RANGKUMAN DASAR-DASAR MATEMATIKA SEKOLAH DASAR TENTANG “KONSEP PENALARAN DALAM MATEMATIKA DAN SISTEM MATEMATIKA”
OLEH :
NAMA : VIRA AMELIA NIM
: 17129275
PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS NEGERI PADANG 2017
Konsep Penalaran dalam Matematika Penalaran merupakan sebuah proses berpikir untuk mencapai suatu kesimpulan yang logis.
Penalaran dalam Matematika Ada Dua Jenis, Yaitu Penalaran Induktif dan Penalaran Deduktif. a. Penalaran deduktif yaitu proses berpikir berdasarkan atas suatu pernyataan dasar yang berlaku umum untuk menarik suatu kesimpulan yang bersifat khusus. Aturan yang berlaku secara umum tersebut, pada umumnya dibuktikan terlebih dahulu kebenarannya dan setelah terbukti kebenarannya baru diterapkan untuk kasus-kasus yang bersifat khusus. Contoh : Jumlah dua bilangan ganjil akan menghasilkan bilangan genap. Buktikan kebenaran atau kesalahan pernyataan tersebut secara deduktif. Dibuktikan secara deduktif dengan melakukan pemisalan secara umum bahwa bilangan ganjil dapat dituliskan sebagai 2n + 1 untuk untuk n bilangan asli. Maka 2 bilangan ganjil dijumlahkan menjadi (2n + 1)+(2n + 1) = (2n + 2n + 1 + 1) = 4n + 2 = 2(2n + 1) Karena 2n + 1 merupakan bilangan ganjil maka 2 kali bilangan ganjil pasti akan menghasilkan bilangan genap, sehingga terbukti bahwa jumlah dari 2 bilangan ganjil akan menghasilkan bilangan genap
b. penalaran induktif yaitu yaitu penalaran atas dasar dari hal-hal yang bersifat khusus, kemudian disimpulkan menjadi yang bersifat umum. Contoh : Buatlah segitiga lancip dan ukurlah besar tiap-tiap sudutnya dengan busur derajat. Berapa derajatkah besar ketiga sudutnya? Buatlah pula segitiga siku-siku dan segitiga tumpul. Berapa derajatkah jumlah ketiga sudut dari tiap-tiap segitiga tersebut?
Pada contoh ini,siswa membuat tiga buah segitiga dan mengukur besar sudut tiaptiap segitiga dengan busur derajat. Dan siswa memperoleh bahwa jumlah ketiga sudut dalam masing-masing segitiga yang telah buat adalah 180 derajat. Dari tiga contoh segitiga yang dibuat itu siswa dapat menarik kesimpulan bahwa jumlah besar ketiga sudut dalam segitiga adalah 180 derajat. Penarikan kesimpulan dari contoh-contoh seperti ini menggunakan penalaran induktif.
Kegunaan Dari Setiap Penalaran Penalaran deduktif merupkan ciri utama dalam penalaran matematika. Penalaran ini digunakan untuk membuktikan atau menurukan rumus, teorema atau dalil. Dengan teorema yang diturunkan atau dibuktikan dari penalaran deduktif tidak dapat disangkal kebenaranya dan berlaku secara umum di daerah jelajahnya
Penalaran induktif dalam dalam matematika digunakan untuk memperoleh dunga-dugaan dari suatu rumus atau teorema. kesimpulan pada induksi yang bersifat umum akan menjadi sangat penting, karena ilmu pengetahuan tidak akan pernah berkembang tanpa adanya penarikan kesimpulan ataupun pembuatan pernyataan baru yang bersifat umum. Hal inilah yang menjadi suatu kelebihan dari penalaran induktif dibandingkan dengan penalaran deduktif . Kelemahan penalaran induktif adalah ketika Suatu teori yang bernilai benar pada suatu saat, dapat saja bernilai salah pada tahun-tahun berikutnya jika telah ditemukan suatu contoh sangkalan. Sehingga pada matematika, kesimpulan yang diperoleh dari penalaran induktif masih disebut dengan dugaan. Dugaan tersebut lalu akan dikukuhkan menjadi suatu teorema jika sudah dapat dibuktikan kebenarannya dengan penalaran deduktif. .
Pada Sekolah Dasar penalaran induktif yang mudah diikuti oleh siswa, karena penalaran induktif bermula dari percoba-bercobaan atau contoh-contoh dan cari contoh tersebut dicarilah pola untuk dapat disusun menjadi kesimpulan kesimpulan yang berupa rumus atau teorema. Proses penalaran induktif dan deduktif dapat digunakan dan sama-sama berperan penting dalam mempelajari matematika. Pembelajaran dan pemahaman konsep dapat diawali secara induktif melalui pengalaman peristiwa nyata atau intuisi. Proses induktif-deduktif yang digunakan untuk mempelajari konsep matematika kegiatannya dapat dimulai dengan beberapa contoh atau fakta yang teramati, membuat daftar sifat yang muncul (sebagai gejala), memperkirakan hasil baru yang diharapkan, yang kemudian dibuktikan secara deduktif.
Sistem matematika Sistem matematika adalah himpunan yang tidak kosong bersama dengan sebuah relasi, dan sebuah operasi. Suatu himpuanan yang tidak kosong dengan suatu operasi membentuk suatu sitem, apabila operasi pada himpunan tersebut bersifat tertutup. Suatu operasi pada suatu himpunan dikatakan bersifat tertutup apabila hasil operasi dua elemen dari himpunan tersebut merupakan suatu elemen himpunan tersebut. Beberapa kriteria dalam sistem matematika 1. ada himpuanan tertentu 2. adanya operasi tertentu 3. hasil operasi adalah termasuk dalam himpunan itu contoh: pada sistem bilangan asli A{1,2,3,4,...} adalah himpunan semua bilangan asli. kita perhatikan operasi penjumlahan untuk bilangan-bilangan asli, seperti yang diketahui bahwa jumlah bilagan asli sembarang merupakan bilangan asli juga.hal ini dapat dikatakan bahwa penjumlahan pada bilngan asli bersifat tertutup.dan hal tersebut memenuhi kriteria tentang sistem matematika, yaitu a. adanya himpunan tertentu, yaitu himpunan A{1,2,3,4,...} b. Adaya operasi tertentu, yaitu penjumlahan c. Hasil penjumlahan setiap dua anggota A merupakan angggota A lagi (sifat tertutup) Suatu himpunan dalam suatu operasi yang membentuk sistem kemungkinan mempunyai sifat-sifat beriut ini: 1. Sifat asosiatif (sifat pengelompokan) Sifat Asosiatif adalah penjumlahan atau perkalian tiga buah bilangan yang dikelompokkan secara berbeda. Namun hasil operasinya akan tetap sama. Sifat Asosiatif dinamakan dengan Sifat Pengelompokan. Sifat Assosiatif dapat dirumuskan sebagai berikut : (a + b) + c = a + (b + c) dan (a x b) x c = a x (b x c) Contoh : Contoh sifat asosiatif dalam penjumlahan: (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9 Maka, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) contoh sifat asosiatif dalam perkalian: (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24 maka, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4). 2. Sifat komutatif (pertukaran) (pertukaran) komutatif adalah penjumlahan atau perkalian dua bilangan, dan kedua bilangan ditukarkan hasilnya akan tetap sama. Sifat Komutatif juga disebut dengan sifat pertukaran. Sifat Komutatif tidak berlaku untuk Pengurangan dan Pembagian karna hasilnya tidak sama. Komutatif dapat di rumuskan Sebagai berikut : a + b= b + a Dimana : a dan b bilangan bulat (a x b = b x a)
Contoh Contoh Sifat komutatif dalam Penjumlahan 2+3=5 dan kita tukar tempatnya seperti dibawah ini : 3+2=5 Dan hasilnya tetap sama, yaitu 5. Maka Hukum Komutatif berlaku untuk operasi hitung penjumlahan. Sehingga : 2 + 3 = 3 + 2 3. Sistem memiliki elemen identitas Elemen satuan disebut unsur identitas, sebuah unsur bilangan yang dioperasikan dengan bilangan lain. Hasilnya Hasiln ya adalah bilangan itu sendiri. Pada operasi penambahan bilangan riil berlaku:
a+0=0+a=a atau ax1=1xa=a untuk identitas operasi tambah (+), yaitu 0 dan 1 merupakan unsur identitas pada operasi kali (x) 4. Elemen-elemenya Elemen-elemenya memiliki invers
Sebuah unsur bilangan jika dioerasikan dengan bilangan lain akan menghasilkan sebuah unsur identitas. Jika a adalah bilangan riil berlaku a + (-a) = (-a) + a = 0 invers penjumlahan dari a adalah – a, a, sifat-sifat operasi hitung sangat berguna untuk memahami dan melakukan operasi hitung pada bilangan bulat yang akan anda pelajari berikut ini. CONTOH PENJUMLAHAN 3 + 4 = 7 berlaku sifat komutatif karena 3 + 4 = 4 + 3 =7 ((-2) + 3) + 1 = 2 berlaku sifat s ifat asosiatif karena ((-2) (( -2) + 3) + 1 =(- 2) + (3 + 1) = 2
PENGURANGAN 7 – 9 9 = -2 tidak berlaku sifat komutatif karena 7 – 9 9 tidak sama dengan 9 – 7 7 (2 – 3) 3) -2 = -3 tidak berlaku sifat asosiatif a sosiatif karena (2 – 3) 3) -2 = 2 - (3 - 2)
PERKALIAN (-3) x 3 = -9, berlaku sifat komutatif (-3) ( -3) x 3 = 3 x (-3) = -9 (2 x 4) x (-2) = -16, berlaku sifat asosiatif karena (2 x 4) x (-2) = 2 x (4 x (-2)) = 16 3 x (1 + (-2)) = (3 x 1) + (3 x -2) = -3, berlaku sifat distributif distr ibutif (x) terhadap (+)
PEMBAGIAN
Seperti halnya dengan operasi pengurangan,sifat asosiatif dan komutatif tidak berlaku untuk operasi pembagian ini.
Daftar Rujukan
Sukirman, dkk. 2011. Matematika. Jakarta: Universitas Terbuka http://little-chiyoo.blogspot.co.id/2013/09/penalaran-dalam-matematika.html http://bdkbandung.kemenag.go.id/jurnal/132-penalaran-dalam-pembelajaran-matematika-mi http://generasi-intelektual.blogspot.co.id/2015/10/pengertian-penalaran-secara-umum-dan.html https://ekorubiyanto84.wordpress.com/2013/01/18/pendekatan-deduktif-dan-induktif-matematika/ http://www.sarjanaku.com/2010/08/sifat-sifat-bilangan-riil-dalam-operasi.html
