les stratégies de portefeuilles d’options methode et outils

CHAPITRE XIII Les stratégies de portefeuilles d’options : outils et méthodes Un portefeuille contenant des options est exposé à des risques spécifiques qu’il convient de gérer. Les modèles d’évaluation d’options, dont les plus classiques ont été présentés dans le chapitre précédent, servent de base à cette gestion. Néanmoins, leur mise en œuvre pose nombre de problèmes délicats, liés notamment aux hypothèses restrictives sur lesquelles ces modèles sont fondés. Les praticiens ont donc été conduits à élaborer, à partir de ces modèles, des outils supplémentaires qui pallient plus ou moins les insuffisances des modèles, facilitent les applications et servent de support à des stratégies de portefeuilles et des risques. Ces outils et les méthodes qui leur sont associées sont construits dans un esprit d’ingénieur, c'est-à-dire sans craindre la sophistication technique mais en acceptant des compromis par rapport à la théorie dans le but de la rendre opérationnelle. C’est dans cet esprit qu’est écrit ce chapitre. En ce qui concerne les outils de gestion dérivés des formules d’évaluation, les plus importants sont ceux qui sont fondés sur la notion de volatilité implicite et sur les sensibilités de la valeur  d’une option aux différents paramètres du modèle. En matière de gestion de portefeuille, il est d’usage de distinguer les stratégies statiques des stratégies dynamiques : les premières impliquent la constitution d’un portefeuille initial qui ne fait l’objet d’aucune transaction  jusqu’à un horizon de gestion donné ; les secondes impliquent des révisions (plus ou moins) fréquentes, ce qui explique qu’elles soient qualifiées de dynamiques. Ces sont surtout ces dernières qui s’appuient sur les outils dérivés des modèles, précédemment cités. La section I traite des principales stratégies statiques. La section II présente les notions importantes de volatilité historique, de volatilité implicite, de « smile » et de nappe de volatilité. La section III analyse les sensibilités des options aux différentes variables qui en affectent la valeur (paramètres dits « grecs »). La section IV propose des stratégies impliquant des révisions et utilisant les paramètres grecs comme indicateurs de gestion, en particulier les stratégies appelées « delta-neutres ». Certains développements plus complexes ou à caractère mathématique sont présentés avec une typographie différente ou dans les annexes.

Section I - Stratégies statiques élémentaires

1

Les stratégies statiques sont celles qui ne nécessitent aucune révision avant leur échéance. On considère ici des portefeuilles combinant des calls et des puts écrits sur un même sous-jacent, ce dernier pouvant être également présent dans le portefeuille considéré. Les options ont une même échéance T  (sauf mention contraire en fin de § 2) mais leurs prix d’exercice diffèrent, éventuellement.  Nous exposons brièvement la méthode générale d'analyse (§1), les stratégies élémentaires les  plus fréquemment rencontrées étant présentées de manière synoptique, dans la Planche 1 (§2). Le principe général de duplication du payoff d’un actif contingent quelconque par un  portefeuille statique d’options est expliqué au §3.

1. Le profil général du gain à l’échéance Soit une position comportant  z  actifs sous-jacents, { xi}i=1,...,n calls de prix d'exercice respectivement égaux à { E i}i=1,...,n et { y j} j=1,...,m puts de prix d'exercice { K  j} j=1,...,m, avec la convention suivante : si  z , xi, y j >0, les titres sont achetés, et si  z , xi, y j <0, ils sont vendus. Les  prix d’exercice des options sont classés par ordre croissant. Le gain, ou la perte, à l'échéance T  est par définition la valeur terminale (en t = T ) de la  position, nette de l’investissement requis pour la constituer en t = 0 (G = V (T ) – V (0)) (0)) 1, soit :

G ( S (T )) =

n

∑

(

+

 xi [S (T ) − E i ]

i =1

m

− C i ) + ∑ y j ([ K  j − S (T )]+ − P  j ) ) + z (S (T ) − S (0) )  j =1

n

m

= ∑ xi ([S (T ) − E i ] ) + ∑ y j [ K  j − S (T )]+ + zS (T ) − Π − zS (0) +

i =1

 j =1

où Π ≡ - Σ xiC i - Σ y j P  j est la somme algébrique des primes payées et perçues en t = 0 (Π ≶ 0).

 Figure 1 : profil du gain G(S) à l’échéance G(S)

 K 1

E 1

E 2

K 2

K 3

S 

 Notons, respectivement,  x(S ) et  y(S ) le nombre net de calls et de puts in-the-money détenus (ou vendus) à l'échéance quand S (T ) = S .

1

Dans une définition alternative, plus précise, l’investissement initial est capitalisé enT  enT :: G = V (T ) – V (0)erT 

2

Proposition 1 :  La pente du profil G profil  G(S ) de gain/perte à l'échéance est égale à x (S ) – y(S ) + z 2. n

m

Cette pente varie de ( z  z +

∑ y

 j

) à ( z  z +

∑ x

i

) quand S varie de 0 à l'infini.

i =1

 j =1

G(S ) est une fonction linéaire affine par morceaux (avec des changements de pente à chaque  prix d’exercice E i ou K  j.) telle que celle représentée sur la figure 1, la longueur des morceaux dépendant des écarts entre les différents prix d'exercice E i et K  j. Démonstration : Chaque sous-jacent contribue à la pente de G(S ) pour +1. Chaque call in-the-money contribue à la pente de G(S ) pour +1 s'il est acheté et -1 s'il est vendu, et chaque put in-the-money contribue pour -1 s'il est acheté et +1 s'il s'il est vendu. Les options options out-of-the-money contribuent  pour zéro à cette pente. La pente de G(S ) est donc égale à x(S ) - y(S ) + z. Quand S = 0 tous les calls sont out-of-the-money ( x(S ) = 0) et tous les puts sont in-the-money m

( y  y(S ) =

∑ y

 j

). Quand, en partant de S  = 0, on considère des valeurs croissantes de S , les puts

 j =1

sortent successivement de la monnaie alors que les calls y rentrent. Dès lors G(S ) connaît une rupture de pente pour chaque valeur de S égale à un des prix d’exercice E i ou K  j et le profil de

G(S ) est bien celui de « la trajectoire de roquette » (continue et linéaire par morceaux), décrite sur la figure 1. Quand S est supérieur au plus élevé des prix d’exercice ( E i et K  j), tous les puts n

sont en dehors de la monnaie et tous les calls sont dans la monnaie ( y(S ) = 0 et x(S ) =

∑ x ). i

i =1

2. Les principales principales stratégies stratégies statiques statiques Sur la Planche (figure 2), qui présente les principales stratégies élémentaires, un call long est représenté par le schéma [0, 1] (ce qui signifie que la pente de C (S ) est égale à 0 pour S  inférieur au prix d’exercice et égale à 1 pour S supérieur au prix d’exercice) et un put long par  [-1, 0]. Le profil des pentes d’une combinaison s’obtient en sommant algébriquement les  pentes des différentes composantes. Le stellage acheté par exemple s’obtient en achetant un call et un put de mêmes prix d’exercice E (la position sera notée (+ C  E , + P  E )), ce qui conduit à un profil de pentes pentes [-1, +1]. L’écart haussier peut s’obtenir, s’obtenir, par exemple, par l’achat d’un call de strike E 1 et la vente d’un call strike E 2 (+C  E 1, -C  E 2) avec E 2>E 1 , et conduit ainsi au  profil [0, +1, 0], comme le montre le tableau plus détaillé ci-dessous.

 E 1

 E 2

+C  E 1

0

+1

+1

-C  E 2

0

0

-1

Résultante

0

+1

2

0

Sauf aux points E  points E i et K  j car les fonctions Max(S-E  Max(S-E i, 0) et Max ( K  j-S , 0) ne sont pas dérivables en ces points.

3

On remarquera que ce même profil peut être obtenu à l’aide de puts ( P  E1 , - P  E2 ).

 Figure 2-Planche : tableau synoptique des principales stratégies statiques NOM

GRAPHIQUE

PROFIL GAIN-PERTE

ANTICIPATIONS

+CE , +PE

Forte fluctuation,

E

Gain

-1

Stellage (Straddle)

SOLUTION(S)

+1

E

0

Sens inconnu

S(T)

acheté Stabilité, pertes

E

Stellage (Straddle)

-CE, - PE

-1

+1

non limitées

E

vendu

Fluctuation de E1

Strangle E1

acheté

E2

-1

E2

+  P   E  , + C  E  1

+1

0

sens inconnu

2

"écrêtage" de la  perte maximale

E1

Ecart haussier 

0

E1 E2

(bull spread)

+1

+ C  E  ,−C  E  1

0

ou

E1

Ecart baissier 

E2

0

(bear spread)

Hausse modérée,

E2

-1

 pertes limitées en

2

 P   E 1 ,  P   E 2

cas de baisse

− C  E  , +C  E  1

0

E2

ou

Baisse modérée,

2

 P   E 1 ,  P   E 2

 pertes limitées en

E1

cas de hausse

Stabilité, mais E1

Papillon (Butterfly)

E1

0

E3

E2 +1

+ C  E  + C  E 3 − 2C 

E3

-1

ou  P   E 1 ,

E2

acheté

 possible

 E 2

1

0

 P   E 3 , 2 P   E 2

fluctuation, de sens inconnu,  pertes limitées

E1 Condor  vendu

E2 E1

0 -1

E3

E2

E3 E4

0

E4

+1

0

Forte fluctuation

− C  E  − C  1

 E 4

+ C 

 E 2

+ C 

 E 3 de sens inconnu

ou

 P   E 1  P   E 4 ,  P   E 2  P   E 3

4

faibles gains et  pertes

On remarquera que les profils de gain/perte afférents aux stratégies élémentaires particulières qui sont présentées sur la planche ne font apparaître que des pentes +1, -1 ou 0 selon la valeur  de S . Comme on vient de le voir dans l'exposé de la méthode générale d'analyse, tel n'est pas le cas général. Par exemple, un "call ratio backspread" est la vente d'un call E 1 et l'achat de x (>1) calls E 2 (> E 1), ce qui donne le profil [0, -1, +( x-1)]. Un "put ratio spread" est constitué  par l'achat d'un put  E 2 et la vente de x (>1) puts E 1 (< E 2), donnant le profil à l'échéance [ ( x1), -1, 0]. Le nombre de telles stratégies est à l'évidence infini.

Par ailleurs, certaines stratégies font appel à des options de maturités T différentes T différentes. Typiquement, ce sont des stratégies d’écart (haussier ou baissier), qui impliquent, comme celles du tableau synoptique (qualifiées parfois d’écarts verticaux ), un call (ou un put) acheté et un call (ou un put) vendu. L’écart est dit horizontal  ou calendaire si les deux options ont le même strike et T 1 ≠ T 2. L’écart est dit diagonal si les deux options ont des maturités et des strikes différents. Dans les deux cas, il convient d’établir le diagramme du payoff à la date de maturité (disons T 1) de l’option la plus courte. Le graphe de la valeur de la position en fonction du prix du support n’est plus alors linéaire par morceaux, contrairement au cas du tableau synoptique, car celle des deux options qui reste en vie a une valeur temps positive et sa valeur est une fonction convexe du prix du sous-jacent qui n’est pas linéaire par morceaux.

*3. Duplication d’un payoff quelconque par un portefeuille statique d’options On vient de montrer comment on peut construire un portefeuille statique d’options qui génère un payoff quelconque linéaire par morceaux, tel que celui de la figure 1 ou ceux décrits sur la  planche. Plus généralement, on peut montrer qu’un payoff quelconque

Ψ(S T T)  donné a priori,

où Ψ est une fonction suffisamment régulière (et non nécessairement linéaire par morceaux),  peut être obtenu, théoriquement, à l’aide d’un portefeuille statique d’options européennes standard de même maturité T et de différents prix d’exercice. Ce portefeuille implique (sauf   pour un payoff linéaire par morceaux) un nombre infini d’options et, à cet égard, sa construction a un caractère théorique car elle exige un continuum de cotations. Plus  précisément, la duplication statique de ce payoff Ψ( x  x) est assurée par une position composée de

∂ 2Ψ ( x )dx ∂ K 2

les lesquel quelle less

option (call ou put) de prix d'exercice  x ( x  x prenant toutes les valeurs pour 

(x) (x)≠0). Ce résultat, qui sera utilisé dans l’analyse des options exotiques, est

démontré et développé dans l’annexe 2 de ce chapitre.

5

Section II

Volatilités historique et implicite, smile et structure par termes.

Parmi les cinq variables et paramètres S , K , T , r et σ  entrant dans les formules de type Black  et Scholes, seule la volatilité σ  n'est pas observable directement. En outre, la volatilité n’est  pas constante, contrairement à l’hypothèse formulée dans les modèles standard. C’est donc dans le choix de la valeur attribuée à ce paramètre essentiel que résident les problèmes de mise en œuvre des modèles. De nombreuses techniques ont été mises au point pour étayer ce choix. Dans cette section, nous présentons la méthode standard d’estimation de   la volatilité     à l’aide d’un historique des cours, la notion de volatilité implicite et son utilisation ainsi que les définitions du « smile » et de la « nappe de volatilités ».

1

La volatilité historique

Dans le modèle de Black et Scholes (BS dorénavant) et dans les modèles qui en sont dérivés, la volatilité σ est l’écart-type instantané et annualisé des rentabilités du sous-jacent. Cette volatilité est d’abord due à la tombée de nouvelles informations, qui provoquent des variations de cours (quand elles ne sont pas anticipées). Certaines de ces informations concernent la société émettrice et d’autres la conjoncture du marché ou du secteur. En outre, certains ordres d’achat ou de vente ne sont pas imputables à à de telles informations mais aux fluctuations aléatoires de leurs besoins de liquidité. Le paramètre de volatilité σ  n’est pas observable mais son estimation empirique est facile si les rentabilités, donc aussi les log-rentabilités 3, sont indépendamment et identiquement distribuées, ce qui implique que la volatilité est constante. Il suffit alors de prendre n (≥ 30) log-rentabilités Ri = ln S i+1 i+1 –ln S i passées, calculées sur des intervalles i de durée constante (jours, semaines, mois) appelés « période », et d’en calculer la moyenne empirique :  µ  ˆ  p = 1

n

n

∑ R

i

,

i =1

et l’écart type empirique : (1)

3

n

1

∑ ( R − µ ˆ ) n −1

ˆ  p =

i

 p

2

;

i =1

Rappelons que, dans le modèle de BS, entre deux dates i et i+1 séparées d’une période de durée ∆t ( t (∆t =1/ =1/ p  p

dans la suite) on a : ln S (i+1)-ln S (i)=( µ  t + σ   µ -σ 2/2)∆t + suite µ  p ≡ ( µ  t et σ  p=σ   µ -σ 2/2)∆t et

∆t =σ 

1

 p

∆t U , où U suit U suit une loi normale centrée réduite. Dans la

.

6

( ˆ  p )2 est une estimation non biaisée du carré de la volatilité période (hebdomadaire si les rentabilités sont hebdomadaires, quotidienne si les rentabilités sont quotidiennes,…). Ensuite,  pour obtenir la volatilité annuelle notée ˆ , qui est en général le paramètre intervenant dans les formules d’évaluation4, on multiplie la volatilité période, ˆ  p , par   p , où p désigne le nombre de périodes contenues dans une année ; par exemple hebdomadaires, ou

52 si les observations sont

250 si elles sont quotidiennes (car il y a 250 jours de bourse par an en

moyenne5). L’estimation ainsi obtenue s’appelle la volatilité (annuelle) historique . Remarquons que cette méthode d’annualisation de la volatilité n’est fondée que si les logrentabilités successives sont indépendantes, ce qui est souvent le cas, sauf sur des marchés  peu liquides et inefficients (cf. chapitre 1-tome 1).

2

La volatilité implicite

La volatilité σ  du support n'étant pas observable, on a vu plus haut qu'il fallait l'estimer  empiriquement, le cas le plus simple étant celui où l’on suppose les rentabilités successives indépendamment et identiquement distribuées. Si l’hypothèse de non corrélation sérielle des rentabilités peut être acceptée, celle de l’identité de leurs distributions est très restrictive. La volatilité, notamment, n'est pas constante, les marchés étant caractérisés par des périodes (de durée aléatoire) de fortes, moyennes ou faibles fluctuations.  Dans ces conditions, on a vu que

la volatilité qui détermine le prix de l’option est la volatilité moyenne anticipée entre la date d’évaluation et l’échéance de l’option (Chapitre 12, modèle à volatilité variable déterministe) 6 car c’est elle qui détermine l’écart-type de S T  T  dont dépend en définitive le prix de l’option . Or 

l'estimation de ce que sera la volatilité future du sous-jacent est un exercice difficile et sujet à controverse. Il existe cependant une solution acceptable quand le marché cote explicitement des options sur des supports identiques ou similaires. En effet, dans ce cas, on peut "inverser" la formule de BS pour tirer la volatilité σ implicite dans le prix de marché ( C  ou  P ) des options récemment cotées . Considérons, par exemple, un call : à chaque prix C  de ce call correspond, par la formule d’évaluation  F pertinente (par exemple celle de BS), une volatilité

σ et une seule 7:

4

T en fraction d'année. Tout autre choix de la période est Il est d'usage d'exprimer r  d'exprimer r et et σ  en taux annuels et T en

légitime, à condition que les dimensions de r, σ  et T soient T soient cohérentes entre elles. σ est multiplié par  2 

 p , car 

c'est la variance σ  qui est proportionnelle au temps. 5 On fait « comme si » aucun choc informationnel ou autre n’avait lieu pendant les week-ends et jours de fête. 6 Plus précisément, comme le montre le modèle plus général à taux stochastiques, c’est la moyenne (entret  (entre t et et T ) de la volatilité du prix forward  prix forward du du sous-jacent qui détermine l’écart-type des rentabilités de S T  , donc le prix de T  l’option. 7 Car la fonction F  fonction F est est monotone (croissante) et continue en σ .

7

C = F (σ ; x) implique σ = F -1(C ; x)  x désignant l'influence des autres paramètres, qui sont tous des données observables. Comme, pour un  x donné, les modèles standards fournissent une relation  f  biunivoque et continue entre C (ou P ) et σ , le calcul numérique de σ = F -1(C ; x) ne pose aucun problème et les méthodes itératives (Newton-Raphson, ... ) convergent rapidement. On se sert alors de ce σ implicite pour valoriser l'option considérée, différente mais écrite sur  le même support que celle dont on extrait la volatilité implicite.

Il est important d’insister sur le fait que le prix d’une option standard (call ou put) croît avec la volatilité implicite. Une volatilité faible correspond donc à un prix faible et une volatilité élevée à un prix élevé. Les professionnels des marchés raisonnent le plus souvent en niveau de volatilité et non en primes exprimées en unités monétaires. Une option chère ou bon marché l'est, non pas en termes de son prix 8, mais de la volatilité implicite dans son prix : la volatilité est chère ou non par rapport à la volatilité moyenne historiquement constatée ou par  rapport aux volatilités implicites d’options écrites sur le même support et de dates et prix d’exercice différents. Cette notion est essentielle, comme on le verra plus tard à l'occasion de l’étude de la gestion des positions. Il faut également comprendre que l’usage de la volatilité implicite fournit un repère unique, en

 principe valable pour toutes les options écrites sur le même sous-jacent et de même durée, ce qui constitue un avantage déterminant quand il s’agit d’apprécier rapidement la cherté d’une option. En effet le prix d’une option dépend non seulement de la volatilité du support mais aussi de la durée de cette option et du rapport S/K  entre le prix actuel du sous-jacent et son   prix d’exercice, alors que la volatilité est un paramètre censé caractériser le support et qui devrait être identique pour toutes les options écrites sur le même sous-jacent, quel que soit leur prix d’exercice (mais pas nécessairement leur durée, car la volatilité moyenne prévue d’ici à une échéance peut être différente de celle prévue d’ici à une autre échéance, d’où l’intérêt de la généralisation du modèle de BS à une volatilité variable ; voir le chapitre XII). Supposons, par exemple, que l’on souhaite apprécier le prix d’une option sur un indice

8

Clairement, toutes choses égales d’ailleurs, le prix des options in-the-money est supérieur à celui des options out-of-the-money. Ce type de raisonnement raisonnement a été poussé jusqu’au bout de sa logique par le marché officiel des options de change de Philadelphie (USA), sur lequel les options sont cotées, non pas en dollars ou autres devises, mais directement en volatilités. Une fois l’option échangée au niveau de volatilité convenu entre les parties, le

8

 boursier, et que l’on ait constaté que la volatilité de l’indice (historique et implicite) se situe autour de 20% ; a priori , il n’est pas nécessaire de se référer à son prix d’exercice pour juger  excessif le prix d’une telle option si celui-ci correspond à une volatilité (implicite) de 30%.

Pour atténuer cette dernière remarque, notons que les modèles standard de type BS, qui fournissent la fonction  F  d’évaluation utilisés pour calculer primes et volatilités implicites, sont fondés sur des hypothèses très simplificatrices (notamment celle d’une volatilité constante ou déterministe) ; il n’est donc pas surprenant de constater que, contrairement à la  présomption de ces modèles, les options ne se traitent pas exactement sur la base de la même volatilité quels que soient leur prix et leur échéance. Ces questions sont approfondies dans le  paragraphe suivant consacré au smile et à la structure par termes des volatilités. Pour résumer, la volatilité est utilisée pour « représenter » le prix d’une option. En effet tous les autres paramètres ou variables influençant sa valeur sont exogènes car connus ou observables sur le marché, sans ambiguïté 9. Une option est par conséquent plus ou moins chère selon le niveau de volatilité auquel elle est traitée. En pratique, les traders raisonnent en volatilité et les logiciels partent de celle-ci pour déduire la prime versée au vendeur.

3 - Le smile, la structure par termes et la nappe de volatilité Bien que la volatilité soit une caractéristique de l’actif sous-jacent, on constate en fait que la volatilité implicite des options écrites sur le même actif dépend du prix et de la date d’exercice.

a) Définitions et utilisation de la nappe et du smile La courbe représentative de la volatilité en fonction du prix d’exercice s’appelle le « smile » et celle de la volatilité en fonction de la durée de l’option est qualifiée de « structure par  termes ». De façon plus générale, la volatilité implicite se présente comme une fonction σ i( K,  K,

T ) de deux variables qui peut être représentée dans un espace à trois dimensions par la « nappe de volatilité » telle que celle de la figure 3-a suivante. L’intersection de la nappe et d’un plan orthogonal à l’axe T est une courbe de smile ; l’intersection de la nappe et d’un plan orthogonal à l’axe  K est une courbe de structure par  termes. La figure 3-b représente une courbe de smile, c'est-à- la volatilité implicite observée à

 back-office des autorités de marché en calcule le prix (en dollars par exemple) en utilisant la formule de Garman-Kohlhagen (voir le chapitre XII). 9 En négligeant ici le problème des dividendes dont l’estimation peut être difficile, si l’option a une durée de vie longue et que son sous-jacent distribue plusieurs fois (cas de nombreux warrants sur actions).

9

un instant donné, en fonction du strike  K , pour une maturité T donnée. Le smile représenté sur  la figure 3-b est une courbe convexe, d’abord décroissante puis croissante : c’est une forme fréquemment observée, qui prévaut notamment pour les options sur devises, et qui à valu son nom à cette courbe représentant σ i( K  ).  K ). Une autre forme, représentée sur la figure 3-c est également observée, notamment pour les options sur actions ou sur indices. Elle est convexe mais décroissante pour tous les prix d’exercice. Elle est parfois appelée par les traders « volatilité skew », du fait de son caractère asymétrique.

 Figures 3- Nappe de volatilité et smile

3-a Nappe de volatilité : Volatilité implicite implicite observée à un instant donné en fonction du strike K et de la maturité T. σ i 

smile

K 

T σ i

σ i

(« Volatility skew » )

 K 

 K 

3-b Smile classique (options sur devises )

3-c : Smile sur les options sur action

10

En appelant F la fonction d’évaluation d’un call tirée du modèle de type BS pertinent à l’option considérée, le méthode simple, très largement utilisée en matière d’évaluation et de gestion d’options, qui s’appuie sur la nappe ou le smile, s’écrit de façon synthétique : ), K , T,…) C ( K,T   K,T ) = F (σ i( K,T   K,T ),

(2-a) Et pour une échéance T donnée :

), K , …) C ( K   K ) = F (σ i( K   K ),

(2-b)

Dans (2-a), σ i( K,T   K,T ) représente la nappe de volatilités et, dans (2-b), σ i( K   K ) représente le smile. La valeur du put résulte de formules homologues ou de la relation de parité pertinente. Les formules (2-a) et (2-b) sont utilisées : - pour évaluer une option à partir d’un smile (ou d’une nappe) considéré comme « normal » (compte tenu des formes de la nappe ou du smile observées dans le passé, de la conjoncture,…), - ou pour construire le smile smile ou la nappe de volatilités implicites qui correspondent aux différents cours d’options observés à un instant donné.

b) Explications sur les raisons d’être de la structure par termes des volatilités et du smile et  cohérence de la méthode Il n’est pas surprenant que la volatilité implicite dépende de T et de K, et des modèles plus sophistiqués que celui de BS mettent en évidence une telle dépendance. Par exemple, le modèle à volatilité variable et déterministe présenté dans le chapitre précédent montrait que le paramètre σ à introduire dans la formule de BS est la moyenne de celle-ci sur  la période (t, T ). ). Dès lors, si l’on n’anticipe pas que la volatilité sera constante, la volatilité  pertinente dépend de l’échéance T de l’option. Le phénomène de structure par termes des volatilités est par conséquent parfaitement  parfaitement compatible avec le modèle de BS.

En revanche, le smile correspondant à une maturité T donnée n’est pas compatible avec le modèle de BS mais peut s’expliquer par le fait que la distribution du prix S T  T  du sous-jacent n’est pas log-normale. *Considérons par exemple la valeur  C (K ) d’un call en tant que fonction f onction du prix d’exercice obéissant à un smile en vertu de la relation (2-b). On démontre (cf. l’annexe 2) que, sous la probabilité risque neutre Q, la densité de probabilité de la valeur finale S T  T  du support,

φ T  ( K ) =

Q ( S T  ∈ [ K , K  dK ]) dK 

, est égale à la valeur capitalisée de la dérivée seconde seconde des

options (calls ou puts) par rapport au prix d'exercice :

11

φ T  ( K ) = e

rT 

∂ 2C  ( K ) . ∂ K 2

). Par ailleurs, Donc, à une gamme de prix C (K ) correspond une densité de probabilité φ T   K ). T ( K  quand la formule d’évaluation F est F est fixée, par exemple celle de BS, à une gamme de prix C (K ) correspond une courbe de smile σ i( K   K ) par la relation (2-b). Dès lors, à une courbe de smile correspond une densité de probabilité φ T  de S T  correspondance T.  Cette double correspondance T(K)   s’écrit :

), K , …) C ( K   K ) = F (σ i( K   K ),

(2-b)

rT 

φ T   K ) = e T ( K 

(3)

d 2 F (σ i ( K ), K ) dK 2

A une forme particulière du smile correspond donc une densité particulière de S T  T  donnée par  (3), que l’on peut qualifier de densité implicite dans le smile. smile . Par exemple, à un σ i( K   K ) = σ  indépendant indépendant de K le K le modèle F de F de Black et Scholes fait correspondre , contrairement à l’hypothèse sous-tendant sous-tendant le modèle de BS. En particulier, on montre que la densité de probabilité de ln(S  ln( S T  T),   implicite dans la « volatility skew » telle qu’elle apparaît sur la figure 3-c, n’est pas normale : elle est caractérisée par une dissymétrie impliquant impliquant des probabilités importantes de valeurs très inférieures à la moyenne (c'est-à-dire avec une « queue épaisse » à gauche). Ces considérations sont développées développées et précisées dans l’annexe 2 de ce chapitre.

Section III Les sensibilités des options (paramètres grecs) Pour utiliser de manière optimale les options et pour gérer efficacement un portefeuille qui en contient, il est nécessaire de quantifier l'impact sur leurs valeurs d'une modification des variables qui les influencent. Cette section est ainsi consacrée à l'examen des différentes dérivées partielles qui mesurent cet impact. Les modèles de type BS permettent le calcul explicite de toutes ces dérivées.

1 - Le delta ( )  Définition : le delta est la dérivée partielle première de la prime par rapport à S ; il mesure la sensibilité de la valeur de l’option à la variation du cours du sous-jacent. Quand on dispose d’une formule d’évaluation, une telle dérivée est aisément calculable. Comme il est montré en Annexe 1, dans le modèle de BS l’on a :

( 4-a)

δ C  C  ≡

∂C  = N (d 1), donc : 0 < δ C  C  < 1 ∂S 

12

( 4-b)

δ  P  ≡

∂ P  = – 1 +  N (d 1), donc donc : ∂S 

–1 < δ C  C  < 0

Outre la démonstration de ces formules, on trouve également dans l’Annexe 1 la valeur des deltas impliquées par d’autres modèles d’évaluation.  Notons, qu'en vertu de la parité call-put, l'on a : δ C  C  – δ   P  = δ S  S  = 1 pour une option sur un titre au comptant ne versant pas de dividende.

Il découle de sa définition mathématique que le delta est la pente de la tangente à la courbe représentant le prix de l’option en fonction du cours du sous-jacent et que, au premier ordre,  pour une petite variation du sous-jacent, on a :

Variation de la valeur de l’option =

option

Variation du prix du sous-jacent

Enfin, il résulte de la théorie de l’évaluation des options (cf. chapitre précédent, démonstration de la formule de BS) que la probabilité (risque-neutre) que l’option finisse dans la monnaie est : Proba Q (S (T ) > K ) = N (d 2). Or d 2 est proche de d 1, du moins pour les options dont la maturité n’est pas trop éloignée ou la volatilité n’est pas très forte ( d 2 = d 1 -

σ  T  − t ). Le delta d’un call est donc approximativement égal à la probabilité (risque neutre) d’exercice pour les options de courte durée ou faible volatilité 10. La figure 4 représente le delta en fonction du prix du sous-jacent pour un strike donné Delta du call 

Figure 4 Delta du put 

1

S

S -1

Le profil général de ces courbes se déduit de celui de la représentation graphique de la prime en fonction de S dont il représente la tangente ; les valeurs exactes s’obtiennent directement à

10

Comme démontré dans l’une des annexes du chapitre précédent, N  précédent, N (d 1) est très exactement la probabilité d’exercice de l’option sous la mesure QS  associée au numéraire particulier qu’est le sous-jacent lui-même : ProbaQs(S (T ) > K ). ).

13

l’aide des relations (4).

Il est important de retenir quelques repères fondamentaux :

• • • •

un call a un delta positif compris entre 0 et 1 ; un put a un delta négatif compris entre 0 et –1 ; le sous-jacent a un delta de 1 ; une option à la monnaie a souvent un delta voisin de 0.5 en valeur absolue 11 (intuitivement on comprend qu’elle a approximativement une chance sur deux de terminer dans la monnaie) ;

•

Une option très « dans la monnaie » a un delta proche de 1 en valeur absolue (il est fort probable qu’elle sera exercée) ;

•

une option très en dehors de la monnaie a un delta presque nul (elle n’a pratiquement aucune chance d’être exercée).

L'intérêt du delta est manifeste manifeste quand il s'agit s'agit de former un portefeuille localement insensible à une (petite) variation du cours du sous-jacent : un portefeuille composé d'un call long et de –   N(d 1 ) support court a un delta global nul, comme celui composé d'un put long et de (1 – 

 N(d 1 )) support long. Plus généralement, une position en supports, calls et puts, dont le delta global est nul, est dite delta-neutre . C'est, par exemple, la position des market-makers qui refusent en général de prendre un pari sur le sens de l'évolution du support. Encore plus généralement, il est possible, en modifiant la composition du portefeuille, d'obtenir n'importe quel niveau de sensibilité à la variation du support (c'est-à-dire aussi n'importe quel degré de couverture) puisque le delta du portefeuille est la somme des deltas de ses constituants :  N 

δ  port =

∑ n δ  + n i

i

S 

i =1

11

Quand l’option est à la monnaie, d 1 =

r + σ 2 / 2

T  est proche de 0 pour la plupart des valeurs courantes

r + σ 2 / 2 des paramètres. Plus précisément : N  : N (0) (0) = 0,5, donc N  donc N (d 1) ~ N  ~ N (0) (0) + d 1 N’ (0) (0) = 0,5 + T  . Le delta 2π  d’un call à la monnaie est donc légèrement supérieur à 0,5 et celui d’un put légèrement supérieur à - 0,5.  N (d 1) est encore plus proche de cette probabilité d’exercice pour des options dites « à la monnaie forward » pour  -rT  lesquelles S (0) (0) n’est pas égal au strike K  strike K mais mais au strike actualisé Ke actualisé Ke (cf la parité call-put). En effet, le taux r  figurant dans les expressions précédentes disparaît alors.

14

où ni est la quantité d’options i détenues, étant entendu que les calls et les puts (de différents  prix et dates d'exercice) sont écrits sur le même support et que nS  désigne la quantité détenue dudit support ; ni est positif ou négatif selon que la position est longue ou courte. On utilise parfois une mesure dérivée du delta, appelée élasticité , définie comme suit :

ε C  ≡

dC  C  = δ  S  C  dS  C  S 

(≥ 1) ;

dP   P  = δ  S  P  dS   P  S 

ε  P ≡

(≤ 0 ) .

L’élasticité permet de raisonner en pourcentage de variation. Exemple 1. Soient un call et un put européens, écrits sur un support au comptant valant 500 €, de prix d'exercice 520 et de maturité 90 jours. Le taux d'intérêt (discret) annuel est de 9,5 %  pour des opérations à 3 mois et la volatilité du support a été estimée à 5,547 % en données hebdomadaires. Les calculs donnent T-t = 90/365 = 0,2465753 ; r = Ln (1,095) = 0,09075 ;

σ = 0,05547 0,05547 x

52 = 0,4 ;  Ke-r(T-t) = 508,493.

d 1 = [ Ln ( S/K ) + (r + 2 /2)(T-t ) ] / 

d 2 = d 1 -

•

•

T  − t = 0,0145127

T  − t =- 0,1841101.

 N(d 1 ) = 0,50579056 ;  N(-d 2 ) = 0,5703644 ;  N(d 2 ) = 0,42696356. C = 500 N(d 1 ) - 507,493 N(d 2 ) = 35,787 = 35,79.  P = C-S+Ke-r(T-t) = 35,787 - 500 + 500,493 = 44,28. Le delta du call est égal à  N(d 1 ) = 0,506, celui du put à -0,494, l'élasticité du call à 7,069 et celle du put à -5,578 : le call est (relativement) 7 fois plus sensible et le put 5,6 fois plus sensible que leur support commun. c ommun.

2 - Le gamma ( ) Le gamma est le seul paramètre grec (usuel) qui ne soit pas une dérivée partielle première de la valeur de l’option. En effet, par définition, le gamma est la dérivée du delta, ou la dérivée

 seconde de la valeur de l'option par rapport au cours du support . Dans le cas d’options évaluées par le modèle de BS, BS, on obtient (cf. l’Annexe 1 pour la démonstration): ∂ 2C  ∂δ C   N ' ( d 1 ) Γ C  ≡ 2 = = (5-a) ∂S  ∂S  S σ  T  − t 

∂ 2 P  ∂δ  P   N ' (d 1 ) Γ  P  ≡ 2 = = = Γ  ∂S  ∂S  S σ  T  − t  C 

(5-b) où N’(z) =

1 2π 

 – t est e − z  / 2 est la densité de probabilité d’une gaussienne centrée réduite et T  2

la durée de vie résiduelle de l’option.

15

Γ C =

Remarquons que le gamma du support est nul et qu'en vertu de la parité call-put, l'on a

Γ P, quel que soit le modèle d'évaluation utilisé. Par ailleurs, comme le delta, le gamma est additif et Γ  port  =

 N 

∑ n Γ  . i

i

i =1

Le gamma d’un portefeuille d’options joue un rôle important et conditionne largement sa gestion. Un portefeuille dont la valeur est une fonction convexe du cours S du sous-jacent aura un gamma positif. Inversement la valeur d’une position gamma négative est une fonction concave de S . Le gamma s’interprète comme la sensibilité du delta aux variations du prix du support ; il est lié à la courbure de la courbe représentative du prix de l’option en fonction de S .  Figure 5 : Sous l’effet de  ∆S, le point M se déplace en M’. Si la convexité était nulle (Γ =0) =0) ,  , il se déplacerait en M’’ 

V 

M’ 0,5.Γ .( .(∆S )² )²

 ∆V 

M’’ δ.∆S 

M

∆S 

S 

Exemple 2. Dans le cadre de l’exemple 1 précédent, le gamma du call (et du put) est égal 13 à 0,004 : pour une hausse d'un euro du support, le delta du call (put) augmente (diminue en valeur absolue) de 0,004 : δ C  C  = 0,510 et δ   P  = -0,490. Conformément à la figure 6, la courbe représentant le gamma en fonction du prix du support a une forme « en cloche » présentant un maximum pour  S proche du prix d’exercice. On notera que le gamma d’une option autour de la monnaie augmente lorsqu’elle se rapproche de l’échéance tandis qu’il diminue pour des options loin de la monnaie. Ce résultat s’interprète graphiquement : quand l’échéance se rapproche, la courbe représentant le prix de l’option vient s’écraser sur sa valeur intrinsèque jusqu'à présenter une cassure au prix d’exercice. Au voisinage de l’échéance, la courbure est donc infinie au niveau de la cassure et

13

N'(d  N'(d 1) = 0,3989.

16

nulle ailleurs. Le gamma est alors sensiblement nul partout sauf à la monnaie où sa courbure est infinie (masse de Dirac); les traders parlent alors de gamma-Dirac. On le verra, cette situation est délicate et inconfortable à gérer car pour de petites variations du support de part et d’autre du strike, la couverture pour le vendeur de l’option change sans arrêt de ( ±) 1 support (l’option est dans la monnaie) à 0 support (elle est en dehors).

 Figure 6 : Le gamma en fonction de S pour deux maturités différentes

Γ 

Maturité résiduelle T1 Maturité résiduelle T2
K 

S 

3 Le Véga ( ) Contrairement à l'une des hypothèses sous-tendant les modèles de base, la volatilité σ du support n'est pas constante en pratique, ni même déterministe. Les opérateurs doivent tenir  compte, dans l'élaboration de leurs stratégies, de cette autre source de risque que constitue l’aléa affectant la volatilité future. C'est pourquoi il est utile de calculer la sensibilité de la valeur des options à un changement de σ .

  Par définition, le véga est la dérivée partielle de la prime par rapport à σ 12. Appliquons la formule d’évaluation de BS, en passant outre le fait que le modèle ait été dérivé en supposant σ constant : (6-a) (6-b)

∂C  = ∂ ∂ P  = V   P  ≡ ∂ V C  C 

≡

T  − t S N’ (d 1) T  − t S N’ (d 1) = V C  C 

12

Véga (le nom d’une étoile) n’est pas une lettre grecque, contrairement aux noms des autres dérivées partielles usuelles. Initialement, on l’appelait lambda (λ) ou zéta (ζ), mais l’usage de véga a prévalu chez les  professionnels et on continue de parler génériquement des « paramètres grecs » (même pour des dérivées secondes croisées faisant intervenir la volatilité comme le « vanna » ou le « voma ») par commodité.

17

La preuve figure en Annexe 1 ainsi que la valeur du véga dans d’autres modèles d’évaluation. V C  C = V   P ,

 Notons qu'en vertu de la parité call-put, l'on a

quel que soit le modèle utilisé.

Remarquons qu’il peut paraître fallacieux de calculer le véga à l’aide d’un modèle à la BS qui  présume la volatilité constante. En fait, il faut simplement l’interpréter comme la variation de valeur de l’option quand le marché révise ses attentes et anticipe d’ici à son échéance une

σ ) et non plus de σ , ce qui n’est pas contradictoire volatilité moyenne du support de ( σ + d σ  avec l’esprit (et la mathématique) du modèle. En comparant les équations (5) et (6) on notera également que : V = 

S 2

(T  − t ) Γ 

Dès lors, pour  S , σ et (T-t ) donnés, le véga et le gamma sont proportionnels mais alors que, toutes choses égales par ailleurs, le premier diminue quand le temps passe le second augmente.  Nous retiendrons les propriétés suivantes :

• • •

le véga du sous-jacent est nul. le véga d’une option standard (call ou put) est positif. le véga d’une option augmente avec sa maturité (comme la racine du temps), donc diminue avec le passage du temps (cf. figure 7-b).

• •

le véga d’une option est maximal quand elle est proche de la monnaie (cf. figure 7-a) . le véga est additif (comme le gamma et le delta), donc le véga d’un portefeuille est la somme des végas de ses composantes.

 Figures 7 : le véga Passage du temps

T-t 

S  K 

b) Evolution du véga avec la durée résiduelle T-t 

a) Le véga en fonction de S 

18

En pratique, cette sensibilité est essentielle à connaître ; toutes choses égales par ailleurs, la  position de l'opérateur gagne (perd) quand la volatilité implicite augmente (diminue), s'il est long en options, donc s'il est véga-positif, le contraire étant vrai s'il est vendeur net d'options (véga-négatif). Une couverture est ainsi d'autant meilleure, toutes choses égales par ailleurs, que le véga du portefeuille est proche de zéro. Exemple 3. Dans le cadre des exemples précédents, le véga du call et du put est égal à 0,990 : la valeur des options augmentera par conséquent de 0,99 € si la volatilité du support augmente de 1 % (de 40 % à 41 %).

4.

Le thêta ( )

Une autre source de modification de la valeur d'une position en options est le passage du temps. On a vu que, sauf exception (notamment celle de puts européens très in-the-money ), la valeur d’une option est d'autant plus élevée que sa maturité est éloignée et que, de ce fait, cette valeur diminue au fil du temps, toutes choses égales d'ailleurs.

 Par définition, le théta est la dérivée partielle de la prime par rapport au temps . Avec le modèle de BS, on obtient :

∂C  ∂C    S σ    < 0 ≡ − = −  N ' ( d 1 ) + rKe− r ( T − t ) N ( d 2 )   ∂t  ∂T   2 T  − t    ∂ P  ∂ P  S  θ  P  ≡ ≡− =−  N ' ( d 1 ) + rKe − r (T − t ) (1 − N ( d 2 )) ≷ 0 ∂t  ∂T  2 T  − t  θ C  ≡

(7) (8)

La preuve figure en Annexe 1 ainsi que la valeur des thêtas résultant d’autres modèles.  –r(T-t)  Notons qu'en vertu de la parité call-put, on a : θ  P  = θ C  , ce qui montre que θ  P  > θ C  C  + r K e C 

et explique pourquoi les puts européens très in-the-money peuvent avoir un théta positif. Comme pour les autres paramètres grecs, il est important de retenir certaines propriétés fondamentales :

•

les options ont en général un thêta négatif ; une position longue en options est donc (en général) théta-négative, une position courte théta-positive ;

• • •

le sous-jacent a un thêta nul ; le thêta d’une option est maximum autour de la monnaie ;  pour les options proches de la monnaie, le thêta augmente (en valeur absolue) lorsque l’option se rapproche de son échéance ;

19

•

comme le delta et le gamma, le thêta est une grandeur additive et le thêta d’un  portefeuille est la somme des thêtas de ses composantes.

Exemple 4. Dans le cadre des exemples précédents, le thêta du call est égal à -0,270 et celui du put à -0,153, les options perdant, approximativement, 27 et 15,3 centimes par jour, respectivement, toutes choses égales par ailleurs.

5. Le rho ( ) Le rho mesure l'influence d'une variation du taux d'intérêt r sur la valeur des options.

 Par définition, le rho est la dérivée partielle de la prime par rapport au taux. Comme indiqué dans le chapitre précédent, la valeur du call augmente et celle du put diminue quand le niveau des taux s'élève. On obtient avec le modèle de BS 13 :

(9) (10 )

∂C  = TKe− r (T −t ) N (d 2 ) > 0 ∂r  ∂ P   ρ  P  ≡ = ( N ( d 2 ) − 1)(T  − t ) Ke − r (T −t ) < 0 ∂r   ρ 

C 

≡

La démonstration de ces relations se trouve en Annexe 1. La sensibilité au taux traduite par le rho s’interprète utilement à partir du portefeuille qui synthétise l’option : rappelons que ce portefeuille dupliquant est composé d’un zéro-coupon dont la maturité coïncide avec celle de l’option (position courte pour un call et longue pour un  put) et d’une quantité de sous-jacent égale à delta (position longue pour un call et courte pour  un put). Le risque traduit par le rho est celui d’une variation du prix du zéro-coupon ; de ce  point de vue, c’est un risque « symétrique » au risque de variation du prix du support lié au delta. Toutefois, cette sensibilité est souvent ignorée car son importance quantitative n’est en général pas du même ordre que celle du delta : la volatilité du zéro-coupon est le plus souvent souvent   plus faible que celle du support, surtout pour les options de courte maturité. En outre, un opérateur « actions » sous-traite souvent la gestion du risque de taux à un opérateur spécialisé, en lui demandant régulièrement de lui acheter (ou vendre) les zéro-coupons dont il a besoin  pour annuler sa sensibilité rho. Dès lors, l’opérateur « actions » supposera sa position « rhoneutre ».

13

L’application du modèle de BS dans un contexte de taux variables, même stochastiques est légitime ; comme on l’a vu dans le chapitre précédent le taux pertinent est le taux de maturitéT  maturitéT et et la volatilité celle du prix forward.

20

Exemple 5. Dans le cadre des exemples précédents, le rho du call est de 0,535 et celui du put de -0,718 : le call gagne 54 54 centimes et le put en perd perd 72 si le taux d'intérêt augmente de 9,5 % à 10,5 %. Le risque de taux entachant une option sur taux, c'est-à-dire dont le sous-jacent est un titre à revenus fixes (ou un contrat à terme sur un tel titre) mérite une mention particulière. Dans ce cas, le prix S (t ,r ) du sous-jacent est déterminé par un taux d’intérêt r  et on écrit utilement la valeur  O d’une option sous la forme : O(t , S (t,r )), )), O(.) étant égale à C (.) (.) ou  P (.) (.) selon qu’il s’agit d’un call ou d’un put. Dès lors :

dO dr

=

∂O ∂O ∂S   + =  ρ + ∂r ∂S ∂r  

δ × Vari Variat atio ion n (S )

La variation au taux de l’option s’analyse donc comme la somme de deux composantes : la « variation directe » égale au rho (et égale à la variation de la composante « zéro-coupon » du   portefeuille dupliquant), et la « variation indirecte » (plus importante pour les supports obligataires) égale au produit du delta de l’option par la variation au taux du support.

6. La sensibilité au taux de dividende Les sensibilités des options standard sont données en Annexe 1 dans le cadre du modèle de Merton où le support verse un taux de dividende continu. Il est alors utile de calculer la sensibilité au taux de dividende c. On obtient facilement, en utilisant les résultats de l’Annexe 1: ∂C  = – (T   – t  t ) S e-c(T-t ) N (d 1) < 0 ∂c ∂ P  = (T   – t  t)  S e-c(T-t ) (1 –  N (d 1)) > 0 ∂c La gestion du risque de dividende est souvent négligée dans les présentations théoriques alors qu’elle joue un rôle non négligeable en pratique. Comme on peut le voir dans l’Annexe 1, la  présence du dividende dans la formule de Merton implique que le delta de l’option fait désormais apparaître un terme multiplicatif e-c(T-t ). Le changement de taux de dividende affectera (toutes choses égales par ailleurs) le delta de l’option. C’est la raison pour laquelle le risque de dividende peut être analysé comme un risque d’incertitude sur le delta, et donc assimilé à un risque de type gamma (c’est-à-dire un risque de variation du delta). Ce raisonnement intuitif est pertinent. Il est cependant important d’annuler ce risque de façon spécifique, si le marché le permet, à l’aide des outils adaptés que sont les futures (le futures ne

21

 porte pas le risque de dividende du support) et les swaps de dividende qui permettent de cristalliser les niveaux des dividendes à venir.

Section IV Gestion dynamique d’un portefeuille-options à l’aide des paramètres grecs Les différentes sensibilités définies dans la section précédente permettent de décrire et de contrôler les variations de valeur des portefeuilles sur de courts intervalles de temps. Ils constituent de ce fait des outils indispensables pour gérer les risques inhérents aux  portefeuilles comprenant des options et pour conduire des stratégies dynamiques sur de tels  portefeuilles.

1 . Variation de la valeur d’une position sur un court intervalle de temps et considérations générales  Nous allons exprimer ici, à l’aide des paramètres grecs, la variation de la valeur  V(S, σ   , r, t) d’un portefeuille contenant un actif de prix S ainsi que différentes options ayant cet actif  comme sous-jacent. Cette variation est calculée sur un intervalle de temps (t, t+∆t ) petit mais non infinitésimal et dépend des variations

∆S et ∆σ sur cet intervalle.

Un développement limité de V impliquant les termes importants en pratique s’écrit14 : (12)

1

∆V ≈ δ ⋅ ∆S + ⋅ Γ ⋅ (∆S )² + θ ⋅ ∆t + υ ⋅ ∆σ + ρ .∆ r

Les paramètres δ , Γ , θ ,

2

v  et  ρ sont

 

 

donc les instruments de gestion des trois sources de risque

liées respectivement aux variations de S , σ et r , et du passage du temps 15. Remarquons que pour insensibiliser le portefeuille aux variations du sous-jacent, il est nécessaire d’annuler son delta mais que cette couverture n’est que locale, donc imparfaite en raison du terme en gamma. Par ailleurs, pour immuniser la position contre le risque de volatilité, il faut annuler son véga.

On néglige l’influence des termes « d’ordre 2 » (en fait d’ordre 1), à l’exception de (∆S )2 ; ce dernier contient 2 2 t (en effet ∆W 2 = ∆t ). D’autres termes du développement en série à l’ordre 2, en effet un terme homogène à σ  S  ∆t (en également homogènes à ∆t (( t ((∆σ )2 et (∆σ ∆S ) ) sont considérés généralement comme moins importants, en  pratique. 15 On ne tient pas compte ici de la variation du taux de dividende. Nous renvoyons le lecteur à la discussion en fin de paragraphe précédent pour une proposition de gestion de ce risque spécifique. 14

22

Puisque le véga des options est positif et que celui du sous-jacent est nul, on remarquera qu’un portefeuille véga-nul doit nécessairement comporter des options achetées et vendues. Il est à noter qu’il en va exactement de même pour qu’un portefeuille soit gamma-nul.

On négligera dans la suite la gestion du risque lié au paramètre  ρ.16

2. La gestion en delta-neutre a) Remarques liminaires Situons-nous d’abord dans l’univers de BS où la volatilité σ est constante. Nous allons exprimer ici, à l’aide des paramètres grecs, la variation de la valeur  V(S, t) d’un portefeuille autofinancé contenant un actif de prix S , différentes options ayant cet actif comme sous-jacent ainsi que de l’actif sans risque (prêts/emprunts). La théorie exposée au chapitre précédent a montré qu’un tel portefeuille obéit à l’EDP de BS :

 E Q (dV ) dt 

∂V  ∂V  1 ∂ 2V  2 2 = + rS + S  σ  = rV  ∂t  ∂S  2 ∂S 2

Cette EDP exprime que l’espérance risque neutre de la rentabilité du portefeuille est égale au taux sans risque :

E Q ( dV )  Vdt 

= r .

Une autre interprétation, également utile dans la suite, consiste à réécrire l’équation de BS sous la forme : Q

 E  (dV ) − rVdt = 0 Q Le premier terme ( E  ),  E  (dV ) ) est l’espérance du profit (ou perte) dans l’intervalle ( t, t+dt ),

formé de la seule plus-value puisque le portefeuille est autofinançant, alors que le deuxième terme (rVdt ) représente le coût de financement ou de portage de ce portefeuille de valeur V  dans ce même intervalle de temps infinitésimal17. L’EDP de BS signifie donc que l’espérance risque-neutre du profit/perte (P & L pour «profit and loss »), net du coût de financement  est

nulle. En utilisant les paramètres grecs, l’EDP de BS s’écrit également : (13)

16

θ  + δ  rS +

1 2

Γ S 2σ 2 = rV 

Plus exactement, on supposera que ce risque est géré indépendamment par une prise de position sur les zéro-

coupons correctement choisis en fonction de la maturité des options. 17 En

règle générale, la valeur initiale du portefeuille autofinançant, V (0), (0), n’est pas nulle et implique, si elle est r sur tout l’horizon de l’opérateur.  positive (négative) un coût (gain) de portage lié au taux sans risque r sur

23

L’EDP de BS conduit donc directement à la relation (13) entre les trois paramètres θ , δ , et Γ . Un portefeuille est dit delta-neutre si son delta est nul ; dans ce cas, fondamental en pratique, (13) devient :

θ  +

(14)

1 2

Γ S 2σ 2 = rV 

Si, de plus, ce portefeuille delta-neutre a une valeur  V nulle, les positions courtes et les emprunts finançant les positions longues (ce qui est souvent le cas des portefeuilles d’options gérés dans les salles de marché), ou si l’on tient compte du coût (ou gain) rV de portage quand

V  est positive (négative) dans le calcul du θ 18, la relation (14) devient :

θ  +

(15)

1 2

Γ S 2σ 2 = 0

Il apparaît alors que le θ  et le Γ d’un portefeuille delta-neutre, de valeur nulle, sont nécessairement de signe contraire. Schématiquement, le portefeuille long en options est

Γ -

 positif et θ - négatif alors que la situation inverse prévaut dans le cas d’un portefeuille court en options. Alors qu’un thêta positif constitue un avantage (puisque le portefeuille s’apprécie avec le  passage du temps), nous verrons plus loin qu’un gamma positif constitue aussi une caractéristique souvent recherchée, antinomique de la première : dès lors, la gestion deltaneutre va impliquer un « trade-off » (compromis) entre le θ et le Γ (cf. c) infra).

En pratique, un portefeuille est dit géré en delta-neutre si sa composition est fréquemment (mais non continuellement) modifiée afin que son delta ne s’éloigne jamais « trop » d’une valeur nulle. Pour que le delta d’un portefeuille soit nul à l’instant t , il faut choisir ses  N 

composantes de telle sorte que

∑ n (t )δ  (t , S ) + n (t ) = 0. Or, dès l’instant suivant, le delta ne i

S 

i

i =1

sera plus nul (car le simple passage du temps et l’éventuelle variation de cours du support modifient les deltas des options) : pour éviter des écarts supérieurs à un seuil de tolérance donné, une révision de la composition du portefeuille s’impose périodiquement. Et c’est là que réside l’importance du gamma.

b) Impact d’une variation du prix du support sur une position delta-neutre selon le signe du Γ 

18

C’est-à-dire en raisonnant en P&L net : le coût (gain) de portage rV réduit rV réduit (augmente) le θ  de sorte que (15) est satisfaite.

24

 Nous allons analyser le comportement d’un portefeuille δ-neutre face à un mouvement ∆S , non infinitésimal du prix du support. Dans un premier temps, on néglige l’effet du passage du temps et on raisonne à σ et r constants, comme dans l’univers de BS. L’analyse s’appuie sur  les graphiques de la figure 8. En t = 0, le prix du support est S 0 (100,50 sur l’exemple graphique de la figure 8) et le delta est présumé nul ; peu de temps après (par exemple le lendemain) le support vaut S + ∆S et, de ce fait, le δ ainsi que la valeur du portefeuille ont varié. Cette constatation donne lieu à l’interprétation suivante du gamma, la plus importante sur le  plan pratique : Γ∆S est le nombre de titres sous-jacents qu’il convient de vendre ou d’acheter   pour que le portefeuille redevienne delta-neutre, suite à une variation ∆S du prix du support 19. En effet cette variation implique ∆δ  ≈ Γ∆S  ; puisque le gamma du sous-jacent est nul et le delta du sous-jacent est égal à un, il faut compenser cette variation du delta du portefeuille par  une variation dans l’autre sens en intervenant sur un nombre de supports égal à

Γ∆S.

 Exemple 6 . Soit un portefeuille comprenant 1 call acheté et 0,51 supports vendus. Le delta du call étant égal à 0,51, le portefeuille est delta-neutre (1 × 0,51 – 0,51 × 1 = 0). Supposons que le gamma de ce call soit de 0,06 et que le cours du support s’élève de 100 à 101. Le P&L de la  position est bien nul car le call s’apprécie de son delta (+0,51) mais la position courte en support perd 1×(-0,51). Cependant le delta global de la position n’est plus nul mais est devenu 0,570 – 0,510 = 0,06, le gamma du call. Il faut donc vendre 0,06 support pour que la position redevienne delta-neutre. Le raisonnement est analogue si le prix du support baisse de 100 à 99. Il convient alors d’acheter 0,06 support. Il est important de noter que ces interventions sur  le sous-jacent ne modifient que le delta , pas les autres paramètres grecs.

Conformément à ce qui est décrit sur la figure 8, selon que le gamma du portefeuille est au départ en t = 0, pour  S = S 0 positif, négatif ou nul, la variation ∆S aura une incidence différente sur le delta et sur la valeur du portefeuille ( S 0 = 100,5 sur l’exemple graphique de la figure 8) .

19

La proposition est en fait plus générale qu’il n’y paraît et s’applique également à une position qui n’est pas delta-neutre, mais delta quelconque. Le gamma est le n ombre de titres qu’il faut vendre ou acheter pour faire revenir le delta à sa position cible.

25

- Si Γ(S 0) =

∂ 2V  (S ) ∂S 2 0

> 0, la valeur du portefeuille est une fonction convexe de S au voisinage

de S 0 et sa variation sera positive quel que soit le signe de

∆S (cf. figure 8-a).

- Si Γ(S 0) < 0, la valeur du portefeuille est une fonction concave de S et sa variation sera négative quel que soit le signe de

∆S (cf. figure 8-b).

- Si Γ(S 0) = 0, V (S ) connaît un point d’inflexion en S 0 et l’impact de ∆S sera très faible.(cf. figure 8-c). En fait, la variation de valeur d’une position delta-neutre induite par la variation ∆S du prix du support, s’écrit localement : 1

∆V  = ⋅ Γ ⋅ ( ∆S )² 2

V (S ) se présente donc localement comme une parabole dont l’extremum correspond au cours spot S 0 pour lequel le delta est nul. Une position gamma positive bénéficie donc de tout mouvement ∆S (positif ou négatif) du cours du sous-jacent alors que ces mêmes mouvements induisent des baisses de la valeur d’un portefeuille gamma-négatif.

26

Figure 8 : Variation locale du delta et de la valeur d’un portefeuille delta-neutre 80

8-a Portefeuille δ-neutre ; Γ  >0

Delta

V 

60

∆V.

40

20

0 95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

S -20

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

-40

105

S

8-b Portefeuille δ-neutre ; Γ < 0 8 Delta

7

V 

6 5 4 3 2 1 99 100 101 102

98

102 100  ____________________________________________________________________________________________  S S 30

Delta

8-c Com8-c  por tePortefeuille ment d'un ppoδ r t-neutre ef euille δ  neneutre utr e-Γ neutr e ; Γ 

25

V  20  _____________________________________________________________________________________________  0

15 10 5 0 95

96

97

98

99

100

101

102 103

104

95

105

S

96

97

98

99

100

101

S

27

102

103

104

105

La convexité caractérisant la position Γ -positive -positive constitue donc un avantage important, prisé  par les traders. Comme on peut l’inférer de l’exemple 6 ci-dessus, cette position est d’autant plus gagnante que le nombre d’allers-retours sur le support est grand (la volatilité autour du trend est élevée), car on vend le support quand celui-ci est cher (101) et on l’achète quand il est bon marché (99) et/ou que la variation du support est forte (102-98 par exemple). Puisque acheter  une option (pour être Γ -positif) -positif) revient à acheter initialement de la volatilité, l’investisseur a intérêt à ce que la volatilité effective moyenne d’ici à l’échéance de l’option soit la plus forte

 possible : le gain sur ses allers-retours compensera (et au-delà) la prime payée au départ. C’est tout l’intérêt de la gestion du gamma . Si, au contraire, la volatilité effective moyenne est inférieure à celle qu’il a payée, sa gestion du gamma restera insuffisante pour générer un P&L  positif et il perdra de l’argent. De façon symétrique, le vendeur d’options en position

Γ -négative -négative a intérêt à ce que la

volatilité effective soit la plus faible possible car ses allers-retours à perte (acheter à 101 et vendre à 99) seront d’autant moins fréquents et le montant de chacune des pertes d’autant plus faible. Considéré de ce point de vue, le fait d’intervenir sur des options dont le gamma est géré s’analyse comme un pari sur la différence entre la volatilité encaissée ou payée initialement (la volatilité implicite) et la future volatilité moyenne effectivement réalisée.

Par ailleurs, comme on l’a déjà remarqué en a) et comme on va le montrer dans le paragraphe suivant, il convient aussi de comprendre que l’avantage (l’inconvénient) d’un gamma positif  (négatif) a une contrepartie défavorable (favorable) en termes de thêta. Enfin, il faut insister sur le fait que cette analyse n’a de sens que localement. La position n’est assimilable à une parabole qu’aux environs du prix S 0 du support auquel la couverture δ neutre a été traitée. A plus grande échelle, la courbe n’est pas une parabole et, dans le cas général, elle n’est même pas symétrique.

c) Variation de valeur d’une position delta-neutre selon le signe du Γ  et     du du θ  Pour des raisons didactiques, nous nous sommes bornés, dans le paragraphe précédent, à l’étude des effets d’une variation ∆S du cours du support supposée instantanée (saut). En fait cette variation ∆S s’inscrit en général dans un intervalle ( t , t +∆t ). ). Nous allons donc analyser  maintenant le résultat d’une position optionnelle couverte en delta en prenant en compte le

28

 passage du temps . Nous avons vu que pour une option gérée en delta-neutre, le thêta et le gamma sont de signe contraire 20. Ainsi, toutes choses égales par ailleurs, une position gamma  positive perd de la valeur avec le temps tandis qu’une position gamma négative se valorise. L’avantage conféré par la convexité d’une position gamma-positive trouve donc sa contrepartie dans un thêta négatif. Le trader devra donc « arbitrer » le θ contre le Γ (trade-off 

 gamma/thêta). Plus précisément, en raisonnant toujours à volatilité constante, sur un intervalle de durée

∆t la

variation de la valeur du portefeuille delta-neutre (a une forme parabolique en ∆S et) s’écrit : 1

∆V  ≈ ⋅ Γ ⋅ ( ∆S )² + θ .∆t  2

Une position longue en options a un gamma positif et un thêta négatif. La parabole pointe donc vers le bas et l’ordonnée de son extremum est θ .∆t (négatif) (cf. figure 9-a). Inversement, une position gamma-négative est représentée localement par une parabole  pointant vers le haut et dont l’extremum est positif (cf. figure 9-b).

 Figure 9 : Variation de valeur d’une position dans un intervalle ∆t  a) Γ >0 , θ <0

b) Γ < 0 , θ >0

∆V 

∆V  θ∆t 

+ S 0-c

S 0  _ 

S

S 0

S 0+c

S 0-c

S  S 0+c

θ∆t 

Ainsi, pour un intervalle de temps donné ∆t, il existe une variation ∆S = c du cours du support qui permet de compenser exactement l’effet du passage du temps. Pour toutes les variations du cours du support de valeur absolue |∆S | > c, la position Γ > 0 , θ 

< 0 est gagnante et la position Γ < 0 , θ > 0 est perdante, les résultats opposés prévalant quand |∆S | < c.

20Cela

est toujours vrai pour une position de valeur nulle et, si tel n’est pas le cas, c’est vrai également quand on  prend en compte le coût de financement du portefeuille.

29

En posant

1

∆V  ≈ ⋅ Γ c² + θ .∆t = 0, on conclut que cette variation critique c, appelée point

mort, est: c

2

≈ −2

θ  ∆t 

Γ 

.

En utilisant alors l’équation (15) qui établit la relation entre les paramètres

c ≈ σ S

Γ et θ , on obtient :

∆t 

Cette grandeur est égale (au premier ordre) à un écart-type de la distribution de la variation du du sous-jacent : σ (∆S ). ). Ainsi, si la volatilité historique se révèle à posteriori être égale à σ , le point mort est atteint ou dépassé dans 32% des occurrences, environ. La stratégie Γ -neutre -neutre ne constitue donc pas une panacée. On a déjà remarqué, d’ailleurs, que l’espérance risque-neutre de ∆V est nulle (équation (15), valable quand V = 0) ou égale au coût de financement du portefeuille dans l’intervalle (t , t +∆t ) considéré (équation (14)). On notera donc, sans surprise puisque le marché est présumé exempt d’opportunités d’arbitrage, qu’en terme d’espérance risque-neutre les effets θ et Γ s’équilibrent s’équilibrent exactement . Dès lors, la mise en œuvre d’une stratégie delta-neutre gagnante sur le long terme repose sur les capacités d’anticipations supérieures du trader ou sur des imperfections du marché. On retiendra aussi que, lorsque le temps passe, la parabole représentant

∆V (figures 9 a ou b)

se translate (en première approximation) verticalement dans la direction vers laquelle elle  pointe (car |θ ∆t | augmente). Cependant, il faut également avoir à l’esprit que le gamma, et donc la courbure de la parabole, varient avec le temps21. Enfin, notons que les actifs qui « pèsent » le plus en termes de gamma et de thêta sont les options proches de leur échéance et proche de la monnaie. A cet égard, une position constituée de telles options est potentiellement dangereuse car ces options sont presque à leur  valeur intrinsèque et leur gamma est très élevé et très sensible. De ce fait, en pratique, les vendeurs d’options qui gèrent en delta-neutre tentent le plus souvent de solder leurs options  proches de la monnaie, avant leur échéance.

21

Si l’option est proche de la monnaie, son gamma augmente et la parabole devient plus « pointue ». Inversement, le gamma d’une option éloignée de la monnaie diminue et la parabole s’aplatit.

30

c) Prise en compte des variations de la volatilité  Afin de se conformer aux conditions de marché, les traders d’options modifient régulièrement les volatilités utilisées pour valoriser les options qu’ils traitent et pour réévaluer celles qu’ils  possèdent, ce qui engendre des gains ou des pertes liés à leur véga.

Schématiquement, la gestion active consiste souvent à mettre en place des positions optionnelles à un certain niveau de volatilité et à les gérer en delta-neutre dans le but de les vendre à un niveau de volatilité avantageux et engendrer un gain lié au véga. Il s’agit de construire une position adaptée aux anticipations sur les évolutions futures de la volatilité (on choisit un véga positif si l’on anticipe une hausse de la volatilité et négatif dans le cas inverse) et aux évolutions à court terme du sous-jacent (trade-off gamma/thêta)22. On a vu que c’était également le cas du gamma (véga et gamma sont positifs si l’option est achetée, négatifs si elle est vendue), ce qui est parfois source de confusion pour les opérateurs peu avertis. Ce qui différencie ces deux paramètres grecs, c’est que le gain généré par le gamma nécessite une gestion (plus ou moins) « continue » tandis que celui engendré par le véga est instantané et ne se « gère » pas au sens strict du terme.

d) Pseudo-arbitrages dynamiques La position la moins aléatoire, est delta, gamma et véga -neutre. Des stratégies de pseudoarbitrage peuvent être élaborées sur cette base. On cherche une position x, δ-neutre, et si  possible V  -neutre et Γ -neutre, -neutre, dont le rendement attendu i diffère du taux d'intérêt r : si r < i, on prend une position longue sur sur x financée par un emprunt au taux r , et si r > i, on prend la  position inverse. Ces pseudo-arbitrages peuvent impliquer une option et son sous-jacent ou  plusieurs options et leur sous-jacent commun. Le principe de l’arbitrage option/titre est simple : on estime la valeur théorique de l'option avec un modèle de type BS et on compare cette valeur à la valeur effective observée sur le marché; on constitue alors un portefeuille δ−neutre en combinant titre et option. Ce type d’opération repose sur une estimation préalable de la volatilité (que l’on considère plus  pertinente que la volatilité implicite dans le prix du marché) et souffre, outre le risque inhérent à toute estimation, des imperfections du modèle d’évaluation utilisé. Cet inconvénient est

22

Il est toutefois important de noter que, dans le cas des market-makers, les retournements souhaités des  positions sont contraints par l’obligation statutaire de « servir » le marché. On rappelle que le rôle d’un marketmaker est de fournir de la liquidité au marché : aux bornes des fourchettes « bid-ask» qu’il affiche, il est tenu d’acheter ou de vendre une quantité minimale d’options à l’intervenant du marché qui le sollicite.

31

 partiellement ou totalement évité avec l’arbitrage options/options ou options/options+titre. Le  principe consiste alors, sous sa forme la plus fruste ignorant les phénomènes de « smile » évoqués ci-après, à repérer deux options O1 et O2 dont    les volatilités implicites diffèrent. Si,    les  par exemple, la volatilité de O1 est supérieure à celle de O2, cette dernière est sous-évaluée, non dans l’absolu, mais  par rapport à O1. On vend alors O1 et on achète O2 de manière à constituer un portefeuille δ-neutre. On évite ainsi l'estimation de la « volatilité pertinente ». Par ailleurs, les erreurs d’un modèle qui serait entaché d’un biais de sur- ou sous-évaluation se compensent partiellement (puisque simultanément on achète et on vend des options). Une variante plus sophistiquée de la méthode consiste à comparer les volatilités implicites des deux options relativement à une courbe de smile ou même à une nappe de volatilités. Pour  considérer O1 surévaluée par rapport à O2, il faudra alors que la nappe de volatilité (courbe de smile) jugée « normale » se situe entre les deux volatilités implicites, celle de O1 étant audessus et celle de O2 en-dessous de cette nappe (courbe). De façon générale, ce type d’opération implique plusieurs options (calls, puts de différents prix d'exercice et maturités) ainsi que l’actif sous-jacent ; avec plusieurs options, il est possible de contrôler simultanément différents paramètres grecs23 . Par exemple, les opérateurs peuvent tirer parti du smile s’ils le jugent trop prononcé. Pour  cela, ils vendent des options en dehors de la monnaie et achètent des options proches de la monnaie. Telle est la situation représentée sur la figure 10 : les points représentatifs des différentes options y sont repérés par des petits cercles, la courbe du smile observé (qui « passe au plus près » de ces différents points représentatifs) est en trait plein, alors que le smile « normal » est en pointillés. Une telle position implique normalement un gamma positif  et un thêta négatif, car les options proches de la monnaie (que l’on achète) ont une plus forte convexité et un thêta plus négatif que celles qui sont loin de la monnaie (que l’on vend).

 Figure 10 : arbitrages options/options options/options impliquant le smile

σ implicite Vendre

Vendre

Smile « normal »

23

Pour contrôler le delta il faut au moins une option (en plus du sous-jacent); pour chaque paramètre grec supplémentaire à contrôler, il faut au moins une option supplémentaire.

32

Smile observé Acheter 

K de risques si Une telle position, bien qu’elle soit gamma-positive, n’est toutefois pas exempte elle n’est pas suivie de près. Par exemple, si le cours du sous-jacent augmente, le gamma des calls à la monnaie décroît tandis que celui des calls initialement en dehors de la monnaie croît au fur et à mesure qu’ils se rapprochent de la monnaie. La position globale peut alors devenir  gamma négative, ce qui peut impliquer un risque important. On voit donc qu’il existe, en fait, un risque directionnel qui peut se matérialiser si le cours du sous-jacent varie rapidement et/ou si la gestion n’est pas suffisamment réactive.

e. Obtention de paramètres grecs de signe quelconque On l’a vu, une option achetée a un gamma et un véga positif et un thêta (en général) négatif, et l’inverse est vrai si l’option est vendue. En pratique, un opérateur peut souhaiter détenir, par  exemple, un portefeuille dont le gamma et le véga soient de signe opposé. Bien que ceci ne soit pas à l’évidence réalisable avec une seule option, il est facile d’y parvenir avec un panier  d’options de caractéristiques (strikes et maturités) différentes, parce que, on l’a vu, les « grecs » dépendent de ces dernières, et pas seulement du cours du support. Le panier peut être très complexe (ce qu’est en général un « book » d’options) mais nous allons montrer sur  un exemple simple que détenir deux options seulement peut suffire à générer un portefeuille dont les gamma et véga sont de signe opposé.

 Exemple 7 . Soit le titre ABC cotant 100 actuellement. Sa volatilité perçue par le marché est de 40%. La courbe des taux est plate à 4,1% (taux discrets). Supposons qu’un opérateur  anticipe sur le court terme (un mois) un fort mouvement de marché (de signe inconnu), ce dernier restant nerveux suite à une incertitude concernant les projets d’investissement de ABC, puis une baisse de la volatilité d’ici à six mois (6 mois), le marché redevenant plus calme suite à la résolution de l’incertitude. L’opérateur souhaite par conséquent avoir une  position delta-neutre (il est indécis quant à la direction du prix de ABC), gamma-positive (pour profiter du mouvement de prix à court terme) et véga-négative (pour bénéficier de la  baisse ultérieure de la volatilité). Il peut atteindre cet objectif facilement à l’aide d’un écart calendaire consistant à acheter un call proche de la monnaie forward ( K  =99) et court (31 jours) et à vendre un call de même  K =99) strike mais long (183 jours). On sait en effet que le gamma est d’autant plus élevé, toutes choses égales d’ailleurs, que l’échéance est rapprochée et que l’option est proche de la

33

monnaie forward. Pour éviter les problèmes d’arrondis, nous raisonnerons sur 1000 calls achetés et vendus. Compte tenu des données de marché, l’application des résultats de BS conduit aux chiffres suivants (pour une option) : Call court acheté Call long vendu

valeur :

Position nette

5,32

12,65

-7,33

delta :

0,569

0,599

-0,029

gamma :

0,034

0,014

0,020

vega :

0,115

0,274

-0,159

thêta :

-0,080

-0,036

-0,044

L’opérateur a ainsi encaissé 7 330 € sur les options, sa position est gamma-positive de 20, véga-négative de 159 et est delta-neutre à condition qu’il achète 29 supports (l’encaissement net est par conséquent de 4 430 €). Le thêta global est négatif (-44) car pour les options  proches de la monnaie forward, la valeur absolue du thêta est d’autant plus grande que l’option est courte.

3. Un outil de gestion des risques : la matrice P&L Pour mesurer et contrôler les risques de variation du prix du sous-jacent ou de la volatilité, on  peut utiliser une matrice de risque, dite encore P&L (profit and loss). Il s’agit d’un tableau à double entrée dont les cases contiennent les variations de valeur de la position pour une plage de variations de S centrée sur le cours actuel (en abscisses) et une plage de variation de la volatilité (en ordonnées), sur une maturité courte donnée. La valeur la plus négative inscrite dans ce tableau représente la perte maximale pouvant être atteinte (avec une probabilité faible mais non négligeable). Cette perte maximale doit être chaque soir inférieure à un certain seuil fixé par le département de contrôle des risques de l’institution financière ou entreprise concernée. Cette matrice des risques est un outil important de la gestion du portefeuille à un niveau global et/ou individuel. En particulier, le trader apprécie l’impact de chaque opération sur la matrice et gère son portefeuille de manière à respecter les limites imposées.  Notons une fois encore que les options de maturité courte qui ne sont pas trop éloignées de la monnaie ont une forte convexité et ont donc une influence particulièrement importante sur les P&L inscrits dans la matrice. Afin d’éviter de sortir des limites fixées, les traders peuvent donc acheter de telles options, au prix d’un coût important en termes de thêta.

34

Exemple simplifié. On présente, ci-dessous, une matrice de risque centrée sur un cours du support égal à 37,8 € et une volatilité de ce dernier égale à 35% (situation aujourd’hui). Pour  ces valeurs de S et σ (cellule en grisé), le P&L = 0 (nombre de gauche) et le delta égal 0,14 (nombre de droite). Chaque cellule donne le P&L et le delta de la position correspondant à différentes valeurs de S et de σ . Si, par exemple, demain le cours du support augmente et devient égal à 40,4 €, la volatilité restant constante au niveau de 35%, la valeur de la position augmente de 0,4 K€ et son delta devient égal à 0,20. On remarquera que ce P&L de +0,4 induit par cette hausse du cours est approximativement égal à 0,14*(40,4 –  – 37,8) €€ (∆V =

δ ∆S ). La matrice P&L contient en général beaucoup plus de colonnes et de lignes que celle  présentée dans cet exemple schématisé. Le plus souvent, on requiert que la position conduise à une matrice dont tous les points sont supérieurs à une valeur appelée « limite en catastrophe » et correspondant à la perte maximum admise en cas de décalage « catastrophique du marché » (dans l’exemple 16,7 K€).

S = pr ix de 1 action en € €; Position de 1000 actions ; P&L en K €

S 

27%

31%

35%

39%

7,9; -0,40

29,8 

- 4,1; -1,85

-1,9; -1,51

2,8; -0,96

32,5 

-7,9; -1,48

-4,8; -0,71

0,7; -0,27

7,0; 0,15

35,2 

-11,1; -1,0

-6,3; -0,38

-0,4; 0,09

5,7; 0,61

37,8 

-13,8; -0,88

-7,3; -0,34

0; 0,14

7,4; 0,67

40,4

-16,7; -0,33

-8,4; -0,19

0,4; 0,20

9,5; 0,79

43,1

-16,1; 0,38

-7,5; 0,51

1,9; 0,77

12,3; 1,02

45,8 

-14,0; 1,34

-5,3; 1,62

4,9; 1,78

16,0; 1,84

35

ANNEXE 1 Calcul des dérivées partielles (Grecs) Pour simplifier les notations, on se situera toujours en t = 0 dans cette annexe.

1. Modèle de Black et Scholes  Résultat liminaire Commençons par un résultat qui simplifie considérablement les calculs des paramètres grecs. Sachant que le modèle de Black et Scholes s’écrit : -rT 

C = S N (d 1) - Ke

N (d 2)

2 σ  T et d2  = d 1 – σ  T , avec d 1 = ( Ln  Ln (S/K ) + (r + σ  /2) T ) /   / σ 

l'on a : -rT  SN' (d 1) = Ke  N' (d 2)

(i) où N' ( z   z ) ≡

1

e − z 

2

2π 

/2

est la fonction de densité de la loi normale centrée réduite.

Démonstration : Par définition de d 1 : Ln (S/K ) + (r + σ 2 /2)T = d 1σ  T  Ln S - Ln K +rT  = d 1σ  T  −

Ln S + Ln

    

σ 2T  2

= 1    d 12 − (d 1 − σ  2  

 − d 12 = Ln K  – rT     – rT + Ln    2π    2   1

)    

T 

2

 − d 22   2π    2 1

ce qui implique ( i).

a) Deltas

δ C  =

∂C  = ∂ (SN (d 1 ) – Ke-rT  N (d 2)) ∂S  ∂S 

= N (d 1) +

SN ' ( d 1 )  Ke − rT  N ' ( d 2 ) S σ  T 

−

S σ  T 

= N (d 1) du fait de (i)

Par ailleurs, d’après la parité call-put :  P = C – S + Ke -rT  , d’où :

δ  P  =

∂ P  ∂C  =  – 1 =  N (d 1) – 1 ∂S  ∂S 

36

b) Gammas

Γ C  =

∂ C  ∂ N (d 1 )  N ' (d 1 ) = = ∂S  ∂S  S σ  T 

 puisque N (d 1) = N (Ln(S/K ) + (r + σ 2/2) T ) / σ  T  ).

Γ  P  = Γ C C  du fait de la parité call-put (dérivée deux fois). c) Végas ∂C  dd  dd  υ C  = = SN ' (d 1 ) 1 − Ke − rT  N ' ( d 2 ) 2 , d’où : ∂ d  d  -rT  υ C  = SN ' ( d 1 ) ( T  – d 1/σ ) –  Ke  Ke N' (d 2) (–  T  – d  d 2 / σ)  puisque d 1 = Ln(S/K ) + r T ) / σ  T + σ  T  /2) et

∂d1 −( Ln(S / K ) + rT ). T T   d 1 = + = − + T  ∂σ σ 2T  σ  2 ∂d 2 −( Ln(S / K ) + rT ). T T   d 2 = − = − − T  et ∂σ σ 2T  σ  2 d  d  Par conséquent, et puisque : 2 = 1 − T  : υ c = SN' (d 1) T  −

d 1

(SN' (d 1) –  Ke-rT  N' (d 2))

= S T  N' (d 1) du fait de (i).

Par ailleurs, υ  P =

∂ P  = υ C  C,  du fait de la parité call-put. ∂

d) Thêtas La démonstration directe donne : ∂C ∂  1 σ    −1/ 2  / 1 = − C = − SN '(d1 ) − Ln S K T −3 / 2 +  r +   θ C  =  T  ∂t ∂T  σ σ  2 2 2     

 

 

+  −rKe− rT N ( d 2 ) + Ke − rT N '( d 2 )  − = – SN'  (d 1)

2

1 Ln S / K 2

σ

T −3 / 2 +

 σ    −1/ 2   −   T   2  σ  2   

1 r

T -1/2 – r K e -rT  N (d 2)

 1 LnS / K −3 / 2 1  r  σ    −1/ 2  −  SN '(d1 ) − Ke− rT N '(d 2 )  − +  −  T    T σ 2 2  σ  2     S  -rT  = –  du fait de (i).  N' (d 1) – r K e  N (d 2) du 2 T 

37

 

On peut, de façon alternative, rappeler que le prix de l’option résout l’équation aux dérivées  partielles de Black-Scholes écrite sous la forme (13). On en déduit la relation suivante entre 1 les sensibilités : θ  + δ rS + Γ S 2σ 2 = rV  et donc : 2 ∂C  θ C  = = r (C – δ S  S)  – 0,5 Γ 2σ 2 S 2 ∂t  En remplaçant gamma et delta par les expressions données ci-dessus, on retrouve l’expression de Thêta. Par ailleurs, du fait de la parité call-put : ∂ P  ∂ P  ∂ θ  P  = = − = − (C – S + K e-rT ) ∂t  ∂T  ∂T  ∂C  S  + rKe −rT  = − = −  N' (d 1) + r K e-rT (1 –  N   N (d 2)) ∂T  2 T 

e) Rhos

 ρ C  =

∂C  = SN ' ( d 1 ) ∂r 

T 

σ 

 −  Ke −rT  N ' ( d 2 ) 

T 

σ 

 − T . Ke −rT  N (d 2 ) 

= T K e-rT  N(d 2 ) (> 0) du fait de (i). Le rho du put s’obtient alors à l’aide de la parité call-put : ∂ P  = ∂ (C – S + Ke-rT ) = T K e-rT  N (d  ) – T K e-rT   ρ  P  = 2 ∂r  ∂r  -rT  = ( N  (< 0).  N (d 2) – 1) T K e

2. Autres modèles On part de la formule de Black et Scholes : )) – Ke-rT  N (d 2(S )) )) C = f (S ) ≡ S N (d 1(S )) 2 σ  T  et d 2(S ) = d 1(S ) – σ  T  ; Avec d 1(S ) = ( Ln  Ln(S/K )+(r+σ  /2) T ) /   / σ  Par ailleurs, on sait que f’ = N (d 1).

a) Modèle de Black (option Black  (option sur contrat à terme de prix F) Ce modèle donne la prime en fonction de  F : C = f  B( F   F ) = f ( Fe  Fe-rT ) où la fonction de Black-

σ  T  . Dès lors, en utilisant les Scholes f est définie plus haut et d 1( F   F ) = ( Ln  Ln( F/K   F/K )+σ 2 T /2) /   / σ   paramètres grecs du modèle de Black et Scholes, on obtient pratiquement directement:

δ C  =

∂C  = ∂ -rT  -rT  -rT   f ( Fe  Fe ) = e  f ’( Fe  Fe ) ∂ F  ∂ F 

-rT  , d’où : δ C  C  = e  N (d 1)

38

Γ C C  =

∂ 2 f ( Fe − rT  ) -2rT  -rT  = e  f ’’( Fe  Fe ) 2 ∂ F 

υ C  =

∂ f  =  Fe − rT  ∂

 N ' ( d  ) = e-2rT  −rT  1 , d’où :  Fe σ  T 

Γ C C  =

-rT   N ' ( d 1 )

e

 F σ  T 

T  N' (d 1)

∂ C  df (T , Fe − rT  ) =− = − ∂ f  + F r e −rT  f ' θ C  = − ∂T  ∂T  dT 

, d’où :

− rT 

σ  -rT  -rT   N' (d 1) – r K e  N (d 2) +F r e  N (d 1) 2 T 

 Fe θ C  C  = – 

Les paramètres grecs relatifs au put s’obtiennent à partir de ceux du call homologue à l’aide

 – e-rT  ( F de la relation de parité qui s’écrit ici :  P = C  –   F – K ) ; d’où : -rT  δ  P  = δ C  ; C  – e

-rT  Γ  P  = Γ C  C  ; υ   P  = υ C  C  ; θ   P  = θ C  C  – F r e .

b) Modèle de Merton (le support distribue un dividende continu c ) 2 σ  T  et d 2= d 1 – σ  σ  T  Ce modèle s’écrit : C = f (Se-c.T ) ; d 1= ( Ln  Ln(S/K )+(r – c +σ  /2)T ) /   / σ 

Dès lors : -c.T  δ C   f’ (Se-c.T ) =e-c.T  N (d 1) ; C  = e

∂ f ( Se − cT  ) = Se − c.T  υ C  = ∂

Γ C C  = e-2c.T  f ’’(Se-c.T ) = e-2c.T 

 N ' ( d 1 ) Se − cT σ  T 

= e-c.T 

 N ' ( d 1 ) S σ  T 

Se − c .T σ 

T  N' (d 1) ; θ C  C  = – 

2 T 

-rT  -c.T   N' (d 1) – r K e  N (d 2) + c S e  N (d 1)

Et les paramètres grecs relatifs à un put s’obtiennent, à partir de ceux du call, à l’aide de la -rT  relation de parité qui s’écrit ici : P = C – (S e-c.T  – K e K e ).

ANNEXE 2 Prix des options et distribution de probabilité du prix du support La proposition suivante met en évidence la relation entre les prix des options standard et la distribution de probabilité de la valeur future S T  T  du support.

Proposition.  La densité de probabilité probabilité sous Q de la valeur finale finale S T  du support,

φ T  (k ) =

Q ( S T  ∈ [k , k  dk ])  , est égale à la valeur capitalisée capitalisée de la dérivée dérivée seconde des dk 

options (calls ou puts) par rapport au prix d'exercice noté k :

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φ T  (k ) = e

rT 

2 ∂ 2C  rT  ∂  P  ( k ) = e ( k ) ∂k 2 ∂k 2

(A)

Démonstration. Ce résultat est directement déduit de la définition de la prime des calls et  puts comme espérance risque neutre du payoff final actualisé. Prenons l'exemple du call de  prix d'exercice k dont la valeur à une distance T de sa date d’exercice s’écrit :

C ( k ) = E Q [ Max( S T  − k , 0) e − rT  ] =

∞

∫  ( x − k )e

− rT 

k 

φ T  ( x )dx.

En dérivant membre à membre par rapport à k : ∞ ∂C  ( k ) = − ∫  e − rT φ T  ( x ) dx k  ∂k 

En dérivant une seconde fois, on obtient :

∂ 2C  ( k ) = e − rT φ T  (k ). 2 ∂k  Le raisonnement est le même pour le put. put. Ceci conclut la démonstration.

Cette proposition montre que la connaissance des prix d'options standard permet, théoriquement, de déduire la distribution de la valeur future du support utilisée implicitement  par le marché dans le but d’évaluer des options. Cette connaissance serait parfaite dans l’hypothèse d’un « continuum » de cotations et est évidemment imparfaite et délicate en  pratique. En tout état de cause, il est théoriquement possible de comparer la distribution de S T  T 

implicite dans le prix des options, avec la distribution théorique retenue dans les modèles d'évaluation. Dans le cas particulier du modèle de Black-Scholes, la distribution du support est supposée log-normale. Dans la pratique, la distribution déduite des prix d'options standards en utilisant l'équation A (densité- T ) semble différer du modèle log-normal. Les études empiriques mettent en évidence notamment, dans le cas des supports actions, que la queue de distribution pour les faibles valeurs de S T  T  est sensiblement plus épaisse que celle qui résulte du modèle gaussien. Or  cette forme de la distribution de S T  peut 

expliquer que le smile soit décroissant  (« volatility skew » comme sur la figure A-a), ce qui  justement est habituellement le cas pour les options sur actions. Cette relation entre la forme de la distribution de S T  T  et le smile peut s’expliquer intuitivement à l’aide des graphiques A-a et A-b. Supposons que le smile soit décroissant tel que celui représenté en trait plein sur la figure A-a ; sur cette même figure A-a est aussi représenté, en pointillés et à titre de repère, le smile horizontal présumé par BS. Supposons également que la distribution de ln( S T  T ) soit

40

dissymétrique, à queue épaisse à gauche, telle qu’elle est représentée en trait plein sur A-b ; la distribution normale (hypothèse de BS) est également représentée sur ce même graphique, à titre de repère et en pointillés. Aux traits pleins (pointillés) sur A-a correspondent donc les traits pleins (pointillés) sur A-b. Par ailleurs, sur l’axe des abscisses K de la figure A-a est positionnée la valeur S 0 du sous jacent en date 0 (aujourd’hui). Pour une option à faible strike, tel que  K 1 < S 0, les options sont chères relativement à un prix BS standard; c’est l’inverse pour une option à strike élevé tel que K 2 >S 0 qui est relativement bon marché. Considérons maintenant un put très « out of the money » de strike  K 1 ; il est logique qu’il soit relativement onéreux (cf. A-a) puisque, comme comme le montre A-b, la probabilité d’exercice d’exercice (S T  T  <

 K 1) et l’espérance du gain d’exercice sont plus fortes que dans le cas d’une distribution lognormale. Il est aussi logique que le call « out of the money »  K 2 soit bon marché puisque la queue de distribution de S T  T  est rétrécie à droite par rapport au cas log-normal. Remarquons enfin que la relation de parité implique que la relative cherté d’un put implique la relative cherté du call homologue et inversement (puisque C – P = S – Ke-rT , indépendamment de toute hypothèse sur la distribution de S T  T).   Relation entre la forme du smile et celle de la distribution de S T   

A-a : smile

A-b : Distribution S T  T  de

ddp de lnS  lnS T  T 

σ i

K 1

S 0

K 2

K 

lnK 1

Proba S T  T
Proba S T  T>K    2  2 

relativement forte

relativement faible

Put strike K 1 cher 

Call strike K 2 bon marché

lnK 2

lnS T  T 

BS – log-normale Observé pour les actions

La relative cherté des options sur actions à faible strike et le caractère relativement bon marché des options à strike élevé sont donc compatibles avec les résultats des études empiriques concernant les distributions de rentabilité des actions développées par ailleurs.

41

De même, la courbe de smile en U ( σ i ( K   K ) décroissante puis croissante) s’explique par une distribution de S T  T  avec des queues épaisses à gauche et à droite. Ce résultat montre que certaines hypothèses du modèle de Black-Scholes ne sont pas respectées et que, de ce fait, ce modèle donne des résultats biaisés. La prise en compte du smile dans l’application de la formule de BS corrige imparfaitement ce biais. L'hypothèse fondamentale à remettre en question est celle de la constance du paramètre de volatilité (qui implique le caractère log-normal de la distribution du support). Une approche théoriquement plus rigoureuse et plus générale consiste rechercher un modèle dont BS serait un cas particulier, qui soit compatible avec la nappe de volatilité observée à un instant donné (et non seulement avec le smile relatif à une échéance T  particulière).  particulière). Mathématiquement, il s’agit de s’appuyer sur un modèle d’évolution du support qui assure,  pour toute valeur future de celui-ci, une distribution de probabilité égale à la distribution implicite dans la nappe. Plusieurs réponses peuvent paraître satisfaisantes, et sont mises en œuvre dans la pratique courante des professionnels des marchés. La première est d’adapter un modèle de volatilité

σ (t ,S ) qui dépende exclusivement du temps restant à courir jusqu’à l’échéance de l’option et de la valeur courante du support. De tels modèles peuvent aussi expliquer le smile. Il est par  exemple conforme aux observations et à la théorie que la volatilité d’une action soit une fonction σ (S ) décroissante de son prix S . Sur le plan théorique, la baisse du cours de l’action induit un accroissement du rapport endettement/capitalisation boursière ; cet accroissement du levier se traduit par un accroissement du risque affectant les fonds propres donc un accroissement de la volatilité de l’action. Le fait que la volatilité de l’action soit plus élevée  pour des faibles que pour des fortes valeurs de S explique la queue épaisse à gauche de la distribution de S T  T  (cf. graphique A-b) et la volatility skew (cf. graphique A-a). L’intérêt d’un

), est sa relative simplicité ; en tel modèle, qui exprime la volatilité comme une fonction σ (t ,S ),  particulier, il peut être mis en oeuvre à l’aide d’arbres recombinants de type Cox-RossRubinstein. Une autre solution consiste à proposer un modèle dit à « volatilité stochastique », dans lequel le paramètre σ t t  est lui-même solution d’une équation différentielle stochastique. Un tel modèle a l’avantage de prendre en compte le risque spécifique risque  spécifique de changement de la

volatilité .24

24

S et dont le prix de marché n’est pas nécessairement nul. Celui qui n’est pas généré par les variations de S et

42