Libro de Matemática Maya,

Matemática Maya Guía docente

Autor: Daniel Caciá

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Ubicación temática En la cultura maya hay concepciones matemáticas que tienen una interpretación particular. Un ejemplo de ello es la manera como se organiza mentalmente cantidades desde una lógica vigesimal. No es lo mismo entender veintitrés como dos de diez y tres de uno (lógica decimal) que como uno de veinte v einte y tres de uno (lógica vigesimal). vigesimal). A lo anterior se agregaría las maneras como se comprenden operaciones como la suma y la multiplicación; multiplicación; conocimientos de geometría, geometría, medidas y números racionales. La guía docente que se presenta abordará con mayor fuerza todo lo relacionado con el sistema de numeración vigesimal y sus operaciones aritméticas. aritméticas. Se incluyen algunos elementos de otras áreas áreas pero pero sin la profundización necesaria por considerar que deben ser fruto de una investigación investigación más m ás completa, profunda y claramente claramente sistematizada. En todo caso, en cuanto a la matemática maya, la idea básica de esta guía es generar inquietud respecto a lo siguiente: 







La importancia de comprender la lógica matemática que manejan las personas mayas. Valorar la consistencia, en cuanto a interpretación de conceptos, desde una visión integral. Generar interés por realizar una investigación seria y profunda respecto a otras áreas de matemática de las que aún se tienen pocos indicios (geometría, racionales, medidas). Promover reflexiones respecto a lo que implica trabajar matemáticas matemáticas desde una lógica diferente a la que se practica en una cultura determinada.

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Estructura de la guía La guía está estructurada de manera que se desarrollan ocho unidades. Cada unidad contiene los siguientes siguientes elementos metodológicos:     

Conocimientos previos Teoría relacionada con el contenido a desarrollar Construcción del conocimiento Ejercitación Sugerencia de investigación

Conocimientos previos: Se espera que la o el facilitador utilice las

sugerencias para diagnosticar lo que las o los participantes conocen del contenido de la unidad. En ocasiones se incluyen preguntas y en otras ejercicios. Las acciones que se sugiere dar son: 1. Presentación de la actividad (ejercicios, tareas, preguntas). En esta parte se debe explicar el propósito propósito de la misma m isma (diagnóstico). (diagnóstico). 2. Realización de la actividad. Esta parte se puede hacer en forma individual, grupal o en plenaria. 3. Revisión y análisis de actividad. 4. Toma de decisiones respecto a lo que se enfatizará durante la unidad (en base al diagnóstico). Como un apoyo extra, se incluye las respuestas a preguntas que se presentan. Teoría relacionada con el contenido del tema : Explicación del tema y

ejemplificación (cuando es necesario). Esto lo puede utilizar la facilitadora o el facilitador para comprender o afianzar lo que sabe del tema. t ema. Con las y los participantes podría mediarlo seleccionando lo que considere importante (no se trata de realizar una exposición de todo lo que en esta parte se menciona). menciona). La facilitadora o el facilitador debe tomar la decisión de la manera como trabajará la teoría durante los presenciales o talleres. Lo que se quiere decir es que se deberá organizar de manera que se hable un poco de esa teoría y, después, se realicen actividades prácticas (que se sugieren en esta guía). Está claro que debe recurrir a otros libros o textos para ampliar su conocimiento sobre el tema. Aquí se incluyen síntesis.

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Construcción del conocimiento :

Sugerencia de actividades prácticas que la facilitadora o el facilitador puede usar para mediar el aprendizaje de los contenidos que se desarrollan. Es importante asegurar que todos y todas tengan los materiales requeridos y que la o el facilitador los tenga hechos de un tamaño que facilite su apreciación al ser colocados en el pizarrón o en otro recurso. Se deberá realizar las actividades de acuerdo a la parte teórica que se esté tratando. Obviamente todo deberá responder a una planificación. No está de más indicar que la o el facilitador durante y al final de las actividades deberá asegurar que el aprendizaje se logre. Ejercitación: Como su nombre lo indica, se incluyen ejercicios para afianzar

el aprendizaje adquirido. Esta parte debe ser revisada de manera que se generen conversaciones que lleven a comprender el porqué una respuesta es correcta o no. En el caso de los ejercicios, también se incluyen respuestas para facilitar un poco más el trabajo de la facilitadora o del facilitador. En algunas unidades se fusiona la sección de construcción del conocimiento con la ejercitación. Sugerencia de investigación: Sugerencia de actividades que las o los

participantes pueden realizar para ampliar conocimientos sobre el tema trabajado. Este trabajo debe ser socializado con el grupo al inicio del siguiente presencial o taller. Es de aclarar que este segmento se utilizará sólo en unidades en que se considere pertinente.

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Unidad 1 Sistemas de numeración Conocimientos previos

1. De manera breve, describa lo que es un sistema de numeración. Respuesta: Maneras de representar cantidades o números mediante  símbolos y de acuerdo con reglas específicas.

2. Utilice tres sistemas de numeración diferentes para representar la idea de doce. Respuesta: Las respuestas son variadas. A manera de ejemplo: 12 (sistema decimal)

(sistema vigesimal)

 XII (sistema romano)

3. Explicar las ventajas de un sistema de numeración posicional sobre un no posicional. Respuesta: La que se asemeje a lo siguiente: Generalmente hacen uso de pocos símbolos y se rigen por una lógica fácil de comprender. Su practicidad hace fácil la realización de operaciones matemáticas.

Teoría relacionada con el contenido del tema :  Sistemas de numeración

Desde millones de años atrás, el ser humano se ha visto en la necesidad de contar y escribir símbolos para representar cantidades. Ese hecho ha llevado a crear diferentes sistemas de numeración. Por ejemplo, un primer sistema de numeración fue el de las marcas en forma de diagonal: ///////////////

Para indicar que había quince animales.

Con el tiempo, a alguna persona o grupo de personas se le ocurrió agrupar para que el sistema de numeración fuera más fácil de comprender. Surge entonces, un sistema de numeración más avanzado: ////

////

/ / / / Para la misma idea de quince animales.

Esos registros de cantidades se consideran los primeros sistemas de numeración. Poco a poco aparecen diferentes sistemas de numeración que se atribuyen a diferentes grupos o culturas. Por ejemplo:

5

Sistema de numeración

Forma de representar la idea de quince

Egipcio antiguo

Romano Vigesimal o maya (vigesimal)

Donde representa un valor de diez unidades y representa una unidad. XV

Indoarábigo (decimal)

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Observe que todas las escrituras representan la misma cantidad. La diferencia está en la forma de escribirlas (son sistemas de numeración diferentes). Entonces, un sistema de numeración es una manera de escribir cantidades. Se define como un conjunto de signos, símbolos (guarismos) que se combinan e interpretan de acuerdo con determinadas reglas. Algunos de esos sistemas se basan en determinadas agrupaciones a las que se les llama base. Por ejemplo, el sistema decimal utiliza los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Su base es 10, lo cual implica que se agrupa de diez en diez. El sistema vigesimal utiliza los símbolos , 20, o sea que se agrupa de veinte en veinte.

y

.

Su base es el

Entre menos símbolos utilice un sistema de numeración, es más efectivo y fácil de aplicar. ¿Sabe cuál es uno de esos sistemas?

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 Sistemas de numeración no posicionales

Los sistemas de numeración no posicionales se caracterizan por lo siguiente: 1) El valor de los símbolos que se utilizan se mantiene sin importar la posición en que se encuentren. Pueden escribirse en cualquier orden. 2) Hay un símbolo para cada cantidad o para representar un grupo. El sistema de numeración de marcas que se menciona al inicio de este tema, es un sistema no posicional. Otro ejemplo de estos sistemas es el romano. “La versión que se utiliza en estos días es una mezcla de no posicional con posicional para algunas cantidades, pero aún sin utilizar una base.” (Morales: 3, 1994). Los símbolos del sistema romano son I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500) y M (1000). La combinación de esos símbolos permite escribir otros números. Esa combinación puede ser en forma aditiva o sustractiva. Por ejemplo: XI IX

se interpreta como 10 + 1 (se aplica una adición o suma) se interpreta como 10 –  1 (se aplica una sustracción o resta).

 Sistemas de numeración posicionales

Hay varios sistemas de numeración posicionales. “El sistema de numeración más antiguo conocido en la historia es el sexagesimal (de base 60) o sistema babilónico (cerca de 1800 AC). Vestigios de la influencia babilónica son, aparentemente: la división de la hora en 60 minutos y el minuto en 60 segundos, también la división de la circunferencia en 360 grados (Sisdki, pág. 15). (Morales: 5, 1994). Un sistema de numeración posicional implica agrupamientos de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,…, 20, 21, 30,… 60 y todos lo que se nos ocurran. Al agrupamiento que se haga se le da el nombre de base. Por ejemplo, en el sistema vigesimal o maya se agrupa de 20 en 20; entonces su base es 20. En el sistema binario se agrupa de 2 en 2, su base es 2. En el decimal, la base es 10. En un sistema de numeración posicional se ordenan posiciones o niveles que tienen determinado valor (valor posicional). Un símbolo que se utilice representa determinado valor de acuerdo a la posición en que se encuentre (valor relativo). Por ejemplo, un punto en el sistema vigesimal

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tiene diferente valor en la primera posición si se compara con el que tiene en la segunda posición. Observe:

20

Este uno representa veinte.

valor posicional

1 Este uno representa uno.

La interpretación de la cantidad se obtiene con el siguiente procedimiento: (1 x 20) + (1 x 1) = 20 + 1 = 21 Algo similar ocurre en el sistema de numeración decimal. 100 centena

2

10 decena

1

10

valor posicional

unidad

2

La interpretación se puede comprender así: (2 x 100) + (1 x 10) + (2 x 1) = 200 + 10 + 2 = 212 Otro sistema de numeración posicional es el binario. En ese sistema los valores de posición son diferentes. 4

2

1

1

0

1

Fuera de la tabla, la cantidad se escribiría así: 1012 Que se lee: uno cero uno en base dos

8

valor posicional

¿Cómo se interpreta? Observe: (1x 4) + (0 x 2) + (1 x 1) = 4 + 0 + 1 = 5 O sea que 1012 es una manera de escribir la idea de cinco. Algunas ventajas de conocer diferentes sistemas de numeración posicionales son: Permite comprender la lógica de la estructura de cualquier sistema de numeración posicional. Facilita la valoración de la creación de un sistema de numeración (como el vigesimal), Facilita la traducción de una cantidad de un sistema de numeración a otro. Terminemos esta parte reflexionando en lo siguiente: La creación de un sistema de numeración posicional requiere mucho tiempo y puede considerarse como una de las grandes invenciones de una cultura. Es de tal importancia que gran parte del avance científico de esa cultura puede atribuirse al hecho de poseer un sistema de numeración lógico y fácil de aprender. 





Construcción del conocimiento :

La realización del juego “La Tienda” puede facilitar la comprensión de la estructura de un sistema de numeración posicional. Los materiales que se necesitan son: Por cada grupo de tres participantes:  Un dado  Un crayón de color rojo, amarillo, azul y verde  50 cuadrados de 1 x 1 cm de color verde. La misma cantidad y medida de color rojo, amarillo y azul. 



Individualmente: Una hoja en blanco. Esta hoja, cada participante deberá dividirla y pintarla de la siguiente manera: 2 cm

A esta hoja se le llamará “Tablero”.

9

Para el juego se organizarán grupos de tres participantes. Cada grupo recibirá un dado y los 50 cuadrados de 1 x 1 cm de color verde, rojo, amarillo y azul ( a esto se le llamará “tienda”). Además, cada participante del grupo deberá tener su propio “tablero”. La organización de lo anterior se hará después de ejemplificar el juego. Las reglas del juego son: 

Establecer un cambio. Para iniciar se trabajará con el siguiente: Tres por uno





Por turnos, cada participante hace rodar el dado. Según lo que marque el dado, tendrá derecho a tomar cuadrados de color rojo de los que hay en la “tienda”. Esos cuadrados los colocará en el espacio de su tablero donde está el color rojo. Por ejemplo:

Según la cantidad de cuadrados rojos que obtenga, la jugadora o el  jugador hará cambios. Como el cambio establecido es tres por uno, cambiará tres cuadrados rojos por un verde. Veamos: cambio





Se da turno a otra compañera o compañero. Ella o él también rodará el dado, pedirá cuadrados rojos y hará cambios si es posible (recordar que son tres por uno; entonces, si obtiene uno o dos no puede hacer cambio y deberá esperar al siguiente turno). Después de una ronda, vuelve a rodar el dado quien tiró de primero. De acuerdo con lo que indique el dado, volverá a tomar cuadrados rojos de la “tienda”. Cambia si tiene suficientes como para hacerlo. Por ejemplo:

10

Así estaba el “tablero” la última vez.

Al rodar el dado la segunda vez:

Quedaría así (al agregar cinco cuadrados rojos que indica el dado).

Al hacer el cambio de tres rojos por un verde, queda Así:

Como ya hay tres verdes, los cambia por un cuadrado amarillo. Entonces el “tablero” queda así:









El juego se continúa. Cada jugador o jugadora toma cuadrados rojos de acuerdo con lo que indica el dado. Cambia por verdes si tiene tres rojos. Si tiene tres verdes cambiar por un cuadrado amarillo. En el momento que alguien tenga tres cuadrados amarillos, cambia por un azul y se termina el juego. Hay un ganador o ganadora del  juego. Cada grupo debe interpretar cuántos puntos logró cada participante tomando en cuenta que un cuadrado rojo significa un punto. En plenaria se conversa lo anterior para acordar la forma de interpretarlo. Lo que se debe comprender es:

11



Cada lugar adquiere un valor. Los rojos representa un valor de uno. Los verdes representan tres unidades o puntos porque fueron cambiados por tres rojos. Los amarillos representan nueve unidades o puntos porque fueron cambiados por tres verdes (recordar que cada verde representa tres unidades o puntos). El azul representa veintisiete unidades o puntos porque fue cambiado por tres amarillos (cada amarillo representa nueve unidades o puntos). En resumen: 27

9

3

1

Entonces, veamos la interpretación de dos jugadores o  jugadoras imaginarias: Jugador(a) A 27

9

3

1

(1x 27) + (2 x 9) + (0 x 3) + (2 x 1) = 27 + 18 + 0 + 2 = 47 La persona obtuvo 47 unidades o puntos.

Jugador(a) B 27

9

3

1

(2 x 9) + ( 2 x 3) + (1 x 1) = 18

+ 6

+

1

= 25

La persona obtuvo 25 unidades o puntos.

Después de realizar el juego, la facilitadora o el facilitador aprovechará la experiencia para que, colectivamente, se comprenda la lógica de la estructura del sistema de numeración de base tres (que corresponde al cambio jugado). Entonces, se puntualizará lo siguiente:

12





Lo que hay en cada tablero se interpreta como un sistema de numeración de base tres. El primer valor de posición (visto de derecha a izquierda) es uno (una unidad). El segundo valor de posición es tres veces el valor de la primera posición. Así, sucesivamente, el valor de cada posición va aumentado tres veces el valor de la posición inmediata inferior (esto ocurre porque los agrupamientos son de tres en tres o sea que es un sistema de numeración de base tres).  x 3

27



x3

9

x3

3

1

valor de posición

La escritura de lo representado se puede hacer acudiendo a los dígitos 0, 1 y 2 (preguntar por qué no se usa del 3 en adelante  –  la respuesta es que la base es tres y los “cambios” se deben hacer cada vez que se tenga tres unidades en cualquiera de las posiciones-). Por ejemplo:

27

2

9

1

3

1

1

0

Se escribe e interpreta así: 2 1 1 03 = (2 x 27) + (1 x 9) + (1 x 3) + (0 x 1) = 54 + 9 + 3 + 0 = 66 Se lee: Dos uno uno cero base tres. La facilitadora o el facilitador propondrá otras representaciones en el “tablero” (recordar que no se debe exceder de dos en cada lugar) y las o los participantes, aparte de representar las cantidades con su material, la escribirán e interpretarán. Se pasará a lo siguiente hasta que esto se haya comprendido bien.

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Luego del análisis anterior, se puede guiar la escritura de cantidades en base tres (desde uno hasta veinte). Esto se puede hacer sólo en forma abstracta o bien se puede combinar la formación de las cantidades usando el “tablero” para luego pasarlo a su representación abstracta. 13 = 1 123 = 5 1003 = 9 1113 = 13 1223 =17

23 = 2 203 = 6 1013 = 10 1123 = 14 2003 = 18

103 = 3 213 = 7 1023 = 11 1203 = 15 2013 = 19

113 = 4 223 = 8 1103 = 12 1213 = 16 2023 = 20

La idea es que lo anterior sea realizado por las y los participantes (no se trata de realizar una simple copia). Incluso se puede trabajar en grupo para que construyan las cantidades hasta seis, por ejemplo, para luego discutirlo con la plenaria. Así continuar hasta llegar a veinte o a donde se quiera hacer. A continuación se propondrán ejercicios para traducir a base diez las cantidades dadas en base tres (En este caso, desafiar para que lo hagan cuando las posiciones aumentan). Instrucción: Pasar a base diez las cantidades representadas.

1) 1213 =

2) 10013 =

3) 22223 =

4) 20003 =

5) 20023 =

6) 22003 =

7) 102023 =

8) 200203 =

9) 1000003 =

10) 1102003 =

11) 2000003 =

12) 12200213 =

NOTA: Las respuestas para los ejercicios son: 1)16; 2) 28; 3) 80; 4)54; 5)56; 6) 72; 7)101; 8) 168; 9) 243; 10) 342; 11) 486; 12) 1,384. De manera similar a lo descrito para la base tres, realizar juego con cambio de dos por uno para trabajar el sistema binario (llegar hasta la parte de la realización de ejercicios). Posteriormente cambiar a cuatro por uno; diez por uno y, de último, veinte por uno. Respecto al cambio diez por uno y veinte por uno, indicar que el juego termina cuando alguien alcance la tercera posición. Además, en esos cambios es mejor usar tres dados o triplicar el valor indicado por el dado. En el caso del cambio veinte por uno, que ya es el sistema vigesimal, dejarlo sólo en la parte del juego ya que se trabajará despacio en el próximo presencial.

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Ejercitación:

Proponer los siguientes ejercicios. Instrucción: Pasar a sistema decimal las cantidades representadas.

Observar que son diferentes sistemas de numeración. 1)10013 =

2) 2034 =

3) 10320 4 =

4) 335 =

5)12045 =

6) 426 =

7)

1056 =

8) 35006 =

9) 207 =

10) 3607 =

11)

100008 =

12) 589 =

Respuestas: 1) 28; 2) 35; 3) 312; 4) 18; 5) 179; 6) 26; 7) 41; 8) 828; 9) 14; 10)

189; 11) 4,096; 12) 53 Sugerencia de investigación :

Cada participante investigará acerca del uso del sistema binario en las computadoras. La información a investigar es: 1) ¿Por qué se utiliza el sistema binario en las computadoras? 2) ¿Quién o quiénes utilizaron por primera vez el sistema binario aplicado a las computadoras?

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Unidad 2 Sistema de numeración vigesimal o maya Conocimientos previos

1. Escriba los símbolos que se utilizan para representar cantidades en el sistema vigesimal o maya. Respuesta:

,

y

2. ¿Qué motivó el uso del sistema vigesimal en la cultura maya. Respuesta: Las respuestas son variadas. La más aceptada es: Se parte del hecho de que una persona tiene veinte dedos en su cuerpo (diez dedos en las manos y diez en los pies).

3. ¿Qué cantidad está representada en cada uno de los siguientes símbolos de la numeración maya? 1) 2) 3)

Respuestas: 1) cuarenta; 2) cuatrocientos cinco;3) ocho mil doscientos ochenta y tres.

4. Utilice el sistema de numeración maya para escribir las cantidades siguientes: 1) Noventa y dos

2) quinientos

3) doce mil

2)

3)

Respuestas:

1)

Teoría relacionada con el contenido del tema :

Sistemas de numeración vigesimal o maya

El sistema de numeración vigesimal es una de las grandes creaciones de la cultura maya. Es un sistema posicional que hace uso únicamente de tres símbolos: el punto, la barra y el cero. Esos símbolos se combinan atendiendo las siguientes normas:

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1) El punto se utiliza para representar cantidades de uno a cuatro. 2) En sustitución de cinco puntos, se utiliza una barra (para indicar cinco unidades). 3) La combinación de barras y puntos permite construir símbolos para las cantidades de uno a diecinueve. Los símbolos para cantidades de cero a diecinueve se asocian con partes del cuerpo humano. Observe:

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18

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Representación ideográfica de los números mayas entre cero y diecinueve.

Los números mayas de cero a diecinueve tienen una representación ideográfica que es interesante conocer. Es representación aparece en códices o monumentos mayas que registran datos numéricos de interés. Observe:

¿Por qué la agrupación en veinte?

“El número 20, es muy importante, como lo es el 5 y el 4. El 5  porque forma una unidad, la mano; aún hoy en las ventas populares se compran verduras o frutas por MANO. El 4 es importante porque 4 unidades de 5

20

forman una persona (jun winaq). Se ejemplificará esto con las siguientes citas: “Suelen, de costumbre, sembrar para cada casado con su mujer medida de 400 pies lo cual llaman hum unic, medida con vara de 20 pies, 20 en ancho y 20 en largo ” (Landa, pág. 111); (Morales: 9, 1994).

“En EL LIBRO DE LOS LIBROS DE CHILAM BALAM, traducido por Alfredo Barrera Vásquez y Silvia Rendón, encontramos, aunque traducidas al español, la forma de nombrar algunos números: “ cuatro veintenas más un año .” (pág. 36) “un año faltando para 5 veintenas ” (pág. 37) (Morales: 11, 1994). Al respecto es importante mencionar que, actualmente, en los idiomas mayas las cantidades se nombran de manera que dan idea de agrupaciones de veinte. Por ejemplo, en idioma cakchiquel para hacer referencia a treinta y cuatro unidades se dice “juk´al kajlajuj” que literalmente se traduce como “uno de veinte y catorce”. Otro ejemplo es “kak´al kajlaluj” que se traduce como “dos de veinte y catorce” o bien “cuarenta y catorce”. Aunque últimamente hay algunas variaciones, se mantiene la tendencia a la agrupación en veinte unidades. Al dato anterior puede agregarse que la elaboración de tejidos se hace en hiladas que van en agrupaciones de veinte. “Jun ulan o jun ximaj”, por ejemplo, se refiere a veinte vueltas de hilo. La escritura del veinte.

Tomando en cuenta que en el sistema vigesimal la base es veinte, al llegar a esa cantidad se hace uso de una segunda posición o nivel. Este ordenamiento por posiciones o niveles se hace de abajo hacia arriba. Al respecto, “Guillermo Sedat, en el libro CÓMPUTO AZTECA, dice: al hacer una pregunta a un anciano de cómo era que se empezaba a contar, si de arriba hacia abajo, o de abajo hacia arriba, me contestó sin dilación: ‘Pues como crecen las plantas’ ” (pág. 33) (Morales: 12, 1994).

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La formación del veinte es mejor ilustrarlo dentro una tabla de dos posiciones:

Tenemos quince más cinco unidades (o sea veinte).

Se sustituye o cambian cinco unidades por una barra.

Las cuatro barras (que representan veinte unidades) se sustituyen o cambian por un punto que se coloca en segunda posición o nivel.

Se escribe el punto en la segunda posición y se completa escribiendo un cero maya en la primera.

Entonces, el veinte se escribe así: Que se interpreta como un grupo de veinte y cero unidades.

En los idiomas mayas esto tiene un significado ya que implica la formación de “jun winaq” (una persona). El cero se interpreta como complemento (no como vacío). Matemáticamente, la idea es que se interprete como indicador de que arriba de él hay un símbolo que representa mayor valor (el cero está “completando” el cambio). Numeración maya utilizando segunda posición.

Previamente recuerde que la escritura de números en el sistema de numeración maya se basa en agrupaciones de veinte. Para facilitar la comprensión de la escritura podemos recurrir a una tabla de dos posiciones que indique los valores de cada lugar. Observe:

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20 Valor de posición

1

Como se observa en la tabla anterior, la primera posición (de abajo hacia arriba) tiene un valor de uno y la segunda un valor de veinte. Realmente, un número maya se escribe fuera de la tabla de posición. La persona que lo interpreta sabe que cada número está en una posición diferente. Por ejemplo:

En el caso del número maya anterior, la barra está en la posición que vale uno y el punto en la posición que vale veinte. No debe confundirse con la representación de seis (en tal caso, la barra estará más “pegada” al punto). El número maya que está escrito representa uno de veinte y cinco o sea veinticinco. En resumen: El número maya dentro de una tabla de posiciones.

El mismo número fuera de la tabla de posiciones

20

1

Que se interpreta como: Un grupo de veinte y cinco (veinticinco). ¿Cómo escribiría “juk´al kajlajuj” aplicando el sistema de numeraci ón maya?

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La expresión numérica anterior está dada en cakchiquel y se traduce a castellano como “uno de veinte y catorce”. Como se observa, la propia expresión facilita la interpretación de la escritura. Observe: Escribe juk´al (uno de veinte) en la segunda posición.

Luego kajlajuj (catorce) en la primera posición.

20

20

1

1

Entonces, “juk´al kajlajuj” (uno de veinte y catorce o sea treinta y cuatro) se escribe así:

Para interpretar esa cantidad en el sistema de numeración decimal hace lo siguiente: 1 grupo de 20 1 x 20 = 20 14 unidades

14 x 1 = 14 + 34

Analice otro ejemplo. ¿Qué pasa si nos piden escribir “kak´al kajlaluj” (dos de veinte y catorce o cincuenta y cuatro) en el sistema de numeración maya? Observe: Escribe kak´al (dos de veinte) en la segunda posición.

Después kajlaluj (catorce) en la primera posición.

20

20

1

1

24

Entonces, “kak´al kajlaluj” (dos de ve inte y catorce o cincuenta y cuatro) se escribe así:

Para interpretar esa cantidad en el sistema de numeración decimal realiza las siguientes operaciones: 2 grupos de 20 2 x 20 = 40 14 unidades

14 x 1 = 14 + 54

Pues bien, de manera similar se escriben otras cantidades. Analice otros ejemplos: Ejemplo 1: Cinco de veinte y ocho (ciento ocho). Escribe cinco de veinte en primera posición.

Después ocho en la segunda posición.

20

20

1

1

Fuera de la tabla de posición, el número se escribe así:

Interpretado en sistema de numeración decimal: 5 grupos de 20 8 unidades

25

5 x 20 = 100 8x1 =

8 + 108

la

Ejemplo 2: Dieciocho de veinte y diecinueve (trescientos setenta y nueve). Dieciocho de veinte en la segunda posición.

Diecinueve en la primera posición.

20

20

1

1

Fuera de la tabla de posición:

Pasado a sistema decimal:

18 grupos de 20

19 unidades

26

18 x 20 = 360

19 x 1 =

19 + 379

Numeración maya hasta tercera posición.

Veamos lo que ocurre cuando es necesario pasar a una tercera posición. Supongamos que escribimos “veinte grupos de veinte” 20 de 20

20 x 20

(400) 20

20 x 1 1 Los veinte de la segunda posición se cambian por un punto en la tercera posición. Al hacer el cambio, en la segunda posición se escribe un cero maya.

valor de osición

El punto de la tercera posición representa veinte de veinte (que es el valor de la tercera posición). Veinte de veinte equivale a cuatrocientos.

Entonces, la tercera posición tiene un valor de veinte de veinte o cuatrocientos. Cualquier número maya que se escriba en esa posición deberá multiplicarse por cuatrocientos para saber el valor que representa. Analice los siguientes ejemplos: 1) ¿Cómo escribir la siguiente cantidad: dos de veinte de veinte seis de veinte y doce (dos de cuatrocientos seis de veinte y doce o sea novecientos treinta y dos). Escribe dos de cuatrocientos en la tercera posición.

Después seis de veinte en la segunda posición.

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De último doce en la primera posición.

Fuera de la tabla de posición, el número se escribe así:

Al interpretarlo o pasarlo a sistema decimal, tenemos: 2 x 20 x 20 = 2 x 400 = 800 6 x 20 = 12 x 1 =

120 12 + 932

2) ¿Cómo escribir: cinco de veinte de veinte y quince de veinte (cinco de cuatrocientos y quince de veinte o sea dos mil trescientos)? Escribe cinco de cuatrocientos en la tercera posición.

Luego quince de veinte en la segunda posición.

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Al final cero en la primera posición.

Fuera de la tabla de posición, el número se escribe así:

Para pasar a sistema decimal se hace lo siguiente: 5 x 20 x 20 = 5 x 400 = 2,000 15 x 20 = 0x 1 =

300 0+ 2,300

Numeración maya hasta cuarta y quinta posición.

Con lo trabajado hasta el momento está listo o lista para comprender la escritura de números más grandes. Todo está en recordar que cada posición adquiere un valor que es veinte veces el valor de la posición anterior. Observe:  Valor de posición

20 x 8,000

20 de 20 de 20 de 20 (20 x 8,000 = 160,000) 20 de 20 de 20 (20 x 400= 8,000)

20 x 400 20 de 20 (20 x 20 = 400)

20 x 20 20

20 x 1 1

29

¿Qué cantidad está representada a continuación?

Tenemos: uno de ciento sesenta mil uno de ocho mil cero de cuatrocientos cinco de veinte y siete. Veamos el número en la tabla de posición:  Valor de posición

Pasado a sistema decimal:

160,000

1 x 160,000 = 160,000

8,000

1 x 8,000 =

8,000

400

0 x 400 =

0

20

5 x

20 =

100

1

7 x

1=

7 + 168,107

Como observa, el procedimiento consiste en multiplicar el número maya de cada posición por el valor de esa posición. Después sumar cada resultado.

30

Analice otro ejemplo:

Veamos el número en la tabla de posición: Pasado a sistema decimal:

 Valor de posición

160,000

5 x 160,000 = 800,000

8,000

6 x 8,000 =

48,000

400

5 x 400 =

2,000

20

17 x

20 =

340

1

5 x

1=

5 + 850,345

31

Construcción del conocimiento :

Para que lo expuesto anteriormente sea comprendido, se sugiere realizar las siguientes actividades (que deben planificarse de acuerdo al tiempo del presencial o taller). Previamente es importante asegurar que las o los participantes elaboren el siguiente material (pueden hacerlo de cartón para reciclar)    

Cinco ceros mayas (5 cm de largo y 1 cm de ancho) Quince barras (5 cm de largo y 1 cm de ancho) Quince puntos (0.5 cm de diámetro) Un pedazo de cartón o cartulina tamaño carta. Este dividirlo en partes iguales, de la siguiente manera: 5 cm

21.5 cm (aprox.)

7 cm

Este último material lo llamaremos “Tablero de posiciones”. Actividad 1 Oriente de manera que se utilice el material para realizar lo siguiente (la experiencia debe ser práctica). Una vez utilizado el material, que lo pasen a una forma abstracta. 1) Representar el uno de la numeración maya con los puntos. Después el dos, el tres y el cuatro. 2) Colocar cinco puntos. Cambiarlos por una barra. cambiar por

NOTA: La idea es comprender por qué la barra representa un valor de cinco. Al respecto, hay una confusión que manifiestan quienes quieren basarse en reglas memorizadas. Aducen que no se pueden tener cinco puntos porque la regla dice que sólo se puede llegar a cuatro. Esto no se debe tomar literalmente. Debe recordarse que en las operaciones aritméticas se deben realizar cambios de barras por puntos (entonces, se

32

hace necesario mostrar más de cuatro puntos). 3) Representar el seis, siete, ocho y nueve con los materiales (en tal caso se manejarán barras y puntos). 4) Colocar una barra y cinco puntos arriba de ella. Realizar el cambio que se hace necesario. Preguntar por la cantidad formada.

cambiar por 

5) Representar el once, doce, trece y catorce. 6) Colocar dos barras y cinco puntos arriba de ellas. Hacer el cambio que aplica en este caso. ¿Qué cantidad está representada? 7) Continuar hasta llegar a diecinueve. 8) Representar la idea de cero. 9) Ya sin utilizar los materiales, escribir los números mayas de cero a diecinueve utilizando el cero maya, los puntos y las barras. Cuando sea posible y tomando en cuenta el que las o los participantes dominen un idioma maya, motivar para que a la par se escriba en ese idioma. Por ejemplo:

majun (en idioma k´iche´)

 jun (en idioma k´iche)

Y así sucesivamente.

33

Actividad 2 Oriente la realización de lo siguiente: 1) Utilizar el tablero de posiciones y los materiales (puntos, barras, cero maya) para representar los números uno a diecinueve utilizando la primera posición (visto de abajo hacia arriba). Por ejemplo:

2) Al llegar a diecinueve, agregar un punto en la primera posición.

3) Cambiar los cinco puntos por una barra (dejando todo en la primera posición). Después, cambiar las cuatro barras por un punto que se pasa a la segunda posición. En la primera posición colocar un cero maya. Preguntar cuál es la cantidad representada (veinte).

34

4) Al llegar a esta experiencia, acordar el valor de la primera y segunda posición (vista de abajo hacia arriba).

20 1

Actividad 3 Forme grupos de dos o tres participantes. A cada grupo entregue unos 300 objetos pequeños (piedras, semillas, pedazos de papel u otros). Indique que realicen lo siguiente: Cada grupo contará el número de objetos que se le dará en un listado. Una vez contado, los organizará en grupos de veinte. Representará cada cantidad con sus materiales (tablero de posiciones, puntos, barras y cero maya) de manera que muestre cómo se representaría en el sistema de numeración maya o vigesimal. Escribirán la cantidad en su cuaderno (utilizando símbolos del sistema de numeración maya o vigesimal). 

 



Por ejemplo: Nos piden contar 32 objetos

Al formar grupos de veinte tenemos:

35

Se forma un grupo de veinte y sobran doce unidades. Al escribir con numeración maya tenemos: En el tablero de posición

Fuera del tablero

20

1

Como observa, se ha escrito el número maya que representa 32 objetos o unidades. Oriente para que trabajen con las siguientes cantidades: 1) 38 objetos 4) 100 objetos 7) 240 objetos

2) 45 objetos 5) 108 objetos 8) 293 objetos

3) 83 objetos 6) 156 objetos 9) 300 objetos

Actividad 4 A. Oriente para que se experimente lo que se describe a continuación. La idea es comprender el valor que adquiere la tercera posición en el sistema de numeración maya o vigesimal. Con materiales, representar el trescientos noventa y nueve (en el sistema de numeración vigesimal o maya). Agregar un punto al diecinueve que está en la primera posición. Preguntar por el cambio que debe hacerse (como se forma veinte en la primera posición, se cambia por un punto que va a la segunda. En la primera se coloca un cero maya). Observar la segunda posición (si el cambio se hizo bien, se observará tres barras y cinco puntos). Dar tiempo para que hagan los cambios necesarios (primero se cambian cinco puntos por una barra). Después, como aparecerán cuatro barras, se forma un grupo de veinte de veinte. Entonces se cambia por un punto que pasa a la tercera posición y se coloca un cero maya en la segunda posición). Preguntar por el valor que se le darán a la tercera posición (como fue cambiado por veinte de veinte se le puede identificar como 20 x 20 o bien 400). 





36

B. Oriente para que realicen lo siguiente: Con los materiales representar cada una de las cantidades que se indican a continuación. Escribir la cantidad en una hoja de papel dentro de una tabla de posición y fuera de esa tabla. Escribir cómo se lee esa cantidad en su idioma materno maya o en un idioma maya que conozca (si aplica en el grupo de participantes; de lo contrario trabajarlo en castellano). Interpretar la cantidad pasándola a sistema de numeración decimal. Las cantidades son: A. Cuatro de cuatrocientos y ocho de veinte y cinco B. Cinco de cuatrocientos y dieciséis de veinte y nueve C. Diez de cuatrocientos y cinco de veinte D. Diecisiete de cuatrocientos y seis E. Diecinueve de cuatrocientos 









Proponer más ejercicios si se considera necesario. Trabajar con dos o tres posiciones. C. De manera similar a lo descrito anteriormente, trabajar con la cuarta y quinta posición. En el caso de la quinta posición, hacerlo ya sólo en forma abstracta. Ejercitación:

Proponer los siguientes ejercicios . Instrucciones:  Interpretar cada una de las siguientes cantidades. Para su

interpretación descríbalo como agrupaciones de veinte y en sistema de numeración decimal. 1)

2)

3)

37

4)

7)

5)

6)

8)

9)

Respuestas:

1) Ocho de cuatrocientos y catorce. En sistema decimal: 3,214 2) Uno de cuatrocientos, dos de veinte y quince. En sistema decimal: 455 3) Quince de de cuatrocientos y seis. En sistema decimal: 6,006 4) Uno de ocho mil, seis de cuatrocientos y nueve. En sistema decimal: 10,409 5) Dos de ocho mil, tres de cuatrocientos, cuatro de veinte y diez. En sistema decimal: 17,290 6) Seis de ocho mil, diecinueve de veinte. En sistema decimal: 48,380 7) Cinco de ciento sesenta mil, cinco de cuatrocientos y nueve. En sistema decimal: 802,009 8) Ocho de ciento sesenta mil, diez de ocho mil, cuatro de cuatrocientos, quince de veinte y dieciocho. En sistema decimal: 1,361,918 9) Diez de ciento sesenta mil, uno de cuatrocientos, ocho de veinte y y diecinueve. En sistema decimal: 1,600,579

38

Sugerencia de investigación :

Investigar la manera como se dicen cantidades en idiomas mayas. Según el idioma que se domine, explicar la manera como se dicen cantidades hasta donde la persona conozca.

39

Unidad 3 Escritura de cantidades y suma en el sistema de numeración maya o vigesimal Conocimientos previos

1. Utilizar el sistema de numeración maya o vigesimal para escribir las siguientes cantidades. a. 45

b. 500

c. 8,156

Respuestas: a.

b.

c.

2. Realizar las siguientes sumas. a.

b. más

más

Respuestas: a.

b.

40

Teoría relacionada con el contenido del tema (primera parte) : Escritura de cantidades utilizando el sistema de numeración maya o vigesimal

Observe el procedimiento para escribir 12,345 en sistema de numeración maya o vigesimal. 1) Dividir 12,345 entre el valor de posición del sistema de numeración maya que es el máximo que cabe en esa cantidad. Este sería 8,000. 1

8,000

12345 - 8000 4345

2) El residuo de la división anterior, dividirlo entre el siguiente valor de posición (inmediata inferior). 10

400

4345 -400 345

3) Volver a dividir el residuo de la última división entre el siguiente valor de posición (inmediata inferior). 17

20

345 -20 145 -140 5

4) Escribir los cocientes de todas las divisiones realizadas y el último residuo en una tabla de posición del sistema de numeración maya o vigesimal o fuera de la tabla (tomando en cuenta el orden de las posiciones). Esos cocientes se escriben con números mayas y en el lugar correspondiente.

41

En la tabla de posición

Fuera de la tabla

8,000

Primer cociente

Segundo cociente

400

20

Tercer cociente

1

Último residuo

Construcción del conocimiento

Actividad 1 Oriente para que utilicen sus materiales (tablero , punto, cero y barra de la numeración maya) de manera que se comprenda la escritura de 12,345 con el sistema de numeración maya o vigesimal. Ver que cada participante haga lo siguiente: 



Como la cantidad es 12,345 … pensar cuál es el valor de posición del sistema de numeración vigesimal o maya que es el máximo que cabe en esa cantidad. Como el máximo valor de posición que cabe en 12,345 es 8,000; calcular cuántos grupos de 8,000 se forman de 12,345. Como en 12,345 sólo se forma 1 grupo de 8,000, utilizar los materiales para representar ese grupo con números mayas y en la posición que vale 8,000. Entonces deberá quedar algo como lo siguiente:

42

8,000

400

20

1







Calcular cuánto sobra de los 12,345 tomando en cuenta que ya formamos un grupo de 8,000. O sea, operar 12,345 menos 8,000. Como sobra 4,345, calcular cuántas veces cabe esa cantidad en el siguiente valor de posición (400). O sea dividir mentalmente 4,345 entre 400. Como de 4,345 se forman 10 grupos de 400 representar esa cantidad con números mayas y en la posición cuyo valor es 400. 8,000

400

20

1





Calcular cuánto sobra de 4,345 si ya formamos 10 grupos de 400 (o sea 4,000). En otras palabras, operar 4,345 menos 4000. Todavía queda 345. Entonces calcular cuántas veces cabe esa cantidad entre el siguiente valor de posición (20). O sea, dividir 345 entre 20.

43



Como el resultado es 17, escribir esa cantidad en la posición cuyo valor es 20. 8,000

400

20

1



Calcular lo que sobra de 345 si ya formamos 17 grupos de 20 (340). En otras palabras operar 345 menos 340. Lo que queda, representarlo en la posición cuyo valor es 1. 8,000

400

20

1

44



Comprobar realizando los siguientes cálculos. 8,000

1 x 8,000 = 8,000 400

10 x 400 = 4,000 20

17 x 20 =

340

1

5x1

=

5 + 12,345

Orientar para que utilicen su material para representar 15,000 y 90,123.

Ejercitación:

Proponer los siguientes ejercicios. Instrucciones: Escribir las siguientes cantidades utilizando el sistema de

numeración maya o vigesimal. 1) 56

2) 134

3) 490

5) 1,815

6) 2,500

7) 10,000

9) 160,319

4) 600

10) 1,000,000

45

8) 32,501

Respuestas:

1)

2)

5)

6)

9)

10)

3)

7)

4)

8)

Teoría relacionada con el contenido del tema (segunda parte) :  Suma en el sistema de numeración maya o vigesimal

Respecto a las operaciones en el sistema de numeración maya o vigesimal, el Dr. Leonel Morales dice: “La adición y probablemente las otras operaciones de la aritmética, se trabajan sobre una tabla o en el suelo, en ella se colocan puntos y barras (frijoles y palitos). Leon Portilla (pág. 2) propone que en el CÓDIGO DE DRESDE (44-b) se encuentra la representación de una multiplicación. También Calderón (1966) describe

46

en forma muy didáctica, las cuatro operaciones de la aritmética…” (Morales:16, 1994). Hay varias interpretaciones que se le han dado al procedimiento para realizar la adición o suma y la sustracción o resta en el sistema de numeración maya o vigesimal. En este apartado se presenta una manera que pretende ser previa a un procedimiento más general y mecanizado. Previo a iniciar es importante aclarar que se recurrirá a los signos convencionales para indicar una adición o suma (+) y sustracción o resta(-) dado que no hay un acuerdo respecto a los símbolos que se utilizaron cuando se creó el sistema de numeración maya o vigesimal. En todo caso, si la lectora o el lector quiere utilizar determinada simbología, sencillamente cambie la presentada. Lo importante no es el símbolo como tal sino comprender el procedimiento para realizar cada operación. Adición o suma sin agrupar (sin llevar o sin transformar) (1)

Lea el siguiente problema y trate de resolverlo antes de continuar la lectura.

Candelaria tiene

aguacates. Su hermana tiene

aguacates.

Si deciden reunirlos, ¿cuántos aguacates tendrán en total? ¿Ya pensó la operación que resuelve el problema?... Bien, ¿coincide en que es una adición o suma? Entonces, la operación es: +

47

El procedimiento para realizar la suma se resume así: 1) Escribir cada cantidad en un cuadriculado (en su respectiva columna)

2) Juntar o trasladar los puntos y barras a la primera columna (según posición en que están)

Para comprobar pasando a sistema decimal se hace lo siguiente:

45

+ 41

=

86

Ahora observe otro ejemplo:

+

+

48

1) Escribir cada cantidad en un cuadriculado (en su respectiva columna)

2) Juntar o trasladar los puntos y barras a la primera columna (según posición en que están)

Comprobando en sistema decimal:

527

+

501

+

25

=

1,053

Adición o suma sin agrupar (sin llevar o sin transformar)(2)

Lea y trate de resolver el siguiente problema. Continúe la lectura hasta después de buscar la solución.

En una bolsa hay

pelotas azules y

¿Cuántas pelotas hay en total?

49

pelotas blancas.

La operación que resuelve el problema es: +

Observe el procedimiento para realizarla: 1) Escribir cada cantidad 2) Juntar o trasladar en un cuadriculado los puntos y barras a la (en su respectiva primera columna. columna).

3) En la segunda posición, cambiar cinco puntos por una barra.

NOTA: El segundo y tercer paso pueden unirse (al observar que hay seis puntos en la segunda posición, de una vez cambiar cinco por una barra; entonces queda una barra y un punto). Pasando a sistema decimal:

85 +

41

=

126

50

Adición o suma agrupando (llevando o transformando)

Resuelva el siguiente problema. Después confirme o aprenda guiándose con la explicación que se presenta.

Don Silverio paga

quetzales por una chumpa y

quetzales por un suéter. ¿Cuánto paga en total?

La operación que resuelve el problema es: + El procedimiento para realizarla es el que se describe a continuación: 1) Escribir cada cantidad en un cuadriculado (en su respectiva columna)

2) Juntar o trasladar los puntos y barras a la primera columna.

51

3) Cambiar cuatro barras de la primera posición por un punto en la segunda. En la segunda posición cambiar cinco puntos por una barra.

NOTA: El segundo y tercer paso pueden unirse de manera que mentalmente se hacen los cambios para ir desde lo que se ve en el primer cuadriculado hasta el resultado que se observa en el tercero. Pasando a sistema decimal:

55 +

53

=

108

Observe otra suma:

+

+

1) Escribe las cantidades.

=

2) Junta.

52

3) Cambian puntos por barra en la primera y tercera posición (recuerde que cinco puntos equivalen a una barra).

4) En la primera y segunda posición, cambia cuatro barras por un punto que pasa a la posición inmediata superior.

NOTA: Cuando ya se tiene suficiente comprensión y dominio del procedimiento, se puede pasar desde lo que se ve en el primer cuadriculado hasta el cuarto (los cambios se hacen mentalmente). Pasando a sistema decimal:

1,334 + 1,913 + 404

=

3,651

Construcción del conocimiento :

Para guiar el aprendizaje de lo anterior, la o el participante utilizará el material de números mayas que ha utilizado hasta el momento y agregará un cuadriculado.

53

La forma y las medidas son las que se ilustran: 30 cm 10 cm 10 cm

30 cm

La comprensión del procedimiento de suma se hace más fácil si se recurre a material concreto. Por ello se sugiere guiar las actividades que se describen a continuación. La idea es que cada participante lo haga con sus materiales. Al finalizar con esa parte, oriente para que se solucione con el procedimiento abstracto.

Actividad 1 A. Presente el siguiente problema. Pregunte cuál es la operación y anime para que traten de resolverlo. Candelaria tiene

aguacates. Su hermana tiene

aguacates. Si deciden reunirlos, ¿cuántos aguacates tendrán en total? B. Oriente para que utilicen sus materiales y representen la primera cantidad (el primer sumando) en la primera columna del cuadriculado que hizo y la segunda cantidad (el segundo sumando) en la segunda columna. Observe:

54

C. Indique que junten la cantidad de la segunda columna con la cantidad de la primera columna. Oriente para que lo hagan posición por posición, de abajo hacia arriba .

D. Resuma el procedimiento en forma abstracta. Oriente para que, si lo considera necesario, lo comprueben pasando a forma decimal (esto ya fue explicado en la parte teórica). Entonces:

+

=

45 + 41 = 86 E. Oriente para que, en grupos, realicen la siguiente adición. Primero lo harán con materiales y luego realizarán el procedimiento en forma abstracta.

+

+

F. De manera parecida a lo anterior, oriente para que se experimenten los diferentes casos presentados en la parte teórica.

55

Ejercitación:

Proponer los siguientes ejercicios. Instrucción: Realice cada suma. Trabaje en una hoja de papel aparte

para mostrar todo el procedimiento. Tome en cuenta que en algunas sumas deberá ampliar su cuadriculado. 1)

2) +

+

3)

4) +

+

5)

6) + +

+

+

7)

8)

+

+

56

+

9) +

+

+

+

Respuestas:

1)

2)

5)

6)

3)

7)

9)

57

4)

8)

Unidad 4 Sustracción o resta en el sistema de numeración maya o vigesimal Conocimientos previos

1. Realizar las siguientes restas. a.

b. menos

menos

Respuestas: a.

b.

Teoría relacionada con el contenido del tema:

En la sustracción o resta hay varios casos que pueden ocurrir y que se tratarán en el siguiente apartado. Sustracción o resta sin desagrupar (sin transformar o sin prestar)

¿Cuál será la operación que resuelve el siguiente problema? Intente resolverlo antes de seguir.

En una bodega hay

azadones para vender. Cierto día se venden

. ¿Cuántos azadones quedan? Confirme lo hecho con lo que se expone a continuación.

58

La operación que corresponde al problema es:

Para realizar la resta se escribe la cantidad de la que se va a restar (minuendo) en la primera columna del cuadriculado. La cantidad que se restará (sustraendo) se escribe en la segunda columna. A continuación se eliminan tantos puntos como puntos hay en cada posición. Lo mismo aplica a la barras. Una condición básica es que se eliminan sólo puntos con puntos y barras con barras. No se mezcla. Observe: minuendo

sustraendo

diferencia (resultado)

Expresado en sistema decimal: 45 - 25

=

20

Entonces: = ¿Cuál es la respuesta al problema presentado? Pruebe con otra resta. No siga leyendo antes de probar.

59

Confirme:

Expresado en sistema decimal: 75

- 45

=

30

Sustracción o resta desagrupando en la misma posición.

Ahora trate de resolver el siguiente problema

En un bosque hay

tacuazines.

de los tacuazines son

hembras y el resto son machos. ¿Cuántos tacuazines machos hay?

La operación que corresponde al problema es:

Se resuelve de la siguiente manera: Se colocan las cantidades.

La barra de la primera posición del minuendo se cambia por cinco puntos. A continuación se elimina.

60

En sistema decimal: 85 - 42

=

43

Sustracción o resta desagrupando de una posición a otra (prestando o transformando)

Lea el siguiente problema y trate de resolverlo. Siga leyendo hasta después de dar su solución.

En la aldea “Los Jocotes” hay

hay

personas. En la aldea “La Loma”

personas. ¿Cuántas personas más hay en “Los

Jocotes”?

Veamos. La operación que resuelve el problema es:

Al colocar las cantidades en el cuadriculado, se observa en la segunda posición que es menor que . Entonces, se debe hacer un cambio. Ese cambio se puede entender como desagrupamiento o bien 61

como prestar o sencillamente transformar. ¿En qué consiste el cambio? En tomar un punto de la tercera posición y cambiarlo por cuatro barras que pasan a la segunda posición (vea el segundo cuadriculado). Una vez hecho lo anterior, eliminar tal como se ha hecho con las restas ya trabajadas.

845 - 505

=

340

Entonces:

=

Cuando lo que se restará en una posición del minuendo es menor que la cantidad del sustraendo (en la misma posición), se debe desagrupar (prestar) una veintena de la posición inmediata superior (un punto se cambia por cuatro barras).

Construcción del conocimiento :

La comprensión del procedimiento de resta se hace más fácil si se recurre a material concreto. Por ello se sugiere guiar las actividades que se describen a continuación. La idea es que cada participante lo haga con sus materiales. Como observará, algunas de las sustracciones o restas corresponden a los problemas presentados en la parte teórica. Aproveche esos problemas para presentar cada caso y, a continuación, guíe su

62

solución con los materiales. Finalice orientando la solución en forma abstracta. Actividad 1 A. Presente el problema que corresponde a la siguiente sustracción o resta (ver inicio de parte teórica).

B. Oriente para que en el cuadriculado y con sus materiales, representen la cantidad de la que se restará en la primera columna (el minuendo). La cantidad que se restará (sustraendo) que la representen en la segunda columna.

ár at

e s

s

e

) q n

e u e ) q d

er o

u d

s

al e e ni

u

d d

o n

( a

d

di

e

a

s

a ár

ar di t

at t n C

er

t s C

a

n u s(

C. Oriente para que realicen lo siguiente: 1) Como en la primera posición hay una barra en el minuendo y una en el sustraendo, eliminar ambas y colocar un cero como resultado de la primera posición. 2) Como la segunda posición, hay dos puntos en el minuendo y uno en el sustraendo. Entonces elimina un punto del minuendo y uno del sustraendo. Queda un punto que se coloca como resultado de la

63

segunda posición.

D. Oriente para que realicen la resta en forma abstracta (papel y lápiz) y respondan el problema. Además, si lo considera necesario que comprueben pasando a sistema decimal:

45 – 25

=

20

E. Proponga la realización de restas similares (en las que no se desagrupa, presta o transforma). Recuerde que la idea es que inicien resolviendo con su material y, después, en forma abstracta. Una resta puede ser la segunda que se presentó en la parte teórica:

64

Actividad 2 A. Presente el problema que corresponde a la siguiente sustracción o resta (ver parte teórica).

B. Dé tiempo para que cada quien muestre las cantidades en el cuadriculado. Confirme:

C. Pida que observen las cantidades en cada posición y que le digan si descubren el cambio que debe hacerse (recuérdeles que se eliminan sólo puntos con puntos y barras con barras; no se mezcla). Luego de escuchar, y si no lo dicen, haga ver que es necesario cambiar la barra de la primera posición del minuendo por cinco puntos. Después realizar la resta tal como se ha aprendido hasta el momento. Observe:

D. Oriente para que realicen la resta en forma abstracta (papel y lápiz) y respondan el problema. Si lo considera necesario, pida que lo pasen a sistema decimal.

65

85 – 42 =

43

E. Proponga la realización de restas similares (en las que se debe cambiar barras por puntos pero no se presta). Recuerde que la idea es que inicien resolviendo con su material y, después, en forma abstracta.

Actividad 3 A. Presente el problema que está al inicio de la explicación del procedimiento de resta en la que se desagrupa, presta o transforma (ver parte teórica). Realice las siguientes actividades para que, con su material, realicen la resta que resuelve el problema.

B. Pida que represente el minuendo y sustraendo en su cuadriculado.

C. Indique que observen las cantidades de cada posición tanto en el minuendo como en el sustraendo. Pregunte si descubren el cambio que debe realizarse. Si no lo indica, oriente para que se den cuenta que en la segunda posición del minuendo, es menor que . Entonces, se tiene que realizar un cambio antes de operar. Ese

66

cambio es una desagrupación (algunas personas le llaman “prestar” o transformar). Pida que hagan lo siguiente: Tomar un punto de la tercera posición del minuendo y cambiarlo por cuatro barras que se representan en la segunda posición (también del minuendo). Observe:

Una vez hecho lo anterior, pida que eliminen tal como se ha hecho con las restas anteriores. Entonces:

Comprobando al pasar a sistema decimal:

845 - 505

=

340

Ejercitación:

Proponer los siguientes ejercicios.

67

Instrucción: Realice cada resta. Trabaje en una hoja de papel aparte para

mostrar todo el procedimiento.

1)

3)

2)

4)

5)

6)

7)

8)

68

9)

10)

11)

12)

Respuestas:

1)

2)

3)

69

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

70

Unidad 5 Multiplicación en el sistema de numeración maya o vigesimal Conocimientos previos

1. Realizar las siguientes multiplicaciones. a.

b.

x

 x Respuestas: a.

b.

Teoría relacionada con el contenido del tema:

Una vez comprendido y dominado el procedimiento para sumar en el sistema de numeración maya, resulta fácil trabajar la multiplicación. La multiplicación se entenderá como una suma repetida y puede operarse de esa manera (sumar varias veces la cantidad dada). Sin embargo, se puede trabajar con procedimientos particulares y más rápidos de aplicar. Para el caso de la multiplicación, en esta unidad se aplicará un algoritmo “desmenuzado” con la intención de facilitar la comprensión de otros algoritmos que pueden ser más rápidos aunque más “mecanizados”. Es importante anotar que la lógica de los procedimientos para operaciones aritméticas aritm éticas en el sistema de numeración maya se deduce de acercamientos que han hecho investigadores como el Dr. Leonel Morales, matemático guatemalteco que ha dedicado parte de su tiempo para valorar y promulgar la matemática creada y utilizada por nuestros ancestros mayas. Al respecto, el Dr. Morales dice: “Hasta el momento, no

71

ha sido posible deducir históricamente dicho algoritmo”. Entonces, propone acercamientos a ese algoritmo y esto es lo que se tratará de mediar y ampliar (como una propuesta del autor) a continuación. La multiplicación sin agrupar (sin llevar o transformar) (1)

Lea el siguiente siguiente problema problema y trate de resolverlo. Siga leyendo hasta hasta después de buscar la solución. Tomás tiene

canastos. En cada canasto hay

duraznos.

¿Cuántos duraznos tiene en total?

¿Está de acuerdo con que la operación operación que corresponde es la siguiente? siguiente?  x (veces) En la expresión expresión anterior, se entiende que se repetirá

veces

.

Entonces podemos expresarlo de la siguiente manera: +

+

+

=

O sea que:  x

=

La multiplicación sin agrupar (sin llevar o transformar) transformar) (2)

Ahora analice el siguiente problema y plantee la operación que lo resuelve. Para un proyecto comunitario comunitario se forman grupos de personas. En cada grupo hay . ¿Cuántas personas hay en total?

72

¿Está de acuerdo con que la operación que resuelve el problema es la siguiente?  x (veces) Previo a ver el procedimiento para realizar la multiplicación, es importante que tome en cuenta dos cosas: 1. En el cuadriculado se representarán cantidades de abajo hacia arriba y de derecha a izquierda. Entonces los valores de posición se entenderán de la siguiente manera: 400

20 1 400

20

1

2. Al multiplicar, las cantidades se colocan de la siguiente manera:

(aquí la cantidad que se repetirá)

(aquí se coloca la cantidad que indica cuántas veces se repetirá)

73

Entonces, el procedimiento es: Escribe las cantidades en donde corresponde.

Opera

x

Opera

.

x

.

Si quiere comprobar en sistema decimal:

Aquí tiene el resultado.

2 x 45

=

90

Pruebe con otro ejemplo. Hágalo a partir del siguiente problema. Principie leyéndolo. Después escriba la operación y trate de resolverlo. Hay

redes de aguacates. En cada red hay

¿Cuántos aguacates hay en total?

74

aguacates.

¿Está de acuerdo con que la operación a realizar es la siguiente?  x (veces) Observe el procedimiento para realizarla. Escribe las cantidades en donde corresponde.

Opera

x

Opera

.

x

Si quiere comprobar en sistema decimal:

3x

75

44 = 132

La multiplicación agrupando (llevando o transformando) (1)

Lea el siguiente problema y trate de resolverlo. Sofía compra

güipiles . Por cada güipil paga

quetzales.

¿Cuánto paga en total? La operación que resuelve el problema es:  x (veces) Observe el procedimiento. Escribe las cantidades en donde corresponde.

Repite veces la cantidad de cada posición.

Cambia la veintena que está en la primera posición por un punto que pasa a la segunda posición.

Si quiere comprobar en sistema decimal:

4 x 446 = 1,784

76

Observe otro ejemplo.

 x (veces)

Escriben las cantidades en donde corresponde.

Repite veces la cantidad de cada posición.

Cambia la veintena que está en la segunda posición por un punto que pasa a la tercera posición.

Comprobando en sistema decimal:

5 x 903 = 4,515

77

La multiplicación agrupando (llevando o transformando) (2)

Respecto a las multiplicaciones que ha hecho hasta el momento, ¿qué diferencia encuentra en la siguiente?  x (veces) Como observa, la diferencia está en que el primer factor (el que dice cuántas veces repetir la otra cantidad) abarca dos posiciones (representa una veintena y dos unidades). El autor de este documento le propone un algoritmo para realizar esa operación (inferido de una propuesta que hace el Dr. Leonel Morales). Haremos la operación en forma abstracta. Observe: En el cuadriculado se escribirá

en la parte inferior. Observe

La cantidad que se repetirá se coloca en el lugar correspondiente (al lado derecho y fuera del cuadriculado). Observe:

78

Para continuar, ayudémonos recordando el algoritmo de la multiplicación en el sistema decimal. Por ejemplo, cuando se opera 34 x 56: 56  x 34 a) Comienza con 4 x 56: 56  x 34 224

b) Sigue con 30 x 56 (aunque se opera sólo 3 x 56, realmente el 3 representa 3 decenas) 56 x 34 224 + 1680 Este cero se omite y se dice que se “corre el lugar” o se deja vacío.

c) Suma los productos parciales. 56  x 34 224 + 168 1904 Lo anterior será aplicado en el algoritmo de la multiplicación en el sistema maya o vigesimal. Retomemos lo que teníamos en el último cuadriculado.

79

a) Opera

b) Opera

 x

x

El resultado se coloca en la segunda columna pero “corriendo un lugar” hacia arriba o sea dejando una casilla vacía. Esto se hace porque el punto realmente está representando una veintena. (Estrictamente se debiera colocar un cero en la casilla que quedará vacía).

c) Suma los productos parciales. El resultado se puede mostrar en la tercera columna.

Puede comprobar pasando a sistema decimal. 22 x 65 = 1,430

Resultado o producto total

80

Analice otro ejemplo:

 x (veces) Comienza colocando las cantidades fuera del cuadriculado (observe dónde se coloca cada cantidad).

a) Opera

b) Opera

 x

x

El resultado se coloca en la segunda columna y se deja una casilla vacía.

81

c) Suma los productos parciales realizando los cambios necesarios. Debe recordar que una veintena (cuatro barras) se cambian por un punto que pasa a la posición inmediata superior.

Puede comprobar pasando a sistema decimal.

64 x 125 = 8,000

Como observa, en el último paso hubo necesidad de agregar una casilla porque se formó una veintena en la tercera posición. Esto de agregar casillas se puede hacer libremente y según lo que ocurra en las operaciones que se van realizando. Construcción del conocimiento :

Al igual que lo sugerido para operaciones ya trabajadas, se sugiere orientar las siguientes actividades. Recuerde pasar por la experiencia concreta para, luego, hacerlo en forma abstracta. La facilitadora o el facilitador propondrá más ejercicios si lo considera necesario. Actividad 1 A. Presente el problema que corresponde a la siguiente multiplicación (ver inicio de parte teórica).  x (veces)

82

B. Pida que representen la suma que es equivalente a la operación de multiplicación y que den el resultado. + + + = C. Indique que escriban el resultado de la multiplicación.  x

=

Actividad 2 A. Presente el problema que corresponde a la siguiente multiplicación (ver en parte teórica).  x (veces) B. Explique el uso del cuadriculado (cantidades interpretadas en forma vertical y horizontal –  ver parte teórica-). C. Ejemplifique la manera como se representan en el cuadriculado las cantidades a multiplicar.

D. Ejemplifique los pasos para realizar la multiplicación (ver explicación en parte teórica). Después pida que utilicen sus materiales para realizarla individualmente. Por último confirme resultado en plenaria. E. Guíe para que se realice el procedimiento en forma abstracta. F. Aproveche los otros ejemplos dados en la parte teórica para trabajar multiplicaciones similares a la anterior (donde no se agrupa o lleva).

83

Para el caso de multiplicaciones como

 x (veces) se sugiere ejemplificar el procedimiento en el pizarrón. Una vez hecho ello, proponer otros ejercicios (ver el otro ejemplo en la parte teórica). Culminar con los ejercicios que se proponen. Ejercitación:

Proponer los siguientes ejercicios. Instrucción: Realice cada multiplicación. Trabaje en una hoja de papel

aparte para mostrar todo el procedimiento. Tome en cuenta que en algunas multiplicaciones tendrá que ampliar el cuadriculado.

1)

 x

2)

3)

x

4)

x

x

5)

 x

6)

7)

x

8)

x

x

84

9)

x

10)

x

11)

x

12)

13)

x

14)

x

x

16)

x

15)

x

85

Respuestas:

1)

2)

3)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

86

4)

16)

Unidad 6 División en el sistema de numeración maya o vigesimal Conocimientos previos

1. Realizar las siguientes divisiones a.

b.

÷

÷ Respuestas: a.

b.

Teoría relacionada con el contenido del tema:

Siguiendo la propuesta del Dr. Leonel Morales, la división se operará como el proceso inverso de la multiplicación. En otras palabras, dada la cantidad a dividir (dividendo) y entre cuánto se dividirá (divisor); se buscará el cociente que multiplicado por el divisor dé el dividendo. Por ejemplo, si se tiene 20 ÷ 4 nos preguntamos qué número por cuatro nos da veinte. Otra forma de considerarlo es decir cuántas veces cabe una cantidad en otra. Volviendo al ejemplo de 20 ÷ 4, la pregunta a responder es: ¿cuántas veces cabe cuatro en veinte? Le invitamos a trabajar algunos casos.

87

División sin residuo (1)

Lea el siguiente problema y trate de resolverlo

Doña Clara tiene entre sus uno?

quetzales. Quiere repartirlo en partes iguales nietos y nietas. ¿Cuántos quetzales le dará a cada

¿Está de acuerdo con que la operación que corresponde es la siguiente?

÷ Para resolverlo sencillamente contestaremos una de las siguientes preguntas: ¿Qué número multiplicado por ?

da como resultado o producto

O bien , ¿cuántas veces cabe

en

¿Ya tiene el resultado? Confirme:

÷

=

Confirmando con una multiplicación:  x

=

Pasando a sistema decimal:

÷ 24

÷

= 6

=

4

88

?

División sin residuo (2)

Lea el siguiente problema y plantee la operación: A una bodega llegan

guardarlos en grupos de

machetes. La encargada decide

. ¿Cuántos grupos formará?

¿Está de acuerdo con que la operación que corresponde es la siguiente?

÷

Ahora vea el procedimiento en forma abstracta. Comienza colocando las cantidades en el cuadriculado. En el caso de la división, la cantidad que se va a dividir (el dividendo) se escribe en la primera columna (visto de derecha a izquierda). La cantidad entre la que se va a dividir (divisor) se coloca en la parte horizontal exterior.

dividendo

divisor

89

Calcula cuántas veces cabe en

Calcula cuántas veces cabe

.

en

.

Escribe el resultado en la parte exterior del cuadriculado y en la posición correspondiente.

Calcula cuántas veces cabe en .

Puede comprobar pasando a sistema decimal: 2,655 ÷ 3 = 885

90

División con residuo (1)

Observe como se realiza la siguiente división:

÷ Comienza colocando las cantidades en el cuadriculado.

Calcula cuántas veces cabe en

Opera resta.

x

Calcula cuántas veces cabe en . Como cabe una vez y sobra, se dará un paso más.

y

Puede comprobar pasando a sistema decimal. 170 ÷ 8 = 21 residuo 2 cociente

residuo

91

Analice otro ejemplo:

÷

Se colocan las cantidades en el cuadriculado.

Calcula cuántas veces cabe en . Como no cabe, se trabaja con la cantidad que se forma con la tercera y segunda posición. Entonces calcula cuántas veces cabe en .

Opera

92

x

y resta.

Calcula cuántas veces cabe en . Multiplica y resta.

Puede comprobar pasando a sistema decimal.

615 ÷ 10 = 61 residuo 5

cociente

residuo

División con residuo (2)

Hay casos de división que requieren dar algunos pasos más. Analice los siguientes ejemplos y comprobará que son fáciles de realizar. Todo es cuestión de paciencia y mucha observación. Ejemplo 1:

÷ Vea cómo se resuelve en forma abstracta: Calcula cuántas veces cabe en .

Opera

93

x

y resta.

Mueve hacia la izquierda el de la primera posición

Calcula cuántas veces cabe en

de manera que quede a la par del sobrante de la primera resta.

Multiplica y resta. Para realizar la resta agrega dos columnas a la izquierda.

et n ei c o c

residuo

Pasando a sistema decimal: 214 ÷ 9 = 23 residuo 7. Observe otro caso. Antes responda: Comparando con las divisiones que ya trabajó, ¿qué hay de diferente en la división siguiente? ÷ ¿Observó que el divisor abarca dos posiciones? En este caso, al igual que en la multiplicación, se colocará esa cantidad en la parte inferior del cuadriculado y abarcando dos posiciones (vistas de derecha a izquierda). Observe:

94

Observe cómo se realiza: Calcula cuántas veces cabe en .

Opera

Como no es posible, calcula cuántas veces cabe

Mueve a la izquierda la cantidad de la primera posición (que quede a la par de lo que sobra de la resta).

en

x

y resta.

.

Calcula cuántas veces cabe

Opera

en

x

y resta.

Para mostrar el resultado de la última resta, agrega dos columnas.

et n ei c o c

residuo

95

Pasando a sistema decimal: 1,004 ÷ 23 = 43 residuo 15 Construcción del conocimiento :

Tal como se ha hecho con las operaciones anteriores, se sugiere explicar, ejemplificar ejemplificar y ver v er que las y los participantes realicen las divisiones utilizando el material concreto (para después pasarlo a forma abstracta). Lo mejor es realizar todo lo que está en la parte teórica (desde el primer caso). A continuación continuación se sugiere la l a mediación de uno de los l os casos. Actividad 1 Para mediar la comprensión de la siguiente división:

÷

A. Indicar que representen las cantidades cantidades en un cuadriculado. Explicar dónde se coloca la cantidad que se repartirá (dividendo) y la cantidad que indica entre cuánto se repartirá (divisor).

dividendo

divisor

96

B. Indicar que la división se comenzará en la tercera posición del dividendo (visto en forma vertical). Entonces, que calcule cuantás veces cabe en . Mostrar ese resultado en la parte de afuera del cuadriculado cuadriculado y en el lugar lugar correspondiente. correspondiente. Observe:

C. Explicar que se pasará a la segunda posición del dividendo. Entonces que calculen calculen cuántas veces cabe en . Mostrar ese resultado afuera del cuadriculado y en la segunda posición. Observe:

D. Pasar la primera posición del dividendo. Calcular cuántas veces cabe en . Mostrar ese resultado afuera del cuadriculado cuadriculado y en la l a primera posición. Observe:

cociente

97

De manera similar, orientar los casos más fáciles. El resto quizás sea mejor ejemplificar y realizar sólo en la forma abstracta. Ejercitación:

Proponer los siguientes siguientes ejercicios. Instrucción: Realice cada división. Trabaje en una hoja de papel aparte

para mostrar todo el procedimiento. procedimiento. Tome en cuenta cuenta que en en algunas multiplicaciones tendrá que ampliar el cuadriculado. Opere las divisiones. divisiones.

1)

÷

2)

÷

3)

÷

4)

÷

5)

÷

6)

÷

7)

÷

8)

÷

98

9)

10)

÷

÷

÷

11)

13)

÷

12)

14)

÷

15)

÷

16)

÷

17)

÷

18)

÷

÷

99

19)

20)

÷

÷

Respuestas:

1)

2)

5)

6)

3)

7)

4)

8)

Residuo 9)

10)

11)

12)

Residuo 13)

Residuo

14)

15)

Residuo

16)

Residuo

100

17)

Residuo

18)

19)

Residuo

20)

Residuo

101

Residuo

Unidad 7 La matemática maya como práctica cotidiana Conocimientos previos

Responda tomando en cuenta que las preguntas se refieren a prácticas cotidianas de personas mayas actuales. 1. ¿Cuál es el concepto de suma de una persona maya? 2. ¿Hay alguna diferencia entre la manera como realiza la resta una persona maya respecto a personas de otras culturas?¿En qué consiste esa diferencia? 3. ¿Cómo se graficaría la interpretación de una expresión como “Tres por cuatro”? 4. ¿Cuáles son algunos ejemplos de contenidos de geometría y medidas que se aplican en la vida cotidiana de las personas mayas?

Teoría relacionada con el contenido del tema:

Las unidades anteriores le han permitido abordar la matemática maya que se practicó en tiempo de nuestros ancestros. La duda es: ¿qué parte de esa matemática está presente en la actualidad? La respuesta únicamente se obtendrá a través de investigaciones. Para comenzar y, como ya se dijo en las unidades anteriores, las expresiones de cantidades en idiomas mayas aún se hacen en grupos de veinte. Por ejemplo, en el libro “J ikomal Chomanik che le mayab´Ajilanb´al” (DIGEBI:10, 2005) se mencionan las siguientes: Juntaqk´aal…. uno de veinte Ka´taqk´aal… dos de veinte oxtaqk´aal…. tres de vente kaataqk´aal.. cuatro de veinte o´taqk´aal … cinco de veinte waqtaqk´aal.. seis de veinte

102

Y así sucesivamente. Observe que las secuencias van de veinte en veinte y ello facilitaría comprender el sistema de numeración vigesimal. Lo anterior es un ejemplo de lo que habría que investigar más y tratar de sistematizarlo para conocer los conceptos, procedimientos, definiciones y cualquier conocimiento manejado desde la cultura maya actual. Este es un trabajo pendiente en el país y al que le desafiamos para que sea copartícipe. En la presente unidad le presentaremos algunos ejemplos de lo que pueden ser indicios de conocimientos actuales. Queda en sus manos continuar con la tarea investigativa. El concepto de suma (adición)

En idioma q´echi´ se dice oob´xb´een li lajeeeb´ para indicar una expresión que implica una suma. Lo interesante es que, traducido al castellano, se interpreta como “cinco más sobre diez” o bien “cinco agregado a diez”. Esto quiere decir que el concepto de suma de una persona q´echi´será el de agregar algo a una cantidad ya existente. Debe recordarse que la suma o adición también se puede conceptualizar como juntar (que no es lo mismo que agregar). Observe. Si se toma la expresión oob´xb´een li lajeeeb´, la gráfica que representa el concepto sería: Hay diez manzanas

Cinco más sobre diez

Cinco más sobre diez es igual a quince 5 + 10 = 15

103

La importancia de entender lo anterior está, entre otras cosas, en que una niña o un niño q´echi´ debiera iniciar su aprendizaje de suma o adición desde la interpretación de “agregar” de manera que coincida con lo aprendido en su entorno cultural. Después aprenderá el de juntar. A propósito, 10 + 5 entendido como “juntar” se graficaría así:

¿El resultado da lo mismo? Definitivamente que sí. El asunto es que no se trata de lo que sucede en lo abstracto sino que la expresión matemática es importante relacionarla con un contexto para facilitar su comprensión. El concepto de resta (sustracción)

Este concepto es interesante investigarlo. Las personas mayas parecen utilizar la idea de completar. Veamos, para una expresión como 8  –  5, mentalmente se puede resolver contestando lo siguiente: ¿Cuánto le falta a cinco para llegar a ocho? Esto se puede comprender mejor en una representación gráfica como la siguiente:

0

1

2

3

4

5

104

6

7

8

9

10

La manera más fácil de comprobar lo anterior es cuando una persona maya da un vuelto. Por ejemplo, si ha vendido algo que cuesta seis quetzales y le pagan con un billete de diez, el vuelto lo dará pensando cuánto le falta a seis para llegar a diez. Entonces, va dando moneda por moneda contando de siete hasta diez (que son cuatro monedas de un quetzal). Lo anterior es importante observarlo tomando en cuenta que en la escuela el único concepto de resta que se trabaja es el de quitar. La idea es que las niñas y los niños mayas la resta desde el concepto de completar (partiendo de que parece ser la manera como cotidianamente trabaja la resta). Eso no implica que se deje de trabajar con otros conceptos o interpretaciones de dicha operación. El concepto de multiplicación

En los idiomas mayas se tienen expresiones que se refieren a secuencias. Por ejemplo, en el idioma q´eqchi´se encuentra lo siguiente:  junjunq …….. ka´kab´…….. ox ox ……….. kaaka ……….. o´otq ………. waqitq……… wuqutq ……. waqxaqitq… b´eletq …… lajetq ……..

de uno (sobrentendido como de uno en uno) de dos (sobreentendido como de dos en dos) de tres (de tres en tres) de cuatro (de cuatro en cuatro) de cinco (de cinco en cinco) de seis (de seis en seis) de siete (de siete en siete) de ocho (de ocho en ocho) de nueve (de nueve en nueve) de diez (de diez en diez)

Lo anterior indica que los q´eqchi´s tienen o construyen la habilidad para realizar conteos en secuencias que, posteriormente, facilitarán realizar el cálculo de una multiplicación. No es de extrañar que esto exista en otros grupos étnicos mayas. Demos un paso más. En el idioma mencionado, la expresión “oxib aj o´ota” (DIGEBI: 9,2005) se traduce com o “tres de cinco”. Observe que la expresión misma dice la manera de obtener el resultado. Tres de cinco es como contar de cinco en cinco tres veces.

105

La gráfica para representar lo anterior puede ser la siguiente:

La expresión en el idioma q´eqchi´da la idea del conteo de cinco en cinco. El algoritmo puede traducirse como cinco más cinco más cinco. El conteo sería cinco, diez, quince. En resumen: oxib aj o´ota Tres de cinco o bien tres veces cinco (5, 10,15) Entonces, la expresión matemática que corresponde es: 3 x 5 = 5 + 5 + 5 = 15 ¿Por qué se anota lo anterior? Porque, al parecer, esa lógica no ha sido aplicada en el aprendizaje de las combinaciones de multiplicación. Veamos: Se entiende que una tabla de multiplicación responde a una secuencia. Por ejemplo, la tabla del tres debiera responder a una secuencia de tres. La confusión para una niña o un niño q´eqchi´ puede darse ante lo siguiente: Tabla del 3

¿O para la niña o el niño q´eqchi´la tabla del tres sería la siguiente?

3 x 1 = 3 (tres veces uno es igual a tres) 3 x 2 = 6 (tres veces dos es igual a seis) 3 x 3 = 9 (tres veces tres es igual a nueve) 3 x 4 = 12 (tres veces cuatro es igual a doce) 3 x 5 = 15 (tres veces cinco es igual a quince) 3 x 6 = 18 (tres veces seis es igual a dieciocho) 3 x 7 = 21 (tres veces siete es igual a veintiuno) 3 x 8 = 24 (tres veces ocho es igual a veinticuatro) 3 x 9 = 27 (tres veces nueve es igual a veintisiete)

106

1 x 3 = 3 (una vez tres es igual a tres) 2 x 3 = 6 (dos veces tres es igual a seis) 3 x 3 = 9 (tres veces tres es igual a nueve) 4 x 3 = 12 (cuatro veces tres es igual a doce) 5 x 3 = 15 (cinco veces tres es igual a quince) 6 x 3 = 18 (seis veces tres es igual a dieciocho) 7 x 3 = 21 (siete veces tres es igual a veintiuno) 8 x 3 = 24 (ocho veces tres es igual a veinticuatro) 9 x 3 = 27 (nueve veces tres es igual a veintisiete)

¿Qué piensa usted? ¿Cuál dejaría como tabla del tres para una niña o un niño q´eqchi´? ¿Qué pasará con la interpretación en otras etnias mayas? Pues bien, al parecer la manera como se interpreta la multiplicación desde una cultura maya no coincide con interpretaciones de otras culturas. Para una persona q´eqchi´, 4 x 5 se entiende como cuatro veces cinco. Mientras que 5 x 4 será cuatro veces cinco. Volvemos a un posible cuestionamiento: Pero si el resultado es el mismo, ¿cuál es la preocupación? La respuesta ya se ha dado: Una expresión matemática debe entenderse desde un contexto. Es cierto que en lo abstracto 4 x 5 = 5 x 4 pero no indican lo mismo si lo asociamos con situaciones reales. Por ejemplo, no es lo mismo decir que cuatro personas reciben cinco quetzales cada una (4 x 5) que si se dice que cinco personas reciben cuatro quetzales cada una (5 x 4). Construcción del conocimiento y ejercicios:

Actividad 1 A. Presente las siguientes expresiones (indique que las primeras están en idioma q´eqchi´) Juntaqk´aal…. uno de veinte Ka´taqk´aal… dos de veinte oxtaqk´aal…. tres de veinte kaataqk´aal.. cuatro de veinte o´taqk´aal … cinco de veinte waqtaqk´aal.. seis de veinte B. Pida que alguien que domine el idioma q´eqchi´ las lea. Posteriormente que las observen y, en grupos de trabajo, descubran las terminaciones que se repiten. Además, que separen las expresiones que son diferentes y que están al inicio. Por ejemplo: Juntaqk´aal se puede separar en Jun y taqk´aal C. Pregunte si alguien sabe lo que significa jun (uno) y taqk´aal (grupo de veinte). De la misma manera que exploren las otra expresiones. Oriente para que se den cuenta que tienen una lógica que se

107

evidencia en las terminaciones y su conjugación con las expresiones iniciales (que son las expresiones numéricas para uno, dos, tres hasta llegar a seis). D. Pida que, en grupo, grafiquen lo que representa cada expresión y que las escriban con números mayas. Después, en plenaria, revisen y aclare dudas. E. Genere conversación respecto a lo siguiente: ¿Por qué es importante para una niña o niño el recibir los primeros conceptos numéricos en su idioma materno? ¿Qué dificultades tendría una niña o niño que maneje una lógica vigesimal si de entrada le imponen una lógica decimal?

Actividad 2 A. Presente la expresión oob´xb´een li lajeeeb´ (indique que está en idioma q´echi´). Explique que es una expresión de suma y que se traduce como “cinco más sobre diez” o bien “cinco agregado a diez”. B. Pida que, en grupos de trabajo, piensen y muestren la manera como manipularían objetos para mostrar el concepto sugerido por la expresión en el idioma presentado. C. En plenaria vea que se presenten las opciones para representar la expresión. Oriente para que se llegue al consenso de que, estrictamente, debe hacerse como se grafica en la parte teórica. D. Pregunte acerca de otra manera de entender una suma. Si no aparece la idea, presente la de agrupar (que se explica en la parte teórica). Pregunte por la diferencia entre los dos conceptos. E. Genere conversación respecto a lo siguiente: ¿Por qué es importante trabajar varios conceptos de suma?

108

¿Qué tiene que ver el uso del idioma materno con la interpretación de conceptos matemáticos como el de la suma?

Actividad 3 A. Pregunte por los conceptos de resta que conocen. Dé oportunidad para que las o los participantes pasen al pizarrón para explicarlos. B. Si no se han explicado, oriente la comprensión de tres conceptos de resta. 1. Quitar 2. Completar 3. Diferenciar Para realizar lo que se sugiere, vaya presentando cada uno de los siguientes problemas (uno por uno). Cada vez, las y los participantes se reunirán en grupos para resolverlo utilizando material (objetos pequeños). Después lo harán en forma abstracta. Los problemas para cada concepto son: 1. Tengo ocho manzanas. Me como tres. ¿Cuántas manzanas quedan? 2. Juana tiene ocho manzanas. Sara tiene tres manzanas. ¿Cuántas manzanas le faltan a Sara para tener la misma cantidad que las de Juana? 3. Hay ocho pelotas azules y tres blancas. ¿Cuántas pelotas azules más que blancas hay? C. Pregunte si han visto cómo dan vueltos las personas mayas (y no mayas) que realizan intercambios comerciales y con cuál concepto de los presentados lo asocian. D. Genere conversación respecto a lo siguiente:

109

¿Por qué es importante trabajar varios conceptos de resta? ¿Qué tiene que ver el uso del idioma materno con la interpretación de conceptos matemáticos como el de la resta?

Actividad 4 A. Presente las siguientes expresiones:

B.

Jji junjunq ……..

de uno (sobrentendido como de uno en uno)

ka´kab´……..

de dos (sobreentendido como de dos en dos)

ox ox ………..

de tres (de tres en tres)

kaaka ………..

de cuatro (de cuatro en cuatro)

o´otq ……….

de cinco (de cinco en cinco)

waqitq………

de seis (de seis en seis)

wuqutq …….

de siete (de siete en siete)

waqxaqitq…

de ocho (de ocho en ocho)

b´eletq ……

de nueve (de nueve en nueve)

lajetq ……..

de diez (de diez en diez)

Indique que cada quien dibuje o escriba algo que representa cada expresión (se espera que muestren secuencias de uno en uno, dos en dos hasta diez en diez). Pregunte cómo relacionan la experiencia con la multiplicación.

C. Presente la expresión oxib aj o´ota” e indique que se traduce como “tres de cinco” y que se entenderá como tres veces cinco. Pida que cada quien dibuje o escriba una expresión matemática que relacione con esa expresión (se espera que dibujen tres grupos de cinco o bien que escriban 3 x 5). D. Indique que, con objetos o figuras, representen lo que indican las siguientes multiplicaciones. Aclare que el signo “x” se entenderá

110

como veces. 2x5

y

5x2

Genere conversación para que le indiquen cuál parece indicar una repetición del cinco (¿2 x 5? O bien ¿5 x 2?). E.

Indique que, con objetos o figuras, representen lo que indican las siguientes expresiones: 1x5

2x5

3x5

4x5

5 x5

6x5

7x5

8x5

9x5

10 x 5

Pida que hagan lo mismo para

F.

5x1

5x2

5x3

5x4

5 x5

5x6

5x7

5x8

5x9

5 x 10

Pregunte cuál de los grupos creen que representa una secuencia de cinco de manera constante (generalmente concluyen en que es el primer grupo). Aproveche para discutir acerca de la necesidad de investigar más acerca de la interpretación que las personas dan a una multiplicación en lo cotidiano porque esto ha generado confusión. Por ejemplo, si la tabla del cinco se representa como el segundo grupo (5 x 1; 5 x 2; hasta 5 x 10) es probable que la o el aprendiente no vea la secuencia de cinco ya que la interpreta como cinco veces uno para 5 x 1; cinco veces dos para 5 x 2 y así sucesivamente. En todo caso, le será más fácil entender que la tabla del cinco es la del primer grupo ya que interpreta una vez cinco para 1 x 5; dos veces cinco para 2 x 5; tres veces cinco para 3  x 5 y así sucesivamente. Lleve este análisis a lo que interpreta una persona que maneja un idioma maya cuando escucha “dos por cinco” (que, por lo visto, lo entiende como dos veces cinco).

111

Sugerencia de investigación :

Cada participante investigará acerca de cómo interpretan las diferentes operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división)las personas mayas, garífunas o xincas. Para ello hará lo siguiente: 1. Pedir que la persona le explique con objetos lo que entiende cuando escucha “Cuatro más dos”. La presentación de la expresión y la explicación deberá hacerse en el idioma materno de la persona. 2. Escribir un resumen descriptivo y gráfico de lo que la persona le explica. 3. Comparar el concepto de lo explicado con lo que tradicionalmente se trabaja en la escuela. 4. Dar una conclusión respecto a si coincide lo que la persona entiende de la suma respecto a lo que escucha en el ambiente escolar. 5. Comentar la importancia de conocer los conceptos matemáticos desde una cultura maya, garífuna o xinca para tomarlos en cuenta en las actividades escolares. Todo lo anterior realizarlo con las siguientes expresiones: 1. Siete menos dos. 2. Tres por nueve. 3. Doce dividido entre tres.

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Unidad 8 La geometría y las medidas en la cultura maya Conocimientos previos

Brevemente Brevement e describir lo que se sabe del tema indicado en cada inciso. Dar dos ejemplos. Tomar en cuenta que debe referirse a situaciones particulares de la cultura maya actual. actual. 1. Conceptos de geometría. geometría. 2. Uso de unidades de medida.

Teoría relacionada con el contenido del tema:

En la cultura maya la geometría geometría es parte de su su cotidianidad. cotidianidad. Es común observar formas geométricas en los l os tejidos, artesanías y construcciones construcciones antiguas. Lo interesante vuelve a ser el hecho de que las expresiones en los idiomas mayas “dan el concepto geométrico”. Por ejemplo, en el libro l ibro “Jikomal Chomanik che le mayab´Ajilanb´al” (DIGEBI:61, 2005) se mencionan lo siguiente respecto al concepto de triángulo: En idioma k´iche´

oxib´uxkut

En idioma q´eqchi´

oxxukuut

La traducción de ambas expresiones es: Tres esquinas. Observe que si una niña o niño maya m aya escuchara la expresión expresión en su idioma, el concepto “brotaría” fácilmente. No es lo mismo que escuche “triángulo” que oxib´uxkut o bien oxxukuut.

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Algo similar ocurre para el concepto de cuadrado. Observe: En idioma k´iche´

En idioma q´eqchi´

kejeb´uxkut (cuatro esquinas)

kaaxxakuut (cuatro esquinas)

Aparte de lo considerado respecto a la ventaja del idioma para comprender el concepto, es importante recordar que las l as personas mayas elaboran mosaicos al combinar diferentes figuras geométricas (todo ello con un significado). El Dr Morales dice: “En los tejidos Mayas Quichés, se encuentra una amplia gama de mosaicos, tanto en los tejidos de uso personal, como en los de uso doméstico, los mosaicos tienen diferentes interpretaciones… interpretaciones… Veamos un mosaico:

Bandera, Santa Apolonia

Se puede notar una repetición repetición de triángulos dispuestos dispuestos en filas o cadenas, ya sea horizontal o diagonal. diagonal.

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En este otro ejemplo:

Faja de Sumpango se encuentra una repetición repetición de líneas l íneas quebradas, pero analizando las líneas ellas son la frontera de rombos. Un último ejemplo: Güipil, San Juan Atitlán

Se encuentra una repetición repetición del elemento “<” y también del “>” dispuestos en una fila horizonta h orizontal.l. Estos mosaicos dan una idea general de geometría en los tejidos indígenas, que aun hoy se presentan y forma parte de su vestuario diario” (Morales: 52-54, 52 -54, 1994).

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Medidas

En la actualidad se utilizan unidades de medida particulares en los grupos mayas. Por las mismas circunstancias relacionadas con la imposición de otros sistemas de unidades de medida, las personas han hecho algunas mezclas. Aun así, quedan en uso algunas. Unidades de medida de longitud

José Andrade Gabriel, en un trabajo inédito hecho en el 2009, menciona que en diferentes etnias maya se mide con lo que se llama jun xk´achub´ (una cuarta) y que ello equivale a 20 centímetros. Observe:

Gabriel Sacrab, también en un trabajo inédito hecho en el 2009, agrega las siguientes medidas: Jun moqoj (una brazada)

Jun yokob´ (un pie)

Jun miin (una pulgada)

Jun k´utub´ (una cuarta)

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En el libro “Jikomal Chomanik che le mayab´Ajilanb´al” se mencionan otras unidades de longitud (DIGEBI:62, 2005) En la etnia k´iche´: Uwi´unimal q´ab´aj Xak´ab´ Nik´aj xak´ab´ K´a´m

(un pulgar) (una brazada, equivalente a dos varas) (media brazada, equivalente a una vara) (cuerda, pita para medir terrenos, equivalente a 30 varas)

Unidades de medida de peso

En el libro “Jikomal Chomanik che le mayab´Ajilanb´al” se mencionan las siguientes unidades de medida de peso (DIGEBI:62, 2005): En la etnia k´iche´: Jumuq´ Chakach Laq K´at Ab´aj

(un puño, equivalente a dos onzas) (una canasta, equivalente a 25 libras) (una escudilla, equivalente a una libra) (red, equivalente a un quintal) (marco, equivalente a una libra)

José Andrade Gabriel, en el trabajo inédito ya indicado anteriormente, menciona que en la etnia mam se utilizan las siguientes: Ch´uq (un puño)

Almub´ (una arroba, 25 libras)

Al igual que los ejemplos presentados, es de suponer que hay unidades particulares en cada etnia. Todas ellas válidas por el sólo hecho de ser utilizadas y comprendidas por las personas mayas.

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Unidades de medida de tiempo

En documento del Proyecto de Desarrollo Santiago – PRODESSA- 2009 se dice lo siguiente: “Las civilizaciones antiguas de Meso América desarrollaron calendarios precisos y de estos el calendarios de los mayas es el más sofisticado. Fue el centro de su vida y el mayor logro cultural. Su precisión deriva del hecho de que se basa en una cuenta contínua e ininterrumpida de los días (llamados Kin o Q´ij en maya) a partir de un cero inicial. A lo largo de la historia los pueblos han sentido la necesidad de contar con un punto fijo donde inicien sus cálculos del tiempo. Con este fin, generalmente se ha determinado el punto inicial usando un evento histórico (el nacimiento de Jesús, por ejemplo). Los mayas también descubrieron la necesidad de tal fecha y así llegaron a decidir un evento astronómico significativo, ubicando ese día inicial el 13 de agosto de 3114 a.C. El conocimiento ancestral del calendario guiaba la existencia de los mayas a partir del momento de su nacimiento y era muy poco lo que escapaba a su influencia calendárica… El calendario de 260 días  –  Tzolkin (Cholq´ij)

El calendario Tzolkin (-algunos lo conocen como Cholq´ij-) de 260 días (Kin o Q´ij) es el más usado por los pueblos del mundo maya. Lo usan para regir los tiempos de su quehacer agrícola, su ceremonial religioso y sus costumbres familiares, pues la vida del hombre maya está predestinado por el día del Tzolkin que corresponde a la fecha de su nacimiento. Esta cuenta consta de los números al y de nombres para los días representados asimismo por glifos individuales. El calendario Tzolkin o Cholq´ij abarca trece períodos de veinte días cada uno. Los nombres de los veinte días del calendario Tzolkin o Cholq´ij son: B´atz, E, Aj, I´x, Tz´ikin, Ajmaq, No´j, Tijax, Kawoq, Ajpu, Imox, Iq´, Aq´ab´al, K´at, Kan, Kame, Kej, Q´anil, Toj y Tz´i. De ellos se desprenden los cuatro cargadores, que dan cierta energía a los mes y los años: 

Iq´,el aire;



kej, el venado, la fuerza;

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

E, el camino o porvenir



No´j la sabiduría.

El calendario de 365 días -Haab, Hab´, o Ab´

El calendario Haab se basa en el recorrido anual de la Tierra alrededor del Sol (365 días). Este calendario se utiliza para registrar las épocas de lluvia, de sequía, siembra y cosechas. Exactamente consta de 365.24 días divididos en 18 períodos llamados Winal o Winaq (“meses”) de 20 Kin o Q´ij (días) cada uno. A eso se le agrega cinco días conocidos como Wayeb y que se utilizan para reflexión. La cuenta larga

Los mayas utilizan una forma de registrar el tiempo a la que llaman cuenta larga. Esa cuenta se inició a partir de una fecha conocida como: 4 Ahau 8 Cumku Desde esa fecha comenzaron a contar el tiempo. Los siguientes son los períodos que se utilizan para registrar la cuenta larga: Q´ij = 1 día (sol, día, tiempo)

Winaq = 20 Q´ij o días (un mes)

Tun = 18 Winaq = 360 Q´ij o días

Katun = 20 tunes = 7,200 Q´ij o días

Bactun = 20 katunes = 144,000 días

Pictun = 20 bactunes = 2,880,000 días

Calabtun = 20 pictunes = 57,600,000 días

Kinchiltun= 20 calabtunes = 1,152,000,000 días

 Alautun = 20 kinchiltunes = 23,040,000,000 días

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Construcción del conocimiento y ejercicios:

Actividad 1 A. Presente las expresiones relacionadas con geometría que fueron descritas en la parte teórica. Pregunte si alguna o algún participante conoce otras expresiones en diferente idioma o en el mismo. Pida que cada uno dibuje lo que representa cada expresión. B. Sugiera que cada participante elabore mosaicos utilizando figuras geométricas comunes en los tejidos típicos mayas. C. Aproveche la investigación que se sugiere posteriormente para socializar conocimientos de geometría manejados por personas mayas.

Actividad 2 A. Presente las unidades de medida descritas en la parte teórica. Planifique actividad para utilizarlas en la medición de cosas como: a. Largo del aula b. Ancho del pizarrón c. Grosor de una puerta d. Largo y ancho de un patio e. Otros B. Aproveche la investigación que se sugiere posteriormente para socializar conocimientos de medida manejados por personas mayas. C. Vea si se puede hacer algo similar para las unidades de medida de peso.

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Actividad 3 A. Genere conversación respecto a las unidades de medida presentadas en la parte teórica. Utilícelas para realizar ejercicios en las que encuentre equivalencias. Por ejemplo: Cantidad de días en tres períodos Haab; cantidad de Winaq en tres katunes. B. Consiga un calendario Tzolkin. Organice grupos para que lo exploren y que expliquen lo que comprenden. Esto se haría posterior a presentar las unidades de medida de tiempo. D. Aproveche la investigación que se sugiere posteriormente para socializar conocimientos de unidades de medida de tiempo manejados por personas mayas.

Sugerencia de investigación :

Cada participante investigará acerca de conceptos o conocimientos de geometría o medida que poseen personas mayas, garífunas o xincas. Para ello hará lo siguiente: a. Entrevistar a personas mayas, garífunas o xincas para que: 1. Le indiquen cómo define los siguientes conceptos: línea recta, línea curva, línea vertical, línea inclinada, línea horizontal, ángulo, triángulo, cuadrado, rectángulo, círculo, rombo, cilindro (bote, tonel), cubo, esfera. Que le expliquen: 2. Cómo establece la diferencia entre cuadrado y rectángulo. 3. Si en su cultura se tienen expresiones para establecer diferencia entre triángulos de acuerdo con el tamaño de sus lados. ¿Cómo se establece esa diferencia? 4. El significado cosmogónico que le da a algunos (o todos) los concepto anteriores. 5. Manera como mide un ángulo (ángulo de paredes, techos y otros objetos . b. Entrevistar para conocer unidades de medida de longitud, peso, capacidad y tiempo que utiliza (que sean propias de su cultura).

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c. Buscar cinco mosaicos diferentes que estén en trajes típicos que se utilizan en la cultura maya. Presentar su trabajo atendiendo lo siguiente: Dibujar y pintar los mosaicos. Hacer esto en un cartel o en una hoja de papel. Identificar y describir cada figura geométrica que encuentre (si hay líneas horizontales, líneas quebradas, círculos, rombos, cuadrados u otros). Describir el significado de las figuras de los mosaicos desde la cosmovisión del grupo étnico que lo utiliza. 





De todo lo anterior, la o el participante presentará información escrita y gráfica que socializará con sus compañeras y compañeros. Por esto mismo, la o el facilitador deberá anticipar (en presencial previo) las instrucciones para la investigación a realizar.

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