LISTA DE EXERCÍCIOS: 1) A probabilidade de uma determinada empresa ganhar concorrências públicas é igual a 73%. Sabendo que a empresa pretende participar de oito concorrências, calcule a probabilidade de que: a) a empresa vença apenas uma concorrência; b) a empresa perca todas as concorrências; c) a empresa ganhe pelo menos duas concorrências. 2) Problemas no coração são devido a ocorrências naturais (87%) ou a fatores externos (13%). Fatores externos são relativos a substâncias induzidas ou a objetos alheios. Ocorrências naturais são causadas por bloqueio arterial, doença ou infecção. Suponha que 20 pacientes irão ao serviço de emergência de um hospital por causa de problemas no coração. a) Qual é a probabilidade binomial de três indivíduos terem problema no coração causado por fatores externos? b) Qual é a probabilidade binomial de pelo menos três indivíduos terem problema no coração não causado por fatores externos? 3) Cinquenta por cento dos norte-americanos acredita que o país se encontra em recessão. Em relação a uma amostra de 20 norte-americanos, calcule: a) A probabilidade de exatamente 12 pessoas acreditarem que o país se encontra em recessão. b) A probabilidade de não mais que cinco pessoas acreditarem que o país se encontra em recessão. c) Quantas pessoas diriam que o país se encontra em recessão? d) Calcule a variância e o desvio padrão do número de pessoas que acreditam que o país se encontra em recessão. 4) A área de controle de qualidade de uma fábrica de tapetes verifica a existência de duas manchas por metro quadrado produzido, em média. Qual é a probabilidade de aparecerem exatamente oito defeitos em 0,5 m2? 5) Os passageiros de uma empresa aérea chegam aleatória e independentemente ao balcão de controle de passageiros de um importante aeroporto internacional. A taxa média de chegada são 10 passageiros por minuto. a) Calcule a probabilidade de ninguém chegar no período de um minuto. b) Calcule a probabilidade de três ou menos passageiros chegarem no período de um minuto. c) Calcule a probabilidade de ninguém chegar no período de 15 segundos. d) Calcule a probabilidade de pelo menos um passageiro chegar no período de 15 segundos. 6) De 1990 a 1999 houve uma média de aproximadamente 26 acidentes aeronáuticos por ano que acarretaram a morte de um ou mais passageiros. A partir de 2000, a média decresceu por 15 acidentes por ano. Suponha que os acidentes aeronáuticos continuem a ocorrer à taxa de 15 acidentes por ano. a) Calcule a probabilidade de não ocorrer nenhum acidente durante um mês. b) Calcule a probabilidade de ocorrer exatamente um acidente durante um mês.
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c) Calcule a probabilidade de ocorrer mais de um acidente durante um mês. d) Calcule o número médio de acidentes aeronáuticos por mês. 7) Dos 30 empregados de uma empresa, 12 são membros de um sindicato. Cinco deles são escolhidos por sorteio para servir no comitê administrativo de um fundo de pensão. Encontre a probabilidade de três dos cinco escolhidos para o comitê serem membros do sindicato. 8) Uma remessa de dez itens contém duas unidades com defeito e oito unidades sem defeito. Na inspeção de embarque, uma amostra de unidades será selecionada e testada. Se uma unidade com defeito for encontrada, a remessa de dez unidades será rejeitada. a) Se uma amostra de três itens for selecionada, qual é a probabilidade do embarque ser rejeitado? b) Se uma amostra de quatro itens for selecionada, qual é a probabilidade do embarque ser rejeitado? c) Se uma amostra de cinco itens for selecionada, qual é a probabilidade do embarque ser rejeitado? 9) A Delta Airlines declara que seus tempos de vôo de Cincinnati a Tampa são de duas horas e cinco minutos. Suponha que acreditemos que os tempos de vôo reais estejam uniformemente distribuídos no intervalo de duas horas e duas horas e 20 minutos. a) Apresente o gráfico da função densidade de probabilidade correspondente aos tempos de vôo. b) Qual é a probabilidade do vôo ter não mais que cinco minutos de atraso? c) Qual é a probabilidade do vôo ter mais que dez minutos de atraso? d) Qual é a expectativa do tempo de vôo? 10) O rótulo de uma garrafa de detergente líquido indica que o conteúdo é de 12 ml por garrafa. A operação de produção preenche a garrafa uniformemente, de acordo com a seguinte função densidade de probabilidade: 8
para 11,975 ≤ x ≤ 12,100
f(x) = 0 para outro ponto qualquer
a) Qual é a probabilidade de uma garrafa ser preenchida com um volume entre 12 e 12,05 ml? b) Qual é a probabilidade de uma garrafa ser preenchida com 12,02 ml ou mais? 11) Suponha que estejamos interessados em apresentar uma oferta de compra de um lote de terra e sabemos que há outro concorrente interessado. O vendedor anunciou que a oferta mais alta, acima de R$ 10 mil, seria aceita. Suponha que a oferta x apresentada pelo concorrente seja uma variável aleatória que se distribui uniformemente entre R$ 10 mil e R$ 15 mil. a) Suponha que você faça uma oferta de R$ 12 mil. Qual é a probabilidade de seu lance ser aceito? b) Suponha que você faça uma oferta de R$ 14 mil. Qual é a probabilidade de seu lance ser aceito?
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12) Uma empresa realizou um estudo dos tempos de atendimento nos guichês de lanchonetes com serviços de drive-thru O tempo médio entre a colocação do pedido e o seu recebimento no McDonald´s foi de três minutos e 18 segundos. Filas de espera como estas freqüentemente seguem uma distribuição exponencial de probabilidade. a) Qual é a probabilidade do tempo de atendimento a um cliente ser inferior a 2 minutos? b) Qual é a probabilidade do tempo de atendimento a um cliente ser superior a 5 minutos? c) Qual é a probabilidade do tempo de atendimento a um cliente ser superior a 3 minutos e 18 segundos? 13) O tempo entre a chegada dos veículos a determinado cruzamento segue uma distribuição exponencial de probabilidade, com média de 12 segundos. a) Qual é a probabilidade do tempo de chegada entre os veículos ser de 12 segundos ou menos? b) Qual é a probabilidade do tempo de chegada entre os veículos ser de 6 segundos ou menos? c) Qual é a probabilidade de transcorrer 30 segundos ou mais entre a chegada de veículos? 14) A durabilidade (em horas) de um dispositivo eletrônico é uma variável aleatória com a seguinte função densidade exponencial de probabilidade: f ( x) =
1 50
e − x / 50
para x ≥ 0
a) Qual é a durabilidade média do dispositivo? b) Qual é a probabilidade do dispositivo falhar nas primeiras 25 horas de operação? c) Qual é a probabilidade do dispositivo operar 100 horas ou mais antes de falhar? 15) Uma fábrica de produtos químicos embala seus produtos com volumes normalmente distribuídos. Uma embalagem padrão costuma apresentar 1100 ml, em média, com desvio padrão igual a 75 ml. Qual a probabilidade de que uma embalagem escolhida ao acaso apresente um volume entre 917 e 1155 ml? 16) A velocidade de transferência de um arquivo do servidor da faculdade para um computador pessoal de um estudante, em uma noite em dia útil, é normalmente distribuída, com média de 60 kbites por segundo e um desvio padrão de 4 kbites por segundo. a) Qual é a probabilidade do arquivo ser transferido com uma velocidade de 70 kbites por segundo ou mais? b) Qual é a probabilidade do arquivo ser transferido com uma velocidade menor que 58 kbites por segundo? 17) A média de preço das ações de uma empresa é U$ 30 e o desvio padrão é U$ 8,20. Suponha que os preços das ações sejam normalmente distribuídos. a) Qual é a probabilidade da empresa ter um preço de, no mínimo, U$ 40 para suas ações?
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b) Qual é a probabilidade da empresa ter um preço não superior a U$ 20 para suas ações? 18) Em janeiro de 2003 o trabalhador norte-americano passou em média 77 horas conectado à internet enquanto se encontrava no trabalho. Suponha que os tempos sejam normalmente distribuídos e que o desvio padrão seja de 20 horas. a) Qual é a probabilidade de um trabalhador escolhido aleatoriamente passar menos de 50 horas conectado à internet? b) Qual a porcentagem de trabalhadores passaram mais de 100 horas conectados à Internet? 19) Um agricultor, ao plantar trigo, verificou que a sua produtividade por hectare era normalmente distribuída, com média igual a 7,8 toneladas por hectare e desvio padrão igual a 2,13 toneladas por hectare. Qual a probabilidade de um hectare escolhido ao acaso ter uma produtividade menor que 6 toneladas? Caso a produtividade média se eleve para 8,5 toneladas por hectare, qual seria a probabilidade anterior? 20) Uma empresa de pesquisa mercadológica estava procurando estimar o gasto médio de uma amostra de consumidores de determinada bebida alcoólica no fim de semana. Após analisar uma amostra aleatória de 100 clientes, encontrou uma média de $250,00 e desvio padrão de $32,00. Determine a estimativa da média populacional com um intervalo de confiança de 99%. 21) Uma pesquisa de pequenos negócios com websites revelou que a quantia média gasta em um site era de R$ 11500 por ano. Dada uma amostra de 60 negócios e u m desvio padrão populacional igual a R$ 4 mil, qual é a margem de erro? Use 95% de confiança. 22) Qual o tamanho da amostra para produzir um intervalo de confiança de 95% para a média populacional com uma margem de erro igual a 10? Suponha que o desvio padrão populacional seja 40. 23) Uma empresa de consultoria em recursos humanos realizou uma pesquisa de 1100 empregados de empresas de médio e grande portes para determinar qual seria o nível de insatisfação médio dos empregados com seus empregos. Ao todo 473 empregados indicaram que estavam fortemente insatisfeitos com suas experiências de trabalho atuais. a) Com 95% de confiança, qual é a margem de erro? b) Qual é o intervalo de confiança de 95% da proporção populacional de empregados que estão fortemente insatisfeitos com suas experiências de trabalho atuais? 24) Uma pesquisa do comércio varejista realizada pela American Express revelou que 16% dos consumidores norte-americanos usaram internet para comprar presentes nas festas de fim de ano. Se 1285 consumidores tiverem participado da pesquisa, qual é a margem de erro e qual é a estimação por intervalo de confiança da proporção populacional de consumidores que usam a internet para comprar presentes? Use 99% de confiança.
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25) Uma empresa de publicidade divulgou dados sobre o tempo de propaganda, em minutos, durante meia hora nos programas do horário nobre. Os dados representativos, em minutos, de uma amostra de 20 programas do horário nobre nas principais redes de TV às 20h30 são os seguintes: 6,0 7,0 6,0
6,6 6,5 6,2
5,8 6,2
7,0 6,0
6,3 6,5
6,2 7,2
7,2 7,3
5,7 7,6
6,4 6,8
Suponha uma população normal e forneça um intervalo de confiança de 90% referentes ao número médio de minutos de propaganda durante meia hora nos programas de TV no horário nobre. 26) Uma revista divulgou que a renda familiar anual média de seus leitores é igual a R$ 119155. Suponha que essa estimativa da renda familiar anual média se baseie em uma amostra de 80 famílias; com base em estudos passados, sabe-se que o desvio padrão populacional é R$30 mil. a) Determine uma estimação por intervalo de confiança de 90% para a média populacional. b) Determine uma estimação por intervalo de confiança de 95% para a média populacional. c) Determine uma estimação por intervalo de confiança de 99% para a média populacional.
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