Intención del curso Se trata de un curso terminal del área de ciencias naturales que requiere de la aplicación de conceptos matemáticos de los cursos anteriores, también de las habilidades desarrolladas al realizar proyectos de investigación y en especial, de su capacidad de aplicar ideas, ecuaciones, teorías y leyes en diversas situaciones. Las materias que le anteceden son las de Energía y Movimiento, Cálculo Diferencial y Trigonometría que están estrechamente vinculadas a los temas que se tratan. El curso pretende que los estudiantes relacionen sus conocimientos con algunas situaciones físicas inmersas en diversas aplicaciones científicas o tecnológicas, considerando los aspectos de desarrollo sustentable y éticos.
Objetivo general de la materia: Desarrollar en el alumno la capacidad de resolver problemas que incluyan los movimientos lineal y rotatorio, mecánica de fluidos, óptica o astrofísica, e identificar su aplicación en los desarrollos científicos y tecnológicos de nuestro tiempo, además considerará los aspectos de desarrollo sustentable y éticos.
2 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
CONTENIDO
CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL........................................................................................... 5 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO....................................................................................... 5 LEY DE LA CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.......................................... 8 CHOQUES ELÁSTICOS E INELÁSTICOS........................................................................................... 11 CHOQUES TANGENCIALES.............................................................................................................. 15
MOVIMIENTO CIRCULAR Y LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL............................................ 17 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME............................................................................................ 17 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO...................................................... 20 ACELERACIÓN CENTRÍPETA............................................................................................................ 25 FUERZA CENTRÍPETA........................................................................................................................... 29 LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL........................................................................................... 32 ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL....................................................................................... 37 LEYES DE KEPLER ................................................................................................................................. 39
DINÁMICA ROTACIONAL..................................................................................................................... 43 TORQUE ................................................................................................................................................. 43 CONDICIONES DE EQUILIBRIO........................................................................................................ 45 CENTRO DE GRAVEDAD .................................................................................................................. 48 RELACIÓN ENTRE EL TORQUE Y LA ACELERACIÓN ANGULAR.............................................. 51 MOMENTO DE INERCIA DE OBJETOS EXTENDIDOS............................................................... 53 ENERGÍA CINÉTICA ROTACIONAL................................................................................................. 62 CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR...................................................................................... 64 CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR.................................... 65
MECÁNICA DE FLUÍDOS........................................................................................................................ 68 DENSIDAD Y PRESIÓN........................................................................................................................ 68 PRESIÓN HIDROESTÁTICA................................................................................................................. 71
3 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
PRINCIPIO DE PASCAL ...................................................................................................................... 75 PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES............................................................................................................ 77 FLUJO DE UN FLUIDO ......................................................................................................................... 82 ECUACIÓN DE BERNOULLI............................................................................................................... 86
4 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL La energía y el trabajo son cantidades escalares que no informan absolutamente nada respecto a la dirección. La ley de la conservación de la energía describe tan sólo la relación entre los estados iniciales y finales; no dice nada acerca de cómo están distribuidas las energías. Por ejemplo, cuando chocan dos objetos, podemos decir que la energía total antes de la colisión debe ser la misma después de ésta, si no tomamos en cuenta la fricción y otras pérdidas por calor. Sin embargo, es necesario un nuevo concepto si se quiere determinar cómo se reparte la energía entre los objetos, e incluso las direcciones de los objetos después del impacto. Los conceptos de impulso y momento, añaden una descripción vectorial al estudio de energía y movimiento.
IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Δ Δ
Cuando se golpea un cuerpo, una fuerza actúa sobre el cuerpo durante un intervalo de tiempo muy corto, esta fuerza hace que el cuerpo se acelere desde el reposo hasta una velocidad final . Se vuelve complicado
Δ
calcular la fuerza debido a la duración de la acción; pero el producto de la fuerza y el tiempo puede calcularse en función del cambio de velocidad resultante. A partir de la segunda ley de Newton, se sabe que:
O bien,
Esta ecuación es útil para resolver problemas relacionados con choques.
Δ
El impulso es una cantidad vectorial de igual magnitud que el producto de la fuerza por el intervalo de tiempo en el que actúa. Su dirección es la misma que la de la fuerza.
La cantidad de movimiento de una partícula es una cantidad vectorial de igual magnitud que el producto de su masa por su velocidad . Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
5
∙ / ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ / 3 01.042/ 0 / Δ 3 0.0214 210
La unidad del SI del impulso es el . La unidad de la cantidad de movimiento es . Resulta conveniente demostrar que estas unidades son las mismas.
Ejemplo 1.1.1
Un mazo de se mueve a una velocidad de golpear un perno de acero. Se detiene a los media sobre el perno. Solución:
Debido a que se detiene
en el momento de . Determine la fuerza
, se tiene:
Ejemplo 1.1.2
Una pelota de béisbol de se mueve hacia el bateador con una velocidad de y es golpeada con un bate, el cual hace que se mueva en dirección contraria con una velocidad de . Determine el impulso y la fuerza media ejercida sobre la pelota si el bate está en contacto con la pelota durante . Solución:
300.0 8 0.2
50
Considere la dirección de la velocidad final como positiva, se tiene:
0.2 [50 30 ] 0.2106.080∙ 20160∙ 0.0 8
La fuerza media se obtiene sustituyendo
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6
Ejemplo 1.1.3
120 150
¿Con qué rapidez viaja un automóvil de de movimiento lineal que una camioneta de Solución:
90 /ℎ
si tiene la misma cantidad que viaja a ?
Debido a que las cantidades de movimiento son las mismas se tiene que
150 12090 ℎ 1 2.5 ℎ 2 ,0 0 13.6 10.5
Ejemplo 1.1.4
Determine la fuerza media necesaria para cambiar la velocidad de un autobús de de cero a en . Solución:
(Δ) 2 0 0 10(1.53.6 0) 28 495.2381 15 1 5 0 120 ( ) 0.015 120 150 4.05 ∙
Ejemplo 1.1.5
Una bala de Caucho de golpea una pared con una rapidez de . Si la bala rebota directamente con una rapidez de , ¿Cómo cambió su cantidad de movimiento? Solución:
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Ejemplo 1.1.6
0 .4 5 0
3.20
Un jugador de futbol corre detrás de un balón de viajando a y lo patea en la misma dirección cuando está en movimiento, incrementando su rapidez a . ¿Qué magnitud del impulso entregó el jugador al balón? Solución:
12.8 / ( ) 0.450 12.8 3.20 4.32 ∙
LEY DE LA CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Cuando se presenta una colisión en un sistema aislado, la cantidad de movimiento total del sistema no cambia con el paso del tiempo. En lugar de eso, permanece constante tanto en magnitud como en dirección. Las cantidades de movimiento de objetos individuales en el sistema pueden cambiar, pero la suma vectorial de todas las cantidades de movimiento no cambiará. Por lo tanto, se dice que la cantidad de movimiento total se debe conservar. La figura muestra un sistema aislado de dos partículas antes y después de que colisionan. Por “aislado” entendemos que no existen
fuerzas externas, como la fuerza gravitacional o de fricción, que actúen sobre el sistema.
Antes de lason colisión, decolisión, las dos partículas y las; velocidades después de la las velocidades son y . El teorema
Figura 1.- Colisión de dos objetos antes y después.
8 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
( ) ( ) +Δ+
impulso-cantidad de movimiento aplicado a
De la misma forma, para
será:
:
A partir de la tercera ley de Newton se llega a la condición:
Este resultado es un caso especial de la ley de la conservación de la cantidad de movimiento y es verdadera para sistemas aislados que contienen cualquier número de objetos interactuando. Acción y reacción, junto con el intercambio de cantidad de movimiento entre dos objetos, es responsable del fenómeno conocido como retroceso. Cualquiera sabe que al lanzar una pelota mientras se encuentra de pie, sin apoyar sus pies contra la Tierra, es una buena manera para caer hacia atrás. Esta reacción es un ejemplo de retroceso; también sucede cuando dispara un arma o tira una flecha. La conservación de cantidad de movimiento proporciona una manera directa de calcular tales efectos.
Ejemplo 1.2.1 Un arquero está de pie y en reposo sobre hielo sin fricción. La masa combinada del arquero y el arco es . (Véase la figura). Si el arquero dispara una flecha de horizontalmente a en la dirección positiva del eje x, ¿con qué velocidad se mueve el arquero a través del hielo después que dispara la flecha?
6 0 .0
Solución:
50.0 / 0.030
0 +
Figura 2.- Arquero
9 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
600.030 50 0.025
10 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
CHOQUES ELÁSTICOS E INELÁSTICOS Durante el impacto, todos los cuerpos se deforman ligeramente y así se liberan pequeñas cantidades de calor. El vigor con el que un cuerpo recobra su forma srcinal, después de sufrir una deformación, es una medida de su elasticidad o capacidad de restitución. Si la energía cinética permanece constante en un choque (el caso ideal), se dice que el choque es completamente elástico. Una bola de acero templado que se deja caer sobre una placa de mármol se aproxima a lo que sería un choque completamente elástico. Cuando los cuerpos que chocan se adhieren entre sí y se mueven como un solo cuerpo después del choque, se dice que el choque escompletamente inelástico. Una bala que se incrusta en un bloque de madera es un ejemplo de este tipo de choque. La mayoría de los choques se encuentran entre estos dos extremos. Bajo las condiciones anteriores y utilizando las ecuaciones de conservación de la energía cinética y de cantidad de movimiento se tiene:
12 + 12 12 + 12 + +
Despejando en ambas ecuaciones se llega:
( ) ( ) 0 1
Dividiendo la primera ecuación entre la segunda y simplificando:
La relación negativa de la velocidad relativa después del choque entre la velocidad relativa antes del choque se llama coeficiente de restitución. El coeficiente de restitución es la razón o relación negativa de la velocidad relativa después del choque, entre la velocidad relativa antes del choque.
Si el choque es completamente elástico, entonces . Si el choque es completamente inelástico, . En general, el coeficiente de restitución tiene un valor entre 0 y 1. 11 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
Ejemplo 1.2.2 Una pelota de 2 kg que se desplaza hacia la izquierda con una rapidez de 24 m/s choca de frente con otra pelota de 4 kg que viaja hacia la derecha a 16 m/s. (a) Encuentre la velocidad resultante si las dos pelotas se quedan pegadas después del choque, (b) Determine sus velocidades finales si el coeficiente de restitución es 0.80. Solución:
(a)
+ + + + + 2 24 +4 16 0.+80 + 2+4+ 2.67 2 +4 16 0.80243126
Si ambas pelotas quedan pegadas después del choque, entonces:
Así:
(b) Debido a que
, son válidas las ecuaciones siguientes:
Así se obtienen las ecuaciones:
-Conservación de la cantidad de movimiento
-Coeficiente de restitución
12 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
24 , 8
Solucionando el sistema de ecuaciones
Ejemplo 1.2.3
El péndulo balístico (figura) es un dispositivo utilizado para medir la velocidad de un proyectil, por ejemplo una bala. Ésta es disparada dentro de un bloque grande de madera que está colgado de ciertos alambres ligeros. La bala es detenida por el bloque, y el sistema completo oscila hasta una altura . Es posible obtener la velocidad inicial de la bala midiendo y las dos masas. Como un ejemplo de la técnica, Figura 3.- Péndulo balístico considere que la masa de la bala, es 5.00 g, la masa del péndulo, , es 1.000 kg y es 5.00 cm.
ℎ
ℎ
ℎ
(a) Encuentre la velocidad del sistema después de que la bala penetra el bloque. (b) Calcule la velocidad inicial de la bala. Solución:
(a)
12 + +ℎ √2ℎ 2 9.81 0.05 0.9 0 + + + 1.0 50.05 0.9 0 19
Por ley de la conservación de la energía
(b)
Por ley de la conservación de la cantidad de movimiento
13 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
Ejemplo 1.2.4
1.60 2 .1 0 6.0 ×10 / 2 .50
Un bloque de masa , inicialmente moviéndose a la derecha con una velocidad de sobre una pista horizontal sin fricción,
14.0
colisiona con un resorte sin masa unido a un segundo bloque de masa moviéndose a la izquierda con una velocidad de , como se muestra en la figura. El resorte tiene una constante elástica de . (a) Determine la velocidad del bloque 2 en el instante cuando el bloque 1 se mueve a la derecha con una velocidad Figura 4.- Compresión de un resorte de , como en la figura. (b) Encuentre la máxima compresión del
13.0
resorte.
Solución:
(a)
(b)
+ + 1.60 4 +2.102.10+2.5 1.6031.74 12 + 12 12 + 12 + 12 0 .1 7 3
Utilizando ley de la conservación de la energía
Sustituyendo los valores dados, y despejando
14 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
CHOQUES TANGENCIALES En general para una colisión de dos objetos en el espacio de tres dimensiones, el principio de conservación de la cantidad de movimiento implica que se conserva la cantidad de movimiento total del sistema en cada dirección. De cualquier modo, se llevan a cabo un subconjunto de colisiones importantes en un plano. El juego de billar es un ejemplo conocido que incluye varias colisiones de objetos moviéndose en una superficie en dos dimensiones. Limitamos nuestra atención a una simple colisión en dos dimensiones entre dos objetos que toma lugar en un plano descartamos cualquier rotación posible. Para tal colisión, obtenemos dos ecuaciones por componente para la conservación de la cantidad de movimiento:
++ ++
Figura 5.- Colisión indirecta entre dos bolas
Ejemplo 1.2.5
2 5 .0
1 .5 0 ×1 0
Un automóvil con de masa viajando al este con una rapidez de colisiona en un cruce con una camioneta (van) de que
20.0
2.50 ×10
viaja al norte con una velocidad de , como se muestra en la figura. Determine la magnitud y dirección de la velocidad de los restos después de
15 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
la colisión, suponiendo que los vehículos se someten a una colisión perfectamente inelástica (es decir, se unen) y suponiendo que se puede despreciar la fricción entre los vehículos y el camino. Solución:
Buscando las componentes correspondientes:
205 0 20 sincos 21..5500××1100 2250 11..5500××1100 +2+2.5.500×1×100csoins tan 21..5500××1100 2250 1.3 53.1°
Figura 6.- Colisión ejemplo 1.2.5
Debido a que el choque es inelástico
Aplicando ley de la conservación de la cantidad de movimiento en ambas direcciones
Dividiendo la segunda ecuación entre la primera se tiene
Usando cualquier ecuación anterior y sustituyendo el valor del ángulo
1.50×102.50+2×1.050×1150.620s in 53.1 ° 16 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
MOVIMIENTO CIRCULAR Y LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL El movimiento rotatorio es una parte importante de nuestra vida diaria. La rotación de la Tierra crea el ciclo del día y la noche, la rotación de las ruedas posibilitan el movimiento de los vehículos, y la tecnología moderna depende del movimiento circular en una gran variedad de contextos, desde los minúsculos engranajes de un reloj suizo hasta la operación de tornos y de otras maquinarias. Los conceptos de velocidad angular, aceleración angular y aceleración centrípeta son centrales para entender una gran cantidad de fenómenos, desde el movimiento de un móvil alrededor de una pista hasta el de un cúmulo de galaxias orbitando un centro común. El movimiento rotatorio, combinado con la ley de Newton de gravitación universal y sus leyes de movimiento, pueden explicar ciertos hechos relacionados con los viajes espaciales y el movimiento de satélites, como dónde colocar un satélite de manera que mantenga una posición fija con respecto a la Tierra. La generalización de la energía potencial gravitacional y la conservación de la energía ofrece una fácil explicación para tales hechos, como la velocidad a la que se alcanza el escape planetario. Finalmente, se presentan las tres leyes de Kepler del movimiento planetario, a partir del enfoque newtoniano de la gravedad. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME En el estudio del movimiento rectilíneo, los conceptos importantes son el desplazamiento , la velocidad y la aceleración . Cada uno de estos conceptos tiene su analogía en el movimiento rotatorio: desplazamiento angular , velocidad angular y aceleración angular .
Δ 2 2 2 2
El radián, una unidad de medida angular, es esencial para entender estos conceptos. Recuerde que la distancia alrededor de un círculo está dada por , donde es el radio del círculo. Dividiendo ambos lados de esta ecuación entre resulta en , lo cual no tiene dimensiones porque y tienen dimensiones de longitud, pero el valor corresponde al desplazamiento alrededor de un círculo. La mitad de un círculo daría , la cuarta parte, . Los números , y corresponden a ángulos
de 360°, 180° y 90°, respectivamente, así que se puede
17 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
introducir una nueva medida angular, el radián, con relación entre grados y radianes.
180°
5
como una
Suponiendo que se tiene un círculo de radio y dentro del mismo se ha descrito un desplazamiento angular (medido en radianes), entonces es posible saber la longitud recorrida sobre el círculo, a esa medida se le conoce como longitud de arco y es posible calcularlo con la relación:
Ejemplo 2.1.1
¿Cuál será el desplazamiento de una rueda de radio vueltas completas?
si ha dado dos
Solución
4
Debido a que se han dado dos vueltas completas, el ángulo recorrido es , así pues el desplazamiento de la rueda es:
4 5 20
Suponiendo que lo que nos interesa es saber qué tan rápido se mueve un objeto con forma circular, esto se puede calcular de manera simple si se considera que la rapidez de un objeto es la razón de cambio de su posición respecto del tiempo, a saber:
A se le conoce como velocidad, en caso de un movimiento circular, esta velocidad se le conoce como velocidad lineal o tangencial, ya que es la velocidad que se tiene en un punto tangente al objeto.
Considerando que en un instante inicial la posición del objeto es , y que además dicha rapidez es constante, entonces, resolviendo la ecuación anterior:
∫ ∫ 18 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
Con
0
Así pues, se llega a la ecuación:
+ +
Esta ecuación describe el desplazamiento de la rueda en cualquier instante de tiempo. De forma análoga, si lo que se quiere saber es cuál es la rapidez con la que cambia su desplazamiento angular, se tiene:
Donde
se conoce como velocidad angular, sus unidades son
.
Bajo las mismas condiciones de la rapidez lineal, se puede obtener una ecuación que describe el desplazamiento angular dada la velocidad angular a la que se mueve el objeto, es decir:
+ + ,
Es posible obtener una relación entre velocidad lineal y velocidad angular, la cual se describe a continuación: Sea una rueda de radio y describe una velocidad lineal , entonces:
Si
Así,
describe el desplazamiento de la rueda, entonces
19 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
Por lo que la velocidad lineal de un objeto circular está relacionada con la velocidad angular de dicho objeto por m edio de:
Ejemplo 2.1.2
3 .2 0 ×1 0 2 .0 3 .0 ×1 0 3.23.02×10 ×10 0 2 1 3 .5 1 60 1 2 2.0 3 .52.0 67 3. 0 ×1 0 + 67 3.0 × 10 20 10 2.01× 10
El rotor de un helicóptero gira a una velocidad angular de revoluciones por minuto (a veces se utiliza la abreviación rpm). (a) Exprese esta velocidad angular en radianes por segundo. (b) Si el rotor tiene un radio de , ¿qué longitud de arco recorre el extremo del aspa en ? Solución:
(a)
Se sabe que
, por lo que
NOTA: Tome en cuenta que una revolución es una vuelta completa por lo que
.
(b) Si
entonces la velocidad lineal del rotor es
Así la longitud de arco recorrida por el rotor en
es:
NOTA: Debido a que no se da un desplazamiento inicial, se considera como cero.
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO Cuando un objeto circular no tiene una velocidad angular constante, se dice que existe una aceleración angular, la cual mide, cuánto cambia la velocidad angular de un objeto respecto del tiempo, a saber:
20 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
Donde
se conoce como aceleración angular y sus unidades son
.
Si objeto circular cambia su velocidad lineal entonces existe una aceleración lineal, que se puede calcular por medio de la razón de cambio:
Considerando que entonces al resolver:
Con
0
0
∫ +∫ + ∫∫+++∫ 12 + + 1 + + 2
y que dicha aceleración es constante,
, se llega a la ecuación:
Ahora bien, si se sabe que
entonces:
Si el objeto describe un desplazamiento inicial por medio de Entonces:
0
La ecuación anterior, al tener similitudes con la ley de caída libre de Galileo Galilei, es común llamarle ecuación de Galileo.
21 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
De forma análoga, es posible obtener una ecuación que permita calcular el desplazamiento angular de un objeto si se conoce su aceleración angular:
12 + +
Al mismo tiempo, es posible obtener una fórmula que relacione la aceleración angular con la aceleración lineal de un objeto con movimiento
+
circular, por medio de las siguientes condiciones: Entonces:
Se sabe que
, por lo que se tiene:
Así pues, la aceleración angular de un objeto se relaciona con su aceleración lineal por medio de:
Bajo todo lo anterior es conveniente crear una tabla comparativa respecto al movimiento rectilíneo y el movimiento circular.
+ +++
Movimiento rectilíneo
Ejemplo 2.2.1
12++++
Movimiento circular
Un disco compacto gira desde el reposo hasta una velocidad angular de en un tiempo de . (a) ¿Cuál es la aceleración angular del disco suponiendo que ésta sea uniforme? (b) ¿Qué ángulo ha recorrido el disco en su giro mientras alcanza su máxima velocidad? (c) Si el radio del disco es , encuentre la velocidad tangencial de un microbio que se
31.4/4.45
0 .8 9 2
Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
22
0 .8 9 2
mueve sobre el borde del disco cuando . (d) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración tangencial del microbio en el tiempo dado? Solución:
(a)
0
Debido a que el movimiento parte del reposo, se tiene que
Así pues la aceleración angular se podría obtener por medio de:
+ 3 1 . 4 0.892 35.2018 12 + + 12 35.2018 0.892 14.0 4 4 .4 5 0 .0 4 5 0.892 31.4 31.40.04 5 1.3973 35.20180.04 5 1.56 5
(b)
(c) Si
y la rapidez angular en
es
Entonces la velocidad tangencial que sufre el microbio se obtiene por medio de:
(d)
De manera análoga al inciso anterior, la aceleración tangencial será:
Ejemplo 2.2.2
En un reproductor de discos compactos, a medida que la cabeza lectora se mueve desde el centro del disco, la velocidad angular de éste cambia de manera que la velocidad lineal en la posición de la cabeza siempre es 23 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
un valor constante de aproximadamente
1 .32.0 5.6
. (a) Encuentre la velocidad
angular cuando la cabeza lectora está a y luego a . (b) Una tornamesa anticuada gira con una velocidad angular constante, de manera que la velocidad lineal del surco del disco que se mueve bajo el detector (aguja) cambia. Encuentre la velocidad lineal de un disco de en los puntos a y del centro. (c) En ambos, CD y disco fonográfico, la información es registrada en una pista espiral continua. Calcule la longitud total de la pista para un CD diseñado para reproducir durante
4 5 . 0
2 .0 5 .6
1 . 0 ℎ . 1.3 2 . 0 0 . 0 2 01.0.32 65 5 .6 0 .0 5 6 45 4.7124 0.10.536 23.2143 2 0.02 4 . 7 1 2 4 0 . 0 2 0 . 0 9 4 2 5.6 0.056 4.71240.056 0.2639
Solución:
(a) Con
, encontrando la velocidad angular cuando
Cuando
(b)
Como
, la velocidad lineal en
Cuando
(c)
1.3 360 + 4680 24 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
ACELERACIÓN CENTRÍPETA La segunda ley del movimiento de Newton establece que una fuerza resultante debe producir una aceleración en la dirección de la fuerza. Para un movimiento circular con velocidad constante, el vector aceleración siempre apunta hacia el centro del círculo y se le conoce como aceleración centrípeta, el término centrípeta significa que la aceleración siempre se dirige hacia el centro.
Para obtener la ecuación de aceleración centrípeta, consideremos lo siguiente:
Figura 7.- Movimiento circular a velocidad constante en dos puntos.
La posición y la velocidad de una partícula que se mueve en una trayectoria circular de radio se presenta en dos instantes en la figura anterior. Cuando la partícula se halla en el punto , su velocidad se representa con el vector . Después del intervalo de tiempo , su velocidad se denota por el vector . La aceleración, por definición, es el cambio de velocidad por unidad de tiempo. Por tanto,
Δ ΔΔ Δ
Como se muestra en la figura 7, debido a que la velocidad es constante, y por medio del método gráfico se obtiene un triángulo isósceles que es semejante al triángulo
Δ
. Así pues, por triángulos semejantes:
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25
Con
el módulo de cualquier velocidad
Δ
o
.
La distancia que recorre realmente la partícula desde el punto hasta el punto no es la distancia , sino la longitud del arco de a . Cuanto más corto es el intervalo de tiempo , más cerca estarán estos puntos hasta que, en el límite, la longitud de la cuerda se iguala con la longitud del arco. En este caso, la longitud es:
Δ Δ ΔΔ
Por lo que,
Así
Por consiguiente, la aceleración centrípeta, está dada por la relación:
Ejemplo 2.3.1
2 1 .5
Un cuerpo de se ata al extremo de una cuerda y se hace girar en un círculo horizontal de de radio. Si el cuerpo realiza tres revoluciones completas por segundo, determine su rapidez lineal y su aceleración centrípeta. Solución:
Sea
1 .5
3 6 6 1.5 28.2743 28.217.543 532.9586
y tiene una velocidad angular
Por lo que su rapidez lineal es:
Así pues su aceleración centrípeta es:
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26
Es conveniente considerar otras relaciones con las cuales es posible obtener de forma más rápida algunas variables, si llamamos periodo al tiempo en dar una revolución, y consideramos que una revolución tiene una longitud , entonces:
2
2
Otro parámetro útil en problemas de ingeniería es la rapidez rotacional, expresada revoluciones por minuto (rpm) o revoluciones por segundo frecuencia (rev/s). Esta en cantidad se llama de rotación y es la recíproca del periodo:
1 2 2
Por lo que,
Considerando que anteriormente se había definido la velocidad lineal como:
Cabe señalar, entonces, que:
2 2
Cuando un objeto se mueve en una circunferencia acelerando o desacelerando, se presenta una componente de la aceleración tangencial, . Debido a que las componentes de la aceleración, tangencial y centrípeta, son perpendiculares entre sí, es posible hallar la magnitud de la aceleración total con el uso del teorema de Pitágoras:
√ +
Ejemplo 2.3.2
60.0
5 .0
Un auto de carreras acelera uniformemente de una velocidad de otra de
en
40.0
a
mientras se mueve en sentido contrario a las 27
Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
50.0
4 .0 ×1 0
manecillas del reloj alrededor de una pista circular de radio . Cuando el auto alcanza una velocidad de , encuentre (a) la magnitud de la aceleración centrípeta del auto, (b) la velocidad angular, (c) la magnitud de la aceleración tangencial y (d) la magnitud de la aceleración total. Solución:
(a)
(b) Como
(c)
(d)
4.05×010 6.25 4.0 5×010 0.125 60 5+.040 4 √ + 4 +6.25 7.4204 28
Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
FUERZA CENTRÍPETA Un objeto puede tener una aceleración centrípeta sólo si alguna fuerza externa actúa sobre él. Para una bola girando en círculo debido a que está atada al extremo de una cuerda, la fuerza es la tensión de ésta. Algunos autores utilizan el término “fuerza centrípeta”, lo cual da la errónea
impresión de que se trata de una nueva fuerza natural. Éste no es el caso: el adjetivo “centrípeta” en “fuerza centrípeta” significa simplemente qu e la fuerza en cuestión actúa hacia el centro.
Considere un disco de masa , atado a una cuerda de longitud y que se hace girar con velocidad constante en una trayectoria circular horizontal, como se ve en la figura 8. Su peso está apoyado en una tabla sin fricción. ¿Por qué el disco se mueve en una trayectoria circular? Por su inercia, es decir, la tendencia del disco a moverse en línea recta; sin embargo, la cuerda previene un movimiento a lo largo de una línea recta ejerciendo una fuerza radial sobre el disco Figura 8.- Disco atado a una cuerda de longitud r
(fuerza de tensión) que hace que siga una trayectoria circular. La tensión está dirigida a lo largo de la cuerda hacia el centro del círculo.
En general, aplicando la segunda ley de Newton a lo largo de la dirección radial, se obtiene la ecuación que relaciona la fuerza centrípeta neta con la aceleración centrípeta. La magnitud de la fuerza centrípeta neta es igual a la masa multiplicada por la magnitud de la aceleración centrípeta:
Una fuerza neta causa una aceleración centrípeta que actúa hacia el centro de la trayectoria circular y provoca cambios en la dirección del vector velocidad. Si esta fuerza desaparece, el objeto abandonaría su trayectoria circular y se movería a lo largo de una trayectoria recta tangente a la circunferencia en el punto donde la fuerza desapareció. 29 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
Ejemplo 2.4.1
30.0 /ℎ 13.4 /50.0
Un automóvil corre con una velocidad constante de dando una vuelta a nivel circular de radio , como se muestra a ojo de pájaro en la figura 9. ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática mínimo, , entre las llantas y la carretera para que el auto
dé la vuelta sin patinar? Solución:
Se sabe que la fuerza centrípeta es la fuerza de fricción estática. Así,
Donde es la fuerza normal generada por el peso del automóvil, por lo que,
Se tiene entonces,
Así,
Ejemplo 2.4.2
Figura 9.- La fuerza centrípeta es generada por la fuerza de fricción estáti ca, que se dirige radialmente hacia el centro de la trayectoria circular.
1 3 . 4 50.0 9.81 0.36 0 −
1 5 .0
Una muestra de sangre se coloca en una centrifugadora de de radio. La masa de una célula roja en la sangre es y la magnitud de la fuerza que actúa sobre ella para que se sedimente en el plasma es
4.0×10 −
3 .0 ×1 0
. ¿A cuántas revoluciones por segundo debe ser operada la centrifugadora?
30 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
15 0.15 3.0 × 10−, 4.0 ×10− 4.0×31.0×2−10.5−080.15 141.4214 8030
Solución:
Sea
,
.
Se tiene pues,
Ejemplo 2.4.3
El límite de velocidad de cierta carretera es de
de peralte óptimo para una curva cuyo radio es de
. Encuentre el ángulo .
NOTA: Considere la siguiente imagen:
Figura 10.- Peralte en una curva
El ángulo en la figura 10 es conocido como peralte. Solución:
De forma análoga al ejemplo 2.4.1, y tomando en cuenta que la fuerza normal se ve alterada por el ángulo de peralte, entonces:
Donde Así se tiene,
si n, cos
31 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
sin , cos tan
Dividiendo la primera ecuación entre la segunda, se obtiene la ecuación:
Por lo que al pasar los datos al SI, el ángulo óptimo es:
tan− 302 .2299..582153° tan−0.1678
Dato: En realidad, las carreteras no siempre están inclinadas según ángulos de peralte óptimo, ya que en las vueltas de radios pequeños los ángulos serían muy grandes. Sin embargo, sí hay ejemplos en que los ángulos sí se acercan a los óptimos. Considere al motociclista dentro de una esfera que se presenta en un circo, o mire ciertas zonas de las pistas de autos de las carreras.
LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL Antes de 1686, ya se contaba con una gran cantidad de información relacionada con los movimientos de la Luna y los planetas, pero no había un claro entendimiento de las fuerzas que hacen que estos cuerpos celestes se muevan como lo hacen. En ese año, Isaac Newton dio la clave que abrió los secretos de los cielos. Basándose en su primera ley, Newton sabía que una fuerza neta tenía que estar actuando sobre la Luna porque, de no ser así, ésta se movería en una trayectoria recta, en lugar de la órbita casi circular que describe alrededor de la Tierra. Newton razonó que esta fuerza debía surgir como resultado de una atracción entre la Luna y la Tierra, atracción a la que llamamos fuerza de gravedad, y que es del mismo tipo de fuerza que atrae objetos, como manzanas, cercanos a la superficie de la Tierra. Su ley se enuncia como sigue:
32 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
Toda partícula en el universo atrae a cualquier otra partícula con una fuerza directamente proporcional al
producto
de
sus
masas
e
inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
Esta proporcionalidad puede expresarse de forma matemática:
donde
Figura 11.- La fuerza gravitacional entre dos partículas es de atracción y actúa a lo largo de una línea recta que une las partículas.
6.673 ×10− 4 2 40 6.67 ×10− 40.42 3.3 5×10 − . 9 . 8 6 .3 8 ×1 0
es una constante de proporcionalidad llamada
constante de gravitación universal. La fuerza gravitacional es siempre de atracción. Ejemplo 2.5.1
Dos pelotas, una de y otra de , están colocadas de modo que sus centros quedan separados una distancia de . ¿Cuál es la fuerza con la que se atraen mutuamente? Solución:
Ejemplo 2.5.2
En la superficie de la Tierra, la aceleración debida a la gravedad es de Si el radio de la Tierra es de
, calcule la masa de la Tierra.
Solución:
Considerando que el peso de cualquier objeto de masa es en sí mismo la fuerza de atracción que ejerce la tierra sobre la masa . Se tiene entonces:
33 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
Así
9 . 8 1 6.67×160.3−8×10 5.986 ×10
Ejemplo 2.5.3
¿A qué distancia sobre la superficie de la Tierra se reducirá el peso de una persona hasta la mitad del valor que tiene estando en la superficie? Solución:
Bajo las mismas condiciones que el ejemplo 2.5.2, y considerando que la masa está por encima de l a tierra, entonces:
2 +
2 2 6.67×102.−64296.8×1105.986 ×10 6.38×10 3 .1 5 6 ×1 0
Despejando
Ejemplo 2.5.4
Calcula la masa del Sol, considerando que la Tierra describe una órbita circular de 150 millones de kilómetros de radio. Considere que el periodo de la tierra es de 365.25 días o s. Solución:
Teniendo en cuenta que para que la Tierra y el Sol permanezcan en órbita, la fuerza centrípeta del planeta y la fuerza gravitacional entre el Sol y la Tierra debe ser la misma, a saber: Por lo que,
34
Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
Así,
2 4 4 1 5 0 × 1 0 3.156×10 6.67×10 − 2.0 1 ×10 0 .3 0
Si se sabe que
Entonces,
Ejemplo 2.5.5
(a) Tres bolas de billar de se colocan sobre una mesa en las esquinas de un triángulo rectángulo, como se muestra en unavista desde arriba en la figura 12. Encuentre la fuerza gravitacional neta sobre la bola tiradora (denotada por ) resultante de las fuerzas ejercidas por las otras dos bolas. (b) Encuentre las componentes de la fuerza gravitacional de sobre .
Figura 12.- Ejemplo 2.5.5
Solución:
(a)
6.67×10 − 0.300.400.30 3.75×10 − 6.67×10 − 0.300.300.30 6.67×10 −
Calculando las fuerzas ejercidas en cada bola
Por lo que la fuerza resultante es:
35 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
+ √3.75×10 − +6.67×10 − 7.65 ×10− tan 3.75
Calculando el ángulo en el que se aplica esta fuerza:
−
(b)
tan 6.67 29.345 ° 6.67 ×10− 0.300.500.30 2.40×10 − scinos sin− 00..45 53.1301° 22.4.400××1100−−csoins5533..11330011°11.92.4×10×1−0−
Para calcular las componentes de la fuerza gravitacional de
sobre
Se calcula la magnitud de dicha fuerza, es decir:
Si bien sabemos que
El signo negativo en la componente
es debido a que ésta es aplicada
en sentido negativo según la referencia.
Para encontrar el ángulo se hace uso de trigonometría; tomando como base el triángulo formado, es decir:
Por lo que:
36 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL Se sabe que la energía potencial de un cuerpo en la tierra está dada por la relación:
ℎ
Donde es la masa del objeto, la aceleración de la gravedad y altura a la que se encuentra el objeto.
ℎ
la
Esta ecuación, sin embargo, es válida sólo cuando el objeto está cerca de la superficie de la Tierra. Para objetos a grandes alturas, como los satélites, debe recurrirse a alguna alternativa porque varía con la distancia a la superficie.
>
La energía potencial gravitacional asociada con un objeto de masa a una distancia del centro de la Tierra es:
Con
Donde es la masa de la tierra, de la tierra.
es el radio
Se considera negativa ya que la energía potencial gravitacional asociada con un objeto, no es más que el trabajo negativo realizado por la fuerza de gravedad para mover al objeto. Si un objeto cae bajo la acción de la fuerza de gravedad desde una gran distancia (prácticamente infinita), el cambio en la energía potencial gravitacional es negativo, lo cual corresponde a la cantidad positiva de trabajo gravitacional realizado sobre el sistema. Este trabajo positivo es igual al cambio (también positivo) de energía cinética.
Ejemplo 2.6.1
1 .0 × 1 0
Un asteroide con masa viene desde la profundidad del espacio, prácticamente del infinito, y hacia la Tierra. (a) Encuentre el cambio de energía potencial cuando alcanza un punto a de la Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
4 .0 ×1 0
37
Tierra (justo atrás del radio orbital de la Luna). Además, encuentre el trabajo realizado por la fuerza de gravedad. (b) Calcule la velocidad del asteroide en ese punto, suponiendo que inicialmente partió del reposo cuando estaba arbitrariamente lejos. (c) ¿Cuánto trabajo tendría que hacer algún otro agente sobre el asteroide para que éste viajara a sólo la mitad de la velocidad que tenía en (b) en el mismo punto? Solución:
(a)
(b)
Δ 1 1 6.67 × 10− 5.986 ×10 1.0×10 0 4.0 ×110 9 . 9 7 × 1 0 9.97×10
Por ley de la conservación de energía:
(c)
12 0Δ +Δ9.97×10 0 219..09×71×010 1.41×10 +Δ 121.0×10 77.4085 × 10 9.97 ×10
Aplicando el teorema de trabajo y energía
38 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
LEYES DE KEPLER El movimiento de los planetas, estrellas y otros cuerpos celestes ha sido observado durante miles de años. En los primeros años de la Historia, los científicos consideraban a la Tierra como el centro del Universo. Este modelo geocéntrico fue desarrollado por el astrónomo griego Claudio Tolomeo en el siglo II a.C. y fue ampliamente aceptado durante los siguientes 1400 años. En 1543 el astrónomo polaco Nicolás Copérnico (1473-1543) demostró que la Tierra y los demás planetas giraban en órbitas circulares alrededor del Sol (modelo heliocéntrico). El astrónomo danés Tycho Brahe (1546-1601) hizo precisas mediciones astronómicas en un periodo de 20 años, proporcionando datos que fundamentarían el actualmente aceptado modelo del sistema solar. Las cuidadosas observaciones realizadas por Brahe de los planetas y 777 estrellas fueron llevadas a cabo con sólo un gran sextante y una brújula; el telescopio aún no se había inventado. El astrónomo alemán Johannes Kepler, quien fue asistente de Brahe, se hizo de la información astronómica de su maestro y pasó cerca de 16 años tratando de construir un modelo matemático que describiera el movimiento de los planetas. Después de muchos y elaborados cálculos, encontró que los precisos datos de Brahe relacionados con el movimiento de Marte alrededor del Sol proporcionaban la respuesta. Los análisis de Kepler demostraron, en primer lugar, que el concepto de órbitas circulares alrededor del Sol tenía que abandonarse. Además, descubrió que la órbita de Marte podría describirse con precisión mediante una elipse con el Sol en uno de los focos, para después generalizar este análisis al movimiento de todos los planetas. El análisis completo se resume en tres enunciados conocidos como leyes de Kepler: Primera ley de Kepler: “Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol ubicado en uno de los puntos focales.
“
La primera ley surge como una consecuencia obvia de la naturaleza del
Figura 13.- Primera Ley de Kepler
39 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
cuadrado inverso de la ley de gravitación universal de Newton. Cualquier objeto ligado a otro por una fuerza que varía de acuerdo con se moverá en una órbita elíptica. Como se muestra en la figura 13, una elipse es una curva trazada de modo que las sumas de las distancias desde cualquier punto sobre la curva a dos puntos internos llamados puntos focales, o focos, es siempre la misma. Para la configuración Sol-planeta el Sol es uno de los focos y el otro foco está vacío. Debido a que la órbita es una elipse, la distancia del Sol al planeta cambia continuamente. Segunda ley de Kepler: “Una
recta
trazada
desde
el
Sol
a
cualquiera de los planetas barre áreas iguales en iguales intervalos de tiempo.”
La segunda ley establece que una recta trazada desde el Sol a cualquier planeta, barre áreas iguales en intervalos de tiempo Figura 14.- Segunda Ley de Kepler iguales. Considere un planeta en una órbita elíptica alrededor del Sol, como en la figura 14. En un periodo dado , el planeta se mueve del punto A al punto B. El planeta se mueve más
Δ
Δ
lentamente sobre este lado de la órbita porque se encuentra más lejos del Sol. Sobre el lado opuesto de la órbita, el planeta se mueve del punto C al punto D en el mismo tiempo, , moviéndose más rápido porque está más cerca del Sol. La segunda ley de Kepler dice que cualquier par de regiones formadas siempre tendrán la misma área. Tercera ley de Kepler “El cuadrado del periodo orbital de cualquier planeta es proporcional al cubo de la distancia promedio del planeta al Sol.”
La deducción de la tercera ley de Kepler es suficientemente sencilla, llevándola al caso particular de una órbita circular. Considere un planeta de masa moviéndose alrededor del Sol, cuya masa es , en una órbita
circular. Debido a que la órbita es circular, el planeta se mueve con una velocidad constante . La ley de gravitación y la aceleración centrípeta dan, entonces, la siguiente ecuación: 40 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
4 4
Como se había demostrado antes (Ejemplo 2.5.4) se relaciona con el periodo y se puede llegar a la expresión
Así
La ecuación anterior es la tercera ley de Kepler para una órbita circular. Las órbitas de la mayoría de los planetas son muy cercanas a la forma circular. Sin embargo, usualmente los cometas y asteroides tienen órbitas elípticas. Para estas órbitas, el radio debe ser remplazado por , el semieje mayor, la distancia más grande a través de la órbita elíptica. (Ésta es también la distancia promedio del cometa o asteroide al Sol.) Es común encontrar que las distancias se midan en unidades astronómicas (UA), una unidad astronómica es el equivalente a la distancia que hay de la tierra al sol. (1 UA 150 millones de kilómetros.)
Ejemplo 2.7.1
≈
Desde un punto de vista de las telecomunicaciones, es ventajoso que los satélites mantengan la misma posición en relación con un punto de referencia en la Tierra. Esto puede ocurrir sólo si el periodo orbital del satélite es el mismo que el periodo de rotación de la Tierra, 24 h. (a) ¿A qué distancia del centro de la Tierra puede encontrarse esta órbita geosincrónica? (b) ¿Cuál es la velocidad orbital del satélite? Solución:
(a) Considerando que el periodo de rotación es que la masa de la tierra es .
, además
5. 986 ×10 24 ℎ 86 40 41
Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
Partiendo de la tercera ley de Kepler y considerando la tierra como la referencia, se tiene:
(b)
4 4 4 6.67×104−2.26×1 05.9486 ×10 86 40
Debido a que el satélite describe una órbita circular alrededor de la tierra, su velocidad es constante, así pues
2 2428.26640×10 3.073×10
42 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
DINÁMICA ROTACIONAL En el estudio del movimiento lineal, los objetos son tratados como partículas sin estructura. No importa dónde se aplica una fuerza, sino si se aplica o no. La realidad es que el punto donde se aplica una fuerza sí importa. En fútbol americano, por ejemplo, si el corredor que lleva el balón es golpeado cerca de su diafragma, es posible que continúe corriendo varias yardas antes de caer. Sin embargo, si es golpeado debajo de la línea de la cintura, su centro de masa rotará hacia el suelo y puede caer inmediatamente. Los conceptos de equilibrio rotatorio y dinámica rotatoria son también muy importantes en otras disciplinas. Por ejemplo, los estudiantes de arquitectura requieren el entendimiento de las fuerzas que actúan en la construcción de edificios, y los estudiantes de biología, de la comprensión de cómo trabajan las fuerzas entre los huesos, músculos y articulaciones. Estas fuerzas crean torques que nos dicen cómo se afecta el equilibrio de los objetos y su rotación.
TORQUE Las fuerzas causan aceleraciones; los torques provocan aceleraciones angulares. Sin embargo, hay una definitiva relación entre ambos conceptos.
. ∙
Sea una fuerza que actúa sobre un objeto y un vector de posición de un punto elegido al punto de aplicación de la fuerza, con perpendicular a . La magnitud del torque ejercido por la fuerza está dada por:
donde es la longitud del vector de posición y Sus unidades en el S.I. es el
es la magnitud de la fuerza.
Los vectores y están en el plano. La figura 15 muestra cómo el punto de aplicación de la fuerza afecta la magnitud del torque. El punto es usualmente elegido de manera que coincida con el eje alrededor del cual el objeto está rotando, como la bisagra de la puerta o del tubo alrededor del que gira un carrusel (aunque son posibles otras elecciones). En resumen, consideraremos sólo fuerzas que actúan en el plano perpendicular del eje de rotación. Este criterio excluye, por ejemplo, una fuerza con componente
43 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
ascendente en el sentido de un pasamanos radial de un carrusel, que no puede afectar la rotación de éste.
Figura 15.- Conforme la fuerza se al eja del punto de giro de la llave, el torque aumenta.
Cuando dos o más torques actúan sobre un objeto en reposo, se suman los torques. Si el torque neto no es cero, el objeto empieza a rotar a una razón cada vez mayor. Si el torque neto es cero, la razón de rotación del objeto no tiene cambio. Estas consideraciones conducen a las rotaciones hacia una analogía con la primera ley: la razón de rotación de un objeto no cambia, a menos que sobre el objeto actúe un torque neto .
Ejemplo 3.1.1 (a) Un hombre aplica una fuerza de
10 2.0 60.0° 3.0 ×
en un ángulo de a la puerta de la figura, a de la bisagra. Encuentre el torque sobre la puerta, eligiendo la posición de la bisagra como el eje de rotación. (b) Suponga que una cuña está colocada a 1.50 m de la bisagra en el otro lado de la puerta. ¿Qué fuerza mínima debe ejercer la cuña de modo que la fuerza aplicada en el inciso (a) no abra la puerta? Solución:
(a) Se calcula el torque respecto a la fuerza que sea perpendicular al eje de rotación, por lo tanto:
2.0 3.0 ×10 sin60° 5.20×10
44 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
(b)
∑ 0 0ñ1.5++ñ5.+20×100 0 ñ 347 ∑∑ 00 0 0
Bajo estas condiciones, la suma de los torques debe ser cero.
CONDICIONES DE EQUILIBRIO Un objeto en equilibrio mecánico debe satisfacer las dos siguientes condiciones: 1. La fuerza externa neta debe ser igual a cero: 2. El torque externo neto debe ser igual a cero:
La primera condición es una consecuencia del equilibrio de traslación: la suma de todas las fuerzas que actúan sobre un objeto debe ser cero, por lo que el objeto no tiene aceleración de traslación . La segunda condición es una afirmación del equilibrio rotatorio: la suma de todos los torques sobre el objeto debe ser cero, por lo que el objeto no tiene aceleración angular . Para que un objeto esté en equilibrio, debe moverse a través del espacio con una rapidez lineal y rapidez angular constantes. Debido a que podemos elegir cualquier ubicación para calcular los torques, generalmente es mejor seleccionar un eje que haga por lo menos un torque igual a cero, a fin de simplificar la ecuación de torque neto.
Ejemplo 3.2.1
Figura 16.- Ejercicio 3.2.1
Una niña que pesa 300 N y un niño que pesa 400 N están parados sobre una plataforma de 200 N de pesoy sostenida por dos soportes A y B. ¿Qué fuerzas ejercen los soportes sobre la plataforma?
45 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
Solución:
Debido a que el sistema está en equilibrio se cumplen las siguientes condiciones:
∑∑ 00 30 ++ 470 0 0 12 30 14100 + 106.6 +6740 4 0 12
Por lo que, de la primera condición de equilibrio:
A partir de la segunda condición de equilibrio, tomando como eje de giro el soporte B.
Por lo que:
Ejemplo 3.2.2
70 70 1 6.66 7 6583.3 3 40 1 2 0 4 .5
Una viga horizontal de , cuyo peso es , gira sobre un pivote fijo en la pared como se observa en la figura. La viga está sostenida por un cable en un punto localizado a de la pared y sostiene un peso de en el extremo derecho. ¿Cuál es la tensión en el cable?
Solución:
Para que el sistema esté en equilibrio, entonces:
∑ 0
Utilizando la segunda condición respecto a B:
46 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
∑ 0 40 3 +12031061.7282 4.5 sin37° 0 4 1 .5
Ejemplo 3.2.3
El brazo en la figura pesa . La fuerza de la gravedad sobre el brazo actúa a través del punto A. Determine las magnitudes de la fuerza de tensión
en el músculo deltoideo y de la fuerza , ejercida por el hombro sobre el húmero para sostener el brazo en la posición mostrada.
Solución:
Aplicando ambas condiciones de equilibrio:
∑∑ 00 cocsos co cso1s12°2°0 ssiinn12° sisnin12°41.5 0 ∑ 0 41.5 0.290 sin 12°0.080 0 cos7237.50674.7528 Sustituyendo
en las primeras dos ecuaciones:
47 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
sin 108.9375 tan8.705.10533°9
Dividiendo la segunda ecuación entre la primera:
Así, la fuerza
es:
s1in08.79530735° 716.0876
CENTRO DE GRAVEDAD Para calcular el torque en un cuerpo rígido debido a la fuerza de la gravedad, el peso entero del cuerpo se puede pensar como si estuviera concentrado en un solo punto. El problema entonces se reduce a localizar ese punto. Si el cuerpo es homogéneo (su masa se distribuye de manera uniforme) y simétrico, es generalmente posible conjeturar la localización de ese punto. De otro modo, es necesario calcular la localización del punto.
Considere un objeto de forma arbitraria en el plano , como el de la figura 17. El objeto se divide en una gran cantidad de partículas muy pequeñas de peso con
, , , ,,,, ,,…… ++⋯+ ++⋯+
coordenadas Si el objeto rota libremente alrededor del srcen, cada partícula contribuye con un torque sobre el srcen que es igual a su peso multiplicado por su brazo de palanca. Por ejemplo, el torque debido al peso es Figura 17.- El torque gravitacional neto en un objeto es cero si se calcula alrededor del centro de , y así sucesivamente. gravedad. Deseamos localizar el punto de aplicación de una sola fuerza de magnitud (el peso total del objeto), donde el efecto de rotación del objeto es el mismo que el de las partículas individuales. Este punto se llama el centro de gravedad del objeto. Igualando el torque ejercido por en el centro de gravedad con la suma de los torques que actúan sobre cada una de las partículas individuales, se obtiene:
Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
48
∑∑== = ∑===
Por lo que
Donde es la coordenada en del centro de gravedad. Así las coordenadas en y del centro de gravedad están dadas por:
Estas tres ecuaciones son idénticas a las ecuaciones para un concepto similar llamado centro de masa. El centro de masa y el centro de gravedad de un objeto son exactamente iguales cuando g no varía en forma significativa sobre el objeto.
Ejemplo 3.3.1 (a) Tres objetos están localizadas en un sistema de coordenadas, como se muestra en la figura. Encontrar el centro de gravedad. (b) ¿Cómo cambia la respuesta si el objeto a la izquierda se desplaza hacia arriba y el
0 .5 0
objeto a la derecha se desplaza hacia abajo como partículas puntuales.
1 .0
? Considere los objetos
Figura 18.- Localización del centro de gravedad de un sistema de tres partículas.
Solución:
(a) 49 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
++++ 5.0 0.505.0+ +22..00 +04+.0 4.0 1.0 0 .1 3 6 0.136 ++++ 5.0 1.0 5.0+2.0+2.00+ 4+.0 4.0 0.50 0 .2 7 3 4 .0 8 .0
Buscando el centro de gravedad
(b)
Debido a que las coordenadas en
Así pues,
no cambian, entonces:
Ejemplo 3.3.2
Encuentre las coordenadas y del centro de gravedad de una hoja uniforme de madera, de pies por pies, cuando se ha recortado como se muestra en la figura.Sugerencia: La masa de cualquier segmento de la hoja de madera es proporcional a la superficie de ese segmento.
Figura 19.- Ejercicio 3.3.2
50 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
Solución:
1166 1226+8++8816 3.3 3 1 . 6 6 7 16 +8
Tomando las figuras geométricas formadas debido al corte:
RELACIÓN ENTRE EL TORQUE Y LA ACELERACIÓN ANGULAR
Cuando un objeto rígido está sujeto a un torque neto, experimenta una aceleración angular directamente proporcional al torque neto. Este resultado, que es análogo a la segunda ley de Newton, se obtiene como sigue.
El sistema de la figura 20 consiste en un objeto de masa unido a una barra muy ligera de longitud . La barra gira alrededor del punto , y su movimiento de rotación se confina a una
tabla horizontal sin fricción. Suponga que una fuerza actúa perpendicularmente a la barra y, por lo tanto, es tangente a la trayectoria circular Figura 20.- Un objeto de masa m unido a una del objeto. Debido a que no hay fuerza opuesta barra ligera de longitud r se m ueve en una rayectoria circular en una superficie a la fuerza tangencial, el objeto experimenta horizontal sin fricción mientras una fuerza angencial F que actúa sobre él. una aceleración tangencial de acuerdo con la segunda ley del Newton:
Multiplicando ambos lados por .
Se sabe que
Así
, entonces:
51 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
La ecuación anterior demuestra que el torque sobre el objeto es proporcional a la aceleración angular de éste. Suponiendo que es un objeto que tiene una cantidad finita de masas diminutas que actúan sobre este. Así el torque neto sobre este objeto, no es más que la suma de los torques individuales en todas las partículas, así:
∑ ∑ ∑ ∑ ∙
Debido a que se supone un objeto homogéneo, la aceleración angular de cada partícula del objeto, es la misma. La relación la letra .
se conoce como momento de inercia, y se representa por
Sus unidades en el S.I. son
Utilizando este resultado, vemos que el torque neto sobre un cuerpo rígido en rotación alrededor de un eje fijo está dado por:
∑
Esta ecuación es el análogo rotatorio de la segunda ley de Newton del movimiento, con el torque sustituyendo a la fuerza, el momento de inercia que sustituye a la masa y la aceleración angular, a la aceleración lineal. Aunque el momento de inercia de un objeto se relaciona con su masa, hay una importante diferencia entre ellos. La masa depende solamente de la cantidad de materia en un objeto, mientras que el momento de la inercia, , depende de la cantidad de materia y de su distribución (con el término en ) en el objeto rígido.
∑
Ejemplo 3.4.1 En un afán de ser la estrella en un desfile, un capitán gira un bastón de mando inusual compuesto de cuatro esferas sujetas a los extremos de barras muy ligeras (figura). Cada barra tiene 1.0 m de largo. Encuentre el momento
52 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
de inercia del bastón de mando sobre un eje perpendicular a la página y que pasa a través del punto donde las barras se cruzan.
Solución:
Como se sabe, el momento de inercia se calcula por medio de la ecuación:
Así,
∑ 0.20 +0.500.30 +00..53000.50 +0.20 0.50 0 .2 5
MOMENTO DE INERCIA DE OBJETOS EXTENDIDOS
El momento de inercia de un objeto extendido se evalúa al considerar el objeto dividido en muchos elementos pequeños, cada uno de los cuales
Δ Δ →li0m Δ ∑Δ →
tiene masa . Se usa la definición y se toma el límite de esta suma a medida que . En este límite, la suma se convierte en una integral sobre el volumen del objeto:
Por lo común es más fácil calcular momentos de inercia en términos del volumen de los elementos en lugar de su masa, y es fácil hacer dicho cambio al usar la relación , donde es la densidad del objeto y su
volumen. Así, , por lo que el momento de inercia puede ser calculado por medio de la ecuación integral:
53 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
Si el objeto es homogéneo, es constante y la integral se puede evaluar para una geometría conocida. Si no es constante, se debe conocer su variación con la posición para completar la integración.
Ejemplo 3.4.2
Un cilindro sólido uniforme tiene un radio , masa y longitud . Calcule su momento de inercia en torno a su eje central (el eje en la figura). Solución:
Si es un cilindro sólido uniforme, entonces
Que es válido para cualquier partícula del cilindro dado. Si bien es un cilindro, entonces su volumen está dado por:
Figura 21.- Cálculo de I en orno al eje z para un cilindro sólido uniforme.
Sacando el diferencial respecto al radio:
Por lo que
2 2 2 | 2 2 12
Así el momento de inercia del cilindro será:
Teniendo en cuenta que
Entonces,
54 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
Ejemplo 3.4.3
Calcule el momento de inercia de una barra rígida uniforme de longitud L y masa (figura 22) en torno a un eje perpendicular a la barra (el eje ) y que pasa a través de su centro de masa. Solución:
Si la barra tiene masa y longitud , si es uniforme, entonces su masa se distribuye según la relación , Figura 22.- Barra rígida uniforme de longitud L
así, al tomar sólo una porción de la barra se tiene que
− − 3 |−// 112
Así, al calcular el momento de inercia:
A continuación se deja una imagen en la cual se pueden encontrar los momentos de inercia para diferentes objetos rígidos.
55 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
Figura 23.- Momentos de inercia de objetos rígidos homogéneos con diferentes geometrías.
56 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
Ejemplo 3.4.4
3 .0 0 .4 0 2 .0 3.0
Un carrete sólido cilíndrico sin fricción, de masa y radio , se utiliza para sacar agua de un pozo (figura). Un cubo de masa se ata a una cuerda que se enrolla alrededor del cilindro. (a) Encuentre la tensión en la cuerda y la aceleración del balde. (b) del Si elpozo balde parte del reposo desde la boca y cae durante antes de golpear el agua, ¿qué distancia recorre en la caída? Solución:
(a)
∑
Debido a que el balde tiene aceleración, entonces se cumple la condición:
Por lo que,
1∑9.622 1 1212.5
Se sabe también que se cumple:
Así pues,
Debido a que es un cilindro sólido entonces
, y debido a que no existe fricción
, la última ecuación queda escrita como
Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
57
Sustituyendo el valor de
Así
1.5 19.62 2 5.6057
en la ecuación de la segunda Ley de Newton
128.4+086 + 125.6057 3.0 25.2 565
(b) Aplicando cinemática
El signo negativo indica que se está midiendo de abajo hacia arriba.
Ejemplo 3.4.5 Un jugador de béisbol calienta su brazo antes de lanzar en un juego una pelota de ,
1.50 0.1350 3 0 .0 0 .3 0
usando solamente la rotación su antebrazo para acelerarla (figura 24). El de antebrazo tiene una masa de y una longitud de . La bola parte del reposo y se lanza con una rapidez de en . (a) Encuentre la 24.- Una bola lanzada por un lanzador. aceleración angular constante del brazo y de la Figura El antebrazo se utiliza para acelerar la bola. pelota. (b) Calcule el momento de inercia del sistema que consiste en el antebrazo y la bola. (c) Encuentre el torque ejercido en el sistema que resulta en la aceleración angular encontrada en el inciso (a).
Solución:
(a) Se sabe que
+
, si parte del reposo
0
, así
58 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
(b)
0.35030.00.30 285.7143 + 13 013. 510.50.350 0.016813275 0.06125 +0.018375 0.079625 0.079625 285.7143 2 .75
El momento de inercia estaría dado por:
Por lo que
(c)
Ejemplo 3.4.6
Un disco de esmeril de radio y de masa gira a . ¿Qué fuerza de fricción, aplicada en forma tangencial al borde, hará que el disco se detenga en ?
2 0 0 .6 9 0 4 6 0 12 1290 0.6 16.2 460 20 48.171 Solución:
Obteniendo el momento de inercia:
Debido a que tiene una velocidad angular inicial de
y se requiere que el esmeril se detenga después de
.
Entonces:
48.12701+ 2.409
Así el torque resultante es:
59 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
16.239.0192.409 39.019 0.6 65.031 Ejemplo 3.4.7 Dos bloques, como se muestra en la figura, están conectados mediante una cuerda de masa despreciable que pasa sobre una polea de de radio y momento de inercia . El bloque sobre el plano inclinado sin fricción se mueve hacia arriba con una aceleración constante de . (a) Determine , Figura 25.- Ejercicio 3.4.7 las tensiones en las dos partes de la cuerda. (b) Encuentre el momento de inercia de la polea.
0 .2 5 0
2.0 /
Solución:
(a) Haciendo el análisis dinámico en cada masa. Para
Para
∑ si+n37°sin37° 15 2 +15 9.81 sin37° 1 8.5 71 ∑
Debido a no haber fricción, la aceleración que experimenta que la de . Así,
es la misma
60 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
20 9.81 20 2 156.2 (b)
∑ ∑ 1.1763 20.0 , 125..50, 0.200 4.0 Debido a no haber fricción la relación
.
Ejemplo 3.4.8
Considere el sistema que se muestra en la figura con y la masa de la polea uniforme . El objeto descansa sobre el suelo y el objeto está sobre el suelo cuando se libera del reposo. El eje de la polea no tiene fricción. La cuerda es ligera, no se estira y no se desliza sobre la polea. Calcule el intervalo de tiempo requerido para que golpee el suelo. Solución:
Aplicando análisis dinámico a cada masa:
+ ∑
Figura 26.- Ejercicio 3.4.8
Debido a que existen 3 incógnitas y 2 ecuaciones, nos valemos de la ecuación del momento de torsión.
Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
61
Con
0.1 0.20 .220.5.10.20 y
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene:
154.158, 1148+.90125+, 2.1021 2 1 2.1021 4 2 1.054105 1.9508
Para calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo, nos podemos valer de la ecuación:
Así, calculando el tiempo que tarda en llegar al suelo:
ENERGÍA ROTACIONAL Ya se ha CINÉTICA definido la energía cinética de una partícula que se mueve a través del espacio con una rapidez dada por la cantidad .
Análogamente, un objeto que rota con una rapidez sobre un cierto eje angular tiene una energía cinética rotatoria dada por . Para
probar esto, considere un objeto en forma de una placa rígida delgada que rota alrededor de un cierto eje perpendicular a su plano, como en la figura 27. La placa consiste en muchas partículas pequeñas, cada una de
Figura 27.- Placa rígida gi rando alrededor del
masa . Todas estas partículas rotan en eje z, con una rapidez tangencial v. trayectorias circulares alrededor del eje. Si es la distancia de una de las partículas al eje de rotación, la rapidez de esa 62 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
∑12 12 ∑ 12∑ 12
partícula es . Debido a que la energía cinética total de rotación de la placa es la suma de todas las energías cinéticas asociadas a sus partículas, tenemos:
Un sistema como una bola de boliche rodando hacia abajo de una rampa está descrito por tres tipos de energía: la energía potencial gravitacional ,
+ + + + Δ +Δ +Δ 30.02°.,0
la energía cinética de translación y la energía cinética rotatoria . Todas estas formas de energía, más las energías potenciales de cualquier otra fuerza conservativa, deben incluirse en nuestra ecuación para la conservación de la energía mecánica de un sistema aislado:
Esta relación es cierta sólo si omitimos las fuerzas disipativas, como la fricción. En este caso, es necesario recurrir a una generalización delteorema del trabajo y la energía:
Ejemplo 3.5.1
Una bola de masa y radio parte del reposo a una altura de y rueda abajo por una pendiente de como se muestra en la figura. ¿Cuál es la rapidez lineal de la bola cuando abandona el plano inclinado? Suponga que la bola rueda sin deslizarse. Solución:
Con
Figura 28.- Una bola parte del reposo desde la parte superior de un plano inclinado y rueda hacia abajo sin deslizarse.
+ + + + 0+0+ℎ 12 +1225 + 0
63 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
ℎ 12 7 + 15 ℎ 10 107ℎ 10 9.81 72.0 5.2942 , ∑ 1 6 1612 12 6 1 16
CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR Considere una partícula de masa que se mueve en un círculo de radio . Si su velocidad tangencial es , tendrá una cantidad de movimiento rectilíneo . Con respecto al eje de rotación fijado, definimos la cantidad de movimiento angular de la partícula como el producto de su cantidad de movimiento rectilíneo por la distancia perpendicular que va del eje a la partícula que gira.
Si
Puesto que el cuerpo es rígido, todas las partículas que lo forman tienen la misma velocidad angular, y la cantidad de movimiento angular del cuerpo es:
Por lo tanto,
La expresión anterior se conoce comomomento angular.
Ejemplo 3.6.1
Una varilla uniforme delgada mide de longitud y tiene una masa de . Si la varilla se hace girar en su centro y se queda en rotación con una velocidad angular de
, calcule su cantidad de movimiento angular.
64
Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
8
CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR Podemos entender mejor la definición de movimiento si regresamos a la ecuación básica para el movimiento angular, . Recuerde la ecuación que define la aceleración angular:
Por lo tanto,
Despejando
0
Si no se aplica ningún momento de torsión externo a un cuerpo que gira, podemos establecer . Por lo tanto,
De esta manera, llegamos a un enunciado para expresar la conservación
de la cantidad de movimiento angular : “Si la suma de los momentos de torsión externos que actúan sobre un cuerpo o sistema de cuerpos es cero, la cantidad de movimiento angular permanece sin cambios.”
Este enunciado resulta verdadero aun en el caso de que el cuerpo que gira no sea rígido, sino que pueda cambiar su forma de tal modo que su momento de inercia cambie. En este caso, la rapidez angular también cambia de tal modo que el producto siempre es constante. Los patinadores, clavadistas y acróbatas controlan la rapidez con que giran sus cuerpos extendiendo o encogiendo sus extremidades para aumentar o disminuir su rapidez angular.
Ejemplo 3.6.2 Una estrella da vueltas con un periodo de 30 días en torno a un eje a través de su centro. Después de que la estrella experimenta una explosión 65 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
1. 0 × 10
3 .0 2 2 1×310 30 í 2.7 ×10−í 0.23 28
supernova, el núcleo estelar, que tiene un radio de , colapsa en una estrella de neutrones de de radio. Determine el periodo de rotación de la estrella de neutrones. Solución:
Si
Ejemplo 3.6.3
Una plataforma horizontal con la forma de un disco da vueltas libremente en un plano horizontal
en torno a un eje vertical sin fricción (figura). La plataforma tiene una masa = 100 y un radio = 2.0 . Una estudiante, cuya masa es = 60 , camina lentamente desde el borde del disco hacia su centro. Si la rapidez angular del sistema es 2.0 / cuando el estudiante está en el borde, ¿cuál es la rapidez angular cuando alcanza un punto = 0.50 desde el centro? Figura 29.- Ejercicio 3.6.3
Solución:
Donde
+
es el momento de inercia inicial de la plataforma,
momento de inercia inicial de la persona. Así,
es el
66
Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
12 + 1 + 2 + 1 1221100 22 ++660002.52 4.093023
De la misma manera
Por ley de la conservación de la cantidad de movimiento angular:
67 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
MECÁNICA DE FLUÍDOS Existen varios estados de la materia entre los más conocidos: sólidos, líquidos, gases y plasmas. En la mayor parte del Universo, los plasmas (sistemas de partículas cargadas que interactúan electromagnéticamente) son los más comunes. En nuestro ambiente sobre la Tierra, predominan los sólidos, líquidos y gases. El entendimiento de las propiedades fundamentales de estos distintos estados deExisten la materia importante entensión todas en las los ciencias, medicina. fuerzasesque provocan sólidos ingeniería que puedey torcerlos, deformarlos y romperlos, sin importar si están hechos de metal o hueso. Los fluidos bajo presión pueden realizar trabajos o pueden transportar nutrientes y soluciones esenciales como el flujo sanguíneo a través de nuestras arterias y venas. El flujo de gases puede provocar diferencias de presión que son capaces de levantar enormes cargamentos en aviones o el techo de una casa durante un huracán. Plasmas a altas temperaturas creados en reactores de fusión podrán, algún día, permitir a la Humanidad aprovechar la fuente de energía solar.
DENSIDAD Y PRESIÓN Masas iguales de aluminio y oro tienen una importante diferencia física: el aluminio ocupa un poco más de siete veces más espacio que el oro. Aunque las razones de la diferencia yacen en los niveles atómicos y nucleares, una simple medida de esta diferencia es el concepto de densidad.
La densidad de una sustancia uniforme se define como su masa por unidad de volumen :
Las unidades en el SI: Kilogramo entre metro cúbico
[]
.
La gravedad específica de una sustancia es la razón de su densidad entre
4 ° 1.0×10
1 .0 ×
la densidad del agua a , la cual es . (El tamaño del kilogramo fue definido en principio para que la densidad del agua fuera
10 4 °
.) Por definición, la gravedad específica es una cantidad
Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
68
3 .0
3.01.0×10 3.0×10
adimensional. Por ejemplo, si la gravedad específica de una sustancia es , su densidad es
.
A continuación se presenta una imagen con densidades de sustancias comunes:
Figura 30.- Densidades de sustancias conocidas
La fuerza ejercida por el fluido sobre el objeto es siempre perpendicular a las superficies de éste, como se muestra en la figura. La presión en un punto específico en un fluido puede medirse por medio del dispositivo mostrado en la figura (b): un cilindro vacío que encierra un pistón ligero conectado a un resorte previamente calibrado con pesos conocidos. Cuando el dispositivo se sumerge en un fluido, éste presiona hacia abajo el pistón y comprime el resorte hasta que la fuerza interna ejercida por el fluido es equilibrada por la fuerza externa ejercida por el resorte. Sea la magnitud de la fuerza sobre el pistón y el área en la parte superior de la superficie del pistón. Observe que la fuerza que comprime el resorte se dispersa sobre la totalidad del área, lo cual motiva la definición formal de presión:
69 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
4 0 .0 1 .0 ℎ 1 .0 4 0 .0
Si es la magnitud de una fuerza ejercida perpendicular a una superficie dada de área , entonces la presión es la fuerza dividida entre el área:
Unidades en el SI: Pascal (
Ejemplo 4.1.1
(a) Calcule el peso de una columna cilíndrica de agua con una altura y radio . (b) Calcule la fuerza ejercida por el aire en un disco de radio de en la superficie del agua. (c) ¿Qué presión a una profundidad de soporta la columna de agua? Solución:
(a) Calculando el volumen del cilindro:
ℎ 1.0 40.0 125.6 37 10 0125.6 37 1.256 37 ×10 1.256 37 ×10 9.81 1.2327×10
La masa se puede calcular por medio de la densidad:
Por lo que el peso es:
(b) Si
101.3×10 1 3.17×10 , entonces:
(c)
70 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
+ 3.17 ×10 + 1.2327 × 10 1.54 97 ×10 1.5497 × 10 1.0 4.93284×10 6.5 × 10− 80
A partir de la figura se tiene que:
Por lo que
Ejemplo 4.1.2
Un zapato de golf tiene 10 tacos, cada uno con un área de en contacto con el piso. Suponga que, al caminar, hay un instante en que los 10 tacos soportan el peso completo de una persona de . ¿Cuál es la presión ejercida por los tacos sobre el suelo? Solución:
Se calcula el peso de la persona y se divide entre el área de los 10 tacos, es decir:
80 9.81 1061.25.1×10− 1.21× 10
PRESIÓN HIDROESTÁTICA Es importante la diferencia entre cómo actúa la fuerza sobre un fluido y cómo lo hace sobre un sólido. Puesto que el sólido es un cuerpo rígido, puede soportar que se le aplique una fuerza sin que cambie apreciablemente su forma. Por otra parte, un líquido puede soportar una fuerza únicamente en una superficie o frontera cerrada. Si el fluido no está restringido en su movimiento, empezará a fluir bajo el efecto del esfuerzo cortante, en lugar de deformarse elásticamente. “La fuerza que ejerce un fluido sobre las paredes del recipiente que lo contiene siempre actúa en forma perpendicular a esas paredes.”
71 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
Ésta es una característica propia de los fluidos que hace que el concepto de presión sea muy útil. Si se perforan agujeros a los lados y al fondo de un barril con agua (véase la figura), se demuestra que la fuerza ejercida por el agua es en cualquier parte perpendicular a la superficie del barril. Figura 31.- Los fluidos ejercen presión en todas direcciones. Las fuerzas ejercidas por un fluido el recipiente que lo contiene son perpendiculares en todos los puntos. Al reflexionar un momento se presión deduce hacia que el sobre líquido también ejerce una arriba. Cualquier persona que haya tratado de mantener una balsa por debajo de la superficie del agua se convence de inmediato de la existencia de una presión hacia arriba. En realidad nos damos cuenta de que: los fluidos ejercen presión en todas direcciones.
Puesto que el peso del fluido que está por arriba de un punto en cuestión es proporcional a su densidad, la presión a cualquier profundidad es también proporcional a la densidad del fluido. Así se tiene:
Si se sabe que:
Se tiene entonces,
ℎ ℎ
La presión del fluido en cualquier punto es directamente proporcional a la densidad del fluido y a la profundidad bajo la superficie del fluido.
Ejemplo 4.2.1 La presión del agua en una casa es de ¿A qué altura debe estar el nivel del agua del recipiente de almacenamiento por encima de la toma de agua de la casa?
60
72 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
Solución:
ℎ ℎ 10600×10ℎ09.81 6.1 62 ℎ ℎ +ℎ 1 760 760 101.3 14.7 ℎ 5.0 ℎ 8.0 De la fórmula
Se tiene que,
La densidad del agua es
, por lo que:
La presión a una profundidad por debajo de la superficie de un líquido descubierto a la atmósfera es mayor que la presión atmosférica por una cantidad . Esto es:
Donde
es la presión atmosférica. Que a nivel del mar tiene las siguientes
unidades:
Ejemplo 4.2.2
En un enorme tanque de petróleo, se ha vertido agua salada a una profundidad de . Encima del agua hay una capa de petróleo de de profundidad, como se muestra en la vista de sección transversal del tanque en la figura. El petróleo tiene una densidad .
1025
0.70
Encuentre la presión en el fondo del tanque. (Considere como la densidad del agua salada.)
Figura 32.- Ejercicio 4.2.2
73 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
Solución:
Calculando los valores de la presión a las diferentes alturas, considere como la presión atmosférica:
+ó13ℎ5.635×11001.3×10 +70 9.81 5 +216ℎ.07 ×1035.635 ×10 +10259.81 8 1 ℎ→ 100490590.81 1×510.0 −49045.0905
Ejemplo 4.2.3
Calcule la fuerza neta ejercida del agua sobre su tímpano cuando está nadando en el fondo de una piscina de 5.0 m de profundidad. Considere el área del tímpano como . Solución:
Calculando la presión ejercida sobre el tímpano debido a la profundidad:<
Por definición de presión, se tiene:
Ejemplo 4.2.4
Un tubo de manómetro se llena parcialmente con agua. Después se vierte aceite (que no se mezcla con el agua y tiene menor densidad que el agua) en el brazo izquierdo del tubo hasta que la interfaz aceite-agua está en el punto medio del tubo. Ambos brazos del tubo
ℎ ℎ
están abiertos al aire. Determine la relación entre las alturas y .
74 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
Solución:
++ℎℎ +ℎℎ +ℎ ℎ
Se sabe que:
Debido a que tanto el agua como el aceite están en el mismo sistema, entonces sus presiones deben ser iguales:
Por lo que,
PRINCIPIO DE PASCAL Debido a que la presión en un fluido depende de la profundidad y del valor de , cualquier incremento en la presión en la superficie debe transmitirse a cada punto en el fluido. Esto fue visto por primera vez por el científico francés Blaise Pascal (1623-1662) y el efecto es conocido como principio de
Pascal: “Un cambio en la presión aplicado a un fluido encerrado se transmite, sin pérdida, a todo punto del fluido y a las paredes del recipiente.”
Una aplicación importante del principio de Pascal es la prensa hidráulica Una fuerza hacia abajo se aplica a un pequeño pistón de área . La presión se transmite a través de un fluido a un pistón de mayor área . Conforme los pistones se mueven y los fluidos en los cilindros izquierdo y derecho cambian su altura relativa, existen pequeñas diferencias en las presiones en la entrada y salida de los pistones. Despreciando estas Figura 33.- Prensa Hidráulica pequeñas diferencias, la presión del fluido en cada uno de los pistones puede considerarse la misma: De la definición de presión, se tiene
Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
.
75
que
. Por lo tanto, la magnitud de la fuerza
magnitud de
es mayor que la
en un factor de . Eso explica por qué una carga pesada,
como un automóvil, puede ser movida en el pistón mayor con mucha menor fuerza en el pistón menor. Los frenos hidráulicos, los elevadores de autos, los gatos hidráulicos y otras máquinas hacen uso de este principio.
Ejemplo 4.3.1
950 60
5
Una prensa hidráulica tiene un émbolo de entrada de de diámetro y un émbolo de salida de de diámetro. ¿Qué fuerza de entrada se requiere para proporcionar una fuerza total de salida capaz de levantar un automóvil de ? Solución:
Si,
Se sabe que
09.503205 9.8319.5 931694.571875
, por lo que,
Ejemplo 4.3.2
En un elevador de autos utilizado en una estación de servicio, el aire ejerce una fuerza sobre un pequeño pistón con área transversal de radio . Esta presión es transmitida por un líquido incompresible a un segundo pistón de radio . (a) ¿Qué fuerza debe ejercer el aire comprimido sobre el pequeño pistón para poder levantar un automóvil que pesa ? Desprecie el peso de los pistones. (b) ¿Qué presión del aire produce una fuerza de tal magnitud?
5 .0 13 30
15.0
76 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
Solución:
(a)
(b)
0.05 13 30 147 .7 78 01.41750.075 78 18 .1565
PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES Un principio fundamental que afecta los objetos sumergidos en fluidos fue descubierto por el matemático y filósofo natural griego Arquímedes. El principio de Arquímedes establece: “Cualquier objeto sumergido parcial o totalmente en un fluido recibe una fuerza de empuje ascendente de igual magnitud al peso del fluido desplazado por el objeto.”
Muchos historiadores atribuyen el concepto de empuje a Arquímedes gracias a una “epifanía bañera”, cuando observó una aparente pérdida de
peso al mismo tiempo que el agua en la bañera ascendía.
Figura 34.- El empuje que se ejerce sobre el disco es igual al peso del fluido que se desplaza.
77 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
El principio de Arquímedes se puede demostrar estudiando las fuerzas que ejerce el fluido sobre un cuerpo que se encuentra suspendido en él. Considere un disco de área y de altura que está totalmente sumergido en un fluido, como se muestra en la figura 34. Recuerde que la presión a cualquier profundidad en el fluido está dada por:
ℎ +ℎ +ℎ+ ℎ → ( ) ℎ ℎ
Así calculando las presiones por debajo y sobre el disco se tiene:
De la misma manera, se sabe que la presión está relacionada según la ecuación:
La fuerza neta
que actúa sobre el disco está dada por:
Así el principio de Arquímedes puede escribirse:
Donde es la densidad del fluido, fuerza de empuje (o flotación).
es el volumen desplazado y
es la
Es importante destacar que el empuje es el peso del fluido desplazado y el volumen de este fluido es el mismo que el del objeto sumergido.
Figura 35.- Un cuerpo que flota desaloja su propio peso de luido.
78 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
Ejemplo 4.4.1 Un corcho tiene un volumen de
4
y una densidad de
207
. (a) ¿Qué
volumen del corcho se encuentra bajo la superficie cuando el corcho flota en agua? (b) ¿Qué fuerza hacia abajo es necesaria para sumergir el corcho por completo? Solución:
4 4×10−, 207 → 2 0 7 10 40×10 − 8.28 ×10 − 0 .8 2 8
(a) Se tiene que
. Debido a que
cuando el corcho es sumergido en agua, éste desplaza un volumen que es igual al volumen sumergido, así:
Se sabe que el empuje es igual al peso del fluido desalojado, así pues
La masa se puede obtener de la definición de densidad:
Por lo que:
Así, el volumen del corcho sumergido es:
79 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
(b)
Cuando el corcho se sumerge, el equilibrio exige que las fuerzas estén balanceadas. La suma de estas fuerzas descendentes es igual al empuje . Por tanto:
Donde
+ 10 0 9.814×10 − 0.03924 2070.039249.810.048×1210−0.0310.018812 es la fuerza para hundir el corcho y
es el peso mismo del corcho.
Debido a que el corcho está sumergido por completo:
Ejemplo 4.4.2
0.9 . 0.178
Un globo meteorológico requiere operar a una altitud donde la densidad del aire es
A esa altitud, el globo tiene un volumen de
8 20 0.9 9.81 20 176.58
lleno de helio ( ). Si la bolsa del globo pesa capaz de soportar a este nivel? Solución:
y está
, ¿qué carga es
Calculando el empuje del aire:
Así debido a que el empuje es igual a la suma de las fuerzas que actúan en sentido contrario a él, se tiene:
Por lo que,
176.+58 +8 8
Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
80
Ejemplo 4.4.3
176.58 34.9236 88 53.6564 1 5 .0
Una estatua de oro sólido de está siendo levantada de un barco hundido. ¿Qué tensión hay en el cable cuando la estatua está (a) en reposo y totalmente sumergida, y (b) en reposo y fuera del agua? Solución:
(a) Para calcular la fuerza de empuje se necesita el volumen de la estatua, por lo que:
191.35×.010 7.7 2 × 10−
Así, el empuje está dado por:
Debido a que está en el mar, se toma la densidad del agua de mar por lo que,
1.03 ×10 9.81∑70.7 2 × 10− 7.8531 + 0 15 9.81 7.8531 139.2969
La estatua está en reposo, por lo que la suma de las fuerzas es igual a cero:
Donde,
(b)
es la tensión del cable y
el peso de la estatua;
Cuando está en el aire, la tensión del cable es igual al peso
15 9.81 147.15 81 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
NOTA: El aire es un fluido también, pero el empuje que ejerce sobre la estatua es despreciable.
FLUJO DE UN FLUIDO El flujo de fluidos suele ser extremadamente complejo, como se aprecia en
las corrientes de los rápidos de los ríos o en las flamas de una fogata, pero algunas situaciones se pueden representar con modelos idealizados relativamente simples. Consideraremos que todos los fluidos en movimiento muestran una corriente laminar o flujo aerodinámico. El flujo aerodinámico es el movimiento de un fluido en el cual cada partícula en el fluido sigue la misma trayectoria (pasa por un punto particular) que siguió la partícula anterior.
En contraste, el flujo de un fluido se hace irregular, oturbulento, arriba de cierta velocidad o bajo cualesquiera condiciones que puedan causar cambios abruptos de velocidad. Los movimientos irregulares del fluido, llamados corrientes turbulentas, son característicos de un flujo con remolinos. Muchas de las características del movimiento de un fluido pueden entenderse considerando el comportamiento de un fluido ideal, que satisface las siguientes condiciones: 1. El fluido es no viscoso; es decir, no hay fuerza de fricción interna entre capas adyacentes. 2. El fluido es incompresible, lo cual significa que su densidad es constante. 3. El movimiento del fluido es estacionario, lo que significa que la velocidad, densidad y presión en cada punto del fluido no cambian con el tiempo. 4. El fluido se mueve sin turbulencia. El flujo del fluido (gasto) se define como el volumen de fluido que pasa a través de cierta sección transversal en una unidad de tiempo.
82 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
Para expresar esta razón en forma cuantitativa, consideraremos el caso de un líquido que fluye a lo largo de una tubería como la que se ilustra en la figura 36.
1 Durante un breve intervalo de tiempo , el se mueve una distancia , así que un cilindro de fluido de altura y fluido en
fluye hacia el tubo a volumen través de . Durante ese mismo lapso, un cilindro de volumen sale del tubo a través de . Consideremos primero el caso de un fluido
Figura 36.- Tubo de flujo con área de sección ransversal cambiante. Si el fluido es incompresible, el producto Av tiene el mismo valor en todos los puntos a lo largo del tubo.
incompresible cuya densidad tiene el mismo valor en todos los puntos. La masa que fluye al tubo por en el tiempo es . De manera similar, la masa que sale por en el mismo tiempo es . En flujo estable, la masa total en el tubo es constante, así que
O bien,
La ecuación indica que la tasa de flujo de volumen tiene el mismo valor en todos los puntos a lo largo de cualquier tubo de flujo.
El producto , que tiene dimensiones de volumen por unidad de tiempo, es llamado razón de . La condición es equivalente al hecho de que el volumen de un fluido que entra por un extremo del tubo en un intervalo es igual a la cantidad de fluido que sale del tubo en el mismo intervalo, suponiendo que el fluido es incompresible y que no hay fugas.
83 Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
Ejemplo 4.5.1
2
4
El agua fluye a través de una manguera de hule de de diámetro a una velocidad de . (a) ¿Qué diámetro debe tener el chorro si el agua sale a
20
? (b) ¿Cuál es el gasto en metros cúbicos por minuto?
Solución
(a)
, 4 1 0.4 72 2 20.894 0.0 4 72 20 1.256 ×10 − 0.07540 min
A partir de la ecuación de flujo:
Como
, por lo que:
Por lo que el diámetro es:
(b)
Calculando el gasto
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Ejemplo 4.5.2
5 525 2
670
Cada segundo, de agua caen sobre un acantilado de de ancho en forma de herradura en las cataratas del Niágara. El agua tiene aproximadamente de profundidad cuando alcanza el acantilado. Estime su rapidez en ese instante. Solución:
A partir de la fórmula de flujo:
6750 2521534205 4.1231 2.50 3 0 . 0 1 1 0 0 1.0 Ejemplo 4.5.3
Un jardinero utiliza una manguera de de diámetro para llenar una cubeta de ( ). El jardinero nota que tarda en llenar la cubeta. A la manguera se le conecta una boquilla con una abertura de área de sección transversal igual a , la boquilla se sostiene de modo que el agua se proyecte horizontalmente desde un punto situado a por encima del suelo. ¿Qué velocidad lleva el agua al salir de la boquilla? ¿Hasta qué distancia horizontal puede proyectarse el agua? Solución:
0 .5 0
1 .0 30 min 1100 16m0in 5×10− 5×10 − 0.50 ×10−1010 10
Debido a que se llena una cubeta de 30 litros en 1 minuto, entonces:
Se sabe que
, por lo que:
Por lo que la velocidad de salida es velocidad horizontal, entonces
, debido a que esta es una
.
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Para calcular la distancia horizontal que alcanza el chorro, utilizamos la fórmula:
Debido a que se desconoce el tiempo en el aire, utilizamos la fórmula para caída libre:
102ℎ0.45292.18.104.520.452
Por lo que la distancia será:
ECUACIÓN DE BERNOULLI Conforme un fluido se mueve por un tubo de sección transversal y elevación variables, cambia la presión a lo largo del tubo. En 1738 el físico suizo Daniel Bernoulli (1700-1782) obtuvo una expresión que relaciona la presión de un fluido con su velocidad y elevación. La ecuación de Bernoulli no es una ley física independiente; como se verá en esta sección, es una consecuencia de la conservación de la energía aplicada a un fluido ideal.
Al obtener la ecuación de Bernoulli, de nuevo suponemos que el fluido es incompresible, no viscoso y que circula en modo estacionario y no Figura 37.- Por el teorema trabajo-energía, el rabajo realizado por las presiones opuestas turbulento.
P1 y P2 es igual a la diferencia de energía mecánica del fluido.
En un pequeño intervalo de tiempo , el fluido que está en se mueve a , una distancia , y el fluido que está inicialmente en se mueve a , una distancia . Las áreas , como se indica. El fluido es transversales dos son deycontinuidad, incompresible,en asílos que, porextremos la ecuación el volumen de fluido
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que pasa por cualquier sección transversal durante el tiempo mismo. Es decir, .
es el
Las presiones en los dos extremos son y ; la fuerza sobre la sección transversal en es , y la fuerza en es . El trabajo neto
efectuado sobre el elemento por el fluido circundante durante este
desplazamiento es, por lo tanto,
Como
.
∫ ∫
El trabajo se debe a fuerzas distintas de la fuerza de gravedad conservadora, así que es igual al cambio en la energía mecánica total (energía cinética más energía potencial gravitacional) asociada al elemento fluido. La energía mecánica para el fluido entre las secciones y no cambia.
Se sabe entonces que,
Y que,
Δ 12 12 Δ ℎ ℎ +Δ 1 1 122 122 +ℎ+ℎ ℎℎ
Por teorema del trabajo-energía:
Así se tiene,
Dividiendo ambos lados de la ecuación entre
y considerando que
87
Bioing. Armando de Jesús Barragán Cruz
+ 12+ℎ + 12 +ℎ + 12 +ℎ
Reacomodando términos se obtiene:
Ésta es la ecuación de Bernoulli, que a menudo se expresa como:
Una importante consecuencia de la ecuación de Bernoulli puede demostrarse considerando la figura, que muestra agua que circula por un tubo horizontal restringido de una región de área de sección transversal grande a una pequeña. Este aparato, llamado tubo de Venturi, puede usarse para medir la velocidad de flujo de un fluido. Debido a que el tubo es horizontal, no hay altura, y la ecuación de Bernoulli aplicada a los puntos y da:
2
+12 +12
A partir de lo anterior, se puede concluir que:
1
“Los fluidos que se mueven con mayor velocidad ejercen menos presión que los que se mueven lentamente.”
Ejemplo 4.6.1 Un policía miope dispara con su arma preferida de seis tiros a un abigeo. Por suerte para éste, la bala no da en el blanco, pero penetra en el tanque que surte de agua al pueblo, causándole una fuga. (a) Si la parte superior del tanque está abierta a la atmósfera, determine la velocidad con la que
Figura 38.- Ejercicio 4.6.1
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0 .5 0 3 .0
sale el agua por el agujero cuando el nivel de agua está a encima de él. (b) ¿A qué distancia llega el chorro de agua si el agujero está a por encima del suelo? Solución:
(a) Por la ecuación de Bernoulli se tiene que:
≈+102 +ℎ +12 +ℎ √2ℎ ℎ √2ℎ 29.81 0.50 3.13
Considerando que
, simplificando y resolviendo para
:
(b) Para calcular la distancia a la que llega el chorro, hay que utilizar la fórmula:
Apoyándonos de la fórmula de caídalibre para tiempo en el aire, se obtiene que:
Así
La relación
2ℎ 29.38.10 0.782 3.13 0.782 2.45 √ 2 ℎ
se conoce como Teorema de Torricelli.
Note que la velocidad de salida de un líquido a la profundidad es la misma que la de un objeto
ℎ
ℎ
que se dejara del reposo El gasto al cualcaer un líquido fluyedesde desdeuna un altura orificio. está dada por , la relación de Torricelli nos Figura 39.- Teorema de Torricelli
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permite expresar el gasto en términos de la altura del líquido sobre el orificio. Por tanto,
√2ℎ
La velocidad de descarga aumenta con la profundidad. Observe que el alcance máximo se logra cuando la abertura se encuentra a la mitad de la columna de agua. Aunque la velocidad de
Figura 40.- velocidad de descarga aumenta con la profundidad por debajo de la superficie, pero el alcance es máximo en el punto medio.
descarga aumenta por debajo del punto medio, el agua golpea el piso más cerca. Esto ocurre porque llega al piso más pronto. Las perforaciones equidistantes por encima y por abajo del punto medio tendrán el mismo alcance horizontal.
Ejemplo 4.6.2
1 . 4 √2ℎ 1×10 − 29.81 4 8.85× 10−
Una fisura en un tanque de agua tiene un área de sección transversal de ¿A qué rapidez sale el agua del tanque si el nivel del agua en éste es de sobre la abertura? Solución:
Calculando el gasto a partir del teorema de Torricelli:
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