Laporan Praktikum
Metode Shooting di dalam Fisika Diajukan untuk Memenuhi Memenuhi Laporan Kegiatan Praktikum Fisika Komputasi
Disusun oleh : Nama : Ahmad Khoirul Iksan NI M : 14 / 366729 / 366729 /P 16240 P A/ 16240 Hari, Hari, Tangg Tanggal al Prakti Praktikum kum : Rabu, 4 Mei Mei 2016 2016 Asisten : Rizky Zul Ashary Hasibuan : Muhammad Yusrul Hanna
LABORATORIUM FISIKA KOMPUT KOMPUTASI ASI DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA MA DA YOGYAKARTA 2016
1 Penda endahu hulu luan an 1.1 1.1 La Lata tarr Bela Belaka kang ng Dalam perkembangannya, perkembangannya, persamaan diferensial mempunyai peranan yang sangat sangat penting penting dalam kehidup kehidupan an (alam). (alam). Banyak Banyak permasalahan permasalahan dalam bidang sains dan teknik yang dapat diformulasikan ke dalam bentuk persamaan diferensial dalam rangka menentukan penyelesaiannya. Tetapi beberapa persamaan diferensial yang rumit terkadang sulit diselesaikan secara analitis. analitis. Oleh karena itu penggunaan penggunaan metode numerik numerik dalam hal ini cukup cukup tepat. Salah satu metode numerik numerik untuk untuk menentuka menentukan n penyele penyelesaisaian suatu persamaan diferensial, adalah metode Shooting. Secara sederhana, metode Shooting bekerja dengan memperlakukan masalah syarat batas, sebagai syarat awal. Laporan Praktikum ini menjelaskan penyelesaian persamaan diferensial orde dua secara numeris menggunakan metode Tembakan (Shooting), dengan metode integrasi langsung ( Numerov), dan metode iterasi ( Gauss Seidel). Sehingga lebih jauh lagi Laporan Praktikum ini, berusaha untuk memberikan pemahaman bahwa suatu masalah fisika tertentu dapat didekati dengan berbagai metode numerik yang berbeda.
1.2 1.2 Tuj ujua uan n Adapun tujuan dari praktikum Metode Shooting di dalam Fisika ini adalah, untuk memahami penerapan metode Shooting dalam penyelesaian permasalahan fisika yang dituliskan dalam bentuk persamaan diferensial.
2 Dasa Dasarr Teori eori Oleh adanya distribusi muatan yang memiliki rapat muatan ρ(r ) maka medan listrik E listrik E pada pada setiap titik dalam ruang diberikan oleh hukum Gauss,
E · d S = 4π
s
ρd V
at au
∇ · E = 4πρ 4 πρ
(1)
V
V maka persamaan (1 Mengingat E = −∇V (1) dapat dinyatakan pula sebagai apa yang disebut persamaan Poisson yaitu, ∇2 V = −4πρ
(2)
Apabi Apabila la dimili dimiliki ki rapat rapat muata muatan n yang yang berga bergant ntung ung pada pada jarak jarak radial radial saja, saja, yaitu yaitu 1 −r ρ(r ) = 4π e maka, oleh adanya simetri bola, persamaan Poisson menjadi
1 d 2 d V r = −e−r 2 d r r d r
(3)
Karena ρ Karena ρ tidak tidak singular di r di r = = 0 maka V maka V (0) (0) bernilai berhingga dan memiliki −→ ∞ yaitu V −→ ∞) = 1r . perilaku seperti potensial Coulomb di r di r −→ yaitu V ((r −→ 1
Secara analitik masalah tersebut dapat dipecahkan dengan eksak melalui hukum Gauss seperti yang diberikan oleh persamaan 1. Oleh adanya simetri bola maka dapat diambil permukaan Gauss dalam bentuk bola dengan jari-jari r . Dengan pengambilan bentuk tersebut maka medan listrik pada permukaan Gauss akan bernilai sama dan arahnya tegaklurus pada permukaan. Ini berarti pada setiap titik pada permukaan Gauss, medan listrik akan searah dengan unsur vektor permukaan dS. Oleh karena itu didapatkan
S
EdS = E
2
dS = E4πr = 4π
r
2
e−r dr
(4)
0
S
Dapat ditunjukkan bahwa ungkapan di atas menghasilkan 2 1 1 1 E(r ) = 2 − 2e −r + + 2 2 r r r
(5)
Akhirnya dengan menerapkan E = −∇ V didapatkan potensial listrik pada jarak r dari pusat koordinat yaitu, V (r ) =
2 (2 + r ) −r − e r r
(6)
2.1 Metode Komputasi Apabila dimiliki rapat muatan yang tergantung pada jarak radial saja ya1 −r e Mengambil bentuk V (r ) = φ(r ) /r maka persamaan (3) dapat itu ρ(r ) = 4π dinyatakan dalam bentuk d 2φ = −re −r (7) 2 dr Dari sudut komputasi, bentuk persamaan (7) lebih menguntungkan dibanding persamaan (3) karena tidak ada campuran pada orde diferensial sehingga lebih memudahkan dalam pengubahannya ke bentuk beda hingga. Dengan penggantian fungsi tersebut maka syarat batas yang harus dipenuhi adalah φ(r ) = 0 saat r = 0, dan φ(r ) = 2 saat r −→ ∞. Mengganti ke bentuk ungkapan beda hingga, maka persamaan (7), dapat dinyatakan ke bentuk φ i −1 − 2φi + φi+1 = −h2r i e −r i
(8)
dimana r i = i h dan φ i = φ(r i ). Dengan notasi tersebut maka ungkapan bagi syarat batas dapat dinyatakan sebagai φ0 = 0 dan φN +1 = 2, dimana N adalah bilangan bulat positif yang cukup bernilai besar, sedemikian hingga r N +1 −→ ∞.
2.1.1 Metode Integrasi Langsung ( Numerov) Dengan memperlakukan persamaan (8) menjadi masalah syarat awal maka diperlukan satu nilai tambahan pada r = 0 atau r −→ ∞ agar semua nilai {φ i ; i = 1,...,N } dapat dihitung. Dalam banyak kasus biasanya ada informasi fisis yang dapat dideduksi sehingga tambahan satu nilai pada satu batas 2
tertentu dapat diberikan. Namun jika tidak ada satupun cara untuk memperolehnya, tambahan satu nilai tersebut dapat diberikan secara sebarang, sedemikian hingga ketika dilakukan proses integrasi akan diperoleh nilai yang sesuai pada batas yang lain. Teknik semacam ini biasa disebut metode shooting, integrasi langsung, atau juga dikenal dengan metode numerov karena mirip seperti seseorang yang akan menembak suatu sasaran pada jarak jauh, yang salah satu usahanya yaitu dengan mengatur sudut tembak (analog dengan nilai slope dari suatu fungsi pada titik awal). Untuk masalah yang dihadapi di sini, nilai slope dari φ secara intuisi fisis lebih disimpulkan pada r −→ ∞ dibanding pada r = 0. Pada jarak tak berhingga tersebut, rapat muatan praktis sama dengan nol sehingga tidak dφ ada sokongan muatan lagi. Akibatnya dr = 0 atau φ N = φ N +1. Dengan tambahan nilai awal φN +1 = 2. Maka persamaan (8) dapat dinyatakan dalam bentuk rekursif berikut φi −1 = 2φ i − ph i+1 − h2r i e−r i ,
i = N, ...,1
(9)
2.1.2 Metode Iterasi (Gauss Seidel) Metode iterasi juga dikenal dengan metode Gauss Seidel, dalam metode ini persamaan (8) diusahakan menjadi bentuk yang memungkinkan nilai φi pada satu tahap iterasi tertentu dapat dihitung berdasar nilai φi pada iterasi sebelumnya. Nilai φ i ; i = 1,...,N pada awal iterasi dilakukan secara coba-coba atau berdasar nilai-nilai yang sudah diperoleh dari metode pendekatan yang ada. Untuk alasan tersebut, maka persamaan (8) diubah ke bentuk (k) (k −1) (k −1) φ i = φ i −1 + φ i+1 + r i e−r i / 2 (10)
(k)
Lambang φ i berarti nilai φ i pada langkah iterasi ke k.
3 Metode Eksperimen Berikut listing program metode shooting dengan menggunakan metode integrasi langsung dan metode iterasi untuk menentukan distribusi potensial melalui persamaan Poisson, dengan fungsi potensial V (r ) = 2 − (r +2)e−r .
3.1 Metode Integrasi Langsung ( Numerov) Program integrasi langsung (numerov) dengan interval h = 0.1, dan batas iterasi n = 100. Listing 1: Program distribusi potensial metode shooting. PROGRAM numerov !------------------------------
3
!program untuk mencari distribusi potensial !melalui persamaan Poisson, metode integrasi langsung (numerov) !tanggal 4 Mei 2016 !---------------------------integer n,i double precision h,kons,s1,s2,s3,r,phi(500),phi_eksak(500) intrinsic exp h=0.1 n=100 !Tetapan pengali kons=h**2/12.0d0 !--------------------------!Nilai syarat batas di tak berhingga dan !dan satu nilai didekatnya !yang diambil secara intuisi fisis !yaitu slope dari potensial di tak berhingga !adalah nol !--------------------------phi(n+1)=2.0d0 phi(n)=2.0d0 r=(n+1)*h !Nilai source pada tiap titik s3=-r*exp(-r) r=n*h s2=-r*exp(-r) !Dengan nilai eksaknya
do i=n,2,-1 r=(i-1)*h s1=-r*exp(-r) phi(i-1)=2.0d0*phi(i)-phi(i+1)+kons*(s3+10.0d0*s2+s1) s3=s2 s2=s1 phi_eksak(i-1)=2.0d0-(r+2.0d0)*exp(-r) write(*,*)r,phi(i-1) end do stop end PROGRAM numerov
4
Selanjutnya dilakukan variasi, dengan parameter variasi nilai interval dan batas iterasi ; 1. interval h = 0, 1, batas iterasi ; n = 100, n = 150, n = 300, 2. interval h = 0, 01, batas iterasi ; n = 100, n = 200, 3. interval h = 0, 001, batas iterasi ; n = 100, n = 200.
3.2 Metode Iterasi (Gauss Seidel) Program Iterasi (Gauss Seidel), dengan interval, h = 0, 25, batas iterasi n = 30, dan φ i = 0 Listing 2: Program distribusi potensial metode shooting. PROGRAM gauss seidel !-----------------------------!program untuk mencari distribusi potensial !melalui persamaan Poisson, metode iterasi (Gauss Seidel) !tanggal 4 Mei 2016 !---------------------------parameter (mak=1000) integer n,i,j double precision h,phi(0:mak),r,phi_iter,beda,tol,phi_eksak,fs intrinsic abs,exp external fs h=0.25 n=30 phi(0)=0.0d0 phi(n)=2.0d0 !Masukkan nilai coba phi do i=1,(n-1) phi(i)=0.0d0 end do !Mulai iterasi do j=1,2000 tol=1.0d-14 do i=1,(n-1) r=i*h phi_iter=phi(i) phi(i)=(phi(i-1)+phi(i+1)+fs(r)*h**2)/2.0d0 beda=abs((phi(i)-phi_iter)/phi(i)) if (beda .ge. tol) then
5
tol=beda end if end do if (tol .le. 1.0d-4) then goto 10 end if end do 10 do i=0,n r=i*h phi_eksak=2.0d0-(r+2.0d0)*exp(-r) write(*,*)r,phi(i) end do stop end !Fungsi S(x) double precision function fs(r) double precision r intrinsic exp fs=r*exp(-r) return end PROGRAM gauss seidel
Selanjutnya dilakukan variasi, dengan parameter yang divariasi, nilai interval, batas iterasi, dan nilai tebakan φ i ; 1. interval h = 0, 25, batas iterasi n = 30 ; φ i = 0, 1, 2 batas iterasi n = 60 ; φ i = 0, 1, 2 2. interval h = 0, 05, batas iterasi n = 30 ; φ i = 0, 1, 2 batas iterasi n = 60 ; φ i = 0, 1, 2
4 Hasil Eksperimen Setelah dilakukan pembuatan listing program kemudian program dicompile untuk semua variasi, dan hasilnya diplot ke dalam bentuk grafik, setelah lebih dulu hasil compile program dibawa ke dalam format *.txt. Berikut grafik yang didapatkan dari plotting hasil program metode shooting, menggunakan metode integrasi langsung dan iterasi,
6
4.1 Metode Integrasi Langsung(Numerov) 1. interval h = 0, 1 batas iterasi n = 100 numerov a100.png
Gambar1. Grafik plot hasil compile program numerov h = 0, 1 n = 100 batas iterasi n = 150 numerov a150.png
Gambar2. Grafik plot hasil compile program numerov h = 0, 1 n = 150
7
batas iterasi n = 300 numerov a300.png
Gambar3. Grafik plot hasil compile program numerov h = 0, 1 n = 300 2. interval h = 0, 01 batas iterasi n = 100 numerov b100.png
Gambar4. Grafik plot hasil compile program numerov h = 0, 01 n = 100
8
batas iterasi n = 200 numerov b200.png
Gambar5. Grafik plot hasil compile program numerov h = 0, 01 n = 150 3. interval h = 0, 001 batas iterasi n = 100 numerov c100.png
Gambar6. Grafik plot hasil compile program numerov h = 0, 001 n = 100
9
batas iterasi n = 200 numerov c200.png
Gambar7. Grafik plot hasil compile program numerov h = 0, 001 n = 200
4.2 Metode Iterasi (Gauss Seidel) 1. interval h = 0, 25, batas iterasi n = 30, φ i = 0 gauss seidel a30 0.png
Gambar8. Grafik plot hasil compile program Gauss Seidel h = 0, 25 n = 30, φ i = 0
10
batas iterasi n = 30, φ i = 1 gauss seidel a30 1.png
Gambar9. Grafik plot hasil compile program Gauss Seidel h = 0, 25 n = 30, φ i = 1 batas iterasi n = 30, φ i = 2 gauss seidel a30 2.png
Gambar10. Grafik plot hasil compile program Gauss Seidel h = 0, 25 n = 30, φ i = 2
11
batas iterasi n = 60, φ i = 0 gauss seidel a60 0.png
Gambar11. Grafik plot hasil compile program Gauss Seidel h = 0, 25 n = 60, φ i = 0 batas iterasi n = 60, φ i = 1 gauss seidel a60 1.png
Gambar12. Grafik plot hasil compile program Gauss Seidel h = 0, 25 n = 60, φ i = 1
12
batas iterasi n = 60, φ i = 2 gauss seidel a60 2.png
Gambar13. Grafik plot hasil compile program Gauss Seidel h = 0, 25 n = 60, φ i = 2 2. interval h = 0, 05, batas iterasi n = 30, φ i = 0 gauss seidel b30 0.png
Gambar14. Grafik plot hasil compile program Gauss Seidel h = 0, 05 n = 30, φ i = 0
13
batas iterasi n = 30, φ i = 1 gauss seidel b30 1.png
Gambar15. Grafik plot hasil compile program Gauss Seidel h = 0, 05 n = 30, φ i = 1 batas iterasi n = 30, φ i = 2 gauss seidel b30 2.png
Gambar16. Grafik plot hasil compile program Gauss Seidel h = 0, 05 n = 30, φ i = 2
14
batas iterasi n = 60, φ i = 0 gauss seidel b60 0.png
Gambar17. Grafik plot hasil compile program Gauss Seidel h = 0, 05 n = 60, φ i = 0 batas iterasi n = 60, φ i = 1 gauss seidel b60 1.png
Gambar18. Grafik plot hasil compile program Gauss Seidel h = 0, 05 n = 60, φ i = 1
15
batas iterasi n = 60, φ i = 2 gauss seidel b60 2.png
Gambar19. Grafik plot hasil compile program Gauss Seidel h = 0, 05 n = 60, φ i = 2
5 Pembahasan Praktikum metode shooting, pada dasarnya membawa permasalahan syarat batas sebagai syarat awal untuk menyelesaikan permasalahan yang diberikan, dalam praktikum ini adalah permasalahan distribusi potensial melalui persamaan Poisson, yang diberikan oleh fungsi potensial V (r ) = 2 − (r + 2)e−r . Untuk menyelesaikan permasalahan ini dengan metode shooting digunakan langkah numerik bertahap yaitu iterasi, dimulai dengan penaksiran suatu nilai coba dan menyelesaikannya melalui pengintegralan persamaan diferensial sebagai masalah nilai awal. Terdapat dua metode untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dengan metode shooting, antara lain ; metode Integrasi Langsung ( Numerov), dan metode Iterasi (Gauss Seidel). Berikut akan dijelaskan hasil praktikum yang telah didapat (dan dituliskan pada bab Hasil Eksperimen), menggunakan dua metode tersebut, dan akan dibandingkan bagaimana hasil yang didapatkan pada masing-masing metode, dengan parameter variasi yang telah ditentukan.
5.1 Metode Integrasi Langsung ( Numerov) Pada metode integrasi langsung (numerov), dapat dilihat dari grafik pada Gambar 1, hingga Gambar 7, bahwa hasil shooting (grafik dengan titik merah) mendekati nilai analitik (grafik dengan garis hijau) pada interval h = 0, 1 (Gambar 1, Gambar 2, dan Gambar 3), dibandingkan dengan pada interval h = 0, 01 (Gambar 4, Gambar 5), dan interval h = 0, 001 (Gambar 6, Gambar 7). Hal ini karena semakin kecil interval yang diberikan, maka cakupan iterasi juga semakin kecil, dibandingkan dengan nilai interval 16
yang lebih besar, meskipun dengan batas iterasi yang sama. Sehingga dapat dikatakan bahwa nilai interval yang paling memenuhi untuk penyelesaian permasalahan distribusi potensial ini, dengan metode numerov, adalah h = 0, 1. Selanjutnya pada h = 0, 1, dapat dilihat bahwa semakin besar nilai batas iterasi maka nilai shooting semakin mendekati nilai analitiknya, yaitu pada n = 300.
5.2 Metode Iterasi (Gauss Seidel) Pada metode iterasi (Gauss Seidel) dapat dilihat dari grafik pada Gambar 8, hingga Gambar 19, bahwa hasil shooting (grafik dengan titik merah) mendekati nilai analitik (grafik dengan garis hijau) pada interval h = 0, 25 (Gambar 8, Gambar 9, Gambar 10, Gambar 11, Gambar 12, dan Gambar 13), dibandingkan dengan pada interval h = 0, 05 (Gambar 14, Gambar 15, Gambar 16, Gambar 17, Gambar 18, Gambar 19). Hal ini karena semakin kecil interval yang diberikan, maka cakupan iterasi juga semakin kecil, dibandingkan dengan nilai interval yang lebih besar, meskipun dengan batas iterasi yang sama. Sehingga dapat dikatakan bahwa nilai interval yang paling memenuhi untuk penyelesaian permasalahan distribusi potensial ini, dengan metode Gauss Seidel, adalah h = 0, 05. Selanjutnya dapat dilihat bahwa hasil shooting selain dipengaruhi nilai interval, juga dipengaruhi batas iterasi dan nilai tebakan. Dapat dilihat pada hasil yang didapat dari interval h = 0, 25 (Gambar 8, Gambar 9, Gambar 10, Gambar 11, Gambar 12, dan Gambar 13), bahwa hasil shooting untuk n = 30 lebih mendekati hasil analitiknya daripada hasil shooting untuk n = 60. Sebaliknya untuk h = 0, 05 (Gambar 14, Gambar 15, Gambar 16, Gambar 17, Gambar 18, Gambar 19), hasil shooting untuk n = 60 lebih mendekati hasil analitiknya daripada hasil shooting untuk n = 30. Kemudian untuk nilai tebakan, dapat dilihat bahwa nilai tebakan yang cukup mendekati hasil analitik untuk h = 0, 25 adalah φ i = 2 (Gambar 10, Gambar 13), sementara pada h = 0, 05 dapat dilihat bahwa hasil shooting semakin mendekati hasil analitik pada φi = 1 (Gambar 18). Sehingga dapat dikatakan pada metode Gauss Seidel, hasil shooting selain dipengaruhi nilai interval, juga dipengaruhi oleh batas iterasi, dan nilai tebakan (coba), yang mana batas iterasi dan nilai tebakan tersebut saling berkaitan. Artinya suatu nilai tebakan pada batas iterasi tertentu, bisa saja kurang sesuai untuk batas iterasi yang lain.
17
6 Kesimpulan Dari pemaparan diatas dapat disimpulkan sebagai berikut 1. Metode shooting digunakan untuk mencari solusi dari Persamaan Diferensial orde dua dengan membawanya ke dalam persoalan syarat awal, 2. Pada metode integrasi langsung (numerov), hasil shooting yang mendekati hasil analitiknya adalah h = 0, 1. Selain itu, semakin besar batas iterasi, maka nilai interval semakin mendekati hasil analitik. 3. Pada metode iterasi (Gauss Seidel), hasil shooting yang mendekati analitiknya adalah h = 0, 25. Selain itu, batas iterasi dan nilai tebakan juga mempengaruhi hasil shooting yang didapat, dan saling berkaitan. Untuk nilai batas iterasi tertentu, maka nilai tebakan yang cukup mendekati hasil analitiknya berbeda dengan nilai tebakan untuk batas iterasi yang lain. Dalam praktikum ini, untuk h = 0, 25, nilai tebakan yang sesuai (mendekati hasil analitiknya) adalah φ i = 2, sementara untuk h = 0, 05 nilai tebakan yang sesuai (mendekati hasil analitiknya) adalah φ i = 1
Pustaka [1] Nurwantoro, Pekik. 2001. Petunjuk Praktikum Fisika Komputasi , Universitas Gadjah Mada:Yogyakarta. [2] Ilham, Muhammad. 2014.Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 diakses pada tanggal 11 Mei 2016
18
Lampiran 1. Numerov h = 0, 1, n = 100 nuov a100 1.png
19
nuov a100 2.png
20
nuov a100 3.png
Gambar20. Hasil program numerov h = 0, 1 n = 100
21
2. Gauss Seidel h = 0, 25, n = 30, φ i = 0 gs 30 0.png
Gambar21. Hasil program numerov h = 0, 25 n = 30, φ i = 0
22
