MEDIDAS DE LONGITUD. OPERACIONES.
UNIDADES DE LONGITUD Cuando tenemos que medir una longitud, por ejemplo, el largo de una lapicera utilizamos otra longitud previamente conocida para compararlas. De esta forma, podemos saber cuál es la longitud de la lapicera mencionada anteriormente, si utilizamos una regla. La regla esta graduada en centímetros (cm) y el centímetro es una unidad de medida conocida, por lo tanto podemos ir comparando y ver cuantos centímetros caben en la longitud de la lapicera, conociendo de esta manera el largo de la misma en centímetros.
La unidad de longitud que veremos será el metro (m), aunque no es la única unidad que existe. Si investigamos, encontraremos otras unidades como las utilizadas en el Sistema Métrico Inglés, la yarda.
A continuación, se muestran algunas de las unidades del SI (Sistema Internacional de Unidades).
Kilómetro
Hectómetro
Decámetro
Km
Hm
Dam
Metro m
Decíme Dec ímetro tro
Centím Cen tímetr etro o
Milímetro
dm
cm
mm
Se toma como unidad unidad de de partida al al metro. metro. Colocamos esta unidad unidad en en el centro el centro del del cuadro. cuadro.
Hacia la izquierda encontraremos a los múltiplos de la unidad Metro.
Hacia la derecha encontraremos a los submúltiplos de la unidad Metro.
Equivalencias Km
1 Km equivale a 1000 metros
Hm
1 Hm equivale a 100 metros
Dam
1 Dam equivale a 10 metros
Metro dm
1 dm equivale a la décima parte décima parte de 1 metro
cm
1 cm equivale a la centésima parte centésima parte de 1 metro
mm
1 mm equivale a la milésima parte milésima parte de 1 metro
¿CÓMO CONVERTIMOS DE UNA UNIDAD A OTRA? Para pasar de una unidad a otra, podemos ayudarnos haciendo uso del cuadro anterior. De esta forma corremos la coma tantos lugares como casilleros (dentro del cuadro) necesitemos desplazarnos.
Si dentro del cuadro nos desplazamos hacia la derecha, entonces corremos la coma hacia la derecha. Si dentro del cuadro nos desplazamos hacia la izquierda, entonces corremos la coma hacia la izquierda.
Ejemplo: si tenemos que pasar de hectómetro a decímetro, lo primero que haremos será dibujar el cuadro y luego desde la posición de los hectómetros nos corremos tantos lugares a la derecha como sean necesarios hasta llegar a la posición de los decímetros. Como nos desplazamos 3 lugares a la derecha, entonces deberemos correr la coma a la derecha 3 lugares.
Kilómetro Hectómetro Decáme Decámetro tro Metro Metro
Decímetro Centímetro
Milímetro
EJEMPLO 1: convertir 3,21 Km a Dam.
Km
Hm
Dam
m
dm
cm
mm
Como dentro del cuadro nos desplazamos dos casilleros a la derecha, entonces debemos correr la coma a la derecha dos lugares.
3,21 Km
3,21
321, 321,
321 Dam
Recordemos quela coma a la derecha de un número no es necesario escribirla.
Como resultado obtuvimos 321 Dam.
Nota: Veamos que si corremos la coma a la derecha un lugar esto es equivalente a
multiplicar por 10. Si corremos la coma a la derecha dos lugares es equivalente a multiplicar por 100. De la misma forma si corremos la coma a la derecha tres lugares es lo mismo que multiplicar por 1000 y así sucesivamente. Es decir, que multiplicaremos por la unidad seguida de tantos ceros como lugares a la derecha nos desplacemos en el cuadro.
EJEMPLO 2: convertir de 0,1 m a mm.
Km
Hm
Dam
m
dm
cm
mm
Como dentro del cuadro nos desplazamos tres casilleros a la derecha, entonces debemos correr la coma a la derecha tres lugares.
0,1 m
0,1 0 0
100,
100 mm
Recordemos quela coma a la derecha de un número no es necesario escribirla.
Como resultado obtuvimos 100 mm.
EJEMPLO 3: Convertir 353 cm a Dam.
Km
Hm
Dam
m
dm
cm
mm
Como debemos pasar de cm a m, en el cuadro nos desplazamos dos casilleros a la izquierda, de la misma manera debemos correr la coma a la izquierda tres lugares en el número (353).
353 cm
3 5 3,
3,53
3,53 m
Como resultado obtuvimos 3,53 m.
Nota: Veamos que si corremos la coma a la izquierda un lugar esto es equivalente a
dividir por 10. Si corremos la coma a la izquierda dos lugares es equivalente a dividir por 100. De la misma forma si corremos la coma a la izquierda dos lugares es lo mismo que dividir por 1000 y así sucesivamente. Es decir, que dividiremos por la unidad seguida de tantos ceros como lugares a la izquierda nos desplacemos en el cuadro.
EJEMPLO 4: convertir 25 mm a Dam.
Km
Hm
Dam
dm
m
cm
mm
Como dentro del cuadro nos desplazamos cuatro casilleros a la izquierda, entonces debemos correr la coma a la izquierda cuatro lugares.
25 mm
0, 0 0 2 5,
0,0025
0,0025 Dam
Corremos la coma a la izquierda cuatro lugares completando con tantos ceros como sean necesarios. Inicialmente la coma se encuentra a la derecha del 5.
Por último, veamos la siguiente tabla a modo de resumen. En la tabla, se tiene como longitud inicial a 1 m y se completaron los casilleros restantes, teniendo en cuenta que si nos desplazamos hacia la derecha debemos multiplicar por la unidad seguida de ceros (con tantos ceros como lugares nos hemos corrido). Por otro lado, si nos movemos hacia la izquierda, debemos dividir por la unidad seguida de ceros (con tantos ceros como lugares nos hemos corrido).
Km 0,001
Hm 0,01
Dam 0,1
m 1
dm 10
cm 100
mm 1000
EJERCICIO 1
Sumar las siguientes longitudes y expresar el resultado en metros (m).
2,3 m
458 mm 78 cm 0,28 Dam 0,001 Hm
47,3 dm 0,0003 Km
Lo primero que haremos será llevar todos los valores a una misma unidad. Como en este caso se pide expresar el resultado en metros, entonces antes de sumar convertiremos a metros (m) todas las longitudes.
Convertimos a metros
2,3 m
No es necesario convertir esta longitud, porque ya se encuentra expresada en metros.
458 mm
0,458 m
78 cm
0,78 m
47,3 dm
4,73 m
0,28 Dam
2,8 m
0,001 Hm
0,1 m
0,0003 Km
0,3 m
Corremos la coma a la izquierda 3 lugares. Corremos la coma a la izquierda 2 lugares. Corremos la coma a la izquierda 1 lugar. Corremos la coma a la derecha 1 lugar. Corremos la coma a la derecha 2 lugares. Corremos la coma a la derecha 3 lugares.
Por último sumamos todos los valores:
2,3 m + 0,48 m + 0,78 m + 4,73 m + 2,8 m + 0,1 m+ 0,3 m = 11,49 m
Como resultado de la suma obtuvimos 11,49 m.
EJERCICIO 2
Completar la siguiente tabla con los valores que faltan.
Km
Hm
Dam
m
dm
cm
0,32 7,4 125 1,58
mm
MEDIDAS DE TIEMPO. OPERACIONES. Para medir al tiempo comúnmente hacemos uso de los segundos, minutos y horas cuando hablamos de períodos relativamente cortos. En otras ocasiones cuando tenemos que hacer referencia a extensiones de tiempo más grandes, entonces utilizamos los días, las semanas, los meses y los años para medirlo. Veamos ahora algunas de las equivalencias.
60 segundos equivalen a 1 minuto. 60 minutos equivalen a 1 hora. 24 horas equivalen a 1 día.
Este sistema de medida se lo llama sistema sexagesimal , porque cada uno de los enteros (1 hora y 1 minuto) están divididos en 60 partes iguales.
Un año consta de 365 días y se divide a su vez en 11 meses de 30 o 31 días y en un mes de 28 días. Cada cuatro años, el año se constituye de 366 días y a ese año lo llama bisiesto.
12 meses equivalen a un año. 7 días equivalen a una semana.
CONVERSION DE UNIDADES Muchas veces al trabajar cantidades expresadas en horas, minutos y segundos hace falta convertir de una unidad a otra. Para realizar la conversión de unidades podemos utilizar la regla de tres simple directa.
Ejemplo 1: ¿A cuantos minutos equivalen 300 segundos?
Haciendo uso de las equivalencias vistas anteriormente, podemos plantear la siguiente regla de tres.
60 segundos 300 segundos
1 minuto X = (300 segundos x 1 minuto)/60 segundos
X = 5 minutos Respuesta: 300 segundos equivalen a 5 minutos.
Ejemplo 2: ¿A cuántas horas equivalen 120 minutos?
Planteamos una regla de tres. 60 minutos 120 minutos
1 hora X = (120 minutos x 1 hora)/60 minutos
X = 2 horas Respuesta: 120 minutos equivalen a 2 horas.
Ejemplo 3: ¿A cuántas horas equivalen 25200 segundos? Planteamos una vez más una regla de tres, sabiendo que: 60 segundos es 1 minuto y que 60 minutos es una hora, entonces: 60 segundos 25200 segundos
1 minuto X = (25200 segundos x 1 minuto)/60 segundos
X = 420 minutos
60 minutos 420 minutos
1 hora X = (420 minutos x 1hora)/60 minutos
X = 7 horas
Respuesta: 25200 segundos equivalen a 7 horas.
Resumiendo: si tenemos una cantidad expresada en segundos y la dividimos por 60,
obtendremos como resultado la misma cantidad expresada en minutos. De forma similar si tenemos una cantidad expresada en minutos y la dividimos por 60, obtendremos como resultado la misma cantidad expresada en horas.
OPERACIONES CON LAS UNIDADES DE TIEMPO. SUMA Y RESTA Al sumar o restar cantidades de tiempo expresadas en horas (h), minutos (min) y segundos (s) debemos comenzar a sumar de derecha a izquierda, respetando las unidades. Es decir, sumaremos o restaremos primero los segundos con los segundos, luego los minutos con los minutos y por último sumamos o restamos las horas con las horas. Veamos un ejemplo: 2 horas 15 minutos + 5 horas 20 min
Para realizar la esta suma ubicamos una cantidad debajo de la otra.
2 h 15 min + 5 h 20 min 7 hs 35 min
Al sumar estas dos cantidades respetamos las unidades y sumamos los minutos con los minutos, luego las horas con las horas.
En el caso que la suma de los minutos de mayor a 60, se resta 60 a esa cantidad y luego se añade 1 al total de horas. Lo mismo ocurre con los segundos y los minutos. Si la suma de los segundos es mayor a 60, entonces se resta 60 a esa cantidad y luego se agrega 1 a los minutos. Veamos un ejemplo más: 4 h 45 min 15 s + 1 h 20 min 55 s
4 h 45 min 15 s + 1 h 20 min 55 s 5 h 65 min 70 s +1 60 s 5 h 66 min 10 s + 1 60 min 6 h 6 min 10 s
Como podemos ver los segundos tienen un valor mayor a 60, por lo tanto restaremos 60 y añadimos 1 a los minutos.
Los minutos tienen un valor mayor a 60, por lo tanto restaremos 60 y añadimos 1 a las horas.
Respuesta: el resultado de la suma es 6 h
6 min 10 s.
En el caso de la resta, cuando el minuendo es menor que el sustraendo, se suman 60 y se le resta 1 a la unidad contigua. 14
60
3 h 15 min 15 s ‐ 1 h 20 min 55 s 20 s
Al querer restar los segundos, podemos ver que el minuendo (15 s) es menor que el sustraendo (55 s). Por este motivo a los minutos les restamos 1 y a los segundos les sumamos 60. Luego restamos, obteniendo como resultado 20 s.
En el paso siguiente continuamos restando los minutos. 60 2
14
60
3 h 15 min 15 s ‐ 1 h 20 min 55 s 54 min 20 s
Al querer restar los minutos, podemos ver que el minuendo (14 min) es menor que el sustraendo (20 min). Por este motivo a las horas les restamos 1 y a los minutos les sumamos 60. Luego restamos, obteniendo como resultado 54 min.
Por último restamos las horas.
60 2
14
60
3 h 15 min 15 s ‐ 1 h 20 min 55 s 1 h 54 min 20 s
Respuesta: el resultado de la resta es 1 h 54 min 20 s.
MULTIPLICACIÓN Para multiplicar, trabajamos como si se tratara de una multiplicación de números enteros. Multiplicamos de derecha a izquierda respetando cada una de las unidades. Por último, si en el resultado final, al multiplicar los segundos obtuvimos un valor superior a 60, entonces a ese valor le restamos 60 y a los minutos le añadimos 1 (al igual que en la suma). Luego, si con el valor de los minutos sucede lo mismo (si este valor es mayor a 60), procedemos de la misma forma. Veamos algunos ejemplos:
2 h 35 min 54 s x 3
2 h 35 min 54 seg x3 6 h 105 min 162 seg +1 min ‐60 seg 6 h 106 min 102 seg +1 min ‐60 seg 6 h 107 min 42 seg +1 h ‐60 min 7 h 47 min 42 seg
Como podemos ver, luego de la multiplicación, tanto los segundos como los minutos no pueden ser mayores a 60. Es por este motivo que ajustamos el resultado restando 60 seg y sumando 1 min por cada 60 seg que restamos. Debido a que el valor de los minutos supera 60, entonces debemos restar 60 min y sumar 1 h.
Respuesta: 2 h 35 min 54 seg x 3 = 7 h 47 min 42 seg
Veamos otro ejercicio: 4 h 15 min x 4 = 21 h
DIVISIÓN Para dividir, trabajamos como si se tratara de una división de números enteros. Dividimos de izquierda a derecha respetando cada una de las unidades. 4 hs 12 min. 42 s: 2 4 hs 2 0 2 hs 12 min. 0
2 6 min. 42 s. 2 02 21 s. 0
Respuesta: 2 hs. 6 min. 21 s.
UNIDADES DE CAPACIDAD Y MASA.
UNIDADES DE MASA
La unidad principal que utilizamos para medir el peso de los objetos es el gramo (g). Si debemos pesar objetos muy livianos, entonces utilizamos submúltiplos del gramo (como por ejemplo, el decigramo (dg), el centigramo (cg) y el miligramo (mg)). Por el contrario si debemos pesar objetos muy pesados, entonces utilizamos múltiplos del gramo (como por ejemplo, el decagramo (dag), el hectogramo (hg) y el kilogramo (kg)). En otros casos, cuando hacemos referencia a cosas muy pesadas, utilizamos la tonelada (t). Una tonelada equivale a mil kilogramos (1 t = 1000 kg).
Kilogramo kg 0,001
Hectogramo hg 0,01 múltiplos
Decagramo dag 0,1
Gramo g 1
Decigramo dg 10
Centigramo cg 100 submúltiplos
Miligramo mg 1000
En la tabla de arriba, se muestran las equivalencias para 1 gramo. Hacia la derecha encontramos los submúltiplos de este. Como podemos ver, al desplazarnos a la derecha en la tabla, vamos multiplicando por 10 por cada uno de los casilleros que nos corremos. Por otro lado, hacia la izquierda de 1 gramo, encontramos a los múltiplos de éste. Al desplazarnos hacia la izquierda, dividimos por 10 tantas veces como casilleros nos hemos movido.
A partir de esta tabla podemos ver fácilmente las siguientes equivalencias:
1 decigramo es igual a la decima parte de 1 gramo 1 centigramo es igual a la centésima parte de 1 gramo 1 miligramo es igual a la milésima parte de 1 gramo
10 dg = 1g 100 cg = 1 g 1000 mg = 1 g
10 gramos equivalen a 1 decagramo 100 gramos equivalen a 1 hectogramo 1000 gramos equivalen a 1 kilogramo
10 g = 1 dag 100 g = 1 hg 1000 g = 1 kg
CONVERSIÓN DE UNIDADES Para convertir de una unidad a otra, por ejemplo de gramos (g) a miligramos (mg), podemos utilizar la tabla que vimos anteriormente, teniendo en cuenta que si nos desplazamos hacia la derecha en la tabla, debemos multiplicar por 10 por cada casillero que nos movemos. En el caso contrario, si nos desplazamos hacia la izquierda debemos dividir por 10 por cada uno de los casilleros que nos hemos movido.
EJEMPLO 1: convertir 15 gramos a centigramos. kg
hg
dag
dg
g
cg
15
mg
1500
x10
x10
Para convertir 15 g a cg tuvimos que desplazarnos dos lugares a la derecha, por lo tanto debemos multiplicar dos veces por 10, o lo que es lo mismo, corremos la coma dos lugares a la derecha obteniendo como resultado:
15 g
15 x 10
150 x 10
1500 cg
Respuesta: 15 g equivalen a 1500 cg.
EJEMPLO 2: convertir 230 decigramos (dg) a hectogramos (hg).
kg
hg
dag
dg 230
g
0,23
÷10
÷10
cg
mg
÷10
Para convertir 230 dg tuvimos que desplazarnos tres lugares a la izquierda, por lo tanto debemos dividir tres veces por 10, o lo que es lo mismo, corremos la coma tres lugares a la izquierda.
230 dg
230÷10
23÷10
2,3÷10
0,23 hg
Respuesta: 230 dg equivalen a 0,23 hg. Nota: Tengamos en cuenta que estas conversiones también las podemos realizar, si aplicamos regla de tres simple directa. Por ejemplo, convertiremos 230 dg a hg. Sabiendo que 1000 dg equivalen a 1 hg, planteamos: 1000 dg 230 dg
1 hg X
X = (230 dg . 1 hg):1000 dg X = 0,23 hg
Respuesta: 230 dg equivalen a 0,23 hg.
¿COMO HACEMOS PARA COMPARAR CANTIDADES DE DISTINTO PESO? Para comparar cantidades de distinto peso, lo que debemos hacer es llevar a una misma unidad los distintos valores para que luego se puedan comparar correctamente. A continuación vemos un ejemplo.
Ordenar los siguientes pesos de mayor a menor. 0,2 kg
300 g 2,1 hg 125 dg
Expresamos las cantidades en gramos (g).
Cantidad en gramos 0,2 kg
200 g
300 g
300 g
2,1 hg
210 g
125 dg
12,5 g
Multiplicamos 3 veces por 10 (corremos la coma a la derecha 3 lugares). L a cantidad ya se encuentra expresada en gramos, no hace falta realizar la conversión. Multiplicamos 2 veces por 10 (corremos la coma 2 lugares a la derecha). Dividimos por 10 (corremos la coma hacia la izquierda 1 lugar).
Una vez que tenemos expresadas en gramos todas las cantidades, entonces ahora si podemos comprarlas y ordenarlas de mayor a menor.
300 g > 210 g > 200 g > 12,5 g
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIO 1 Se colocan las siguientes pesas en una balanza. ¿Qué cantidad indicará la aguja?
500 g
750 g
230 cg 1,2 kg
Lo primero que haremos, en este caso, será llevar todas las cantidades a kilogramos (kg).
750 g = 0,75 kg 500 g = 0,5 kg 230 cg = 0,0023 kg 1,2 kg Por último, sabemos que al colocar estas pesas en la balanza, debemos sumar las cantidades.
0,75 kg + 0,5 kg + 0,0023 kg + 1,2 kg = 2,4523 kg
EJERCICIO 2
Completar las cantidades para llegar al peso deseado. 1,2 kg + ……… = 2 kg 325 g + ………. = 1425 g 450 g + …………= 2,3 kg 1,8 kg + ……………= 2300 g
UNIDADES DE CAPACIDAD
Para medir las capacidades, la unidad que utilizamos frecuentemente es el litro (l). Cuando medimos capacidades pequeñas utilizamos los submúltiplos del litro (por ejemplo, el decilitro (dl), el centilitro (cl) y el mililitro (ml)). Por otro lado, si debemos medir capacidades grandes utilizamos los múltiplos del litro (por ejemplo, el decalitro (dal), el hectolitro (hl) y el kilolitro (kl)).
Kilolitro kl 0,001
Hectolitro hl 0,01 múltiplos
Decalitro dal 0,1
Litro l 1
Decilitro dl 10
Centilitro cl 100 submúltiplos
Mililitro ml 1000
En la tabla de arriba, se muestran las equivalencias para 1 litro. Hacia la derecha encontramos los submúltiplos de este. Como podemos ver, al desplazarnos a la derecha en la tabla, vamos multiplicando por 10 por cada uno de los casilleros que nos corremos. Por otro lado, hacia la izquierda de 1 litro, encontramos a los múltiplos de éste. Al desplazarnos hacia la izquierda, dividimos por 10 tantas veces como casilleros nos hemos movido.
¡Observación! La tabla que vimos recientemente es prácticamente igual a la tabla que utilizamos para unidades de masa. Por lo tanto, los pasos para la conversión de unidades serán los mismos.
Equivalencias que se deducen para la tabla anterior:
1 decilitro es igual a la decima parte de 1 litro 1 centilitros es igual a la centésima parte de 1 litro 1 mililitro es igual a la milésima parte de 1 litro
10 litros equivalen a 1 decalitro 100 litros equivalen a 1 hectolitro 1000 litro equivalen a 1 kilolitro
10 dl = 1 l 100 cl = 1 l 1000 ml = 1 l
10 l = 1 dal 100 l = 1 hl 1000 l = 1 kl
CONVERSIÓN DE UNIDADES Para convertir de una unidad a otra (el procedimiento es el mismo que para las unidades de masa), por ejemplo, si deseamos convertir de litros (l) a mililitros (ml), podemos utilizar la tabla que vimos anteriormente, teniendo en cuenta que si nos desplazamos hacia la derecha en la tabla, debemos multiplicar por 10 por cada casillero que nos movemos. En el caso contrario, si nos desplazamos hacia la izquierda debemos dividir por 10 por cada uno de los casilleros que nos hemos movido.
EJEMPLO 1: convertir 2,3 decalitros a decilitros.
kl
hl
l
dal
cl
dl
2,3
ml
230
x10
x10
Como nos desplazamos dos casilleros a la derecha, entonces debemos multiplicar dos veces por 10.
2,3 dal
2,3 x10
23 x10
230 dl
Respuesta: 2,3 dal equivalen a 230 dl.
EJEMPLO 2: convertir 543 decilitros a kilolitros.
hl
kl
dal
l
cl
dl
0,0054
ml
54
÷10
÷10
÷10
÷10
Como debemos desplazarnos 4 lugares a la izquierda (para pasar de decilitros a kilolitros), entonces dividimos 4 veces por 10.
54 dl
54 ÷10
5,4 ÷10
0,54 ÷10
0,054 ÷10
Respuesta: 54 dl equivalen a 0,0054 kl.
EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIO 1
0,0054 kl
Cuántos vasos de 250 ml se pueden llenar con jugo de naranja, si tenemos una jarra de 1 litro.
Lo primero que haremos, será llevar todas las cantidades a mililitros. Convertimos, entonces, la capacidad de la jarra (la cual se encuentra en litros) a mililitros.
kl
hl
dal
dl
l 1
x10
cl
x10
ml 1000
x10
Por último, dividimos la capacidad de la jarra por la capacidad que tiene cada vaso. De esta forma, podremos saber, cuantos vasos llenamos con 1 litro de jugo.
Una vez que tenemos, la capacidad de la jarra y de los vasos, en las mismas unidades podemos entonces realizar la división.
1000:250 = 4
Respuesta: Con una jarra de 1 litro, podemos llenar 4 vasos de 250 ml.
EJERCICIO 2
Se tiene una jarra de 1,5 litros ¿Cuántos vasos de 200 ml se pueden llenar completamente?
Si convertimos los 1,5 litros (utilizando una tabla como en el ejercicio anterior) a mililitros, obtenemos:
1,5 l
1,5 x10
15 x10
150 x10
1500 ml
Luego dividimos la capacidad de la jarra (1500 ml), por la capacidad de cada vaso (200 ml).
1500:200 = 7
Como podemos ver, al realizar la división vemos que podemos llenar 7 vasos completamente y sobran 100 ml.
Respuesta: se pueden llenar completamente 7 vasos.
EJERCICIO 3 Ordenar las siguientes cantidades de menor a mayor.
2,3 dal
0,15 l
23 dl
450 ml
0,038 hl
Lo primero que haremos, para poder comparar las cantidades, será llevar todo a una misma unidad de medida. Convertimos a mililitros (podemos utilizar la tabla para las conversiones o aplicar regla de tres simple).
2,3 dal = 23000 ml 0,15 l = 150 ml 23 dl = 2300 ml 450 ml = 450 ml 0,038 hl = 3800 ml Ahora simplemente ordenamos de menor a mayor las distintas cantidades.
150 ml < 450 ml < 2300 ml < 3800 ml < 23000 ml
PERÍMETRO Y ÁREA.
PERÍMETRO El perímetro de una figura, es igual a la suma de la longitud de cada uno de sus lados. Si los lados están expresados en distintas unidades de longitud, entonces primero debemos llevar todas las cantidades a una misma unidad de longitud y luego sumar.
EJEMPLO 1 Calcular el perímetro de las siguientes figuras:
a)
Si tomamos como unidad de medida el lado de un cuadrado ( ), podremos calcular cuánto miden cada uno de los lados de la figura y así calcular el perímetro.
Si comenzamos a recorrer la figura, en el sentido de las agujas del reloj comenzando desde la posición del punto rojo ( ), veremos que en el primer tramo podemos contar 7 (unidades de longitud), luego en el segundo tramo contaremos 2 (unidades de longitud) y así podemos continuar hasta recorrer toda la figura y obtener de esta forma el valor del perímetro.
Perímetro = 7 + 2 + 4 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 2 + 4 + 2 + 2 + 2 + 4 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 Perímetro = 50 unidades de longitud
Respuesta: el perímetro es igual a 50 unidades de longitud.
b) Trabajamos de la misma forma que en el ejercicio anterior.
Si comenzamos a recorrer la figura, en el sentido de las agujas del reloj comenzando desde la posición del punto rojo ( ), veremos que en el primer tramo podemos contar 12 (unidades de longitud), luego en el segundo tramo contaremos 3 (unidades de longitud) y así podemos continuar hasta recorrer toda la figura y obtener de esta forma el valor del perímetro.
Perímetro = 12 + 3 + 2 + 7+ 3 + 2
Perímetro = 29 unidades de longitud
Respuesta: el perímetro es igual a 29 unidades de longitud.
c)
Perímetro = 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 6 + 2 + 4 + 6 + 2 + 3 + 2 + 5 + 3 + 1 + 2 Perímetro = 55 unidades de longitud
Respuesta: el perímetro es igual a 55 unidades de longitud.
Veamos otros ejemplos:
EJEMPLO 2 Calcular el perímetro de la siguiente figura.
5 cm 15mm
15mm 0,2 dm
Lo primero que haremos, será llevar las longitudes de los lados a una misma unidad de longitud y luego calcularemos el perímetro.
Para este ejemplo, convertiremos todas las cantidades a milímetros (mm). Sumando las longitudes (en milímetros) de cada uno de los lados, obtenemos el perímetro:
5 cm = 50 mm 15 mm = 15 mm 0,2 dm = 20 mm
Perímetro = 50 mm + 15 mm + 20 mm + 15 mm = 100 mm
Respuesta: el perímetro es igual a 100 mm.
EJEMPLO 3 Calcular el perímetro de la siguiente figura. Expresar el perímetro en metros (m).
38 mm
25 mm
0,06 m
En este ejemplo, convertiremos los lados que se encuentran expresados en milímetros a metros, ya que se pide expresar el perímetro en esta unidad de longitud.
38 mm = 0,038 m 25 mm = 0,025 m
Para convertir de milímetros a metros, debemos dividir tres veces por 10. Recordemos, que también podemos utilizar regla de tres simple para realizar las conversiones.
Por último, sumamos para obtener el valor del perímetro.
Perímetro = 0,038 m + 0,025 m + 0,06 m = 0,123 m
Respuesta: el perímetro es igual a 0,123 m.
SUPERFICIE En una figura plana, la superficie se puede calcular comparado esta superficie con otra conocida que se toma como unidad de medida. El valor del área de la figura depende de la unidad elegida. La unidad que se utiliza con frecuencia para medir superficies, es el metro cuadrado (m2). Un cuadrado que tiene sus lados iguales a 1 metro, tiene por superficie 1 m2.
La superficie es igual a 1 m x 1 m = 1 m2. 1m
1m
EJEMPLO 1 Calcular la área de las siguientes figuras, tomando como unidad de medida de superficie un
En principio, lo que debemos hacer es dividir cada una de las figuras en como indica el enunciado.
.
(unidad de medida),
Por último, solo resta contar cuantos
entran en cada figura obteniendo así el valor del área.
Contamos 8 cuadraditos ( ), por lo tanto el área de la figura equivale a 8
Contamos 7 cuadraditos ( ), por lo tanto el área de la figura equivale a 7
Contamos 24 cuadraditos ( ), por lo tanto el área de la figura equivale a 24
unidades de superficie.
unidades de superficie.
unidades de superficie.
EJEMPLO 2 Calcular el área de la siguiente figura, tomando como unidad de medida
.
Dividimos la figura en (unidad de medida .
Contamos la cantidad de (unidad de medida), que caben dentro de la figura.
Partimos de la siguiente figura
Contamos 8 . Por lo tanto, el área es igual a 8 unidades de superficie.
¿CÓMO CONVERTIR DE UNA UNIDAD DE SUPERFICIE A OTRA? Para convertir de una unidad de superficie a otra, podemos utilizar la siguiente tabla en donde se muestran las equivalencias para 1 metro al cuadrado (1 m2). Al trabajar con unidades de superficie, por ejemplo, si se quiere convertir una cantidad de m2 a cm2, se debe multiplicar por 100 tantas veces como lugares a la derecha tengamos que desplazarnos (en este caso debemos desplazarnos dos lugares, entonces multiplicamos por 100 dos veces). Por el contrario, si queremos convertir a Km2 una cantidad expresada en Hm2, lo que debemos hacer es dividir por 100 tantas veces como lugares a la izquierda tengamos que desplazarnos.
x100
x100
x100
x100
x100
x100
Kilómetros
Hectómetros
Decámetros
Metros
Decímetros
Centímetros
Milímetros
cuadrados
cuadrados
cuadrados
cuadrados
cuadrados
cuadrados
cuadrados
2
2
Km 0,000001
Hm 0,0001
÷100
2
2
Dam 0,01
÷100
2
m 1
÷100
2
dm 100
÷100
cm 10000
÷100
mm2 1000000
÷100
EJEMPLO
Convertir 2,45 Hm2 a dm2.
Para pasar de Hm2 a dm2 debemos desplazarnos tres lugares a la derecha, por lo tanto multiplicamos tres veces por 100.
2,45 Hm2 2,45 x100 245 x100 24500 x100 2450000 dm2 2
2
Respuesta: 2,45 Hm equivalen a 2450000 dm .
Convertir 0,78 m2 a Hm2.
Para pasar de m2 a Hm2 debemos desplazarnos dos lugares a la izquierda, por lo tanto tenemos que dividir dos veces por 100.
0,78 m2 0,78 ÷100 0,0078 ÷100 0,000078 Hm2
2
2
Respuesta: 0,78 m equivalen a 0,000078 Hm .
SUPERFICIE DE ALGUNAS FIGURAS PLANAS
h
h b
b
.
L L
.
D1
h
B1
D1
D2
h
D2
B2
b
.
.
.
. .
EJEMPLO 1 La figura que vemos aquí es un rombo y tenemos como dato sus dos diagonales. Aplicando la fórmula, que vemos en la tabla de arriba:
Calcular el área de los siguientes polígonos.
m c 6 1
7 cm
Área=
.
=
.
= 56 cm2
Respuesta: el área del rombo es igual a 56 cm2.
B1 = 10 dm
5 dm
B2 = 2 x B1
Esta figura es un trapecio y tenemos como dato su altura, su base menor y la base mayor la podemos calcular. Sabemos que B2 es el doble que B1. Aplicando la fórmula, que vemos en la tabla de arriba: Área=
.
=
.
= 75 dm2 2
Respuesta: el área del trapecio es igual a 75 dm .
¡Curiosidad! ¿Sabías que el área de un triángulo se puede deducir a partir del área de un rectángulo?
Área = B.H
Trazamos una de las diagonales, dividiendo el área total del rectángulo en dos superficies iguales. Luego, si nos quedamos con una de estas dos superficies, lo que obtenemos es el área de un triángulo.
Área =
.
¡Atención! Al calcular el área de una figura, debemos asegurarnos que todas las medidas se encuentren en las mismas unidades. Es decir, si por ejemplo en el trapecio del ejercicio anterior, una de sus bases se encontrara expresada en cm y su altura en dm, entonces antes de calcular el área deberíamos llevar todas estas medidas a la misma unidad de longitud.
EJEMPLO 2 Figura de análisis. Calcular el área de la parte sombreada.
8 cm
4 cm
4 cm
Calcular el área sombreada puede resultar muy sencillo, si tenemos en cuenta lo siguiente:
La figura se puede descomponer en dos figuras más sencillas, un triángulo (con borde en color rojo) y un rectángulo (con borde en color negro). Calcularemos el área de cada una por separado y luego restaremos las áreas, obteniendo así la superficie de la zona sombreada. La altura del triángulo y del rectángulo son la misma.
Calculamos la superficie de cada figura:
Área =
Área = B.H
Área rectángulo = (8 cm).(4 cm)
Área triángulo =
Área rectángulo = 32 cm2
.
.
Área triángulo = 8 cm2
El último paso, consiste en restar ambas cantidades para obtener el área de la superficie sombreada.
Área sombreada = Área rectángulo ‐ Área triángulo Área sombreada = 32 cm2 ‐ 8 cm2 Área sombreada = 24 cm2
2
Respuesta: el área de la superficie sombreada es 24 cm .
