6-Lois de Comportement Des Sols (1)

Lois de Comportement des Sols

-1-

LOIS DE COMPORTEMENT DES SOLS

1. Rappel : contraintes et déformations dans les sols 1.1 Etat de contraintes en point d’un milieu continu 1.1.1 Tenseur des contraintes Le vecteur de contrainte f d’obliquité α s’exerçant sur un plan Π passant par le point M, plan repéré par les cosinus directeurs de sa normale n (figure 1a), se décompose de la manière suivant : -

suivant la norme M n à la facette on une contrainte normale σ ;

-

suivant le plan de la facette on une contrainte de cisaillement τ .

Figure 1 – Etat de contraintes en un point d’un milieu continu Au point M passe une infinité de facette, donc une infinité des contraintes. Ainsi la distribution des contraintes autour du point M est une distribution tensorielle. Le tenseur de contrainte au point M est noté : σ xx [σ ] = σ yx σ zx 

σ xy σ xz  σ xx τ xy τ xz     σ yy σ yz  = τ yx σ yy τ yz  σ zy σ zz  τ zx τ zy σ zz 

σ xx , σ yy , σ zz

contraintes normale aux facettes principales du repère,

σ xy , σ xz , σ yx , σ yz , σ zx , σ zy

contraintes de cisaillement sur ces mêmes facettes

M EL GONNOUNI

-EHTP-


-2-

Figure 2 –Contrainte en un point M d’un milieu continu

Il existe en tout point M du milieu trois plans privilégiés, pour lesquels la contrainte se réduit à une contrainte normale. Ces plans sont appelés plans principaux, on leur associés des axes principaux, leur normale sont appelées directions principales et les contraintes correspondantes sont appelées contraintes principales (appelées aussi contrainte majeure, intermédiaire et mineur), on les notes σ 1 , σ 2 et σ 3 avec

σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 . Dans les axes principaux le tenseur de contrainte s’écrit :

σ 1 0 [σ ] =  0 σ 2  0 0

0 0  σ 3 

Les contraintes principales (σ1, σ2, σ3) sont les racines du polynôme caractéristique : det ([σ ] − λ [I ]) = 0

soit ou

(λ − σ 1 )(. λ − σ 2 )(. λ − σ 3 ) = 0

(1)

λ3 − I1σ .λ2 + I 2σ .λ − I 3σ = 0

avec

I1σ = Tr [σ ] = σ 1 + σ 2 + σ 3 = σ xx + σ yy + σ zz

(

)

I 2σ = Tr 2 [σ ] − Tr [σ ]2 / 2 = σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 2 2 = σ xxσ yy + σ yyσ zz + σ zz σ xx − σ xy − σ 2yz − σ zx

I 3σ = det[σ ] = σ 1σ 2σ 3 2 2 2 = σ xxσ yyσ zz + 2σ xyσ yz σ zx − σ xxσ yz − σ yyσ zx − σ zz σ xy

1 0 0 [I ] = 0 1 0 matrice unité 0 0 1 

σ1, σ2 et σ3 sont indépendants du repère de description. Ainsi I1σ, I2σ et I3σ sont des invariants du tenseur des déformations [σ] par une transformation orthogonale de coordonnées.

M EL GONNOUNI

-EHTP-


-3-

On obtient les trois vecteurs propres, donnant les directions principales en coordonnées cartésiennes par : σ xx  σ yx σ zx 

σ xy σ xz   n 1  σ 1 0 0     σ yy σ yz  n 2  =  0 σ 2 0  σ zy σ zz   n 3   0 0 σ 3 

 n1  n   2  n 3 

avec, puisque la base est orthonormée : n12 + n22 + n32 = 1 n3 = n1 ∧ n2

1.1.2 Décomposition du tenseur de contrainte Le tenseur des contraintes est souvent décomposé en la somme d’un tenseur sphérique et d’un tenseur déviatorique :

[σ ] = [S ] + [D ] [σ ] = σ m

1 0 0 σ x - σ m 0 1 0  +  σ xy    0 0 1  σ xz 

σ xy σ xz   σ y −σm σ yz  σ yz σ z − σ m 

Le terme σm est la moyenne arithmétique des termes de la diagonale du tenseur des contraintes (premier invariant), appelée contrainte moyenne (ou contrainte moyenne octaédrique σoct) :

σm =

σ x +σ y +σ z 3

=

σ1 + σ 2 + σ 3 3

La relation (1) rattachée au tenseur déviateur des contraintes s’écrit : det ([D ] − λ D [I ]) = 0

soit

λ D 3 − J 2σ .λ D − J 3σ = 0

avec

λD = λ − σ m J 1σ = Tr [D ] = 0 J 2σ = J 2σ =

(

(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 Tr [D ]2 = 2 6

((σ

xx

−σ

yy

)

)2 + (σ yy − σ zz )2 + (σ zz − σ xx )2 ) + σ 2 6

xy

+σ

2 yz

2 + σ zx

I 3σ = det[D ] Le tenseur déviatorique a une trace nulle et est souvent représenté par le déviateur des contraintes, noté q et égal au second invariant du tenseur déviatorique. En termes de contraintes principales, ce déviateur des contraintes est égal à :

M EL GONNOUNI

-EHTP-


q=

((σ

1

− σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 6

-4-

)

Remarque : En mécanique des sols, toute contrainte de compression est considérée comme positive. En mécanique des milieux continus, une contrainte positive concerne un effort de traction.

1.1.3 Représentation de Mohr. Cercle de Mohr La représentation de Mohr est une représentation plane du tenseur des contraintes [σ]. Cette représentation est à la base de tous les calculs classiques de plasticité en mécanique des sols (figure 3) : -

l’axe des abscisses est confondu avec la contrainte normale ;

-

l’axe des ordonnés est confondu avec la contrainte tangentielle. Les points représentative des contraintes qui forment le tenseur au point M sont situés à l’intérieur du

triangle curviligne (partie hachurée) délimité respectivement par trois cercle : (C1), (C2) et (C3), appelé cercle fondamentaux. Ces cercles ont pour diamètre (σ1- σ3), (σ1- σ2) et (σ2- σ3). Chacun de ces cercles est le lieu des états de contraintes (σ, τ) lorsque le plan Π tourne autour de la direction de l’autre contrainte principale (par exemple, le cercle de diamètre σ1 – σ3 correspond aux états de contraintes sur les plans Π tournant autour de la direction de la contrainte principale σ2). Le plus grand de ces cercles est appelé cercle de Mohr. Ce cercle est très utilisé en mécanique des sols pour l’interprétation des essais de cisaillement en laboratoire et pour l’analyse des problèmes dans lesquels l’une des directions principales reste constante (calculs bidimensionnels, par exemple). Le cercle de Mohr (figure 4) possède des propriétés géométriques utiles : -

lorsque le plan Π tourne d’un angle β autour de l’axe Mσ2 (figure 3a), le point F se déplace sur le cercle de Mohr d’un angle -2 β ;

-

si l’on trace par le point F’, symétrique de F par rapport à l’axe Oσ, la parallèle à la trace du plan Π dans le plan des contraintes principales Mσ1 σ3, cette droite recoupe le cercle de Mohr en un point P appelé pôle, dont on démontre qu’il est fixe quand le plan tourne autour de l’axe Mσ2 ;

-

connaissant le pôle du cercle de Mohr, on obtient les traces des plans sur lesquels s’exercent les contraintes principales majeure et mineure en traçant les droites PA et PB (les directions des contraintes principales correspondantes sont perpendiculaires à ces plans, de sorte que la contrainte principale majeure σ1 est dirigée selon PB et la contrainte principale mineure est dirigée selon PA) (figure 4b) ;

-

le rayon du cercle de Mohr est égal à (σ1 – σ3)/2, et son centre C a pour abscisse (σ1 + σ3)/2.

M EL GONNOUNI

-EHTP-


-5-

Figure 3 – Représentation de Mohr : état de contraintes possibles

Figure 4 –Cercle de Mohr

1.1.4 Contraintes totales et contraintes effectives Suivant les circonstances, différents systèmes de contraintes sont utilisés pour l’étude des problèmes de mécanique des sols. Dans les sols saturés, on distingue classiquement : -

les contraintes totales [σ ] ;

M EL GONNOUNI

-EHTP-


-6-

-

les pressions interstitielles u. [I] ;

-

les contraintes effectives σ ' = [σ ] − u. [I] .

[ ]

Les définitions données dans les paragraphes précédents peuvent être appliquées aux contraintes totales comme aux contraintes effectives. Dans la représentation de Mohr, les cercles de Mohr en contraintes effectives se déduisent des cercles de Mohr en contraintes totales par une translation d’amplitude égale à la pression interstitielle u, parallèlement à l’axe des contraintes normales (figure 5). On a en effet :

σ’ = σ – u τ’ = τ Dans les sols secs, la pression interstitielle n’existe pas et l’on utilise un seul système de contraintes. On peut formellement définir des contraintes effectives identiques aux contraintes totales et une pression interstitielle identiquement nulle.

Figure 5 – Contraintes totales et contraintes effectives

1.2 Etat de déformation en point d’un milieu continu 1.2.1 Tenseur de déformation Dans les conditions habituelles de la mécanique des sols, où les déformations restent petites (au plus de 10 à 20 %), l’état de déformation en un point peut être caractérisé par le tenseur des déformations :

ε xx [ε ] = ε yx ε zx 

ε xy ε xz   ε xx γ xy 2 γ xz 2     ε yy ε yz  = γ xy 2 ε yy γ yz 2 ε zy ε zz  γ xz 2 γ yz 2 ε zz 

Les six composantes du tenseur des déformations s’expriment en fonction des composantes (u, v, w) du vecteur de déplacement par les relations :

M EL GONNOUNI

ε xx = ∂u ∂x

γ xy = ∂v ∂x + ∂u ∂y

ε yy = ∂v ∂y

γ yz = ∂w ∂y + ∂v ∂z

ε zz = ∂w ∂z

γ xz = ∂u ∂z + ∂w ∂x -EHTP-


-7-

Il existe également trois directions principales orthogonales (un repère principal), par rapport auxquelles le tenseur des déformations s’écrit sous la forme : ε 1 0 [ε ] =  0 ε 2  0 0

0 0  ε 3 

Les déformations ε1, ε2 et ε3 sont appelées déformations principales. La déformation volumique εvol est égale à la trace du tenseur des déformations :

ε vol = ε xx + ε yy + ε zz = ε 1 + ε 2 + ε 3 L’intérêt de se placer dans les directions principales est de déterminer la plus grande, la plus petite et la valeur intermédiaire des déformations (dilatations), qui sont évidemment indépendantes des repères choisis.

Remarque : Le classement des déformations principales sera différent suivant la convention de signes adoptée : raccourcissement positif et allongement négatif en mécanique des sols, le contraire en mécanique des milieux continus et dans les logiciels de calcul.

1.2.2 Décomposition du tenseur de déformation En mécanique des sols, il est intéressant de décomposer le tenseur [ε] en un tenseur sphérique [εs] et un tenseur déviatorique [εd].

[ε ] = [ε s ] + [ε d ] [ε s ] = 1 (tr[ε ]).[I ] 3 [ε d ] = [ε ] − [ε s ] La trace du tenseur déviatorique est nulle, ce tenseur n’entraîne qu’une variation de forme. Par contre le tenseur sphérique est seul responsable du changement de volume.

2. comportements plastique 2.1 Définition de la plasticité Le comportement plastique correspond à l’apparition de déformations irréversibles et s’appuie sur les deux concepts fondamentaux suivants : -

le critère de plasticité ou surface de charge, qui est la frontière entre le domaine élastique et le domaine plastique ;

-

la règle d’écoulement plastique, qui définit la façon dont évoluent les déformations plastiques.

M EL GONNOUNI

-EHTP-


-8-

2.1.1 Surface de charge La surface de charge divise l’espace des contraintes en deux parties : l’intérieur de la surface de charge correspond à des états de déformations réversibles (élastiques) et à l’extérieur de la surface de charge, les déformations se composent d’une partie réversible (élastique) et d’une partie irréversible (plastique). On écrit alors : dε = dε e + dε

p

Dans l’espace des contraintes, le domaine d’élasticité initial ou actuel est en général défini par une fonction scalaire f de la contrainte σij, appelée surface de charge du matériau telle que : -

f(σij) < 0 corresponde à l’intérieur du domaine,

-

f(σij) = 0 corresponde à la frontière du domaine,

-

f(σij) > 0 corresponde à l’extérieur du domaine.

2.1.2 . Règle d’écoulement plastique Soit σij un état de contraintes correspondant à une étape de chargement donné. Si cet état est tel que f(σij) < 0, σij est à l’intérieur du domaine d’élasticité actuel, donc la variation de déformation est purement élastique : dε ij = dε ije . Si cet état est tel que f(σij) = 0, σij se trouve sur la frontière du domaine. Pour décrire dans ce cas le comportement, il convient de distinguer selon que le point matériel est en chargement ou en déchargement. Si le sol est en déchargement, la variation de déformation est purement élastique : dε ij = dε ije , et si le sol est en chargement, la variation de déformation comprend en plus la composante

plastique : dε ij = dε ij e + dε ij p . La règle d’écoulement plastique a pour objet d’exprimer dε ij p en fonction de σij et dσij. Le principe du travail plastique maximal (Hill, 1950) permet de qualifier la règle d’écoulement. Ainsi, en un point régulier de la frontière d’élasticité, la déformation plastique est de la forme :

εp =λ

∂f ∂σ

où λ est un scalaire appelé multiplicateur plastique ( λ ≥ 0 ). On ferme le modèle sur le plan mathématique en écrivant la condition de cohérence : f =

∂f : σ = 0 si λ ≥ 0 ∂σ

Toutes les vitesses de déformation possibles sont alors coaxiales à la normale extérieure à la frontière et ne dépendent que du scalaire λ, non nul si et seulement si le point matériel est en état de chargement. L’expérience montre que, dans le cas des sols, les vitesses de déformation ne sont pas bien décrites par le principe du travail maximal. On est alors amené à introduire et à écrire la règle d’écoulement sous la forme :

M EL GONNOUNI

-EHTP-


-9-

εp =λ

∂g ∂σ

où g est une fonction du tenseur des contraintes appelée potentiel plastique. La règle d’écoulement est alors dite non associée.

2.2 Critères de plasticité usuels en mécanique des sols Les principaux critères de plasticité employés pour décrire la rupture des sols sont présentés dans le tableau 1.

2.2.1 . Critère de Tresca Le critère de Tresca est utilisé pour l’étude des sols fins (argile, limon) saturés, non drainés, en contraintes totales à court terme, durant lesquelles la variation de volume est nulle. La surface de charge f est mathématiquement donnée par la relation :

( )

f σ ij = (σ 1 − σ 3 ) − 2k = 0 où σ1 et σ3 représentent les contraintes principales extrêmes σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 et k une constante correspondant à la contrainte maximum de cisaillement à la rupture (pour les sols cohérents, ce paramètre correspond à la cohésion non drainée cu).

2.2.2 Critère de Von Mises Afin de prendre en compte l’influence de la contrainte intermédiaire, Von Mises a proposé que la surface de charge dépende du deuxième invariant du tenseur des contraintes déviatoriques, J2 :

( )

f σ ij = J 2 − k = 0 où k est la résistance maximale du matériau au cisaillement simple. Ce critère a été formulé pour étudier le comportement des métaux et il n’est pas bien adapté à la représentation du comportement des sols dans la mesure où il ne fait pas intervenir la contrainte moyenne dans son expression.

2.2.3 Critère de Mohr-Coulomb Le critère de Mohr-Coulomb est utilisé pour les sols pulvérulents (sables) et pour les sols cohérents à long terme (argiles et limons). Le critère de Tresca est un cas particulier du critère de Mohr-Coulomb. M EL GONNOUNI

-EHTP-


- 10 -

La surface de charge f(σij) s’exprime de la façon suivante :

( )

f σ ij = (σ 1 − σ 3 ) − (σ 1 + σ 3 ) sinϕ - 2 C cosϕ = 0

où σ1 et σ3 représentent les contraintes principales extrêmes (σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 ) . Le paramètre C est la cohésion du matériau et ϕ l’angle de frottement interne. Lorsque ϕ = 0, on retrouve le critère de Tresca.

2.2.4 Critère de Drucker-Prager Le critère de Drucker-Prager constitue une généralisation du critère de Von Mises aux matériaux pulvérulents, prenant en compte le premier invariant du tenseur de contraintes I1 et le deuxième invariant du tenseur des contraintes déviatoriques J2. Son expression est la suivante :

f (σ ij ) = J 2 − αI 1 − k = 0 où α et k sont deux paramètres qui peuvent être déterminés à partir de résultats d’essais. Si le paramètre α est nul, la loi se réduit à celle de Von Mises.

3. Lois de comportement des sols 3.1 Notion de loi de comportement Toute relation liant le tenseur des contraintes au tenseur des déformations signifie que le milieu, avec sa cohésion propre ou sa capacité de déformation propre, s’oppose d’une certaine manière aux actions appliquées. Ces relations entre tenseur des contrainte et tenseur des déformations sont appelées loi de comportement. Elles peuvent être bijective (cas de l’élasticité) ou non. Elles peuvent être linéaires (linéarité mécanique) ou non linéaires.

3.2 Lois classiques de la mécanique des sols 3.2.1 Loi de comportement élastique linéaire Le sol aura un comportement élastique si ses déformations sont réversibles, la relation contrainte déformation sera biunivoque, sans qu’elle soit linéaire. Si en plus il existe une relation linéaire entre les contraintes et les déformations on dira que le sol a un comportement élastique linéaire. Ce ne sera généralement pas le cas des sols qui très rapidement, mêmes pour de faibles déformations, ont un comportement élastique non linéaire. Néanmoins les lois de comportement en élasticité linéaire étant bien connues on les utilisera souvent en faisant l’hypothèse forte que la réalité ne s’éloigne pas trop du modèle. Dans le cas de l’élasticité linéaire, si le massif de sol est homogène et isotrope, on montre en calcul tensoriel que dans ces conditions [σ]

est une fonction linéaire tensorielle isotrope de [ε]. Deux

coefficients suffisent pour décrire la loi.

[σ ] = λ (tr[ε ]) [I] + 2µ [ε ]

(2)

avec M EL GONNOUNI

-EHTP-


[I]

- 11 -

matrice unité coefficient de LAME

λ et µ

3.2.1.1 Modules et coefficient d’élasticité On définit les modules et le coefficient d’élasticité à partir des essais de compression ou traction simple, de cisaillement et de compression hydrostatique.

a- Compression simple ou traction simple On définit les modules et les coefficients d’élasticité à partir des essais en compression simple (Figure 6) ou en traction simple pour lesquels :

σ1 est la contrainte principale axiale, σ2 = σ3 = 0 ε1 est la dilatation principale axiale, ε 2 = ε 3 ≠ 0

Figure 6 – Contrainte et déformations de l’essai de compression simple Sous un effort de compression (traction) simple la contrainte normale σ1 entraîne une dilatation ε1 de même signe, raccourcissement (allongement pour la traction) et une dilatation de signe contraire dans la direction perpendiculaire ε3, allongement (raccourcissement pour la traction). La contrainte σ1 est reliée à la dilatation ε1 par le module d’élasticité axiale de YOUNG E, qui a la dimension d’une contrainte :

σ1  2µ + 3λ   (3) avec E = µ  ε1  µ+λ  Le coefficient de POISSON ν est le rapport, en valeur absolue de la dilatation transversale sur la E=

dilatation longitudinale, il est sans dimension :

ν =−

ε3 ε1

(4)

avec

ν=

λ 2(µ + λ )

b- Cisaillement simple On définit le module de cisaillement de COULOMB G par le rapport de la contrainte de cisaillement sur la distorsion. G a la dimension d’une contrainte.

M EL GONNOUNI

-EHTP-


G=

σ xy 2ε xy

=

- 12 -

σ xy γ xy

(5)

avec

G=µ

On a la relation suivante entre G, E et ν : E (6) 2(1 + ν ) G a les dimensions d’une contrainte. Comme on verra queν > 0 , G sera toujours inférieur à E. G=

c- Compression hydrostatique Toutes les facettes supportent la même contrainte normale p négative avec les conventions de la mécanique (elle serait positive avec les conventions de la mécanique des sols). Toutes les directions sont principales. On utilise la relation (2) avec les coefficients de Lamé :

[σ ] = λ (tr[ε ]) [I] + 2µ [ε ] On calcule ensuite la trace du tenseur des contraintes tr [σ ] = (3λ + 2 µ ) tr[ε ] = −3 p Puisque la contrainte moyenne p est égale à :

p=

σ1 + σ 2 + σ 3 3

La dilatation cubique est : tr [ε ] =

∆V <0 V

donc 3λ + 2 µ > 0 soit K : module de compression hydrostatique K =−

avec

K=

P ∆V

(7) V

3λ + 2 µ 3

En remplaçant λ et µ par leur valeurs en fonction de E et ν , on obtient : K =−

P ∆V

= V

E 3(1 − 2ν )

(8)

K est donc positif et 1 − 2ν > 0 , ce qui entraîne que ν < 0,5

Le coefficient de POISSON sera toujours compris entre 0 et 0,5 : 0 < ν < 0,5

M EL GONNOUNI

(9)

-EHTP-


- 13 -

3.2.1.2 Loi de HOOKE Dans le cas de contraintes multiaxiales et en général pour les cas tridimensionnels on établit la loi de Hooke qui sont les équations complètes en élasticité linéaire. On préférera transformer les équations de LAME en fonction de E et ν pour écrire les équations de HOOKE. En tridimensionnel, elles s’expriment par les relations tensorielles suivantes : E  ν (tr[ε ]) [I] [ε ] + 1 +ν  1 − 2ν  1 +ν ν [ε ] = [σ ] − (tr[σ ]) [I] E E

[σ ] =

(10)

Elles permettent de calculer les 6 composantes des tenseurs de contrainte et de déformation, par exemple en coordonnées cartésiennes :

σ xx =

ν   ε xx + ε yy + ε zz  ε xx + 1 − 2ν  

σ xy

ε xy

E 1 +ν E = 1 +ν

(

)

3.2.1.3 Décomposition des tenseurs [σ]] et [ε] en tenseurs sphériques et déviatoriques D’après la relation (10) on peut écrire : tr [σ ] =

E  3ν  tr [ε ]  tr [ε ] + 1 +ν  1 − 2ν 

d’où

tr [σ ] =

E tr [ε ] 1 − 2ν

et d’après (8) :

tr [σ ] = 3K (tr [ε ])

(11)

On peut décomposer [σ] et [ε] en un tenseur sphérique (contrainte hydrostatique) et un tenseur déviatorique (contrainte déviatorique) dont la trace est nulle donc ∆V/V = 0 :

[ε ] = [ε s ] + [ε d ] avec

[εs] et [εd], respectivement tenseur de déformation sphérique et déviatorique

[σ ] = [S ] + [D] avec

[S] et [D], respectivement tenseur de contrainte sphérique et déviatorique

On a :

[ε ] = tr [ε ] [I ] + ε d 3 tr [σ ] [I ] + [D] [σ ] = 3

M EL GONNOUNI

-EHTP-


- 14 -

avec tr [ε d ] et tr[D] = 0 d’où les relations d’après (6, 10 et 11) :

[D ] = 2G [ε d ] [S ] = 3K [ε v ] Les tenseurs sphériques et déviatoriques des contraintes et des déformations sont proportionnels.

3.2.2 Loi de comportement élastique linéaire parfaitement plastique 3.2.2.1 Critère de plasticité de Mohr-Coulomb Le modèle élastique linéaire parfaitement plastique avec critère de plasticité de Mohr –Coulomb est encore le modèle le plus utilisé dans la pratique courante de la géotechnique, en principe seulement pour les chemins monotones (sans cycles de chargement – déchargement), pour décrire de manière approchée le comportement des sols pulvérulents (sables), des sols cohérents à long terme (argiles et limons) et de certaines roches. La loi de Tresca, qui est un cas particulier de la loi de Mohr-Coulomb, est utilisée pour l’étude des sols à court terme. On étudie d’abord le critère de plasticité qui permettra de définir ensuite le domaine d’élasticité. Il se caractérise, pour le modèle complet, élastique – parfaitement plastique par une élasticité linéaire isotrope ( E ' ,ν ' ) et un seuil de plasticité (Figure 7) tel que :

( Si (σ

(σ

' '1

)

(

)

− σ 3' = 2 c ' cosϕ ' + σ ''1 + σ 3' sinϕ '

) ( ) − σ ) = 2c cosϕ + (σ + σ )sinϕ , le sol est dans le domaine plastique ; Il est impossible que (σ − σ ) > 2 c cosϕ + (σ + σ )sinϕ .

Si σ '1' − σ 3' < 2 c ' cosϕ ' + σ '1' + σ 3' sinϕ ' , le sol est dans le domaine élastique ; ' '1

' 3

'

'

' '1

' '1

' 3

' 3

'

'

'

' '1

' 3

'

(

)

2 C cos ϕ ' + σ ''1 + σ 3' sin ϕ ' 2 C ' cos ϕ ' + σ ''1 + σ 3' sin ϕ '

(

)

ε1

ε1

Figure 7 – Caractéristiques de la loi élastique-linéaire parfaitement plastique. Critère de rupture MohrCoulomb M EL GONNOUNI

-EHTP-


- 15 -

La contrainte principale intermédiaire σ 2' ne joue aucun rôle.

ϕ ' , c ' ,ψ ont les définitions suivantes : ϕ':

angle de frottement interne du sol, correspond à un frottement solide dans un squelette de grains ou de particules.

C':

cohésion entre les particules fines du sol, « colle » entre les particules qui existe sous certaines conditions

ψ:

angle de dilatance du sol, il représente l’augmentation de volume du squelette du sol qui se produit pendant le cisaillement du sol, le contraire est la contractance

Les valeurs de ϕ ' et c ' sont calculées dans les axes de Mohr.

•

Détermination de ϕ ' et c ' dans les axes de Mohr

(

)

Les courbes déviateur σ 1' − σ 3' en fonction de la déformation axiale ε 1 permettent de déterminer le déviateur à la rupture, soit au pic, soit pour une déformation donnée, soit à l’état critique. Si on soumet plusieurs échantillons de sol, à des contraintes de confinement σ 3' différentes, jusqu'au critère de rupture, les enveloppes des différents cercles de Mohr, à la rupture, sont, en première approximation, 2 droites symétriques (Figure 8).

Figure 8 – Droites de rupture de Mohr-Coulomb

Le critère de plasticité de Coulomb dans les axes de Mohr s'exprime donc par la formule générale :

τ = c ' + σ ' tanϕ ' Le critère de plasticité de Coulomb couplé au postulat de Terzaghi donne :

τ = c ' + (σ − u ) tanϕ '

M EL GONNOUNI

-EHTP-


- 16 -

3.2.2.2 Détermination de E’, ν’ et ψ Le seuil de plasticité ayant été défini on détermine les paramètres des relations entre le déviateur et la déformation volumique en fonction de la déformation axiale (cf. figure 7) dans le domaine élastique. On complète par la détermination de l’angle de dilatance ψ dans le domaine plastique qui permet d’obtenir une courbe complète de la déformation volumique en fonction de la déformation axiale (cf. figure 7).

a- Détermination du module de Young E’ Il suffit d’appliquer la loi d’élasticité linéaire en considérant que dans l’essai triaxial : dε 2 = dε 3 et dσ 2 = dσ 3 = 0 En appliquant l’équation (10) on obtient :

dσ 1 − dσ 3 = E ' dε 1

(

)

La figure 7 montre sur la courbe déviateur σ 1' − σ 3' en fonction de la déformation axiale ε1, comment déterminer le module de Young E’.

En fait la détermination d’un module E’, réaliste, est une opération très délicate, l’élasticité étant rapidement non linéaire même pour de faibles déformations. En réalité le module de Young E’ diminue quand la déformation augmente et augmente avec la contrainte de confinement σ 3' .

b- Détermination du coefficient de Poisson ν’ Il suffit d’appliquer la loi d’élasticité linéaire en considérant que dans l’essai triaxial :

dε 2 = dε 3 et dσ 2 = dσ 3 = 0 En appliquant l’équation (10) on obtient:

dε v = 1 − 2ν ' dε 1 La figure 7 montre sur la courbe déformation volumique εv en fonction de la déformation axiale ε1 comment déterminer le coefficient de Poisson υ.

c- Détermination de l’angle de dilatance Pour calculer l’angle de dilatance ψ, on montre que le rapport de la variation volumique plastique de l’échantillon de sol dε vp sur la variation de la déformation verticale dε 1p est égal à :

dε vp dε 1p

=−

2 sinψ 1 − sinψ

La figure 7 montre sur la courbe déformation volumique εv en fonction de la déformation axiale ε1 l’angle de dilatance ψ qui caractérise l’augmentation de volume du sol pendant le cisaillement.

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La dilatance est fonction évidemment de la compacité du sol mais également de la contrainte moyenne p’. Pour une contrainte moyenne donnée la dilatance sera d’autant plus forte que la compacité des sols grenus ou la surconsolidation des sols fins sera forte. Mais la dilatance dépend également de la contrainte moyenne, à compacité ou surconsolidation initiale égale la dilatance diminuera avec l’augmentation de la contrainte moyenne. Ainsi un sable lâche peut être dilatant sous faibles contraintes et un sable compact contractant (diminution de volume) sous fortes contraintes. Pour les ouvrages courants Vermeer a proposé une règle simple, pour les sols grenus, qui ne dépend que de l’angle de frottement ϕ ' , en proposant ψ = ϕ ' − 30 °

3.2.2.3 Critère de plasticité de Tresca Ce modèle est utilisé pour l’étude des sols fins (argile, limon) saturés, non drainés, soumis à des sollicitations brèves, en contraintes totales à court terme, durant lesquelles la variation de volume est nulle. Il se caractérise pour le modèle complet par une élasticité linéaire isotrope (Eu, νu), et un seuil de plasticité tel que (Figure 9) :

(σ 1 − σ 3 ) = 2 c u Si (σ 1 − σ 3 ) < 2 c u , le sol est dans le domaine élastique ; Si (σ 1 − σ 3 ) = 2 c u , le sol est dans le domaine plastique ; Il est impossible que (σ 1 − σ 3 ) > 2 c u .

Figure 9 – Caractéristiques de la loi élastique-linéaire parfaitement plastique Critère de rupture de Tresca

ϕ u = 0 et cu ont les définitions suivantes ϕu = 0 :

angle de frottement , à court terme, d’un sol fin saturé

cu

cohésion à court terme, d’un sol fin saturé.

:

Ces deux caractéristiques d’un sol fin saturé à court terme sont donc des valeurs transitoires qui ne sont valables qu’à court terme. Elles ont été introduites pour faciliter les calculs, en particulier en phase de chantier, la connaissance des contraintes effectives étant plus difficiles à calculer tout au long de la M EL GONNOUNI

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consolidation du massif de sol fin saturé. On gardera à l’esprit que dès le début de la consolidation on s’éloigne de ces hypothèses de court terme, d’autant plus évidemment si le sol n’est pas très imperméable. Les courbes déviateur (σ 1 − σ 3 ) en fonction de la déformation axiale ε1 permettent de déterminer le déviateur à la rupture, soit au pic, soit pour une déformation donnée, soit à l’état critique. Si on soumet plusieurs échantillons de sol, à des contraintes de confinement σ 3' différentes, jusqu'au critère de rupture, les enveloppes des différents cercles de Mohr, à la rupture, sont, en première approximation, 2 droites symétriques (cf. figure 8). Si on soumet plusieurs échantillons de sol, sans consolidation préalable, à des contraintes de confinement σ 3' différentes jusqu'à la rupture de chaque éprouvette (Figure 10), on obtient des déviateurs q à la rupture tous identiques, la résistance de tous les échantillons étant la même puisqu’ils n’ont pas été consolidés. Les enveloppes des différents cercles de Mohr, à la rupture, sont 2 droites de rupture parallèles à l’axe des contraintes normales σ . Le critère de Tresca dans les axes de Mohr s’exprime donc par :

τ = cu

Figure 10 – Critère de rupture de TRESCA (Argile saturée non drainée)

On peut également déterminer le module de Young et le coefficient de Poisson non drainés. Puisque εv = 0 le coefficient de Poisson ν est égal à 0,5 et on peut calculer Eu, module de Young non drainé en fonction du module de Young drainé E’, en écrivant que le module de cisaillement de Coulomb est le même dans les deux cas τ = τ ' = G γ Gu = G ' = Eu = E ' Eu = E '

(

E'

2 1+υ (1 + ν u )

'

)

=

Eu 2(1 + ν u )

(1 + υ ) '

(1 + ν u )

(1 + υ ) '

Le module de Young non drainé Eu sera donc toujours plus élevé que le module de Young drainé E’. M EL GONNOUNI

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6-Lois de Comportement Des Sols (1)

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