Ejercicios Resueltos y Ejemplos Complementarios para el Examen de Admisión BUAP 2014 para Carreras de Área Ingeniería y Ciencias Exactas
ejerciciosyexamenes.com
1.- Si A es una matriz 2 3 -1 a) A es una matriz 2 3 -1 b) A es una matriz 2 2 -1 c) A es una matriz 3 2 d) Ninguna de las anteriores •
•
•
•
2.- Si A(3 4) y queremos multiplicar A B: a) el número de filas de B tiene que ser 3. b) el el númer número o de colu columna mnass de B es 4. c) el número de filas de B es 4. d) Ninguna de las anteriores •
•
1 - 1 0 3.- Dada la matriz - 1 2 1 1 1 1 a) el rango de la matriz es 2. b) el el rang rango o de la mat matri rizz es 3. c) no tiene matriz inversa d) Ninguna de las anteriores
ax + 6y = b
4.- El sistema
3x + 3y = 1
a) es siempre compatible b) si si b=2 b=2 es com compat patibl iblee para para cual cualqui quier er valo valorr de a c) para a=6 y b=0 el sistema es compatible d) Ninguna de las anteriores
x + ay = 0 5.- El sistema homogéneo donde a 0; b 0 bx - 2y = 0 •
•
a) Tiene infinitas soluciones si a = b b) Ti Tien enee sola solame ment ntee la la solu soluci ción ón tr triv ivia iall par paraa cual cualqu quie ierr val valor or de a y b c) No tiene solución si a=-2/b d) Ninguna de las anteriores 6.- Sean A, B M3 3. Se verifica la propiedad: a) A.B = B. A 2 2 2 b) (A+B) (A+B) = A +2 AB + B t t c) A.B = B .A d) Ninguna de las anteriores •
•
1 - 1 2 1 7.- El rango de la matriz 0 a - 3 2 es: 1 2 1 a a) 2 si a=3 c) 2 si a=2
b) 3 para cualquier valor de a d) Ninguna de las anteriores
ejerciciosyexamenes.com
x + 2z = 1 8.- Dado el sistema: 2x + 4z = 3 y + z = 3 a) no tiene solución b) ti tien enee inf infin init itas as so solu luci cion ones es c) tiene una única solución 9.- ¿Qué valor debe tomar a para tener infinitas soluciones? a x - y + 2z = 0
2x + y + 3z = 0 - 3y + z = 0
a) a = 0 c) a = 1
b) a 0 d) Ninguna de las anteriores •
ax + 3y - z = 2 10.- El sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: ay + 2z = _ a x + 4y + z = 1 a) siempre es compatible c) co con a= a=1 ti tiene so solución ún única
b) con a=6 es incompatible d) co con a= a=1 no no ti tiene so solución
11.- A y B son dos sistemas de ecuaciones lineales de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que sólo se distinguen en el vector de términos independientes, entonces: a) si A es incompatible entonces B es incompatible b) si si A es es compa compati tible ble det determ ermina inado do ento entonce ncess B es es compa compati tibl blee dete determ rmin inado ado c) si A es compatible indeterminado entonces B es compatible indeterminado d) Ninguna de las anteriores
ax - y + 2z = 0 12.- Dado el sistema de ecuaciones: x + y - az = 1 x + 3y - 4z = 2 a) si a=1 el sistema no tiene solución b) si si a 1 el sistema no tiene solución c) el sistema tiene solución única para cualquier valor de a d) si a=1 el sistema tiene infinitas soluciones •
13.- Dado el determinante
a1
b1 + b2
, es lo mismo que:
c1 d 1 + d 2 a)
a1
b1
+
a1
c1 d 1 c)
c1 d 1 + d 2 a1
b1 + b2
b2
b)
c1 d 2 d)
a1
b1
+
a1
b2
c1 d 1 c1 d 2 1 a1 + b1 + b2 1 c1 + d 1 + d 2
ejerciciosyexamenes.com
3x - y + az = 2 14.- El sistema x - 2y + 3z = 0 2x + y - 2z = - 1 a) siempre es incompatible c) si a=1 es incompatible
b) siempre es compatible d) a 1 es compatible •
15.- Un sistema homogéneo de 10 ecuaciones con 20 incógnitas: a) es siempre compatible determinado b) es siempre incompatible c) es siempre compatible indeterminado d) Ninguna de las anteriores 16.- Un sistema homogéneo de 5 ecuaciones lineales con 2 incógnitas: a) Puede tener infinitas soluciones b) Ti Tien enee la la sol soluc ució ión n tri trivi vial al co como mo ún únic icaa sol soluc ució ión n c) Tiene 5 soluciones, una por cada ecuación d) No tiene ninguna solución 17.- El sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas: 3x - y + 2z = 1
x + 3y + 2z = 1 2x - 4y + az = - 2
a) Si a=0 entonces tiene infinitas soluciones b) Si Si a 0 entonces tiene una única solución c) Si a=0 no tiene solución d) Siempre tiene una única solución •
a
18.- Si A =
b
, b 0 y A2=0. Entonces: c d •
a) a= a=d d b) c= c=0 0 c) si b=1
•
2
c=-a
d) si a=0
•
c=1
ax + y + z = 1 19.- Sea x + ay + z = a x + y + az = a 2 a) r(A)=3
b)r(A*)=3
x + 2y - 3z = 1 20.- Sea - 2x + (a - 5)y + 9z = -2 x + 2ay + (a - 1)z = 1 a) si a 4 el sistema es incompatible b) si si a 1 y a 4 el sistema es determinado c) si a=1 el sistema es incompatible d) el sistema es determinado •
•
•
c) si a=1 r(A)=2
d) si a=0 r(A*)=3
ejerciciosyexamenes.com
1 0 1 21.- Sea la matriz A = 0 1 1 0 0 1 a) tiene rango 2 b) es invertible c) es diagonal d) ninguna de las anteriores
1 0 . Su inversa es: 0 1 - 1 0 b) B- 1 = 0 1
22.- Sea la matriz B =
1 0 0 1 1 0 c) B- 1 = 0 - 1 a) B- 1 =
d) ninguna de las anteriores
a 1 -1 2 a
23.- Dada la matriz A = a) si a=-1, rang(A)=2 c) si a=1, rang(A)=1
b) si a=0, rang(A)=2 d) ninguna de las anteriores
3 x + 2 y -
24.- El sistema
z = 0
6 x + 4 y - 2 z = 0
a) es incompatible b) es compatible determinado y su solución es x=y=z=0 c) es compatible indeterminado d) ninguna de las anteriores
2 1 - 1 ? 0 3 4
25.- ¿Tiene sentido el determinante de la matriz A = a) sí y su valor es 6 c) sí y su valor es 7
b) no d) ninguna de las anteriores
ax + y - z = 0 26.- Sea el sistema x + 3y - 2z = 0 3x + 6y - 9z = 0 a) para cualquier valor del parámetro tiene infinitas soluciones b) cualquiera que sea "a" no tiene solución c) tiene solución única d) ninguna de las anteriores 27.- Sean A y B dos matrices y M=A.B. Se verifica: a) Si A tiene una fila nula, entonces M tiene una columna nula b) Si A tiene una columna nula, entonces M tiene una columna nula
ejerciciosyexamenes.com
c) Si B tiene una columna nula, entonces M tiene una columna nula d) Si B tiene una fila nula, entonces M tiene una fila nula
x 1 1 28.- El rango de la matriz 2 x - 1 , x 0, y 0 3 x 0 •
•
a) es 2 para todo x b) es 3 si x=1 c) es 2 si x 1 d) ninguna de las anteriores •
0 29.- El determinante
a) 0
1 1
1 0
1
1
1
1
1 0
1
1
1 1 0 c) 3
b) 1
tiene el valor:
d) ninguna de las anteriores
x + 3y + 2z = 4 30.- El sistema 2x - y + 3z = 1 x - 3y + z = α a) es compatible indeterminado para á=-2 b) es compatible determinado c) es incompatible para todo á d) ninguna de las anteriores
1 1 0 5 31.- Sea A = 1 0 1 . Entonces A es: 0 1 1 11 11 10 5 5 4 a) A5 = 11 10 11 b) A5 = 5 4 5 10 11 11 4 5 5 1 1 0 5 c) A = 1 0 1 d) ninguna de las anteriores 0 1 1 x - 3z = 1 32.- Dado el sistema 2x - 6z = 3 y + z = 2 a) no tiene solución c) tiene infinitas soluciones
b) tiene solución única
ejerciciosyexamenes.com
33.- ¿Qué valor debe tomar á para que este sistema tenga infinitas soluciones? x + 3y - 2z = 1 α
x + y + 2z = 0 x - 2y + 4z = 0
a) á=0
b) á=1 c) á 0 •
d) ninguna de las anteriores
1 1 2 34.- La inversa de la matriz A = 1 0 2 es: 1 1 1 - 2 1 1 1 0 0 -1 -1 a) A = 1 - 1 0 b) A = 0 1 0 2 0 1 0 0 1 - 2 1 2 -1 c) A = 1 - 1 0 d) ninguna de las anteriores 1 0 - 1 x + 35.- Sea 2 x + 2x +
y
− z = 1
y
+ z = 5
α
y = 5 a) Si á=0, entonces existe solución única b) Si á=2, existen infinitas soluciones c) Es incompatible para todo á d) Ninguna de las anteriores α
1 4 0 36.- La matriz A = 3 - 2 0 0 1 2 a) tiene rango 1 c) es invertible
b) tiene rango 2 d) ninguna de las anteriores
x + z = 0 37.- El sistema - 2x + 3y = 1 3y + 2z = 1 a) tiene solución única b) tiene infinitas soluciones c) no tiene solución 38.- ¿Para qué valores del parámetro "k", el sistema es compatible indeterminado?
ejerciciosyexamenes.com
k x = 0 x + y + 2z = 0 x - 2y - 3z = 0 a) k=0 b) k=1 c) k 0 d) ninguna de las anteriores •
39.- Un sistema homogéneo de m ecuaciones lineales y n incógnitas: a) siempre es incompatible b) nunca es incompatible c) nunca es compatible determinado d) ninguna de las anteriores
40.- el valor del determinante
a) -4
b) 0
1
1
0
3
2
-1
2
1
1 -1
3
2
0 2 c) 4
-1
3
es:
d) no se puede calcular
2 1 es: 3 2 2 - 1 b) - 3 2
41.- La inversa de la matriz
1 - 1 0 1 2 1 c) 3 2 a)
d) ninguna de las anteriores
42.- ¿Para qué valores de á el sistema es incompatible? α x + y - z = 1
x + 2y + z = 0 3x + 3y = 1
a) para todo á c) para á=1
b) para á=2 d) ninguna de las anteriores
a
b
c
43.- Si d
e
f = 3 , entonces 2d 2e 2f es:
g h a) 24
2a 2b
i b) 0
2g 2h
2i d) 6
c) 3
44.- Sean A y B M3 3 a) A.B=B.A 2 2 c) (A+B).(A-B)=B -A •
2c
•
2
2
2
b) (A-B) = A -2AB+B d) ninguna de las anteriores
a
b
c
45.- Si 3
0
3 = 2 , el determinante 3a + 1 3b + 2
1 2
-1
3a
a +3
3b
b
3c 3c - 1 toma el valor: c+ 3
ejerciciosyexamenes.com
a) 6
b) 0
c) 2
d) -6
0 a a 46.- El rango de la matriz 1 a - 1 a es: 1 0 1 a) 3 para todo a c) 1 para a=0
b) 2 para a=1 d) ninguna de las anteriores
3 x + 3 y -
2z = 0
3 z = 0
47.- El sistema
x + 5 y
-
a) es incompatible b) es compatible determinado y su solución es x=y=z=0 c) es compatible indeterminado d) ninguna de las anteriores
1 0
48.- ¿Tiene sentido el determinante de la matriz A =
1
? 0 2 4
a) sí y su valor es 2 c) Sí y su valor es 4
b) No d) ninguna de las anteriores
49.- Sean A y B dos matrices y M=A.B. Se verifica: a) M sólo existe si A y B son matrices cuadradas b) M sólo existe si el número de filas de A coincide con el número de filas de B c) M sólo existe si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B d) M existe siempre 50.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? a) Si a una fila de un determinante se le suma otra fila el determinante no varía b) Si los términos de la diagonal principal de un determinante son todos 0, el determinante es nulo c) Si intercambiamos la posición de dos filas de un determinante, éste cambia de signo d) El determinante de una matriz y el de su traspuesta son iguales
ejerciciosyexamenes.com
Soluciones: 1-d, 2-c, 3-b, 4-b, 5-a, 6-d, 7-a, 8-a, 9-c, 10-b, 11-b, 12-d, 13-a, 14-a, 15-d, 16-a, 17 b, 18-c, 19-d, 20-b, 21-b, 22-a, 23-b, 24-c, 25-b, 26-d, 27-c, 28-b, 29-d, 30-b, 31-a, 32-a, 33d, 34-c, 35-a, 36-c, 37-b, 38-a, 39-b, 40-c, 41-b, 42-d, 43-a, 44-d, 45-d, 46-b, 47-c, 48-b, 49c, 50-b
GEOMETRIA ANALITICA- GUIA DE EJERCICIOS DE LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA
PROF. ANNA LUQUE
Ejercicios resueltos de la Recta 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4. - 1) y tiene un ángulo de inclinación de 135º. SOLUCION: Graficamos
La ecuación de la recta se busca por medio de la siguiente expresión;
Dicha ecuación es conocida como La Ecuación de la recta con un punto dado. Como conocemos el punto P(4,-1) podemos calcular dicha recta, pero también es necesario determinar el valor de la pendiente m, la cual calcularemos de la siguiente forma:
m= Tg (135º); donde m= -1 Sustituimos los valores en la expresión y obtenemos;
Y- (-1)= -1(X-4); Y+1= -X+4; Y = - X - 3
En forma implícita
X + Y – 3 = 0
PROF. ANNA LUQUE
GEOMETRIA ANALITICA- GUIA DE EJERCICIOS DE LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA
2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (- 3. I) y es paralela a la recta determinada por los dos puntos (0, - 2) y (5, 2) . SOLUCION: Como se conoce un punto de la recta requerida, solamente es necesario obtener su pendiente que, según sabemos, es la misma que la de la recta paralela L 1 que pasa por los dos puntos (0. - 2). (5, 2)
=
La pendiente de L 1 es,
La ecuación de la recta a utilizar Y- 1= (X+3) 4x-5y+17=0
3. Observa las siguientes ecuaciones: x = –3 + 3t y = 2t Comprobar que, dando a t los valores 0, 1, 3, 4, 5, se obtienen puntos que están todos sobre una recta ¿Qué método está aplicando para trazar la recta? Solución: El método a aplicar es el de Tabulación. Es por ello que tabulamos los valores dados de t y sustituyendo en las ecuaciones anteriores obtenemos las coordenadas de cada uno de ellos: Ejemplo: Para t=0 x = –3 + 3(0)= -3 y = 2(0)= 0
(-3, 0)
Aplicando el mismo procedimiento para cada uno de los valores dados de t, obtenemos la siguiente información:
t (x,y)
0
1
3
4
5
(-3, 0)
(0,2)
(6,6)
(9,8)
(12,10)
GEOMETRIA ANALITICA- GUIA DE EJERCICIOS DE LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA
PROF. ANNA LUQUE
Graficamos los valores:
Por medio de la gráfica podemos demostrar que los puntos obtenidos si están todos sobre una misma recta.
4. Halla la ecuación implícita de la recta: x = 5 – 3t y = –1 + 2t
Solución: Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3, y las sumamos: 2 x = 10 – 6t 3y = –3 + 6t ___________ 2 x + 3y = 7 La ecuación implícita es: 2x+3y -7 = 0
GEOMETRIA ANALITICA- GUIA DE EJERCICIOS DE LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA
PROF. ANNA LUQUE
5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el siguiente par de puntos ( –7, 11), (1, 7) Solución: Por medio de los puntos dados buscamos el valor de la pendiente aplicando la formula correspondiente y obtenemos que: m= -1/2 Luego sustituimos los datos en la fórmula de la ecuación de la recta dado dos puntos, y obtenemos:
Tomamos el punto (1,7)
y - 7= -1/2 (x-1)
y-7 = -1/2x +1/2
y= -1/2x +15/2
en forma implícita tenemos: x + 2y – 15 = 0
6. Hallar dos puntos de la recta y = –3x + 4 y Calcular a partir de ellos su pendiente, y comprueba que es la que corresponde a esa ecuación. Solución: Damos valores arbitrarios a x y obtenemos: Si x = 0 → y = 4 → punto A (0, 4) Si x = 1 → y = 1 → punto B (1, 1) Calculando la pendiente con los puntos calculados anteriormente se tiene que m = –3 Efectivamente, podemos comprobar que la pendiente es la de la recta dada y = –3 x + 4.
7. Hallar la distancia de Q ( –3, 4) a la siguiente recta: 2 x + 3y = 4 Solución: Aplicando la ecuación de la distancia ya conocida obtenemos que; (igualamos a cero la ecuación)
2 x + 3y – 4 = 0
r
d (Q , r ) = (2√13)/13 ≈ 0,55
La distancia entre el punto Q (-3,4) y la ecuación llamada r, es de aproximadamente 0, 55.
GEOMETRIA ANALITICA- GUIA DE EJERCICIOS DE LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA
PROF. ANNA LUQUE
EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicios de la Recta 1. Dibujar la recta con ecuación y = 4/5X +3. 2. Un punto dista siete unidades del origen del sistema de coordenadas y la pendiente de la recta que lo une al punto A(3,4) es 1/2. Determinar las coordenadas del punto. 3. Un triángulo equilátero tiene su base en el eje de las x y su vértice en el punto C(3,5). Determinar las ecuaciones de sus lados. 4. Una diagonal de un cuadrado une los vértices A(1,2) y C(2,5). Obtener las ecuaciones de los lados del cuadrado. NOTA: Tomando en consideración que cada lado del cuadrado forma un ángulo de 45° con la diagonal. 5. Trazar la recta de siguiente ecuación implícita : 3 x + 5 y - 15 = 0 6. Hallar el punto de intersección de las rectas: 6 x - 5 y = - 27
8x+7y=5 7. Determinar la pendiente de la recta, cuya ecuación es y= mx+5, para que pase por el punto de intersección de las rectas, representadas por las ecuaciones y = -3x- 5, y = 4x + 2. 8. La ordenada al origen de una recta es 7. Determine su ecuación sabiendo que debe ser perpendicular a la recta 4 x + 9 y - 27 = 0 . 9. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-3, -5) y es paralela a la recta y = - 2/3x + 9 10. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas: 5 x - 3 y = - 2 y 8 x + 7 y = 44 y es perpendicular a la recta que está definida por la ecuación: y = 2/3x + 1 11. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,10) y forma un ángulo de 45° con la recta y = 3/2x 12. La diagonal menor de un rombo mide lo mismo que su lado y tiene por extremos los puntos A( –3, –2) y C (1, 2). Halla los vértices B y D y el perímetro del rombo.
GEOMETRIA ANALITICA- GUIA DE EJERCICIOS DE LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA
PROF. ANNA LUQUE
Ejercicios Resueltos de la Circunferencia 1. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia representada por la ecuación: x 2 + y 2 - 16 x + 2 y + 65 = 0 . Solución: Aplicando completando trinomios cuadrados perfectos obtenemos: ( x² - 16 x + 64 - 64 ) + ( y² + 2 y + 1 - 1 ) + 65 = 0 Al reducir la expresión obtenemos la ecuación de la circunferencia ( x - 8 )² + ( y + 1 )² = 0 Por tanto, el centro y el radio son:
C(8,-1);a=0
2. Determinar la ecuación de una circunferencia que pasa por el punto P(1,0) n tr ic a a la representada por la ecuación: , sabiendo que es c o n c é x²+ y² - 2 x - 8 y + 13 = 0 . SOLUCIÓN Completando los trinomios cuadrados perfectos y reduciendo, tenemos: ( x² - 2 x + 1 - 1 ) + ( y² - 8 y + 16 - 16 ) + 13 = 0 ( x - 1 )² + ( y - 4 )²= 4 De la expresión anterior encontramos que el centro es C(1,4), es decir h = 1 y K = 4. Como a² =4, entonces a = 2. El radio a de la circunferencia buscada se calcula como la distancia del punto P al centro C. a = P C = ( 1 - 1 )²+ ( 0 - 4 )² = 4 Por tanto, a² =16. Sustituyendo este valor y los de h y k en la fórmula (I), encontramos la ecuación de la circunferencia pedida:
( x - 1 )² + ( y - 4 )²= 16
GEOMETRIA ANALITICA- GUIA DE EJERCICIOS DE LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA
PROF. ANNA LUQUE
3. El d iám etr o de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos: A(-8,-2) y B(4,6) . Obtener la ecuación de dicha circunferencia . SOLUCIÓN El centro es el punto medio del diámetro, cuyas coordenadas se obtienen aplicando las fórmulas para el punto medio de un segmento, en este caso A B:
C (h ,k) k=2 h = -2 Por tanto, el centro es C(-2,2). El radio es la distancia del centro C a cualquiera de los extremos del d iám et ro , es decir:
radio = C B ² = ( - 2 - 4 )² + ( 2 - 6 )² = 36 + 16 = 52 , por lo tanto, C B ² = 52 = radio La ecuación de la circunferencia pedida es:
( x + 2 )² + ( y - 2 )² = 52. 4. Halla la ecuación de la circunferencia de centro ( –5, 12) y radio 13. Comprueba que pasa por el punto (0, 0). Solución: Aplicando la formula de la circunferencia obtenemos: ( x + 5)² + (y – 12)² = 169 x ² + y ² + 10 x – 24y = 0
Si sustituimos x = 0, y = 0 en la ecuación, esta se verifica. Por tanto, la circunferencia pasa por (0, 0).
5. Comprobar que la recta 2 y + x = 10 es tangente a la circunferencia x² + y² - 2 x - 4 y = 0 y determinar el punto de tangencia . SOLUCIÓN: Necesitamos hacer simultáneas las dos ecuaciones. Para esto, despejamos a x de la primera ecuación:
x = 10 - 2 y
GEOMETRIA ANALITICA- GUIA DE EJERCICIOS DE LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA
PROF. ANNA LUQUE
Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, desarrollando y simplificando, se obtiene: (10 - 2 y )² + y² - 2 ( 10 - 2 y ) - 4 y = 0 100 - 40 y + 4 y² + y² - 20 + 4 y - 4 y = 0 5 y² - 40 y + 80 = 0
y² - 8 y + 16 = 0 Resolviendo para y: Aplicamos ecuación cuadrática y obtenemos que y = 4, sustituimos este valor de y=4 en la ecuación despejada de X:
x = 10 - 2 ( 4 ) = 10 - 8 = 2 De acuerdo al resultado, queda comprobado que la recta es tangente a la circunferencia , porque sólo tienen un solo punto común T(2,4) , que es precisamente el de tangencia . EJERCICIOS PROPUESTOS DE CIRCUNFERENCIA 1. Circunferencia de centro C ( –3, 4) y radio 5. Comprueba que pasa por el origen de coordenadas. 2. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia cuya 9 x² + 9 y² - 12 x + 36 y - 104 = 0. Trazar la circunferencia
ecuación es:
3. Encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación: 4 x²+ 4 y² + 4 x + 4 y - 2 = 0. 4. El diámetro de una circunferencia es el segmento de recta definido por los puntos: A(-8,-2) y B(4,6). Obtener la ecuación de dicha circunferencia. 5. Encontrar los puntos de intersección de las circunferencias representadas por las ecuaciones: x² + y² - 2 x + 4 y = 0 x² + y² + 2 x + 6 y = 0
6. Probar que el punto P(4,2) pertenece a la circunferencia x² + y² - 2 x + 4y = 20 y obtener la ecuación de la tangente a la circunferencia en ese punto.
MATEMÁTICAS
TIMONMATE
EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
GEOMETRÍA ANALÍTICA A. Introducción teórica A.1. Módulo y argumento de un vector. A.2. Producto escalar. A.3. Punto medio de un segmento. A.4. Ecuaciones de la recta. A.5. Ecuación de una recta dados dos puntos. A.6. Posiciones relativas de dos rectas. A.7. Ecuación de una circunferencia.
B. Ejercicios resueltos A.1. Operaciones con vectores. Coordenadas. A.2. Módulo y argumento de un vector. A.3. Posiciones relativas entre vectores. A.4. Ecuación de una recta dados dos puntos. Alineación de puntos. A.5. Ecuaciones de la recta. A.6. Posición relativa entre rectas. A.7. Ecuación de una circunferencia.
A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA A.1 Módulo y argumento de un vector. El módulo de u = (a, b) es: u = a 2 + b 2 y el argumento de u = (a, b) ,
que denotamos por α , es α = artg
a
A.2 Producto escalar El producto escalar de dos vectores u y v está dado por: u.v =|u|.|v|.cos α , en donde α es el ángulo formado por los dos vectores.
Geometría analítica. Ejercicios resueltos
TIMONMATE
Si conocemos las coordenadas de los vectores, esto es, u = (a , b) y v = (c , d) , entonces u.v = a⋅ c + b ⋅ d
A.3 Punto medio de un segmento.
x1 + x 2 y1 + y 2 , 2 2
Si A (x1 , y1 ) y B (x2 , y 2 ) , entonces el punto medio es M A.4 Ecuaciones de la recta. a) Ecuación vectorial: (x , y) = (a , b) + λ (v1 , v2 ) b) Ecuaciones paramétricas:
c) Ecuación continua:
x = a + λ v1
y = b + λv2
x− a y− b = v1 v2
d) Ecuación general: Ax+Bx+C=0, tal que A m=− B
v⊥ (A , B) , v (B, B , −A) ,
e) Ecuación explícita: y = mx + b , con m la pendiente y b la ordenada en el origen. f) Ecuación punto pendiente: y = y 1 + m (x − x1 )
A.5 Ecuación de una una recta dados dos puntos
La ecuación de una recta r ecta que pasa por los puntos A( x1 , y1 ) y B( x 2 , y 2 ) y − y1 x − x1 = está dada por: . x2 − x1 y2 − y1 Si tenemos tres puntos, A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) y C(x 3 , y3 ) , y están x − x1 y 2 − y 1 alineados, entonces verifican la siguiente ecuación: 2 = x3 − x2 y 3 − y 2
A.6 Posición relativa entre rectas
TIMONMATE
Geometría analítica. Ejercicios resueltos
Dos rest restas as r y s son son paral paralel elas as,, r s , si tienen la misma pendiente: mr = ms . Dos rest restas as r y s son son per perpe pend ndic icul ulare ares, s, r ⊥ s , si sus pendientes verifican: m r ⋅ ms = −1 .
A.7 Ecuación de una circunferencia
x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 es la ecuación general de una circunferencia, cuyo centro y radio están dadas, respectivamente por:
A B a) O − , − . 2 2 1 b) r = A 2 + B 2 − 44C C . 2 Lo anterior es equivalente a lo siguiente: 2
2 ci rcunferencia que tiene (x − a) + (y − b) = r 2 es la ecuación de una circunferencia por origen O (a,b) y radio r.
B. EJERCICOS RESUELTOS B.1. Operaciones con vectores. Coordenadas. 1.
Sean los vectores: u = (− 1, 0) , v = ( 1, 2) y w = (0 , −1) . Calcula: a) − u + 3 v b) w − u − 2 v c) u − (2 w + v)
Solución: a) −u + 3 v = −(−1, 0) + 3( 1, 2) = ( 1, 0) + ( 3 , 6) = ( 4 , 6) b) w − u − 2 v = (0 , −1) − (−1, 0) − 2 ( 1, 2) = ( −1, −5) c) u − (2 w + v) = (−1, 0) − 2 (0 , −1) + (1, 2) = ( −1, 0) − 2 ( 0 , −1) +( 1, 2) =
= (− 1 , 0) − (1, 0) = (−2 , 0)
Geometría analítica. Ejercicios resueltos
2.
TIMONMATE
Halla los vectores definidos por cada una de las siguientes parejas de puntos: 1 2 1 a) A(–1, 2) y B(2, –3) b) C(2, –2) y D(–1, –3) c) E , 1 y F − , 2 3 5 Solución: En general, las coordenadas de un vector que tiene su origen en P (p1 , p2 ) y extremo en Q (q 1 , q 2 ) vienen dadas por: PQ = (p 2 − p 1 , q 2 − q 1 ) . Entonces: a) AB = ( 2 + 1, −1 − 2) = ( 3, −3) b) CD = (− 1 + 2 , − 3 − 2) = ( 1, −5) 2 1 1 7 6 c) EF = − − , + 1 = − , 3 2 5 6 5
3.
Nota :
Consideramos que A, C y E son orígenes, mientras que B, D y F son extremos.
Sean los vectores: u = (− 1, 2) , v = (− 3 , 0) y w = (− 5 , − 1) . Calcula los siguientes productos escalares: a) u ⋅ v b) w ⋅ u c) 2 ⋅ (w ⋅ v)
Solución: a) u ⋅ v = (− 1, 2) ⋅( 3 , 0) = − 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 0 = − 3 b) w ⋅ u = (− 5 , −1) ⋅(−1 , 2) = ( −5)( −1) + ( −1) 2 = 5 − 2 = 3
c) 2 ⋅ (w ⋅ v) = 2 ⋅(− 5, −1) ⋅(−3, 0) = 2 ⋅( −5)( −3) +( −1) ⋅ 0 = 30
B.2. Módulo y argumento de un vector 4.
Calcula el módulo y el argumento de los siguientes vectores: a) u = (− 3 , 2) b) v ( 44,, − 5) c) w (− 4 , − 2) Solución:
El módulo de un vector cualquiera, r , expresado mediante sus coordenadas, r = (a , b) , viene dado por:
TIMONMATE
Geometría analítica. Ejercicios resueltos
r = a 2 + b2 y el argumento de u = (a , b) , que denotamos por α , es
α = artg
a
Así:
a) u = (− 3, 2) ⇒ u = (− 3)2 + 2 2 = 13 unidades. b) v = ( 4 , − 5) ⇒ v = 4 2 + (− 5)2 = 41 unidades.
c) w = (− 4 , − 2) ⇒ v = (− 4)2 + (− 2)2 = 2 5 unidades.
5.
Halla el módulo y el argumento de un vector u que tiene por origen el punto O(2,3) y por extremo el punto P(4,5).
Solución: El vector u , conocidos sus extremos es: u ( 4 − 2 , 5 − 3) = u ( 2 , 2) El módulo de u (a , b) es: u = a 2 + b2 ⇒ u = 8 El argumento de u = (a , b) , que denotamos por α , es: b α = artg ⇒ α = artg 1 ⇒ α = 45º a Halla la distancia entre los puntos A(0,3) y B(4,-1) .
6.
Solución: La distancia entre dos puntos A( x1 , y1 ) y B( x 2 , y 2 ) viene dada por: 2
2
d (A , B) = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) . 2
2
En nuestro caso: d (A , B) = ( 4 − 0) + (−1 − 3) = 4 2
B.3. Posiciones relativas entre vectores 7.
Halla un vector normal para cada uno de los siguientes vectores: 1 a) u 1 = (− 1 , 2) b) u 2 = (1, − 2) c) u 1 = − , − 5 2 Solución: a) Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es cero. Así, un vector p = (x , y) perpendicular a u1 cumplirá u 1 ⋅ p = 0 :
Geometría analítica. Ejercicios resueltos
TIMONMATE
u 1 ⋅ p = 0 ⇒ (− 1, 2) ⋅ ( x, y) = 0 ⇒ −x + 2y = 0 Pero hay infinitos valores de x e y que verifican esto. Si hacemos que x=2, por ejemplo, un vector perpendicular a u1 nos dará:
− 2 + 2y = 0 ⇒ y = 1 , por lo que p = (x, y) ⇒ p = ( 2, 1) . b) u 2 ⋅ p = 0 ⇒ (1, − 2) ⋅ ( x, y) = 0 ⇒ x − 2y = 0 . Si suponemos que x=1, por 1 ejemplo, entonces: x − 2y = 0 ⇒ 1 − 2y = 0 ⇒ y = . 2 1 Un vector perpendicular al dado es, por lo tanto, p = 2, 2
1 1 c) u 3 ⋅ p = 0 ⇒ − , −5 ⋅( x, y) = 0 ⇒ − x − 5y = 0 . 2 2 1 Vamos a suponer que y = − . En ese caso, x valdrá lo siguiente: 5 1 1 1 1 − x − 5y = 0 ⇒ − x − 5 ⋅− = 0 ⇒ x = 1 ⇒ x = 2 5 2 2 2 1 Así que p = 2, − 5 8.
Halla un vector perpendicular a u = (− 3, 2) y con su mismo módulo. Solución: Un vector v = (a, b) que sea perpendicular a u cumplirá que u ⋅ v = 0 , es decir: u ⋅ v = 0 ⇒ (− 3, 2) (a, b) = 0 ⇒ − 3a + 2b = 0 2 El módulo de u está dado por: u = (− 3) + 2 2 = 13 . Entonces: v = a2 + b2 = 13 ⇒ a2 + b2 = 13
Estas dos ecuaciones forman un sistema. Resolviéndolo obtenemos las coordenadas del vector buscado:
( 2, 3) − 3a + 2b = 0 a, b ⇒ = ( ) 2 2 (− 2, − 3) a + b = 13 (Observamos que hay dos vectores distintos que verifican las condiciones del enunciado)
TIMONMATE
9.
Geometría analítica. Ejercicios resueltos
Halla un vector paralelo a v = (1, 2) , con sentido contrario y con un módulo igual al del vector w = (0, −1) .
Solución: Un vector u = (a, b) que sea paralelo a v cumplirá que u ⋅ v = k , es decir: v ⋅ u = 1 ⇒ (1, 2)(a, b) = 1 Si u tiene sentido contrario a v entonces será u = (−a, −b) : Por ello (1, 2)(−a, −b) = 1 ⇒ a + 2b = − 1
El módulo de w está dado por w = 0 2 + 12 = 0 y como w = u , entonces se puede escribir que: u = a2 + b2 = 1 Tenemos entonces un sistema de ecuaciones que nos dará el vector buscado:
( − 1, 0) ⇒ = a, b ( ) 3 4 , − a2 + b 2 = 1 5 5 a + 2b = − 1
(Vemos que hay dos vectores que satisfacen las condiciones del enunciado)
10.
Determina el ángulo que forman los vectores u = (2, 1) y v = (1, − 2)
Solución: u⋅ v El ángulo formado por dos vectores viene dado por: cos α = , esto |u||v| ⋅ 1 (− 2, 1) ⋅(1, 3) u⋅ v 1 = ⇒ α = ar cos es: cos α = = 5 2 4+ 1⋅ 1+ 9 5 2 ⋅ |u||v|
B.4. Ecuación de una recta dados dos puntos. Alineación de puntos 11.
Calcula cada una de las tres ecuaciones de una recta, escrita en forma general, y=mx+n, que pasan por cada una de las siguientes parejas de puntos:
Geometría analítica. Ejercicios resueltos
a) A(–1, 2) y B(2, –3)
TIMONMATE
b) A(–3, 2) y B(4, –5)
1
2 1 , 3 5
c) A , 1 y B −
2
Solución: Recordamos que la ecuación de una recta que pasa por dos puntos y − y1 x − x1 = A(x1 , y1 ) y B(x 2 , y 2 ) está dada por: . x2 − x1 y 2 − y1 d) Para A(–1, 2) y B(2, –3): y − y1 y−2 x − x1 x+1 x+1 2−y 5 1 = ⇒ = ⇒ = ⇒ y=− x+ x 2 − x1 y 2 − y 1 2 + 1 −3 − 2 3 5 3 3 e) Para A(–3, 2) y B(4, –5): y − y1 y−2 x − x1 x+3 x+3 2−y = ⇒ = ⇒ = ⇒ y = −x − 1 x 2 − x1 y2 − y 1 4 + 3 −5 − 2 7 7
1 2 1 f) Para A , 1 y B − , 2 3 5 1 y − y1 x − x1 2 = y − 1 ⇒ x + 3 = 2 − y ⇒ y = 48 x + 11 = ⇒ 2 1 1 x 2 − x1 y 2 − y 1 7 7 35 35 − − −1 3 2 5 x−
12.
Calcula la coordenada x que tiene que tener el punto B, B (x2 , 4) , para que los puntos A (1, 1) , B (x2 , − 4) y C (0,6 ) estén alineados. Solución: Para que tres puntos A(x1 , y1 ) , B(x 2 , y2 ) y C(x 3 , y3 ) estén alineados, han x − x1 y 2 − y1 de verificar la siguiente ecuación: 2 = x3 − x2 y 3 − y 2 Entonces, en nuestro caso:
x 2 − 1 −4 − 1 x − 1 −1 = ⇒ 2 = ⇒ x2 = 4 0 − x2 6+ 4 2 −x 2
B.5. Ecuaciones de la recta 13.
Expresa la ecuación de una recta que pasa por P(5,2) y tiene como vector director a u (− 4, 2) en las formas vectorial, paramétrica, continua, general, explícita y punto-pendiente.
TIMONMATE
Geometría analítica. Ejercicios resueltos
Solución: a) Ecuación vectorial: Viene dada por r = P + λu ⇒ (x, y) = ( a, b) + λ (u1 , u2 ) . Simplemente hay que (x, y) = (5, 2) + λ (− 4, 2)
sustituir
los
datos
en
la
expresión:
b) Ecuaciones paramétricas: x = a + λu 1 Vienen dada por: . y = b + λu 2 Sustituimos los datos en la expresión:
x = 5 − 4λ y = 2 + 2 λ
c) Ecuación continua: x− a y− b = u1 u2 x− 5 y− 2 Sustituimos en ella los datos dados: = 2 −4 La ecuación continua está dada por
d) Ecuación general: La ecuación general está dada por: Ax + By + C = 0 . Podemos obtenerla reescribiendo la ecuación continua: x− 5 y− 2 = ⇒ 2x − 10 = − 4y + 8 ⇒ 2x + 4y − 18 = 0 2 −4 e) Ecuación explícita: La ecuación explícita es de la forma y = ax + b . La podemos obtener a partir de la ecuación general reescribiéndola: 1 2x + 4y − 18 = 0 ⇒ y = − x + 9 2 f) Forma punto-pendiente: Esta forma de escribir la ecuación de la recta es así: y − b = m (x − a) 1 Sustituimos en la expresión los datos conocidos: y − 2 = − ( x − 5) 2
Geometría analítica. Ejercicios resueltos
TIMONMATE
B.6. Posición relativa entre rectas 14.
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2,1) y es paralela a la recta r: y=2x+1. Luego halla la ecuación de la recta t que pasando por el mismo punto es perpendicular a r. Solución:
Caso r s En este caso, las dos rectas tienen la misma pendiente: m s = m r = 2 Obtenemos la recta en la forma punto-pendiente: y − y p = m (x − x p ) ⇒ y − 2 = 2 ⋅( x − 1)
Caso r ⊥ s En este caso, la pendiente de la recta s está dada por: m s =
−1 mr
=−
1 2
Obtenemos la recta en la forma punto-pendiente: 1 y − y p = m (x − x p ) ⇒ y − 2 = − ⋅(x − 1) 2
B.7. Ecuación de una circunferencia 15.
Halla la ecuación de una circunferencia de origen O (1,3) y radio 5 unidades. Solución: La ecuación de una recta de origen O (a , b) y radio r está dada por: 2
2
(x − a) + (y − b) = r 2 Sustituimos datos en esa expresión: 2
2
2 2 (x − a) + (y − b) = r 2 ⇒ (x − 1) + ( y − 3) = 52
Por último, ordenamos los términos: x 2 + y 2 − 2 x − 6 y − 15 = 0
TIMONMATE
16.
Geometría analítica. Ejercicios resueltos
Calcula el radio y el origen de una circunferencia que tiene la siguiente ecuación x 2 + y 2 − 2 x − 6 y − 15 = 0 . Solución: Tenemos que saber que una circunferencia que tiene por ecuación general a x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 su centro y su radio están dados respectivamente por: A B c) O − , − . 2 2 1 d) r = A 2 + B 2 − 4C 4 C . 2 En nuestro caso, los datos dados son: A = − 2 ; B = −6 ; C = −15 Sustituyendo los datos en las expresiones para el centro y el radio, obtenemos lo siguiente:
(− 2 ) ( − 6) ,− = O (1, 3) 2 2
a) El centro: O − b) El radio: r =
1 10 2 2 (− 2) + (−6) − 4 (−15) = = 5 2 2
Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO
1
TEMA 8 – GEOMETRÍA GEOMETRÍA ANALÍTICA ANAL ÍTICA RELACIÓN ENTRE PUNTOS DEL PLANO EJERCICIO EJERCICIO 1 : Halla el punto medio d el segmento de extremo s P2, 1 y Q4, 3. Solución:
Las coordenadas del punto medio, M, son la ssemisuma emisuma de las coordenadas de los extremos: 2 4 1 3 M 2 , 2 1, 2 EJERCICIO 2 : Halla el simétrico, A, del punto A1, 0 respecto respecto de B2, 8. Solución:
Llamamos x, y a las coordenadas de A. El punto medio del segmento de extremos A y A es B. 1 x 2 2 x 5 A 5, 16 Por tanto: y 16 0 y 8 2 EJERCICIO 3 : Determin ar si los lo s puntos pun tos A(3,1), B(5,2) y C(1,0) C(1,0) están alin eados. Solución:
AB (5,2) (3,1) (2,1) AC (1,0)
2 1 Cierto (3,1) (-2,-1) 2 1
Están Están alineados
EJERCICIO 4 : Halla el valor de k para que los puntos A1, 1, B0, 3 y C2,k estén alineados. Solución:)
AB (0,3) - (1,1) (-1,2)
1 2 k 1 2 k 1 AC (2, k) - (1,1) (1, k - 1) 1 k 1
ECUACIONES DE RECTAS EJERCICIO 5 : a Escrib e la ecuación ecuación g eneral eneral de la recta, r , que pasa por los puntos 1, 0 y 3, 6. 1 b Halla Halla la ecuación ecuación de la recta, recta, s , parale paralela la a y x que pasa por el punto 4, 4 . 2 c Obtén el el punto de corte de las dos rect as anteriores. anteriores. Solución:
60 6 3 3 1 2 Ecuación: y 0 3x 1 y 3x 3 3x y 3 0 1 b Si son paralelas, tienen la misma pendiente: m . 2 1 Ecuación: y 4 x 4 2 y 8 x 4 x 2 y 4 0 2 c Es la solución solución del del sistema siguiente: siguiente: 3x y 3 0 y 3x 3 x 2y 4 0 x 2 3 x 3 4 0 x 6 x 6 4 0 5 x 10 3 P t 2 3 a Pendie dient ntee
x 2
Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO
2
EJERCICIO 6 : a Hall Halla a la ecuación ecuación d e la recta, r , que pasa por 3, 2 y tiene como vector dirección d 1, 1. b Escribe Escri be la ecuació ecuació n de la recta, s, que pasa por 5, 2 y es es paralelo al eje eje X. c Obtén el el punto de corte de las dos rect as anteriores. anteriores. Solución:
1 a) Pendiente 1 Ecuación: y 2 1 x 3 y 2 x 3 y x 1 1 b y 2 y x 1 c Es la solución de este sistema: x 1 2 x 3 Punto: 3, 2 y 2 EJERCICIO 7 : a Halla alla la ecuació cuación n de la rect recta a, r , que que pasa pasa por por 0, 0 y es para parale lela la al vecto vectorr d 3, 6 . b Escribe Escri be la ecuación general de la recta, s, que pasa por 3, 4 y es es perpendi perpendi cular a x y 5 0. c Obtén el el punto de intersecci ón de las dos rectas anterio anterio res. Solución:
6 2 3 Ecuación: y 2 x b Pendiente de x y 5 0 y x 5 m 1 1 1 1 Pendiente de la perpendicular m 1 Ecuación de s: y 4 1x 3 y 4 x 3 x y 1 0 y 2x x 2x 1 0 x 1 y 2 c Es la solución del del siguiente sistema: Punto: 1, 1, 2 x y 1 0 a Pendiente
EJERCICIO 8 :
1 . 2 b Escribe Escri be la ecuació ecuació n de la recta, s, perpendicular a x 3y 2 que pasa por 2, 4. c Hall Halla a el punt o de intersecció int ersecció n de las rectas r y s. a Obtén btén la ecuación cuación de la recta recta,, r , que pasa pasa por 3, 1 y tiene tiene pendie pendiente nte
Solución:
1 x 3 2y 2 x 3 x 2 y 1 0 2 x 2 1 2 1 x m b Pendiente de x 3 y 2 y 3 3 3 3 1 1 3 Pendiente de la perpendicular m 13 Ecuación: y 4 3x 2 y 4 3x 6 y 3x 10 a y 1
c Es la solución solución del del siguiente sistema: sistema: x 2y 1 0 x 2 3 x 10 1 0 x 6 x 20 1 0 Punto: 3, 1 y 3 x 10 7 x 21 x 3 y 1 EJERCICIO 9 : a Escrib e la ecuación ecuación g eneral eneral de la recta, r , que pasa por los puntos 0, 5 y 1, 2. b Obtén la ecuación de la recta, s, paralela a 2 x y 3 que pasa por el punto 1, 1. c Hall Halla a el punto de corte de las dos rectas anteriores. Solución:
25
3
Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO
3
b Si son paralelas, tienen la misma pendiente: 2 x y 3 y 2x 3 m 2 Ecuación: y 1 2x 1 y 1 2x 2 y 2x 3 3 x y 5 0 3 x 2 x 3 5 0 x 2 y 1 c Es la solución del sistema siguiente: Punto: 2, 1 y 2x 3 EJERCICIO 10 : 1 x 3. 2 b Halla la ecuación de la recta que pasa por 0, 2 y es perpendicu lar a 2x y 3.
a) Escri be la ecuación de la recta que pasa por (2, 1) y es paralela a y
Solución:
a Si son paralelas, tienen la misma pendiente: y
1 1 x 3 m 2 2
x 1 x 2 2y 2 x 2 2 y x y 2 2 b Pendiente de 2 x y 3 y 2x 3 m 2 1 1 1 Pendiente de la perpendicular m 2 2 1 Ecuación: y 2 x 2 y 4 x x 2 y 4 0 2
Ecuación: y 1
EJERCICIO 11 : Dados los puntos A 2, 1 y B 3, 4, halla las ecuacion es de las dos rectas siguientes: a) r: pasa por A y es paralela a AB b) s: pasa por B y es paralela a AB
Solución: AB 1, 5
5 . Ecuación: y 1 5 x 2 y 1 5 x 10 5x y 11 0 1
Recta
r: m
Recta
s : m
1 1 1 1 Ecuación: y 4 x 3 5 y 20 x 3 x 5 y 23 0 m 5 5 5
EJERCICIO 12 : a Obtén la ecuación de la recta paralela al eje X que pasa por el punto 5, 1. b Halla la ecuación general de la recta perpendicul ar a 3 x y 1 que pasa por el punto 0, 1. Solución: a y 1 b Pendiente de 3 x y 1
y 3x 1 m 3 1 1 Pendiente de la perpendicular m 3 1 Ecuación: y 1 x 3 y 3 x x 3 y 3 0 3
EJERCICIO 13 : a Halla la ecuación d e la recta, r , paralela a 2x 3y 4 0, que pasa por 1, 2. b Halla la ecuación de la recta perpendicu lar a y 1 0 que pasa por 3, 2. Solución:
a Puesto que son paralelas, tienen la misma pendiente: 2x 4 2 4 2 x m 2x 3 y 4 0 y 3 3 3 3 2 Ecuación de r : y 2 x 1 3 y 6 2 x 2 2 x 3 y 8 0 3 b La recta y 1 0 es paralela al eje X; por tanto, la que buscamos, es paralela al eje Y. Su ecuación será x 3.
Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO
4
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EJERCICIO 14 : Calcula la distanci a que hay entre los pu ntos A8, 10 y B2, 14.
Solución: dist A, B
2 8 2 14 10 2
10 2 24 2 100 576 676 26
EJERCICIO 15 : Halla la distancia entre los puntos P6, 2 y Q0, 6.
Solución: dist P, Q
0 62 6 2
2
6 2 8 2 36 64 100 10
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EJERCICIO 16 : Halla la ecuación d e la circu nferencia d e centro 4, 2 y radio 5. Solución: La ecuación es:
x 4 2 y 2 2
5.
EJERCICIO 17 : Escri be la ecuación de la circ unferenci a de centro 3, 4 y radio 4. Solución: La ecuación es:
x 3 2 y 4 2
4
REGIONES EN EL PLANO EJERCICIO 18 :¿Cuáles de los sig uientes s ist emas de inecuaciones co rresponden a este recinto?
a) x y 25 x2 y2 9 2
2
b) x 0 x 2 y 2 25 x2 y2 9
2 2 c) x y 9 x 2 y 2 25 x 0
Solución: c Las dos curvas dadas corresponden a dos semicircunferencias de centro 0, 0 y radios 3 y 5, respectivamente. Los puntos señalados corresponderán a semic ircunferencias de radio entre 3 y x2 y 2 9
5, esto es: x 2 y 2 25 x0
EJERCICIO 19 : Indica cual de los siguientes recintos corresponde a este sistema de 3 x 3 inecuaciones: 4 y 4 x 2 y 2 9
Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO
5
Solución: Le corresponde el recinto c). x 3 y x 3 son rectas paralelas al eje Y que pasan, por ejemplo, por 3, 0 y 3, 0 respectivamente. y 4 e y 4 son rectas paralelas al eje X que pasan, por ejemplo, por 0, 4 y 0, 4. 2 2 2 2 x y 9 es una circunferencia de centro 0, 0 y radio 3; los puntos que cumplen x y 9 pertenecen a la circunferencia o están fuera de ella.
y 2 16 EJERCICIO 20 : Representa gráficamente el siguiente recinto: y x 0 0 x 3 x2
Solución: 2 2 x y 16 es la inecuación que describe la circunferencia de centro 0, 0 y radio 4, y el interior de dicha circunferencia. er er y x 0 y x bisectriz del 1 y 3 cuadrante. Para saber que parte del plano corresponde a la inecuación y x > 0 tomamos, por ejemplo, el punto 3, 1 y lo sustituimos en y x 1 3 2 < 0. Por tanto, el semiplano en el que no esta el punto 3, 1 es el que corresponde a la inecuación y x > 0. x 0, x 3 son rectas paralelas al eje Y . La representación gráfica correspondiente será:
EJERCICIO 21 : Describe, mediante un sistema de inecuaciones, el siguiente recinto:
Solución: Hallamos las ecuaciones de las rectas AB, BC, CD y DA.
3 AB es la recta que pasa por A( 4, 0) y tiene pendiente m . 2 3 La ecuación será: y x 4 2 y 3 x 12 0 2 Tomamos un punto cualquiera del recinto, por ejemplo 1, 2, y lo sustituimos en la ecuación anterior: 2 · 2 3 · 1 12 11 < 0. Por tanto, el semiplano buscado es 3 x 2 y 12 0. BC es paralela al eje X y pasa por 0, 3 y 3 El semiplano buscado es y 3.
Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO
6
3 CD es la recta que pasa por D(4, 0) y tiene pendiente m . 2 3 La ecuación será: y x 4 2 y 3 x 12 3 x 2 y 12 0 2 Sustituimos el punto 1, 2 3 · 1 2 · 2 12 5 < 0 El semiplano buscado es 3 x 2 y 12 0. DA es el eje X y 0. El semiplano será y 0.
3 x 2y 12 0 El recinto, pues, es la solución del sistema: 3 x 2y 12 0 0 y 3 REPASO EJERCICIO 22 : ¿Cuál de las rectas r : y 3 5 x 1 , s : y
2 x 5
y t:
x
1 1 y es paralela a la 5 2
recta 2 x 5y 4 0? Solución: Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Pendiente de r m 5 2 Pendiente de s m 5 x 1 1 y 2 2 x 1 1 y y 1 x 1 Pendiente de t : 5 2 5 5 2 2 2 3 2 y x 1 y x m 5 5 5 5 5 2 La pendiente de 2 x 5 y 4 0 es m . Luego s es la recta paralela a 2 x 5 y 4 0. 5
EJERCICIO 23 : Dada la recta ax by 0, indic a qué relación debe haber entre a y b para que el punto P2, 6 pertenezca a la recta. Solución: El punto P2, 6 pertenecerá a la recta ax by 0 si se cumple: a · 2 b · 6 0 2a 6b 0 a 3b 0 a 3b Luego, P2, 6 pertenecerá a dicha recta si a es el triple de b.
EJERCICIO 24 : Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a x2 y 32 9 0 es la ecuación de una circunferencia. b) La recta de ecuación ax c 0 es una recta paralela al eje Y a, c . c Si m1 y m2 son las pendientes de dos rectas paralelas se cumple que m1 m2 0.
d) La pendiente de una recta perpendicular a r : ax by c 0 es
a . b
Solución: a FALSO. La ecuación de una circunferencia de centro C a, b y radio r es: x a2 y b2 r 2 En este caso: x 02 y 32 9, pero r 2 no puede ser negativo; luego la ecuación dada no es la ecuación de una circunferencia.
Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO
7
b VERDADERO. ax c
0 x
c a
c constante recta paralela al eje Y que pasa por , 0 a
c VERDADERO. Por ser paralelas las rectas m1 m2 m1 m2 0 d FALSO. a a c y x la pendiente de la recta perpendicular La pendiente de r es m b b b 1 b . a r es m m
a
EJERCICIO 25 : ¿Qué relación habrá entre a y b para que las rectas r : ax 3 y 6 y s: bx y 5 sean paralelas? ¿Y para que sean perpendiculares? Solución: r y s son paralelas si la pendiente de ambas coincide.
3 y 6 ax
y
a
a
b a 3b 3 Por tanto, r y s serán paralelas cuando a sea el triple de b. a 1 1 ab 3 Para que r y s sean perpendiculares mr ms 3 b mr
ms
a
x 2 mr 3 3 Pendiente de s y bx 5 ms b Pendiente de r
EJERCICIO 26 : Halla el valor de m para que las rectas r : y x 3 0 y s: mx 3 y 1 0 no se corten. Solución: Para que r y s no se corten, el valor de m buscado será aquel que haga que r y s sean paralelas, es decir, tengan la misma pendiente. Pendiente de r y x 3 mr 1 m m 1 ms Pediente de s 3 y 1 mx y x 3 3 3 mr
ms
1
m
3
3 m
EJERCICIO 27 : Dadas las rectas r : ax c 0 y s: a’ x c’ 0: a ¿Son paralelas? b ¿Qué condición se ha de cumplir para que sean coincidentes? c Escribe la ecuación de la recta perpendicular a r y s que pase por el punto 2, 3. Solución: a Sí. Son rectas de la forma x k , es decir, rectas paralelas al eje Y .
b Para que sean coincidentes
c a
c a
.
c Una recta perpendicular a r y s es de la forma y k' , recta paralela al eje X . Como tiene que pasar por el punto 2, 3, entonces la recta buscada es y 3.
Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO
8
EJERCICIO 28 : En el triángulo de vértices A(1, 1, B 3, 2 y C 1, 4 halla: a La ecuación de la altura h1 que parte de B. b La ecuación de la altura h2 que parte de C . c El ortocentro del triángulo punto de intersección de las alturas . Solución:
a La altura h1 es perpendicular al lado AC . 5 5 Pendiente de AC m1 2 2 2 Pendiente de h1 m1 5
2 La recta h1 pasa por B y su pendiente es ; luego su ecuación es: 5 2 y 2 x 3 5 y 10 2 x 6 5 y 2 x 4 0 5 b La altura h2 es perpendicular al lado AB. 1 Pendiente de AB m2 4 Pendiente de h2 m2 4 La recta h2 pasa por C y su pendiente es 4; su ecuación es: y 4 4 x 1 y 4 4 x 4 y 4 x 0 c Par calcular el ortocentro, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de h1 y h2 : 4 2 5 y 2x 4 0 5 4 x 2 x 4 0 20 x 2 x 4 0 22 x 4 x 22 11 y 4 x y 4x 0
2 8 El ortocentro es el punto 2 , 8 . 11 11 11 11 EJERCICIO 29 : Calcula el valor de a y de b para que las rectas r : ax 3 y 2 0 y s: bx 9 y 5 0 sean paralelas y, además, r pase por el punto P1, 2. y
4x 4
Solución: a a 2 y x mr 3 3 3 b b 5 ms Pendiente de s: bx 5 9 y y x 9 9 9 Para que r y s sean paralelas, las pendientes han de coincidir:
Pendiente de r: ax 2 3 y
ms
a
3
b
3a b b 3a 9 Calculamos a sabiendo que P1, 2 pertenece a la recta r : mr
Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO
9
EJERCICIO 30 : Las rectas r : 3 x y 4 0, s: 3 x 4 y 11 0 y t: 3 x 2 y 1 0 forman un triángulo ABC . Calcula los vértices y el ortocentro del triángulo. Solución: Calculamos los vértices resolviendo los siguientes sistemas: 3x y 4 0 3x y 4 0 3 x 4 y 11 0 3 x 4 y 11 0
3 y 15 0 3x 5 4 0 3x 9 x 3 Luego A3, 5.
y 5
3 x y 4 0 3x y 4 0 3 x 2y 1 0 3x 2y 1 0 3y 3 0 3x 1 4 0 3 x 3 x 1 Por tanto B1, 1.
y 1
3 x 4 y 11 0 3 x 4 y 11 0 3 x 2y 1 0 3 x 2y 1 0 6y 12 0
y2
3 x 8 11 0 3 x 3 x 1 Luego C 1, 2. Para calcular el ortocentro del triángulo hallamos las ecuaciones de dos alturas y resolvemos el sistema formado por ellas: Altura h1 que parte de A es perpendicular a BC 3 2 pendiente de h1 : m1 Pendiente de BC : m1 2 3 2 Ecuación de h1 : y 5 x 3 3 y 15 2 x 6 3 y 2 x 9 0 3 Altura h2 que parte de B es perpendicular a AC 3 3 4 pendiente de h2 : m2 Pendiente de A C : m2 4 4 3 4 Ecuación de h2 : y 1 x 1 3 y 3 4 x 4 3 y 4 x 1 0 3 3 y 2 x 9 0 3y 2x 9 0 Resolvemos el sistema: 3y 4 x 1 0 3y 4x 1 0
8 4 6x 8 0 x 6 3 8 19 19 0 y 3y 9 0 3 y 3 3 9 4 19 El ortocentro es , . 3 9 EJERCICIO 31 : La recta r : x y 1 0 es la mediatr iz del s egmento AB d el que co nocemo s A 3, 2 . Halla: El punto de intersección de
la perpendicular
trazada desde A
Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO
10
Solución: a Pendiente de r : y x 1 m 1 Pendiente de la perpendicular a r : m 1 Ecuación de la perpendicular: y 2 1 x 3 5 x Punto de corte: x y 1 0 x 5 x 1 0 x 2 y 5x y
5 x 52 y 3
Por tanto, P(2, 3.
b El punto B x, y) es el simétrico de A respecto de P :
x3
2 x 1 2 B 1, 4 y 2 3 y 4 2 EJERCICIO 32 : Comprueba que el cuadrilátero de vértices A 3, 3, B6, 0 , C 4, 4 y D(0, 0 es un trapecio rectángulo y halla su área. Solución:
Para ver que es un trapecio rectángulo, comprobamos que un lado DA es perpendicular a otros dos CD y AB : DA es la bisectriz del primer cuadrante m 1 AB y CD tienen pendiente 1 Luego DA es perpendicular a AB y CD
el trapecio es rectángulo.
Calculamos el área hallando las siguientes distancias:
6 3 2 0 3 2 9 9 18 3 2 2 dist C, D 42 4 16 16 32 4 2 2 2 distD, A 3 3 18 3 2 altura del trapecio dist A, B
Área
AB CD DA
2
3 2 4 2 3 2 2
7 2 3 2 2
21
2 2
2
21 2 21 u2 2
Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO
11
EJERCICIO 33 : Calcula el área del triángulo de vértices A1, 4, B(3, 2 y C 2, 0. Solución:
Área del triángulo
AB CD
2
Llamamos h a la altura que parte del vértice C . AB
3 12 2 4 2
2 2 6 2 4 36 40
La altura h es perpendicular al lado AB: 6 Pendiente de AB : m 3 ecuación de AB : y 2 3 x 3 3 x y 7 0 2 1 Pendiente de h : m 3 1 La recta h pasa por C y su pendiente es . 3 1 h : y x 2 3 y x 2 x 3 y 2 0 3 Buscamos el punto de intersección, D, de la recta h con el lado AB : 3x y 7 0 9 x 3 y 21 0 x 3y 2 0 x 3y 2 0 19 10 x 19 0 x 10 19 39 13 3y 2 0 3 y y 10 10 10 19 13 Por tanto, D , . 10 10 2
2
2
2
1 19 13 39 13 2 CD 1690 10 10 10 10 10 1 40 1690 67600 260 10 13 u2 Área 2 20 20 EJERCICIO 34 : Calcula los puntos de corte de la circunferencia x2 y2 5 con la recta y x 1 0. Solución: Los puntos de corte son las soluciones del sist ema que forman sus ecuaciones: 2 x 2 y 2 5 x 2 1 x 5 x 2 1 2 x x 2 5 2 x2 2 x 4 0 y x 1 0 y 1 x
Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO
1 1 8 1 3 x x 2 0 x 2 2
12
2 y 1 x 1 2 1
2
1 y 1 x 1 1 2
Los puntos de corte son 2, 1 y 1, 2.
EJERCICIO 35 : Dos de los vértices del triángulo ABC son A(1, 7 y B5, 2. a Calcula las coordenadas de C sabiendo que la recta x 3 0 es la mediatriz del segmento BC . b Calcula la ecuación de la altura h que parte de C . Solución: a La mediatriz del segmento BC es perpendicular a dicho segmento. Si la recta mediatriz es x 3, la recta perpendicular a ella que pasa por B5, 2 es y 2. Por tanto, el punto medio del segmento BC es 3, 2. a5 3 a 5 6 a 1 Llamamos C a, b : 2 C 1, 2 b2 2 b 2 4 b 2 2
b La altura h que parte de C es perpendicular al segmento AB. 5 Pendiente de AB : m 4 4 Pendiente de h : m 5 4 La recta h que pasa por C 1, 2 y tiene de pendiente es : 5 4 y 2 x 1 5 y 10 4 x 4 4 x 5 y 6 0 5
EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS PROPUESTOS 1. El vigía de un barco pirata observa el punto más alto de un acantilado bajo un ángulo de 60º. Si el barco se aleja 100 m se observa bajo un ángulo de 45º. Calcula la altura del acantilado.
Solución: 150 + 50 3
metros.
2. Resuelve el triángulo conociendo Bˆ = 60º y el cateto b = 25 cm. Solución: C ˆ = 30º, la hipotenusa a =
50 3 3
cm y el otro cateto c =
25 3 3
cm.
3. Calcula la longitud de los lados de un triángulo, sabiendo que su altura mide 10 m y que el ángulo desigual es de 120º.
Solución: Los lados iguales miden 20 m, y el lado
desigual, 20 3 m.
4. Calcula la altura de una torre, sabiendo que a 300 m de su pie se ve bajo un ángulo de 10º. Solución: h = 52,89 m.
5. Halla la altura de un edificio sabiendo que desde dos puntos alineados con la base y distantes entre sí 80 m, se ve bajo ángulos de 60º y 45º, respectivamente.
ción:
Solu-
x = 197,37 m
6. Dos caminos rectos que se cortan forman un ángulo de 30º. En uno de ellos, a 1000 m del cruce, hay una gasolinera. Encontrar la menor distancia desde la estación de gasolina hasta el otro camino.
7. Una carretera asciende 3m por cada 100 m de recorrido. ¿Qué ángulo forma con la horizontal?. Solución: 1º 43’ 9’’.
8. Calcula la longitud de los lados de un triángulo isósceles, sabiendo que su altura mide 10 m y que el ángulo desigual es de 120º.
EJERCICIOS RESUELTOS 1.
De un triángulo rectángulo se conocen b= 20cm y c= 40 cm. Resolverlo . ˆ y a Las Incógnitas son: Bˆ , C
tg Bˆ =
a
b
=
c
20
=
40
1 2
⇒ Bˆ = 26º33′54′′
(con una calculadora) ˆ = 90º −26º 33′54′′ = 63º 26′6′′ ; sen Bˆ = b = 20 ⇒ C a a 20 20 a= = =24,57 cm sen26º 33′54 ′′ 0,4472135
B c
A
b
2. Resolver un triángulo rectángulo del que se conocen B=45º y c = 20 cm ˆ = 90º ⇒ C ˆ = 45º Solución: Bˆ + C c c 20 40 = = = 20 2 cm cos Bˆ = ⇒ a = a cos Bˆ 2 2
2 sen Bˆ =
b a
⇒ b = a ⋅ sen Bˆ = 20 2 ⋅
2 2
=
20cm
3. Hallar la inclinación de la sombra proyectada por un edificio de 200 m de altura cuando la inclinación de los rayos del sol es de 30º.
Como: C tg 30º =
AB = 30º
200 m B
200 AB
200 tg 30º
⇒ AB = 346,41 m
4. Desde un punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando ángulo de 30º con la horizontal. Si nos acercamos 10 m hacia su pie, éste ángulo es de 60º. Hallar la altura de la torre. h tg 60º = x tg 30º = h x + 10
h
h = 3 x ⇔ 3= h 3 x + 10
Despejamos h de las dos ecuaciones 60º
30º
x
e igualamos los resultados:
10 m h=
3 ⋅ x = nemos: h=
3 3
⋅ ( x + 10)
x =
x + 10
3
3 ⋅ x
h=
3 3
⋅ ( x + 10)
podemos dividir los dos miembros de la ecuación por ⇔ 3 x = x + 10 ⇔ 2 x = 10 ⇔ x =
3 ⋅ x = 3 ⋅ 5 ≅ 8,66
3 y te-
5 Pero como nos piden la altura:
m
5. Un faro tiene una altura de 36 m sobre el nivel del mar. El ángulo de depresión de una embarcación es de 15º. Hallar a qué distancia está la embarcación del faro. FA RO
tg15º =
15º
36 NE
36 m
15º
N
NE =
E
36 tg15º
= 134,35 m
6. En el punto más alto de una pequeña elevación de terreno hay un poste de 3m de altura. Desde un punto A situado en el terreno llano se ve el pie B, del poste, bajo un ángulo de 38º 30’, y el extremo superior c bajo un án-
C
gulo de 45º 15’. Hallar la altura del montículo:
3m B
Los triángulos CPA y BPA son rectángulos
x
En el primero: 3 + x
= tg 45º15′ y ⇒ 3 + x = y ⋅ tg 45º15′
A
P
y
En el segundo: x y
donde:
x y
3 + x x
=
tg 45º15′ tg 38º 30′
= 1,2682
= tg 38º 30′ ⇒ x = y ⋅ tg 38º 30′ .
De
⇒ x ≅ 11,2 m
= tg 38º 30′ ⇒ x = y ⋅ tg 38º 30′
7. Desde F, el punto más alto de un faro situado a 200 m sobre el nivel del mar, se divisa un barco B, con ángulo de depresión igual a 18º 45’. Cinco minutos más tarde la posición del barco es C y se divisa desde F bajo un ángulo de 15º 15’. Calcular la velocidad del barco sabiendo que la trayectoria CB es perpendicular a la PB, siendo P el pie del faro Los triángulos FPB y FPC son rectángulos en P y el PBC es rectángulo en B
F
18º 45'
200 15º 15'
C
90º 18º 45'
90º
B
P
En el FPB:
En el FPC:
200 PB
200 PC
= tg18º 45' ⇒ PB =
= tg15º15' ⇒ PC =
En el PBC: BC =
2
200
=
589,2 m
=
733,6 m
tg18º 45'
200 tg15º15'
ByC están e mismo plano, el mar
2
PC − PB = 191.012,32 = 437,05 m
El espacio recorrido es de 437,05 m en 5 minutos, luego la velocidad es v = 5,245 km/h
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PLANTEADOS EN EL MENÚ
Resolución de triángulos: Cuando el ángulo es de 30º, la longitud de la sombra es aproximadamente de 38 m. Si el ángulo es de 40º, la longitud de la sombra es aproximadamente 26 m.
Ejercicio de la buceadora: Aplicando la tangente del ángu-
100 m
lo conocido a los dos triángulos rectángulos:
x
100-x 35,0 °
30,0 °
tg 30º =
h x
tg 35º =
h 100 - x
h
Resolviendo el sistema por igualación, obtenemos que h = 31,64 m.
Ejercicio avioneta: A
h
30,0 °
50,0 ° P2
P1 350 m
x
Sean P1 y P2 los dos portaviones y A la avioneta. Aplicando tangentes en los dos triángulos rectángulos:
tg 50º =
tg 30º =
h x h 350 + x
Resolviendo el sistema, obtenemos que la altura a la que vuela la avioneta es aproximadamente h = 391,96 m.
Ejercicio pagoda:
h' h
45,0 ° x
30,0 ° 10 m
1,60 m
10 m
La altura de la pagoda será h = h’ + 1,60
tg 45º =
h′ x
tg 30º =
h′ Resolviendo el sistema, obtenemos h’ = 13, 67 m x + 10
Por lo tanto la pagoda mide aproximadamente h = 13,67 + 1,60= 15,27 m
1,60
ESTADÍSTICA Ejer ci ci o n º 1.-
Al preguntar a 20 individuos por el número de personas que viven en su casa, hemos obtenido las siguientes respuestas: 5
3
4
4
1
2
4
4
5
3
4
4
3
5
4
3
2
4
5
3
a) Elabora una tabla de frecuencias. b) Representa gráficamente la distribución. Ejer ci ci o n º 2.-
En una empresa de telefonía están interesados en saber cuál es el número de aparatos telefónicos (incluidos teléfonos móviles) que se tiene en las viviendas. Se hace una encuesta y, hasta ahora, han recibido las siguientes respuestas: 2
2
1
2
3
4
3
2
4
3
4
3
3
1
2
3
2
3
2
3
a) Elabora una tabla de frecuencias. b) Representa gráficamente la distribución.
Ejer ci ci o n º 3.-
Hemos preguntado a 20 personas por el número medio de días que practican deporte a la semana y hemos obtenido las siguientes respuestas: 3
3
2
1
3
6
1
0
2
6
7
3
2
3
4
3
5
3
2
6
a) Haz una tabla de frecuencias. b) Representa gráficamente la distribución.
Ejer ci ci o n º 4.-
Hemos lanzado un dado 20 veces y hemos ido anotando los resultados que obteníamos: 2
3
5
3
6
1
5
4
2
3
5
3
6
2
1
5
4
4
1
1
a) Ordena estos datos en una tabla de frecuencias. b) Representa gráficamente la distribución. Ejer ci ci o n º 5.-
En una clase se ha realizado un examen tipo test de 40 preguntas. El número de respuestas correctas conseguidas por cada uno de los alumnos de esa clase ha sido: 20
10
40
5
30
40
20 10
15
20
a) Resume estos datos mediante una tabla de frecuencias. b) Representa gráficamente esta distribución.
Ejer ci ci o n º 6.-
De un grupo de 30 personas hemos ido apuntando la edad de cada uno, obteniendo lo siguiente: 3
25
30
5
7
18
25
23
35
43
28
17
15
12
8
4
9
37
32
41
36
28
28
15
18
20
19
27
25
40
a) Haz una tabla de frecuencias, agrupando los datos en los intervalos: 0 - 4, 5 - 9, 10 - 14, 15 - 19, 20 - 24, 25 - 29, 30 - 34, 35 - 39, 40 - 44 b) Representa gráficamente la distribución.
Ejer ci ci o n º 7.-
En un reconocimiento médico que se ha realizado en un grupo de 30 niños, uno de los datos que se han tomado ha sido el peso, en kilogramos, de cada uno, obteniendo los siguientes resultados: 30
32
27
25
33
34
32
32
25
40
33
35
36
30
33
35
34
37
32
37
35
34
30
28
29
32
31
33
29
34
a) Haz una tabla de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de longitud 3, empezando en 24,5. b) Representa gráficamente la distribución.
Ejer ci ci o n º 8.-
En una clase del instituto se ha preguntado a los alumnos por el número de horas que dedican a la semana a estudiar. Las respuestas han sido las siguientes: 15
10
16
12
10
5
1
7
10
12
15
20
2
3
4
10
8
5
3
9
10
8
5
10
16
16
10
2
3
10
a) Ordena los datos en una tabla de frecuencias, agrupándolos en los intervalos: 0 - 2, 3 - 5, 6 - 8, 9 - 11, 12 - 14, 15 - 17, 18 - 20 b) Representa gráficamente la distribución.
Ejer ci ci o n º 9.-
En unas pruebas de velocidad se ha cronometrado el tiempo que tardaba cada participante en recorrer cierta distancia fija. Los tiempos obtenidos, en segundos, han sido los siguientes: 10 8,3
9
8
8,5
9
8,1 9,2 9,4
10
12
13
10,1 9,2
9,5
10
8
8,1 8,2 8,1
a) Elabora una tabla de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de longitud 1, empezando en 7,9. b) Representa gráficamente la distribución.
Ejer ci ci o n º 10.-
Hemos medido la estatura, en centímetros, de 30 personas, obteniendo los siguientes resultados: 16 3 16 5 16 0 16 4 16 3
16 8 17 5 16 8 15 9 16 0
16 1 16 4 16 7 16 8 15 5
16 3 16 4 16 6 16 4 16 7
16 7 16 8 16 5 16 7 16 8
16 4 15 0 16 6 14 7 17 0
a) Elabora una tabla de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de longitud 5, empezando en 146,5. b) Representa gráficamente la distribución.
Ejer ci ci o n º 11.-
Halla la media y la desviación típica correspondientes a la siguiente distribución de edades: Intervalo
0-5
5 - 10
10 - 15
15 - 20
20 - 25
25 - 30
Frecuencia
3
9
12
9
15
2
¿Qué porcentaje tienen menos de 15 años?
Ejer ci ci o n º 12.-
En un autobús escolar se les pregunta a los alumnos por el tiempo que tardan en llegar de su casa al autobús. Los resultados se recogen en la siguiente tabla: TIEMPO (minutos)
0-5
5 - 10
10 - 15
15 - 20
20 - 25
N. de alumnos
20
13
18
5
4
Calcula la media y la desviación típica de esta distribución. ¿Qué tanto por ciento tarda más de 10 minutos?
Ejer ci ci o n º 13.-
Hemos lanzado un dado 100 veces, anotando el resultado obtenido cada vez. La información queda reflejada en la siguiente tabla:
a) Calcula la media y la desviación típica.
b) ¿Qué porcentaje de resultados hay entre
x
σ y
x
σ?
c ¿En qué tanto por ciento de los lanzamientos realizados, se ha obtenido una puntuación mayor que la media?
Ejer ci ci o n º 14.-
Las notas de una clase obtenidas en un examen de matemáticas vienen recogidas en la siguiente tabla: Nota
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
N. de alumnos
1
1
2
2
6
4
5
3
3
2
a) Calcula la media y la desviación típica.
b) ¿Qué porcentaje de alumnos hay entre
x
σ y
x
σ ?
c ¿Qué porcentaje de alumnos está por encima de la media?
Ejer ci ci o n º 15.-
Al preguntar en 50 familias por el número de personas que forman el hogar familiar, hemos obtenido la información que se recoge en la siguiente tabla:
a) Calcula la media y la desviación típica. b) ¿Qué porcentaje de familias hay entre x
y
x
(ambos valores incluidos)?
c ¿Qué tanto por ciento de familias está por debajo de la media?
Ejer ci ci o n º 16.-
El sueldo medio de los trabajadores de una empresa, A , es de 900 euros al mes, con una desviación típica de 100 euros. En otra empresa, B , el sueldo medio es de 980 euros al mes con una desviación típica de 150 euros. Calcula el coeficiente de variación y di cuál de las dos empresas tiene mayor variación relativa en los sueldos.
Ejer ci ci o n º 17.-
El peso medio de una especie de animales, A , es de 21,3 kg y la desviación típica es de 2,5 kg. En otra especie de animales, B , el peso medio es de 125 kg y la desviación típica es de 13 kg. Calcula el coeficiente de variación y di cuál de las dos especies tiene mayor variación relativa en los pesos.
Ejer ci ci o n º 18.-
El tiempo medio empleado en la fabricación de un cierto producto, A , es de 235 minutos con una desviación típica de 55 minutos. En otro producto, B , el tiempo medio empleado en su fabricación es de 42 minutos, con una desviación típica de 8 minutos. Calcula el coeficiente de variación y di en cuál de los dos casos hay mayor variación relativa. Ejer ci ci o n º 19.-
La estatura media de un grupo, A , de personas es de 168 cm y su desviación típica es de 12 cm. En otro grupo, B , la estatura media es de 154 cm y su desviación típica, de 7 cm. Calcula el coeficiente de variación y compara la dispersión de ambos grupos. Ejer ci ci o n º 20.-
La nota media de una clase, A , en un examen ha sido 5,5, con una desviación típica de 2,1. En otra clase, B , la nota media en el mismo examen ha sido 7,3 y la desviación típica, de 2,6. Calcula el coeficiente de variación y compara la dispersión de ambos grupos.
SOLUCIÓN PROBLEMAS DE ESTADÍSTICA Ejer ci ci o n º 1.-
Al preguntar a 20 individuos por el número de personas que viven en su casa, hemos obtenido las siguientes respuestas: 5
3
4
4
1
2
4
4
5
3
4
4
3
5
4
3
2
4
5
3
a) Elabora una tabla de frecuencias. b) Representa gráficamente la distribución. Solución:
a) x i
f i
1
1
2
2
3
5
4
8
5
4 20
b)
Ejer ci ci o n º 2.-
En una empresa de telefonía están interesados en saber cuál es el número de aparatos telefónicos (incluidos teléfonos móviles) que se tiene en las viviendas. Se hace una encuesta y, hasta ahora, han recibido las siguientes respuestas: 2
2
1
2
3
4
3
2
4
3
4
3
3
1
2
3
2
3
2
3
a) Elabora una tabla de frecuencias. b) Representa gráficamente la distribución. Solución:
a)
x i
f i
1 2 3 4
2 7 8 3 20
b)
Ejer ci ci o n º 3.-
Hemos preguntado a 20 personas por el número medio de días que practican deporte a la semana y hemos obtenido las siguientes respuestas: 3
3
2
1
3
6
1
0
2
6
7
3
2
3
4
3
5
3
2
6
a) Haz una tabla de frecuencias. b) Representa gráficamente la distribución.
Solución:
a) x i
f i
0
1
1
2
2
4
3
7
4
1
5
1
6
3
7
1 20
b)
Ejer ci ci o n º 4.-
Hemos lanzado un dado 20 veces y hemos ido anotando los resultados que obteníamos: 2
3
5
3
6
1
5
4
2
3
5
3
6
2
1
5
4
4
1
1
a) Ordena estos datos en una tabla de frecuencias. b) Representa gráficamente la distribución.
Solución:
a) x i
f i
1 2 3
4 3 4
4 5
3 4
6
2 20
b)
Ejer ci ci o n º 5.-
En una clase se ha realizado un examen tipo test de 40 preguntas. El número de respuestas correctas conseguidas por cada uno de los alumnos de esa clase ha sido: 20
10
40
5
30
40
20 10
15
20
25
30
10
30
40
20
10
25
30
5
a) Resume estos datos mediante una tabla de frecuencias. b) Representa gráficamente esta distribución.
Solución:
a)
x i
f i
5
2
10
4
15
1
20
4
25
2
30 35 40
4 0 3 20
b)
Ejer ci ci o n º 6.-
De un grupo de 30 personas hemos ido apuntando la edad de cada uno, obteniendo lo siguiente: 3
25
30
5
7
18
25
23
35
43
28
17
15
12
8
4
9
37
32
41
36
28
28
15
18
20
19
27
25
40
a) Haz una tabla de frecuencias, agrupando los datos en los intervalos: 0 - 4, 5 - 9, 10 - 14, 15 - 19, 20 - 24, 25 - 29, 30 - 34, 35 - 39, 40 - 44 b) Representa gráficamente la distribución.
Solución:
a)
Intervalo
Frecuencia
0-4
2
5-9
4
10 - 14
1
15 - 19
6
20 - 24
2
25 - 29
7
30 - 34
2
35 - 39
3
40 - 44
3 30
b)
Ejer ci ci o n º 7.-
En un reconocimiento médico que se ha realizado en un grupo de 30 niños, uno de los datos que se han tomado ha sido el peso, en kilogramos, de cada uno, obteniendo los siguientes resultados: 30
32
27
25
33
34
32
32
25
40
33
35
36
30
33
35
34
37
32
37
35
34
30
28
29
32
31
33
29
34
a) Haz una tabla de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de longitud 3, empezando en 24,5. b) Representa gráficamente la distribución.
Solución:
a) Intervalo
Frecuencia
24,5 - 27,5
3
27,5 - 30,5
6
30,5 - 33,5
10
33,5 - 36,5
8
36,5 - 39,5
2
39,5 - 42,5
1 30
b)
Ejer ci ci o n º 8.-
En una clase del instituto se ha preguntado a los alumnos por el número de horas que dedican a la semana a estudiar. Las respuestas han sido las siguientes: 15
10
16
12
10
5
1
7
10
12
15
20
2
3
4
10
8
5
3
9
10
8
5
10
16
16
10
2
3
10
a) Ordena los datos en una tabla de frecuencias, agrupándolos en los intervalos: 0 - 2, 3 - 5, 6 - 8, 9 - 11, 12 - 14, 15 - 17, 18 - 20 b) Representa gráficamente la distribución.
Solución:
a)
Intervalo
Frecuencia
0-2
3
3-5
7
6-8
3
9 - 11
9
12 - 14
2
15 - 17
5
18 - 20
1 30
b)
Ejer ci ci o n º 9.-
En unas pruebas de velocidad se ha cronometrado el tiempo que tardaba cada participante en recorrer cierta distancia fija. Los tiempos obtenidos, en segundos, han sido los siguientes: 10 8,3 8
9
8
8,5
9
8,1 9,2 9,4
10
8,3 9,3
14
12
13
10,1 9,2
14,5
10
9
9,5
10
8
8,1 8,2 8,1 8,5
12
8,1
a) Elabora una tabla de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de longitud 1, empezando en 7,9. b) Representa gráficamente la distribución.
Solución:
a)
Intervalo
Frecuencia
7,9 - 8,9
12
8,9 - 9,9
8
9,9 - 10,9
5
10,9 - 11,9
0
11,9 - 12,9
2
12,9 - 13,9
1
13,9 - 14,9
2 30
b)
Ejer ci ci o n º 10.-
Hemos medido la estatura, en centímetros, de 30 personas, obteniendo los siguientes resultados: 16 3 16 5 16 0 16 4 16 3
16 8 17 5 16 8 15 9 16 0
16 1 16 4 16 7 16 8 15 5
16 3 16 4 16 6 16 4 16 7
16 7 16 8 16 5 16 7 16 8
16 4 15 0 16 6 14 7 17 0
a) Elabora una tabla de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de longitud 5, empezando en 146,5. b) Representa gráficamente la distribución.
Solución:
a)
Intervalo
Frecuencia
146,5 - 151,5
2
151,5 - 156,5
1
156,5 - 161,5
4
161,5 - 166,5
12
166,5 - 171,5
10
171,5 - 176,5
1 30
b)
Ejer ci ci o n º 11.-
Halla la media y la desviación típica correspondientes a la siguiente distribución de edades: Intervalo
0-5
5 - 10
10 - 15
15 - 20
20 - 25
25 - 30
Frecuencia
3
9
12
9
15
2
¿Qué porcentaje tienen menos de 15 años?
Solución:
Hallamos la marca de clase,
x
x i ,
de cada intervalo y confeccionamos la tabla: 2
Intervalo
x i
f i
x i f i
f x i i
0-5
2,5
3
7,5
18,75
5 - 10
7,5
9
67,5
506,25
10 - 15
12,5
12
150
1875
15 - 20
17,5
9
157,5
2756,25
20 - 25
22,5
15
337,5
7593,75
25 - 30
27,5
2
55
1512,5
50
775
14262,5
f i x i
n
f x 2 i
n
i
77 5 15,5 50
x 2
14262,5 15,52 45 6,71 50
La edad media del grupo es de 15,5 años, con una desviación típica de 6,71 años. De 50 personas, 3 9 12 24 tienen menos de 15 años. Por tanto: 24 100
48 50 Luego el 48% tienen menos de 15 años. Ejer ci ci o n º 12.-
En un autobús escolar se les pregunta a los alumnos por el tiempo que tardan en llegar de su casa al autobús. Los resultados se recogen en la siguiente tabla:
TIEMPO (minutos)
0-5
5 - 10
10 - 15
15 - 20
20 - 25
N. de alumnos
20
13
18
5
4
Calcula la media y la desviación típica de esta distribución. ¿Qué tanto por ciento tarda más de 10 minutos?
Solución:
Hallamos la marca de clase,
x
x i ,
de cada intervalo y confeccionamos la tabla: 2
Intervalo
x i
f i
x i f i
f x i i
0-5
2,5
20
50
125
5 - 10
7,5
13
97,5
731,25
10 - 15
12,5
18
225
2 812,50
15 - 20
17,5
5
87,5
1 531,25
20 - 25
22,5
4
90
2025
60
550
7 225
f i x i
n
f x 2 i
i
n
55 0 9,17 60
x 2
7225 9,172 36,33 6,03 60
Los alumnos tardan, por término medio, 9,17 minutos, con una desviación típica de 6,03 minutos. De un total de 60 alumnos tardan más de 10 minutos 18 5 4 27 alumnos. Luego: 27 100 45 60 El 45% de los alumnos tardan más de 10 minutos.
Ejer ci ci o n º 13.-
Hemos lanzado un dado 100 veces, anotando el resultado obtenido cada vez. La información queda reflejada en la siguiente tabla:
a) Calcula la media y la desviación típica.
b) ¿Qué porcentaje de resultados hay entre
x
σ y
x
σ?
c ¿En qué tanto por ciento de los lanzamientos realizados, se ha obtenido una puntuación mayor que la media?
Solución:
a) 2
x i
f i
x i f i
f x i i
1
12
12
12
2
20
40
80
3
10
30
90
4
15
60
240
5
20
100
500
6
23
138
828
100
380
1750
x
f i x i
n
f x 2
i
i
n
380 3,8 100
1750
x 2
100
3,82 3,06 1,75
Hemos obtenido una puntuación media de 3,8, con una desviación típica de 1,75 puntos. b) x 2,05 x
En el intervalo 2,05; 5,55 hay 45 resultados, que representan un 45% del total. 5,55
c De un total de 100 lanzamientos, se ha obtenido una puntuación mayor que la media en 15 20 23 58 lanzamientos. Luego en el 58% de los lanzamientos se obtiene como resultado un número mayor que x .
Ejer ci ci o n º 14.-
Las notas de una clase obtenidas en un examen de matemáticas vienen recogidas en la siguiente tabla: Nota
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
N. de alumnos
1
1
2
2
6
4
5
3
3
2
a) Calcula la media y la desviación típica.
b) ¿Qué porcentaje de alumnos hay entre
x
σ y
x
σ ?
c ¿Qué porcentaje de alumnos está por encima de la media?
Solución:
a)
x
2
x i
f i
x if i
f x i i
1
1
1
1
2
1
2
4
3
2
6
18
4
2
8
32
5
6
30
150
6
4
24
144
7
5
35
245
8
3
24
192
9
3
27
243
10
2
20
200
29
177
1 229
f i x i
n
f x 2 i
n
i
177 6,1 29
x 2
1229 6,12 29
5,17 2,27
La nota media de la clase es de 6,1, con una desviación típica de 2,27. b) x 3,83 Entre 3,83 y 8,37 hay 20 alumnos, que representan un 68,97% del total. x 8,37
c Por encima de 6,1 hay 13 alumnos, que representan un 44,83% del total.
Ejer ci ci o n º 15.-
Al preguntar en 50 familias por el número de personas que forman el hogar familiar, hemos obtenido la información que se recoge en la siguiente tabla:
a) Calcula la media y la desviación típica. b) ¿Qué porcentaje de familias hay entre x
y
x
(ambos valores incluidos)?
c ¿Qué tanto por ciento de familias está por debajo de la media?
Solución:
a)
x
2
x i
f i
x i f i
f x i i
1
3
3
3
2
10
20
40
3
23
69
207
4
9
36
144
5
3
15
75
6
2
12
72
50
155
541
f i x i
n
f x 2 i
n
i
155 3,1 50
x 2
541 3,12 1,21 1,1 50
El número medio de personas que forman el hogar familiar es de 3,1, con una desviación típica de 1,1 personas. b) x 2 En el intervalo x 4,2
2;4,2
hay 42 familias, que representan un 84% del total.
c Por debajo de x 3,1 hay 3 10 23 36 familias de un total de 50. Luego: 36 100
72 50 El 72% de las familias están por debajo de la media. Ejer ci ci o n º 16.-
El sueldo medio de los trabajadores de una empresa, A , es de 900 euros al mes, con una desviación típica de 100 euros. En otra empresa, B , el sueldo medio es de 980 euros al mes con una desviación típica de 150 euros. Calcula el coeficiente de variación y di cuál de las dos empresas tiene mayor variación relativa en los sueldos.
Solución:
C.V. A C.V.B
A
x A
B
x B
100 0,11 11% 900
150 0,15 980
La variación es mayor en la empresa 15%
B.
Ejer ci ci o n º 17.-
El peso medio de una especie de animales, A , es de 21,3 kg y la desviación típica es de 2,5 kg. En otra especie de animales, B , el peso medio es de 125 kg y la desviación típica es de 13 kg. Calcula el coeficiente de variación y di cuál de las dos especies tiene mayor variación relativa en los pesos.
Solución:
0,117 11,7% x 21,3 La variación es un poco mayor en la primera. 13 C.V. 0,104 10,4% x 125 C.V. A
A
2,5
A B
B
B
Ejer ci ci o n º 18.-
El tiempo medio empleado en la fabricación de un cierto producto, A , es de 235 minutos con una desviación típica de 55 minutos. En otro producto, B , el tiempo medio empleado en su fabricación es de 42 minutos, con una desviación típica de 8 minutos. Calcula el coeficiente de variación y di en cuál de los dos casos hay mayor variación relativa.
Solución:
0,234 23,4% 235 x La variación es menor en B. 8 0,190 19% C.V. 42 x C.V. A
A
55
A B
B
B
Ejer ci ci o n º 19.-
La estatura media de un grupo, A , de personas es de 168 cm y su desviación típica es de 12 cm. En otro grupo, B , la estatura media es de 154 cm y su desviación típica, de 7 cm. Calcula el coeficiente de variación y compara la dispersión de ambos grupos.
Solución:
0,071 7,1% 168 x La dispersión es mayor en el grupo A. 7 C.V. 0,045 4,5% x 154 C.V. A
A
12
A B
B
B
Ejer ci ci o n º 20.-
La nota media de una clase, A , en un examen ha sido 5,5, con una desviación típica de 2,1. En otra clase, B , la nota media en el mismo examen ha sido 7,3 y la desviación típica, de 2,6. Calcula el coeficiente de variación y compara la dispersión de ambos grupos.
Solución:
0,382 38,2% 5,5 x La variación es un poco mayor en el grupo A. 2,6 0,356 35,6% C.V. 7,3 x C.V. A
A
A B
B
B
2,1
EJERCICIOS RESUELTOS. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.
Ejemplo 1: Según la Asociación de lucha contra la Bulimia y la Anorexia, las pautas culturales han determinado que la delgadez sea sinónimo de éxito social. Muchos jóvenes luchan para conseguir el “físico ideal” motivados por modelos, artistas o por la publicidad comercial. Durante el mes de marzo del año 2006, en el colegio “Alcántara” de la ciudad de Talca, después de las vacaciones de verano, se observó con precaución a 27 alumnos con síntomas de anorexia, registrándose los siguientes signos visibles: Dieta Severa Uso de Ropa Holgada Miedo a Engordar Dieta Severa Dieta Severa Hiperactividad Uso de Laxantes Uso de Laxantes Uso de Ropa Holgada a.
Miedo a Engordar Dieta Severa Dieta Severa Uso de Ropa Holgada Dieta Severa Uso de Laxantes Dieta Severa Hiperactividad Hiperactividad
Hiperactividad Uso de Laxantes Uso de Ropa Holgada Dieta Severa Uso de Ropa Holgada Miedo a Engordar Uso de Ropa Holgada Uso de Laxantes Dieta Severa
Resuma la información anterior en una tabla de distribución de frecuencias. Respuesta: Tabla de distribución de los signos visibles de 27 alumnos con síntomas de anorexia, en el colegio Alcántara de la ciudad de Talca durante el mes de marzo del año 2006. Signo Visible Número de alumnos Porcentaje de alumnos 9 33,3 Dieta severa Miedo a engordar 3 11,1 Hiperactividad 4 14,8 Uso de laxantes 5 18,5 Uso de ropa holgada 6 22,2 Total 27 100,0
b.
Construya un gráfico adecuado para resumir la información anterior. Respuesta: Gráfico de distribución de los signos visibles de 27 alumnos con síntomas de anorexia, en el colegio Alcántara de la ciudad de Talca durante el mes de marzo del año 2006.
c.
Calcule y comente alguna medida de resumen de estos datos. Respuesta: La única medida de resumen que es posible determinar es la moda, que en este caso corresponde al signo visible dado por la dieta severa. Interpretación : El signo visible que se observa con mayor frecuencia es el de una dieta severa.
Ejemplo 2: El tratamiento de los niños con desórdenes de la conducta puede ser complejo. El tratamiento se puede proveer en una variedad de escenarios dependiendo de la severidad de los comportamientos. Además del reto que ofrece el tratamiento, se encuentran la falta de cooperación del niño/niña y el miedo y la falta de confianza de los adultos. Para poder diseñar un plan integral de tratamiento, el siquiatra de niños y adolescentes puede utilizar la información del niño, la familia, los profesores y de otros especialistas médicos para entender las causas del desorden. Para ello, un siquiatra local ha considerado una muestra aleatoria de 20 niños, anotando el tiempo necesario que requiere en cada niño para lograr un plan integral del tratamiento, obteniéndose lo siguiente (en horas):
6 9
a.
7 9
7 9
8 9
8 10
8 10
8 10
9 10
9 10
9 11
Calcule las medidas de tendencia central y de dispersión de estos datos, indicando a qué tipo de medida pertenece. Respuesta:
Medidas de tendencia central: Pr omedio : x =
∑ xi
=
n Calculo de la Mediana: Datos ordenados: 1° 6
2° 7
3° 7
4° 8
176 = 8,8 horas 20
5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12° 13° 14° 15° 16° 17° 18° 19° 20° 8 8 8 9 9 9 9 10 10 10 10 10 11 9 9 9 Q1=8 Q2=9 Q3=10
(n +1 )
21 = 10,5 , por tanto la mediana será el valor 2 2 medio entre la décima y la undécima observación. Mediana = 9 horas. Moda = 9 horas (el valor que más se repite). Posición de la Mediana
Medidas de dispersión:
=
Desviación estándar: s = 1,24 horas. Rango = 11 – 6 = 5 horas. Cálculos para el rango entre cuartiles: El cuartil 1 será la mediana de los primeros 10 datos, es decir, se encuentra entre la quinta y sexta observación: Cuartil 1 = 8 horas. El cuartil 3 será la mediana de los últimos 10 datos, es decir, se encuentra entre la 15ava y 16ava observación: Cuartil 3 = 10 horas. Rango entre cuartiles = 10 – 8 = 2 horas.
b.
Dibuje un diagrama de caja. Comente el resultado acerca de la distribución. Respuesta: Para dibujar el gráfico de caja necesitamos verificar si existen valores extremos: Valores extremos: Xi < Q1 - 1,5 (Q 3 – Q1) 6 ? 8 – 1,5 (10 – 8) = 8 – 3 = 5 6 no es menor que 5, por lo tanto 6 no es un valor extremo. Xi > Q3 + 1,5 (Q3 – Q1) 11 ? 10 + 3 = 13 11 no es mayor que 13, por lo tanto 11 no es un valor extremo. Distribución del tiempo necesario para diseñar un plan integral de un tratamiento que requiere un niño con desordenes de la conducta.
La caja muestra cierta simetría, aunque los bigotes dicen lo contrario, mostrando un sesgo a la izquierda. c.
Dibuje un diagrama de tallo y hoja. Comente el resultado acerca de la distribución. Respuesta: Distribución del tiempo necesario para diseñar un plan integral de un tratamiento que requiere un niño con desordenes de la conducta.
Horas Stem-and-Leaf Plot Frequency 1.00 2.00 4.00 7.00 5.00 1.00 Stem width: Each leaf:
Stem & 6 7 8 9 10 11
. . . . . .
Leaf 0 00 0000 0000000 00000 0
1.00 1 case(s)
La distribución no es simétrica con un leve sesgo a la izquierda.
Ejemplo 3: Dos profesores ( A y B) están interesados en estudiar los hábitos de sueño de los estudiantes en sus clases. Ambos profesores registran el tiempo (en minutos) que demoran en quedarse dormidos sus alumnos desde que empieza la clase. El gráfico muestra los tiempos que demoran en quedarse dormidos los alumnos del profesor A. 22 21 20 19 18 17 16 15 14
s 13 o t u 12 n i m 11 n e o 10 p m 9 e i T 8 N=
19
Profesor A
a.
¿Cuál es el valor aproximado de las medidas de dispersión del tiempo del Profesor A?. Respuesta: Las medidas de dispersión que podemos conocer a partir de un gráfico de caja son el Rango y el Rango entre cuartiles. Para calcular la desviación estándar necesitamos todos los datos. El Rango es máximo – mínimo = 2 – 9 = 12 minutos = Rango. El Rango entre cuartiles es cuartil 3 – cuartil 1 = 17 – 14 = 3 minutos = RQ.
b.
¿Qué porcentaje de alumnos se queda dormido antes de los 14 minutos con el Profesor A?. Justifique. Respuesta: 14 minutos corresponde al cuartil 1 de los tiempos del Profesor A, por lo tanto el 25% de los alumnos se queda dormido antes de los 14 minutos.
c.
Los datos del Profesor B son los siguientes:
10,5 11,3 11,9 12 12,3 12,3 12,5 12,7 13,4 13,7 13,8 14,2 14,8 15,1 15,3 16,7 16,8 18,8 20,8
Construya un diagrama de caja correspondiente a los tiempos en que se quedan dormidos los alumnos en la clase del Profesor B.
Respuesta: Para dibujar el gráfico de caja necesitamos calcular los cuartiles, y verificar si existen valores extremos: 1° 2° 3° 4° 6° 7° 8° 9° 5° 10° 10,5 11,3 11,9 12 12,5 12,7 13,4 12,3 12,3 13,7
Q1
11° 13,8
12° 14,2
13° 14,8
14° 15,1
15° 15,3 Q3
Q2
16° 16,7
17° 16,8
18° 18,8
(n +1 )
19° 20,8
20 = 10 , por lo 2 2 tanto la mediana se ubica en el décimo valor ordenado... la mediana es 13,7. Cálculo de la mediana: La posición de la mediana
=
Cálculo del Cuartil 1: El cuartil 1 es la mediana de los primeros 9 valores ordenados, por lo tanto, corresponde al quinto valor, el cuartil 1 es 12,3. Cálculo del Cuartil 3: El cuartil 3 es la mediana de los últimos 9 valores ordenados, por lo tanto, se ubica en el 15-avo valor, el cuartil 3 es 15,3. Cálculo de valores extremos: Q1 – 1,5 (Q3 – Q1) = 12,3 – 1,5 (15,3 – 12,3) = 7,8. 10,5 no es mayor que 7,8, por lo tanto, 10,5 no es un valor extremo. Verificaremos si el máximo es un valor extremo si 20,8 es mayor que: Q3 + 1,5 (Q 3 – Q1) = 15,3 – 1,5 * 3 = 19,8. 20,8 es mayor que 19,8, por lo tanto, 20,8 es un valor extremo. Verificamos si el siguiente número es valor extremo: 18,8 no es mayor que 19,8, por lo tanto, no hay más valores extremos. Con estos elementos, finalmente se construye el gráfico de caja:
Ejercicios y problemas resueltos de probabilidad condicionada 1.- Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A
B)= 1/4.
Determinar: 1 2 3 4 5 2.- Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/3, p(B) = 1/4, p(A
Determinar:
B) = 1/5.
1 2 3
4
5
6
3.- En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua
extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica? 4.- De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la
probabilidad de que:
2 Al menos una sea copas. 3Una sea copa y la otra espada.
5.- Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas
correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados. 6.- Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la
mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa. 1 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie
francés? 2¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?
7.- Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles
con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa. 1 Hacer una tabla ordenando los datos anteriores. 2Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde. 3Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos. 4Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la
mañana. 8.- Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al
azar, hallar la probabilidad de: 1 Seleccionar tres niños. 2Seleccionar exactamente dos niños y una niña. 3Seleccionar por lo menos un niño. 4Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
9.- Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras
y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.
10.- Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza
por dos del otro color. A continuación, se extrae una segunda bola. Se pide: 1 Probabilidad de que la segunda bola sea verde. 2Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.
11.- En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos
juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además hay un 60% que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase: 1 Juegue sólo al fútbol. 2Juegue sólo al baloncesto. 3Practique uno solo de los deportes. 4No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.
12.- En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene
ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar: 1 Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos
castaños? 2Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos
castaños? 3¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?
13.- En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y
15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso: 1 ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas? 2Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de
que sea hombre?
14.- Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas,
la urna B contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un número menor que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 ó más, nos vamos a la urna B. A continuación extraemos una bola. Se pide:
2Probabilidad de que la bola sea blanca.
15.- Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual
consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5. 1 Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el
despertador? 2Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el
despertador?
16.- En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un
libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar. 1 ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela? 2Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro
seleccionado por A sea de poesía?
17.- Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan
gafas. Si el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad de encontrarnos: 1 Con una persona sin gafas. 2Con una mujer con gafas.
18.- En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo
con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él una llave para abrir el trastero. Se pide: 1 ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave? 2¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no
abra? 3Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca
al primer llavero A?
Soluciones Ejercicios y problemas resueltos de probabilidad condicionada 1.- Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A
B)= 1/4.
Determinar: 1 2 3 4 5 Solución: Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A
1
2
3
B)= 1/4. Determinar:
4
5
2.- Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/3, p(B) = 1/4, p(A
B) = 1/5.
Determinar: 1 2 3
4
5
6
Solución:
Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/3, p(B) = 1/4, p(A 1/5. Determinar: 1
B) =
2
3
4
5
6
3.- En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua
extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?
Solución:
p(chica) = 0.9 · 0.7 + 0.1 · 0.6 =
0.69
4.- De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la
probabilidad de que: 1 Las dos sean copas. 2 Al menos una sea copas. 3Una sea copa y la otra espada. Solución: 1
Las dos sean copas.
2Al
menos una sea copas.
3Una
sea copa y la otra espada.
5.- Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas
correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.
Solución:
6.- Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la
mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa. 1 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie
francés? 2¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?
Solución:
1.-
2¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?
7.- Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles
con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa. 1 Hacer una tabla ordenando los datos anteriores. 2Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.
4Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la
mañana.
Solución: 1 Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.
2Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.
3Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
4Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.
8.- Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al
azar, hallar la probabilidad de: 1 Seleccionar tres niños. 2Seleccionar exactamente dos niños y una niña. 3Seleccionar por lo menos un niño. 4Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
Solución: 1
Seleccionar tres niños.
2Seleccionar
exactamente dos niños y una niña.
3Seleccionar
por lo menos un niño.
4Seleccionar
exactamente dos niñas y un niño.
9.- Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras
y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.
Solución:
10.- Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza
por dos del otro color. A continuación, se extrae una segunda bola. Se pide: 1 Probabilidad de que la segunda bola sea verde. 2Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.
Solución: 1 Probabilidad de que la segunda bola sea verde.
2Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.
11.- En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos
juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además hay un 60% que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase: 1 Juegue sólo al fútbol. 2Juegue sólo al baloncesto. 3Practique uno solo de los deportes. 4No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.
Solución: 1 Juegue sólo al fútbol.
2Juegue sólo al baloncesto.
3Practique uno solo de los deportes.
4No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.
12.- En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene
ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar: 1 Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos
castaños? 2Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos
castaños? 3¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?
Solución:
Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños? 1
2Si
tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?
3¿Cuál
es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?
13.- En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y
15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso: 1 ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas? 2Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de
que sea hombre?
Solución: 1
la probabilidad de que sea mujer y no use gafas es:
2Si
sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de que sea hombre?
14.- Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas,
la urna B contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un número menor que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 ó más, nos vamos a la urna B. A continuación extraemos una bola. Se pide: 1 Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B. 2Probabilidad de que la bola sea blanca.
Solución: 1
Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B.
2Probabilidad
de que la bola sea blanca.
15.- Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual
consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5. 1 Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el
despertador? 2Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el
despertador?
Solución:
Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador? 1
2Si
no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?
16.- En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un
libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar. 1 ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela? 2Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro
seleccionado por A sea de poesía?
Solución:
¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela? 1
2Si
se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesía?
17.- Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan
gafas. Si el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad de encontrarnos: 1 Con una persona sin gafas. 2Con una mujer con gafas.
Solución: 1
Con una persona sin gafas.
2Con
una mujer con gafas.
18.- En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo
con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él una llave para abrir el trastero. Se pide: 1 ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave? 2¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no
abra? 3Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca
al primer llavero A? Solución: 1
¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?
2¿Cuál
será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?
3Y
si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A?
EJERCICIOS RESUELTOS TRIGONOMETRÍA I Cuestión 1.-
Cuestión 2.-
Cuestión 3.-
Cuestión 4.-
Cuestión 5.-
Sabiendo que cos α = ¼ , y que 270º < α <360°. Calcular las restantes razones trigonométricas del
ángulo α.
Cuestión 6.- Sabiendo que tg
ángulo α.
= 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del
α
Cuestión 7.-
Sabiendo que sec α = 2, 0<
Cuestión 8.- Calcula las razones de
a) 225°
b) 330°
c) 655°
α
<
/2, calcular las restantes razones trigonométricas.
los siguientes ángulos:
d) −840º
Cuestión 9.-
Cuestión 10.-
Cuestión 11.-
Cuestión 12.-
Cuestión 13.- Comprobar las identidades:
a)
b)
c)
d)
e)
Cuestión 14.-
Cuestión 15.a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Cuestión 16.-
Cuestión 17.-
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo
Cuestión 18.-
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resolver el triángulo.
Cuestión 19.-
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo.
Cuestión 20.-
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo.
Cuestión 21.-
Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.
Cuestión 22.-
Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?
Cuestión 23.-
Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70º
Cuestión 24.-
Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.
Cuestión 25.-
Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.
Cuestión 26.-
La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.
Cuestión 27.-
Cuestión 28.-
Cuestión 29.-
Cuestión 30.-
Cuestión 31.-
Cuestión 32.-
Cuestión 33.-
Cuestión 34.-
Cuestión 35.-
Cuestión 36.-
Cuestión 37.-
Cuestión 38.-
Cuestión 39.-
Cuestión 40.-
Cuestión 41.-
Cuestión 42.-
Cuestión 43.-
Cuestión 44.-
Ejercicios Resueltos del Algebra de Baldor. Consultado en la siguiente dirección electrónica http://www.quizma.cl/matematicas/recursos/algebradebaldor/index.htm . Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente. Reducción de dos términos semejantes del mismo signo Procedimiento Para reducir términos semejantes con el mismo signo se suman los coeficientes de todos los términos y se antepone al coeficiente total el mismo signo que comparten, y a continuación se escribe la parte literal.
Reducir: 1. x + 2 x. Solución: El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 1 y 2. La parte literal igual en todos los términos es x . 1 + 2 = 3; → x + 2 x = 3 x . 2. 8a + 9a Solución: El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 8 y 9. La parte literal igual en todos los términos es a. 8 + 9 = 17; → 8a + 9a = 17a. 3. 11b + 9b Solución: El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 11 y 9. La parte literal igual en todos los términos es b. 11 + 9 = 20; → 11b + 9a = 20b. 4. ‐b ‐ 5b. Solución: El signo común a todos los términos es el ‐. Los coeficientes de los términos son 1 y 5. La parte literal igual en todos los términos es b. 1 + 5 = 6; → ‐b ‐ 5b = ‐6b. 5. ‐8m ‐ m Solución: El signo común a todos los términos es el ‐. Los coeficientes de los términos son 8 y 1. La parte literal igual en todos los términos es m. Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
8 + 1 = 9;
→
‐8m ‐ m
= ‐9m.
6. ‐9m ‐ 7m Solución: El signo común a todos los términos es el ‐. Los coeficientes de los términos son 9 y 7. La parte literal igual en todos los términos es m. 9 + 7 = 16; → ‐9m ‐ 7m = ‐16m.
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Reducción de dos términos semejantes de distinto signo Procedi miento Para reducir dos términos semejantes de distinto signo, se halla la diferencia entre los coeficientes de los términos, colocando antes de esta diferencia el signo del coeficiente mayor (en valor absoluto) y a continuación se escribe la parte literal.
Nota: dos términos semejantes con igual coeficiente y distinto signo se anulan.
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos
Procedimiento Para reducir un polinomio con más de dos términos semejantes y con signos distintos, se procede así: 1) Se reducen a un solo término todos los positivos. 2) Se reducen a un solo término todos los negativos. 3) Se calcula la diferencia entre los coeficientes de los términos hallados en los dos pasos anteriores. 4) El signo que precederá la diferencia hallada en el paso anterior será el que tenga el coeficiente mayor en valor absoluto de los términos hallados en los pasos (1) y (2). 5) Por último, se escribe la parte literal.
R e d u c i r:
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Reducción de términos semejantes Reducción de un polinomio que contenga términos semejantes de diversas clases Procedimiento 1. Se agrupan los términos semejantes de cada clase en un mismo paréntesis 2. Se reducen los términos semejantes 3. Se da la respuesta, ordenando el polinomio resultante Nota: recordemos que los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas letras y afectadas por los mismos exponentes
Reducir los polinomios siguientes:
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Productos notables a) Cuadrado de la suma de dos cantidades Procedimiento 1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio 2. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad" 3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
b) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades Procedimiento 1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio 2. "El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad" 3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
c) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades Procedimiento 1. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo" 2. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
d) Cubo de un binomio Procedimiento 1. Se desarrolla el paréntesis, observando si se trata del cubo, de la suma o la diferencia de dos cantidades; en el primer caso se procede como indica el paso 2, en el segundo caso se aplica el enunciado del paso 3: 2. "El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda" 3. "El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda" 4. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
e) Producto de dos binomios de la forma ( x + a)( x + b)
Procedimiento 1. El desarrollo de los paréntesis da un trinomio 2. El primer término será el cuadrado del primer término de los paréntesis (igual en ambos) 3. El segundo término será el producto de la suma de los términos independientes por el primer término común de los paréntesis 4. El tercer término será el producto de los términos inde pendientes
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Ejercicios varios.
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
e) Factor común Procedimiento 1. Se identifica el factor común 2. Se divide cada término del polinomio por el factor común 3. Se escribe el factor común y a continuación, dentro de un paréntesis, los cocientes hallados en el paso anterior (cada uno precedido de su respectivo signo)
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
f) Factor común por agrupación de términos Procedimiento 1. Se agrupan los términos convenientemente, utilizando paréntesis 2. Se saca factor común de cada uno de los paréntesis 3. Se realiza una segunda factorización (el factor común será, en este caso, el paréntesis
Factorizar o descomponer en dos factores:
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
g) Trinomio cuadrado perfecto Definición : Una cantidad es un cuadrado perfecto cuando es el resultado del producto de dos factores iguales.
Procedimiento 1. Se ordena el trinomio 2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos 3. Se halla el doble producto de las raíces obtenidas en el paso anterior 4. Si el producto hallado en el paso anterior es igual al segundo término del trinomio y si el primero y tercer términos tienen igual signo, se trata de un trinomio cuadrado perfecto y se Factorizar como tal. 5. Se escribe dentro de un paréntesis las raíces cuadradas del primer y tercer término, separadas por el signo del segundo término, y el paréntesis elevado al cuadrado. Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
h) Diferencia de cuadrados perfectos Procedimiento 1. Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo 2. Se abren dos paréntesis 3. En el primer paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las raíces halladas en el paso 1.
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
i) Diferencia de cuadrados perfectos (caso especial) Procedimiento 1. Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo 2. Se abren dos paréntesis 3. En el primer paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las raíces halladas en el paso 1. 4. Se reduce, si es el caso
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
j) Trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados perfectos (combinación de estos dos casos) Procedimiento 1. Se identifica el trinomio cuadrado perfecto (o los ...) 2. Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto 3. Se factoriza la diferencia de cuadrados resultante 4. Se reduce, si es el caso
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
k) Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Procedimiento 1. Se ordena el trinomio 2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos 3. Se halla el doble producto de las raíces halladas en el paso anterior 4. Se compara el resultado obtenido en el paso anterior con el segundo término del trinomio 5. Se suma o resta, según el caso, la cantidad necesaria para crear el segundo término del trinomio cuadrado perfecto 6. Se resta o se suma la misma cantidad que se sumo o resto en el paso anterior, para que el valor de la expresión no se altere
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
l) Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción Factorizar una suma de dos cuadrados
Procedimiento 1. 2. 3. 4. 5.
Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos Se halla el doble producto de las raíces halladas en el paso anterior Se suma y se resta el producto hallado en el paso anterior Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto así formado Se factoriza la diferencia de cuadrados
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Procedimiento 1. Se ordena el trinomio 2. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio 3. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis 4. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio 5. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo paréntesis 6. Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 7. Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 8. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis 9. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la búsqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Casos especiales
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Procedimiento
Para Factorizar esta clase de trinomios se lleva a la forma y se factoriza 1. Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer término, esto es por a 2. Se escribe el trinomio de una forma adecuada (de la forma x2 + bx+ c) 3. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio 4. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis 5. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio 6. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo paréntesis 7 Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 8 Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 9. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis 10. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la búsqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8 11. Se factorizan los paréntesis que tengan factor común 12. Se simplifica
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Factorizar una expresión que es el cubo de un binomio Procedimiento El desarrollo del cubo de un binomio es:
En esta clase de ejercicios se nos da una expresión como el miembro derecho de las identidades anteriores, es decir un cuadrinomio; y debemos constatar si se trata de un cubo perfecto de binomios (como los miembros izquierdos de las expresiones anteriores); para lo cual debemos proceder: 1. Se ordena el cuadrinomio en forma descendente o ascendente respecto a una letra 2. Se extrae la raíz cúbica del primero y cuarto términos del cuadrinomio 3. Se observa si todos los signos son positivos o si se alternan positivo‐negativo‐ positivo‐negativo 4. Se triplica el cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto término y se compara con el segundo término del cuadrinomio dado 5. Se triplica la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del cuarto término y se compara con el tercer término del cuadrinomio dado 6. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son positivas, se trata del desarrollo del cubo de un binomio y se factoriza como tal: dentro de un paréntesis se escriben las raíces cúbicas del primero y cuarto términos del cuadrinomio y separadas por el signo más o por el signo menos, según el caso; y se eleva al cubo el paréntesis 7. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son negativas, no se trata del desarrollo del cubo de un binomio y no se puede factorizar como tal
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Suma o diferencia de cubos perfectos Procedimiento 1. Se abren dos paréntesis 2. En el primer paréntesis se escribe la suma o la diferencia, según el caso, de las raíces cúbicas de los dos términos 3. En el segundo paréntesis se escribe el cuadrado de la primera raíz, menos (si es una suma de cubos) o más (si es una diferencia de cubos) el producto de la primera raíz por la segunda, mas el cuadrado de la segunda raíz
Descomponer en dos factores:
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Casos especiales Procedimiento 1. Se abren dos paréntesis 2. En el primer paréntesis se escribe la suma o la diferencia, según el caso, de las raíces cúbicas de los dos términos 3. En el segundo paréntesis se escribe el cuadrado de la primera raíz, menos (si es una suma de cubos) o más (si es una diferencia de cubos) el producto de la primera raíz por la segunda, mas el cuadrado de la segunda raíz
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Combinación de casos de factores Descomposición de una expresión algebraica en tres factores Procedimiento 1. Se saca el factor común 2. Se factoriza la expresión resultante, aplicando el método de factorización requerido por la forma del polinomio (estudiados en los diez casos de factorización: Ejercicios 89 a 110)
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Descomponer en tres factores:
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Descomposición de una expresión algebraica en cuatro factores
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Descomposición de un polinomio en factores por el método de evaluación Procedimiento Recordemos que "un polinomio entero y racional en x, que se anula para x = a, es divisible por x - a" (Corolario del Teorema del residuo) 1. Sacamos los divisores del término independiente 2. Hallamos el valor del polinomio, P( x), para cada uno de los divisores hallados en el paso anterior 3. Tomamos como correcto el divisor, a, para el cual el polinomio se anula (da cero): hemos hallado uno de los factores del polinomio; este factor es, x - a 4. Buscamos los coeficientes del otro factor por medio de la "División sintética" Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],,
[email protected] [email protected] [email protected],, joeldama@yahoo
[email protected] .com
Ejercicios varios sobre la descomposición en factores
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],,
[email protected] [email protected] [email protected],, joeldama@yahoo
[email protected] .com
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],,
[email protected] [email protected] [email protected],, joeldama@yahoo
[email protected] .com
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],,
[email protected] [email protected] [email protected],, joeldama@yahoo
[email protected] .com
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],,
[email protected] [email protected] [email protected],, joeldama@yahoo
[email protected] .com
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],,
[email protected] [email protected] [email protected],, joeldama@yahoo
[email protected] .com
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],,
[email protected] [email protected] [email protected],, joeldama@yahoo
[email protected] .com
Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de Ruffini Ruffini:: Decir que un polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros que al sustituirlos en el polinomio nos da cero.
Si un polinomio de, por ejemplo, cuarto grado , tiene cuatro raíces enteras,, , , , se factoriza
Pero ¿cómo se obtienen las raíces?, por la regla de Ruffini Ejemplo: Factorizar 4 16 16 12 Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente, en este caso de 12. O sea que se prueba con 1, ‐1, 2, ‐2, 3, ‐3, 4, ‐4, 6, ‐6, 12 y –12 Probemos con uno
Se copian los coeficientes del polinomio: 1
‐4
‐1
16
‐12
Y se escribe en una segunda línea el número uno 1
‐4
‐1
16
‐12
16
‐12
1
El primer coeficiente se copia abajo en una tercera línea 1
‐4
‐1
1
1 Se multiplica ese coeficiente, uno (1), por el número que estamos probando, en este caso también uno (1), o sea uno por uno = uno (1). Este uno se escribe debajo del siguiente coeficiente, o sea del –4 1
‐4
‐1
16
‐12
‐1
16
‐12
1
1
1 Se suma –4+1= suma –4+1=‐3 1
‐4
1
1 ‐3
1
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],,
[email protected] [email protected] [email protected],, joeldama@yahoo
[email protected] .com
Se multiplica –3 por 1=‐3 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, ‐1 1
‐4
‐1 ‐3
1
1 ‐3
1
16
‐12
Se suma –3‐1=‐4 y así sucesivamente 1
‐4
‐1
16 ‐12 ‐3 ‐4 1 1 12 ‐3 ‐4 1 12 0 Como vemos la última suma ha dado cero. Eso quiere decir que uno es una raíz del polinomio y que nos sirve para Factorizar.
Si hubiera dado distinto de cero habría que seguir probando los demás divisores de 12. Los coeficientes que han quedado en la última fila, en realidad son los coeficientes del cociente de dividir el polinomio entre x‐1, y la última suma es el resto de dicha división. Si escribimos la relación fundamental de una división entera, o sea que Dividendo=Divisor x Cociente + Resto
4 16 12 1 3 4 12 De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado hay que intentar seguir factorizando, de nuevo por la regla de Ruffini. Aplicando sucesivas veces esta regla queda: 1 1
1 2
1
‐2 1
‐4
‐1
1 ‐3 2 ‐1 ‐2 ‐3
‐3 ‐4 ‐2 ‐6
16 ‐4 12 ‐12 0
‐12
12 0
6 0
Como las raíces son, 1, 2 y –2 y el último cociente es x‐3 La factorización final es: 4 16 12 1 2 2 3 Si en las sucesivas pruebas no encontramos ningún resto cero, quiere decir que el polinomio no se puede factorizar dentro de los números reales.
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades Procedimiento 1. Factorizamos la diferencia de cuadrados en el numerador 2. Simplificamos.
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades Procedimiento 1. Factorizamos la diferencia o la suma, según el caso, de cubos en el numerador 2. Simplificamos.
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Recopilador: Dámaso Rojas. www.galeon.com/damasorojas/
[email protected],
[email protected],
[email protected]
