RUMUS INTEGRAL Mencari nilai integral Substitusi Contoh soal: Cari nilai dari:
Integrasi parsial Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:
Contoh soal: Cari nilai dari:
Gunakan rumus di atas
Substitusi trigonometri Bentuk
Gunakan
Contoh soal: Cari nilai dari:
Cari nilai dari:
Masukkan nilai tersebut:
dengan menggunakan substitusi
Nilai sin A adalah
Integrasi pecahan parsial Contoh soal: Cari nilai dari:
Akan diperoleh dua persamaan yaitu
dan
Dengan menyelesaikan kedua persamaan akan diperoleh hasil
INTEGRAL TAK TENTU
Definisi :
Fungsi F dikatakan dikatakan anti turunan turunan dari fungsi f pada selang selang I jika F’(x) = f(x) untuk semua x di I. Notasi : F(x) =
∫
f(x) dx
Integral tak tentu adalah Anti/Invers/Kebalikan turunan. 1
∫ x 2 dx = 3 x 3 + c
Contoh :
∫ 4 x 3dx = x 4 + c
Integral tak tentu adalah operator linear, yaitu bersifat : 1. ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
2. ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx Rumus-rumus Dasar Integral Tak Tentu n 1. ∫ x dx
3.
=
1
x n +1 + c , n ≠ - 1 n +1
cos xdx = sin x + c ∫ cos
5. ∫ e x dx
7.
∫
9.
∫
11.
=e x + c
dx 1 − x
2
= sin −1 x + c
dx
x x
2
−1
= sec −1 x + c
∫ cos ec 2 xdx = ctgx + c
cos ecxctgxdx = cos cos ecx ecx + c 13. ∫ cos
2.
sin xdx = − cos cos x + c ∫ sin 4.
1
∫ x dx = ln x + c
6. ∫ a x dx =
8.
∫
dx
1 + x
10. ∫ sec 2 xdx
2
a x ln a
+c
− = tgn tgn 1 x + c
= tgnx + c
sec xtgnxdx 12. ∫ sec
sec x + c = sec
Contoh : 1
cos x) dx = x 4 + 5 sin sin x + c ∫ (2 x3 + 5 cos 2
INTEGRAL TENTU Definisi :
Misal Misal f fung fungsi si yang didefi didefinis nisika ikan n pada pada [a,b], [a,b], f dikat dikatak akan an terinte terintegra gralka lkan n pada pada n
lim lim
∑ f ( xi )∆ xi ada, selanjutnya
P →0 i =1
[a,b] [a,b]
jika jika
b
∫ f ( x ) dx disebut Integral Tentu (Integral Riemann) f
a
dari a ke b, dan didefinisikan b
lim ∫ f ( x ) dx = lim
a
n
∑ f ( xi )∆ xi .
P →0 i =1
b
menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva y = f(x) dan sumbu x dalam ∫ f ( x ) dx menyatakan
a b
selang selang [a,b], [a,b],
jika
∫ f ( x ) dx bertanda negatif maka menyatakan luas daerah yang berada
a
dibawah sumbu x.
Definisi :
a
∫ f ( x ) dx = 0
a b
a
a
b
∫ f ( x ) dx = -
∫ f ( x ) dx , a > b
Teorema Dasar Kalkulus Teorema Dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tentu, berikut teorema tersebut : Misal f kontinu pada [a,b] dan F sebarang anti turunan f, maka b
∫ f ( x ) dx = F(b) – F(a)
a
Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) = [ F ( x )] b a Contoh :
1.
Perlihatkan bahwa jika r ∈ Q dan r ≠ -1, maka b
∫ x
r
dx
=
a
+1
b r
r + 1
−
+1
a r
r + 1
Jawab :
x r +1 r +1
Kare Karena na F(x) F(x) = b
∫ x
r
dx
= F (b) − F (a) =
a
suatu anti turu turun nan dari f(x) (x) = x r , mak maka a men menur urut ut
+1
b r
r +1
−
+1
a r
r +1
Integral tentu sebagai operator linear, yaitu bersifat : Misal f dan g terintegralkan terintegralk an pada [a,b] dan k suatu konstanta, maka kf dan f + g terintegralkan, dengan
b
b
1. ∫ kf ( x)dx a
2.
=k
∫ f ( x )dx
a b
b
a
a
∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + a∫ g ( x ) dx
Contoh : 2
Hitung
b
∫ (4 x − 6 x 2 )dx
−1
TDK, TDK,
Jawab : 2
2
2
x 2 2 x 3 2 ∫ (4 x − 6 x )dx = 4 ∫ xdx − 6 ∫ x dx = 4 2 − 6 3 −1 −1 −1 −1 −1 2
2
4 − 1 − 6 8 + 1 = 2 2 3 3
= 4
− 12
Sifat-Sifat Integral Tentu 1. Sifat Sifat Pena Penamb mbah ahan an Selan Selang g Teorema : Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b dan c, maka
c
b
c
a
a
b
∫ f ( x )dx =
∫ f ( x )dx +
∫ f ( x)dx
bagaimanapun urutan a, b dan c.
Contoh : 2 1.
∫ x
2
0 2
3.
1
dx
= ∫ x 0
2
2
dx
+ ∫ x
−1
1 2
0
−1
2
2
dx 2.
∫ x
2
3
= ∫ x
dx
0
0
2
2
dx
+ ∫ x 2 dx 3
∫ x 2 dx = ∫ x 2 dx + ∫ x 2 dx
0
2. Sifa Sifatt Sim Simetri etri Teorema : a
a
∫ f ( x )dx = 2 ∫ f ( x)dx dan
Jika f fungsi genap [f(-x) = f(x)] , maka
−a
0
a
∫ f ( x )dx = 0.
Jika f fungsi ganjil [f(-x) = - f(x)], maka
−a
Contoh : π
1. ∫
x 1 x dx = 2 cos x dx = 8 cos . dx =4 ∫ ∫ 4 4 4 4 0 0
cos
−π
π
π
2
x 5
5
2. ∫
2 −5 x
dx = 0
+4
TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN
1. Tekn Teknik ik Subt Subtit itus usii a. Subtitusi Dalam Integral Tak Tentu
Teorema : Misal g fungsi yang terdiferensialkan terdiferensial kan dan F suatu anti turunan dari f, jika u = g(x) maka f(g(x))g’(x) dx = f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c
∫
∫
Contoh : sin Hitunglah ∫
x x
dx .
Jawab : Misalkan u = sin
∫
x x
x = x1/2 sehingga du =
1 2
1 −1 / 2 x dx maka 2
−1 / 2 dx dx = 2 ∫ sin x x = 2 sin udu = 2cosu + c = 2cos
∫
x +c
b. Subtitusi Dalam Integral Tentu.
Teorema : Misal Misal
g
mempun mempunyai yai turunan turunan kontin kontinu u pada [a,b] [a,b] dan dan f kontinu kontinu pada daera daerah h nilai nilai g, maka
b
g (b )
a
g ( a )
∫ f ( g ( x )) g ' ( x )dx = ∫ f (u )du
Contoh : 1
Hitung
∫
0 ( x
x + 1 2
+ 2 x + 6)
dx
Jawab :
Misal u = x2+2x+6 sehingga sehingga du = 2x+2 dx = 2(x+1)dx 2(x+1)dx perhatikan perhatikan u = 6 jika x = 0 dan u = jika x = 1, jadi 1
x + 1
∫
2 0 ( x
=
+ 2 x + 6)
11
∫ 2
dx =
0 ( x
2( x +1) 2
1 9 du
+ 2 x + 6)
1 1 (ln 9 − ln 6) = [ ln u ] 96 = (ln ∫ 2 u 2 2
=
dx
1
6
2
3 2
ln
2. Penginte Pengintegral gralan an Bentu Bentuk-Be k-Bentuk ntuk Trigonom Trigonometri etri
a.
∫
sin n x dx,
∫
cos n x dx
Jika n bilangan bilangan bulat bulat positif ganjil, ganjil, maka keluark keluarkan an faktor faktor sin x atau cos x dan kemudia kemudian n 2 2 gunakan kesamaan sin x + cos x = 1. Jika n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x sin 2 x = , cos 2 x = 2 2 Contoh :
∫
1. =
= b.
1
∫ 4
4
cos x dx =
dx +
1
∫ 4
1 + cos 2 x 2 dx ∫ 2
cos 2x (2) dx +
1 8
=
1 4
∫ (1 + 2 cos 2x + cos 2 2x) dx
∫ (1 + cos 4x) dx
1 3 1 x+ sin 2x + sin 4x + c 32 8 4
∫
sin m x cos n x dx Jika m atau n bilangan bulat positif ganjil dan eksponen lain sembarang, maka keluarkan faktor sin x atau cos x yang berpangkat ganjil tersebut kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos 2 x = 1. Jika m dan n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut.
Contoh : Tentukan : 1.
∫
sin 3 x cos –4 x dx
2.
∫
sin 2 x cos 4 x dx
c.
∫
tg n x dx,
∫
cotg n x dx.
Keluarkan Keluarkan faktor tg dalam kasus cotg.
2
x = sec
2
x – 1 dalam kasus tg atau faktor cotg
2
x = cosec
2
x– 1
Contoh :
d.
∫
∫
cotg 4 x dx =
= -
∫
∫
cotg 2 x (cosec 2 x – 1) dx =
cotg 2 x d(cotg x) -
tg m x sec n x dx,
∫
∫
∫
(cosec 2 x – 1) dx = -
cotg 2 x cosec 2 x dx –
∫
cotg 2 x dx
1 cotg 3x + cotg x + x + c 3
cotg m x cosec n x dx
Jika n genap dan m sembarang, maka keluarkan faktor sec
2
x atau
cosec 2 x. Jika m ganjil dan n sembarang, keluarkan faktor tg x.sec x.
Contoh : Tentukan : 1. e.
∫
∫
tg –3/2 x sec 4 x dx
2.
∫
tg 3 x sec –1/2 x dx
sin mx cos nx dx, ∫ sin mx sin nx dx, ∫ cos mx cos nx dx. Gunakan kesamaan : sin mx cos nx = ½[sin (m+n)x + sin (m – n)x] sin mx sin nx = -½[cos (m+n)x - cos (m – n)x] cos mx cos nx = ½[cos (m+n)x + cos (m – n)x] Contoh : ∫ sin 2x cos 3x dx = 1/2 ∫ sin 5x + sin (-x) dx = 1/10
∫
sin 5x d(5x) – ½
∫
sin x dx = - 1/10 cos 5x + ½ cos x + c.
3. Pengintegralan Parsial Pengin Pengintegr tegralan alan parsial parsial (sebagi (sebagian) an) dapat dapat dilakuka dilakukan n jika pengint pengintegra egralan lan dengan dengan teknik teknik subtitus subtitusii tidak tidak memberi memberikan kan hasil, hasil, dan dengan dengan catatan catatan bagian bagian sisa pengint pengintegra egralan lan lebih lebih sederhana dari integral mula-mula.
udv = uv − ∫ vdu vdu ∫ udv
Contoh : 1.
∫ xe
x
dx
Misalkan u = x, dv = e x dx maka du = dx , v = ex
∫ xe
x
dx
=
xe x
− ∫ e x dx = xex –ex + c
4. Integral Fungsi Akar (Subtitusi yang Merasionalkan). a. Fungsi Integran yang memuat bentuk n ax
+b
Penyelesaian dengan menggunakan subtitusi : u = n ax
+b
Contoh : Hitung ∫ x3 x − 4dx Jawab : Misalkan u = ∫ x3 x − 4dx maka u 3 = x – 4 dan 3 u 2 du = dx Shg
3 ∫ x x −4dx =
3 2 ∫ (u + 4)u.3u du =
3 7
3
4
( x − 4) 7 + ( x − 4) 3 + c
2 2 2 2 2 2 b. Integran yang memuat bentuk a − x , a + x , x − a Gunakan berturut-turut subtitusi : x = a sin t, x = a tg t dan x = a sec t. Contoh :
1. Tentukan ∫
4 − x 2
dx
x 2
Jawab : Jawa Jawab b : Mis Misal alka kan n x = 2 sin sin t maka maka dx = 2 cos cos t dt dt
∫
4 − x 2
x 2
dx =
=
∫
2 cos t 4 sin
2
4 − x x
t
2
(2 cos t )dt
= ∫ ctg 2 tdt tdt
dan dan
cos t , 4 − x 2 = 2 cos
= - ctg t – t + c
−1 x − sin sin + c 2
5. Integral Fungsi Rasional Fungsi Rasional merupakan fungsi hasil bagi dua fungsi Polinom yang ditulis : P ( x ) F ( x ) = , P(x) dan Q(x) fungsi –fungsi Polinom dengan Q(x) ≠ 0 Q ( x )
shg shg
Fungsi Rasional dibedakan atas : a. Fung Fungsi si Rasi Rasion onal al Seja Sejati ti yait yaitu u fung fungsi si rasi rasion onal al dima dimana na dera deraja jatt fung fungsi si poli polino nom m pada pada pembilang lebih kecil dari pada derajat fungsi polinom pada penyebut.
b.
Fungsi Rasional Tak Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat fungsi polinom pada penyebut.
Fungsi Rasional Tak Sejati dapat ditulis sebagai penjumlahan fungsi polinom dengan Fungsi Rasional Sejati dengan jalan membagi fungsi pembilang dengan fungsi penyebut. Permasalahan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada bagaimana mengintegralkan fungsi rasional sejati. Suatu fakta, bahwa fungsi rasional sejati dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi rasional sejati yang lebih sederhana Contoh : 5 x −1
x
2
−1
=
2 x −1
+
3 x + 1
a. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berbeda Contoh : 5 x + 3
∫
Tentukan
x
3
dx
2
− 2 x − 3 x
Jawab : 5 x + 3
x 3
− 2 x 2 − 3 x
=
5 x + 3
x( x + 1)( x − 3)
=
A x
+
B x + 1
+
C x − 3
maka 5x + 3 = A(x+1)(x-3) + Bx(x-3) Bx(x-3) + Cx(x+1) dengan dengan menyamakan menyamakan koefisien koefisien pada pada kedua kedua polinom polinom diruas diruas kiri dan ruas kanan kanan maka maka diperoleh : A = -1 , B =
∫
5 x + 3
x
3
− 2 x 2 − 3 x
dx =
∫
−1
2
, dan C =
3
2
sehingga
3 2 dx + ∫ 2 dx +∫ x x + 1 x − 3
−1
− dx
= - ln x
−
1 2
ln x + 1
+
3 2
ln x − 3
+c
b. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berulang Contoh : x
Tentukan ∫
dx
( x −3) 2
Jawab : x ( x − 3)
2
=
A x − 3
+
B ( x − 3)
2
maka x = A(x-3) + B
dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan diperoleh : A = 1 dan B = 3 sehingga
∫
x ( x − 3)
2
dx
= ∫
1 x − 3
dx
+ ∫
3 ( x − 3)
2
dx
= ln x − 3 −
3 x − 3
+c
Yang perlu diperhatikan untuk tiap faktor ( ax +b) k dalam penyebut, maka ada sebanyak k suku penjabarannya, yaitu : A1 ax + b
+
A2 (ax + b) 2
+ ... +
Ak ( ax + b) k
c. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Kuadrat yang Berbeda Contoh : Tentukan ∫
6 x 2 −3 x +1
( 4 x +1)( x 2 +1)
dx
Jawab : 6 x 2
− 3 x +1 = A + Bx Bx + C 4 x +1 x 2 +1 ( 4 x +1)( x 2 +1) Selanjutnya Selanjutnya tentukan A, B dan C seperti cara diatas dan kemudian kemudian hitung integral setiap sukunya. PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU 1. Luas Luas Dae Daerah rah Bidang Bidang Rata Rata
a. Dae Daerah rah Ant Antara ara Ku Kurva rva dan Sum Sumbu bu Koordinat. Perhatikan Perhatika n gamb gambar ar daer daerah ah rata dibawah ini Daerah Daerah R dibatasi dibatasi oleh grafik-g grafik-grafik rafik y = f(x), x = = b dan y = 0, luasnya A(R) ditentukan oleh :
a, x
b
A(R) =
∫ f ( x )dx
a
Jika gambar terletak dibawah sumbu X maka integral diatas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Perhatikan pula gambar daerah rata berikut ini :
Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik grafik-grafik x = f(y), y = c, y = d dan x = 0, luasnya A(R) ditentukan ditentukan d
oleh : A(R) =
∫ f ( y )dy
c
Jika gambar gambar terletak terletak disebelah disebelah kiri sumbu sumbu Y maka integral integral diatas diatas bernilai bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan.
Contoh :
Tentu Tentukan kan luas luas daera daerah h yang yang dibat dibatasi asi oleh oleh fungsi :
Untuk menghitung luas daerah rata ikuti pola berfikir sebagai berikut : 1. Gamb Gambar ar daerah daerah yang yang bersa bersang ngku kutan tan 2. Potong daerah menjadi menjadi jalur-jalur jalur-jalur dan beri nomor nomor pada pada satu satu jalur jalur tertentu tertentu 3. Hampiri Hampiri luas luas jalur tertent tertentu u tersebut tersebut denga dengan n luas persegi persegi panjan panjang g 4. Jumlahk Jumlahkan an luas luas jalur-jal jalur-jalur ur pada pada daerah daerah terseb tersebut ut 5. Ambi Ambill limit limit dari dari jumla jumlah h diatas diatas denga dengan n lebar lebar jalur jalur menu menuju ju 0, maka maka diperol diperoleh eh integral integral tertentu.
b. Daerah antara 2 Kurva Perhatikan kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan g(x) gambar berikut :
∆ A ≈ ( f ( x) − g ( x)) ∆ x b
A=
∫ ( f ( x ) − g ( x )) dx
a
≤
f(x) pada selang [a,b], sebagai
Kita gunakan cara : potong, aproksimasikan, dan integralkan.
