Problemas de Correntes de Tráfego e de Filas de Espera
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Exercício 1: Um ciclista, praticando todos os dias, a diferentes horas, inclui no seu trajecto um percurso de 1Km ao longo de uma pista para bicicletas, paralela a uma via rodoviária, tal como se pode ver na figura abaixo Dado que anda a estudar engenharia de tráfego, tem por hábito contar o número de carros que encontra quando se dirige para Sul (Ms), o número de carros que o ultrapassam quando se dirige para Norte (Mo) e também o número de carros que ele ultrapassa quando se dirige para Norte (Mp). Na tabela seguinte são apresentadas as contagens médias que ele obteve para cada período do dia. Hora do dia
Ms
Mo
Mp
8.00 8.00 - 9.00 9.00
107
10
74
9.00 9.00 - 10.00 10.00
113
25
41
10.00 10.00 - 11.00 11.00
30
15
5
11.00 11.00 - 12.00 12.00
79
18
9
Considerando que o ciclista se desloca a 40 Km/h: a) Calcule as características do tráfego para cada período (k, V e q) b) Calibre o modelo V = a + b * K c) Estime a capacidade da via IST / Licenciaturas Licenciaturas Engª Civil & Engª Território Território – Mestrado Mestrado em Transportes Transportes – Gestão de Tráfego Tráfego Rodoviário Rodoviário
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Resolução Exercício 1 (Método do Observador Móvel e Modelo Greenshields) q=
M w + M a
T = T wobs −
T wobs + T aobs M w = M o − M p T wobs = T aobs =
M w q
M a = M s
1 km 40 km/h
= 0,025 h = 1,5 min
Utilizando estas fórmulas pode obter-se a seguinte tabela de resultados Hora 8-9 9-10 10-11 11-12
Ms=Ma 107 113 30 79
Mo
Mp 10 25 15 18
Mw 74 41 5 9
-64 -16 10 9
q (veic/h) 860 1940 800 1760
T (min) v (km/h) K (veic/km) 5,97 10,1 85,5 1,99 30,1 64,5 0,75 80,0 10 1,19 50,3 35
Relação entre Velocidade e Densidade 100 ) V ( e d a d i c o l e V
80
Como calibrar o modelo linear V-K?
60 40 20
Como estimar a capacidade da via?
0 0
20
40
60
80
100
Densidade (K)
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Resolução Exercício 1 (Método do Observador Móvel e Modelo Greenshields)
Por regressão linear entre K e V obtém-se V= a + b.K = 86,30 – 0,896 K
com R2=0,988
Por aplicação do Modelo de Greenshields Vf =a=86,30 km/h
K j=- (a/b) = 96,29 veic/km
Qm= (Vf .K j) / 4 = 2077 veic/h
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EXERCÍCIO 2: Admita que os condutores de uma determinada via seguem a regra de deixarem um espaçamento para o veículo da frente igual ao comprimento de um veículo por cada incremento na velocidade de 15 km/h. Considerando um comprimento médio dos veículos igual a 5 m, deduza as equações e trace os gráficos das relações V-K, Q-V e Q-K.
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Resolução Exercício 2:
dist = 5 + 5 * K =
1000
dist
=
Relação entre Densidade e Velocidade ) 250,0 h / m200,0 K ( 150,0 e d a 100,0 d i c o 50,0 l e V 0,0
Q = K .V =
V
5+
50
100
3
V
3 1000.V 5+
0
= 5+
15 1000
) a c i t á r P a l u A ª 2 ( a r e p s e e d s a l i f e o g e f á r t
V
V
=
3000.V 15 + V
3
150
Densidade (veic/km)
Relação entre Densidade e Fluxo
Relação entre Velocidade e Fluxo 3000,0
3000,0
) 2500,0 h / c 2000,0 i e v 1500,0 ( o x 1000,0 u l F 500,0
) 2500,0 h / c 2000,0 i e v 1500,0 ( o x 1000,0 u l F 500,0 0,0
0,0 0
50
100
Velocidade (km/h)
150
0,0
50,0
100,0
150,0
200,0
250,0
Densidade (veic/km)
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e d s e t n e r r o c s . b o r P
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EXERCÍCIO 3: O modelo de Greenshields aplicado a uma corrente de tráfego conduziu a: V = 60 – 0,420 K
Determine: a) A Capacidade. b) A Velocidade e Densidade críticas (na capacidade).
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Resolução Exercício 3: Modelo de Greenshields: V = 60 – 0,420 K V = a + b.K com Vf = a = 60 km/h K j = -(a/b)= 142,9 veic/km
Qm =
V f . K j
= 2143 veic / h
4 V m = V f / 2 = 30 km / h
K m = K j / 2 = 71,43 veic / km
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EXERCÍCIO 4 :Uma dada via foi observada durante 2 períodos distintos, numa extensão de 1 km. Durante o primeiro período registou-se que 4 veículos percorreram essa extensão em 52, 56, 63 e 69 segundos, numa altura em que se observou um fluxo de 1500 v/h. No 2º período foram registados os tempos que outros 4 veículos levaram a percorrer a mesma extensão: 70, 74, 77 e 79 seg., tendose registado um fluxo de 1920 v/h. Aplicando o modelo de Greenshields, determine a estimativa possível de Qm, Vf e K j
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Resolução Exercício 4: Velocidades Médias no Espaço, Fluxos e Densidades Extensão da via Amostra 1 t1 52 seg t2 56 t3 63 t4 69 Tmed 60 seg Vmed 60 km/h Fluxo Densidade
1500 veic/h 25 veic/km
2 pontos (K,V) K V 25 60 40 48 a b
100 -1,25
1 km Amostra 2 t1 t2 t3 t4
Fluxo
70 74 77 79 75 seg 48 km/h 1920 veic/h 40 veic/km
V f = a = 100 km / h
( b ) = 80 veic / km
K j = − a Qm =
V f . K j 4
= 2000 veic / h
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EXERCÍCIO 5: A relação V-K numa via foi estabelecida como sendo:
Determine Qm, Vm e Km.
138 V = 29,1 ⋅ ln K
Determine a Densidade em congestionamento, K j.
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138 V = 29,1 ⋅ ln K
Resolução Exercício 5:
Modelo de Greenberg - Manipulando a expressão geral pode-se obter uma expressão de forma idêntica à do enunciado V = a ⋅ ln( b . K ) V = − a . ln( 1 / bK ) V = − a . ln(
1
.
1
b K
)
Donde se retira
a= b=
-29,1 0,00725
No modelo de Greenberg Kj = 1/b = Km = Kj / e = Vm = -a = Qm = (Vm.Kj)/e =
138 50,8 29,1 1477
veic/km veic/km km/h veic/h
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EXERCÍCIO 6 : Sabendo que, numa determinada via, Kj = 100 v/km e que K = 25 veic/km quando V = 60 km/h, determine a capacidade da via em causa usando o modelo de Greenberg
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Resolução Exercício 6: Modelo de Greenberg Kj = Para K= V=
100
veic/km
25 60
veic/km km/h
V = a. ln( b. K ) K j = 1
b
K V = a. ln K j a=
V
ln K K j
V m = − a Qm =
a = -43,28 km/h Vm = 43,28 km/h Qm= 1592,2 veic/h
V m . K j e
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Exercício 7: A partir de observações realizadas num cruzamento regulado por sinais luminosos foram obtidos os seguintes valores: Espaçamento médio entre veículos presentes na fila de espera até à abertura do sinal verde = 7 m; Débito de chegadas = 500 v/h; Débito de saturação = 1700 v/h; Duração do tempo de vermelho = 30 seg. Determine o tempo contado desde o início do sinal verde até que a fila de espera desapareça completamente, aplicando o modelo deterministico de filas de espera.
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Resolução Exercício 7 K = q= r= s=
1000 7 + 5
= 83 , 33 veic / km
500 veic/h 30 seg 1700 veic/h
t dissip =
q.r s − q
= 12,5 seg
A informação sobre a densidade na fila de espera é irrelevante se não soubermos o comprimento da fila (ou quantos carros ficaram na fila no final do ciclo anterior). Neste caso admitiu-se que no início de cada vermelho a fila está vazia
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Exercício 8: Num ramo de entrada dum cruzamento com sinais luminosos observaram-se os seguintes valores: - Débito de chegadas: q = 650 v/h; - Débito de saturação: s = 1700 v/h; - Duração do ciclo: C = 90 seg.; - Proporção do tempo de verde útil: g/C = 0,4. Determine, por aplicação do modelo deterministico: - O atraso médio por veículo no ciclo. - O número médio de paragens por veículo.
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Resolução Exercício 8 q= s= C= g/C = s.(g/C) =
r = 1 −
t 0 =
650 1700 90 0,4 680
veic/h veic/h seg
débito / hora de verde
veic/h
débito / hora de relógio
* C − y C
g= y= r=
36 3 51
g
seg seg seg
No amarelo mais vermelho chegam No verde chegam mais Chegada total de veículos / ciclo No verde avançam
9,8 6,5 16,3 17
veic. veic. veic. veic.
s .r s − q
t0 =
82,6 seg
r .t 0
ta =
23,4 seg
t a =
2C
Usando o modelo determinístico, todos os veículos chegados num ciclo são dissipados na fase de verde. Porém, o rácio (serviço / chegadas) é pouco maior que 1,0, o que indicia que na situação real haverá algumas esperas face à irregularidade das chegadas IST / Licenciaturas Engª Civil & Engª Território – Mestrado em Transportes – Gestão de Tráfego Rodoviário
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Exercício 9: Considere uma auto-estrada com capacidade de 5500 v/h. Represente graficamente a fila de espera, determine a duração da mesma e a sua extensão máxima, após a ocorrência de um acidente, sabendo que: - O acidente baixou a capacidade para 2700 v/h; - a procura quando se deu o acidente era de 4500 v/h; - a policia chegou 25 min. após o acidente; - a policia parou totalmente a circulação durante 5 min.; - as 3 vias da auto-estrada foram abertas, mas nos primeiros 10 min. a situação ainda era perturbada, pelo que apenas se registava uma capacidade de 3500 v/h; - 45 min após o acidente a procura baixou para 2800 v/h.
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Resolução Exercício 9
Acidente Evento Normal 25 Momento de Tempo (min) 0 Capacidade (vph) 5500 2700 Ritmo Chegadas (vph) 4500 4500 Ritmo de Partidas (vph) 4500 2700 Taxa de Variação (vph) 0 1800 Acum Chegadas (veic) 0 1875 Acum Partidas (v eic) 0 1125 Stock (veic) 0 750
Chegada Polícia. Estrada fechada 30 0 4500 0 4500 2250 1125 1125
Estrada reabre, capacidade parcialmente Capacidade Quebra de reposta plena procura Normal Normal 40 45 60 70 71,844 3500 5500 5500 5500 5500 4500 4500 2800 2800 2800 3500 5500 5500 5500 5500 1000 -1000 -2700 -2700 -2700 3000 3375 4075 4542 4628 1708 2167 3542 4458 4627 1292 1208 533 83 0 Evolução do nº de veículos em fila de espera
1400
a l i 1200 f m1000 e s o 800 l u 600 c í e v 400 e d 200 º N 0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Tempo (min)
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