MATEMÁTICA
AULA 3 FUNÇÕES
01.(ITA) Considere a função y=f(x) definida por f(x)=x32x2+5x, para cada x real. Sobre esta função, qual das afirmações abaixo é verdadeira? a) y=f(x) é uma função par. DEFINIÇÃO: Uma função é par se f(x)=f(-x), ∀x∈D(f). Vamos calcular f(-x): f(-x)=(-x)3-2(-x)2+5(-x) f(-x)=-x3-2x2-5x ≠f(x) NÃO É PAR. LEMBREM: Poderíamos ter aplicado o Teorema do Grande Kochambre: “UMA FUNÇÃO POLINOMIAL É PAR SE POSSUIR SOMENTE EXPOENTES PARES”. b) y=f(x) é uma função ímpar. DEFINIÇÃO: Uma função é ímpar se f(x)=-f(-x), ∀x∈D(f). NÃO É ÍMPAR. LEMBREM: Poderíamos ter aplicado o Teorema do Grande Kochambre: “UMA FUNÇÃO POLINOMIAL É ÍMPAR SE POSSUIR SOMENTE EXPOENTES ÍMPARES”.
c) f(x)≥0 para todo x real. f(x)=x3-2x2+5x d) f(x)≤0 para todo x real. e) f(x) tem o mesmo sinal de x, para todo x real. Podemos pôr o x em evidência. f(x)=x(x2-2x+5) Agora, vamos analisar o sinal dos fatores. -
-
+
+
-
-
0
+ +
x x2-2x+5
+
f(x)=x(x2-2x+5) Quem faz Apogeu sabe o gráfico de uma função do 3° grau.
Veja pelo gráfico que uma função do 3° grau, nunca terá gráfico todo para cima ou todo para baixo do eixo dos x.
02.(EN) Seja f:ℜ→A uma função y=f(x) tal que f(x)=-2x2+4x5 , para cada x real. A condição para que f seja sobrejetora é que? O gráfico de f(x)=-2x2+4x-5 é uma PARÁBOLA a) A=]-∞,3] com a concavidade voltada para BAIXO. b) A=]-∞,-3] Vimos na aula anterior que uma c) A=[3,∞[ função é sobrejetora se Im(f)=CD(f). d) A=]2,∞[ e) A=]-∞,-2[ V
b 4 xv = − =− =1 2a 2(−2) yv=f(xv)=-2.12+4.1-5 =-3
Resolvendo, agora 2 f(x)=-2x +4x-5 por derivada:
f(x)=-4x+4 =0
x=1
03.(CEFET-PR) Se f é definida por f ( x ) = x e g(x)=x2-1 , então o domínio de fog é: a) [-∞,-1] ou [1,+∞] fog(x)=f(g(x)) b) [-∞,-1) ou (1,+∞] fog ( x) = g ( x ) c) (-∞,-1) ou (1,+∞) d) [-∞,-1] fog ( x) = x 2 −1 e) (-∞,-1] ou [1,+∞) IMPONDO QUE O RADICANDO É MAIOR OU IGUAL A ZERO
+
-1
x 2 −1 ≥ 0
+ 1 Qual é a alternativa correta?
04.(CEFET-PR) Se f(g(x))=4x2-8x+6 e g(x)=2x-1, então f(2) vale: a) -2 2 f(g(x))=4x -8x+6 b) -1 f(2x-1)=4x2-8x+6 c) 3 g(x)=2x-1 d) 5 f(2)=? e) 6 2x-1=2
então x=3/2
f(2)=4.(3/2)2-8.3/2+6 = 3
Para calcular g(5), por exemplo, basta substituir o x por 5 em g(x), porque temos g(x)
05. (ITA - SP) Seja a função f:ℜ-{2} em ℜ-{3}, definida
2x − 3 + 1 . Sobre sua inversa podemos garantir por f ( x) = x−2 que: a) Não está definida pois f não é injetora. b) Não está definida pois f não é sobrejetora.
y−2 c) Está definida por f ( y ) = y − 3 , y ≠ 3 y +5 −1 d) Está definida por f ( y ) = − 1, y ≠ 3 y −3 2y −5 e) Está definida por −1 f ( y) = ,y≠3 y −3 −1
O gráfico desta função é uma hipérbole
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Para determinarmos a função inversa devemos trocar x por y, y por x e isolar y=f-1(x)
2x − 3 f ( x) = +1 x−2
2y −3 x= +1 y−2
2y −3+ y − 2 x= y−2
x ( y − 2) = 3 y − 5
xy − 2 x = 3 y − 5
xy − 3 y = 2 x − 5
( x − 3) y = 2 x − 5
f
−1
2x − 5 ( x) = x −3
2x −1 − 3 são: 06.(UFG) O zeros da função f ( x ) = 5 a) -7 e -8 b) 7 e -8 c) 7 e 8 d) -7 e 8 e) nda
Para determinarmos os zeros de uma função, vamos igualá-la a zero
2x −1 f ( x) = −3 = 0 5 2 x −1 = ±3 5
2 x −1 =3 5 2x - 1 = 15
x1 = 8
2x - 1 = -15
x2 = -7
07.(PUC-SP) A soma de todos os números inteiros que satisfazem a sentença 2≤3x-1<5 é: a) 6 Temos duas inequações: 2 ≤ 3x-1 E 3x-1 < 5 b) 5 Se z > a, então 3x-1 ≤-2 x ≤ -1/3 c) 2 OU d) 1 2 ≤ 3x-1 z<-a ou z>a, neste x≥1 3x-1 ≥ 2 caso: e) 0 Se z < a, então –a 3x-1< 5 < z < a, neste caso: -1/3
-5 < 3x-1 < 5
-4/3 < x < 2 x ≤ -1/3 ou x ≥ 1
1
-4/3
2 -1
-4 < 3x < 6
1
-4/3 < x < 2 interseção
“SE ESFORCEM AO MÁXIMO, PARA QUE NO FUTURO VOCÊS SEJAM AS LOCOMOTIVAS E NÃO OS VAGÕES.” PALAVRAS DO VÉIO SÁBIO
