d 2
ln L
d µ 2
= −n
De acordo com (1.19), obtemos V ( m) ≥
1 n
onde m é qualquer estimador não-tendencioso de µ . Sabemos que, com σ 2 = 1 , a variância de X é igual a 1/ n, isto é, a média aritmética dos valores da amostra é um estimador com variância igual ao limite inferior de Cramér-Rao. Convém ressaltar que há casos nos quais o limite inferior de Cramér-Rao não é atingido, isto é, há casos onde não existe estimador não-tendencioso com variância igual ao limite inferior de Cramér-Rao. Entretanto, existe um teorema que afirma, em condições bastante gerais, que, se ˆ é o estimador de máxima verossimilhança de α então ˆ apresenta distribuição assintoticamente normal com média α e variância igual ao limite inferior de CramérRao, isto é, os estimadores de máxima verossimilhança são consistentes e assintoticamente eficientes.3
1.12. Teste de hipóteses Dada uma hipótese de nulidade ( H o ) , define-se como erro tipo I o erro que consiste em rejeitar H o , dado que H o é verdadeira. Define-se como erro tipo II o erro que consiste em não rejeitar H o , dado que H o é falsa. A hipótese da nulidade, quando dada em termos quantitativos, é, necessariamente, uma igualdade. Usa-se a letra grega
para indicar a probabilidade de cometer erro tipo I, que é
o nível de significância do teste, e a letra grega β para indicar a probabilidade de cometer erro tipo II. Podemos definir ainda o poder do teste, que é a probabilidade de rejeitar H o , dado que H o é falsa.
3
A demonstração deste teorema pode ser encontrada em Theil (1971), p. 392-395.
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