kuvvet metodu

YAPI STATĞ II (Hiperstatik Sistemler) Yrd. Doç. Dr. Selçuk KAÇIN

Yapı Ya pı Si Sist stem emle leri ri:: •zostatik (Statikçe Belirli) Sistemler : Bir sistemin sistemin tüm kesit tesirlerini tesirlerini (iç kuvvetlerini) ve mesnet mesnet reaksiyonlarınıı denge denklemleri yardımıyla hesaplayabiliy reaksiyonların hesaplayabiliyorsak orsak sistem izostatiktir.

Yapı Si Yapı Sist stem emle leri ri:: zostatik (Statikçe Belirli) Sistemler :

Yapı Ya pı Si Sist stem emle leri ri:: •Hiperstatik (Statikçe Belirsiz) Sistemler : Bir sistemin sistemin tüm kesit tesirlerini tesirlerini (iç kuvvetlerini) ve mesnet mesnet reaksiyonları denge denklemleri yardımıyl yardımıylaa hesaplanamıyors hesaplanamıyorsaa sistem hiperstatiktir.

Yapı Sistemleri: •Hiperstatik Sistemlerin Çözümü için : * Denge Denklemleri * Geometrik uygunluk şartları * Bünye Denklemleri (Gerilmeler ve Deformasyonlar arasındaki ilişkiler)

Hiperstatik Sistemlerde Kesit tesiri oluşturan etkiler * Dış yükler * Mesnet çökmesi * Sıcaklık değişimi

Hiperstatik Sistemlerde Çözüm Yöntemleri Kuvvet Metodu Deplasman Metodu Deplasman Metodları Açı Metodu Cross (Moment Dağıtma) Metodu Rijitlik Matrisi Metodu

Hiperstatik Sistemler : Dolu gövdeli sistemlerin hiperstatiklik derecesi iki gruba ayrılır. 1)

Dıştan hiperstatiklik : Yapıda hesaplanamayan mesnet

reaksiyonu sayısına eşittir. Mesnet reaksiyon sayısı (r) ise

r-3 (dıştan hiperstatiklik derecesi)

8t

2 t/m

5 t/m 20 t

I

I

12 m

I

I

12 m

8m

15 m

I

18 m 15 m

I

I

12 m

2) çten Hiperstatiklik : Yapıda hesaplanamayan iç kuvvet sayısı ile ilglidir. Dolu gövdeli sistemlerde

n = 3*m + r - 3j denklemiyle bulunur. n: Hiperstatiklik derecesi m: Eleman Sayısı r : Mesnet reaksiyonları sayısı j : Düğüm noktası sayısı

Düğüm noktası sayısı (j): 6 Mesnet reaksiyonu sayısı (r) : 3 Eleman sayısı (m): 6 Hiperstatiklik derecesi n : 3*m+r-3j n : 3*6 + 3 – 3*6 = 30 hiperstatik

Sistem dıştan izostatik ancak içten hiperstatiktir. Yani sistemin tüm mesnet reaksiyonları hesaplanabilir ancak tüm çubuk kuvvetleri bulunamaz.

Düğüm noktası sayısı (j) : 9 Mesnet reaksiyonu sayısı (r) : 6 Eleman sayısı (m) : 10 Hiperstatiklik derecesi n : 3*m+r-3j n : 3*10 + 6 – 3*9 = 90 hiperstatik

Sistem 90 hiperstatiktir. Mesnet reaksiyonları incelendiğinde sistemin Dıştan 30 hiperstatik olduğu görülür. Yani sistem çten 60 hiperstatiktir

Mafsal olması durumunda Eğer mafsal eleman üzerinde ise hiperstatiklik derecesi 1 azaltılır.

Eğer mafsal düğümde ise düğümde birleşen eleman sayısının 1 eksiği kadar hiperstatiklik derecesi azaltılır. Düğümde 3 eleman birleşiyor 3-1=2 derece azaltılır.

KUVVET METODU Düzlem Hiperstatik sistemlerin sabit yükler,sıcaklık değişimi ve mesnet çökmesi gibi dış etkilerlerden dolayı oluşan kesit tesirleri ve yer değiştirmelerini bulmaya yarayan virtuel iş ilkesine dayalı çözüm yöntemidir. Kuvvet metodu ile çözüm yapılırken yapılacak ilk iş izostatik esas sistemin seçilmesidir. zostatik esas sistem, hiperstatik sistemde hiperstatiklik derecesi kadar bilinmeyenin belirlenmesi ile elde edilir. Hiperstatik sistemde hangi bilinmeyenlerin hesaplanacağı belirlenerek sistem izostatik hale getirilir.

zostatik Esas Sistem: Hiperstatik sistem izostatik hale getirilir. Bunu

yaparken ya sisteme mafsal yerleştirilir yada mesnetlerdeki serbestlikler arttırılır. zostatik esas sitem seçilirken hangi sistemi daha kolay çözebileceğimizi düşünüyorsak o sistemi seçebiliriz. Bir hiperstatik sistemin pek çok izostatik esas sistemi vardır. Mafsal eklenmesi durumunda mafsalın her iki yanına bilinmeyen olarak moment yazılır. Mesnetlenme durumunun değiştirilmesi durumunda ise hangi yönde serbestlik arttırılırsa o yönde yönde bilinmeyen kuvvet veya moment yazılır.

1. Dereceden hiperstatik sistem

zostatik Esas Sistem

X1 X1

X1

zostatik esas sistem belirlenirken mesnetlenme durumu izostatik hale getirilir bu arada serbest bırakılan her mesnet reaksiyonu için bir bilinmeyen yazılır veya sisteme mafsal yerleştirilerek mafsalın olduğu yerde bilinmeyen olarak moment yazılır.

zostatik esas sistem belirlenirken aynı zamanda hesap

edilecek bilinmeyenlerde seçilmiş olmaktadır. Bu yüzden izostatik esas sistem belirlenirken hesaplarda kolaylık sağlayacak sistemlerin seçilmesine çalışılır. Yani izostatik esas sistem ve bilinmeyenlerin birim yüklemeleri için yapılacak hesapların daha kolay yapılabileceği sistemler izostatik sistem olarak seçilmeye çalışılır.

Mafsal eklenmesi durumunda mafsalın her iki yanına bilinmeyen olarak moment yazılır. X1 X2 X2 X1

Mesnetlenme durumunun değiştirilmesi durumunda ise hangi yönde serbestlik arttırılırsa o yönde yönde bilinmeyen kuvvet veya moment yazılır.

X1

X2

2. Dereceden hiperstatik sistem zostatik esas sistem

2. Dereceden hiperstatik sistem için izostatik esas sistemler

X2 X1

X1

X2

Kuvvet Yöntemine göre Hiperstatik sistemdeki etkiler, zostatik esas sistemdeki etkiler ile X1, X2,……,Xn bilinmeyen

kuvvetlerin oluşturduğu etkilerin uygun şekilde birleştirilmesiyle bulunur. X1, X2,……,Xn bilinmeyenlerinin bulunması hiperstatik sistemdeki etkilerin bulunması için şarttır. Bilinmeyen sayısı sistemin hiperstatiklik derecesi kadardır.

Kuvvet Yöntemine göre Hiperstatik sistemdeki etkiler hesaplanırken, hiperstatiklik derecesi belirlenip izostatik esas sistem seçildikten sonra sistem uygunluk denklemi yazılır. δ 1 = δ 1w + δ 1t + δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + ............. + δ 1n X n δ 2 = δ 2 w + δ 2t + δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + ............ + δ 2 n X n δ 3 = δ 3 w + δ 3t + δ 30 + δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + ............. + δ 3 n X n

M δ n = δ nw + δ nt + δ n 0 + δ n1 X 1 + δ n 2 X 2 + ............. + δ nn X n

Uygunluk denklemi hiperstatiklik derecesi kadar yazılır. Sistem 1 dereceden hiperstatik ise denklem 1 tanedir δ 1 = δ 1w + δ 1t + δ 10 + δ 11 X 1

Sistem 2. dereceden hiperstatik ise denklem 2 tane olacaktır δ 1 = δ 1w + δ 1t + δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 δ 2 = δ 2 w + δ 2t + δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2

Sistem 3. dereceden hiperstatik ise denklem 3 tane olacaktır δ 1 = δ 1w + δ 1t + δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + δ 13 X 3 δ 2 = δ 2 w + δ 2t + δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 δ 3 = δ 3 w + δ 3t + δ 30 + δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3

Sistemde sıcaklı değişimi ve mesnet çökmesi yok ise sadece dış yük etkisi var ise denklem şu hale gelir: δ 1 = δ 1w + δ 1t + δ 10 + δ 11 X 1

Sistem 2. dereceden hiperstatik ise denklem 2 tane olacaktır δ 1 = δ 1w + δ 1t + δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 δ 2 = δ 2 w + δ 2t + δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2

Sistem 3. dereceden hiperstatik ise denklem 3 tane olacaktır δ 1 = δ 1w + δ 1t + δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + δ 13 X 3 δ 2 = δ 2 w + δ 2t + δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 δ 3 = δ 3 w + δ 3t + δ 30 + δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3

Uygunluk denkleminde görülen deplasman ifadelerinin altındaki ilk indis yeri, ikinci indis ise sebebi göstermektedir. δ i

i yönündeki deplasman

δ iw

i yönünde mesnet çökmesinden dolayı oluşan deplasman değeri

δ it

i yönünde sıcaklık değişiminden dolayı oluşan deplasman değeri

δ i 0

i yönünde dış yükten oluşan deplasman değeri

δ i1

i yönünde 1 nolu birim yüklemeden dolayı oluşan deplasman değeri

δ i 2

i yönünde 2 nolu birim yüklemeden dolayı oluşan deplasman değeri

M δ in

i yönünde n nolu birim yüklemeden dolayı oluşan deplasman değeri.

P1

P2 X1 X2 2. dereceden hiperstatik sistem

zostatik esas sistem

Kuvvet metodu ile çözüm yapılırken hiperstatiklik derecesi belirlenip izostatik esas sistem belirlendikten sonra uygunluk

denklemleri

yazılır.

Bundan

sonra

uygunluk

denklemindeki değerleri bulmak sırasıyla yüklemeler yapılır.

Sistem 2. dereceden hiperstatik ise denklem 2 tane olacaktır X1

δ 1 = δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 δ 2 = δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2

X2 P1

P2

δ 20 δ 10

δ 21

X1

δ 11

P1 X0 Yüklemesi zostatik esas sisteme dış yük yüklenerek sistemde oluşan M0 N0 T0 değişim diyagramları çizilir.

P2

• X0 Yüklemesi zostatik esas sistemde sadece dış yük etkisinde M, N, T kesit tesirleri diyagramları çizilir. M0 : zostatik esas sistemde dış etkilerden dolayı oluşan moment N0 : zostatik esas sistemde dış etkilerden dolayı oluşan normal kuvvet To : zostatik esas sistemde dış etkilerden dolayı oluşan kesme kuvveti.

•Birim Yüklemeler zostatik esas sistemde, sırasıyla seçilen her bir bilinmeyen için birim yüklemeler yapılır. X1=1 , X2 =1 , X3 =1 ,………., X n =1 Bu durumda her bir birim yükleme için sistem kesit tesirleri (M, N, T) çizilir. Bu kesit tesirleri hesaplanırken sistemde dış yük yoktur.

X1

X1 Yüklemesi zostatik esas sistemde sadece 1 nolu bilinmeyen yönünde birim yükleme yapılması durumu. Bu durumda izostatik esas sistemde oluşacak M1 : zostatik esas sistemde 1 nolu birim yüklemeden etkilerden dolayı oluşan moment N1 : zostatik esas sistemde 1 nolu birim yüklemeden dolayı oluşan normal kuvvet T1 : zostatik esas sistemde 1 nolu birim yüklemeden dolayı oluşan kesme kuvveti.


X2 X2 Yüklemesi zostatik esas sistemde sadece 2 nolu bilinmeyen yönünde birim yükleme yapılması durumu. Bu durumda izostatik esas sistemde oluşacak M2 : zostatik esas sistemde 2 nolu birim yüklemeden etkilerden dolayı oluşan moment N2 : zostatik esas sistemde 2 nolu birim yüklemeden dolayı oluşan normal kuvvet T2 : zostatik esas sistemde 2 nolu birim yüklemeden dolayı oluşan kesme kuvveti.

Uygunluk denklemindeki deplasman ifadelerinin bulunması için mukavemette görülen virtuel iş teoremi kullanılır. Dolu gövdeli sistemler için bu ifade şu şekildedir:

∫

δ ij = M i M j

ds EI

+

ds

∫ N N EF + ∫ T T GF ′ i

Bu denklemde görülen EI= Eğilme Rijitliği EF= Uzama Rijitliği GF’= Kayma Rijitliği

ds

, ifadeleridir.

j

i

j

Deplasman ifadelerinin simetri özelliği vardır.

δ ij = δ ji

Mesela 12 deplasmanı ile 21 deplasmanı birbirine eşittir ve şu denklemle bulunur:

δ 12 = δ 21

∫

δ 12 = M 1 M 2

ds EI

+

ds

ds

∫ N N EF + ∫ T T GF ′ 1

2

1 2

Bu deplasmanların bulunması sırasında genellikle N ve T kesme ifadeleri ihmal edilir. Moment ifadeleri de matematiksel olarak yazılır ve uzunluk boyunca integral alınır.

X1

Deplasman ifadeleri hesaplandıktan sonra aşağıdaki uygunluk denkleminde yerine konarak denklem takımı çözülür ve bilinmeyenler olarak seçilen X1 ve X2 reaksiyon kuvvetleri bulunur.

X2 δ 1 = δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2

X1

δ 2 = δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2

X2

P2 P1 X1

Bundan sonra hesaplanan X değerleri kullanılarak hiperstatik sistemde oluşacak kesit tesirleri bulunabilir. Bunun için hesaplanan X değerleri dış yükler ile sisteme etki ettirilir.

X2 Yada süperpozisyon denklemleri yazılarak daha önce çizilen M,N,T diyagramları kullanılarak hiperstatik sistemin kesit tesirleri hesaplanır. Sistemde herhangi bir noktadaki kesit tesirlerini hesaplamak için M=M0+ M1 X1 + M2 X2 + M3 X3 +……..+Mn Xn T = T0 + T1 X1 + T2 X2 + ………..+Tn Xn N = N0 + N1 X1 + N2 X2 +………...+NnXn Süperpozisyon denklemleri kullanılabilir. Bu denklemler yardımıyla sistemde istenilen noktadaki kesit tesirleri hesaplanabilir.

20 kN 2m

Hiperstatik sistem (1. dereceden)

2m 20 kN


X1 20 kN X1


X1

20 kN zostatik esas sistem

20 kN 2m A

B

2m

C


20 kN zostatik esas sistem

X1

1. Dereceden hiperstatik olduğu için uygunluk denklemi δ 1 = δ 10 + δ 11 X 1

20 kN 2m

40 kN.m 20 kN

2m

X0 Yüklemesi

20 kN ΣFy = 0 Ay=20 ΣMA = 0 MA= 20*2 = 40 kN.m

40

2m

M0 Diyagramı

X1 Yüklemesi

4m

X1=1

4 kN.m ΣFy = 0 Ay=1

1 kN

X1=1

2m 4

2m 2

ΣMA = 0 MA= 1*4 = 4 kN.m

M1 Diyagramı

δ 1 = δ 10 + δ 11 X 1

40 M0 Diyagramı

2m 2m

2m

M1 Diyagramı

2

4

∫

δ 10 = M 1 M 0

ds EI

+ ihmal

2

∫

EI δ 10 = ( 2 + x).(−20 x)dx 0

EI δ 10 = −133.333

∫

δ 11 = M 1 M 1

ds EI

+ ihmal

4

∫

EI δ 11 = ( x).( x ) dx 0

EI δ 11 = 64 \ 3 = 21.333

δ 1 = δ 10 + δ 11 X 1

i=40

2m

2m

2m k2=4

M0 Diyagramı

∫

δ 10 = M 1 M 0

ds EI

M1 Diyagramı + ihmal

1 EI δ 10 = L i ( k 1 + 2k 2 ) 6

EI δ 10 =

1 6

k1=2

* 2 * (−40) * (2 + 2 * 4) = −133.333

δ 1 = δ 10 + δ 11 X 1

2m

2m k1=2

k2=4

M1 Diyagramı

∫

δ 11 = M 1 M 1

ds EI

+ ihmal

1 1 EI δ 11 = L i k = * 4 * 4 * 4 = 64 / 3 = 21.333 3 3

δ 1 = δ 10 + δ 11 X 1

δ 1 = 0 = −133.333 + 21.333 X 1

X1 =6.25

20 kN 2m

20 kN

2m X1=6.25

20 kN B

A

13.75

C X1=6.75

+

-

T 6.25

15

-

+ 13.5

M

i=40 A

2m

A

C

B

4

M0 Diyagramı

MB= M0B+M1B*X1= (0)+ 2*(6.25) = 13.5 MC= M0C+M1C*X1= (0)+ 2*(0) = 0 15 A

2m

2 M1 Diyagramı

MA= M0A+M1A*X1= (-40)+ 4*(6.25) = - 15

-

B

2m

B

C

+ 13.5

C

20 kN 2m

2m


Aynı sistemi çözmek için izostatik esas sistemi farklı seçelim.

20 kN X1


20 kN X1


20 kN

10 kN

10 kN

M0

+ 20 kN.m

20 kN X1


1 kN.m 4m 0.25 kN

0.25 kN

1 kN.m

-

0.5

M1

δ 1 = δ 10 + δ 11 X 1

1 kN.m +

-

0.5

20 kN.m M1 Diyagramı

M0 Diyagramı

∫

δ 10 = M 1 M 0

ds EI

+ ihmal

1 1 EI δ 10 = L i k + L i ( 2k 1 + k 2 ) 3 6

EI δ 10 =

1 3

* 2 * ( 20) * (−0.5) +

1 6

* 2 * (20) * ( 2 * ( −0.5) + (−1)) = −20

δ 1 = δ 10 + δ 11 X 1

1 kN.m

-

∫

0.5

δ 11 = M 1 M 1

M1 Diyagramı

ds EI

EI δ 11 = 1.333

=

1 3

L i k =

1 3

4.( −1).(−1) = 1.333

δ 1 = δ 10 + δ 11 X 1

δ 1 = 0 = −20 + 1.333 X 1

X1 =15

20 kN 2m

2m

20 kN X1=15

20 kN X1=15

13.75

+

-

T 6.25

15

-

+ 13.5

M

2 t/m Hiperstatik sistem (2. dereceden) 4m

(2I)

3m

3m

(I)

(I)

4m

δ 1 = δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 δ 2 = δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2


(2I)

3m

3m

(I)

(I)

X2 X1

2 t/m 4m

0

(2I)

3m

3m

(I)

(I) 16

16 tm

(-)

16

(2o)

8t ) (

M0

4

(-)

4m 3m

) (

M1

0 X1=1t

4 tm 1t

3 4m

)

M2 X2=1

0 0

3 )

+ (

3m 1

(+)

+ (

δ 1 = δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 δ 2 = δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2

16 (-)

16 ) (

(2o)

4

) (

M0

3

(+)

)

3 )

+ (

M2

+ (

(-)

M1

16 (2o)

(-)

16 ) (

∫

EI

10

) (

M0

δ 10 = M 1 M 0

EI δ 10 =

4

1

ds EI

EI δ 10 =

1

M1

1 * ( L i k ) + L i k 2 4

1 * ( * 4 * ( −4) * ( −16)) + 3 * −4 * −16 2 4

= 224

(-)

16 (-)

16

(2o)

3

(+)

)

M2

M0

∫

δ 20 = M 2 M 0

EI δ 20 =

)

+ (

) (

1

ds EI

EI δ 20 =

1 2

1

EI δ 20 = −104

1

* ( L i k ) + ( L i k ) 3 2

1 1 * ( * 4 * −16 * 3) + ( * 3 * −16 * 3) 2 3 2

3 + (

4

3

(-)

(+)

)

M2

M1

∫

δ 12 = δ 21 = M 1 M 2

EI δ 12 =

)

+ (

) (

ds EI

1

EI δ 12 =

1

1 1 * ( L i k ) + ( L i k ) 2 2 2

1 1 * ( * 4 * 3 * −4) + ( * 3 * 3 * −4) 2 2 2

EI δ 12 = EI

21

= −30

3 + (

4

(-)

) (

M1

∫

δ 11 = M 1 M 1

EI δ 11 =

ds EI

1

EI δ 11 =

1

1 * ( L i k ) + ( L i k ) 2 3

1 * ( * 4 * −4 * −4) + (3 * −4 * −4) 2 3

EI δ 11 = 58.667

3

(+)

)

M2

∫

ds EI

(+)

3

)

)

+ (

δ 22 = M 2 M 2

3

3

)

+ (

+ (

+ (

M2

1

1

1

EI δ 22 = ( L i k ) + * ( L i k ) + ( L i k ) 3 2 3

1 1 1 EI δ 22 = ( * 3 * 3 * 3) + * ( 4 * 3 * 3) + ( * 3 * 3 * 3) 3 2 3 EI δ 22 = 36

δ 1 = δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 δ 2 = δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2

EI

10

= 224

EI

11

= 58.667

EI

20

= −104

EI

12

= EI δ 21 = −30

EI δ 22 = 36

δ 1 = 224 + 58.667 X 1 − 30 X 2 = 0

X 1 = −4.079

δ 2 = −104 − 30 X 1 + 36 X 2 = 0

X 2 = −0.51

2 t/m 4m

2 t/m (2I)

3m

3m

(I)

(I)

4m

X2

(2I)

3m

3m

(I)

(I)

X2=0.51

X1 X1= 4.079

2 t/m 4m

(2I)

3m

3m

(I)

0.51

0.51

(I)

) (

X2=0.51

3.921

0.316

(+)

1.21 (-)

0.51

4.079

1.21 -

3.921

T

) (

X1= 4.079

3.921

) (

N

4.079

) (

) (

0.51

- 1.53 +

M 0.316

) (

X2 4m zostatik esas sistem

3m

2 t/m

X1 X0 Yüklemesi

0

4m

2 t/m

4 4

0

4m 3m

0

3m 4 0 4

2 t/m 0

4m

4 4

0

+

+ 0

4

M0

3m 4 0 4

4m

4m

3m

3m

X1=1

X1=1 0 4m

0.25

0.25

0.25 -1

0 0

X1=1

I

3m

0.25

0 0.25

M1

X2=1

X2=1 4m

4m

X2=1 0.333

0

0.333 0

1 +

+

3m

0 1

1

0 0.333

3m

0

0.333

M2

+

δ 1 = δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 δ 2 = δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2

-1 +

+ 4

I

M1

M0

∫

δ 10 = M 1 M 0

ds EI

EI δ 10 =

EI

EI δ 10 =

10

1

1 * ( * 4 * 4 * ( −1)) 2 3

= −2.667

1

1 * ( L i k ) 2 3

1 +

+

+

M0

∫

δ 20 = M 2 M 0

EI δ 20 = EI

20

1

ds EI

2

* ( * 4 * 4 *1) 2 3

= 5.333

+

1

4

1

M2

EI δ 20 =

1

+

2 * ( L i k ) 2 3

-1

I

M1

∫

δ 11 = M 1 M 1

EI δ 11 =

ds EI

1

EI δ 11 =

1 * ( *1*1* 4) + (1*1* 3) 2 3

EI δ 11 = 3.667

1

1 * ( L i k ) + ( L i k ) 2 3

1

1 +

1 +

∫

δ 22 = M 2 M 2

M2

ds EI

+

1

1

1

EI δ 22 = ( L i k ) + * ( L i k ) + ( L i k ) 3 2 3

1 1 1 EI δ 22 = ( * 3 *1*1) + * ( 4 *1*1) + ( * 3 *1*1) 3 2 3 EI δ 22 = 4

-1

1 +

1 I

∫

δ 12 = δ 21 = M 1 M 2

EI δ 12 =

+

M1

1 2

ds

EI δ 12 =

EI

1

1

1

21

= −2.5

M2

+

1 1 * ( L i k ) + ( L i k ) 2 2 2

* ( * 4 * −1*1) + ( * 3 * −1* +1) 2 2

EI δ 12 = EI

1

EI δ 1 = δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 δ 2 = δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2

10

= −2.667

EI δ 11 = 3.667

EI

20

= 5.333

EI δ 12 = EI EI

22

21

= −2.5

=4

δ 1 = − 2.667 + 3.667 X 1 − 2.5 X 2 = 0

X 1 = 0.316

δ 2 = 5.333 − 2.5 X 1 + 4 X 2 = 0

X 2 = −1.53

X2= -1.53 4m 3m

X1=0.316

1.846 - 1.53

1.846 + ) (

0.316

M

) (

ÖRNEK 2 N/m

Yandaki hiperstatik sistemin moment ve kesme kuvveti değişim grafiklerini çiziniz.

3m

3m

δ 1 = δ 10 + δ 11 X 1

1. Dereceden hiperstatik zostatik esas sistem

X1 X1

ÖRNEK X0 Yüklemesi 2 N/m 3m

3m 3N

3N + M0 =2.25

M0 Moment diyagramı

ÖRNEK X1 Yüklemesi 3m

3m

+

+ 3 N.m

X1 = 1 N


ÖRNEK

+

+ M0 =2.25

+ 3 N.m



δ 1 = δ 10 + δ 11 X 1

∫

δ 10 = M 1 M 0

∫

δ 11 = M 1 M 1

1

ds

1 1 EI δ 10 = ( L i k ) = * 3 * 3 * 2.25 = 6.75 3 3

EI ds EI 1

1

1

EI δ 11 = ( L i k ) + ( L i k ) = * 3 * 3 * 3 + * 3 * 3 * 3 = 18 3 3 3 3

ÖRNEK δ 1 = δ 10 + δ 11 X 1 = 0

6.75+18 X1=0

X1= -0.375

2 N/m

3m

3m

X1 = 0.375

kuvvet metodu

Recommend Documents