www.MATHVN.com
���� � �� � �ă �ă� ă� Đ��� Đ���
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
MC LC
Trang
PHN I – I S CHƯƠ NG NG I – MNH & TP H P -------------------------------------------------------------------- 1 A – M MNH --------------------------------------------------------------------------------------------- 1 B – T TP H HP ---------------------------------------------------------------------------------------------- 6 CHƯƠ NG NG II – HÀM S BC NHT & BC HAI ----------------------------------------------------- 12 A – I I CƯƠ CƯƠNG NG V V HÀM S S ------------------------------------------------------------------------ 12 Dng toán 1. Tìm t tp xác nh nh c ca hàm s s ------------------------------------------------------ 13 Dng toán 2. 2. Tính ơ n iu c ca hàm s s ---------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------- 16 Dng toán 3. Xét tính ch chn l l c ca hàm s s ------------------------------------------------------- 18 B – HÀM S S B BC NH NHT ------------------------------------------------------------------------------- 20 C – HÀM S S B BC HAI ---------------------------------------------------------------------------------- 25 CHƯƠ NG NG III – PH ƯƠ NG NG TRÌNH & H PHƯƠ NG NG TRÌNH ---------------------------------------- 36 A – I I CƯƠ CƯƠNG NG V V PHƯƠ PHƯƠNG NG TRÌNH ------------------------------------------------------------- 36 B – PHƯƠ PHƯƠNG NG TRÌNH B BC NH NHT -------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------- 38 C – PHƯƠ PHƯƠNG NG TRÌNH B BC HAI --------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------ 43 Dng toán 1. Gi Gii và bi bin lu lun phươ phươ ng ng trình b bc hai --------------------------------------------------------------------------------- 43 Dng toán 2. Du c ca s s nghi nghim phươ phươ ng ng trình b bc hai ---------------------------------------- 44 Dng toán 3. Nh Nhng bài toán liên quan n n nh nh lí Viét --------------------------------------- 47 Dng toán 4. Phươ Ph ươ ng ng trình b bc cao quy v v phươ phươ ng ng trình b bc hai ----------------------------- 52 Dng toán 5. Phươ Ph ươ ng ng trình ch cha n trong d du tr tr tuy tuyt i i ------------------------------------ 57 Dng toán 6. Phươ Ph ươ ng ng trình ch cha n dư dư i d du că căn ---------------------------------------------- 59 D – H H PHƯƠ PHƯƠNG NG TRÌNH B BC NH NHT NHI NHIU N ----------------------------------------------- 73 E – H H PHƯƠ PHƯƠNG NG TRÌNH B BC HAI HAI N S S -------------------------------------------------- 80 CHƯƠ NG NG IV – BT NG TH C & BT PHƯƠ NG NG TRÌNH ------------------------------------- 106 A – B BT NG NG TH TH C --------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 106 Dng toán 1. Ch Ch ng minh B B T d da vào nh nh ngh ĩ a và tính ch ch t ---------------------------- 108 Dng toán 2. Ch Ch ng minh B B T d da vào B BT Cauchy ---------------------------------------- 113 Dng toán 3. Ch Ch ng minh B B T d da vào B BT Bunhiacôpxki -------------------------------- 122 Dng toán 4. Ch Ch ng minh B B T d da vào B BT Cauchy Schwarz --------------------------------------------------------- 125 Dng toán 5. Ch Ch ng minh B B T d da vào phươ phươ ng ng pháp t t a véct véctơ ơ ------------------------ 126 Dng toán 6. ng ng d dng B BT gi gii phươ phươ ng ng trình --------------------------------------------- 127
PHN II – HÌNH H C CHƯƠ NG NG I – VÉCTƠ & & PHÉP TOÁN ------------------------------------------------------------------- 141 A – VÉCTƠ VÉCTƠ & CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VÉCTƠ VÉCT Ơ ------------------------------------------------- 141 Dng toán 1. i cươ ng ng v v véctơ véctơ ----------------------------------------------------------------- 143 i cươ www.DeThiThuDaiHoc.com
Dng toán 2. Ch Chng minh m mwww.MATHVN.com t ng ng th thc véctơ véctơ ------------------------------------------------ 147 Dng toán 3. Xác nh nh im th tha ng ng th thc véctơ véctơ --------------------------------------------- 156 Dng toán 4. Phân tích véctơ véctơ – – Ch Chng minh th thng hàng – Song song ---------------------- 164 Dng toán 5. Tìm mô môun – Qu Qu tích im – im c c nh nh ----------------------------------- 177 B – H H TR TRC T TA --------------------------------------------------------------------------------- 180 Dng toán 1. Ta véct véctơ ơ – – Bi Biu di din véctơ véctơ --------------------------------------------------- 181 Dng toán 2. Xác nh nh im th tha mãn iu ki kin cho trư trư c ----------------------------------- 183 Dng toán 3. Véctơ Véctơ cùng cùng phươ phươ ng ng và ng d dng ------------------------------------------------- 185 CHƯƠ NG NG II – TÍCH VÔ HƯ NG NG & NG NG DNG ---------------------------------------------------- 190 A – GIÁ TR TR LƯ LƯNG NG GIÁC C CA M MT CUNG GÓC B BT KÌ --------------------------------------- ------------------------- 190 B – TÍCH VÔ HƯ H ƯNG NG C CA HAI VÉCTƠ VÉCTƠ ---------------------------------------------------------- 194 Dng toán 1. Tích vô h ư ng ng – Tính góc – Ch Ch ng minh và thi thit l lp vuông góc ----------- 195 Dng toán 2. Ch Chng minh ng thc – Bài toán c c c tr tr --------------------------------------- 201 ng th C – H H TH TH C LƯ LƯNG NG TRONG TAM GIÁC ------------------------------------------------------- 207
www.DeThiThuDaiHoc.com
www.MATHVN.com
PHN I
I S www.DeThiThuDaiHoc.com
c cươ ươ ng ng h hc t tp môn Toán 10 t t p I
Chươ ng
1
Ths. Lê Văn oàn
www.MATHVN.com
�
A – MNH
Mnh Mnh là là m mt câu kh khng nh nh úng ho hoc m mt câu kh khng nh nh sai. Mt m mnh không không th th v va úng, v va sai.
Mnh ph nh Cho m mnh P. P. Mnh "không ph i P" ư c g gi là m mnh ph ca P và kí hi hi u là P . "không ph ph nh nh c Nu P úng thì P sai, n nu P sai thì P úng.
Mnh kéo theo
Cho m mnh P P và Q. Mnh "N "Nu P thì Q" ư c g gi là m mnh kéo kéo theo và kí hi hi u là: P ⇒ Q. Mnh P ch sai khi P úng và Q sai. P ⇒ Q ch Lưu ý r rng: Các nh nh lí toán h hc thư thư ng ng có d dng P ⇒ Q. Khi ó: P là gi gi thi thit, Q là k kt lu lun. P là iu ki kin có có Q. Q là iu ki kin c cn có có P. Mnh o Cho m mnh kéo Mnh Q gi là mnh o ca m mnh P kéo theo P ⇒ Q. M Q ⇒ P ư c g P ⇒ Q.
Mnh tươ ng ng ươ ng ng Cho m mnh P P và Q. Mnh "P "P n nu và ch ch n nu Q" ư c g gi là m mnh t tươ ươ ng ng ươ ng ng và kí hi hi u là P ⇔ Q. Mnh P P ⇔ Q úng khi và ch ch khi c c hai m mnh P P ⇒ Q và Q ⇒ P u u úng. Lưu ý r rng: N Nu m mnh P P ⇔ Q là 1 nh nh lí thì ta nói P là iu kin cn và có có Q.
Mnh ch a bin Mnh ch cha bi bin là m mt câu kh khng nh nh ch cha bi bin nh nhn giá tr tr trong m mt t tp X nào ó mà v i m mi giá tr tr c ca bi bin thu thuc X ta ư c m mt m mnh . .
Kí hiu ∀ và ∃ "∀x ∈ X, P(x)". "∃x ∈ X, P(x)". Mnh ph ph nh nh c ca m mnh " "∀x ∈ X, P(x)" là " ∃x ∈ X,
P(x) ".
Mnh ph ph nh nh c ca m mnh " "∃x ∈ X, P(x)" là " ∀x ∈ X,
P(x) ".
Phép
ch ng ng minh phn ch ng ng
Gi Gi s s ta c cn ch chng minh nh nh lí: A ⇒ B Cách 1. Ta gi gi thi thit A úng. Dùng suy lu lun và các ki kin th thc toán h hc ã bi bit ch chng minh B úng. Cách 2. (Ch ng ng minh phn ch ng) ng) Ta gi gi thi thit B sai, t t ó ch chng minh A sai. Do A không th th v va úng v va sai nên k kt qu qu là B ph ph i úng. "Cn cù bù thông minh…………" "C www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 1 -
Ths. Lê Vă Văn oàn
www.MATHVN.com
Phn Ph ii S S
BÀI TP ÁP DNG Trong các câu dư d ư i ây, câu nào là m m nh , , câu nào là m m nh ch cha bi bin ? a/ S 11 là s s ch chn. c/ Hu Hu là m mt thành ph ph c ca Vi Vit Nam.
b/ Bn có chă chăm h hc không ? d/ 2x + 3 là m mt s s nguyên dươ d ươ ng. ng.
e/ 2 − 5 < 0 . g/ Hãy tr tr l l i câu h hi này !. i/ Phươ Phươ ng ng trình x2 − x + 1 = 0 có nghi nghim.
f/ 4 + x = 3 . h/ Paris là th th ô nư nư c Ý. k/ 13 là mt s s nguyên t t .
Trong các m m nh sau, mnh nào Gii thích ? sau, m nào là úng ? Gi a/ c/ e/ g/
Nu a chia h ht cho 9 thì a chia h h t cho 3. Nu a chia h ht cho 3 thì a chia h h t cho 6. 2 và 3 là hai s s nguyên t t cùng nhau. 5 > 3 ho hoc 5 < 3.
b/ d/ f/ h/
Nu a ≥ b thì a 2 ≥ b2 . S π l l n hơ hơ n 2 và nh nh hơ hơ n 4. 81 là m t s s chính phươ phươ ng. ng. S 15 chia h h t cho 4 ho hoc cho 5.
Trong các m m nh sau, mnh nào Gii thích ? sau, m nào là úng ? Gi a/ Hai tam giác bng nhau khi và ch ch khi chúng có di di n tích b bng nhau. nhau. b/ Hai tam tam giác giác b bng nhau khi và ch ch khi chúng ng ng d dng và có m m t c cnh b bng nhau. c/ Mt tam giác là tam giác u u khi và ch ch khi chúng có hai ư ng ng trung tuy tuyn b bng nhau và có 0 mt góc b bng 60 . d/ Mt tam giác là tam giác vuông khi và ch ch khi nó có m m t góc b bng t tng c ca hai góc còn l l i. e/ ư ng ng tròn có m mt tâm i i x xng và m m t tr trc i i x xng. f/ Hình ch ch nh nht có hai tr trc i i x xng. g/ Mt t t giác là hình thoi khi và ch ch khi nó có hai ư ng ng chéo vuông góc v v i nhau. h/ Mt t t giác n ni ti tip ư c ư ng ng tròn khi và ch ch khi nó có hai góc vuông.
Trong các m m nh sau, sau, m mnh nào nào là úng ? Gi Gii thích ? Phát bi bi u các m mnh ó thành l l i ? a/ ∀x ∈ , x2 > 0 . c/ ∃x ∈ , 4x 2 − 1 = 0 . e) ∀x ∈ , x2 − x = 1 > 0 .
b/ ∃x ∈ , x > x2 . d/ ∀n ∈ , n2 > n . f/ ∀x ∈ , x 2 > 9 ⇒ x > 3 .
g/ ∀x ∈ , x > 3 ⇒ x 2 > 9 . i/ ∃x ∈ , 5x − 3x2 ≤ 1 . l/ ∀n ∈ , n2 + 1 không chia h h t cho 3.
h/ ∀x ∈ , x 2 < 5 ⇒ x < 5 . k/ ∃x ∈ , x2 + 2x + 5 là h h p s s. m/ ∀n ∈ *, n(n + 1) là s s l l.
n(n + 1) 1)(n + 2) chia h n/ ∀n ∈ *, n( ht cho 6.
o/ ∀n ∈ *, n3 + 11n chia h ht cho 6.
in vào ch ch tr trng t t n ni "và" hay "ho "hoc" ư c m mnh úng ? a/ π < 4... 4..... .... .... .... ....π > 5 . ...... ...... ....b = 0 . b/ ab = 0 khi a = 0..... ......... ........b ..b ≠ 0 . c/ ab ≠ 0 khi a ≠ 0... khi a > 0.... 0...... .... .... .... .. b > 0... 0..... .... .... .... ...a .a < 0.... ...... .... .... ....b ..b < 0 . d/ ab > 0 khi e/ Mt s s chia h ht cho 6 khi và ch ch khi nó chia h h t cho 2 ……… cho 3. f/ Mt s s chia h ht cho 5 khi và ch ch khi ch ch s s t tn cùng c c a nó b bng 0 ……… b bng 5.
Cho m mnh ch cha bi bin P (x ) , v v i x ∈ . Tìm x P (x ) là m mnh úng ? a/ P ( x ) : " x 2 − 5x + 4 = 0 " . Page - 2 -
b/ P ( x ) : " x2 − 5 x + 6 = 0 " .
"All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" www.DeThiThuDaiHoc.com
c cươ ươ ng ng h hc t tp môn Toán 10 t t p I
www.MATHVN.com
Ths. Lê Văn oàn
c/ P (x ) : " x2 − 3 x > 0 " .
d/ P (x ) : " x ≥ x " .
e/ P (x ) : " 2 x + 3 ≤ 7 " .
f/ P (x : " x 2 + x + 1 > 0 " .
Nêu m mnh ph ph nh nh c ca các m mnh sau: sau: a/ b/ c/ d/
S t t nhiên n chia h h t cho 2 và cho 3. S t t nhiên n có ch ch s s t tn cùng b bng 0 ho hoc b bng 5. T giác T có hai c c nh i i v va song song v v a b bng nhau. S t t nhiên n có ư c s s b bng 1 và b bng n.
Nêu m mnh ph ph nh nh c ca các m mnh sau: sau: a/ ∀x ∈ : x2 > 0 c/ ∃x ∈ : 4x2 − 1 = 0 .
b/ ∃x ∈ : x > x 2 . d/ ∀x ∈ : x2 − x + 7 > 0 .
e/ ∀x ∈ : x2 − x − 2 < 0 . g/ ∀n ∈ , n2 + 1 không chia h h t cho 3. i/ ∀n ∈ , n2 + n chia h ht cho 2.
f/ ∃x ∈ : x2 = 3 . h/ ∀n ∈ , n2 + 2n + 5 là s s nguyên t t . k/ ∀n ∈ , n2 − 1 là s s l l.
Phát bi biu các m mnh sau, bng cách s s d dng khái ni nim " "iu ki kin c cn", " "iu ki kin ": sau, b ": a/ b/ c/ d/ e/
Nu m mt s s t t nhiên có ch ch s s t tn cùng là ch ch s s 5 thì nó chia h h t cho 5. Nu a + b > 0 thì m mt trong hai s s a và b ph phi dươ dươ ng. ng. Nu m mt s s t t nhiên chia h h t cho 6 thì nó chia h h t cho 3. 2 2 Nu a = b thì a = b . Nu a và b cùng chia h h t cho c thì a + b chia h ht cho c.
Phát bi biu các m mnh sau, sau, b bng cách s s d dng khái ni nim " "iu ki kin c cn", " "iu ki kin ": ": a/ Trong m mt ph phng, n nu hai ư ng ng th thng phân bi bi t cùng vuông góc v v i m mt ư ng ng th thng th th ba thì hai ư ng ng th thng y song song v v i nhau. b/ Nu hai tam giác b bng nhau thì chúng có di di n tích b bng nhau. c/ Nu t t giác T là m mt hình thoi thì nó có hai ư ng ng chéo vuông góc v v i nhau. d/ Nu t t giác H là m mt hình ch ch nh nht thì nó có ba góc vuông. e/ Nu tam giác K u u thì nó có hai góc b b ng nhau.
Phát bi biu các m mnh sau, sau, b bng cách s s d dng khái ni nim " "iu ki kin c cn và ": ": a/ b/ c/ d/ e/
Mt tam giác là vuông khi và ch ch khi nó có m mt góc b bng t tng hai góc còn l li. Mt t t giác là hình ch ch nh nht khi và ch ch khi nó có ba góc vuông. Mt t t giác là n ni ti tip ư c trong ư ng ng tròn khi và ch ch khi nó có hai góc i i bù nhau. Mt s s chia h ht cho 6 khi và ch ch khi nó chia h h t cho 2 và cho 3. 2 S t t nhiên n là s s l l khi và ch ch khi n là s s l l.
Ch Chng minh các m m nh sau sau b bng phươ phươ ng ng pháp ph phn ch chng: a/ b/ c/ d/ e/ f/ g/
Nu a + b < 2 thì m mt trong hai s s a và b nh nh hơ hơ n 1. Mt tam giác không ph ph i là tam giác u u thì nó có ít nh nh t m mt góc nh nh hơ hơ n 600. Nu x ≠ 1 và y ≠ 1 thì x + y + xy ≠ 1 . Nu bình phươ ph ươ ng ng c ca m mt s s t t nhiên n là m m t s s ch chn thì n cũ cũng là m mt s s ch chn. Nu tích c ca hai s s t t nhiên là m mt s s l l thì t tng c ca chúng là m m t s s ch chn. Nu 1 t t giác có t t ng các góc i i di din b bng 2 góc vuông thì t t giác n ni ti tip ư c ư ng ng tròn. 2 2 Nu x + y = 0 thì x = 0 và y = 0 .
"Cn cù bù thông minh…………" "C www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 3 -
Ths. Lê Vă Văn oàn
www.MATHVN.com
Phn Ph ii S S
BÀI TP RÈN LUYN Trong các câu sau, câu nào là m m nh , , câu nào không là m m nh ? ? N Nu là m mnh thì thì nó là mnh úng hay sai ? a/ Các em có vui không ? b/ Cm h hc sinh nói chuy chuyn trong gi gi h hc ! c/ Phươ Phươ ng ng trình x 2 + x = 0 có hai nghi nghim dươ dươ ng ng phân bi bit. 5 d/ 2 − 1 là m mt s s nguyên t t . e/ 2 là m mt s s vô tt. f/ Thành ph ph H H Chí Minh là th th ô c ca nư nư c Vi Vit Nam. g/ Mt s s t t nhiên chia h ht cho 2 và 4 thì s s ó chia h ht cho 8. h/ Nu 22003 − 1 là s s nguyên t t thì 16 là s s chính phươ phươ ng. ng.
Vi Vit m mnh ph ph nh nh c ca m mi m mnh sau sau và xét xem m m nh ph ph nh nh ó úng hay sai ? a/ π < 3,15 . c/ 3 là s nguyên t t . e/ π là s s h hu tt. g/ 2 là s s h hu t t.
b/ −125 ≤ 0 . d/ 7 không chia ht cho 5. f/ 1794 chia ht cho 3. h/ Tng 2 c cnh 1 l l n hơ hơ n c cnh th th 3.
Phát bi biu thành l l i các m mnh sau sau và xét tính úng sai c c a các m mnh ó: a/ ∀x ∈ , x2 > 0 . c/ ∃n ∈ , n ≤ 2n 2n . e/ ∀x ∈ , 1, 2 < x < 2, 1 .
b/ ∃n ∈ , n2 = n . d/ ∃x ∈ , x < 0 . f/ ∀n ∈ , n2 + 1 chia h ht cho 3.
Các m mnh sau sau ây úng hay sai ? Gi Gi i thích ? Vi Vit m mnh ph ph nh nh c ca chúng ? a/ c/ e/ g/ i/
∃n ∈ , n2 = 2 . ∃x ∈ , x > x2 .
∃n ∈ , n2 ≥ n . ∃x ∈ , x2 − x + 1 > 0 ∃n ∈ , n2 + 1 không chia h h t cho 3.
b/ d/ f/ h/ j/
∀x ∈ , x > x2 . ∀n ∈ , n2 ≥ n .
∀x ∈ , x2 − x + 1 > 0 .
h t cho 3. ∀n ∈ , n2 + 1 không chia h ∃n ∈ , n2 + 1 chia h ht cho 4.
Cho m mnh ch cha bi bin P (x) : " x2 = x " . Xác nh nh tính úng – sai c ca các m mnh sau: sau: P (0); P (−1); P (1); " ∃x ∈ , P (x ) "; " ∀x ∈ , P (x ) " .
Cho m mnh ch cha bi bin P (x) : " x3 − 2x = 0 " . Xác nh nh tính úng – sai c ca các m mnh sau: sau: P (0); P (2); P
( 2) ; " ∃x ∈ , P(x) "; " ∀x ∈ , P( x) ".
Các m mnh sau sau úng hay sai ? N Nu sai hãy s s a l li có có m mt m mnh úng ? a/ x = 1 ⇔ x 2 = 1 . b/ 2001 là s nguyên t t . 2 2 2 c/ ∀x ∈ , x > x . d/ ∀x ∈ , x + y ≤ 2xy . e/ ∃x ∈ , x2 ≤ x . f/ ∃n ∈ , n2 + n + 1 7 b/ ABCD là hình vuông ⇒ ABCD là hình bình hành. c/ ABCD là hình thoi ⇒ ABCD là hình ch ch nh nht. d/ T giác MNPQ là hình vuông ⇔ Hai ư ng ng chéo MP và NQ b b ng nhau. e/ Hai tam giác b bng nhau ⇔ Chúng có di din tích b bng nhau. Page - 4 -
"All the flower of tomorrow are in the seeks of today……" www.DeThiThuDaiHoc.com
c cươ ươ ng ng h hc t tp môn Toán 10 t t p I
www.MATHVN.com
Ths. Lê Văn oàn
Dùng b bng chân tr tr hãy ch chng minh:
( ) c/ (A ⇒ B) = (A ∨ B) = (B ⇒ A) . e/ (A ∨ B) = (A ∧ B) .
b/ (A ⇒ B ) ∧ A = A .
a/ (A ⇒ B) = A ∨ B .
d/ (A ⇒ B) ⇒ B = (A ∨ B) .
i/ A ⇒ (B ∧ C) = (A ⇒ B) ∧ (A ⇒ C) .
( ) ( ) (A ∧ B) ⇒ C = (A ∨ B ∨ C) .
f/ A ∧ B = A ∨ B .
j/
V i n là s s t t nhiên l l, xét nh nh lí: " N Nu n là s s t t nhiên l l thì n2 − 1 chia h ht cho 8". nh nh lí trên ư c vi vit dư dư i d dng P (n) ⇒ Q (n) . a/ Hãy xác nh nh m mnh P (n ) và Q (n) . b/ Phát bi biu nh nh lí trên b bng cách s s d dng thu thut ng ng " "iu ki kin " " và " iu ki kin c cn". 3 Cho nh nh lí: " N Nu n là s s t t nhiên thì n − n chia h ht cho 3". nh nh lí trên ư c vi vit dư dư i d dng P (n) ⇒ Q (n) . a/ Hãy xác nh nh m mnh P (n ) và Q (n) . b/ Phát bi biu nh nh lí trên b bng cách s s d dng thu thut ng ng " "iu ki kin " " và " iu ki kin c cn". c/ Ch Chng minh nh nh lí trên.
S d dng thu thut ng ng " "iu ki kin " " phát phát bi bi u các nh nh lí sau: a/ Nu m mt t t giác là hình bình hành thì nó có hai ư ng ng chéo c c t nhau t ti trung im c ca m mi ư ng. ng. b/ Nu m mt hình thoi có hai ư ng ng chéo b bng nhau thì nó là hình vuông. c/ Nu ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) có b2 − 4ac > 0 thì phươ phươ ng ng trình ó có 2 nghi nghi m phân bi bit. d/ Nu x > 2 thì x 2 > 4 .
S d dng thu thut ng ng " "iu ki kin c cn" phát phát bi biu các nh nh lí sau: a/ Nu x > 5 thì x 2 > 25 . b/ Nu hai góc i i nh nh thì chúng b b ng nhau. c/ Nu hai tam giác b b ng nhau thì di din tích c ca chúng b bng nhau. d/ Nu a là s s t t nhiên và a chia h h t cho 6 thì a chia h h t cho 3.
Cho hai m mnh , , m mnh A: A: "a và b là hai s s t t nhiên l l" và m mnh B: B: " a + b là s s ch chn". a/ Phát bi biu m mnh A ⇒ B . M Mnh này này úng hay sai ? b/ Phát bi biu m mnh B ⇒ A . M Mnh này này úng hay sai ?
Ch Chng minh các m m nh sau sau b bng phươ phươ ng ng pháp ph phn ch chng. a/ Nu t tng c ca 99 s s b bng 100 thì có ít nh nht m mt s s l l n hơ hơ n 1. b/ Nu a và b là các s s t t nhiên v v i tích a.b l l thì a và b là các s s t t nhiên l l. c/ Cho a,b,c ∈ . Có ít nh nht m mt trong ba ng ng th thc sau là úng: a 2 + b2 ≥ 2bc; b 2 + c2 ≥ 2ac; c 2 + a 2 ≥ 2ab . d/ V i các s s t t nhiên a và b, n n u a 2 + b2 chia h ht cho 8 thì a và b không th th ng ng th th i là s s l l. e/ Nu nh nht 25 con th th vào trong 6 cái chu chu ng thì có ít nh nht 1 chu chung ch cha nhi nhiu hơ hơ n 4 con th th.
Cho nh nh lí: " N Nu a và b là hai s s nguyên dươ dươ ng ng và m mi s s u u chia h ht cho 3 thì a 2 + b2 cũ cũng
chia h ht cho 3". Hãy phát bi bi u và ch chng minh nh nh lí o o c ca nh nh lí trên (n (n u có), r r i dùng thu thut ng ng " "iu ki kin c cn và " " g gp c c hai nh nh lí thu thun và o. o.
www.DeThiThuDaiHoc.com "Cn cù bù thông minh…………" "C
Page - 5 -
Ths. Lê Vă Văn oàn
Phn Ph ii S S
www.MATHVN.com
B – TP H P
Tp h p Tp h h p là m mt khái ni nim cơ cơ b bn c ca toán h hc, không nh nh ngh ĩ a. a. Cách xác nh tp h h p. p. nh t + Li Lit kê các ph phn t t: vi vit các ph phn t t c ca t tp h h p trong hai d du móc { … }. + Ch Ch ra tính ch cht c c trư trưng cho các ph phn t t c ca t tp h h p. p. Tp r rng: là t tp h h p không ch cha ph phn t t nào, kí hi hi u ∅.
Tp h p con – Tp h p bng nhau Tp h h p con: A ⊂ B ⇔ ( ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B) . + A ⊂ A, ∀A .
B
A
+ ∅ ⊂ A, ∀A . + A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C .
A ⊂ B Tp h h p b bng nhau: A = B ⇔ . Nu t tp h h p có n ph phn t t ⇒ 2 n t tp h h p con. B ⊂ A Mt s tp h p con ca tp h p s th c Tp h h p con c c a : * ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ . Kho Khong: a – ∞ ////////// + (a; b) = {x ∈ / a < x < b } ///// ///// (
(a; +∞) = {x ∈ / a < x} + (−∞; b) = {x ∈ / x < b} on: a; b = {x ∈ / a ≤ x ≤ b} +
Na kho khong: + a; b) = {x ∈ / a ≤ x < b}
+ + +
(a; b = {x ∈ / a < x ≤ b} a; +∞) = {x ∈ / a ≤ x } (−∞; b = {x ∈ / x ≤ b}
b
///// ///// ) //////////
– ∞ ////////// ////////// (
+∞ +∞
–∞
) ////////// //////////
+∞
– ∞ ///////// ///// //////
////////// ///// /////
+∞
a
b
– ∞ ///////// //// /////// – ∞ ///////// //// /////// (
– ∞ ////////// ////////// [
///// ///// ) //////////
+∞
////////// ///// /////
+∞ +∞
] ////////// //////////
–∞
+∞
Các phép toán tp h p Giao c ca hai t tp h h p: p: A ∩ B ⇔ { x x ∈ A và x ∈ B }.
A
B
H p c ca hai t tp h h p: p: A ∪ B ⇔ { x x ∈ A ho hoc x ∈ B }. Hi Hiu c ca hai t tp h h p: p: A \ B ⇔ { x x ∈ A và x ∉ B }.
D
B
Ph Phn bù: Cho B ⊂ A thì CA B = A \ B .
A
Page - 6 -
B
www.DeThiThuDaiHoc.com "All the flower of tomorrow are in the seeks of today……"
c cươ ươ ng ng h hc t tp môn Toán 10 t t p I
Ths. Lê Văn oàn
www.MATHVN.com
BÀI TP ÁP DNG Vi Vit m mi t tp h h p sau b bng cách li lit kê các ph ph n t t c ca nó.
{ } b/ B = {x ∈ (x − 10x + 21)(x − x) = 0} . c/ C = {x ∈ (6x − 7 x + 1)(x − 5x + 6) = 0} .
a/ A = x ∈ (2x2 − 5x + 3)(x2 − 4x + 3) = 0 . 2
3
2
2
{ } e/ E = {x ∈ x + 3 < 4 + 2x ; 5x − 3 < 4x − 1} . f/ F = {x ∈ x + 2 ≤ 1} . d/ D = x ∈ 2x2 − 5x + 3 = 0 .
{
}
g/ G = x ∈ x < 5 .
{
}
h/ H = x ∈ x2 + x + 3 = 0 .
i/ K = x ∈ Q x =
1 1 ≤ , a ∈ N . 32 2a
Vi Vit m mi t tp h h p sau b bng cách ch ch rõ tính ch ch t c c trư trưng cho các ph phn t t c ca nó: a/ A = {0; 1; 2; 3; 4} .
12; 16} . b/ B = {0; 4; 8; 12;
c/ C = {−3 ; 9; −27; 81} .
36; 81; 81; 144 144} . d/ D = {9; 36;
e/ E = {2; 3; 5; 7; 11} .
12; 15} . f/ F = {3; 6; 9; 12;
g/ G = {0; 3;8;15 ;8;15;24; ;24; 35; 35; 48;63 48;63} .
h/ H = 1; ; ;
1 1 1 1 1 ; ; . 3 9 27 81 234 2 3 4 5 6 j/ J = ; ; ; ; . 3 8 15 24 35 l/ L = {3, 8,15,24 ,15,24,, 35, 35, 48, 48, 63} .
1 1 1 1 1 ; ; . 2 6 12 20 30
i/ I = ; ;
k/ K = {−4;− 3; 3; −2; 2; −1;0 1;0;1 ;1;2 ;2;3 ;3;4 ;4;5 ;5} . 2 3 4 5 6 7 8 , , . 3 5 7 9 11 13 15
m/ M = 1, , , , ,
{
n/ N = {3, 4, 7,12,19 ,12,19,28 ,28,, 39,52 39,52} .
}
2, 15 1 5, 2 6, 6, 35, 4 3, 3, 63 . o/ O = 0, 3, 2 2,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 0
p/ P = 0, , , , , , , , ,
q/ Q = T Tp t tt c c các im thu thuc ư ng ng trung tr trc c ca on th thng AB. r/ R = T Tp t tt c c các im thu thuc ư ng ng tròn tâm I cho trư tr ư c và có bán kính b b ng 5. Trong các t tp h h p sau ây, t tp nào là t tp r rng ?
{ C = {x ∈ x E = {x ∈ x
}
a/ A = x ∈ x < 1 . c/ e/
2
2
} + 7 x + 12 = 0} . −4 4x x +2 = 0 .
{ D = {x ∈ x F = {x ∈ x
}
b/ B = x ∈ x2 − x + 1 = 0 . d/ f/
}
2
−2 = 0 .
2
−4 4x x +2 = 0 .
}
Tìm t tt c c các t tp con, các t t p con g gm hai ph phn t t c ca các t tp h h p sau: a/ A = {1; 2} .
b/ B = {1; 2; 3} .
"Cn cù bù thông minh…………" "C www.DeThiThuDaiHoc.com
Page - 7 -
