Introducción:
En análisis numérico numérico , la integrac integración ión numéric numérica a constitu constituye ye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el térmi término no se usa usa a vece veces s para para descr describi ibirr algori algoritm tmos os numé numéric ricos os para para resol resolve ver r ecuaciones diferenciales. diferenciales . El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) cuadratura ) es más o menos sinónimo de integración numérica numérica,, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral ( integral múltiple) múltiple ) también se utilizan. Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica. Es decir, integrales que requerirían de un gran conocimiento y manejo de matemática avanzada pueden ser resueltas de una manera manera más sencilla sencilla mediant mediante e método métodos s numéric numéricos. os. Incluso Incluso existen existen funcione funciones s integrab integrables les pero pero cuya cuya primitiv primitiva a no puede puede ser calculad calculada, a, siendo siendo la integrac integración ión numérica de vital importancia. La solución analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta, mientras que la solución numérica nos daría una solución aproximada. aproximada. El error de la aproximación, aproximación, que depende del método que se utilice y de qué tan fino sea, puede llegar a ser tan pequeño que es posible obtener un result resultado ado idénti idéntico co a la soluc solució ión n analí analític tica a en las las prime primeras ras cifras cifras decim decimale ales. s. A continuación veremos unos elementos de integración como son las reglas del trapecio y reglas der trapecio compuesto.
ELEMENTOS DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA A menudo es necesario evaluar la integral definida de una función que no tiene una antiderivada explícita, o cuya antiderivada no es fácil de obtener; motivo por el cual recurrimos a la integración numérica, la cual a partir de aproximaciones tomando como punto de partida la noción de área bajo la curva, obtenemos un resultado que nos acerque al valor deseado (área).
Inicialmente nos acercaremos por aproximación de funciones constantes (Riemann), luego por aproximaciones de funciones lineales (Trapecio), a continuación realizaremos una aproximación por funciones cuadráticas (Simpson) y generalizando por funciones cúbicas o de orden superior (Newton-Cotes) y para finalizar aproximaremos con un método que es combinación de trapecio y extrapolación de Richarson (Romberg), vale la pena aclarar que son únicamente cuatro métodos propuestos, cuando en la literatura existen muchos métodos para lograr nuestro objetivo. APROXIMACION POR FUNCIÓN CONSTANTE
Como dijimos anteriormente, este método es conocido como aproximación de RIEMANN para lo cual se utiliza la función constante, observemos la gráfica y así definiremos lo necesario para lograr la aproximación:
Vamos a hallar el valor bajo el área de la función y = f ( x) en el intervalo a ≤ x ≤ b ; tomemos un rectángulo representativo y hallémosle su área; Vale la pena aclarar que aquí se dibujaron los tres tipos de aproximaciones por defecto ( As ) por exceso ( A s ) y aproximación por punto medio ( la cual no trataremos), este método de Riemann lo que nos da es un intervalo en donde se encuentra la raíz, el cual es A s
≤ Area ≤ A . s
Como observamos este rectángulo tiene de base
∆ x = xi − xi −1
y su altura esta
determinada como f ( a + xi−1 ) ; es decir su área es f (a + xi−1 )∆ x , sumando todos los rectángulos, haciendo el número de rectángulos infinitos, obtenemos: n −1
lim n→∞
∑ f (a + x i =0
i −1
)∆ x , reescribiéndolo en términos de
∆ x
tenemos:
n −1
lim n→∞
∑ f (a + (∆ x)(i − 1))∆ x Que es la aproximación del área por defecto; y i =0 n
lim n→∞
∑ f (a + (∆ x)i)∆ x Que sería la aproximación por exceso. i =1
Aquí en Riemann se habla del error normalizado con el número de cifras significativas que se desee.
Ya que la noción de limite es un concepto matemático, netamente analítico, no lo podemos considerar en el caso numérico, (una maquina no se puede acercar tanto como quiera a un número real), consideramos el n como un numero finito.
A continuación realizaremos un ejemplo en donde el número de rectángulos es finito; hallaremos el intervalo donde se encuentra el valor del área bajo la curva:
Ejemplo: Hallar una aproximación del área bajo la curva de f ( x) = x + 1 en el intervalo 1 ≤ x ≤ 3 ; lo primero que haremos será hallar los valores de las áreas de los rectángulos por defecto y luego por exceso, como sigue:
Generaremos la tabla que relaciona las aproximaciones por defecto y por exceso y su error normalizado, y luego mostraremos como se logran estos resultados con sumatoria;
Por defecto se generarían así los resultados:
2
2
2
2
2 2
2
2
2
4
Si n=1= 1 + 0 + 1 = 6 = 0.66 6 6
14 = 0.54 6
Si n=2 = 1 + 0 + 1 + 1 + 1 6 + 1 = 6 ( 2) + 6 6
2 2
14 + 16 = 0.38 6 6
Si n=3 = 1 + 0 + 1 + 1 + 1 6 + 1 + 1 + 2 6 + 1 = 6 ( 2) + 6 6
Y así sucesivamente hasta hallar el número de cifras significativas como lo muestra la tabla.
Por exceso se generarían así los resultados:
2
2
2
2
7
Si n=1= 1 + 1 + 1 = 9 = 0.77 6 6
2 2
14 = 5 = 1.666 6 3
Si n=2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 6 + 1 = 6 ( 2) + 6 6
Si
n=3
=
2 2 2 2 2 14 16 = 8 = 2.666 + 1 + 2 + 1 + 1 + 3 + 1 = 1 + 1 + 1 ( 2) + + 6 6 6 6 6 6 6 3
Iteración Aproximació
ε n
n 1 2 3 4 5 6
por defecto 0.66 1.44 2.33 3.33 4.44 5 66
Aproximació n por exceso
0.54 0.38 0.30 0.25 0 21
0.777 1.666 2.666
ε n
Lo cual indica en que intervalo se encuentra el área pedida, este intervalo para n=3 seria 2.33 ≤ Area ≤ 2.66
Observamos que si deseamos un número de
cifras significativas grande, la
convergencia es lenta
NOTA: En realidad las Sumas de Riemann no dan una aproximación de la integral sino que dan una sucesión de intervalos en los cuales está el valor de la integral donde el ancho de estos intervalos va disminuyendo a medida que se hace grande el n. Falta aclarar si el ejemplo anterior lo hizo por encima o debajo y hacer el otro para mostrar que los intervalos en efecto van disminuyendo su ancho (diametro) “en esencia son circunferencias”
Ahora analizaremos el caso en el que el número de rectángulos es infinito; tomaremos la formula a la que llegamos para generalizar el área en este método
2 2 2 n −1 2i = lim ∑ f (a + (∆ x )i)∆ x = lim ∑ f 1 + i lim ∑ 1 + + 1 n→ ∞ n→∞ i =0 i =0 n n n→∞ n i =0 n n −1
n −1
n −1 2 n −1 2i = lim 2 2i (n + 1)(n + 2) n lim ∑ 2 + ∑ 2 + n→ ∞ n n →∞ n n n 2 i =0 i = 0
APROXIMACION POR FUNCIÓN LINEAL
Este método también es conocido como el método del trapecio
REGLA DEL TRAPECIO
El método del trapecio utiliza la aproximación por medio de una función lineal; Para la deducción de la fórmula del trapecio podemos tomar dos caminos uno es por medio de áreas y el otro es por medio del polinomio lineal interpolante de LaGrange.
Iniciaremos con la aproximación por medio de áreas:
Tomemos un trapecio y hallémosle el área.
El área del trapecio es
( ( f ( xi +1 ) + f ( xi ) ) 2
* h dond h = xi +1 − xi .
Si quisiéramos hallar la aproximación del área bajo la curva sumariamos todos los trapecios inscritos (circunscritos) en f ( x ) , así obtenemos:
f ( x0 ) + f ( x1 ) f ( x1 ) + f ( x2 ) f ( x2 ) + f ( x3 ) f ( xn −1 ) + f ( xn ) h h + h + h + + 2 2 2 2
Area =
Reordenando obtenemos: Area =
h 2
[ f ( x0 ) + f ( x1 ) + f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) + + f ( xn −1 ) + f ( xn )]
sumando obtenemos Area =
h 2
[ f ( x0 ) + 2 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + 2 f ( x3 ) + + 2 f ( xn −1 ) + f ( xn )]
que
Area =
h
f ( x0 ) + 2∑ ( f ( xi +1 ) − f ( xi ) ) + f ( x n ) 2 i =1 n −1
Con respecto al error de este método lo trataremos mas adelante.
Ahora utilizaremos la aproximación utilizando el polinomio lineal interpolante de LaGrange; Por lo tanto, utilizando el primer y segundo polinomios de LaGrange con nodos igualmente espaciados nos da la regla del trapecio. b
∫ f (x) dx , sean
La regla del trapecio, nos ayuda a aproximar la integral de la forma x 0
= a , x1
= b, h= b-a
y usaremos el polinomio lineal de LaGrange:
a
P 1 (x) = ( x - x 1 ) f (x0 ) + ( x - x 0 ) f (x1 ) ( x 0 - x 1 ) ( x 1 - x 0 ) Luego, b
(a.)
x1
∫ f (x) dx = ∫ [ a
( x - x 1 ) f (x0 ) + ( x - x 0 ) f (x1 ) ] dx
x0
( x - x ) 0 1
( x - x ) 1 0
x1
+ 1 2
∫
f ‘’ (
ξ
(x))( x - x 0 )( x - x 1 )dx
x0
Dado que ( x - x 0 )( x - x 1 ) no cambio de signo en
[ x0 ,
x1 ] , podemos aplicar el
teorema de valor medio ponderado de las integrales al termino de error a fin de obtener, para algún
ξ
en ( x 0 , x1 ):
x1
x1
∫ f ‘’ ( ξ
(x))( x - x 0 )( x - x 1 )dx = f ‘’ (ξ ) ∫ ( x - x 0 )( x - x 1 )dx
x0
x0 x1
= f ‘’( ξ )[ x - ( x 1 + x 0 ) x 2 + x 0 x 1 x 3
3
2
]
x0
= - h 3 f ‘’ (ξ ) 6 En consecuencia, la ecuación ( a.) implica que b
∫ f (x) dx = [
x1
( x - x 1 ) f (x0 ) + ( x - x 0 ) f (x1 ) ] 2
2
- h 3 f ‘’ (ξ )
a
2( x - x ) 0 1
2 ( x - x ) 1 0
x0
12
( x1 - x 0 ) [ f ( x0 ) + f ( x1 ) ] - h 3 f ‘’ (ξ )
=
2
12
Puesto que h = x 1 - x 0 , tenemos la siguiente regla:
Regla del Trapecio: b
∫ f (x) dx = a
h 2
[ f ( x0 ) + f ( x1 ) ] - h 3 f ‘’ (ξ ) 12
Esta fórmula se llama regla del trapecio porque, cuando f es una función con b
valores positivos, aproximamos
∫ f ( x)dx
por el área de un trapecio, como se
a
muestra en la figura
Como el termino de error de la regla del trapecio contiene f’’, la regla da el resultado exacto cuando se aplica a una función cuya segunda derivada sea cero, es decir, cualquier polinomio de grado 1 o menos.
Cota de error para la regla del trapecio:
ET
≤
( b - a )3 M en donde M ≥ f’’(x) 12 Si f’’ es continua y M es cualquier cota superior para los valores de (f’’) en [ a,b ]
Ejemplo: Hallar una aproximación del área bajo la curva de f ( x) = x + 1 en el intervalo 1 ≤ x ≤ 3 ;con n=6; lo primero que haremos será hallar los valores de las áreas de los trapecios como sigue: 3 −1 6 2
Area =
Area =
Area = Area
f (1) + 2 f (1 + 1 ) + 2 f (1 + 2 ) + 2 f (1 + 3 ) + 2 f (1 + 4 ) + 2 f (1 + 5 ) + f (3) 3 3 3 3 3
1
(1 + 1) + 2(1 +
6
+ 1) + 2(1 + 2 + 1) + 2(1 + 3 + 1) + 2(1 + 4 + 1) + 2(1 + 5 + 1) + (3 + 1) 3 3 3 3 3
1
1
7 8 9 10 11 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 4) 6 3 3 3 3 3
=6
Métodos numéricos - Regla del trapecio compuesta en Matlab Un tema de Integración Numérica El método de integración numérica basado en Newton-Coutes, consiste en el ajuste de un polinomio a un conjunto de puntos y luego, integrarlos. La integración da como resultado la Regla de Trapecio Y Simpson 1/3. Pero, la Regla de Trapecio es la mejora que busca una aproximación mayor.
Y la Regla de Trapecio Compuesta está dada por:
Para programar la regla, los datos de entrada son a,b,n,f y como resultado, la aproximación. Código Matlab de la Regla de Trapecio Compuesta: clc clear f='exp(x^2)'; a=0; b=1; n=4;
% f función % a,b intevalo % n numero partes disp('Funcion: '); f disp('De [a: '); a disp('Hacia b]: '); b f=inline(f); h=(b-a)/n; aprox=f(a)+f(b);
for i=1:n-1 x=a+i*h; aprox=aprox+2*f(x); end aprox=(h/2)*aprox;a=0; disp(aprox); Para probar la aproximación se ingresó: exp(x^2) en un intervalo [a,b] donde a=0 y b=1 la aproximación es: 1.49067886169886
Conclusión:
Estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico exacto o aproximado como solución a un problema matemático, y los procedimientos "analíticos", es decir, las manipulaciones algebraicas, teoría de los elementos de integración, como el método de las reglas de trapecio y trapecio compuesto. Son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente de ejercicios prácticos. Cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de obtener soluciones a estos problemas.
