YAPI STAT Ğ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN Yapı Sistemleri: • zostatik (Statikçe Belirli) Sistemler : Bir sistemin tüm kesit t...
YAPI STAT Ğ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN Yapı Sistemleri: • zostatik (Statikçe Belirli) Sistemler : Bir sistemin tüm kesit tesirlerini (iç kuvvetlerini) ve mesnet r…Full description
Kaval Method
Full description
LYS Fizik
LYS Fizik
g
g
g
YAPI STATĞ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN
Yapı Ya pı Si Sist stem emle leri ri:: •zostatik (Statikçe Belirli) Sistemler : Bir sistemin sistemin tüm kesit tesirlerini tesirlerini (iç kuvvetlerini) ve mesnet mesnet reaksiyonlarınıı denge denklemleri yardımıyla hesaplayabiliy reaksiyonların hesaplayabiliyorsak orsak sistem izostatiktir.
Yapı Ya pı Si Sist stem emle leri ri:: •zostatik (Statikçe Belirli) Sistemler : Bir sistemin sistemin tüm kesit tesirlerini tesirlerini (iç kuvvetlerini) ve mesnet mesnet reaksiyonlarınıı denge denklemleri yardımıyla hesaplayabiliy reaksiyonların hesaplayabiliyorsak orsak sistem izostatiktir.
Yapı Si Yapı Sist stem emle leri ri:: zostatik (Statikçe Belirli) Sistemler :
Yapı Ya pı Si Sist stem emle leri ri:: •Hiperstatik (Statikçe Belirsiz) Sistemler : Bir sistemin sistemin tüm kesit tesirlerini tesirlerini (iç kuvvetlerini) ve mesnet mesnet reaksiyonları denge denklemleri yardımıyl yardımıylaa hesaplanamıyors hesaplanamıyorsaa sistem hiperstatiktir.
Yapı Sistemleri: •Hiperstatik Sistemlerin Çözümü için : * Denge Denklemleri * Geometrik uygunluk şartları * Bünye Denklemleri (Gerilmeler ve Deformasyonlar arasındaki ilişkiler)
Hiperstatik Sistemlerde Kesit tesiri oluşturan etkiler * Dış yükler * Mesnet çökmesi * Sıcaklık değişimi
reaksiyonu sayısına eşittir. Mesnet reaksiyon sayısı (r) ise
r-3 (dıştan hiperstatiklik derecesi)
8t
2 t/m
5 t/m 20 t
I
I
12 m
I
I
12 m
8m
15 m
I
18 m 15 m
I
I
12 m
2) çten Hiperstatiklik : Yapıda hesaplanamayan iç kuvvet sayısı ile ilglidir. Dolu gövdeli sistemlerde
n = 3*m + r - 3j denklemiyle bulunur. n: Hiperstatiklik derecesi m: Eleman Sayısı r : Mesnet reaksiyonları sayısı j : Düğüm noktası sayısı
Düğüm noktası sayısı (j): 6 Mesnet reaksiyonu sayısı (r) : 3 Eleman sayısı (m): 6 Hiperstatiklik derecesi n : 3*m+r-3j n : 3*6 + 3 – 3*6 = 30 hiperstatik
Sistem dıştan izostatik ancak içten hiperstatiktir. Yani sistemin tüm mesnet reaksiyonları hesaplanabilir ancak tüm çubuk kuvvetleri bulunamaz.
Düğüm noktası sayısı (j) : 9 Mesnet reaksiyonu sayısı (r) : 6 Eleman sayısı (m) : 10 Hiperstatiklik derecesi n : 3*m+r-3j n : 3*10 + 6 – 3*9 = 90 hiperstatik
Sistem 90 hiperstatiktir. Mesnet reaksiyonları incelendiğinde sistemin Dıştan 30 hiperstatik olduğu görülür. Yani sistem çten 60 hiperstatiktir
Mafsal olması durumunda Eğer mafsal eleman üzerinde ise hiperstatiklik derecesi 1 azaltılır.
Eğer mafsal düğümde ise düğümde birleşen eleman sayısının 1 eksiği kadar hiperstatiklik derecesi azaltılır. Düğümde 3 eleman birleşiyor 3-1=2 derece azaltılır.
KUVVET METODU Düzlem Hiperstatik sistemlerin sabit yükler,sıcaklık değişimi ve mesnet çökmesi gibi dış etkilerlerden dolayı oluşan kesit tesirleri ve yer değiştirmelerini bulmaya yarayan virtuel iş ilkesine dayalı çözüm yöntemidir. Kuvvet metodu ile çözüm yapılırken yapılacak ilk iş izostatik esas sistemin seçilmesidir. zostatik esas sistem, hiperstatik sistemde hiperstatiklik derecesi kadar bilinmeyenin belirlenmesi ile elde edilir. Hiperstatik sistemde hangi bilinmeyenlerin hesaplanacağı belirlenerek sistem izostatik hale getirilir.
zostatik Esas Sistem: Hiperstatik sistem izostatik hale getirilir. Bunu
yaparken ya sisteme mafsal yerleştirilir yada mesnetlerdeki serbestlikler arttırılır. zostatik esas sitem seçilirken hangi sistemi daha kolay çözebileceğimizi düşünüyorsak o sistemi seçebiliriz. Bir hiperstatik sistemin pek çok izostatik esas sistemi vardır. Mafsal eklenmesi durumunda mafsalın her iki yanına bilinmeyen olarak moment yazılır. Mesnetlenme durumunun değiştirilmesi durumunda ise hangi yönde serbestlik arttırılırsa o yönde yönde bilinmeyen kuvvet veya moment yazılır.
1. Dereceden hiperstatik sistem
zostatik Esas Sistem
X1 X1
X1
zostatik esas sistem belirlenirken mesnetlenme durumu izostatik hale getirilir bu arada serbest bırakılan her mesnet reaksiyonu için bir bilinmeyen yazılır veya sisteme mafsal yerleştirilerek mafsalın olduğu yerde bilinmeyen olarak moment yazılır.
zostatik esas sistem belirlenirken aynı zamanda hesap
edilecek bilinmeyenlerde seçilmiş olmaktadır. Bu yüzden izostatik esas sistem belirlenirken hesaplarda kolaylık sağlayacak sistemlerin seçilmesine çalışılır. Yani izostatik esas sistem ve bilinmeyenlerin birim yüklemeleri için yapılacak hesapların daha kolay yapılabileceği sistemler izostatik sistem olarak seçilmeye çalışılır.
Mafsal eklenmesi durumunda mafsalın her iki yanına bilinmeyen olarak moment yazılır. X1 X2 X2 X1
Mesnetlenme durumunun değiştirilmesi durumunda ise hangi yönde serbestlik arttırılırsa o yönde yönde bilinmeyen kuvvet veya moment yazılır.
X1
X2
2. Dereceden hiperstatik sistem zostatik esas sistem
2. Dereceden hiperstatik sistem için izostatik esas sistemler
X2 X1
X1
X2
Kuvvet Yöntemine göre Hiperstatik sistemdeki etkiler, zostatik esas sistemdeki etkiler ile X1, X2,……,Xn bilinmeyen
kuvvetlerin oluşturduğu etkilerin uygun şekilde birleştirilmesiyle bulunur. X1, X2,……,Xn bilinmeyenlerinin bulunması hiperstatik sistemdeki etkilerin bulunması için şarttır. Bilinmeyen sayısı sistemin hiperstatiklik derecesi kadardır.
Kuvvet Yöntemine göre Hiperstatik sistemdeki etkiler hesaplanırken, hiperstatiklik derecesi belirlenip izostatik esas sistem seçildikten sonra sistem uygunluk denklemi yazılır. δ 1 = δ 1w + δ 1t + δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + ............. + δ 1n X n δ 2 = δ 2 w + δ 2t + δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + ............ + δ 2 n X n δ 3 = δ 3 w + δ 3t + δ 30 + δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + ............. + δ 3 n X n
M δ n = δ nw + δ nt + δ n 0 + δ n1 X 1 + δ n 2 X 2 + ............. + δ nn X n
Uygunluk denklemi hiperstatiklik derecesi kadar yazılır. Sistem 1 dereceden hiperstatik ise denklem 1 tanedir δ 1 = δ 1w + δ 1t + δ 10 + δ 11 X 1
Sistem 2. dereceden hiperstatik ise denklem 2 tane olacaktır δ 1 = δ 1w + δ 1t + δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 δ 2 = δ 2 w + δ 2t + δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2
Sistem 3. dereceden hiperstatik ise denklem 3 tane olacaktır δ 1 = δ 1w + δ 1t + δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + δ 13 X 3 δ 2 = δ 2 w + δ 2t + δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 δ 3 = δ 3 w + δ 3t + δ 30 + δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3
Sistemde sıcaklı değişimi ve mesnet çökmesi yok ise sadece dış yük etkisi var ise denklem şu hale gelir: δ 1 = δ 1w + δ 1t + δ 10 + δ 11 X 1
Sistem 2. dereceden hiperstatik ise denklem 2 tane olacaktır δ 1 = δ 1w + δ 1t + δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 δ 2 = δ 2 w + δ 2t + δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2
Sistem 3. dereceden hiperstatik ise denklem 3 tane olacaktır δ 1 = δ 1w + δ 1t + δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + δ 13 X 3 δ 2 = δ 2 w + δ 2t + δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 δ 3 = δ 3 w + δ 3t + δ 30 + δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3
Uygunluk denkleminde görülen deplasman ifadelerinin altındaki ilk indis yeri, ikinci indis ise sebebi göstermektedir. δ i
i yönündeki deplasman
δ iw
i yönünde mesnet çökmesinden dolayı oluşan deplasman değeri
δ it
i yönünde sıcaklık değişiminden dolayı oluşan deplasman değeri
δ i 0
i yönünde dış yükten oluşan deplasman değeri
δ i1
i yönünde 1 nolu birim yüklemeden dolayı oluşan deplasman değeri
δ i 2
i yönünde 2 nolu birim yüklemeden dolayı oluşan deplasman değeri
M δ in
i yönünde n nolu birim yüklemeden dolayı oluşan deplasman değeri.
P1
P2 X1 X2 2. dereceden hiperstatik sistem
zostatik esas sistem
Kuvvet metodu ile çözüm yapılırken hiperstatiklik derecesi belirlenip izostatik esas sistem belirlendikten sonra uygunluk
denklemleri
yazılır.
Bundan
sonra
uygunluk
denklemindeki değerleri bulmak sırasıyla yüklemeler yapılır.
Sistem 2. dereceden hiperstatik ise denklem 2 tane olacaktır X1
δ 1 = δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 δ 2 = δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2
X2 P1
P2
δ 20 δ 10
δ 21
X1
δ 11
P1 X0 Yüklemesi zostatik esas sisteme dış yük yüklenerek sistemde oluşan M0 N0 T0 değişim diyagramları çizilir.
P2
• X0 Yüklemesi zostatik esas sistemde sadece dış yük etkisinde M, N, T kesit tesirleri diyagramları çizilir. M0 : zostatik esas sistemde dış etkilerden dolayı oluşan moment N0 : zostatik esas sistemde dış etkilerden dolayı oluşan normal kuvvet To : zostatik esas sistemde dış etkilerden dolayı oluşan kesme kuvveti.
•Birim Yüklemeler zostatik esas sistemde, sırasıyla seçilen her bir bilinmeyen için birim yüklemeler yapılır. X1=1 , X2 =1 , X3 =1 ,………., X n =1 Bu durumda her bir birim yükleme için sistem kesit tesirleri (M, N, T) çizilir. Bu kesit tesirleri hesaplanırken sistemde dış yük yoktur.
X1
X1 Yüklemesi zostatik esas sistemde sadece 1 nolu bilinmeyen yönünde birim yükleme yapılması durumu. Bu durumda izostatik esas sistemde oluşacak M1 : zostatik esas sistemde 1 nolu birim yüklemeden etkilerden dolayı oluşan moment N1 : zostatik esas sistemde 1 nolu birim yüklemeden dolayı oluşan normal kuvvet T1 : zostatik esas sistemde 1 nolu birim yüklemeden dolayı oluşan kesme kuvveti.
zostatik esas sistem
X2 X2 Yüklemesi zostatik esas sistemde sadece 2 nolu bilinmeyen yönünde birim yükleme yapılması durumu. Bu durumda izostatik esas sistemde oluşacak M2 : zostatik esas sistemde 2 nolu birim yüklemeden etkilerden dolayı oluşan moment N2 : zostatik esas sistemde 2 nolu birim yüklemeden dolayı oluşan normal kuvvet T2 : zostatik esas sistemde 2 nolu birim yüklemeden dolayı oluşan kesme kuvveti.
Uygunluk denklemindeki deplasman ifadelerinin bulunması için mukavemette görülen virtuel iş teoremi kullanılır. Dolu gövdeli sistemler için bu ifade şu şekildedir:
∫
δ ij = M i M j
ds EI
+
ds
∫ N N EF + ∫ T T GF ′ i
Bu denklemde görülen EI= Eğilme Rijitliği EF= Uzama Rijitliği GF’= Kayma Rijitliği
ds
, ifadeleridir.
j
i
j
Deplasman ifadelerinin simetri özelliği vardır.
δ ij = δ ji
Mesela 12 deplasmanı ile 21 deplasmanı birbirine eşittir ve şu denklemle bulunur:
δ 12 = δ 21
∫
δ 12 = M 1 M 2
ds EI
+
ds
ds
∫ N N EF + ∫ T T GF ′ 1
2
1 2
Bu deplasmanların bulunması sırasında genellikle N ve T kesme ifadeleri ihmal edilir. Moment ifadeleri de matematiksel olarak yazılır ve uzunluk boyunca integral alınır.
X1
Deplasman ifadeleri hesaplandıktan sonra aşağıdaki uygunluk denkleminde yerine konarak denklem takımı çözülür ve bilinmeyenler olarak seçilen X1 ve X2 reaksiyon kuvvetleri bulunur.
X2 δ 1 = δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2
X1
δ 2 = δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2
X2
P2 P1 X1
Bundan sonra hesaplanan X değerleri kullanılarak hiperstatik sistemde oluşacak kesit tesirleri bulunabilir. Bunun için hesaplanan X değerleri dış yükler ile sisteme etki ettirilir.
X2 Yada süperpozisyon denklemleri yazılarak daha önce çizilen M,N,T diyagramları kullanılarak hiperstatik sistemin kesit tesirleri hesaplanır. Sistemde herhangi bir noktadaki kesit tesirlerini hesaplamak için M=M0+ M1 X1 + M2 X2 + M3 X3 +……..+Mn Xn T = T0 + T1 X1 + T2 X2 + ………..+Tn Xn N = N0 + N1 X1 + N2 X2 +………...+NnXn Süperpozisyon denklemleri kullanılabilir. Bu denklemler yardımıyla sistemde istenilen noktadaki kesit tesirleri hesaplanabilir.
20 kN 2m
Hiperstatik sistem (1. dereceden)
2m 20 kN
zostatik esas sistem
X1 20 kN X1
zostatik esas sistem
X1
20 kN zostatik esas sistem
20 kN 2m A
B
2m
C
Hiperstatik sistem (1. dereceden)
20 kN zostatik esas sistem
X1
1. Dereceden hiperstatik olduğu için uygunluk denklemi δ 1 = δ 10 + δ 11 X 1
20 kN 2m
40 kN.m 20 kN
2m
X0 Yüklemesi
20 kN ΣFy = 0 Ay=20 ΣMA = 0 MA= 20*2 = 40 kN.m
40
2m
M0 Diyagramı
X1 Yüklemesi
4m
X1=1
4 kN.m ΣFy = 0 Ay=1
1 kN
X1=1
2m 4
2m 2
ΣMA = 0 MA= 1*4 = 4 kN.m
M1 Diyagramı
δ 1 = δ 10 + δ 11 X 1
40 M0 Diyagramı
2m 2m
2m
M1 Diyagramı
2
4
∫
δ 10 = M 1 M 0
ds EI
+ ihmal
2
∫
EI δ 10 = ( 2 + x).(−20 x)dx 0
EI δ 10 = −133.333
∫
δ 11 = M 1 M 1
ds EI
+ ihmal
4
∫
EI δ 11 = ( x).( x ) dx 0
EI δ 11 = 64 \ 3 = 21.333
δ 1 = δ 10 + δ 11 X 1
i=40
2m
2m
2m k2=4
M0 Diyagramı
∫
δ 10 = M 1 M 0
ds EI
M1 Diyagramı + ihmal
1 EI δ 10 = L i ( k 1 + 2k 2 ) 6
EI δ 10 =
1 6
k1=2
* 2 * (−40) * (2 + 2 * 4) = −133.333
δ 1 = δ 10 + δ 11 X 1
2m
2m k1=2
k2=4
M1 Diyagramı
∫
δ 11 = M 1 M 1
ds EI
+ ihmal
1 1 EI δ 11 = L i k = * 4 * 4 * 4 = 64 / 3 = 21.333 3 3