1
La Integral según Newton y Leibniz El cálculo se desarrolló a partir de las técnicas infinitesimales utilizadas para resolver dos tipos de problemas: el cálculo de áreas y volúmenes y el cálculo de tangentes a curvas. A partir de la utilización del método cartesiano para sintetizar los resultados y técnicas desarrollados previamente para el cálculo de áreas y tangentes de curvas, Newton y Leibniz inventaron los métodos y algoritmos que hacen del cálculo una herramienta aplicable a clases generales de problemas. En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos:
Encontrar la tangente a una curva en un punto.
Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.
Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.
Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido.
Los trabajos de Newton están motivados por sus propias investigaciones físicas mientras que Leibniz conserva un carácter más geométrico y trata a la derivada como un cociente incremental, y no como una velocidad. En la presentación de sus ideas, Newton recurre a argumentos basados en el movimiento y la dinámica de los cuerpos. Así, las variables son vistas como algo que cambia o fluye con el
2
tiempo (fluente) y a su derivada o razón de cambio con respecto al tiempo la llama su fluxión. El problema básico del cálculo es, para Newton, el estudio de las relaciones entre fluentes y sus fluxiones. Utilizando series infinitas y la regla de poder ya establecida para integrales, Newton fue capaz de calcular las áreas bajo curvas que otros previamente no podían. También fue capaz de calcular las líneas tangentes a estas curvas. Él llamó a su cálculo el "método de fluxiones" y pensó en todo en términos de movimiento. Consideró que la variable dependiente x era "fluida" y su velocidad como la "fluxión". Designó la fluxión, hoy conocida como la derivada con respecto al tiempo t , con la notación x. Llamó el diferencial de x el "momento" de x y lo designó con la notación xo, que representaba el cambio en la velocidad de x en un período de tiempo infinitesimal. Mientras que Newton pensó del cálculo en términos de movimiento, Leibniz veía en términos de sumas y diferencias. Específicamente, Leibniz utilizó ordenadas y secuencias de las diferencias de estos datos para calcular el área bajo las curvas. A raíz de estos descubrimientos, Leibniz introdujo la notación ∫ ⅆ, donde ∫ era una representación alargada de la primera letra de la palabra latina summa , significa suma, y d fue la primera letra de la differentia de la “
”
“
”
palabra latina, diferencial de significado (distancia infinitesimal). Leibniz también utiliza un triángulo diferencial para conocer la pendiente de una línea tangente a una curva. De este modo pudo derivar las reglas de poder, producto, cociente y cadena. Los resultados de uno y otro son prácticamente los mismos, aunque fueron originados de distinta manera.
3
El trabajo de Newton se basa en las derivadas respecto al tiempo, pues el origen de sus ideas es físico; Leibnitz, por el contrario, parte de problemas filosóficos, de ahí que su trabajo se base en sumas de infinitesimales. Por esa razón la integral de Newton es originalmente indefinida, mientras que la de Leibnitz es definida. Por otra parte, Newton hace uso continuado de los desarrollos en serie, mientras que Leibnitz prefiere trabajar solo con las funciones conocidas: racionales, logarítmicas y trigonométricas; esto proviene, de los orígenes de las ideas de ambos. Newton es experimental: va buscando buenos resultados, de acuerdo con la experiencia; no busca teorías globales sino resultados concretos. Contrariamente, Leibnitz es más dado a la generalización y a la especulación. Newton, a veces, no se preocupa de escribir el resultado de forma general, sino que le basta con varios ejemplos. Leibnitz hace todo lo contrario.
