de integracin). %.#.% Integral de potencias alge'raicas (2a regla general de las potencias). Cam'io de *aria'le.
∫ dvv =ln/ v /+c
%.@ "l caso especial 3 Caracter:sticas utilidad deri*acin e integracin de las 0unciones e5ponencial y logar:tmica. : :@:C5/6 "6 )
∫ ln Vdv
%. ='tencin de la 0rmula de integracin por partes para y casos 'ásicos de logar:tmicas. %..% Caracter:sticas utilidad e Integracin de 0uncin e5ponencial aplicacin a pro'lemas de crecimiento.
Biblio/ra5ía
A) H. ='ligatoria !Apuntes de Cálculo Integral de Jess "strada disponi'le en Aula Girtual H) Calculo de! %.- 2arson ostetler3 #.- De'orah ughes Mc. EraK ill) C) H. Complementaria y de apoyo! Calculo de Lill hoKoKsy Apstol 2eithold ? otros similares)
Materia% + Cua#erno >NICO ? ?l4ma & tintas "ápi; re/la CALCULADORA Sera necesario 0ue interact"e en e% Au%a 'irtua%? #espu,s #e ca#a c%ase CRITERIOS DE EVALUACI3N i) Tres exámenes parciales ( 80 % de la evaluación semestral) donde se consideran: a) Examen Teórico (70 a 90 Puntos) b) Asistencia ( 10 a 15 Ps) c) Participaciones en clase Tareas (10 a !0 Ps ii) "n Examen #epartamental ($0 de la evaluación final-Semestral)
!(%*$ C"!*%F%C!D$ "ne.9#$%B
JecGEne. &01,
Epo. __ Indique si ya llevó Calc Integral en prepa.___ y Precálculo IIT __
Se solicita maestro(a) para impartir la materia de CAC!" I#T$%&A A los estudiantes de Ingenier'a_______________________ Para lo cual deerá reunir las siguientes Caracter'sticas*
Anote sus e+pectativas y lo que desea del pro,esor en cuanto a* a) Contenidos ) Criterios de $n-a. $valuación c) "tros aspectos /el curso
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de Caálculo Integral- Mtro. Jesuás Estrada Cabral/Ene. 201 !age &
#)%D!D %- %)E2+!C%$) F#)D!ME)!"
%ntrod4ccin- "o más importante para este inicio de curso es el ue cada uno de los participantes tenga absolutamente claro lo que significa la integral 3
Iniciaremos pues con una serie de pro'lemas ue nos den la pauta para entender el ue para u4 y cmo de la integral. (2a ampliacin de estos y otros pro'lemas ue se *erán en la introduccin de los temas se retomará al 0inal del semestre en la unidad de aplicaciones). A este ni*el una parte de los estudiantes sa'e integrar so're todo las integrales 0undamentales ue parten directamente de cada una de las reglas de deri*acin pero es de0initi*o ue muy pocos alumnos sa'en lo ue realmente signi0ica integrar y menos an el pasar de la 0ase de uso u operati*a de simplemente aplicar una regla de deri*acin - integracin a las 0ases de descu'rimiento y de +usti0icacin. :5/>I695:&
cantidades in0initamente peue,as la o'tencin de la primiti*a-original N o N antideri*ada etc.
Eal4acin-
"n el e5amen terico de esta unidad (De %.% a %.. 8ágs. O a #) se pedirá al alumno ue e5pliue ampliamente algunos di0erentes conceptos so're el signi0icado de integrar o teorema 0undamental del cálculo. De'erá o'tener distancia recorrida la ecuacin de posicin el área y *olmenes 'a+o cur*as alge'raicas 'ásicas incluyendo gra0icacin y casos en *arias secciones. e pedirá ue pueda aplicar la regla 'ásica y la regla general de las potencias además de resol*er integrales (Incluyendo cam'io de *aria'le) so're los di0erentes casos en ue se utilizan estas reglas. De'erá e5plicar ue son y algunas interesantes aplicaciones de las impresionantemente tiles 0unciones logar:tmica y e5ponencial además de la o'tencin y aplicacin de las reglas de deri*acin e integracin correspondientes. $ )<8B. I9ICI6" Desde una altura de $ 0t se lanza hacia arri'a un proyectil cuya *elocidad a los
t segs.
despu4s del lanzamiento pudo ser descrita por 6G(t) P N @#t Q &7 a) 2a *elocidad inicial
V 0
del lanzamiento es7
') 2a altura o posicin inicial S 0 del lanzamiento es7 c) 2a altura má5ima ue alcanza el proyectil es7 d) 2a altura a los %# @ y 1 segundos del lanzamiento es7 ecuerde! 2a *elocidad corresponde a las *ariaciones de la posicin con respecto al tiempo
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erá necesario o'tener
S ( t )=− 16 t + 64 t + 80
e) "n ue tiempo con u4 *elocidad y con u4 aceleracin choca el o'+eto contra el piso7 Anote sus conclusiones sobre velocidad-posición (Derivada-Integral), 1 S ( t )= gt 2 + V o t + S o 2 discuta etc... area !" #$ercicio !%! problemas ! a &, pag !& 5:=6 .& :" C89C:)58 >: I95:?<6CI89
A) "2 8=H2"MA %.%.% D" 2A DI/A
d MAX [ 0,2 ]=( 60 )( 2 )=120 m
d Min[ 0,2 ]=( 10 )( 2 )=20 m
/AH2A #! egistro por minuto hasta ue el pro0r. 2lega a la entrada del II/! t $ % # @ 1 & B *(t) %$ @B.1 &$ BB.1 O$ OB.1 %$$ OB.1
O$
O BB.1
%$ &$
*. Calcule la distancia promedio caminada por el pro#esor hasta llegar a la entrada d el II5(& d Min[ 0,1]=(10 )( 1 )=10 m d MAX [ 0,1 ]=( 37.5 )( 1 )=37.5 m
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ol. 8romedio B&#.1 m3
discuta con sus compa,eros como podr:amos hacerle para me+orar el cálculo ue estamos haciendo de la distancia recorrida.
-. >espués de resolver el prob. ..* de la dist.
8=H2"MA %.%.# D" DI/A
#$ R d R #
@.- "n la grá0ica a ue corresponden las distancias má5imas m:nimas y el promedio (#m) o'tenido7
De las conclusiones o'tenidas gra0iue y termine el e+emplo @ de la pág. anterior. B$ )<8B":=6 ?:9:<65
0
aa D
b
x
x
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F ueremos sa'er el área entre la cur*a y el e+e T desde el punto aV hasta 'V3 i di*idimos la seccin entre a y ' en una muy grande cantidad de rectángulos de tal manera ue el ancho del mismo sea tan peue,o (8ara cu'rir el total de área 'a+o la cur*a) como un in0init4simo di0erencial d5 podemos calcular el área de uno de ellos con la 0rmula 'ase del rectángulo A = b h donde b =dx y la altura *aria'le está dada por los di0erentes *alores de y = f ( x ) ue corresponderá a la ecuacin dada u o'tenida. De tal manera ue A = ydx P 0(5) d53 ? si sumamos todas estas áreas! n
n
A = ∑ y dx ∑ = = i 1
i
i 1
i
∫
A =
b a
b
b
∫
y dx= f ( x )dx = F ( x )¿= F ( b )− F ( a ) a
a e tiene . /eorema @undamental del Cálculo directamente asociado a los conceptos!
='tendremos el llamado C=
(esol*er por al menos dos 0ormas aritm4ticas - geom4tricas y utilizando el teorema o'tenido) ol ')!
2
Calcular el área limitada por la cur*a y=3 x el e+e de las a'scisas y las rectas x =−1 , x = 2 olucin! Era0icando la 0uncin (di'u+e) se o'ser*a la necesidad de utilizar el /SC Usándolo tendremos :jemplo *.
∫
2
[ ]
3 2
2
A = − 1 3 x dx=´ ( x ) − 1 3
3
A =( 2 ) −(−1 ) = A = 9 u :jem. -. Calcular el área limitada por la cur*a y
.
= x3 +1 y el e+e horizontal en a) X-%#Y 3
') X-##Y
"la'orar un 'osue+o de la 0uncin 2
∫−
A =
a) Usando
3 ( +1 ) dx x 1
( ) =( )−(
x 4 A = + x 4
2
−1
( )
A =( 6 ) - −
') 8ara X-##Y Descomponer en secciones para o'tener
Apuntes y Ejercicios para Curso
24 + 2 4
3 4
=
( -1 )4 4
+(−1 )
)
27 2 u 4
19 2 u 2
A =
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2
C) VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION :jem. & 6l girar o revolucionar la sección plana de por e+emplo @a) anterior se obtendrá uno de los llamados sólidos de revolución, el área de cada rectángulo gira y se trans0orma en peue,as e'anadasV b
∫
2
V = Π a [ f ( x )] dx
2
cil:ndricas de *olumen V = Πr h por lo ue la e5presin de0ine al *olumen de los slidos de re*olucin. Apliue la integral para calcular el *olumen de la sección plana de el e+emplo @a)
405 ΠU ∫− ( x +1) dx =14
V = Π
2
3
2
3
P# %@9% "+em. 0! Demuestre ue el *olumen de un cono de radio r y altura h es la tercera parte del cilindro circular ol.
recto de iguales dimensiones!
1
1 3
V cono= Πr 2 h
Jec. "ne.9 #$%B 8ro'lemas % a %& páginas %@ a %1 9856& /odos los e+ercicios de'erán ser resueltos en 0orma desarrollada en su cuaderno3 8ara identi0icarlo anote 0echa nmero de e+ercicio y página del material en ue se encuentra. 8repare su cuaderno para la materia incluyendo en el los datos de la presentacin Geri0iue nue*amente y9o termine los e+emplos y e+ercicios de este importante primer tema. :jercicio .
%.-
Desde una altura de &$ 0t se lanza hacia arri'a un proyectil con motor cuya *elocidad t segundos despu4s del lanzamiento pudo ser descrita por G(t) P # N%&t ='tener ! a) Altura Má5ima ue alcanza ( ol. .1 0t)
') "n ue tiempo y con u4 *elocidad choca el proyectil contra el suelo 8ara el tiempo de choue resol*er!
#.-
−4 ( 2 t 2−7 t −15 )= 0
Desde lo alto de un acantilado a $$ 0t de altura cae una piedra si sa'emos ue la *elocidad de todo o'+eto en ca:da li're para t en segs es V ( t )=−32 t ! Determine la posicin o altura de la piedra en $%#@ y 1 seg.3 "nseguida compare como *aria por seg. la posicin (Gel) y por ultimo compare las *ariaciones de la *elocidad (8ara compro'ar Aceleracin P g P @# 0t9seg#) . olucin! (t) P ($) P (%) P (#) P
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(@)P () P (1) P @.-
Desde una altura de #1& 0t se lanza hacia arri'a un proyectil cuya altura má5ima se dio en (@ seg $$ 0t)
sa'iendo ue la *elocidad t segundos despu4s del lanzamiento pudo ser descrita por G(t) P -@#t Q a) 2a *elocidad inicial Go con la ue 0ue lanzado el proyectil es7
V 0
='tener !
') 2a ecuacin de posicin ue descri'e todos los puntos del mo*imiento del proyectil es7
c) "l tiempo la *elocidad y la aceleracin con las ue el proyectil choc contra el suelo 0ueron! esol*er !
−16 ( t 2 −6 t −16 )=0 para t P 6 seg
.-
e*ise la o'tencin del /SC anotando el nom're y signi0icado de c9u de sus componentes
1.-
"5pliue ampliamente (/res conceptos) ue signi0icará para usted resol*er una integral. Al resol*er una integral podemos pensar ue estamos o'teniendo!
a) ') c) &.-
Calcular el área limitada por y =2 x −1 y el e+e horizontal en el inter*alo desde x =−2 asta 5 P@ (esol*er por al menos dos 0ormas geom4tricas y utilizando el teorema o'tenido)
='ser*e ue grá0icamente el área se 0orma con dos triángulos de iguales dimensiones
ol
B.-
2
Calcular el área limitada por la cur*a y =3 x −2 x
A =
25 2 U 2
y el e+e de las a'scisas.
4 2 U 27 Cortes 5(@5 N #) P $
A =
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ol
Calcular el área limitada por y=3 x
.-
2
-#5 y el e+e de las a'scisas en el inter*alo
[ ] −1,
2 3
ol!
O.-
2
y =2 X −2 X − 4 y el e+e T en el inter*alo de X-# #Y es
Comprue'e ue el área limitada por
A =
38 3
58 2 U 27
U 2
−1
2
∫ ( 2 x −2 x − 4 )dx −∫ 2
Cortes! #(5 Q %)(5 N #)P $
%$.-
Di'u+e la grá0ica del 8ro'. @ del %.%.% (8ág. %$) y Utilizando 2
= AX + "X + C Comprue'e que la e5presin
AP
−2
−1
( X − h )2 =4 P ( − ! )
y9o
5 = 10 + 30 X − X 2 2
de0ine al pro' y con ella demuestre ue la distancia e5acta caminada por el pro0esor hasta llegar a la entrada del II/ 0ue de B&&.&&&m y ue lleg al pizarrn de su clase recorriendo +.1- m en un tiempo de *.-* min.
%%.- 8=H III D" 2A DI/. "C=IDA! 2a ta'la muestra las *elocidades ("n metros por minuto) ue un agente de *ialidad le registr al caminar de un pro0esor hasta su llegada a la entrada del II/. t $ % # @ 1 & B O 8 5 5 2 *(t) B1 %$$ OB.### . B1 11.111 88 30 55 97 9
9
9
9
i$
Bosqueje la grá#ica y pruebe 25 v ( t )= 100− ( t − 5 )2 9 que está de#inida por
ii$
'>esde qué dist. Aenía caminando el pro#r hasta llegar al aula de clase DvDt$ F 4$(& 2+.*1m
ecuerde! 2a dist. ecorrida corresponde al área 'a+o la cur*a de la *elocidad.
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alla el área comprendida entre y P 5@ N &5# Q 5 y el e+e 5.
%#.-
%@.- Comprue'e ue el *olumen generado cuando el área limitada por
2
"l *ol. generado cuando el área limitada por y =−2 X + 4 X =
olucin G
2
y = 4 − X
2
y el e+e T gira alrededor
512 $U 3 15
del e+e T es %.-
= 8#
olucin A
64 15
Π#
y el e+e T gira alrededor e+e T es!
3
%1.-
Calcule el *olumen ue genera el área del pro'lema al re*olucionarse alrededor del e+e T
%&.-
Demuestre ue el *olumen de un cono truncado de dimensiones r P radio menor P adio mayor y
altura h es
1 V = Πh [ % 2 + %r + r 2 ] 3 3 ;ue corresponde a la compro'acin de el e+em 1 pág. %#
.* "a e "as )otencias o <:?"6 @/9>6=:956" >: I95:?<6CI89 6$ 8B5:9CI89& Utilizando el concepto de primiti*a o antideri*ada pudimos en %.% resol*er &
∫ 2 x dx = x /am'i4n
∫ 3 x
2
2
dx = x 3
8orue porue
='teniendo casos consecuti*os como
∫ x dx=
∫ x dx =
∫ x dx =
2
3
Eeneralizamos para o'tener! 2a llamada
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porque
∫ x
583
dx=
'#LA A*I+A D# I#'A+I
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∫
n+ 1
x &x dx =& x dx = & +c n +1
∫
n
n
∫ dvv = 'n v + c(
Con
n≠−1 )ara este caso
1
)#es d ( 'n v )= dv v
ecuerde ue C la llamada constante de integración de'e aparecer en todas las integrales inde0inidas porue en aplicaciones (Como en los pro'lemas resueltos) representa el *alor o costo inicial. B$ :jemplo =onomios simples& /tilice la regla básica para resolver&
√ x 3
∫−
2 x
8
dx = − 4
1
∫ 2
8 /3
1 x dx =− 4 2 x
−
∫ X
−
4 3
%.-
dx =−
1 2
X
−
1 3
1 3
+ C =
3 2
√ X 3
+ C
C$ :jemplos polinomios simples&
∫ ( 32 x − √ x + 1 x ) dx = 2
#.-
∫
@.-
2
5 x
x
= 5 x 2 − 2
.-
∫
−2 √ x
4
∫ √ x x dx=
2
x dx = 5 dx − 2 x
∫
√ x + c
5 at ( 2 √ a −m √ t )
2
2
a √ t
dt
P 2
8a
1.-
∫
t [ √ 4 m−2 mb √ 25 t ] 4
√ t −203 √ a mt +107m √ t + c 5
*
7
2
mb√ t
dt =
>$ Casos especiales para la obtención de la <. ?ral& 6tención con el cambio de J por la eEpresión más amplia a la que llamaremos A
∫ ( 4 x−1 ) dx = 2
"+em. "n ='ser*e lo ue pasa al resol*er desarrollando el 'inomio y compare haci4ndolo directamente Apuntes y Ejercicios para Curso
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"ste cam'io o'liga a una ampliacin de la regla 'ásica 8or una e5presin más amplia y su complemento!
∫
∫ dvv = Ln / v /+ c
∫
n+1
x &x dx =& x dx = & +c n +1 n
∫
n
n+ 1
v + c con n≠−1 &v dv = & ( n+ 1 ) n
2lamada 'egla general de las potencias
o 'egla .undamental de Integración
Donde G no es solo un cam'io de letra sino ue de'erá interpretarse como una eEpresión amplia ue :JI?: >:6.
)ota- !l 5inal de cada inte/ral deberá estar s4 deriada7Es como el a/4a necesaria para cocinar8. Cuando necesite resol*er una integral por 0a*or recuerde ue de'e o'ser*arla y decidir a cuál de sus reglas de integracin se parece (asta ahora solo tiene dos) . u tra'a+o consiste en trans0ormar la integral pedida a la 0orma e5acta ue dice su regla de integracin. :$ =6 :7:=)"8 C89 )<8C:>I=I:958&
% KL878 C89 "6 >:6LL #/#01L* D# +A** + DI2I*I"
( 2 amx )6 − 9 m 2 x 3− mx 2
dx = ∫ 2 mx * Caso%.De'e o'ser*ar de inmediato ue es una di*isin y ue se o'tendrán las tres integrales siguientes! 6 2 3 2 9 m x − mx 9m 1 dx dx =32 a6 m 5 ∫ x 3 dx − x 0 dx − ∫ ∫ ( 2 amx ) −2 mx ∫ * 2 2 x P ..
−3 ∫
4
2 x − 10 x dx
= 5 4 − x Caso#."n este tipo de integral lo primero ue les recomiendo es identi0icar al denominador como una sola componente y aunue pueda 0actorizarsele un #5 lo me+or es ponerle par4ntesis al denominador y como el par4ntesis ueda a la uno entonces pensarla para la 0orma d*9* es decir al denominador lo pensamos como una sola cosa y a la % potencia. i deri*a al denominador y o'ser*a encontrará ue al denominador puede multiplicarlo para o'tener! 4 2 ( 2 x −10 x ) 2 x − 10 x 4 1 3 3 dx dx Ln / 2 x 2 −4 x5 /+ C −3 ∫ 2 = − ( ) =− ∫ 5 2 5 2 2 2 x −4 x ( 2 x − 4 x )
8a
2 x
x
2
3
∫ ( x−2) dx=
sacar! "n este caso la cu'ica del numerador es impresionantemente mayor ue el denominador y la regla d*9* es e5clusi*a para 0racciones propias es decir ue el grado de num. sea menor ue el del denominador. Apuntes y Ejercicios para Curso
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2o nico ue nos ueda es di*idir la cu'ica entre la lineal (Edo. @ entre grado % de'e dar grado #) Al hacer la di*isin poniendo la cu'ica dentro de la galera (casita) e0ecti*amente tendremos un cociente (resultado) cuadrático y un residuo ("l an ueda di*idido entre 5 N # ) 3
8a Caso -&
x
3
∫ ( x− 2) dx= 8 a ∫ [ x +2 x +4 + ( x−8 2) ] dx 3
2
donde separar en integrales y resol*er ya es
0ácil.
∫ 52 x−+5 xm dx=
=tra *ez no uiera sacar el # cancelar el 15 o más terri'le an sacar (#-1). 8onga par4ntesis al denominador y o'ser*e ue num. y denom. on am'os de grado % es decir otra *ez no es una 0raccin propia y de'eremos di*idir. Apro*echando la similitud si lo desea puede di*idir sin usar la galera usando la propiedad de sumar cero o multiplicar por uno de la sig. Manera! Caso &
2 −m 1 2+ m −5 dx =−∫ [ 1−( 2 + m )(− )∫ dx =− x + Ln / 2−5 x /+ c ∫ =−∫ −( 25− x5− xm) dx =−∫ (2 −(52 x−)− 5 x ) 5 5 ( 2−5 x )
9ota! 8or supuesto ue hay otras 0ormas de resol*er y no son necesarios tantos pasos.
Caso 0&
∫
2
−6 x + 1 dx = ( 3−2 x )2 2o primero es notar ue este no es caso d*9* ya ue el denominador está a la
2 x
# de hecho es una impropia de grado # entre grado #. e recomienda desarrollar el 'inomio y hacer la di*isin en la galera o completando ah: mismo. 2
−6 x )+ 2 dx 9−12 x + 4 x 2 ( 3−2 x )2
∫
2 x 2 −6 x + 1
1 dx = 2
∫
2 ( 2 x
puedo agregársela al siete as: ue regresamos el par4ntesis a su 0orma 'inomial. 1 2
∫ [ 1− ( 9−12 x7 + 4 x ) ] dx= 12 ∫ 1dx − 12 ( 7 )(−2 )∫ (3 −2 x )− (−2 ) dx 2
2
='ser*e ue el uno es una integral independiente el 'inomio al cuadrado se tu*o ue su'ir y la deri*ada -# de adentro se tu*o ue agregar. Ahora si estamos listos la e5presin original se trans0orm a la 0orma de nuestra regla de integracin.
∫
2
−6 x + 1 dx = 2 ( 3−2 x )
2 x
1 2
∫
1 1 dx − ( 7 )(−2 ) 2
∫ ( 3−2 x )
−2
−1
( 3−2 x ) 1 (− 2 ) dx = x + 7 [ 2 −1
1 2
]+ C = x −
7 +C 3 −2 x
5 dx
"+em. &.-
∫ ( 4 x−1 ) =
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dv
⏞ = = ∫ 4 ( 4 x −1 )
⏟
5
4 dx
5 4
'n ( 4 x −1 )+ c
v
B.-
∫ ( xx −dx4 ) = 2
=
.-
1 2
1 = ∫ x2 xdx −4 2
∫ ( 55nxn −dx3 ) = 2
= ∫ ( 5 nx −3 )− 2 5 n dx =
O.-
'n ( x 2− 4 )+ c
2
( 5 nx −3 )− 1 1 +c =− +c −1 ( 5 nx −3 )
∫ √ 2−−63 x dx = 1
−1
− 6 = ∫ ( 2−3 x ) −3
2
(−
3 dx
)=
2
( 2−3 x ) 1
2
+ c=
4
√ 2 −3 x + c
2
∫ ( x +2 x +1 ) ( 3 x+3 ) dx= 2
%$.-
2
1 2
= 3 ∫ ( x +1 )5 dx = ( x +1 )6+ c
∫ ( x + 2 x +1 ) ( 3 x +3 ) dx = 32 ∫ ( x + 2 x +1 ) ( 2 x +2 )dx = 12 ( x +2 x +1 ) + c = 12 ( x + 1 ) + c 2
= 'ien!
2
2
2
2
3
6
Casos con división& Compruebe cada paso del procedimiento y sobre todo asegúrese de que entiende el que, para que y como se hi!o.
%%.-
∫ 22 x x−+31 dx= =∫
%#.-
∫
2 x +3 −3− 1 dx = 2 x + 3
∫ 22 x x ++33 dx
− 2∫
2 dx = x −2 'n ( 2 x +3 )+ c 2 x +3
2
x dx = x −3
= ∫ ( x + 3 +
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9
x − 3
) dx =
x
2
2
+ 3 x + 9 'n ( x − 3 )+ c
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2
X −3 x
∫ ( 3 −2 X ) dx = 2
%@-
∫=
1 4
2
4 ( X −3 X )+ 9 −9
∫
dx=
2
9 −12 X + 4 X
1 4
2
∫ 9−12− x12+ x4+ x9 dx − 4 (−9 2 ) ∫( 3 −2 x )− (− 2) dx= 4 x
2
2
:7:
correcta pulcramente y con todos sus pasos cada integral siguiente! D)roblemas a * páginas *4 a **$
∫ m x 2
%.-
3
dx =
2
= m x 4 + c 4
+
4 a#
#.-
∫ 2a
@.-
∫− 34 xa dx=
=
d# =
2
5
a 3 x
4
+c 5
∫
.-
7 x √ − dx=
4
= ∫ a −2 adx 3 a x 2
1.=−
2 3a
'n / 1 −3 ax /+ c =−
ln/ a−3 a
2
x /+ c
∫ ( 25 x + 23 x +3 ) dx = 6
&.-
4
5
∫ ( 3 √ t −
B.-
= 2 √ t 3 −
∫
.-
5 4
2
−2
t +
2
2
t − 3
6
√ t
3
2
2
%$.-
√ t
) dt =
+c 2
3
− x )
= 2 √ x 3 ( 3 x −1 ) + c ( 2 √ # − # )2
∫
t
4 x − 9 m x + 3 mx = 2 mx *
∫ (5 x
O.-
=
2 3a
b √ #
( √ ) 3
x
dx=
d# =
8 2 2 #3 − # 2 + √ #5 + c √ b 3b 5b
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∫ −25−mx3 xdx = 2
%%.-
5m
=
6
Ln / 2 − 3 x 2 /+ c
∫ ( 2 s +5 )ds = √ 2
3 s +5 s
%#.-
∫ (3t −t −2 )6dt t = 2
%@.1
= Ln / t /+ c
8ara
3
t ≠2
2
5 x dx
∫ x−4 =
%.-
= 5 ∫ ( x + 4 + 16 ) dx = x − 4 2 2 X −6 x + 5
∫−
%1.1
1
2
4 ( 3 −2 x )
=− x −
%B.-
∫
%.3
20
%O.-
d#
=
1
( 5 −4 # 2 )
∫
−
+c
3#
∫ %&.-
dx =
( 3 −2 X )2
√
mdv 4−
3v 2
=
t dt
√ 6− 5 t 3
2
2
=
√ ( 6−5 t ) +c 3
2 2
∫ 23− x+3 x1 dx=
=− x − Ln / 2−3 x / + c
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2
x + x
∫ ( 2 x+ 1) dx = 2
#$.=
1 4
x +
1 8 ( 2 x + 1 )
2
+ 4 x + 1 dx = 2 ( 4 x + 1 )
8 x
∫
#%.-
+c
∫ √ 9 x − 4 x dx= 4
##.=
1
2
√ ( 9 x − 4 ) +c 27 2
3
3
∫ #@.-
√
1 + x 3
x
−
1 2
dx =
2
5
6#
∫ m# −1 d# = *
#.=
2
m
# 3 +
2
m
2
Ln / m# * − 1 /+ c
!%3%! +A* #*1#+IAL 1A'A '#LA D# LA* 1#+IA*" I#'A+I 1' +A0I D# 2A'IAL# 5
3 x
2
∫ √ 3 x +1 dx
∫ V dv n
1 A) 8=H2"MA! esol*er
2
*O. )aso& >espejar J& 1 dx = ( 2 U ) d# 3
de
2
U = 3 x + 1
U − 1 x = 3
tenemos
y
5
@inalmente tendremos&
∫ 1
U −1 2 ) 4 3( 2 3 x 3 ( 2 Ud# )= 2 dx = U 3 9 √ 3 x +1 2
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∫
4
∫ ( U −1 ) d#= 2
2
2
de Caálculo Integral- Mtro. Jesuás Estrada Cabral/Ene. 201 !age 2"
4892
∫
dx 3
√ x + 3 √ x
ZZ
=
1
64
2
2
5
∫ √ x2+dx3 √ x =2∫ U 6+U 3 U d# =12∫ 1
3
2
1
3
1
1 U ( U ) 1 1 1 27 ] d# d#=12 [ U 2 − U + − 2 3 9 27 ( + ) U 3 1 U ( 1+ 3 U ) 1 3 U ≠ 0,−1/ 3 2
3
2
∫
4 U = [ U 3 − 3 2
2
U 1 3 9
+ − Ln / 3 U + 1 /]¿=?? 1
(/ermine)
:7:
∫ 4(
. Compruebe que
1
x
√ 2 x −1 )
dx =
4 3
4
∫ 5 x √ 4− x dx = 2
*.
0
2048
ol
21
∫ x [ √( x +1 ) ] dx= 5
-.
2
5 5 ( 7 x − 5 )[ √ ( x + 1 )7 ]+ c 84
ol
∫ x [ √ x −4 ] dx= 3
.
ol
3 3 ( x + 3 )[ √ ( x − 4 )4 ]+ c 7
64
0. Compruebe que
∫ x −dx√ x =−2 Ln 7 +c 4
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∫ 1.
6 dx 3
√ 4 x +√ 8 x
=
2
2. Compruebe que
∫ −15 ( x −1 ) √ 2− x dx =112 −2
4
+. Compruebe que
∫ 3.
dx 3
√ x + √ x
∫ √ #2+ 5 d# ≃0.9169 1
= 3
ol
6
6
2 √ x − 3 √ x + 6 √ x − 6 Ln / √ x + 1 /+ c
5
∫ 5 x [ √ x +4 dx= 3
4.
0
∫ .
x3
√ x + 4 3
2
dx =
ol
3 3 2 ( x −6 )[ √ ( x 2 + 4 )2 ]+ c 10
."as @unciones "ogarítmica y :Eponencial .-. 8btención y Características de las @unciones "ogarítmica y :Eponencial 6$ 695:C:>:95:& 8btener&
1 Lim ( 1+ )n n n →∞ F
1
Lim ( 1+ n ) n ≃¿ n →0
¿
B$ )<8B. ?:9:<65
2apsos cortos con rein*ersin sucesi*a de capital e intereses si Mario tiene [ %$$ $$$ e in*ierte al %$ \ anual pero con rein*ersin sucesi*a. Cuánto tendrá al ca'o de un a,o si la in*ersin 0uera! a) Anual C P 8 Q r8 P 8(% Q r) P %%$$$$
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') emestral
P
c) /rimestral
P %%$@%.#
d) Mensual
P
e) Diaria
P %%$1%1.11B# r
r C n= P [ Lim ( 1 + )n ] r = n n→ ∞
0) Continua.
P %%$1%B.$O%
"a #órmula para el crecimiento discreto es& "a #órmula para el crecimiento continuo es& C n= P'
rt
t a;os
"l pro'lema en s: no es importante lo ue *ale la pena destacar es la 0orma tan naturalmente sencilla en la ue puede o'tenerse un modelo matemático con tan *ariadas aplicaciones. 9ota&
:7:=)"8 :*&
Lim ( 1+ n →∞
econozca el l:mite e
5 Lim ( 1+ )n= ' 5 n al e*aluar! n→∞
3 5n ) ≃1808.04 2n 3
Comprue'e ue!
Lim ( 1+ 2 n )
4n
n →0
≈4.48
5
2n Lim ( 1+ ) 3 n = 3 n →0
C$
e llama as: a las e5presiones en las ue una constante o nmero se
@/9CI89 :J)89:9CI6"&
f ( x )=a
ele*a a una potencia *aria'le es decir :jemplo! Del alge'ráico ha'itual
5
X
v ( x )
3 a P constante. analgicamente podr:amos tener la e5ponencial
4 √ 5 x + 3 3 ó
()
x
5
x
f ( x )=' =tras e5ponenciales son! 2 /am'i4n llamada 0uncin crecimiento. 2as e5ponenciales son de gran importancia para modelar y resol*er pro'lemas de crecimiento SenX
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)<8B :- D2a necesidad del logaritmo$& E) )E'A+# +E /E$0A.$ 1(A$2).$ 34567-45869: +ono 4666 lbs! Esterlinas a los habitantes de /oston, si los aceptan, estos deberán ser administrados por los vecinos más distinguidos quienes los concederán en préstamo al < anual a los artesanos más jóvenes! Al cabo de 466 a=os esta suma se elevara a 4>4666, deseo entonces que 466 666 sean empleados en la construcción de ediicios p?blicos y el resto concedido en crédito los sigs! 466 a=os! Al cabo de ese tiempo la suma habrá llegado a @ 674 666 de los cuales 4666 666 estarán a disposición de los vecinos de /oston y > 666 666 al municipio de assachusetts,!! en lo sucesivo no me atrevo a extenderme con mas
disposiciones! "ompruebe los cálculos ols:
C 100 ≃¿
4>4,64!B5C;
¿
@,657,>C!88>
%roblema E@: %oririo trata de saber cuánto tendrDa si los 466 dlls que le regalo su abuelo al nacer, en lugar de ser gastados por su %adre hubieran sido depositados en inversión continua en caja de ahorro! in embargo el resultado es sólo C66 dlls! i sabemos que %oririo tiene B6 a=os y los cálculos son correctos Fue < concedDa en aquel entonces la caja de ahorroG
rt
rF 4.-3P olución: +e C = P' se tiene >$ "6 @/9CI89 "8?6
cierta 'ase (') para o'tener un cierto nmero (<)?"n s:m'olos? L= logb ,
o su eui*alente
X
L e5ponencial! b = , 5ambién de#inimos
Ln / x /¿
∫ dt t
>onde Lnx ≻0 para E Q "nRER S4 para 4 S E S 9ote que los logaritmos de números positivos en D4, $ son negativos, pero no se de#ine el "ogaritmo para números negativos. 1
Dado ue los logaritmos son e5ponentes entonces las propiedades de los e5ponentes son tam'i4n propiedades de los logaritmos es decir! D8btener y comprobar con ejemplos$ :$
)<8)I:>6>:&
.
Logb A" = Log b A + Lobb "
*.
Log ! ! =
Logb
1
ya que ! = !
A = Logb A − Lobb " " Log ! 1 =
[( )] -. Logb A
"
0
4 ya que !
=1
="Log b A
. )ropiedad para 5<69@8<=6< "8?6: /96 B6: 6 85<6
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Log b , =
log ! , log ! b
⇒
L
i L= Logb , ⇒ b = ,
>emostración&
al despejar "
Ln 25600 Log 25600 = ≈ 7.321928095 25600 Log Ln Log 4 4 :jem& 5rans#orme a base natural y decimal F 7 .321928095 Log. 216 F( =25600 "o cual signi#ica que 4 :j * @$ B6: C89A:9CI896":& :l D"n$ "og 9atural, base e o de 9appier y el D"og$, "ogaritmo decimal, base 4 o de Briggs.
=+alá pueda perci'irse como con logaritmos un nmero enorme puede trans0ormarse a un *alor peue,o3 Además de ue con las propiedades operaciones complicadas se trans0orman en 'ásicas. 9ota&
Comprue'e ue si
:jerc .-.
:ntonces J F *2RD'($
)roblemas a 2 páginas
*1 a *+
%.- "5pliue ampliamente ue es el 2ogaritmo su asociada e5ponencial y so're todo sus posi'les aplicaciones. #.- /rans0.. de la 0orma logar:tmica a la 0. e5ponencial o *ice*. F o'tenga el *alor de la componente a$
Log/. 4 = L &
c$
1 Log-0 ( )= L 7 3 Log b 8 = ⇒ 2
e$
L
2 L
1
( 16 ) =( 4 ) =4 oL= 2 L
7
−1
=7 ( L=
3 2
R*
b$ i
1 =3−3 27
⇒
1 Log - , = ⇒ 2 d$ 5 1 Log b = ⇒ 3 2 #$
R*
3
b = 8 =( 4 ) 2 ( bF
7
-. i$ i
ln@ P %.% y lnB P %.O1 ⇒
Ln = 3
"n2ln-F4.+0
3
Ln √ 21=
DR-$D"n2G"n-$F.4
10
iii$
i ln1 P %.&$O y ln P #.$BO ⇒ Ln
iv$
5 Ln 8
=
√= 4
8 5
v$ Compruebe trans0ormando a 'ase %$ y 'ase e!
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Log. 216= -
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. /tili!ando propiedades& 8btener J en& i$
2 Log b X = Log b 27 + 2 Log b 2− Log b 3 3
ii$
3 Logb X = Log b 625−3 Logb 3 − Logb 4 5
F"o
gb
( 9 )( 4 ) 3
= Log b
*
"uego J F(
2 Lim ( 1+ )n=1 n 0. :valúe& i$ n →∞
Lim ( 1+ n →∞
ii$
5 4 n 10 ) =e 2n
3
iii$
1
12
Lim ( 1+
Lim ( 1+ 4 n ) 5 n =e 5
iv$
n →0
n →0
2n n 5
) ≈¿
¿
A 0inales del TT la po'lacin mundial lleg a los &$$$ millones de ha'itantes si la tasa promedio mundial de crec. 8o'lacional se estimo en %.@\. a) 2a po'lacin mundial para #$#$ será de7 ol BB%.1 M 1.
)roblema .
b) "l tiempo en el ue se duplicará es de7
ol
1@.@# A,os
<=/A! Crecimiento po'lacional reuiere Modelo 2og:stico en el ue se agrega como *aria'le la po'lacin e5istente. /am'i4n *ar:a el *alor de la constante3 Actualmente está entre %.1 y #. 1 c$ i en lugar de e se estima ue la constante actual es %.B1. Calcule la actualizacin de & a) y & ') & a) ol [email protected]$ M
& ') 67
Un gran+ero inicia un criadero con #1 cone+os ("ntre hem'ras y machos) y registra mensualmente la produccin como se muestra en la sig. /a'la! t( meses) $ % # @ 1 C #1 BB %@& #@O #% 2. )rob *
a) Use los datos de la ta'la para determinar considerando crecimiento e5ponencial continuo e una 0rmula para calcular la cantidad C de cone+os en el tiempo t (en meses). ') 6Cuál es el tiempo apro5imado de duplicacin para esta po'lacin de cone+os7 (Apro5 %.##) Apuntes y Ejercicios para Curso
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c) Apliue su ecuacin para predecir cuándo esa po'lacin de cone+os llega a %$$$.
rt r oluciones! De C = Pe tenemos 44 = 25 e
c$
de donde r F 4.010--+43 a$ C =25 e t F D"n4$RD4.010--+43$ F1.0*0- meses
0.565313809 t
.-.* >:6 : I95:?<6" C89 @/9CI89: "8?6:95:& i F P 0(5) entonces dx h → 0
1 d ( LnX )= Lne x B$ )roblemas& /tilice la de0. Anterior para pro'ar ue dx amplíe para obtener 1 dv = Ln / v /+ c d ( LnV )= dv v v y su asociada integral
∫
)ro'ar
)rob *.
ue
1 d ( Loga V )= Log a e⋅dv dx v
:7:erivar&
. % F
3 Ln ( 5 X +4 )
2 6
*. % F
5 Ln ( 7 −2 X )
Apliue props. De logs.
5
-. % F 2 aLn √ ( 2 x =
ol
18 ax 5 x
0. % F =−
3
−4 )3
2
4
. % F Log * ( 5 X −8 )
2
3
− 10
2
5
Log2 ( 9 −16 X ) 160 x
( 9 − 16 x 2 )
Log 2 e
ol
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&.- De acuerdo con la e5perimentacin en la'oratorio un culti*o de ciertas 'acterias creceV segn la 1.25
f ( t )=
1 + 0.25 e− 0. 4 t donde 0(t) es el peso total en miligramos a las t horas o'tener! e5presin a) 8eso inicial del culti*o
') 8eso a las i) % h
ii) 1 h
y
iii) $ h
c) 8eso má5imo ue alcanzará el culti*o ol
.*0 mg
V
Dada F P 0(5) P a
C$ >:6 >: "6 :J)89:9CI6"! V
e sig.
∫ a dv = 'ana + c v
y sus asociadas reglas de integracin! v
∫
v
∫
v
='tener su deri*ada caso particular
v
e
∫ e dv=e + c v
v
o'tenidas de la
v
d ( a )='n a . a dv −−o −− d ( a )= ' na . a dv v
a es− decir−−−a = 'n a a dv = a v dv ' na
∫
v
Manera!
v
∫
Cuando la 'ase es la constante e (cuyo eui*alente es el nmero #.B%#....) y el e5ponente es *aria'le3 se e5presa de manera general e * y su integral ueda de0inida por la e5presin!
∫ e dv =e +c −− )#es v
n
.
d ( V
v
∫ d ( e )= ∫ e dv
d (( e v )=e v dv
v
v
ev =
∫ e dv v
<:/=:9 >: @8<=/"6 8B5:9I>6 n
∫ (V ) dv =..
)=. .
∫ dvV = ..
*.
d ( LnV )= ..
-.
1 d ( Loga V )=. Log a e⋅dv v
.
d ( a )=. .
∫ a dv=.. ∫e dv=. . ∫ U ⋅dv=. . V
V
V
V
d ( e )=.. 0.
r C ! = P ( 1+ ) ! !
con ] P ]te. y 0inita
1.
v
:$ :7:=)"8 &
∫2
5 x
#.-
∫
%.-
C = P'
rt
3 x
7 3 x 7⏞ . 3 dx = +c 'n 7
⏟ dv
5 x
. 5 dx =
2
'n 2
+c
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∫ 3 xe dx = − 32 ∫ e−
x2
x
@.-
∫(4 e
.-
2
2 x
∫ 3 . e x
x
5
+3 )
dx =
1.-
2 (− 2 x ) dx = − 3 e− x + c = − 3 x 2 + c
1 e dx = 8 2 x
2
∫( 4e ( 3 e ) x
2e
2 x
2 x
5
2 x
+ 3 ) 8 e dx =
3 x e x ( 3 e ) dx = + c = +c 'n 3 e 'n3 e
∫⏟ ⏟ x
a
dv
6
1 ( 4 e + 3 ) . 8 6
x x
1 48
+ c = ( 4 '2 x +3 )6 + c
x x
3 e 3 e = + c= + c 'n 3 + ' ne 'n 3 + 1
1. )rob & Al inicio de la d4cada de los B$ la tasa o variaciones en el consumo anual de petrleo creci
e5ponencialmente con una constante de apro5imadamente $.$B Al inicio de %OB$ la produccin era de %&.% miles de millones de 'arriles de petrleo al a,o. Determinar. 2a cantidad de petrleo ue se consumirá en la d4cada en el supuesto de ue la *ariacin permaneciera constante. ol C(%$)P #@@.%&@ mm'p oluc. >e los datos se tiene&
dc =16.1.. dt
:7:
∫5
%.-
x 2
dx =
=
2
√ 5
x
Ln 5
+c
∫ 4 xdx = 2
#.@..-
1.-
&.-
a2 x
a x √ ∫ dx=
=
6
∫
x2 + 1
9
a
' na *
. x dx =
∫ 4 xdx = 2 x
√ a x + c
2
−
1 2
a 2 x ' na
+c
∫ 7dx = 3 x
x
B.-
∫5 e
3
dx=
∫ (3 e )
2 x
.-
∫3 xe
x
O.-
2
3
= 15 √ e X + c
. 4 dx =
dx=
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∫
x
3e = 2
2
+c
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%$.%%.-
%#.-
∫
e 2 √ x dx = x √
∫2 ∫
4 x
( 2 e )4 x = +c 4 ( 'n 2 + 1 )
4 x
. e dx=
5√ . e √ x
x
√ x
%@.-
∫(
%.-
∫ (5 e
dx =
x
5e
2
x
−e
4 x
−
3
)
=10 √ e X + 3
dx =
√ e X
∫ 3 ee +2 dx = 7
%&.-
− 6 X − 2 x + c
√ e
x
∫
4 x
+c
+3 )2 dx=
x 2
%1.-
3
5 . e
3
x
e
dx=
6mpliación& =odelo "ogístico para el crecimiento )rob& En una pequeña isla del Pacífico, en 1774 el capitán James Cook dejó en ella algunos
conejos !em"#as $ mac%os&' El modelo matemático pa#a dete#mina# el c#ecimiento de esta 2000 P ( t )= (5 .3 − 0 . 4 t ) 1+e
po"lación es estando t medido en años a pa#ti# de 1774( a& Cuantos conejos en ente#os& dejo Cook en la )sla* "& +e ni-ela la po"lación o c#ece indefinidamente* c& ."tenga la e/p#esión que dete#mina las -a#iaciones en esta po"lación $ utilice esto pa#a comp#o"a# que a pa#ti# de ap#o/imadamente 1707, la po"lación de conejos se esta"ilio en 2333 d& +u5 causas natu#ales pod#ía da#le a la g#áfica de P la fo#ma que tiene*
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¿ 9 . 9336≈ 10 Lim P ( t )= 1
ol. a$
)D4$
n →∞
"&
es el límite má/imo
dP = dt
P6t& no puede se# ce#o, pe#o de '893'4 :18'2 se tiene que a pa#ti# de estos 18 años la po"lación deja de c#ece# #ápidamente pa#a empea# a esta"ilia#se como se muest#a en la g#áfica'
c$
2a *ida media de una sustancia radiacti*a es de a,os. i al principio hay #$$ g a) 6Cuánto ueda pasados %# a,os7 H) 6Cuánto tardará en desintegrarse el O$\ de la sustancia original7 )rob *
ol ! r F 4.4 +11--32 a$ b$
..
)ara t F * son 24.2412+ "os g que quedan 5 F *1.020*3- 6;os para que se desintegre el 34P
"a integral del producto o Integral por partes&
∫
Con la 0inalidad de terminar el importante tema de
LnXdX = logaritmos deseamos resol*er! ='ser*e ue carecemos de una primiti*a 'ase ue la de0ina de ah: ue sea necesario generar un nue*o y más potente recurso! )roblema & Una cierta 0recuencia digital se di0unde segn la e5presin 0(t) P tent ='tener a) Era0ica ') >rea del corte trans*ersal plano limitada entre la cur*a y el horizonte en el inter*alo [ 0,2 $ ] y en [ 0,100 $ ]
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>emostración! 8ara resol*er la integral será necesario partir de la regla conocida
d ( U ⋅V )=U ⋅dV + V ⋅dU
∫ #dv=#⋅v −∫ vd#
para 0inalmente o'tener! ;ue es la llamada 0ormula del producto o integral por partes ue como *eremos en temas posteriores es uno de los más potentes y generales m4todos de integracin. (Ger 2IA/") :jercicio .& esol*er las siguientes integrales de producto D8ro'lemas % a O página @@) .
∫ xCos x2 dx= 2 xSen
*.
∫ 2 xSenxdx=
-.
∫ 3 xCos 2 xdx =
.
∫ 3 xe
0.
∫2 xSenxdx=
-x
ol.
x x + 4 Cos + c 2 2
dx =
1.
∫ x Ln 4 xdx=
2.
∫5
ol.
− 1 Ln / x /− 1 + c x
x
2
4 x 4 x
e dx= 4 x 4 x
ol.
5 e +c 4 [ Ln 5 +1 ]
2o mismo ue en pro' % con! Apuntes y Ejercicios para Curso
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