Lois Comportements

Session de formation continue

ENPC

Lois de comportement simples Algorithmes 5 – 6 décembre 2006

Philippe Mestat (LCPC)

Plan • • • • • • •

Lois de comportement Elasticité Elastoplasticité Algorithmes (Méthode des éléments finis) Incréments et itérations Quelques remarques Exemples d’application

Le problème mécanique L’équilibre final d’un ouvrage dépend : • de l’équilibre naturel initial ; • des discontinuités éventuelles ; • des lois de comportement des matériaux ; • des phases d’exécution des travaux ; • des conditions d’utilisation de l’ouvrage.

Lois de comportement des sols • Comportement des massifs : – lois de comportement simples (Élastoplasticité parfaite) ; – lois de comportement avancées (Élastoplasticité avec écrouissage).

• Comportement des interfaces : – lois d’interface simples.

Comportement non linéaire Les sols présentent une relation contraintes – déformations qui est non linéaire et irréversible à partir d’un certain seuil. Le comportement non linéaire apparaît sous deux aspects : - évolution des propriétés du matériau ; - changements de la géométrie.

Comportement réel et modélisation non linéaire

Linéaire Non linéaire

Fondation

Pieu

Excavation

Développement d’une loi de comportement Le développement théorique s’appuie sur : • des études expérimentales essais en place et en laboratoire ;

• des schémas de calcul a priori élasticité (linéaire et non linéaire) plasticité (irréversibilité et rupture) viscosité (effet du temps) et leurs combinaisons.

Développement d’une loi de comportement • Quelques problèmes : – – – – – – – –

prélèvement d’échantillons intacts taille des éprouvettes réalisation des essais (durée) types d’appareillage et types d’essai interprétation des résultats (choix des variables) anisotropie et effet du temps mise en équations extrapolation au comportement 3D ?

Essais de laboratoire et mesures • Appareils triaxiaux : – éprouvette cylindrique pleine ; – éprouvette cubique (presses 3D).

• Appareils pour cylindre creux • Appareils en déformation plane • Appareil de cisaillement direct • Appareil de cisaillement annulaire

Loi de comportement (1)

dε mn dσ rs    ε ij , σ kl , , , t  0 dt dt   ε ij  σ kl ( τ) ; τ  t 

Élaboration d’une loi de comportement

Loi de comportement (2) Les formes usuelles sont :

dε ij  Dijkl σ mn , dσ rs  dσ kl et inversement :

dσij  Eijkl σ mn , dσ rs  dε kl Il faut ensuite quantifier les fonctions.

Essais suivant différents chemins de contraintes

Rupture

Déchargement Module initial

Domaine élastique

Domaine élastique ?

Dilatance à la rupture Coefficient de Poisson initial État caractéristique

• Lois de comportement simples : – élasticité linéaire ; – élasticité non linéaire ; – élastoplasticité parfaite.

Plan • • • • • • •

Lois de comportement Elasticité Elastoplasticité Algorithmes (Méthode des éléments finis) Incréments et itérations Quelques remarques Exemples d’application

Comportement élastique (réversible) • Le comportement d'un matériau est élastique lorsque l'histoire des sollicitations n'intervient pas et qu'à un état de contraintes correspond un état de déformations et un seul. • La plupart des solides présentent un comportement réversible, au moins sous des sollicitations suffisamment faibles. Cela correspond à des déformations de l'ordre de : – 0,1 % pour les métaux ; – 0,01 % pour les sols (voire moins) ; – 600 % pour le caoutchouc.

• Au-delà, des irréversibilités apparaissent.

Les modèles élastiques • Élasticité linéaire isotrope : – E et n constant ; – E(z), n constant. • Élasticité linéaire anisotrope (orthotrope) : – Ei et ni constants ; – Ei(z), ni constant (par exemple : Ev(z), Eh(z), G(z) ) • Élasticité non linéaire : E(skl)

• Hyperélasticité : skl = W(emn) / ekl • Hypoélasticité : dskl = Eklmn demn

Élasticité isotrope linéaire 1 ν ν ν 0 0 0    Δσ xx     Δε xx     ν 1 ν ν 0 0 0    Δσ yy   Δε yy   ν  ν 1 ν 0 0 0   Δσ     Δ ε 1  2 ν zz zz 1    0 0 0 0   0 2  Δσ xy  (1  ν )(1  2 ν )    Δε xy  1  2ν  Δσ   0 0 0 0 0   Δε xz  xz 2       Δσ    1  2 ν Δ ε   yz yz    0 0 0 0  0   2 

À déterminer : E et n et l’état initial des contraintes (K0 ?)

Module d’Young et coefficient de Poisson

Problème de la définition du domaine d’élasticité

Facteurs influant sur le module E • Niveau de déformations » Très petites déformations ( < 0,001%) » Petites déformations (< 0,001% à 1%) » Grandes déformations (> 1%)

• Niveau de contraintes • Chemins de sollicitations • Il est souhaitable de déterminer le module d’Young pour des déformations inférieures à 0,1%.

Évolution du module avec l’amplitude des déformations (Hicher, 1985)

Atkinson et Sallfors (1991)

Exemples d’élasticité non linéaire

Caractérisation de l’anisotropie

Essais triaxiaux sur des sols anisotropes

Plan • • • • • • •

Lois de comportement Elasticité Elastoplasticité Algorithmes (Méthode des éléments finis) Incréments et itérations Quelques remarques Exemples d’application

Principes de l’élastoplasticité

Élastoplasticité avec écrouissage

Écrouissage positif

Sans écrouissage

Écrouissage négatif

Principes de l’élastoplasticité parfaite

• Le comportement élastoplastique s'appuie sur trois concepts : - la partition des déformations (élastiques et plastiques) ;

- le critère de plasticité, qui généralise la notion de seuil de plasticité mise en évidence dans les expériences de laboratoire ; - la règle d'écoulement plastique, qui définit la manière dont évoluent les déformations plastiques. • Ce schéma de comportement exclut tout effet de vieillissement et de viscosité du matériau.

Aux seuils de plasticité (initial et actuels), correspondent alors des domaines dans l'espace des contraintes, appelés domaines d'élasticité. Ces domaines sont définis par une fonction scalaire F des tenseurs des contraintes et des déformations plastiques : F(σ ij , ε pkl )  0

: domaine d'élasticité

F(σ ij , ε pkl )  0

: frontière du domaine d'élasticité ou critère de plasticité.

La fonction F est appelée surface de charge.

Relations contraintes-déformations en élastoplasticité Soit (sij, epij) un état de contraintes et de déformations plastiques correspondant à une étape de chargement donnée : • si F(sij, epij) < 0 alors deij = deeij ; • si F(sij, epij) = 0 , il faut distinguer selon l'état de charge ou de décharge

Il y a chargement si et seulement si

Il y a déchargement si et seulement si

F(sij , e ijp )  dF(sij , e ijp )  0

F(sij , e ijp )  0

F ds ij  0 s ij

F ds ij  0 s ij

de ij  de  de e ij

p ij

de ij  de eij

Règle d'écoulement plastique Pour quantifier le tenseur des déformations plastiques, il est nécessaire d'introduire des équations complémentaires. On postule l'existence d'un potentiel plastique G tel que G de  dl sij p ij

dl est appelé multiplicateur de plasticité et est strictement positif. Si G=F, la règle d'écoulement est dite associée et non associée dans le cas contraire.

Un module d'écrouissage est également défini : F H dl  ds ij s ij

L'ensemble des relations précédentes permettent de calculer la relation de comportement entre un accroissement du tenseur de déformations et un accroissement du tenseur des contraintes. Le calcul utilise les relations suivantes dans le domaine plastique : dsij  Eijkl de ekl F F p dF  ds ij  p de ij  0 sij e ij

de eij  Dijkl ds kl

F H dl  ds ij s ij

Relations de comportement élastoplastique

 1 G F    de ij  Dijkl  ds kl H s ij s kl      E ijkl   ds ij  E ijkl   H  

G F  E ijkl  s kl s ij  de kl  F G  E ijkl s ij s kl  

F E ijkl de kl s ij dl  F G H E ijkl s ij s kl

Les modèles élastoplastiques parfaits • Élasticité linéaire ou non + critère de rupture + loi d’écoulement • Lois de comportement simples : – Mohr-Coulomb (Tresca) ; – Drucker-Prager (Von Misès) ; – Loi parabolique.

Les critères de rupture • Les critères « usuels » : – Mohr-Coulomb (Tresca) ; – Drucker-Prager (Von Misès) ; – Loi parabolique.

• Les critères « avancés » : – Matsuoka-Nakai (1974) ; – Lade (1975, 1977) ;

Exemples de critères de rupture

Facteurs influant sur la valeur de j • • • • • •

Indice des vides Forme des particules et rugosité de surface Distribution granulométrique Présence d’eau Surconsolidation Contrainte principale intermédiaire (chemin de contraintes suivi au cours de l’essai)

Modèle de Mohr-Coulomb

Paramètres pour les calculs • État initial des contraintes : g, K0 • Hydraulique des sols : kh, kv, u0(x, y, z) • Déformabilité des sols : Eu , E’, n’, y • Résistance au cisaillement : cu, c’, j’

• Comportement d’interface : ca, da et Rt

Mohr-Coulomb : un modèle simple ? • F(sij) = |s1-s3| - (s1 + s3) sin j -2 c cos j • Régime d’arêtes. Calculs des dérivées partielles ? • Troncature en traction • Modélisation numérique : – jdef. plane = jtriaxial - x degrés ; – gestion des tractions pour une cohésion faible ; – – – –

convergence lente et difficile pour (j - y) grand ; si c  0,  z tel que : [|1-K0|-(1+K0)sin j ] g z = 2 c cos j ; cohésion nulle et problèmes numériques ; zone élastique étendue dans le maillage.

Drucker-Prager : un modèle simple • F(sij) = q - a p - k • Surface lisse sans arêtes • Domaine élastique limité en extension • Modélisation numérique : – définition des paramètres et liens avec c et j ; – section circulaire inscrite ou exinscrite dans la section hexagonale du critère de Mohr-Coulomb ; – zone élastique étendue dans le maillage ; – convergence difficile pour k faible ; – modèle plus « souple » que le modèle de Mohr-Coulomb.

Nature du sol Sols indurés et roches tendres (argiles raides, marnes, calcaires, craies, etc)

Sols mous et sols organiques (argiles molles, vases, tourbes, etc.)

Sols grenus (sables, graviers, etc.)

Comportement Déformations faibles, linéaires, fonction du temps (perméabilité et viscosité). Rupture souvent fragile.

Modèle de calcul Milieu continu élastique linéaire ou non linéaire. Consolidation et fluage.

Déformations importantes, Milieu continu élastofortement non linéaires, plastique. fonction du temps Consolidation et fluage. (perméabilité et viscosité)

Déformations Milieu continu élastoinstantanées, dépendant de plastique (non associé) et la densité initiale élasticité non linéaire. (dilatance ou contractance)

Essais in situ et valeurs des paramètres • Essais de pénétration – pénétromètre, etc. – estimation de la résistance du sol

• Essais de déformabilité – pressiomètre, dilatomètre L’interprétation des résultats en terme de loi de comportement est difficile, car les essais ne sont pas homogènes et l’état des contraintes n’est pas connu.

Cas de la déformation plane • L’essai triaxial classique est un essai en déformation axisymétrique. Il peut convenir dans le cas d’un grand remblai ou d’une excavation cylindrique (réservoir, puits, silo, etc.)

• Pour des calculs plans, il faudrait pouvoir réaliser des essais en déformation plane; mais cet essai est compliqué. • Problème. Comment réaliser un calcul plan avec des valeurs de paramètres déterminées sur des essais axisymétriques ?

• Lois de comportement avancées : – – – – –

élastoplasticité avec écrouissage ; élastoplasticité avec plusieurs mécanismes ; élastoplasticité généralisée ; hypoplasticité ; lois incrémentalement non linéaire.

• Quelques lois de comportement avancées : – – – – – – – –

modèles Cam-Clay (1968, etc.) ; modèle de Lade (1975, etc.) ; modèle de Darve (1978, etc.) ; modèle de Hujeux (1979, etc.) ; modèle de Nova (1982, etc.) ; modèle de Vermeer (1982) ; modèle de Cambou-Jafari-Sidoroff (1988, etc.) ; modèle « Soft Soil » (PLAXIS).

Choix de la loi de comportement • Quand une loi de comportement simple estelle suffisante ? • Quand une loi de comportement « avancée » peut-elle être utilisée ? Quand est-elle nécessaire ?

Usage d’une loi de comportement simple • lorsque les déformations du massif restent élastiques ; • lorsque le facteur de sécurité global est suffisamment élevé ou lorque le chargement n’est pas très important ; • lorsque les ruptures locales ne contrôlent pas le comportement dans la région étudiée ; • lorsque l’on dispose de peu d’informations ; • lorsque le comportement aux interfaces des matériaux est prédominant.

Usage d’une loi de comportement avancée • lorsqu’une loi simple ne permet pas de décrire un aspect essentiel du comportement de l’ouvrage et de son environnement (interactions, dilatance, rupture, etc.) ; • lorque le calcul doit fournir une estimation réaliste des contraintes et des déplacements au voisinage de la rupture (critères en déplacements pour les sites urbains, expertises, problèmes inverses, etc.) ; • lorsque le calcul doit fournir une estimation réaliste de l’évolution des pressions interstitielles ; • lorsque l’on dispose de suffisamment d’informations pour déterminer les valeurs des paramètres des modèles, et des informations sur l’état initial, sur le degré d’hétérogénéité des terrains et sur l’effet d’échelle.

Nombre de paramètres

Évolution des lois de comportement pour les sols

40 30 20 10 0 1960

1970

1980 Année

1990

2000

Lois de comportement avancées Quelques difficultés… • Manque de validations et d’études paramétriques. • Durée de calcul importante. • Elles sont peu disponibles dans les logiciels du commerce. • Manque de données pour estimer les valeurs des paramètres. Peu de correspondance entre ces paramètres et les paramètres traditionnels de la mécanique des sols. • Les lois de comportement avancées sont rarement considérées, ou seulement pour des études a posteriori.

Pratique de la modélisation numérique • Plutôt des modèles complexes par leur géométrie que par les lois de comportement utilisées pour décrire les massifs de sol. Les ingénieurs privilégient les analyses en élasticité linéaire ou élasto-plasticité parfaite. • Si les lois de comportement sont trop simples, il faut en tenir compte dans l’interprétation et l’utilisation des résultats. • N’importe quelle loi de comportement ne peut être considérée comme une approximation acceptable de n’importe quel comportement réel, même après avoir calé des valeurs de paramètres. • Attention à la validité des études paramétriques pour des lois de comportement simples.

Plan • • • • • • •

Lois de comportement Elasticité Elastoplasticité Algorithmes (Méthode des éléments finis) Incréments et itérations Quelques remarques Exemples d’application

Système algébrique Le principe de recherche du minimum de l'énergie potentielle conduit au système d'équations algébriques :

KUF où F est le vecteur des forces nodales ; U, le vecteur des inconnues aux nœuds ; K, la matrice de rigidité de l'assemblage. L’inversion est alors directe.

Cas du comportement non linéaire L'écriture du principe variationnel fournit l'équation d'équilibre :

~ ~ s e d   f  ij ij  i u i d 





~ t  i u i dS  0 S

quel que soit le champ cinématiquement admissible. Si B est la matrice des dérivées des fonctions d'interpolation telle que : eij = B U. L'équilibre s'écrit encore :

B s t



ij

d  Fext

• Dans le cas de l'élastoplasticité, il faut intégrer les relations différentielles en utilisant des schémas d'intégration. On obtient alors des relations du type p Δε kl  Eijkl  Eijklp BΔU Δσ ij  E ijkl  E ijkl

où (Eijkl) est le tenseur élastoplastique (non linéaire et irréversible) et Dekl, l'accroissement des déformations totales (connu). Si l'accroissement correspond au passage entre deux états d'équilibre, on aura

 t  p   B ( E  E ) B d DU  DFext   soit

K( U) DU  DFext

• Pour obtenir le champ de déplacements, solution du problème, il faut résoudre le système d'équations non linéaires :

F( U)  Fext  R ( u )  0 Le vecteur F(U) est appelé vecteur-résidu. • La résolution directe est le plus souvent impossible. Un processus itératif est alors nécessaire. Le principe consiste à linéariser les équations non linéaires autour d'un état d'équilibre.

• Si U1 et U2 sont deux champs de déplacements à des instants de sollicitations différents, on cherche une matrice K telle que :

F( U2 )  F( U1 )  K.( U2  U1 ) • Il est quasiment impossible de trouver l'expression de la matrice K, mais on peut l'approcher, par exemple à l'aide d'un développement limité : F F( U  DU )  F( U )  . DU U soit encore :

 t s ij  F( U  DU)  F( U)    B d . DU U  

Le tout est de calculer ou d'approcher ces quantités.

Supposons la matrice K connue, et soit U0 une solution approchée de F(U0). On recherche alors la solution sous la forme d'une variation autour de U0 : F(U0 + DU) = 0. La linéarisation conduit à la relation : DU = - K-1. F(U0) On construit ainsi un processus itératif. Pour une itération i donnée, Ki et F(Ui) sont calculés, puis Ui+1 est déterminé, si la matrice Ki est inversible, par la relation : DUi = Ui+1 - Ui = - Ki-1. F(Ui) Si la suite des déplacements converge, on a : F(U) = 0.

Initialisations

Calcul de Ki Ui+1 = Ui - Ki-1. F(Ui)

i = i+1

Calcul des contraintes si+1 Calcul de F(Ui+1)

Tests de convergence ?

Critère de convergence sur les vecteursrésidus

Expression

Φ( U i ) ΔF

ou

Tolérance à fournir

Tolérance conseillée 0,1%, à la Φ( U i ) rigueur 1%, pour le premier test qui devient sévère lorsque DF F0  ΔF est faible. Pour le second test, tolérance conseillée 0,1%.

sur les déplacements

sur le travail au cours d’une itération

U i1  U i Ui

Tolérance conseillée 0,1%.

Tolérance conseillée 10-9.

Φ( U i ).( U i1  U i ) ΔF.U1

Remarque S'ils sont satisfaits, les tests de convergence ne prouvent pas que la suite (Ui) ou la série (DUi) de déplacements converge. Ces tests peuvent simplement prouver que la suite des accroissements (DUi) tend vers zéro. C'est une condition nécessaire mais non suffisante. C'est comme l'exemple bien connu de la suite (1/i) qui tend vers zéro, mais dont la série associée diverge.

Notion de taux de convergence Les tests traditionnels ne fournissent qu'une présomption de convergence. Il convient d'être prudent avant de conclure et il est fortement conseillé d'analyser la suite des taux de convergence (qi) :

DU i qi  DU i1 S'il est possible de démontrer numériquement que la suite des taux de convergence est strictement monotone décroissante et possède une limite strictement inférieure à 1, alors la série (DUi) est absolument convergente.

k

DU i  k   q i  j DU i q i  DU i

DU i  q i DU i 1 donc

alors

et finalement

k

j1

k

k

j1

j1

U i  k  U i   DU i  j   q i  DU i U i k  U i 

U ik



q i 1  q i  1 qi

k 1

 DU

j

i

qi  Ui  DU i 1 qi

Ce qui prouve l’absolue convergence de la suite. CQFD.

De plus, si on fait tendre k vers l'infini, on obtient une estimation de l'erreur commise en arrêtant le processus à l'itération i :

qi U  Ui  DU i 1  qi L'étude de la décroissance de la suite des taux (qi) permet de « s'assurer » de la convergence de la suite. L'expérience montre que les taux de convergence se stabilisent souvent pour des valeurs supérieures à 0,8 et parfois proches de 0,99. En revanche, dès que qi > 1 pour plusieurs itérations successives, on peut conclure à la divergence.

Diagnostic

Résultats des tests de convergence

Convergence

Les tests de convergence sont satisfaits ; la suite (qi) est monotone décroissante et tend vers une limite inférieure à 1. Très souvent, la suite se stabilise autour de valeurs comprises entre 0,8 et 0,99 ; ce qui suffit à assurer l'absolue convergence de la série.

Non-convergence

La norme des forces résiduelles décroît très lentement, le nombre d'itérations devient très important ou la suite des taux oscille autour de la valeur unité. Il est alors difficile de conclure et il vaut mieux recommencer le calcul avec un incrément de chargement plus faible.

Divergence

La norme des vecteurs-résidus ne tend pas vers zéro.

Un développement du vecteur-résidu conduit à la relation :

  t s i K i    B B d e i   Ki est appelée matrice de rigidité tangente et la méthode de résolution, nommée Méthode de Newton-Raphson.

Le calcul exact est le plus souvent impossible. On fait alors l’approximation suivante :

s i  E ep e i

avec

dσ i  E ep dε i

Les difficultés théoriques et le coût de calcul d'une matrice (assemblage, triangularisation) à chaque itération sont à l'origine des Méthodes de Newton Raphson modifiées et de recherches sur des accélérateurs de convergence, qui visent à réduire la durée des calculs sans nuire à la qualité des résultats. Une idée simple consiste à « fixer » la matrice tangente à partir d'un certain nombre d'itérations p :

i  p,

 F  Ki     U  U  U p

À l'extrême, on peut conserver la même matrice pendant tout le processus de résolution : c'est la Méthode des contraintes initiales.

La méthode des contraintes initiales présente l’inconvénient d’entraîner un grand nombre d’itérations dès que la non-linéarité devient importante.

Calcul du vecteur-résidu Le vecteur résidu dépend du champ de contraintes, donc de la loi de comportement et du schéma d'intégration des équations différentielles qui la définissent :

Φ( U i )  Fext   B σ i dΩ t

Ω

Malgré la performance des schémas, le champ de contraintes calculé ne vérifie généralement que d'une manière approchée les équations de comportement. On peut donc cumuler des erreurs à chaque itération et converger vers une mauvaise solution. Ce risque peut être diminué en procédant au chargement de façon incrémentale.

Plan • • • • • • •

Lois de comportement Elasticité Elastoplasticité Algorithmes (Méthode des éléments finis) Incréments et itérations Quelques remarques Exemples d’application

Incrémentation du chargement

Le chargement F est divisé en un nombre fini d'accroissements dont la définition est liée, si possible, à des étapes réelles de la construction d'un ouvrage ou du chargement d'une structure.

Remarque Les résultats d'une itération n'ont pas de sens physique, car ils ne vérifient pas simultanément les équations de comportement et celles de l'équilibre. L'incrément de chargement seul a un sens physique. Les résultats convergés pour une tolérance suffisamment faible vérifient de manière approchée l'équilibre (en moyenne) et la loi de comportement (localement).

Schéma d’intégration des lois Selon la méthode de résolution adoptée, l'effet du comportement non linéaire apparaît dans le calcul du vecteur-résidu, mais aussi dans celui de la matrice de rigidité. Il convient donc de bien calculer le champ de contraintes et les autres quantités non linéaires (déformations plastiques). Pour cela, il faut intégrer des équations différentielles. Dans le cas de l’élastoplasticité, il s’agit d’intégrer la règle d’écoulement ou la relation contraintes-déformations.

Passage d’une itération à une autre Supposons que l'on se trouve à l'itération i de l'incrément n+1.

Les quantités connues sont les états de contraintes, de déformations totales, de déformations plastiques et d'autres quantités non linéaires à l'incrément convergé n, ainsi que l'état de déformations totales à l'itération i de l'incrément n+1 : sn , en , epn et en+1 Les inconnues sont les nouveaux états de contraintes, de déformations plastiques et de certaines quantités non linéaires : sn+1 , epn+1

L'intégration est fondée sur le théorème de la moyenne : c  [a, b] telle que

b

 f ( x)dx  ( b  a) f (c) a

Par conséquent, il existe des valeurs de l et de l'état de contraintes telles que



l n 1

ln

G G p dl  (l n1  l n ) (s ) s s

Le problème est alors d'estimer la quantité intégrée ou directement l'état de contraintes sp. Deux options simples peuvent être considérées.

Intégration trapézoïdale : G p G G i pour a  [0, 1] : (s )  (1  a) (s n )  a (s n1 ) s s s

Intégration au point milieu : pour a  [0, 1] :

G p G i (s )  (1  a)s n  as n 1 s s



On a alors : s p  (1  a)s n  as in 1 Si a = 0, le schéma est explicite. Si a  ]0, 1] , le schéma est implicite. Il est souvent conseillé de prendre a = 0,5.



Schéma d’intégration trapézoïdale

Schéma d’intégration au point milieu

Par exemple, la seconde technique conduit au système suivant : i n 1

 σ n  E (ε

p ,i n 1

∂G  ε  Δλ (1  α)σ n  ασ in 1  ∂σ

σ ε

i n 1

 ε n )  E (ε

p ,i n 1

ε ) p n

p n

F(σ in 1 , ε pn,i1 )  0 Le scalaire Dl est alors déterminé par la condition de surface de charge : F = 0. Cette seconde technique peut être préférable à la première.

Plan • • • • • • •

Lois de comportement Elasticité Elastoplasticité Algorithmes (Méthode des éléments finis) Incréments et itérations Quelques remarques Exemples d’application

Spécifications pour le comportement non linéaire • Discrétisations et convergences • Calculs aux points d’intégration • Maillage et comportement (densité des éléments) • Chargements et comportement : – choix des incréments de chargement.

• Données numériques : – tolérance sur les tests de convergence ; – nombre d’itérations maximum ; – schémas d’intégration.

• Les choix de l’utilisateur ont un impact direct sur le temps des calculs et donc sur la durée de l’étude.

Maillages et lois de comportement • Un maillage qui a fourni de bons résultats pour une loi de comportement n’est pas forcément bien adapté pour une autre loi de comportement.

• Exemple : élasticité isotrope et anisotrope. • Il en est de même pour le découpage en incréments de chargement.

Maillages et lois de comportement

Maillages et lois de comportement

Maillages et lois de comportement

Calculs aux points d’intégration En comportement non linéaire, le calcul des déformations et des contraintes est effectué aux points d'intégration, internes aux éléments finis : - points de Gauss ;

- points de Hammer ; - points de Newton-Cotes.

Ce sont parfois les mêmes que ceux qui servent pour l'intégration de la matrice de rigidité.

Convergence et méthodes numériques Quatre processus de discrétisation simultanés : - discrétisation spatiale du domaine géométrique représentatif de l'ouvrage et de son environnement (maillage) ; - discrétisation du chargement. Celui-ci est appliqué en accroissements successifs, appelés incréments ; - processus de résolution incrémental et itératif si les lois de comportement des matériaux sont non linéaires ; - schéma d'intégration locale si les lois de comportement sont définies sous une forme différentielle ou implicite.

Trois notions de convergence Convergence au sens du maillage Elle est assurée par le choix et la formulation mathématique des éléments finis. Lorsque le maillage devient de plus en plus fin, la solution numérique tend vers une limite très proche de la solution exacte du problème.

Convergence au sens incrémental et itératif

du

processus

de

résolution

Elle permet d'obtenir la solution en déplacements et en contraintes pour un maillage et un schéma d'intégration des lois de comportement donnés.

Convergence au sens du schéma d'intégration locale Elle permet le calcul des contraintes et des quantités non linéaires (déformation plastique, écrouissage) vérifiant la loi de comportement.

Plan • • • • • • •

Lois de comportement Elasticité Elastoplasticité Algorithmes (Méthode des éléments finis) Incréments et itérations Quelques remarques Exemples d’application

Maillage grossier

Maillage fin

Calculs numériques et stabilité des ouvrages Un calcul incrémental par éléments finis de type déplacements permet d'étudier la stabilité des ouvrages et de déceler l'amorce d'un mécanisme de rupture. En pratique, la stabilité d'un ouvrage est analysée à l'aide d'une des quatre approches suivantes : - forces ou pressions imposées ; - déplacements ou rotations imposés ; - réduction des paramètres de résistance ; - activation de couches de sol (remblaiement) ou désactivation (excavation).

L'exploitation des résultats suivants constituent des indicateurs annonciateurs de la formation d'une zone de rupture dans le maillage : - l'analyse de courbes de type chargement-tassement, qui constitue la méthode la plus convaincante pour mettre en évidence l'amorce de la rupture du massif de sol et estimer une charge limite ; - les difficultés de convergence du processus itératif (augmentation soudaine du nombre d'itérations, décroissance lente de la norme des forces résiduelles). Il en est de même a fortiori pour la divergence du processus ; - les mouvements excessifs dans certaines zones du massif de sol sans augmentation significative des contraintes ; - le développement soudain des zones plastiques dans le maillage ; - la visualisation des isovaleurs de déformations plastiques ou de déformations de cisaillement. Une comparaison avec les déformations à la rupture déduites des essais triaxiaux permet d'estimer les zones réellement en rupture. Les déformations triaxiales au début du palier d'écoulement varient entre 0,5 et 10% pour les sables, et entre 1 et 20% pour les argiles ; - les efforts de traction mobilisés dans les renforcements qui, comparés avec les seuils de résistance, indiquent ou non une cassure.

L'exploitation des résultats suivants constituent des indicateurs annonciateurs d'une zone de rupture dans le maillage : - l'analyse de courbes de type chargement-tassement ; - les difficultés de convergence du processus itératif ; - les mouvements excessifs dans certaines zones du massif de sol sans augmentation significative des contraintes ; - le développement soudain des zones plastiques dans le maillage ; - la visualisation des isovaleurs de déformations plastiques ou de déformations de cisaillement ; - les efforts de traction mobilisés dans les renforcements qui, comparés avec les seuils de résistance, indiquent ou non une cassure.

L'ensemble des points dépassant les seuils en déformations constitue une zone de rupture, qui s'étend au cours du calcul jusqu'à ce que le processus itératif ne converge plus pour un certain chargement. Cette zone fournit une indication sur la forme du mécanisme de rupture. Lorsque la non-convergence ou la divergence apparaît nettement, le chargement appliqué n'est plus supportable par le milieu étudié. Cette approche a conduit à de bons résultats pour des problèmes dont des solutions théoriques sont connues (expansion d'une cavité, capacité portante des fondations ou stabilité des fouilles verticales) et les formes de mécanismes obtenues sont proches des surfaces de glissement théoriques.

En revanche, pour certains types d'ouvrages, des difficultés peuvent apparaître et compliquer l'analyse de la stabilité et la mise en évidence d'une surface de glissement. Ainsi, il n'est pas toujours aisé de sélectionner des points représentatifs lorsque plusieurs mécanismes se manifestent. C'est le cas de certains ouvrages en sol renforcé ou de massifs de sols très hétérogènes.

Paramètre

Hypothèses non justifiées pour réduire la durée des calculs

Angle de dilatance y

y = j’ ou 20° < y < j’. L'angle de dilatance est alors trop important par rapport à la réalité expérimentale et les variations de volume ne seront pas bien représentées dans le calcul.

Cohésion effective des sols granulaires

1 kPa < c’ < 10 kPa. Une cohésion non nulle est souvent adoptée pour les sols granulaires afin d'éviter des problèmes de traction près de la surface et réduire le nombre des itérations. Une cohésion trop forte peut perturber grandement les résultats.

Loi de chargement

Simulation d'un remblaiement par un accroissement du poids volumique et non par un calcul en plusieurs étapes.

Vérification des résultats d’un calcul • Indicateurs sur le déroulement des calculs : – contrôle du processus itératif (tests de convergence) ; – estimateurs d ’erreurs a posteriori

• Analyse visuelle de la déformée globale : – respect des conditions aux limites ; – signe des forces appliquées ; – cohérence globale de la cinématique visualisée.

• Étude du champ de contraintes : – loin des ouvrages et des sollicitations, on doit retrouver le champ de contraintes initiales ; – aux points d ’application des forces, on peut vérifier l ’équilibre avec le vecteur contraintes.

Quelques conclusions • Limitations de l’outil de calcul : – les lois de comportement ; – les couplages à développer » interaction sol-structures en présence d’eau

• Limitations pour l’utilisateur : – données peu nombreuses ? – données trop nombreuses ? – méthodologies insuffisantes ?

• Ce que l’on sait faire : – problèmes de massifs sans interaction.

• Ce que l’on sait à peu près faire : – remblais, tunnels, fondations superficielles.

• Ce que l’on ne sait pas bien faire : – – – –

interactions / interfaces (inclusions) ; sols renforcés ; localisation des déformations ; formation d’une surface de glissement.

• Ce que l’on ne saura jamais faire : – conditions d’exécution des travaux ; – histoire des matériaux en place.

FIN