Livro pdf - Estatistica e Probabilidade (exercicios resolvidos) - Prof MSc Uanderson Rebula

RESOLUÇÕES

Estatística

CADERNO DE EXERCÍCIOS

Caderno de exercícios

Uanderson Rebula

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Prof. MSc. Uanderson Rébula de Oliveira

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Sumário

Caderno de exercícios Interpretação de Gráficos 1. O gráfico abaixo apresenta as vendas das filiais de uma empresa de calçados no mês de março de 2011. Leste 22%

Se as vendas da filial Norte totalizaram um valor de R$ 9 milhões, o valor total das vendas de toda a região, ou seja, da empresa, em março, foi de:

Norte 18%

Oeste 33%

a) b) c) d) e)

Sul 27%

100 milhões 80 milhões 50 milhões 45 milhões 40 milhões

9 milhões ----- 18% X milhões ------ 100% X = 50 milhões

2. (ENADE) A legislação de trânsito brasileira considera que o condutor de um veículo está dirigindo alcoolizado quando o teor alcoólico de seu sangue excede 0,6 gramas de álcool por litro de sangue. O gráfico abaixo mostra o processo de absorção e eliminação do álcool quando um indivíduo bebe, em um curto espaço de tempo, de 1 a 4 latas de cerveja. Considere as afirmativas a seguir. I.

O álcool é absorvido pelo organismo muito mais lentamente do que é eliminado. Errado! É absorvido mais rápido. Ver eixo y II. Uma pessoa que vá dirigir imediatamente após a ingestão da bebida pode consumir, no máximo, duas latas de cerveja. Certo! Se ele tomar 3 latas de cerveja, vai ter 0,7g/litro de álcool no sangue, e o limite é 6 g/litro! III. Se uma pessoa toma rapidamente quatro latas de cerveja, o álcool contido na bebida só é completamente eliminado após se passarem cerca de 7 horas da ingestão. Certo! Até 7 horas ainda há álcool no sangue! Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s) (A) II, apenas. (B) I e II, apenas. (C) I e III, apenas. (D) II e III, apenas. (E) I, II e III. 3. (Puccamp-SP) Dentre os resíduos industriais, destaca-se a emissão de gás carbônico, que causa o efeito estufa. O gráfico mostra como se distribuía a produção desse poluente em 1996. Se a produção dos países desenvolvidos era de 3,2 bilhões de toneladas, a produção dos países em desenvolvimento, em bilhões de toneladas, deve ser estimada em cerca de

Porcentagem

a) 3,1 3,2 bilhões -------- 50% b) 2,2 X bilhões ---------- 35% (aproximadamente) c) 1,4 d) 1,1 X = 2,24  resposta b) e) 1,05 4. O gráfico abaixo representa a taxa de desemprego em São Paulo, medida nos meses de abril, segundo o Dieese. 25 20 15 10 5 0

15,5

14,2 11,6

1986

1987

15,9

13,1

15,3

13,5

1994

1995

20,4

20,3

15,9

18,6

17,7

10,3

8,9

1985

10,6

10,4

18,8

16,1

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

Anos

Analisando o gráfico, podemos afirmar que a maior variação na taxa de desemprego na Grande São Paulo ocorreu no período de Note que 18,8 – 15,9 = 2,9, é o maior valor!!

Estatística

a) b) c) d) e)

1985 a 1986 1995 a 1996 1997 a 1998 2001 a 2002 2000 a 2001

Uanderson Rebula


5. (ENEM – 2012 – CADERNO ROSA – QUESTÃO 144). O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico mostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011. De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda absolutas em 2011 foram a) b) c) d) e)

março e abril. março e agosto. agosto e setembro. junho e setembro. junho e agosto.

6. (ENEM – 2012 – CADERNO CINZA – QUESTÃO 178). O gráfico em linhas abaixo fornece os valores das ações da empresa XPN, no período das 10 às 17 horas, num dia em que elas oscilaram acentuadamente em curtos intervalos de tempo. Neste dia, cinco investidores compraram e venderam o mesmo volume de ações, porém em horários diferentes, de acordo com a tabela abaixo. Hora da compra 10:00 10:00 13:00 15:00 16:00

Investidor 1 2 3 4 5

Hora da venda 15:00 17:00 15:00 16:00 17:00

Com relação ao capital adquirido na compra e venda das ações, qual investidor fez o melhor negócio? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

60% menor renda

60% renda total

20% renda total

renda total

Tempo (em horas) 7. (ENADE-2008 - ENGENHARIA) Apesar do progresso verificado nos últimos anos, o Brasil continua sendo um país em que há uma grande desigualdade de renda entre os cidadãos. Uma forma de se constatar este fato é por meio da Curva de Lorenz, que fornece, para cada valor de x entre 0 e 100, o percentual da renda total do País auferido pelos x% de brasileiros de menor renda.

20% maior renda

Por exemplo, na Curva de Lorenz para 2004, apresentada ao lado, constata-se que a renda total dos 60% de menor renda representou apenas 20% da renda total. De acordo com o mesmo gráfico, o percentual da renda total correspondente aos 20% de maior renda foi, aproximadamente, igual a a) b) c) d) e)

20%. 40%. 50%. 60%. 80%.

% de brasileiros de menor renda 8 - Uma universidade realizou um levantamento sobre a origem dos 4 800 novos alunos ingressantes. Os dados encontram-se resumidos nos gráficos seguintes: Com base nos gráficos, responda: a.Qual é o número procedentes do interior?

de

calouros

b.Qual é o número de alunos da capital que estudaram nos dois tipos de escola (pública e particular)? a - 4800 x 0,25 = 1200 b – Capital = 65%  4800 x 0,65 = 3120 3120 x 25% = 780

Estatística

Este gráfico corresponde a 100% dos 65%! Veja o título dele!

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Caderno de exercícios DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA 1. Uma loja de produtos de informática resolveu fazer uma pesquisa com seus clientes adolescentes para saber a idade da maioria deles. Para tanto, selecionou uma amostra de 25 clientes, sendo as idades mostradas abaixo. Faça as questões a) a e) Idades dos clientes (em anos)

12 13 14 13 12

13 12 13 14 14

14 15 13 14 15

15 16 12 13 14

14 16 13 14 12

a) b) c)

Construa a tabela de distribuição de frequência f, fr(%), Fa e FRa(%). Construa um histograma da distribuição de frequência. Qual a idade mais frequente, segundo a amostra?____14 anos___________________

d)

Quantos clientes têm idade até 14 anos?_____20 clientes__________________________

e)

Qual a porcentagem de clientes com idade maior que 13 anos?___52%_(32%+12%+8%)___ Desenhe o Histograma aqui

Idade dos clientes

f

Fr(%)

Fa

FRa(%)

8

12

5

20%

5

20%

7

13

7

28%

12

48%

14

8

32%

20

80%

15

3

12%

23

92%

16

2

8%

25

100%

100%

-

-

6 5 4 3 2 1

-

f=

0

12

13

14

15

16

2. Considerando a distribuição de frequência correspondente aos diferentes preços (R$) de um produto em lojas pesquisadas em Resende no ano de 2001. Construa uma tabela de frequências fr(%), Fa e FRa(%). Preços R$50

Nº lojas

Fr(%)

Fa

FRa(%)

2

10%

2

10%

R$51

5

25%

7

35%

R$52

6

30%

13

65%

R$53

6

30%

19

95%

R$54

1

5%

20

100%

-

20

100%

-

-

Informe: a) b) c) d) e) f) g)

O nº total de lojas pesquisadas_______20_________________________ O nº de lojas com preço até R$52_______13_______________________ A % de lojas com preço de $53?________30%________________________ O nº de lojas com preço menor que R$52_______7_________________ A % de lojas com preço maior que R$53?________5%________________ O nº de lojas com preço entre R$52 e R$53______12__(6+6)______________ A % de lojas com preço entre R$52 e R$54______65% (30%+30%+5%)______

3. Um dado foi lançado 50 vezes, obtendo os seguintes resultados a) b) c) d) e) f) Face f

Estatística

1 8

2 7

3 12

4 10

5 8

Qual a frequência com que saiu a face 3?____12______________________ Qual a porcentagem de saída da face 6?______10%_(5/50 x 100)_________ Qual a frequência de saída acumulada até 4?____37__(8+7+12+10)_______ Qual a frequência com que saiu a face 5?_____8___________________ Qual porcentagem de saída acumulada até a face 2?__30%_(8+7/50 x 100)____ Qual porcentagem de saída acumulada até a face 3?__54%_(8+7+12/50 x 100)__

6 5

Uanderson Rebula


4. Um professor aplicou uma prova de Estatística para alunos do determinado curso, corrigiu-as, organizou as notas e construiu o histograma demonstrado abaixo. Considere as afirmativas a seguir. Desempenho dos alunos na prova de Estatística

12

Número de alunos

10

I. A porcentagem de alunos com nota 7,0 é 8%. V, pois (2/25 x 100) = 8% II. O número de alunos com notas até 5,0 é 4. F (correto é 13) (9+4) III. A porcentagem de alunos com nota maior que 6,0 é 36%. V, pois (2+1+6/25 x 100) = 36%

9

∑f = 25

8

6

6

Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s)

? 4

3 2

2

1

0 4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

Notas

a) I, apenas. b) II, apenas. c) I e III, apenas. d) II e III, apenas. e) I, II e III.

Fonte: dados fictícios

5. Analise o histograma abaixo, relativo aos pesos (em kg), dos empregados de uma empresa. Com base nos dados, determine:

Pesos dos empregados

Nº empregados

30

20

∑f = 90

25 ?

15

? 10

10 5

0 70

75

80 85 Pesos (Kg)

90

Total frequencias = 90 (15+10+20+25+15+5)

a) O número de pessoas que pesam 80 kg_____20_____________________ b) A porcentagem de pessoas que pesam no máximo 80kg _50%_(15+10+20/90) x 100____ c) O número de pessoas que pesam abaixo de 80 kg ____25_(15+10)________ d) A porcentagem de pessoas que pesam 90 kg 16,66% (15/90 * 100)_____ e) O número de pessoas que pesam no mínimo 80 kg _65 (20+25+15+5)___ f) A porcentagem de pessoas que pesam acima de 75 kg 72,22% (20+25+15+5/90*100) g) O número de pessoas analisadas __90___ h) A porcentagem de pessoas que pesam 70 kg e 75 kg 27,77%_(15+10/90*100)__ i) A porcentagem de pessoas que pesam 85 kg ou menos 77,77% (15+10+20+25/90*100)

95

6. (UF-GO) Uma pesquisa mostrou que a uma semana das inscrições para os principais vestibulares, muitos candidatos ainda estavam indecisos em relação ao curso pretendido, como mostra a tabela abaixo.

Indecisos

Forma de decisão sobre o curso Respostas

% 86,8 4,9 4,0 1,3 1,3 0,9 0,4 0,4

Já decidiu Pesquisando melhor sobre os cursos Não sabe Decidirá na hora da inscrição Fazendo Teste vocacional (aptidão) Ainda pesquisando mercado de trabalho Decidirá em conjunto com os pais Decidirá pelo Guia do vestibulando

De acordo com os dados, o número de candidatos que decidirão pelo curso de teste vocacional (aptidão) representa, entre os indecisos a) b) c) d) e)

1,3% 9,85% 10,15% 11,9% 13,2%

% entre os indecisos  4,9+4,0+1,3+1,3+0,9+0,4+0,4 = 13,2% Então, 13,2 % representa o total de indecisos, e 1,3% os que farão teste vocacional. Logo: 13,2% --- 100% 1,3% ---- x%

x = 9,848 ~ 9,85%

7. Em certa eleição municipal foram obtidos os seguintes resultados: Candidato José Silva João Martins Mário Adão Nulo ou branco

Porcentagem do total de votos 26% (vencedor) 24% 22% X = 28% 100%

Número de votos

196

O número de votos obtido pelo candidato vencedor foi: a) 191 b) 184 X = 100% - (26%+24%+22%) = 28% c) 188 d) 178 28% ----196 e) 182 26% ---- Y Y = 182

Estatística

Uanderson Rebula


8. Complete as distribuições de frequência abaixo Nº de defeitos nas máquinas em um mês Tipo Máquina A Máquina B Máquina C Máquina D Máquina E -

Nº de peças com defeito em um dia

f

Fr(%)

Fa

FRa(%)

35

29,17% 10% 18,33% 37,5% 5%

35

29,17% 39,17% 57,5% 95% 100%

T Peça A Peça B Peça C Peça D Peça E

-

-

12

22 45 6

f=120

47 69 114 120 -

100%

f 1

Fr(%) 5% 25% 45%

15

3

10% 15%

20

f=20

100%

-

5 9

2

Fa

FRa(%)

1

5% 30% 75% 85%

6 17

100% -

9. (ENEM – 2012 – CADERNO CINZA – QUESTÃO 140). Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em horas por dia, como os jovens entre 12 e 18 anos gastam seu tempo, tanto durante a semana (de segunda-feira a sexta-feira), como no fim de semana (sábado e domingo). A seguinte tabela ilustra os resultados da pesquisa. Rotina Juvenil Assistir à televisão Atividades domésticas Atividades escolares Atividades de lazer Descanso, higiene e alimentação Outras atividades

Durante a semana 3 1 5 2 10 3

No fim de semana 3 1 1 4 12 3

De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18 anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades escolares? a) b) c) d) e)

20 21 24 25 27

5 horas segunda + 5 horas terça +...+5 horas sexta = 25 horas/semana. 1 hora sábado + 1 hora domingo = 2 horas/fim de semana Logo, o total semanal é 25 + 2 = 27 horas, letra e)

10. Considere a tabela abaixo, referente a um conjunto de 40 peças que foram coletadas para análise no laboratório de qualidade. Tamanho das peças (mm)

% Acumulado

156 162 168 174 180

32,5% 45% 65% 90% 100%

fr(%)=25%

A frequência absoluta da peça com tamanho de 174 mm é a) 8 b) 10 c) 13 d) 26 e) 36

A % acumulada mostra 65% para 90%, então a frequência relativa (fr%) é 25% de peças com 174mm. 25% do total de 40 peças = 10 peças

11. Os salários mensais, em R$, dos 20 funcionários de uma empresa são listados abaixo. Resolva as questões de a) a f) 720 760 720 840 680

720 720 760 720 760

800 760 800 720 800

840 800 840 840 720

a) b) c) d) e) f)

Construa a tabela de distribuição de frequência f e FRa. Construa um histograma. Qual o salário mais frequente?_______R$720_________________________ Quantos funcionários recebem até R$840?___20___________________ Qual a % de funcionários com salários até R$760?____60% (1+7+4/20*100)_______ Quantos funcionários recebem entre R$760 e R$800?__8 (4+4)____________

f Fa

680  1 720  7 760  4 800  4 840  4

Estatística

1 8 12 16 20

Uanderson Rebula

Caderno de exercícios Agrupamento em classes 1. Numa amostragem de 40 alunos da escola A, as estaturas (em cm) da tabela são as seguintes: 166 162 155 154

160 161 152 161

161 168 163 156

150 163 160 172

162 156 155 153

160 173 155 157

165 160 169 156

167 155 151 158

164 164 170 158

160 168 164 161

a) b) c) d)

Construa as classes com intervalo  Construa a tabela – f, fr (%), Fa, FRa (%) e Xi. Elabore o histograma e o polígono de frequência. Elabore a ogiva.

Distribuição de freqüência das estaturas de 40 alunos da escola A Cálculo do intervalo de classe

i

Estaturas (cm)

f

Fr(%)

Fa

FRa(%)

Xi

Cálculo quantidade classes (i)

1

150  154

4

10%

4

10%

152

2

154  158

9

22,5%

13

32,5%

156

3

158  162

11

27,5%

24

60%

160

4

162  166

8

20%

32

80%

164

5

166  170

5

12,5%

37

92,5%

168

6

170  174

3

7,5%

40

100%

172

100%

-

n = 40. Raiz de 40 = 6,32 ~ 6 classes Cálculo tamanho intervalo classe (h) h = maior valor – menor valor i h = 173 – 150 = 3,83 ~ 4 6

f=40 Histograma e Polígono de frequência

Ogiva

40

40 37

35 12

30

11 8

8

20

5

6

3

2 0

154

158

162

166

170

174

11

10 5

150

13

15

4

4

24

25

9

10

32

0

150

4 4 154

8

9 158

162

166

5 170

3 174

Perguntas a) Qual a quantidade de classes (i)___6___________

h)Existem quantos alunos entre o intervalo 150 cm e 158 cm?_13

b) Qual a amplitude de classe (h)?______4________

i)Qual a frequência da quinta classe?__5_______________

c) Qual a amplitude total da distribuição (AT)?__174-150 = 24_

j)Qual a frequência acumulada da quinta classe?__37_______

d) Qual a amplitude amostral (AA)?_ 173 – 150 = 23____

k)Qual a frequência relativa da segunda classe?____22,5%____

e) Qual o limite superior da quinta classe?___170______

l) qual a frequência relativa acumulada da quarta classe?__80%_____

f) Qual o limite inferior da terceira classe?___158_______ g) Qual o ponto central da quarta classe?_______164____ 2. Em uma distribuição de frequência agrupada, qual será a amplitude de classe para um conjunto de 60 elementos, sabendo-se que o menor valor desse conjunto é 1000 e o maior valor é 1600? R = 75 1600-1000 / raiz de 60 = 75

Estatística

Uanderson Rebula


3. Um Analista de produção quer saber o tempo que os operários de uma fábrica levam para produzir certa peça. Para tanto, observou 80 trabalhadores por vários dias, fez suas anotações e construiu o histograma abaixo. a)

Produção de peça Porcentagem

37.5%

40%

Quantos trabalhadores produziram a peça em menos de 40 minutos?

5%+12,5%+22,5%+37,5% = 77,5% de 80 = 62

50%

b)

Quantos trabalhadores produziram a peça entre 35 e 50 minutos?

37,5%+17,5%+5% = 60% de 80 = 48

30%

22.5% 17.5%

20%

c)

12.5% 10%

5%

5%

0%

20 25 1ª classe

30 35 40 45 2ª... 3ª... 4ª... 5ª classe Tempo (minutos)

50

d)

Determine a porcentagem de trabalhadores que produziram as peças até a 3ª classe. 1ª classe é 20  25; 2ª classe é 25  30; 3ª classe é 30  35; Como a pergunta é até a 3ª classe, então: 5%+12,5%+22,5% = 40% Qual o ponto médio da 5ª classe? 5ª classe é 40  45, então: 40+45/2 = 42,5

4 – Adaptado Petrobrás/2011) O histograma abaixo se refere às velocidades registradas dos veículos em uma rodovia. Os pontos médios das classes inicial e final são 75 e 125, respectivamente. Todas as classes têm a mesma amplitude. Com Base nisto, calcule: Resultados dos registros de um radar

a) b) c) d) e) f) g)

Quantidade de veículos

12 10

10 8

8

7 6

6

5 4

4 2

O numero de veículos registrados___4+5+8+10+7+6 = 40_________________ A amplitude total (AT) da distribuição 130 – 70 = 60__________ O intervalo com maior frequência 100  110 pois tem f = 10_____ A frequência do intervalo 110  120 7___ O nº veículos com velocidades a partir de 100 km/h 10+7+6=23__ % veículos velocidades abaixo 110 km/h 10+8+5+4/40*100 = 67,5% A frequência acumulada até o 3º intervalo 1ª classe ou intervalo = 70  80; 2º intervalo é 80  90 e 3º intervalo é 90  100, então: 4+5+8 = 17

0 75

125 Velocidade (Km/h)

5. Considere o histograma abaixo 30

Após exame dos dados, pode-se afirmar que: I. o intervalo de classe que tem maior frequência relativa é 100  120; II. o número total de elementos observados é 139; III. A frequência do intervalo 70  80 é 21; IV. Os intervalos 80  90 e 90  100 têm a mesma frequência acumulada.

25

Assinale a alternativa correta. 20

a) b) c) d)

15

Apenas II e III são verdadeiras. A I, II e IV são falsas. Apenas III e IV são verdadeiras. Todas as afirmativas são verdadeiras.

O item I é falso, pois o intervalo que tem maior frequência é 100  110 10

5

0 40

Estatística

60

80

100

120

140

160

Uanderson Rebula


6. Considerando as tabelas abaixo, confeccione, para cada uma, o histograma, polígono de frequência e a ogiva a) b) i 1 2 3 4 5

Pesos (Kg) 40  44 44  48 48  52 52  56 56  60

f 2 5 9 6 4 f=26

Fa 2 7 16 22 26

i 1 2 3 4 5

Histograma e Polígono de frequência

Estaturas (cm) 150  156 156  162 162  168 168  174 174  180

f 1 5 8 13 3 f=30

Fa 1 6 14 27 30

Histograma e Polígono de frequência

10

15

8

12

6

9

4

6

2

3 0

0 40

44

48

52

56

Ogiva

60

150

Pesos (kg)

156

162

168

30

30 26

27

25

25

174

180

Estaturas (cm)

Ogiva

30

22 20

20 16

10 5

14

15

15

10

7

6 5

2

1 0

0 40

44

48

52

56

60

Pesos (kg)

150

156

162

168

174

180

Estaturas (cm)

7. Os números abaixo representam os pesos (em kg) de peças selecionadas para análise de qualidade. Construa a distribuição de frequência f com intervalo  i 1 2 3 4 5

i = Raiz 30 = 5,47 ~5 h = 32 – 8 / 5 = 4,8 ~5

Estatística

Pesos (Kg) 8  13 13  18 18  23 23  28 28  33

f 4 9 6 4 7 f=30

Uanderson Rebula

Caderno de exercícios MEDIDAS DE POSIÇÃO

Média simples 1) 850+900+...+45000 / 7

2) 3.532.051+...+3.201.327 / 5 4.1 x = 3240+243 / 80 + 1 = 43 4.2 x = 1540 + 12 + 8 / 55+ 2 = 27,36 4.3 9 = 270 + X / 45 + 1 = 144

Observação: (Média é 9 pois o número 6 aumentou em 50%) (270 pois 45*6 = 270)

4.4 25 = 390 – X / 15 – 1 = 40

Observação (15 – 1 pois retirou-se um número) (390 pois 15 * 26 = 390)

4.5 29 = ∑x  ∑x=29n  30 = 29n - 24 n n-1 4.6. 15.000.000 = ∑x  ∑x = 135.000.000 9



30 (n - 1) = 29n – 24 

30n - 30 = 29n – 24



n = 30 - 24  6

media= 135.000.000 – (7.000.000 + 5.000.000) + (2.500.000 x 5) = 11.291.666 9 (– 2 + 5)

Média ponderada 1. (5,0 x 3)+ (9,5 x 1) + (2,0 x 4) + (8,5 x 2) = 5 (arredondado) 3+1+4+2 2) (2,50 x 32)+ (2,00 x 13) + (1,40 x 5) = 2,26 32+13+5 3) (1,20 x 500)+ (1,60 x 200) + (1,05 x 900)) = 1,16 500+200+900

4) (200 x 20)+ (300 x 30) + ...+ (5000 x 5) = 682 20+30+20+10+5 1)

(300 x 8) + (340 x 32) = 332 8 + 32

2)

(14.900 x 3) + ...+(11200 x 18) = 14.035,5 3+8+2+18

Média de distribuição de frequência 1. Calcule a média das distribuições de frequências abaixo: a) Pesos de 26 alunos R = 50,77kg Pesos (Kg) 40  44

f 2

44  48

5

48  52

9

52  56

6

56  60

4

b) Pesos de 30 peças coletadas para análise R = 47,67kg

Resolução (42*2)+(46*5)+...+(58*4) = 50,77 26 42 é o ponto médio (40+44/2)

f=26

Pesos (Kg) 40

3

45

5

47

10

50

7

53

5

f

Resolução (40*3)+(45*5)+...+(53*5) = 47,67 30

f=30

2. Registros das temperaturas de Resende - julho

Quantidade de dias

12 10

Resolução (16,5*2)+(19,5*4)+...+(31,5*3) = 25,1 2+4+5+7+9+3

9

8

7

6

5 4

4

3

2

2 0 15

18

21

24

27

30

33

Temperaturas (°C)

Estatística

Uanderson Rebula


3)

Produção de peça

Porcentagem

50%

Resolução (22,5*5) + (27,5 * 12,5) +...+ (47,5 * 5) = 35,75 5%+12,5%+22,5% + ...+5% = 100%

37.5%

40% 30%

22.5%

Também pode ser resolvido transformando a % em números absolutos. Ex. 5% de 80 = 4; 12,5% de 80 = 10. Neste caso o produto será dividido por 80, que é o total, e não por 100%

17.5%

20%

12.5% 10%

5%

5%

0%

20

25

30

35

40

45

50

22,5 é o ponto médio de classe (20+25)/2 e assim por diante

Tempo (minutos)

4) (70 * 2) + (80 * 3) + ... + (110 * 2) = 90 2+3+5+3+2 = 90 5) Ponto médio de classe  10+19/2 = 14,5 e assim por diante para demais classes. Logo

6)

(1 x 10) + (2 x 25) + ...+ (6 x 5) = 235 x R$4 = 940,00

(14,5 x 32) + ( 24,5 x 39) +...+(54,5 x 4) = 25,70 32+39+18+7+4

7) adiciona-se 20% para cada classe adiante, logo 1ª classe 180 2ª classe 180 x 1,2 = 216 3ª classe 216 x 1,2 = 259 4ª classe 259 x 1,2 = 311 5ª classe 311 x 1,2 = 373

($180 x 34) + ($216 x 41) + ($259 x 35) + ($311 x 22) + (373 x 18) = 250,73 34+41+35+22+18 Nota: não há problemas se os seus resultados forem aproximados.

1,2 significa acréscimo de 20% ao valor 8) Perceba que a coluna fornece as frequências relativas acumuladas. Terá que encontrar a frequência relativa de cada um. Depois inicie o processo de cálculo da média normalmente. Tamanho das peças (mm)

fr

156

32,5%

32,5%

162

12,5

45%

168

20%

65%

174

25%

90%

180

10%

100%

Estatística

% acumulado

Com as frequências relativas, ficará assim: (156 x 32,5) + (162 x 12,5) +...+ (180 x 10) / 100 = 166,1 mm Você também pode achar as frequências absolutas e calcular a média a partir dela. Mas dá mais trabalho. Neste caso, na média, terá que dividir por 40, e não por 100 (como feito anteriormente) 32,5% de 40 peças = 13 12,5% de 40 peças = 5 e assim por diante

Uanderson Rebula


Mediana 1.Determine o salário mediano dos empregados de uma empresa: $1300 $850

$1050 $45.000

$1200

$1000 $900

R = $1050

Quantidade de dados (n) = 7, então: Impar  P= n+1/2  7+1/2 = 4ª posição. A mediana está na 4ª posição. Ordenando os valores do menor para maior  850 900 1000 1050 1200 1300 45000  Md = 1050 2.Determine a idade mediana dos alunos de uma Universidade: 52

19

45

22

50

25

20

23

R = 24

Quantidade de dados (n) = 8, então: par  P1= n/2 e P2 = sucede P1 P1=8/2= 4ª posição e P2=5ª posição Ordenando os valores do menor para maior  19 20 22 23 25 45 50 52. Fazendo a média  23+25/2  Md = 24 3.Encontre a mediana das distribuições de frequência, abaixo a) Pesos de 30 peças coletadas para análise R = 47 kg Pesos f (Kg) 40 3 45

5

47

10

50

8

53

5

Distribuição de frequências sem classes, logo:

i 1

Pesos (Kg) 40  44

f 2

f = n = 31 → ímpar

2

44  48

5

3

48  52

9

4

52  56

6

5

56  60

4

P

n  1 → 31 1 = 16ª 2 2

A Me está na 16ª posição. Logo, acumulando as frequencias até 16ª, temos: 3+5+10  Md = 47kg

f=31

b) Pesos de 26 alunos da turma A R = 50,66 kg Distribuição de frequências com classes. Logo n/2 = 26/2 = 13ª posição. Acumulando as frequências até 13ª, a Md está na 3ª classe. Logo:

Md  48 

f=26

 26   2 - 7 * 4   9

Md = 48 +

2,66

= 50,66kg

4. O histograma abaixo apresenta os registros das velocidades dos veículos que transitaram na rodovia presidente Dutra, em um sábado, entre 21h00minhs e 23h00minhs. Qual a velocidade mediana desses veículos? R = 90 km/h Distribuição de frequências sem classes, logo: f = n = 15 → ímpar P

n  1 → 15  1 = 8ª posição 2 2

A Me está na 8ª posição. Logo, acumulando as frequências até 8º, temos: 2+3+5  Md = 90km/h 70

80

90

100

110

Velocidades (Km/h)

5. Analise o histograma abaixo. No mês de julho, qual foi a temperatura mediana em Resende? R = 25,71 °C

Clima em Resende - julho

Quantidade de dias

12 10

n/2 = 30/2 = 15ª posição.

9

8

Acumulando as frequências, a Md está na 4ª classe.

7

6

Logo:

5 4

4 2

Distribuição de frequências com classes. Logo

3

2

Md  24 

0

15

18

21

24

27

30

33

Md = 24 +

 30   2 - 11 * 3   7 1,71

= 25,71°C

Temperaturas (°C)

Estatística

Uanderson Rebula


6. (ENEM – 2012 – CADERNO ROSA – QUESTÃO 171) O gráfico abaixo apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o Caged, no período de janeiro de 2010 a outubro de 2010. Com base no gráfico, o valor da parte inteira da BRASIL – Comportamento do emprego formal no período de janeiro a outubro de 2010 – CAGED mediana dos empregos formais surgidos no período é A 212 952. B 229 913. C 240 621. D 255 496. E 298 041.

Quantidade de dados (n) = 10, então: par  P1= n/2 e P2 = sucede P1 P1=10/2= 5ª posição e P2=6ª posição Ordenando os valores do menor para maior: 181.419 | 181.796 | 204.284 | 209.425 | 212.952 | 246.875 | 266.415 | 298.041 |299.415 | 305.068 Fazendo a média  212.952+246.875/2  Md = 229.913,5, letra B 7. Analise o histograma abaixo. Qual o número de salários mínimo mediano que as famílias de Resende recebem, mensalmente? R = 5,75 Renda mensal de familias em Resende

Quantidade famílias

50 40

.

36

Acumulando as frequências até 64ª (36+32), a Md está na 2ª classe.

32

30

Distribuição de frequências com classes. Logo n/2 = 128/2 = 64ª posição.

Logo:

24 19

20

12 10

Md  4 

5

Md = 4 +

0 2

4

6

8

10

12

 128   2 - 36 * 2   32 1,75

= 5,75 salários mínimo

14

Nº de salários mínimos

8. Os valores ordenados abaixo se referem ao número de desistências mensais de reservas solicitadas a uma companhia aérea. 48 – 52 – 58 – 63 – 68 – x – 76 – 82 – y – 96 – 98 - 102 Sabendo que a mediana desses valores é 73 e que a média é 75, quais os valores de x e y? R -> x = 70 e y = 87 Os valores estão ordenados, e n = 12. Então a Md está na 6ª e 7ª posição. Sabendo que a Md é 73 e fazendo a média de x e 76, temos: Md = x + 76 2



73 = x + 76  x = 70 2

Média = ∑x  ∑x = 48+52+58+63+68+70+76+82 + .y. + 96+98+102 = 813 n



75 = 813 + y = 87 12

9. Um lote contém 2000 parafusos sendo que o peso mediano é de 100g. Em termos de mediana, esses valores indicam que a) Todos os parafusos têm peso igual a 100g. b) A maioria dos parafusos tem peso aproximado de 100g. c) Metade dos parafusos tem peso abaixo de 100g. É apenas interpretação da mediana! d) 50% dos parafusos têm peso exatamente de 200g. e) 1000 parafusos pesam 50g. 10. A tabela ao lado informa o número de defeitos, por peça, Número de defeitos por peça 0 1 encontrados durante uma inspeção feita em um lote de 80 peças Número de peças 12 20 que chegou a um porto. a. Considerando o número de defeitos por peça, qual é a mediana dos valores encontrados? R = 2 b. Qual será a nova mediana se forem acrescentadas a esse lote 18 peças, cada uma com exatamente 1 defeito? R = 1

2 24

3 16

4 8

a)Trata-se de Md de distribuição de frequência sem classe. Logo: f = 12+20+24+16+8 = 80 → par. Então: P1 = n/2 e P2 = sucede P1 P1= 80/2 = 40ª e P2 = 41ª. Acumulando as frequências até 40ª e 41ª, temos: 12+20+24  Md = 2 b)Neste caso, o Número de defeitos por peça “1” passa de f = 20 para f=20+18 = 38. Logo: f = 12+38+24+16+8 = 98 → par. Então: P1 = n/2 e P2 = sucede P1  P1 = 98/2 = 49ª e P2 = 50ª  Acumulando as frequências até 49ª e 50ª, temos: 12+38  Md = 1 Resp. 6 B 9 c)

Estatística

Uanderson Rebula


MAIS EXERCÍCIOS DE MEDIANA PARA REFORÇAR APRENDIZADO (NÃO É NECESSÁRIO APRESENTAR COMO PARTE DO TRABALHO) 11.A tabela abaixo apresente os salários dos empregados da Prefeitura de Resende. Determine o salário mediano. R = $865 Salários(R$) 780

f 20

Fa 20

950

8

28

1000

5

33

1400

7

40

Distribuição de frequências sem classes, logo: f = n = 40 → par. P1 = n/2 e P2 = sucede P1  P1 = 40/2 = 20ª posição e P2 = 21ª posição A Me está na 20ª e 21ª posição. Logo, acumulando as frequências até 20ª e 21ª, temos: 780 está na 20ª posição e 950 está na 21ª posição. Então, calcula-se a média deles: 780+950 = 865 2

12.Calcule a mediana das estaturas dos funcionários de uma empresa. R = 168,46 cm

1

i

Estaturas (cm) 150  156

f 1

Fa 1

2

156  162

5

6

3

162  168

8

14

4

168  174

13

27

5

174  180

3

30

Distribuição de frequências com classes. Logo n/2 = 30/2 = 15ª posição. Acumulando as frequências até 15ª (1+5+8+13), a Md está na 4ª classe. Logo:

Md  168  Md = 168 +

 30   2 - 14  * 6   13 0,46

= 168,46 cm

13.Com base no gráfico abaixo, qual a estatura mediana dos alunos da AEDB? R = 166,77 cm

Distribuição de frequências com classes. Logo n/2 = 103/2 = 51,5ª ~ 52 posição. (0,5 ou mais, arredondar para maior) Acumulando as frequências até 52ª (8+16+19+24), a Md está na 4ª classe. Logo:

 103   2 - 43 * 5   24

Md  165  Md = 165 + 150

155

160

165 170 Estaturas (cm)

175

1,77

Nota Fa ant é 43 pois 8+16+19

= 166,77 cm

180

14.Com base no gráfico abaixo, qual a estatura mediana dos alunos da AEDB? R = 170 cm

Distribuição de frequências sem classes, logo: f = n = 103 → ímpar P

n  1 → 103  1 = 52ª posição 2 2

A Me está na 52ª posição. Logo, acumulando as frequências até 52º, temos: 8+16+19+24  Md = 170cm 155

Estatística

160

165 170 Estaturas (cm)

175

180

Uanderson Rebula

Caderno de exercícios Moda 1.Determine o salário modal dos empregados de uma empresa, abaixo: $1300

$850

$1050

$45.000

$1200

$1000

$1300

$900 R= 1300 1300 é o valor que mais se repete

2.Determine a idade modal dos alunos de uma Universidade, abaixo: 52

19

45

22

50

25

20

23

19

52 R = 19 e 52 19 e 52 foram os valores que mais se repetem

3. Determine a moda a partir das distribuições de frequência abaixo. (moda bruta e moda de Czuber quando tiver classes) a) Pesos de 26 alunos da turma A i 1 2 3 4 5

Pesos (Kg) 40  44 44  48 48  52 52  56 56  60

f 2 5 9 6 4 f=26

b) Peso de 31 peças coletadas para análise da qualidade Classe modal é a de maior frequência, logo é a 3ª classe. Moda Bruta = 48+52/2 = 50 kg D1 MoCzuber    *h D1  D2

MoCzuber  48 

4 *4 43

= 48 + 2,28  50,28kg

Determine o peso modal dos alunos. (D1=4, pois 9-5 = 4) (D2=3, pois 9-6=3) R = bruta 50kg (h = 4, pois é a amplitude da classe modal) Czuber 50,28kg

4.Determine a temperatura modal do histograma (bruta e de Czuber) R = bruta 28,5ºC

Registros das temperaturas de Resende - julho

Quantidade de dias

12 10

9

8

7

6

5

h

4

4 2 0 15

18

21

24

27

30

33

Pesos (Kg) 40 45 47 50 53

f 3 5 10 8 5 f=31

Determine o peso modal das peças. R = 47 kg Distribuição de frequência sem classes. Não é necessário cálculo. Basta identificar o peso de maior frequência. Czuber 27,75°C

Classe modal é a de maior frequência, logo é a 5ª classe. Moda Bruta = 27+30/2 = 28,5 D1 MoCzuber    *h D1  D2

MoCzuber  27 

3

2

i 1 2 3 4 5

2 *3 26

= 24 + 0,75  27,75

(D1=2 pois 9-7 = 2) (D2=6 pois 9-3=6) (h = 3 pois é a amplitude da classe modal)

Temperaturas (°C)

5.Determine a velocidade modal do histograma abaixo R = 90km/h

Distribuição de frequência sem classes. Não é necessário cálculo. Basta identificar a velocidade de maior frequência, no caso Mo = 90 km/h

70

80

90

100

110

Velocidade (Km/h)

Estatística

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Número de operários

6. Considere a distribuição abaixo, relativa ao tempo que os empregados de uma empresa levam para produzir uma peça. Produção de peças

12

Pode-se dizer que a Moda de Czuber será, aproximadamente a) b) c) d) e)

10 8 6 4 2

35 minutos 37 minutos 40 minutos 43 minutos 45 minutos

Simplesmente representar graficamente e observar o valor mais próximo da seta. Veja apostila (pág, 32), tem um exemplo com explicações.

0

5

15

25

35

45

55

65

Tempo (minutos)

7.Determine a moda do histograma abaixo (Moda bruta e de Czuber) R = moda bruta = 3 salários mínimos Renda mensal de familias em Resende

50 Quantidade famílias

Moda Czuber= 3,8 salários mínimos

40

Classe modal é a de maior frequência, logo é a 1ª classe. Moda Bruta = 2+4/2 = 3 salários mínimo D1 MoCzuber    *h D1  D2

36 32

30

24 19

20

12

h

10

MoCzuber  2 

5

0 2

4

6

8

10

12

36 *2 36  4

= 2 + 1,8  3,8 salários

(D1=36 pois 36-0=362) (D2=4 pois 36-32=4) (h = 2 pois é a amplitude da classe modal)

14


8. Determine a moda a partir das distribuições de frequência abaixo. (moda bruta e moda de Czuber quando tiver classes) a) Estaturas de 30 funcionários de uma empresa. i 1 2 3 4 5

Estaturas (cm) 150  156 156  162 162  168 168  174 174  180

Classe modal é a de maior frequência, logo é a 4ª classe. Moda Bruta = 168+174/2 = 171 D1 MoCzuber    *h D1  D2

f 1 5 8 13 3 f=30

MoCzuber  168 

5 *6 5  10

= 168 + 2  170

(D1=5 pois 13-8=5) (D2=10 pois 13-3=10) (h = 6 pois é a amplitude da classe modal)

Determine a estatura modal. R = bruta 171 cm Czuber 170 cm

b) Tamanho de 41 peças coletadas para análise da qualidade. i 1 2 3 4 5

(mm) 156 162 168 174 180

f 13 5 8 11 4 f=41

Determine o tamanho modal das peças. R = 156 mm. Caso de DF sem classes. Então, basta identificar a classe de maior frequencia

9. Considere a distribuição abaixo, relativa ao tempo que os operários de uma fábrica levam para produzir uma peça. Produção de peças Número de operários

Pode-se dizer que a Moda de Czuber será, aproximadamente a) b) c) d) e)

25,1 minutos 27,2 minutos 29,9 minutos 30,3 minutos 33,4 minutos

25,1 não pode ser o resultado, pois está muito próximo de 25. Então, tem que ser 27,2. Descarte c), d) e e) pois estão acima de 30. 5

15

25

35

45

55

65

Tempo (minutos)

Estatística

Uanderson Rebula


MEDIDAS DE ORDENAMENTO Quartil 1. Calcule e interprete Q1 e Q3 para todas as distribuições abaixo Pesos dos alunos da turma A

Pesos de peças coletadas

i 1

Pesos (Kg) 40  44

f 2

i 1

Pesos (Kg) 40

f 3

2

44  48

5

2

45

5

3

48  52

9

3

47

10

4

52  56

6

4

50

7

5

56  60

4

5

53

5

Estaturas dos funcionários de uma empresa. f SEM 1

Tamanho de peças coletadas para análise.

NECESSIDADE DE RESOLUÇÃO. i SEM (mm) DÚVIDAS f DOS ALUNOS 1 156 13

i 1


2

156  162

5

2

162

5

3

162  168

8

3

168

8

4

168  174

13

4

174

10

5

174  180

3

5

180

4

Salários dos empregados da Volkswagen de Resende

Salários dos empregados da Prefeitura

i 1

Salários (R$) 500  700

f 8

i 1

Salários (R$) 780

f 20

2

700  900

20

2

950

8

3

900  1100

7

3

1000

5

4

1100  1300

5

4

1400

7

2. Calcule o 1º quartil e 3º quartil da distribuição abaixo.

Estatística

R = Q1 = R$630 e Q3 = R$ 873

Uanderson Rebula

Caderno de exercícios Decil 1.Calcule e interprete D1, D3, D6 e D9 para todas as distribuições a)Pesos dos alunos da turma A i 1

Pesos (Kg) 40  44

f 2

2

44  48

5

3

48  52

9

4

52  56

6

5

56  60

4

f=26

SEM NECESSIDADE DE RESOLUÇÃO. SEM DÚVIDAS DOS ALUNOS

b)Estaturas dos funcionários de uma empresa. i 1


f 1

2

156  162

5

3

162  168

8

4

168  174

13

5

174  180

3

f=30

Estatística

Uanderson Rebula

Caderno de exercícios Percentil 1.Calcule e interprete P27, P36, P45 e P82 para todas as distribuições

a)Pesos dos alunos da turma A i 1

Pesos (Kg) 40  44

f 2

2

44  48

5

3

48  52

9

4

52  56

6

5

56  60

4

f=26


b)Estaturas dos funcionários de uma empresa. i 1


f 1

2

156  162

5

3

162  168

8

4

168  174

13

5

174  180

3

f=30

Estatística

Uanderson Rebula

Caderno de exercícios Juntando e interpretando as Medidas de Ordenamento... 1) O 2º Quartil é uma medida estatística que coincide com a) O 20º Percentil. b) A mediana. (2 quartil e mediana = 50%) c) O 2º Decil. d) A média de 20 dados. e) O 20º Decil.

9)O gráfico abaixo mostra a renda média mensal das famílias brasileiras e a sua desigual distribuição entre a população do pais.

2) O 3º Quartil é uma medida estatística que coincide com a) O 75º Percentil. (3 quartil e 75 percentil = 75%) b) O 25º Decil. c) A mediana. d) O 30º Percentil. e) O 50º Decil. 3) O 7º Decil é uma medida estatística que coincide com a) O 70º Quartil. b) A moda. c) O 7º Quartil. d) O 30º Decil. e) O 70º Percentil. (7 decil e 70 percentil = 70%) 4) O 25º Percentil é uma medida estatística que coincide com a) O 7º Quartil. b) O 2º Decil. c) A média e mediana. d) O 1º Quartil. (1 quartil e 25 percentil = 25%) e) O 75º Decil. 5) O 50º Percentil é uma medida estatística que coincide com a) O 5º Decil e o 2º Quartil. (todos eles = 50%) b) O 3º Quartil e o 25º Decil. c) A média, a mediana e a moda. d) O 2º Quartil e o 25º Decil. e) O 15º Decil e o 5º Quartil.

Qual é a renda familiar média mensal dos 10% mais pobres? 10% mais pobre = R$96, pois 1º decil = 10%.

10)Analise o gráfico abaixo e complete as afirmações seguintes.

6) Um conjunto de dados apresentou as seguintes medidas: média=95 moda=50 5º Percentil=22 1º quartil=82 3º Decil=85 mediana=105 3º Quartil=158 80ª Percentil=165

É correta afirmar que: a.50% dos dados se encontram abaixo de 82. 105 b.80% dos dados se encontram acima de 165. abaixo c.25% dos dados se encontram acima de 158. Correto! d.3% dos dados se encontram abaixo de 85. Não há medida que representa 3% no conjunto de medidas apresentado e.5% dos dados se encontram acima de 22. abaixo

7) As medidas estatísticas abaixo que se coincidem são: a) b) c) d) e)

3º Quartil e o 25º Percentil. 1º Decil e o 25º Percentil. 2º Quartil e o 50º Decil. 4º Quartil e o 45º Percentil. 75º Percentil e o 3º Quartil. (todos = 75%)

a.

A metade mais pobre de toda a população brasileira detém____14,4______% de toda a renda do país. 1%+2,5%+3%+3,4%+4,5%

b.

Os 20% mais ricos de toda a concentram___62,6____% de toda a renda do país. 15,7%+46,9%

população

8) A medida estatística que será maior que o 3º Quartil (75%) é o a) b) c) d) e)

7º decil. (70%) 2º quartil. (20%) 76º Percentil. 4º Decil. (40%) 8º Percentil. (8%)

Estatística

c.

O intervalo compreendido entre o 4º e o 8º decil reúne___30,9_______% da renda nacional. 3,4%+4,5%+5,7%+7,3%+10%

Gabarito: 1)b 2)a 3)e 4)d 5)a 96 10) a.14,4% b. 62,6% c. 30,9%

6)c

7)e

8)c

9)

Uanderson Rebula


Número de empréstimos

11) Medida de Ordenamento a partir do Histograma. Um Analista de uma grande empresa fez vários empréstimos bancários ao longo do ano de 2011, com intuito de reforçar seu caixa para cobrir compromissos em vencimento. O recurso foi utilizado para sustentar as operações do dia a dia. O número de empréstimos, bem como suas faixas de valores, é apresentado na tabela abaixo: Empréstimos bancários

40

28

30

20

15 11

10

8

6 2

0

8

12

16

20

24

28

32

Valores (em mil R$)

Com base nos dados, determine: a) b) c) d) e)

O 6º decil R = R$15,85 O 3º quartil R = R$19,45 O 25º percentil R = R$12,35 O 2º decil R = R$11,73 O 95º percentil R = R$27


QUESTÃO EXTRA!!

A resposta é a letra A

Estatística

Uanderson Rebula


MEDIDAS DE VARIAÇÃO Variância, Desvio padrão e Coeficiente de variação 1.Durante o ano letivo de 2011, as notas de Luis Fabiano e Dunga tiraram estão listadas abaixo. Aluno Luis Fabiano Dunga

5,5 4,0

Notas 9,0 8,5 9,5 6,5

a) Calcule e interprete o Desvio padrão das notas de cada aluno. b) Calcule e interprete o Coeficiente de variação de cada aluno. c) Qual o aluno com menor variação?

7,0 10

Cálculo do Luis Fabiano Resp.: S = 1,58

Cv=21,06%

Média = 5,5+9,0+8,5+7,0 / 4 = 7,5 2

2

2

2

variância = (5,5-7,5) + (9,0-7,5) + (8,5-7,5) + (7,0-7,5) / 4-1 = 2,49  A maioria dos dados se encontra entre +-1,58 em torno da média 7,5

raiz = 1,58

Cv = 1,58/7,5*100 = 21,06% (moderada variação)

Cálculo do Dunga Resp.: S = 2,79

Cv=37,2%

Use o mesmo método da questão anterior

2. Se a variação de uma série de dados é igual 4, então, o desvio padrão será igual a (basta extrair a raiz de 4) a) 16

b) 8

c) 4

d) 2

e) 0,4

3. Se as estaturas dos alunos da escola A tem média de 175cm com desvio padrão de 5cm, então, pode-se afirmar que a) b) c) d) e)

A maioria dos alunos tem estatura maior que 180cm. 50% dos alunos têm estatura abaixo de 170cm. A maioria dos alunos tem estatura entre 170cm e 180cm (a maioria dos os dados estão variando em +-5 cm em torno de média 175cm As estaturas variam em torno de 14,22%, em relação à média. 35% dos alunos têm estatura acima de 180 cm.

4. Um Analista está interessado em verificar a variabilidade do tempo (em dias) de entrega de um produto ao cliente. Foram observados 25 dias de entrega produzindo os resultados: Média = 22 dias e Variância de 4 dias. Os resultados indicam que a) b) c) d) e)

Há pouca variação de dias. A variação é de 18,18%. Há moderada variação de dias. A variação é maior que 10%. Há muita variação de dias.

Raiz variância de 4  2 2/22 * 100 = 9,09%  pequena/pouca/baixa variação

5. Uma série de idades possui 10 elementos. O valor do somatório do quadrado das diferenças é de 36. O desvio padrão dessa série é a) 2,00

b) 1,90

c) 4,00

d) 3,60

e) 2,50

Raiz de 36 / 10-1 = 2

Estatística

Uanderson Rebula


6. De duas máquinas industriais, A e B, foram extraídas 600 peças que apresentaram as estatísticas descritas na tabela. Com base nos dados, podemos afirmar que máquina A B

média 3,5kg 3,6kg

variância 0,250kg 0,225kg

a) b) c) d) e)

Raiz de 0,250 = 0,50 Raiz de 0,225 = 0,47

A máquina B apresenta menor coeficiente de variação que A. A maioria das peças da máquina A está dentro do intervalo de 3,25 kg e 3,75kg. O desvio padrão da máquina B é menor que 0,300kg. O coeficiente de variação da máquina A é 7,14%. A máquina B apresenta moderada variação de pesos.

CVa = 0,5/3,5*100 = 14,28% pouca variação CVb = 0,47/3,6*100 = 13,05% pouca variação

7. Em cinco testes, uma turma A obteve média 63,2 com variância de 9,61. Outra turma B obteve média 78,5 com desvio padrão de 5,5. Qual das duas turmas é mais consistente? Raiz de 9,61 = 3,1

CVa = 3,1/63,2*100 = 4,90% pouca variação CVb = 5,5/78,5*100 = 7,00% pouca variação

Mais consistente é aquela que tem menor variação, então turma A 8. Os pesos das peças produzidas por uma empresa têm média de 50 kg e desvio padrão de 5kg. Então, o Coeficiente de variação será igual a a) 55%.

b) 1000%.

c) 10%.

d) 45%.

e) 0,1%

5/50*100 = 10%

9. A tabela abaixo apresenta o comprimento de peças coletadas por lotes, para análise no laboratório de qualidade. Lote A B

Comprimento das peças (mm)

55 49

58 52

50 56

53 50

Cálculo do Lote A Resp.: S = 2,92

54 63

a) Calcule e interprete o desvio padrão de cada lote. b) Sabendo-se que serão aprovados para venda os lotes com coeficiente de variação menor que 0,08, qual (is) o(s) lote(s) aprovado(s)?

Cv=5,40%

Mesmo método da questão 1

Cálculo do Lote B Resp.: S = 5,70 Cv=10,56%

Mesmo método da questão 1

Resp. 2 d); 3 c); 4 a) 5 a) 6 a); 7 – turma A; 8 c)

Estatística

Uanderson Rebula

Caderno de exercícios Desvio padrão de distribuição de frequência 1. Ache o desvio padrão da distribuição de frequência abaixo Pesos de 26 alunos da turma A Pesos (Kg) 40  44

f 2

44  48

5

48  52

9

52  56

6

56  60

4

Use o ponto médio de classe Média  (42 * 2) +...+ (58 * 4) = 50,77 26 Variância  (42 – 50,77)2 * 2 +...+ (58 – 50,77)2 * 4 = 21,78  desvio padrão = raiz = 4,66 26-1

f=26 R = x = 50,77kg S2 = 21,78 S = 4,66

Número de operários

2. Um Analista quer saber a variação de tempo que os operários de uma fábrica levam para produzir certa peça. Para tanto, observou os trabalhadores por vários dias, fez suas anotações e construiu o histograma abaixo Sabendo-se que a média desta distribuição é 21,67 minutos, então

Tempo para produzir uma peça

30 25

a) b)

23

20 15 10

c) d) e)

11 8

7 4

5

Há moderada variação de tempo para produção a peça. Em termos de desvio padrão, a maioria dos tempos de produção está dentro do intervalo de 20 minutos e 23,5 minutos. A variação é de aproximadamente 6%, em relação à média. certa A variância está entre 1,05 minutos e 3,15 minutos. certa O desvio padrão é maior que a variância.

2

0

20

21

22

23

24

25

Tempo aproximado (minutos)

Média  (20 * 8) +...+ (25 * 2) = 21,67 (não é necessário calcular pois já dei a resposta 55 Variância  (20 – 21,67)2 * 8 +...+ (25 – 21,67)2 * 2 = 1,6641  desvio padrão = raiz = 1,29 55-1 Cv = 1,29/21,67 * 100 = 5,95% (pouca/pequena/baixa variação)

Resp nº. 2 - Desvio padrão = 1,29 e Cv =5,95%, portanto, a resposta é a letra c)

Estatística

Uanderson Rebula


3. Seja a distribuição xi 10 30 50 70

Quanto à homogeneidade da distribuição, podemos afirmar que

f 7 15 4 9

a) b) c) d) e)

A variância é aproximadamente 22. A distribuição é pouco dispersa. O desvio padrão é a raiz quadrada de um valor próximo de 477,42. A maioria dos dados está dentro dos intervalos de 35 a 40. O desvio padrão é de 56%. Média  (10 * 7) +...+ (70 * 9) = 38,57 55 Variância  (10 – 38,57)2 * 7 +...+ (70 – 38,57)2 * 9 = 477,42  55-1

Desvio padrão = raiz = 21,85

Cv = 21,85/38,57 * 100 = 56,65% (muita/grande variação)

4. Calcule o Coeficiente de Variação do Histograma abaixo

x = 25,1

S = 4,30

e Cv = 17,13%

Registros das temperaturas de Resende - julho

12 Quantidade de dias

Resp.

10

9

8

7

6

5 4

4

3

2

2 0 15

18

21

24

27

30

Temperaturas (°C)

33

Ache os pontos médios de classe e depois calcule a Média  (16,5 * 2) +...+ (31,5 * 3) = 25,1 30 Variância  (16,5 – 25,1)2 * 2 +...+ (31,5 – 25,1)2 * 3 = 18,49  30-1

Desvio padrão = raiz = 4,30

Cv = 4,30/25,1 * 100 = 17,13% (moderada variação)

5. Seja a distribuição Assinale a alternativa correta, referente à distribuição ao lado: a) b) c) d) e)

A média é 89. O desvio padrão é aproximadamente 12. A variância é 1255. O coeficiente de variação é 67%. A variação de dados é baixa.

Use o mesmo método da questão 1 e 2.

Resp. 3 - Média = 38,57; desvio padrão = 21,85 e Cv= 56,65%, portanto, letra c). Resp. 5 b)

Estatística

Uanderson Rebula


MAIS EXERCÍCIOS DE DESVIO PADRÃO (REFORÇAR O APRENDIZADO). NÃO É NECESSÁRIO APRESENTAR COMO PARTE DO TRABALHO 6) O histograma abaixo apresenta o número de salários mínimos que as famílias de Resende recebem mensalmente:

Quantidade de famílias

Qual o desvio padrão do nº de salários mínimo que as famílias recebem, mensalmente?

Renda mensal de familias em Resende

50 40

Resp.:

36

x = 6,28

S = 2,92

32 30

24 19

20

12 10

5

0

2

4

6

8

10

12

14


Quantidade de veículos

8

Resultados dos veículos registrados por um radar

6

5

4 2

3

3

2

2

0

70

80

90

100

110

Velocidade (Km/h)

7) Calcule o Coeficiente de Variação velocidades do gráfico acima. Resp.: x = 90 S = 12,54 Cv = 13,93%

8) Ache o desvio padrão das estaturas de 30 funcionários de uma empresa S2 = 36,24

R = x = 167,40 cm

Estaturas (cm) f 150  156 1

S = 6,02

9) Ache o desvio padrão do tamanho de 40 peças coletadas para análise. R = x = 166,1 mm

(mm) 156

f 13

156  162

5

162

5

162  168

8

168

8

168  174 13

174

10

174  180

180

4

3

f=30

Estatística

S2 = 72,72

S = 8,52

f=40

Uanderson Rebula

Caderno de exercícios MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE

Assimetria

A  52-52 = 0 = simétrica B  45-50 = -5 = assimétrica negativa esquerda C  48-46 = +2 = assimétrica positiva direita

3 (48,1 – 47,9) = 0,283 2,12

R = 0,283

(33,18 – 27,50) = 0,456 12,45 R = 0,364 (com mediana) 0,456 (com moda)

Assimetria positiva direita moderada

R = 0,258

Média = 74,05 kg Moda = 73,8 kg Desvio padrão = 11,57 hg

(74,05 – 73,8) = 0,021 11,57 Assimetria positiva direita fraca

R = 0,021

5. Analisando a curva abaixo marque a resposta correta a) a curva é simétrica. b) a curva é assimétrica negativa. (negativa sempre é “ à esquerda”) c) a curva é assimétrica nula. d) a curva é simétrica positiva e a média é igual a moda. e) a curva é assimétrica à direita.

6. Quando temos uma distribuição assimétrica à esquerda. a) A média é menor que a moda. (Essa regra sempre ocorrerá para assimétrica esquerda, para entender tem que ler apostila teoria) b) A média é maior que a mediana. c) A moda é menor que a média. d) A mediana é maior que a moda. e) A média é maior que a moda. 7. Considere os dados abaixo e marque a única correta a) b) c) d) e)

Se As 0,24 > 0 Distribuição assimétrica positiva. Se As 0,24 < 0 Distribuição simétrica. Se As 0,24 < 0 Distribuição assimétrica positiva. Se As 0,24 > 0 Distribuição assimétrica negativa. Se As 0,24 = 0 Distribuição assimétrica positiva. Resp.; 5 b) ; 6a) 7a)

Estatística

Uanderson Rebula

Caderno de exercícios CURTOSE

R = 0,252; 0,263; 0,287

R = 0,258

1º quartil = 66 3º quartil = 82,5 Percentil 90 = 90 Percentil 10 = 58

USE ESTA FÓRMULA

3. Na figura a seguir as curvas numeradas de 1 a 3 são respectivamente denominadas a) Leptocúrtica, Platicúrtica e Mesocúrtica. b) Leptocúrtica, Mesocúrtica e Platicúrtica. c) Mesocúrtica, Platicúrtica e Leptocúrtica. d) Mesocúrtica, Leptocúrtica e Platicúrtica. e) Platicúrtica, Mesocúrtica e Leptocúrtica.

Resposta  4 a)

Estatística

Uanderson Rebula

Caderno de exercícios Multiplicação de Probabilidade com Eventos dependentes

P(A e B) = P(A) x P(B|A)

1. Duas cartas são selecionadas em sequência em um baralho, sem reposição. Qual a probabilidade de selecionar: a. Um valete e um ás? R = 0,006 (4/52 * 4/51) b. Ambas sejam carta de copas? R = 0,0588 (13/52 * 12/51) c. Um rei e uma figura? R = 0,01659 (4/52 * 11/51) 2. Sabe-se pelo histórico que, em um lote de 40 peças produzidas, 35 são de qualidade e 5 são defeituosas. Se um Analista Industrial retira duas peças em sequência desse lote, sem reposição, qual a probabilidade que: a. Ambas sejam de qualidade. R = 0,7628 (35/40 * 34/39) b. Ambas sejam defeituosas. R = 0,0128 (5/40 * 4/39) 3. Uma caixa contém 10 bolas verdes e 6 amarelas. Extraindo-se três bolas em sequência, sem reposição, qual a probabilidade de que: a. As duas primeiras sejam verdes e a terceira seja amarela; R = 0,1607 (VVA)  (10/16 * 9/15 * 6/14) b. Duas sejam verdes e uma seja amarela; R = 0,4821 3(VVA)  3(10/16 * 9/15 * 6/14) c. Pelo menos duas sejam verdes; R = 0,6964 3(VVA)+(VVV) d. No máximo uma seja verde; R = 0,3036 (AAA)+3(AAV) e. Pelo menos uma seja amarela; R = 0,7857 3(VVA)+3(VAA)+(AAA) ou 1-VVV f. Todas sejam da mesma cor; R = 0,25 (VVV)+(AAA) g. No máximo duas sejam amarelas R = 0,9643 (VVV)+3(VVA)+3(VAA) ou 1-AAA 4. Doze lâmpadas são testadas para verificar se duram o tempo afirmado pelo fabricante. Quatro lâmpadas falham no teste. Três lâmpadas são selecionadas, sem reposição. Encontre a probabilidade de que: a. Todas tenham falhado no teste; R = 0,0181 (FFF) b. Pelo menos duas tenham falhado no teste; R = 0,2363 3(FFP)+(FFF) c. No máximo uma tenha falhado no teste; R = 0,7636 (PPP)+3(PPF) d. Pelo menos duas tenham passado no teste; R = 0,7636 3(PPF)+(PPP) 5. Um centro de distribuição (armazém) recebe carregamentos de um produto de três fábricas diferentes A, B e C, nas quantidades a seguir: 50, 35 e 25, respectivamente. Um produto é selecionado três vezes, cada vez sem reposição. Encontre a probabilidade de que os três produtos tenham vindo da fábrica C. R = 0,0106 25/110 x 24/109 x 23/108 6. De um grupo de 12 homens e 8 mulheres, retiram-se 4 pessoas, sem reposição, para formar uma comissão. Qual a probabilidade de: a. Pelo menos uma mulher fazer parte da comissão? R = 0,8978 1- (HHHH) b. Uma mulher fazer parte da comissão? R = 0,3632 4(MHHH) c. Haver pessoas dos dois sexos na comissão? R = 0,8833 1 - (HHHH)+(MMMM) 7. Um médico dá ao paciente uma chance de 60% de sobrevivência a uma cirurgia para colocação de marca passo depois de ter sofrido um ataque cardíaco. Se o paciente sobrevive à cirurgia, ele tem 25% de chances de que o problema cardíaco seja curado. Encontre a probabilidade de que o paciente: a. Sobreviva à cirurgia e o coração seja curado. R = 0,15 0,6 x 0,25 b. Sobreviva à cirurgia e o coração não seja curado. R = 0,45 0,6 x 0,75 8. Em uma amostra de 1000 pessoas, 120 são canhotas. Duas pessoas são selecionadas, sem reposição. Encontre a probabilidade de que: a) Ambas sejam canhotas R = 0,0142 (120/1000 * 119/999) b) Pelo menos uma seja canhota R = 0,2258 2(120/1000 * 880/999) + (120/1000 * 119/999) 9. Uma lote contém 10 peças de qualidade e 2 com defeitos. Extraindo-se duas peças em sequência, sem reposição, qual a probabilidade de que: a. Pelo menos uma seja defeituosa; R = 0,3182 2(DQ)+(DD) b. No máximo uma seja defeituosa; R = 0,9848 (QQ)+2(DQ)

Estatística

Uanderson Rebula


Multiplicação de Probabilidade com Eventos independentes

P(A e B) = P(A) x P(B)

1. Ao lançar dois dados, qual a probabilidade de obter: a) b) c)

O número 2 e maior que 4? R = 5,55% (1/6 * 2/6) Um número menor que 3 e maior que 2? R = 22,22% (2/6 * 4/6) Obter um número maior que 5 e menor que 6? R = 13,88% (1/6 * 5/6)

2. De dois baralhos de 52 cartas, cada, retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de:

a) b) c)

Obter um Rei e um 5 de paus? R = 0,14% (4/52 * 1/52) Obter um Valete e um Ás? R = 0,59% (4/52 * 4/52) Obter uma figura e uma dama? R = 1,77% (12/52 * 4/52)

3. Cirurgias de microfraturas no joelho têm 65% de chance de Sucesso em pacientes com joelhos degenerativos. A cirurgia é realizada em 3 pacientes. Encontre a probabilidade que: a) b) c) d)

As três cirurgias sejam um sucesso; R = 0,2746 (SSS)  (0,65*0,65*0,65) As três cirurgias sejam um fracasso; R = 0,0429 (FFF)  (0,35*0,35*0,35) Duas cirurgias sejam um sucesso; R = 0,4436 3(SSF) + (SSS)  3(0,65*0,65*0,35) + (0,65*0,65*0,65) Pelo menos uma cirurgia seja um fracasso. R = 0,7254 3 (FSS)+3(FFS)+(FFF) OU 1 – (SSS)

A

B

4. Uma urna A contém 3 bolas brancas e 6 pretas. Uma urna B contém 5 bolas brancas e 2 pretas. Uma bola é retirada de cada urna, simultaneamente. Qual a probabilidade de as duas bolas retiradas das urnas A e B serem, respectivamente, branca e preta? R = 9,52% (3/9) * (2/7) 5. Uma caixa contém 10 bolas verdes e 6 amarelas. Extraindo-se três bolas, com reposição, qual a probabilidade de que: a. b. c. d. e.

Duas sejam verdes; R = 0,4395 3(VVA)  3(10/16*10/16*6/16) Pelo menos duas sejam verdes; R = 0,6836 3(VVA)+(VVV)  3(10/16*10/16*6/16) + (10/16*10/16*10/16) Todas sejam amarelas; R = 0,0527 (AAA) (6/16*6/16*6/16) No mínimo duas sejam amarelas. R = 0,3164 3(AAV)+ (AAA)  3(6/16*6/16*10/16) + (6/16*6/16*6/16) No máximo uma seja amarela. R = 0,6836 (VVV)+3(AVV)

Nota: “COM REPOSIÇÃO”. Se as bolas são extraídas com reposição, isto é, retira-se uma bola, verifica-se a cor, coloca-se novamente a bola na caixa, retirase novamente uma bola, verifica-se a cor, coloca-se de volta na caixa, até que se completem as três extrações. Este tipo de ocorrência torna esses eventos independentes.

6. Dois amigos são caçadores. Sabe-se que um deles tem 45% de chance de acertar qualquer caça, enquanto o outro tem 60%. Se os dois foram caçar em uma floresta, qual a probabilidade de: A – acertar E - errar a. Ambos acertarem na caça. R = 0,27 0,45*0,60 b. Nenhum acertar na mesma caça. R = 0,22 0,55*0,40 c. Apenas um acertar na caça. R = 0,51 (0,45*0,40) + (0,55*0,60) d. A caça ser atingida. R = 0,78 (AE) + (EA) + (AA) (0,45*0,40)+(0,55*0,60)+(0,45*0,60) ou 1 – (EE), que é 1 – (0,55*0,40) 7. Da produção diária de peças de uma determinada máquina, 10% são defeituosas. Retira-se 5 peças, com reposição, da produção dessa máquina num determinado dia. Qual a probabilidade de: a. b. c. d.

Pelo menos quatro sejam boas? R = 0,9185 5(BBBBR)+(BBBBB) 5 Pelo menos uma seja defeituosa? R = 0,4095 1 - (BBBBB)  1 - 0,9 Uma seja boa? R = 0,00045 5(BRRRR) 5 No mínimo uma seja boa? R = 0,99999 1 - (DDDDD)  1 - 0,10

8. Uma moeda é jogada e um dado é lançado. Encontre a probabilidade de se obter uma coroa e o número 2. R = 0,0833 2

2

9. A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é de /5; a de sua mulher é de /3 . Determinar a probabilidade de que, daqui a 30 anos: SEJA V - VIVO e M - MORTO a. b.

Ambos estejam vivos; R = 0,2666 (V V)  Nenhum esteja vivo; R = 0,20 (M M) 

2/5 * 2/3 3/5 * 1/3

10. Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas e 2 verdes. Uma urna B contém 5 bolas brancas, 2 pretas e 1 verde. Uma urna C contém 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna simultaneamente. Qual a probabilidade de as três bolas retiradas das urnas A e B e C serem, respectivamente:

Estatística

Uanderson Rebula


a) Todas sejam verdes? R = 1,23% (2/9) * (1/8) * (4/9) b) preta e verde e branca? R = 1,23% (4/9) * (1/8) * (2/9) c) branca e verde e preta? R = 1,38% (3/9) * (1/8) * (3/9)

A

B

C

11. Dois profissionais fazem test drive de alto risco nos veículos fabricados. A probabilidade de a 1ª capotar é de 32% e a probabilidade de o 2ª capotar é de 8%. Se os dois fazem o test com os veículos, qual a probabilidade de: C – capotar N – não capotar a. b. c. d.

Ambos capotarem; R = 0,0256 (CC) 0,32x 0,08 Apenas um capotar; R = 0,3488 (CN)+(NC) (0,32*0,92)+(0,08*0,68) Ninguém capotar; R = 0,6256 (NN) 0,68x0,92 Ocorrer capotamento. R = 0,3744 (CN) + (NC) + (CC) (0,32*0,92)+ (0,68*0,08) +(0,32*0,08) ou 1 – (NN), que é 1-(0,68*0,92)

12. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a a) 0,624. b) 0,064. c) 0,216. d) 0,568. e) 0,784  seja “V” VENDER e “N” NÃO VENDER  3(VNN) + 3(VVN) + (VVV) ou 1 – (NNN)

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