ЗБИРК А ЗАДАТАКА
Математика за
Сања Милојевић Ненад Вуловић
разред основне школе
Сања Милојевић • Ненад Вуловић
Математика 6 Збирка задатака са решењима
Математика 6 Збирка задатака са решењима прво издање
Аутори: Сања Милојевић, Ненад Вуловић Рецензенти: проф. др Радосав Ђорђевић, Природно-математички факултет у Крагујевцу доц. др Бранислав Поповић, Природно-математички факултет у Крагујевцу Зорица Станковић, професор математике, ОШ „Мома Станојловић“ у Крагујевцу
Графичко обликовање: „Total Idea“, Нови Сад Обликовање корица: Милош Аризовић Прелом: Игор Болта Лектура: Јована Ђокић
Издавач: Издавачка кућа „Klett“ д.о.о. Светозара Ћоровића 15/IV, 11 000 Београд Teл.: 011/3348-384, факс: 011/3348-385
[email protected], www.klett.rs За издавача: Гордана Кнежевић-Орлић Уредник: Александар Рајковић Штампа: Тираж:
© Klett, 2009. ISBN 978- 86-7762-158-2 Забрањено је репродуковање, дистрибуција, објављивање, прерада или друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму или поступку, укључујући фотокопирање, штампање или чување у електронском облику, без писмене дозволе издавача. Наведене радње представљају кршење ауторских права.
ПРЕДГОВОР Ова збирка задатака је део уџбеничког комплета за шести разред издавачке куће KLETT. Састоји се из пет целина у којима су задаци разврстани у складу са наставним јединицама и прате начин и динамику излагања у уџбенику. На почетку сваког поглавља дати су најједноставнији задаци који би требало да омогуће репродукцију основних знања и вештина. Тако ће баш сваки ученик са успехом пoчети да решава задатке из, надамо се, сваког поглавља. Очекујемо да ће почетни успех изазове све тежих задатака претворити у нове успехе. На крају сваке целине налази се кратак тест. Намера нам је била да понудимо ученицима могућност да сами провере у којој мери су савладали одговарајућу целину. Свим ученицима, решаваоцима задатака, њиховим професорима, па и родитељима који желе и могу да помогну својој деци, желимо пуно успеха у раду. Аутори
3
САДРЖАЈ Цели бројеви . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скуп целих бројева . . . . . . . . . . Бројевна права . . . . . . . . . . . . . Супротан број. . . . . . . . . . . . . . Апсолутна вредност броја . . . . . Поређење целих бројева . . . . . . Сабирање целих бројева . . . . . . Одузимање целих бројева . . . . . Својства сабирања . . . . . . . . . . Једначине . . . . . . . . . . . . . . . . Неједначине. . . . . . . . . . . . . . . Множење целих бројева . . . . . . Дељење целих бројева . . . . . . . Својства множења. . . . . . . . . . . Једначине и неједначине . . . . . . Тест – сабирање и одузимање у Z. Тест – множење и дељење у Z . . .
4
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 7 . 7 27 . 7 27 . 8 27 . 8 27 10 28 10 28 11 29 14 30 15 30 16 31 17 31 20 32 22 33 23 34 . . . . . . . . 25 . . . . . . . . 26
Троугао . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Појам и неке врсте троуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Углови троугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Однос страница и углова троугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основне неједнакости за странице троугла. . . . . . . . . . . . Основне и једноставне конструкције лењиром и шестаром . Конструкције неких углова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Подударност троуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ставови подударности троуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . Страница–угао–страница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Угао–страница–угао. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Страница–страница–страница. . . . . . . . . . . . . . . . . Страница–страница–угао . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примена ставова подударности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Конструкција троуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Значајне тачке троугла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Центар описане кружнице . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Центар уписане кружнице . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Висине троугла и ортоцентар . . . . . . . . . . . . . . . . . Тежишне дужи и тежиште . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Тест – троугао . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 35 36 39 41 42 43 43 44 44 45 45 46 47 49 50 50 51 51 52 . . . . . . .
Рационални бројеви. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скуп рационалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Представљање рационалних бројева на бројевној правој . Супротан број. Апсолутна вредност рационалног броја . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . . . . . 67 67 92 68 92 68 93
. . . .
35 54 54 56 57 58 58 59 59 59 59 60 60 60 62 63 63 64 65 66 . 53
Поређење рационалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . Децимални запис рационалног броја . . . . . . . . . . . . Сабирање рационалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . Одузимање рационалних бројева . . . . . . . . . . . . . . Сабирање и одузимање бројева у децималном запису Својства сабирања рационалних бројева . . . . . . . . . Једначине са сабирањем и одузимањем . . . . . . . . . . Неједначине са сабирањем и одузимањем . . . . . . . . Множење рационалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . Својства множења рационалних бројева . . . . . . . . . Дељење рационалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . Једначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Неједначине. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Проценти. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Тест – сабирање и одузимање у Q . . . . . . . . . . . . . . Тест – множење и дељење у Q . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
69 94 70 94 71 95 72 96 73 97 75 98 76 98 77 99 78 100 80 101 82 102 84 103 86 104 88 105 . . . . . . . . 90 . . . . . . . . 91
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . 107 119 107 107 119 109 120 111 122 112 123 112 124 114 127 116 130 . . . . . . . . 117
Површина четвороуглова и троуглова. Појам површине . . . . . . . . . . . . . Површина правоугаоника . . . . . . Површина паралелограма . . . . . . Површина троугла . . . . . . . . . . . Површина трапеза . . . . . . . . . . . Површина четвороугла . . . . . . . . Тест – површине . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . . 131 131 145 133 148 135 149 137 150 140 151 143 152 . . . . . . . . 144
Четвороугао . . . . . . . . . . . . . . . . Појам четвороугла . . . . . . . . Углови четвороугла . . . . . . . . Паралелограм . . . . . . . . . . . Правоугаоник, ромб и квадрат Паралелограми и симетрије . . Конструкције паралелограма . Трапез. . . . . . . . . . . . . . . . . Делтоид. . . . . . . . . . . . . . . . Тест – четвороугао . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
5
⊂
⊄
∈ ∉ ∈
∈
∉
∈
КАКО ЋЕШ КОРИСТИТИ ОВУ ЗБИРКУ ЗАДАТАКА (упуство за ученике) Као и раније, и у овој збирци задатака смо се потрудили да учење и вежбање математике не представља велики проблем. 5. Цели бројеви између –7 и 4 су: __, __, __, __, __, __, __, __, __ и __.
Углавном на почетку сваке наставне теме предвиђено је да се на одоговарајућа места у збирци упишу тачни одговори.
4. Допуни реченице: Према угловима, троуглове делимо на ____________________, ____________________ и ____________________. Троугао је ____________________ ако су сва три унутрашња угла оштра. Троугао је тупоугли ако __________________________________________________. Троугао је правоугли ако ______________________________________________________.
Табеле које су дате треба да попуниш и тачне одговоре упишеш на за то предвиђена места.
2. Попуни таблицу: a –a
7
–1
15 –88
14 9
99
γ
c
29. Попуни дате пирамиде ако за
a
β
важи a + b = c:
b
γ
Пирамиде и магичне квадрате такође решавај у збирци. α α
β –26 γ
β α –33
14
14
α
β
–17
α 122 γ
–85
31
У односу на пети разред, већи број задатака ћеш сада решавати у школској или свесци за вежбање.
16. Површина правоугаоника је 12cm2. Једна његова страница једнака је 1 друге странице. 3 Одреди обим тог правоугаоника.
21. Разлику бројева 66 и –55 (умањилац је –55) увећај за њихов збир.
У великом броју задатака, уз текст задатка, дата је и слика са које треба да изведеш одговарајуће закључке. 29. Израчунај површине датих фигура:
5. Колико троуглова је одређено датим тачкама: а) б)
2
2
R
2 6
48
4
A J
V
O
P
9
г) S
N
R
I
в)
E
T
N
M
O
N
R
T
E A
I
6
На крају сваке теме, поред теста који ће ти послужити да сам себе провериш како си савладао тему, дата су детаљна упутства и решења задатака који су у њој постављени. ЦЕЛИ БРОЈЕВИ – РЕШЕЊА СКУП ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. В = {5, 29, 18}, С = {5, –2, –7, 0, 29, 18, –35}. 2. а) тачно; б) нетачно; в) тачно; г) тачно; д) нетачно; ђ) тачно. 3. N N Z– Z 8 –1
6
∈ ∉ ∉ ∈ ∉ ∉
0
∈ ∉ ∈ ∈ ∉ ∉
∉ ∈ ∉ ∉ ∈ ∉
∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∉
Желимо ти много успеха!
K
ЦЕЛИ БРОЈЕВИ СКУП ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. Дат је скуп A = 5; –2; –7; 3 ; 0; 29; 18; –35; 4,1 . Нађи подскупове В и С овог скупа ако 8 скупу В припадају природни бројеви, а скупу С цели бројеви.
{
}
2. Испитај тачност следећих тврђења: а) Z + = N; б) Z = Z – Z +; г) N ⊂ Z; д) N0 = Z;
в) Z = Z – N0; ђ) N ⊄ Z –.
3. Попуни остатак таблице користећи симболе ∈, ∉: 8 –1 0 55 –14 2,5
N ∈
N0 ∈
Z– ∉
Z ∈
4. Напиши пет узастопних целих бројева тако да су: а) сви негативни; б) три негативна. 5. Цели бројеви између –7 и 4 су: __, __, __, __, __, __, __, __, __ и __. 6. Негативни цели бројеви већи од –7 су: __, __, __, __, __ и __. 7. Колико целих бројева је између:
а) –3 и 3;
б) 0 и 1;
в) –4 и 8.
БРОЈЕВНА ПРАВА 1. Нацртај бројевну праву и на њој означи тачке: 0, 2, 8, –4, –1, 5 и –7. 2. На бројевној правој уцртане су тачке A, B, C, D и E. Којим целим бројевима одговарају ове тачке ако је јединична дуж 1cm?
A
B
C
0
D
E
3. На бројевној правој дате су тачке А(5) и В(–7). Колико јединичних дужи има између тачака А и В?
7
4. Колико је растојање између тачака S(–3) и P(2) на бројевној правој ако је јединична дуж те бројевне праве 3cm? 5. Ако је растојање између тачака M(–5) и N(11) на бројевној правој 8cm, колика је дужина јединичне дужи? 6. На бројевној правој дата је тачка А(–2). Одреди координату тачке В, коју ћемо добити када тачку А померимо за 4 јединичне дужи улево, и координату тачке С, коју ћемо добити када тачку А померимо за 6 јединичних дужи удесно. 7. За колико јединичних дужи треба померити тачку А(3) да би после померања дошла у тачку: а) В(8); б) С(–7)? 8. На бројевној правој дате су тачке Ѕ(3) и А(–2). Нађи тачку В, која је симетрична тачки А у односу на тачку Ѕ. 9. Одреди координату средишта Ѕ дужи АВ ако је А(–7) и В(5). 10. У 9h измерена температура у неким градовима у Србији: Београд 4°C, Крагујевац 7°C, Краљево –2°C, Ниш –7°C. Који град је у 9h био најтоплији, а који најхладнији? 11. У 10h на Златибору је измерена температура –9°C, а у Ужицу 6°C. Колика је била температурна разлика у 10h између та два места? 12. У једном граду, првог јануара у 6h температура је износила –8°C. У 10h температура је била за 7°C виша, а у 13h за још 3°C виша. Коликa је била температура у том граду у 13h?
СУПРОТАН БРОЈ 1. а) Броју 5 је супротан број ___; в) Броју 100 је супротан број ___;
б) Броју –3 је супротан број ___; г) Броју –222 је супротан број ___.
2. Попуни таблицу: a –a
7
–1
15 –88
14 9
99
3. Наведи пет парова супротних бројева: ___ и ___; ___ и ___; ___ и ___; ___ и ___; ___ и ___.
АПСОЛУТНА ВРЕДНОСТ БРОЈА 1. Одреди апсолутне вредности бројева: 8, –6, 2, –19, 0, 21, 6, –14. 2. Испитај тачност следећих тврђења: а) |10| = |–10|; б) |10| = – |–10|; г) |–10| = 10; д) – |–10| = – |10|;
8
в) |–10| = –10; ђ) |–10| = – |10|.
3. Ако бројеви 10 и –10 имају апсолутну вредност 10, нађи бројеве који имају апсолутну вредност: а) 16; б) 3; в) 7; г) 50. 4. Реши једначине: а) |x| = 8; б) |x| = 22;
в) |x| = 5;
г) |x| = |–17|.
5. Нађи све целе бројеве x за које је |x| < 5. 6. Попуни таблицу: 10
a |a| 7. Израчунај: а) |5| – |–5|;
–6
8
б) |–8| – |8|;
8. Израчунај: а) |–10| – |–5|;
–40
32
9
в) |–a| – |a|.
б) |10| – |–5|;
9. Израчунај: а) |–17| + |–5| + |–3|; в) |–50| – |18| – |–17|; 10. Израчунај: а) |–55| : |–5|;
–15
в) |–10| – |5|;
г) |10| – |5|.
б) |25| + |–10| – |–3|; г) |14| – |–7| + |–9|.
б) |–9| · |4|;
11. Израчунај: а) |15| · |–4| + |–9|; в) |–70| – |–3| · |8|;
в) |–14| · |–5|;
г) |77| : |–7|.
б) |–26| : |–13| + |11|; г) |–34| – |–64| : |16|.
12. Ако је a = –64, b = –4 и c = 7, израчунај вредност израза: а) |a| + |b| + |c|; б) |a| + |b| – |c|; в) |a| : |b| + |c|; г) |a| – |b| · |c|. 13. За a = 18, b = –12 и c = –5 израчунај вредност израза : а) |a| – |b| – |c|; б) |a|– |b| + |c|; в) |a| +|b| – |c|; г) |a| + |b| + |c|. 14. Попуни таблице: а) a
9
–18
–6
44
–a – (–a) |a| б)
a |a| |a| + 4 |a|–1
13 25
–16
–4
5
–20
–1
9
9
ПОРЕЂЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. Дате бројеве поређај по величини од најмањег до највећег: а) –7, –19, –3, –8, –20 и –14; б) 9, –18, 3, 0, –5, 4 и 20; в) 17, –4, –12, |–7|, |8|, –6 и 5. 2. Поређај по величини апсолутне вредности бројева: –17, 14, –5, 0, –11, 9, –22 и 1. 3. Упиши у квадратиће један од знакова <, > или = тако да добијеш тачно тврђење: а) –8 –5; б) 11 –3; в) –4 – (–4); г) |–5| 11; д) |–8| |4|; ђ) |–15| |15|. 4. Одреди све целе бројеве x за које важи: а) –6 < x < 0; б) 0 ≤ x ≤ 5; г) –7 < x ≤ 1; д) |x| ≤ 6.
в) –2 < x < 6;
САБИРАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. Сабери целе бројеве: а) –15 + (–4); б) –15 + 4;
в) 15 + (–4);
г) 15 + 4.
2. Израчунај: а) –6 + 9;
б) –6 + (–9);
в) 6 + (–6);
г) –7 + (–(–7)).
3. Израчунај збир: а) 1) 18 + 27; б) 1) –48 + 83; в) 1) –27 + (–35);
2) 13 + (–15); 2) 29 + 67; 2) –28 + (–107);
3) –16 + 22; 3) –52 + (–38); 3) –183 + 216;
4) –19 + (–25); 4) –98 + (–87); 4) 327 + (–523).
4. Израчунај збир: а) 6 + 2 + (–7); в) –4 + 7 + (–5); д) –3 + 2 + 8;
б) –5 + 4 + (–3); г) –7 + (–6) + (–12); ђ) –5 + (–12) + (–17).
5. Израчунај: а) –1 + (–2) +(–3) +(–4); в) –14 + (–2) + (–3) + (–26); д) –32 + (–16) + (–4) + (–8) + (–5); е) [–81 + (–42)] + [–55 + (–39)].
10
б) –1 + 2 + (–3) + 4 + (–5); г) –42 + (–35) + (–32) + (–121); ђ) –16 + 14 + (–17) + 18 + (–6);
6. Попуни таблицу: x
y
z
–2
–3
–1
–7
18
–1
–13
–21
46
19
–36
42
–39
152
191
x+y
x+z
y+z
x+y+z
7. Збиру бројева –2 и –16 додај збир бројева –17 и –33, па израчунај вредност израза. 8. Попуни таблице: а) +
+16
б)
–8
25
–62
–14
9
19
17
–33
–21
–7
9. Попуни дате шеме: а) +8 –9 б) 22
+(–38)
+4
+(–17)
+14
+(–92)
ОДУЗИМАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. Израчунај дате разлике целих бројева: а) –8 – 3; б) 8 – 3; в) 8 – (–3); 2. Израчунај разлику: а) 1) 12 – 3; 2) –3 – 12 ; б) 1) –2 – 5; 2) –2 – (–5); в) 1) –18 – 25; 2) 14 – 18;
г) –8 – (–3).
3) 12 – 12; 3) 4 – (–9); 3) –18 – 5;
4) –12 –(–12); 4) –14 – (–8); 4) 4 – (–12).
11
3. Израчунај: а) –5 + 3 –7; д) –3 + 14 + 19;
б) 2 – 8 – 3; ђ) –20 – 15 – 8;
в) 5 + 12 – 17 ; е) 13 – 12 + 18;
г) 12 – 17 – 15; ж) –4 – 5 + 2 – 1.
4. Израчунај вредност израза: а) 1 – 2 + 3 – 4 + 5; б) 10 – 9 + 8 – 7 + 6 – 5; в) –7 + (–6) – 9 –(–8) + 1; г) – (14 – (8 – 9)) + 15; д) 18 – 3 + 4 – 13 – 7 + 11 – 12 + 8. 5. Израчунај вредност израза: а) 27 – 12 + (35 –18) – (12 + 3) – (18 – 5); в) 34 – 40 – (27 – 32) + (38 – 41) – (29 + 35);
б) – (37 – 14) – (12 – 8) + (13 – 7) – (15 – 3); г) – (29 – 14) + (8 – 15) – (17 – 24 – 3 + 14).
6. Попуни дате шеме: a)
23
–38
+15
–9
–23
+26
+12
б)
–17
7. Доврши попуњавање таблице: а) – 19 –33 –14 –18
б)
– 12
–37
–42 29
29 –18 –66
–17
8. Ако је a = –10, b = 4 и c = – 5, израчунај: а) a + b + c; б) a – b – c; в) – a + b + c; г) – a – b – c; д) a + b – c; ђ) – a + b – c. 9. Попуни таблицу:
12
a
b
17
19
–6
15
–13
–7
28
–31
a+b
a–b
|a| –|b|
10. Израчунај a – b – (– c + d) ако је: а) a = 17, b = –2, c = 5, d = –12. б) a = –9, b = 8, c = –9, d = –22. 11. Израчунај |a| – |b| ако је a = –25 + (9 – 16) и b = (–8 – 5) – a. 12. Ако је a = – (7 – 23 – (5 –9)) и b = – 14 + (11 – 19) + (–33), израчунај вредност израза (a – b) – (|a| – |b|). 13. Израчунај вредност израза: а) – (–9) + (–11) + (2 – 4); б) –17 – [19 – (75 – 63) + 12] – (–7 – 5); в) [29 – (18 + 15) + 19] – [70 + (–17 – 71)]; г) –10 – {–20 – [–30 – (40 – 50)] – 60}. 14. Поређај по величини од најмањег до највећег вредности бројевних израза a, b, c ако је a = x + (y – z), b = |x – y| – z и c = x – |y + z| за x = –15 – (–7), y = 19 + x, z = –11 – y. 15. Упореди по апсолутној вредности изразе А, В и С ако је А = 1 – х – (х + у), В = 1 – |1 – |x – y| + z|, C = z – (1 – z) и ако је x = 3, y = −1, z = −7. 16. Од броја 27 одузми збир бројева 44 и –56. 17. Збиру бројева –29 и 14 додај број –9. 18. Збир бројева –46 и 15 умањи за разлику бројева 37 и –33 (умањеник је 37). 19. Разлици бројева –23 и 27 (умањилац је 27) додај збир бројева 14 и –5. 20. Од збира бројева –125 и 59 одузми њихову разлику (умањеник је –125). 21. Разлику бројева 66 и –55 (умањилац је –55) увећај за њихов збир. 22. Разлици бројева –29 и –76 (умањеник је –29) додај апсолутну вредност њиховог збира. 23. Разлици бројева 18 и –54 (умањеник је 18) додај разлику бројева –17 и 91 (умањилац је 91), затим тај збир умањи за збир бројева 25 и –19. 24. На Милошевом рачуну у банци стање је –7 650 динара. Колико ће бити ново стање када уплати 5 500 динара? 25. Петар је имао на рачуну у банци 5 400 динара. Колико ће бити ново стање на његовом рачуну ако је подигао из банке 10 000 динара? 26. Милан је имао на рачуну у банци 2 300 динара. Најпре је подигао 3 000 динара, а затим још 5 000 динара. После тога на рачун му је уплаћен износ од 10 000 динара. Колико сада Милан има новца на рачуну?
13
27. На Копаонику је у 6h измерена температура –18°C. После 3h температура је порасла за 7°C, а за наредна 3h још 12°C, али је до 15h температура опала за 4°C. Колика је измерена температура у 15h? 28. Надморска висина дна мора је –1 865m, а подморница је 250m изнад дна мора. На којој надморској висини је подморница?
29. Попуни дате пирамиде ако за
c a
b
важи a + b = c:
14 –17 –26
14
–33
122
–85
31
СВОЈСТВА САБИРАЊА 1. Испитај тачност следећих једнакости: а) –7 + 3 = 3 + (–7); в) (2 + (–4)) + (–9) = 2 + ((–4) + (–9));
б) –11 + (–4) = –4 + (–11); г) –7 + (6 + (–5)) = (–7 + 6) + (–5).
2. Применом закона комутативности и асоцијативности израчунај: а) –7 + 11 + (–3); б) 19 + (–4) + 21; в) –12 + 13 + (–8) + 17; г) 33 + (–105) + 66 + (–5). 3. Израчунај вредност израза користећи својства сабирања: а) 24 + (–17) + (–24); б) –59 + 16 + 59 +(–16); в) 123 + (–99) + (–123) + (–47); г) –10 + 11 + (–12) + 13 + 10; д) –19 + 54 + (–11) + (–54) + 30; ђ) –21 + (–18) + (–20) + 19 + 18. 4. Израчунај збир свих целих бројева чија је апсолутна вредност мања од 20. 5. Упиши у квадратиће један од знакова <, > или = тако да добијеш тачно тврђење: а) (–17) + (–9) (–9) + (–17); б) –42 + 42 5 + 6; в) –7 – 27 59 + (–59); г) –34 + 16 + 34 –100 + 11 + (–10). 6. Попуни таблицу, па упореди последње две колоне:
14
x
y
z
12
–19
8
–7
31
–16
–4
–15
–76
6
12
–33
x+y
y+z
(x + y) + z
x + (y + z)
ЈЕДНАЧИНЕ 1. Реши једначине: а) –8 + x = 10; г) x + (–5) = –9;
б) –22 – x = –19; д) –25 + x = –3;
в) x – 7 = –11; ђ) –2 – x = –5.
2. Реши једначине: а) x – (–9) = 2; г) 10 – x = 10;
б) –4 + x = –22; д) x – 17 = 22;
в) x + 15 = –1; ђ) –7 – x = 14.
3. Реши једначине: а) x + 1 000 = 999; г) 1 000 + x = 0;
б) –2 008 + x = 2 008; д) 5 – x = –10 + 15;
в) –2 008 – x = 1; ђ) –7 – 8 = x – 11.
4. Реши једначину x + a = – 5 , где је a решење једначине a – (–7) = –9. 5. Реши једначину |b| – x = 9, где је b решење једначине –12 – b = – 5. 6. Реши једначине: а) (9 – 17) + x = –4; в) |5 – 19| – x = –6;
б) x – (7 + (–5)) = –12; г) (4 – 11) + x = |4 – 11|.
7. Реши једначине: а) (x – 55) – 5 = –10; в) 25 – (9 – x) = – 12;
б) 10 – (x + 8) = –8; г) –21 – (x – 4) = 6.
8. Реши једначине: а) –2 – (22 – a) = 20; в) –5 + (–5 + c) = –5;
б) –12 – (15 + b) = 7; г) (d – 4) – (–4) = –4.
9. Који број треба одузети од –4 да би се добио број 9? 10. Ком броју треба додати број 12 да би се добио број –11? 11. Ако се од неког броја одузме број 35, добиће се број –24. О ком броју је реч? 12. Замислили смо неки број, додали смо му разлику бројева 7 и –11 (7 је умањеник) и добили смо број 4. Који број смо замислили? 13. Од ког броја треба одузети разлику бројева –43 и 16, где је 16 умањилац, да би се добио збир бројева –26 и 4? 14. За колико треба умањити збир бројева –19 и 9 да би се добио збир бројева 94 и –84? 15. Који број треба одузети од збира бројева –66 и –59 да би се добила разлика тих бројева, где је –66 умањеник? 16. Када од броја –5 одузмемо неки број увећан за 7, добићемо број 19. О ком броју је реч?
15
17. Ако број –28 увећамо за неки број, па од тог збира одузмемо број –19, добићемо број –21. О ком броју је реч? 18. Када број –7 умањимо за неки број, па од те разлике одузмемо збир бројева –25 и 4, добићемо број супротан броју 10. О ком броју је реч? 19. Стање на Петровом рачуну у банци је –6 350 динара. Да би добио кредитну картицу, стање на рачуну мора да буде +5 000 динара. Колико новца Петар мора да уплати да би добио кредитну картицу? 20. Реши једначине: а) |x| + 2 = 7; б) |x| – 2 = 7; 21. Реши једначине: а) |x| + (–4) = 5; в) |x – 4| = 7; 22. Реши једначине: а) 9 – |x| = –2 – (–4); в) (–12 + 3) + |x + 3| = –6 – (–1);
в) 7 – |x| = 2;
г) |x| – 7 = –2.
б) |x| + |–9| = |–14|; г) |x + 2| = 6.
б) |x| – (11 – 4) = –9 + 6; г) |x – 5| – (18 + (–35)) = –19 + 81.
НЕЈЕДНАЧИНЕ 1. а) Цели бројеви који се налазе између –6 и 0 су: ___, ___, ___, ___ и ___; б) Цели бројеви који се налазе између –9 и –2 су: ___, ___, ___, ___, ___ и ___; в) Цели бројеви који се налазе између –3 и 5 су: ___, ___, ___, ___, ___, ___ и ___. 2. Напиши целе бројеве који су решења неједначине: а) –6 < x < –1; б) –2 < x < 8; в) 7 > x > –7; 3. Реши неједначине: а) –4 + x > 12; б) x – 7 ≤ –4;
г) |x| < 6.
в) 5 – x > 11.
4. Реши неједначине и решења прикажи на бројевној правој: а) x + (–8) < –9; б) –11 + x ≥ –4; в) x – (–4) > –4; г) 1 – x < –2; д) 3 + x ≤ –5; ђ) –9 – x ≥ –6. 5. Реши неједначине и решења прикажи на бројевној правој: а) –2 – (–4) + x > 3; б) x – (–7) ≤ 2 + (–5); в) –6 – (–8) < x – 3; г) (–1 + 2) – x ≥ –3 + 4. 6. Реши неједначине и решења прикажи на бројевној правој: а) –4 – (x – 3) ≤ 0; б) (1 – x) + 3 ≤ 6; в) – 25 – (4 + x) > –22; г) (x + (–7)) – 11< –14.
16
7. Одреди заједничка решења неједначина: а) x + 3 < – (–15) и 2 – x < 4; б) x – (–5) ≥ –3 и x + (–2) < 2. 8. Израчунај збир целих бројева који су заједничка решења неједначина x – 4 < – 2 и –11 + x > –17. 9. Реши неједначине и решења прикажи на бројевној правој: а) |x| < 7; б) |x| – 2 ≤ 2; в) 8 – |x| ≥ 4; г) |x| + 3 ≤ 3 – (–3). 10. Реши неједначине и решења прикажи на бројевној правој: а) |x –1| < 5; б) |x + 3| ≤ 7; в) |1 – x| + 5 ≤ 8; г) |x + 4| – 3 < 3. 11. Израчунај збир свих целих бројева х за које је |x – 3| < 4. 12. Реши неједначине: а) –6 – (x – 9) ≥ –2 – 3;
б) –1– (–2 – (x + 3)) > –4;
в) –5 – (–10) – (–x) > –10 + 9 – (–1).
13. Које бројеве можеш додати броју –2 да добијеш број већи од 6? 14. Од којих бројева можеш одузети број –36 да добијеш број који није већи од –24? 15. Које бројеве можеш одузети од броја 11 да добијеш број мањи од –3? 16. Које бројеве можеш додати разлици бројева 77 и –67 (умањеник је 77) да добијеш број који је већи од збира тих бројева? 17. Које бројеве можеш одузети од збира бројева –11 и –12 да добијеш број који није већи од разлике бројева –4 и –3 (умањилац је –3)? 18. Температура у граду је 7°C. Клизалиште може да ради на температури мањој од –4°C. За колико °С треба да падне температура да би клизалиште могло да ради?
МНОЖЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. Ако је (–2) + (–2) + (–2) + (–2) + (–2) = 5 ∙ (–2) = –10, напиши следеће збирове у облику производа, па их израчунај: а) 9 + 9 + 9; б) 4 + 4 + 4 + 4 + 4; в) (–5) + (–5) + (–5) + (–5) + (–5) + (–5) + (–5) + (–5); г) (–7) + (–7) + (–7) + (–7) + (–7) + (–7) + (–7) + (–7) + (–7) + (–7) . 2. Испитај тачност следећих тврђења: а) 7 ∙ (–3) < 0; б) (–10) ∙ (–9) < 0; в) –9 999 ∙ (–9) > 0; г) –123 ∙ 4 > 0.
17
3. Израчунај производе: а) 8 ∙ 3; б) 8 ∙ (–3);
в) (–8) ∙ 3;
г) (–8) ∙ (–3).
4. Израчунај производе: а) 5 ∙ 3; б) (–25) ∙ 3; д) (–6) ∙ (–7); ђ) 12 ∙ 8;
в) 9 ∙ (–2); е) (–4) ∙ (–8);
г) 5 ∙ (–8); ж) (–10) ∙ (–4).
5. Израчунај: а) –1 ∙ (–2);
в) 5 ∙ 6;
б) –3 ∙ 4;
6. Израчунај производе: а) 1) 987 ∙ 1; б) 1) –1 111 ∙ 1; в) 1) –500 ∙ 1; г) 1) 4 545 ∙ 1;
2) 987 ∙ (–1); 2) –1 111 ∙ (–1); 2) –500 ∙ (–1); 2) 4 545 ∙ (–1);
г) 7 ∙ (–8);
д) –9 ∙ 10.
3) 987 ∙ 0; 3) –1 111 ∙ 0; 3) –500 ∙ 0; 3) 4 545 ∙ 0.
7. Упиши у квадратић један од знакова >, < или = тако да тврђења буду тачна: а) –7 ∙ (–3) 4 ∙ (–9); б) –4 ∙ 5 4 ∙ (–5); в) –18 ∙ (–2) 7 ∙ 5; г) –6 ∙ 9 7 ∙ (–8). 8. Доврши попуњавање таблице: 4∙х
х позитиван
–3 ∙ х негативан
негативан негативан позитиван 9. Попуни таблицу: а
b
с
1
–2
3
–9
8
–7
–10
–8
–5
4
–25
2
10. Израчунај производе: а) 10 ∙ 10 ∙ (–10); в) –10 ∙ 10 ∙ (–10);
а∙b
б) 10 ∙ (–10) ∙ (–10); г) –10 ∙ (–10) ∙ (–10).
11. Који знак ће имати производ ако множимо: а) 5 негативних бројева; б) 10 негативних бројева; в) 99 негативних бројева и 1 позитиван број; г) 50 негативних бројева и 50 позитивних бројева; д) 15 негативних бројева и 15 позитивних бројева.
18
а∙с
b∙с
а∙b∙с
12. Израчунај: а) (15 – 9) ∙ 6; в) (15 + 9) ∙ (–6);
б) (–15 + 9) ∙ (–6); г) (–15 – 9) ∙ (–6).
13. Израчунај вредност израза: а) (–37 + 14) ∙ (2 – 6); в) (21 – 19) ∙ (–14 + 7);
б) (–15 + 21) ∙ (4 – 9); г) (8 – 9) ∙ (–10 – 11).
14. Израчунај вредност израза: а) 5 ∙ 3 + (–1) ∙ (–2); в) 3 ∙ (–2) + (–1) ∙ (–5); д) 10 ∙ (–10) – 100 ∙ 1;
б) –1 ∙ (–2) – (–3) ∙ (–4); г) 1 ∙ (–1) – 12 ∙ (–5); ђ) 4 ∙ (–15) – 0 ∙ (–7).
15. Израчунај вредност израза: а) –10 ∙ 3 + (–1) ∙ (–6) + (–5) ∙ 7; в) 4 ∙ (–4) – 7 ∙ 9 + (–2) ∙ (–6);
б) –1 ∙ (–4) + (–9) ∙ 8 – (–8) ∙ 5; г) 16 ∙ (–2) – 6 ∙ (–6) – 12 ∙ 4.
16. Дат је скуп А = {x | x ∈ Z, –44 < x ≤ 44}. Одреди производ свих елемената скупа A. 17. Дат је скуп В = {x | x ∈ Z, |x| ≤ 33}. Одреди производ свих елемената скупа В. 18. Ако је х2 = x ∙ x, попуни таблицу: х
1
2
–8
–2
5
12
–10
х2 19. Ако је број 25 квадрат бројева 5 и –5, онда је: а) број 4 квадрат бројева ___ и ___;
б) број 49 квадрат бројева ___ и ___;
в) број 81 квадрат бројева ___ и ___;
г) број 100 квадрат бројева ___ и ___.
20. Израчунај: а) 92 + (–9)2; г) (–8)2 – (–5)2 + 32;
б) (–2)2 – 22; д) 2 ∙ (–6)2 + (–4) ∙ 32 – (–10)2.
в) 52 – 42;
21. Израчунај вредност израза (x + y) ∙ z – x ∙ y ако је: а) x = 4, y = –7 и z = 12; б) x = –9, y = –11 и z = 3; в) x = –15, y = 5 и z = –20. 22. Израчунај вредност израза: а) –x ∙ (x + y), за x = 4 и y = –22; б) (–x – y) ∙ (x – y), за x = 5 и y = –11; в) x ∙ y – 3 ∙ (x + y), за x = –8 и y = 6. 23. Ако је m = –5, n = 6 и p = –7, израчунај вредност израза: а) m ∙ n – m ∙ p; б) (m – n) ∙ (m + p); в) –m ∙ n + m ∙ n ∙ p; г) n ∙ p – m ∙ n ∙ (n – p).
19
24. За А = (–6 + 4) ∙ (–3), В = –1 ∙ (–2) ∙ (–3) и С = (–3)2 – 4 ∙ 5 израчунај вредност израза: а) А ∙ В – В ∙ С; б) (А – В) ∙ (А ∙ В + С). 25. Бројеве А, В и С поређај по величини од најмањег до највећег ако је: А = (–12 + 6) ∙ (–7), В = –22 – 6 ∙ (–19 + 9) и С = (–2 – 3 – 4) ∙ (–9 + 15) – (–5)2. 26. Израчунај вредност израза: а) –9 + (–8 + 7 + 6) ∙ (–5) – 4 ∙ (–3); б) 25 – [6 – 9 ∙ (–5) + (7 – 12) ∙11]; в) 100 – {[15 – 9 ∙ (11 – 14)] ∙ (18 – 19)}; г) {[12 + (–3) ∙ (9 – 12)] ∙ (10 – 20)} ∙ (4 – 6). 27. Разлику бројева –19 и 5 (–19 је умањеник) помножи са 3. 28. Производу бројева –12 и 11 додај број –7. 29. Израчунај производ збира бројева −63 и 54 и броја −7. 30. Збир бројева –31 и 24 помножи њиховом разликом, ако је 24 умањилац. 31. Од производа бројева –10 и 7 одузми производ бројева –14 и –2. 32. За колико се разликују производ бројева −24 и 6 и количник бројева 55 и −11? 33. Израчунај количник ако је дељеник збир бројева −84 и 68, а делилац апсолутна вредност броја −16. 34. Производ три цела броја је −42, а производ најмањег и највећег од њих је −14. Који су то бројеви? Колико решења има задатак?
ДЕЉЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. Испитај тачност следећих тврђења: а) –9 999 : 9 < 0; б) –729 : (–3) > 0; в) 575 : (–5) > 0; г) –3 456 : (–9) < 0. 2. Израчунај количнике: а) 56 : 8; б) –56 : 8;
в) 56 : (–8);
г) –56 : (–8).
3. Израчунај количнике: а) –24 : 6; б) 27 : (–3); д) –45 : 15; ђ) –81 : (–9);
в) 55 : 11; е) 34 : (–17);
г) –28 : (–7); ж) –36 : 4.
4. Израчунај: а) 0 : 15; г) 0 : (–24);
20
б) 15 : 1; д) –24 : 1;
в) 15 : (–1); ђ) –24 : (–1).
5. Израчунај:
а) 78 : 78;
б) 78 : (–78);
6. Попуни таблице: а) а
b
6
–3
–15
5
–90
–10
60
–12
в) –78 : (–78);
г) –78 : 78.
б) а∙b
а:b
а
b
–12
4
а∙b
–3 –55
–6 605 –52
7. Који број треба да помножиш: а) са 10 да би добио –70? в) са –12 да би добио –84?
а:b
–13
б) са –5 да би добио 75? г) са 7 да би добио –63?
8. Израчунај: а) 35 : (5 – 12); в) (71 – 17) : (–18);
б) –64 : (–25 + 17); г) (–13 – 29) : (–7).
9. Израчунај вредност израза: а) 19 : (–1) + 14 : 7; в) 22 : (–11) – 28 : (–4); д) –4 ∙ (–3) + 20 : (–4);
б) –8 : (–4) – 48 : 8; г) –50 : 5 + 30 : (–6); ђ) –56 : 7 + 8 ∙ (–4).
10. Ако је x = –12 и y = – (–4), израчунај: a) x + y; б) |x – y| ;
в) – x ∙ y;
г) –x : y.
11. Ако је x = – (–5) и y = –15, израчунај: а) x + y; б) |x| – y;
в) – (x ∙ y);
г) –y : x.
12. Израчунај вредност израза: а) |–45| : (–9) + |–8| : |–2|; в) |–5 – (–8)| ∙ (–4) + 32 : (–16);
б) |–12| : 4 + 120 : |–20|; г) |7 – (–2)| : (–3) + |–5| ∙ (–3).
13. Израчунај вредност израза: а) 29 – 12 : (–3) – 6 ∙ (–3); в) –10 – 6 : (–2) + 4 ∙ 5; д) (2 ∙ 3 + 8 : (–2)) : (–2) + 1. 14. Израчунај вредност израза: а) –19 – (3 – 2 ∙ 4 – 5 : (–1) + 6) + 19;
б) –20 + 2 ∙ (–6) – (3 + 4 : (–2)); г) –26 + 33 : (–11) – 9 ∙ (–5);
б) –17 – (22 : (– 11) + 5 ∙ (–3) – 2).
15. Ако је а = –2, b = 4, c = –5, израчунај: а) –5a + 3b – 10c; б) 7a – 10b + 10c; в) ab + bc – ac; г) 4c : a – a : (–2) – c ∙ b. 16. За а = –11, b = –3 и c = 5 израчунај:
а) 2ab – 3ac + 4ac;
б) a2 – b2 – c2.
21
17. Израчунај вредност израза: а) 33 : 3 – {33 ∙ 3 – [52 : (–2) –(27 : 9 –18 ∙ 2)]}; б) 53 – 8 : 4 – {250 : (–5) – [–39 : (–13) –(2 ∙ 5 –30 ∙ (–4))]}; в) –16 + 32 : 16 + {–17 – [22 + 8 ∙ (5 ∙ 4 – 8 ∙ 3)] – 6}; г) 28 – 48 – {10 – 5 ∙ [– 24 + 9 ∙ (– 11 + 13)] – 28} ∙ (–3). c
18. Попуни дате пирамиде ако за
a
b
важи a ∙ b = c:
–20 –4 –7
5
–4
–10
2
4
19. Израчунај количник збира бројева −63 и 47 и броја −16. 20. Производ бројева −18 и −2 умањи за количник бројева 125 и −5. 21. Количнику бројева −80 и −5 (–80 је дељеник) додај производ бројева −16 и 8. 22. Од количника бројева –42 и 6 (6 је делилац) одузми производ бројева –13 и 9. 23. Од производа бројева –11 и 13 одузми количник бројева –32 и 8. 24. Израчунај вредност израза: а) 2a – |b – a : 3| ∙ (–2) aкo je а = 15 : (–3) – (–5 + 9) : (–2) и b = –a; б) 4 ∙ (3m –2n) – 5 ∙ (4m – 3n) aкo je m = –2 и n = –1; в) – (–4х + (–8 + (5х – 1) – 3х)) – (–9 + х) ако је х = –2.
СВОЈСТВА МНОЖЕЊА 1. Испитај тачност једнакости: а) –9 ∙ 8 = 8 ∙ (–9); в) –9 ∙ (8 + (–7)) = –9 ∙ 8 + (–9) ∙ (–7);
б) –9 ∙ (8 ∙ (–7)) = (–9 ∙ 8) ∙ (–7); г) 6 ∙ (–5) + 6 ∙ 4 = 6 ∙ (–5 + 4).
2. Попуни дате таблице, па упореди последње две колоне: а)
в)
22
a –12 –7 22 –9
b 4 –17 –3 –8 а –1 4 –2
а∙b
b∙а
b 5 –9 –3
б)
с 15 7 –4
а –3 9 –2 12
b 8 –8 –3 –1 а ∙ (b + с)
с 4 –7 –4 5
а ∙ (b ∙ с)
а∙b+а∙с
(а ∙ b) ∙ с
3. Користећи својства множења израчунај: а) 2 ∙ 19 ∙ (–5); б) –5 ∙ 12 ∙ (–2); г) (–14) ∙ (–4) ∙ (–3) ∙ (–25); д) 125 ∙ (–7) ∙ (–4) ∙ (–2).
в) 20 ∙ (–7) ∙ 5 ∙ (–13);
4. Примени дистрибутивност и упрости дате изразе: а) 5а – 3а; б) –7b – 4b + 8b; в) –4а + (–4b); г) 12b – 6b – 19b+ 3b.
5. Израчунај вредност израза примењујући дистрибутивност: а) 7 ∙ 2 + 7 ∙ (–13); б) –4 ∙ 6 + 8 ∙ 6 – 6 ∙ 6; в) –12 ∙ 7 + (–12) ∙ 4 – (–12) ∙ 5; г) –9 ∙ (–5) – 11 ∙ (–5) + 10 ∙ (–5). 6. Ослободи се заграда у датим изразима: а) 2 ∙ (3x – 4y); б) –7 ∙ (5а + 9); в) (–13а + 15b) ∙ 4; г) (–12 + 5а – 3b) ∙ (–10).
ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ 1. Реши једначине у скупу целих бројева: а) 5х = 35; б) –9 ∙ х = 27; г) 9 ∙ х = –36; д) х : 4 = 7; е) х : (–7) = 3; ж) х : (–5) = –5; и) 40 : х = –8; ј) –55 : х = 11;
в) –6 ∙ х = –48; ђ) х : 9 = –2; з) –16 : х = –2; к) –39 : х = –13.
2. Реши једначине у скупу целих бројева: а) –3 ∙ х – 17 = 13; б) –8 ∙ х + 8 = –80; г) –19 + 3 ∙ х = 8; д) –7 + 5 ∙ х = –42; е) –8 + 7 ∙ х = –57; ж) –7 ∙ х – 1 = –6 – 9;
в) 5 ∙ х + 9 = –16; ђ) –12 + 5 ∙ х = –42; з) –6 ∙ х + 32 = –18 – 10.
3. Производ 3 ∙ х краће пишеш и овако: 3х. Реши једначине у скупу целих бројева: а) (3х – 4) : 11 = –2; б) 21 ∙ (4 – 6х) = –42; в) (–20х – 50) ∙ 2 = 100. 4. Реши једначину –3y + x = –5 за y = –2. 5. Реши једначине: а) 3х + 4х = –49; в) 21х – 12х + 11х = –100; д) 7х + 1 = 8х + 9;
б) 5х – 14х = 27; г) 4х – 9х + 6 = –29; ђ) 6х – 100 = 9х – 1.
6. Којим бројем треба помножити број –35 да би се добио број 70? 7. Којим бројем треба поделити број –35 да би се добио број 7? 8. Када трострукој вредности неког броја додаш 6, добићеш –3. Који је то број?
23
9. Када од петоструке вредности неког броја одузмеш 12, добићеш –72. Који је то број? 10. Ако двоструку вредност неког броја умањиш за 16, па добијену разлику поделиш са 4, добићеш број –6. О ком броју је реч? 11. Реши једначине: а) |5x| = 10; в) |2x + 5| = 11;
б) |4x| ∙ (–3) = –36; г) |4x – 2| = 22.
12. Збир три узастопна цела броја је –714. Који су то бројеви? 13. Збир пет узастопних целих бројева је –10. Који су то бројеви? 14. Провери који од бројева из скупа А = {–10, 3, 7, –2, –8} могу бити решења неједначине –5 ∙ х > 35. 15. Реши неједначине у скупу целих бројева и решења прикажи на бројевној правој: а) 5 ∙ х < –5; б) х : 4 > –2; в) –3 ∙ х ≤ 9; г) –6 ∙ х ≥ 12; д) х : (–3) > 1; ђ) –17 ∙ х < –34. 16. Реши неједначине у скупу целих бројева и решења прикажи на бројевној правој: а) 2х + 3 < 1; б) 19 – 3х ≥ 7; в) 1 – 3х ≥ 10; г) –7х – 1 ≤ –15; д) –7 + 5х ≤ –42; ђ) –8 + 7х ≤ –57. 17. Реши неједначине у скупу целих бројева и решења прикажи на бројевној правој: а) (8 – 3х) : 2 ≥ –5; б) –40 ∙ (–7х + 5) > –1 600. 18. Нађи заједничка решења неједначина у скупу целих бројева: а) 2х + 1 > 19 и 2х – 1 < 21; б) –3х + 6 > –3 и 4х – 12 ≥ –8; в) –7 < 2х + 3 < 5. 19. Реши неједначине: а) 3 ∙ |x| < 15;
б) 5 ∙ |x| < 20;
в) |x| : 2 ≤ 15.
20. Одреди вредности променљиве х за које је израз 7 – (2 – 5х) мањи од производа бројева –11 и 5. 21. Одреди вредности променљиве y за које је израз –15 – (3y + 8) већи од количника бројева –35 и 7 (7 је делилац).
24
ТЕСТ – САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ У Z 1. Поређај од најмањег до највећег целе бројеве из скупа А = {–7, 12, 0, 3, –3, –4, 2, –5, 5, –1}. _______________________________________________ 2. Нацртај бројевну праву и на њој одреди тачке А(–3) и В(6). Колико је растојање између тачака А и В?
а) –3;
б) 3;
в) –9;
г) 9.
(Заокружи слово испред тачног одговора.) 3. Израчунај и напиши одговарајући резултат: а) –7 + (–14) = ___;
б) –27 + 11 = ___;
в) 15 – 19 =___;
г) –17 – 15 = ___.
4. Израчунај |–8| – |10| – |2| + |–6|, па заокружи слово испред тачног одговора: а) 2;
б) –10;
в) –28;
г) 26.
5. Ако је а = –2, b = 3 и с = –4, онда је вредност израза –а – (–b) + с: а) 1;
б) –1;
в) 3;
г) –3.
(Заокружи слово испред тачног одговора.) 6. На Петровом рачуну у банци стање је –2 770 динара. Колико ће бити ново стање на његовом рачуну ако из банке подигне 3 500 динара? а) –6 270 динара;
б) 730 динара;
в) –730 динара;
г) 6 270 динара.
(Заокружи слово испред тачног одговора.) 7. Решење једначине –44 – (х + 8) = 7 је: а) х = 43;
б) х = –43;
в) х = –45;
г) х = –59.
(Заокружи слово испред тачног одговора.) 8. Решење неједначине –17 – х ≥ –19 је: а) х > 2;
б) х ≤ 2;
в) х ≥ –2;
г) х ≤ –36.
(Заокружи слово испред тачног одговора.)
1. –7, –5, –4, –3, –1, 0, 2, 3, 5, 12; 2. АВ = 9; 3. а) –21; б) –16; в) –4; г) –32; 4. а); 5. а); 6. а); 7. г); 8. б).
РЕшЕЊА: 25
ТЕСТ – МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ У Z 1. Израчунај и напиши одговарајући резултат: а) 9 ∙ (–7) = ___;
б) –13 ∙ 4 = ___;
в) –11 ∙ (–6) = ___.
2. Израчунај и напиши одговарајући резултат: а) 72 : (–8) = ___;
б) 121 : 11 = ___;
в) –39 : (–3) = ___.
3. Вредност израза –4 + (–2) ∙ 6 – 44 : (–4) је: а) –27;
б) –5;
в) –3;
г) –25.
(Заокружи слово испред тачног одговора.) 4. Ако је а = –2 и b = –3, вредност израза 4а – 2b – 3аb је: а) –32;
б) –20;
в) 16;
г) 4.
(Заокружи слово испред тачног одговора.) 5. Ако од количника бројева –42 и 6, где је –42 дељеник, одузмеш производ бројева –13 и 9, добићеш број: а) –124;
б) –110;
в) 110;
г) 124.
(Заокружи слово испред тачног одговора.) 6. Решење једначине (–2х + 1) : 5 = –3 је: а) х = –7;
б) х = –8;
в) х = 8;
г) х = 7.
(Заокружи слово испред тачног одговора.) 7. Решење неједначине 6 ∙ х ≥ –18 је: а) х < 3;
б) х ≤ –3;
г) х > 3.
в) х ≥ –3;
(Заокружи слово испред тачног одговора.) 8. Када од петоструке вредности неког броја одузмеш број 12, добићеш број –72. Тај број је: а) х = –60;
б) х = –12;
в) х = 12;
г) х = 60.
(Заокружи слово испред тачног одговора.)
1. а) –63; б) –52; в) 66; 2. а) –9; б) 11; в) 13; 3. б); 4. б); 5. в); 6. в); 7. в); 8. б).
РЕшЕЊА: 26
ЦЕЛИ БРОЈЕВИ – РЕШЕЊА СКУП ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. В = {5, 29, 18}, С = {5, –2, –7, 0, 29, 18, –35}. 2. а) тачно; б) нетачно; в) тачно; г) тачно; д) нетачно; ђ) тачно. 3. N N Z– Z 8 –1 0 55 –14 2,5
0
∈ ∉ ∉ ∈ ∉ ∉
∈ ∉ ∈ ∈ ∉ ∉
4. а) На пример: –8, –7, –6, –5, –4; 5. –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3. 6. –6, –5, –4, –3, –2, –1. 7. а) 5; б) 0; в) 11.
∉ ∈ ∉ ∉ ∈ ∉
∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∉
б) –3, –2, –1, 0, 1.
БРОЈЕВНА ПРАВА 1. –7
–4
–1
0
2
5
8
2. А(–5), В(–2), С(–1), D(2) и Е(4). 3. 12. 4. 5 јединичних дужи, 5 ∙ 3cm = 15cm. 5. Између тачака М и N има 16 јединичних дужи, 8cm : 16 = 0,5cm. 6. В(–6); С(4). 7. а) 5 јединичних дужи удесно; б) 10 јединичних дужи улево. 8. В(8). 9. S(–1). 10. Најтоплији је био Крагујевац, а најхладнији Ниш. 11. 15°С. 12. 2°С.
СУПРОТАН БРОЈ 1. а) –5; б) 3; в) –100; г) 222. 2. a 7 –1 88 –a –7 1 –88
15 –15
–9 9
–99 99
14 –14
3. На пример: 8 и –8; 1 и –1; –10 и 10; 73 и –73; –999 и 999.
АПСОЛУТНА ВРЕДНОСТ БРОЈА 1. 8, 6, 2, 19, 0, 21, 6, 14. 2. а) тачно; б) нетачно; в) нетачно; г) тачно; д) тачно; ђ) нетачно. 3. а) 16 и –16; б) 3 и –3; в) 7 и –7; г) 50 и –50. 4. а) х = 8 или х = –8; б) х = 22 или х = –22; в) х = 5 или х = –5; г) х = 17 или х = –17. 5. х ∈ {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}.
27
6.
a |a|
10 10
–6 6
–15 15
8 8
–40 40
32 32
9 9
7. а) 5 – 5 = 0; б) 0; в) 0. 8. а) 10 – 5 = 5; б) 10 – 5 = 5; в) 10 – 5 = 5; г) 10 – 5 = 5. 9. а) 25; б) 32; в) 15; г) 16. 10. а) 11; б) 36; в) 70; г) 11. 11. а) 69; б) 13; в) 46; г) 30. 12. а) 75; б) 61; в) 23; г) 36. 13. а) 1; б) 11; в) 25; г) 35. 14. а) a 9 –18 –6 44 –13 –a –9 18 6 –44 13 – (–a) 9 –18 –6 44 –13 |a| 9 18 6 44 13 б)
a |a| |a| + 4 |a|–1
–16 16 20 15
–4 4 8 3
5 5 9 4
–20 20 24 19
–1 1 5 0
25 –25 25 25 9 9 13 8
ПОРЕЂEЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. а) –20 < –19 < –14 < –8 < –7 < –3; б) –18 < –5 < 0 < 3 < 4 < 9 < 20; в) –12 < –6 < –4 < 5 < |–7|<|8|< 17. 2. |0|<|1|<|–5|<|9|<|–11|<|14|<|–17|<|–22|. 3. а) –8 < –5; б) 11 > –3; в) –4 < – (–4); г) |–5| < 11; д) |–8| > |4|; ђ) |–15| = |15|. 4. а) х ∈ {–5, –4, –3, –2, –1}; б) х ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}; в) х ∈ {–1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}; г) х ∈ {–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1}; д) х ∈ {–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
САБИРАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. а) –19; б) –11; в) 11; г) 19. 2. а) 3; б) –15; в) 0; г) 0. 3. а) 1) 45; 2) –2; 3) 6; 4) –44; б) 1) 35; 2) 96; 3) –90; 4) –185; в) 1) –62; 2) –135; 3) 33; 4) –196. 4. а) 1; б) –4; в) –2; г) –25; д) 7; ђ) –34. 5. а) –10; б) –3; в) –45; г) –230; д) –65; ђ) –7; е) –217. 6. x y z x+y x+z y+z x+y+z –2 –3 –1 –5 –3 –4 –6 –7 18 –1 11 –8 17 10 –13 –21 46 –34 33 25 12 19 –36 42 –17 61 6 25 –39 152 191 113 152 343 304 7. –68.
28
8. а)
9. а)
б)
+16
+
–8
25
–14
–62
–46
9
1
34
–5
19
35
17
9
42
3
–33
–17
–21
–29
4
–35
–7
9
+8
–9
б) 22
+4
–1
+(–38)
–16
+(–17)
3
+14
+(–92)
–2
–14
–94
ОДУЗИМАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. a) –11; б) 5; в) 11; г) –5. 2. а) 1) 9; 2) –15; 3) 0; 4) 0; б) 1) –7; 2) 3, 3) 13; 4) –6; в) 1) –43; 2) –4; 3) –23; 4) 16. 3. а) –9; б) –9; в) 0; г) –20; д) 30; ђ) –43; е) 19; ж) –8. 4. а) 3; б) 3; в) –13; г) 0; д) 6. 5. а) 4; б) –33; в) –68; г) –26. 6. a) –38 +15 –9 23 –15 0 –9
б)
–23
–17
–40
7. а)
+26
+12
–14
б) –
19
–33
–14
–18
–37
15
–4
29
10
62
43
–66
–85
–33
–2
– 54
–52
8. а) –11; б) –9; в) 9; г) 11; д) –1; ђ) 19. 9. a b a+b a–b
12
–42
83
29
–18
–72
37
–17
|a| –|b|
17
19
36
–2
–2
–6
15
9
–21
–9
–13
–7
–20
–6
6
28
–31
–3
59
–3
29
10. а) 36; б) –4. 11. а = –32, b = 19, |a|–| b | = 13. 12. а = 12, b = –55, (а – b) – (|a|–| b|) = 110. 13. а) –4; б) –24; в) 33; г) 50. 14. x = –8, y = 11, z = –22, a = 25, b = 41, c = –19, c < a < b. 15. A = –4, B = –9, C = –15, |A| = 4, |B| = 9, |C| = 15, |A| < |B| < |C|. 16. 39. 17. –24. 18. –101. 19. –41. 20. 118. 21. 132. 22. 152. 23. –42. 24. –2 150. 25. –4 600. 26. 4 300. 27. –3°C. 28. –1 615m. 29. 39 –136 –31 –12 –26
70 –19
14
–150 89
–33
–133 122
–85
14 –17
–48
31 31
0
СВОЈСТВА САБИРАЊА 1. а) тачно; б) тачно; в) тачно; г) тачно. 2. а) 1; б) 36; в) 10; г) –11. 3. а) –17; б) 0; в) –146; г) 12; д) 0; ђ) –22. 4. –19 + (–18) + (–17) + ... + 18 + 19 = 0. 5. а) (– 17) + (– 9) = (– 9) + (– 17); б) – 42 + 42 < 5 + 6; в) –7 – 27 < 59 + (–59); г) –34 + 16 + 34 > –100 + 11 + (–10). 6. x y z x+y y+z (x + y) + z x + (y + z) 12
–19
8
–7
–11
1
1
–7
31
–16
24
15
8
8
–4
–15
–76
–19
–91
–95
–95
6
12
–33
18
–21
–15
–15
Очигледно је (x + y) + z = x + (y + z).
ЈЕДНАЧИНЕ 1. а) х = 18; б) х = –3; в) х = –4; г) х = –4; д) х = 22; ђ) х = 3. 2. а) х = –7; б) х = –18; в) х = –16; г) х = 0; д) х = 39; ђ) х = –21. 3. а) х = –1; б) х = 4016; в) х = –2009; г) х = –1000; д) х = 0; ђ) х = –4. 4. а = –16, х = 11.
30
5. b = –7, х = –2. 6. а) х = 4; б) х = –10; в) х = 20; г) х = 14. 7. а) х = 50; б) х = 10; в) х = –28; г) х = –23. 8. а) а = 44; б) b = –34; в) c = 5; г) d = –4. 9. х = –13. 10. х = –23. 11. х = 11. 12. х = –14. 13. х = –81. 14. х = –20. 15. х = –118. 16. х = –31. 17. х = –12. 18. х = 24. 19. х = 11 350. 20. а) |х| = 5, х = 5 или х = –5; б) |х| = 9, х = 9 или х = –9; в) |х| = 5, х = 5 или х = –5; г) |х| = 5, х = 5 или х = –5. 21. а) х = 9 или х = –9; б) х = 5 или х = –5; в) х = 11 или х = –3; г) х = 4 или х = –8. 22. а) х = 7 или х = –7; б) х = 4 или х = –4; в) х = 1 или х = –7; г) х = 50 или х = –40.
НЕЈЕДНАЧИНЕ 1. а) –5, – 4, –3, –2, –1; б) –8, –7, –6, –5, – 4, –3; в) –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4. 2. а) –5, – 4, –3, –2; б) –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; в) –6, –5, – 4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6; г) –5, – 4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5. 3. а) х > 16; б) х ≤ 3; в) х < –6. 4. а) х < –1; б) х ≥ 7; в) х > –8; г) х > 3; д) х ≤ –8; ђ) х ≤ –3. 5. а) х > 1; б) х ≤ –10; в) х > 5; г) х ≤ 0. 6. а) х ≥ –1; б) х ≥ –2; в) х < –7; г) х < 4. 7. а) –2 < х < 12; б) –8 ≤ х < 4. 8. –6 < х < 2, (–5) + (– 4) + (–3) + (–2) + (–1) + 0 + 1 = –14. 9. а) –7 < х < 7; б) –4 ≤ х ≤ 4; в) –4 ≤ х ≤ 4; г) –3 ≤ х ≤ 3. 10. а) –4 < х < 6; б) –10 ≤ х ≤ 4; в) –2 ≤ х ≤ 4; г) –10 < х < 2. 11. –1 < х < 7, 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. 12. а) х ≤ 8; б) х > –8; в) х > –5. 13. Бројеве који су већи од 8, па решење можеш записати: х > 8. 14. Од бројева који нису већи од –60, па решење записујеш овако: х ≤ –60. 15. х > 14. 16. х > –134. 17. х ≥ –22. 18. За више од 11°C.
МНОЖЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. a) 27; б) 20; в) –40; г) –70. 2. а) тачно; б) нетачно; в) тачно; г) нетачно. 3. а) 24; б) –24; в) –24; г) 24. 4. а) 15; б) –75; в) –18; г) –40; д) 42; ђ) 96; е) 32; ж) 40. 5. а) 2; б) –12; в) 30; г) –56; д) –90. 6. а) 1) 987; 2) –987; 3) 0; б) 1) –1 111; 2) 1 111; 3) 0; в) 1) –500; 2) 500; 3) 0; г) 1) 4 545; 2) –4 545; 3) 0. 7. а) –7 ∙ (–3) > 4 ∙ (–9); б) –4 ∙ 5 = 4 ∙ (–5); в) –18 ∙ (–2) > 7 ∙ 5; г) –6 ∙ 9 > 7 ∙ (–8).
31
8.
9.
х
4∙х
–3 ∙ х
позитиван
позитиван
негативан
негативан
негативан
позитиван
негативан
негативан
позитиван
негативан
негативан
позитиван
а
b
с
а∙b
а∙с
b∙с
а∙b∙с
1
–2
3
–2
3
–6
–6
–9
8
–7
–72
63
–56
504
–10
–8
–5
80
50
40
–400
4
–25
2
–100
8
–50
–200
10. а) –1 000;; б) 1 000; в) 1 000; г) –1 000. 11. а) –; б) +; в) –; г) +; д) –. 12. а) 36; б) 36; в) –144; г) 144. 13. а) 92; б) –30; в) –14; г) 21. 14. а) 17; б) –10; в) –1; г) 59; д) –200; ђ) –60. 15. а) –59; б) –28; в) –67; г) –44. 16. 0. 17. 0. 18. х 1 2 –8 –2 х2
1
4
64
4
5
12
–10
25
144
100
19. а) 2 и –2; б) 7 и –7; в) 9 и –9; г) 10 и –10. 20. а) 162; б) 0; в) 9; г) 48; д) –64. 21. а) –8; б) –159; в) 275. 22. а) 72; б) 96; в) –42. 23. а) –65; б) 132; в) 240; г) 348. 24. А = 6, В = –6, С = –11; а) –102; б) –564. 25. А = 42, В = 38, С = –79, С < В < А. 26. а) –22; б) 29; в) 142; г) 420. 27. –72. 28. –139. 29. 63. 30. 385. 31. –98. 32. –139. 33. –1. 34. x ∙ y ∙ z = –42, x ∙ z = –14, y = –42 : (–14) = 3. Ако је x најмањи, а z највећи број, могућа решења су x = –1, z = 14 или x = –2, z = 7.
ДЕЉЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. а) тачно; б) тачно; в) нетачно; 2. а) 7; б) –7; в) –7; г) 7. 3. а) –4; б) –9; в) 5; г) 4; д) –3;
32
г) нетачно. ђ) 9;
е) –2;
ж) –9.
4. а) 0; 5. а) 1; 6.
б) 15; б) –1;
в) –15; г) 0; в) 1; г) –1.
д) –24;
ђ) 24.
а
b
а∙b
а:b
а
b
а∙b
а:b
6
–3
–18
–2
–12
4
–48
–3
–15
5
–75
–3
18
–3
–54
–6
–90
–10
900
9
–55
–11
605
5
60
–12
–720
–5
26 (или –26)
–2 (или 2)
–52
–13
7. а) –7; б) –15; в) 7; г) –9. 8. а) –5; б) 8; в) –3; г) 6. 9. а) –17; б) –4; в) 5; г) –15; д) 7; ђ) –40. 10. а) –8; б) 16; в) 48; г) 3. 11. а) –10; б) 20; в) 75; г) 3. 12. а) –1; б) 9; в) –14; г) –18. 13. а) 51; б) –33; в) 13; г) 16; д) 0. 14. а) –6; б) 2. 15. а) 72; б) –104; в) –38; г) 29. 16. а) 11; б) 87. 17. а) –81; б) –26; в) –27; г) 16. 18. –560 000 700 –800 –35 –20 40 –7 5 –4 –10 19. 1. 20. 61. 21. –112. 22. 110. 23. –139. 24. а) а = –3, b = 3, вредност израза 2;
б) 9;
160 –8 –4 4
–20 2
–1
–10 –2
5
в) 16.
СВОЈСТВА МНОЖЕЊА 1. а) тачно; 2. а) a –12 –7 22 –9 в)
а –1 4 –2
б) тачно; b 4 –17 –3 –8
в) тачно; а∙b –48 119 –66 72 b 5 –9 –3
г) тачно. б) b∙а –48 119 –66 72 с 15 7 –4
а –3 9 –2 12
b 8 –8 –3 –1
а ∙ (b + с) –20 –8 14
с 4 –7 –4 5
а ∙ (b ∙ с) –96 504 –24 –60
(а ∙ b) ∙ с –96 504 –24 –60
а∙b+а∙с –20 –8 14
33
3. а) –190; б) 120; в) 9 100; г) 4 200; д) –7 000. 4. а) 2а; б) –3b; в) –4(а + b); г) –10b. 5. а) –77; б) –12; в) –72; г) 50. 6. а) 6х – 8y; б) –35а – 63; в) –52а + 60b; г) 120 – 50а + 30b.
ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ 1. а) х = 7; б) х = –3; в) х = 8; г) х = –4; д) х = 28; ђ) х = –18; е) х = –21; ж) х = 25; з) х = 8; и) х = –5; ј) х = –5; к) х = 3. 2. а) х = –10; б) х = 11; в) х = –5; г) х = 9; д) х = –7; ђ) х = –6; е) х = –7; ж) х = 2; з) х = 10. 3. а) х = –6; б) х = 1; в) х = –5. 4. х = –11. 5. а) х = –7; б) х = –3; в) х = –5; г) х = 7; д) х = –8; ђ) х = –33. 6. х = –2. 7. х = –5. 8. х = –3. 9. х = –12. 10. х = –4. 11. а) х = 2 или х = –2; б) х = 3 или х = –3; в) х = 3 или х = –8; г) х = 6 или х = –5. 12. –239, –238, –237. 13. –4, –3, –2, –1, 0. 14. –10, –8. 15. а) х < –1; б) х > –8; в) х ≥ –3; г) х ≤ –2; д) х < –3; ђ) х > 2. 16. а) х < –1; б) х ≤ 4; в) х ≤ –3; г) х ≥ 2; д) х ≤ –7; ђ) х ≤ –7. 17. а) х ≤ 6; б) х > –5. 18. а) 9 < x < 11, x = 10; б) 1 ≤ x < 3, x ∈ {1, 2}; в) –5 < x < 1, x ∈ {–4, –3, –2, –1, 0}. 19. а) –5 < x < 5; б) –4 < x < 4; в) –30 ≤ x ≤ 30. 20. х < –12. 21. y < –6.
34
ТРОУГАО ПОЈАМ И НЕКЕ ВРСТЕ ТРОУГЛОВА 1. Допуни реченице: Темена троугла морају бити три ___________________ тачке. Троугао који одређују тачке А, В и С обележавамо са _______. Страница АВ се обележава са ____, страница ____ са a, а страница ____ са b. Угао САВ се обележава са ____, угао _____ са γ, а угао _____ са β. 2. Доврши обележавање темена, страница и углова троугла на уобичајени начин: а) б) в) г) А γ b β
α
А
С
с
3. Колико различитих троуглова је записано у низу: а) ΔABC, ΔBAC, ΔBCA, ΔCBA; б) ΔSAR, ΔPAS, ΔTAS, ΔRAS, ΔAPS, ΔSAT. 4. Запиши све троуглове који се могу уочити на слици: 1) 2) 3) А А C В Е
4) V M I O
E С
D
M
O
S
T
E
R
R
A
A
L
V
а) Издвој све троуглове са слике 3) чија је једна страница дуж ТА. б) Наброј све троуглове са слике 4) чије је једно теме тачка V. в) На сликама 1) и 4) уочи и наброј све наспрамне странице темену А троуглова чије је једно теме тачка А. 5. Колико троуглова је одређено датим тачкама: а) б) A
R
R
I O
P T
V
в)
г) S
N J
E E
N
M
O
N
R
K
T A
I
6. Колико различитих троуглова је одређено са а) четири; б) пет; в) шест тачака, ако не постоје три тачке које су колинеарне (никоје три не припадају једној правој).
35
7. Колико троуглова је одређено са пет тачака ако су а) три; б) четири од тих тачака колинеарне? 8. На три паралелне праве дато је 5, 10 и 15 тачака. Ако са сваке од паралелних правих одаберемо по једну (било коју) тачку, помоћу њих увек можемо формирати троугао (оне су неколинеарне). Колико се таквих троуглова може формирати? 9. Допуни реченице: Ако су у троуглу све странице различите, називамо га ______________________________. Ако су две странице троугла једнаке дужине, називамо га _______________________ троугао, а једнаке странице називају се ____________________ тог троугла, док је трећа страница _________________ тог троугла. Троугао чије су све странице једнаке дужине назива се _____________________ троугао. 10. Једнакостраничне троуглове обој плавом, разностране зеленом, краке једнакокраких троуглова црвеном, а основице жутом бојом.
11. Израчунај обим троугла чије су странице 2cm, 4cm и 5cm. 12. Израчунај обим једнакокраког троугла ако је: а) крак 6,4cm, а основица 11cm; б) основица 4,1cm, а крак за 1,3cm дужи од основице. 13. Израчунај обим једнакостраничног троугла чија је страница 2,2cm. 14. Обим троугла је 22cm. Ако су дужине две странице 9,5cm и 4,2cm, израчунај трећу. 15. Обим једнакокраког троугла је 7,4cm. Израчунај странице троугла ако је: а) крак 2,1cm; б) основица 2,1cm. 16. Израчунај страницу једнакостраничног троугла ако је обим тог троугла 14,7cm.
УГЛОВИ ТРОУГЛА 1. Нацртај два различита троугла. Конструктивно (преношењем углова) сабери углове ова два троугла. Шта закључујеш о збировима њихових углова? 2. Да ли постоји троугао чији су углови: а) 50°, 60° и 70°; б) 33°, 21° и 136°; в) 82°, 33° и 64°;
г) 1’, 74°57’ и 105°2’ ?
3. Одреди трећи угао троугла ако су мере преостала два угла: а) 32° и 75°; б) 60° и 60°; в) 90° и 45°; г) 53° и 73°26’; д) 13°37'' и 28°54’.
36
4. Допуни реченице: Према угловима, троуглове делимо на ____________________, ____________________ и ____________________. Троугао је ____________________ ако су сва три унутрашња угла оштра. Троугао је тупоугли ако __________________________________________________. Троугао је правоугли ако ______________________________________________________. 5. Два угла троугла су: а) 15o и 73o; б) 24o и 52o; в) 34o и 56o. Којој врсти (према угловима) припадају ови троуглови? 6. Нацртај један: а) оштроугли; б) тупоугли; Какви су њихови спољашњи углови?
в) правоугли троугао.
7. Да ли постоји троугао чији су спољашњи углови: а) 113°, 27° и 40°; б) 157°, 121° и 82°; в) 120°, 135° и 105°; г) 111°37’, 77°44’’ и 171°22’16’’ ? 8. Одреди трећи спољашњи угао троугла ако су мере два његова спољашња угла: а) 173° и 62°; б) 102° и 148°; в) 83°47’ и 122°58’; г) 160°37’’ и 100°10’. 9. Одреди спољашње углове троугла ако су мере два унутрашња угла тог троугла: а) 21° и 73°; б) 1° и 174°; в) 38°27’ и 82°55’; г) 45°29’44’’ и 90°24’’; д) 36° и 81°48’’. 10. Одреди све углове троугла ако је: а) α = 78° и β1 = 154°; б) β = 82° и α1 = 107°52’; в) α1 = 96° и γ = 69°9’; г) α = 47°41’’ и γ1 = 136°12’. 11. Да ли два спољашња угла троугла могу да буду права? А оштра? 12. Мере углова троугла су три узастопна природна броја. Одреди те углове. 13. Одреди унутрашње и спољашње углове троуглова са слике: а) б) в) A A x 15° B B
3x
7y
2x
г)
x
2x x + 57° C
8y
B
C
A
C
д) А
В
В 31°
130°
135° С
А
102°
82°
С
37
14. Упиши знак + у одговарајућу колону ако троугао на основу датог услова може да буде оштроугли, правоугли или тупоугли. Пази, некад ћеш ставити и три плуса за један услов. оштроугли правоугли тупоугли Сви унутрашњи углови су оштри. Један спољашњи угао је прав. Два унутрашња угла су оштра. Сви спољашњи углови су тупи. Један унутрашњи угао је већи од збира друга два. Разлика два унутрашња угла је 90°. Спољашњи угао је једнак суседном унутрашњем. Унутрашњи угао је већи од суседног спољашњег. Спољашњи угао је два пута мањи од унутрашњег. 15. Можеш ли сечењем (покушај самостално са моделом фигуре од папира) да од: а) произвољног троугла добијеш два правоугла; б) тупоуглог троугла добијеш два оштроугла троугла; в) оштроуглог троугла добијеш један правоугли и један оштроугли троугао; г) квадрата добијеш три правоугла троугла; д) правоугаоника добијеш један правоугли, један оштроугли и један тупоугли троугао? 16. Израчунај углове троугла ако је: а) један угао за 17° већи од другог, а за 35° мањи од трећег. б) један угао два пута већи од другог, а три пута мањи од трећег. 17. Израчунај спољашње углове троугла ако је: а) α = 2 β = 1 γ; б) 2 α = β = 2 γ. 3 2 7 9 18. Израчунај унутрашње и спољашње углове троугла ако је: а) збир два унутрашња угла троугла 142°, а један од тих углова 63°; б) α + β = 163° и β + γ = 52°. Којој врсти (према угловима) припада тај троугао? в) збир два спољашња угла троугла 287°, а њихова разлика 27°; г) збир два унутрашња угла 115°, а један од њих четири пута већи од другог; д) разлика два угла троугла 48°, а један од њих три пута већи од другог. 19. Из темена С повучена је нормала на страницу АВ, која са страницом АС гради угао од 27°. Ако је β = 48°, израчунај углове тог троугла. 20. Израчунај остале унутрашње и спољашње углове правоуглог троугла ако је: а) један унутрашњи угао 39°; б) један спољашњи угао 111°. 21. У правоуглом троуглу АВС ( С = 90°) повучена је нормала из темена правог угла на страницу АВ, коју сече у тачки D. Покажи да троуглови АВС, АСD и ВСD имају једнаке углове. 22. Један оштар угао правоуглог троугла је три пута већи од другог. Израчунај углове тог троугла.
38
23. Разлика два оштра угла правоуглог троугла је 22°. Израчунај углове тог троугла. 24. Израчунај угао који граде симетрале унутрашњег и спољашњег угла код истог темена произвољног троугла. 25. Израчунај углове које граде: а) симетрале спољашњих тупих углова правоуглог троугла; б) симетрале оштрих углова правоуглог троугла. 26. Да ли симетрале два унутрашња угла могу да образују прав угао? 27. Ако је АD симетрала угла α, израчунај све углове троугла АВС: а) б) А A
2x
В 56°
87° D
С
B
3x
109°
C
D
28. Израчунај углове правоуглог троугла ако симетрала оштрог угла са наспрамном катетом гради угао од 61°. 29. У правоуглом троуглу, симетрале правог угла и једног од оштрих углова, на пример α, граде угао од 100°. Израчунај спољашње углове тог троугла. 30. Покажи да је један од углова који граде симетрале углова α и β једнак 90° + γ . 2 31. У унутрашњости троугла АВС дата је тачка М. Покажи да је
АМВ >
ACB.
ОДНОС СТРАНИЦА И УГЛОВА ТРОУГЛА 1. Нека су α, β и γ унутрашњи углови троугла АВС, а α1, β1 и γ1 одговарајући спољашњи углови. Упореди дужине страница троугла АВС ако је: а) α = 30°, β = 45°; б) α = 60°, γ = 50°; в) β1 = 100°, γ = 40°; г) α1 = 147°, β1 = 88°; д) β = 20°, γ = 80°; ђ) α = 90°, γ1 = 135°; е) α1 = 120°, β = 60°. 2. Упореди углове троугла ако су дужине његових страница: а) a = 3cm, b = 5cm и c = 6cm; б) a = 7cm, b = 4cm и c = 5cm; в) a = 2,3cm, b = 4,1cm и c = 1,9cm. 3. Упореди величине углова и страница троугла ако је: а) α = 72o, β = 31o;
б) α1 = 143o, γ1=97°.
4. Која страница троугла ABC је најдужа ако је: а) угао γ туп; б) α + β = 83°; в) угао α1 оштар; г) α + β = 99° и α + γ = 118°; д) угао који граде симетрале углова β и γ једнак 136°?
39
5. Угао на основици једнакокраког троугла је 82°. Израчунај све углове тог троугла. 6. Један угао једнакокраког троугла је 105°. Одреди остале унутрашње и спољашње углове и упореди дужине основице и крака тог троугла. 7. Унутрашњи угао једнакокраког троугла је 55°. Израчунај остале унутрашње углове и упореди дужине основице и крака тог троугла. 8. Угао при врху једнакокраког троугла је четири пута већи од угла на основици. Израчунај углове тог троугла. 9. Величина половине угла на основици једнакокраког троугла једнака је петини угла при врху. Одреди углове овог троугла. 10. Израчунај углове једнакокраког троугла ако: а) је спољашњи угао на основици три пута већи од угла при врху; б) угао између нормале из врха тог троугла на основицу и симетрале једног од углова на основици износи 59°. 11. Угао при врху једнакокраког троугла је 122°. Одреди угао који граде симетрале углова на основици тог троугла. 12. Симетрале углова на основици једнакокраког троугла граде угао од 149°. Израчунај величину угла при врху тог троугла и упореди дужине основице и крака. 13. Нормале повучене из темена на основици једнакокраког троугла на његове краке граде угао од 61°. Упореди дужине основице и крака тог троугла. 14. Која је најдужа страница правоуглог троугла? Зашто? 15. Израчунај унутрашње и спољашње углове једнакокраког правоуглог троугла. 16. Оштар угао правоуглог троугла је α = 27°. Упореди дужине катете тог троугла. 17. У правоуглом троуглу са правим углом у темену С: а) угао α је три пута већи од угла β; б) угао α је два пута мањи од угла γ. Упореди странице овог троугла. 18. Упореди странице троугла ако су сва три спољашња угла једнака. 19. Упореди странице троугла ако је γ = 97°, a = 13cm и b = 17cm. 20. Дат је квадрат АВСD. Над страницама квадрата конструисани су једнакостранични троуглови BCE, CDF и DAG, тако да са квадратом имају само заједничку страницу. Одреди углове троугла: а) ABE; б) BFG; в) EFG.
40
21. Одреди углове троугла АВС ако је: а) АВ = ВМ = МС и ВАС = 20°; б) AD = DC = CE = EB и С
DCE = 30 °; в) AB = BD = DA = DC C
С
М D A
В
А
D
E
В
A
B
22. Симетрала крака ВС једнакокраког троугла АВС сече крак ВС у тачки D, крак AC у тачки E, а продужетак основице AB у тачки F. Одреди углове троугла DEC ако је CFB = 30°. 23. Дат је троугао АВС. Угао који граде нормала из темена С на страницу АВ (CD) и симетрала угла γ (СЕ) је 15°. Израчунај углове троугла АВС ако је СЕ = ЕВ. 24. Нека је В подножје нормале из тачке А на праву а. Покажи да је дужина дужи АВ најкраће растојање од тачке А до неке тачке на правој а.
ОСНОВНЕ НЕЈЕДНАКОСТИ ЗА СТРАНИЦЕ ТРОУГЛА 1. Да ли постоји троугао чије су странице: а) 3cm, 4cm и 6cm; б) 3,2cm, 4,1cm и 5,2cm; в) 7,8cm, 4,1cm и 11,9cm; г) 12cm, 5cm и 6cm? 2. Процени дужину треће странице троугла ако су дужине преостале две странице: а) 4cm и 6cm; б) 3,4cm и 7,2cm; в) 8cm и 8cm; г) 1cm и 13,9cm. 3. Да ли постоји једнакокраки троугао чији су основица (a) и крак (b) дужине: а) a = 4cm и b = 5cm; б) a = 5dm и b = 2cm; в) a = 7,6cm и b = 3,8cm? 4. Две странице троугла су 7cm и 3cm. Одреди све могуће вредности за меру у центиметрима дужине треће странице троугла ако је она: а) природан број; б) непаран природан број; в) паран природан број. 5. Зоран има пет штапова чије су дужине 5cm, 7cm, 10cm, 17cm и 20cm. Колико различитих троуглова се може саставити од ових штапова? 6. У којим границама може бити дужина (процени дужину): а) основице једнакокраког троугла ако је крак дужине 5cm; б) крака једнакокраког троугла ако је дужина основице 14,9cm? 7. Странице једнакокраког троугла су: а) 15cm и 7cm; Која страница је крак, а која основица тог троугла?
б) 13cm и 15cm;
в) 1m и 20dm.
41
8. Две странице троугла су 10cm и 16cm, а трећа страница једнака је половини једне од датих страница. Одреди дужину треће странице. 9. Дужине страница троугла су природни бројеви, а његов обим је 7cm. Одреди све могуће вредности за дужине страница тог троугла. 10. Дужине страница једнакокраког троугла су природни бројеви. Колико таквих троуглова постоји ако је њихов обим: а) 8cm; б) 9cm; в) 2 008cm; г) 2 009cm. 11. Покажи да је свака страница троугла мања од полуобима тог троугла. 12. Обим троугла је 55cm. У којим границама може да буде дужина једне странице тог троугла? 13. Покажи да је збир било које две странице троугла већи од полуобима тог троугла. 14. На страници АВ троугла АВС дата је произвољна тачка М. Покажи да је дужина дужи СМ мања од полуобима овог троугла. 15. У унутрашњости троугла АВС дата је тачка О. Докажи да је збир растојања тачке О од темена троугла АВС већи од полуобима овог троугла. 16. Да ли постоји троугао у коме је страница b два пута дужа од странице a, а страница c два пута дужа од странице b?
ОСНОВНЕ И ЈЕДНОСТАВНЕ КОНСТРУКЦИЈЕ ЛЕњИРОМ И шЕСТАРОМ 1. Конструиши две кружнице полупречника 3cm и 4cm тако да: а) немају заједничких тачака; б) имају 1 заједничку тачку; в) имају 2 заједничке тачке. 2. Дата је права a и тачка А, која је ван ње. Конструиши: а) праву b нормалну на праву a, која садржи тачку А; б) праву с паралелну правој a, која садржи тачку А. 3. Дата је права a и на њој тачка А. Конструиши праву b, која је нормална на праву а и садржи тачку А. 4. Нацртај произвољну праву а. Конструиши праву b, која је паралелна правој а и налази се на растојању 3cm од ње. Колико таквих правих постоји? 5. Нацртај две произвољне дужи, па их сабери преносећи их на произвољну полуправу Оа. 6. Нацртај произвољан троугао АВС. Надовезивањем страница овог троугла одреди дуж чија је дужина једнака обиму троугла АВС. 7. Конструиши угао једнак датом углу α ако је угао α: а) оштар;
42
б) туп;
в) прав.
8. Дат је оштар угао α и туп угао β. Конструиши угао: а) α + β;
б) β – α;
в) 2β – α.
9. Дата је дуж АВ = 4cm. Подели ову дуж на 2, а затим на 4 једнака дела. 10. Нацртај произвољну дуж АВ. Конструиши дуж CD такву да је CD = 3 АВ. 4 11. Гусар Жиле је закопао благо. На мапи је уцртао 3 острва (нацртај 3 произвољне неколинеарне тачке). Где је благо закопано ако је једнако удаљено од сва три острва? 12. Дат је туп угао α. Подели овај угао на два, а затим на четири једнака дела. 13. Нацртај произвољан троугао АВС. Конструиши симетрале углова α и γ.
КОНСТРУКЦИЈЕ НЕКИХ УГЛОВА 1. Конструиши угао од: а) 60°; б) 120°; в) 30°; г) 90°; д) 150°; ђ) 45°; е) 135°; ж) 15°; з) 75°; и) 105°; ј) 165°. 2. Конструиши угао од: а) 22°30’; б) 67°30’; д) 7°30’; ђ) 52°30’;
в) 112°30’; е) 82°30’;
3. Конструиши угао од: а) 240°; б) 270°; в) 225°;
г) 337°30’;
г) 157°30’; ж) 127°30’;
д) 123°45’;
з) 172°30’.
ђ) 138°45’.
4. Угломером нацртај угао од 132°. Користећи тај угао, конструиши угао од: а) 16°30’; б) 33°; в) 115°30’; г) 99°.
ПОДУДАРНОСТ ТРОУГЛОВА 1. Направи од картона фигуре и резањем утврди да ли добијаш подударне троуглове ако: а) произвољан једнакокраки троугао изрежеш по правој, која је нормална на основицу и садржи врх тог троугла; б) произвољан правоугли троугао разрежеш по правој, која је нормална на хипотенузу и садржи теме правог угла; в) квадрат странице 4cm изрежеш по једној од дијагонала; г) правоугаоник страница 4cm и 3cm изрежеш по једној од дијагонала. 2. Резањем подели: а) правоугаоник страница 5cm и 6cm на 8 подударних троуглова; б) квадрат странице 8cm на 32 подударна троугла. 3. Када пресликаш троугао осном симетријом, да ли као слику добијаш подударан троугао? Нацртај на папиру произвољан троугао, затим нацртај једну праву и у односу на њу троугао симетричан почетном, па резањем провери оно што си тврдио на почетку.
43
4. Нацртај произвољан троугао, па га пресликај осном симетријом, ако је оса симетрије: а) произвољна права која садржи само једно теме троугла; б) права која садржи једну страницу троугла; в) права која са троуглом нема ниједну заједничку тачку. Изрежи добијене троуглове и преклапањем утврди да ли су подударни. 5. Троуглови АВС и PMR су подударни. Запиши који парови углова и који парови страница су једнаки (једнаким бројем цртица су обележене једнаке странице): а) б) в) В M P M R A А 80° 80° R P B R 62° 62° С
A C M
B
P
C
6. Уочи и запиши парове подударних, а међусобно различитих, троуглова: а) б) в) А
B
A
C
I B
C
D
E
C
B
A
D
D
E
СТАВОВИ ПОДУДАРНОСТИ ТРОУГЛОВА Страница–угао–страница 1. По ставу подударности, који краће записујемо СУС, два троугла су подударна ако _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________.
44
2. Докажи да су троуглови са слике подударни и запиши који елементи троуглова су једнаки: а) б) в) г) C A C A 2cm 4cm 84° 4cm B 45° B 3cm 2cm 30° 22mm C 6cm 52° K A 3cm B A B C L R R 2cm 4cm 84° 3cm 4cm 2cm 22mm E 44° 30° Q D P M 6cm P Q 3cm 315°
3. Докажи да су дијагонале:
а) квадрата;
б) правоугаоника
једнаке.
4. Дат је квадрат ABCD. Тачке M, N, P и Q су средишта страница AB, BC, CD и DA. а) Докажи да је ΔABQ ΔBAN. б) Докажи да су сви троуглови AMQ, BNM, CPN и DQP међусобно подударни. 5. На симетрали угла xOy дата је произвољна тачка А, а на крацима тачке В и С такве да је OB = OC. Докажи да је АВ = АС.
Угао–страница–угао 6. По ставу подударности, који краће записујемо УСУ, два троугла су подударна ако _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________. 7. Докажи да су троуглови са слике подударни и запиши који елементи троуглова су једнаки: а) б) в) A B 3cm P K 25° 45° 15° 20° 6cm A L B D S 65° E C 20° 6cm 3cm 45° C 15° T D D 8. Докажи да се дијагонале: а) квадрата;
б) правоугаоника полове.
9. Ако је један угао у правоуглом троуглу 30°, покажи да је катета наспрам тог угла два пута мања од хипотенузе правоуглог троугла. 10. Из произвољне тачке А симетрале угла α повучене су нормале на краке овог угла, које их секу у тачкама В и С. Докажи да је АВ = АС.
Страница– страница–страница 11. По ставу подударности, који краће записујемо ССС, два троугла су подударна ако _____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________.
45
12. Докажи да су троуглови са слике подударни и запиши који елементи троуглова су једнаки: а) б) в) B 4cm A B 5cm D C 60° A 3cm 7cm 7cm D 60° C 60° 5cm C A B 3cm 4cm D E 13. Дате су четири тачке A, B, C, D. Ако је AB = BC = CD = DA, докажи да је ΔABD ΔBDС. 14. На кружници са центром у тачки О одабране су тачке А, В и С такве да је АВ = ВС. Докажи да је ΔОAB ΔОВС. 15. Докажи да дуж која спаја теме правог угла и средину хипотенузе у једнакокраком правоуглом троуглу дели тај троугао на два подударна, такође једнакокрака правоугла троугла.
Страница–страница–угао 16. По ставу подударности, који краће записујемо ССУ, два троугла су подударна ако _____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________. 17. Докажи да су троуглови са слике подударни и запиши који елементи троуглова су једнаки: а) б) в) 95°
S 3cm 5cm
T
4cm 4cm L
A
B D 4cm
R
1cm 2cm 5cm
85°
A
C
4cm
2cm C 1cm
K 3cm
D
E
B
E
M
18. Докажи да нормала повучена из врха једнакокраког троугла на основицу дели ту основицу на два једнака дела. 19. На тетиву кружнице повучена је нормала из центра кружнице. Докажи да нормала дели тетиву на два једнака дела. 20. У правоуглом троуглу АВС је АСВ = 90°, АВ = 10cm, ВС = 5cm, а у правоуглом троуглу PQR је PRQ = 90°, PQ = 10cm и RPQ = 30°. Докажи да је ΔABС ΔPQR.
46
ПРИМЕНa СТАВОВА ПОДУДАРНОСТИ 1. Применом сваког од четири става подударности докажи да дијагонала дели квадрат на два подударна троугла. 2. Дужи AB и CD се секу у тачки P, која их полови. Докажи да је AC = BD и AD = BC. 3. Докажи да је свака тачка на симетрали дужи АВ подједнако удаљена од крајева те дужи. 4. На кружници са центром у тачки O дате су редом тачке A, B, C и D, такве да је AB = CD. Докажи да је ΔAOC ΔBOD. 5. На крацима оштрог угла xOy дате су тачке А и В (А на једном, а В на другом краку) у којима су конструисане нормале на одговарајуће краке. Ако је ОА = ОВ, докажи да су делови који те нормале одсецају на другом краку једнаки. 6. Ако два троугла имају једнаке углове, да ли су они подударни? Објасни, наведи пример. 7. На страницама АВ и АС троугла АВС дате су тачке E и D такве да је AE = AD и Докажи да је AB = AC и EC = BD.
AEC =
ADB.
8. Докажи да дужи које спајају средишта страница правоуглог троугла деле тај троугао на четири подударна троугла. 9. Да ли су два правоугла троугла подударна ако су им хипотенузе једнаке? 10. Да ли су два једнакокрака троугла подударна ако су им краци једнаки? 11. Два једнакокрака троугла имају једнаке: а) основице и углове при врху; б) крак и угао на основици. Докажи да су ови троуглови подударни. 12. На краке једнакокраког троугла повучене су нормале из темена А и В на основици. Те нормале секу одговарајуће краке у тачкама D и Е. Докажи да је АD = ВЕ и АЕ = ВD. 13. Докажи да симетрала угла при врху једнакокраког троугла дели тај троугао на два подударна троугла. 14. На крацима АС и ВС једнакокраког троугла АВС дате су тачке D и E такве да је AD = BE. Ако се дужи AE и BD секу у тачки O, докажи да је ΔAOD ΔBOE. 15. На правој која садржи основицу АВ једнакокраког троугла АВС дате су тачке M и N такве да важи M – A – B, A – B – N и AM = BN. Докажи да је ΔACM ΔBCN и ΔCMB ΔCNA. 16. Два једнакокрака троугла ABC и ABD имају заједничку основицу. Докажи да је ΔACD ΔBCD ако су тачке C и D: а) са различите стране основице; б) са исте стране основице. 17. Докажи да су средишта страница једнакостраничног троугла темена једнакостраничног троугла.
47
18. Над страницама једнакостраничног троугла АВС конструисана су три једнакостранична троугла ABD, BCE и CAF. Докажи да је троугао DEF једнакостраничан. 19. Тачке M и N су средишта страница BC и AD правоугаоника ABCD. Докажи да је ΔAMD ΔBNC. 20. Докажи да су средишта страница квадрата темена новог квадрата. 21. Докажи да су дужи чији су крајеви средине суседних страница правоугаоника међусобно једнаке. 22. Дат је: а) квадрат ABCD; б) правоугаоник ABCD. Кроз пресечну тачку дијагонала О повучена је права p, која сече странице AB и CD у тачкама M и N. Докажи да је ΔOND ΔOMB, ΔOCN ΔOAM, ΔABN ΔCDM, ΔAND ΔCMB и ΔANM ΔCMN. C
O
B 7cm
A
7cm
D
12cm
40°
E
E 12cm
F слика уз задатак 23
23. Ако је AC = BC = 7cm и
24. Ако је ВС = СЕ = 12cm и углови ΔAСВ ΔDEС.
B
D
C
слика уз задатак 24 ADC =
C
A
B A
D
слика уз задатак 25
BDC (види слику), докажи да је ΔAEF ΔBEF. BAC,
BCE и
CDE прави (види слику), докажи да је
25. Дате су тачке A, B, C и D као на слици. Ако је OD = OC и OA = OB, докажи: а) AC = BD; б) Ако је P пресечна тачка дужи AC и BD, докажи да је ΔAPD ΔBPC; в) Какви су троуглови CDP и ABP? 26. Којој врсти троуглова, према страницама, припада троугао коме су а) две; б) три средње линије једнаке дужине? 27. Одреди дужине средњих линија троугла коме су странице a = 3cm, b = 7,5cm и c = 8,4cm. 28. Одреди обим троугла коме су средње линије дужина 3cm, 4cm и 6cm. 29. Одреди обим једнакостраничног троугла чија средња линија има дужину 3,4cm. 30. Основица једнакокраког троугла има дужину 2cm, а дуж која спаја средишта основице и крака 3,2cm. Одреди обим тог троугла.
48
31. Катета правоуглог троугла је 4cm, а угао наспрам ње је 30°. Одреди дужину хипотенузе. 32. Хипотенуза правоуглог троугла је 15cm. Одреди дужину катете која са хипотенузом гради угао од 60°. 33. Дуж која спаја врх једнакокраког троугла са средином основице је два пута краћа од крака тог троугла. Израчунаj углове овог једнакокраког троугла.
КОНСТРУКЦИЈa ТРОУГЛОВА 1. Конструиши троугао АВС ако је: а) a = 5cm, b = 2cm, γ = 60°; б) c = 4,5cm, a = 3cm, β = 45°; в) b = 6cm, c = 0,5dm, α = 75°; г) b = 4cm, c = 3cm, β + γ = 135°. 2. Конструиши једнакокраки троугао АВС чији је крак 4cm, а угао при врху 105°. 3. Конструиши правоугли троугао чије су катете 3,5cm и 4,3cm. 4. Конструиши једнакокраки правоугли троугао ако је катета тог троугла 5,3cm. 5. Конструиши троугао АВС ако је: а) a = 7cm, β = 30°, γ = 45°; б) c = 4,5cm, α = 75°, β = 30°; в) b = 4cm, α = 22°30’, β = 120°; г) a = 5cm, β = 82°30’, γ1 = 150°. 6. Конструиши правоугли троугао АВС, са правим углом у темену С, ако је: а) BC = 4cm, β = 15°; б) b = 5cm, β = 67°30’; в) AB = 7cm, α = 60°. 7. Конструиши једнакокраки правоугли троугао ако је дужина хипотенузе 6,5cm. 8. Конструиши једнакокраки троугао ако је: а) основица a = 7cm, а угао на основици 52°30’; б) основица a = 6,7cm, а угао при врху 105°. 9. Конструиши троугао чије су странице 2,5cm, 6cm и 5cm. 10. Конструиши једнакостранични троугао странице 4cm. 11. Конструиши једнакокраки троугао чија је основица 3cm, а крак 5cm. 12. Конструиши троугао АВС ако је: а) AB = 5,1cm, CB = 3,2cm, γ = 75°; в) b = 3cm, a = 7,1cm, α = 120°.
б) AB = 4cm, AC = 7cm, β = 45°;
13. Конструиши правоугли троугао са правим углом у темену С ако је дужина хипотенузе 6cm, а катете 4cm.
49
14. Конструиши троугао АВС ако је: а) b = 5cm, a = 3cm, α = 30°; б) a + c = 9cm, α = 60°, β = 75°; в) обим троугла 10cm, α = 75°, γ = 45°. 15. Конструиши троугао АВС ако је c = 5cm, b – a = 1cm и α = 45°. 16. Конструиши троугао ако су дужине средњих линија тог троугла 2cm, 1,6cm и 2,4cm. 17. Дате су три неколинеарне тачке. Конструиши троугао коме су те дате тачке средишта страница. 18. На правој p дата је тачка А и ван ње тачка В. Конструиши једнакокраки троугао АВС ако је: а) права p оса симетрије тог троугла; б) права p паралелна страници ВС. 19. Дата је права a и тачка А ван ње. Конструиши једнакостранични троугао АВС ако је права a оса симетрије тог троугла.
ЗНАЧАЈНЕ ТАЧКЕ ТРОУГЛА Центар описане кружнице 1. Симетрале две странице троугла секу се у тачки А. Докажи да и симетрала треће странице садржи тачку А. 2. Да ли је за конструкцију центра описане кружнице потребно конструисати симетрале све три странице? Зашто? 3. Нацртај један а) оштроугли; б) тупоугли троугао. Конструиши описану кружницу сваког од ових троуглова. Где се налази центар описане кружнице унутар или ван троугла? Шта можеш да закључиш? 4. Где се налази центар описане кружнице правоуглог троугла? Колико симетрала страница је потребно да конструишеш да би одредио центар описане кружнице правоуглог троугла? 5. Израчунај дужину хипотенузе правоуглог троугла ако је полупречник описане кружнице тог троугла: а) 3,2cm; б) 4cm. 6. У правоуглом троуглу АВС ( АСВ=90°) тачка О је центар описане кружнице. Одреди углове тог троугла ако је: а) ОСА=17°; б) ОСВ=44°. 7. Узми један поклопац за тегле (или било који предмет кружног облика) и помоћу њега нацртај кружницу у свесци. Одреди центар те кружнице. 8. Тачка О је центар описане кружнице око једнакокраког троугла АВС (АВ – основица). Докажи да је ΔАОС ΔВОС. Да ли се тачка О налази на симетрали угла АСВ? Зашто? 9. Конструиши троугао чије су странице 5cm, 2cm и 4cm, а затим опиши кружницу око тог троугла.
50
10. Конструиши правоугли троугао АВС ако је дужина једне катете 4cm, а полупречник описане кружнице 3cm. 11. Конструиши једнакокраки троугао АВС ако је полупречник описане кружнице 3cm и: а) крак 5cm; б) основица 2cm. 12. Конструиши троугао ако је a = 4cm, b = 5cm, а полупречник описане кружнице 3cm. 13. Дате су тачке А и О. Конструиши једнакостраничан троугао АВС ако је О центар описане кружнице тог троугла.
Центар уписане кружнице 14. Нацртај један: а) оштроугли; б) тупоугли; в) правоугли троугао. Конструиши за сваки троугао центар уписане кружнице. Да ли се центар уписане кружнице налази увек унутар троугла? 15. Докажи да се центар уписане кружнице једнакокраког троугла налази на симетрали основице. 16. У троуглу АВС је α = 40° и β = 80°. Под којим углом се види свака од страница троугла из центра уписане кружнице? 17. Из тачке О, центра уписане кружнице троугла АВС, повучене су нормале на странице АВ, ВС, СА и секу их тачкама P, Q и R. Докажи да је: а) ΔOBP ΔOBQ; б) ΔOQC ΔORC; в) ΔOPA ΔORA. 18. У правоуглом троуглу АВС са r је означена дужина полупречника уписане кружнице, а са R дужина полупречника описане кружнице. Докажи да је r = a + b – R. 2 19. Конструиши једнакокраки троугао АВС ако је основица 6cm, а полупречник уписане кружнице 2cm.
Висине троугла и ортоцентар 20. Нацртај један: а) оштроугли; б) тупоугли троугао. Конструиши ортоцентар за сваки троугао. Да ли се ортоцентар налази унутар или ван троугла? 21. Нацртај правоугли троугао и конструиши његов ортоцентар. Где се налази ортоцентар правоуглог троугла? 22. Висина једнакокраког троугла која одговара основици је 3cm. Одреди дужину крака ако је угао при врху 120°. 23. Конструиши троугао АВС ако је: а) hc = 3cm, b = 5cm, c = 7cm; б) α = 75°, c = 4cm, hc = 4cm; в) hb = 5cm, α = 45°, γ = 67° 30’; г) ha = 6cm, hb = 5cm, γ = 30°; д) ha = 2cm, α = 105°, β = 30°.
51
24. Конструиши правоугли троугао АВС ако је висина која одговара хипотенузи 3cm, а дужина једне катете 4cm. 25. Конструиши једнакокраки троугао чија је основица 6cm, а висина која одговара краку 3,5cm. 26. Конструиши једнакостранични троугао чија је висина 5cm. 27. Дате су три неколинеарне тачке А, В и Н. Конструиши троугао АВС ако је Н ортоцентар тог троугла.
Тежишне дужи и тежиште 28. Нацртај један: а) оштроугли; б) правоугли; Конструиши тежиште ових троуглова.
в) тупоугли троугао.
29. Заокружи слово испред назива значајних тачака троугла: а) средишта страница; б) темена троугла; в) центар описане кружнице; г) унутрашњи углови троугла; д) средња линија; ђ) тежиште; е) странице; ж) центар уписане кружнице; з) ортоцентар; и) полупречник уписане кружнице. 30. У ком троуглу су све значајне тачке тог троугла у његовој унутрашњости? 31. У ком односу тежиште дели тежишне дужи? 32. Растојање од тежишта троугла АВС до средине странице a је 2,1cm. Израчунај дужину тежишне дужи ta. 33. Растојање од тежишта троугла АВС до темена В је 4,4cm. Израчунај дужину тежишне дужи tb. 34. Докажи да је збир дужина тежишних дужи троугла већи од полуобима тог троугла. 35. Конструиши троугао АВС ако је: а) b = 6cm, tb = 5cm, c = 7cm; б) hc = 3cm, tc = 4cm, c = 7cm; в) ha = 4cm, ta = 6cm, β = 30°; г) ta = 6cm, tb = 7,5cm, c = 7cm. 36. Конструиши једнакокраки троугао чија је основица 4cm, а крак 6cm и у њему конструиши све значајне тачке. Шта примећујеш? 37. Конструиши једнакостранични троугао чија је страница дужине 5cm и у њему конструиши све значајне тачке. Шта примећујеш?
52
ТЕСТ – ТРОУГАО 1. Угао на основици једнакокраког троугла је 35°. Угао при врху овог троугла је: а) 35°; б) 145°; в) 27°; г) 7°; д) 110°. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 2. Две странице троугла су a = 4cm и b = 6cm. За трећу страницу троугла важи: а) 4cm < c < 6cm; б) 2cm < c < 10cm; в) c < 10cm; г) 2cm < c < 6cm; д) 4cm < c < 10cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 3. Угао под којим се секу симетрала правог угла и симетрала спољашњег тупог угла код једнакокраког правоуглог троугла је: а) 67°30’; б) 45°; в) 90°; г) 112°30’; д) 22°30’. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 4. По ставу СУС, два троугла су подударна ако су им једнаке: а) по две странице и углови наспрам већих страница; б) по две странице и њима захваћени углови; в) по две странице и један угао; г) по две странице и углови наспрам мањих страница; д) два унутрашња и један спољашњи угао. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 5. Два правоугла троугла су подударна ако су им подударне: а) две странице; б) катета и један унутрашњи угао; в) два унутрашња угла; г) катета и хипотенуза; д) сва три унутрашња угла. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 6. Шта од наведеног не представља значајну тачку троугла? а) тежиште; б) центар описане кружнице; в) теме; г) центар уписане кружнице; д) ортоцентар. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 7. Дужине средњих линија троугла су 2,1cm, 3cm и 2,7cm. Обим тог троугла је: а) 7,8cm; б) 6,3cm; в) 9cm; г) 8,1cm; д) 15,6cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 8. Растојање тежишта троугла ABC од средишта странице a је 3cm. Дужина тежишне дужи ta је: а) 9cm; б) 6cm; в) 3cm; г) 2cm; д) 4,5cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 9. Угао при врху једнакокраког троугла је 120°. Ако је висина која одговара основици 6cm, онда је дужина крака: а) 12cm; б) 6cm; в) 3cm; г) 9cm; д) 4cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.)
1. д); 2. б); 3. д); 4. б); 5. г); 6. в); 7. д); 8. а); 9. а).
РЕшЕњА: 53
ТРОУГАО – РЕшЕњА ПОЈАМ И НЕКЕ ВРСТЕ ТРОУГЛОВА 1. Неколинеарне; ∆ABC; с; ВС; АС; α; АСВ; АВС. 2. а) б) B А α β с b a с
А
γ
α b
γ С
С
в)
a
β a
г)
B
С
γ
γ a
b
β B
С
α с
А
B
b α
β с
А
3. а) 1; б) 3. 4. 1) ∆ABE, ∆DEC; 2) ∆AMO, ∆AOR, ∆ARE, ∆AMR, ∆AOE, ∆AME; 3) ∆TCE, ∆CEV, ∆VEA, ∆AET, ∆CTV, ∆ATV, ∆TAC, ∆VAC; 4) ∆OSI, ∆MIR, ∆LAR, ∆SVL, ∆MRV, ∆ARO, ∆VIR, ∆LOR; а) ∆ATV, ∆TAC, ∆AET; б) ∆SVL, ∆MRV, ∆VIR; в) EB, LR, RO. 5. а) 10; б) 15; в) 9; г) 17. 6. а) 4; б) 10; в) 20. 7. а) 9; б) 6. 8. Са прве две праве можеш да одабереш укупно 5 · 10 = 50 парова тачака. За сваки од ових парова можеш да одабереш било коју од 15 тачака са треће праве, па је укупан број троуглова 50 · 15 = 750. 9. Разностран; једнакокраки; краци; основица; једнакостраничан. 10.
11. О = 11cm. 12. а) О = 23,8cm; б) О = 14,9cm. 13. О = 6,6cm. 14. 8,3cm. 15. а) Дужина основице је 3,2cm; б) дужина крака је 2,65cm. 16. 4,9cm.
УГЛОВИ ТРОУГЛА 1. Збир углова троугла је опружен угао. 2. а) постоји; б) не постоји; в) не постоји; г) постоји. 3. а) 73°; б) 60°; в) 45°; г) 53o34'; д) 138°5'23''; 4. Оштроугле, правоугле, тупоугле; оштроугли; је један унутрашњи угао туп; је један унутрашњи угао прав. 5. а) тупоугли; б) тупоугли; в) правоугли. 6. а) сви су тупи; б) један је оштар; а два су тупа; в) један је прав, а два су тупа. 7. а) не постоји; б) постоји; в) постоји; г) постоји. 8. а) 125°; б) 110°; в) 153°15'; г) 99°49'23''.
54
9. а) 159°, 107°, 94°; б) 179°, 6°, 175°; в) 141°33', 97°5', 121°22'; г) 134°30'16'', 89°59'36'', 135°30'8''; д) 144°, 98°59'12'', 117°48''. 10. а) β = 26°, γ = 76°, α1 = 102°, γ1 = 104°; б) α = 72°8', γ = 25°52', β1 = 98°, γ1 = 154°8'. в) α = 84°, β = 26°51', β1 = 153°9', γ1 = 110°51'; г) β = 89°11'19'', γ = 43°48', α1 = 132°59'19'', β1 = 90°48'41''. 11. Ако су два спољашња угла права, онда су и два унутрашња угла права, што је немогуће. Ако су два спољашња угла оштра, онда су два унутрашња угла тупа, што је такође немогуће. 12. Означи најмањи од тих углова са x. Мере тих углова су онда x, x + 1 и x + 2, па је x + (x + 1) + (x + 2) = 180°, одакле израчунаваш мере углова троугла од 59°, 60° и 61°. 13. а) x + 2x + 3x = 180°, одакле је x = 30° и α = 30°, β = 90°, γ = 60°, α1 = 150°, β1 = 90°, γ1 = 120°. б) 15° + 7y + 8y = 180°, одакле је y = 11° и α = 15°, β = 77°, γ = 88°, α1 = 165°, β1 = 103°, γ1 = 92°. в) 2x + x + 57° = 180°, одакле је x = 41° и α = 57°, β = 41°, γ = 82°, α1 = 123°, β1 = 139°, γ1 = 98°. г) α = 180° – 135° = 45°, β = 180° – 130° = 50°, γ = 85°, α1 = 135°, β1 = 130°, γ1 = 95°. д) α = 180° – (31° + 102°) = 47°, β = 180° – (47° + 82°) = 51°, γ = 82°, α1 = 133°, β1 = 129°, γ1 = 98°. 14. оштроугли правоугли тупоугли Сви унутрашњи углови су оштри.
+
Један спољашњи угао је прав.
+
Два унутрашња угла су оштра.
+
Сви спољашњи углови су тупи.
+
+
+
Један унутрашњи угао је већи од збира друга два.
+
Разлика два унутрашња угла је 90°.
+
Спољашњи угао је једнак суседном унутрашњем.
+
Унутрашњи угао је већи од суседног спољашњег.
+
Спољашњи угао је два пута мањи од унутрашњег.
+
15. а) може; б) не може; в) не може; г) може; д) може. 16. а) α = β + 17°, α = γ – 35°. Сада је α + (α – 17°) + (α + 35°) = 180°, па је α = 54°, β = 37°, γ = 89°. б) α = β · 2, α = γ : 3. Сада је α + α + 3α = 180°, па је α = 40°, β = 20°, γ = 120°. 2 3 17. а) β = α, γ = 2α, одакле је α = 40°, β = 60°, γ = 80°; б) α = 70°, β = 20°, γ = 90°. 2 18. а) α = 63°, β = 79°, γ = 38°, α1 = 117°, β1 = 101°, γ1 = 142°; б) α = 128°, β = 35°, γ = 17°, α1 = 52°, β1 = 145°, γ1 = 163° тупоугли троугао; в) α = 23°, β = 50°, γ = 107°, α1 = 157°, β1 = 130°, γ1 = 73°; г) α = 92°, β = 23°, γ = 65°, α1 = 88°, β1 = 157°, γ1 = 115°; д) α = 72°, β = 24°, γ = 84°, α1 = 108°, β1 = 156°, γ1 = 96°. 19. α = 63°, γ = 69°. 20. а) α = 39°, β = 51°, γ = 90°, α1 = 141°, β1 = 129°, γ1 = 90°; б) α = 69°, β = 21°, γ = 90°, α1 = 111°, β1 = 159°, γ1 = 90°.
55
21. Сва три троугла имају по један прав угао АСВ = АDС = ВDС = 90°. Како је САВ = САD = α и ВСD = 90° – β = α, то су одговарајући углови ових троуглова једнаки. 22. α = 3 · β и α + β = 90°, па је α = 22°30’, β = 67°30’ и γ = 90°. 23. α – β = 22° и α + β = 90°, па је α = 56°, β = 34° и γ = 90°. 24. Угао који формира симетрала угла α са страницом је α . Угао који формира симетрала 2 180° – α = 90° – α . Дакле, угао спољашњег угла код темена А са истом страницом је 2 2 α α између симетрала је + 90° – = 90°. 2 2 25. Мере спољашњих тупих углова су 180° – α и 180° – β. Ако се симетрале секу у тачки D, тада су два угла троугла АВD једнака 90° – α и 90° – β . Трећи угао овог троугла је један 2 2 α од тражених углова и његова мера је 180° – (90° – ) – (90° – β ) = α + β = 45°. Други 2 2 2 тражени угао је 135°; б) 135° и 45°. 26. Ако симетрале углова α и β образују прав угао, тада је 180° – α – β = 90°, одакле 2 2 добијаш да је α + β = 180°, што је немогуће.
27. а) β = 56°, ADB = 93°, BAD = 180° – (56° + 93°) = 31°, α = 2 · BAD = 62°, γ = 62°; б) BAD = 2x, ADC је спољашњи угао троугла ABD, па је 5x = 109°, то јест x = 21°48’. Дакле, β = 65°24’, α = 87°12’, γ = 27°24’. 28. Половина угла чија је симатрала повучена је 180° – (90° + 61°) = 29°, а цео угао је 58°. Дакле, оштри углови су 58° и 32°. 29. α + 45° + 100° = 180°, α = 70°, β = 20°, α1 = 110°, β1 = 160°. 2 30. Како је α + β = 180° – γ, мера траженог угла је
180° – α – β = 180° – α + β = 180° – 90 + γ = 90 + γ . 2 2 2 2 2 31. Означи пресечну тачку праве CM и дужи АВ са D. АМD је спољашњи угао троугла АМС, па је АМD = ACM + CAM и АМD > ACM. Аналогно је и ВМD > ВCM. Сада је АМВ = АМD + ВМD > ACM + ВCM = ACB.
ОДНОС СТРАНИЦА И УГЛОВА ТРОУГЛА 1. а) γ > β > α, па је c > b > a; б) β > α > γ, па је b > a > c; в) β > α > γ, па је b > a > c; г) β > γ > α, па је b > c > a; д) γ = α > β, па је c = a > b; ђ) α > β = γ, па је a > b = c; е) α = β = γ, па је a = b = c; 2. а) γ > β > α; б) α > γ > β; в) β > α > γ. 3. а) γ > α > β, па је c > a > b; б) γ > β > α, па је c > b > a. 4. а) c; б) угао γ је туп, па је c најдужа страница; в) α је туп, па је a најдужа страница; г) α = 37°, β = 62° и γ = 81°, па је c најдужа страница; д) 180° – β + γ = 136°, β + γ = 88°, 2 α = 92°, па је a најдужа страница. 5. Како је троугао једнакокраки, углови на основици су једнаки и мере су им 82°. Мера трећег угла је 180° – 2 · 82° = 16°. 6. Угао на основици не може бити 105° јер би збир два угла на основици био 210°, што је немогуће. Дакле, угао од 105° је угао при врху. Како су углови на основици једнаки, углови овог троугла су 37°30’, 37°30’, 105°. Основица је дужа од крака.
56
7. Означимо са a основицу, а са b крак једнакокраког троугла. i) Ако је угао при врху 55°, тада су углови на основици 62°30’ и b > a. ii) Ако је угао на основици 55°, тада је угао при врху 70° и a > b. 8. γ = 4α, α + α + 4α = 180°, α = 30°. Углови су 30°, 30°, 120°. 9. α = γ , то јест γ = 5 α. α + α + 5 α = 180°, α = 40°, γ = 100°. 2 5 2 2 10. а) α1 = 3γ. Спољашњи угао једнак је збиру два несуседна унутрашња угла, па је α + γ = 3γ, одакле је α = 2γ. α = 72°, γ = 36°. б) α + 90° + 59° = 180°, α = 62°, γ = 56°. 2 11. γ = 122°, α = 29°. Угао који граде симетрале углова на основици је 180° – α – α = 151°. 2 2 12. α = 31°, γ = 118°, a > b. 13. Троугао кога формирају основица и нормале има углове од 90° – α, 90° – α и 119°. Одатле је α = 59°30’, γ = 61°, a > b. 14. Хипотенуза јер се налази наспрам највећег, правог, угла. 15. α = 45°, β = 45°, γ = 90°, α1 = 135°, β1 = 135°, γ1 = 90°. 16. β = 63°, b > a. 17. а) α = 3β, α + β = 90°, α = 67°30’, β = 22°30’, c > a > b; б) α = 45°, β = 45°, c > a = b. 18. Ако су спољашњи углови једнаки, онда су и сви унутрашњи углови једнаки, па је a = b = c. 19. Како је γ = 97° туп угао, страница наспрам њега је највећа страница троугла, па је c > b > a. 20. а) ABE = ABC + CBE = 150°. ∆ABE је једнакокраки, па је BAE = BEA = 15°. Дакле, углови су 150°, 15°, 15°; б) BFG = BGF = FBG = 60°; в) FGE = FEG = 45°, GFE = 90°. 21. а) BMA = BAM = 20°, ABM = 140°, BMC = 160°, MBC = MCB = 10°, па је α = 20°, β = 150°, γ = 10°; б) CDE = CED = 75°, ADC = CEB = 105°, DAC = DCA = ECB = EBC = 37° 30’, па је α = β = 37°30’, γ = 105°; в) ABC = BAD = ADB = 60°, ADC = 120°, DAC = DCA = 30°, па је α = 90°, β = 60°, γ = 30°. 22. CDF = BDF = 90°, CFD = BDF = 15°, DBF = 75°, па је α = β = 75°, γ = 30°. Дакле, углови траженог троугла су 75°, 75°, 30°. 23. CED = 75°, EBC = ECB = 37°30’, ACD = 22°30’, CAD = 67°30’, па је α = 67°30’, β = 37°30’, γ = 75°. 24. Означимо са С било коју тачку праве а. Тада је троугао АВС правоугли са хипотенузом АС. Ма како одабрали тачку С, дуж АС ће увек бити већа од дужи АВ јер је она хипотенуза правоуглог троугла, која је увек најдужа страница тог троугла.
ОСНОВНЕ НЕЈЕДНАКОСТИ ЗА СТРАНИЦЕ ТРОУГЛА 1. а) постоји; б) постоји; в) не постоји; г) не постоји. 2. а) 2cm < а < 10cm; б) 3,8cm < а < 10,6cm; в) а < 16cm; г) 12,9cm < а < 14,9cm. 3. а) постоји; б) не постоји; в) не постоји. 4. а) 5cm, 6cm, 7cm, 8cm, 9cm; б) 5cm, 7cm, 9cm; в) 6cm, 8cm. 5. 4 различита троугла. 6. а) а < 10cm; б) b > 7,45cm; 7. а) крак − 15cm, основица – 7cm; б) било које од датих дужина могу бити дужине основице и крака; в) основица – 1m, крак – 20dm.
57
8. Половине датих страница су 5cm и 8cm. Како прва не испуњава неједнакост за странице троугла, то је дужина треће странице 8cm. 9. 1 cm, 3cm, 3cm и 3cm, 2cm, 2cm. 10. а) 1; б) 2; в) 501; г) 502. 11. a < b + c, 2a < a + b + c, 2a < O, a < O . Аналогно показујемо за остале две странице. 2 12. Свака страница је мања од полуобима троугла, па страница мора бити мања од 27,5cm. 13. a + b > c, 2(a + b) > a + b + c, 2(a + b) > O, a + b > O . 2 14. CM < CA + AM, CM < CB + BM, 2CM < CA + CB + AM + BM, 2CM < CA + CB + AB, CM < O . 2 15. AO + BO > AB, BO + CO > BC, AO + CO > AC, 2(AO + BO + CO) > AB + BC + AC, AO + BO + CO > O . 2 16. Тражени троугао не постоји јер су дужине страница a, b = 2a, c = 4a и не важи 4a – 2a < a.
ОСНОВНЕ И ЈЕДНОСТАВНЕ КОНСТРУКЦИЈЕ ЛЕњИРОМ И шЕСТАРОМ 1. Нека је k1(О1, 3cm) и k2(О2, 4cm). а) дуж О1О2 > 7cm; б) дуж О1О2 = 7cm; в) дуж О1О2 < 7cm. 2. a) Конструкција нормале b из дате тачке A на дату праву a (детаљније у уџбенику за V разред); б) Конструкција праве с паралелне правој a кроз дату тачку A (детаљније у уџбенику за VI разред). 3. Конструкција нормале b кроз тачку A на дату праву a, ако тачка А припада правој а (детаљније у уџбенику за V разред). 4. Две праве. 5−8. Конструкције су дате детаљно у збирци за V разред. 9. Конструкцијом симетрале дужи АВ поделићеш дуж АВ на два једнака дела. Затим сваки добијени део делиш на два дела, такође конструкцијом симетрала тих делова дужи. 10. Као у претходном примеру, поделиш дуж на четири једнака дела, а затим издвојиш 3 таква дела која ће представљати дуж CD. 11. Обележи три неколинеарне тачке са А, В и С. Конструиши симетрале дужи АB, BC и CA (довољно је конструисати симетрале две дужи, од три). У пресеку симетрала ових дужи биће закопано благо. 12. Конструкцијом симетрале угла α поделићеш угао α на два једнака дела. Затим сваки добијени део делиш на два дела, такође конструкцијом симетрала тих делова угла.
КОНСТРУКЦИЈЕ НЕКИХ УГЛОВА 1. б) 120° = 2 ∙ 60°; в) 30° = 60° : 2; г) 90° = 60° + 30°; д) 150° = 2 ∙ 60° + 30°; ђ) 45° = 90° : 2; е) 135° = 90° + 45°; ж) 15° = 30° : 2; з) 75° = 60° + 15°; и) 105° = 90° + 15°; ј) 165° = 180° – 15°. 2. а) 22°30’ = 45° : 2; б) 67°30’ = 135° : 2; в) 112°30’ = 90° + 22°30’; г) 157°30’ = 135° + 22°30’; д) 7°30’ = 15° : 2; ђ) 52°30’ = 60° – 7°30’; е) 82°30’ = 90° – 7°30’; ж) 127°30’ = 120° + 7°30’; з) 172°30’ = 180° – 7°30’. 3. а) 240° = 4 ∙ 60° или 240° = 180° + 60°; б) 270° = 180° + 90°; в) 225° = 180° + 45°; г) 337°30’ = 360° – 22°30’; д) 123°45’ = 120° + 7°30’ : 2; ђ) 138°45’ = (270° + 7°30’) : 2. 4. а) 16°30’ = (165° – 132°) : 2; б) 33° = (132° : 2) : 2; в) 115°30’ = 132° – 16°30’; г) 99° = 33° ∙ 3.
58
ПОДУДАРНОСТ ТРОУГЛОВА 1. а) да; б) не; в) да; г) да. 2. а) Резањем правоугаоника по дијагоналама и дужима које спајају средине насправних страница добијамо осам подударних троуглова. б) Најпре поделимо квадрат на мање квадрате страница 2cm (16 мањих квадрата), а затим сваки од тих квадрата поделимо по једној од дијагонала. 3. Да. 4. Подударни су. 5. a) AB = PM, AC = PR, BC = MR, BAC = MPR, ACB = PRM, ABC = PMR. б) AB = MR, AC = MP, BC = RP, BAC = RMP, ACB = MPR, ABC = MRP. в) AB = PM, AC = PR, BC = MR, BAC = MPR, ACB = PRM, ABC = PMR. 6. а) ∆ABC ≅ ∆AED, ∆ABD ≅ ∆AEC; б) ∆ABI ≅ ∆DCI, ∆ACI ≅ ∆DBI, ∆ACD ≅ ∆DBA, ∆ABC ≅ ∆DCB; в) ∆ADC ≅ ∆BEC, ∆ADE ≅ ∆BED, ∆ADB ≅ ∆BEA.
СТАВОВИ ПОДУДАРНОСТИ ТРОУГЛОВА Страница–угао–страница 1. Имају једнаке по две странице и њима захваћене углове. 2. а) AB = PQ (3cm), ABC = PQR (30°), BC = QR (4cm), па на основу става (СУС) је ∆ABC ≅ ∆PQR; б) AB = KM (2cm), ABC = KML (45°), BC = ML (22mm), па на основу става (СУС) је ∆ABC ≅ ∆KML; в) AB = PQ (6cm), ABC = QPR (44°), BC = РR (4cm), па на основу става (СУС) је ∆ABC ≅ ∆PQR; г) AC = DC (3cm), ACB = DCE (унакрсни), BC = EC (2cm), па на основу става (СУС) је ∆ABC ≅ ∆DEC. 3. a) ∆ABC и ∆BAD: AB = AB, ABC = BAD (90°), BC = AD (a), па на основу става (СУС) је ∆ABC ≅ ∆BAD, а онда је AC = BD; б) ∆ABC и ∆BAD: AB = AB, ABC = BAD (90°), BC = AD (b), па на основу става (СУС) је ∆ABC ≅ ∆BAD, а онда је AC = BD. 4. a) AB = AB, BAQ = ABN (90°), AQ = BN ( a ), сада је (СУС) ∆ABQ ≅ ∆BAN; 2 a б) AM = BN = CP = DQ ( ), QAM = MBN = NCP = PDQ (90°), 2 a QA = MB = NC = PD ( ), а онда (СУС) ∆AMQ ≅ ∆BNM ≅ ∆CPN ≅ ∆DQP. 2 5. ∆ABO и ∆ACO: AO = AO, AOB = AOC ( xOy ), OB = OC (услов задатка), па на основу (СУС) 2 је ∆ABО ≅ ∆АСО, а онда је AB = AC.
Угао–страница–угао 6. Имају једнаку по једну страницу и једнаке углове који належу на ту страницу. 7. а) BAE = CDE (15°), AE = DE (6cm), AEB = DEC (унакрсни), па је на основу става УСУ ∆AEB ≅ ∆DEC; б) ABD = CDB (45°), BD = DB, ADB = CBD (20°), па на основу става УСУ је ∆ABD ≅ ∆CDB; в) KPL = STD (25°), KP = ST (3cm), PKL = TSD (65°), па је на основу става УСУ ∆KPL ≅ ∆STD.
59
8. a) ∆ABO и ∆CDO: OAB = OCD (углови са паралелним крацима), AB = CD (a), OBA = ODC (углови са паралелним крацима), па је на основу става УСУ ∆ABO ≅ ∆CDO, а онда је AO = OC и BO = OD. Дакле, дијагонале се полове; б) Као у примеру под а). 9. Нека је прав угао код темена С и САВ = 30°. Продужимо страницу ВС преко темена С и нека је тачка Е таква да је САЕ = 30° и тачке В и Е нису са исте стране тачке С. Сада је САВ = САЕ (30°), АСВ = АСЕ (90°), АС = АС, па је (УСУ) ∆AСB ≅ ∆АСЕ, а онда је СB = CЕ. Троугао АВЕ је једнакостраничан, па је АВ = ВЕ, то јест АВ = 2СВ. 10. ∆ABO и ∆ACO: AOB = AOC ( α ), AO = AO, OAB = OAC (90° – α ), па је на основу става 2 2 (УСУ) ∆ABО ≅ ∆АСО, а онда и AB = AC.
Страница–страница–страница 11. Имају једнаке све три странице. 12. а) BD = BD, AB = CD (4cm), AD = CB (7cm), па је на основу става CCC ∆ABD ≅ ∆CDB; б) AB = DE (5cm), AC = DC (r1), BC = EC (r2), па је на основу става CCC ∆ABC ≅ ∆DEC; в) BD = BD, AB = CD (a = 3cm), AD = CB (a = 3cm), а онда (CCC) је ∆ABD ≅ ∆CDB. 13. BD = BD, AB = BC (услов задатка), AD = DC (услов задатка), а онда (CCC) је ∆ABD ≅ ∆BDC. 14. AB = BC (услов задатка), OB = OB, OA = OC (r), па је (CCC) ∆OAB ≅ ∆OBC. 15. AC = BC (услов задатка), CC‘ = CC‘, AC‘ = BC‘ ( AB ), па је (CCC) ∆ACC‘ ≅ ∆BCC‘. Како је 2 A = B = 45°, СС' AB, то је AC’C = BC’C = 90°, а онда су троуглови АCC’ и BCC’ једнакокраки правоугли.
Страница–страница–угао 16. Имају једнаке по две странице и једнаке углове наспрам веће странице. 17. а) TR = LK (4cm), RS = KM (3cm), TSR = LMK (85°), па је на основу става ССУ ∆TRS ≅ ∆LKM; б) AB = DE (5cm), BC = EC (4cm), ACB = DCE (90°), па је на основу става ССУ ∆ACB ≅ ∆DCE; в) AB = ED (2cm), AC = EC (1cm), ACB = ECD (унакрсни), па је (ССУ) ∆ACB ≅ ∆ECD. 18. Нека је CD нормала повучена из врха једнакокраког троугла на основицу. Сада за ∆ADC и ∆BDC је: CD = CD, AC = BC (краци једнакокраког троугла), ADC = BDC (90°), па је (ССУ) ∆ADC ≅ ∆BDC, а онда AD = BD. 19. Нека је АВ тетива, тачка О центар кружнице, тачка С пресек тетиве АВ и нормале из центра кружнице. ∆ACO и ∆BCO је: CO = CO, AO = BO (r), ACO = BCO (90°), па је на основу става (ССУ) ∆AOC ≅ ∆BOC и онда је AC = BC. 20. RPQ = 30° => QR = PQ = 5cm. AB = PQ (10cm), BC = QR (5cm), ACB = PRQ (90°), па је на 2 основу става (ССУ) ∆ABC ≅ ∆PQR.
ПРИМЕНa СТАВОВА ПОДУДАРНОСТИ 1. Посматрајмо троуглове ABC и ADC. а) AB = CD = a, BC = AD = a, ABC = ADC = 90°, па је (СУС) ∆ABC ≅ ∆ADC; б) DAC = ACB (углови са паралелним крацима), ACD = CAB (углови са паралелним крацима), AC = AC, па је (УСУ) ∆ABC ≅ ∆ADC; в) AC = AC, AB = CD = a, CB = AD = a, па је (СCC) ∆ABC ≅ ∆ADC; д) ABC = ADC = 90°, AD = BC = a, AC = AC, па је (СCУ) ∆ABC ≅ ∆ADC.
60
2. AP = PB, CP = PD, APD = BPC (унакрсни), па је (СУС) ∆APD ≅ ∆BPC и онда AD = BC. Слично AP = PB, CP = PD, APC = BPD (унакрсни), па је (СУС) ∆APC ≅ ∆BPD и онда AC = BD. 3. Означимо са S пресечну тачку дужи АВ и симетрале и одаберимо на симетрали произвољну тачку Р. Сада је AS = SB, SP = SP, ASP = DSP = 90°, па је (СУС) ∆ASP ≅ ∆BSP, а онда je AP = BP. 4. AB = CD, OA = OD (r), OB = OC (r), па је (СCC) ∆AOB ≅ ∆DOC, а одатле и AOB = DOC, AO = OB, CO = OD, BOD = AOB + AOD = DOC + AOD = AOC, па је (СУС) ∆AOC ∆BOD. 5. Нека је тачка А на краку Ox, а тачка В на краку Oy. Пресек нормале из А са краком Оy означимо са P, а нормале из В са краком Оx са S. Како је OA = OB, OAP = OBS, AOP = BOS то је (УСУ) ∆AOP ∆BOS , а одатле OP = OS. 6. Нису. На пример, два једнакостранична троугла страница 2cm и 3cm имају једнаке углове, а нису подударни. 7. Како је AE = AD, DAB = EAC, AEC = ADB то је (УСУ) ∆AEC ∆ADB, а онда и AB = AC, EC = BD. 8. Доказ у књизи за произвољан троугао. 9. Нису. Оштри углови могу бити произвољни. 10. Нису. Угао при врху може бити произвољан. 11. а) Ако су једнаки углови при врху, онда су и углови на основици једнаки. На основу става (УСУ) доказујемо подударност; б) Ако су једнаки углови на основици, онда су једнаки и углови при врху. На основи става (СУС) или (УСУ) доказујемо подударност 12. ABE = 180° – ( BAE + 90°) = 180° – ( ABD + 90°) = BAD, BAE = ABD, AB = AB, па је (УСУ) ∆ABE ∆BAD, а онда и АD = ВЕ, АЕ = ВD. 13. Нека је S пресечна тачка симетрале и основице АВ. АC = BC, CAB = CBA, ACS = BCS, па је (УСУ) ∆ACS ∆BCS. 14. AD = BE, AB = AB, BAD = ABE, па је (СУC) ∆ABD ∆BAE, а онда je ADB = BEA, BAE = ABD. Из BAE = ABD је OAD = OBE. Сада је ADO = BEO, OAD = OBE, AD = BE, па је (УСУ) ∆AOD ∆BOE. 15. MA = NB, AC = BC, MAC = NBC (спољашњи углови на основици), па је (СУC) ∆ACM ∆BCN, а онда АMC = BNC, MC = NC. Из АMC = BNC, MC = NC, MB = MA + AB = NB + AB = NA следи (СУC) ∆CMB ∆CNA. 16. а) AC = BC, AD = BD, CAD = CAB + BAD = CBA + ABD = CBD, па је (СУC) ∆ACD ∆BCD. б) AC = BC, AD = BD, CAD = BAD – CAB = ABD – CBA = CBD, па је (СУC) ∆ACD ∆BCD. 17. Нека су P, Q и R средишта страница AB, BC и СА. PQ, QR и RP су средње линије троугла. Како су све странице једнаких дужина и све средње линије су једнаких дужина, па је троугао PQR једнакостраничан. 18. Странице троугла АВС су средње линије троугла DEF ( ECF = FAD = DBE = 180°). Како су све средње линије једнаке, то су и све странице троугла DEF једнаке, па је и троугао једнакостраничан. 19. Користећи став СУС доказујеш да је ∆ANB ∆BMA ∆DNC ∆CMD. Одавде је AM = DM = BN = CN. Сада је AM = BN, DM = CN, AD = BC, па је онда (СCC) ∆AMD∆BNC. 20. Нека су P, Q, R, S средишта страница AB, BC, CD, DA. Троуглови PBQ, QCR, RDS, SAP су подударни једнакокраки правоугли троуглови (једнаке по две странице дужине a и 2 прав угао захваћен њима). Како је сваки оштар угао ових правоуглих троуглова 45°, сви углови четвороугла PQRS су прави, па је четвороугао квадрат.
61
21. Нека су P, Q, R, S средишта страница AB, BC, CD, DA. Из подударности троуглова PBQ, QCR, RPS, SAP (сви троуглови имају по једну страницу дужине a , једну страницу дужине b и 2 2 прав угао захваћен њима) следи да су тражене странице једнаке. 22. а) OBM = ODN (углови са паралелним крацима), BOM = DON (унакрсни), BO = DO, па је (УСУ) ∆OND ∆OMB, а онда је и DN = BM. Аналогно је ∆OCN ∆OAM, одакле је AM = CN. Како је AD = CB (a), DN = BM, ADN = CBM = 90°, то је (CУC) ∆AND ∆CMB, па је AN = CM. Аналогно је ∆AМD ∆CNB и онда је MD = NB. Како је AN = CM, NB = MD, AB = CD, то је (CCC) ∆ABN ∆CDM. Како је MN = MN, AM = CN, AN = CM, то је (CCC) ∆ANM ∆CMN. 23. AC = BC (7cm), CD = CD, ADC = BDC, па је (ССУ) ∆ADC ∆BDC, а онда и AD = BD. Из AD = BD, DE = DE, ADE = BDE следи (СУС) ∆ADE ∆BDE, па онда и AED = BED, AE = BE. Сада из AE = BE, AEF = BEF, EF = EF следи (СУС) ∆AEF ∆BEF. 24. ACB = 50°, ECD = 40°, CED = 50°. CB = EC, ACB = CED (50°), ABC = ECD (40°), па је (УСУ) ∆AСВ ∆DEС. 25. а) OD = OC, OA = OB, AОC = BOD, па је (СУС) ∆AOС ∆BOD, а онда је и AC = BD, ОAC = OBD, ОCA = ODB; б) Из ОCA = ODB следи BCA = ADB, ОAC = OBD, AD = OA – OD = OB – OC = BC, па је (УСУ) ∆APD ∆BPC; в) Из подударности под б) имамо да су троуглови CDP и ABP једнакокраки. 26. а) једнакокраки; б) једнакостранични. 27. 1,5cm; 3,75cm; 4,2cm. 28. 26cm. 29. 20,4cm. 30. 14,8cm. 31. 8cm. 32. 7,5cm. 33. 30°, 30°, 120°.
КОНСТРУКЦИЈЕ ТРОУГЛОВА 1. а) Означимо теме угла γ са С. На једном краку угла нанећемо страницу CВ = a, а на другом страницу СА = b, чиме добијамо сва темена троугла. Аналогно конструишемо троуглове уз услове б) и в). У делу г) α = 180° – (β + γ) = 45°, што је аналогно условима в). 2. На краке угла при врху нанећемо дужину крака троугла из темена угла, чиме добијамо темена на основици траженог троугла. 3. На краке правог угла, из темена, нанећемо краке троугла, чиме добијамо сва темена. 4. Аналогно претходном задатку, уз услов да су краци једнаке дужине од 5,3cm. 5. а) На страници ВС = a нанећемо у темену В угао β, а у темену С угао γ. У пресеку кракова ова два угла налазимо треће теме троугла. 6. а) На страници ВС у темену С нанећемо прав угао, а у темену В угао β. У пресеку кракова ових углова налазимо треће теме троугла. в) Како је познат оштар угао α правоуглог троугла, израчунаћемо угао β. На страници AB у темену А нанећемо угао α, а у темену В угао β. У пресеку кракова ових углова налазимо треће теме троугла. 7. Како су код једнакокраког правоуглог троугла оштри углови по 45°, у теменима на хипотенузи нанећемо углове по 45°. У пресеку кракова ових углова добијамо теме правог угла. 8. а) У теменима дате странице (основице) нанећемо углове на основици. У пресеку кракова ових углова добијамо треће теме троугла. б) Како је дат угао при врху, израчунаћемо угао на основици, након чега се конструкција своди на део под а). 9. Из једног темена странице дужине 2,5cm описаћемо кружницу полупречника 6cm, а из другог темена описаћемо кружницу полупречника 5cm. У прeсеку ових кружница добијамо треће теме троугла.
62
10. Аналогно задатку 9, страница из чијих темена описујемо кружнице, као и полупречници кружница које описујемо су дужине 4cm. 11. Из темена основице описаћемо кружнице чији су полупречници једнаки краковима троугла. У пресеку тих кружница је треће теме. 12. а) На страници ВС, у темену С, нанећемо угао γ. Из темена В описаћемо кружницу полупречника AB. У пресеку кружнице и крака угла γ налазимо треће теме троугла. 13. У једном темену катете конструисаћемо прав угао, а из другог темена описаћемо кружницу полупречника једнаког дужини хипотенузе. У пресеку крака правог угла и кружнице налазимо треће теме троугла. 14. а) У темену А странице АС = b, нанећемо угао α. Из темена С описаћемо кружницу полупречника a. Како ће пресек кружнице и крака угла α бити две тачке, задатак ће имати два решења, у зависности од тога коју пресечну тачку узмемо за теме В. б) На правој АВ одредимо тачку Е, такву да је А–В–Е и АЕ = a + c. Троугао ЕСВ је једнакокраки са углом на основици једнаким β . Како је тачка В врх једнакокраког 2 троугла ЕСВ, налазиће се на симетрали основице овог троугла. Дакле, троугао АВС конструишемо тако што на дужи АЕ = a + c у темену А пренесемо угао α, а у темену Е пренесемо угао β . У пресеку кракова ова два угла налази се теме С. У пресеку 2 симетрале странице ЕС и странице АЕ налазимо и треће теме В троугла. в) У теменима дужи DE чија је дужина једнака обиму троугла нанећемо углове α и β . У 2 2 пресеку кракова ових углова налазимо теме С троугла. У пресеку симетрала страница DC и EC и странице DE налазимо преостала темена троугла. 15. Нека је тачка D на страници АС таква да је АD = b – a. Троугао АBD можемо конструисати јер су познате две странице и угао захваћен њима. Троугао BCD је једнакокраки јер су му две странице BC и CD дужине a. Треће теме С троугла АВС налазимо у пресеку симетрале странице BD и праве AD. 16. Како су дате средње линије троугла, странице су два пута дуже од њих, па се конструкција ради као у задатку 9. 17. Спајањем средишта страница добијамо дужине средњих линија траженог троугла, па се конструкција своди на претходни задатак. 18. а) Тачку В пресликамо у односу на праву p и добијамо треће теме троугла; б) Кроз тачку В конструишемо праву паралелну правој p. Из тачке А конструисаћемо кружницу полупречника АВ. У пресеку праве кроз тачку В и кружнице добијамо треће теме троугла. 19. Тачку А пресликаћемо у односу на праву a и добијамо друго теме троугла В. На тај начин добили смо дужину странице једнакостраничног троугла, па се конструкција изводи као у задатку 10.
ЗНАЧАЈНЕ ТАЧКЕ ТРОУГЛА Центар описане кружнице 1. Означимо темена троугла са P, Q и R. Нека се симетрале страница PQ и QR секу у тачки А. Како тачка А припада симетрали странице PQ, то је PA = QA. Како А припада и симетрали странице QR, то је QA = RA. Дакле, PA = QA = RA, то јест PA = RA, па тачка А припада и симетрали странице PR.
63
2. Довољно је конструисати симетрале две странице јер ће симетрала треће странице садржати пресечну тачку прве две симетрале. 3. У оштроуглом троуглу, центар описане кружнице је увек унутар троугла. У тупоуглом троуглу, центар описане кружнице је увек ван троугла. 4. Центар описане кружнице правоуглог троугла налази се на средини хипотенузе. Довољно је конструисати једну симетралу странице. 5. а) 6,4cm; б) 8cm. 6. а) ОСА = ОАС = α = 17°, β = 73°; б) α = 46°, β = 44°. 7. На кружници изабрати три произвољне различите тачке и конструисати центар описане кружнице за троугао чија су темена три одабране тачке. 8. OA = OB (R), OC = OC, AC = BC (краци), па је (CCC) ΔАОС ΔВОС, а онда и AСO = BСO, па се тачка О налази на симетрали угла АСВ. 10. Нека је О центар описане кружнице троугла АВС и крак АС дужине 4cm. Можемо конструисати троугао АСО јер знамо све три његове странице (крак и две странице дужине R). Из тачке О конструисаћемо кружницу полупречника једнаког са полупречником описане кружнице. У пресеку кружнице и праве ОА налазимо тачку В. 11. Нека је О центар описане кружице. а) Можемо конструисати троугао АОС јер су нам познате све три његове странице (крак и две странице једнаке полупречнику описане кружнице). Такође, можемо конструисати и троугао ВОС јер су нам такође познате све три странице. Конструкцијом ова два троугла долазимо до темена траженог троугла. б) Можемо конструисати троугао АВО јер су нам познате све три странице (основица и две странице једнаке полупречнику описане кружнице). Центар О и теме С налазе се на симетрали основице. Дакле, конструисаћемо симетралу основице АВ, а затим из тачке О описати кружницу полупречника једнаког полупречнику описане кружнице. У пресеку симетрале и кружнице добијамо треће теме троугла. 12. Нека је О центар описане кружице. Најпре можемо конструисати троугао ВСО јер су нам познате све три странице, а затим и троугао АСО чије су нам, такође, све три странице познате. Конструкцијом троугла АСО добијамо и треће теме троугла АВС. 13. Опишимо кружницу k(O, OA). Права АО је оса симетрије једнакостраничног троугла АВС. Она дакле дели угао ВАС на два подударна дела. Како је ВАС = 60°, то је ВАО = 30°. Дакле, на правој АО у тачки А конструисаћемо угао од 30° и у пресеку крака угла и кружнице добијамо теме В. Како нам је сада позната страница АВ једнакостраничног троугла, из темена В ћемо описати кружницу полупречника АВ, а у пресеку ове кружнице са кружницом k добијамо треће теме троугла.
Центар уписане кружнице 14. Центар уписане кружнице налази се увек унутар троугла. 15. Означимо пресечну тачку симетрале угла при врху и основице са Е. ∆АЕС ≅ ∆ВЕС (АС = ВС, СЕ = СЕ, АСЕ = ВСЕ), па је и АЕ = ВЕ. Дакле, и тачка Е и тачка С припада симетрали основице, то јест симетрала угла при врху поклапа се са симетралом основице. Како је центар уписане кружнице на симетрали угла при врху, припадаће и симетрали основице. 16. γ = 60°. Означимо са S центар уписане кружнице. Угао под којим се види страница a је ВSС. Угао под којим се види страница b је АSС, а угао под којим се види страница c је АSВ. Сада је ВSС = 180 – β + γ = 110°, АSС = 130°, АSВ = 120°. 2 2
(
64
)
OBQ ( β ) и OPB = OQB = 90°, то је POB = QOB, а како је 2 OB = OB, OP = OQ (r), то је (CУC) ΔOBP ΔOBQ; Аналогно доказујемо б) и в). 18. Означимо са S центар уписане кружнице и са P, Q, R пресечне тачке нормала из S на странице СА, АВ, ВС. У задатку 17 смо показали да је ΔSBR ΔSBQ, ΔASQ ΔASP и ΔPSC ΔRSC, па је CP = CR, AP = AQ, BQ = BR. Како је четвороугао CPSR квадрат, то је CP = CR = r. Такође је и AP + BR = AQ + BQ = c = 2R. Како је a = CR + RB и b = AP + PC, то је a + b = CR + RB + AP + PC = 2r + 2R, одакле следи тврђење. 19. Означимо центар уписане кружнице са S, а средиште основице АВ са Е. Најпре конструишемо правоугли троугао АSЕ чије су нам катете познате. Конструкцијом овог троугла добили смо SАЕ, који је једнак половини угла на основици, а самим тим нам је познат и цео угао на основици. Дакле, конструкција се своди на већ урађену конструкцију једнакокраког троугла код кога нам је позната основица и углови на основици. 17. а) Како је
OBP =
Висине троугла и ортоцентар 20. Код оштроуглог троугла ортоцентар је унутар, а код тупоуглог ван троугла. 21. У темену правог угла. 22. 6cm. 23. Нека су А1, В1, С1 подножја висина из темена А, В, С на странице ВС, АС и АВ. а) Прво конструишемо правоугли троугао АСС1 код кога су нам познате хипотенуза и једна катета. Затим из темена А опишемо кружницу полупречника c. У пресеку кружнице и праве АС1 добијамо треће теме троугла (како имамо две пресечне тачке, можемо конструисати два различита троугла). б) Прво конструишемо правоугли троугао АСС1 код кога су нам познати катета и два налегла угла. Из темена А опишемо кружницу полупречника c. У пресеку кружнице и праве АС1 добијамо треће теме троугла. в) Конструкцијом правоуглог троугла АВВ1 код кога су нам познати катета и два налегла угла, добијамо темена А и В. Треће теме С добијамо конструкцијом троугла ВВ1С код кога су нам, такође, познати катета и два налегла угла. г) Прво конструишемо троугао АА1С код кога су нам познати катета и два налегла угла. Теме В добијамо у пресеку праве А1С и праве коју конструишемо тако да је паралелна са правом АС и на растојању hb од ње. д) Најпре конструишемо троугао АВА1 код кога су нам познати катета и два налегла угла. Након тога, на страници АВ, у темену А, конструишемо угао α. Теме С налази се у пресеку крака угла α и праве ВА1. 24. Нека је катета АС = 3cm, теме правог угла С и подножје висине на хипотенузу из овог темена С1. Најпре конструишемо правоугли троугао АСС1, код кога су нам познате хипотенуза и једна катета. У темену С странице АС конструисаћемо прав угао. Треће теме В траженог троугла налази се у пресеку крака правог угла и праве АС1. 25. Означимо подножје висине на крак са В1. Најпре конструишемо правоугли троугао АВВ1 код кога нам је позната хипотенуза (основица АВ) и један крак (висина ВВ1). У пресеку симетрале хипотенузе овог троугла и праве АВ1 добијамо теме С троугла АВС. 26. Означимо подножје висине овог троугла из темена А са А1. Најпре конструишемо троугао АВА1 код кога нам је позната страница АА1 и на њој два налегла угла (прав и угао од 30°). Теме С можемо конструисати тако да је В – А1 – С и ВА1 = А1С. 27. Треће теме С троугла АВС добијамо у пресеку нормале из темена B на праву AH и нормале из темена A на праву BH.
65
Тежишне дужи и тежиште 29. в), ђ), ж), з). 30. У оштроуглом троуглу. 31. 2:1. 32. ta = 6,3cm. 33. tb = 6,6cm 34. Нека је А1 средиште странице ВС. Уочимо троуглове АСА1 и АВА1. Важи ta > b – a , 2 ta > c – a , одакле је 2ta > b + c – a. Аналогно је 2tb > a + c – b и 2tc > a + b – c. Ако саберемо 2 последње три неједнакости, имамо да је 2 ∙ ( ta + tb + tc) > O, одакле следи тврђење задатка. 35. Нека су А1, В1, С1 средишта страница ВС, АС и АВ. а) Најпре конструишемо троугао ВВ1A2 чије су нам странице познате. На правој АВ1 конструишемо тачку С тако да је А – В1 – С и АВ1 = В1С. б) Нека је Р подножје висине из темена С на праву АВ. Најпре конструишемо правоугли троугао СРС1 чију катету и хипотенузу знамо. Затим у тачки С1 конструишемо кружницу полупречника c . У пресеку кружнице и праве РС1 добијамо темена А и В. 2 в) Нека је Е подножје висине из темена А на праву ВС. Најпре конструишемо правоугли троугао АЕА1 чију катету и хипотенузу знамо. Затим конструишемо правоугли троугао АВЕ код кога су нам познати катета АЕ и два налегла угла ( ВАЕ = 60°). Конструкцијом овог троугла одредили смо тачку В. На правој ВЕ конструисаћемо тачку С тако да је В–А1–С и ВА1 = А1С. г) Означимо са Т тежиште троугла. Најпре конструишемо троугао АВТ код кога су нам познате све странице (c, 2 ta, 2 tb). На правој ВТ конструисаћемо тачку В1 такву да је 3 3 В–Т–В1 и ВТ = 2ТВ1. На правој АТ конструисаћемо тачку А1 такву да је А–Т–А1 и АТ = 2ТА1. У пресеку правих АВ1 и ВА1 налази се теме С. 36. Све значајне тачке се налазе на симетрали основице. 37. Све значајне тачке се поклапају.
66
рационални бројеви СКУП рационалних бројева 1. Из скупа 3 , – 2 , 4, – 11 , 0, 12 , 1 , – 12 издвој подскуп: 2 2 5 3 4 3 а) природних бројева; б) целих бројева; в) ненегативних рационалних бројева; г) негативних рационалних бројева.
{
}
2. Запиши три негативна рационална броја чији је именилац 5. 3. Запиши три негативна рационална броја чији је бројилац 12. 4. Запиши рационалне бројеве: 1 , –5 , –4 , – –5 , – 7 и – –1 у стандардном облику. –20 –2 7 –9 4 –3 5. Запиши бројеве 3, 5, 0, –2, –4 у виду разломка на три начина. 6. Запиши рационалне бројеве: – 144 , 162 , –9 234 , – 1 111 и –18 018 као целе бројеве. 8 –3 27 11 –18 7. Напиши рационалне бројеве –2, 1, 5 , – 3 , 1 , 4 тако да им бројилац буде негативан број. 3 5 4 –3 8. Запиши све рационалне бројеве које је могуће „саставити“ помоћу бројева: а) 1, –2; б) –2, 5, –6; в) 4, 0, –3. 9. Запиши три позитивна рационална броја којима је збир бројиоца и имениоца једнак: а) 8; б) –15; в) –20. 10. Запиши три позитивна рационална броја којима је разлика имениоца и бројиоца једнака: а) 10; б) 0; в) –3; г) –14. 11. Запиши три негативна рационална броја којима је производ бројиоца и имениоца: а) –8; б) –15; в) –4. 12. Запиши следеће скупове набрајањем њихових елемената: а) A = x | x ∈ Z, –4 < x ≤ 3 ; б) A = 2 | x ∈ Z –, x – 1 > –7 . –x 3
{
}
{
}
13. Запиши следећи скуп набрајањем његових елемената: A = a + 1 | a ∈ Z, –5 < a ≤ 2 . –a
{
}
14. Стави један од знакова ∈, ∉ тако да добијена тврђења буду тачна: а) 5 ___ Q+; б) 1 ___ Q; в) – 3 ___ Q – ; г) 0 ___ Q+; д) – 21 ___ Z –. 2 67 3 15. На Веновом дијаграму десно упиши бројеве Q 1, –3, 16 , – 7 , – 11 , – 15 тако да сваки број Z 4 20 3 4 N припада назначеном скупу.
67
16. Која од следећих тврђења су тачна? а) Z ⊂ Q; б) Z+ ∈ Q; в) N ⊂ Q; г) N Z– = Q;
д) Q+ Q– = Q;
ђ) Q \ Q– = N0?
предСтављање рационалних бројева на бројевној правој 1. На бројевној правој (јединична дуж 2cm) представи бројеве 2, –3, –2 1 , 5 , – 14 . 4 2 2 2. На бројевној правој (јединична дуж 4cm) представи бројеве 1 , – 1 , – 1 , – 3 , –1 1 . 2 2 4 4 4 3. Ако је на бројевној правој јединична дуж 6cm, одреди све тачке између –1 и 0 чији је именилац број 3. 4. На бројевној правој (јединична дуж 5cm) представи бројеве 1 , – 7 , 1 , – 7 , –1 9 , – 6 . 2 5 5 10 10 5 5. Одреди дужину дужи која припада бројевној правој и чије су крајње тачке: а) 0 и 6 , 0 и 24 , 0 и – 4 , 0 и –2 1 . 7 9 7 2 б) 3 и 4 , – 12 и – 5 , – 2 и 5 , –1 6 и 4 . 4 3 5 4 3 6 9 3 6. Одреди тачку која је средиште дужи која припада бројевној правој и чије су крајње тачке: а) – 2 и 0; 5
б) 2 и 2 1 ; 3 3
в) –5,4 и – 1 ; 2
г) –4 и 7 ; 4
д) – 3 и 2. 5
Супротан број. апСолутна вредноСт рационалног броја 1. Одреди супротан број сваког од следећих рационалних бројева: 1 , 1 1 , – 1 , – 3 , 0, 3 4 2 5 –3 13 и 2 3 . 17 11 2. Одреди апсолутне вредности бројева: 7 , 4 1 , – 5 , –1 3 , 0, –4 37 и – 15 . 4 3 7 4 57 2 3. Одреди негативан рационални број чија је апсолутна вредност: а) 2 , б) 1 1 , в) 3 4 . 13 13 9 4. Одреди рационалне бројеве који имају апсолутну вредност: а) 3 7
68
б) 4 ; 5
в) 1 5 6
г) 0;
д) 2 2 9
ђ) –3 5 . 8
5. Попуни табеле: 1 2
x
2 5
–1 3 4
–4 1 5
–2 2 5
x
–2 1 5 2 3
–x
–x
–(–x)
|x|
|x| + 1
|x| + 1 1 2
– 1 3
6. Да ли су тачне једнакости: а) – + 4 = –4 ; –3 3
( )
б) – –2 = 2 ; –3 3
( )
в) – –4 = 4 ; 5 –5
( )
7. Израчунај вредност израза: а) 2 2 – –1 1 ; б) – – 5 : – 2 ; 3 2 6 5 д) – – 1 – 2 · 3 + – 1 ; 2 5 4 4
|
|
(( ) )(
г) – 1 = –1 ? –4 4
( )
в) 3 1 · – 3 + 1 ; г) – –9 3 5 2 ђ) 1 3 : 2 + – 1 + 5 : – 4 5 2 6
| | ( 23 ) + |–8 45 | –7 14 ; ( | |) | 117 |.
( )| | | |)
8. Које вредности из скупа Q може имати променљива a да једнакост буде тачна: а) a = |a|; б) –a = |a|; в) a = –a; г) a = –(–a)? 9. Ако је a = –2 1 и b = –1 1 , одреди: 2 2
а) |a| + |b|;
б) –a – |b|.
10. Дате бројеве поређај у низ по апсолутној вредности, од највећег до најмањег: а) 1; – 5 ; 1 б) 6 ; – 3 ; 1 ; –2; – 17 . 3 4 5 4 2 5
поређење рационалних бројева 1. Скрати разломке: а) 12 , 10 , 27 28 35 81
б) – 11 , – 16 , – 8 22 24 32
в) – 35 , – 12 , – 144 . 49 36 360
2. Одреди вредност променљиве a тако да разломци буду једнаки: а) 2 = a ; 3 9
б) 5 = 20 ; a 36
в) – 12 = – 48 ; 26 a
г) – 2 = a ; 7 28
д) – 3 = 21 ; a 14
ђ) –44 = a . –24 6
3. Стави један од знакова < или > тако да тврђења буду тачна: 5 ___ 2 ; – 1 ___ 4 ; – 8 ___ – 7 ; – 4 ___ – 14 ; –1 9 ___ –3 7 и –2 2 ___ –2 4 . 12 12 7 7 5 5 11 11 9 9 9 9 4. Стави један од знакова < или > тако да тврђења буду тачна: 5 ___ 5 ; – 2 ___ 2 ; – 9 ___– 9 ; –3 3 ___ –3 3 ; –4 7 ___ –1 7 и –7 2 ___ –9 2 . 15 19 13 19 7 8 6 9 22 15 4 5
69
5. Стави један од знакова <, > или = тако да тврђења буду тачна: 2 ___ 3 ; –2 1 ___ 1 2 ; – 1 ___ – 2 ; –2 4 ___ –3 1 ; – 4 ___ 6 и –2 8 ___ –2 12 . 3 4 5 7 3 6 9 3 7 11 15 23 6. Запиши три: а) цела броја мања од – 3 ; 4
б) рационална броја мања од – 1 , а већа од – 4 . 5 5
7. Између којих узастопних целих бројева се налази: а) 8 ; 3 8. Одреди све целе бројеве који су између: а) – 17 и – 7 ; 3 3
б) – 15 ; 4
в) – 177 ? 7
б) –4 2 и – 17 . 5 4
9. Поређај по величини, од најмањег до највећег, следеће бројеве: а) –1, 1 , –1 1 , –4 1 ; 4 4 4
б) 2 , –2 2 , 3, 3 , –1 2 , –2; 3 3 2 3
в) – 3 , 1 , – 5 , – 3 , 5 , – 7 . 4 2 8 2 12 12
10. На бројевној правој одабрано је шест различитих тачака, којима су придружени рационални бројеви са имениоцем 6. Ако је најмања координата – 7 , а највећа – 2 , 6 6 одреди преостале. 11. Одреди рационалан број са имениоцем 4 који је мањи од – 5 , а већи од – 6 . 23 23 12. Одреди све целе бројеве m, такве да је: а) 2 < m ≤ 5; 2
б) – 1 < m – 3 < 2 . 10 2 5
Децимални запиС рационалног броја 1. Преведи рационалне бројеве у децимални запис: а) 21 , – 5 , – 39 , –2 3 10 10 10 10
б) 526 , – 6 153 , –3 9 100 100 100
в) 5 723 , –5 942 , – 11 . 10 000 10 000 10 000
2. Именилац рационалног броја прошири до декадне јединице, а затим га запиши у децималном запису: а) 2 ; 5
б) – 3 ; 4
в) – 12 ; 25
г) –2 3 ; 8
д) –5 3 ; 20
ђ) – 137 ; 50
3. Преведи рационалне бројеве у децимални запис: а) 3 б) – 12 в) – 6 г) – 17 д) – 33 ђ) –2 4 8 16 15 4 12 5
е) – 154 ; 125
е) –6 8 , 20
ж) – 1 . 250
ж) –12 3 . 60
4. Децималне бројеве запиши у облику несводљивог разломка: а) 3,25; б) –0,5; в) –1,2; г) –4,125; д) –2,24; ђ) –0,00025, е) –4,875. 5. Одреди супротан број сваког од рационалних бројева: 1,25; –3,28; –5,34; 6,217 и –5,55. 6. Одреди апсолутну вредност сваког од следећих рационалних бројева: –0,5; –4,52; –7,11; 5,31; 9,741 и –6,35.
70
7. Одреди рационалне бројеве који имају апсолутну вредност: а) 0,8; б) 3,725; в) –2,1. 8. Израчунај вредност израза: а) 44,4 – |–22,2|;
в) 3,2 – – 1 + 0,9 ; 2
(| |
б) –(–3,4) – 1,16;
д) |–(+7,04)| + 1 + 6,75 – |–3,25|; 2
(
9. Упореди бројеве: а) 2,14 ___ 2,4; д) –12,12 ___ –4 2 ; 5
)
)
г) –(–2,8) + 3,5 + + 3 4
(
|
|);
ђ) ((26,52 – |–3,59|) – 11,4) – (–(–34,58) – |–30,82|).
б) 3,12 ___ 3,002;
в) –5,12 ___ 1,45; е) –1 1 ___ –1,0005; 2
ђ) –3,3 ___ –3,13;
10. Запиши три: а) цела броја већа од –8,4375;
г) –8,22 ___ –5,22; ж) – 1 ___ –0,33. 3
б) рационална броја већа од –7,5.
11. Између којих узастопних целих бројева се налази: а) –0,6; б) –3,16; в) –11,11? 12. Поређај по апсолутној вредности (од најмање до највеће) бројеве: 2,15; –1,28; –2,3 и –13. 13. Поређај од највећег до најмањег бројеве: –12,2; –2,22; 2,12; –12,12; –2,2; 2,2 и –11,22. 14. Преведи рационалне бројеве у децимални запис: а) – 1 ; 3 15. Запиши рационалне бројеве у облику p : а) –0,(3); q
б) – 5 ; 6
б) –2,(15);
в) – 1 ; 9
г) –2 5 . 18
в) –1,21(7).
16. Заокругли на две децимале бројеве: –2,35156; –5,175; –22,395241 и –0,(7). 17. Бројеве – 59 , – 7 , – 31 напиши у децималном запису и заокругли их на хиљадите. 3 29 14
Сабирање рационалних бројева 1. Израчунај: а) 1 + 2 ; б) 5 + 4 ; 11 11 7 7
в) – 3 + – 4 ; 5 5
( )
г) – 5 + – 8 ; 13 13
д) –2 + – 2 . 3
2. Израчунај: а) 1 + 1 ; 3 4
в) – 1 + – 2 ; 4 3
г) –1 2 + – 7 ; 10 5
д) – 11 + –3 2 . 6 9
б) 3 + 5 ; 8 6
3. Израчунај: а) – 5 + 13 ; 17 17
( )
б) 4 + – 3 ; 15 15
(
(
)
)
( ) (
)
( ) г) – 85 + 1 25 ; д) –7 + 107 . 4. Израчунај: а) 4 + (– 7 ); б) – 3 + 2 ; в) 8 + (–1 3 ); г) – 5 + 2; д) – 17 + 1 11 . 21 14 36 24 15 3 2 8 4 5. Израчунај: а) 2 1 + 1 3 ; б) 2 4 + (–3 5 ); в) –4 5 + 2 3 ; г) –5 + 3 2 ; д) 1 9 + (–5 1 ). 12 16 24 6 4 9 6 8 3 6. Израчунај: а) (– 2 + (– 3 )) + 5 ; б) –2 1 + (– 6 + 7 ); в) (7 2 + (–9 1 )) + (–4 1 + 2 4 ). 21 3 4 6 4 8 6 7 2 3 (
)
в) 2 + – 7 ; 9 9
71
7. Попуни табеле: а)
б) –2 5 6
+
– 1 2
2 3
– 3 4
1 3
+
+
–1 1 3 1 2 4 –3 1 5
=
+
–1 1 4
+
–1 1 6
+
=
=
=
=
+
8. Израчунај вредност израза: а) a + b ако је a = – 2 и b = 4 ; 5 15
=
б) (a + (–b)) + (–a) ако је a = – 2 и b = – 1 . 3 4
9. Одреди A + B ако је A = –1 3 + 2 + 1 и B = 5 + – 5 8 3 8 6
(
)
( )) + (–3 12 + (–1 13 )).
(
10. Израчунај збир бројева –5 и 7 . 3 6 11. Израчунај збир свих рационалних бројева облика a , где је: а) –5 < a ≤ 2; б) –4 < a ≤ 3. 7 12. Збиру бројева – 26 и 9 додај збир њихових апсолутних вредности, па израчунај 48 6 вредност добијеног израза. 13. Израчунај збир свих различитих рационалних бројева чији су именилац и бројилац међусобно различити и узимају вредности из скупа {–4, 1, –2}.
одузимање рационалних бројева 1. Израчунај: а) 3 – 1 ; 4 4
б) 2 2 – 1 4 , 5 5
2. Израчунај: а) – 4 – – 7 ; 3 3
( )
б) –1 1 – – 5 ; 7 7
( )
3. Израчунај: а) – 8 – 7 ; 15 15
б) –5 – 1 ; 3
4. Израчунај: а) 7 – – 1 ; 8 8
б) 1 – – 20 ; 17
( )
5. Израчунај: а) 2 3 – 3 7 ; 10 5
72
в) 3 – 7 ; 8 8
(
г) 3 1 – 7 2 ; 3 3
в) – 4 – – 15 ; 2 3
(
в) – 13 – 5 ; 24 6
)
ђ) 2 – 12. 7
г) –2 – –1 4 . 9
г) –2 11 – 17 ; 16 24
в) 1 1 – – 3 ; 10 5
б) –3 4 – 2 5 ; 12 9
)
д) 4 – 5 3 ; 5
(
)
д) – 5 – 2 . 21 14
( ) г) 158 – (– 206 ). в) –7 1 – (–3 1 ); г) 1 3 – (–1 2 ). 11 3 4 5
6. Израчунај: а) – 5 – 3 – – 1 ; 12 4 3
(
) ( )
7. Израчунај: а) 15 + 2 – 2 7 ; 24 3 8
б) 4 – 2 1 – 7 ; 15 5 3
(
)
в) – 5 – – 3 – –1 2 . 8 6 3
(
(
)) б) (– 26 + 5) – ( 7 –3 13 ); в) –7 + ((– 2 + 13 ) – (–5 5 )). 3 24 36 8 9 12
8. Израчунај: а) збир бројева – 2 и 7 ; б) разлику бројева 2 3 и –1 1 , ako je 2 3 умањеник. 7 2 8 4 8 9. Састави израз и израчунај његову вредност: а) од збира бројева –1 и 11 одузми 1 ; 13 6 б) разлици бројева – 5 и 2 2 , где је 2 2 умањилац, додај –3 3 ; 9 3 3 4 в) од збира бројева – 1 и 3 1 одузми њихову разлику (умањеник је – 1 ); 4 3 4 г) разлику бројева 3 и 13 (умањеник је 3) одузми од збира бројева 4 1 и – 3 . 5 7 5 10. Ако је a = – 5 , b = 3 и c = – 1 , израчунај вредност израза: 6 4 2 а) a – b + c; б) (a – b) – c; в) (a – b) – (c – b). 11. На бројевној правој је дато пет тачака, тако да је разлика између координата сваке две суседне тачке 5 . Ако је највећа координата 1, одреди остале четири координате. 7 12. Попуни квадрате тако да збирови у свим врстама и колонама буду међусобно једнаки: 3 – 1 4 2 “ 1 – 1 – 7 2 „–1 4 2 4 13 – 1 3 4 Да ли ће збирови по врстама и колонама бити једнаки и ако од сваког броја одузмеш –1 1 ? 4 13. За колико је разлика бројева – 4 и 3 већа од збира бројева –8 1 и 2 1 ? 5 2 2 3
Сабирање и одузимање бројева у децималном запиСу 1. Израчунај: а) 12,07 + 15,3; б) 16,617 + 3,594; в) 101,75 – 4,26; г) 30,1 – 15,25; д) 2 – 1,649. 2. Израчунај: а) –2 + (–4,1);
б) –3,15 + (–2,53);
в) –3,759 + (–12,98);
г) –84,995 + (–1,005).
73
3. Израчунај: а) 15,97 + (–7,84);
б) –11,35 + 13,635;
в) –1 325,99 + 2 542,01;
г) 5 + (–5,63).
4. Израчунај: а) –5,32 + 6,12 + (–4,6); б) –3,2 + (–1,68 + 5); в) (–4,023 + 3,22) + (2,13 + (–3,827)). 5. Запиши све рационалне бројеве у децималном запису, па израчунај: б) 1 + (–2,13); в) –3,7 + 7 + (–2,25); г) 4 1 + 6,25 + –1 3 ; 20 8 2 4 д) –7,14 + – 17 + (–2,68 + 3); ђ) 1 7 + –0,25 + –0,5 + 1 . 25 16 8 а) – 3 + 0,25; 4
(
(
(
)
))
(
6. Израчунај: а) 23 – 75,25;
б) 14,2 – 24,1;
7. Израчунај: а) –53 – (–25,6); 8. Израчунај: а) –34 – 56,12;
(
(
б) –23,42 – 34,2;
г) 7,125 – 53.
в) –23,12 – (–23,21);
в) –5,76 – 1,456;
))
))
в) 426,295 – 732,75;
б) –35,35 – (–77,1);
(
г) 8,43 – (–6,34);
г) –1,01 – (–0,002).
д) 0,26 – (–3,54).
9. Израчунај вредности израза: а) –0,7 – 2 – (–1,2 + 0,3); б) (1,3 + (–2,6)) – (–4 – 1,6); в) – 7 – 2,4 – –2,3 + – 5 2 13 11 5 1 – – 2 – 0,315 – (0,94 – 4,11) ; д) – 0,26 + – +1 3 + 1 –2 г) 25 20 8 4 8 8
(
)
(
( ((
)
))
(
(
( 95 ))); )) (( 107 ) –3,14). (
10. Одреди вредност израза: а) a – b ако је a = –2,4 и b = – 3 ; б) ((a – |b|) – a) + (b – (–a – b)) ако је a = – 3 и b = 0,2. 2 5 11. Попуни табелу помоћу правила: а) a–b a
b
–2,4
1,9
–0,6
б) –8,6
a+b a
b –1,8 1,6 –1,8
74
–0,7
–1,8
0,3
12. Израчунај вредност израза: а) збир бројева –3,5 и 4,8; б) од збира бројева –3,9 и –8,2, одузми број –1,1; в) разлику бројева – 3 и –0,105, где је –0,105 умањилац, одузми од збира тих бројева. 24 13. Стојанов рачун у банци је у минусу за 3 497,29 динара. Стојан је на рачун уплатио 2 483 динара. Колико је Стојан у минусу након уплате? 14. Запиши два негативна и два позитивна децимална броја. Одреди збир сва четири броја и збир и разлику најмањег и највећег записаног броја.
СвојСтва Сабирања рационалних бројева 1. Попуни следеће табеле: a
b
c
1,2
5
–2,3
0,005
– 3 5
–2,4
a+b
(a + b) + c
b+c
b+a
b+c
a + (b + c)
1 4 – 1 8 –1,5
a
b
c
a+b
–3,25
1 4
–5,75
– 3 4
–3,8
–0,2
c+b
2. Користи својства комутативности и асоцијативности за сабирање и израчунај: а) – 1 + –1 1 + 3 ; 2 2 4 г) 0,56 + 2,4 + 1,44;
(
)
б) –2 5 + 2 + 1 1 ; 6 3 3 д) 4 + (–2,001) + (–1,999);
в) 3 + 0,7 + –2 1 ; 5 5 ђ) –21,08 + 35,11 + (–9,42) + 5,39.
(
)
3. Не рачунајући вредност израза, стави један од знакова <, > или = тако да тврђење буде тачно: а) – 2 + 3 ___ – 2 + 1 ; б) – 5 + – 6 ___ – 5 + – 6 ; в) –1 3 + 1 ___ 0,5 + – 10 ; 7 9 4 9 2 6 7 8 7 7 2 г) – 5 + – 3 + 7 ___ – 3 + 7 + 5 ; д) – 3 + 1 2 – 1 ___ – 1 + 5 – 3 . 10 3 6 2 11 2 11 6 5 3 10 5
( )
(
) (
( ) ( ) (
)
4. Ако је a + b = – 2 , израчунај вредност израза: 3 1 а) a – + b; б) a + b + 1 ; в) a – 1 2 + b + 1 2 ; 4 3 3 3
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
)
г) a – 3 + b – 1 . 4 2
(
) (
)
75
5. Ако је a – b = –2 1 , израчунај вредност израза: 6 1 а) a – b – 1 ; б) a + 3 – b; в) a – 1 – b + 2 3 ; 12 3 2 4
(
)
(
)
(
) (
г) a + 1 – b + 1 1 . 4 2
)
(
) (
)
6. Ако је a – b = 3 , допиши бројеве тако да добијеш тачну једнакост: 5 а) (a – ____ ) – b = – 1 ; б) (a + ____ ) – b = – 1 ; в) a – (b + ____ ) = –0,7; 10 2 г) (a – ____ ) – (b – 0,4) = 0; д) (a –1 2 ) – (b + ____ ) = 1. 5
једнаЧине Са Сабирањем и одузимањем 1. Провери да ли је –1 1 решење једначине: 8 9 а) x + 1= –2; б) – x = 0; в) x – 5 = – 29 ; 8 8 2
г) –x + 3 – 2,4 = – 21 . 40 4
(
)
2. Реши једначине (2–5): а) x + 1 = 1 ; 3 2
б) 3 + y = 1 2 ; 4 3
в) z – 2 = 0,75; 5
г) 2,4 – a = 2 1 ; 5
д) 4,3 = 5,2 – b.
3. а) x + 4 = – 1 ; б) t + 0,4 = –1,25; в) – 3 + x = 2,5; г) 14 = – 17 + t; д) x + – 1 = – 3 . 3 6 5 2 7 2 4
( )
4. а) d – 12 = – 5 ; 15 3
б) f – 0,41 = –7,02;
в) d – (–0,5) = 1 ; 3
5. а) 2 3 – y = 3 1 ; 8 2
б) 0,7 – a = –1,05;
в) –3,2 – y = –2 1 ; 5
6. Реши једначине: а) –x + 2,4 = 7 ; б) –x – 1 3 = –2 1 ; 9 5 2
г) –10 5 = f – 7,4. 7 г) – 13 = – 1 – a. 4 6
в) –7,12 – (–x) = 6,72;
г) 6 + (–x) = 1. 5
7. Реши једначине: а) z + 6 + 2 = –1; 14 7
б) 4,5 + b – 4 = 5 – 4; в) x – 2 – 1 1 = 1 + – 5 ; 5 4 9 3 2 6 г) (2,8 – x) – 5,2 = –2,4 + 1,3; д) 3 6 – 4 1 + z = 2 – 0,25; ђ) 7 – a – – 3 = 6 – 1 ; 7 2 8 2 4 е) 4 1 + – 2 – x – 1 = –0,75; ж) 6,4 – 1 + (1,6 – y) – 1 3 = –3,2 + 0,8. 2 3 4 6 5
(
)
(
)
(
(
(
)
( ) ( | |)
)
(| | ))
(
(
))
8. Реши једначине: а) |y| + –2 1 = 3 1 ; б) |y| – 2 1 = –0,25; в) 2 – |y| = –1 2 + 4 1 ; 4 3 6 5 4 г) |y + 1| – 3 = 3,75; д) 2 – 1 + y – 1 = – 7 ; ђ) 11 – y – 4 = 1,2 – – 5 + 2 . 12 9 4 6 8 3 5 8 9
(
)
(
|
|)
(|
| )
(
9. Када непознати број саберемо са – 7 , добијамо број 1 . Одреди непознати број. 8 4
76
)
10. Који број треба умањити за 0,3 да би се добио број једнак збиру бројева –3,2 и 5 ? 8 11. Ако непознати број одузмемо од збира бројева –1 2 и –1,6 добићемо разлику ових 5 бројева, где је –1,6 умањилац. Одреди непознати број. 12. Ако од збира бројева a и – 2 одузмемо разлику бројева –2 1 и 0,2 (умањилац је 0,2), 9 3 добићемо аритметичку средину три најмања различита природна броја. Одреди број a. 13. Одреди вредност променљиве k за коју израз – 1 – (k – 0,5) + 7 има вредност 1,25. 3 4 14. Када се разлика бројева –4 2 и 1 (умањеник је –4 2 ) одузме од збира бројева 2 и 5 15 5 15 – 5 , добија се збир бројева 3 и n. Одреди број n. 3
(
)
неједнаЧине Са Сабирањем и одузимањем 1. Заменом бројева –3; 1 ; 1 3 ; –2 5 ; 0,25; –2,14 у неједначини, одреди који од датих бројева 2 5 8 припадају скупу решења неједначине: а) x > 1 ; 3
б) y + 3 < – 7 ; 4 4
в) k – 1,45 ≤ 0,55;
г) 3 1 – d < –1 1 ; 10 10
д) –0,8 > s – 1,4.
2. Реши неједначину и решења прикажи на бројевној правој (2–6): а) x + 3 > 4 ; б) y – 0,5 ≥ 5 ; в) 2 5 – z < 1 4 ; г) 1 1 < 0,6 + q; д) 3 1 – (p – 1) ≤ 1 1 . 12 10 4 3 6 6 2 3 3. а) a + 1 < – 14 ; 3 2 4. а) x – 0,125 < – 5 ; 8
в) –0,75 + c ≥ –1 5 ; г) 1,7 + 1 ≥ 3,2 + d. ( ) 12 2 б) x – (– 5 ) < 3 ; в) x – 14,5 ≥ –15 5 ; г) –7 1 ≥ x – 4,4. 14 7 6 5
б) b + – 3 > –1; 8
5. а) –10 5 – p ≤ –7 1 ; 12 6
б) 3,3 – q > 4,7 – 4 ; 5
в) –5,2 – r ≤ –8 9 ; 20
б) 25 1 – (–x) < 23 1 ; в) 10 5 ≥ –x + 7 1 ; 18 6 3 9
6. а) –x + 2,6 > 1,4;
г) –1 1 > 5 4 – t. 2 5 г) –x – 1 11 > –5,17 + 4,92. 12
7. Реши неједначине (7–8): а) 3,27 – y – 7 1 ≤ 2 1 – 8 1 ; б) –1 4 + y + 15 50 20 5 5 г) 4 1 – 1 – y ≥ 3 1 – 1 ; д) (4,25 + y) – 3,1 < 15 12 5 2
(
8. а) |x| > 2 3 ; 7
)
б) |x| ≤ 4,42;
в) |x| > –2,55;
3 < –3 1 – 3 ; в) 1 2 + 4 – y ≤ 5 ; 14 10 7 9 3 6 1 – 1 ; ђ) 7 – 5 – y + 13 > 2 – 8 . 15 3 12 15 8 3 5
(
((
г) |x| ≤ –5 4 ; 11
)
)
)
д) 11 + (|x| – 2,625) > –1. 8
9. Одреди највећи цео број који задовољава неједначину 2 1 – a – 1 > 4 2 . 2 5 3
(
)
77
10. Реши неједначину 1 2 + (x + 0,5) – (a + 1,25) – 3 1 – 1 < –3 1 ако је a решење 3 6 4 3 5 1 1 1 једначине a – 1 . + –1 – =– 18 9 3 6
( ) (
(
) (
)
)
11. Које бројеве можеш сабрати са –11 1 тако да добијеш број мањи од 3,2? 6 12. Које бројеве можеш одузети од збира бројева –5 7 и 3 5 тако да добијеш број не 12 6 мањи од 1? 13. Од ког броја можеш одузети збир бројева 0,52 и –2,4 да добијеш број већи од њихове разлике, где је 0,52 умањеник? 14. За који број можеш умањити разлику бројева 17 и 13 , где је 13 умањилац, тако да 5 3 3 3 2 1 добијеш број не већи од збира бројева , –2 и – ? 4 3 5 15. Марко је првог јутра измерио температуру ваздуха. У подне је била виша за 7,2°С него ујутру, а увече за 5,3°С нижа него у подне. Следећег јутра, Марко је измерио да је температура за 3,9°С нижа него претходне вечери. Ако је термометар другог јутра показивао мање од –2,6°С, колика је могла да буде температура првог јутра?
множење рационалних бројева 1. Израчунај: а) 3 · 4 ; 5
б) 2 · 8; 7
2. Израчунај: а) 5 · (–4);
в) 25 · 0; 16
г) 2 · 4 ; 7 5
б) –7 · 3;
д) 10 · 14 ; 21 15
в) –6 · (–7);
ђ) 2 3 · 8 ; 4 33
г) –11 · (–65) + 320;
е) 3 7 · 1 19 . 10 21
д) 22 + 6 · (–7).
3. Запиши у облику производа и израчунај: а) 1 + 1 + 1 ; 5 5 5
б) – 3 + – 3 ; 4 4
( )
в) – 2 + – 2 + – 2 + – 2 ; 9 9 9 9
( ) ( ) ( )
г) – 5 + – 5 + – 5 . 8 8 8
( ) ( )
4. Израчунај (4–8): а) 4 · – 4 ; 5
( )
б) – 4 · 3; 9
в) –8 · 3 ; 4
г) – 11 · 0; 14
д) – 17 · (–8); 12
ђ) –18 · – 7 . 12
(
)
5. а) – 5 · 6 ; б) – 2 · – 4 ; в) –1 1 · – 3 ; г) 7 · – 16 ; д) –2 5 · –1 4 ; ђ) – 16 · 27 ; 12 21 81 64 7 11 3 6 3 4 8 7 е) –8 4 · –1 7 ; ж) –11 11 · 5 ; з) – 8 · 3 · – 5 ; и) 25 · – 3 · – 24 . 15 15 11 15 4 12 36 10 75 8
( )
(
( )
)
(
(
6. а) – 2 · 7 + 1 ; б) 3 · –1 7 – 1 ; в) – 3 + 2 · 3 ; 12 3 4 6 8 9 5 5 4
(
78
)
)
)
(
)
( )( ) г) 1 1 – 2 · (– 3 ); д) – 2 + 1 · 2 . 10 6 9 5 4 3
7. а) – 3 · – 3 + 1 14 ; 15 4 5
. ) ( ) в) (– 49 + 1 13 ) · 163 ; г) –5 113 · (– 23 + 12 29 ) 8. а) (– 2 + 3 ) · (–4 + 1 ); б) 1 · (–4 + 2 ) + 2 · 4 ; в) ( 1 + 1 ) · ( 1 – 2 · (– 7 )); 21 14 10 5 2 2 3 3 3 3 6 г) 7 + ( 4 + 1 · ( 3 – 1 · ( 2 – 1 ) – 1 )); д) (2 3 – (2 3 + 7 ) + ( 7 – 1 ) · 2 1 ) · 3 1 – 1 . 12 15 6 3 3 8 6 3 4 2 5 4 10 2 4 20
(
)
б) 5 – 5 · – 2 ; 8 6 5
(
9. Израчунај вредност израза за a = –1 3 и b = 6 : 4 35 а) a · b; б) (a · b) – a; в) (5 · a) · b; г) a · b · a. 10. Од производа бројева 3 и – 10 одузми број – 3 . 5 21 7 11. Израчунај производ збира и разлике бројева – 2 и –2 1 (умањеник је – 2 ). 3 4 3 12. Производ бројева 5 и 8 одузми од производа бројева –1 3 и 8 . 16 15 8 33 13. Ако је умањилац збир бројева 2 и – 5 , а умањеник производ ових бројева, израчунај 9 6 разлику. 14. Израчунај: а) 3,56 · 10;
б) 5,2 · 1 000;
в) 100 · 0,067;
г) 2,3 · 4,8;
д) 0,06 · 0,9;
15. Запиши у облику производа и израчунај: а) –2,3 + (–2,3) + (–2,3); б) –0,04 + (–0,04) + (–0,04) + (–0,04);
ђ) 5,513 · 1,15.
в) –8,8 + (–8,8).
16. Попуни табелу: ·
10
100
1 000
10 000
100 000
–5,93 –1,506 –0,0037 17. Израчунај (17–20): а) –3,6 · 100; б) –4,33 · (–1 000); в) 5,101 · (–10); г) 10 · (–0,55); д) –10 000 · (–0,543); ђ) 9,2 · 20; е) 40 · (–6,22); ж) –80 · (–4,16); з) 2,85 · (–45); и) 23 · 4,45; ј) –25 · (–3,24). 18. а) –6,2 · 3,8; б) 1,4 · (–3,5); в) –3,125 · (–4,8); г) –4,14 · (–3,25); д) 1,25 · (–0,8); ђ) –0,07 · (–0,91); е) –0,54 · (–1,75); ж) –0,01 · 0,64; з) 5,2 · (–0,001); и) –6,45 · (–2,08).
79
19. а) 2,4 + 3 · (–1,8);
б) –5,4 – (–0,65) · (–1,2);
20. а) (3,1 – 4,05) · 8 – 5,3 · 1,9;
в) 5,7 · (–0,3) + 2,41;
б) 1,9 + 4,2 · (2,8 – 3,3) – 4,8;
г) –23,5 + (–4,2) · (–3,05).
в) –1,94 + 12,94 · (–1,3);
г) 1 · 3,2 – 4,8; д) –4 2 · 1,5 + 2,5 · 3 3 ; ђ) 3 – 0,25 · 3,6 · 5 – 2 ; 2 3 5 4 8 е) –1,7 – 1,8 · –4,9 + 3 1 · 1 1 ; ж) 2,6 – 4,8 – 1 · 1,2 ·1 3 – 0,23; 15 2 8 4 з) –7 2 + 2,4 · 4 · 0,4 – 6 · 0,02 – 3 . 10 5 5
(
(
) ( ( ) )
((
21. Ако је a = –0,8 и b = –2 1 , израчунај: 4 5 а) (a + b) · ; б) (a – b) · b; в) 2 – a · b; 8
)( ))
г) a · b – b · (a + b);
)
д) 3 · a – 4 · b. 8 3
22. Израчунај збир ако је први сабирак производ бројева –2,5 и 12, а други сабирак број који се добија када се од – 3 одузме 0,75. 4 23. Умањилац је 1 броја –14, а умањеник збир бројева –1 3 и 3 . Израчунај разлику. 6 14 21 24. Напиши производ збира бројева –2,75 и –3 1 и 4 разлике тих бројева, где је –2,75 2 7 умањеник, па израчунај вредност тако добијеног израза. 25. Умањилац је 2 збира бројева –1 1 и –0,5, а умањеник 1 производа бројева 0,375 и 10 5 4 –4. Израчунај вредност тако добијеног израза. 26. Израчунај збир 4 броја ако је најмањи од њих –8, а сваки следећи је 1 претходног 4 броја. 27. Израчунај производ пет бројева ако је највећи од њих 1 1 , а сваки следећи је за 2 2 3 мањи од претходног.
СвојСтва множења рационалних бројева 1. Попуни табелу: a –0,5 1 3 –2,3
80
b 1 4 –0,375 –0,05
c –1 1 2 2 4 9 –3,1
b+c
a·b
b·a
a·c
a · b + a · c a · (b + c)
2. Објасни како знаш да су тачне наведене једнакости и без рачунања: а) – 2 · 5 = 5 · – 2 ; б) –0,54 · (–4,1) = –4,1 · (–0,54); в) – 8 · (–0,375) = –0,375· – 8 ; 5 14 14 5 9 9 г) 2 · –4 2 · 0,25 = 2 · –4 2 · 0,25 ; д) (–1,5 · 0,125) · 4 = –1,5 · 0,125 · 4 . 11 11 5 5 9 9
( )
(
(
( )
))
(
)
(
)
3. Не рачунајући вредност израза, упиши бројеве тако да добијеш тачне једнакости: 11 ; б) –0,69 · – 4 = – 4 · ____; в) –5,6 · ____ = 4,68 · (–5,6); а) 11 · – 7 = ____ · 27 27 47 61 61 г) ____ · 1 · 1 = 1 · 1 · 1 ; д) (– 0,54 · (–3,1)) · ____ = –0,54 · (–3,1 · (–10,2)). 5 6 4 5 6
(
)
(
(
) (
)
)
4. Применом својстава комутативности и асоцијативности, израчунај: а) – 3 · 4 · –1 5 ; 7 9
(
)
б) 4 · – 1 · 1 1 ; 5 3 4
( )
г) – 8 · 5 · – 3 . 15 9 16
(
в) 2,5 · (–7,37) · ( –0,4);
)
5. Користећи својство дистрибутивности множења према сабирању, израчунај: а) 2 · 2 + 2 · 1 ; 5 3 5 3 13 1 в) · – 7 · 1 + 1 · – 1 ; 15 2 15 2 15 2 4 7 7 1 7 3 д) · – · – · – ; 8 15 8 3 8 5
(
)
( )
б) –0,25 · 3 + 2 · (–0,25); 5 5 2 2 2 г) – · – · – 1 + 2 · 8 ; 7 9 7 3 7 9 ђ) –93,28 · 0,24 – 0,24 · 11,02 + 4,3 · 0,24.
( )
6. Ако је a + b = –1 3 , израчунај: а) 1 2 · a + 1 2 · b; 11 9 9 1 1 в) – 2,2 · a –2 · b. 2 5
б) – 11 · a – 0,55 · b; 20
7. Ако је a · b = –5 1 , израчунај вредност израза: 4 а) 4 · a · b; б) a · 2 · b; в) a · (–0,8 · b); г) b · – 2 · a; 21 7
(
)
( (
))
д) – 1 · a · b · – 4 . 9 7
(
) ( ( ))
8. Одреди реципрочне вредности бројева: 2; –3; – 1 ; – 1 ; 5 ; – 2 ; –4 1 ; 0,4; –5,25. 23 30 7 9 4 9. Да ли постоји број који је једнак својој реципрочноој вредности? Да ли за сваки број можеш да одредиш његову реципрочну вредност? 10. Дати су изрази А = 6 · –3 7 –1 3 · –1 11 и В = 2 – 1 1 · –4,5 – 3 · (–4) . Одреди 17 24 15 9 5 3 4 производ њихових реципрочних вредности.
(
)
(
)
(
)(
)
81
дељење рационалних бројева б) 7 : 6 ; 10 15
1. Израчунај: а) 4 : 2 ; 5 3 2. Израчунај: а) 32 : (–2); б) –15 : 3;
в) 36 : 1 4 ; 69 23
в) –18 : (–6);
г) 515 : ( –5);
г) 1 19 : 1 3 ; 21 7
д) 17 : 3 3 . 64 16
д) –6 161 : (–61);
ђ) –111 111 : (–111).
3. Израчунај (3–6): а) 2 : (–3); 3
б) – 1 : (–2); 5
4. а) – 1 : 3 ђ) – 3 : 4 ј) –2 2 15
4 ; б) 2 : – 7 5 9 ; е) 5 : – 16 9 : 8 ; к) –10 35 н) –18 : –5 1 . 3
в) – 4 : 8; 5
г) 8 : (–4); 21
д) –2 1 : 3; 4
ђ) –2 1 : (–20). 12
в) – 3 : – 1 ; г) 7 : – 1 ; д) – 5 : – 7 ; 14 10 8 9 2 7 5 ; ж) – 6 : 3 ; з) – 16 : – 4 ; и) – 12 : –7 1 ; 18 3 25 7 14 9 5 2 : –1 1 ; л) 1 31 : –6 9 ; љ) –9 : 2 ; м) –12 : 3 ; 32 16 16 7 7 7
( 34 );
(
(
)
)
(
( ) ( ) )
(
)
(
)
( ) 5. а) – 1 : (– 3 ) – 1 1 ; б) 2 3 : (–1 19 ) + 2 3 ; в) – 2 + 5 : 72 ; г) – 3 – 1 : (– 5 ). 20 19 12 4 8 6 5 9 6 15 4 4 6. а) (10 1 – 6 3 ) : (–1 7 – 1 1 ); б) (–8 4 + 4 3 ) : (35 6 : 18 8 ); в) (–7 1 – 1 2 ) : (–5 1 · 5 ). 11 11 8 4 8 2 5 9 2 3 2 9 5 – 9 – 2 – 36 –5 20 5 21 49 ; б) ; в) – ; г) ; д) . 7. Одреди вредности двојних разломака: а) 3 14 15 –4 2 – 8 4 15 4 7 21 8. Шта је веће: а) – 4 · 2 или – 4 : 2 ; б) 16 : – 8 или 8 – 16 ; 7 21 21 7 9 3 9 3 в) 3 – 2,5 или 3 – 2 : 3 – 1 ? 8 5 8 4
(
(
)(
)
)
9. Ако је a = – 3 , b = 9 и c = –1 7 , израчунај: а) a : b; б) a · c – b; в) (a · b) : c; 10 18 5 г) a ; д) c : (b · a). c 10. Дељеник је број – 6 , а делилац збир бројева –1 5 и 4. Израчунај количник. 27 9 11. Делилац је број 2 1 , а дељеник разлика бројева 3 5 и 8 1 , где је 3 5 умањеник. 12 12 2 4 Израчунај количник.
82
12. Збир бројева –8 2 и 2 1 умањи за количник истих бројева, где је 2 1 делилац. 10 10 5 13. Количник бројева –1 1 и 3 3 (дељеник је –1 1 ) умањи за збир бројева –5 7 и 3 1 . 18 2 8 2 4 14. Израчунај: а) 264 : 10; б) 169,5 : 100;
в) 2,34 : 1 000;
г) 31,2 : 6;
д) 167,29 : 0,5;
ђ) 34,4 : 0,025.
1 000
10 000
15. Попуни табелу: :
10
100
–3,4 –15,027 –0,314 16. Израчунај (16–19): а) –5,4 : 3; б) –11,7 : 9;
в) –3,06 : (–6);
г) –4,08 : (–25);
д) –61,704 : 18;
ђ) –0,056 : (–16).
17. а) –32 : 1,6; б) 27 : (–0,9); в) –23,76 : (–0,5); г) 3,105 : (–0,2); д) –4,35 : ( –0,25); ђ) –23,7 : 0,12; е) 0,026 : (–1,3); ж) –0,0015 : (–0,004); з) –41,657 : 7,7; и) 23,31 : (–0,037). 18. а) 8,798 : 4,15 – 17,37;
б) 139,897 : (–19,9) + 100,003;
в) –1 914 : 14,5 + 904,395.
19. а) –3,36 : (0,13 – 0,93);
б) (–3,27 + 11,08) : (–5,5 · 0,2);
в) (–28,749 : 821,4) · (342 : (–3,42)).
20. Количник –5,25 : 0,15 умањи за –4. 21. Петострукој вредности збира бројева – 5 и 1,295 додај количник –2,68 : 0,4. 8 22. Трећину збира бројева – 77 и 2,42 умањи за половину количника 9,9924 : 0,33. 25 23. Производ бројева 3 1 и 0,8 одузми од количника –0,35 : 0,5. 4 24. Подели збир бројева –2,31 и 1,2 са њиховим производом. 25. Од броја –1 3 одузми реципрочну вредност количника –3,5 : – 2 . 5 5
( )
26. Одреди аритметичку средину бројева: а) – 1 , 3 , – 5 ; б) –1 5 , –2 3 , 1 7 , 1 7 ; 12 2 4 8 6 4 8
27. Израчунај: а)
;
б)
;
в)
в) –0,25; 4,81; –3,17; –7,2; 3,49.
;
г)
.
83
28. Израчунај: а) – 5 : 9 – 2 : 9 ; 3 14 3 14
б) – 7 : 6 – 1 : 1,2 – 2 : 6 ; 15 5 3 5 5
в) – 5 : 16 + 1 1 : 16 – 1 : 16 . 8 21 8 21 8 21
29. Израчунај вредност израза: а) 3 1 + –2,125 + 1 2 · 12 ; б) 4 8 – 5 7 : 7 – 3 · 1,25; 15 12 40 13 6 3 33 в) – 5 + – 6 · 14 : (–1 + 0,6) ; г) – 5 · 1 1 + – 7 –2 11 : 1 1 : 1 39 ; 21 15 12 12 72 3 8 3 6 д) – 1 – 2 4 · 10 : 11 – 0,75 : – 9 ; ђ) 6,25 – 1 8 – 4,12 · 1 1 – 1,311 : (–0,23) ; 18 15 19 3 25 14 4 е) 1 – 2 1 – 1 1 : – 2 + 3 · 2 – 6,75 · –1 2 – 8 1 : (–10,5) . 8 4 5 2 11 3 6
( (
(( ( (
)
( )
(
)
))
)
( ))
(
( )
)
)
((
(
)
)
)
једнаЧине 1. Провери да ли је – 3 решење једначине: 4 а) x · 1 = – 3 ; б) 1 3 · y = 1 1 ; в) p : 2 = – 1 ; 2 8 5 5 9 6 ђ) – 5 = – 5 : a. 12 9
г) –4,5 : q = 6;
д) 0,4 · r = – 3 ; 10
2. Реши једначине (2–9): а) x · 1 2 = –1 1 ; б) x · – 3 = 9 ; в) 7 · x = –1 2 ; г) x · (–0,5) = – 3 ; д) 2,16 = –0,2 · x. 24 13 3 9 8 5 4
( ) 3. а) y : 11 = – 3 ; б) y : (–1 2 ) = 7 ; 6 22 7 9 д) –0,9 = y : (–7 1 ). 3 4. а) – 3 : a = 9 ; б) –2 1 : a = –7,8; 16 4 6 д) –0,16 = –2,4 : a. 5. а) b · –2 1 = 1 5 ; 3 9
в) y : (–6,31) = –1,1; г) y : (–4,5) = 9 1 ; 11
в) 14,4 : a = –9,6;
г) –5 3 : a = 17 ; 13 26
б) –31,89 : b = – 6 ; в) 1,17 · b = –6,084; г) –0,625 = b : 4 . ( ) 5 5 6. а) d : (–4 5 + 2 1 ) = – 9 ; б) (–16 + 0,756) : d = –3,7; в) d · ( 5 + 3 ) = – 16 ; 18 38 3 6 6 8 г) d : (–3 7 ) = 4 2 · (– 27 ); д) –1,02 : 3 = (– 2 : 3 + 1 ) · d; ђ) –1,92 : d = 3 – 3 · 1 ; 36 70 3 5 10 3 5 е) ( 4 – 7 ) : d = – 1 – 7 ; ж) d : (–1 4 – 1 4 ) = –10,5 + 25 ; 21 29 9 6 3 18 7 1 2 1 1 4 з) d · ( + · (–3 )) = – + . 4 5 3 4 3
84
7. а) x – 4 · 1 = – 5 ; 3 2 6
(
)
б) (0,4 – x) : 3 = – 6 ; 2 5
в) x – 3 · 1 3 : – 7 = (3,2 – 4,46) : 0,7. 12 4 5
(
)(
)
8. а) – 1 · y – 3 = – 5 ; б) y : 4 – 1 = – 5 ; в) – 1 – y : 0,375 = – 5 ; 12 12 12 2 4 4 4 г) 0,7 · – 5 + y · 2 – 1 = – 5 . 12 6 3 2
( ) ( ) 9. а) ( 3 – (– 1 · k + 5 )) : 1 – 7 = –1 3 ; 4 2 6 3 5 4
б) 9 · – 2 – k : 3 3 – 2 + 2 1 = – 1 . 5 3 5 3 3 6
((
) )
10. Ако непознати број помножимо са –1 1 , добијамо производ – 3 . Одреди непознати 8 4 број. 11. Када непознати број поделимо са – 5 , добијамо количник –1 11 . Одреди непознати 16 25 број. 12. Који број треба помножити са збиром бројева – 7 и 0,625 да би се добила разлика 8 бројева –9,3 и –0,675, где је –9,3 умањеник? 13. Из израза 2 · a + 3 – 5 – c · –1 1 = 3 4
(
)
3 : b + c : – 4 = –2 1 одреди b ако је a = –1 + 6 : 0,8 и 4 5 3 5 7. 3
( )
14. Зоран је уместо да подели неки број са – 4 тај број сабрао са – 4 и добио 15 15 резултат – 1 . Који би резултат Зоран добио да није погрешио? 3 15. Ако од четвороструке вредности израза – 3 · x– 1 одузмемо – 1 , добијамо двоструку 16 8 4 вредност збира 0,8 и –5,2. Одреди x. 16. Ако троструку вредност израза – 21 · x– 7 одузмемо од разлике –0,3 – 0,025, добијамо 90 50 број –0,15. Одреди x. 17. Здравко купује у продавници. Продавачици је дао новчаницу од 500 динара. Када је она откуцала 2,3kg јабука, по цени од 87 динара за килограм, и 3 1 kg банана, рекла је 4 Здравку да му недостаје још 38 динара и 10 пара. Колико кошта килограм банана? 18. Марији је прошле године просечна плата за годину дана била 25 618,32 динара. Целе године Марија је месечно трошила 24 500 динара. Када је на крају године од остатка новца хтела да купи два пара скија, једне себи а друге сестри, недостајало јој је још 3 000,16 динара. Колико кошта један пар скија?
85
19. Одреди сва решења једначина: а) 1 · x + 3 · 1 2 – 1 · x = 0; б) (0,5 · x – 0,7) · 5 : x + 3 = 0; 12 2 5 3 3 в) 2 – 3 · x · – 8 : x + 4 = 0. 7 14 3 9 2 2 д) |x| : – 3 = – 5 ; ђ) –0,2 : |x| = 0,01; е) 2 1 · |x| – 4 = 1 3 ; г) · |x| = ; 3 5 4 6 3 5 ж) – 5 : |x| + 2 = – 15 ; з) – 7 · |x + 1| + 3 = 1 ; 28 16 7 9 2 3
( (
)( )(
(
)
(
)
) ( )
)
и)
;
ј)
.
неједнаЧине 1. Реши неједначине и решења представи на бројевној правој: а) x · 1 < 3 ; б) 2 · x < 8 ; в) 24 · x ≥ 16 ; г) x : 1 2 < 6 ; д) x : 3,21 > 0,7; 15 35 21 2 4 5 5 35 ђ) x : 1 2 ≤ 9 . 3 55 2. Који бројеви из скупа М = –2, 3, – 1 , – 3 , 0, –1 1 припадају скупу решења неједначине: 2 4 3 а) –2 · x < 1; б) 3 · x > –2; в) x : (–1,5) > –1; г) x : –2 2 < –0,375; д) 2 < x : 4 ? 4 7 3 9
{
}
(
)
3. Реши неједначине и решења представи на бројевној правој (3–5): а) 2 · p < –8; б) –8 · p > 40; в) –3 · p ≥ – 21; д) p : 3 < –2; г) p : (–5) ≤ 5; 4. а) y · 1 > – 3 ; 2 8
б) 1 4 · y ≤ –3; 5
в) –1 5 · y > 8 ; 27 9
г) – 2 · y ≥ – 4 ; 13 5
5. а) x : 7 > –1 1 ; б) x : 0,24 < –2,5; в) x : (–4,4) < 0,75; 11 21 г) x : –3 7 ≥ –4 13 ; д) x : – 13 < 7 . 17 21 26 9
(
)
(
)
6. Реши неједначине (6–9): а) 3 · p + 4 > –2; б) 31 – 7 · p < 52; в) –6 · p – 10 > –17; г) p : 2 – 9 < –17; д) –13 + p : (–3) > –11. 7. а) 2 · a + 3 < – 3 4 г) – 5 · a – 3 : 4 8 4
86
1 ; б) – 2 + 1 1 · a ≤ –1 1 ; 6 5 2 4 1 ≥ –5 1 . 2 8
в) –2 3 – 3 · a > 11 ; 14 4 7
ђ) p : (–4) > –6.
д) y · – 7 ≤ – 21 . 24 48
(
)
8. а) b : –2 1 – 16 > –1 21 3 г) 4 · 2,875 – b : 8 ≥ 2 9 3
(
)
3 ; б) b : 1 2 + 1 ≤ –1 2 ; в) 6 – b : 1 11 < 3,5; 14 13 15 3 4 5 5. 6
б) 7 + x : 16 · 1 2 < – 14 ; в) (4 · x – 10) : 8 – 2 ≥ – 18; 15 8 5 г) 6 – ((2 · x – 3) – 8) ≤ 23; д) (x : 2 – 3) : (–4) – 5 · 6 > –7;
9. а) 7 · (–2 · x – 5) > –21;
(
)
ђ) – 2 – 0,5 · x · 1 5 – 2,5 > 9 ; 14 3 7
(
е) – 8 : 1 1 + 3 – 1 + 8 · x : 8 > 8 . 9 3 2 6 9 9 9
)
( (
))
10. На бројевној правој представи скуп решења неједначинa: а) – 3 < y < 1 1 ; б) –2,4 < y < 3,2. 4 2 11. Реши неједначине: а) –1 1 < 2 · x < 2; 5
в) –1 3 < 2 · x + 1 < –1. 5 5
б) –2,4 > 3 · x > –7,2;
12. За које вредности променљиве a вредност израза – 4 · a – 2 није већи од – 3 ? 35 70 13. Бранко је замислио неки број. Када га је помножио са – 7 и добијеном производу додао 9 2 , добио је број не већи од 5 , а већи од – 8 . Који број је Бранко могао да замисли? 3 4 9 14. Одреди све негативне целе бројеве који су решење неједначине b : 7 + 3 2 · 3 ≥ – 1 . 8 3 4 2
(
)
15. Одреди најмањи цео број који је решење неједначине – 3 · x – 2 : 1 7 · 2 ≤ 1 3 . 4 3 9 3 5
(
)
16. Одреди вредности променљиве а у изразу –3 · a + 4 тако да је вредност израза мања од 5. 2 17. Аритметичка средина три цела негативна броја је већа од –4 1 . Ако су два броја –7 и 3 –2, које вредности може узети трећи број? 18. Реши неједначине: а) 6 : x < 0;
б) –3 : x > 0;
г) –6 : x > 2;
д) –4,2 : x > –2;
е) – 4 : – 2 + 0,25x > 2 ; 27 9 5
(
)
ж)
–8 > –4; 2 – 0,4x
в) 5 : x > –1 1 ; 4 ђ) 12 : (–3x + 1) < –6; з)
< –1 1 . 3
87
проценти 1. Представи проценте у децималном запису и у облику a (D(a,b) = 1): b а) 1%, 3%, 10%, 25%, 40%, 50%, 75%, 80%; б) 125%, 150%, 200%, 240%, 250%, 315%, 375%, 425%. 2. Следеће бројеве изрази у процентима: а) 9 , 13 , 39 , 50 , 71 , 99 ; б) 100 100 100 100 100 100 в) 4 , 21 , 101 , 513 , 750 ; г) 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 д) 1; 0,25; 0,6; 0,2; 3,25; 8,5; 1,75; 2; 1,5;
133 , 217 , 311 , 512 , 917 ; 100 100 100 100 100 1 , 3 , 2 , 31 , 7 , 8 , 79 ; 2 4 5 10 20 25 50 ђ) 1 , 3 , 78 , 201 ; е) 2 , 5 , 8 , 12 1 . 8 40 125 500 3 12 11 6
3. Израчунај: б) 30% од бројева 250; 11; 3 ; 5 ; 4 12 10 ; г) 215% од бројева 92; 4,3; 1; 155 . в) 74% од бројева 12,8; 13,1; 520; 86 37
а) 50% од бројева 42; 18; 17; 25,9;
4. Број: а) 10;
б) 8;
в) 13;
г) 72;
д) 31,2;
ђ) 5 је 5% неког броја. Који је то број? 8
5. У једној школи од 720 ученика 45% су дечаци. Колико дечака, а колико девојчица иде у ту школу? 6. У парку је засађено 525 лала и ружа. Ако руже чине 44% од укупног броја садница, колико је засађено лала? 7. Марко је од свог недељног џепарца одвојио 35% новца да би купио чоколаду. Ако је Марков недељни џепарац 500 динара, колико кошта чоколада? 8. Кошуља кошта 1 250 динара. Колика је цена кошуље након снижења од 6%? 9. Жика је аутомобилску гуму платио 2 370 динара. Када је после два месеца дошао у исту продавницу да купи још једну гуму, видео је да је поскупела за 7%. Колика је сада њена цена? 10. Маја је на распродаји купила блузу и платила је 1 152 динара. Ако је на распродаји цена блузе снижена за 36%, колико је блуза коштала пре распродаје? 11. Након поскупљења од 18%, књига кошта 294,41 динар. Колика је била цена књиге пре поскупљења? 12. Контролну вежбу из математике је радило 24 ученика. Шест ученика је оцењено одлично, 8 врло добро, 4 добро, а остали су довољни. Изрази у процентима колико ученика је добило коју оцену.
88
13. Бака Мара прави колаче. Тесто је замесила са 200g брашна, 40g шећера, 100g млека и 20g маслаца. Колико процената брашна, а колико шећера има у тесту? 14. Ђачка торба кошта 1 150 динара. Колико процената је појефтинила торба ако сада кошта: а) 1 058 динара; б) 989 динара; в) 885,5 динара? 15. Секција за путеве је прошле године асфалтирала 500km путева. За колико процената више је асфалтирано ове године, ако је асфалтирано: а) 550km путева; б) 625km путева; в) 695km путева? 16. После снижења од 13%, цена кишобрана је за 26 динара нижа. Колика је цена кишобрана после снижења? 17. У школу данас није дошло укупно 30 ученика. Ако је то 2,4% од укупног броја ученика, колико деце похађа ову школу? 18. Цена претплате за кабловску телевизију је повећана за 17%, то јест за 88,4 динара. Колика је била цена претплате пре поскупљења, а колика је после поскупљења? 19. Шљиве при сушењу губе 64% своје масе. Колико је свежих шљива потребно за 23,4kg сувих шљива? 20. Првог септембра патике су коштале 2 200 динара. Петнаестог септембра су поскупеле за 15%, а 30. септембра су појефтиниле за 15%. Да ли су патике јефтиније 1. или 30. септембра и за колико? 21. Тања је уштедела 3 540 динара. Потрошила је 30% уштеђевине, а затим је своју уштеђевину повећала за 30%. Колика је сада Тањина уштеђевина? 22. Бензин кошта 92,5 динара. Прво је поскупео за 2%, а затим за још 6%. Колико после оба поскупљења треба да се плати 10 литара бензина? 23. Сава је замислио један број. Када га је умањио за 25%, а затим за још 22%, добио је број 468. Који број је Сава замислио? 24. Паковање чаша кошта 250 динара. Власник продавнице је снизио цену чаша за 20%. За колико процената треба повећати цену да би била иста као пре снижења? 25. Број 400 је повећан за 25%. За колико процената ћеш умањити нови број да би поново добио број 400? 26. Странице правоугаоника су 5cm и 4cm. Ако се већа страница повећа за 20%, а мања за 25%, за колико процената ће се повећати обим и површина правоугаоника? 27. Две наспрамне страница квадрата су повећане за 10%, а друге две смањене за 10%. Коју фигуру смо добили? Како и за колико процената су се променили обим и површина нове фигуре у односу на квадрат?
89
ТЕСТ – САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ У Q 1. Заокружи слово испред записа рационалног броја –0,15: а) – 5 ; б) – 3 ; в) – 1 ; г) – 1 ; д) – 15 . 100 20 15 10 5 2. Aпсолутнa вредност бројa –1 2 је: 5 2 2 а) 0; б) –1 ; в) 1 ; г) не постоји; д) – 7 . 5 5 5 (Заокружи слово испред тачног одговора.) 3. Поређај по величини (од најмањег до највећег) следеће бројеве: – 1 ; 1 ; –0,2; – 3 . 2 3 4 1 3 1 1 3 1 1 1 3 3 1 а) – ; – ; –0,2; ; б) ; – ; – ; –0,2; в) –0,2; – ; ; – ; г) – ; – ; –0,2; 1 . 2 4 3 3 4 2 2 3 4 4 2 3 (Заокружи слово испред тачног одговора.) 4. Вредност израза – 2 + 2 је: 3 4 1 2 а) – ; б) – ; в) 0; г) –1 1 ; д) – 4 . 6 7 6 7 (Заокружи слово испред тачног одговора.) 5. Вредност израза –2 4 – 1 3 је: 10 5 а) – 3 7 ; б) – 4 1 ; в) 1 1 ; г) –1 1 ; д) –1 1 . 15 10 2 2 5 (Заокружи слово испред тачног одговора.) 6. Вредност израза (–5,32 + 1,5) – (4,18 – 5,2) је: а) –7,84; б) –5,8; в) –4,84; г) –13,2; д) –2,8. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 7. Вредност израза –4,6 – ((1,2 – 4 1 ) + 2 7 ) + 3,05 је: 10 4 а) –1,2; б) –7,3; в) –1,9; г) 8; д) 1,9. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 8. Решење једначине ( x – 5 ) + 3 = 1 1 је: 6 3 а) x = – 5 ; б) x = 2 1 ; в) x = –2 1 ; г) x = 5 ; 6 2 2 6 (Заокружи слово испред тачног одговора.) 9. Решење неједначине 3,5 + (–2,6) < – x – 6,2 је: а) x > –7,1; б) x > 0,1; в) x < –7,1; г) x > 7,1; (Заокружи слово испред тачног одговора.)
д) x = 5 1 . 6
д) x < 7,1.
1. б); 2. в); 3. г); 4. а); 5. б); 6. д); 7. а); 8. а); 9. в).
РЕшЕЊА: 90
теСт – множење и дељење у Q 1. Вредност израза – 2 ∙ 15 је: 5 16 а) – 32 ; б) – 17 ; в) – 5 ; г) – 1 ; д) – 3 . 75 80 16 3 8 (Заокружи слово испред тачног одговора.) 2. Вредност производа –2,4 ∙ (–1,2) је: а) –3,6; б) 2,88; в) 2; г) 2,8; д) 2,6. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 3. Вредност израза – 2 – 1 ∙ 6 је: 3 3 5 а) –1 4 ; б) –1 1 ; в) – 4 ; г) – 2 ; д) –1 1 . 15 15 15 5 5 (Заокружи слово испред тачног одговора.) 4. Вредност израза (–15,225 : 0,75 – 0,7) ∙ 1,5 – 1,5 је: а) 0; б) –33; в) –47,05; г) –30,9; д) –30. (Заокружи слово испред тачног одговора.) 5. Резултат који добијаш када количник 3 : –2 1 одузмеш од производа бројева 2 и – 5 је: 12 8 4 5 65 119 1 1 ; г) ; д) – . а) 0; б) – ; в) 96 150 3 3 (Заокружи слово испред тачног одговора.)
(
)
6. Решење једначине – 2 ∙ x + 5 = 2,5 је: 3 6 2 1 а) x = – ; б) x = –1 ; в) x = –2 1 ; г) x = –2 1 ; 5 9 2 3 (Заокружи слово испред тачног одговора.)
д) x = –5.
7. Решење неједначине – 1 ∙ x + 3 : 5 < – 7 je: 10 6 12 2 а) x > 4 ; б) x < 2; в) x < 4 ; г) x > 2; д) x > 1 . 5 5 2 (Заокружи слово испред тачног одговора.)
(
)
8. После поскупљења од 16%, патике коштају 2 436 динара. Цена патика пре поскупљења била је: а) 2 825,76 динара; б) 336 динара; в) 2 772 динара; г) 2 100 динара; д) 389,76 динара. (Заокружи слово испред тачног одговора.)
1. д); 2. б); 3. д); 4. б); 5. а); 6. в); 7. г); 8. г).
решења: 91
рационални бројеви – решеЊа Скуп рационалних бројева 1. а) 4, 12 ; 2
б) 4, 0, 12 , – 12 ; в) 3 , 4, 0, 12 , 1 ; г) – 2 , – 11 , – 12 2 3 2 5 2 3 4 3 2. На пример: – 1 , – 4 и – 7 . 5 5 5 12 12 ,– 3. На пример: – и – 12 . 5 7 13 4. – 1 , – 5 , 4 , 5 , 7 и – 1 . 2 7 9 4 20 3 5. 3 = 3 = 6 = 12 , 5 = 10 = 20 = 25 , 0 = 0 = 0 = 0 , –2 = – 2 = – 6 = – 14 и 4 7 1 2 2 4 5 2 4 7 1 3 –4 = – 4 = – 12 = – 32 . 3 8 1 6. –18, –54, –342, –101 и 1001. 7. –2 , –1 , –5 , –3 , –1 и –4 . 1 –1 –3 5 –4 3 8. а) –2, – 1 и 1; б) 3, – 5 , – 6 , – 5 , – 2 , 1 и 1; в) – 4 , – 3 , 0 и 1. 2 2 5 6 5 3 3 4 9. а) 1 , 3 и 2 ; б) –4 , –1 и –7 ; в) –11 , –3 и –19 . –11 –14 –8 –9 –17 –1 7 5 6 10. а) 3 , –13 , –21 ; б) 7 , 11 , –21 ; в) 10 , –2 , –8 ; г) 17 , –4 , –11 . 13 –3 –11 7 –5 –11 3 –18 –25 7 11 –21 11. а) –1 , –2 , 8 ; б) 3 , –1 , 5 ; в) –4 , 2 , –1 . 8 4 –1 –5 15 –3 1 –2 4 2 1 1 2 12. а) A = –1, – , – , 0, , , 1 ; б) B = 2 , 2 , 2 , 1, 2 . 3 3 3 3 5 4 3 13. Вредности које променљива a може имати су –4, –3, –2, –1, 1 и 2. Ако је a = –4, тада је . Заменом свих вредности за a добијамо A = –2, – 3 , – 3 , – 2 , – 1 , 0 . 2 4 3 2 14. а) 5 ∈ Q+; б) 1 ∈ Q; в) – 3 ∈ Q–; г) 0 ∉ Q+; д) – 21 ∈ Z –. 67 3 2 15. 16. а) тачно; б) нетачно; в) тачно; Q г) нетачно; д) нетачно; ђ) нетачно. Z – 7 N –3 4 16 15 1 4 – – 11 3 20
{
}
{
}
{
{
}
}
{
{
}.
}
{
}
предСтављаЊе рационалних бројева на бројевној правој 1.
–
92
14 –3 4
–2
1 2
0
2
5 2
2.
–1
1 4
–
3 4
–
1 2
–
1 3
–
1 4
1 2
0
3.
–1
–
2 3
–
7 5
0
4.
–1
9 10
–
6 5
–
7 10
0
1 5
1 2
5. а) 6 ; 2 2 ; 4 ; 2 1 ; б) 4 – 3 = 7 ; 12 – 5 = 23 = 1 3 ; 2 + 5 = 3 ; 15 + 4 = 3 20 3 7 3 7 2 3 4 12 5 4 20 6 2 9 3 6. а) – 1 ; б) 1 1 ; в) –2,95; г) –1 1 ; д) 7 . 10 5 2 8
Супротан број. апСолутна вредноСт рационалног броја 1. – 1 ; –1 1 ; 1 ; 3 ; 0; 3 13 ; –2 3 . 17 11 3 4 2 5 2. 1 3 ; 4 1 ; 5 ; 1 3 ; 0; 4 37 ; 7 1 . 57 4 3 7 2 4 3. а) – 2 ; б) –1 1 ; в) –3 4 . 13 13 9 4. а) – 3 и 3 ; б) – 4 и 4 ; в) –1 5 и 1 5 ; г) 0; д) –2 2 и 2 2 ; ђ) Не постоји такав број. 7 7 5 5 6 6 9 9 5. Попуни табеле 1 2 – 1 2 1 2 1 1 2
1 – 2 –2 2 –2 1 5 3 3 5 2 2 2 – 1 2 1 –x –x 5 3 3 5 2 2 1 2 2 1 –(–x) |x| 5 3 3 5 9 1 1 5 |x| + 1 3 1 3 7 2 |x| + 1 10 10 2 6 6 6. Све једнакости су нетачне. На пример: а) – + 4 = – 4 и –4 = 4 , па једнакост не важи. 3 3 –3 3 7. а) 2 2 – –1 1 = 2 2 – 1 1 = 8 – 3 = 16 – 9 = 7 = 1 1 ; 6 3 2 3 2 3 2 6 6 6 б) 2 1 ; в) 2 1 ; г) 11 13 ; д) 1 ; 12 60 10 2 x
2 5 – 2 5 2 5 1 2 5
–1 3 4 1 3 4 –1 3 4 3 2 4
–4 1 5 4 1 5 –4 1 5 1 5 5
x
( )
|
|
93
ђ) 1 3 : 2 + – 1 + 5 : – 7 = 7 : 2 + 1 + 5 : 7 = 7 : 9 + 5 · 11 = 11 4 5 2 6 4 5 2 6 11 4 10 6 7 = 7 · 10 + 55 = 35 + 55 = 3 16 . 42 18 42 63 4 9 + – 8. а) a ∈ Q {0}; б) a ∈ Q {0}; в) a = 0; г) a ∈ Q. 9. а) 4; б) 1. 10. а) 1 ; 1; – 5 ; б) 1 ; – 3 ; 6 ; –2; – 17 . 5 4 3 2 4 5
(
| |)
|
|
(
)
поређеЊе рационалних бројева 1. а) 3 , 2 , 1 ; б) – 1 , – 2 , – 1 ; в) – 5 , – 1 , – 2 . 7 7 3 2 3 4 7 3 5 2. а) Из 2 = a следи 6 = a , па је a = 6; б) a = 9; в) a = 104; г) a = –8; д) a = –2; ђ) a = 11. 3 9 9 9 3. 5 > 2 , – 1 < 4 , – 8 < – 7 , – 4 > – 14 , –1 9 > –3 7 , –2 2 > –2 4 . 11 11 9 12 12 7 7 5 5 9 9 9 9 9 7 7 2 5 5 2 2 3 3 4. > , – < , – >– , –3 < –3 , –4 < –1 , –7 > –9 2 . 22 15 19 13 19 7 8 6 9 4 5 15 5. 2 < 3 , –2 1 < 1 2 , – 1 = – 2 , –2 4 > –3 1 , – 4 < – 6 , –2 8 < –2 12 . 11 15 23 3 4 5 7 3 6 9 3 7 6. На пример: а) –1, –2 и –6; б) – 2 , – 3 и – 7 . 10 5 5 7. а) Прво одреди први мањи и први већи број од 8 који је дељив са 3. Очигледно је 6 < 8 < 9 , па је 8 између бројева 2 и 3; б) –4 и –3; в) –26 и –25. 3 3 3 3 8. а) Одреди све целе бројеве између бројиоца тих разломака који су дељиви са њиховим имениоцем: – 17 < – 15 < – 12 < – 9 < – 7 . Тражени бројеви су –5, –4 и –3; 3 3 3 3 3 б) Ниједан цео број. 9. а) –4 1 , –1 4 10. –1, – 5 , – 6
1 , –1, 1 ; 4 4 2 ,– 1 . 3 2
б) –2 2 , –2, –1 2 , 2 , 3 , 3; 3 3 3 2
в) – 3 , – 3 , – 5 , – 7 , 5 , 1 . 12 12 2 2 4 8
11. Означи бројилац траженог броја са x. Тада је – 6 < – x < – 5 , 23 23 4 па је – 24 < – 23x < – 20 . Тражени разломак је – 1 . 92 92 92 4 12. а) m ∈ {5, 6, 7, 8, 9, 10}; б) m ∈ {–1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
децимални запиС рационалног броја 1. а) 2,1; –0,5; –3,9, –2,3; б) 5,26; –61,53; –3,09; в) 0,5723; –5,0942; –0,0011. 2. а) 4 = 0,4; б) – 75 = –0,75; в) – 48 = –0,48; г) –2 375 = –2,375; д) –5 15 = –5,15, 10 100 100 1 000 100 ђ) – 274 = –2,74; е) – 1 232 = –1,232; ж) – 4 = –0,004. 100 1 000 1 000
94
3. а) 0,375; б) –0,75; в) –0,4; г) –4,25; д) –2,75; ђ) –2,8; е) –6,4; ж) –12,05. 4. а) 13 ; б) – 1 ; в) – 6 ; г) – 33 ; д) – 56 ; ђ) – 1 ; е) – 39 . 4 8 25 4 000 8 2 5 5. –1,25; 3,28; 5,34; –6,217; 5,55. 6. 0,5; 4,52; 7,11; 5,31; 9,741; 6,35. 7. а) –0,8 или 0,8; б) –3,725 или 3,725; в) не постоје такви бројеви. 8. а) 44,4 – |–22,2| = 44,4 – 22,2 = 22,2; б) 2,24; в) 1,8; г) 7,05; д) |–(+7,04)| + 1 + 6,75 – |–3,25| = 7,04 + (0,5 + 6,75) – 3,25 = 11,04; ђ) 7,77. 2 9. а) 2,14 < 2,4; б) 3,12 > 3,002; в) –5,12 < 1,45; г) –8,22 < –5,22; д) –12,12 < –4 2 ; ђ) –3,3 < –3,13; е) –1 1 < –1,0005; ж) – 1 < –0,33. 5 2 3 10. а) –8, –7, –4; б) – 9 , – 7 , – 5 . 2 2 2 11. а) –1 и 0; б) –4 и –3; в) –12 и –11. 12. –1,28; 2,15; –2,3; –13. 13. –12,2; –12,12; –11,22; –2,22; –2,2; 2,12; 2,2. 14. а) – 1 = 0,(3); б) –0,8(3); в) –0,(1); г) –2,2(7). 3 15. а) – 1 ; б) – 71 ; в) – 274 . 33 225 3 16. –2,35; –5,18; –22,40; –0,78. 17. –19,667; –0,241; –2,214.
(
)
СабираЊе рационалних бројева 1. а) 3 ; б) 9 ; в) –1 2 ; г) –1; д) –2 2 . 11 7 5 3 2. а) 7 ; б) 1 5 ; в) – 11 ; г) –2 1 ; д) –5 1 . 12 24 12 10 18 3. а) 8 ; 17
в) – 5 ; г) – 1 ; д) –6 3 . 10 9 5 4. а) –2 1 ; б) 1 ; в) – 5 ; г) 1 31 ; д) 1 1 . 6 36 40 8 6 5. а) 3 11 ; б) –1 7 ; в) –2 1 ; г) –1 1 ; д) –3 23 . 12 18 24 48 3 6. а) – 7 ; 12
б) 1 ; 15
б) –1 5 ; 6
в) –4 5 . 14
95
7. а)
б) –2 5 6
+
1 3
=
–2 1 2
2 – 3 – 1 + + + 2 3 4 5 –1 1 –1 1 –1 5 – 2 –2 1 –1 1 + = –2 12 12 3 6 3 4 6 11 1 3 1 2 1 2 1 = = = 12 4 4 2 11 –4 1 –3 1 –3 7 –2 8 –3 19 – 5 = –4 + 10 15 20 12 12 5 6 8. а) a + b = – 2 ; б) (a + (–b)) + (–a) = 1 . 15 4 9. A = 7 , B = –5 1 , A + B = –4 3 . 24 24 4 10. – 5 + 7 = – 1 . 3 6 2 11. а) – 4 + – 3 + – 2 + – 1 + 0 + 1 + 2 = –1; б) 0. 7 7 7 7 7 7 12. – 26 + 9 + – 26 + 9 = 23 + 49 = 3. 48 6 48 24 24 6 13. Сви тражени бројеви су – 4 , – 2 , – 1 , – 1 , –2 и –4 , а њихов збир је –4 1 . 1 1 2 4 –4 –2 4 +
( ) ( ) ( ) ) (| | | |)
(
одузимаЊе рационалних бројева 1. а) 1 ; 2
б) 3 ; в) – 1 ; г) –4 1 ; д) –1 3 ; ђ) –11 5 . 5 2 3 5 7 2. а) 1; б) – 3 ; в) 6 1 ; г) – 5 . 7 6 9 3. а) –1; б) –5 1 ; в) –1 3 ; г) –3 19 ; д) – 8 . 48 21 3 8 4. а) 1; б) 2 3 ; в) 1 7 ; г) 5 . 17 10 6 5. а) –1 1 ; б) –5 31 ; в) –3 25 ; г) 3 3 . 10 36 33 20 5 3 1 7 1 – – – =– – – = – 5 ; б) –2; в) –1 19 . 6. а) – 12 4 24 3 6 3 6 7. а) –1 7 ; б) –1; в) –1. 12 8. а) – 2 + 7 = 3 3 ; б) 2 3 – –1 1 = 29 . 14 8 7 2 8 4 9. а) –1 + 11 – 1 = – 25 ; б) – 5 – 2 2 + –3 3 = –6 35 ; 13 78 36 6 9 3 4 в) – 1 + 3 1 – – 1 – 3 1 = 6 2 ; г) 4 1 + – 3 – 3 – 13 = 3 1 . 5 4 3 4 3 7 5 7 3
(
) ( )
( )
(
( (
96
)
) (
( )
)
) ( ) ( ( )) (
)
10. а) –2 1 ; б) –1 1 ; 12 12 11. –1 6 , –1 1 , – 3 , 2 . 7 7 7 7 12. 11 –1 3 3 12 4 4 7 – 1 2 –1 12 2 13 – 1 –3 3 4
в) – 1 . 3
– 1 – 1 –3 2 3 3 –2 5 – 7 4 4 6 –1 7 –4 1 2 12 4
1 “ „–1 4
Збирови у врстама и колонама ће и после одузимања бити једнаки. 13. – 4 – 3 – –8 1 + 2 1 = 3 13 . 15 5 2 2 3
(
)(
)
СабираЊе и одузимаЊе бројева у децималном запиСу 1. а) 27,37; б) 20,211; в) 97,49; г) 14,85; д) 0,351. 2. а) –6,1; б) –5,68; в) –16,739; г) –86. 3. а) 8,13; б) 2,285; в) 1 216,02; г) –0,63. 4. а) –3,8; б) 0,12; в) –2,5. 5. а) –0,5; б) –2,005; в) –5,6; г) 9; д) –7,5; ђ) 1,1875. 6. а) –52,25; б) –9,9; в) –306,455; г) –45,875. 7. а) –27,4; б) 41,75; в) 0,09; г) –1,008. 8. а) –90,12; б) –57,62; в) –7,216; г) 14,77; д) 3,8. 9. а) –0,2; б) 4,3; в) –10; г) 5; д) –6,8. 10. а) a – b = –0,9; б) ((a – |b|) – a) + (b – (–a – b)) = –0,4. 11. а) б) –6,1 –8,1 –6,8 –4,3 –2,4
–2 1,3
2,5 1,9
–8,6 2,5 3,3 1,2
–0,6
4,3 –2,1
–1,8
1,6 0,3
–1,8
–11,1 –1,8
2,7 3,4
–9,3 –4,5
–0,7
–4,8 –3,8
–1
12. а) –3,5 + 4,8 = 1,3; б) (–3,9 + (–8,2)) – (–1,1) = –11; в) – 3 + (–0,105) – – 3 – (–0,105) = –0,21. 24 24 13. –3 497,29 + 2 483 = –1 014,29. Након уплате, Стојан је у минусу 1 014,29 динара.
(
) (
)
97
СвојСтва СабираЊа рационалних бројева 1. a
b
c
1,2
5
–2,3
0,005
– 3 5
–2,4
1 4 – 1 8
a+b
(a + b) + c
b+c
a + (b + c)
6,2
6,45
5,25
6,45
–2,295
–2,42
–0,12
–2,42
–3
–4,5
–3,9
–4,5
–1,5
a
b
c
a+b
b+a
b+c
c+b
–3,25
1 4
–5,75
–3
–3
–5,5
–5,5
– 3 4
–3,8
–0,2
–4,55
–4,55
–4
–4
2. а) – 1 + –1 1 + 3 = – 5 ; б) –2 5 + 2 + 1 1 = – 5 ; в) – 9 ; 10 2 2 4 4 6 3 3 6 г) (0,56+2,4) + 1,44 = (2,4 + 0,56) + 1,44 = 2,4 + (0,56 + 1,44) = 2,4 + 2 = 4,4; д) 0; ђ) 10. 3. а) – 2 + 3 > – 2 + 1 , јер је 3 > 1 ; б) – 5 + – 6 < 5 + – 6 ; в) –1 3 + 1 = 0,5 + – 10 ; 7 9 4 9 2 4 2 6 7 8 7 7 2 г) – 5 + – 3 + 7 < – 3 + 7 + 5 ; д) – 3 + 1 2 – 1 = – 1 + 5 – 3 . 10 3 6 2 11 2 11 6 5 3 10 5 11 1 2 1 2 1 1 2 2 3 +b=– – =– – 1 = –1 11 . 4. а) a – ; б) – + = – ; в) – ; г) – – 12 12 4 3 4 3 3 3 3 3 4 2 5. а) a – b – 1 1 = –2 1 + 1 1 = – 5 ; б) –2 1 + 3 = – 2 ; в) –2 1 – 1 – 2 3 = –5; г) –3 5 . 12 3 6 3 6 6 2 3 6 12 4 6. а) 7 ; б) –1 1 ; в) 1 3 ; г) 1; д) –1 4 . 10 10 10 5
(
(
))
( )
(
(
(
) (
)
)
( ) (
( ) ) (
(
)
(
)
(
)
)
једнаЧине Са СабираЊем и одузимаЊем 1. а) није; б) није; в) јесте; г) јесте. 2. а) x = 1 ; б) y = 11 ; в) z = 1,15; г) a = 0,2; д) b = 0,9. 12 6 3. а) x = –1 3 ; б) t = –1,65; в) x = 2 13 ; г) t = 7 1 ; д) x = – 1 . 10 14 2 4 13 11 1 4. а) d = – ; б) f = –6,61; в) d = – ; г) f = –3 . 15 35 6 5. а) y = –1 1 ; б) a = 1,75; в) y = –1; г) a = 3 1 . 12 8
98
)
6. а) x = 1 28 ; 45
б) x = 9 ; в) x = 13,84; г) x = 1 . 10 5 7. а) z = –2; б) b = –6 9 ; в) x = 1 2 ; г) x = –1,3; д) z = –2 11 ; 28 9 20 ђ) a = –3 3 ; е) x = 5 2 ; ж) y = –8 19 . 30 8 3 7 7 8. а) y = –5 или y = 5 ; б) y = –1 11 или y = 1 11 ; в) |y| = – 17 , па једначина нема 12 12 12 12 20 решења; г) y = 3 1 или y = –5 1 ; д) y = – 11 или y = 1 1 ; ђ) y = –1 13 или y = 3 5 . 24 72 2 2 8 8 9. x + – 7 = 1 , па је x = 1 1 . 8 4 8 10. x – 0,3 = –3,2 + 5 , па је x = –2 11 . 40 8 11. –1 2 + (–1,6) – x = – 1 2 – (–1,6), па је x = –3 1 . 5 5 5 12. a + – 2 – –2 1 – 0,2 = 1 + 2 + 3 , па је a = – 14 . 3 45 9 3 13. – 1 – (k – 0,5) + 7 = 1,25, па је k = –2 5 . 3 4 6 14. 2 + – 5 – –4 2 – 1 = 3 + n, па је n = – 1 . 15 15 3 5 15
( )
( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( )
неједнаЧине у вези Са СабираЊем и одузимаЊем 1. а) 1 ; 1 3 ; б) –3; –2 5 ; в) сви бројеви; г) ниједан број; д) –3; 1 ; –2 5 ; 0,25; –2,14. 2 5 8 2 8 2. а) x > 7 ; б) y ≥ 1 1 ; в) z > 3 ; г) q > 1 ; д) p ≥ 3 1 . 12 3 4 2 6 3. а) a < –5 1 ; б) b > – 5 ; в) c ≥ – 2 ; г) d ≤–1. 6 8 3 4. а) x < – 1 ; б) x < – 1 ; в) x ≥– 4 ; г) x ≤ –2 4 . 2 2 3 5 1 3 1 5. а) p ≥ –3 ; б) q < – ; в) r ≥ 3 ; г) t > 7 3 . 10 4 5 4 6. а) x < 1,2; б) x < –1 5 ; в) x ≥ –3 1 ; г) x < –1 2 . 6 2 3 7. а) y ≥ 2 1 ; б) y < –17; в) y ≥ 1 13 ; г) y ≥ – 41 ; д) y < –1 5 ; ђ) y >– 1 . 10 18 60 12 40 3 3 8. а) x > 2 или x < –2 ; б) –4,42 ≤ x ≤ 4,42; в) сваки рационалан број је решење; 7 7 г) нема рационалног броја који је решење; д) x > 1 или x < – 1 . 4 4
99
9. a < –2 11 , па је a = –3. 30 10. Из a = 2 1 заменом добијаш x < 1. 3 11. Значи, –11 1 + x < 3,2, одакле је x < 14 11 . 30 6 12. Значи, –5 7 + 3 5 – x ≥ 1, одакле је x ≤ –2 3 . 12 6 4 13. Значи, x – (0,52 + (–2,4)) > 0,52 – (–2,4), одакле је x > 1,04. 14. Значи, 17 – 13 – x ≤ 3 + –2 2 + – 1 , одакле је x ≥ 1 11 . 5 3 60 4 3 5 15. У подне температура је била x + 7,2 степена Целзијуса, увече (x + 7,2) – 5,3, а следећег јутра ((x + 7,2) – 5,3) – 3,9 < –2,6, одакле је x < –0,6. Дакле, температура је била нижа од –0,6 степени Целзијуса.
(
)
(
)
(
) ( )
множеЊе рационалних бројева 1. а) 2 2 ; 5
б) 2 2 ; 7
2. а) –20;
б) –21;
3. а) 3 · 1 = 3 ; 5 5
в) 42;
б) –1 1 ; 3
5. а) – 30 ; 77
б) 4 ; 9
б) – 3 ; 4
7. а) –1;
б) 1 ; 12
г) 1 035;
в) –6;
в) 1;
в) 1 ; 3
г) 1 23 ; 27
9. а) – 3 ; 10
б) 1 9 ; 20
в) –1 1 ; 2
10. 3 · – 10 – – 3 = 1 . 21 5 7 7
д) 11 1 ; 3
г) 1 7 ; 30
г) 1 1 . 3 д) – 3 . 8
г) 21 . 40
г) 3 · (– 5 ) = –1 7 . 8 8
ђ) 10 1 . 2
ђ) – 1 ; 12
д) – 7 . 30
) ( ) 11. (– 2 + (–2 1 )) · (– 2 – (–2 1 )) = –4 89 . 144 3 4 3 4
100
е) 7 1 . 21
в) 4 · (– 2 ) = – 8 ; 9 9
д) 4 1 ; 8
в) 1 ; 6
б) 1;
ђ) 2 ; 3
д) –20.
г) 0;
г) – 4 ; 9
в) – 3 ; 10
8. а) – 5 ; 12
(
д) 4 ; 9
б) 2 · (– 3 ) = –1 1 ; 4 2
4. а) –3 1 ; 5
6. а) –1;
г) 8 ; 35
в) 0;
е) 15 1 ; 2
ж) –5 1 ; 3
з) 1 ; 6
и) 1 . 15
12. –1 3 · 8 – 5 · 8 = – 1 . 8 33 16 15 2 13. 2 · – 5 – 2 + – 5 = 23 . 54 9 6 9 6 14. а) 35,6; б) 5 200; в) 6,7; г) 11,04; д) 0,054; ђ) 6,33995. 15. а) 3 · (–2,3) = –6,9; б) 4 · (–0,04) = –0,16; в) 2 · (–8,8) = –17,6. 16.
( ) (
( ))
·
10
100
1 000
10 000
100 000
–5,93
–59,3
–593
–5 930
–59 300
–593 000
–1,506
–15,06
–150,6
–1 506
–15 060
–150 600
–0,0037
–0,037
–0,37
–3,7
–37
–370
17. а) –360; б) 4 330; в) –51,01; г) –5,5; д) 5 430; ђ) 184; е) –248,8; ж) 332,8; з) –128,25; и) 102,35; ј) 81. 18. а) –23,56; б) –4,9; в) 15; г) 13,455; д) –1; ђ) 0,0637; е) 0,945; ж) –0,0064; з) –0,0052; и) 13,416. 19. а) –3; б) –6,18; в) 0,7; г) –10,69. 20. а) –17,67; б) –5; в) –18,762; г) –3,2; д) 2; ђ) 1 ; е) –1 4 ; ж) –3,8175; з) –7,64. 25 8 29 21 1 1 ; б) –3 ; в) ; г) –5 ; д) 2,7. 21. а) –1 32 80 16 5 22. –2,5 · 12 + – 3 – 0,75 = –31 1 . 4 2 23. –1 3 + 3 – 1 · (–14) = 1 11 . 14 21 42 6 24. –2,75 + (–3 1 · 4 · –2,75 – –3 1 = –2 19 . 28 2 7 2 25. 1 · (0,375 · (–4)) – 2 · –1 1 + (–0,5) = 53 . 10 200 4 5 1 26. Први број је –8, други број је –8 · = –2, трећи број је –2 · 1 = – 1 и четврти број је 4 4 2 – 1 · 1 = – 1 . Дакле, тражени збир је –8 + (–2) + – 1 + – 1 = –10 5 . 2 4 8 2 8 8 27. Тражени бројеви су 3 , 5 , 1 , – 1 и – 7 , а производ је 3 · 5 · 1 · – 1 · – 7 = 35 . 288 2 6 6 2 6 2 6 6 2 6
(
( (
)
)
)) ( ( (
(
))) )
( ) ( )
( )( )
СвојСтва множеЊа рационалних бројева 1. a –0,5 1 3 –2,3
b 1 4 –0,375 –0,05
c –1 1 2 2 4 9 –3,1
b+c –1 1 4 2 5 72 –3,15
a·b – 1 8 – 1 8 0,115
b·a – 1 8 – 1 8 0,115
a·c 3 4 22 27 7,13
a · b + a · c a · (b + c) 5 5 8 8 149 149 216 216 7,245 7,245
101
2. Применом својстава асоцијативности и комутативности за множење, директно следе дате једнакости. 3. а) – 7 ; б) –0,69; в) 4,68; г) 1 ; д) –10,2. 47 4 1 2 1 4. а) 2 ; б) – ; в) 7,37; г) . 18 3 3 5. а) 2 · 2 + 2 · 1 = 2 · 2 + 1 = 2 · 1 = 2 ; б) –0,25; в) 1 ; г) 2 ; д) 7 ; ђ) –24. 15 5 3 5 3 5 3 3 5 5 6 7 6. а) –1 5 ; б) 0,7; в) 3,3. 9 7. а) –21; б) –1 1 ; в) 4 1 ; г) 1 ; д) – 1 . 2 5 2 3 8. 1 ; – 1 ; –23; –30; 1 2 ; –4 1 ; – 4 ; 2 1 ; – 4 . 17 21 2 3 5 2 2 9. Бројеви 1 и –1 су једнаки својој реципрочној вредности. Број 0 нема реципрочну вредност. 10. А = 1 и В = 3 , па је тражени производ 1 2 . 5 3
(
)
дељеЊе рационалних бројева 1. а) 1 1 ; б) 1 3 ; в) 4 ; г) 1 1 ; д) 1 . 12 5 4 9 3 2. а) –16; б) –5; в) 3; г) –103; д) 101; ђ) 1 001. 3. а) – 2 б) 1 ; в) – 1 ; г) – 2 ; д) – 3 ; ђ) 5 . 10 10 21 48 9 4 4. а) – 7 ; б) – 8 ; в) 5 1 ; г) –1 5 ; д) 1 1 ; ђ) –1 1 ; е) –2; 12 15 49 4 9 3 и) 1 ; ј) –9 1 ; к) 9; л) – 3 ; љ) –31 1 ; м) –64; н) –3 3 . 15 10 3 2 8 5. а) – 1 ; б) 47 ; в) – 7 ; г) – 3 . 57 144 20 2 6. а) –1; б) –2; в) 3. 7. а) – 3 ; б) – 3 ; в) 1 ; г) –1 1 ; д) 1 13 . 18 14 5 7 3 8. а) – 8 > – 2 ; б) –6 < –1 19 ; в) –2 1 > –11 1 . 27 21 3 8 5 1 243 54 139 2 ; г) . 9. а) – ; б) – ; в) ; д) 2 15 625 125 243 3 10. – 6 : –1 5 + 4 = – 1 . 27 11 9 11. 3 5 – 8 1 : 2 1 = –1 14 . 12 15 4 2
(
(
102
)
)
ж) –4;
з) 12;
12. –8 2 + 2 1 – –8 2 : 2 1 = –2 3 . 10 10 10 5 5 13. –1 1 : 3 3 – –5 7 + 3 1 = 1 25 . 18 36 2 8 4 14. а) 26,4; б) 1,695; в) 0,00234; г) 5,2; д) 334,58; 15.
( (
) ( ) (
) )
ђ) 1 376.
:
10
100
1 000
10 000
–3,4
–0,34
–0,034
–0,0034
–0,00034
–15,027
–1,5027
–0,15027
–0,015027
–0,0015027
–0,314
–0,0314
–0,00314
–0,000314
–0,0000314
16. а) –1,8; б) –1,3; в) 0,51; г) –0,1632; д) –3,428; ђ) –0,0035. 17. а) –20; б) –30; в) 47,52; г) –15,525; д) 17,4; ђ) –197,5; е) –0,02; з) –5,41; и) –630. 18. а) –15,25; б) 92,973; в) 772,395. 19. а) 4,2; б) –7,1; в) 3,5. 20. (–5,25 : 0,15) – (–4) = –31. 21. 5 · – 5 + 1,295 + (–2,68 : 0,4) = –3,35. 8 22. 1 · – 77 + 2,42 – 1 · (9,9924 : 0,33) = –15,36. 25 3 2 23. (–0,35 : 0,5) – 3 1 · 0,8 = –3,3. 4 24. (–2,31 + 1,2) : (–2,31 · 1,2) = 185 . 462 = –1 5 . 25. –1 3 – 5 7
(
ж) 0,375;
)
(
)
(
)
26. а) – 1 + 3 + – 5 : 3 = – 1 ; б) – 9 ; в) –0,464. 32 2 4 8 8 27. а) 1 1 ; б) – 15 ; в) –3 2 ; г) 17 2 . 23 11 3 5 28. а) –3 17 ; б) –1; в) 63 . 128 27 29. а) 3; б) 6 15 ; в) –1; г) –2 5 ; д) 0; ђ) 3 11 ; е) 5 1 . 52 20 6 2
(
( ))
једнаЧине 1. а) јесте; б) није; в) није; г) јесте; д) јесте; ђ) није. 2. а) x = – 2 ; б) x = –1; в) x = –2 3 ; г) x = 1 1 ; д) x = –10 4 . 3 5 2 5 3. а) y = – 1 ; б) y = –1; в) y = –6,941; г) y = –40 10 ; д) y = 6 3 . 11 4 5 4. а) a = –1 1 ; б) a = 5 ; в) a = –1,5; г) a = –8; д) a = 15. 18 3
103
5. а) b = – 2 ; б) b = 26,575; в) b = –5 1 ; г) b =– 1 . 3 5 2 6. а) d = 1 ; б) d = 4,12; в) d = –4 12 ; г) d = 5 3 ; д) d = 17 ; ђ) d = – 4 ; е) d = 1; 29 50 2 4 5 ж) d = 26 13 ; з) d = –1. 21 1 7. а) x = – ; б) x = 2 1 ; в) x = 2 1 . 3 5 4 8. а) y = – 2 ; б) y = – 2 ; в) y = 1 ; г) y = 1. 16 3 3 9. а) k = – 1 ; б) k = 1 . 15 5 10. Како је x · –1 1 = – 3 , онда је x = 2 . 8 4 3 11. Како је x : – 5 = –1 11 , онда је x = 9 . 16 25 20 12. Како је x · – 7 + 0,625 = –9,3 – (–0,675), онда је x = 34 1 . 8 2 13. Из a = 1 и c = 3 1 заменом добијаш b = 9 . 16 2 5 14. x + – 4 = – 1 , па је x = – 1 . Да није погрешио, Зоран би добио – 1 : – 4 = 1 . 15 15 15 15 3 4 3 1 1 2 · x– – – = 2 · (0,8 + (–5,2)). Одавде је x = 11 . 15. 4 · – 16 8 4 5 16. (–0,3 – 0,025) – 3 · – 21 · x – 7 = –0,15. Одавде је x = – 7 . 90 50 20 17. 500 – 2,3 · 87 + 3 1 · x = –38,1. Килограм банана кошта 104 динара. 4 18. 12 · (25 618,32 – 24 500) – 2 · x = –3 000,16. Један пар скија кошта 8 210 динара. 19. а) x = –1 1 или x = 5; б) x = 1 2 или x = – 5 ; в) x = 1 1 или x = 6; г) x = 3 или x = – 3 ; 36 5 5 3 5 5 д) x = 5 или x = – 5 ; ђ) нема решења; е) x = 2 2 или x = –2 2 ; ж) x = 1 1 или x = –1 1 ; 8 8 5 5 9 9 з) x = 1 2 или x = –3 2 ; и) x = 2 2 ; ј) x = 7 . 3 3 3 8
( ( (
( (
) )
)
)
(
(
) ( ) ( )
)
неједнаЧине г) x < 6 ; д) x > 2,247; ђ) x ≤ 3 . 25 11 2. а) {0, 3}; б) сви бројеви; в) –2, – 1 , – 3 , 0, –1 1 ; г) {3}; д) {3}. 2 4 3 3. а) p < –4; б) p < –5; в) p ≤ 7; г) p < –6; д) p ≥ –25; ђ) p < 24. 4. а) y > – 3 ; б) y ≤ – 5 ; в) y < – 3 ; г) y ≤ 5 1 ; д) y ≥ 1 1 . 4 3 4 5 2
1. а) x < 1 1 ; 2
б) x < 1 1 ; 3
в) x ≥ 1 1 ; 9
{
104
}
)
5. а) x > – 2 ; 3
б) x < –0,6;
в) x > –3,3;
г) x ≤ 18;
д) x > – 1 . 6
в) p < 1 1 ; г) p < –16; д) p < –6. 6 7. а) a < –1 3 ; б) a ≤ – 17 ; в) a < –8 1 ; г) a ≤ 7 14 . 30 15 8 4 1 4 3 ; б) b ≤ –2 ; в) b > –5 ; г) b ≤ –4 4 . 8. а) b < 1 18 15 27 4 9. а) x < –1; б) x < –24 2 ; в) x ≥ –29 1 ; г) x ≥ –3; д) x < –178; ђ) x < –5; е) x < – 1 . 18 3 2 11. а) – 3 < x < 1; б) –2,4 < x < –0,8; в) –6,5 < x < –5. 5 12. Како је – 4 · a – 2 ≤ – 3 , то је a ≥ –17 1 . 35 70 8 13. Како је – 8 < x · – 7 + 2 ≤ 5 , то је Бранко могао да замисли број не мањи од – 3 , а 9 9 3 4 4 мањи од 2. 14. –3, –2, –1. 15. –3. 16. a > –2. 17. (–7 + (–2) + x) : 3 > –4 1 , одакле је x > –4, па трећи број може бити –3, –2 или –1. 3 18. а) x < 0; б) x < 0; в) x < –4 или x > 0; г) –3 < x < 0; д) x < 0 или x > 2,1; ђ) 1 < x < 1; 3 3 е) –22,4 < x < 1,6; ж) x < 0 или x > 5; з) < x < 3. 4 6. а) p > –2;
б) p > –3;
( )
проценти 1. а) 1 , 3 , 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , 4 ; б) 5 , 3 , 2, 12 , 5 , 63 , 15 , 17 . 100 100 10 4 5 2 4 5 5 2 20 4 4 4 2 2. Следеће бројеве изрази у процентима: а) 9%, 13%, 39%, 50%, 71%, 99%; б) 133%, 217%, 311%, 512%, 917%; г) 50%, 75%, 40%, 310%, 35%, 32%, 158%; в) 0,4%; 2,1%; 10,1%; 51,3%; 75%; д) 100%; 25%; 60%; 20%; 325%; 850%; 175%; 200%; 150%; ђ) 12,5%, 7,5%, 62,4%, 40,2%; е) 66,67%, 41,67%, 72,73%, 1 216,67%. 3. а) 50% · 42 = 1 · 42 = 21; 50% · 18 = 1 · 18 = 9; 8,5; 12,95; б) 30% · 250 = 30 · 250 = 75; 100 2 2 3,3; 9 ; 1 ; в) 9,472; 9,694; 384,8; 1 ; г) 197,8; 9,245; 2,15; 3 7 . 8 40 8 5 4. а) x · 5% = x · 0,05 = 10, одакле је x = 200; б) 160; в) 260; г) 1 440; д) 624; ђ) 12 1 . 2 5. Дечака има 720 · 45% = 324, а девојчица 720 · 55% = 396. 6. Ако ружа има 44%, онда лала има 56%. Значи, засађено је 525 · 56% = 294 лале. 7. Чоколада кошта 500 · 35% = 175 динара. 8. Након снижења од 6%, цена кошуље је 94% почетне цене, то јест 1 250 · 94% = 1 175 динара.
105
9. Садашња цена је 107% почетне цене, то јест 2 370 · 107% = 2 535,9 динара. 10. Ако је цена снижена за 36%, садашња цена је 64% почетне. Значи, x · 64% = 1 152, па је блуза коштала 1 800 динара. 11. x · 118% = 294,41. Цена књиге пре поскупљења је 249,5 динара. 12. Одличних – 25%, врло добрих – 33,33%, добрих – 16,67%, довољних – 25%. 13. Укупна маса теста је 360g. Брашна има 55,56%, а шећера 11,11%. 14. а) Из x · 1 150 = 1 058 динара добијаш да је x = 92 = 92%. 100 Дакле, торба је појефтинила за 8%; б) 14%; в) 23%. 15. а) 10%; б) 25%; в) 39%. 16. 13% цене кишобрана је 26 динара. Значи, x · 13% = 26, па је цена кишобрана пре снижења била 200 динара, а после снижења 200 – 26 динара, односно 174 динара. 17. 1 250 ученика. 18. Пре поскупљења – 520 динара, а после поскупљења – 608,4 динара. 19. 65kg свежих шљива. 20. 1. септембра – 2 200 динара. 15. септембра 2 530 динара. 30. септембра 2 150,5 динара. Дакле, патике су јефтиније 30. септембра, за 49,5 динара. 21. Када је потрошила 30%, имала је 2 478 динара. Сада има 3 221,4 динара. 22. Након првог поскупљења, литар кошта 94,35 динара, а након другог поскупљења, 100,011 динара. Дакле, 10 литара кошта 1 000,11 динара. 23. (x · 75%) · 78% = 468. Сава је замислио број 800. 24. После снижења од 20%, цена чаша је 200 динара. Како је x · 200 = 250, онда је x = 125%. Дакле, цену чаша треба повећати за 25%. 25. За 20%. 26. Обим правоугаоника пре промене страница је 18cm, а површина 20cm2. Након промене обим је 22cm, а површина 30cm2. Обим се повећао за 22,22%, а површина за 50%. 27. Добили смо правоугаоник. Означи страницу квадрата са a. Дужа страница правоугаоника је 110% · a = 11 · a, а краћа 90% · a = 9 · a. Обим правоугаоника је 4 · a, 10 10 а површина 99 · a2 = 99% · a2. Дакле, обим је остао непромењен, а површина се 100 смањила за 1%.
106
ЧЕТВОРОУГАО ПОЈАМ ЧЕТВОРОУГЛА 1. Нацртај произвољан четвороугао и обележи његова темена, странице и углове. 2. На слици је дат произвољан четвороугао АВСD. Допуни дате реченице: а) Страници АВ суседне странице су ______________. б) Наспрамна страница страници АD је ____________. в) Углу β суседни углови су __________. г) Углови α и γ су _____________.
C D
γ δ
α
β
A
B
3. Нека је у равни дато пет неколинеарних тачака A, B, C, D и E. Колико четвороуглова је одређено овим тачкама? Наведи их. 4. Допуни дате реченице: а) Сваки четвороугао има _______ дијагонале. б) У сваком четвороуглу збир унутрашњих углова је _______. в) У сваком четвороуглу збир спољашњих углова је _______.
УГЛОВИ ЧЕТВОРОУГЛА 1. Провери да ли дати углови могу бити унутрашњи углови конвексног четвороугла: а) 79°, 85°, 42° и 154°; б) 60°, 99°, 31° и 119°; в) 100°, 82°, 44° и 144°; г) 55° 30’, 88°, 78° 30’ и 138°. 2. Углови четвороугла су β = 74°, γ = 63° и δ = 138°. Израчунај четврти угао α тог четвороугла и сваком од ових углова одреди одговарајући спољашњи угао. 3. Одреди непознате унутрашње углове четвороугла ако је дато: а) унутрашњи углови α = 59°, β = 72° и спољашњи угао δ1 = 93°; б) унутрашњи угао β = 44° и спољашњи углови α1 = 117° и γ1 = 52°; в) унутрашњи угао α = 114°, а остала три су једнака; г) унутрашњи углови се редом разликују за 32°; д) α = 2γ, а друга два наспрамна угла су права; ђ) унутрашњи углови су једнаки α, 2α, 4α, 5α; е) унутрашњи углови су једнаки α, β = 3 α, γ = β + 70° и δ = α + 50°. 4. Нацртај четвороугао који има: а) два права угла; б) три права угла. 5. Дијагонала АС дели четвороугао АВСD на два једнакостранична троугла. Израчунај углове тог четвороугла.
107
6. Дијагонала АС дели углове α и γ на ВАС = 32° и САD = 30°, односно АСD = 30°. Колики су унутрашњи углови тог четвороугла?
ВСА = 58° и
D
7. Дијагонала ВD дели четвороугао АВСD на два једнакокрака троугла АВD и ВСD, тако да је АВ = ВD и ВС = СD. Ако је α = 50° и γ = 140°, одреди углове β и δ четвороугла АВСD.
140° С А
50°
В D 154°
8. Дијагонала АС дели четвороугао АВСD на два једнакокрака троугла, тако да им је АС заједничка основица. На основу података са слике израчунај све углове четвороугла.
А
С
57°
В Е
9. Продужеци страница АD и BC четвороугла АВСD секу се у тачки Е, тако да је троугао АВЕ једнакокрак и правоугли. Ако је ВСD = 112° , одреди углове четвороугла АВСD.
С 112°
D А
В Е
10. Продужеци страница АD и BC четвороугла АВСD секу се у тачки Е, тако да је троугао DСЕ једнакокраки (DС = СЕ). На основу података са слике одреди углове четвороугла АВСD.
80º С D 45º
А
В
F 42°
11. Израчунај углове четвороугла АВСD (види слику), ако су троуглови АЕD и АВF једнакокраки (AE = ED и AF = FB).
D
С 42°
А
108
В
Е
ПАРАЛЕЛОГРАМ 1. Међу нацртаним четвороугловима издвој паралелограме:
2. Нацртај паралелограм и обележи му странице и углове. 3. Користећи подударност троуглова докажи: а) да су наспрамне странице паралелограма једнаке; б) да су наспрамни углови паралелограма једнаки. 4. Допуни дате реченице: а) Суседни углови паралелограма су ________________. б) Наспрамни углови паралелограма су ________________. 5. Израчунај остале углове паралелограма ако је један угао: а) 40°; б) 126°; в) 51° 25’. 6. Ако је један спољашњи угао паралелограма 135°, одреди остале спољашње и све унутрашње углове тог паралелограма. 7. Да ли углови од 42° и 78° могу бити два унутрашња угла паралелограма? 8. Одреди углове паралелограма ако је: а) збир два унутрашња угла 150°; б) један унутрашњи угао два пута већи од другог; в) један унутрашњи угао већи од другог за 32°. 9. Израчунај углове паралелограма ако се два његова суседна угла разликују за 48°. 10. Висина паралелограма ABCD повучена из темена D образује са страницом АD угао од 20°. Одреди унутрашње углове тог паралелограма.
109
11. Одреди унутрашње углове паралелограма ако је: а) један спољашњи угао три пута већи од њему суседног унутрашњег угла; б) један спољашњи угао за 36° мањи од њему суседног унутрашњег угла; в) спољашњи угао паралелограма једнак 5 њему суседног унутрашњег угла. 4 12. Дијагонала АС паралелограма ABCD образује са страницама АВ и АD углове од 31° и 51°. Израчунај унутрашње углове паралелограма ABCD.
13. Колико паралелограма уочаваш на слици?
14. Из темена D паралелограма ABCD повучене су висине на странице АВ и ВС. Ако је угао између тих висина 40°, израчунај углове паралелограма. 15. Заокружи слова испред тачних тврђења: а) Дијагонале паралелограма су једнаке. б) Дијагонале паралелограма се полове. в) Наспрамне странице паралелограма су једнаке и паралелне. г) Наспрамни углови паралелограма су суплементни. 16. Симетрала унутрашњег оштрог угла ВАD паралелограма ABCD сече страницу CD у тачки Е, тако да је DЕ = 5cm и ЕС = 2cm. Нађи дужине страница паралелограма. 17. Израчунај обим паралелограма ако је дужина једна страница 9cm, а дужина друге три пута мања од ње. 18. Израчунај дужине страница паралелограма ако је једна дужа од друге за 4cm, а обим тог паралелограма је 28cm. 19. У паралелограму ABCD повуци дијагоналу АС. Докажи да су темена B и D једнако удаљена од дијагонале АС. 20. Нацртај произвољну кружницу k и повуци два произвољна пречника. Докажи да крајње тачке тих пречника одређују темена правоугаоника. 21. Симетрале наспрамних углова паралелограма су паралелне. Докажи. 22. Пресечне тачке симетрала унутрашњих углова паралелограма ABCD образују четвороугао EFGH. Докажи да је четвороугао EFGH такође паралелограм. 23. У троуглу АВС нацртана је тежишна дуж АА1. Продужи ту тежишну дуж за њену дужину (АА1 = DА1), па спој тачку D са теменима В и С троугла. Докажи да је добијени четвороугао АВDС паралелограм.
110
ПРАВОУГАОНИК, РОМБ И КВАДРАТ 1. Симетрала угла код темена А правоугаоника АВСD дели страницу СD на одсечке од 3cm и 4cm. Израчунај обим тог правоугаоника. 2. Средишта страница правоугаоника су темена ромба. Докажи. 3. Израчунај унутрашње углове ромба ако је: 1) један унутрашњи угао 45°; 2) један спољашњи угао 45°. 4. Ако је краћа дијагонала ромба једнака страници ромба, одреди углове тог ромба. 5. Висина ромба, повучена из темена тупог угла, образује са једном страницом угао од 30°. Одреди углове ромба. 6. Докажи да дијагонале ромба полове његове углове. 7. Дијагонала ромба образује са страницом угао од 35°. Одреди углове тог ромба. 8. Докажи да су средишта страница ромба темена правоугаоника. 9. Израчунај углове ромба ако је страница ромба два пута већа од његове висине. 10. Из темена тупог угла ромба конструисане су висине. Ако је угао између тих висина 70°, израчунај углове ромба. 11. Спољашњи угао ромба једнак је 1 њему суседног унутрашњег угла. Одреди угао који 5 граде висина и дијагонала повучене из истог темена. 12. Попуни дате табеле (за тачан одговор упиши +, а за нетачан −: дијагонале
паралелограм
правоугаоник
ромб
квадрат
правоугаоник
ромб
квадрат
полове се једнаке су узајамно нормалне кружница
паралелограм
се може описати се може уписати
111
ПАРАЛЕЛОГРАМИ И СИМЕТРИЈЕ 1. Попуни дату таблицу (упиши колико оса симетрије има четвороугао): паралелограм
правоугаоник
ромб
квадрат
оса симетрије В
2. Дату дуж АВ пресликај централном симетријом у односу на дату тачку О. А
О
В
3. Дати троугао АВС пресликај централном симетријом у односу на дату тачку О.
А
С
О
4. Произвољан четвороугао АВСD пресликај централном симетријом у односу на теме С тог четвороугла. 5. Нацртај паралелограм АВСD, па га централном симетријом пресликај у односу на тачку пресека дијагонала. 6. Наброј неке геометријске фигуре које су централносиметричне.
КОНСТРУКЦИЈЕ ПАРАЛЕЛОГРАМА 1. Конструиши паралелограм ABCD ако је дато: а) АВ = 6cm, AD = 4cm, А = 45°; б) АВ = 6cm, BC = 4cm и дијагонала AС = 8cm; в) АВ = 6cm, ВС = 4cm, В = 105°; г) АВ = 6cm, AD = 4cm, α1 = 120°. 2. Конструиши паралелограм ABCD ако је дато: а) АС = 8cm, ВС = 5cm, АСВ = 30°; б) АВ = 7cm, AС = 8cm, В = 135°; в) АС = 8cm, ВD = 6cm и угао између дијагонала 75°.
112
3. Конструиши паралелограм ABCD ако је дато: a) АС = 9cm, ВD = 6cm, АВ = 7cm; б) АВ = 7cm, А = 60°, ha = 3cm; в) АВ = 7cm, BC = 4cm, hb = 6cm. 4. Конструиши квадрат ако је дато: а) страница a = 4cm; б) дијагонала d = 6cm. 5. Конструиши квадрат ако је његов обим 22cm. 6. Конструиши квадрат ако је дата тачка пресека дијагонала и једно теме квадрата. 7. Конструиши правоугаоник ако су дате његове странице: а) a = 7cm, b = 3cm; б) a = 4,8cm, b = 2,3cm. 8. Конструиши правоугаоник ако je датo: а) страница a = 5cm и дијагонала d = 6cm; б) дијагонала d = 8cm и угао између дијагонале и дуже странице 30°; в) дијагонала d = 6cm и угао између дијагонала 105°; г) страница a = 5cm и угао између дијагонала 60°. 9. Конструиши правоугаоник ако je датo: а) страница a = 5cm и збир дијагонале и друге странице b + d = 9cm; б) дијагонала d = 8cm и збир страница a + b = 10,5cm. 10. Конструиши правоугаоник ако је његов обим 22cm, а једна страница је дужа од друге за 3cm. 11. Површина правоугаоника је P = 24cm2, а једна страница a = 6cm. Конструиши тај правоугаоник. 12. Конструиши ромб ABCD ако је дато: а) страница АВ = 6cm, угао α = 60°; б) страница АВ = 4cm, угао β = 135°; в) страница АВ = 5cm, дијагонала АС = 8cm; г) страница АВ = 4cm, дијагонала BD = 4cm. 13. Конструиши ромб ако је дато: а) дијагонале d1 = 6cm и d2 = 4cm; б) страница a = 5cm и висина h = 3cm; в) дијагонала d1 = 8cm и угао α = 75°; 14. Конструиши ромб ако је дато: а) страница a = 6cm и полупречник уписане кружнице r = 2cm; б) полупречник уписане кружнице r = 3cm и угао α = 60°; в) дијагонала d1 = 9cm и висина h = 4cm; г) страница а = 5,5cm и збир дијагонала d1 + d2 = 14cm.
113
ТРАПЕЗ 1. На датој слици обој трапезе црвеном бојом.
2. Нацртај: а) трапез; б) једнакокраки трапез; в) правоугли трапез, па обележи његова темена, странице и углове. 3. Израчунај углове трапеза (гледај слику). а)
б)
в) 125°
143°
72°
81°
49°
150°
4. Израчунај углове једнакокраких трапеза (гледај слику). а)
б)
в) 3α 67° α
53°
5. Израчунај углове правоуглих трапеза (гледај слику). а)
б)
в) 65°
38°
α + 80° α
6. Продужеци кракова једнакокраког трапеза образују угао од 80°. Одреди углове тог трапеза. 7. Продужеци кракова правоуглог трапеза образују угао од 50°. Одреди углове тог трапеза.
114
8. Симетрала оштрог угла једнакокраког трапеза нормална је на наспрамни крак. Израчунај углове тог трапеза. 9. Симетрале углова на основици једнакокраког трапеза секу се под углом од 134°. Израчунај углове трапеза. 10. Дијагонала једнакокраког трапеза образује са страницама углове од 48° и 25°. Одреди углове тог трапеза. 11. Дијагонала једнакокраког трапеза образује са већом основицом угао од 38°. Ако су мања основица и крак једнаки, одреди углове тог трапеза. 12. Одреди углове једнакокраког трапеза ако је збир два унутрашња угла: а) 70°; б) 200°. 13. Одреди углове једнакокраког трапеза ако је збир три унутрашња угла 235°. 14. Симетрала оштрог угла једнакокраког трапеза образује са другом основицом угао од 32°. Одреди углове тог трапеза. 15. Израчунај средњу линију трапеза ако су основице: а) a = 7cm, b = 4cm; б) a = 8,3cm, b = 5,9cm. 16. Израчунај непознату основицу ако је дато: а) основица a = 6cm и средња линија m = 5cm; б) основица b = 3cm и средња линија m = 6cm. 17. Дијагонала трапеза дели средњу линију трапеза на одсечке од 2cm и 4cm. Одреди основице тог трапеза. 18. Дијагонала једнакокраког трапеза дели средњу линију трапеза на одсечке од 3cm и 3,5cm. Ако је крак тог трапеза 4cm, израчунај обим трапеза. 19. Конструиши трапез ABCD ако је дато: а) АВ = 7cm, AD = 3cm, BC = 4cm, α = 60°; б) АВ = 6cm, AD = 4cm, α = 45°, β = 60°; в) АВ = 8cm, AD = 3cm, BD = 6cm, CD = 4cm; г) АВ = 8cm, BС = 5cm, AD = 6cm, АC = 7cm; д) АВ = 7cm, AС = 8cm, α = 60°, β = 75°. 20. Конструиши трапез ако је дато: а) основице a = 6cm и b = 3cm, угао α = 60° и висина h = 3cm; б) основицa a = 6cm, крак c = 4cm, угао α = 75° и висина h = 3cm; в) основицa a = 7cm, краци c = 3cm и d = 4cm и висина h = 2cm; г) основицa a = 7cm, углови α = 75° и β = 45° и висина h = 2cm.
115
21. Конструиши једнакокраки трапез ако је дато: а) основицa a = 5,5cm, крак c = 4cm, угао α = 75°; б) основицa a = 6cm, крак c = 4cm и дијагонала d = 5cm; в) основицa b = 4cm, крак c = 3cm, угао γ = 120°; г) основицa b = 4cm, крак c = 3,5cm и дијагонала d = 6cm; 22. Конструиши једнакокраки трапез ако је дато: а) основице a = 8cm и b = 4cm и крак c = 5cm; б) основицa а = 8cm, дијагонала d = 7cm и висина h = 3cm; в) збир основицa а + b = 10cm, крак c = 4cm и дијагонала d = 7cm. 23. Конструиши правоугли трапез ако је дато: а) основицe a = 6cm и b= 5cm и висина h = 4cm; б) основицa a = 6cm, крак c = 3,5cm и висина h = 3cm; в) основицa a = 6cm, крак c = 4cm и угао β = 60°; г) висина h = 4cm, крак c = 5cm и краћа дијагонала d1 = 6cm. 24. Конструиши правоугли трапез ако је дато: а) основицa b = 4cm, висина h = 2cm и угао γ = 120°; б) основицe a = 6cm и b = 3cm и дужа дијагонала d2 = 7cm; в) основицa a = 6cm, крак c = 4cm и краћа дијагонала d1 = 5cm; г) разлика основицa а – b = 2cm, висина h = 3cm и краћа дијагонала d1 = 5cm.
ДЕЛТОИД 1. Одреди остале углове делтоида ABCD (AB = AD, CB = CD) ако су: а) углови између једнаких страница 64° и 78°; б) углови ВAD = 52°, АВС = 123°. 2. Колико највише делтоид може имати: а) оштрих углова; б) тупих углова? 3. Наспрамни углови делтоида су 65° и 113°. Израчунај друга два угла делтоида.
116
4. Конструиши делтоид ABCD (AB = AD = a, CB = CD = b, АС = d1, BD = d2, ако је дато: а) a = 2cm, b = 4cm и d1 = 5cm; б) a = 2cm, b = 4cm и β = 120°; в) a = 3cm, d1 = 5cm и α = 150°.
BAD = α,
ABC = β)
5. Конструиши делтоид ABCD (AB = AD = a, CB = CD = b, АС = d1, BD = d2, ако је дато: а) d1 = 6cm, d2 = 4cm и a = 3cm; б) d1 = 7cm, d2 = 4cm и α = 135°; в) d1 = 8cm, α = 120° и β = 75°.
BAD = α,
ABC = β)
ТЕСТ – ЧЕТВОРОУГАО 1. Ако је унутрашњи угао четвороугла α = 65°, а спољашњи β1 = 107° и γ1 = 39°, онда је унутрашњи угао δ тог четвороугла: а) 73°; б) 65°; в) 81°; г) 141°. (Заокружи слово испред тачног одговора.)
2. Један угао паралелограма је 75°. Збир два унутрашња угла тог паралелограма је: а) 230°; б) 220°; в) 210°; г) 200°. (Заокружи слово испред тачног одговора.)
3. Збир два унутрашња угла ромба је 76°. Један спољашњи угао тог ромба има: а) 104°; б) 38°; в) 76°; г) 142°. (Заокружи слово испред тачног одговора.)
4. Наспрамни углови трапеза су 56° и 111°. Остали углови трапеза су: а) 56° и 111°; б) 124° и 69°; в) 48° и 131°; г) 156° и 34°. (Заокружи слово испред тачног одговора.)
5. Дијагонале правоугаоника секу се под углом од 48°. Углови које дијагонале образују са страницама правоугаоника су: а) 24° и 66°; б) 42° и 48°; в) 132° и 48°; г) 33° и 57°. (Заокружи слово испред тачног одговора.)
6. Збир два наспрамна унутрашња угла делтоида је 200°, а трећи има 90°. Збир два суседна угла тог делтоида може имати: а) 180°; б) 170°; в) 160°; г) 150°. (Заокружи слово испред тачног одговора.)
7. Конструиши ромб чија је страница а = 5cm и висина h = 3cm.
117
8. Конструиши једнакокраки трапез ако је дато: а = 6cm, α = 75° и d = 6,5cm.
9. Конструиши делтоид ако су дате странице а = 3cm и b = 7cm и дијагонала која је оса симетрије d1 = 8cm.
1. в);
2. в); 3. г);
4. б);
5. а). 6. б).
РЕшЕњА: 118
ЧЕТВОРОУГАО – РЕШЕЊА ПОЈАМ ЧЕТВОРОУГЛА 1. D
С
c
γ
δ
b d А
α
β a
В
2. а) BC и AD; б) BC; в) α и γ; г) наспрамни. 3. ABCD, ABCE, ABDE, ACDE, BCDE; 5 четвороуглова. 4. а) 2; б) 360°; в) 360°.
УГЛОВИ ЧЕТВОРОУГЛА 1. а) 79° + 85° + 42° + 154° = 360°, да; б) не; в) не; г) да. 2. α = 360° – 275° = 85°, α 1 = 95°, β1 = 106°, γ1 = 117°, δ1 = 42°. 3. а) δ = 87°, γ = 360° – 218° = 142°; б) α = 63°, γ = 128°, δ = 125°; в) 3β = 360° – 114°, 3β = 246°, β = 82°; г) α = 42°, β = 74°, γ = 106°, δ = 138°; д) β = δ = 90°, α = 120°, γ = 60°; ђ) α = 30°, β = 60°, γ = 120°, δ = 150°; е) α = 30°, β = 90°, γ = 160°, δ = 80°. 4. a) б)
5. α = 120°, β = 60°, γ = 120°, δ = 60°. 6. α = 62°, β = 90°, γ = 88°, δ = 120°. 7. ADB = 50°, ABD = 80°, BDC = DBC = 20°, β = 80° + 20° = 100°, δ = 50° + 20° =70°. 8. δ = 154°, DAC = DCA = 13°, ACB = 57°, β = 180° – 114° = 66°, α = γ = 57° + 13° = 70°. 9. α = β = 45°, γ = 112°, δ = 158°. 10. α = 85°, β = 45°, EDC = DEC = 50°, γ = 180° – 80° = 100° и δ = 180° – 50° = 130°. 11. DAE = ADE = (180° – 42°) : 2 = 138° : 2 = 69°, α = β = δ = 69°, γ = 360° – 3 ∙ 69° = 153°.
119
ПАРАЛЕЛОГРАМ 1.
2.
a
D δ
γ C
b A
b β
α a
B
D
3.
A
α
γ
B
C
∆ABD, ∆CDB BD = BD ABD = CDB (углови са паралелним крацима) BDA = DBC (углови са паралелним крацима) ∆ABD ∆CDB, па онда а) AB = CD, AD = BC; б) α = γ.
4. а) суплементни; б) једнаки. 5. а) α = γ = 40°, β = δ = 140°; б) α = γ = 126°, β = δ = 54°; в) α = γ = 51°25’, β = δ = 128°35’. 6. α1 = γ1 = 135°, α = γ = 45°, β = δ = 135°, β1 = δ1 = 45°. 7. Не могу јер 42° ≠ 78° и 42° + 78° ≠ 180°. 8. а) α + γ = 150°, α = γ, α = 75°, γ = 75°, β = δ = 105°; б) β = 2α, α + β = 180°, α = γ = 60°, β = δ = 120°; в) β = α + 32°, α + β = 180°, α = γ = 74°, β = δ = 106°. 9. β – α = 48°, α + β = 180°, α = γ = 66°, β = δ = 114°. 10. δ = 90° + 20° = 110°, β = 110°, α = γ = 70°. 11. а) α1 = 3α, α1 + α = 180°, 4α = 180°, α = 45°, β = 135°; б) α1 = α – 36°, α1 + α = 180°, α – 36° + α = 180°, 2α = 216°, α = 108°, β = 72°; в) α1 = 5 α, α1 + α = 180°, 9 α = 180°, α = 80°, β = 100°. 4 4 12. α = 31° + 51° = 82°, γ = 82°, β = δ = 98°. 13. 10. 14. β = 360° – (90° + 90° + 40°) = 140°, δ = 140°, α = γ = 40°. 15. б) и в).
120
УСУ
=>
16.
а = 5cm + 2cm = 7cm
Е
D
BAE = α 2 BAE (углови са паралелним крацима) Па је DAE = DEA= α , а онда је AD = DE = 5cm, 2 то јест b = 5cm.
C
A
DAE = DEA =
B
17. а = 9cm, b = a : 3 = 9cm : 3 = 3cm, O = 24cm. 18. а = b + 4cm, O = 2a + 2b, 28 = 2 ∙ (b + 4) + 2b, 28 = 2b + 8 + 2b, 28 = 4b + 8, 4b = 20, b = 5cm, a = 9cm. Посматрамо ∆ABF и ∆CDE.
19. D
C
Е
AB = CD (a) FAB = ECD (углови са паралелним крацима) ABF = CDE (90° – φ)
F
A
B Према ставу УСУ је ∆ABF ∆CDE, а онда је BF = DE.
20.
C
D
Oα β
Посматрамо ∆ABO и ∆CDO AO = CO (r) BO = DO (r) AOB = COD (унакрсни)
B
A
СУС, па је ∆ABO ∆CDO и АB = CD.
Слично се показује да је AD = BC, па следи да је четвороугао ABCD паралелограм. Угао α OBА = α , угао β је спољашњи угао ∆ADO, па је 2 β OАD = ODА = . Даље је DАB = OАB + OАD = α + β = 90° (јер је α + β = 180°). 2 2 2 Паралелограм коме је један угао прав је правоугаоник.
је спољашњи угао ∆ABO, па је
21.
Е
D
OАB =
C
DAE = BCF =
A
BАЕ =
B
F
АЕD α 2 DCF= CFB α 2 BFC па је АЕ || FC. BAE =
( ) ( )
22. Из претходног задатка sα || sγ, sβ || sδ закључујемо да је добијени четвороугао паралелограм. 23. А
B
А1
C
Како је BA1= A1C и AA1 = A1D, видиш да се дијагонале четвороугла ABCD полове, па је тај четвороугао паралелограм.
D
121
ПРАВОУГАОНИК, РОМБ И КВАДРАТ 1.
E
D
C
45°
Видиш да је a = 3cm + 4cm = 7cm и DAE = 45°= DEA. Ако је AD = DE = 3cm, онда је O = 20cm, а ако је AD = DE = 4cm, онда је O = 22cm.
45° B
А 2.
G
D
C
O
H A
F B
E
3. a) α = 45°, β = 135°; 4. D
б) α1 = 45°, α = 135°, β = 45°. C Из d1 = a закључујеш да је ∆ABD једнакостраничан па је α = 60°, β = 120°.
d1 А
a
B
D
5.
Очигледно је ∆AEH ∆EBF ∆FCG ∆GDH, пa je HЕ = EF = FG = GH. Следи да је EFGH ромб.
C α = 180° – (90° + 30°) = 60°, β = 120°.
30° А
B
6.
D
Посматрај ∆ABС и ∆ADC. Како је AC = AC, AB = AD и BC = DC = а, то је ∆ABС ∆ADC (ССС). Сада је
C
DAC α и BCA = DCA α , па дијагонала 2 2 АС полови угао α. Слично се показује и да дијагонала BD полови угао β. BAC =
А
B
( )
( )
7. α = 2 ∙ 35° = 70°, β = 110°. 8.
D
G
H A
C F
E
Како је E средиште АВ и F средиште BC, то је EF средња линија ∆ABС, па је EF || АС и EF = АС ∕2. Слично, HG је средња линија ∆AСD, па је HG || АС и HG = АС ∕ 2. Како је EF || HG и EF = HG, то је EFHG паралелограм.
B
Даље је FEB = (180° – β) : 2 = 90° – β ∕ 2, HEA = (180° – α) : 2 = 90° – α ∕ 2 и како је α + β = 180°, то је HEF = 180° – ( FEB + HEA) = 180° – (90° – β ∕ 2 + 90° – α ∕ 2) = 180° – (180° – 90°) = 90°. Како је EFHG паралелограм и HEF = 90°, то је EFHG правоугаоник.
122
9.
D а А
α
У ∆AED је a = 2h, па је α = 30° и β = 150°.
h а
10.
C
B
E
D
C 70°
У четвороуглу EBFD је 90° + 90° + 70° + β = 360°, па је β = 110° и α = 70°.
F β
А 11.
E E
D
B Како је α1 = 1 α и α + α1 = 180°, добијаш α + 1 α = 180°, 5 5 6 α = 180°, па је α = 150° и β = 30°. Даље је BED = 90°, 5 EDB = α = 75°, па је DBE = 180° – (90° + 75°) = 15°. 2
C
d1 А 12.
B
a
дијагонале
паралелограм
правоугаоник
ромб
квадрат
полове се
+
+
+
+
једнаке су
–
+
–
+
узајамно нормалне
–
–
+
+
кружница
паралелограм
правоугаоник
ромб
квадрат
се може описати
–
+
–
+
се може уписати
–
–
+
+
ПАРАЛЕЛОГРАМИ И СИМЕТРИЈЕ 1. паралелограм
правоугаоник
ромб
квадрат
0
2
2
4
оса симетрије 2.
В
· О
А
A’
B’
123
3.
B A C1
O C
A1 B1 4.
D A1
B1
C = C1 A
B D1
5.
D = B1
C = A1
O A = C1
B = D1
6. Паралелограм, ромб, правоугаоник, квадрат, круг...
КОНСТРУКЦИЈЕ ПАРАЛЕЛОГРАМА 1. a) Конструиши ∆ABD (СУС): страница АВ, А, страница АD. Тачка С се добија допуном ∆ABD до паралелограма; б) Конструиши ∆ABС (ССС): страница АВ, страница ВС, дијагонала АС. Тачка D се добија допуном ∆ABС до паралелограма; в) Конструиши ∆ABС (СУС): страница АВ, В, страница ВС. Тачка D се добија допуном ∆ABС до паралелограма; г) Из α1 = 120° је α = 60°, па као у примеру под а).
124
2. а) Конструиши ∆ABС (СУС): дијагонала АС, АСВ, страница ВС. Тачка D се добија допуном ∆ABС до паралелограма; б) Конструиши ∆ABС (ССУ): страница АВ, дијагонала АС, В. Тачка D се добија допуном ∆ABС до паралелограма; в) Нека је тачка О пресек дијагонала, дијагонале паралелограма се полове. Конструиши ∆BСО (СУС): дуж CО (половина дијагонале АС), СОВ (угао између дијагонала), дуж ОВ (половина дијагонале ВD). Продужи дужи СО и ВО преко тачке О и пренеси половине дијагонала да добијеш тачке А и D. 3. а) Нека је тачка О пресек дијагонала, дијагонале паралелограма се полове. Конструиши ∆АBО (ССС): страница АВ, дуж АО (половина дијагонале АС), дуж ОВ (половина дијагонале ВD). Продужи дужи АО и ВО преко тачке О и пренеси половине дијагонала тако да добијеш тачке С и D; б) Нека је тачка Е подножје висине из темена D на страницу АВ. Конструиши ∆AЕD (УСУ): висина ЕD = ha, АЕD = 90°, ЕDА = 90° – α = 90° – 60° = 30°. Продужи дуж АЕ преко тачке Е и нанеси страницу АВ. Тачка С се добија допуном ∆ABD до паралелограма; в) Нека је тачка Е подножје висине hb из темена В на страницу АD. Конструиши ∆AВЕ (ССУ): висина ЕВ = hb, станица АВ, ВЕА = 90°. Продужи дуж АЕ преко тачке Е и нанеси страницу АD (АD = ВС). Тачка С се добија допуном ∆ABD до паралелограма. 4. а) Конструиши ∆ABС (СУС): страница АВ = а, В = 90°, страница ВС = а. Тачка D се добија допуном ∆ABС до квадрата; б) Како су дијагонале квадрата једнаке, полове се и узајамно нормалне, конструиши једну дијагоналу, на пример, АС = d, затим симетралу дужи АС. На симетралу нанеси и са једне и са друге стране половину дијагонале d. Тако добијаш тачке В и D. 5. О = 22cm, а = 22 : 4 = 5,5cm, па даље као 4. под а). 6. Нека је тачка О пресек дијагонала и нека је дато теме А. Дуж АО је половина дијагонале квадрата, па се дијагонала може добити када продужиш дуж АО = d преко тачке О за 2 d , а затим као 4. задатак под б). 2 7. а) Конструиши ∆ABС (СУС): страница АВ = а, В = 90°, страница ВС = b. Тачка D се добија допуном ∆ABС до правоугаоника; б) као пример под а). 8. а) Конструиши ∆ABС (ССУ): страница АВ = а, дијагонала АС = d, В = 90°. Тачка D се добија допуном ∆ABС до правоугаоника; б) Конструиши ∆ABС (УСУ): дијагонала АС = d, ВАС = 30°, АСВ = 60°. Тачка D се добија допуном ∆ABС до правоугаоника; в) Дијагонале правоугаоника су једнаке и полове се. Нека је тачка О пресек дијагонала. Конструиши ∆АBО (СУС): дуж АО (половина дијагонале АС = d), АОВ = 105°, дуж ОВ (половина дијагонале ВD = d). Продужи дужи АО и ВО преко тачке О и пренеси половине дијагонала тако да добијеш тачке С и D; г) Дијагонале правоугаоника су једнаке и полове се. Нека је тачка О пресек дијагонала. ∆АBО је једнакокраки, ВАО = АВО = (180° – АОВ) : 2 = (180° – 60°) : 2 = 120° : 2 = 60°. Конструиши ∆ABО (УСУ): страница АВ = а, ВАО = 60°, АВО = 60°. Продужи дужи АО и ВО преко тачке О и пренеси половине дијагонала. Тако добијаш тачке С и D.
125
9. a)
E
Конструиши ∆ABE (СУС): страница АВ = а, В = 90°, ВE = b + d. Како је ∆ACE једнакокраки АС = СЕ (d), симетрала основице АЕ садржи врх овог троугла, тачку С, па ћемо тачку С добити у пресеку дужи ВЕ и симетрале дужи АЕ. Тачка D се добија допуном ∆ABС до правоугаоника;
d D d А
C b B
a
б) D
C b
d А
a
B
b
E
∆BEC је једнакокрако правоугли ВЕ = ВС (b), па је ВЕС = 45°. Конструиши ∆AEC (ССУ): дуж АЕ = а + b, АС = d, АЕС = 45°. Како је ∆ВEС једнакокраки, симетрала основице СЕ садржи врх овог троугла, тачку В, па ћеш тачку В добити у пресеку дужи АЕ и симетрале дужи СЕ. Тачка D се добија допуном ∆ABС до правоугаоника.
10. О = 22cm, а = b + 3cm, O = 2a + 2b, 22 = 2 ∙ (b + 3) + 2b, 22 = 4b + 6, 4b = 16, b = 4cm, a = 7cm. Конструкција је описана у 7. задатку. 11. P = 24cm2, a = 6cm, P = a ∙ b, 24 = 6 ∙ b, b = 4cm. Конструкција као у 7. задатку. 12. а) Конструиши ∆ABD (СУС): страница АВ = a, угао ВАD = α, страница АD = a. Тачка С се добија допуном ∆ABD до ромба; б) Конструиши ∆ABС (СУС): страница АВ = a, угао АВС = β, страница ВС = a. Тачка D се добија допуном ∆ABС до ромба; в) Конструиши ∆ABС (ССС): страница АВ = a, страница ВС = a, дијагонала АС. Тачка D се добија допуном ∆ABС до ромба; г) Конструиши ∆ABD (ССС): страница АВ = a, страница АD = a, дијагонала ВD. Тачка С се добија допуном ∆ABD до ромба. 13. а) Дијагонале ромба се полове и узајамно су нормалне. Нека је тачка О пресек d d дијагонала. Конструиши ∆ABО (СУС): дуж АО = 1 , АОВ = 90°, дуж ВО = 2 . Продужи 2 2 дужи АО и ВО преко тачке О и пренеси половине дијагонала да добијеш тачке С и D; б) Нека је тачка Е подножје висине из темена D на страницу АВ. Конструиши ∆AЕD (ССУ): висина ЕD = ha, страница АD = a, АЕD = 90°. Продужи дуж АЕ преко тачке Е и нанеси страницу АВ = a. Тачка С се добија допуном ∆ABD до ромба; в) Дијагонала ромба је и симетрала унутрашњег угла, па полови угао α. Конструиши ∆AВС (УСУ): дијагонала АС = d1, САВ = α , АСВ = α . Тачка D се добија допуном ∆ABС 2 2 до ромба. 14. а) Полупречник уписане кружнице ромба једнак је половини висине, r = h , pa je h = 2r, 2 h = 4cm, a = 6cm. Конструкција даље иде као у 13. задатку под б); б) Како је r = 3cm, то је h = 6cm. Нека је тачка Е подножје висине из темена D на страницу АВ. Конструиши ∆AЕD (УСУ): висина ЕD = h, АDЕ = 90° – 60° = 30°, АЕD = 90°. Продужи дуж АЕ преко тачке Е и нанеси страницу АВ = АD = a. Тачка С се добија допуном ∆ABD до ромба; в) Нека је тачка Е подножје висине из темена С на праву којој припада страница АВ. Конструиши ∆AЕС (ССУ): висина СЕ = h, дијагонала АС = d1, АЕС = 90°. У пресеку симетрале дијагонале АС и дужи АЕ биће тачка В. Тачка D се добија допуном ∆ABС до ромба;
126
C
г)
O
d1 2
d2 E 2
∆ВЕО је једнакокрако правоугли јер је ВО = ОЕ
ВОЕ = 90° па је d + d2 , АВ = а, ВЕА = 45°. У пресеку симетрале АЕ = 1 2 дужи ВЕ и дужи АЕ биће тачка О. Продужи дужи АО и ВО преко тачке О и пренеси половине дијагонала да добијеш тачке С и D.
d2 2
A
( )
d2 и 2 ВЕО = 45°. Конструиши ∆АВЕ (ССУ): дуж
D
B
ТРАПЕЗ 1.
2. а)
б) D
b
δ
γ
D
C
d А
β B
a
b β
c
c
α
в)
А
α
β
D
C с α
a
b
γ
δ
c
d B
А
C
β
α a
B
3. а) α + δ = 180°, δ = 180° – 72° = 108°, β + γ = 180°, γ = 180° – 49° = 131°; б) α = 37°, γ = 99°; в) α = 55°, β = 30°, γ = 150°. 4. а) α = 53°, β = 53°, γ = 127°, δ = 127°; б) α = β = 67°, γ = δ = 113°; в) δ = 3α, α + δ = 180°, α + 3α = 180°, 4α = 180°, α = 45°, β = 45°, γ = δ = 135°. 5. а) α = δ = 90°, β = 38°, γ = 142°; б) α = 65°, δ = 115°, β = γ = 90°; в) α + α + 80° = 180°, α = 50°, β = α + 80° = 130°, γ = δ = 90°. 6. Е Како је 2α + 80° = 180°, то је α = 50° и β = 130°.
80° D А
β α
C β α
B
127
7.
50°
α = δ = 90°, β = 40°, γ = 140°.
8. α 2
α + α + 90° = 180°, 3 α = 90°, α = 60°, β = 120°. 2 2
α
9. α 2
α + α + 134° = 180°, α = 46°, β = 134°. 2 2
α 2
10. α = 48° + 25° = 73°, β = 107°.
48° 25° 11.
D
β 38°
C Из AD = CD следи DAC = β = 104° и α = 76°.
38° A 38°
DCA = 38°, β + 2 ∙ 38° = 180°,
B
12. a) 2α = 70°, α = 35°, β = 145°; б) 2β = 200°, β = 100°, α = 80°. 13. 2α + 2β = 360°, 235° + β = 360°, β = 125°, α = 55°. 14. Како је BAE = DEA (углови са паралелним крацима) и α = 32°, то је α = 64°, а онда је β = 116°. 2 А 15. a) m = 5,5cm; б) 7,1cm. 16. a) b = 4cm; б) a = 9cm. 17. C D E
2 S
4
А 18.
128
F B
3
3,5
D α 2α 2
32°
Е C
B
Како је ES средња линија ∆AСD, то је ES = DC ∕ 2, односно DC = 2 ES, па је DC = 4cm; Слично, FS је средња линија ∆ABC, па је FS = AB ∕ 2, AB = 2FS, односно AB = 8cm. Из m = 6,5cm добијаш да је a + b = 13cm, па како је O = a + b + 2c, видиш да је О = 13 + 2 ∙ 4 = 21cm.
19. а) Конструиши ∆АВD (СУС): страница АВ, угао α, страница АD. Конструиши праву р, паралелну са АВ, кроз тачку D. У пресеку праве р и кружнице k(В, ВС) је тачка С (задатак има два решења); б) Конструиши ∆АВD (СУС): страница АВ, угао α, страница АD. Затим конструиши праву р, паралелну са АВ, кроз тачку D. У пресеку праве р и другог крака угла β биће тачка С; в) Конструиши ∆АВD (ССС): страница АВ, страница АD, дијагонала ВD. Кроз тачку D конструиши праву р, паралелну са АВ. На праву р нанеси дуж СD да добијеш тачку С; г) Конструиши ∆АВС (ССС): страница АВ, страница ВС, дијагонала АС. Кроз тачку С конструиши праву р, паралелну са АВ. У пресеку праве р и кружнице k(А, АD) биће тачка D; д) Конструиши ∆АВС (ССУ): страница АВ, дијагонала АС, угао β. Кроз тачку С конструиши праву р, паралелну са АВ. У пресеку праве р и другог крака угла α биће тачка D.
20. а) Нека је тачка Е подножје висине трапеза из тачке D на страницу АВ. Конструиши ∆АЕD (УСУ): висина DЕ = h, DЕА = 90°, АDЕ = 90° – α = 30°. Продужи дуж АЕ преко тачке Е и нанеси страницу АВ. Конструиши праву р, паралелну са АВ, кроз тачку D. На праву р наноси дуж СD = b да добијеш тачку С; б) Нека је тачка Е подножје висине трапеза из тачке С на страницу АВ. Конструиши ∆ЕВС (ССУ): висина СЕ = h, страница ВС = с, СЕВ = 90°. Продужи дуж ВЕ преко тачке Е и нанеси страницу АВ = а да добијеш тачку А. Конструиши праву р, паралелну са АВ, кроз тачку С. У пресеку праве р и другог крака угла α биће тачка D; в) Нека је тачка Е подножје висине трапеза из тачке D на страницу АВ. Конструиши ∆АЕD (ССУ): висина DЕ = h, страница АD = d, DЕА = 90°. Продужи дуж АЕ преко тачке Е и нанеси страницу АВ = а. Кроз тачку D конструиши праву р, паралелну са АВ. У пресеку праве р и кружнице k(В, с) биће тачка С; г) Нека је тачка Е подножје висине трапеза из тачке D на страницу АВ. Конструиши ∆АЕD (УСУ): висина DЕ = h, DЕА = 90°, АDЕ = 90° – α = 15°. Продужи дуж АЕ преко тачке Е и нанеси страницу АВ = а. Конструиши праву р, паралелну са АВ, кроз тачку D. У пресеку праве р и другог крака угла β биће тачка С. 21. а) Конструиши ∆АВD (СУС): страница АВ = а, ВАD = α, страница АD = с и затим ∆АВС (СУС): страница АВ = а, АВС = α, страница ВС = с; б) Конструиши ∆АВD (ССС): страница АВ = а, дијагонала ВD = d, страница АD = с и затим ∆АВС (ССС): страница АВ = а, дијагонала АС = d, страница ВС = с; в) Конструиши ∆АСD (СУС): страница DС = b, СDА = γ, страница АD = с и затим ∆ВСD (СУС): страница DС = b, DСВ = γ, страница ВС = с; г) Конструиши ∆АСD (ССС): страница DС = b, дијагонала АС = d, страница АD = с, а затим и ∆ВСD (ССС): страница DС = b, дијагонала ВD = d, страница ВС = с. 22. а) b C D Конструиши ∆АED (ССС): страница АЕ = а – b, страница c c c АD = с, страница ЕD = с. Продужи дуж АЕ преко тачке Е и нанеси страницу АВ = а. ∆DEВ допуни до паралелограма. В А a–b E б) Нека је тачка Е подножје висине трапеза из тачке D на страницу АВ. Конструиши ∆ЕВD (ССУ): висина DЕ = h, дијагонала ВD = d, DЕВ = 90°. Продужи дуж ВЕ преко тачке Е и нанеси страницу АВ = а . Конструиши праву р, паралелну са АВ, кроз тачку D. У пресеку праве р и кружнице k(А, АС = d) биће тачка С. в)
D
b d
А
a
C d
c В
b
E
Конструиши ∆АEC (ССС): страница АЕ = а + b, дијагонала АC = d, страница ЕC = d. У пресеку дужи АЕ и кружнице k(С, СВ = с) биће тачка В. ∆ВЕС допуни до паралелограма.
129
23.
D
b
C
а) Конструиши ∆АBD (СУС): страница АВ = а, ВАD = 90°, висина АD = h. Конструиши угао с h δ = 90° и на други крак тог угла нанеси дуж СD = b; б) Конструиши ∆АBD (СУС): страница АВ = а, B a А ВАD = 90°, висина АD = h. Конструиши δ = 90°, у пресеку другог крака тог угла и кружнице k(В, ВС = с) биће тачка С; в) Конструиши ∆АBС (СУС): страница АВ = а, АВС = β, страница ВС = с. Конструиши затим угао α = 90° и праву р, паралелну са АВ, кроз тачку С. У пресеку другог крака угла β и праве р биће тачка D; г) Конструиши ∆АСD (ССУ): висина АD = h, дијагонала АС = d1, АDС = 90°. Конструиши праву р, паралелну са CD, кроз тачку А. У пресеку праве р и кружнице k(С, ВС = с) биће тачка В. 24. а) Конструиши ∆АСD (СУС): висина АD = h, АDС = 90°, страница DС = b. Конструиши праву р, паралелну са CD, кроз тачку А. У пресеку праве р и другог крака угла γ биће тачка В; б) Конструиши ∆АВD (ССУ): страница АВ = а, дијагонала ВD = d2, ВАD = 90°. Конструиши праву р, паралелну са АВ, кроз тачку D. У пресеку праве р и кружнице k(D, DС = b) биће тачка С; в) Конструиши ∆АВС (ССС): страница АВ = а, дијагонала АС = d1, страница ВС = с. Конструиши праву р, паралелну са АВ, кроз тачку С и угао α = 90°. У пресеку праве р и другог крака угла α биће тачка D; г) Нека је тачка Е подножје висине трапеза из тачке С на страницу АВ. Конструиши ∆ЕВС (СУС): страница ЕВ = а – b, ВЕС = 90°, висина СЕ = h. У пресеку праве којој припада дуж ЕВ и кружнице k(С, АС = d1) биће тачка А. ∆АЕС допуни до правоугаоника.
ДЕЛТОИД 1. a) α = 64°, γ = 78°, β = δ = 109°; б) α = 52°, β = δ = 123°, γ = 62°. 2. a) 3; б) 3. 3. α = 65°, γ = 113°, β = δ = 91°. 4. а) Конструиши ∆АВС (ССС): дијагонала АС = d1, страница АВ = а, страница ВС = b, а затим и ∆АСD (ССС): дијагонала АС = d1, страница АD = а, страница СD = b; б) Конструиши ∆АВС (СУС): страница АВ = а, угао АВС = β, страница ВС = b, а затим и ∆АСD (СУС): страница АD = а, угао АDС = β, страница СD = b; в) Конструиши ∆АВС (СУС): дијагонала АС = d1, угао ВАС = α , страница АВ = а, а затим 2 ∆АСD (СУС): дијагонала АС = d1, угао DАС = α , страница АD = а. 2 5. а) Конструиши ∆АВD (ССС): дијагонала ВD = d2, страница АВ = а, страница АD = а. У пресеку симетрале дужи ВD и кружнице k(А, АС = d1) биће тачка С; б) Видиш да је АВD = АDВ = (180° – α) : 2 = 22°30’. Конструиши ∆АВD (УСУ): угао АВD = 22°30’, дијагонала ВD = d2, угао АDВ = 22°30’. У пресеку симетрале дужи ВD и кружнице k(А, АС = d1) биће тачка С; в) Како је γ = 180° – α + β = 45°, γ = 90°, конструиши ∆АВС (УСУ): угао ВАС = α , 2 2 2 дијагонала АС = d1, угао АСВ = γ , а затим и ∆АСD (СУС): угао DАС = α , дијагонала 2 2 АС = d1, угао АСD = γ . 2
(
130
)
ПОВРШИНА ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА ПОЈАМ ПОВРШИНЕ 1. Допуни шта недостаје: а) 5m = ____ dm = ____ cm = ____ mm; б) 26dm = ____ m = ____ cm = ____ mm; в) 7cm = ____ m = ____ dm = ____ mm. 2. Допуни шта недостаје: а) 10m2 = ____ dm2 = ____ cm2 = ____ mm2; б) 500dm2 = ____ a = ____ ha = ____ m2 = ____ cm2 = ____ mm2; в) 2a = ____ ha = ____ m2 = ____ dm2 = ____ cm2 = ____ mm2. 3. Обој црвеном бојом геометријске фигуре чија је површина 8 јединица мере, а плавом бојом геометријске фигуре чија је површина 12 јединица мере.
Јединица мере 4. На квадратној мрежи представљене су две фигуре и одговарајућа јединица мере. Одреди површине тих геометријских фигура. а) б)
131
5. На квадратној мрежи нацртај 4 различите геометријске фигуре површине: а) 6 јединица мере
б) 16 јединица мере
6. На првој слици су представљени правоугаоник и паралелограм једнаких површина. За друга два правоугаоника нацртај: а) троугао; б) трапез; једнаких површина.
7. Нацртај произвољан паралелограм, па затим нацртај правоугаоник који има једну заједничку страницу са тим паралелограмом и површину једнаку површини тог паралелограма.
132
8. Нацртај произвољан паралелограм, па затим нацртај троугао једнаке површине као нацртани паралелограм и а) тако да имају исту по једну висину, б) тако да имају исту по једну страницу. 9. Нацртај произвољан троугао, па га трансформиши у: а) паралелограм; б) трапез једнаке површине са нацртаним троуглом и заједничком висином са тим троуглом. 10. На квадратној мрежи одреди јединицу мере за површину, па нацртај бар 4 различита правоугаоника површине 24 јединице мере. 11. На квадратној мрежи дат је ромб. Нацртај правоугаоник чије су дужине страница једнаке са дијагоналама ромба. Покажи да је површина правоугаоника два пута већа од површине ромба.
ПОВРШИНА ПРАВОУГАОНИКА 1. Израчунај површину правоугаоника ако су дужине његових страница: а) a = 5cm, b = 12cm; б) а = 17cm, b = 22cm; в) а = 6 1 cm, b = 3 3 cm. 4 5 2. Попуни таблицу: a
b
6
15
9
O
P
22 8
80
133
3. Израчунај обим и површину правоугаоника ако му је једна страница 15cm, а друга: а) за 6cm краћа од прве; б) 2 дужине прве странице. 5 4. Деда Бранко има њиву дужине 70m и ширине 32m. Колика је површина његове њиве у арима? 5. Ако је површина њиве 7,5ha, а ширина 50m, колика је дужина те њиве? 6. Израчунај обим правоугаоника чија је површина 1dm2, а једна страница 2dm. 7. Израчунај површину правоугаоника чији је обим 56cm, а странице се разликују за 4cm. 8. Израчунај површину правоугаоника чији је обим 44cm, а једна страница износи 5 друге 6 странице. 9. Наведи дужине страница бар три правоугаоника чија је површина 30cm2. 10. Израчунај дужину лепљиве траке намотану на котур, чија је површина 6m2, ако је ширина траке 2cm. 11. Колико m2 папира се утроши за једну збирку задатака од 200 страна ако су димензије једног листа 21cm и 30cm? 12. На фудбалском терену дужине 105m и ширине 55m треба посејати траву. Колико семена за траву треба купити ако је за 1m2 потребно 10g семена? 13. Колико боје је потребно за кречење плафона учионице димензија 8m и 15m ако се за 10m2 утроши 0,5kg боје? 14. Колико дашчица паркета површине 80cm2 је потребно за паркетирање пода учионице димензија 8m и 13m? 15. Колико плочица облика правоугаоника димензија 15cm и 10cm је потребно за поплочавање пода купатила димензија 4,5m и 3m? 16. Површина правоугаоника је 12cm2. Једна његова страница једнака је 1 друге странице. 3 Одреди обим тог правоугаоника. 17. Једна учионица је дуга 12m, широка 5,5m и висока 3,5m. Колико је боје потребно за њено кречење ако се са 1kg боје може окречити 25m2 зида? (Занемарити отворе за врата и прозоре и кречи се све осим пода.) 18. Израчунај обим правоугаоника ако се дужине његових страница односе као 1 : 2, а површина је 128cm2. 19. Израчунај површину правоугаоника ако се дужине његових страница односе као 2 : 3, а обим му је 60cm.
134
20. Око огледала димензије 1,5m и 0,6m треба поставити рам ширине 5cm. Колика ће бити површина дрвеног рама? 21. Колико килограма боје је потребно за бојење унутрашњих страна базена који је дуг 20m, широк 12m и дубок 1,8m ако се са 1kg фарбе може офарбати 24 m2. 22. Израчунај обим и површину квадрата чија је страница: а) 4cm;
б) 12cm;
в) 7,8cm;
г) 5 1 cm. 5
23. Израчунај површину квадрата чији је обим: а) 28cm; б) 85,2cm. 24. Израчунај обим квадрата ако му је површина: а) 100cm2; б) 25cm2; в) 64cm2. 25. Обим квадрата једнак је обиму правоугаоника са страницама 8cm и 10cm. Израчунај разлику њихових површина. 26. Странице правоугаоника су 16cm и 6cm. Одреди дужину странице квадрата који има обим једнак обиму датог правоугаоника. За колико се разликују површине добијеног квадрата и датог правоугаоника? 27. Квадрат и правоугаоник имају једнаке обиме, по 32cm. Ако се странице правоугаоника разликују за 2cm, одреди за колико се разликују њихове површине? 28. Око школе основе облика квадрата и обима 146m изграђена је стаза ширине 1,5m. Колика је површина стазе? 29. Колико плочица облика квадрата са страницом 20cm је потребно за поплочавање пода кухиње димензија 6,5m и 3,5m? 30. Два квадрата имају странице дужине 3cm и 4cm. Одреди дужину странице квадрата чија је површина једнака збиру површина ова два дата квадрата.
ПОВРШИНА ПАРАЛЕЛОГРАМА 1. Упореди површине паралелограма на датој квадратној мрежи. Измери и упореди дужине страница тих паралелограма.
135
2. Правоугаоник, страница a = 8cm и b = 5cm, трансформиши у паралелограм (који није правоугаоник), страница a = 8cm и b = 5cm. Измери висину паралелограма која одговара страници a. Израчунај површину добијеног паралелограма. Колика је површина добијеног паралелограма у односу на површину датог правоугаоника? 3. Израчунај површину паралелограма ако је: а) страница а = 12cm, висина ha = 7cm;
б) страница b = 6,7cm, висина hb = 9,2cm.
4. Нацртај произвољан паралелограм на квадратној мрежи, па затим нацртај нови паралелограм једнаке површине, а да му је једна страница два пута дужа од једне странице првог паралелограма. Шта можеш закључити мерећи висине које одговарају тим страницама? 5. Ако је површина паралелограма 72cm2, а страница а = 9cm, израчунај висину која одговара страници а. 6. Странице паралелограма су 12cm и 8cm. Растојање између две паралелне странице је 6cm. Колико је растојање између друге две паралелне странице? 7. Ако су странице паралелограма а = 10cm, b = 15cm, а висина која одговара страници а je 9cm, колика је висина која одговара страници b? 8. Нађи растојање између страница паралелограма чије су дужине 18cm, ако је површина тог паралелограма 90cm2. 9. Површина паралелограма је 60cm2, а дужине странице су а = 12cm и b = 7,5cm. Израчунај висине тог паралелограма. 10. Висине паралелограма су 8,5cm и 4,25cm. Ако је површина тог паралелограма 51cm2, израчунај дужине страница тог паралелограма. 11. Висина паралелограма је два пута мања од одговарајуће странице. Ако је површина тог паралелограма 32cm2, нађи дужину те странице и њој одговарајуће висине. 12. Израчунај површину паралелограма чије су странице а = 6cm и b = 4cm, а оштар угао α = 30°. 13. Ако је обим паралелограма 42cm, а дужине страница се односе као 4 : 3 и оштар угао α = 30°, израчунај површину тог паралелограма. 14. Правоугаоник и паралелограм имају једнаке дужине страница. Израчунај углове паралелограма ако је његова површина два пута мања од површине правоугаоника. 15. Израчунај површину ромба ако је: а) страница а = 11cm и висина h = 5,5cm; б) страница а = 8,7cm и висина h = 3,9cm. 16. Површина ромба је 70cm2, а висина 5cm. Израчунај обим тог ромба. 17. Обим ромба је 60cm, а висина 6cm. Израчунај површину тог ромба.
136
18. Израчунај површину ромба ако је његов обим 36cm, а растојање између наспрамних страница је два пута мање од дужине странице. 19. Обим ромба је 34cm, а површина 17cm2. Одреди његову висину. 20. Израчунај обим и површину ромба странице а = 6cm, ако је оштар угао ромба 30°. 21. У новом хотелу и у сваку собу треба поставити огледала у облику ромба, странице а = 40cm и висине h = 25cm. Колико m2 огледала је потребно да би се направила огледала за цео хотел, који има 60 соба, ако при резању огледала отпадне 1 материјала? 5 22. У травнатом парку дужине 36m и ширине 16m (види слику) асфалтирана је стаза дужине 22m, која је широка 1,5m. Колико је m2 асфалтирано, а колико m2 је остало под травом?
ПОВРШИНА ТРОУГЛА 1. Одреди површине троуглова датих на квадратној мрежи са датом јединицом мере:
2. Одреди површину осенчених делова геометријских фигура са слике:
4
5 3
3 6
5
6
4
137
3. Израчунај површину троугла ако је: а) страница а = 16cm и висина ha = 9cm; б) страница b = 8,5cm и висина hb = 4,4cm; в) страница c = 6,8cm и висина hc = 13,3cm. 4. Површина троугла је 102cm2, а страница а = 12cm. Израчунај висину која одговара страници а. 5. Површина троугла је 90cm2, а висина hc = 15cm. Одреди дужину странице c. 6. Површина троугла је 28cm2. Ако је једна његова страница а = 7cm и висина hb = 2cm, израчунај висину ha која одговара страници а и дужину странице b. 7. У троуглу АВС, страница а = 10cm, висина ha = 6cm и hc = 15cm. Одреди дужину странице c. 8. Обим троугла је 36cm, а странице се редом разликују за 2cm. Висина која одговара најдужој страници је 5cm. Израчунај површину тог троугла. 9. Страница троугла је три пута већа од одговарајуће висине. Ако је површина тог троугла 96cm2, израчунај дужину те странице. 10. Висина троугла је пет пута већа од одговарајуће странице. Одреди површину тог троугла ако је збир те висине и одговарајуће странице 30cm. 11. Ако су странице троугла а = 15cm, b = 14cm и c = 13cm, а висина hb = 12cm, израчунај висине које одговарају страницама а и с. 12. Израчунај обим троугла ако је једна његова страница а = 8cm, а висине тог троугла су hа = 10,5cm, hb = 6cm и hс = 7,5cm. 13. Теме паралелограма удаљено је од једне дијагонале 3cm. Израчунај површину паралелограма ако је дужина те дијагонале 7cm. 14. Израчунај површину троугла ако је размера једне странице и њој одговарајуће висине 4 : 3, а страница је за 3cm дужа од висине. 15. Израчунај површину правоуглог троугла ако су дате дужине његових катета: а) а = 9cm, b = 14cm; б) а = 7,6cm, b = 5,5cm. 16. Израчунај површину правоуглог троугла ако су дате дужина хипотенузе и њој одговарајућа висина: а) c = 19cm, hc = 8cm; б) c = 12,5cm, hc = 6,6cm. 17. Израчунај површину једнакокраког правоуглог троугла чија је катета дужине 9,8cm. 18. Површина правоуглог троугла је 97,5cm2, а једна катета је дужине 7,8cm. Одреди дужину друге катете.
138
19. Површина правоуглог троугла је 42,5cm2, а хипотенуза је дужине 12,5cm. Одреди висину која одговара хипотенузи. 20. Катете правоуглог троугла су дужине 24cm и 7cm, а хипотенуза 25cm. Израчунај висину која одговара хипотенузи. 21. Једна катета правоуглог троугла је дужине 6cm, хипотенуза 10cm, а висина која одговара хипотенузи 4,8cm. Израчунај обим тог троугла. 22. Израчунај површину правоуглог троугла ако је дата висина која одговара хипотенузи hc = 5cm и тежишна дуж која одговара хипотенузи tc = 6cm. 23. Основица једнакокраког троугла је дужине 8cm, а његова површина 12cm2. Израчунај обим тог троугла ако је висина која одговара краку дужине 4,8cm. 24. Основица једнакокраког троугла је 12cm, а краци су 10cm. Ако је висина која одговара основици hа = 8cm, израчунај висину која одговара краку. 25. Обим једнакокраког троугла је 18cm, а дужина крака је 6,5cm. Висина која одговара основици је дужине 6cm. Одреди површину тог троугла. 26. Обим једнакокраког троугла је 32cm. Крак је за 2cm краћи од основице, а висина која одговара основици је 8cm. Израчунај површину тог троугла. 27. Израчунај површину једнакокраког троугла ако је дужина његовог крака 12cm, а угао при врху 30°. 28. Израчунај површину једнакокраког троугла ако је висина која одговара краку 8cm, а угао на основици 75°. 29. Израчунај површине датих фигура: 2
4 8
4
2 6
2 9 6
139
30. Израчунај површине осенчених делова квадрата дужине странице 4 cm: а) б) в) г)
2 4
2
2 4
4
2 4
31. Нацртај квадрат ABCD странице 6cm. Тачке Е и F су редом средишта страница АВ и ВС квадрата ABCD. Израчунај површину троугла CEF.
ПОВРШИНА ТРАПЕЗА 1. На сликама је показано како од датог трапеза резањем и поновним спајањем можемо добити троугао који има површину једнаку површини почетног трапеза.
На сличан начин од датог трапеза направи: а) правоугаоник једнаке површине као почетни трапез;
б) паралелограм једнаке површине као почетни трапез.
140
2. Израчунај површину трапеза ако су дате дужине основица и висине: а) а = 10cm, b = 6cm, h = 5cm; б) а = 9,2cm, b = 5,8cm, h = 4,2cm. 3. Површина трапеза је 56cm2, а основице су 12cm и 4cm. Израчунај висину тог трапеза. 4. Дужа основица трапеза је дужине а = 14cm, а висина 5,5cm. Ако је површина тог трапеза 49,5cm2, израчунај његову краћу основицу. 5. Израчунај средњу линију трапеза ако су дате основице: а) а = 54mm, b = 48mm; б) а = 16,4cm, b = 6,8cm. 6. Ако је једна основица трапеза 17,8cm, а средња линија 12,5cm, одреди другу основицу трапеза. 7. Израчунај површину трапеза ако су дате средња линија и висина трапеза: а) m = 9cm, h = 6,5cm; б) m = 7,25cm, h = 6,4cm. 8. Одреди висину трапеза ако је средња линија тог трапеза 10cm, а површина 191cm2. 9. Површина трапеза је 36cm2, а висина 3cm. Израчунај основице тог трапеза ако је једна основица три пута дужа од друге. 10. Површина трапеза је 49cm2, једна основица дужине а = 8cm, а друга b = 3 а. Одреди 4 висину тог трапеза. 11. Дужине основица правоуглог трапеза су 18cm и 8cm, а нормални крак је дужине 5cm. Израчунај површину тог трапеза. 12. Израчунај површину правоуглог трапеза чије су основице 16cm и 6cm, а оштар угао 45°. 13. У правоуглом трапезу дужина веће основице је 9cm, а висина 6cm. Ако је туп угао 135°, одреди површину тог трапеза. 14. Основице једнакокраког трапеза су 15cm и 5cm, а оштри углови 30°. Ако је обим овог трапеза 40cm, израчунај његову површину.
141
15. У једнакокраком трапезу већа основица је дужине 16cm, висина 5cm, а оштри углови су 45°. Израчунај површину тог трапеза. 16. Површина трапеза једнака је површини паралелограма. Основице трапеза су 8cm и 4cm. Ако су им висине једнаке, израчунај дужину странице паралелограма која одговара тој висини. 17. На основу података са слике израчунај површину трапеза: а) б) 3 8
в)
40
5
45°
17
45°
60°
12 18. Гледај слике, па израчунај површине осенчених фигура: а) б)
2
2
6
6
8
19. Гледај слике, па израчунај површине осенчених фигура:
a)
б)
5
в)
5
г)
4
д) 6 4 4
142
20
2
ПОВРШИНА ЧЕТВОРОУГЛА 1. Израчунај површину четвороугла чије су дијагонале међусобно нормалне ако су дужине дијагонала: а) d1 = 17cm, d2 = 12cm; б) d1 = 15,4cm, d2 = 7,7cm. 2. Ако су дужине дијагонала делтоида d1 = 3,7cm и d2 = 10,8cm, израчунај његову површину. 3. Површина делтоида је 20cm2, а дужина једне дијагонале је d1 = 8cm. Израчунај дужину друге дијагонале. 4. Дечак је направио змаја у облику делтоида. Ако су дужине летвица које спајају наспрамна темена тог делтоида 45cm и 20cm, колико је папира морао да утроши за прављење тог змаја? 5. Одреди дужине дијагонала делтоида ако је једна дијагонала четири пута дужа од друге, а површина тог делтоида је 18cm2. 6. Израчунај површину ромба ако су дужине његових дијагонала: а) d1 = 16cm, d2 = 12cm; б) d1 = 9,6cm, d2 = 5,8 cm. 7. Израчунај површину ромба код кога је једна дијагонала три пута дужа од друге, а збир дијагонала је 20cm. 8. Површина ромба је 80cm2, а дужина једне дијагонале је 20cm. Колика је дужина друге дијагонале? 9. Израчунај површину квадрата ако је дужина: а) дијагонале d = 6cm; б) полупречника описане кружнице r = 5cm. 10. Квадрат и ромб имају једнаке површине. Ако је дијагонала квадрата 12cm, а једна дијагонала ромба 16cm, одреди дужину друге дијагонале ромба. 11. Дијагонале ромба су 12cm и 16cm, а висина ромба је 9,6cm. Израчунај обим тог ромба. 12. Страница ромба је 20cm, оштар угао 30° и једна дијагонала 16cm. Израчунај дужину друге дијагонале ромба.
143
ТЕСТ – ПОВРШИНЕ 1. Површина квадрата чији је обим 30cm је: а) 64cm2; б) 56,25cm2; в) 42,25cm2; (Заокружи слово испред тачног одговора.)
г) 100 cm2.
2. Колико боје је потребно за кречење плафона учионице димензије 5,5m и 8m ако се за 1m2 утроши 100 грама боје? а) 440g; б) 4,4kg; в) 4kg; г) 44kg. (Заокружи слово испред тачног одговора.)
3. Површина паралелограма је 120cm2. Растојање између страница паралелограма чије су дужине 15cm је: а) 16cm; б) 4cm; в) 8cm; б) 45cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.)
4. Једна страница троугла је а = 16cm, а висине тог троугла су ha = 21cm, hb = 16cm и hc = 15cm. Обим тог троугла је: а) 59,4cm; б) 29,7cm; в) 42,6cm; г) 52cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.)
5. Основице једнакокраког трапеза су 10cm и 6cm, а оштри углови 45º. Површина тог трапеза је: а) 32cm2; б) 40cm2; в) 16cm2; г) 20cm2. (Заокружи слово испред тачног одговора.)
6. Дијагонале ромба су 6cm и 8cm, а висина 4,8cm. Обим тог ромба је: а) 20cm; б) 32cm; в) 16cm; г) 28cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.)
7. Дијагонале делтоида су 6cm и 8cm. Површина тог делтоида је: а) 14cm2; б) 24cm2; в) 48cm2; г) 28cm2. (Заокружи слово испред тачног одговора.)
8. Обим једнакокраког трапеза чија је краћа основица једнака краку, а један унутрашњи угао је 60°, је 30cm. Површина тог трапеза је: а) два пута б) три пута в) четири пута г) пет пута већа од површине једнакостраничног троугла странице 6cm. (Заокружи слово испред тачног одговора.)
1. б); 2. б); 3. в); 4. а); 5. в); 6. а); 7. б); 8. б).
РЕШЕњА: 144
ПОВРШИНЕ ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА – РЕШЕЊА ПОЈАМ ПОВРШИНЕ 1. а) 5m = 50dm = 500cm = 5 000mm; б) 26dm = 2,6m = 260cm = 2 600mm; в) 7cm = 0,07m = 0,7dm = 70mm. 2. а) 10m2 = 1 000dm2 = 100 000cm2 = 10 000 000mm2; б) 500dm2 = 0,05a = 0,0005ha = 5m2 = 50 000cm2 = 5 000 000mm2; в) 2a = 0,02ha = 200m2 = 20 000dm2 = 2 000 000cm2 = 200 000 000mm2. 3.
Јединица мере 4. a) 53; 5. a)
б) 36.
145
б)
6.
7.
146
а)
б)
8. a) h
h
b)
a
a
9. a)
b)
10.
147
11.
ПОВРШИНА ПРАВОУГАОНИКА 1. а) 60cm2; 2.
б) 374 cm2;
в) 22 1 cm2. 2
a b O P 6 15 42 90 9 2 22 18 10 8 36 80 3. a) b = 9cm, O = 48cm, P = 135cm2; б) b = 6cm, O = 42cm, P = 90cm2. 4. P = 2240m2 = 22,4а. 5. P = 7,5ha = 75 000m2, a = 1 500m. 6. b = 0,5dm, O = 5dm. 7. O = 56cm, a = b + 4cm, O = 2a + 2b, 56 = 2 ∙ (b + 4) + 2b, 56 = 2b + 8 + 2b, 56 = 4b + 8, b = 12cm, a = 16cm, P = 192cm2. 8. a = 5 b, O = 2a + 2b, 44 = 2 ∙ 5 b + 2b, 44 = 5 b + 2b, 44 = 11b, b = 12cm, a = 10cm, P = 120cm2. 6 6 3 3 9. На пример: a = 1cm, b = 30cm; a = 2cm, b = 15cm; a = 3cm, b = 10cm. 10. P = 6m2 = 60 000cm2, b = 30 000cm = 300m. 11. P1 = 21 ∙ 30 = 630 cm2, 200 страна је 100 листова, па P = 100 ∙ P1 = 100 ∙ 630 = 63 000cm2 = 6,3m2. 12. P = 5 775m2, 5 775 ∙ 10 = 57 750g = 57,75kg. 13. P = 120m2, (120 : 10) ∙ 0,5 = 12 ∙ 0,5 = 6kg боје. 14. P = 104m2 = 1 040 000cm2, 1 040 000 : 80 = 13 000 дашчица. 15. Pp = 15 ∙ 10 = 150cm2, Pk = 4,5 ∙ 3 = 13,5m2 = 135 000cm2, 135 000 : 150 = 900 плочица. 16. a = 1 b, P = a ∙ b, 12 = 1 b ∙ b, 12 = 1 b2, b2 = 36, b = 6cm, a = 2cm, O = 16cm. 3 3 3 17. P = 12 ∙ 5,5 + 2 ∙ 12 ∙ 3,5 + 2 ∙ 5,5 ∙ 3,5 = 188,5m2, 188,5 : 25 = 7,54kg боје. 18. P = 128cm2, а : b = 1 : 2, b = 2a, a = 8cm, b = 16cm, O = 48cm. 19. а : b = 2 : 3, а : b = 2 , a = 2 b, b = 18cm, a = 12cm, P = 216cm2. 3 3 20. P = 2 ∙ (150 + 10) ∙5 + 2 ∙ 60 ∙ 5 = 2 200cm2 = 0,22m2. 21. P = 20 ∙ 12 + 2 ∙ 20 ∙ 1,8 + 2 ∙ 12 ∙ 1,8 = 355,2m2, 355,2 : 24 = 14,8kg боје. 22. а) О = 16cm, P = 16cm2; б) О = 48cm, P = 144cm2; в) О = 31,2cm, P = 60,84cm2; г) О = 20 4 cm, P = 27 1 cm2. 25 5 23. а) а = 7cm, P = 49cm2; б) а = 21,3cm, P = 453,69cm2.
148
24. а) а = 10cm, О = 40cm; б) а = 5cm, О = 20cm; в) а = 8cm, О = 32cm. 25. Оp = 36cm, Ok = 36cm, ak = 9cm, Pk = 81cm2, Pp = 80cm2, Pk – Pp = 1cm2. 26. Op = 44cm, Ok = 44cm, ak = 11cm, Pk = 121cm2, Pp = 96cm2, Pk – Pp = 25cm2. 27. Ok = Op = 32cm, ak = 8cm, ap = bp + 2cm, bp = 7cm, ap = 9cm, Pk = 64cm2, Pp = 63cm2, Pk – Pp = 1cm2. 28. а = 36,5m, P = 4 ∙ Pp = 4 ∙ ap ∙ bp = 4 ∙ (36,5 + 1,5) ∙ 1,5 = 228m2. 29. P1 = 6,5 ∙ 3,5 = 22,75m2 = 227 500cm2, P2 = 20 ∙ 20 = 400cm2. Како је 227 500 : 400 = 568,75, потребно je најмање 569 плочица. 30. a1 = 3cm, a2 = 4cm, P3 = P1 + P1, a3 2 = a1 2 + a2 2, a3 2 = 3 2 + 42, a3 2 = 25, a3 = 5cm.
ПОВРШИНА ПАРАЛЕЛОГРАМА 1. P1 = P2 = P3 = 36, a1 = a2 = a3, b1 < b2 < b3, али h1 = h2 = h3. 2. Могуће је да је h = 4cm и онда Ppa = a ∙ ha = 32cm2, Ppr = a ∙ b = 40cm2, Ppr > Ppa. 3. a) P = 84cm2, б) P = 61,64cm2. 4. Ако је a2 = 2a1, oнда је ha1 = 2ha2. 5. ha = 8cm. 6. Ако је растојање између дужих страница 6cm, онда је P = a ∙ ha = 72cm2, па је P = b ∙ hb и hb =9cm, а ако је растојање између краћих страница 6cm, онда је слично hb = 4cm. 7. P = 90cm2, hb = 6cm. 8. ha = 5cm. 9. ha = 5cm, hb = 8cm. 10. a = 6cm, b = 12cm. 11. a = 2h, P = a ∙ ha, 32 = 2 ha ∙ ha, ha2 = 16, ha = 4cm, a = 8cm. 12. α = 30° па је ha = b односно ha = 2cm и P = 12cm2. 2 b
ha
α = 30º a 13. а : b = 4 : 3, а : b = 4 , a = 4 b, b = 9cm, a = 12cm, α = 30° ⇒ ha = b , ha = 4,5cm, P = 54cm2. 3 3 2 14. apr = apa, bpr = bpa, Ppa = Ppr : 2, Ppr = 2Ppa, apr ∙ bpr = 2apa ∙ ha, bpr = 2ha ⇒ α = 30°, β = 150°. 15. a) 60,5cm2; б) 33,93cm2. 16. a = 14cm, О = 56cm. 17. a = 15cm, Р = 90cm2. 18. a = 9cm, h = 4,5cm, Р = 40,5cm2. 19. a = 8,5cm, h = 2cm. 20. Како је α = 30°, то је ha = a , односно ha = 3cm, а онда је P = 18cm2, O = 24cm 2 21. Једно огледало има површину P1 = 40 ∙ 25 = 1 000cm2 = 0,1m2, а укупна површина огледала у свим собама је P = 60 ∙ 0,1 = 6m2. Значи, потребно је 4 x = 6m2, x = 7,5m2. 5 2 22. Асфалтирано је Pa = 22 ∙ 1,5 = 33m , а под травом је остало Pt = 36 ∙ 16 – 33 = 543m2.
149
ПОВРШИНА ТРОУГЛА 1. а) 18; б) 24; в) 6; г) 12; д) 24; ђ) 14; е) 14. 2. а) 12; б) 12,5; в) 9; г) 6. 3. а) Р = 72cm2; б) Р = 18,7cm2; в) Р = 45,22cm2. 4. ha = 17cm. 5. с = 12cm. 6. ha = 8cm, b = 28cm. 7. Р = 30cm2, с = 4cm. 8. Како је a = x, b = x + 2cm, c = x + 4cm и O = a + b + c, односно 36 = x + x + 2 + x + 4, то је 36 = 3 x + 6 и x = 10cm. Сада је a = 10cm, b = 12cm и c = 14cm и како је hc = 5cm, то је Р = 35cm2. 9. Како је a = 3 ha , то је P = 1 a ∙ ha, односно 96 = 1 3 ha ∙ ha. Сада је 3 ∙ ha2 = 192, ha2 = 64, па је 2 2 h = 8cm и a = 24cm. a
10. Како је ha = 5a то је ha + a = 30, односно 5a + a = 30, па из 6a = 30 добијамо a = 5cm и ha = 25cm, а одатле и Р = 62,5cm2. 11. Р = 84cm2, ha = 11,2cm, hc = 12 12 cm. 13 2 12. Р = 42cm , b = 14cm, с = 11,2cm. О = 33,2cm. 13. Половина површине паралелограма је троугао са страницом од 7cm и одговарајућом висином од 3cm, па је Pp = 2 ∙ Pt = 2 ∙ 1 ∙ 7 ∙ 3 = 21cm2. 2 4 14. Како је а : ha = 4 : 3, односно a = ha и a = ha + 3, то је 4 ha = ha + 3, ha = 9cm и a = 12cm, 3 3 па је P = 54cm2. 15. а) Р = 63cm2; б) Р = 20,9cm2. 16. а) Р = 76cm2; б) Р = 41,25cm2. 17. Р = 48,02cm2. 18. b = 25cm. 19. hc = 6,8cm. 20. Р = 84cm2, hc = 6,72cm. 21. Р = 24cm2, b = 8cm, О = 24cm. 22. с = 2 tc = 12cm, Р = 30cm2. 23. ha = 3cm, b = 5cm, О = 18cm. 24. hb = 9,6cm. 25. a = 5cm, Р = 15cm2. 26. Из a = b + 2 и О = a + 2b добијамо да је 32 = b + 2 + 2b, 32 = 3b + 2, b = 10cm и a = 12cm, па је Р = 48cm2. 27. Из γ = 30° закључујемо да је hb = b , hb = 6cm, па је P = 36cm2. 2 28. Слично као у претходном задатку α = 75° и γ = 30°, па је hb = b , b = 2 hb, b = 16cm, а онда 2 је P = 64cm2. 29. а) Pf = Pp = a ∙ b = 9 ∙ 4 = 36; б) Pf = Pp + 2 ∙ Pt = 6 ∙ 4 + 2 ∙ 1 ∙ 6 ∙ 2 = 36; 2 в) Pf = Pk + 4 ∙ Pt = 2 ∙ 2 + 4 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 2 = 12. 2
150
30. a) Pf = Pk – 2 ∙ Pt = 4 ∙ 4 – 2 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 2 = 12; 2 б) Pf = Pk – 2 ∙ Pt = 4 ∙ 4 – 2 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 4 = 8; 2 в) Pf = Pk – (2 ∙ P1 + P2) = 4 ∙ 4 – (2 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 4 + 1 ∙ 2 ∙ 2) = 6; 2 2 1 г) Pf = Pk – (2 ∙ P1 + P2) = 4 ∙ 4 – (2 ∙ ∙ 2 ∙ 4 + 2 ∙ 2) = 4. 2 31. Pt = PEBC – PEBF = 1 ∙ 3 ∙ 6 – 1 ∙ 3 ∙ 3 = 4,5cm2. 2 2
ПОВРШИНА ТРАПЕЗА 1. a)
б)
2. а) Р = 40cm2; б) Р = 31,5cm2. 3. h = 7cm. 4. b = 4cm. 5. а) m = 51mm; б) m = 11,6сm. 6. b = 7,2cm. 7. а) Р = 58,5cm2; б) Р = 46,4cm2. 8. h = 19,1cm. 9. a = 3b, P = a +b ∙ h, 36 = 3b +b ∙ 3, b = 6cm, a = 18cm. 2 2 10. b = 6cm, h = 7cm. 11. Р = 65cm2. 12. Како је β = 45°, то је h = a – b, односно h = 10cm, па је Р = 110cm2. 13. Из γ = 135° добијамо β = 45°, па је h = a – b, односно b = 3cm. Дакле, Р = 36cm2. 14. Из O = a + b + 2c, 50 = 2 ∙ 15 + 2c добијамо c = 10cm. Како је α = 30°, то је h = c , 2 односно h = 5cm, па је P = 50cm2.
151
15. Из α = 45° добијамо да је b = a – 2 ∙ h, па је b = 6cm и P = 55cm2. 16. Pt = Pp, ht = hp = h, Pt = 6h = Pp, a = 6cm. 17. a) h = b = 8cm, P = 80cm2; б) а = 13cm, P = 40cm2; в) из α = 60° добијамо a – b = c ,односно a – b = c, па је a = 60cm и P = 850cm2. 2 2 18. a) Како је a1 = 8, то је Pf = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 8 ∙ 8 = 8; 2 2 2 б) Pf = Pk – 2 ∙ Pt = 6 ∙ 6 – 2 ∙ 6 + 2 ∙ 2 = 20. 2 1 19. a) Pf = Pk – 4 ∙ Pt = 5 ∙ 5 – 4 ∙ ∙ 2 ∙ 3 = 13; б) Pf = 2 ∙ Pt = 2 ∙ 5 + 3 ∙ 2,5 = 20; 2 2 г) Pf = Pt = 1 ∙ 6 ∙ 4 = 12; в) Pf = 4 ∙ Pt = 4 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 = 2; 2 2 д) Pf = Pk – (Pt1 + Pt2) = 4 ∙ 4 – ( 1 ∙ 2 ∙ 2 + 1 ∙ 4 ∙ 4) = 6. 2 2
ПОВРШИНА ЧЕТВОРОУГЛА 1. а) P = 102cm2; 2. P = 19,98cm2. 3. d2 = 5cm. 4. P = 450cm2.
б) P = 59,29cm2.
d1 · d2 4d1 · d2 добијамо 18 = , односно 4 ∙ d22 = 36, па је d22 = 9, 2 2 d2 = 3cm и d1 = 12cm. 6. a) P = 96cm2; б) P = 27,84cm2. 7. Како је d1 = 3d2 и d1 + d2 = 20, то је 3d2 + d2 = 20, 4d2 = 20, d2 = 5cm и d1 = 15cm. Сада је P = 37,5cm2. 8. d2 = 8cm. 9. а) P = 18cm2; б) r = 5cm, d = 2r = 10cm, P = 50cm2. 5. Из d1 = 4 ∙ d2 и P =
d ·d 10. Како је Pk = Pr , односно d · d = 1 2 , то је d2 = 9cm. 2 2 d1 · d2 , P = 96cm2 и P = a ∙ h добијамо a = 10cm и O = 40cm. 11. Из P = 2 12. Како је α = 30°, то је h = a , односно h = 10cm, па је P = a ∙ h, P = 200cm2 и d2 = 25cm. 2
152
