Livro pdf - Estatística I (para leigos)-aprenda fácil e rápido! - Prof MSc Uanderson Rébula

Capa

Estatística I (para leigos) Aprenda fácil e rápido! com exercícios e resoluções comentadas

Por meio de uma linguagem simples, prática e objetiva, este livro foi

desenvolvido especialmente com o propósito de ensinar estatística para pessoas com pouca familiaridade (leigos) com essa matéria, pessoas com pouca habilidade com operações básicas de matemática,

alunos

que estão tendo dificuldades em aprender estatística em suas aulas de

rotina e, também, para aquelas que aprenderam estatística, mas que buscam melhorar o desempenho de suas notas.

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Estatística I (para leigos): aprenda fácil e rápido!

Com o Prof. MSc. Uanderson Rébula "O livro digital Estatística I para leigos possui uma linguagem fácil e ao mesmo tempo dinâmica. O conteúdo do livro está ordenado de forma a facilitar a aprendizagem dos alunos, mesmo aquelas pessoas que não tenham noção nenhuma de estatística aprenderão com esse livro. Você pode estudar sozinho para concursos pois o livro é auto explicativo ou até mesmo em grupos, no meu caso faço isso com meus alunos. Eu super recomendo esse livro!!! NOTA 1000" Maria Eunice Souza Madriz Professora de estatística da rede estadual de ensino da Bahia Avaliação do livro pelo cliente na amazon.com.br

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Copidesque: Uanderson Rébula de Oliveira Editoração: Uanderson Rébula de Oliveira Arte e Produção: Uanderson Rébula de Oliveira Capa: Uanderson Rébula de Oliveira

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Impressão

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

O48c Oliveira, Uanderson Rebula de Estatística I (para leigos): aprenda fácil e rápido! / Uanderson Rebula de Oliveira. 1ª Edição. São Paulo: Edição do autor – Saraiva Publique-se, 2017. 74 f. : il. Bibliografia: f. 73

ISBN: 978-85-922607-1-2

1. Estatística – estudo e ensino 2. Estatística – problemas e exercícios. I. Título CDD 519.507

Prof. MSc. Uanderson Rébula de Oliveira Doutorando em Engenharia. Professor universitário. “Mais de uma década ensinando Estatística”

Uanderson Rébula de Oliveira é Doutorando em Engenharia e Mestre em Engenharia de Produção pela Universidade Estadual Paulista (UNESP). Pósgraduado em Controladoria e Finanças pela Universidade Federal de Lavras (UFLA) e em Logística Empresarial pela Universidade Estácio de Sá (UNESA). Graduado em Ciências Contábeis. Técnico em Metalurgia e em Segurança do Trabalho. Operador Industrial. Possui diversos cursos de extensão nas áreas de logística, qualidade, meio ambiente e segurança do trabalho. É professor convidado dos cursos de MBA em Gestão da Produção pela UNESP, Gestão da Produção e Manutenção pela UFF e Pós-graduação em Engenharia de Segurança do Trabalho pela UniFOA. Professor em universidades da região Sul Fluminense (RJ), desde 2006, atuando nas áreas de Estatística (por mais de uma década), Logística, Administração da Produção, Engenharia Econômica, Qualidade, Segurança do Trabalho e Meio Ambiente. É orientador de trabalhos de conclusão de curso e revisor de periódicos. Desenvolveu diversos projetos acadêmicos na UNESA (planos de ensino, de aula, materiais didáticos, banco de questões, projeto pedagógico de cursos, etc). Atuou como Gerente de Operações de Pós-graduação na UNESA e em grupos de trabalho em projetos de pesquisa financiados pelo Governo Federal.

Uanderson possui experiência de 21 anos de trabalho em ambiente industrial (ex-funcionário da Companhia Siderúrgica Nacional, 1993-2014), onde atuou em diversas funções operacionais e técnicas voltadas à administração da produção, logística, sistemas de transportes, gestão de estoques, qualidade, segurança do trabalho e meio ambiente. Possui ampla experiência no desenvolvimento e instrução de diversos cursos corporativos (teóricos e práticos), na indústria, com mais de 20.000 treinados em todos os níveis funcionais. Por meio dos programas de Pós-graduação em Engenharia (Mestrado e Doutorado), atualmente desenvolve pesquisas sobre Logística Reversa de Resíduos Eletroeletrônicos, possuindo diversos artigos publicados nessa área. Além do presente livro, Uanderson possui diversas obras disponíveis na livraria Saraiva. Clique aqui para ver todas as obras do autor. Uanderson também possui dezenas de apostilas – dos mais variados temas – disponíveis gratuitamente em diversas redes sociais acadêmicas ao redor do Brasil. Contato com o autor: [email protected] Currículo: http://lattes.cnpq.br/1039175956271626 https://br.linkedin.com/in/uandersonrebula

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Apresentação Ao longo de uma década lecionando a disciplina de Estatística em escolas técnicas e universidades, tive a oportunidade de identificar dificuldades reais relatadas pelos alunos em relação a aprendizagem dessa área de conhecimento: i) pouca habilidade com operações básicas de matemática; ii) existência de numerosos procedimentos matemáticos, seguidos de interpretação dos resultados; iii) conteúdo sequencial (dependente), isto é, uma etapa que não foi bem compreendida compromete o aprendizado da etapa posterior; e iv) conceitos e cálculos aparentemente similares, gerando confusão nas resoluções e interpretações dos resultados estatísticos. Em razão dessas dificuldades, por meio de uma linguagem simples, prática e objetiva, este livro foi desenvolvido com o propósito de ensinar estatística: i) para iniciantes ou pessoas com pouca habilidade com operações básicas de matemática; ii) alunos com dificuldades em aprender essa disciplina em suas aulas de rotina ou que aprenderam estatística, mas buscam melhorar o desempenho de suas notas; e iii) profissionais que desejam conhecer a estatística com o propósito de aplicá-la no trabalho. A linguagem usada neste livro evita termos excessivamente técnicos, simplifica conceitos considerados difíceis e desmistifica algumas ideias consideradas como inacessíveis aos estudantes de estatística. A obra possui explicações intuitivas e práticas sobre conceitos básicos estatísticos, ideias, técnicas, fórmulas e cálculos; passo a passo conciso e claro de procedimentos matemáticos que intuitivamente explicam como lidar com problemas estatísticos; exercícios propostos com aumento gradativo do nível de dificuldade; resoluções comentadas, passo a passo, de todos os exercícios propostos.

Por meio de uma metodologia simplificada, este livro vai ajudá-lo a entender, calcular e interpretar conteúdos básicos de estatística tais como: i) introdução à estatística, tabelas e gráficos; ii) distribuição de frequências (com e sem intervalos de classes), frequências relativas e acumuladas, gráficos de histogramas, polígono de frequências, gráficos de frequências acumuladas (ou ogiva); iii) média simples, média ponderada, média de distribuição de frequências (com e sem intervalos de classes), e média a partir de histogramas; iv) mediana simples, mediana de distribuição de frequências (com e sem intervalos de classes) e mediana a partir de histogramas; v) moda simples, moda bruta, moda de Czuber, moda de distribuição de frequências (com e sem intervalos de classes) e moda a partir de histogramas. Ao aprender os conteúdos deste livro, você: i) aumentará as chances de resolver exercícios de estatística em suas aulas de rotina com mais agilidade e eficiência; ii) terá noções básicas de elaboração, análise e interpretações de resultados estatísticos; iii) poderá utilizar essa poderosa ferramenta para melhorar a qualidade de seus trabalhos, sejam escolares ou profissionais; iv) obterá os recursos necessários para decifrar e tomar importantes decisões com relação aos resultados estatísticos. Este livro é parte integrante da série de cursos online de Estatística (para leigos): aprenda fácil e rápido! – ministrado pelo Prof. MSc. Uanderson Rébula de Oliveira – que estará disponível em breve nas seguintes plataformas de cursos online: www.udemy.com, www.learncafe.com e www.floqq.com. Um grande abraço e bons estudos! Prof. MSc. Uanderson Rébula de Oliveira [email protected]


Sumário

(Os textos estão com links. Clique naquele de interesse)

Capítulo I – Estatísticas, tabelas e gráficos 1.1 O que é Estatística? Para que serve?, 10 1.2 Como estudar Estatística com eficiência?, 10 1.3 Tabelas e Gráficos: O que são? Para que servem?, 11 1.4 Tabelas, 11 1.5 Gráficos, 12 1.5.1 Gráfico em Colunas, 12 1.5.2 Gráfico em Barras, 12 1.5.3 Gráfico em Linhas, 12 1.5.4 Gráfico em Setores, 13 1.5.5 Gráfico Polar, 13 1.5.6 Gráfico Cartograma, 13 Exercícios propostos, 14 Resolução dos exercícios propostos, 17 Capítulo II – Distribuição de frequências 2.1 O que é Distribuição de frequência? Para que serve?, 21 2.2 Distribuição de frequência (sem classes) e tipos de frequências, 21 2.2.1 Frequência e histograma, 21 2.2.2 Frequência relativa (fr%), 22 2.2.3 Frequência acumulada (fa), 22 2.2.4 Frequência relativa acumulada (fra%), 22 2.2.5 Aplicações da distribuição de frequência, 23 Exercícios propostos, 24 Resolução dos exercícios propostos, 27 2.3 Distribuição de frequência (com classes), 30 2.3.1 Conceito e construção, 30 2.3.2 Histograma com classes, 31 2.3.3 Polígono de frequência, 31 2.3.4 Gráfico de frequências acumuladas (ou ogiva), 31 Exercícios propostos, 32 Resolução dos exercícios propostos, 36

Sumário

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Prof. MSc. Uanderson Rébula de Oliveira

Capítulo III – Medidas Resumo - média, mediana e moda

3.1 O que são Medidas Resumo? Para que servem?, 41 3.2 Médias, 42 3.2.1 Média simples, 42 3.2.2 Média ponderada, 42 Exercícios propostos, 43 Resolução dos exercícios propostos, 46 3.2.3 Média de distribuição de frequência (sem classes), 49 3.2.4 Média de histogramas (sem classes), 49 3.2.5 Média de distribuição de frequência (com classes), 49 3.2.6 Média de histogramas (com classes), 50 Exercícios propostos, 51 Resolução dos exercícios propostos, 53 3.3 Mediana, 55 3.3.1 Mediana simples, 55 3.3.2 Mediana de distribuição de frequência e histograma (sem classes), 55 3.3.3 Mediana de distribuição de frequência e histograma (com classes), 56 3.3.4 Qual a lógica da equação da mediana com classes?, 56 Exercícios propostos, 57 Resolução dos exercícios propostos, 60 3.4 Moda, 63 3.4.1 Moda simples, 63 3.4.2 Moda de distribuição de frequência e histograma (sem classes), 63 3.4.3 Moda de distribuição de frequência e histograma (com classes), 63 3.4.4 Qual a lógica da equação da moda com classes?, 64 Exercícios propostos, 65 Resolução dos exercícios propostos, 68 3.5 Relação entre média, mediana e moda, 71 Mensagem do autor, 72 Referências Bibliográficas, 73

Sumário

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Capítulo 1

Estatística, Tabelas e Gráficos

Sumário

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1.1 O que é Estatística? Para que serve? ENTENDENDO RAPIDAMENTE O mundo está repleto de problemas e frequentemente nos deparamos com diversas informações a respeito deles nos mais variados veículos de comunicação (jornais, rádios, programas de TV, etc). São notícias sobre doenças, obesidades, tabagismo, criminalidades, pobreza, acidentes de trânsito, inflação, desemprego, mortalidade infantil, catástrofes, danos ambientais, aquecimento global, não reaproveitamento de resíduos, fabricação de produtos defeituosos, prejuízos nas vendas, acidentes do trabalho, etc. Para resolvermos boa parte deles precisamos reunir dados e compreendê-los, isto é, coletar informações que possam ser contadas, como peso, temperatura, preço, número de produtos defeituosos etc. É aí que entra a Estatística, pois ela se encarrega dessa árdua tarefa. A estatística tem por objetivo coletar, organizar, analisar e interpretar as informações de um problema em estudo para, assim, auxiliar na tomada de decisão. Portanto, a estatística tem um papel fundamental na geração do conhecimento: por meio de seu uso, governos, empresas, pessoas, escolas, entidades, instituições e organizações atuam na formulação de soluções dos problemas da sociedade moderna. Cientificamente, é difícil compreender um problema que envolve dados sem o uso da estatística, pois ela coloca ordem à desordem, projeta estudos e experimentos; coleta, organiza, resume e analisa dados; interpreta resultados, esboça conclusões e auxilia na tomada de decisão. Para desenvolver essa tarefa, a estatística se apoia na matemática e nos seus principais instrumentos: tabelas, gráficos, distribuição de frequência, histogramas, médias, mediana, moda, decil, quartil, percentil, variância, amplitude total, desvio médio, desvio padrão, escore padrão, assimetria, curtose, correlação, regressão, números índice, probabilidades, amostragens e distribuições amostrais, intervalos de confiança, teste de hipóteses, estatística não paramétrica, entre outros. Neste livro vamos abordar apenas os instrumentos sublinhados acima. Os demais serão abordados no livro: Estatística II (para leigos): aprenda fácil e rápido! Se você tiver interesse em saber um pouco mais sobre estatística, clique nos links abaixo e veja um vídeo e leia um artigo. Caso não, vá para a próxima seção (isto não afetará a sua aprendizagem).

1.2 Como estudar Estatística com eficiência? ESTA É A SEÇÃO MAIS IMPORTANTE DESTE LIVRO Ao longo de uma década ensinando estatística (e aprendendo também) tive a oportunidade de identificar dificuldades reais relatadas pelos alunos quanto a aprendizagem dessa disciplina: i) pouca habilidade com operações básicas de matemática; ii) existência de numerosos procedimentos matemáticos, seguidos de interpretação dos resultados; iii) existência de numerosos conceitos e, para piorar, sequenciais (dependentes), isto é, uma etapa que não foi bem compreendida compromete o aprendizado da etapa posterior; e iv) conceitos e cálculos aparentemente similares, gerando confusão nas resoluções e interpretações. De fato, esses relatos fazem sentido e representam a realidade desses estudantes. Então, como estudar estatística com eficiência para obter melhores resultados? Basta seguir (fielmente) as orientações abaixo! PARA ESTUDAR ESTATÍSTICA COM EFICIÊNCIA, ADOTE COMO REGRA AS SEGUINTES ORIENTAÇÕES: 1.

2.

3.

4.

Sumário

ESTUDE DE ACORDO COM A SEQUÊNCIA DAS SEÇÕES DESSE LIVRO – seja paciente, avance gradualmente e não pule as seções! Lembre-se: os conteúdos de estatística são dependentes e, portanto, uma etapa não compreendida compromete a aprendizagem da etapa posterior; RESOLVA TODOS OS EXERCÍCIOS PROPOSTOS – sem exercícios, sem aprendizagem! Para cada seção há exercícios propostos. Devido ao aumento gradual do nível de dificuldade, não passe para o próximo exercício sem que o anterior seja resolvido. CONFIRA OS RESULTADOS NA SEÇÃO “RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS” – para cada exercício proposto há resolução comentada. Use-a para conferir, e não copiar! Você absorverá o conteúdo com mais eficiência se, e somente se, tentar resolver os exercícios. Esta dica é de ouro! FAÇA O CURSO ONLINE DE ESTATÍSTICA I (PARA LEIGOS): APRENDA FÁCIL E RÁPIDO! – você ainda tem a opção de fazer este curso, pois ele aborda o conteúdo desse livro com aulas interativas e com escritas diretamente na tela do computador (método preferido pelos alunos nas aulas online).

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1.3 Tabelas e Gráficos: O que são? Para que servem? ENTENDENDO RAPIDAMENTE Um dos objetivos da estatística é o de organizar e resumir os dados, e mostrar as informações em forma de tabelas e gráficos é a maneira mais simples de se fazer isso. Portanto, as tabelas e gráficos são um dos instrumentos mais usados para ajudar na análise e interpretação de dados, pois eles permitem que o leitor tenha uma noção sobre o assunto em estudo e chegue a uma rápida conclusão. Diariamente vemos tabelas e gráficos nos mais variados veículos de comunicação (tais como jornais, revistas, livros, televisão, Internet, redes sociais etc.), associadas a assuntos diversos do nossa rotina diária, como resultados de pesquisas eleitorais, esportes, segurança pública, saúde, trabalho, emprego, renda, economia, cidadania, etc. A importância das tabelas e dos gráficos está ligada, sobretudo, à facilidade e agilidade na absorção e conhecimento dos dados por parte do leitor e também às diversas maneiras de ilustrar e resumir as informações apresentadas. O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE – www.ibge.gov.br), por exemplo, dispõe de diversas publicações resultantes de coleta de dados e estudos realizados por esta instituição. Uma publicação interessante do IBGE diz respeito aos “Indicadores de Desenvolvimento Sustentável – 2015”. Por meio de tabelas, gráficos e mapas, essa publicação fornece subsídios para o acompanhamento da sustentabilidade do padrão de desenvolvimento brasileiro nas dimensões ambiental, social, econômica e institucional, oferecendo um panorama abrangente de informações necessárias ao conhecimento da realidade do País.

1.4 Tabelas Tabela é um quadro que organiza informações por meio de linhas e colunas.  Uma tabela é composta por título, cabeçalho, corpo e fonte. Veja abaixo. Produção de café Brasil – 1991 – 1995 Produção Anos (Toneladas) 1991 2.535 1992 2.666 1993 2.122 1994 3.750 1995 2.007 Fonte: IBGE

Cabeçalho (indica o conteúdo das colunas) Fonte (mostra onde as informações foram coletados, servindo para dar credibilidade aos dados)

Título (indica o assunto da tabela)

Corpo (indica as informações contidas na tabela)

Tabelas podem ser compostas por várias linhas e colunas, dependendo da complexidade do problema em estudo. Em geral, há três tipos de tabelas: histórica, geográfica e específica. Veja abaixo cada uma delas. TIPOS DE TABELAS

Sumário

Acidentes do Trabalho São Paulo – 1989 – 1994 Anos Quantidade 1989 6.325 1990 7.265 1991 5.458 1992 8.658 1993 9.578 1994 6.254 Fonte: Instituto Paulista

Acidentes do Trabalho São Paulo – 1989 Cidades Quantidade Guarulhos 3.325 Cubatão 1.235 Santos 2.658 Osasco 2.142 Bauru 1.213 Campinas 4.102 Fonte: MPAS

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Tema específico

Tabela Específica Descreve as informações por TEMAS ESPECÍFICOS (pode ser qualquer tema). Veja abaixo.

Locais

Tabela Geográfica Descreve as informações por LOCAIS (pode ser países, regiões, cidades, bairros, ruas, etc). Veja abaixo.

Longo do Tempo

Tabela Histórica Descreve as informações ao longo do TEMPO (pode ser anos, meses, dias, horas, etc). Veja abaixo.

Acidentes do Trabalho São Paulo – 1989 – por tipo Tipo Quantidade Queda 1.632 Corte 1.002 Choque 2.458 Atrito 3.658 Impacto 3.578 Queimadura 4.254 Fonte: Sindicato Paulista


1.5 Gráficos Gráfico é uma forma de organizar informações por meio de imagens (figuras).  Uma imagem vale mais do que mil palavras. A importância de um gráfico está ligado à facilidade e rapidez na interpretação das informações e também à variedade de formas de ilustração dos dados apresentados.  Igualmente às tabelas, os gráficos devem possuir título, cabeçalho, corpo e fonte. Veja a seguir os mais usados. 1.5.1 Gráfico em Colunas

O gráfico ao lado, por exemplo, mostra que na década de 1940 registrou-se 1574 municípios no Brasil; já em 2014 contabilizou-se 5570 municípios.

Municípios criados no Brasil - 1940 - 2014

Quantidade

É a representação dos valores por meio de retângulos na posição vertical. Utiliza-se quando desejamos ressaltar a quantidade de valor em estudo.

7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0

3952

3974

1970

1980

5507

5565

5570

2000

2010

2014

2766 1574

1889

1940

1950

1960

Fonte: IBGE

1.5.2 Gráfico em Barras

1990

Anos

Palavras a serem escritas são extensas.

Municípios criados no Brasil - por regiões - 2014 Centro-Oeste

467

Total: 5.570

Sul Regiões

Tem o mesmo propósito do gráfico em colunas, porém os valores são representados por meio de retângulos na posição horizontal. Utiliza-se quando as palavras a serem escritas são extensas para obter um melhor aspecto visual.

4991

1191

Sudeste

1668

Nordeste

O gráfico ao lado, por exemplo, mostra que a região Nordeste possui 1794 municípios enquanto que a região Norte possui 450. Note que as palavras “Centro-Oeste”, “Nordeste” e “Sudeste” são extensas, razão pela qual optou-se em utilizar o gráfico em barras.

1794

Norte

450 0

500

Fonte: IBGE

1000

1500

2000

Quantidade

1.5.3 Gráfico em Linhas

O gráfico ao lado, por exemplo, revela que o comportamento (variação) da quantidade de municípios criados no Brasil vem aumentando desde a década de 1940, mas estabilizou-se a partir da década de 2000.

Sumário

Municípios criados no Brasil - 1940 - 2014 6000 5000 Quantidade

É a representação dos valores por meio de linhas. Utiliza-se quando desejamos entender o comportamento (variação) dos valores ao longo do tempo. As flutuações da linha (para cima ou para baixo) proporcionam uma rápida visualização da tendência (aumento, diminuição ou estabilização) dos valores em estudo.

4000 3000 2000 1000 0 1940

Fonte: IBGE

12

1950

1960

1970

1980 Anos

1990 2000

2010

2014


1.5.4 Gráfico em Setores É a representação dos valores por meio de um círculo, dividindo-os em grupos. Utiliza-se quando desejamos ressaltar a participação de um valor em relação ao total, geralmente na forma de porcentagem.

Municípios criados no Brasil - por regiões - 2014 Centro-Oeste 9%

O gráfico ao lado, por exemplo, revela que a região Nordeste possui a maior porcentagem de municípios instalados, com 32% de participação no Brasil; já a região Norte possui a menor participação, com 8% do total.

Norte 8%

Sul 21% Nordeste 32%

Como pode ser visto no gráfico ao lado, os Sudeste 30% dados são divididos em grupos (Norte, Sul etc.), mostrando a porcentagem de participação de Fonte: IBGE cada grupo. Devido a forma circular do gráfico de setores, as partes que representam cada grupo podem ser facilmente comparadas, pois a soma das porcentagens de todos os grupos totalizam 100%. 1.5.5 Gráfico Polar Consumo de energia elétrica (em Kw/h) Residência de Uanderson Rébula - 2015

É a representação dos valores por meio de um círculo, dividindo-os em períodos cíclicos (periódico), por exemplo: janeiro a dezembro. Utiliza-se quando desejamos ressaltar o comportamento (variação) dos valores que possuem periodicidade de ocorrência.

janeiro 200 dezembro 160 150 190 novembro

100

130

50

O gráfico ao lado, por exemplo, revela que no mês janeiro consumiu-se 190 kw/h de energia elétrica. Entretanto, o consumo diminuiu gradualmente nos meses seguintes, e voltou a aumentar a partir de novembro.

outubro

100

0

80 setembro agosto

75 70 90

fevereiro 180 março 130 120

abril

110 maio junho

julho Esse gráfico chama-se “Polar” devido ao uso Fonte: Light de um sistema de coordenadas polares, isto é, os valores partem do “polo” (do centro do gráfico) e com uma escala em volta dele chamada “eixo polar”. Esse gráfico é indicado para representar variações climáticas (como temperatura), demográficas (natalidade, economia, produção, etc.), pluviométricas (quantidade de chuva em um período), consumo de água, energia elétrica, etc. Qualquer elemento em estudo por período cíclico.

1.5.6 Gráfico Cartograma

Expectativa (esperança) de vida do brasileiro – por regiões – 2012

É a representação dos valores por meio de mapas. Utiliza-se quando desejamos comparar os valores em estudo associando-os com seus respectivos locais (regiões) de ocorrência. O gráfico ao lado, por exemplo, revela que a população residente nas regiões Sul e Sudeste (exceto o Rio de Janeiro) possuem a maior expectativa de vida, variando entre 74,91 e 77,70 anos de idade (vide a cor mais escura no mapa e na legenda). Já alguns estados, como Amazonas, Rondônia, Piauí, Maranhão e Alagoas, possuem a menor expectativa de vida, variando entre 69,38 e 70,91 anos de idade (vide a cor mais clara no mapa e na legenda).

Fonte: IBGE

Sumário

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Tente resolver esses exercícios. Depois, Prof. MSc. Uanderson Rébula deasOliveira confira resoluções nas págs. 17, 18 e 19.

Exercícios propostos

QUESTÃO 1 O gráfico abaixo apresenta as vendas das filiais de uma empresa de calçados no mês de março de 2011. Leste 22%

Se as vendas da filial Norte totalizaram R$ 9 milhões, o valor total das vendas de toda a região, ou seja, da empresa, em março de 2011, foi de:

Norte 18%

Oeste 33%

a) b) c) d) e)

Sul 27%

100 milhões 80 milhões 50 milhões 45 milhões 40 milhões

QUESTÃO 2 (ENADE-2006 – Administração – questão 6) A legislação de trânsito brasileira considera que o condutor de um veículo está dirigindo alcoolizado quando o teor alcoólico de seu sangue excede 0,6 gramas de álcool por litro de sangue. O gráfico abaixo mostra o processo de absorção e eliminação do álcool quando um indivíduo bebe, em um curto espaço de tempo, de 1 a 4 latas de cerveja. Considere as afirmativas a seguir. I.

O álcool é absorvido pelo organismo muito mais lentamente do que é eliminado.

II. Uma pessoa que vá dirigir imediatamente após a ingestão da bebida pode consumir, no máximo, duas latas de cerveja. III. Se uma pessoa toma rapidamente quatro latas de cerveja, o álcool contido na bebida só é completamente eliminado após se passarem cerca de 7 horas da ingestão.

Está (ão) correta (s) a (s) afirmativa (s) a) II, apenas.

b) I e II, apenas.

c) I e III, apenas.

d) II e III, apenas.

e) I, II e III.

QUESTÃO 3 Dentre os resíduos industriais, destaca-se a emissão de gás carbônico, que causa o efeito estufa. O gráfico mostra como se distribuía a produção desse poluente em 1996. Se a produção dos países ricos era de 3,2 bilhões de toneladas, Países em a produção dos países pobres, em bilhões de toneladas, deve crescimento ser estimada em cerca de Países pobres 15% 35% a) 3,1 b) 2,2 c) 1,4 Países ricos d) 1,1 50% e) 1,05 QUESTÃO 4 (ENEM – 2012 – caderno rosa – questão 144) O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico mostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011. De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda absolutas em 2011 foram a) março e abril. b) março e agosto. c) agosto e setembro. d) junho e setembro. e) junho e agosto.

Sumário

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Sumário

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Sumário

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Resolução dos exercícios propostos


Se as vendas da filial Norte totalizaram R$ 9 milhões, o valor total das vendas de toda a região, ou seja, da empresa, em março de 2011, foi de:

Norte 18%

a) b) c) d) e)

Sul 27%

Oeste 33%


Use a regra de três simples: R$ 9 milhões ----- 18% R$ x milhões ------ 100% 18x = 9 * 100 x = R$ 50 milhões  letra c)

QUESTÃO 2 (ENADE-2006 – Administração – questão 6) A legislação de trânsito brasileira considera que o condutor de um veículo está dirigindo alcoolizado quando o teor alcoólico de seu sangue excede 0,6 gramas de álcool por litro de sangue. O gráfico abaixo mostra o processo de absorção e eliminação do álcool quando um indivíduo bebe, em um curto espaço de tempo, de 1 a 4 latas de cerveja.

eixo y

Considere as afirmativas a seguir. I.

eixo x

Está (ão) correta (s) a (s) afirmativa (s) (a) II, apenas.

O álcool é absorvido pelo organismo muito mais lentamente do que é eliminado. Errado! Note que o álcool é absorvido rapidamente pelo sangue (ver eixo y) e demora horas para ser eliminado (ver eixo x). II. Uma pessoa que vá dirigir imediatamente após a ingestão da bebida pode consumir, no máximo, duas latas de cerveja. Certo! Se ele consumir 2 latas de cerveja absorverá menos de 0,5 (g/litro) de álcool no sangue, e o limite é 0,6 (g/litro). III. Se uma pessoa toma rapidamente quatro latas de cerveja, o álcool contido na bebida só é completamente eliminado após se passarem cerca de 7 horas da ingestão. Certo! Até 7 horas ainda há álcool no sangue. Só após esse período que o álcool é completamente eliminado. Resposta: letra d)

(b) I e II, apenas.

(c) I e III, apenas.

(d) II e III, apenas.

(e) I, II e III.

QUESTÃO 3 Dentre os resíduos industriais, destaca-se a emissão de gás carbônico, que causa o efeito estufa. O gráfico mostra como se distribuía a produção desse poluente em 1996. Países em crescimento 15%

Países pobres 35%

Países ricos 50%

Se a produção dos países ricos era de 3,2 bilhões de toneladas, a produção dos países pobres, em bilhões de toneladas, deve ser estimada em cerca de a) 3,1 b) 2,2 c) 1,4 d) 1,1 e) 1,05

Use a regra de três simples: 3,2 bilhões -------- 50% x bilhões ---------- 35% x = 2,2  letra b)

QUESTÃO 4 (ENEM – 2012 – caderno rosa – questão 144) O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico mostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011. De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a Maior venda menor venda absolutas em 2011 foram a) março e abril. b) março e agosto. Menor venda c) agosto e setembro. d) junho e setembro. e) junho e agosto. (resposta correta)

Sumário

17 17



Sumário

18 18



Sumário

19 19


Capítulo 2

Distribuição de frequência

Sumário

20


2.1 O que é Distribuição de frequência? Para que serve? A Distribuição de Frequência é um tipo de tabela elaborada a partir da contagem de dados.  Na distribuição de frequência listamos todos os dados coletados e contamos a quantidade de vezes que eles aparecem (incluindo as repetições) e, então, distribuímos esses dados em uma tabela. Por esse motivo, essa tabela denomina-se “Distribuição de Frequência”.  O termo “frequência” indica o número de vezes que um dado aparece numa observação estatística.

RESUMO DA MATÉRIA Há duas formas de organizar os dados em uma distribuição de frequência:  Distribuição de frequência sem classes – usa-se quando há poucos dados (até 25). Há simples contagem de dados;  Distribuição de frequência com classes – usa-se quando há muitos dados (mais que 25) e com valores dispersos (variados). Nesse caso, agrupa-se os dados em intervalos de classes e, em seguida, conta-se esses dados.

Com o propósito de organizar mais ainda uma distribuição de frequência há os tipos de frequências e os gráficos de distribuição de frequência:  Tipos de frequências – são as frequências relativas (frequência expressa em porcentagem) e acumuladas;  Gráficos de distribuição de frequências – são gráficos para distribuições de frequências cujos nomes são: histogramas, polígonos de frequências e gráficos de frequências acumuladas (ou ogiva).

2.2 Distribuição de frequência (sem classes) e tipos de frequências 2.2.1 Frequência e histograma EXEMPLO. Um professor organizou os resultados obtidos em uma prova com 25 alunos da seguinte forma:

4,0 4,0 4,0 4,0 4,0

Notas dos 25 alunos 5,0 7,0 9,0 5,0 7,0 9,0 5,0 7,0 9,0 6,0 8,0 9,0 6,0 8,0 9,0

9,0 9,0 9,0 9,0 9,0

Distribuição de frequência frequência (f) Nota (nº de alunos) 4,0 5 5,0 3 6,0 2 7,0 3 8,0 2 9,0 10

Comentários à Distribuição de frequência A tabela ao lado é denominada “Distribuição de frequência”, e o número de vezes que cada nota aparece chama-se “frequência”, representado por f. Exemplos:  

Histograma Desempenho dos alunos na prova

Frequência f

10

10 8 6

3

2

2

3

2

0

4,0

5,0

6,0 Notas

7,0

Comentários ao Histograma Um histograma é um gráfico de colunas juntas, isto é, não há espaços entre as colunas. Em um histograma, os dados são ordenados do menor valor para o maior (no exemplo: 4,0 – 5,0 – 6,0 – 7,0 – 8,0 – 9,0) para facilitar a análise dos dados. O eixo horizontal (→) sempre representará o objeto da pesquisa, no caso, as notas dos alunos; e o eixo vertical (↑) sempre representará as frequências (ou seja, as contagens, quantidades).

5

4

A frequência da nota 4,0 é 5, isto é, 5 alunos obtiveram a nota 4,0. A frequência da nota 5,0 é 3, isto é, 3 alunos obtiveram a nota 5,0.

O símbolo  “sigma” significa “somatório”. Portanto, f=25 significa a soma de 5+3+2+3+2+10. Podemos representar a Distribuição de frequências por meio de um gráfico, chamado “Histograma”. Veja abaixo.

f=25

12

Comentários às notas dos 25 alunos A partir das notas dos alunos coletadas, o professor pode fazer uma tabulação dos dados para analisar o desempenho da turma, ou seja, organizá-los de modo que a consulta a eles seja simplificada e resumida. Então, ele pode elaborar uma Distribuição de frequência dessas notas por meio da sua contagem, ou seja, observando o número de vezes que cada nota aparece. Veja abaixo.

8,0

9,0

O histograma sem classes ao lado indica que:  A frequência da nota 4,0 é 5, isto é, 5 alunos obtiveram a nota 4,0.  A frequência da nota 5,0 é 3, isto é, 3 alunos obtiveram a nota 5,0.

A seguir estudaremos os tipos de frequências e as suas aplicações. Sumário

21


2.2.2 Frequência relativa (fr%) É a frequência (f) expressa na forma de porcentagem (%).  Utiliza-se para demonstrar a participação de um valor em relação ao total. Para calcular, basta dividir a frequência (f) pelo somatório das frequências (f) e, após isso, multiplicar por 100. Veja abaixo. 5 Frequência relativa

Nota 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0

frequência (f) (nº de alunos) 5 3 2 3 2 10 f=25

/25 x 100 = 20% (faça o mesmo procedimento para as demais notas) f

fr (%)

A frequência relativa fr (%) é obtida por /f x 100, veja:

20% 12% 8% 12% 8% 40% 100%

     

A fr (%) da nota 4,0 é A fr (%) da nota 5,0 é A fr (%) da nota 6,0 é A fr (%) da nota 7,0 é A fr (%) da nota 8,0 é A fr (%) da nota 9,0 é

5

/25 x 100 /25 x 100 2 /25 x 100 3 /25 x 100 2 /25 x 100 10 /25 x 100 3

= 20% = 12% = 8% = 12% = 8% = 40%

Interpretação: 20% dos alunos obtiveram nota 4,0

2.2.3 Frequência acumulada (fa) É a soma das frequências (f) até o valor a ser analisado.  Utiliza-se para demonstrar a participação acumulada dos dados. Veja abaixo. Frequência acumulada

Nota 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0

frequência (f) (nº de alunos) 5 3+ 2 3 2 10

f=25

5 + 3 = 8 (faça o mesmo procedimento para as demais notas)

fr (%)

fa

A frequência acumulada (fa) é obtida por f + fposterior, veja:

20% 12% 8% 12% 8% 40%

5 8 10 13 15 25

     

llllll

Interpretação: A fa da nota 4,0 é 5 (sempre repete a primeira) 8 alunos A fa das notas 4,0 e 5,0 é 5+3=8 obtiveram até A fa das notas 4,0, 5,0 e 6,0 é 5+3+2=10 a nota 5,0 A fa das notas 4,0, 5,0, 6,0 e 7,0 é 5+3+2+3=13 A fa das notas 4,0, 5,0, 6,0, 7,0 e 8,0 é 5+3+2+3+2=15 A fa das notas 4,0, 5,0, 6,0, 7,0, 8,0 e 9,0 é 5+3+2+3+2+10=25

100%

2.2.4 Frequência relativa acumulada (fra%) É a soma das frequências relativas (fr%) até o valor a ser analisado.  Utiliza-se para demonstrar a participação acumulada dos dados. Veja abaixo. 20% + 12% = 32% (faça o mesmo

Frequência relativa acumulada

Nota 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0

frequência (f) (nº de alunos) 5 3 2 3 2 10

f=25

procedimento para as demais notas)

fr (%)

fa

fra (%)

A fra% é obtida por fr(%) + fr(%)posterior:

20% 12% + 8% 12% 8% 40%

5 8 10 13 15 25

20% 32% 40% 52% 60% 100%

     

A fra(%) da nota 4,0 é 20% (sempre repete a primeira) A fra(%) da nota 4,0 e 5,0 é 20%+12% = 32% A fra(%) da nota 4,0, 5,0 e 6,0 é 20%+12%+8% = 40% A fra(%) da nota 4,0, 5,0, 6,0 e 7,0 é 20%+12%+8%+12% = 52% A fra(%) da nota 4,0, 5,0,... e 8,0 é 20%+12%+8%+12%+8% = 60% A fra(%) da nota 4,0, 5,0, ... e 9,0 é 20%+12%+...+40%=100%

100%

Na seção seguinte você vai ver alguns exemplos de aplicações da distribuição de frequência.

Sumário

Interpretação: 32% dos alunos obtiveram até a nota 5,0

22


2.2.5 Aplicações da distribuição de frequência A organização dos dados por meio de uma distribuição de frequência permite responder a diversas questões com agilidade e facilidade. Além disso, é possível elaborar uma variedade de gráficos. Veja exemplos abaixo.

4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0

frequência f (nº de alunos) 5 3 2 3 2 10

f=25

fr (%)

fa

fra (%)

20% 12% 8% 12% 8% 40%

5 8 10 13 15 25

20% 32% 40% 52% 60% 100%

1. Quantos alunos obtiveram a nota 7,0? R.: Veja na coluna f que 3 alunos obtiveram a nota 7,0. 2. Quantos alunos obtiveram nota até 7,0? R.: Veja na coluna fa que 13 alunos obtiveram até a nota 7,0. 3. Qual a porcentagem de alunos com nota 7,0? R.: Veja na coluna fr(%) que 12% dos alunos obtiveram a nota 7,0. 4. Qual a porcentagem de alunos com nota até 7,0? R.: Veja na coluna fra (%) que 52% dos alunos obtiveram até a nota 7,0.

100%

Histograma (f)

Gráfico de Setores fr (%)

Desempenho dos alunos na prova

Desempenho dos alunos na prova

Frequências

12 8 6

30

10

10

Nota 9,0; 40%

5 3

4 2

2

3

5,0

6,0 7,0 8,0 Notas dos alunos

20

Nota 5,0; 12%

10

Um histograma com simples demonstração das notas dos alunos e as suas respectivas frequências f.

Nota 8,0; 8%

Nota 7,0; 12%

Nota 6,0; 8%

Um gráfico de setores com demonstração das notas dos alunos na forma de porcentagens fr (%).

15

13

15 5

9,0

25

25

Nota 4,0; 20%

2

0 4,0

Histograma (f) com frequências acumuladas (fa)

Frequências

Nota

5 5 3

10

8 2

10 3

2

0 4,0

5,0

6,0 7,0 8,0 Notas dos alunos

9,0

Um histograma com as frequências (f) e um gráfico em linhas representando as frequências acumuladas (fa). Assim, temos duas informações em um único gráfico. Por exemplo: 2 alunos tiraram 8,0; e 15 alunos tiraram até 8,0.

Agora, você vai resolver os exercícios propostos nas páginas 24, 25 e 26. Depois, você vai conferir (e somente conferir) os resultados na seção “Resolução dos exercícios propostos”, disponível nas páginas 27, 28 e 29. Quer ter um bom rendimento em seus estudos? Então lembre-se: tente resolver os exercícios e NÃO COPIE os resultados! Só se aprende tentando! Não desista! Esforça-te! Você é capaz!

Sumário

23



QUESTÃO 1 Uma loja de produtos de informática realizou uma pesquisa com seus clientes adolescentes para saber a idade da maioria deles. Para tanto, selecionou 25 clientes e listou as idades deles conforme abaixo. Idades dos clientes (em anos)

Com base nos dados coletados, pede-se:

12 13 14 13 12

a) b) c) d) e)

13 12 13 14 14

14 15 13 14 15

15 16 12 13 14

14 16 13 14 12

Construa a tabela de distribuição de frequência f, fr(%), fa e fra(%). Construa um histograma da distribuição de frequência. Qual a idade mais frequente? ____________________ Quantos clientes têm idade até 14 anos? ____________ Qual a porcentagem de clientes com 13 anos de idade? ____________

Construa a distribuição de frequência aqui Idade dos clientes

f

fr (%)

fa

Desenhe o histograma aqui

fra (%)

12 13 14 15 16

QUESTÃO 2 Considere a distribuição de frequência abaixo referente aos diferentes preços (R$) de um produto em lojas pesquisadas em Resende no ano de 2001. Construa uma tabela de frequências fr(%), fa e fra(%). fr (%)

fa

fra (%) 10%

Informe:

Preços R$50

f

R$51

5

R$52

6

c)

R$53

6

d) O número de lojas com preço menor que R$52_______________

R$54

1

e) A porcentagem de lojas com preço maior que R$53____________

b) O número de lojas com preço até R$52______________________

7

-

100%

a) O número total de lojas pesquisadas________________________

-

f)

-

A porcentagem de lojas com preço de $53___________________

O número de lojas com preço entre R$52 e R$53______________

g) A porcentagem de lojas com preço entre R$52 e R$54 _________ QUESTÃO 3

Um dado foi lançado 50 vezes obtendo os seguintes resultados: Face do dado f

Sumário

1 8

2 7

3 12

4 10

5 8

6 5

a)

Qual a frequência de saída da face 3?___________________________

b)

Qual a porcentagem de saída da face 6?________________________

c)

Qual a frequência de saída acumulada até a face 4?_______________

d)

Qual a frequência de saída da face 5?___________________________

e)

Qual porcentagem de saída acumulada até a face 2?______________

f)

Qual porcentagem de saída inferiores a face 4?__________________

24 24



Sumário

25 25



Sumário

26 26



QUESTÃO 1 Uma loja de produtos de informática realizou uma pesquisa com seus clientes adolescentes para saber a idade da maioria deles. Para tanto, selecionou 25 clientes e listou as idades deles conforme abaixo. Idades dos clientes (em anos)

Com base nos dados coletados, pede-se:

12 13 14 13 12

a) b) c) d) e)

13 12 13 14 14

14 15 13 14 15

15 16 12 13 14

14 16 13 14 12

Construa a tabela de distribuição de frequência f, fr(%), fa e fra(%). Construa um histograma da distribuição de frequência. Qual a idade mais frequente? _____________ 14 anos Quantos clientes têm idade até 14 anos? ____________2o clientes Qual a porcentagem de clientes com 13 anos de idade? ____________ 28%

Construa a distribuição de frequência aqui

Desenhe o histograma aqui

f

fr(%)

fa

fra(%)

12

5

20%

5

20%

10

13

7

28%

12

48%

8

14

8

32%

20

80%

15

3

12%

23

92%

16

2

8%

25

100%

-

f= 25

100%

-

-

Frequência

Idade dos clientes

8 7 5

6 4

3 2

2 0

12

13 14 15 Idade dos clientes

16

QUESTÃO 2 Considere a distribuição de frequência abaixo referente aos diferentes preços (R$) de um produto em lojas pesquisadas em Resende no ano de 2001. Construa uma tabela de frequências fr(%), fa e fra(%). Preços R$50

f 2

fr(%) 10%

fa 2

fra(%) 10%

R$51

5

25%

7

R$52

6

30%

R$53

6

R$54 -

Informe: a)

O número total de lojas pesquisadas________ 20

35%

b)

O número de lojas com preço até R$52_______ 13

13

65%

c)

A porcentagem de lojas com preço de $53______30%

30%

19

95%

d)

O número de lojas com preço menor que R$52______7

1

5%

20

100%

e)

A porcentagem de lojas com preço maior que R$53_____5%

20

100%

-

-

f)

O número de lojas com preço entre R$52 e R$53_____12 (6+6)

g) A porcentagem de lojas com preço entre R$52 e R$54 ___65% QUESTÃO 3

Um dado foi lançado 50 vezes obtendo os seguintes resultados: Face do dado f

Sumário

1 8

2 7

3 12

4 10

5 8

6 5

a)

Qual a frequência de saída da face 3?_______12

b)

Qual a porcentagem de saída da face 6?______10% ( /50 x 100)

c)

Qual a frequência de saída acumulada até a face 4?____37 (8+7+12+10)

d)

Qual a frequência de saída da face 5?______8

e)

Qual porcentagem de saída acumulada até a face 2?___30% (

f)

Qual porcentagem de saída inferiores a face 4?_____54% (

5

8+7

8+7+12

27 27

/50 x 100)

/50 x 100)



Sumário

28 28



Sumário

29 29


2.3 Distribuição de frequência (com classes) 2.3.1 Conceito e construção Usa-se quando há muitos dados (mais que 25) e com valores dispersos (variados). Agrupa-se os dados em intervalos de classes e, em seguida, conta-se esses dados.  Para esse caso, uma representação melhor seria por meio do agrupamento dos valores com a construção de intervalos de classes. Se elaborássemos uma distribuição de frequência sem classes, a tabela ficaria muito extensa. Veja abaixo.

EXEMPLO. Um radar instalado na rodovia X registrou as velocidades (Km/h) de 40 veículos, indicadas abaixo: Velocidades de 40 veículos (Km/h) 70 71 73 76 80 81 83 86

90 93 95 97 97 97 99 99

100 102 103 105 105 109 109 109

110 115 115 115 117 117 121 121

123 123 123 123 124 124 128 128

Se elaborássemos uma distribuição de frequências sem classes, a tabela ficaria muito extensa (veja abaixo). Velocidades (Km/h) 70 71 73 76 80 81 83 86 90 93 95 97 99 100 102 103 105 109 110 115 117 121 123 124 128

Distribuição de frequência (com classes)

Classes i

Para reduzimos o tamanho da tabela, agrupamos as frequências em intervalos de classes. (veja detalhes ao lado)

Velocidade (Km/h) 70  80 80  90 90  100 100  110 110  120 120  130

f 4 4 8 8 6 10

Limite superior de classe

f=40 Veja na tabela acima que agrupamos as frequências em classes, reduzindo o seu tamanho. Com isso, na 1ª classe (i) sabe-se que 4 veículos tiveram alguma velocidade (km/h) no intervalo 70  80, e assim por diante para as demais classes i.

Como construir uma distribuição de frequência com classes?

f 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 1 1 2 3 1 3 2 2 4 2 2 f=40

i 1 2 3 4 5 6

Limite inferior de classe

1. Determine a quantidade de classes (i) extraindo a raiz da quantidade de dados. São 40 veículos. Logo, √

= 6,3 arredondando i = 6 classes.

2. Calcule a amplitude de classe (h), que é o tamanho da classe, sendo: maior valor – menor valor quantidade de classes (i)

= 128 – 70 = 9,6 arredondando: h = 10 6

Nota: o maior valor “128” e o menor valor “70” são obtidos a partir da lista dos registros das velocidades dos 40 veículos. 3. Montar as classes a partir do menor valor “70”, somando com a amplitude de classe h = 10 até que se chegue na 6ª classe, assim: i 1 2... ...6 4.

Velocidade (Km/h) 70 +10 80 80 +10 90 120 +10 130

Agora, basta contar as velocidades dos veículos e montar a distribuição de frequência, observando o intervalo , como explicado abaixo: Tipo de intervalo Representação Valor incluído na contagem Aberto 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79 70  80 Fechado à esquerda 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79 70  80 Fechado 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80 70  80 Fechado à direita 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80 70  80

No intervalo 70  80 a velocidade “80” não será incluído na contagem dessa classe, pois o intervalo é fechado à esquerda. O valor “80” será incluído na contagem do intervalo 80  90. Repita esse procedimento para todas as classes. No Brasil usa-se o intervalo  por determinação da Resolução 866/66 do IBGE.

Conceitos importantes (muito usados) Limites de classe – São os valores extremos de cada intervalo de classe. No exemplo 70  80, temos que o limite inferior é 70 e o limite superior é 80. Amplitude total da distribuição (AT) – É a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe. No exemplo 130 – 70 = 60. Amplitude amostral (AA) – É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra. No exemplo 128 – 70 = 58.

Sumário

30


2.3.2 Histograma com classes Além da distribuição de frequências f, é possível elaborar um histograma, a frequência relativa fr(%), frequência acumulada fa e frequência relativa acumulada fra(%). Veja abaixo. Distribuição de frequência com classes f, fr(%), fa e fra (%)

f 4 4 8 8 6 10 f=40

fr(%) 10% 10% 20% 20% 15% 25% 100%

fa 4 8 16 24 30 40

Quantidade de veículos

i Velocidade (Km/h) 1 70  80 2 80  90 3 90  100 4 100  110 5 110  120 6 120  130

Histograma Registros das velocidades dos veículos

12

fra(%) 10% 20% 40% 60% 75% 100%

10

10 8

8

8 6

6 4

4

4 2 0

70

80

90

100

110

120

130

Velocidade (Km/h)

Também é possível elaborar outros gráficos de distribuição de frequências com classes, como o polígono de frequência e o gráfico de frequências acumuladas (ou ogiva). Veja a seguir. 2.3.3 Polígono de frequência É um gráfico em linhas (elaborado em um histograma) que representa os pontos médios de classes Xi.  A linha é desenvolvida a partir dos pontos médios de classe (Xi). O polígono de frequência serve para demonstrar (visualizar) o formato de um histograma. Veja abaixo como desenvolvê-lo. 1. Calcule o ponto médio de cada classe (Xi), que é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. Por exemplo, o ponto médio da 1ª classe (i) é = 75 Km/h; 2. Construa o histograma e marque o ponto médio de classe no “topo” de cada coluna; 3. Em seguida faça no histograma um gráfico em linhas sequencialmente aos pontos médios, como mostrado abaixo. Registros das velocidades dos veículos

Ponto médio de classe (Xi)

f 4 4 8 8 6 10 f=40

Xi 75 85 95 105 115 125


i Velocidade (Km/h) 1 70  80 2 80  90 3 90  100 4 100  110 5 110  120 6 120  130

12 10

Polígono de frequência

8 6 4 2 0 70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

Velocidade (Km/h)

2.3.4 Gráfico de frequências acumuladas (ou ogiva) É um gráfico em linhas (elaborado em um histograma) que representa as frequências acumuladas (fa).  Serve para demonstrar duas informações juntas: o histograma de frequências f com as frequências acumuladas fa. Para construí-la, elabore o histograma e, em seguida, um gráfico em linhas com as frequências acumuladas fa. Velocidade (Km/h) 70  80 80  90 90  100 100  110 110  120 120  130

f 4 4 8 8 6 10 f=40

Registros das velocidades dos veículos

fa 4 8 16 24 30 40

Assim, responde-se duas perguntas rapidamente. Por exemplo, quantos veículos têm velocidade no intervalo 100  110? R=8 veículos. Quantos veículos têm velocidades inferiores a 110 km/h? R= 24 veículos.

Sumário

40

40

31


i 1 2 3 4 5 6

35

30

Gráfico de frequências acumuladas (ou ogiva)

30

24

25

16

20 15

8

10

4

5

4

8

8

4

10 6

0

70

80

90

100 110 Velocidade (Km/h)

120

130

Tente resolver esses exercícios. Depois, confiradeasOliveira resoluções Prof. MSc. Uanderson Rébula nas págs. 36 à 39.


QUESTÃO 1 (Crespo, 2009 - adaptado) Em uma turma com 40 alunos coletou-se as suas estaturas (em cm). Os resultados são mostrados abaixo. 166 162 155 154

160 161 152 161

161 168 163 156

150 163 160 172

162 156 155 153

160 173 155 157

165 160 169 156

167 155 151 158

164 164 170 158

160 168 164 161

a) b) c) d)

Construa as classes com intervalo  Construa a tabela – f, fr (%), fa, fra (%) e o ponto médio Xi. Elabore o histograma e o polígono de frequência. Elabore o gráfico de frequências acumuladas (ou ogiva)

Distribuição de frequência das estaturas de 40 alunos Cálculo da quantidade de classes (i) e do tamanho do intervalo de classe (h)

i

Estaturas (cm)

Faça aqui o Histograma e o Polígono de frequência

f

fr(%)

fa

f=

100%

-

fra(%)

Xi

-

Faça aqui a Ogiva

Responda as perguntas abaixo a) Qual a quantidade de classes (i)?_______________

h) Há quantos alunos entre o intervalo 150cm e 158cm? ________

b) Qual o valor da amplitude de classe (h)?__________

i) Qual a frequência da quinta classe?_________________________

c) Qual o valor da amplitude total (AT)? ___________

j) Qual a frequência acumulada da quinta classe?_______________

d) Qual o valor da amplitude amostral (AA)? _______

k) Qual a frequência relativa da segunda classe?________________

e) Qual o limite superior da quinta classe?__________

l) Qual a frequência relativa acumulada da quarta classe?________

f) Qual o limite inferior da terceira classe?__________

m) Quantos alunos têm estatura menor que 166cm?____________

g) Qual o ponto médio da quarta classe?___________

n) Quantos alunos têm estatura de 158cm ou mais?_____________

Sumário

32 32



Sumário

33 33



Sumário

34 34



QUESTÃO 7 (ENEM – 2015 – caderno azul – questão 138) Atualmente existem diversas locadoras de veículos, permitindo uma concorrência saudável para o mercado, fazendo com que os preços se tornem acessíveis. Nas locadoras P e Q, o valor da diária de seus carros depende da distância percorrida, conforme o gráfico ao lado. O valor pago na locadora Q é menor ou igual àquele pago na locadora P para distâncias, em quilômetros, presentes em qual(is) intervalo(s)? a) b) c) d) e)

De 20 a 100. De 80 a 130. De 100 a 160. De 40 a 80 e de 130 a 160. De 0 a 20 e de 100 a 160.

QUESTÃO 8 (adaptado de Iezzi; Hazzan; Degenszajn, 2004) O gráfico abaixo mostra a distribuição dos 400 espectadores de teatro, segundo as faixas de idades, na cidade do Rio de Janeiro. Admitindo que a classe de menor frequência tenha seus valores na faixa de idade de 50 a 59 anos, determine o número de espectadores da classe que possui a maior frequência. Faixa de idade dos espectadores do teatro 50 anos ou mais 40 a 49 4% anos 7% 10 a 19 anos 32%

30 a 39 anos 18% 20 a 29 anos 39%

Sumário

35 35



QUESTÃO 1 (Crespo, 2009 – adaptado) Em uma turma com 40 alunos coletou-se as suas estaturas (em cm). Os resultados são mostrados abaixo. 166 162 155 154

160 161 152 161

161 168 163 156

150 163 160 172

162 156 155 153

160 173 155 157

165 160 169 156

167 155 151 158

164 164 170 158

160 168 164 161

Construa as classes com intervalo  Construa a tabela – f, fr (%), fa, fra (%) e o ponto médio Xi. Elabore o histograma e o polígono de frequência. Elabore o gráfico de frequências acumuladas (ou ogiva)

a) b) c) d)

Distribuição de frequência das estaturas de 40 alunos Cálculo da quantidade de classes (i) e do tamanho do intervalo de classe (h) Cálculo da quantidade classes (i) i=√ n = 40 = √ = 6,32 ~ 6 classes

i

Estaturas (cm)

f

fr(%)

fa

fra(%)

Xi

1

150  154

4

10%

4

10%

152

2

154  158

9

22,5%

13

32,5%

156

Cálculo tamanho intervalo classe (h) h = maior valor – menor valor i

3

158  162

11

27,5%

24

60%

160

4

162  166

8

20%

32

80%

164

h = 173 – 150 = 3,83 ~ 4 6

5

166  170

5

12,5%

37

92,5%

168

6

170  174

3

7,5%

40

100%

172

100%

-

Logo, são 6 classes (i) com tamanho de intervalo (h) igual a 4.

f=40 Faça aqui o Histograma e o Polígono de frequência

-

Faça aqui a Ogiva

9

10

Número de alunos

Número de alunos

35

11

12

8 8 5

6 4 4

3

32

30 24

25 20 13

15

4

5

0 150

154

158 162 166 Estaturas (cm)

170

11

9

10

2

40

37

40

8

4

5

3

0

174

150

154

158

162

166

170

174

Estaturas (cm)

Responda as perguntas abaixo a) Qual a quantidade de classes (i)?___________6

h) Há quantos alunos entre o intervalo 150cm e 158cm?___ 13

b) Qual o valor da amplitude de classe (h)?_______4

i) Qual a frequência da quinta classe?________5

c) Qual o valor da amplitude total (AT)? 174 – 150 = 24

j) Qual a frequência acumulada da quinta classe?________37

d) Qual o valor da amplitude amostral (AA)? 173 – 150 = 23

k) Qual a frequência relativa da segunda classe?________22,5%

e) Qual o limite superior da quinta classe?________170

l) Qual a frequência relativa acumulada da quarta classe?_80%

f) Qual o limite inferior da terceira classe?________158

m) Quantos alunos têm estatura menor que 166cm?_____32

g) Qual o ponto médio da quarta classe?_________164

n) Quantos alunos têm estatura de 158cm ou mais?______27

Sumário

36 36



Sumário

37 37



Sumário

38 38



QUESTÃO 7 (ENEM – 2015 – caderno azul – questão 138) Atualmente existem diversas locadoras de veículos, permitindo uma concorrência saudável para o mercado, fazendo com que os preços se tornem acessíveis. Nas locadoras P e Q, o valor da diária de seus carros depende da distância percorrida, conforme o gráfico ao lado. O valor pago na locadora Q é menor ou igual àquele pago na locadora P para distâncias, em quilômetros, presentes em qual(is) intervalo(s)? O valor pago na locadora Q e a) De 20 a 100. menor que o pago na locadora P b) De 80 a 130. quando o gráfico de Q ficar abaixo c) De 100 a 160. de P e igual na interseção. Assim, d) De 40 a 80 e de 130 a 160. temos de 0 a 20 e de 100 a 160. e) De 0 a 20 e de 100 a 160. Resposta e) QUESTÃO 8 (adaptado de Iezzi; Hazzan; Degenszajn, 2004) O gráfico abaixo mostra a distribuição dos 400 espectadores de teatro, segundo as faixas de idades, na cidade do Rio de Janeiro. Admitindo que a classe de menor frequência tenha seus valores na faixa de idade de 50 a 59 anos, determine o número de espectadores da classe que possui a maior frequência. Resp. = 156 Faixa de idade dos espectadores do teatro 50 anos ou mais 40 a 49 4% anos 7% 10 a 19 anos 32%

30 a 39 anos 18% 20 a 29 anos 39%

Sumário

São 400 espectadores e os dados em uma distribuição de frequência já estão ordenados: a 1ª classe é 10 a 19; a 2ª classe é 20 a 29 e assim por diante. Note que a 2ª classe possui a maior porcentagem, no valor de 39%. Logo, essa porcentagem corresponde a maior frequência.

Portanto: 400 -----100% x -----39% x= 156

39 39


Capítulo 3

Medidas Resumo

(média, mediana e moda)

Sumário

40


3.1 O que são Medidas Resumo? Para que servem? O que dizer se um professor deseja saber sobre o desempenho de seus 110 alunos por meio das notas obtidas em uma prova? Ele poderia utilizar como resposta a construção de uma tabela de Distribuição de frequência das notas e um histograma para representar graficamente esses dados. No entanto, o professor poderia estar interessado em uma resposta rápida e menos trabalhosa, que resuma a informação que se tem, e não uma Distribuição de frequência das notas coletadas. Então, ele pode utilizar as medidas resumo. CONCEITO DE MEDIDAS RESUMO: Para obter uma rápida informação contida em um conjunto de dados, a estatística utiliza medidas que resumem, por meio de um só número, características desses dados. Elas são chamadas “Medidas Resumo”. 





Há diferentes tipos de medidas resumo tais como medidas de posição ou tendência central (média, mediana, moda), medidas de ordenamento ou separatrizes (quartil, decil, percentil), medidas de dispersão ou variação (amplitude total, amplitude interquartil, desvio médio absoluto, variância, desvio padrão, escore padrão, coeficiente de variação), medidas de forma (assimetria e curtose) entre outras. Cada uma dessas medidas fornece uma interpretação independente sobre o conjunto de dados em análise, porém elas se complementam. Ou seja, para uma melhor interpretação de um conjunto de dados analisa-se por meio de várias medidas resumo. Veja no exemplo abaixo a aplicação de algumas medidas resumo.

EXEMPLO. Um professor aplicou uma prova de estatística para uma turma com 110 alunos, coletou as notas e os resultados são mostrados abaixo. Notas de estatística de 110 alunos da escola A 8.7 3.9 9 5.5 7.9

5.6

8.3

4.5

9.5

10

9.2

9.6

6.6

5.3

3

9.5

3.9

9

5.6

7

5.9

4.5

7

8.9

2

8.7

9

3

8

6.7

4.2

6.5

5.3

6.5

4.6

9.5

5.3

3.9

9

3

8.8

9

8.9

8.4

7.1

6.5

3.9

4.9

9.4

5.3

9.5

2

5.3

7.5

3.3

9.2

9.8

9.5

5.9

5.5

5

7

8.3

5.6

9

9.5

6.1

5.6

4.9

6.5

9

9.6

7.5

7

9

4.5

8

4.2

8.9

9.6

9.8

8

6.5

7.9

2

5

5.3

3.9

7.3

8

9

5.6

1

9.8

4

9.5

3.6

5

9.8

8.6

4.2

9.6

8.9

5.9

4.2

6

5.3

8

2.8

9

Observe que as notas estão desordenadas, o que dificulta analisar o desempenho da turma. Dessa forma, o professor tentará obter informações que sejam fáceis de compreender e que revelem (de forma rápida e resumida) sobre o desempenho da turma. Para tanto, ele calculou algumas medidas resumo como a média, mediana, moda, 1º quartil, 3º quartil, desvio padrão e coeficiente de variação. Os resultados e as suas interpretações são mostrados abaixo. Medida Resumo Média

Valor 6,5

Mediana

7,0

Moda

9,0

Desvio padrão

2,3

Coeficiente de variação

34%

1º Quartil

5,0

3º Quartil

9,0

Interpretação Valor que representa o ponto de equilíbrio das notas (como uma gangorra). Valor que separa um conjunto de dados em duas partes iguais. No caso, a nota 7,0 está no meio do conjunto, isto é, 50% dos alunos (55 alunos) tiraram abaixo de 7,0. Valor que representa a nota que mais apareceu (repetiu). Valor que representa a variação nas notas em torno da média. Portanto, a maioria das notas está variando entre ±2,3 em torno da média 6,5 , isto é: entre 4,2 e 8,8. Representa o desvio padrão na forma de porcentagem. Portanto, as notas variam 34% em torno da média. Valor que separa um conjunto de dados em quatro partes iguais. Portanto, 25% dos alunos (28 alunos) tiraram abaixo de 5,0 (ou 75% tiraram acima de 5,0). Valor que separa um conjunto de dados em quatro partes iguais. Portanto, 75% dos alunos (83 alunos) tiraram abaixo de 9,0 (ou 25% tiraram acima de 9,0).

Por meio das medidas resumo mostradas acima é possível entender um pouco sobre o desempenho da turma. Por exemplo, a mediana revela que metade da turma (55 alunos) tirou abaixo (ou acima) de 7,0. Neste livro vamos estudar algumas medidas resumo: média, mediana e moda. As demais serão estudadas no livro: Estatística II (para leigos): aprenda fácil e rápido!

Sumário

41


3.2 Médias 3.2.1 Média simples É uma medida que representa o ponto de equilíbrio de um conjunto de dados (como uma gangorra). 

A média representa um valor “comum” ou “típico” em um conjunto de dados. A média simples é dada por:

̅  é a média (lê-se “x barra”)  é a soma de todos os valores em um conjunto n  é a quantidade de dados

̅

EXEMPLO. Supondo que uma escola adote como critério de aprovação a média 6,0. Considerando que João obteve as notas 3,5; 6,0; 9,5; e 9,0 durante o ano letivo, informe se ele foi aprovado Podemos representar a média graficamente:

Resolução: ̅=? = 3,5; 6,0; 9,5; e 9,0 n = 4 (pois são 4 notas)

̅

10,0 8,0 Notas

Logo: ̅

média das notas de João 9,5 média 7,0 de João 6,0

9,0

6,0 4,0

3,5

2,0 0,0 1º Bim

significa “somatório”

2º Bim Média 3º Bim 4º Bim Bimestres

3.2.2 Média ponderada Similar à média simples, porém, atribui-se a cada valor um peso que retrate a sua importância.  

A inclusão do “peso” fará com que alguns valores influenciem mais fortemente a média do que outros. O termo “ponderado” é sinônimo de peso, importância, relevância. Sugere, então, a atribuição de um peso a um valor. A média ponderada é dada por: ̅

̅  é a média ponderada  é a soma dos valores “Xi” multiplicado pelos seus pesos “p”  é a soma dos pesos “p”

EXEMPLO. Uma quitanda possuía 45 Kg de pera para vender em uma tarde. Começou vendendo por R$ 2,50/Kg e, com o passar do tempo, reduziu o preço para não haver sobras. A tabela abaixo mostra a quantidade de peras vendidas em cada período com os seus respectivos preços cobrados. Naquela tarde, por quantos R$ foi vendido, em média, o Kg da pera nessa quitanda? Período Da tarde Das 13h às 14h Das 14h às 15h Das 15h às 17h

Preço/Kg cobrado R$2,50 R$2,00 R$1,50

Quantidade de Kg de peras vendidas 30 10 5

Resolução: a média simples não resolve esse problema, pois ela calcula apenas os preços das peras sem atribuir (considerar, associar) as respectivas quantidades vendidas.

Nesse caso, usamos a média ponderada, onde os preços serão os valores “xi” e as quantidades vendidas serão os “pesos” (dica: os “pesos” sempre serão as “quantidades”). Assim, temos:

̅

̅ ?  R$2,50; R$2,00; R$ 1,50  30;10;5

Logo: ̅ Portanto, o kg da pera foi vendido, em média, por R$ 2,27.

Agora, resolva os exercícios propostos nas páginas seguintes: 43, 44 e 45. Depois verifique as resoluções nas páginas 46, 47 e 48.

Sumário

42



Tente resolver esses exercícios. Depois, confira as resoluções nas págs. 46, 47, 48

EXERCÍCIOS DE MÉDIA SIMPLES QUESTÃO 1 Calcule a média salarial dos empregados de uma empresa: R$850; R$900; R$1050; R$1200; R$1000; R$1300; R$1.600.

QUESTÃO 2 A tabela abaixo representa os nascimentos no Brasil no período compreendido entre 2003 e 2007. Qual é o número médio de nascimentos nesse período? Ano Nascimentos 2003 3.532.051 2004 3.462.941 2005 3.383.991 2006 3.294.234 2007 3.201.327 Fonte: IBGE

QUESTÃO 3 A média de um conjunto formado por 10 números é igual a 8. Acrescentando-se a esse conjunto o número 52, qual será a nova média?

QUESTÃO 4 A média de um conjunto formado por 80 números é igual a 40,5. Acrescentando-se a esse conjunto o número 243, qual será a nova média?

QUESTÃO 5 A média de um conjunto formado por 55 números é igual a 28. Acrescentando-se a esse conjunto os números 12 e 8, qual será a nova média?

Sumário

43 43



Sumário

44 44


Exercícios propostos EXERCÍCIOS DE MÉDIA PONDERADA QUESTÃO 10 Uma quitanda possuía 95 Kg de laranja para vender em uma tarde. Começou vendendo por R$ 3,50/Kg e, com o passar do tempo, reduziu o preço para não haver sobras. A tabela abaixo informa a quantidade de laranjas vendidas em cada período e os diferentes preços cobrados. Naquela tarde, por quantos R$ foi vendido, em média, o Kg da laranja? Período da tarde Das 13h às 14h Das 14h às 15h Das 15h às 17h

Preço/Kg cobrado R$3,50 R$3,00 R$2,00

Quantidade de Kg laranjas vendidas 30 45 20

QUESTÃO 11 Os custos de produção e as quantidades produzidas por três filiais A, B e C de uma empresa constam na tabela abaixo. Encontre o custo médio de produção para a empresa em seu conjunto: Filial A B C

Custo de produção R$ 1,20 1,60 1,40

Quantidade produzida 500 200 900

QUESTÃO 12 Uma loja vende cinco produtos básicos: A, B, C e D. O lucro por unidade comercializada desses produtos vale respectivamente R$200; R$300; $500; e R$600. A loja vendeu em um determinado mês 20; 30; 20; e 10 unidades de produtos, respectivamente. Qual foi o lucro médio por unidade comercializada por essa loja?

QUESTÃO 13 Um ônibus de excursão partiu com 40 turistas a bordo, dos quais 8 reservaram a viagem com antecedência e pagaram, cada um, R$ 300. Os 32 turistas restantes pagaram, cada um, R$ 340 pela viagem. Qual foi o preço médio que o turista pagou nessa excursão?

QUESTÃO 14 Uma revendedora de veículos comprou 3 carros no RJ por R$ 14.900 cada, 8 carros em SP por R$17.750 cada, e 2 carros em MG por R$ 23.400 cada. Qual foi o preço médio dos carros?

Sumário

45 45


Resolução dos exercícios propostos EXERCÍCIOS DE MÉDIA SIMPLES QUESTÃO 1 Calcule a média salarial dos empregados de uma empresa: R$850; R$900; R$1050; R$1200; R$1000; R$1300; R$1.600. Resp. = R$1128

̅

̅= ? = 850;900;1050;... n= 7 (pois são 7 empregados)

̅

Interpretação: o salário médio dos empregados dessa empresa é R$1128. QUESTÃO 2 A tabela abaixo representa os nascimentos no Brasil no período compreendido entre 2003 e 2007. Qual é o número médio de nascimentos nesse período? Resp. = 3.374.909 Ano Nascimentos 2003 3.532.051 2004 3.462.941 2005 3.383.991 2006 3.294.234 2007 3.201.327 Fonte: IBGE

̅= ? = 3.532.051;3.462.941;... n = 5 (pois são 5 anos)

̅

̅ Interpretação: em média, nasceram 3.374.909 crianças por ano nesse período.

QUESTÃO 3 A média de um conjunto formado por 10 números é igual a 8. Acrescentando-se a esse conjunto o número 52, qual será a nova média? Resp. = 12 ̅= 8 =? n = 10 (pois são 10 números)

̅

Se acrescentarmos o número 52 a esse conjunto, então teremos ∑xi +52, e a nova média será ̅= ?

̅

̅

= 80 (+52) (o “52” foi adicionado ao conjunto) n = 10 (+1) (com o “52” adicionado, passa-se a ter 11 números)

̅

QUESTÃO 4 A média de um conjunto formado por 80 números é igual a 40,5. Acrescentando-se a esse conjunto o número 243, qual será a nova média? Resp. = 43 ̅ = 40,5 =? n = 80 (pois são 80 números)

̅

Se acrescentarmos o número 243 a esse conjunto, então teremos ∑xi +243, e a nova média será ̅= ?

̅

̅

= 3240 (+243) (o “243” foi adicionado ao conjunto) n = 80 (+1) (com o “243” adicionado, passa-se a ter 81 números)

̅

QUESTÃO 5 A média de um conjunto formado por 55 números é igual a 28. Acrescentando-se a esse conjunto os números 12 e 8, qual será a nova média? Resp. = 27,36 ̅ = 28 =? n = 55 (pois são 55 números)

̅

Se acrescentarmos o número 12 e 8 a esse conjunto, então teremos ∑xi +12+8, e a nova média será ̅= ?

̅

Sumário

= 1540 (+12+8) (o “12” e “8” foram adicionados) n = 55 (+2) (com o “12” e “8” adicionado, teremos 57 números)

46 46

̅

̅



̅

̅

̅

̅

̅

̅ ̅

̅

̅

̅

Sumário

̅

47 47


Resolução dos exercícios propostos EXERCÍCIOS DE MÉDIA PONDERADA

̅ ̅ ̅

̅ ̅ ̅

̅ ̅ ̅

̅ ̅ ̅

̅ ̅

Sumário

̅

48 48


3.2.3 Média de distribuição de frequência (sem classes) É similar à média ponderada, porém os “pesos” passam a ser representados pelas “frequências f”. 

O cálculo da média de uma distribuição de frequência usa o mesmo princípio da média ponderada, alterando-se apenas a simbologia “p” para “f”. ̅

A média de distribuição de frequência é :

̅

 é a média de distribuição de frequência  é a soma dos valores “xi” multiplicado pelas suas “frequências f”  é a soma das “frequências f”

EXEMPLO. Um professor listou os resultados obtidos em uma prova com 25 alunos e elaborou a distribuição de frequência sem classes abaixo. Qual foi a nota média da turma? Desempenho dos alunos

Nota (Xi) 4,0 5,0 60 7,0 8,0 9,0

f

Xi

5 3 2 3 2 10 f=25

= = = = = =

Resolução: siga os passos abaixo.

f

1. multiplicar cada nota “Xi” pela sua frequência “f”; 2. somar as frequências ”f”; 3. somar o resultado das multiplicações (Xi f); 4. aplicar a equação abaixo:

20 15 12 21 16 90

(a nota média da turma foi 6,9) ̅

 (Xi f)= 174

Ou, se preferir, você pode calcular a média diretamente pela equação (é a mesma coisa): ̅ ̅

?  4,0; 5,0;...  5;3;...

̅

3.2.4 Média de histogramas (sem classes) A média de histograma sem classes é similar à média de distribuição de frequência sem classes. 

Na Seção 2.2.1 vimos que o histograma é gerado a partir de distribuição de frequência. Portanto, o cálculo da média é similar e usa a mesma equação, alterando-se apenas a forma de análise dos dados.

EXEMPLO. Um professor organizou os resultados obtidos em uma prova com 25 alunos, fez as contagens das notas e construiu o histograma sem classes mostrado abaixo. Qual foi a nota média da turma? Desempenho dos alunos

Frequência

12 10

∑f = 25 (5+3+2+...)

8

↓

6

5 + 3 +

4 2

+ 10

“f”

𝑥

0 “Xi”  4,0

5,0

2

+ 3 +

6,0 7,0 Notas

Calcule direto pela equação: 1. multiplicar cada nota “Xi” pela sua frequência “f”; 2. somar as frequências “f”; 3. faça os passos 1 e 2 diretamente na equação, assim:

2

8,0

O histograma sem classes ao lado foi gerado a partir da distribuição de frequência do exemplo anterior. Veja que as notas 4,0; 5,0;... são os valores “Xi” e as quantidades de alunos 5;3;2;... são as frequências “f”. Portanto:

9,0

̅

3.2.5 Média de distribuição de frequência (com classes) É similar à média de distribuição de frequência sem classes, porém calcula-se o ponto médio de classe (Xi). 

Sumário

Por que calcula-se o ponto médio de classe (Xi)? Em uma distribuição de frequência com classes não sabemos os valores exatos que caem em determinada classe. Por exemplo, na 1ª classe (i) da tabela a seguir, sabe-se que 4 veículos passaram na rodovia em alguma velocidade (km/h) do intervalo 70  80, mas não sabemos as velocidades exatas. Então, para tornar possível o cálculo, consideramos (chutamos) que, em cada classe, todos os valores sejam iguais ao ponto médio de classe (Xi). Por exemplo, considere as velocidades do intervalo 70  80 com uma frequência de 4. Admitimos que todos os 4 veículos passaram a exatamente 75 km/h (o ponto médio de classe Xi – obtido por 70+80/2). Com o valor de 75 repetido 4 vezes, temos um total de 75 x 4 = 300 e podemos, então, somar as multiplicações obtidas de cada classe para encontrar o total de todos os valores, os quais, então, dividimos pelo somatório das frequências. Veja um exemplo: 49


EXEMPLO. Um radar instalado na rodovia X registrou as velocidades (km/h) de 40 veículos, indicadas na distribuição de frequências com classes abaixo. Qual foi a velocidade média desses veículos? (i) 1 2 3 4 5 6

Velocidades (km/h) 70  80 80  90 90  100 100  110 110  120 120  130

Ponto médio Xi f de classe (Xi) 75 = 300 85 = 340 95 = 760 105 = 840 115 = 690 125 = 1250  (Xi f)= 4180

f

4 4 8 8 6 10 f=40

Resolução: 1. calcular o ponto médio de cada classe (70+80/2 = 75);... 2. multiplicar cada velocidade “Xi” pela sua frequência “f”; 3. somar as frequências “f”; 4. somar o resultado das multiplicações (Xi f); 5. aplicar a equação abaixo: ̅

Ou, se preferir, calcule a média diretamente pela equação (com os pontos médios de classe Xi já calculados): ̅ ̅̅̅

?  75; 85;...  4; 4; 8;...

̅

É importante salientar que a média de uma distribuição de frequência com classes resulta em uma aproximação da média porque se baseia nos pontos médios de classe (Xi), e não na lista exata dos valores. 3.2.6 Média de histogramas (com classes) A média de histograma com classes é similar à média de distribuição de frequência com classes. 

Na Seção 2.3.2 vimos que o histograma é gerado a partir de distribuição de frequência. Portanto, o cálculo da média é similar e usa a mesma equação, alterando-se apenas a forma de análise dos dados.

EXEMPLO. Um radar instalado na rodovia X registrou as velocidades (km/h) de 40 veículos, indicadas na distribuição de frequências com classes abaixo. Qual foi a velocidade média desses veículos? Histograma com classes Registros de um radar ∑f = 40 (4+4+8+...)

número de veículos

12 10

+

8

+

8

+ 10 +

“f”

6

↓

6

4

4

+

4

80

85

Calcule diretamente pela equação: 1. multiplicar cada ponto médio de classe Xi pela sua frequência “f” (75 x 4; 85 x 4; 95 x 8; ...); 2. somar as frequências “f” (4+4+8;...;+10); 3. faça os passos 1 e 2 diretamente na equação, assim:

𝑥

2

0 Xi 

8

O histograma ao lado foi gerado a partir da distribuição de frequência do exemplo anterior. As velocidades 75; 85; 95; ... são os pontos médios de classes (Xi) e as quantidades de veículos 4; 4; 8; ... são as frequências “f”. Portanto:

70

75

90

95

100

105

110

115

120

Velocidade (Km/h)

125

130

̅

Agora, você vai resolver os exercícios propostos nas páginas 51 e 52. Depois, você vai conferir (e somente conferir) os resultados na seção “Resolução dos exercícios propostos”, disponível nas páginas 53 e 54. Quer ter um bom rendimento em seus estudos? Então lembrese: tente resolver os exercícios e NÃO COPIE os resultados! Só se aprende tentando! Não desista! Esforça-te! Você é Sumário

50



EXERCÍCIOS DE MÉDIA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS E HISTOGRAMAS (COM E SEM CLASSES)

Sumário

51 51



QUESTÃO 5 (adaptado de Iezzi; Hazzan; Degenszajn, 2004). O gráfico abaixo mostra a distribuição dos espectadores de teatro, segundo as faixas de idades, na cidade do Rio de Janeiro. Admitindo que a classe de menor frequência tenha seus valores na faixa de idade de 50 a 59 anos, determine a idade média dos espectadores. Faixa de idade dos espectadores do teatro 50 anos ou mais 40 a 49 4% anos 7% 10 a 19 anos 32%

30 a 39 anos 18% 20 a 29 anos 39%

QUESTÃO 6 Considere a tabela abaixo, referente a um conjunto de 40 peças que foram coletadas para análise no laboratório de qualidade. Calcule o tamanho médio dessas peças. Tamanho das peças (mm) 156

Porcentagem acumulada 32,5%

162

45%

168

65%

174

90%

180

100%

QUESTÃO 7 (adaptado de Iezzi; Hazzan; Degenszajn, 2004) Um radar instalado em rodovia presidente Dutra na qual o limite de velocidade é 90km/h, registrou em uma semana multas por excesso de velocidade, mostradas na tabela abaixo. Se o valor das multas varia de acordo com a faixa de velocidade ultrapassada, começando por R$180,00 e aumentando sempre 20% em relação ao valor da multa da classe anterior, determine ovalor médio das multas aplicadas. i

Velocidade (Km/h)

f

1

91  100

34

2

100  109

41

3

109  118

35

4

118  127

22

5

127  136

18

Sumário

52 52



EXERCÍCIOS DE MÉDIA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS E HISTOGRAMAS (COM E SEM CLASSES)

̅

̅ ̅

̅

̅ ̅

̅

̅ ̅

̅

̅ ̅

̅

Sumário

53 53



QUESTÃO 5 (adaptado de Iezzi; Hazzan; Degenszajn, 2004). O gráfico abaixo mostra a distribuição dos espectadores de teatro, segundo as faixas de idades, na cidade do Rio de Janeiro. Admitindo que a classe de menor frequência tenha seus valores na faixa de idade de 50 a 59 anos, determine a idade média dos espectadores. Resp. = 25,70 anos de idade Faixa de idade dos espectadores do teatro 50 anos ou mais 40 a 49 4% anos 7%

A lógica do cálculo da média de um gráfico de setores é a mesma que a de um histograma. Como estamos falando de “faixas de idade” (10 a 19 anos; 20 a 29 anos;...), então temos um histograma com intervalos de classes. Logo, deve-se 10 + 19 calcular o ponto médio de classes Xi. Por exemplo, o valor 14,5 foi obtido por /2. Então, calculando-se todos os pontos médios de classes temos:

10 a 19 anos 32%

30 a 39 anos 18%

̅ ̅

20 a 29 anos 39%

?  14,5; 24,5; 34,5;...  32%; 39%;...

̅

QUESTÃO 6 Considere a tabela abaixo, referente a um conjunto de 40 peças que foram coletadas para análise no laboratório de qualidade. Calcule o tamanho médio dessas peças. Resp. = 166,1 mm Tamanho das peças (mm) 156

32,5%

Porcentagem acumulada fra (%) 32,5%

162

12,5%

45%

168

20%

65%

174

25%

90%

180

10%

100%

fr(%)

f=100%

Perceba que a coluna fornece a porcentagem acumulada (ou fra%). Para tornar possível o cálculo crie a coluna da porcentagem (frequência relativa fr%) e depois calcule a média normalmente. ̅ ̅

?  156; 162;...  32,5%; 12,5%;...

̅

Obs.: Você também pode resolver encontrando as frequências f, mas é mais trabalhoso e, portanto, desnecessário.

QUESTÃO 7 (adaptado de Iezzi; Hazzan; Degenszajn, 2004) Um radar instalado em rodovia presidente Dutra na qual o limite de velocidade é 90km/h, registrou em uma semana multas por excesso de velocidade, mostradas na tabela abaixo. Se o valor das multas varia de acordo com a faixa de velocidade ultrapassada, começando por R$180,00 e aumentando sempre 20% em relação ao valor da multa da classe anterior, determine o valor médio das multas aplicadas. Resp. = R$ 250,7 i

Velocidade (Km/h)

f

1

91  100

34

180

2

100  109

41

216 (180+20%)

3

109  118

35

259 (216+20%)

4

118  127

22

311 (259+20%)

5

127  136

18

373 (311+20%)

f=150

Sumário

R$ (Xi)

O valor da multa da 1ª classe é R$180. Adiciona-se 20% para as classes posteriores, sempre em relação ao valor da multa da classe anterior. Deseja-se saber sobre o valor médio das multas (em R$), e não o valor médio das velocidades. Logo, o ponto médio de classe será os valores das multas Xi de cada classe: ̅ ̅

̅

54 54

?  180; 216;...  34;41;...


3.3 Mediana É o valor que está no meio quando os dados estão ordenados (do menor valor para o maior valor).  Por exemplo, no conjunto 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 o número 4 é a mediana pois está no meio do conjunto ordenado. Note que a mediana divide um conjunto ordenado em duas partes iguais, 0% 50% 100% deixando metade (ou 50%) dos dados abaixo ou acima dela.

3.3.1 Mediana simples Ache a posição mediana por meio da regra do “ímpar” e “par” e, em seguida, ordene os dados. Regra do “ímpar”

Regra do “par”

Quando há quantidade ímpar de dados em um conjunto sempre teremos um valor no meio. Logo, seu cálculo é:

Quando há quantidade par de dados em um conjunto sempre teremos dois valores no meio. Logo, seu cálculo é:

A posição mediana é

As duas posições mediana são

= quantidade de dados

EXEMPLO. Sejam as notas dos alunos: 5,0; 4,2; 9,5; 7,2; 5,5; 8,3; 4,7; 2,7; 6,5. Qual é a nota mediana? São nove Logo, n=9

EXEMPLO. Sejam as notas dos alunos: 5,0; 4,2; 9,5; 7,2; 5,5; 8,3; 4,7; 2,7; 6,5; 10,0. Qual é a nota mediana?

alunos.

São dez alunos. Logo, n=10

A nota mediana está na 5ª posição. Ordenando as notas (do menor valor para o maior), temos: Posições 

2,7 4,2 4,7 5,0 5,5

6,5 7,2 8,3 9,5

1ª

6ª

2ª

3ª

4ª

5ª

7ª

8ª

9ª

A nota mediana está na 5ª e 6ª posição. Ordenando as notas (do menor valor para o maior), temos: 2,7 4,2 4,7 5,0 5,5 6,5 7,2 8,3 9,5 10,0 Posições 

Md = 5,5

1ª

2ª

3ª

4ª

5ª

6ª

7ª

8ª

9ª

10ª

A mediana é a média dos dois valores do meio:

Interpretação: a nota mediana é 5,5. Logo, metade (ou 50%) dos alunos tiraram nota abaixo ou acima de 5,5.


3.3.2 Mediana de distribuição de frequência e histograma (sem classes) Similar à mediana simples, ache a posição mediana por meio da regra do “ímpar” e “par”. Os dados já estão ordenados. 

Na distribuição de frequência sem classes os dados já estão ordenados, bastando identificar a posição mediana pelo mesmo método da mediana simples (regra do “ímpar” e “par”).

EXEMPLO. Um professor listou os resultados obtidos em uma prova com 25 alunos e elaborou a distribuição de frequência sem classes abaixo. Qual foi a nota mediana da turma? Desempenho dos alunos Frequência f Nota (nº de alunos)

4,0 5,0 60 7,0 Md = 8,0 9,0

4 3 2 3 2 11 f=25

fa

Posições das notas

São 25 notas. Logo, n=25  Ímpar

4 7 9 12 14 25

1ª a 4ª 5ª a 7ª 8ª a 9ª 10ª a 12ª 13ª a 14ª 15ª a 25ª

As notas na tabela já estão ordenadas (4,0, 5,0, 6,0...) e, quando se introduz a coluna fa (frequências acumuladas), estamos identificando as Posições das notas. Por exemplo, veja na tabela que a nota 4,0 está na 1ª, 2ª, 3ª e 4ª posição (1ª a 4ª); a nota 5,0 está na 5ª, 6ª e 7ª posição (5ª a 7ª); e assim por diante. Então, a nota mediana está na 13ª posição e será a nota 8,0. Logo, Md = 8,0.

frequência f


Mediana de histograma (sem classes) Use o mesmo método acima para identificar a posição mediana em um histograma sem classes: são 25 notas, logo ímpar  P = 25+1/2 = 13ª. Acumulando as frequências fa até a 13ª posição, identificamos que a nota mediana é igual a 8,0. Veja o esquema gráfico ao lado.

Sumário

55

12 10 8 6 4 2 0

Desempenho dos alunos (4 + 3 + 2 + 3 + 2)

11

13ª 4

4,0

3

5,0

3

2 6,0

7,0

Nota

2 8,0

9,0


3.3.3 Mediana de distribuição de frequência e histograma (com classes) Ache a posição mediana por meio da regra “ ⁄ ”. Depois, ache a classe mediana e use uma equação. Os dados já estão ordenados. 

Na distribuição de frequência com classes os dados já estão ordenados. Então identifica-se a posição mediana e a classe mediana para depois encontrar o valor mediano (aproximado) por meio de uma equação.

EXEMPLO. Um radar instalado na rodovia X registrou as velocidades (km/h) de 40 veículos, indicadas na distribuição de frequências com classes abaixo. Qual foi a velocidade mediana desses veículos? (i) 1 2 3 4 5 6

Velocidades (km/h)

70  80  90  100  110  120 

f 4 4 8 8 6 10 f=40

80 90 100 110 120 130

fa

Posição das velocidades

4 8 16 24 30 40

1ª a 4ª 5ª a 8ª 9ª a 16ª 20ª 17ª a 24ª 25ª a 30ª 31ª a 40ª

Para achar a posição mediana usa-se SEMPRE ⁄ para ímpar ou par. São 40 veículos, n=40 As classes já estão ordenadas (70  80; 80  90;...) e, quando se introduz a coluna fa (frequências acumuladas) estamos identificando as posições das velocidades. Por exemplo, as velocidades do intervalo 70  80 estão na 1ª, 2ª, 3ª e 4ª posição (1ª a 4ª), e assim por diante. A velocidade mediana está na 20ª posição (4ª classe) e será algum valor da classe mediana 100  110. A partir dessa classe usa-se a equação abaixo para encontrar a velocidade mediana: [ (

classe mediana A velocidade mediana está na 20ª posição e será algum valor da 4ª classe, isto é, da classe mediana 100  110.

Resolvendo a equação, temos:

]

) [ (

Linf = limite inferior da classe mediana n = quantidade de dados faant = frequência acum. da classe anterior h = amplitude do intervalo de classe f = frequência da classe mediana

]

)

Md = 100 + 5  105 km/h, aproximadamente.

Interpretação: a velocidade mediana é aproximadamente 105 km/h. Logo, metade (50%) dos veículos tiveram velocidades abaixo ou acima de 105 km/h.

Mediana de histograma (com classes)

(4+4+8+8)

Usa-se o mesmo raciocínio da tabela acima para identificar a posição mediana em um histograma com classes: são 40 veículos, logo P = 40/2 = 20ª. Acumule as frequências fa até que se chegue na 20ª posição, que está na classe 100  110. Essa é a classe mediana. Veja no histograma ao lado como se identifica os dados para inseri-los na equação.

[ (

]𝑥

)

= 20ª posição

12

10

frequência

10

faant = 16ª (4+4+8)

8

8

8

6

6 4

4

4

← h→ 10

2

km

f

0

Linf 70

80

90

100

110

Velocidade (Km/h)

3.3.4 Qual a lógica da equação da mediana com classes? Visualização exclusiva para alunos matriculados no curso online

Sumário

56

120

130

classe mediana



Sumário

57 57

Tente resolver esses exercícios. Depois, veja as resoluções nas págs. 60, 61 e 62



QUESTÃO 6 (ENEM – 2012 – caderno rosa – questão 171) O gráfico abaixo apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o Caged, no período de janeiro de 2010 a outubro de 2010. BRASIL – Comportamento do emprego formal - janeiro a outubro de 2010.

Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é a) 212 952. b) 229 913. c) 240 621. d) 255 496. e) 298 041.

QUESTÃO 7 (adaptado de Iezzi; Hazzan; Degenszajn, 2004). Os valores ordenados abaixo se referem ao número de solicitações mensais de reservas a um hotel. Sabendo que a mediana desses valores é 73 e que a média é 75, quais os valores de x e y? mês nº solicitações de reserva

jan 48

fev 52

mar 58

abr 63

mai 68

jun x

jul 76

ago 82

set y

out 96

nov 98

dez 102

QUESTÃO 8 Analise o histograma abaixo. Qual o número de salários mínimo mediano que as famílias de Resende (RJ) recebem, mensalmente? Renda mensal de famílias de Resende (RJ) número de famílias

50

40

36

32

30

24 19

20

12

10

5

0 2

4

6 8 10 12 número de salários mínimos

14

QUESTÃO 9 A tabela ao lado mostra o número de viagens realizadas em 2015 pelos gerentes de uma empresa.

Número de viagens em 2015 Número de gerentes

0 12

1 20

2 24

a. Qual é o número mediano de viagens realizadas pelos gerentes em 2015? b.Qual será a nova mediana se adicionarmos 18 gerentes de outra filial, cada um com exatamente 1 viagem?

QUESTÃO 10 (ENEM – 2013 – caderno amarelo – questão 150) Foi realizado um levantamento nos 200 hotéis de uma cidade, no qual foram anotados os valores, em reais, das diárias para um quarto padrão de casal e a quantidade de hotéis para cada valor da diária. Os valores das diárias foram: A = R$ 200; B = R$ 300; C = R$ 400 e D = R$ 600. No gráfico ao lado, as áreas representam as quantidades de hotéis pesquisados, em porcentagem, para cada valor da diária. O valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de casal nessa cidade, é a) 400

Sumário

b) 300

c) 350

d) 345

e) 375

58 58

3 16

4 8



Sumário

59 59



Sumário

60 60



QUESTÃO 6 (ENEM – 2012 – caderno rosa – questão 171) O gráfico abaixo apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o Caged, no período de janeiro de 2010 a outubro de 2010. BRASIL – Comportamento do emprego formal - janeiro a outubro de 2010.

Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é a) 212 952. b) 229 913. resposta c) 240 621. d) 255 496. e) 298 041.

Quantidade de dados n = 10, par  P1= n/2 e P2 = sucede P1 P1=10/2= 5ª posição e P2=6ª posição. Ordenando os valores: 181.419 | 181.796 | 204.804 | 209.425 | 212.952 | 246.875 | 266.415 | 298.041 |299.415 | 305.068. Fazendo a média de 212.952+246.875/2 = 229.913,5, letra b).

QUESTÃO 7 (adaptado de Iezzi; Hazzan; Degenszajn, 2004). Os valores ordenados abaixo se referem ao número de solicitações mensais de reservas a um hotel. Sabendo que a mediana desses valores é 73 e que a média é 75, quais os valores de x e y? Resp. x = 70 e y = 87 mês nº solicitações de reserva

jan 48

fev 52

mar 58

abr 63

mai 68

jun x

jul 76

ago 82

set y

out 96

nov 98

dez 102

Quantidade de dados n = 12, par  P1= n/2 e P2 = sucede P1 P1=12/2= 6ª posição e P2=7ª posição. Sabendo que a mediana é 73 e calculando a média de x e 76 (ou seja, os dois valores que estão no meio), temos: Md = x + 76 2 Sabendo que a média é 75, temos  ̅ = ∑x/n





73 = x + 76  x = 70 2

∑x = 48+52+58+63+68+70+76+82 + y + 96+98+102 = 813



75 = 813 + y  y = 87 12

QUESTÃO 8 Analise o histograma abaixo. Qual o número de salários mínimo mediano que as famílias de Resende (RJ) recebem, mensalmente? Resp = 5,75 Renda mensal de famílias de Resende (RJ) número de famílias

50

.

(36+32) = 64ª

40

36

30

faant = 36ª

20

A mediana está na 64ª posição. Acumulando as frequências fa até a 64ª, a 2ª classe 4  6 será a classe mediana . Logo:

32 f 24 19

12

←h→ 2

10 0 2

Linf

4

Histograma com classes.

f = 128 → use sempre 𝒏 𝟐 para ímpar ou par. Logo, 𝟏𝟐𝟖 𝟐 = 64ª

5

6 8 10 12 número de salários mínimos

128 − 36 𝑥 2 2 32 Md = 4 + 1,75 = 5,75 salários mínimo Md = 4 +

14

QUESTÃO 9 A tabela ao lado mostra o número de viagens realizadas em 2015 pelos gerentes de uma empresa.

Número de viagens em 2015 Número de gerentes

0 12

1 20

2 24

3 16

4 8

a. Qual é o número mediano de viagens realizadas pelos gerentes em 2015? Resp = 2 b. Qual será a nova mediana se adicionarmos 18 gerentes de outra filial, cada um com exatamente 1 viagem? Resp = 1 a) Trata-se de md de distribuição de frequência sem classe. Logo: f = 12+20+24+16+8 = 80 → par. Então: P1 = n/2 e P2 = sucede P1 P1= 80/2 = 40ª e P2 = 41ª. Acumulando as frequências até 40ª e 41ª, temos: 12+20+24  Md = 2 b) Neste caso, o número de gerentes com “1 “ viagem passa de f = 20 para f=20+18 = 38. Logo: f = 12+38+24+16+8 = 98 → par. Então: P1 = n/2 e P2 = sucede P1  P1 = 98/2 = 49ª e P2 = 50ª  Acumulando as frequências até 49ª e 50ª, temos: 12+38  Md = 1

QUESTÃO 10 (ENEM – 2013 – caderno amarelo – questão 150) Foi realizado um levantamento nos 200 hotéis de uma cidade, no qual foram anotados os valores, Total de hotéis é igual a 200. Logo: 200 x em reais, das diárias para um quarto padrão de casal e a quantidade de hotéis para cada valor da 200 x diária. Os valores das diárias foram: A = R$ 200; B = R$ 300; C = R$ 400 e D = R$ 600. No gráfico ao = 50 lado, as áreas representam as quantidades de hotéis pesquisados, em porcentagem, para cada = 80 valor da diária. O valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de casal nessa cidade, é 200 x a)

400

b) 300

c) 350

d) 345

e) 375

Obtenha a quantidade de hotéis por tipo (veja cálculo no gráfico). Depois, monte uma tabela e acumule as frequências. A mediana está na 100ª e 101ª posição (use a regra par, pois quant. hotel = 200), e será a média de R$300 e R$400. Logo mediana é R$ 350.

Sumário

61 61

Tipo de hotel A – R$200 B – R$ 300 C – R$ 400 D – R$ 600

f 50 50 80 20

fa 50 100 180 200

200 x = 50

= 20



Sumário

62 62


3.4 Moda É o valor que mais se repete em um conjunto de dados. 3.4.1 Moda simples Basta identificar o valor que mais se repete em um conjunto de dados (não é necessário cálculo). Exemplo: No conjunto No conjunto No conjunto No conjunto

{1, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 7} a moda = 5, pois é o número que mais se repete; {1, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 8} a moda = 5 e 6, pois são os números que mais se repetem. Esse conjunto é bimodal; {1, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7} a moda = 5, 6 e 7 pois são os números que mais se repetem. Esse conjunto é polimodal; {1, 3, 2, 5, 8, 7, 9, 0} não há moda pois nenhum número se repete. Esse conjunto é amodal.

3.4.2 Moda de distribuição de frequência e histograma (sem classes) Basta identificar o valor com maior frequência em um conjunto de dados (não é necessário cálculo): 

Para encontrar a moda em uma distribuição de frequência e histograma sem classes não é necessário nenhum tipo de cálculo. Basta identificar o dado que possui a maior frequência.

EXEMPLO. Um professor listou os resultados obtidos em uma prova com 25 alunos e elaborou a distribuição de frequência e um histograma sem classes abaixo. Qual foi a nota modal da turma? Desempenho dos alunos Frequência f Nota (nº de alunos)

5 3 2 3 2 10

frequência

4,0 5,0 60 7,0 8,0 moda = 9,0

Não é necessário cálculos. A nota modal = 9,0 pois é a nota que possui a maior frequência (apareceu 10 vezes, sendo a nota que mais se repete no conjunto de dados).

Desempenho dos alunos

12 10 8 6 4 2 0

10

maior frequência

5

3

maior frequência

4,0

3

2

5,0

6,0

2

7,0

8,0

9,0

Nota

3.4.3 Moda de distribuição de frequência e histograma (com classes) Identifique a classe com maior frequência (classe modal) e calcule a moda por meio da “Moda de Czuber”. 

Na distribuição de frequência com classes identifica-se a classe modal para depois encontrar o valor modal aproximado por meio da equação da Moda de Czuber, criada pelo matemático Emanuel Czuber.

EXEMPLO. Um radar instalado na rodovia X registrou as velocidades (km/h) de 40 veículos, indicadas na distribuição de frequências com classes abaixo. Qual foi a velocidade modal desses veículos? (i) Velocidades (km/h) 1 70  80 2 80  90 3 90  100 4 100  110 5 110  120 6 120  130 classe modal

maior frequência

f 4 4 8 8 6 10 0

A velocidade modal está na classe modal 120  130, pois é a classe com maior frequência. A partir dessa classe, basta usar a equação da moda de Czuber para encontrar a moda:

( Linf D1 D2 h

(10 - 6)

D1 D2

(10 - 0)

𝑥

)

)

Mo = 120 + (2,85)  122,85 km/h, aproximadamente.

Obs.: f = frequência

Obs.: Como não há classe posterior f = 0

D1

frequência

8

8 4

4

4

2

63

8 6

6

0

(10 – 0)

10

10

𝑘𝑚

D2

(10 – 6)

12

Moda de histograma (com classes)

Sumário

(

= limite inferior da classe modal = f classe modal – f classe anterior = f classe modal – f classe posterior = amplitude intervalo de classe

Usa-se o mesmo raciocínio da tabela acima para identificar a moda: a classe modal é a que possui maior frequência, logo é 120  130. A partir da classe modal use a equação da “moda de Czuber” para encontrar a velocidade modal. Veja no histograma ao lado como se identifica os dados para inseri-los na equação. (

Resolvendo a equação, temos:

)

Linf 70

80

←h→ 10

0

90 100 110 120 130 Velocidade (Km/h) classe modal


3.4.4 Qual a lógica da equação da moda com classes? Qual a razão de usarmos uma equação da “moda de Czuber” para encontrar a moda de distribuição de frequências com classes? Qual a razão de o resultado ser um valor aproximado? Resposta: Em uma distribuição de frequência com classes não sabemos os valores exatos que caem em determinada classe. Por exemplo, na 6ª classe (que é a classe modal) da tabela da Seção 3.4.3, sabe-se que 10 veículos passaram na rodovia em alguma velocidade (km/h) no intervalo 120  130, mas não sabemos as velocidades exatas. Desse modo, para tornar possível o cálculo, consideramos, na moda de Czuber, que os valores são influenciados pelas frequências das classes adjacentes (frequências inferior e posterior) à classe modal (aquela que possui maior frequência); e a determinação da moda de Czuber considera um princípio geométrico (gráfico) que embasa o seu processo matemático, como pode ser visto na figura abaixo: Partimos do histograma utilizando as colunas das classes modal e adjacentes (inferior e posterior)::

2. A partir do ponto de cruzamento das retas AA e BB, traçase uma outra reta para baixo, a qual determinará o ponto modal de Czuber, que nesse exemplo é igual a 122,85 Km/k. Notadamente, o valor exato 122,85 km/k foi obtido por meio da equação de Czuber (ver Seção 3.4.3), mas esse princípio geométrico nos dá uma noção do valor modal.

12 número de veículos

1. A partir dos pontos superiores das colunas AA e BB, traçase uma reta ligando esses pontos, conforme figura ao lado.

Registros de um radar B

10 8

8

Ponto de

10 A cruzamento das retas AA e BB

8 6 A

6 4

4

classe modal

4

2

B

0 70

80

90

100

110

Velocidade (Km/h)

120 130 122,85 km/h

A observação da figura do histograma mostra que as frequências das classes adjacentes (inferior e posterior) influenciam fortemente na determinação da moda de Czuber. Note que a classe posterior (130  xx) à classe modal não existe e, portanto, a sua frequência será igual a zero; já a classe anterior (120  130) à classe modal possui frequência igual a 6, “puxando” o valor da moda para próximo de 120. Se, por exemplo, a classe superior à classe modal possuísse uma frequência igual a 9, a moda de Czuber seria “puxada” para um valor próximo de 130. Outrossim, se as classes adjacentes (inferior e superior) à classe modal possuíssem frequências iguais a 6, a moda de Czuber seria exatamente 125 km/h (o ponto central de classe). Por fim, é importante destacar três pontos:  A moda de Czuber resulta-se de um valor aproximado a qual acredita-se ser o verdadeiro valor modal;  Se uma distribuição de frequência com classes for bimodal (isto é, quando há duas classes com maior frequência) devese calcular duas modas de Czuber.  Há outros tipos de moda para distribuição de frequências com classes não abordadas nesse livro: moda de King, moda de Pearson e moda bruta.

Agora, você vai resolver os exercícios propostos nas páginas 65, 66 e 67. Depois, você vai conferir (e somente conferir) os resultados na seção “Resolução dos exercícios propostos”, disponível nas páginas 68, 69 e 70. Quer ter um bom rendimento em seus estudos? Então lembre-se: tente resolver os exercícios e NÃO COPIE os resultados! Só se aprende tentando! Não desista! Esforça-te! Você é capaz!

Sumário

64


Exercícios propostos QUESTÃO 1 Determine o salário modal dos empregados da empresa X: $1300, $850, $1050, $45.000, $1200, $1000, $1300, $900.

QUESTÃO 2 O gráfico em linhas abaixo fornece os valores das ações da empresa XPN, no período das 10 às 17 horas, num dia em que elas oscilaram acentuadamente em curtos intervalos de tempo. O valor modal (em Reais) das ações no período das 10 às 17 horas foi a) R$ 100 b) R$ 150 c) R$ 200 d) R$ 380 e) R$ 460

Tempo (em horas)

QUESTÃO 3 Determine a idade modal dos alunos da universidade X: 52, 19, 45, 22, 50, 25, 52, 23, 19, 25.


Se o valor total das vendas de todas as regiões totalizaram R$ 50 milhões, o valor modal absoluto das vendas, em março de 2011, foi de:

Norte 18%

a) b) c) d) e)

Sul 30%

Oeste 30%


QUESTÃO 5 Determine a moda a partir das distribuições de frequência abaixo. a) Pesos de 26 peças. i 1 2 3 4 5

b) Pesos de 31 peças.

Pesos (Kg) 40  44 44  48 48  52 52  56 56  60

f 2 5 9 6 4 f=26

Pesos (Kg) f 40 3 45 5 47 10 50 8 53 5 f=31

QUESTÃO 6 O histograma abaixo apresenta os registros das velocidades dos veículos que transitaram na rodovia presidente Dutra, em um sábado, entre 21h e 23h15min. Qual a velocidade modal desses veículos? Registros de um radar na rodovia Dutra Número de veículos

8 6

5

4 2

3

3

2

2

0 70

Sumário

80 90 100 Velocidades (km/h)

110

65 65



Sumário

66 66



a) b)

Sumário

67 67



QUESTÃO 1 Determine o salário modal dos empregados da empresa X: $1300, $850, $1050, $45.000, $1200, $1000, $1300, $900. Moda = 1300, pois é o valor que mais se repete (repetiu duas vezes). Simples identificação. QUESTÃO 2 O gráfico em linhas abaixo fornece os valores das ações da empresa XPN, no período das 10 às 17 horas, num dia em que elas oscilaram acentuadamente em curtos intervalos de tempo. O valor modal (em Reais) das ações no período das 10 às 17 horas foi a) R$ 100 b) R$ 150 c) R$ 200, pois é o valor que mais se repetiu, às 12h e 17H. d) R$ 380 e) R$ 460

Tempo (em horas)

QUESTÃO 3 Determine a idade modal dos alunos da universidade X: 52, 19, 45, 22, 50, 25, 52, 23, 19, 25. Moda = 19 e 52 (bimodal), pois são os valores que mais se repetem (repetiram duas vezes). Simples identificação. QUESTÃO 4 O gráfico abaixo apresenta as vendas das filiais de uma empresa de calçados no mês de março de 2011. Leste 22%

Se o valor total das vendas de todas as regiões totalizaram R$ 50 milhões, o valor modal absoluto das vendas, em março de 2011, foi de:

Norte 18%

a) b) c) d) e)

Sul 30%

Oeste 30%

15 milhões (resposta) 18 milhões 50 milhões 60 milhões 150 milhões

A moda é 30%, pois repetiu duas vezes (regiões Oeste e Sul). Logo: R$ 50 milhões ----- 100% R$ x milhões ------ 30% 100x = 50 * 30 x = R$ 15 milhões – letra a)

QUESTÃO 5 Determine a moda a partir das distribuições de frequência abaixo. a) Pesos de 26 peças. Resp.: 50,28 kg i 1 2 3 4 5

Pesos (Kg) 40  44 44  48 48  52 52  56 56  60

f 2 5 9 6 4 f=26

b) Pesos de 31 peças. Resp.: 47 kg

Classe modal é a de maior frequência, logo é a 3ª classe (48  52). 𝐶𝑧𝑢𝑏𝑒𝑟

(

𝑖𝑛𝑓

(

𝐶𝑧𝑢𝑏𝑒𝑟

𝑥 ) 𝑥 )

h = 4, pois é a amplitude da classe modal

Pesos (Kg) f 40 3 45 5 47 10 50 8 53 5 f=31

Distribuição de frequência sem classes. Não é necessário cálculo. Basta identificar o peso de maior frequência, que é igual a 47 kg

= 48 + 2,28  50,28kg QUESTÃO 6 O histograma abaixo apresenta os registros das velocidades dos veículos que transitaram na rodovia presidente Dutra, em um sábado, entre 21h e 23h15min. Qual a velocidade modal desses veículos? Resp. = 90 km/h Registros de um radar na rodovia Dutra Número de veículos

8 6

4 2

Distribuição de frequência sem classes. Não é necessário cálculo. Basta identificar a velocidade de maior frequência. Então, Mo = 90 km/h (aparece 5 vezes).

5 3

3

2

2

0 70

Sumário


110

68 68



Sumário

69 69



f) g) i) j)

Sumário

70 70


3.5 Relação entre média, mediana e moda Para finalizar o livro, vamos discutir brevemente uma característica comum entre a média, a mediana e a moda. Pelo formato do histograma, sempre existirá uma relação empírica entre a média, mediana e a moda. Por meio dessa relação pode-se identificar os valores (aproximados) dessas medidas, sem necessidade de cálculos. Quando a Média, Mediana e Moda se coincidem, chamamos a distribuição dos dados de Simétrica ou Normal. média = mediana = moda Média, Mediana, Moda

Número de veículos

8

Registros de um radar na rodovia Dutra 7

6

4 4

4

3

3

2

Simétrica ou normal ou forma de sino Quando a distribuição tem a forma de sino (veja linha tracejada no gráfico), a quantidade de dados vai aumentando, atinge um pico, e depois diminui. Se dividíssemos esse gráfico em duas partes, a partir do centro, os dois lados seriam iguais. O cálculo abaixo confirma que numa distribuição normal a média, mediana e moda sempre se coincidem. Além disso, os valores dessas medidas sempre estarão no meio. Média = (70 x 3) + (80 x 4) + (90 x 7) + (100 x 4) + (110 x 3) = 90 Km/h 3+4+7+4+3 Mediana = 90 Km/h

0 70


110

Moda = 90 Km/h

Quando a Média, Mediana e Moda não se coincidem, chamamos a distribuição dos dados de assimétrica. média < mediana ≤ moda Mediana e Moda


10

Registros de um radar na rodovia Dutra 9 Média

8

Assimétrica à esquerda* Quando a distribuição tem a forma assimétrica à esquerda (veja linha tracejada no gráfico), a quantidade de dados vai aumentando aos poucos, atinge um pico e diminui repentinamente. Neste tipo de distribuição, a média sempre será menor que a mediana e a moda. Os valores dessas medidas serão aproximadamente conforme ilustra o gráfico ao lado. O cálculo abaixo confirma a afirmativa:

6

6

Média = (70 x 1) + (80 x 3) + (90 x 6) + (100 x 9) + (110 x 2) = 94 Km/h 1+3+6+9+2

3

4 2

2

1

Mediana = 100 Km/h

0

70


110

Moda = 100 Km/h *Assimétrica à esquerda indica que o gráfico é desigual (os dois lados não são iguais), tendo poucos dados no lado esquerdo.

média > mediana ≥ moda Mediana e Moda


10

Registros de um radar na rodovia Dutra 9 Média

8

6

6 4 2

Assimétrica à direita* Quando a distribuição tem a forma assimétrica à direita (veja linha tracejada no gráfico), a quantidade de dados tem um aumento repentino e depois vai diminuindo. Neste tipo de distribuição, a média sempre será maior que a mediana e a moda. Os valores dessas medidas serão aproximadamente conforme ilustra o gráfico ao lado. O cálculo abaixo confirma a afirmativa:

2

Média = (70 x 2) + (80 x 9) + (90 x 6) + (100 x 3) + (110 x 1) = 86Km/h 2+9+6+3+1

3 1

Mediana = 80 Km/h

0

70


110

Moda = 80 Km/h *Assimétrica à direita indica que o gráfico é desigual (os dois lados não são iguais), tendo poucos dados no lado direito.

Sumário

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Mensagem do autor

AGRADEÇO a oportunidade de apresentar um conteúdo que possa agregar algum valor para a sua vida. Como complemento a este livro, o curso online de Estatística I (para leigos): aprenda fácil e rápido! está disponível na plataforma Udemy (www.udemy.com), reconhecida como a maior plataforma de aprendizagem online do mundo. A previsão é julho/2017. Te encontro, também, no livro Estatística II (para leigos): aprenda fácil e rápido! Nele, daremos sequência ao estudo de estatística e veremos medidas de ordenamento ou separatrizes (decil, quartil e percentil); medidas de variação ou dispersão (amplitude total, variância, desvio padrão e coeficiente de variação); e medidas de forma (assimetria e curtose). Mas aguarde, pois esse livro ainda está em elaboração, com previsão de conclusão em setembro/2017. Ele será disponibilizado na livraria Saraiva. Dúvidas, envie email para [email protected] Um grande abraço! Prof. MSc. Uanderson Rébula

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Referências Bibliográficas ANDERSON, David R.; SWEENEY, Dennis J.; WILLIANS, Thomas A. Estatística aplicada à administração e economia. 2 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009. 597 p. BRUNI, Adriano Leal. Estatística para concursos. São Paulo: Atlas, 2008. 197 p. BUSSAB, Wilton de Oliveira; MORETTIN, Pedro Alberto. Estatística básica. 8 ed. São Paulo, Saraiva, 2013. 548 p. CARVALHO, Sérgio; CAMPOS, Weber. Estatística Básica Simplificada. Rio de Janeiro: Campus, 2008. 608 p. COSTA, Sérgio Francisco. Introdução ilustrada à estatística. 4 ed. São Paulo: Harbra, 2005. 399 p. COSTA NETO, Pedro Luiz. Estatística. 3 ed. São Paulo: Blucher, 2002. 266 p. CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. 19 ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 218 p. FARIAS, Alfredo Alves et al. Introdução à estatística. 2 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003, 320 p. FREUND, John E. Estatística aplicada: economia, administração e contabilidade. 11 ed. Porto Alegre: Bookman, 2006. 536 p. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Rui. Matemática fundamental: uma nova abordagem – volume único. São Paulo: FTD, 2002. 712 p. HELP! Sistema de consulta interativa. Matemática. Rio de Janeiro: O globo, 1997. 319 p. IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel; DEGENSZAJN, David. Fundamentos da matemática elementar: Matemática financeira, comercial e estatística descritiva. Volume 11. 1 ed. São Paulo: Atual editora, 2004. 230p. LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando o Excel. 4 ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2005. 476 p. LARSON, Ron; FARBER, Betsy. Estatística aplicada. 4 ed. São Paulo: Pearson, 2010. 637 p. LEVINE, David M. et al. Estatística: teoria e aplicações. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 752 p. LOPES, Paulo Afonso. Probabilidade e estatística: conceitos, modelos e aplicações em Excel. Ernesto Reichmann, 1999. 174 p. MANDIN, Daniel. Estatística descomplicada. 9 ed. Brasília: Vestcon, 2002. 227 p. MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 2 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 465 p. NEWBOLD, Paul. Statistics for business and economics. 8th ed. United States of America: Pearson, 2012. 792 p. RUMSEY, Deborah. Estatística para leigos. Rio de Janeiro: Alta books, 2009. 350 p. SILVA, Ermes Medeiros et al. Estatística: para os cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis - volume 1. 2 ed. São Paulo: Atlas, 1996. 189 p. SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática–ensino médio. 5 ed. São Paulo: Saraiva, 2005. 558 p. SPIEGEL, Murray R. Estatística: resumo da teoria, 875 problemas resolvidos, 619 problemas propostos. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977. 580 p. TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. 10 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 696 p. URBANO, João. Estatística: uma nova abordagem. Rio de Janeiro: Ciência moderna, 2010. 530 p. VASCONCELLOS, Maria José Couto; SCORDAMAGLIO, Maria Terezinha; CÂNDIDO, Suzana Laino. Coleção Matemática. 1ª e 3ª série do ensino médio. São Paulo: Editora do Brasil, 2004. 232 p. WERKEMA, Maria Cristina Catarino. As ferramentas da qualidade no gerenciamento dos processos. Belo Horizonte: EDG, 1995. 128 p. WHEELAN, Charles. Estatística: o que é? para que serve? Como funciona? Rio de Janeiro: Zahar, 2016.

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Uma mensagem do Prof. MSc Uanderson Rébula. CLIQUE NO VÍDEO

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Livro pdf - Estatística I (para leigos)-aprenda fácil e rápido! - Prof MSc Uanderson Rébula

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