informe probabiliades

Informe de matemática: PROBABILIDADES

Índice Páginas Introducción…………………………………………………………………………………………

2

Definición de Probabilidad………… ……………………………………………… ……………………… ……………………………………… ………………

3

Propiedades de las probabilidades ……………………………………………………………… 3-4

Definición de eventos y sucesos………………… sucesos………………………………………… ……………………………………………… ………………………

4

Probabilidad clásica o ley de Laplace…………………………………………………………… 5-6

Ley de los Grandes Números……………………………… Números……… ……………………………………………… ……………………………………… ………………

6

Frecuencia relativa …………………………………………………………………………………… 7

Probabilidad de sucesos……………………… sucesos……………………………………………… ……………………………………………… …………………………… ……

8

Espacio muestral……………………………………………………………………………………… 9 Suceso equiprobable………………………………………………………………………………… 9 Experimento aleatorio, determinista, compuesto ……………………………………………… 10 Tabla de frecuencia ………………………………………………………………………………… 11-12

Diagrama de árbol…………………… árbol…………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………… ………………… 12 …………………………………………………………………………… ………………………………… 13 Complemento de un evento ………………………………………… Teoría de conjunto……………………… conjunto……………………………………………… ……………………………………………… ……………………… ……………… 13 Unión de conjuntos……………………… conjuntos……………………………………………… ……………………………………………… …………………………………… ……………

14

Variable aleatoria, discreta, continua …………………………………………………………… 15-17

condicionada……………………………………………… ………………………………………………… ………………………… … Probabilidad condicionada……………………

17

Intersección……………………………………………………………………………………………

18

Combinaciones, permutaciones y variaciones ………………………………………………… 18-19

Aplicación, problemas probabilidades…………………………………………………………… 20-22 Conclusión…… Conclusión…………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………… 23

1 a n i g á P


Introducción

Podemos tomar decisiones, decir: si o no (solo dos opciones), o bien,

“dejarlo al azar”, entonces, es ahí cuando comienza el tema que se encuentra en este informe, ya que el “sí” o el “no”, se transforman en una decisión de uno, si no en la probabilidad de un fracaso o un éxito, y que eso no depende de nosotros, porque existe un 50 y 50 por ciento de que ocurra cualquiera de

los dos, el “sí” o el “no” Responder esa incógnita comienza en el siglo XVII cuando Pierre Fermat y Blaise Pascal trataron de resolver algunos problemas relacionados con el juego de azar. O algunos dicen comenzar cuando Cordanos escribió “El libro de los Juegos de Azar” en 1520.

Como también este amplio concepto se ha llevado a otros ámbitos desde el siglo XIX, el fraile Gregor Mendel, con su estudio de la Herencia(genética), con su obra “La Matemática de la Herencia”, con sus interesantes experimentos sobre el cruce de planta de diferentes características, hace pié para abrir en el campo de la medicina. Pero el concepto siempre ha estado en la mente del ser Humano; recorriendo

históricamente desde; Sumerios y Asirios utilizando un hueso extraído del talón de un animal(denominado astrágalo o talus), que la tallaban en cuatro siendo un precursor del dado.

Otro caso en la civilización Egipcia, muestra tanto astrágalos y/o tableros para el registro de sus resultados.

Es así, que dejamos a disposición del lector el mundo de las probabilidades, tan importantes diariamente, que tal vez sin darnos cuenta las usamos más a diario que ninguna otra aplicación. Presentamos desde su definición, propiedades, utilización, entre otros. 2 a n i g á P


PROBABILIDAD Buscar la definición de probabilidad es variada, por ejemplo; según el Diccionario RAE1, probabilidad se define así: (Del lat. probabilĭtas, - ātis ). ātis ). f. Verosimilitud o fundada apariencia de verdad. f. Cualidad de probable, que puede suceder. f. Mat. En un proceso aleatorio, razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

Y por el lado de la página web “profesor en línea”:2 “Las probabilidades constituyen una rama de las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o

experimento produzca un determinado resultado. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la

estadística.”

Propiedades de las Probabilidades La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario

vale

1,

por

tanto

la

probabilidad

del

suceso

contrario es:

Probabilidad del suceso imposible es cero.

La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección. 3 a 1

Diccionario de la Real Academia Española- Vigésima segunda Edición(2001) 2 http://www.profesorenlinea.cl/matematica/probabilidades.htm

n i g á P


Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste.

Si

A1,

A2,

...,

Ak

son

incompatibles

dos

a

dos

entonces:

Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = { x 1 , x 2 , ..., x n } entonces:

Por ejemplo la probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es: P(par) = P(2) + P(4) + P(6)

Eventos o sucesos Suceso o evento como definición, según el Diccionario RAE 3;

“En un experimento aleatorio, subconjunto del total de resultados posibles ” Y según “sitio de física y matemática” 4; “Se llama evento o suceso a todo su bconjunto de un espacio muestral”.

3

Diccionario de la Real Academia Española- Vigésima segunda Edición(2001)

4

http://www.jfinternational.com/mf/probabilidades-definiciones.html

4 a n i g á P


Probabilidad clásica o Ley de Laplace

(Beaumont-en-Auge; 28 de marzo de 1749

París; 5 de marzo de 1827) Fué un astrónomo, físico y matemático francés. -

Él plantea en resumen lo siguiente; la probabilidad, (p), de ocurrencia de un fenómeno A (o evento, suceso, modalidad de una variable...) en un experimento aleatorio de resultados equiprobables es igual al nº de casos favorables, también llamados éxitos, (símbolo: f ó r) dividido por el nº de casos posibles (N).

Como f puede estar entre 0 y N, los valores posibles de p van de 0 a 1.

Suelen expresarse, salvo el 0 y el 1, con 3 ó 4 decimales. También se puede expresar como porcentaje, entre 0% y 100%. A veces es conveniente, por ser más manejable, expresarlo como fracción. 5 O en otras palabras, dice que

“si en un experimento aleatorio el espacio

muestral “E” tiene “N” elementos igualmente probables y un evento “A”, subconjunto de “E”, tiene “Na” elementos, entonces diremos que l a probabilidad de que dicho evento ocurra es: 5 a 5

http://www.eduardobuesa.es/Tema09.pdf

n i g á P


N: en el número de casos posibles Na: es el número de caos favorable al evento A” 6 Explicada que es lo que se define en la ley, para lo que sirve es para asignar probabilidades a sucesos equiprobables, o sea que tengan todos, la misma

posibilidad de ocurrir, está dada por la siguiente fó rmula:

“La Probabilidad de un suceso elemental es igual al cociente entre el número de casos favorables a ese suceso y el número de casos posibles” Veamos los siguientes ejemplos: Tenemos un dado y queremos calcular la probabilidad de obtener los siguientes resultados, sabiendo que nuestro espacio muestral muestral es E: (1, 2, 3, 4, 5, 6): Obtener un numero par: los casos favorables son (2, 4, 6), La probabilidad de que salga un numero par es de tres puesto que tenemos de un total de seis

números, tres que son pares. 7

Ley de los grandes números También llamada ley del azar, afirma que al repetir un experimento aleatorio un número de veces, la frecuencia relativa de cada suceso elemental tiene a aproximarse a un número fijo, llamado probabilidad de un suceso. Como ejemplo presentamos una tabla, en la que sean anotado las

frecuencias relativas del suceso “salir cara al lanzar una moneda” Lanzamientos Lanzamientos 100 Fi 56 0’56 Hi 6

7

150 68 0’45

200 108 0’54

300 132 0’44

400 208 0’52

http://diccio-mates.blogspot.com/2009/09/probabilidad-clasica-regla-de-laplace.html http://sauce.pntic.mec.es/~rmarti9/laplace2.html

500 255 0’51 6 a n i g á P


Al aumentar los lanzamientos, las frecuencias relativas se aproximan a un

valor 0’5. Ésa es la probabilidad del suceso cara al lanzar una moneda

Frecuencia Relativa El interés por la frecuencia relativa y su relación con el concepto de probabilidad aparece a lo largo de los siglos XVIII a XX al observar el comportamiento de numerosas repeticiones de experimentos reales. A título de ejemplo de un experimento de este tipo, supongamos que se dispone de una moneda ideal perfectamente equilibrada. Aplicando directamente la regla de Laplace resulta claro que el suceso A = obtener cara tiene cara tiene probabilidad:

Entonces se dice que la frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de de un determinado valor y el número total de datos La frecuencia relativa se puede expresar en tantos por ciento y se representa por n i .

La suma de las frecuencias relativas es ig ual a 1 8

Probabilidad de sucesos 8

http://www.ditutor.com/estadistica/frecuencia_relativa.html

7 a n i g á P


Un suceso es

cada uno

de los resultados

posibles de

una

experiencia aleatoria. 9 Por ejemplo; al lanzar una moneda salga caray que al lanzar un dado se obtenga 4. Hay diferentes tipos de sucesos, como lo son: 1.

, es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral

2.

, es cualquier subconjunto del espacio muestral

,

3.

está

formado

por

todos

los

posibles

resultados(es decir, por el espacio muestral).

es el que no tiene ningún elemento

4.

,

5.

A y B son sompatibles cuando tienen

algun suceso elemental común. 6.

,

cuando

A

y

B

no

tienen

ningún

elemento en común. 7.

, cuando A y B la probabilidad A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.

8.

, A y B son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

, sería que A que se realiza cuando no se

9. realiza B

Espacio Muestral 9

http://www.ditutor.com/probabilidad/sucesos_probabilidad.html

8 a n i g á P


Espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento o fenómeno aleatorio. Lo denotamos con la letra . Ejemplo: lanzar una moneda,lanzar dos dados. Como ejemplo; El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es:

También otro ejemplo sería el experimento de arrojar un dado y ver qué sale. En este caso, el espacio muestral es:

10

Suceso equiprobable Se dice que dos suceos posibles de un experimento son equiprobables cuando la probabilidad de ocurrencia de ambos sucesos es la misma. Matemáticamente:

Seindo E y B resultados posibles de un mismo experimento.

Experimentos 9 a 10

http://www.educared.org/wikiEducared/Experimentos_aleatorios._ http://www.educared.or g/wikiEducared/Experimentos_aleatorios._Espacio_muestral.Sucesos.html Espacio_muestral.Sucesos.html

n i g á P


Si al realizar un experimento en unas determinadas condiciones varias veces se obtiene el mismo resultado, se dice que el experimento es determinista. Podemos decir que en los experimentos deterministas se puede predecir el resultado. En este caso están las leyes de la física.

Ejemplos: 1. Si calentamos agua, esta ebullirá a 100ºC. 2. Si se deja caer un objeto desde una altura, éste tardará el mismo tiempo en llegar al suelo.

Cuando en similares condiciones experimentales se obtienen distintos resultados se dice que el experimento es aleatorio. Los juegos de azar son casos de experimentos aleatorios.

Ejemplos: 1. Lanzamiento de una moneda. 2. Lanzamiento de un dado. 3. Extracción de una carta en una baraja. .

Dado un experimento aelatorio diremos que está compuesto si está formado por varios experimentos simples.

Ejemplos: o o

o

Lanzamiento de un dado y una moneda. Extracción de una bola de una urna y lanzamiento de una moneda. Extracción de una carta en una baraja y lanzamiento lan zamiento de un dado. 0 1 a n i g á P


Tabla de Frecuencia Son herramientas de Estadística donde se colocan los datos en columnas representando los distintos valores recogidos en la muestra y las frecuencias (las veces) en que ocurren 11. O rdenamiento en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente

son los valores de la muestra recogida en el estudio estadístico La frecuencia absoluta (ni) es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico. Número de veces que se repite el í-esimo valor de la variable. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por n (Ni) es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado. N1 = n1 N2 = n1 + n2 = N1 + n2 N3 = n1 + n2 + n3 = N2 + n3Nk = n.

Se interpreta como el número de observaciones menores o iguales al í -esimo valor de la variable. (fi) es la proporción de veces que se repite un determinado dato. La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos. fi = ni/n La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

11

http://www.ecured.cu/index.php/Tablas_de_frecuencias

1 1 a n i g á P


(Fi) es el número de observaciones menores o iguales al í-esimo valor de la variable pero en forma relativa. 12 F1 = fl F2 = f1+ f2 = F1 + f2 F3 = f1+ f2 + f3 = F2 + f3 Fk = 1

Diagrama de árbol Esta herramienta está fundamentada en el c álculo de probabilidades, concretamente está constituido de varias ramas, cada rama parte de un nodo que representa un evento aleatorio diferente. En el esquema que se presenta

a continuación se observa que la rama principal está const ituida de evento con diferentes posibilidades como son: A1, A2, A3... An la siguiente rama consta de eventos distintos, por ejemplo; B1, B2, B2... Bn que se realizan

después de ocurrir A1, así de manera sucesiva pueden ocurrir eventos después de cualquiera de ellos. El diagrama de árbol va de lo general a lo especifico, es decir, parte de un problema general (el “tronco”) y continua con niveles subsecuentes o causas (las “ramas”)13

Complemento de un evento 12

http://www.ecured.cu/index.php/Tablas_de_frecuencias 13 http://probabilidadestadistic.blogspot.com/2010/09/diagrama-de-arbol_24.html

2 1 a n i g á P


Se establece que la sume de las probabilidades de un evento y su

complemento debe ser igual a 1, 1, o para un evento A, F(A)+ F(A’) = 1 El complemento A’ de un evento A consiste de todos los eventos simples (resultados) que no están en A. 14

Teoría de conjunto La idea i dea de agrupar objetos de la misma naturaleza para clasificarlos clasific arlos en

“colecciones” o “conjuntos” es parte de la vida diaria de los seres humanos. Por ejemplo, el conjunto de libros de una biblioteca, el conjunto de árboles en un terreno, el conjunto de zapatos en un negoc io de venta al público, el conjunto de utensilios en una cocina, etcétera. En todos estos ejemplos, se utiliza la palabra conjunto como una colección de objetos. Tipos de conjuntos: 1.

Conjuntos Disjuntos: son aquellos que no tienen elementos en

común. 2.

Conjuntos Subconjunto: un conjunto es subconjunto de otro si todos

los elementos de un conjunto también pertenecen al otro.

Unión de Conjuntos 14

http://esgi-probabilidad-estadistica.blogspot.com/2011/04/resumen-el-complemento-de-un-evento.html

3 1 a n i g á P


Corresponde a la unificación de los elementos de dos conjuntos o incluso más conjuntos, que partiendo de esto conforman una nueva forma de conjunto, en la cual los elementos dentro de este correspondan a los elementos de los conjuntos originales. Cuando un elemento es repetido,

forma parte del conjunto unión una vez solamente; esto difiere de la unión de conjuntos en la concepción tradicional de la suma, en la cual los elementos comunes se consideran tantas veces como se encuentren en la totalidad de los conjuntos.

Podemos decir que la unión de conjuntos es una operación binaria(aquella operación matemática, que precisa del operador y de dos argumentos para que se pueda calcular un valor) en el conjunto de todos los subconjuntos de

un U, conjuntos universal (se denomina así al conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia) dado. Mediante la cual a cada par de conjuntos A y B de U les es asociado otro

conjunto (A U B) de U. si A y B son dos conjuntos, la unión se define de la siguiente forma:

La unión de Ay B, es el conjunto de elementos x de U, tal que, X pertenezcan a A, o que, X a pertenezca a B. Esta tiene propiedad conmutativa, asociativa y tiene Elemento Neutro. 15

Variables 15

http://matematica.laguia2000.com/general/union-de-conjuntos

4 1 a n i g á P


Un a

es

aquella

cuyo

valor

no

es

aquella

cuyo

valor

no

depende del de otra variable. Un a depende del de otra variable.

en

La representar por

una

función

se

suele

.

La

se

representa

en

el

eje

de

abscisas.

Un a

es

aquella

cuyos

valores

dependen de los que tomen otra variable. La representar por

en

una

función

se

representa

se

suele

.

La

en

el

eje

ordenadas. La variable

está en función de la variable

La s

.

se refieren a q ue

pueden ser medidas con

distinguir dos tipos:

. Podemos 5 1 a n i g á P


Un a

presenta qu e

admiten un

. Por ejemplo:

El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.

Un a

presenta , en las que existe un

. Por ejemplo:

La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente.

Puesto conseguido en una prueba de portiva: 1º, 2º, 3º, ... Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.

Un a

es

un

,

por

tanto

la

se

que

se

pueden

expresa

realizar

mediante

o

con ella. Podemos distinguir dos tipos:

Un a ,

es es

decir

admite

valores especí ficos. Por ejemplo:

aquella

que

toma entre

dos

6 1 a n i g á P


El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.

Un a

es aquella que puede tomar . Por ejemplo:

La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75. En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero

también se podría dar con tres decimales.

Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada

elemento del espacio muestral E un número real. Se utilizan letras mayúsculas X, Y , ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.

Probabilidad Condicionada Sean A y B dos sucesos tal que P (A) distinto de cero, se llama probabilidad de B condicionada de A, P (B/A), a la probabilidad de que ocurra B dado que ha sucedido A. 16

7 1 a 16

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/4.html

n i g á P


Intersección Según freedictionary.com se define como: Encuentro de dos líneas, dos superficies o dos sólidos que se cortan. En matemáticas, conjunto integrado por los elementos comunes a dos o más conjuntos.17 de conjuntos, la Entonces en la teoría de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares P y P y el conjunto de los cuadrados C de C de números naturales, su intersección es el conjunto de los cuadrados pares D : P = P = {2, 4, 6, 8, 10,...} C = C = {1, 4, 9, 16, 25, ...} D = D = {4, 16, 36, 64, ...}

La intersección de conjuntos se denota por el símbolo ∩ por lo que D = D = P ∩ C .

Combinaciones, permutaciones y variaciones Las reglas matemáticas que nos pueden ayudar para la aplicación de la Ley de Laplace, porque, a veces calcular el número de casos favorables y casos posibles es complejo y hay que estas “reglas” son el cálculo , el cálculo de y el cálculo de de .

Determina el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que se pueden formar con los "n" elementos de una nuestra. Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen, sin que influya el orden. , calcular las posibles combinaciones de 2 elementos que se pueden formar con los números 1, 2 y 3. 17

http://es.thefreedictionary.com/intersecci%C3%B3n

8 1 a n i g á P


Se pueden establecer 3 parejas diferentes: (1,2), (1,3) y (2,3). En el cálculo de combinaciones las parejas (1,2) y (2,1) se consideran idénticas, por lo que sólo se cuentan una vez. :

Calcula el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc.elementos que se pueden establecer con los "n" elementos de una muestra. Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen o en el orden de dichos elementos (es lo que le diferencia de las combinaciones). , calcular las posibles variaciones de 2 elementos que se pueden establecer con los número 1, 2 y 3.

Ahora tendríamos 6 posibles parejas: (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1) y (3,3). En este caso los subgrupos (1,2) y (2,1) se consideran distintos.

Cálcula las posibles agrupaciones que se pueden establecer con todos los elementos de un grupo, por lo tanto, lo que diferencia a cada subgrupo del resto es el orden de los elementos. , calcular las posibles formas en que se pueden ordenar los número 1, 2 y 3. Hay 6 posibles agrupaciones: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) y (3, 2, 1)

9 1 a n i g á P


Aplicación En esta parte del informe, presentaremos 6 problemas comunes de probabilidades resueltos.

Problemas de Probabilidades 1. Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarilla y 7 verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabilidad de que: a) sea roja, b) no sea verde.

a) A: extraer uba bola al azar que sea roja, tiene 8 elementos. E: espacio muestral, de 20 elementos. P(A) = 8/20 = 2/5 b) B: extraer uba bola al azar que sea verde, tiene 7 elementos Bc: extraer uba bola al azar que NO sea verde. P(Bc) = 1 - P(B) = 1 - 7/20 = 13/20

2. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno sea hombre o mujer. Encontrar la probabilidad que que un estudiante sea rubio.

H: un alumno hombre P(H) = 15/45 = 1/3 M:un alumno mujer P(M) = 30/45 = 2/3 P(H U M) = 1/3 + 2/3 = 1

0 2 a n i g á P


3. De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar. a) ¿Cuál es el espacio muestral? b) Describe los sucesos: A: Mayor que 6" B: "No obtener 6" escribiendo escribiend o todos sus elementos.

C : "Menor que 6"

∩A'. '. c) Hallar la probabilidad de los sucesos: AUB, A∩B y B' ∩ A

a) b)

Espacio Muestral: E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} } A: "Mayor A: "Mayor que 6" A = {7,8,9}. B: "No obtener 6" B = {0,1,2,3,4,5,7,8,9}. {0,1,2,3,4,5,7, 8,9}. C : C : "Menor que 6" C = {0,1,2,3,4,5} c) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 3/10 + 9/10 – 3/10 = 9/10. Observemos que A∩B = {7,8,9} , entonces P(A∩B) = 3/10 B ' = {6} y A' = {0,1,2,3,4,5,6}, entonces B ' ∩A' = {6}, por tanto P(B P( B '∩A') = 1/10

4. Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son: - A 32 personas les gusta leer y ver la tele. - A 92 personas les gusta leer. - A 47 personas les gusta ver la tele. Si elegimos al azar una de esas personas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele? b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele? c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?

A: les gusta ver la tele B: les gusta leer P(A∩B) = 32/120, P(B) = 92/120, P(A) = 47/120 a) P(A´) = 1 – P(A) = 1 – 47/120 = 73/120 b) P(B/A) = P(A∩B)/P(A) = (32/120)/(47/120) = 32/ 47 c) P(B) = 92/120

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5. Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número?

Hay 25 formas posibles de elección para los participantes: (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5). De la cuales las favorables son 5: (1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5). Entonces la probabilidad de que las dos personas elijan el mismo número es 5/25 = 1/5.

Ejercicio Tipo PSU 1. Se tiene una urna A con 3 bolas rojas y 2 verdes, y una urna B con 5 rojas y 3 verdes.Se realiza con ellas el siguiente experimento: se elige una urna al azar y luego se extrae deella una bola al azar.La probabilidad de extrae bola verdes es: A) 1/5 B) 1/10 C) 3/16 D) 5/13 E) 31/80

La probabilidad de elegir urna A es: P(A) = 1/2La probabilidad de extraer bola verde de la urna A es: P(V/A) = 2/5Luego, la probabilidad de elegir urna A y extraer bola verde es:515221 La probabilidad de elegir urna B es: P(B) = 1/2La probabilidad de extraer bola verde de la urna BA es: P(V/B) = 3/8Luego, la probabilidad de elegir urna By extraer bola verde es:1638321 La probabilidad pedida, entonces, es la suma de ambas probabilidades, ya que que “ex “exttraer raerbola bola verde”pue de ocurrir de cualquier a de estasdos maneras:803180151616351 Alternativa correcta: E.

2 2 a n i g á P


Conclusión

Sin duda alguna las probabilidades son fundamentales para nuestro diario vivir, hay que llegar a un conclusión es probabilidad, tener la certeza de que un evento pueda ocurrir o no y cuantas posibilidades tenemos en una misma oportunidad. Esta ciencia nos ayuda a coleccionar, analizar, organizar, presentar e interpretar datos que ayudar án a tomar mejores decisiones, es indispensable en estudios de poblaciones, predicciones de riesgos, pero sobre todo proporciona herramientas valiosas en la toma de decisiones eso sin quitarle al

ser humano la última palabra. Los problemas de probabilidad proporcionan una fuente interesante para que

pensemos un poco más allá de nuestro sentido común, y unido a la estadística nos permite hacer la llamada inferencia estadística. Apreciando los estudios históricos que el hombre ha hecho en base a sus cuestionamientos del azar, en estos instantes podemos anticiparnos a un resultado y lo más valioso es que esta matemática pura, se lleva a otros campos de la vida, como lo es tan importante el aérea de la salud. Finalmente valorar el área de la matemática es un desafío de todos los días, tal vez es en lo visiblemente no tiene mucho valor, pero si nos detuviésemos a pensar, llegaríamos a la conclusión que todo es matemática.

3 2 a n i g á P

informe probabiliades

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