20-Libro Matemática Maya 2.pdf

Escuela Superior de Educación Integral Rural ESEDIR Mayab’ Saqarib’al Profesorado y licenciatura en Educación Bilingüe Intercultural con énfasis en Cultura Maya. Catalogación de la fuente: A este libro le llamamos: Matemática Maya Este libro fue elaborado por: Daniel Caciá Colaboración de: Roselia Reyes Caballeros Caballero s Se publicó en: Chi Edición de: ESEDIR-PRODESSA No. de edición: Primera. ISBN: 978-9929-571-13-6

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Chi Iximulew - Guatemala, Julio de 2010

Palabras clave: Sistema vigesimal, adición, sustracción, multiplicación, división, cuadriculado, posición, valor posicional, agrupar, llevar, transformar, desagrupar, prestar.

Instituciones miembros del consorcio educativo: Eduardo de León Barrios – Director Ejecutivo FRMT Federico Roncal Martínez y Edgar García Tax Tax – Codirectores PRODESSA. Oscar Hugo López López Rivas – Director EFPEM – USAC USAC Equipo de elaboración: Pakal B’alam: Mediador Pedagógico Pakal B’alam: Traducción de textos al idioma maya Rony Girón: Ilustrador Gustavo Xoyón: Diagramador Equipo de revisión: Mario Salazar – Cordinador del Proyecto Wielman Cifuentes Cifuentes – Cordinador Area de Educacion Educacion FRMT Juan Manuel Monterroso Monterroso – Director ESEDIR

Este texto fue elaborado por PRODESSA en el marco del proyecto “Institucionalización de la Educación Bilingüe Intercultural en la universidad pública de Guatemala, Universidad de San Carlos de Guatemala, USAC”, apoyado financieramente por: EUSKO JAURLARITZA, GOBIERNO VASCO y MUGEN GAINETIK.

Tabla de contenidos Introducción temática ........................................................................ .............................................................................................................. .......................................................................... ........................................................................ ........................................................................ ........................................................................ ........................................... ....... 5 Ubicación Temática .................................................................... .......................................................................................................... .......................................................................... ........................................................................ ....................................................................... ....................................................................... ........................................................ .................... 6

Unidad La adición o suma en el sistema de numeración maya ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ........ ....... ....... .. 9

1. Introducción............................................................................................................................................11 2. La adición o suma............................ suma.................................................. ............................................ ............................................ ............................................ ...................................11 .............11 2.1 Adición o suma sin agrupar, agrupar, sin llevar o transformar (Caso 1)........................................ 1).............................................................1 .....................122 2.2 Adición sin agrupar, agrupar, sin llevar o sin transformar (Caso 2)............................................................ 2)....................................................................18 ........18 2.3 Adición o suma agrupando, llevando o transformando (Caso 3)................................................ 3)...........................................................21 ...........21 Unidad La sustracción o resta en el sistema de numeración numeración maya 29 ..................................................................... ......................................................................................................... .................................... 29

1. Introducción.............................................................................................................................................31 2. La sustracción o resta.................. resta........................................ ............................................ ............................................ ............................................ .....................................32 ...............32 2.1 Sustracción sin desagrupar, desagrupar, sin transformar o prestar (Caso 1)..................................................... 1)..........................................................32 .....32 2.2 Sustracción o resta desagrupando en la misma posición (caso 2)...............................................37 2.3 Sustracción transformando, desagrupando desagrupando o prestando de una posición a otra (Caso 3)...................39 Unidad Multiplicación en el sistema de numeración maya 47 ....................................................................... ........................................................................................................... .................................................................. .............................. 47

1. Introducción.............................................................................................................................................49 2. La multiplicación....................... multiplicación.............................................. ............................................. ............................................ ............................................ ........................................50 ..................50 2.1 La multiplicación sin agrupar, sin llevar o transformar (Caso 1).......................................................51 2.2 La multiplicación sin agrupar, sin llevar o transformar (Caso 2)..............................................53 2.3 La multiplicación agrupando, llevando o transformando (Caso 3)..................................................59 2.4 La multiplicación agrupando, llevando o transformando (Caso 4)................................................... 4)........................................................64 .....64 Unidad División en el sistema de numeración maya ........................................................................................................................................................ ............................................................................ .............................................................................................. .................. 71

1. Introducción.............................................................................................................................................73 2. La división.............................. división.................................................... ............................................ ............................................ ............................................ ............................................ ......................73 73 2.1 División sin residuo (Caso 1).......................................... 1)................................................................ ............................................ ............................................ ..........................73 ....73 2.2 División sin residuo (Caso 2)...........................................................................................................75 2.3 División sin residuo (Caso 2)........................................ 2).............................................................. ............................................ ............................................ ..........................78 ....78 ................................................................ ............................................ ............................................ ..................................86 ............86 Algunas palabras finales.......................................... Bibliografía........................ .................................... ........................ ........................ ........................ ........................ ......................... ......................... ........................ ........................ .................87 .....87

Introducción temática En el curso “Matemática Maya 1” se abordó la misma como una ciencia que se constituyó y sigue constituyendo un aporte científico para la humanidad. Uno de los temas trabajados fue el sistema de numeración vigesimal. Luego de experimentar el curso indicado, una de las dudas podría ser ¿En un sistema de numeración tan avanzado podría encontrarse algoritmos o procedimientos para realizar operaciones aritméticas? La respuesta es un rotundo ¡Sí! Los mayas, además de conceptualizar operaciones como la suma, la resta, la multiplicación y la división; aplicaron procedimientos concretos en esas operaciones. Conocerlos y practicarlos será la razón de ser de este texto. En el caso de la suma y la resta se trabajarán los procedimientos que ya han sido practicados y aceptados por conocedores de la cultura maya. En el caso de la multiplicación y división, se presenta una propuesta a partir de procedimientos investigados por estudiosos de la matemática maya, en particular el Dr. Leonel Morales. Le invitamos a “subirse al camión de las operaciones aritméticas”. Le adelantamos que disfrutará aprendiendo la simplicidad y exactitud de los métodos creados hace muchos años por genios o genias de la matemática. ¿Qué dice? ¿Se sube?

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Ubicación temática El texto que tiene en sus manos, trata de ayudar a responder preguntas como ¿Qué es un sistema de numeración? ¿El sistema de numeración maya es posicional o no posicional? ¿Cómo se construye el sistema de numeración vigesimal o maya? ¿Cómo se realizan las operaciones en este sistema de numeración? ¿Hasta qué punto se ha valorado la matemática maya como medio para desarrollar el pensamiento lógico? ¿Qué tipo de matemática es utilizada por las y los mayas actuales? Seguramente tendrá respuestas correctas para algunas o para todas las interrogantes. Aún con ello, le invitamos a leer y realizar las actividades del presente módulo con el objetivo de aprender o afianzar los contenidos que se desarrollan. Previamente es necesario realizar algunas consideraciones importantes. Respecto a la matemática maya se ha hablado y escrito bastante. En grado mayor o menor, se le da tratamiento como: 1) Interpretación filosófica y religiosa de la matemática en la cultura maya. 2) Medio para desarrollar el pensamiento lógico a través de la comprensión del sistema de numeración vigesimal o maya y de las operaciones aritméticas que en el mismo se realizan. 3) Consideración de la matemática maya como un bien provisto por la cultura maya y como legado de la humanidad. 4) Fuente de investigación para conocer el uso de la matemática en la población maya actual. Actualmente hay bastante bibliografía relacionada con lo indicado en el numeral “1”. De esa cuenta, en este módulo se trabajará más en los otros incisos, algunos a nivel de inducción o motivación para su investigación. ¿Cuál es la razón para esa decisión? … Las respuestas pueden encontrarse o deducirse en lo que se expone a continuación. La cultura maya ha generado bienes culturales de alto valor científico. Uno de esos bienes es el tratamiento que se le ha dado a contenidos matemáticos. Tanto en el pasado como el presente, la mujer y el hombre maya tienen una manera diferente de conceptualizar o representar las cantidades, las operaciones, los cálculos, las medidas, la geometría y otros componentes de la matemática. Veamos algunos ejemplos: 1) En el sistema maya o vigesimal utilizado antes de la invasión española, la representación de veintidós unidades se hace a partir de agrupaciones de veinte. Observe: 20 1

Un grupo de veinte Dos unidades

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Entonces, veintidós unidades se interpretan y se representan como un grupo de veinte y dos unidades, justo como se dice en kaqchikel: juk’al ka’i’. 2) El procedimiento para realizar una suma en el sistema vigesimal o maya se basa en la misma agrupación de veinte. Si se suma un grupo de veinte con tres grupos de veinte, el resultado es cuatro grupos de veinte. 3) En la actualidad, una persona k’iche’ expresa el concepto de triángulo de la siguiente manera: oxib’ uxkut (tres esquinas o tres lados). El más práctico es el xuk’ub’, los tres tenamastes que sostienen con equilibrio el comal. Pensar en tres esquinas o tres lados permite imaginar el concepto de triángulo de una manera más fácil y sencilla. 4) La estructuración de conceptos matemáticos desde la óptica maya responde a situaciones reales o cotidianas. Por ejemplo, la agrupación de veinte ( juwinaq) se asocia a una persona (jun winaq) por el hecho de tener diez dedos en las manos y diez en los pies. Otro punto importante es que en los idiomas mayas hay especificidad en el conteo del tiempo y genérico, así la organización de las unidades de tiempo: juwinaq equivale a veinte días; mientras que 20 cosas es juk’al. Parte de lo expuesto se pretende ampliar y profundizar en el módulo que está por trabajar. Vale la pena indicar que la valoración del contenido depende de quién lo reciba. La condición para valorar lo presentado, será que la lectora o el lector experimente, ejercite, reflexione, cuestione, aporte y genere investigación. Debe recordar que se está en los inicios del rescate y valoración de la matemática maya… ¿Qué tal si usted se convierte en una o uno de los aportadores de esta matemática?

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La adición o suma en el sistema de numeración maya

1. Introducción Hasta el momento conoce la manera como se escriben e interpretan cantidades en el sistema de numeración vigesimal o maya. Básicamente debe recordar que: 1) Las agrupaciones son de veinte en veinte. 2) Se estructura en posiciones que se ordenan de abajo hacia arriba. Cada posición tiene un valor que es 20 veces mayor que la inmediata inferior. 3) Cuatro barras en una posición dan un valor de veinte. Entonces, esas cuatro barras se cambian por un punto a la posición inmediata superior. Por ejemplo: 400

400

20

20

1

1

En el diccionario de Coto se encuentran expresiones como: ju.tzik, ka.tzik un punto, dos puntos; ox.jik, kaj.jik tres rayas, cuatro rayas; y ju.k’ex ka.k’ex un grupo de cinco; dos grupos de cinco semillas de cacao para intercambiar o trocar.

Con esos conocimientos está listo o lista para el abordaje de la adición o suma en el sistema de numeración maya. Respecto a las operaciones en el sistema de numeración maya o vigesimal, el Dr. Leonel Morales dice: “La adición y probablemente las otras operaciones de la aritmética, se trabajan sobre una tabla o en el suelo, en ella

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se colocan puntos y barras (frijoles y palitos). León Portilla (pág. 2) propone que en el CÓDIGO DE DRESDE (44-b) se encuentra la representación de una multiplicación. También Calderón (1966) describe en forma muy didáctica, ¿Ha observado las cuatro operaciones de cómo hacen sumas la aritmética…” (Morales: mentales las y 16, 1994). los vendedores Hay varias interpretaciones que se le han dado al procedimiento para realizar la adición o suma y la sustracción en el sistema de numeración maya o vigesimal. En este apartado se presenta una manera que pretende ser previa a un procedimiento más general.

en los mercados? Ellos siguen un procedimiento fácil y práctico, primero suman las cantidades mayores, redondeándolo si fuera posible, luego agregan los picos. ¿Cómo podríamos traer estas estrategias al aula para realizar sumas?

2. La adición o suma Hay varios casos que pueden ocurrir cuando se realiza una adición o suma en el sistema de numeración maya o vigesimal. Explorará cada caso de dos maneras: Acudiendo al uso de material concreto y en forma abstracta. La parte de la experiencia con material se presentará en forma de actividades. La parte abstracta como una explicación que resume lo que se haga a nivel concreto.

Los textos de las estelas y los códices incluyen sumas de distancia temporal (en días, veintenas de días), a partir de una fecha del Cholq’ij o la Cuenta Larga, para ubicar, con precisión, la fecha de un siguiente evento.


Adición o suma sin agrupar, 2.1 sin llevar o transformar (Caso 1) Lea el siguiente problema:

Candelaria tiene

libros.

Su hermana tiene

libros.

Si decidieran reunirlos, ¿cuántos libros tendrían en total? ¿Ya pensó la operación que resuelve el problema?... Bien, ¿coincide con la siguiente? más Observe que las cantidades a sumar son: dos de veinte y cinco más (+) dos de veinte y uno. En maya se diría algo como dos k’ales y cinco unidades sobre dos k’ales y una unidad . Realice esa adición o suma de dos maneras: La primera con materiales y la segunda en forma abstracta. Para la primera manera, realice la siguiente actividad.

El procedimiento no cambia el resultado.

¡Semillas de maíz para sumar! Diccionarios coloniales de idiomas k’iches, reportan que iximanik es el acto de contar e ixim y calcular con semillas de maíz.

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Actividad A. Utilice cartón de desecho para elaborar un cuadriculado como el que se ilustra: (Si no tuviera una regla a disposición, puede usar medidas prácticas, no estandarizadas como cuartas y dedos) 30 cm

2) Junte la cantidad de la segunda columna con la cantidad de la primera columna. Hágalo posición por posición, de abajo hacia arriba. Realice esto antes de leer el siguiente inciso. 3) Observe si tiene algo como lo siguiente:

m c 0 3

Además, prepare las barras y puntos de la numeración maya. Según su creatividad o disponibilidad de objetos.

¡Ya está! Aquí tiene el resultado de la adición o suma. ¿Cuál es la respuesta al problema?

B. Realice lo siguiente: 1) Utilice sus materiales para mostrar la primera cantidad (el primer sumando) en la primera columna del cuadriculado que hizo y la segunda cantidad (el segundo sumando) en la segunda columna. Observe:

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Los mayas presentaban los números de distancia (ND) en orden ascendente, k’in (1 día), winäq (20 días); 1 tun (360 días); 1 k’atun (20 tunes) para ser sumados a una fecha base Choltun, en orden descendente (B’aktun _400 tunes; K’atun, tun,...) ¿Qué similitud encuentra entre esto y el procedimiento para la suma maya?


El paso a lo abstracto es fácil. Observe: En maya: kak’al wo’o’ pa ruwi’ kak’al jun. más El procedimiento se resume así: 1) Escriba cada cantidad en un cuadriculado en su respectiva columna)

2) Junte o traslade los puntos y barras a la primera columna (según posición en que están)

Entonces, dos de veinte y cinco sumado a dos de veinte y uno, da como resultado cuatro de veinte y seis. Esto interpretado en el sistema vigesimal y en idioma maya corresponde a nombres de números y dígitos representados: kak’al wo’o’ pa ruwi’ kak’al jun napon kajk’al waqi’ . Si quiere interpretar lo anterior en sistema decimal, hace lo siguiente:

k’al

45 + 41

k’al

=

86

14


Ahora pruebe con otra adición o suma: (bola a círculo, disco, rodaja)

más

más

Actividad A. Utilice el cuadriculado que elaboró en la actividad anterior, sus barras y puntos. B. Forme un grupo de dos o tres compañeros o compañeras y traten de realizar la suma presentada anteriormente pero utilizando sus materiales. Después de haber tratado, confirmen o aprendan realizando lo siguiente. 1) Utilice sus materiales para mostrar cada cantidad de la adición o suma que resuelve el problema. Hágalo en su respectiva columna. Observe:

2) Junte las cantidades en la primera columna. Hágalo posición por posición, de abajo hacia arriba. Realice esto antes de leer el siguiente inciso. 3) Observe si tiene algo como lo siguiente:

q’o’

k’al q’o’

jujunal k’al

jujunal

15


más

Véalo en forma abstracta:

más

1) Escriba cada cantidad en un cuadriculado (en su respectiva columna)

2) Junte o traslade los puntos y barras a la primera columna (según la posición en que están) q’o’

k’al

Esto se puede interpretar de varias maneras:

Una fecha del Choltun o Cuenta Larga se presentaba en orden descendente, del mayor a menor que es k’in o , día. Siguiendo tal orden, q’ij el primer sumando se leería ju.q’o’ waq.k’al wuqu’ .

a a uno de veinte y cinco de uno da; como resultado dos de veinte de veinte, doce de veinte y trece de uno. Uno de cuatrocientos, seis de veinte y siete de uno sumado a uno de cuatrocientos, cinco de veinte y uno de uno sumado a uno de veinte y cinco de uno; da como resultado dos de cuatrocientos, doce de veinte y trece de uno.

• Uno de veinte de veinte, seis de veinte y siete de uno sumado uno de veinte de veinte, cinco de veinte y uno de uno sumado

•

Interpretado en sistema decimal: q’o’

k’al

527

+ 501 +

25

=

1,053

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Actividad A. Resuelva los siguientes problemas.

1) En un bosque hay

cedros y

pinos.

¿Cuántos árboles hay en total? 2) Pedro tiene

quetzales en su cuenta de ahorro.

quetzales ahorrados. Deposita

¿Cuánto ha ahorrado en total? B. Realice las sumas indicadas.

1)

2)

8)

más

más

más 9)

3)

más

más 10)

4)

más

5)

más

6)

más

7)

más

17

más

más

más

11)

más

más

12)

más

más


Adición sin agrupar, 2.2 sin llevar o sin transformar (Caso 2) Lea y trate de resolver el siguiente problema:

En una bolsa hay

pelotas azules y

pelotas blancas.

¿Cuántas pelotas hay en total?

Actividad 4) Observe si tiene algo como lo siguiente: A. Utilice el cuadriculado que elaboró en la actividad anterior y sus barras y puntos. Realice lo siguiente: 1) Con sus materiales muestre cada cantidad de la adición que resuelve el problema presentado anteriormente.. 2) Observe:

5) Como se observa, en la segunda posición hay seis puntos. ¿Qué hacer en ese caso? Piense y resuelva. 6) Observe si hizo algo como lo siguiente:

3) Junte las cantidades en la primera columna. Hágalo posición por posición, de abajo hacia arriba. Realice esto antes de leer el siguiente inciso.

El cambio en la segunda posición se hace porque, como recordará, cinco puntos se cambian por una barra. Esto aplicará para cualquier caso en que se tengan cinco puntos.

18


más

Véalo en forma abstracta:

1) Escriba cada cantidad en un cuadriculado (en su respectiva columna).

2) Junte o traslade los puntos y barras a la primera columna.

3) En la segunda posición, cambie cinco puntos por una barra.

k’al

NOTA Interpretando en sistema decimal:

85 + 41

=

El segundo y tercer paso pueden unirse. Al observar que hay seis puntos en la segunda posición, de una vez se cambian cinco por una barra; entonces queda una barra y un punto.

126 El resultado de la suma se leería como: waqk’al waqi’ literalmente seis k’ales y seis unidades.

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Actividad A. Resuelva los siguientes problemas.

¿Cuántas personas hay en la reunión?

2) Ana ya tiene

habas en un canasto. Agrega

habas que acaba de tostar.

En total, ¿cuántas habas hay en el canasto?

B. Realice las siguientes sumas.

1)

más

2)

más

3)

más

4)

más

5)

6)

más

7)

más

más

8)

más

más

más

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Adición o suma agrupando, 2.3 llevando o transformando (Caso 3) ¿Qué tal si “le entra” al siguiente problema? Trate de hacerlo usted mismo/a, sin ayuda. Después confirme o aprenda cómo se resuelve. Silverio paga

quetzales por un Popol Wuj y

quetzales por un libro del Chilam B’alam.

¿Cuánto invierte en total?

¡Simple y lógico!

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Actividad A. Prepare sus barras y puntos (materiales que usó en otras actividades) para realizar la suma anterior. B. Forme pareja con una compañera o compañero y realicen lo siguiente. Recuerden conversar antes de realizar uno de los pasos y ayudarse cuando no comprendan algo. Realice lo siguiente: 1) En el cuadriculado y en las respectivas columnas, representen cada cantidad de la adición o suma. 2) Confirmen si tienen algo como lo siguiente:

3) Junten las cantidades tal como lo hizo en la adición o suma sin ll evar. Observen lo que se forma en cada posición. Hagan los cambios que consideren necesarios. 4) Observe si hicieron algo como lo siguiente:

Así está al inicio.

Se juntan cantidades. Cuatro barras forman una veintena. Entonces se cambian por un punto en la segunda posición.

Cinco puntos en la segunda posición se cambian por una barra.

Este es el total.

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5) Con sus materiales, experimenten lo anterior si no lo habían hecho así. 6) Entonces el resultado es: o.k’al (5.veintes)

más

igual a

waqxaqi’ (8 unos)

7) Utilicen sus materiales para realizar la siguiente suma. Hagan la interpretación de las cantidades que se suman y del total. Recuerden lo siguiente:

NOTA Algunos pasos pueden realizarse en uno sólo. Por ejemplo, al juntar, de una vez cambiar cuatro barras de la primera posición por un punto en la segunda. A la vez, los cinco puntos de la segunda posición por una barra.

a) Cinco puntos se cambian por una barra. b) Cuatro barras forman una veintena. Entonces se cambian por un punto que pasa a la posición inmediata superior. Lo que sobra se queda en su posición original.

más

La suma maya es fácil y divertida.

23

más

Con esta forma logro agilidad mental.

Hasta aquí, ya ha experimentado que es totalmente posible realizar sumas, llevando y sin llevar. ¿Lo ha hecho con las y los educandos, utilizando material concreto? ¡A los niños les encanta jugar a sumar!


Observe las sumas ya trabajadas en forma abstracta. En el caso de la suma que se presentó en el problema tenemos: más 1) Escriba cada cantidad en un cuadriculado (en su respectiva columna)

2) Junte o traslade los puntos y barras a la primera columna.

3) Cambie cuatro barras de la primera posición por un punto en la segunda. En la segunda cambie cinco puntos por una barra.

k’al

¡Podemos acortar el tiempo, tomando atajos!

El segundo y tercer paso pueden unirse de manera que mentalmente se hacen los cambios para ir desde lo que se ve en el primer cuadriculado hasta el resultado que se observa en el tercero. Interpretando en sistema decimal:

55 +

53

=

108

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Observe la otra suma, de tres sumandos:

más

más

igual a

3) Cambie puntos por una barra en la primera y tercera posición, en la primera y tercera posición, porque cinco puntos equivalen a una barra.

1) Escriba las cantidades.

4) En la primera y segunda posición, cambie cuatro barras por un punto que pasa a la posición inmediata superior. 2) Junte posición por posición. q’o’

k’al

¡Recuerde que la experiencia hace la diferencia!

¿Quiere probar a reducir Cuando ya se tiene suficiente comprensión y dominio del procedimiento, los pasos para realizar la se puede pasar desde lo que se ve en el primer cuadriculado hasta el suma? Solo con la práctica lo cuarto y los cambios se hacen mentalmente. logramos.

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Interpretando en sistema decimal:

1,334 + 1,913 +

404

=

3,651

Actividad A. Realice las siguientes sumas.

1)

4)

más

5)

más

6)

más

más

2)

más

3)

más

más

más

B. ¿Qué sucede si para sumar tenemos que utilizar otra posición o tenemos más cantidades o sumandos? Forme pareja con una compañera o compañero. Piensen y realicen las siguientes adiciones o sumas. Pidan apoyo de la o el docente en caso de duda.

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1)

más

más

más

más

k’ala’ chuy 2)

más

más

q’o’ k’al

¿Cuál será el resultado de sumar los 13 numerales del Cholq’ij?

¡Probemos!

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Sabemos que aún con varios sumandos y con cantidades más altas, de tres o más posiciones, se sigue el mismo procedimiento: juntamos las unidades colocándolos en una misma columna y transformamos cuando es necesario; seguimos con los k’al o veintenas; los q’o’ (400s); los chuy (8000s) y así sucesivamente.

La sustracción o resta en el sistema de numeración maya

1. Introducción Una vez se ha comprendido el procedimiento de suma, la resta resulta fácil ya que se realizan pasos que son inversos a los hechos en tal operación. Para trabajar la resta es importante recordar los principios de sustitución o equivalencia que se describen abajo. 1. Un punto que se pasa de una posición a otra inmediata inferior, equivale a cuatro barras. 2. Puntos se operan con puntos y barras con barras. Cuando no hay suficientes puntos se cambian barras por puntos. Cuando no hay suficientes barras, se cambia un punto por cuatro barras, de una posición superior a una inferior. En esta unidad le invitamos a trabajar la resta de manera similar a lo hecho con la suma. Primero usamos material concreto y después pasamos a lo abstracto. ¿Qué dice? ¿Le entramos?

Los mayas también realizaron restas de los números de distancia o adverbios de tiempo pasado, los cuales se restaban de una fecha base y con ello establecían la fecha anterior de otro evento. Algo como restar la edad de un niño al año actual para obtener el año de nacimiento.

¿Cómo se restarán estas cantidades? ¿Será fácil hacer resta con números mayas?

Aprendamos en esta unidad.

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2. La sustracción o resta También en la sustracción o resta hay varios casos que pueden ocurrir y que se tratarán en el siguiente apartado. De nuevo le invitamos a iniciar con una experiencia concreta para pasar a lo abstracto.

Sustracción sin desagrupar, 2.1 sin transformar o prestar (Caso 1) Lea el siguiente problema y trate de resolverlo. Compare

su solución con una compañera o

compañero. En una caja hay

lápices para vender. Cierto día se venden

¿Cuántos lápices quedan? Confirme con lo que se expone a continuación. La operación que corresponde al problema es:

¡No aún, pero se han hecho algunas propuestas!

menos

¿Cómo se expresa verbalmente una resta en el idioma maya que habla? En Kaqchikel se diría algo como “Si sacas cinco jocotes de la canasta que contiene veinte, te quedan...”

¿En los idiomas mayas no hay un signo para resta ni suma?

_______________________.

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Actividad A. Prepare sus ceros, barras y puntos (materiales creados por usted) para realizar la resta anterior. B. Antes de iniciar, lea lo siguiente: 1) La sustracción o resta en el sistema de numeración maya se piensa como una comparación. 2) Para operar la sustracción, se compara puntos con puntos y barras con barras de cada posición. 3) La operación se realiza en forma de eliminación. Se eliminan tantos puntos y barras que hay en la cantidad que se restará como puntos y barras hay en la cantidad de la que se restará. C. En el cuadriculado, represente con sus materiales la cantidad de la que se restará en la primera columna (podemos llamar “minuendo” a esta cantidad). La cantidad que se restará (sustraendo) represéntela en la segunda columna. D. Observe si hizo algo como lo siguiente:

Cantidad de la cual se restará (minuendo)

Cantidad que se restará (sustraendo)

E. Para realizar la resta haga lo siguiente: 1) En la primera posición hay una barra en la cantidad de la que se restará y una barra en la que se restará. Elimine ambas y coloque un cero como resultado de la primera posición.

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2) En la segunda posición observe hay dos puntos en la cantidad de la cual se restará y uno en la que se restará. Entonces elimine un punto de cada una. Queda un punto que se coloca como resultado de la segunda posición. Observe:

k’al

En forma abstracta se harían las eliminaciones tachando tantos elementos hay en la cantidad de la que se restará como la que restará (puntos con puntos y barras con barras). Observe:

k’al

45

-

25

=

Entonces:

menos

igual a

20

¿Ya experimentó enseñar la resta utilizando el idioma maya materno de las y los educandos? Si no, manos a la obra. Pruebe y verá los resultados.

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Mirá sólo tenés que hacer esta operación.

¿Cómo saber cuál es mi año de nacimiento, si tengo 10 años?

Actividad En grupos de tres compañeras o compañeros, realicen las siguientes restas. Háganlo con sus materiales y, después, en forma abstracta.

1)

2)

Confirmen sus resultados. En el caso del ejercicio 1:

k’al

75

35

-

45

=

30


Para el ejercicio 2:

q’o’

k’al

4,055 - 2,050

=

2,005

Actividad Individualmente realice las siguientes restas. Hágalas sólo en forma abstracta. Si lo desea, confirme expresándolas en sistema de numeración decimal. 1)

menos

2)

menos

3)

menos

4)

5)

6)

menos

7)

menos

8)

menos

menos

menos

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Mientras sigue practicando la resta en sistema vigesimal maya; le proponemos hacer la prueba de las restas en sistema decimal; pero utilice utilic e puntos y barras (del 0 al 9), ¿Qué dice? ¿Lo intenta?

Sustracción o resta 2.2 desagrupando en la misma posición (caso 2) Lea el siguiente problema y trate de resolverlo. Compare su solución con una compañera o compañero. En un colegio hay

educandos.

son niñas, y el resto son niños.

¿Cuántos varones hay?

Actividad Con sus materiales (puntos, barras, ceros mayas y cuadriculado): 1) Represente las cuadriculado.

cantidades

2) Observe si le quedó así:

k’al

en

el

3) Cambie la barra de la primera posición posición de la cantidad de la que se restará (minuendo) por cinco puntos. Recuerde que esto debe hacerse porque puntos se eliminan con puntos.

k’al

4) Ahora sí… proceda a eliminar tal como lo hizo en las restas ya trabajadas en la sección anterior.

37


5) Observe si el resultado le quedó quedó así:

k’al

En forma abstracta:

Representar cantidades

sustituir y eliminar

¡el resultado!

k’al

85

- 42

=

43

Entonces:

menos

igual a

¿Cuál es la respuesta al problema presentado?

¿Podría pensar en otra forma de representar la resta o sustracción y de presentar la diferencia? La creatividad y la necesidad son base para esto.

38


¿Que pasara si resto en otro orden? Quizás no afecta pero es mejor tener un orden.

Sustracción transformando, desagrupando o 2.3 prestando de una posición a otra (Caso 3) Lea el siguiente problema y trate de resolverlo. Compare su solución con una compañera o compañero.

En la aldea “Los Jocotes” hay

habitantes.

En la aldea “La Loma” hay

¿Cuántos habitantes más hay en “Los Jocotes”?

Veamos. Veamos. La operación que resuelve resuelve el problema es:

39

menos

habitantes.


Actividad Utilizando sus materiales (puntos, barras, ceros mayas y cuadriculado): 1) Represente las cantidades en el cuadriculado.

q’o’

k’al

2) Observe la segunda posición. ¿Qué pasa en ese caso? Se puede ver que es menor que . Entonces, antes de operar, hacemos un cambio. ¿Un cambio? Sí, es desagrupar (o “prestar”). Se toma un punto de la tercera posición, del minuendo, y se cambia por cuatro barras que se colocan en la segunda.

Minuendo – sustraendo

un punto desagrupado

40


3) Realice lo anterior con sus materiales. Después haga la resta. 4) Observe si el resultado le quedó así:

k’al

En forma abstracta: q’o’

k’al

845 - 505

=

340 ¡17 k’ales!

Entonces:

menos

igual a

Tomando en cuenta que: Cuando lo que se restará en una posición es menor que la cantidad de la que se restará (minuendo), se debe desagrupar (o prestar) una veintena de la posición inmediata superior (un punto se cambia por cuatro barras). Por otra parte, a veces también es necesario cambiar una barra por cinco puntos, sin que implique cambiar de posición.

41


Observe otro ejemplo:

menos

1) Escriba las cantidades en el cuadriculado. Observe que en la primera posición es menor que

3) Para operar puntos con puntos y barras con barras, cambie una de las barras de la primera posición por cinco puntos.

2) Desagrupe (o preste) una veintena de la segunda a la primera posición. Entonces, un punto de la segunda posición se cambia por cuatro barras que pasan a la primera posición.

4) Observe la segunda posición de la cantidad de la que se resta. es menor que . Hay que desagrupar (o prestar) una veintena de la tercera posición (de la que se está restando). Como en esa posición hay una barra, la cambiamos por cinco puntos.

q’o’

k’al

42


5) Para operar puntos con puntos y barras con barras, cambie una de las barras de la primera posición por cinco puntos.

6) Observe la segunda posición de la cantidad de la que se resta. es menor que . Hay que desagrupar (o prestar) una veintena de la tercera posición (de la que se está restando). Como en esa posición hay una barra, la cambiamos por cinco puntos. q’o’

k’al

Varios de los pasos pueden omitirse cuando ya se tiene suficiente experiencia y comprensión de lo que se hace. Se logra con la práctica ¡restar, restar y restar! En resumen

2,140 –

707

=

1,433

Seguramente ya tuvo la oportunidad de expresar problemas de resta en el idioma maya de las y los niños. En kaqchikel se dice tawelesaj (saca) juq’o’ wolajk’al wuqu’ chupam (de) oq’o’ wuqk’al. Algo como “ tome un q’o’ (400s), quince k’ales y siete unidades de oq’o’ wuqk’al.

43


¿No se sienten bien al saber que su cultura maya ha aportado mucho?

¡Super bien!

Actividad Realice las siguientes restas. Hágalas sólo en forma abstracta. 1)

2)

menos

4)

menos

5)

menos

menos

3)

44


6)

menos

7)

menos

8)

menos

9)

menos

10)

45

menos

Si sabemos sumar, podemos multiplicar.

Multiplicación en el sistema de numeración maya

1. Introducción Una vez comprendido y dominado el procedimiento para sumar y restar en el sistema de numeración maya, resulta fácil trabajar la multiplicación y la división. La multiplicación se entenderá como una suma repetida y puede operarse de esa manera (sumar varias veces la cantidad dada). Sin embargo, tanto para la multiplicación como para la división existen procedimientos particulares y más rápidos de aplicar. En esta unidad se aplicará un procedimiento “desmenuzado” de la multiplicación con la intención de facilitar la comprensión de otros algoritmos que pueden ser más rápidos aunque más mecanizados. Es importante anotar que la lógica de los procedimientos para operaciones aritméticas en el sistema de numeración maya o vigesimal se deduce de acercamientos que han hecho investigadores como el Dr. Leonel Morales, matemático guatemalteco, que ha dedicado parte de su tiempo para valorar y promulgar la matemática creada y utilizada por nuestros ancestros mayas.

¿Qué operación hacen las tejedoras, al organizar la urdimbre textil?

49

¿Suman o multiplican? ¡Investiguemos¡


2. La multiplicación La multiplicación puede entenderse como una operación en la que se suma varias veces una cantidad. Esto es fácil cuando se trabaja con cantidades pequeñas. Sin embargo, cuando se trata de cantidades grandes es necesario acudir a un algoritmo más práctico y sencillo aunque “Hasta el momento, no ha sido posible deducir históricamente dicho algoritmo” (Morales: 26, 1994). El Dr. Leonel Morales hace una propuesta personal de ese algoritmo que mediaremos y ampliaremos en los siguientes segmentos.

Debemos investigar más sobre formas de multiplicar con números mayas.

Estoy de acuerdo. De esa manera podremos practicar, y compartir mejor.

¿Cree que es importante conocer el procedimiento para realizar multiplicaciones en el sistema de numeración maya o vigesimal? ¿Por qué?

50


La multiplicación sin agrupar, 2.1 sin llevar o transformar (Caso 1) Lea el siguiente problema y trate de resolverlo:

Tomás tiene

canastos. En cada canasto hay

jocotes.

¿Cuántos jocotes tiene en total? ¿Está de acuerdo con que la operación que corresponde es la siguiente? veces

Actividad Volvamos con sus materiales (puntos y barras). Realice la siguiente experiencia para resolver el problema planteado o para confirmar la solución que ya encontró. 1) Represente cuatro veces dos (con los materiales que representan números mayas). 2) Junte todo de manera que ejecute una suma. 3) Realice los cambios que sea necesario. 4) Confirme si hizo algo como lo siguiente: veces Cuatro veces dos. más Total:

más

más

O sea que cuatro veces dos es igual a ocho. 5) Escriba la expresión de multiplicación en el idioma maya materno que conoce. Después busque pareja y conversen a partir de lo siguiente: a) ¿Coincide la expresión en idioma maya con el procedimiento de multiplicación que realizaron? Es decir, ¿la expresión en el idioma maya da a entender cuál es la cantidad que se repite y cuántas veces? b) ¿Hasta dónde puede facilitar la comprensión del concepto de multiplicación si la o el docente realizará la clase en el idioma maya de las niñas y los niños?

¿Qué ventajas habrá si se utiliza el idioma maya en la enseñanza de la multiplicación?

51


Entonces... ¡Así multiplicaban los abuelos y las abuelas¡ Me gusta multiplicar como lo hacían mis abuelos y abuelas.

Actividad Realice las multiplicaciones. Hágalo en forma abstracta.

1)

veces

3)

veces

2)

veces

4)

veces

52


La multiplicación sin agrupar, 2.2 sin llevar o transformar (Caso 2) Lea el siguiente problema y trate de resolverlo:

Para un proyecto comunitario se forman

grupos de personas. En cada grupo hay

personas.

¿Cuántas personas hay en total? Veamos. La operación que resuelve el problema es: ¡ka’i’ mul kak’al wo’o’! veces

Actividad Utilices sus materiales (puntos, barras y cuadriculado) para dar el resultado de la multiplicación presentada anteriormente. Para eso, realice lo siguiente: 1) Represente las cantidades en un cuadriculado. Observe cómo se hace:

NOTA q’o’

K’a

Aquí se coloca la cantidad que indica cuántas veces se repetirá la cantidad.

53

Aquí se coloca la cantidad que se repetirá.

En la multiplicación se utilizará el lugar de las posiciones en forma horizontal. Entonces, en el cuadriculado de al lado, el que indica cuántas veces se repetirá la cantidad, está colocado en la primera posición si se ve horizontalmente y de derecha a izquierda. La segunda posición sería la que sigue a la izquierda y es la de las veintenas ( k’al) y así se continúa.


2) En el primer cuadrito de la tercera columna muestre el resultado de operar veces . 3) Observe si hizo algo como lo siguiente. Si no fue así, le invitamos a que lo haga después de observar:

(veces )

4) En el segundo cuadrito de la tercera columna, muestre el resultado de operar veces . 5) Observe si hizo algo como lo siguiente. Si no fue así, le invitamos a que lo haga después de observar:

(veces )

6) El resultado de la multiplicación es lo que se observa en la tercera columna.

¿Ha experimentado que al contar en un idioma maya, está multiplicando? Al contar en grupos de veinte, en el fondo, estamos multiplicando porque 20 es como decir una vez 20 (ju.may, ju.k’al o ju.winaq ) y en castellano 20 es como decir dos veces diez.

54


Veamos el procedimiento en forma abstracta (kamul kak’al jo’ob’ ). veces 1. Escriba las cantidades en donde corresponde.

2. Opere

veces

.

q’o’

k’al

Opere veces . Ya está el resultado.

Si quiere comprobar en sistema decimal:

2 x 45 = 90

Pruebe con otro ejemplo. Hágalo a partir del siguiente problema. Principie leyéndolo. Después escriba la operación y trate de resolverlo. Hay

secciones de primero. En cada una hay

¿Cuántos educandos hay en total?

55

educandos.


Actividad Realice lo siguiente. Puede utilizar sus materiales para confirmar el resultado. 1) Represente las cantidades en un cuadriculado.

Aquí se coloca la cantidad que se repetirá

Aquí se coloca la cantidad que indica cuántas veces se repetirá la cantidad 2) En el primer cuadrito de la tercera columna muestre el resultado de operar

veces

.

3) Observe si hizo algo como lo siguiente (si no fue así, le invitamos a que lo haga después de observar):

56


4) En el segundo cuadrito de la tercera columna, muestre el resultado de operar 5) Observe si hizo algo como lo que se muestra en el cuadriculado:

6) El resultado de la multiplicación es lo que se observa en la tercera columna.

Observe el procedimiento en forma abstracta. veces

a. Escriba las cantidades en donde corresponde.

57

b. Opere

veces

veces

.


Opera veces Ya está el resultado.

.

Si quiere comprobar en sistema decimal:

3 x 44 = 132

¿Ha visto personas que calculan mentalmente, rápido y con exactitud? Ellas siguen un método fácil. Para obtener el resultado de tres veces dos veintes y cuatro ( oxmul kak’al kajib’ ), multiplican tres por dos que da seis veintes (120). Despues multiplican tres por cuatro (12) y suman los resultados.

Actividad Realice las siguientes multiplicaciones. Si lo desea primero con materiales. 1)

2)

3)

4)

veces

5)

veces

8)

6)

veces

9)

veces

veces veces

veces

veces

7)

veces

10)

veces

58


La multiplicación agrupando, 2.3 llevando o transformando (Caso 3) Lea el siguiente problema y trate de resolverlo:

Sofía vende

güipiles. Por cada güipil cobra

quetzales.

¿Cuánto obtuvo en total? ¿Está de acuerdo con que la operación que resuelve el problema es la siguiente? veces

Juq’o’ kak’al waqi’

Trate de hacer la operación antes de continuar. Kajib’ mul juq’o’ kak’al waqib’ .

Actividad Utilice sus materiales para realizar lo siguiente: 1) Represente las cantidades en un cuadriculado.

Ju.q’o’

ka.k’al

waqi’

2) Repita veces la cantidad de cada posición. Haga los cambios necesarios (recuerde que cinco puntos se pueden expresar con una barra).

59


3) Observe si hizo algo como lo siguiente:

4) En el primer cuadro de la tercera columna vemos que hay . Recuerde que cuatro barras forman una veintena. Pase la veintena a la segunda posición hacia arriba (esto implica cambiar cuatro barras por un punto). Al cambiar, quedan sobrando cuatro unidades (cuatro puntos) que se dejan en la primera posición.

5) Como en las otras posiciones no hay necesidad de hacer cambios, el resultado de la multiplicación es lo que se observa en la tercera columna.

60


Observe el procedimiento en forma abstracta. Kajib’ mul juq’o’ waqib’ . veces Escriba las cantidades donde correspondan.

Repita veces la cantidad de cada posición, haciendo los cambios que simplifiquen la expresión del resultado (cinco puntos por una barra).

Cambie la veintena que está en la primera posición por un punto que pasa a la segunda posición. Si quiere comprobarlo en el sistema decimal:

4 x 446 = 1,784

Es importante recordar que cuatro barras en una posición (cualquier posición) forma una veintena. Por tanto, se cambian por un punto que pasa a la posición inmediata superior.

61

¿Qué bases matemáticas se necesitan para comprender el procedimiento de multiplicación en el sistema maya o vigesimal? ¿En qué grados recomendaría que se trabajara para garantizar su comprensión?


Observe otro ejemplo.

veces

Escriba las cantidades en donde corresponde.

Repita veces la cantidad de cada posición. Puede simplificar los resultados cambiando cinco puntos por una barra.

Cambie la veintena que está en la segunda posición por un punto que pasa a la tercera posición. En la segunda posición queda .

Comprobando en sistema decimal:

5 x 903 = 4,515

62


Actividad

Realice las siguientes multiplicaciones.

1)

veces

6)

2)

veces

7)

3)

veces

veces

veces

8)

veces

veces

4)

veces

9)

5)

veces

10)

veces NOTA

¿Qué le parece si prueba con otras operaciones que no fueron ejemplificadas? Con lo que sabe ya puede realizarlas.

1)

63

2)

NOTA: En el ejercicio 10, agregue filas al cuadriculado para dar el resultado. Como verá, al multiplicar la cantidad de la tercera posición, deberá agrupar para formar una veintena que pasa a la cuarta posición.


La multiplicación agrupando, 2.4 llevando o transformando (Caso 4) Respecto a las multiplicaciones que ha hecho hasta el momento, ¿qué diferencia encuentra en la siguiente?

La cantidad que se repetirá se coloca en el lugar correspondiente (al lado derecho y fuera del cuadriculado). Como recordará las posiciones se interpretan de abajo hacia arriba. Observe:

(veces) Como observa, la diferencia está en que el primer factor (el que dice cuántas veces se repite la otra cantidad) abarca dos posiciones (una veintena y dos unidades). El autor de este documento le propone un algoritmo para realizar esa operación que se infiere de una propuesta que hace el Dr. Leonel Morales.

veintena: k’al

unidad

Haremos la operación en forma abstracta. Observe: En el cuadriculado se colocará en la parte inferior. En tal caso la posición de las unidades será la primera columna y la de las veintenas será la segunda columna; si tuviésemos una cantidad que está en la tercera posición ( q’o’) se utilizaría la tercera columna y así se puede continuar agregando columnas.

veintena: k’al

unidad

En resumen, el cuadriculado queda así:

Observe cómo se coloca la cantidad:

Para continuar, ayudémonos recordando el algoritmo de la multiplicación en el sistema decimal. Por ejemplo, cuando se opera 34 x 56: veintena (20)

unidad (1)

56 34

64


a) Comienza con 4 x 56:

a) Opere

56 34 224

b) Sigue con 30 x 56 (aunque se opera sólo 3 x 56, realmente el 3 representa 3 decenas)

56 34 224 + 1680

Este cero se omite y se dice que se “corre el lugar” o se deja vacío.

c) Suma los productos parciales.

56 34 224 + 168 1904 Lo anterior será “transferido” al algoritmo de la multiplicación que estamos trabajando con números mayas. Retomemos lo que teníamos en el último cuadriculado.

65

b) Opere

El resultado se coloca en la segunda columna pero “corriendo un lugar” o sea dejando una casilla vacía. Esto se hace porque el punto realmente está representando una veintena. (Estrictamente se debiera colocar un cero en la casilla que quedará vacía).


c) Sume los productos parciales. El resultado se puede mostrar en la tercera columna.

Puede comprobar expresando en sistema decimal.

22 x 65 = 1,430

¿Cómo evalúa el procedimiento para realizar las multiplicaciones presentadas? ¿Qué condiciones se necesitan para comprenderlo?

Resultado

¿Y será que multiplicaban números grandes?

66


Analice otro ejemplo:

b) Opere (veces)

(veces) Comience colocando las cantidades fuera del cuadriculado (observe dónde se coloca cada cantidad).

c) Sume los productos parciales realizando los cambios necesarios. Debe recordar que una veintena (cuatro barras) se cambian por un punto que pasa a la posición inmediata superior.

a) Opere

Puede comprobar pasando a sistema decimal.

64 x 125 = 8,000

Como observa, en el último paso hubo necesidad de agregar una casilla porque se formó una veintena en la tercera posición. Esto de agregar casillas se puede hacer libremente y según lo que ocurra en las operaciones que se van realizando.

67


Actividad Realice las siguientes multiplicaciones. Agregue las casillas que sean necesarias cuando los resultados lo requieran. 1)

veces

6)

veces

2)

veces

7)

veces

3)

veces

8)

veces

4)

veces

9)

veces

5)

veces

10)

veces

¿Qué le parece si prueba con otras operaciones que no fueron ejemplificadas? Recuerde que puede agregar las casillas que sean necesarias.

1)

2)

68


Si cada carga de leña rajada contiene 80 leños. ¿Cuántos leños contienen cinco cargas?

Con una multiplicación podría calcular cuánto se gasta al mes en sueldos de diputados.

69

Sí. Yo también podría calcular cuántas tortillas me como durante el año.

División en el sistema de numeración maya

O bien, ¿Cuántas veces cabe

1. Introducción

en

?

¿Ya tiene el resultado? Confirme:

Siguiendo la propuesta del Dr. Leonel Morales, la división se operará como el proceso inverso de la multiplicación. En otras palabras, dada la cantidad a dividir (dividendo) y entre cuánto se dividirá (divisor); se buscará el cociente que multiplicado por el divisor dé el dividendo. Por ejemplo, si se tiene 20 ÷ 4 nos preguntamos qué número por cuatro nos da veinte. Otra forma de considerarlo es decir cuántas veces cabe una cantidad en otra. Volviendo al ejemplo de 20 ÷ 4, la pregunta a responder es: ¿Cuántas veces cabe cuatro en veinte?

es igual a

entre

Confirmando con una multiplicación: veces

=

Interpretando en sistema decimal: ÷

24

=

÷

6

=

4

Le invitamos a trabajar algunos casos.

2. La división ¿Cómo se dice dividir en su idioma maya, y cómo podemos auxiliarnos del idioma para comprender y facilitar esta operación?

División sin 2.1 residuo (Caso 1) Don Tomás tiene quetzales. Quiere repartirlos en partes iguales entre sus dará a cada uno?

hijos. ¿Cuántos quetzales le

¿Está de acuerdo con que la operación que corresponde es la siguiente? repartido o entre Para resolverlo sencillamente contestaremos una de las siguientes preguntas: ¿Qué número multiplicado por resultado o producto ?

73

da como


Actividad Opere las siguientes divisiones. 1)

2)

repartido

repartido

6)

7)

repartido

repartido

3)

repartido

8)

repartido

4)

repartido

9)

repartido

10)

repartido

5)

repartido

Los mayas utilizaron la división al diseñar y distribuir los 365 escalones entre las cuatro escalinatas de la pirámide de K’uk’ulkan o el Castillo que está asociada al ciclo solar. ¿Se imagina de qué manera?

Si divido bien tendré un número exacto de gradas en cada escalinata.

74


División sin 2.2 residuo (Caso 2) ¿Cuánto debemos sembrar cada uno si son 20 cuerdas?

¿Qué tal si dividimos?

Lea el siguiente problema y plantee la operación:

A una bodega llegan

machetes. La encargada decide guardarlos en grupos de

¿Cuántos grupos formará? ¿Está de acuerdo con que la operación que corresponde es la siguiente?

repartido

75

.


Actividad Utilice sus materiales para realizar la división anterior. 1) Represente las cantidades en un cuadriculado. Observe dónde se coloca la cantidad que se repartirá (dividendo) y la cantidad que indica entre cuánto se repartirá (divisor).

3) Pase a la segunda posición del dividendo. Calcule cuántas veces cabe en . Muestre ese resultado afuera del cuadriculado y en la segunda posición. Observe: 3ª

q’o’

dividendo k’al

divisor

2) Comience la división en la tercera posición del dividendo, visto en forma vertical. Calcule cuantás veces cabe en . Muestre ese resultado en la parte de afuera del cuadriculado y en el lugar correspondiente. Observe:

4) Ahora pase a la primera posición del dividendo. Calcule cuántas veces cabe en en . Muestre ese resultado afuera del cuadriculado y en la primera posición. Observe:

cociente

¡Ahí tiene el resultado! (en la parte exterior del cuadriculado).

76


Calcule cuántas veces cabe

en


en

Como ya habrá observado, tanto en el sistema decimal como en el vigesimal, la distribución se inicia con las posiciones más altas, hasta finalizar con la unidad.

Ahora vea el procedimiento en forma abstracta: Comience anotando las cantidades en el cuadriculado, como se muestra.


en

Puede comprobarlo pasándolo al sistema decimal:

2,655 ÷ 3 = 885

Ya observó que la división sigue la misma secuencia con el decimal; la diferencia es que los numerales mayas se colocan verticalmente y no horizontalmente.

77


Actividad Opere las siguientes divisiones. 1)

2)

repartido

repartido

6)

repartido

7)

repartido

3)

repartido

8)

repartido

4)

repartido

9)

repartido

5)

repartido

División con 2.3 residuo (Caso 3)

10)

repartido

Comience colocando las cantidades en el cuadriculado.

Observe como se realiza la siguiente división:

repartido k’al

En K’iche’ se diría ‘kajach wajxaqk’al lajuj (8k’ales y diez) chupam wajxaqib’ (ocho).’ ¿En su idioma cómo se diría?

Waxaqk’al

lajuj

78



Opere vez

en Calcule cuántas veces cabe Como cabe una vez y sobra; se otro paso.

en

y reste.

Puede comprobarlo pasándolo al sistema decimal.

cociente

170 ÷ 8 = 21 residuo 2

residuo Se colocan las cantidades en el cuadriculado. Analice otro ejemplo:

repartido

79


Calcule cuántas veces cabe en . Como no cabe, se trabaja con la cantidad que se forma con la tercera y segunda posición. Entonces, calcule cuántas veces cabe en .

Opere

Calcule cuántas veces cabe Multiplique y reste.

Puede comprobarlo pasándolo al sistema decimal.

en

veces

y reste.

615 ÷ 10 = 61 residuo 5

cociente

residuo

80


Actividad Opere las siguientes divisiones.

1)

repartido

6)

repartido

2)

repartido

7)

repartido

8)

repartido

3)

repartido

4)

repartido

9)

repartido

5)

repartido

10)

repartido

El Choltun, es un período de 360 días. ¿Cuántas veintenas habrá en 360 días? ¿A qué período corresponde ese dato si pensamos en la medición del tiempo en la cultura maya?

81


División con 2.1 residuo (Caso 4)

Opere

vez

y reste.

Hay casos de división que requieren algunos pasos más. Analice los siguientes ejemplos y comprobará que son fáciles de realizar. Todo es cuestión de paciencia y mucha observación.

Tome en cuenta que la disciplina, observación, paciencia y práctica son condiciones para realizar bien una operación aritmética.

Calcule cuántas veces cabe en Multiplique y reste. Para hacer la resta, agregue dos columnas.

Ejemplo 1: ÷

Vea cómo se resuelve en forma abstracta: Calcule cuántas veces cabe

Puede usar colores diferentes para resaltar cada paso y así distinguirlos hasta comprender todo el procedimiento.

en

Queremos una educación contextualizada.

“Baje” el primera resta.

¿Qué tal si aprendemos más de matemática maya?

a la par de lo que queda de la

82


cociente

residuo Para hacer la prueba, pasamos al sistema decimal: 214 ÷ 9 = 23 residuo 7. Observe otro caso.

Antes responda: Comparando con las divisiones que ya trabajó, ¿qué hay de diferente en la división siguiente? ÷

¿Observó que el divisor abarca dos posiciones? En este caso, al igual que en la multiplicación, se colocará esa cantidad, en fila, en la parte inferior del cuadriculado y abarcando dos posiciones, vistas de derecha a izquierda. Observemos:

Observe que el divisor que es juk’al oxi’, una veintena y tres unidades , está escrito en una fila, no en columnas. Las tres unidades están escritas en la derecha, y la veintena en la izquierda.

Divisor, juk’al oxi’ .

83


Observe cómo se realiza: Calcule cuántas veces cabe

Opere

y reste.

en

Como no es posible, calcule cuántas veces cabe

veces

Baje la cantidad de la primera posición a la par de lo que queda de la resta.

en


en

cociente

residuo Interpretando en sistema decimal:

1,004 ÷ 23 = 43 residuo 15

84


Actividad Opere las siguientes divisiones.

1)

repartido

8)

repartido

2)

repartido

9)

repartido

10)

repartido

3)

4)

5)

repartido

repartido

repartido

11)

repartido

12)

repartido

6)

repartido

13)

repartido

7)

repartido

14)

repartido

85


Hasta este punto ya podemos sumar, restar, multiplicar y dividir en sistema de numeración maya. Pero estos solo son algunos elementos culturales que sirven para revalorizar lo nuestro. El reto es ir más allá y defender con argumentos nuestros derechos. Por ejemplo, si sabemos que cerca del 50% de la población es maya, también debemos velar porque el 50% de los docentes sean bilingües para atender a la población estudiantil en el idioma materno que corresponda.

¡Aprender operaciones de matemática maya es parte la contextualización!

Sí, pero no lo es todo. El Estado debe ir más allá y atender las necesidades del pueblo maya.

Algunas palabras finales Al estudiar este texto tuvo la oportunidad de profundizar en la aritmética maya. Pero es más importante practicar y, sobre todo, aplicar estos conocimientos en la solución de problemas que requieren sumar, restar, multiplicar y/o dividir. Se le invita a ampliar su uso en la familia y la comunidad. Ir más allá del contexto escolar y aplicarlo en temas educativos, problemas tradicionales de agricultura, temas de exclusión étnica y social. Asimismo se le extiende la invitación para que continúe en la formación y reflexión de y con sus alumnas y alumnos y otros contextos sobre la matemática maya y su aplicación.

86

20-Libro Matemática Maya 2.pdf

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