Universidade Federal de Pelotas Insti In stitut tuto o de F´ısica ısi ca e Matem´ Mat em´ atica ati ca Departam Depa rtamento ento de Matem´ Mate m´ atica atic a Disciplin Disci plina: a: C´ alculo alcul o II Professor Professores: es: Alexandr Alexandre e Molter Molter e Cicero Cicero Nachti Nachtigall gall Lista 8
1. Calcul Calculee o comprim comprimen ento to do segmento segmento da reta y = 3x do ponto (1, 3) ao ponto (2, 6) por po r trˆ t rˆes es m´etodos eto dos:: (a) use a f´ formula o´rmula da distˆ ancia entre dois pontos no plano; (b) use ancia a f´ormula ormula do comprimento de arco, com y = y (x); (c) use a f´ ormula ormula do comprimento de arco com x = x (y ). 2. Calcul Calculee o comprim comprimen ento to do segmen segmento to da reta 4x + 9y = 36 entre os seus interceptos x e y por trˆ es es m´ etodos: etodos: (a) use o teorema de Pit´ agor agoras as;; (b) (b) use use a f´ ormula ormula do comprimento de arco, com y = y (x); (c) use a f´ ormula do comprimento de arco com ormula x = x (y ).
√
3. Ache o comprimento do arco da curva 9y 2 = 4x3 da origem ao ponto (3, 2 3). 4. Encontre o comprimento do arco da curva 8y = x 4 + 2x−2 do ponto onde x = 1 ao ponto em que x = 2. 3
5. Encontre o comprimento do arco da curva y = 13 (x2 + 2) do ponto onde x = 0 ao ponto em que x = 3. 2
6. Encontre o comprimento do arco da curva y = ao ponto em que x = 4.
1 3
√ x(3x − 1) do ponto onde x = 1
2 3
2 3
7. Encontre o comprimento do arco da curva x + y = 1 no primeiro quadrante, do ponto onde x = 18 ao ponto em que x = 1.
√ x
8. Se f (x) =
cos tdt, ache o comprimento comprimento do arco da curva f do ponto onde x = 0
0
ao ponto onde x = π2 . (Sugest˜ ao: ao: use a identidade cos2 x2 = 12 (1+cos x) e o segundo teorema fundamental do c´ alculo.) alculo.) 9. Encontre a area a´rea da superf´ superf´ıcie gerada quando a curva curva dada gira em torno do eixo x .
√ 4 − x , 1 ≤ x ≤ 4. √ (d) y = 2 4 − x, 0 ≤ x ≤ .
(a) y = 7x, 0 (c) y = x 3 ,
≤ x ≤ 1. 0 ≤ x ≤ 1.
(b) y =
2
15 4
10. Encontre a area a´rea da superf´ superf´ıcie gerada quando a curva curva dada gira em torno do eixo y . (a) x = 9y + 1 , 0 (c) x =
y3
3
,
≤ y ≤ 2. 0 ≤ y ≤ 1.
(b) x = (d) x =
9 − y , −2 ≤ y ≤ 2. 2
ey
− e−
y
2
, 0
≤ y ≤ ln2.
11. Demonstre que a area a´rea da superf´ superf´ıcie de uma esfera de raio r ´e 4πr 2 , calculado a area ´area da superf´ superf´ıcie de revolu¸ c˜ cao a˜o gerada pela rota¸c˜ cao, ˜ao, em torno do eixo x, da curva y = r2 x2 , r x r .
√
− − ≤ ≤
1
12. Demonstre que a a´rea da superf´ıcie lateral de um cone circular reto de altura h e raio da base r ´e πr r2 + h2 , calculado a a´rea da superf´ıcie de revolu¸ca˜o gerada pela rx rota¸c˜ao, em torno do eixo x, da curva y = , 0 x h.
√
≤ ≤
h
13. Uma esfera de raio r est´a inscrita num cilindro circular reto de raio r. Dois planos perpendiculares ao eixo central do cilindro interceptam uma zona esf´ erica de area ´ A na superf´ıcie da esfera. Mostre que os mesmos dois planos cortam uma regi˜ ao do cilindro com a mesma a´rea da superf´ıcie A. Mostre tamb´ em que esta a´rea depende apenas da distˆ ancia entre os dois planos. Respostas:
1. 2.
√ 10. √ 97.
3.
14 . 3
4.
33 . 16
5. 12. 22 6. . 3 7.
9 . 8
8. 2.
√ √
9. (a) 35π 2. (c)
π
27
(10 10
(b) 8π.
√
35π 5 (d) . 3
− 1).
√ √ π ( 8 − 1) (c) .
10. (a) 40π 82.
(b) 24π . (d) π ( 15 + ln2). 16
9
11. 12. 13.
2
