jurnal flu burung

Online Jurnal of Natural Science, Vol. 2 (1): 27-35 Maret 2013

ISSN: 2338-0950

Studi Penyebaran Penyakit Flu Burung Melalui Kajian Dinamis Revisi Model Endemik SIRS Dengan Pemberian Vaksinasi Unggas

I. Murwanti1, R. Ratianingsih1 dan A.I. Jaya1 1

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Tadulako, Jalan Sukarno-Hatta Palu,

ABSTRAK Program vaksinasi unggas yang dilakukan untuk menghambat penyebaran penyakit flu burung dapat dikaji melalui model matematika. matematika. Dalam penelitian ini penyebaran penyakit tersebut di amati melalui revisi model endemik SIRS dengan memperhatikan pemberian vaksinasi pada unggas. Hal ini dilakukan dengan merevisi kompartemen penyebaran penyakit tersebut yang selanjutnya digunakan untuk menentukan menentukan persamaan pembangun model yang direpresentasikan direpresent asikan dalam sistem persamaan diferensial. diferensial . Sistem tersebut menggambarkan menggambarkan interaksi interaks i antara kelompok manusia dan kelompok unggas. Analisa kestabilan sistem di kedua titik kritisnya dilakukan dengan menentukan nilai eigen sistem yang diperoleh dari determinan matriks matriks jacobi linearisasi sistem di di masing-masing titik kritis. Kestabilan sistem selanjutnya diamati dibidang ( ,  ) yang dibagi oleh kurva parameter  =  . Kedua parameter tersebut secara berturut-turut menyatakan tingkat vaksinasi unggas dan tingkat kematian alami populasi unggas. Kestabilan di titik kritis kedua membutuhkan membutuhkan syarat bahwa tingkat kematian manusia karena flu burung (  ) harus lebih kecil dari tingkat kelompok manusia manusia yang telah sembuh sembuh dari flu burung terjangkit penyakit kembali ( ). Hasil simulasi memperlihatkan bahwa penyebaran penyakit flu burung dapat diturunkan dengan program vaksinasi bila tingkat vaksinasi unggas lebih besar dari tingkat kematian alami unggas. .

Kata kunci : Kestabilan, Kestabilan, M odel odel endemik ndemik SI RS, RS, Penye Penyebaran baran penyakit penyakit f lu buru ng,Ti tik . kritis

I.

PENDAHULUAN

Sedangkan yang berat seperti HIV/AIDS, Berbagai jenis penyakit saat ini semakin

banyak

Salah

satu

malaria, flu burung, SARS, dan sederet

hidup

dan

penyakit lainnya. Menular atau tidaknya

lingkungan yang semakin tidak sehat.

suatu penyakit tetap harus diwaspadai dan

Secara umum ada dua jenis penyakit, yaitu

tidak boleh dianggap remeh, karena ketika

penyakit menular dan tidak menular.

seseorang terkena suatu penyakit aktivitas

Dalam kelompok penyakit menular ada

kehidupannya akan terganggu. Apalagi

yang ringan dan ada yang berat. Yang

jika

ringan

mengakibatkan kematian.

penyebabnya

muncul

polio, demam berdarah, campak, TBC,

adalah

misalnya

gaya

influenza

dan

diare.

penyakitnya

sudah

Coresponding author : [email protected], [email protected],

parah,

bisa


ISSN: 2338-0950

Laporan dari WHO Flu burung

Penyebaran

flu

diamati

masyarakat

Kestabilan dari model penyebaran flu

banyak

korban

telah

baik

menewaskan

unggas

maupun

burung

telah

model

dapat

telah menjadi perhatian yang luas dari karena

melalui

burung

dikaji

matematika.

melalui

model

manusia. Pada awal tahun 1918, wabah

penyebaran virus. Banyak metode yang

pandemik virus influenza telah membunuh

dapat

lebih dari 40.000 orang, dimana subtipe

automata, digunakan oleh Keeling dan

yang mewabah saat itu adalah virus H1N1

Gillingan, dan forest-fire lattices yang

yang dikenal dengan “Spanish Flu”. Tahun

digunakan

1957 virus bermutasi menjadi H2N2 atau

penelitian ini model penyebaran flu burung

“Asian

dibangun

Flu”

menyebabkan

100.000

digunakan,

oleh

diantaranya

Rhodes

dengan

cellular

dkk.

Dalam

memperhatikan

kematian. Tahun 1968 virus bermutasi

penyebaran virus pada populasi unggas

menjadi H3N2 atau “Hongkong Flu”

dan populasi manusia. Populasi manusia

menyebabkan 700.000 kematian. Akhirnya

dipisahkan menjadi empat kelas, yang

pada tahun 1997, virus bermutasi lagi

lebih dikenal dengan pendekatan SIRS,

menjadi H5N1 atau “ Avian influenza”

yaitu susceptible, preinfected,infected ,recov

kasus

Di Asia Tenggara kebanyakan

ered,dan susceptible. Populasi unggas juga

flu

jalur

dipisahkan menjadi tiga kelas melalui

unggas

pendekatan SIV. Pendekatan ini dipilih

burung

transportasi

atau

terjadi

pada

peternakan

sebagai jalur migrasi burung liar. Hingga 6

karena

Juni 2007, WHO telah mencatat sebanyak

diberikan vaksinasi sedemikian sebagian

310 kasus dengan 189 kematian pada

populasi suscepted pada unggas menjadi

manusia

populasi Vaccinated.

yang

disebabkan

virus

ini

pada

populasi

unggas

dapat

termasuk Indonesia dengan 99 kasus

Penyebaran penyakit flu burung

dengan 79 kematian. Hal ini dipengaruhi

akan dikaji melalui revisi model endemik

oleh mata pencaharian sebagian penduduk

SIRS dengan vaksinasi pada unggas.

Indonesia

sebagai

peternak

unggas,

Penyebaran penyakit flu burung tersebut

sehingga

Indonesia

rawan

terhadap

diukur melalui suatu parameter yang

penyebaran penyakit flu burung. Selain itu,

menyatakan rasio atau perbandingan yang

Kurangnya

menunjukan

pengetahuan

sebagian

banyaknya

individu

penduduk Indonesia tentang flu burung

susceptible yang menderita penyakit yang

ikut pula mempengaruhi laju penyebaran

diakibatkan oleh satu individu infected .

flu burung. Studi Penyebaran Penyakit Flu Burung Melalui Kajian Dinamis Revisi Model Endemik SIRS Dengan Pemberian Vaksinasi Unggas 65


ISSN: 2338-0950

II. TINJAUAN PUSTAKA

Rahmalia, D diagram penyebaran penyakit

2.1 Flu Burung (Avian Influenza)

flu burung tipe SI digambarkan dalam bentuk kompartement sebagai berikut:

Mulai dari gejala yang ringan hingga ke penularan yang sangat tinggi Avian Influenza adalah penyakit infeksi pada unggas yang disebabkan oleh virus influenza strain tipe A. Penyakit yang pertama diidentifikasi di Itali lebih dari 100 tahun yang lalu, kini muncul di seluruh dunia. Seluruh unggas diketahui rentan terhadap infeksi avian influenza,

Gambar 1. Kompartemen penyebaran penyakit flu

walaupun beberapa spesies lebih tahan

burung pada populasi unggas

terhadap virus ini dibandingkan yang lain.

Dimana,  adalah Faktor kelahiran atau

Infeksi ini menyebabkan spectrum gejala

imigrasi pada populasi unggas,  adalah

yang sangat luas pada unggas-unggas, dan

unggas yang mengalami kematian alami

cepat menjadi penyakit yang fatal sehingga

dan  adalah unggas yang mengalami

mencapai kondisi epidemik yang berat . 2.2 Penyebaran Flu populasi Unggas.

Pada populasi

Burung

Melalui

Pada

dibagi

flu

namun

yaitu

menjadi

unggas

rentan

Banyaknya

terhadap

unggas

dinyatakan dengan

tersebut

flu burung pada populasi unggas sebagai

burung,

berikut :

tiga

 

kelompok. Yang pertama adalah unggas susceptible,

kompartemen

dibentuk model matematika penyebaran

penyebaran

unggas

kematian karena flu burung.

yang



sehat

  

penyakit.

susceptible

ini

=  − ( 1 = 1

 

 

+  )

 −  +   … . . 1

2.3 Penyebaran Penyakit Flu burung Pada Populasi manusia.

 . Kedua adalah

unggas infectide, yaitu unggas yang telah terinfeksi

flu

burung,

dan

Pada

dapat

penyebaran

penyakit

flu

Banyaknya

burung, populasi manusia dibagi menjadi

unggas infectide ini dinyatakan dengan  ,

tiga kelompok. Yang pertama adalah

sehingga banyaknya unggas dalam suatu

manusia susceptible, yaitu manusia yang

 =  +  , Pada

sehat namun rentan terhadap penyakit.

menularkan

penyakitnya.

populasi adalah

Studi Penyebaran Penyakit Flu Burung Melalui Kajian Dinamis Revisi Model Endemik SIRS Dengan Pemberian Vaksinasi Unggas 66


ISSN: 2338-0950

ini

menjadi sembuh (recovered  ) dengan

 . Kedua adalah

laju penyembuhan . Setelah sembuh

manusia infective, yaitu manusia yang

maka kekebalan akan berkurang dengan

terinfeksi flu burung yang telah bermutasi,

laju  dan dapat terserang lagi dalam hal

dan dapat menularkan penyakitnya pada

ini penyebaran penyakit flu burung pada

manusia

Banyaknya

populasi manusia memiliki Tipe SIRS.

manusia infective ini dinyatakan dengan

Model penyebaran penyakit flu burung

 . Ketiga adalah manusia recovered, yaitu

pada

manusia yang sembuh dan mendapat

melalui kompartemen sebagai berikut:

Banyaknya

manusia

dinyatakan dengan

sehat

susceptible

lainnya.

populasi

manusia

digambarkan

kekebalan setelah terkena flu burung. Banyaknya

manusia

recovered

dinyatakan

dengan

 ,

ini

sehingga

Banyaknya manusia dalam suatu populasi adalah  =  +  +  . Dalam

perkembangannya,

Gambar 2. Kompartemen Penyebaran Flu burung pada

populasi manusia

banyaknya populasi manusia bertambah karena faktor kelahiran atau imigrasi yang

Dimana  adalah Faktor kelahiran atau

dinyatakan dengan  . Manusia yang

imigrasi pada populasi manusia, 2 adalah

terinfeksi flu burung pada saat melakukan kontak

dengan

memberikan

manusia

infective

penambahan

terhadap

banyaknya manusia yang terinfeksi flu burung,  adalah

kematian alami,  adalah manusia yang

banyaknya manusia yang terinfeksi dengan

mengalami kematian karena flu burung,

laju sebesar 2 . Manusia susceptible dapat

 adalah manusia yang telah sembuh dari

mengalami kematian secara alami atau

flu burung namun memiliki peluang untuk

migrasi yang dinyatakan dengan  .

terjangkit kembali, dan  adalah Laju

Namun pada manusia infective selain

penyembuhan.

mengalami kematian secara alami atau

Model matematika penyebaran flu

migrasi, manusia tersebut juga mengalami kematian

karena

flu

burung

burung pada populasi manusia adalah

yang

 

dinyatakan dengan  . Setelah

terinfeksi



flu

manusia mengalami

burung,

 

manusia melakukan pengobatan sehingga

=  − ( 2 = 2

  

 

 

+  ) + 

 − (  +  + )

=  − (  +  )  …………..(2)



ISSN: 2338-0950

  

= 1

  

Penyebaran

flu

burung

  

pada

 

populasi campuran adalah penyebaran flu burung

yang melibatkan

unggas





 −  +   



=  − ( 3  + 2  +  ) +  



2.4 Penyebaran Penyakit Flu Burung Pada Populasi Campuran.





= 3





 − (  +  + )

=  − (  +  + ) =  − (  +  ) 

……….( 3 )

dan Penyebaran

manusia. Secara teori, ketika manusia

burung

populasi

terinfeksi, virus yang belum bermutasi

dalam penelitian ini akan diamati dengan

tersebut sehingga belum dapat menularkan

membuat

pada manusia sehat lainnya namun sudah

matematika

menginfeksi

penyebaranya.

Penyakit

flu

burung

yang pada

terkontak. populasi

dengan

pada

melakukan kontak dengan unggas yang

manusia

campuran

flu

kompartemen yang

vaksinasi

dan

sesuai

model dengan

III. Hasil Dan Pembahasan

campuran tanpa vaksinasi digambarkan

3.1 Hasil Penelitian

sebagai berikut: Pada

penelitian

ini

model

matematika penyebaran flu burung yang dinyatakan dalam persamaan (3) akan didesain

kembali.

Redisain

dilakukan

dengan menambahkan faktor

vaksinasi

unggas. Dengan menambahkan faktor ini perlu dilakukan kembali pengkontruksian kompartemen model sebagai berikut:

Gambar 3. Kompartemen Penyebaran Flu burung pada populasi campuran

Model matematika penyebaran flu burung pada populasi campuran adalah :   

=  − ( 1

 

+  )



ISSN: 2338-0950

  +  + 

2 = (0,0,0,

3

.  ,

Gambar 4. Kompartemen Penyebaran Flu burung pada

populasi

campuran

dengan

pemberian

vaksinasi

Dari kompartement pada gambar 4 Untuk titik kritis 1 , matriks Jakobi

dibangun model matematika penyebaran

sistem persamaan (4) memberikan :

flu burung dengan vaksinasi pada unggas

(− − )− −  − ( −  − ) ( − − )

sebagai berikut:   

=  − 1

  



(− − −  − )(− −  −  − ) − −  −  = 0.(5)

 −  −  



Nilai-nilai eigen sistem diperoleh dari persamaan (5)



= 1   −  +   − 2  

 

1 = − , 2 = −  −  , 3 =  −  ,

=  −   =  + 2

 





 





= 3

 



 +  − 3

 

6 = − −  − , 7 = − − 

 −  

Mengingat

 −   +  + 

3.3

mengingat

titik

kritis

1

3 bila

bukan titik kritis nol

maka dilakukan transformasi pada sistem

sistem

sehingga linearisasi sistem di titik kritis

tersebut pada keadaan stagnan, sehingga dua

TU (1994),

Analisis Kestabilan titik kritis 

Mengingat 2

Titik kritis sistem persamaan (4) dengan



 <  .

3.2 Analisis Kestabilan titik kritis 

diperoleh

 ,  ,  ,  dan

memberikan syarat kestabilan

=  − (  +  )  … … … ..(4)

diperoleh

 ,

senantiasa bernilai positif,

=  − (  +  + )

  



 

4 = − , 5 = − − − ,

baru (0,0,0,0,0,0,0) memberikan nilai –

=

nilai eigen untuk 2 adalah:

(0,0,0,0,0,0,0)



ISSN: 2338-0950

Persamaan (8) senantiasa terpenuhi

1 = −, 2 = −  −  , 3 =  − 

4

mengingat  ,  ,  dan  senantiasa bernilai positif. Hal ini memberikan bahwa

7 yang bernilai negatif tercapai untuk  < . Hal ini memberikan arti bahwa tingkat kematian manusia karena flu burung

( ) harus lebih kecil dari tingkat kelompok manusia yang telah sembuh dari flu burung terjangkit penyakit tersebut kembali ().

7 =

3.4

6 = - −  − ,

5 = 0,

− 2 −    − 2   −   −

Menetukan Kurva parameter

Kriteria

(  +  + )

kestabilan

titik

tetap

Nilai eigen 1, 2, 4, 6 bernilai

mensyaratkan bahwa agar sistem stabil

negatif dan 5 bernilai nol sedangkan 3

maka semua bagian real dari nilai-nilai

dan 7 benilai negatif bila

eigen harus bernilai negatif. Kriteria inilah yang dijadikan dasar dalam penentuan

 −  < 0 ………(6) dan 2 −   − 2   −  − −     

(  +  + )

kurva parameter. 1 , 2 , 4 , 5 , 6 dan 7

< 0 ……..(7)

agar senantiasa bernilai negatif . Kedua

Persamaan (6) memberikan bahwa sistem dikatakan stabil bila dimana

titik kritis memberikan syarat yang sama

 <   ,

yaitu:  >  

syarat ini dimiliki pula untuk

Dari syarat yang diberikan oleh

kestabilan sistem dititi kritis 1 . Mengingat

 , , , 

bernilai

positif

persamaan diatas dapat digambarkan kurva

maka

parameter

persamaan (7) memberikan syarat :

 =   yang menggunakan

software MAPLE-15, digambarkan dalam

−2 −   −  2   −  −  <0

bidang ,   sebagai berikut:

⟹ −2 −   −   −   −  2  <0 ⟹ −2 −   −  <  −  ⟹  − −  −  <  − 

…..(8)

Dalam hal  −  < 0 persamaan (7) diatas memberikan − −  −  <

 

 −  < 0 ………….(8) Gambar 6 Diagram parameter



ISSN: 2338-0950

Kurva parameter yang merupakan garis  =  membagi bidang ( ,  ) atas dua daerah. Tepat pada garis tersebut nilai eigen 3 dan 7

bernilai nol. Daerah I

memberikan 3 dan 7 negatif sedangkan Gambar 7 Proporsi populasi unggas untuk  =0.03 <

pada daerah II 3 dan 7 positif. 3.5

 = 0.1

Simulasi

Pada

Dengan meningkatkan tingkat vaksinasi

bagian

ini

 =   , proporsi populasi  ,  ,dan V

disimulasikan

dinyatakan dalam gambar (8).

sebuah kasus tentang penyebaran penyakit flu burung pada populasi campuran yang memuat populasi unggas dan populasi manusia, Dengan memperhatikan tingkat vaksinasi pada unggas dengan laju infeksi

1 = 0.4,

tingkat

kematian

 =0.03

sedangkan tingkat kematian karena flu burung  = 0.8. Kondisi awal rasio pada

Gambar 8 Proporsi populasi unggas untuk  =0.4 =

 =0.4

unggas kelompok suspectible, invected ,Vacinated berturut-turut adalah 1, 0.01

Bila

dan 0.1.

tingkat

vaksinasi

terus

ditingkatkan sedemikian sehingga =0.7

Pengamatan terhadap sistem untuk

tingkat vaksinasi >  =0.5 proporsi  ,  ,

nilai – nilai  dan  pada bidang ( ,  )

dan V dapat dilihat pada gambar 9.

dilakukan melalui plot terhadap kurva  ,

 dan V terhadap waktu pada gambar (7), (8), (9) dan kurva ,  ,  dan  pada gambar (10),(11),(12),(13). Bila penyakit flu burung ini tidak dicegah

dengan

melakukan

program

vaksinasi. proporsi populasi , ,  dan V ditampilkan pada Gambar (7).

Gambar 9 Proporsi populasi unggas untuk =0.7 >

 = 0.5



Pengaruh

tingkat

vaksinasi

ISSN: 2338-0950

setiap waktu ( t ) gambar tersebut

terhadap proporsi manusia susceptible,

memperlihatkan

pre-infected,

recovered

vaksinasi unggas () lebih kecil dari

disetiap waktu ditampilkan pada gambar

tingkat kematian alami ( ) maka proporsi

(9), ( 10), (11), (12), (13).

unggas infected akan

infected, dan

bahwa

bila

tingkat

monoton

naik

terhadap waktu. Bila

tingkat

vaksinasi

unggas

dinaikan hingga mencapai  =  maka proporsi unggas infected akan konstan, Sedangkan bila tingkat vaksinasi unggas terus dinaikkan hingga Gambar 10 Proporsi populasi Manusia suspectible

 >  , tingkat

proporsi unggas infected akan menurun. Hal ini menunjukkan bahwa penyebaran penyakit flu burung dapat diturunkan dengan program vaksinasi

bila tingkat

vaksinasi unggas lebih besar dari tingkat kematian alami unggas. Gambar 11 Proporsi populasi manusia pre-infected

Sedangkan

Gambar

(10)

memperlihatkan bahwa proporsi manusia susceptible

menurun

seiring

dengan

pertambahan waktu. Hal ini disebabkan Gambar 12 Proporsi populasi manusia infected

populasi

manusia

Gambar

(11)

dianggap

memperlihatkan

konstan. bahwa

proporsi manusia pre-infected semakin meningkat seiring dengan pertambahan waktu. Perubahan kecekungan pada saat t = 1 berkaitan erat dengan kondisi yang

Gambar 13 Proporsi populasi manusia recovered

diperlihatkan pada gambar

interval waktu t (0,1) belum terdapat

3.5 Pembahasan

Gambar memperlihatkan

(12) dalam

(7),

(8),dan

Proporsi

manusia yang terinfeksi. Dalam interval

(9)

waktu

unggas

selanjutnya

proporsi

manusia

terinfeksi meningkat sampai t = 4,944

susceptible, infected dan vacinated untuk



setelah waktu tersebut populasi manusia

Kestabilan kedua titik kritis tersebut

yang terinfeksi akan menurun. Gambar

(13)

ISSN: 2338-0950

membutuhkan

memperlihatkan

syarat

tingkat

kematian

manusia karena flu burung (   ) harus lebih

peningkatan populasi manusia recovered

kecil dari

tingkat kelompok manusia yang

sampai waktu t = 6.111, Setelah itu

telah sembuh dari flu burung terjangkit

proporsi ini semakin menurun karena

penyakit kembali ( ).

populasi manusia diasumsikan konstan. DAFTAR PUSTAKA 3.6

Kesimpulan

Rahmalia. D . Permodelan matematika dan analisis stabilitas dari penyebaran penyakit flu burung .(http:/digilib. Its. ac.Id/public/ ITS-13409Paper.Pdf.), diakses 03 maret 2012.

Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan,maka dapat disimpulkan bahwa : 1.

Penyebaran penyakit flu burung dapat diturunkan dengan program vaksinasi

bila

tingkat

Tu, P. N. V. 1994. Dynamical System An Introduction with Application in Economics and Biologi, SpringerVerlag, Germany.

vaksinasi

unggas lebih besar dari tingkat kematian alami unggas. 2.

Model

endemik

SPIRS

WHO, (http://www.who.int/diseasecontrol_emerg encies/EPR_DCE_2009_1.pdf), diakses 25 Januari 2012

pada

populasi campuran adalah      



   

3.

 −  −  







=  −  

= 3

 

 

 +  − 3

 

 −  

 −   +  + 

=  − (  +  + )

  



= 1   −  +   − 2  

=  + 2









 

=  − 1

=    − (   +  )  

Model tersebut memiliki dua titik kritis


jurnal flu burung

Recommend Documents