Líneas Sin Pérdidas S i s temas temas de potenci a: A nális i s y dis di s eño. J. Duncan Glover and Mulukutla S. Sarma.
3rd ed. Mexico City: Cengage Learning, 2004. p223-232. Copyright: COPYRIGHT 2004 Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Full Text: Page 223
5.4 Líneas Sin Pérdidas En esta sección se revisan los conceptos siguientes para las líneas sin pérdidas: la impedancia característica, los parámetros ABCD, el circuito π equivalente, la longitud de onda, la carga de la impedancia característica, los perfiles de tensión y el límite de estabilidad en estado estacionario. Cuando se desprecian las pérdidas en la línea, se obtienen expresiones más sencillas para los parámetros de la línea y los conceptos antes dados se comprenden con mayor facilidad. Ya que, en general, las líneas de transmisión y de distribución Page 224 para la transferencia de potencia están diseñadas para tener pérdidas bajas, se pueden utilizar los conceptos desarrollados aquí para realizar cálculos manuales rápidos y razonablemente exactos que conduzcan a análisis prácticos y diseños iniciales. A continuación se pueden hacer cálculos más exactos con programas de computadora para profundizar en el análisis y el diseño. IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA Para una línea sin pérdidas, R = G = 0, y = jωL Ω/m (5.4.1) Z = = jωC S/m (5.4.2) Y = De las ecuaciaones (5.2.12) Y (5.2.16) (5.2.16)
Y
en donde
La impedancia característica , conocida también comúnmente como impedancia surge, para una línea sin pérdidas, es real pura; es decir, resistiva. La constante de propagación, γ = jβ, es imaginaria pura. PARÁMETROS ABCD Por las ecuaciones (5.2.30) a (5.2.32), los parámetros ABCD son
A(x) y D(x) son puramente reales; B(x) y C(x) son imaginarios puros.
Page 225 En la tabla 5.1 se muestra una comparación entre los parámetros ABCD para una línea de transmisión con y sin pérdidas. CIRCUITO π EQUIVALENTE
Para el circuito π equivalente, usando la ecuación (5.3.4), Z’ = jZc sen(πl) = jX’ Ω (5.4.10)
o,de la (5.3.5)y(5.3.6)
Tanto Z’ como Y’ son imaginarios puros. También, paraβ menor que π radianes, Z’ es inductiva pura y Y’ es capacitiva pura. Por lo tanto, el circuito π equivalente para una
línea sin pérdidas, que se muestra en la figura 5.8, tampoco tiene pérdidas. LONGITUD DE ONDA Una longitud de onda es la distancia requerida para cambiar la fase de la tensión o de la corriente en 2π radianes o 360°. Para una línea sin pérdidas, usando la (5.2.29),
FIGURA 5.8 Circuito π equivalente para una línea sin pérdidas( βl menor que π )
Page 226 v(x)= A( x )VR+B(x)IR e
Por las ecuaciones (5.4.13) y (5.4.14), V(x) e I(x) cambian de fase en 2π radianes cuando x = 2π/β. Denotando la longitud de onda por λ y usando la ecuación (2.4.5),
es decir,
En el capítulo 12 se demostrará que el término de la ecuación (5.4.16) es la velocidad de propagación de las ondas de tensión y de corriente a lo largo de una línea sin pérdidas. Para las líneas aéreas, ecuación (5.4.14) da
≈3 x 108m/s, y para f = 60 Hz la
Las longitudes típicas de las líneas de potencia sólo son una pequeña fracción de la
longitud de onda de 60 Hz que acaba de describirse. CARGA DE LA IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA La carga de la impedancia característica (surge impedance loading, SIL) es la potencia entregada por una línea sin pérdidas a una resistencia de carga igual a la impedancia característica, En la figura 5.9 se muestra una línea sin pérdidas terminada en una resistencia igual a su impedancia característica. Esta línea representa una línea monofásica o una fase a neutro de una línea trifásica balanceada. Por la ecuación (5.4.13), con la SIL,
FIGURA 5.9 Línea sin pérdidas terminada por su impedancia característica
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ǀV(x)ǀ = ǀVRǀ volts (5.4.18)
Por lo tanto, con la SIL, el perfil de la tensión es plano. Es decir, la magnitud de tensión en cualquier punto x a lo largo de una línea sin pérdidas, con la carga SIL, es constante.
También, a partir de la ecuación (5.4.14), con la carga SIL,
Usando las ecuaciones (5.4.17) y la (5.4.19), la potencia compleja que fluye en cualquier punto x a lo largo de la línea es
Por lo tanto, el flujo de potencia real a lo largo de una línea sin pérdidas con la carga SIL permanece constante, desde el extremo emisor hasta el receptor. El flujo de potencia reactiva es cero. A la tensión nominal de la línea, la potencia real entregada, o la carga SIL, es, por la ecuación (5.4.20),
en donde se usa la tensión nominal para una línea monofásica, y la tensión nominal línea a línea para la potencia real total entregada por una línea trifásica. En la tabla 5.2 se dan los valores de la impedancia característica y de la carga SIL para líneas trifásicas elevadas típicas de 60 Hz. PERFILES DE TENSIÓN En la práctica, la terminación de las líneas de potencia no es una carga igual a su impedancia característica. En lugar de ello, las cargas pueden variar desde una Page 228 TABLA 5.2 Valores de la impedancia característica y de la carga SIL para líneas
aéreas típicas de 60 Hz [1,2] Vnominal (kV) 69 138 230 345 500 765
Carga SIL = V2nominal/Zc (MW) 366-400 366-405 365-395 280-366 233-294 254-266
12-13 47-52 134-145 325-425 850-1075 2200-2300
TABLA 5.2 Valores de la impedancia característica y de la carga SIL para líneas
aéreas típicas de 60 Hz [1,2]
fracción pequeña de la carga SIL, durante condiciones de carga ligera, hasta múltiplos de la propia carga SIL, dependiendo de la longitud de la línea y la compensación de la misma, durante las condiciones de carga pesada. Si la línea no termina en su carga de
impedancia característica, entonces el perfil de la tensión no es plano. En la figura 5.10 se muestran perfiles de la tensión de líneas con una magnitud fija de tensión en el extremo emisor, Vs, para longitudes de línea, l , hasta de un cuarto de longitud de onda. En esta figura se muestran cuatro condiciones de carga: 1) en vacío, 2) carga SIL, 3) cortocircuito y 4) plena carga, las cuales se describen como sigue: 1. En vacío,IREV=0y la ecuación(5.4.13)da
V(RE)( x )=(cosβx)VREV (5.4.22) La tensión en vacío aumenta desde V s = (cosβ l)VREV, en el extremo emisor, hasta VREV, en el extremo receptor (en donde x = 0). 2. Por la ecuación (5.4.18), el perfil de tensión con la carga SIL es plano. 3. Para un cortocircuito en la carga, V RSC = 0, y la ecuación (5.4.13) da Vsc( x )=(Zcsenβ( x ))IRSC (5.4.23) La tensión disminuye desde V s = (sen βl)(ZcIRSC), en el extremo emisor, hasta VRSC = 0, en el receptor.
FIGURA 5.10 Perfiles de tensión de una línea sin pérdidas no compensada, con
tensión fija en el extremo emisor, para longitudes de la línea hasta de un cuarto de longitud de onda Page 229 4. El perfil de la tensión a plena carga, el cual depende de la especificación de la corriente a plena carga, se encuentra por encima del perfil de la tensión de cortocircuito.
En la figura 5.10 se resumen estos resultados, que muestran una tensión alta en el extremo receptor en vacío y una tensión baja en ese mismo extremo a plena carga. Este problema de regulación de la tensión se vuelve más grave a medida que aumenta la longitud de la línea. En la sección 5.6 se analizan los métodos de compensación en derivación con el fin de reducir las fluctuaciones en la tensión. LÍMITE DE ESTABILIDAD EN ESTADO ESTACIONARIO Se puede usar el circuito π de la figura 5.8 con el fin de obtener una ecuación para la potencia real entregada por una línea sin pérdidas. Suponga que las magnitudes de las tensiones, Vs y VR, en los extremos de la línea se mantienen constantes. También, denote por δ el ángulo de fase de la tensión en el extremo emisor medido con respecto al receptor. Por la LTV, la corriente en el extremo receptor, I R, es
y la potencia compleja SR entregada al extremo receptor es
La potencia real entregada es
Observe que, puesto que la linea es sm perdidas, P S = PR. En la figura 5.11 se tiene la gráfica de la ecuación (5.4.26). Para magnitudes fijas de las tensiones, Vs y VR, el ángulo de fase δ aumenta desde 0 hasta 90°, conforme aumenta la potencia real entregada. La potencia máxima que la línea puede entregar, que ocurre cuando ó = 90°, se expresa por
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FIGURA 5.11 Potencia real entregada por una línea sin pérdidas en función del ángulo
de la tensión a través de la línea
Pmax representa el límite teórico de estabilidad en estado estacionario de una línea sin pérdidas. Si se intentara sobrepasar este límite de estabilidad en estado estacionario, entonces las máquinas síncronas en el extremo emisor perderían el sincronismo con
las del extremo receptor. En el capítulo 13 se revisa a mayor profundidad el tema de la estabilidad. Resulta conveniente expresar el límite de estabilidad en estado estacionario en términos de la carga SIL. Usando la ecuación (5.4.10) en la (5.4.26),
Si se expresan Vs y VR por unidad de la tensión nominal de la línea,
Y para ó = 90°, el límite teórico de estabilidad en estado estacionario es
Las ecuaciones (5.4.27) a (5.4.30) muestran dos factores importantes que afectan el límite de estabilidad en estado estacionario. En primer lugar, por la (5.4.27), el límite crece con el cuadrado de la tensión en la línea. Por ejemplo, una duplicación de la tensión en la línea permite cuadruplicar el flujo de potencia máxima. En segundo, el
límite disminuye con la longitud de la línea. En la figura 5.12 se tiene la gráfica de la ecuación (5.4.30) para V S.p.u = VR.p.u = 1, À = 5000 km y longitudes de línea hasta de 1100 km. Como se muestra, el límite teórico de estabilidad Page 231
FIGURA 5.12 Curva de capacidad de carga de la línea de transmisión para líneas
aéreas de 60 Hz; ninguna compensación en serie o en derivación
en estado estacionario decrece desde 4(SIL), para una línea de 200 km, hasta alrededor de 2(SIL), para una línea de 400 km. EJEMPLO 5.4 Límite teórico de estabilidad en estado estacionario; línea larga
Despreciando las pérdidas en la línea, encuentre el límite teórico de estabilidad en estado estacionario para la línea de 300 km del ejemplo 5.2. Suponga una impedancia característica de 266.1 íí de impedancia característica, una longitud de onda de 5000 km y Vs = VR = 765 kV. SOLUCION Por la ecuación(5.4.21),
De la ecuatión(5.4.30),con l =300 km y λ=5000 km;
Pantalla para al ejemplo 5.4
De modo alternativo, a partir de la figura 5.12, para una línea de 300 km, el límite teórico de estabilidad en estado estacionario es de (2.72)SIL = (2.72)(2199) = 5980 MW, más o menos el mismo que en el resultado antes obtenido. Abra el caso del Ejemplo 5_4 del simulador PowerWorld para ver una versión animada de este ejemplo. Cuando la carga en una línea es igual a la carga SIL, el perfil de la tensión a través de la línea es plano y las pérdidas netas de potencia reactiva en la misma son cero. Para cargas arriba de la carga SIL, la línea consume potencia reactiva y la magnitud de la tensión en la carga está por debajo del valor en el extremo emisor. Por el contrario, para cargas por debajo de la carga SIL, la línea en realidad genera potencia reactiva y la magnitud de la tensión en la carga está por encima del valor en el extremo emisor. Utilice el botón de flecha de la carga con el fin de hacer variar ésta para ver los cambios en la tensión en el extremo receptor y el consumo de potencia reactiva de la línea. Page 232
Source Citation (MLA 8th Edition)
Glover, J. Duncan, and Mulukutla S. Sarma. "Líneas Sin Pérdidas." Sistemas de potencia: Análisis y diseño , 3rd ed., Cengage Learning, 2004, pp. 223-232. Gale Virtual Reference Library , go.galegroup.com/ps/i.do?p=GVRL&sw=w&u=univcv&v=2.1&id=GALE%7CCX405 9000054&it=r&asid=356b2d3420ed654484ebdf476d158163. Accessed 6 Oct. 2017. Gale Document Number: GALE|CX4059000054
