HOMOMORFISMA GELANGGANG A. HOMO HOMOMO MORF RFIS ISMA MA
Homomorfisma
Pada bagian ini, kita mendiskusikan konsep homomorfisma pada suatu gelanggang dan beberapa sifat-sifatnya. Definisi 14.1.1 Andaikan 〈 R, + , ⋅ 〉 dan 〈 S, +, ⋅ 〉 masing-masing adalah suatu gelanggang.
Suatu Suatu pemetaa pemetaan n φ : R → S dikatak dikatakan an sebagai sebagai suatu suatu homomo homomorfi rfisma sma gelang gelanggan gang g jika φ mempertahankan operasi gelanggang, yakni untuk setiap x, y ∈ R dipenuhi (1) (x + y)φ = (x)φ + (y)φ (2) (x ⋅ y)φ = (x)φ ⋅ (y)φ
Sama seperti pada homomorfisma grup, operasi “penjumlahan dan perkalian” pada ruas kiri dilakukan dengan menggunakan operasi penjumlahan dan perkalian di gelanggang R, sementara pada ruas ruas kanan dilakukan dilakukan dengan menggunaka menggunakan n operasi operasi yang berada berada di gelanggang gelanggang S. Contoh 14.1.2 Perhatikan gelanggang bilangan bulat Z dengan operasi penjumlahan dan perkalian
biasa dan dan gelanggang gelanggang M 2 ( Z )
a = c
b
d
: a, b, c, d ∈ Z
Dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Pemetaan φ : Z
→M2 (Z) yang didefinisikan
x 0 homomorfisma gelanggang. gelanggang. Untuk sebarang sebarang dua unsure x, y ∈ adalah suatu homomorfisma 0 x
oleh (x)φ = Z diperoleh
x + y
( x + y )φ =
0
0
x 0 y 0 = + 0 y = ( x)φ + ( y )φ , x + y x 0
dan
xy 0
( xy )φ =
0
x = xy 0
0 y
0
= ( x)φ ( y )φ .
x 0 y
Sehingga φ adalah homomorfisma gelanggang Definisi 14.1.3 Suatu homomorfisma gelanggang φ : R → S dikatakan sebagai suatu isomorfisma
jika φ adalah pemetaan bijektif. Contoh 14.1.4 Andaikan M 2 ( Z )
d 0 : = ∈ d Z 0 d
Homomorfisma gelanggang φ : Z → Md (Z) seperti pada contoh 14.1.2 adalah suatu isomorfisma gelanggang. Perhatikan bahwa pada pemetaan Tersebut untuk setiap terdapat d bila (
Z sehingga (x)∅=
∅=(
. Jadi ∅ adalah pemetaan pada. Selanjutnya,
∅, maka
=
Hal ini berakibat x = y, dan ∅ adalah pemetaan satu-satu. Jadi ∅ : Z suatu isomorfismaenai
→
adalah
Contoh 14.1.5 pada diskusi kita mengenai grup sudah kita perlihatkan bahwa Z nZ, n ≠ a , tetapi tidak demikian halnya pada gelanggang. Pada konteks gelanggang Z nZ. Hal ini disebabkan gelanggang Z mempunyai unsure kesatuan, tetapi gelanggang nZ tidak mempunyai unsure kesatuan bila n ≠ 1
B. SIFAT-SIFAT HOMOMORFISMA Pada bagian ini kita kembangkan fakta-fakta yang telah kita peroleh pada homomorfisma grup kedalam homomorfisma gelanggang. Kita akan menemukan bahwa sifat homomorfisma grup juga akan berlaku pada homomorfisma gelanggang
Teorema 14.2.1 Andaikan ∅ : R ke gelanggang S
S adalah suatu homomorfisma dari gelanggang R
Z, (nr) ∅= n (r) ∅ dan (
∅=
1)
Untuk setiap r
2)
Jika M adalah subgelanggang dari R, maka (M) ∅ adalah subgelanggang dari S
3)
Jika R komutatif , maka (R) ∅ adalah komutatif
Bukti. (1) Bila r
R dan n
→
R dan n
alah
Z, maka
(nr) ∅= (r + r + r +…+ r) ∅ = (r) ∅ + (r) ∅ +…+ (r) ∅
(
∅ = (r . r . . .) ∅
= (r) ∅ . (r) ∅ . . . (r) ∅ =
2. misalkan M adalah subgelanggang dari R, himpunan (M) ∅ = {(m)∅ : m S. karena 0
M dan M adalah suatu sub grup dari R, maka 0 ’= (0) ∅
Perhatikan sebarang dua unsure (m 1) ∅, (m2) ∅
M}
(M) ∅.
M, (m1) ∅- (m2) ∅= ( m1 - m2)
∅. Karena M adalah suatu subgelanggang, m1 - m2
M dan ( m1 - m2) ∅
(M) ∅.
Akibatnya (m1) ∅- (m2) ∅
(M) ∅. Selanjutnya, (m1) ∅ (m2) ∅ = ( m1 m2) ∅, karena M
adalah suatu subgelanggang, maka m 1 m2
M, sehingga (m1) ∅ (m2) ∅
(M)
∅. Jadi menurut teorema 13.1.2, (M) ∅ adalah suatu sub gelanggang dari S 3. karena R adalah gelanggang komutatif, untuk setiap r 1,r2 r2,r1. Sehingga untuk sebarang dua unsur (r 1) ∅,(r2) ∅ (r1) ∅ (r2) ∅= (r1r2) ∅= (r 2 r1) ∅= (r2 ∅ (r1) ∅
diperoleh r1,r2 =
(R) ∅ diperoleh
Sehingga (R) ∅ adalah gelanggang komutatif
Dari teorema diatas kita ketahui bahwa banyangan homomorfik dari suatu subgelanggang M adalah subgelanggang. Tetapi secara khusus bila subgelanggang M adalah subgelanggang. Tetapi secara khusus bila subgelanggang M adalah suatu ideal dari gelanggang R, maka bayangan homomorphik dari suatu ideal belum tentu ideal, seperti yang diperlihatkan oleh contoh berikut ini.
Contoh 14.2.2 kita telaah kembali pemetaan ∅ : Z
→
(Z) yang diberikan oleh
contoh 14.1.2. perhatikan bahwa 2Z adalah suatu ideal dari Z, tetapi (2Z) ∅ bukanlah suatu ideal dari (Z).karena untuk unsur- unsur
(Z) dan
(2Z) ∅
Diperoleh
(2Z) ∅ Jadi bayangan homomorphik dari 2Z bukanlah suatu ideal
Teorema berikut ini menjamin bahwa bila ∅ : R S adalah suatu homomorfisma dari gelanggang R pada gelanggang S, maka bayangan homomorfik dari suatu ideal adalah suatu ideal juga →
Teorema 14.2.3 Andaikan R dan S adalah gelanggang dan misalkan ∅ adalah suatu homomorfisma dari R pada S. bila N adalah suatu ideal dari R, maka (N) ∅ adalah ideal dari S
Bukti. Teorema 14.2.1 memeperlihatkan bahwa (N) ∅ adalah suatu subgelanggang dari R. sehingga kita tinggal memperlihatkan bahwa untuk sebarang s
S dan sebarang (n)
(N) ∅ dipenuhi s (n) ∅
(N) ∅ dan (n) ∅ s
(N) ∅ Karena ∅ : R
→
S adalah homomorfisma pada, untuk setiap s
S terdapat r
sehingga s = (r) ∅. Hal ini berakibat bahwa s (n) ∅= (r) ∅ (n) ∅ = (rn) ∅. Tetapi N adalah ideal di R, sehingga rn Sebaliknya
N. jadi s (n) ∅= (rn) ∅
(n) ∅ s = (n) ∅ (r) ∅=(nr) ∅. Karena N adalah ideal di R, nr
∅ s = (nr) ∅
(N) ∅.
N. sehingga (n)
(N) ∅. Jadi (N) ∅ adalah suatu ideal dari S
Teorema-teorema yang dibicarakan berikut ini merupakan hasil-hasil yang setara dengan hasil-hasil yang dibicarakan dalam teori grup
Teorema 14.2.4 bila N adalah ideal dari gelanggang R, maka pemetaan ∅: R R/N yang didefinisikan oleh (r) ∅ = r + N adalah suatu homomorfisma →
Bukti. Untuk sebarang dua unsur r 1,r2
R maka
(r1 + r2) ∅ = (r1 + r2) + N = (r1 + N) + (r2 + N) = (r1 ) ∅ +( r2) ∅ Dan (r1 r2) ∅ = (r1 r2) + N = (r1 + N) (r2 +N) = (r1 ) ∅(r2 ) ∅ Jadi ∅ : R
→
R/N adalah suatu homomorfisma
R
Definisi 14.2.5 Andaikna R dan S adalah gelanggang dan misalkan ∅ : R S adalah suatu homomorfisma gelanggang. Inti dari ∅ didefenisikan sebagai →
Inti (∅) = {r
R : (r) ∅ = 0
S}
Contoh 14.2.6 perhatikan gelanggang Z 6 dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo 6 dan gelanggang Z 2 dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo 2. Pemetaan ∅ : Z6 Z2 yang didefenisikan oleh →
∅= Adalah suatu homomorfisma, dengan inti ( ∅)={0, 2, 4}
Contoh 14.2.7 perhatikan gelanggang Z dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa dan gelanggang Z n dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo n. pemetaan ∅ : Z Zn yang didefinisikan oleh (x) ∅= x mod n adalah suatu homomorfisma. Karena untuk setiap x,y Z berlaku →
(x + y) ∅ = (x + y) mod n = x mod n + y mod n = (x) ∅ + (y) ∅ Dan (xy) ∅ = (xy) mod n = (x mod n) (y mod n) =(x) ∅ (y) ∅
Inti dari homomorfisma φ adalah Inti (φ ) = {x ∈ Z : (x) φ = 0 mod n }.
Bila x = kn ∈ n Z dengan k ∈ Z, maka (x)φ = (kn) φ = kn mod n = 0 mod n. Jadi kn ∈ Inti (φ ), sehingga nZ ⊆ Inti (φ ). Sebaliknya, jika y ∈ Inti (φ ), maka (y) φ = 0 mod n. Ini berarti y adalah kelipatan dari n. Hal ini berakibat y ∈ nZ, sehingga Inti (C) ⊆ nZ. Jadi Inti (φ ) = nZ. Seperti pada homomorfisma grup yang menyatakan bahwa inti dari suatu homomorfisma adalah suatu subgroup normal, teorema berikut ini memperlihatkan bahwa inti dari suatu homomorfisma gelanggang adalah suatu ideal. Teorema 14.2.8 Jika φ : R → S adalah homomorfisma gelanggang, maka inti ( φ ) adalah suatu
ideal dari R Bukti.
Pertama, akan diperlihatkan bahwa untuk setiap x, y
∈
Inti (φ ), maka x – y
Selanjutnya, diperlihatkan bahwa untuk semua r ∈ R dan x ∈ Inti (φ ), maka rx
∈ Inti (φ
∈
Inti (φ ).
∈ Inti (φ
) dan xr
).
Perhatikan bahwa untuk sebarang x, y
∈
Inti (φ ), maka (x)φ = (y)
φ
= 0. Karena
φ
suatu
homomorfisma, maka ( x – y )φ = (x)φ - (y)φ = 0 – 0 = 0 Jadi ( x – y ) ∈ Inti (φ ) Selanjutnya, untuk sebarang r ∈ R dan x ∈ Inti (φ ), maka (rx)φ = (r)φ (x)φ = (r)φ 0 = 0 Jadi, rx ∈ Inti (φ ). Dengan cara yang serupa dapat diperlihatkan bahwa xr ∈ Inti (φ ) adalah suatu ideal dari R.
Contoh 14.2.9 Kita perhatikan kembali homomorfisma
= {0,2,4} adalah suatu ideal dari Z6
φ
: Z6 → Z2 pada Contoh 14.2.6. Inti (φ )
Teorema 14.2.9 Andaikan R adalah suatu gelanggang. Bila N adalah ideal dari R, maka N
adalah inti dari homomorfisma φ : R → R ⁄ N yang didefinisikan oleh (r) φ = r + N
Bukti. Perhatikan bahwa unsure identitas terhadap operasi penjumlahan dari gelanggang R ⁄ N
adalah N. Sehingga inti dari φ didefinisikan sebagai
Inti (φ ) = (r ∈ R : (r) φ = N}
Kita perlihatkan Inti (φ ) = N. Andaikan x ∈ N, maka (x) φ = x + N = N. Sehingga x ∈ Inti (φ ). Hal ini berarti N
⊂
Inti (φ ). Sebaliknya, bila y ∈ Inti (φ ), maka (y) φ = y + N = N. Karena y +
N = N diperoleh y ∈ N. Sehingga Inti (φ ) ⊂ N. Jadi N = Inti (φ )
C. TEOREMA ISOMORFISMA
D. 14.3 Teorema Isomorfisma
E. Pada bagian ini kita akan membicarakan konsep-konsep isomorfisma pada gelanggang yang bersesuaian dengan konsep-konsep isomorfisma pada grup. Kita dapat melihat bahwa semua teorema-teorema isomorfisma pada grup, kita peroleh ekivalensinya pada gelanggang. F. Teorema 14.3.1 (Teorema Isomorfisma pertama) Bila φ
: R → S adalah suatu
homomorfisma dari gelanggang R pada gelanggang S dengan inti K, maka R ⁄ K ≅ S G. Bukti. Kita akan mendefinisikan suatu pemetaan ψ R ⁄ K → S demikian sehingga ψ adalah
suatu isomorfisma. Karena φ
adalah homomorfisma dari pada R pada S, S dapat
dinyatakan sebagai H.
S = { (r) φ : r ∈ R }
I. Sehingga pemetaan ψ dapat didefinisikan sebagai (r + K) ψ = (r) φ . Karena pendefinisian ψ
melibatkan koset pada domainnya, kita harus memperlihatkan bahwa ψ didefinisikan dengan baik. Dengan perkataan lain, bila r 1 + K = r 2 + K adalah dua koset yang sama, maka kita harus memperlihatkan bahwa (r 1 + K) ψ = (r 2 + K)ψ , yakni (r 1)φ = (r 1)φ . Andaikan r 1 + K = r 2 + K. Akibat 9.1.5 menjadi r 1 - r 2 ∈ K. Karena K adalah inti dari φ , diperoleh (r 1 - r 2)φ = (r 1)φ
- (r 2) φ = 0. Sehingga (r 1)φ = (r 2) φ . Jadi ψ adalah terdefinisi
dengan baik. J.
Selanjutnya, kita perlihatkan bahwa ψ adalah suatu homomorfisma gelanggang. Untuk sebarang dua unsur r 1 + K , r 2 + K ∈ R ⁄ K , diperoleh (( r 1 + K) + ( r 2 + K)) ψ = (( r 1 + r 2) + K )ψ = ( r 1 - r 2 )φ .
K.
L. Karena φ adalah suatu homomorfisma gelanggang, (r 1 + r 2)φ = ( r 1)φ + ( r 2)φ . Sehingga
(( r 1 + K) + ( r 2 + K)) ψ = ( r 1)φ +( r 2) φ
M.
= (r 1 + K )ψ + ( r 1 + K )ψ
N.
O. Selanjutnya, P.
(( r 1 + K) ( r 2 + K)) ψ = (( r 1 r 2) + K )ψ = (r 1 r 2)φ
Q.
R. Karena φ adalah suatu homomorfisma gelanggang, (r 1 r 2)φ = (r 1)φ (r 2)φ
S.Sehingga T. U.
((r 1 + K) ( r 2 + K)) ψ = (r 1)φ (r 2)φ = (r 1 + K)ψ ( r 2 + K) ψ
V. Jadi ψ adalah suatu homomorfisma gelanggang. W.
Karena φ adalah pemetaan pada, untuk setiap s ∈ S terdapat r ∈ R sehingga s = (r)φ . Tetapi ini juga berarti untuk setiap s ∈ S terdapat r ∈ R sehingga (r + K)ψ = (r)φ = s.
Sehingga ψ adalah homomorfisma pada. Selanjutnya, bila (r 1 + K)ψ = ( r 2 + K) ψ , maka (r 1)φ = (r 2)φ . Hal ini berakibat bahwa (r 1)φ - (r 2)φ = (r 1 - r 2)φ = 0. Jadi r 1 - r 2 ∈ K, yang berakibat r 1 + K = r 2 + K. Sehingga ψ adalah pemetaan satu-satu. Karena ψ adalah homomorfisma satu-satu dan pada, ψ adalah isomorfisma dan R ⁄ K ≅ S. X.
Seperti yang telah kita bicarakan pada teori grup, teorema isomorfisma kedua dan ketiga juga berlaku pada teori gelanggang.
Y.Teorema 14.3.2 (Teorema isomorfisma kedua) Andaikan R adalah suatu gelanggang. Bila
M dan N masing-masing adalah ideal dari R dan M + N = { m + n : m ∈ M, n ∈ N }
Z. AA.
Maka M + N adalah ideal dari R dan ( M + N ) ⁄ N ≅ M ⁄ ( M ∩ N )
BB.
Teorema 14.3.3 (Teorema Isomorfisma ketiga) Andaikan R adalah suatu
gelanggang. Bila M dan N masing-masing adalah ideal dari R sehingga M ≤ N, maka R ⁄
⁄ M ). N ≅ ( R ⁄ M ) ⁄ ( N CC.
Pada bab 13 kita telah memperlihatkan bahwa bila F adalah suatu
lapangan, maka F tidak mempunyai ideal sejati. Akibat dari teorema isomorfisma pertama lebih lanjut memperlihatkan bahwa suatu gelanggang komutatif dengan unsur kesatuan yang tidak mempunyai ideal sejati adalah suatu lapangan. DD.
Akibat 14.3.4 Andaikan R adalah suatu gelanggang dengan unsur kesatuan. R adalah
suatu lapangan jika dan hanya jika R tidak mempunyai ideal sejati. EE. Bukti. Akibat 13.2.13 menyatakan bahwa bila R adalah suatu lapangan, maka R tidak
mempunyai ideal sejati. FF.
Sebaliknya, andaikan R tidak mempunyai ideal sejati. Akibatnya {0} adalah ideal maksimum dari R. Teorema 13.3.2 menjamin R ⁄ {0} adalah suatu lapangan. Selanjutnya
perhatikan bahwa pemetaan φ : R → R yang didefinisikan oleh (r) untuk semua r ∈ R adalah suatu homomorfisma gelanggang dengan inti (φ ) = r untuk semua r ∈ R adalah suatu homomorfisma gelanggang dengan Inti (φ ) = {0}. Teorema 14.3.1 menjamin bahwa R ⁄ {0} ≅ R. Jadi R adalah suatu lapangan.
