Fundamentod de Econometria Intermedia

FUNDAMENTOS DE ECONOMETRÍA INTERMEDIA: TEORÍA Y APLICACIONES


Ramón Antonio Rosales Álvarez Jorge Andrés Perdomo Calvo Carlos Andrés Morales Torrado Jaime Alejandro Urrego Mondragón

Fundamentos de econometría intermedia: teoría y aplicaciones / Ramón Antonio Rosales Álvarez… [et al.]. -- Bogotá: Universidad de los Andes, Facultad de Economía, CEDE, Ediciones Uniandes, 2013. 405 pp.; 17 x 24 cm Otros autores: Jorge Andrés Perdomo Calvo, Carlos Andrés Morales Torrado, Jaime Alejandro Urrego Mondragón. ISBN 978-958-695-752-6 1. Econometría I. Rosales Álvarez, Ramón Antonio II. Perdomo Calvo, Jorge Andrés III. Morales Torrado, Carlos Andrés IV. Urrego Mondragón, Jaime Alejandro V. Universidad de los Andes (Colombia). Facultad de Economía. CEDE. CDD 330.015195

SBUA

Primera edición: enero de 2013 © Carlos Andrés Morales, Jorge Andrés Perdomo, Ramón Antonio Rosales y Jaime Alejandro Urrego © Universidad de los Andes Facultad de Economía, Centro de Estudios sobre Desarrollo Económico (CEDE) Ediciones Uniandes Carrera 1ª núm. 19-27, edificio Aulas 6, piso 2 Bogotá D. C., Colombia Teléfono: 3394949, ext. 2133 http://ediciones.uniandes.edu.co [email protected] ISBN impreso: 978-958-695-752-6 ISBN e-book: 978-958-695-797-7 Corrección de estilo: Santiago Melo Armada electrónica y finalización de arte: Proceditor Ilustración de cubierta: Agencia de Diseño y Publicidad Ávila Impresión y acabados: Nomos Impresores Diagonal 18 bis núm. 41-17 Teléfono: 208 6500 Bogotá D.C., Colombia Impreso en Colombia - Printed in Colombia Todos los derechos reservados. Esta publicación no puede ser reproducida ni en su todo ni en sus partes, ni registrada en o transmitida por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia o cualquier otro, sin el permiso previo por escrito de la editorial.

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN 1.

2.

xi

ESPECIFICACIÓN INCORRECTA Y ENDOGENIDAD 1.1. Introducción 1.2. Discusión sobre la especificación de los modelos econométricos 1.3. Endogenidad 1.4. Estudio de caso: efectos de la fecundidad sobre el ingreso laboral femenino Resumen Ejercicios propuestos Anexo 1 MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS 2.1. Introducción 2.2. El problema de simultaneidad 2.3. Detección del problema: prueba de Hausman 2.4. Proceso de identificación 2.5. Metodologías de estimación de ecuaciones simultáneas 2.6. Estudio de caso: evaluación del fondo de estabilización de precios del azúcar 2.7. Estudio de caso: análisis regional de la oferta de ganado Resumen Ejercicios propuestos Anexo 2

v

1 1 2 16 29 39 41 44 65 65 66 69 70 74 79 89 94 95 99

3.

4.

5.

MODELOS DE PROBABILIDAD: LINEAL, PROBIT Y LOGIT 3.1. Introducción 3.2. Modelo de probabilidad lineal 3.3. Modelos logit y probit 3.4. Estudio de caso: mercado de trabajo informal en Colombia 3.5. Estudio de caso: derechos de propiedad en Colombia e integración al mercado mundial Resumen Ejercicios propuestos Anexo 3

107 107 108 111

INTRODUCCIÓN A LAS SERIES DE TIEMPO 4.1. Introducción 4.2. Conceptos básicos para las series de tiempo 4.3. Filtro de Hodrick y Prescott 4.4. Modelos de pronósticos con tendencia determinística 4.5. Pronóstico con métodos de atenuación exponencial 4.6. Estudio de caso: el PIB colombiano Resumen Ejercicios propuestos Anexo 4

159 159 160 168 168 173 176 188 193 195

140 152 153 154

METODOLOGÍA BOX-JENKINS PARA PRONOSTICAR SERIES DE TIEMPO MEDIANTE PROCESOS AUTORREGRESIVOS Y DE MEDIA MÓVIL

5.1. Introducción 5.2. Conceptos básicos 5.3. Estacionariedad y ruido blanco: métodos para detectarlos y alternativas de solución que conduzcan a obtener variables estacionarias 5.4. Modelos univariados ARIMA y metodología Box-Jenkins 5.5. Modelos univariados SARIMA y metodología BJ 5.6. Ventajas y desventajas de los modelos ARIMA 5.7. Estudio de caso: el PIB colombiano 5.8. Estudio de caso: el IPC colombiano Resumen Ejercicios propuestos Anexo 5 6.

126

MODELOS CON REZAGOS DISTRIBUIDOS Y AUTORREGRESIVOS, GRANGER Y COINTEGRACIÓN 6.1. Introducción 6.2. Introducción a los modelos con variables rezagadas

CAUSALIDAD DE

vi

199 199 200

202 215 232 235 237 259 278 280 282 299 299 300

6.3. 6.4. 6.5. 6.6.

7.

Modelos de rezagos distribuidos y autorregresivos Prueba de causalidad de Granger Cointegración Estudio de caso: la oferta de azúcar Resumen Ejercicios propuestos

MODELOS PARA DATOS DE CORTE TRANSVERSAL AGRUPADOS EN EL TIEMPO Y ESTIMADOR DE DIFERENCIAS EN DIFERENCIAS

7.1. 7.2. 7.3. 7.4.

8.

Introducción Combinación de corte transversal y series de tiempo Corte transversal a lo largo del tiempo Estudio de caso: impacto de un programa de intervención a las escuelas rurales en Colombia Resumen Ejercicios propuestos

MODELOS PARA DATOS EN PANEL O LONGITUDINALES 8.1. Introducción 8.2. Organización de los paneles de datos 8.3. Estimación de las dinámicas de largo plazo: efectos entre grupos 8.4. El problema de efectos fijos en el término de error 8.5. Identificación del estimador apropiado Resumen Ejercicios propuestos Anexo Apéndice. Aplicación de comandos en Stata

302 310 314 316 333 336 337 337 338 339 349 355 356 359 359 360 364 365 374 386 387 390 391

BIBLIOGRAFÍA

405

ÍNDICE TEMÁTICO

411

vii

AGRADECIMIENTOS

L

os autores expresamos nuestros agradecimientos al Centro de Estudios sobre Desarrollo Económico (CEDE) de la Facultad de Economía de la Universidad de los Andes por el apoyo financiero para la elaboración y publicación de este documento. Asimismo, a Diana Gutiérrez, Juan Carlos Vásquez, Raquel Bernal, Camilo Bohórquez, Fabio Sánchez, María del Pilar López, Antonella Fazio, Catherine Rodríguez, Armando Armenta y Gustavo García por facilitar los datos empleados para los estudios de caso. Igualmente, a los profesores Daniel Fernando Poveda Quintero, Javier Alfonso Lesmes Patiño y Jorge Armando Rueda Gallardo por su contribución a los ejercicios propuestos en el libro. También queremos agradecer a todos los profesores del área de econometría y a los estudiantes que han tomado los cursos de Econometría I, II y Avanzada en el pregrado y posgrado en Economía de la Universidad de los Andes, cuyos aportes han contribuido a la elaboración de este documento. Finalmente, agradecemos a Santiago Melo por las observaciones realizadas durante el proceso de corrección de estilo y a todo el equipo editorial de Ediciones Uniandes.

ix

INTRODUCCIÓN

L

a econometría es un conjunto de métodos de inferencia estadística para el tratamiento cuantitativo de la información económica que permite, entre otras cosas, apoyar el estudio de algunos campos especiales de la economía y los negocios, destacando entre ellos el estudio de las relaciones macroeconómicas y microeconómicas enfocadas en la toma de decisiones de producción, demanda, oferta e inversión. Además de proporcionar una metodología de trabajo, la econometría es una disciplina auxiliar del economista porque permite contar con un instrumento de análisis en múltiples áreas de aplicación y es útil para el trabajo profesional. Por esta razón, los estudiantes e interesados en el tema deben familiarizarse inicialmente con sus fundamentos básicos, para luego proceder a estudiar las metodologías intermedias que resultan útiles en la práctica. Fundamentos de econometría intermedia: teoría y aplicaciones es un libro que busca exponer los conceptos básicos de esta área de estudio a estudiantes de últimos semestres de pregrado que quieran profundizar el conocimiento adquirido en clases introductorias de econometría, y a estudiantes de primer año de posgrado que busquen un tratamiento introductorio e intuitivo a las prácticas intermedias de esta área de estudio que normalmente son expuestas de forma compleja en otros libros. Asimismo, este libro pretende buscar un equilibrio entre el tratamiento teórico de la teoría econométrica y su aplicación en casos reales mediante el uso de herramientas computacionales. Por esta razón, y a diferencia de otros libros que cubren la misma temática, aquí no se intenta dar una explicación completa de todos los conceptos de esta área de estudio, sino

xi

xii

RAMÓN ROSALES JORGE PERDOMO CARLOS MORALES JAIME URREGO

que, por el contrario, se tratan temas particulares que se destacan por su gran utilidad tanto en la investigación académica como en la práctica profesional. En resumen, el objetivo principal del texto es proveer las diferentes teorías y metodologías de manera sencilla para estudiar los temas relacionados en un curso de econometría intermedia. Un aporte importante del libro es presentar la teoría y los ejemplos aplicados (resultados econométricos y gráficas) que fueron desarrollados con el programa econométrico especializado Stata. No obstante, es una marca registrada de StataCorp LP. Así, toda la información sobre sus licencias, la forma de adquirirlo, las actualizaciones y demás pueden encontrarse en www.stata.com. En este sentido, el presente documento no pretende reproducir o sustituir total o parcialmente los manuales ofrecidos por StataCorp LP. De acuerdo con lo anterior, y antes de iniciar la lectura del libro, el lector debe comprender previamente los temas tratados en econometría básica para familiarizarse con su contexto, debido a que los temas aquí comprendidos suponen conocimientos sobre ellos. En particular, se espera que el lector conozca: 1.

Los fundamentos de estadística tales como el conocimiento de las principales distribuciones de probabilidad y los teoremas fundamentales de esta ciencia.

2.

El cálculo y la interpretación de estadísticas descriptivas tales como la media, la mediana, la varianza y la desviación estándar, entre otras.

3.

La construcción y la interpretación de gráficos univariados y multivariados como histogramas, dispersiones, líneas, entre otros.

4.

La teoría y la estimación del modelo clásico de regresión lineal mediante mínimos cuadrados ordinarios (MCO).

5.

La aplicación y la interpretación de las pruebas de hipótesis de diferencia de medias y de significancia individual y global de los parámetros.

6.

Las causas y consecuencias del problema de multicolinealidad perfecta o alta y peligrosa en un modelo de regresión lineal. Igualmente, sus métodos de corrección como la transformación de variables y el aumento del tamaño de la muestra.


xiii

7.

Las causas y consecuencias del problema de heteroscedasticidad en un modelo de regresión y su estrategia de solución mediante mínimos cuadrados generalizados (MCG) y ponderados (MCP) y estimaciones robustas mediante el estimador de White.

8.

Las causas y consecuencias del problema de autocorrelación residual en un modelo de regresión y su estrategia de solución mediante mínimos cuadrados generalizados (MCG), Durbin Watson en dos etapas, método de Cochrane y Orcutt, primeras diferencias y medias móviles.

9.

La estimación de los parámetros de un modelo de regresión mediante máxima verosimilitud (MV) y MCG. Esta última es una técnica que agrupa MCO y MCP.1

Para abordar el tema de econometría intermedia (v. Rosales, Perdomo, Morales y Urrego, 2010), el libro se encuentra divido en ocho capítulos de la siguiente manera: en el capítulo 1 se discuten los conceptos relacionados con el problema de especificación generado por la omisión de variables independientes, por el uso de formas funcionales incorrectas y por la presencia de endogenidad. Adicionalmente se consideran sus métodos de corrección, entre los que se destacan aquellos que utilizan variables aproximativas o instrumentales con mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E). El capítulo 2 presenta el tema de endogenidad causada por simultaneidad. Al mismo tiempo se discuten las metodologías de mínimos cuadrados indirectos (MCI), MC2E y mínimos cuadrados en tres etapas (MC3E), y la aplicación de la metodología de regresiones aparentemente no relacionadas (SUR2). El capítulo 3 contiene aspectos sobre los modelos probabilísticos con variables de respuesta binarias (lineales, logit y probit) y sus respectivas estimaciones mediante máxima verosimilitud (MV). El capítulo 4 comprende la introducción a los conceptos de series de tiempo con el fin de proyectar variables dinámicas, el procedimiento y la aplicación del filtro de Hodrick y Prescott, los modelos de pronóstico con tendencia determinística y los métodos de atenuación exponencial. El capítulo 5 continúa con las técnicas de proyección univariadas, abordando todo lo relacionado con la metodología Box-Jenkins (prueba de raíz unitaria, series estacionarias, variables no estacionarias y estacionales). 1

Como referencia adicional véase Rosales y Bonilla (2006).

2

La sigla corresponde a seemingly unrelated regressions.

xiv


El capítulo 6 reseña algunos aspectos de las series de tiempo con variables dinámicas y explora los modelos autorregresivos, los de rezagos distribuidos y expectativas adaptativas, la causalidad de Granger y la cointegración. El capítulo 7 abarca lo relacionado con los datos de corte transversal agrupados en el tiempo (pruebas de cambio estructural con el estadístico de Chow) y con el análisis de diferencias en diferencias (para realizar la evaluación de impacto de un proyecto o política). El capítulo 8 continúa con la relación estática y dinámica mediante panel de datos, estimación agrupada por MCO, efectos fijos y aleatorios. Finalmente se presenta el apéndice sobre los comandos de Stata utilizados en cada tema a lo largo del documento.

1

ESPECIFICACIÓN INCORRECTA Y ENDOGENIDAD

1.1. Introducción

C

omo se puede recordar de los conceptos estudiados en los cursos de econometría básica, el modelo clásico de regresión lineal permite explicar el comportamiento de una variable dependiente (Yi ) a partir de una o más variables independientes (Xij 3). Este modelo establece una relación lineal no determinística entre ambas variables e instaura una serie de parámetros de interés que pueden ser inferidos (o estimados) a partir de la información muestral mediante mínimos cuadrados ordinarios (MCO). El correcto funcionamiento de dicho modelo requiere el cumplimiento de diversos supuestos; específicamente, no multicolinealidad (independencia lineal entre las variables independientes), homoscedasticidad (varianza constante de los errores de la regresión entre las observaciones), no correlación serial (ausencia de correlación entre los errores estocásticos de cada observación), especificación correcta (forma funcional apropiada y variables que representen la formulación correcta) e independencia condicional (o no endogenidad). Adicionalmente, y con el fin de efectuar pruebas de hipótesis sobre los parámetros estimados, es necesario suponer que el término de error tiene una distribución normal.4 Este capítulo ofrece un acercamiento a las metodologías, las prácticas y los conceptos econométricos dirigidos al incumplimiento de dos de dichos supuestos; el primero, cuando existe una especificación inco-

3

Los subíndices i y j hacen referencia a las observaciones y a las variables, respectivamente.

4

Para una discusión completa de estos supuestos véase Rosales y Bonilla (2006). 1


2

rrecta; el segundo, cuando no se cumple el supuesto de independencia condicional, es decir, cuando existe correlación entre el error (Ui ) y una o más variables independientes Xij .

( )

Con este fin, la presente sección plantea una discusión sobre el sesgo de especificación para entender por qué en ocasiones no se obtienen los resultados teóricos esperados. Adicionalmente se analizan la prueba RESET5 de Ramsey, la prueba J de Davidson y MacKinnon y la prueba del multiplicador de Lagrange. Estas pruebas pretenden detectar el problema ocasionado por los errores de muestreo y medición de las variables independientes y de la variable dependiente, por la omisión de variables independientes relevantes (cuantificables y no observables), por la inclusión de variables independientes redundantes y por la especificación inadecuada de la forma funcional del modelo. Posteriormente se presentarán las principales metodologías para su corrección. No obstante, la inclusión de endogenidad en el modelo también es otra causa que origina el incumplimiento del supuesto de independencia condicional. Debido a esto se cuestionan los estimadores de MCO porque resultan sesgados e inconsistentes. Por esta razón se incluyen variables instrumentales mediante regresiones en dos etapas (MC2E), con el fin de recuperar las propiedades estadísticas de los coeficientes (insesgados y consistentes). De igual manera se presentan la prueba de Hausman para identificar endogenidad en las estimaciones de MCO y la prueba de restricciones sobreidentificadas para verificar la validez de las variables instrumentales. Finalmente, se aplican las metodologías expuestas mediante un estudio de caso basado en el estudio de Gutiérrez (2009), titulado Efectos de la fecundidad sobre el ingreso laboral femenino, que pretende cuantificar los efectos de la fecundidad sobre los salarios de las mujeres.6

1.2. Discusión sobre la especificación de los modelos econométricos Además del cumplimiento de los supuestos de homoscedasticidad, ausencia de multicolinealidad y autocorrelación residual en estimaciones por MCO, también conviene especificar apropiadamente el modelo econométrico para obtener resultados correctos. No obstante, puede 5

Regression equation specification error test.

6

Otro caso aplicado sobre formas funcionales es Perdomo y Hueth (2011).


3

presentarse un sesgo de especificación cuando se trabaja con información estadística que contiene errores de muestreo y medición de las variables, se omiten regresores relevantes (cuantificables y no observables), se incluyen variables independientes redundantes o se define inadecuadamente la forma funcional del modelo. Lo anterior puede conducir a sesgos en los estimadores así como en sus es obtenido con estos parávarianzas, debido a que el valor estimado Y i i ,7 la varianza metros y esto afecta los resultados del error estimado U del error y, por consiguiente, la de los coeficientes. Esto se conoce como sesgo de especificación, que genera una relación inconsistente entre las variables independientes y la variable dependiente (Gujarati, 2003: 491). A continuación se exponen las consecuencias de estimar un modelo mediante MCO con sesgo de especificación, algunos métodos estadísticos para identificarlo y las alternativas de solución según su causa.

( )

( )

1.2.1. Causas y consecuencias del sesgo de especificación Con el fin de estudiar las causas y consecuencias de especificar inadecuadamente un modelo, considere cualquier axioma general de la teoría económica representado como una expresión en la que se relacionan diferentes variables (v. ecuación 1.1). Yi = f ( Xi 1 , Xi 2 , , Xik )

(1.1)

Yi = E 0 + E1Xi 1 + E 2 Xi 2 + + E k Xik + U i

(1.2)

En la ecuación 1.1 Yi 8 es la variable dependiente y Xi 1 ,..., Xik 9 son variables explicativas linealmente independientes.10 Por su parte, la expresión 1.2 representa una forma lineal (tanto en las variables como en los coeficientes) de la función de regresión poblacional (FRP) descrita por la ecuación 1.1, donde E0 , E1, E 2 , … , E k son la constante y los parámetros del

7

.

8

Con i = 1, 2,..., n observaciones.

9

Con i = 1, 2,..., n observaciones.

10

Esto significa que pueden escribirse como una matriz de rango completo o que no existe multicolinealidad perfecta.

4


modelo, y Ui corresponde a su elemento aleatorio.11 A continuación se exponen las causas que originan el problema de sesgo de especificación y sus consecuencias. 1.2.1.1. Errores de muestreo y medición de las variables del modelo

Una vez obtenida de fuentes primarias o secundarias la información estadística de las variables que se especificarán en la ecuación 1.1 (conforme con el principio teórico que se quiera tratar o evidenciar), es importante asegurarse de la buena calidad de los datos recolectados antes de la estimación econométrica del modelo, debido a que pueden provenir de un ejercicio inadecuado de muestreo de la población objetivo (tamaños no representativos o sesgo de selección, es decir, una muestra no aleatoria) o pueden contener fallas de digitación o manipulación incorrecta de la encuesta y de la información secundaria agregada o desagregada (errores de medición y datos atípicos). Las consecuencias de estos errores de muestreo o medición pueden ser variadas, dependiendo principalmente de cuáles fueron las variables recolectadas incorrectamente (la dependiente, las independientes o ambas) y de si dichos errores siguen alguna estructura específica a lo largo de la muestra (por ejemplo, si los individuos con características particulares son los que resultan incorrectamente observados de forma sistemática). El caso más simple corresponde a la medición incorrecta de la variable dependiente. Para formalizar lo anterior, considere un modelo equivalente al descrito por la ecuación 1.2 pero con un error de medición de la variable dependiente (denotado Q), de tal forma que el valor observado (Yi* ) diste de su valor real (Yi ) (v. ecuación 1.3). (1.3)

En la ecuación 1.3 aparece un nuevo término de error Ui* que captura tanto el componente estocástico del modelo como el error de medición que afecta la variable dependiente. Estimar equivocadamente una ecuación

11 Denominado término de error, que captura los determinantes no observables e impredecibles de la variable dependiente (Yi ) y transforma la relación entre las variables en una relación no determínistica. En este libro el término de error poblacional se i. representa como U i , mientras que los errores estimados se denotan como U


5

como la anterior no necesariamente genera sesgos12 de los estimadores β0 y β1. Aun así, esto sí conduce a un sesgo de las varianzas estimadas , lo que amplía los intervalos de confianza Var Var Var e invalida las pruebas de significancia global e individual del modelo (Gujarati, 2003: 524). A diferencia del modelo anterior, cuando los errores tienen una estructura específica en la muestra u ocurren en las variables independientes del modelo, los parámetros estimados β0 , β1 se ven afectados. Esto es un caso particular del incumplimiento del supuesto de independencia condicional, que se estudia con mayor detalle en la sección 1.3.

1.2.1.2. Omisión de variables independientes relevantes

La omisión de variables independientes relevantes en una regresión muestral es otra causa posible de la especificación incorrecta del modelo. La omisión puede ocurrir como consecuencia de la escasa disponibilidad de datos, la incapacidad para su recolección o algún grado de desconocimiento sobre el planteamiento teórico previo. Para formalizar lo anterior, a partir de la ecuación 1.2 se plantea un nuevo modelo con k – 1 variables explicativas, es decir, omitiendo una variable independiente relevante (v. ecuación 1.4). Yi = E 0 + E1 Xi 1 + E 2 Xi 2 + + E k −1 Xik −1 + U i*

(1.4)

El término de error13 Ui* de la ecuación 1.4 contiene una variable omitida teóricamente relevante para explicar Yi . Estimar equivocadamente una ecuación como la anterior tiene algunas consecuencias que se discuten a continuación. En primer lugar, si la variable omitida capturada en el nuevo término de error está correlacionada con alguna de las k – 1 variables explicativas que aparecen en la especificación, el intercepto y las pendientes resultan sesgados e inconsistentes (v. demostración en el anexo 1.3). Esto se denomina problema de endogenidad y se discute más adelante (v. sección 1.3).

Un estimador es sesgado cuando su valor esperado o promedio E β1 no se aproxima al verdadero valor poblacional que se desea estimar ( E1 ) . Ver detalles en el anexo 1.2. 12

13

Formalmente Ui* = E k Xik + Ui , donde Ui es el término de error del modelo correcto.


6

Aun cuando las variables omitidas capturadas en el nuevo término de error no estén correlacionadas con alguna de las variables explicativas, el intercepto β0 será sesgado. No obstante, las pendientes en este caso sí representarían correctamente el parámetro poblacional (Gujarati, 2003: 491).

En cualquiera de los casos, la varianza del error y las varianzas estimadas Var Var de los coeficientes Var son incorrectas, lo que invalida los intervalos de confianza, las pruebas de significancia parcial y global de los coeficientes, así como los intervalos de confianza que se construyan sobre las predicciones del modelo (Gujarati, 2003: 491). 1.2.1.3. Forma funcional incorrecta

Otra causa de especificación errónea sucede cuando se elige una forma funcional incorrecta para expresar las variables independientes. Para este caso, la ecuación 1.5 muestra un modelo lineal con dos variables explicativas ( Xi1 , Xi 2 ), donde Xi1 explica la variable dependiente como un polinomio de forma cuadrática. De esta forma, si equivocadamente se plantea una relación lineal (v. ecuación 1.6), se daría lugar a un problema de especificación. Yi = E 0 + E1 Xi 1 + E 2 Xi21 + E 3 Xi 2 + Ui

(1.5)

Yi = E i 0 + E1 Xi 1 + E 2 Xi 2 + Ui*

(1.6)

Aunque las estimaciones de MCO calculan correctamente cada uno de los coeficientes, omitir la forma cuadrática conduce a interpretaciones erróneas del efecto que tiene la variable Xi1 sobre la dependiente (Yi ). La diferencia entre el coeficiente obtenido usando una forma funcional incorrecta y el parámetro poblacional corresponde a un sesgo de especificación.14 No obstante, también los estimadores pueden resultar sesgados e inconsistentes (v. demostración en el anexo 1.4). 1.2.1.4. Adición de variables independientes redundantes

La última causa de especificación errónea es la adición de variables independientes innecesarias como consecuencia de un planteamiento teórico incorrecto. Por consiguiente, a la ecuación 1.2 se le adicionan dos regresoras más (Xik + 1 y Xik + 2 ) como lo muestra la ecuación 1.7. Así, En este caso particular, el efecto marginal correcto de Xi1 sobre Yi es E1 + 2 E 2 Xi 1; el calculado erróneamente corresponde únicamente a E1 .

14


7

cada uno de los estimadores de MCO β i MCO siguen siendo insesgados (v. demostración en el anexo 1.5) pero dejan de ser eficientes, lo que aumenta la probabilidad de cometer un error tipo II.15 Yi = E 0 + E1 Xi 1 + E 2 Xi 2 + + E k Xik + E k + 1 Xik + 1 + E k + 2 Xik + 2 + U i

(1.7)

En resumen, los problemas de especificación por la omisión de variables relevantes o por la adición de términos innecesarios pueden conducir a obtener errores estándar equivocados y sesgos de los parámetros cuando se estima el modelo por MCO. Esto impide realizar aseveraciones confiables a partir de los resultados obtenidos. A continuación se presentan diversos contrastes estadísticos que permiten establecer si un modelo está correctamente especificado.

1.2.2. Detección del problema de especificación Como se discutió anteriormente, los problemas de especificación tienen consecuencias sobre las estimaciones de MCO. Por esta razón, antes de realizar la estimación de alguna relación económica deben realizarse análisis exhaustivos de las estadísticas descriptivas, los gráficos de histogramas y las correlaciones, con el fin de conocer si la información de las variables seleccionadas contiene errores de muestreo o medición. Para esto es necesario tener en cuenta el tamaño de la muestra, la media aritmética, la desviación estándar, el valor máximo y el mínimo, el comportamiento del histograma y la tendencia de las correlaciones. También resulta conveniente contar con herramientas que permitan evaluar la idoneidad de un modelo econométrico. Así, la prueba RESET de Ramsey, la J de Davidson y MacKinnon y la prueba del multiplicador de Lagrange permiten diagnosticar la especificación adecuada o inadecuada de un modelo. 1.2.2.1. Prueba RESET de Ramsey

Una primera metodología para detectar especificación errónea en un modelo econométrico es la prueba RESET16 de Ramsey, que mediante una regresión auxiliar busca evidencia estadística de qué tan adecuada es la especificación de un modelo. En la regresión auxiliar aparecen los i2 y Y i3 como nuevas polinomios de la variable explicada estimada Y

(

)

15

Declarar equivocadamente un coeficiente como estadísticamente no significativo.

16

Las siglas corresponden a regression equation specification error test.

8


variables independientes. En este sentido, la ecuación 1.8 presenta el modelo lineal general mostrado en la sección anterior (v. ecuación 1.2), con k variables independientes. Yi = E 0 + E1 Xi 1 + E 2 Xi 2 + + E k Xik + U i

(1.8)

De la misma forma, la regresión auxiliar (v. ecuación 1.9) está dada por la i2 y Y i3 . ecuación inicial (1.8) más un polinomio de los valores estimados Y

(

)

yY son suficientes para realizar la prueba, Aunque en la práctica Y teóricamente conviene incluir tantas formas no lineales de estos valores como sea posible (Wooldridge, 2009: 303-304). 2 i

3 i

i + δ Y Yi = β 0 + β1 Xi 1 + β 2 Xi 2 + + β k Xik + δ1 Y 2 i + ei 2

3

(1.9)

Una vez especificada la regresión auxiliar, la prueba RESET de Ramsey consiste en lo siguiente: 1.

Realizar la estimación mediante MCO del modelo en la ecuación 1.8.

2.

Con los resultados del numeral anterior, obtener los valores estima i ). dos para la variable dependiente (Y

3.

Estimar mediante MCO la regresión auxiliar de la expresión 1.9, i2 y Y i3 como variables indepenagregando los nuevos polinomios Y dientes.

4.

Ejecutar la prueba estadística F (v. ecuación 1.11) para determinar la i2 y Y i3 . Si significancia de los coeficientes ( G1 y G2 ) que acompañan a Y se rechaza la hipótesis nula (v. prueba de hipótesis 1.10), que plantea que los coeficientes son conjuntamente iguales a cero, significa que el modelo especificado en la ecuación 1.8 tiene sesgo de especificación.

H0 : G1 = G2 = 0 Existe evidencia sobre una adecuada especificación.

(1.10)

H1 : G1 ≠ G2 ≠ 0 Existe evidencia sobre una inadecuada especificación.

F=

(SCER − SCENR ) SCENR n − p

l

∼ Fl , n − p

(1.11)

Ahora bien, la ecuación 1.11 denota el estadístico F, donde SCE representa la suma de los errores al cuadrado. Los subíndices R y NR hacen


9

referencia al modelo restringido17 y no restringido,18 respectivamente; p corresponde al número de parámetros en el modelo no restringido y n al total de observaciones. La cantidad de restricciones se denota como . Si el estadístico l, que en este caso son las dos formas no lineales de Y F F calculado supera el valor crítico determinado por l ,n − p para un determinado nivel de significancia (usualmente 1%, 5% o 10%), entonces los coeficientes G1 y G2 son conjuntamente significativos o por lo menos uno de ellos es diferente de cero; es decir, existe evidencia estadística de especificación incorrecta. No obstante, hasta el momento se desconoce la causa de la especificación incorrecta (un error de medición o muestreo, la omisión de variables relevantes o la inclusión de variables independientes redundantes, el uso de una forma funcional incorrecta o la combinación de algunos o todos estos problemas). Por esto deben tenerse en cuenta, uno por uno, aspectos alternativos como la revisión de la teoría económica involucrada, los análisis gráficos y otros estudios existentes (Hill et ál., 2001: 135-138) para conocer la fuente del problema encontrado mediante la prueba RESET de Ramsey. 1.2.2.2. Prueba J de Davidson y MacKinnon

Otra técnica que permite evidenciar la especificación errónea de un modelo econométrico es la prueba de Davidson y MacKinnon, también conocida como prueba J. En ella se compara directamente el modelo especificado de manera incorrecta con el modelo potencialmente adecuado. En este orden de ideas, conviene plantear las funciones que exponen todas las posibles causas de especificación incorrecta. Es decir, se compara una función de variables independientes omitidas con una que no presente omisión (v. ecuaciones 1.12 y 1.13), una regresión que incluya variables explicativas con otra sin ellas (v. ecuaciones 1.14 y 1.15). También se plantea una forma funcional correcta que ayude a contrastar la equivocada (v. ecuaciones 1.16 y 1.17). iomitida Yi = E 0 + E1 Xi 1 + E 2 Xi 2 + + E k −1 Xik −1 + U i* → Y i Yi = β 0 + β1 Xi 1 + β 2 Xi 2 + + β k −1 Xik −1 + β k Xik + δ1 Y

omitida

(1.12) + Ui

redundante Yi = E 0 + E1 Xi 1 + E 2 Xi 2 + + E k Xik + E k + 1 Xik + 1 + U i* → Y i

(1.13) (1.14)

17

El modelo restringido es Yi = E0 + E1Xi 1 + E 2 Xi 2 + + E k Xik + U i .

18

i2 + δ Y 3 El modelo no restringido es Yi = β0 + β1Xi 1 + β 2 Xi 2 + + β k Xik + δ1 Y 2 i + Ui .

10


i Yi = β 0 + β1 Xi 1 + β 2 Xi 2 + + β k Xik + δ1 Y

redundante

+ Ui

iforma funcional Yi = E 0 + E1 Xi 1 + E 2 Xi 2 + + E k Xik + U i* → Y

(1.15) (1.16)

iforma funcional + U (1.17) Yi = β 0 + β1 log Xi 1 + β 2 log Xi 2 + + β k log Xik + δ1 Y i

A partir de las ecuaciones anteriores, la prueba J de Davidson-MacKinnon consiste en estimar independientemente mediante MCO cada una de las especificaciones en las ecuaciones 1.12, 1.14 y 1.16. En segunda instancia, i ) obtenidos en éstas y se añaden como se toman los valores estimados (Y variables independientes en el segundo modelo correspondiente (v. ecuaciones 1.13, 1.15 y 1.17), según el caso de las ecuaciones iniciales (1.12, 1.14 y 1.16, respectivamente). Finalmente, con base en los resultados se determina la significancia estadística parcial (con el estadístico t) de esta nueva variable independiente. En general, la metodología se puede implementar siguiendo los siguientes pasos: 1.

Plantear los modelos de las ecuaciones 1.12, 1.14 y 1.16 teniendo en cuenta que la prueba será efectuada sobre la segunda especificación correspondiente a cada caso.

2.

Realizar la estimación por MCO del primer modelo en cada ecuación.

3.

i ) del primer modelo de acuerdo Obtener los valores estimados (Y con el caso.

4.

i Estimar el segundo modelo por MCO agregando el respectivo Y calculado en el paso tres.

5.

Ejecutar una prueba estadística t de significancia individual sobre el i ). Si éste no coeficiente nuevo que acompaña los valores ajustados (Y resulta estadísticamente igual a cero (se rechaza la hipótesis nula) quiere decir que el modelo inicial (representado por la ecuación 1.12, 1.14 o 1.16 según el caso) está especificado incorrectamente (v. prueba de hipótesis 1.18).

FUNDAMENTOS DE ECONOMETRÍA INTERMEDIA: TEORÍA Y APLICACIONES H0 : G1 = 0

El modelo 1.12, 1.14 o 1.16 se encuentra especificado correctamente.

H1 : G1 ≠ 0

El modelo 1.12, 1.14 o 1.16 se encuentra especificado erróneamente por la omisión de variables independientes, la inclusión de variables redundantes o el uso de una forma funcional incorrecta.

11

(1.18)

Por su parte, el estadístico t es presentado en la ecuación 1.19, donde ee ( G 1 ) corresponde al error estándar del coeficiente G 1 . Si el valor calculado del t supera el crítico, determinado por tn − p (p corresponde al número de parámetros en el modelo y n al total de observaciones) para un determinado nivel de significancia (usualmente 1%, 5% o 10%), entonces el coeficiente G1 resulta estadísticamente significativo. En otras palabras, se rechaza la hipótesis nula y se encuentra evidencia de especificación incorrecta. t=

G 1 ∼ tn − p ee ( G 1 )

(1.19)

A diferencia de los resultados de la prueba RESET de Ramsey, la prueba J de Davidson y MacKinnon permite establecer las causas del problema (omisión de variables relevantes, inclusión de variables redundantes o uso de una forma funcional incorrecta) según la especificación tratada. Estas causas pueden ser analizadas simultánea o individualmente en un caso específico. 1.2.2.3. Multiplicador de Lagrange

Para finalizar la exposición de los métodos que ayudan a detectar el sesgo de especificación de un modelo econométrico, en esta sección se estudiará la prueba del multiplicador de Lagrange (PML). Entre las pruebas alternativas planteadas (RESET de Ramsey y J de Davidson y MacKinnon), La PML permite determinar si se cumple el supuesto de independencia condicional.19

i ) del Esta técnica consiste en comparar directamente el error estimado (U modelo especificado incorrectamente con las variables independientes omitidas, redundantes o con forma funcional adecuada. En otras pala*

19

Cuando la covarianza entre al menos una de las variables explicativas ( Xij ) y el error

(Ui ) es diferente de cero.


12

*i en función de las variables explicativas omitibras, permite plantear U das (v. ecuación 1.20), irrelevantes o redundantes (v. ecuación 1.21) y con forma funcional correcta (v. ecuación 1.22).20

i* Yi = β 0 + β1Xi 1 + β 2 Xi 2 + ... + β k −1Xik −1 + Ui* → U

(1.20)

= α + α X + α X + ... + α X + α X + ε U 0 1 i1 2 i2 k − 1 ik − 1 k ik i * i

*i Yi = β 0 + β1Xi 1 + β 2 Xi 2 + ... + β k + 1Xik + 1 + Ui* → U

(1.21)

= α + α X + α X + ... + α X + ε U 0 1 i1 2 i2 k ik i * i

i* Yi = β 0 + β1 Xi 1 + … + β k Xik + Ui* → U

(1.22)

= α + α ln X + … + α ln X + ε U 0 1 i1 k ik i * i

De esta forma, la PML se puede efectuar de la siguiente manera: 1.

Plantear y estimar por MCO los modelos iniciales de las ecuaciones 1.20, 1.21 y 1.22 teniendo en cuenta que la prueba será efectuada sobre éstos.

2.

Con los resultados del numeral uno, obtener los errores estimados (U *i ) de cada modelo.

*i ), incluirlos como variaUna vez obtenidos los errores estimados (U ble dependiente para especificar cada modelo auxiliar de las ecuaciones 1.20, 1.21 y 1.22.

3.

4.

Estimar por MCO los modelos auxiliares de las ecuaciones 1.20, 1.21 y 1.22.

5.

Realizar la PML (v. ecuación 1.24) para todos los coeficientes de la regresión auxiliar ( D0 , D1 , D2 ,… , Dk ). Si no resultan en conjunto o de manera individual estadísticamente iguales a cero (se rechaza la hipótesis nula), quiere decir que modelo inicial de la ecuación 1.20, 1.21 o 1.22 está especificado incorrectamente (v. prueba de hipótesis 1.23).

20

En las ecuaciones 1.20-1.22 la flecha indica que la variable de la derecha se obtiene de la estimación del modelo de la izquierda.


13

H 0 : D1 = D2 = = Dk = 0 El modelo 1.20, 1.21 o 1.22 se encuentra

especificado correctamente. El modelo 1.20, 1.21 o 1.22 se encuentra especificado erróneamente por la omisión H1 : D1 ≠ D2 ≠ ≠ Dk ≠ 0 de variables independientes, la inclusión de variables redundantes o el uso de una forma funcional incorrecta. ML = nR 2 ∼ F 2p −1

(1.23)

(1.24)

En la ecuación 1.24, ML (multiplicador de Lagrange) equivale a n (total de observaciones) multiplicado por el coeficiente de determinación ( R 2 ) de la regresión auxiliar. El estadístico tiene una distribución ji cuadrada con 2 p − 1 grados de libertad F p−1 , que representan el número de parámetros menos uno en la regresión auxiliar. Si el ML calculado supera el valor 2 crítico determinado por F p−1 para un determinado nivel de significancia (usualmente 1%, 5% o 10%), entonces los coeficientes de la regresión auxiliar son conjuntamente significativos o por lo menos uno de ellos es diferente de cero. En otras palabras, existe evidencia estadística de especificación incorrecta. Las pruebas de significancia individual podrían interpretarse análogamente sobre cada uno de los parámetros del modelo.

(

)

Todas las pruebas expuestas anteriormente permiten establecer si un modelo econométrico está correctamente especificado o no. A continuación se presentan algunas técnicas que permiten corregir el problema de especificación incorrecta utilizando la teoría económica y las variables aproximativas (o proxy por su nombre en inglés) para remediarla.

1.2.3. Soluciones al problema de especificación incorrecta La especificación correcta es uno de los supuestos del modelo clásico de regresión, cuyo cumplimiento permite encontrar coeficientes coherentes con la teoría económica y hacer inferencia estadística sobre las relaciones entre las variables independientes y la dependiente de la función estimada. Si en el análisis de las estadísticas descriptivas, de los histogramas y de las correlaciones se detectan errores de muestreo o medición de las variables implicadas, la solución consiste en hacer nuevamente el ejercicio de muestreo y recolección de información (si es el caso) y corregir digitaciones o manipulaciones equivocadas en la base datos.

14


Adicionalmente, si el sesgo de especificación proviene de una variable independiente omitida o redundante, o de una forma funcional incorrecta, y es detectado mediante cualquiera de las pruebas expuestas anteriormente, resulta necesario modificar el modelo econométrico inicial. Esta sección presenta dos estrategias para hacerlo: recurrir a la teoría económica y utilizar variables aproximativas. 1.2.3.1. Uso de la teoría económica

La primera alternativa para corregir la especificación errónea consiste en recurrir a la teoría económica que originó el planteamiento del modelo econométrico, con el fin de identificar la omisión de variables independientes relevantes, la adición de redundantes o la existencia de una forma funcional incorrecta. En el primer caso, es necesario recolectar los datos faltantes para incluir en el modelo las variables explicativas omitidas observables o cuantificables. En los otros casos, los postulados económicos deben indicar qué variables dejar a un lado y cómo expresar la forma funcional del modelo econométrico o de cada una de las variables implicadas en él para obtener una regresión correctamente especificada. No obstante, es posible que las variables independientes relevantes excluidas no sean observables ni tampoco cuantificables fácilmente. Sin embargo, dada su importancia desde el punto de vista económico descrito econométricamente, no debe prescindirse de ellas en el análisis porque puede incurrirse en el problema de especificación incorrecta por variable explicativa omitida. Por esta condición, el problema se trata utilizando variables aproximativas. 1.2.3.2. Variables aproximativas

Además del análisis teórico, pueden utilizarse variables aproximativas exógenas porque en algunas ocasiones el origen del problema de especificación radica en la existencia de variables independientes omitidas no observables o cuantificables. Esto ocurre con variables como la habilidad, el gusto, la cultura y la calidad de vida de una persona o de una sociedad en general, entre otras. Por ejemplo, el coeficiente intelectual puede ser una buena aproximación para la habilidad y el índice de desarrollo humano para la calidad de vida. Teniendo en cuenta lo anterior, la variable aproximativa (proxy) puede definirse como una representación observable y cuantificable, relacionada con su determinante no perceptible. Esta variable puede ser incluida


15

dentro del modelo sustituyendo la variable independiente no observable y de esta forma puede capturar el efecto de la variable omitida y solucionar el problema de especificación errónea. Para continuar el análisis sobre el funcionamiento de una variable aproximativa, la ecuación 1.25 representa algún caso particular, desde el punto de vista económico, con cuatro variables independientes. El modelo cuenta con dos variables cuantificables ( Xi 1 , Xi 2 ) y dos omitidas ( Xi 3 , Xi 4 ) no observables (v. ecuación 1.26). Yi = E 0 + E1Xi 1 + E 2 Xi 2 + E 3 Xi 3 + E 4 Xi 4 + Ui

(1.25)

Yi = E 0 + E1Xi 1 + E 2 Xi 2 + Ui*

(1.26)

Ui* = S1Xi 3 + S 2 Xi 4 + Ui

(1.27)

De esta forma, en el término de error (Ui* ) se encuentran las dos regresoras omitidas ( Xi 3 , Xi 4 ) junto con sus respectivos parámetros ( S1 , S 2 ) y el error (U ) del modelo original (v. ecuación 1.27). Así, el método consiste en buscar dos variables aproximativas ( Pi 1 , Pi 2 ) que teóricamente tengan una correlación (Corr) alta con las variables omitidas (v. ecuaciones 1.28 y 1.29). Es imposible probar empíricamente que existe una relación entre las variables aproximativas y las no observadas. Por lo tanto, la existencia de la relación entre Xi 3 y Pi1 y entre Xi 4 y Pi 2 debe ser justificada teóricamente o desde el argumento económico respectivo. Corr ( Pi 1 , Xi 3 ) = 1

(1.28)

Corr ( Pi 2 , Xi 4 ) = 1

(1.29)

Una vez establecidas las variables aproximativas ( Pi 1 , Pi 2 ), se reemplazan por las no observables ( Xi 3 , Xi 4 ) en el modelo inicial de la ecuación 1.25 y debe estimarse la nueva especificación (v. ecuación 1.30) mediante MCO, la cual puede ser examinada con las pruebas conjuntas y parciales (estadísticos F y t, respectivamente) presentadas en la sección 1.2.2. Yi = β 0 + β1Xi 1 + β 2 Xi 2 + β 3 Pi 1 + β 4 Pi 2 + υi

(1.30)

Ahora, si no existen más variables independientes omitidas, se trabaja la forma funcional correcta considerando que Pi1 y Pi 2 son una buena aproximación para Xi 3 y Xi 4 . El modelo 1.30 se encontraría bien especificado y se obtendrían a partir de éste estimadores insesgados y consistentes. Sin embargo, se puede continuar vulnerando el supuesto de independencia condicional por problemas de endogenidad.


16

1.3. Endogenidad Además de especificar correctamente el modelo econométrico, es necesario conocer y garantizar la exogenidad de sus variables independientes implicadas para cumplir el supuesto de independencia condicional y obtener estimadores insesgados y consistentes mediante MCO. De lo contrario, cuando se incumple este principio por causas distintas a la especificación incorrecta, las variables independientes podrían considerarse endógenas (v. demostración en el anexo 1.6). En este sentido, la endogenidad se define formalmente como la existencia de una relación inequívoca entre una o más variables independientes incluidas en el modelo y el término de error.21 A continuación se discuten las causas y consecuencias de este problema, las estrategias de solución usando variables instrumentales y el proceso de identificación de éste.

1.3.1. Causas y consecuencias Una vez se ha definido el problema de endogenidad y con el fin de comprenderlo, esta sección presenta sus cuatro posibles causas. En cuanto a esta clasificación, es necesario tener presente que los elementos aquí expuestos no son mutuamente excluyentes, por lo que en los ejercicios empíricos varias fuentes de endogenidad pueden estar presentes simultáneamente. 1.3.1.1. Variables omitidas no observadas

La primera causa endogenidad es un caso particular del problema de variables omitidas ya descrito en la sección 1.2. En este caso, la ecuación 1.31 es un modelo clásico de regresión con k – 1 variables independientes y una variable omitida (v. ecuación 1.32). Yi = β 0 + β1 Xi 1 + β 2 Xi 2 + + β k −1 Xik −1 + μi

(1.31)

μi = β k Xik + ei

(1.32)

A partir de las ecuaciones anteriores, es necesario destacar que la omisión de variables no necesariamente conduce a un problema de endogenidad; sólo cuando la variable omitida que está en el error se relaciona además

21

(

)

Es decir, cuando Cov Xij , U i ≠ 0 .


17

con una de las variables explicativas ( Xij ) se incumplirá el supuesto de independencia condicional. La variable relacionada con el error se conoce como variable endógena. Cuando existe un problema como éste, los estimadores de MCO pasan a ser sesgados, por lo que dejan de ser aproximaciones válidas de los parámetros poblacionales. En el caso particular de variables omitidas, la dirección del sesgo puede ser determinada de forma analítica. Como ejemplo, las ecuaciones 1.33 y 1.34 muestran un caso particular del problema con k = 1 y la variable independiente (Xi1 ) está relacionada con una omitida ( Xi 2 ). Yi = β 0 + β1Xi 1 + μi

(1.33)

μi = β 2 Xi 2 + ei

(1.34)

En este caso la variable omitida Xi 2 se puede explicar a partir de la variable independiente endógena porque Cov ( Xi 1 , Xi 2 ) ≠ 0 (ver ecuación 1.35). Por lo tanto, es posible sustituir la aproximación de la variable omitida en la ecuación 1.33 para obtener una expresión general del sesgo (ver ecuación 1.36). Xi 2 = π0 + π1Xi 1 + υi

(1.35)

Yi = ( β 0 + β 2 π0 ) + ( β1 + β 2 π1 ) Xi 1 + ( β 2 υi + ei ) β*0

β1*

ei

(1.36)

*

En este caso, la dirección del sesgo está determinada por los valores de β 2 π y β 2 π1.22 Note que también aparece un sesgo sobre E 0 . En la práctica, al identificar la variable omitida, la dirección del sesgo puede determinarse analizando los signos teóricos de las relaciones entre las diferentes variables involucradas. 0

1.3.1.2. Simultaneidad

La segunda causa posible de endogenidad se conoce como simultaneidad y ocurre cuando el fenómeno económico cuenta con variables determinadas conjuntamente en un proceso más complejo que aquel que puede ser capturado por una ecuación lineal. En particular, cuando la variable dependiente y alguna de las independientes se determinan al mismo tiempo, se tiene un problema de doble causalidad.

22

Está sobreestimado si β 2 π1 > 0 y subestimado si β 2 π1 < 0 .


18

En estas circunstancias, los estimadores calculados por el método de MCO reflejan una mezcla del efecto de los diferentes canales. Si se quiere estudiar sólo una dirección de la causalidad, se debe reformular el problema planteando un sistema de varias ecuaciones que logre reflejar las diferentes relaciones que ligan las variables. Este tema es más complejo que el de las otras causas de endogenidad dado que requiere condiciones especiales de identificación, por lo cual se estudiará de manera independiente (v. capítulo 2). 1.3.1.3. Error de medición

En tercer lugar se encuentran los errores de medición que en circunstancias particulares derivan en un problema de endogenidad. En los casos en que dichos errores siguen una estructura determinada, correlacionada con alguna de las variables independientes del modelo, las consecuencias recaen sobre el resultado de los estimadores obtenidos mediante MCO * * β0 , β1 . Estos estimadores son sesgados e inconsistentes23 por sobreestimar o subestimar su verdadero valor muestral β0 , β1 .

Lo anterior puede observarse en la ecuación 1.37 que representa una forma lineal de la FRP simple, en la que existe un error de muestreo o medición ( νi , εi ) de la variable dependiente y de la explicativa (Yi , Xi ), respectivamente (Pindyck y Rubinfeld, 2003: 188-190). i β β X Yi β 0 β 1X i1 Ui , Y 0 1 1i Yi* β*0 β 1* Xi*1 U i* , donde Yi* Yi ν i ; Xi*1 Xi ε i y Ui* U i β 1*ε i (1.37) i* β* β* X * Y 0 1 i1

(

)

(

)

Cov X1*i , U i* = E ⎡⎣( Xi + εi ) U i + β1* εi ⎤⎦ = β1* σ 2ε

(1.38)

En la expresión 1.37, Yi* equivale al valor auténtico de la variable dependiente (Yi ) más su error de muestreo o medición (Qi). Lo que ocurre con la variable independiente observada Xi1* es análogo, cuyo efecto es la suma de su cuantía efectiva ( Xi1 ) y el error ( Hi ) . Al reemplazar Yi* y Xi1* , el término de error (Ui* ) permanece en función de Ui ± β1 εi y de esta manera resulta correlacionado con la variable independiente ( Xi1* ) (ver ecuación 1.38),24 incumpliendo así el supuesto de independencia condicional. 23

Esto ocurre porque están relacionados con la varianza del error de muestreo o medición (ver detalles en el anexo 1.2).

24

Donde Cov indica la covarianza y E el valor esperado de los respectivos términos en la covarianza.


19

Con respecto a los estimadores calculados por MCO, la dirección del sesgo está determinada por la estructura del error de medición. A continuación se presenta el sesgo de selección que corresponde a la cuarta y última causa que origina el problema de endogenidad. 1.3.1.4. Sesgo de selección

Finalmente, la endogenidad puede surgir de sesgos de selección, problema que aparece cuando los datos no son aleatorios, como resultado de errores de los encuestadores en la recolección de los datos o por alguna selección (o autoselección) de los encuestados. En particular, la mala recolección puede darse por una omisión deliberada de algunas preguntas en el momento de hacer las encuestas o por la falta de claridad en su redacción. En el caso de las preguntas de selección múltiple, por ejemplo, en ocasiones ninguna alternativa se ajusta a la condición del encuestado. Cuando en un alto porcentaje de los datos se observan respuestas en blanco, es probable que se tenga un problema de no aleatoriedad. Por otra parte, el sesgo de selección ocurre cuando no todos los individuos de la población tienen la misma probabilidad de hacer parte de la muestra. La autoselección es un caso particular de este tipo de sesgo, común en los estudios econométricos sobre programas gubernamentales. En este caso la autoselección ocurre porque no todos los individuos tienen la misma propensión a participar en programas públicos, dado que cuentan con diferente disponibilidad de tiempo e interés. En ambos casos, el conjunto de participantes no es representativo de la población. Al igual que en los casos de variables omitidas, de simultaneidad y de error de medición ya presentados, el análisis econométrico por MCO no conduce a estimadores insesgados, porque el término de error del modelo captura la estructura de selección. Para comprender las diferentes metodologías que se presentan posteriormente, la siguiente sección introduce el concepto de variable instrumental o instrumento, que permitirá evaluar la existencia de problemas de endogenidad y plantear metodologías de solución.

1.3.2. Introducción a las variables instrumentales La estrategia para solucionar y detectar la endogenidad de un modelo es usar variables instrumentales. De esta forma, inicialmente el problema debe abordarse desde el postulado económico plasmado en la regresión,

20


sin ninguna prueba que permita demostrarlo. Paralelamente, se debe emplear la metodología de variables instrumentales como solución y posteriormente aplicar la prueba estadística de Hausman para evidenciar el incumplimiento del supuesto de independencia condicional por endogenidad. En otras palabras, y a diferencia del procedimiento convencional efectuado cuando se infringe algún otro supuesto de MCO (caso en que se llevan a cabo primero las pruebas de detección y posteriormente la medida correctiva), en un caso de endogenidad debe plantearse inicialmente la solución (uso de variables instrumentales), suponiendo de entrada que el problema existe, y posteriormente determinar si en efecto hay endogenidad. Por esta razón, es necesario introducir primero el concepto de instrumento ( Zi ) o variable instrumental. Una variable instrumental se define como aquella relacionada con la variable explicativa que causa el problema de endogenidad e independiente del término de error en el modelo. Adicionalmente, para elegir un buen instrumento se parte del problema económico planteado econométricamente. La variable instrumental también permite transformar el modelo inicial con presunta endogenidad para obtener estimadores insesgados y consistentes (v. demostración en los anexos 1.6 y 1.7). Cualquier variable coherente económicamente dentro de la lógica del modelo puede seleccionarse como instrumento ( Zi ) siempre y cuando satisfaga dos condiciones: validez y relevancia. La primera exige que la variable instrumental ( Zi ) sea exógena al modelo econométrico especificado inicialmente en la ecuación 1.39; es decir, independiente del término de error (v. ecuación 1.40). Por su parte, la segunda postula que debe existir una dependencia o relación entre la variable instrumental y la variable independiente ( Xi1* ) correlacionada con el error (Wooldridge, 2009: 308), como lo establece la ecuación 1.41. Yi = E 0 + E1Xi*1 + Ui

(1.39)

Cov( Zi , U i ) = 0

(1.40)

Cov ( Zi , Xi*1 ) ≠ 0

(1.41)

Para demostrar que la variable instrumental cumple estas condiciones se utiliza la prueba de Sargan para restricciones sobreidentificadas (v. sección 1.3.4), con el fin de determinar si se cumple la condición 1.40. También se estima una regresión auxiliar en la que la variable instrumental ( Zi ) se utiliza como regresora de la variable endógena ( Xi1* ) para comprobar si se cumple la condición 1.41. Esta regresión auxiliar hace parte del proceso


21

de estimación por MC2E (v. sección 1.3.2.1). La siguiente sección explica cómo se utilizan las variables instrumentales para solucionar, identificar y estimar modelos con endogenidad.

1.3.3. Soluciones al problema de endogenidad Como se mencionó anteriormente, cuando existe un problema de endogenidad debe plantearse primero la solución y luego determinar su existencia a partir del fundamento económico conceptualizado, razón por la cual esta sección destaca el uso de las variables instrumentales y posteriormente expone la prueba de Hausman para detectar el problema de endogenidad. 1.3.3.1. Mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E)

Un problema de endogenidad en un modelo se debe resolver utilizando variables instrumentales para obtener estimadores insesgados mediante MC2E (v. demostración en el anexo 1.9). Este método es el segundo más usado en la literatura, superado únicamente por MCO (Wooldridge, 2009: 2). Para ilustrar lo anterior, la ecuación 1.42 representa un modelo de regresión con dos variables independientes (Xi*1 y Xi 2 ) . Yi = E 0 + E1Xi*1 + E 2 Xi 2 + Ui

(1.42)

donde Xi1* expresa la variable que genera endogenidad, dada su relación con el término de error ( Cov( Xi*1 , U i ) ≠ 0 ) , que se explica desde la perspectiva económica por una variable exógena no considerada en la especificación. Entonces debe encontrarse un instrumento ( Zi1 ), coherente dentro de la lógica económica del modelo, que esté relacionado con Xi1* pero no con el término de error de la ecuación 1.42 (v. ecuaciones 1.40 y 1.41). La expresión 1.43 hace referencia a una regresión auxiliar denominada forma reducida de la ecuación estructural plasmada en 1.42. Xi*1 = π0 + π1 Zi 1 + π 2 Xi 2 + υi

(1.43)

Así, la primera etapa consiste en estimar 1.43 mediante MCO. La variable explicada es Xi1* y las explicativas son Xi 2 y Zi1 , sus respectivos parámetros son S0 , S1 y S 3, y Xi corresponde al término de error. La condición de relevancia del instrumento (ecuación 1.41) se puede determinar realizando una prueba de significancia individual (t) sobre el coeficiente S1 de la variable instrumental ( Zi1 ). Si S1 resulta estadísticamente significativo, entonces el instrumento es relevante. En caso de que se cuente con

22


varios instrumentos, éstos se agregan a la forma reducida de la primera etapa en la metodología de MC2E. Posteriormente debe modificarse el modelo inicial (ecuación 1.42) reemplazando los valores observados de *i 1 ), como se muestra en la variable endógena (X * ) por los estimados ( X i1

la ecuación 1.44. i1 + E X + U Yi = E 0 + E1 X 2 i2 i *

(1.44)

Finalmente, la segunda etapa consiste en estimar 1.44 por MCO. El valor resultante de β1 se denomina estimador de MC2E para Xi1*. En términos generales, una estimación por MC2E consiste en: 1.

Estimar una regresión auxiliar (forma reducida) mediante MCO en la que la variable endógena X * es explicada a partir de las exógenas del modelo estructural y al menos un instrumento.

2.

Realizar una prueba (t) de significancia parcial para el coeficiente que acompaña la variable instrumental, en la regresión auxiliar, con el fin de determinar si se cumple la condición de relevancia del instrumento. En caso de contar con varios instrumentos, puede analizarse la significancia individual de cada uno o su significancia global.

3.

Si el instrumento es relevante, extraer los valores ajustados de la * ) de la forma reducida. variable endógena (X

4.

Reemplazar en la forma estructural la información observada para * ) y la variable endógena ( X * ) por la estimada en el paso tres (X llevar a cabo la segunda etapa del modelo inicial por MCO.

Para aquellos modelos que tengan múltiples variables endógenas debe cumplirse la condición mínima de orden. En general deben encontrarse tantos instrumentos (Z) como variables endógenas ( X * ) . Por esta razón, la primera etapa del método de MC2E cuenta con varias regresiones auxiliares (una forma reducida por cada variable endógena). En otras palabras, si en la forma estructural existen dos variables independientes (Xi*1 y Xi*2 ) que causan endogenidad, es necesario encontrar dos instrumentos ( Zi 1 y Zi 2 ) y plantear dos formas reducidas, una por cada instrumento (v. cuadro 1.1).

FUNDAMENTOS DE ECONOMETRÍA INTERMEDIA: TEORÍA Y APLICACIONES CUADRO 1.1.

Estado del modelo a partir de la condición de orden

Relación entre el número de variables endógenas

(X * )

23

y el número de instrumentos (Z)

Estado del modelo

X* > Z

No identificado25

X* = Z

Exactamente identificado

X* < Z

Sobreidentificado

26

Fuente: Elaboración propia.

Asimismo, cada forma reducida contiene las variables exógenas de la función estructural junto con las instrumentales, según el caso, para predecir otras variables endógenas. Con esto se pretende obtener la mejor predicción de la variable de interés (v. cuadro 1.2). 1.3.3.2. Uso de variables aproximativas para corregir la endogenidad y derivación directa del estimador de variables instrumentales

En la sección anterior se expuso el uso de MC2E para estimar consistentemente los parámetros del modelo con endogenidad. No obstante, es importante mencionar que esta metodología en dos etapas no es la única alternativa, dado que también es posible solucionar el problema con cambios en la especificación del modelo o mediante la aplicación de un estimador directo donde se emplean variables instrumentales. Con respecto a los cambios en la especificación del modelo, particularmente en aquellos casos donde existe endogenidad resultante de la omisión de variables no observadas, una alternativa consiste en incluir en el modelo los elementos excluidos que causan la relación entre las variables independientes y el término de error. Esto es un caso particular del uso de variables aproximativas discutido anteriormente, aunque resulta difícil en la práctica dada la dificultad de capturar satisfactoriamente el comportamiento de los elementos no observados. Aun así, esto es teóricamente una aproximación válida para enfrentar la existencia de una correlación entre las variables independientes del modelo y el término de error (v. demostración en el anexo 1.11). Finalmente, la siguiente alternativa es aplicar directamente un estimador que incorpore el uso de variables instrumentales. Existen al menos dos aproximaciones distintas, aunque teóricamente equivalentes, que sirven 25

Los modelos con más variables endógenas que instrumentos incumplen la condición mínima de orden por lo que no deben ser estimados.

26

En adelante, si no se indica la fuente se entenderá que es elaboración propia.

Diferentes casos mediante MC2E

Caso

Una variable endógena y un instrumento Una variable endógena y más de un instrumento

Variables * i1

X es la variable endógena y Zi1 la varia-

Primera etapa de la regresión

Segunda etapa de la regresión

Xi*1 = π0 + π1Zi 1 + υi

i*1 + U Yi = E0 + E1 X i

*i 1 = π + π Z + π X + π X + + π X + υ X 0 1 i1 2 i2 3 i3 k ik i

*i 1 + E X + + E X + U Yi = E0 + E1 X 2 i2 k ik i

Xi*1 = π0 + π1Zi 1 + + πm Zim + πm+1Xi 2 + + πm+ k Xik + υi

i*1 + E X + ... + E X + U Yi = E0 + E1 X 2 i2 k ik i

Xi*1 = π0 + π1Zi 1 + π 2 Xi 2 + π 3 Xi 3 + + π k Xik + υi 1

*i 1 + E X *i 2 + + E X *ik Yi = E0 + E1 X 2 k + E k +1Xi ,k +1 + + Em Xim + U i

ble instrumental.

Xi1* es la variable endógena, Xi 2 ,..., Xik son las variables exógenas y Zi1 el instrumento.

Xi1* es la variable endógena, Xi 2 ,..., Xik son exógenas y Zi 1 ,..., Zim instrumentales.

Varias variables endógenas y un instrumento por cada una

Xi*1 ,..., Xik* son variables endógenas, Xi ,k +1 ,..., Xim son exógenas y Zi 1 ,..., Zik instrumentales. La variable Zij corresponde * al instrumento de Xij .

Varias variables endógenas y más de un instrumento por cada una

Xi*1 ,..., Xik* son va-

riables endógenas, Xi ,k +1 ,..., Xim exógenas y Zi 1, j ,..., Zin , j instru* mentos para X j .

Xik* = π0 + π1Zik + π 2 Xi 1 + + π k −1Xi ,k −1 + π j+1Xi ,k +1 + + πm Xim + υik

*i 1 + E X *i 2 + + E X *ik Xi*1 = π0 + π1,1Zi 1,1 + + πn ,1Zin ,1 + π 2 Xi 2 + π 3 Xi 3 + + π k Xik + υi 1 Y = E + E X i 0 1 2 k

+ E k +1Xi ,k +1 + + Em Xim + U i Xik* = π0 + π1,k Zi 1,k + + πn ,k Zin ,k + π 2 Xi 2 + + π j −1Xi , j −1

+ π j+1Xi , j+1 + + π k Xik + υik


Modelo univariado (v. anexo 1.7)

24

CUADRO 1.2.


25

para este propósito. La primera se deduce del estimador de mínimos cuadrados generalizados (MCG) y la segunda se basa en el método generalizado de momentos. En cualquier caso, los parámetros calculados por una fórmula directa o mediante MC2E resultan equivalentes (v. demostración en el anexo 1.12). Un tratamiento completo de estas temáticas puede encontrase en Greene (2003).

1.3.4. Detección del problema de endogenidad Hasta ahora se ha supuesto que el problema de endogenidad existe teóricamente a partir del postulado económico que pretende evidenciarse, sin llevar a cabo previamente una prueba estadística para demostrar el incumplimiento del supuesto de independencia condicional. En la sección anterior se expuso el uso de variables instrumentales como una medida para remediar el problema de endogenidad concebido de esta manera. Esta sección introduce la prueba de Hausman27 que permite identificar si existe endogenidad en un modelo. Sin embargo, debe contarse con los estimadores obtenidos mediante MCO y MC2E para elaborarla (Hill et ál., 2001: 299). De esta forma, se hace necesario en primera instancia establecer la solución con variables instrumentales válidas,28 suponiendo desde el principio que el problema existe sin prueba estadística alguna. 1.3.4.1. Prueba de Hausman

La metodología de MC2E permite aplicar la prueba de Hausman para identificar endogenidad en un modelo. De manera general, la prueba de Hausman plantea que si los estimadores de MCO y MC2E no son estadísticamente diferentes, entonces es posible concluir que el modelo no presenta problema de endogenidad. Si por el contrario los estimadores difieren estadísticamente, se supone que éste es el resultado de algún sesgo de endogenidad (v. prueba de hipótesis 1.45). MCO

MC2E

No existe endogenidad.

MCO

MC2E

Existe endogenidad.

(1.45)

27

También usada para detectar problemas de simultaneidad y efectos fijos en datos en panel (v. caps. 2 y 8, respectivamente).

28 La prueba de Hausman supone necesariamente que las variables instrumentales utilizadas durante la estimación de MC2E satisfacen las condiciones 1.33 y 1.34. Ante el incumplimiento de alguna de éstas los resultados de la prueba dejan de ser confiables.

26


El estadístico de prueba de Hausman, está dado por la siguiente ecuación: MC2E

MCO

Var

MC2E

MCO

MC2E

MCO

(1.46)

Los términos MC2E MCO y MC2E MCO capturan la distancia entre los estimadores de MC2E y los de MCO. El término restante, Var MC2E MCO , pondera por la varianza conjunta de los estimadores y se puede reescribir como la resta de las varianzas al suponer eficiencia del estimador de MCO. La hipótesis nula se rechaza si el valor del estadístico es mayor que 2 el valor crítico determinado por F k para el nivel de significancia deseado. En ese caso, se afirma que hay un problema de endogenidad y que el método de estimación recomendado podría ser MC2E. Si por el contrario no es posible rechazar la hipótesis nula, entonces se puede suponer que no hay ningún sesgo relevante en los estimadores de MCO. Para resumir, el procedimiento general para la prueba de Hausman es: 1.

Realizar la estimación de la ecuación estructural que se quiere estudiar por MCO.

2.

Realizar la estimación mediante alguna otra metodología (en este caso MC2E).

3.

Construir el estimador de Hausman y verificar el resultado de la prueba de hipótesis.

Esta prueba también puede realizarse de una manera alternativa. De esta forma, considere las regresiones especificadas en las ecuaciones 1.42 y 1.44. En primer lugar debe estimarse la primera etapa (ecuación 1.43) por MCO y posteriormente se deben obtener los valores de sus residuales estimados υ i y agregarlos como una nueva variable independiente en 1.42 (ver ecuación 1.47). Así, Xi1* será exógena cuando los residuales estimados υi no estén correlacionados con los errores (Ui ) del modelo inicial en 1.42. Yi β 0 β 1X i*1 β 2 Xi 2 δυ i U i

(1.47)

Bajo este esquema, la prueba hipótesis para endogenidad equivale a una prueba de significancia parcial sobre el coeficiente ( G) que acompaña los residuales obtenidos en la primera etapa (v. prueba de hipótesis 1.48). H0 : G = 0

No existe endogenidad.

H1 : G ≠ 0

Existe endogenidad.

(1.48)


27

El estadístico está dado por una prueba t, expuesta en la ecuación 1.49, donde ee ( G ) corresponde al error estándar estimado para G . Si el valor calculado de t supera el crítico, determinado por tn − p (donde p corresponde al número de parámetros en el modelo y n al total de observaciones) para un determinado nivel de significancia (usualmente 1%, 5% o 10%), el coeficiente de interés resulta estadísticamente significativo y se puede afirmar que Xi1* es endógena. t=

G ∼ tn − p ee ( G )

(1.49)

En términos generales, la prueba de Hausman consiste en: 1.

Especificar la forma estructural y reducida.

2.

Aplicar MC2E.

3.

Estimar la primera etapa mediante MCO.

4.

Obtener los errores estimados υi de la primera etapa.

5.

Adicionar los errores obtenidos en el aparte cuatro como variable explicativa en el modelo estructural y realizar una estimación por MCO de este último.

6.

Realizar la prueba de significancia parcial con el estadístico t sobre el coeficiente que acompaña los residuales estimados en el modelo modificado del aparte cinco. Si el estimador es significativo, existe endogenidad en el modelo.

No obstante, si no se rechaza la hipótesis nula puede concluirse que no hay endogenidad. Por lo tanto, los estimadores de MCO son insesgados y consistentes y no deben emplearse variables instrumentales en el modelo, dado que se cumple el supuesto de independencia condicional y la previa premonición del problema puede ser sólo un juicio de valor. En el caso contrario, cuando se rechaza la hipótesis nula, existe endogenidad y los parámetros de MC2E son insesgados y consistentes. Así, el siguiente paso consiste en determinar la condición de validez del instrumento a partir de la prueba de Sargan. Esta prueba permite determinar restricciones sobreidentificadas dentro de la metodología de MC2E, debido a que la significancia estadística de los coeficientes en la forma reducida sólo evidencia su condición de relevancia, y carece aún de la confirmación de la validez de la variable instrumental.


28

1.3.4.2. Prueba de Sargan para restricciones sobreidentificadas

Una vez elegida la variable instrumental, identificada la endogenidad y estimado el modelo por MC2E para la respectiva solución, puede probarse la validez del instrumento empleado (Davidson y MacKinnon, 2004: 336). Esto es posible sólo cuando se cuenta con al menos dos instrumentos teóricamente válidos. Con el fin de comprender esta metodología, considere nuevamente el modelo de regresión en la ecuación 1.42 y dos instrumentos ( Zi 1 y Zi 2 ) para Xi1* (v. ecuación reducida en 1.50). Xi*1 = π0 + π1 Zi 1 + π 2 Zi 2 + π 3 Xi 2 + υi

(1.50)

En esta circunstancia, la metodología consiste en emplear únicamente uno de los dos instrumentos disponibles ( Zi1 ) y estimar el modelo 1.42 i ) y se por MC2E. Posteriormente, se toman sus errores estimados (U emplean en una nueva regresión auxiliar (v. ecuación 1.51), como variable dependiente en función del instrumento incluido ( Zi1 ) , del excluido ( Zi 2 ) y de la variable exógena (Xi 2 ). La ecuación 1.51 se estima mediante MCO. En dicho caso los parámetros son representados por J 0 , J1 , J 2 y J 3 , mientras que su término de error se denota como Qi . i = γ + γ Z + γ Z + γ X + ν U 0 1 i1 2 i2 3 i2 i

(1.51)

Con los resultados de 1.51 se realiza la PML (ver prueba de hipótesis 1.52 y ecuación 1.53). El multiplicador (ML) equivale a n (total de observaciones) multiplicado por el coeficiente de determinación ( R 2 ) de la regresión auxiliar, el cual sigue una distribución ji cuadrada con p − 1 grados de 2 libertad F p−1 , que representan el número de parámetros menos uno en la regresión auxiliar.

(

)

H0 : J1 = J 2 = 0 Instrumento adecuado.

(1.52)

H1 : Algún γ 0 Instrumento inadecuado. ML = nR 2 ∼ F 2p −1

(1.53)

2 Cuando el ML calculado supera el valor crítico determinado por F p−1 para un determinado nivel de significancia (usualmente 1%, 5% o 10%), entonces los coeficientes de la regresión auxiliar son conjuntamente significativos o por lo menos uno de ellos es diferente de cero. Es decir, existe evidencia estadística sobre uno o varios instrumentos inadecuados (v. prueba de hipótesis 1.52). En este caso hay que seleccionar el instrumento excluido ( Zi 2 ) en la forma reducida y reemplazarlo por el anterior ( Zi1 ). Si


29

el problema persiste deben encontrase nuevas variables instrumentales. En general, la prueba de Sargan para conocer las restricciones sobreidentificadas o la validez de los instrumentos consiste en: 1.

Especificar la forma estructural y reducida.

2.

Identificar las posibles variables instrumentales que se utilizarán.

3.

Realizar la estimación del modelo por MC2E usando únicamente una de las variables instrumentales disponibles.

4.

i ) derivados de MC2E. Obtener los errores estimados (U

5.

Especificar y estimar una regresión auxiliar por MCO, donde los i ) son tomados como variable dependiente en errores estimados (U función de las variables exógenas y de los instrumentos incluidos y excluidos de la forma reducida.

6.

Probar la significancia conjunta de los instrumentos excluidos mediante la PML.

7.

Repetir los pasos del uno al seis empleando otro de los instrumentos identificados en el numeral dos.

Este procedimiento estadístico concluye la sección teórica de este capítulo. A continuación se aplican las técnicas en un estudio de caso para comprender los temas de especificación y endogenidad, en particular el manejo de variables aproximativas e instrumentales, la evaluación de la especificación, el uso de MC2E y las pruebas de Hausman y Sargan.

1.4. Estudio de caso: efectos de la fecundidad sobre el ingreso laboral femenino Una vez expuestas las diferentes metodologías relevantes para detectar y remediar las causas y consecuencias de los problemas de especificación y endogenidad en un modelo econométrico, su respectiva aplicación se desarrolla con información socioeconómica en el programa estadístico Stata, con base en un artículo enmarcado en el análisis del mercado laboral. A continuación se desarrolla un modelo del estudio titulado Efectos de la fecundidad sobre el ingreso laboral femenino de Gutiérrez (2009). El artículo busca determinar econométricamente los efectos de la fecundidad sobre el ingreso laboral femenino. El estudio pretende comprobar si existe una diferencia salarial entre las madres y las mujeres sin hijos e identificar la magnitud de esta diferencia.

30


De acuerdo con el autor, durante las últimas décadas el papel de la mujer en nuestra sociedad ha tenido grandes cambios. Su nivel educativo ha aumentado, su participación laboral ha sido más activa y las características del cargo que ocupa han cambiado. La progresiva participación laboral de la mujer ha motivado la investigación sobre cómo el mercado está reaccionando ante este nuevo escenario y, dentro de esta perspectiva, el estudio del efecto de la fecundidad sobre el ingreso laboral femenino es de gran importancia. El autor está interesado en mostrar que la cantidad de hijos tiene una fuerte incidencia en el ingreso laboral por hora de la mujer, reduciéndolo a medida que aumenta su número. A partir de lo anterior se especifica un modelo econométrico lineal (v. ecuación 1.54), dada la información disponible sobre los indicadores socioeconómicos de un conjunto de 7505 mujeres (número de hijos, horas trabajadas, edad, nivel educativo, lugar de residencia, nivel educativo de la madre e ingreso laboral). Estas variables, provenientes de la Encuesta de Calidad de Vida del 2003 (ECV), permiten mostrar la aplicación y funcionamiento de las diversas metodologías presentadas en el capítulo. Ingresoi = βo + β 1 NúmeroHijos i + Xδ +U i

(1.54)

En la ecuación 1.54, Ingresoi corresponde al logaritmo natural del ingreso laboral por hora de la mujer i y NúmeroHijosi es la variable de interés que contabiliza el número de hijos que viven con ella. Por último, X (v. cuadro 1.3) corresponde a una matriz de variables de control (con su respectivo vector de coeficientes δ) relacionadas con el ingreso laboral de cada mujer. Para comprobar el cumplimiento de la hipótesis de los autores, mediante los resultados de significancia parcial con la prueba t, E1 debe resultar estadísticamente diferente de cero y con signo negativo, dado que teóricamente se espera un menor ingreso laboral como consecuencia de un aumento en la fecundidad. Sin embargo, el cumplimiento de esta hipótesis no es fácil de probar mediante una regresión lineal simple, puesto que la variable NúmeroHijosi teóricamente es endógena. En particular, cuando la mujer entra al mercado laboral adquiere características no incluidas en el modelo que la desincentivan a tener más hijos. Por otro lado, el tamaño de la familia y la edad de los hijos (variables también omitidas) son determinantes de si la mujer hace parte o no del mercado laboral. Para superar este inconveniente, Gutiérrez (2009) sugiere usar como variable instrumental el nivel educativo de la madre de la mujer en consideración y


31

utilizar la metodología de MC2E. De acuerdo con el autor, existe una relación inequívoca entre la educación de la madre y la fertilidad de sus hijas, por lo que este instrumento es relevante.

1.4.1. Análisis general de los datos Esta primera sección se prepara para el análisis econométrico y para realizar una exploración general de la base de datos que se utiliza, incluyendo una descripción de las variables relevantes utilizadas en el modelo. Este tipo de sondeo es importante porque permite familiarizarse con los datos y conocer su calidad, consistencia y veracidad. Para esto, el procedimiento en Stata es el siguiente:

FIGURA 1.1.

1.

Determinar la memoria del sistema mediante el comando set memory o set mem. Cuando se desconoce con exactitud el tamaño de la base de datos puede asignarse 500m de memoria al programa. Esto es suficiente para cargar prácticamente cualquier base.

2.

Cargar la base de datos, cuyo nombre es fertilidad_mujeres2. dta (archivo disponible en http://economia.uniandes.edu.co/ econometria_intermedia), con el comando use (v. figura 1.1). Salida de los comandos set memory y use


32

3.

Para observar el nombre y la descripción de las variables disponibles se utiliza el comando describe o des. Adicionalmente, la salida muestra el formato en que están guardadas (v. figura 1.2). En este caso existen 16,936 observaciones29 y 19 variables, de las cuales sólo una parte será empleada (v. cuadro 1.3). La descripción de la mayoría de las variables no está disponible, aunque los nombres de cada una indican claramente su contenido.

CUADRO 1.3. Variable del modelo Ingresoi NúmeroHijosi

Variables empleadas en el modelo y su descripción Variables en la base ing ling hijo lhijo hora_semana, lhora_semana, edad, ledad, edad2, ledad2, educ, leduc, clas2, lclas2

X

Instrumentos

madre_0 madre_1

Descripción Ingreso laboral de la mujer i en horas y su respectivo logaritmo. Variable que captura el número de hijos de la mujer i y su respectivo logaritmo. Variables que caracterizan a la mujer, entre las que se incluyen el número de horas trabajadas por semana, la edad (y la edad al cuadrado), los años de educación y si vive en zona urbana (clas2). La información se encuentra tanto en su valor observado como en logaritmos. Variables binarias que capturan el nivel educativo de la madre de la entrevistada. La variable madre_0 toma el valor de 1 si la madre no tuvo ninguna educación formal o sólo algunos años de primaria y toma el valor de 0 de lo contrario. Por su parte, la variable madre_1 es 1 si la madre completó toda la primaria o algunos años de secundaria y 0 de lo contrario.

Nota: Todas las variables se registran como desviaciones con respecto a la media del municipio donde reside la mujer. De esta forma, un valor de 2 en la variable hijo, por ejemplo, registra que la mujer tiene dos hijos más que la media del municipio donde reside. Esta forma de codificar las variables permite tomar en consideración las características distintas de cada municipio.

4.

Antes de estimar el modelo, es necesario observar las estadísticas descriptivas de las variables relevantes. Para eso se utiliza el comando summary o sum, seguido por las variables de interés (en este caso, el valor observado de las variables). El comando produce una tabla con el número de observaciones, la media, la desviación estándar, el valor mínimo y el máximo de cada variable indicada. Para el cálculo de estos estadísticos, y como resultado de la técnica de muestreo utilizada al recopilar esta información, se utiliza adicionalmente un factor de expansión que establece el peso de cada 29

En este libro se utiliza el punto como separador decimal y la coma como separador de miles al igual que en Stata.

FUNDAMENTOS DE ECONOMETRÍA INTERMEDIA: TEORÍA Y APLICACIONES FIGURA 1.2.

33

Salida del comando describe

observación en la muestra. Esto se consigue adicionando al final del comando la orden [weight=fex], siendo fex la variable que captura los pesos (v. figura 1.3).

1.4.2. Estimación del modelo por MCO y pruebas de especificación Después del análisis general de las variables, es posible estimar el modelo propuesto (v. ecuación 1.54). En esta sección se realizarán estimaciones mediante MCO y se verificará su especificación sin tener en cuenta el posible problema de endogenidad. 1.

Para ejecutar una regresión lineal por MCO se utiliza el comando regress o reg. Este comando muestra además la prueba t de significancia individual para cada una de las variables, una prueba F de significancia conjunta y la bondad de ajuste R2 (v. figura 1.4).


34

FIGURA 1.3.

2.

Salida del comando summary

Para probar la especificación de este modelo se ejecuta la prueba RESET de Ramsey con el comando estat ovtest después de la regresión (v. figura 1.4). La regresión lineal de la figura 1.4 muestra que la variable de interés no es significativa, aunque tiene el signo esperado. En relación con la prueba RESET de Ramsey, el estadístico F tiene un valor de 40.55 con un valor p (p-value) de 0.0000,30 lo que indica una incorrecta especificación.

3.

Para probar formas funcionales alternativas, se compara esta especificación con una alternativa (todas las variables de la matriz X en logaritmos) usando la prueba de Davidson y MacKinnon.

30

El valor p puede interpretarse como la probabilidad de error al rechazar la hipótesis nula.


35

Salida de la regresión lineal y prueba RESET de Ramsey

Desafortunadamente, Stata no cuenta con un comando que ejecute este procedimiento de manera automática, por lo que hay que hacerlo paso a paso (v. figura 1.5). ) del modelo en logaritmos En este ejemplo particular, el valor estimado (Y resulta significativo al incluirse en el modelo lineal original. Por el contrario, en el modelo logarítmico el valor estimado lineal no resulta significativo. Esto indica que la forma logarítmica está correctamente especificada. Aunque lo correcto sería continuar con esta especificación, se mantiene el uso del modelo inicial por consistencia con el artículo.

1.4.3. Estimación del modelo por MC2E De acuerdo con lo expuesto en la introducción, posiblemente existe endogenidad en la especificación anterior. Por esto resulta necesario estimar el ejercicio por MC2E, para lo cual la base de datos contiene variables

36

FIGURA 1.5.


Salida de la prueba de Davidson y MacKinnon

que recogen información sobre el nivel educativo de las madres de las entrevistadas (madre_0 y madre_1), útiles como instrumentos. De acuerdo con esto, se plantea el modelo reducido para la primera etapa de la estimación por MC2E (v. ecuación 1.55). NúmeroHijos i = Z + X +

i

(1.55)

En la ecuación 1.55 NúmeroHijosi es la variable endógena, Z es un vector con los diferentes instrumentos, madre_0 y madre_1 (v. cuadro 1.3), y X es el vector de variables exógenas del modelo inicial. El vector S corresponde a los coeficientes de los instrumentos y J a los de las variables exógenas.


37

Salida de la regresión por MC2E

Para realizar la estimación y verificación de este modelo en Stata se deben realizar los siguientes pasos: 1.

Para calcular una regresión por MC2E se utiliza el comando ivreg. Deben listarse en orden la variable dependiente, las independientes y las endógenas con sus respectivos instrumentos. Para observar el resultado de la primera etapa se añade la opción first (v. figura 1.6). Los dos instrumentos usados en esta primera etapa resultan significativos individualmente con estadísticos t de 4.66 y 2.18, y conjuntamente con un estadístico F de 173.39. Lo anterior indica su relevancia (v. sección 1.3.2) y por esta razón puede considerarse que son buenos instrumentos. En la segunda etapa (v. figura 1.7) se observa que el coeficiente que acompaña la variable NúmeroHijosi es ahora significativo, con un estadístico t de -3.05 y un valor p de 0.002. Este resultado confirmaría la hipótesis central del documento.

38

FIGURA 1.7.

2.



Con el fin de probar la hipótesis de endogenidad mediante la prueba de Hausman, es necesario estimar el modelo inicial por MCO y MC2E (guardando cada regresión con el comando estimates store), para luego comparar estadísticamente los estimadores con el comando hausman y la opción sigmamore (v. figura 1.8). 2 El estadístico F reportado en la figura 1.8 como chi2(1) tiene un valor de 16.99. Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula de exogenidad, con un valor p de 0.000. En conclusión, es posible afirmar que en el modelo inicial hay un problema de endogenidad.

3.

En la primera etapa de la regresión por MC2E se comprobó la relevancia de los instrumentos propuestos en este artículo. A continuación, para verificar su validez, se analiza una prueba de restricciones sobreidentificadas de Sargan con el comando overid, all (v. figura 1.9, p. 40).

En la figura 1.9 se observa que con ninguno de los estadísticos reportados se rechaza la hipótesis nula. En particular, el estadístico ML (Sargan N*R-sq test en la salida) tiene un valor de 0.74 con un valor p de 0.3898. De lo anterior se concluye que los instrumentos usados son exógenos, por lo cual el procedimiento de MC2E es correcto y prima sobre MCO.


39

Salida de la prueba de Hausman

Al conocer que el estimador de MC2E es confiable, existe evidencia estadística que prueba que la hipótesis inicial se cumple: la cantidad de hijos tiene una fuerte incidencia en el ingreso laboral por hora de la mujer, reduciéndolo a medida que aumenta su número.

Resumen s

%SPECIlCAR APROPIADAMENTE EL MODELO ECONOM¿TRICO ES NECESARIO para obtener estimadores insesgados y consistentes. El problema de especificación puede ocurrir como consecuencia de los errores de muestreo y digitación, de la omisión de variables teóricas relevantes,

40

FIGURA 1.9.


Salida de la prueba de restricciones sobreidentificadas

o de la adición de variables irrelevantes o de acudir a una forma funcional incorrecta. s

0ARA DETECTAR Y ESTABLECER SI UN MODELO ECONOM¿TRICO ESTIMADO mediante MCO presenta problemas de especificación, es posible realizar la prueba RESET de Ramsey, la prueba J de Davidson y MacKinnon, y la PML.

s

,AALTERNATIVAM´SUTILIZADAPARACORREGIRPROBLEMASDEESPECIlCAción por variables no observadas es el uso de variables aproximativas.

s

%LINCUMPLIMIENTODELSUPUESTODEINDEPENDENCIACONDICIONAL QUE se conoce como problema de endogenidad, resulta como consecuencia de tener variables independientes omitidas correlacionadas con las incluidas, errores de medición y muestreo o problemas de doble causalidad entre las variables explicativas y la explicada. Los estimadores de MCO resultan sesgados e inconsistentes cuando hay endogenidad.


41

s

,APRIMERAALTERNATIVAPARASOLVENTARELPROBLEMADEENDOGENIDAD consiste en incluir las variables omitidas directamente o sus aproximaciones.

s

/TRA ALTERNATIVA PARA CALCULAR ESTIMADORES INSESGADOS Y CONSIStentes, cuando persiste el problema de endogenidad, es utilizar la metodología de MC2E. Para esto es necesario contar con variables instrumentales.

s

,ASVARIABLESINSTRUMENTALESDEBENCUMPLIRDOSCONDICIONESVALIdez y relevancia. La primera puede ser verificada mediante una prueba de restricciones sobreidentificadas de Sargan, siempre y cuando se cuente con más de un instrumento candidato. La segunda se verifica mediante una prueba de significancia en la primera etapa del modelo reducido.

s

,A DETECCIÍN DEL PROBLEMA DE ENDOGENIDAD EN UN MODELO ECONOmétrico se realiza mediante la prueba de Hausman. Esta prueba compara los resultados de las regresiones por MCO y MC2E, e identifica las diferencias estadísticas entre ambos.

Ejercicios propuestos 1.

Muestre utilizando notación matricial que el estimador de MC2E es un estimador insesgado cuando los instrumentos utilizados para las variables endógenas son apropiados, es decir, cuando Cov(Z,U) = 0. Use como modelo matricial Y = X β + U. Haga la demostración para los siguientes casos: a.

El modelo está justamente identificado.

b.

El modelo está sobreidentificado.

2.

¿Qué tipo de problema genera tener un error de medición en una base de datos? Muestre cómo queda el estimador de MCO e identifique algebraicamente la existencia de sesgos.

3.

La base de datos Punto3.dta tiene información de 1085 madres y sus hijos. Usted está interesado en entender si las prácticas de disciplina en el hogar afectan el desarrollo cognitivo de los hijos. a.

Estime el modelo con el logaritmo del puntaje de la prueba estandarizada SABER (logSaber) en función del número de veces que la madre reprende o castiga al niño al mes (castigos), la educación de la madre (educmadre), la raza (variable binaria igual a


42

1 para minoría étnica, 0 para el resto) y el sexo (variable binaria igual a 1 para las niñas). Trabaje con la variable castigos como endógena y considere los siguientes instrumentos potenciales para ésta: el número de centros del ICBF en la región (ICBF), el número de secretarías de Integración Social en la región de la madre, que tienen por objeto orientar y liderar la formulación y el desarrollo de políticas de promoción, prevención, protección, restablecimiento y garantía de los derechos de los distintos grupos poblacionales, familias y comunidades (SIS), y el número de iglesias (Iglesias). También tenga en cuenta la información de una variable adicional: la edad de la madre en el momento del nacimiento del niño (edadmadre).

4.

b.

Identifique las inconsistencias a partir de las regresiones (signos, coeficientes, R2, estadísticos t y F).

c.

Explique por qué se puede incurrir en un sesgo de especificación en un modelo econométrico. Describa también los principales métodos para su corrección.

d.

Suponga que el sesgo de especificación se debe a una variable omitida no observable como, por ejemplo, la habilidad de la madre para criar a sus hijos y resuelva el problema mediante el uso de una variable aproximativa teniendo en cuenta las variables disponibles.

e.

Partiendo de la estimación de un modelo bien especificado, explique las consecuencias derivadas de un problema de endogenidad.

f.

Ahora suponga que la variable castigos es endógena. ¿Por qué dicha variable puede ser endógena?

g.

Verifique la validez y la significancia de los posibles instrumentos. Con base en lo anterior escoja el que usted considere mejor.

h.

Realice una prueba de Hausman y explique los resultados y las conclusiones derivadas de ella para el ejercicio.

i.

Realice las pruebas de sobreidentificación para el instrumento que utilizó.

Considere el modelo Y = XB+ U donde Y es la variable dependiente (vector de tamaño n × 1 ), X es la matriz de variables regresoras de


43

tamaño n × (1 + m + E ), donde m es el número de variables exógenas y E es el número de variables endógenas, B es el vector de estimadores de tamaño (1 + m + E) × 1 y U es el vector de errores de tamaño n × 1 . Para solucionar el problema de endogenidad se usan Z instrumentos, con Z = E. a.

Derive los estimadores de variables instrumentales.

b.

Demuestre que los errores estimados del modelo instrumenta VI = U[I - X(Z’X)-1 Z’], donde VI , se pueden expresar como U do, U I es la matriz identidad.

c.

Demuestre que la varianza estimada del error del modelo ins2 , es un estimador consistente de la varianza del trumentado, V VI 2 error, V , si y sólo si los instrumentos son válidos.

d.

Demuestre que la matriz de varianza-covarianza de los estimadores de variables instrumentales se puede expresar como

( )

2 2 Var βVI = σ VI [X’PZ X]−1 , donde PZ es una matriz idempotente

igual a Z(Z ’ Z)−1 Z ’. 5.

Suponga que se quiere estimar el siguiente modelo: Yi = E 0 + E1Xi + Ui

donde X no está correlacionado con U y U es un término de error independiente e idénticamente distribuido con media 0 y varianza V 2 . Si realmente se estima Yi = α0 + α1Xi + α2 Zi + εi

donde H es un término error independiente e idénticamente distribuido con media 0 y varianza V 2 , demuestre que: a.

Los estimadores siguen siendo insesgados.

b.

La varianza del estimador D1 es σ 2α1 =

σ U2

∑ (X

i

− X)

2

⋅

1 1 − rX2 , Z

donde rX2 , Z es el coeficiente de correlación entre Xi y Zi . Disponible en http://economia.uniandes.edu.co/econometria_intermedia

44


Anexo 1 Anexo 1.1. Límite de probabilidad para probar la consistencia de los estimadores de MCO

Un estimador muestral β obtenido mediante una estimación por MCO es consistente con respecto al poblacional ( E ) cuando plim . El límite de probabilidad (plim) es un modo de convergencia débil bajo propiedades asintóticas, dado un aumento representativo en la muestra estudiada. En términos generales, la consistencia de un estimador se analiza mediante la convergencia en probabilidad. En otras palabras, la convergencia en probabilidad implica que los elementos secuenciales de una variable aleatoria serán muy cercanos a un valor dado, conforme aumenta el tamaño de la muestra (n). Por consiguiente, el coeficiente muestral β es consistente cuando los incrementos en n (n → ∞ ) , para las variables del modelo, hacen que tienda al parámetro poblacional ( E ). Sin embargo, antes de determinar la consistencia de un estimador por MCO se deben tener en cuenta las siguientes propiedades del límite de probabilidad:

1.

plim E = E: el límite de probabilidad de una constante es la misma constante.

2.

plim (Y1 + Y2 ) = plimY1 + plimY2 , donde Y1 y Y2 son variables aleatorias.

3.

plim (Y1 * Y2 ) = plimY1 * plimY2 , donde Y1 y Y2 son variables aleatorias.

4.

⎛ Y ⎞ plimY1 plim ⎜ 1 ⎟ = : el límite de probabilidad de la división de dos ⎝ Y2 ⎠ plimY2

variables aleatorias es igual a la división de los límites de probabilidad de cada una de las variables aleatorias. 5.

plim ⎡⎣ g (Y )⎤⎦ = g ⎡⎣ plim (Y )⎤⎦ : el límite de probabilidad de una función continua de una variable aleatoria es igual a la función del límite de probabilidad.

En términos matriciales también se tiene: 6. 7.

plim (A * B) = plim (A ) * plim (B), donde A y B son matrices que pueden conformarse y multiplicarse de acuerdo con su tamaño.

(

)

plim A −1 = ( plim A ) , donde A es una matriz cuadrada no singular. −1


45

Anexo 1.2. Presencia de sesgo e inconsistencia en los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios cuando existen errores de muestreo y medición de las variables del modelo Error de muestreo o medición en la variable dependiente

(A.1.1)

(

)

Cov Xi , U1*i = E ⎡⎣( Xi ) (U i + Qi )⎤⎦ = E ⎡⎣( XiU i ) + ( Xi Qi )⎤⎦ = 0

(A.1.2)

Los estimadores β0 y β1 de MCO son insesgados y consistentes, de acuerdo con las condiciones de primer orden de la función objetivo min ∑ Ui2 . *

*

i =1

Cov Var

n

* β1

i 1

n

n

Xi 1 X β0* β 1* Xi 1 X X i1 Xi 1 X Ui* i 1 n

X

i1

i 1

X

i 1

2

n

β1 X i 1 X X i 1 i 1 n

X i 1

i1

X

2

* n 2 2

* n 2 n β 1 Xi 1 nX β X X X 1 i1 i1 * i 1 i 1 E E β1 E i n1 n 2 2 2 Xi1 nX Xi1 X i 1 i 1

( )

* E E1 = E1* * Por lo tanto, β1 es insesgado.

plim plim

plim

(A.1.3) plim


46

plim * Por lo tanto, β1 es consistente.

E β E β β X U β E X E β E β β E X E U β E X E β β * E β0 E Yi* β 1* E Xi 1 *

* 0

0

*

* 1

* 0

0 *

*

* 1

* 1

*

* 1

* 0

0

* Por lo tanto, β0 es insesgado.

plim

(A.1.4)

plim

plim

plim

plim

plim * Por lo tanto, β0 es consistente.

Error de muestreo o medición de la variable independiente i β β X Yi β 0 β 1Xi 1 Ui ; Y 0 1 1i Yi β *0 β 1* Xi* Ui* , donde Xi* X i εi y Ui* U i β1* εi

(A.1.5)

i β β X * Y 0 1 i1 *

(

*

)

(

)

Cov X1*i , U i* = E ⎡⎣( Xi + εi ) U i + β1* εi ⎤⎦

(

)

( )

= E ( XiU i ) + E Xi β1* εi + E ( εiU i ) + β1* E εi2

=βσ * 1

2 ε

* A partir de lo anterior se puede afirmar que el estimador β1 de MCO resulta inconsistente y sesgado por su varianza y la del error, dado que Cov ( X1*i , U i* ) = β1* σ 2ε . De acuerdo con las condiciones de primer orden de la función objetivo min ∑ Ui2 : i


47

Cov Var n

* β1

n

n

n

n

β *0 Xi*1 X * β 1* Xi*1 X * Xi 1 β 1* Xi*1 X * εi Xi*1 X * Ui β1* Xi*1 X * εi i 1

i 1

i 1 n

X

* i1

X*

i 1

i 1

i1

2

n 2 Xi1 nX 2 *

i 1 E β1 β 1* E n n 2 2 2 2 Xi 1 nX εi n ε i 1 i 1

Var

(A.1.6)

Var

* E β1 β 1* 1 sesgo * Para comprobar que β1 es inconsistente se calcula el límite de probabilidad de la siguiente forma:

plim plim

plim

plim plim

plim

plim plim

(A.1.7) plim

plim


48

* Por lo tanto, β1 es inconsistente. * Ahora, para comprobar que β0 es insesgado se calcula el valor esperado (E). Igualmente, se muestra que el estimador es consistente mediante el límite de probabilidad de la siguiente forma:

E β E β β X U E β X E β E β β E X E U β E X E β E β β E X β E ε E U β E X E β β * E β0 E Y E β 1* X *

* 0

0

*

* 1

* 1

*

*

0

*

0

*

0

0

1

* 0

* 1

1

* 1

i

i

* 1

(A.1.8)

* 0

* Por lo tanto, β0 es insesgado.

plim

plim

plim

.

plim

plim

plim

* Por lo tanto, β0 es consistente.

Error de muestreo o medición en las variables dependiente e independiente i β β X Yi β 0 β 1Xi 1 Ui ; Y 0 1 i1

Yi* = β *0 ± β1* Xi*1 + Ui* , donde Yi* = Yi + νi ; Xi*1 = Xi + εi y Ui* = Ui + β1* εi *i β* β* X * Y 0 1 i1

(

)

(A.1.9)

(

)

Cov Xi* , U i* = E ⎡⎣( Xi + εi ) U i + β1* εi ⎤⎦ = β1* σ 2ε * A partir de lo anterior se puede afirmar que el estimador β1 de MCO resulta inconsistente y sesgado, dado que Cov ( X1*i , U i* ) = β1* σ 2ε . De acuerdo con lo anterior, el procedimiento y el resultado son análogos al caso en que la variable independiente presenta error de muestreo o medición.


49

Anexo 1.3. Presencia de sesgo e inconsistencia en los estimadores de MCO cuando existe omisión de variables independientes relevantes

Yi = E 0* + E1* Xi 1 + U i* , donde U i* = U i + E 2 Xi 2 por omitir Xi 2

i = β* + β* X Y 0 1 i1

(

(A.1.10)

)

Cov Xi 1 , U i* = E ⎡⎣( Xi 1 ) (U i + E 2 Xi 2 )⎤⎦ = E 2 Cov ( Xi 1 , Xi 2 ) * A partir de lo anterior se puede afirmar que el estimador β1 de MCO resulta inconsistente y sesgado por el coeficiente ( E 2 ) de la variable omitida ( Xi 2 ) y la covarianza entre las variables independientes, dado que Cov ( Xi 1 , U i* ) = E 2 Cov ( Xi 1 , Xi 2 ) . Lo anterior puede mostrarse fácil* mente. Para comprobar que β1 es insesgado se calcula el valor esperado (E). Igualmente, se muestra que el estimador es inconsistente mediante el límite de probabilidad de la siguiente forma:

Cov Var

n

* β1 =

å (X i =1

n

)

(

n

)

i =1

i =1

n

å (X

i1

- X1

i =1

n

* β1 =

(

)

(

n

)

(

)

2

)

β 1 å X i 1 - X 1 X i 1 + β 2 å X i 1 - X1 X i 2 i =1

i =1

n

å (X i =1

i1

- X1

)

2

n n n n é ù 2 β X β X X + β X X β Xi 2 X1 ú å å å å 1 1 1 1 1 2 1 2 2 i i i i ê * i =1 i =1 i =1 ú E β1 = E ê i = 1 n 2 ê ú Xi 1 - X1 å ê ú i =1 ë û

( )

n

(

)

i 1 - X1 β 0 + β 1 å Xi 1 - X1 Xi 1 + β 2 å X i 1 - X1 Xi 2 + å X i 1 - X1 U i

(

)

i =1


50

é æ n 2 ö æ n öù β1 ç å Xi1 -nX12 ÷ + β 2 ç å Xi 1 Xi 2 -nXi 2 Xi1 ÷ ú ê * è i =1 ø è i =1 øú β1 = E ê n ê ú æ 2 2ö ê ú çè å Xi 1 -nX1 ÷ø i =1 ë û

( )

* Por lo tanto, β1 es sesgado.

plim plim

plim

plim

(A.1.11) plim

plim plim plim

* Por lo tanto, β1 es incosistente.

( ) E ( β ) = E ( β + β X + β X + U ) + E (β X ) E ( β ) = E ( β ) + β E (X ) E ( β ) = β + sesgo * E β0 = E (Y ) + E ( β 1 X1 )

*

0

0

1

1

2

*

0

0 *

0

0

2

2

2

1

1


plim

plim

plim

51

(A.1.12)

plim

plim

* Por lo tanto, β0 es inconsisitente.

Anexo 1.4. Presencia de sesgo e inconsistencia en los estimadores de MCO cuando se especifica una forma funcional incorrecta

Yi = E *0 + E1* Xi 1 + U i* , donde U i* = U i + E 2 Xi21 por omitir Xi 2

(A.1.13)

i = β* + β* X Y 0 1 i1 * β1 de MCO resulta Según lo presentado a continuación, el estimador * sesgado e inconsistente. Para comprobar que β1 es sesgado se calcula el valor esperado (E). Igualmente, se muestra que el estimador es inconsistente mediante el límite de probabilidad de la siguiente forma:

Cov Var n

* β1 =

å (X

i1

i =1

n

)

(

n

)

i =1

i =1

n

å (X

i1

- X1

i =1

n

β1 = *

(

(

n

)

(

)

2

)

β1 å Xi 1 - X1 Xi 1 + β 2 å Xi 1 - X1 Xi21 i =1

i =1

n

å (X

i1

- X1

i =1

)

2

n n é ù + β X X X β X i1 - X1 Xi21 ú å å 1 2 i1 i1 ê 1 * i =1 ú E β1 = E ê i = 1 n 2 ê ú Xi 1 - X1 å ê ú ë û i =1

( )

)

n

(

)

- X1 β 0 + β 1 å Xi 1 - X1 Xi 1 + β 2 å Xi 1 - X1 Xi21 + å X i1 - X1 U i

(

)

(

(

)

)

i =1

52


n

( )

* E β1 = β 1 +

(

)

β 2 å Xi1 - X1 Xi21 i =1 n

æ 2 2ö çè å Xi 1 -nX1 ÷ø i =1

* Por lo tanto, β1 es sesgado.

plim plim

plim

plim

(A1.14) plim

plim plim plim * Por lo tanto, β1 es inconsistente.

plim

plim

plim

plim

plim

* Por lo tanto, β0 es inconsisitente.

(A.1.15)


53

Anexo 1.5. Presencia de estimadores ineficientes de MCO cuando se adicionan variables independientes redundantes (Xi2) con coeficientes insesgados y consistentes

Yi = E 0* + E1* Xi 1 + E *2 Xi 2 + Ui*

(A.1.16)

i β* β * X β * X Y 0 1 i1 2 i2

La ineficiencia de los estimadores de MCO, cuando se adicionan variables independientes, puede ser * demostrada a partir de la definición de varianza. Para comprobar que β1 es insesgado se calcula el valor esperado (E). Igualmente, se muestra que el estimador es consistente mediante el límite de probabilidad de la siguiente forma: 2ù é n ùé n é n ùé n X X Y X X X X Y å å å 1 1 2 2 2 2 i i i i i ê úê ú ê ú ê å X i 1 - X1 * i =1 i =1 i =1 ë û ë û ë û ë i =1 β1 = n n n 2ùé 2ù é é ê å Xi 1 - X1 ú ê å Xi 2 - X 2 ú - ê å Xi 1 - X1 Xi 2 - X2 ë i =1 û ë i =1 û ë i =1

(

)

(

(

)

)

(

(

)

)

(

(

) (X

)(

ù ú û

)

i2

ù - X2 ú û

)

2

2ù é n ùé n é n ùé n ù Xi 1 - X1 ( β 0 ± β 1Xi1 + Ui )ú ê å Xi 2 - X 2 ú - ê å Xi 2 - X 2 ( β 0 + β 1X i1 + U i )ú ê å X i1 - X1 Xi 2 - X2 ú å ê * i =1 û û ë i =1 û ë i =1 û ë i =1 β1 = ë 2 n 2ùé 2ù é n é n ù ê å Xi1 - X1 ú ê å Xi 2 - X 2 ú - ê å Xi 1 - X1 Xi 2 - X 2 ú ë i =1 û ë i=1 û ë i =1 û

(

)

(

(

é n β1 ê å Xi 1 - X1 * ë i =1 β1 = é n ê å Xi 1 - X1 ë i =1

)

)

(

(

)

(

) ùú éêå (X

)

(

)

)

n

2

2

û ë i =1 ùé n ú êå û ë i =1

(

)

(

(

)(

)

2ù é n ù β X Xi 2 - X 2 ú 2 1 ê å X i 1 - X1 i2 ú û ë i =1 û 2 2ù é n ù X i 2 - X 2 ú - ê å X i 1 - X1 X i 2 - X 2 ú û ë i =1 û

(

(

)(

)(

)

2

)

2 n ìï é n 2ùé 2ù é n ù üï β1 í ê å Xi 1 - X1 ú ê å Xi 2 - X 2 ú - ê å Xi 1 - X1 Xi 2 - X2 ú ý * û ë i =1 û ë i =1 û ïþ ïî ë i = 1 β1 = 2 n n n 2ùé 2ù é é ù ê å Xi1 - X1 ú ê å Xi 2 - X 2 ú - ê å Xi 1 - X1 Xi 2 - X 2 ú ë i =1 û ë i =1 û ë i=1 û

(

(

)

)

(

(

)

)

(

(

)(

)(

)

)

)(

)


54

* Por lo tanto, β 1 es insesgado.

plim plim

plim plim

plim

Por lo tanto, β 1* es consistente.

Para el modelo el verdadero modelo (Yi = E0 + E1Xi 1 + Ui ) la mínima varianza

de β1 esta dada por

. No obstante, en

presencia de una variable redundante ( Xi 2 ) se pierde la eficiencia de β1, dado que ahora aumenta de la siguiente forma:

(A.1.18)


55

Anexo 1.6. Presencia de sesgo e inconsistencia en los estimadores de MCO cuando se incumple el supuesto de independencia condicional por endogenidad * * Para el modelo de regresión simple Cov ( Xi 1 , U i ) ≠ 0. Por ende, β0 y β1 son los estimadores sesgados e inconsistentes del modelo.

β * β * X * Yi β 0 β 1X i*1 Ui ; Y i 0 1 i1

(A.1.19)

cov X , U i 0 * i1

Lo anterior puede verificarse a partir de la definición de Cov Var n

* β1

X i 1

* i1

n

i 1 n

X i 1

n

n

X1 β0 β 1 Xi*1 X1 Xi 1 Xi*1 X1 Ui

n

* i1

X1

i 1

2

β1 Xi*1 X1 Xi 1 Xi*1 X1 U i

* β1

i 1

i 1

n

X i 1

* i1

X1

2

n n β1 Xi*1 X1 Xi*1 Xi*1 X1 U i *

i 1 E β1 E i 1 n 2 * Xi 1 X1 i 1

n

E β1 β 1 *

X i 1

n

U i U i X1

* i1

i 1

n 2* 2 Xi 1 nX1 i 1

Cov Var

n

β1

X i 1

* i1

Ui nUX1

n 2* 2 Xi 1 nX1 i 1

:


56

Cov

plim plim

plim plim

(A.1.20)

Anexo 1.7. Estimadores de variables instrumentales para un modelo de regresión simple A partir del modelo básico (Yi = E0 + E1Xi*1 + Ui ) el propósito es min ∑ Ui2. i

Para esto se calculan las condiciones de primer orden como aparece a continuación: n ∂ i 1Ui2 2 Yi β0 β1Xi*1 0 ∂ β i 1 n

0

n ∂ i 1Ui2 2Zi 1 Yi β0 β 1 Xi*1 0 β i 1 n

1

Cov Cov

β0VI Y β1VI X1

(A.1.21)


Cov

Cov

Cov

Cov

Cov

Cov

Cov Cov

57

(A.1.22)

Cov

Cov Cov

Anexo 1.8. Varianza del estimador de variables instrumentales para un modelo de regresión simple

/

(A.1.23)


58

Anexo 1.9. Estimador insesgado y consistente obtenido con una variable instrumental ( Z i ) * Para comprobar que β1 es insesgado se calcula el valor esperado (E). Igualmente, se muestra que el estimador es consistente mediante el límite de probabilidad de la siguiente forma: n

β1

Z

i1

i 1

n

Z

i1

Z1 Xi*1 X1

i 1

n

β1 β 1

n

Z1 Yi

i1

Z

Z1 Xi*1 X1

Z

Z1 Xi*1 X1

i1

i 1 n

i1

i 1

Z

0

β 1 Xi*1 Ui

n

i 1

β

Z Z X i1

E β1 β 1

1

* i1

X1

(A.1.24)

Por lo tanto, β1 es insesgado.

plim plim

Z1

i 1

plim plim

plim

Por lo tanto, β1 es consistente.


59

Anexo 1.10. Notación matricial para endogenidad y MC2E La forma estructural es descrita matricialmente en la ecuación A.1.25. Y Xβ U * ⎡1 X12 ⎡ Y1 ⎤ ⎢ ⎢ .⎥ . ⎢. ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ = ⎢. . ⎢ ⎢ ⎥ . ⎢. ⎢ .⎥ ⎢1 X * ⎢⎣Yn ⎥⎦ n2 ⎣ n ×1

. X1*E X1k + 1 . . . . . . . . . * . XnE Xnk + 1

. . . . .

. . . . .

. X1m ⎤ ⎡ E0 ⎤ ⎥ ⎢ . ⎥ . . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ . . ⎥ + ⎥ ⎢ ⎥ . . ⎥ ⎢ EE ⎥ ⎥ . Xnm ⎦ n × E + m + 1 ⎢⎣ E m ⎥⎦ (E + m + 1)×1 ) (

(A.1.25) ⎡U 1 ⎤ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ (A.1.26) ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢⎣U n ⎥⎦ n ×1

La ecuación A.1.26 contiene los elementos y tamaños (n representa el total de observaciones) de las matrices expuestas en la ecuación A.1.25. Puede observarse que la matriz X conserva las variables endógenas (E) y exógenas (m). En este mismo sentido, las variables que causan endogenidad están denotadas como X* para distinguir las endógenas y las exógenas independientes del modelo. Por su parte, Y es la variable explicada, E es el vector de coeficientes que acompañan las variables explicativas (endógenas y exógenas) y U es el vector de errores. En particular, suponiendo que se estima el modelo por MCO, se obtienen estimadores para cada parámetro poblacional matricial (v. ecuación A.1.27). βMCO (X ' X) 1( X' Y)

(A.1.27)

Para probar que los coeficientes son sesgados, se calcula el valor esperado de la expresión A.1.27. E β MCO E (X ' X) 1 ( X' Y ) E β MCO E (X ' X) 1( X'( X β U)) E β MCO E (X ' X) 1( X' X β ) ( X' X ) 1 ( X' U) E β MCO E β (X ' X ) 1( X' U ) E β MCO β (X ' X) 1 E ( X' U)

(A.1.28)

60


A partir de lo anterior se puede observar que, si E[(X ’ U)] = 0, el valor esperado del estimador sería equivalente al parámetro poblacional. Sin embargo, dado que se presume endogenidad en el modelo representado en A.1.25, existe una matriz (C) de variables omitidas con un vector de parámetros D y un vector errores estocásticos H (v. ecuación A.1.29). U Cα ε

(A.1.29)

Al sustituir la ecuación A.1.29 en E [X ’ U] se obtiene: E[X ’ U] = E[X ’( αC + ε)] E[X ’ U] = E[X ’ αC] + E[X ’ ε]

(A.1.30)

E[X ’ U] = αE[X ’C] + E[X ’ ε]

Lo anterior muestra que las variables explicativas en el modelo están recogiendo información de las omitidas, por lo que el término DE[X ’C] es diferente de cero ( Cov( X , C) ≠ 0 ). Por consiguiente, los estimadores de MCO son sesgados. Análogamente, para la prueba de consistencia, inicie nuevamente del modelo de forma matricial en A.1.25. Adicionalmente suponga que 1 n ’ ∑ Xi Xi ⎯P⎯→ Q n i =1

(A.1.31)

Al partir de la expresión βMCO (X ' X) 1 (X ' Y ), se prueba la forma en que el estimador se aproxima al parámetro poblacional, cuando n (tamaño de 1 cada muestra) tiende infinito. Para ello, inicialmente se multiplica por n lado de dicha definición (v. ecuación A.1.32). 1

1 1 βMCO X ' X X' Y

n

n

(A.1.32)

Al reemplazar la expresión de Y y aplicando el límite de probabilidad a MCOo

, se aprecia el comportamiento del estimador en muestras grandes.


61

(A.1.33)

1 X ’ U deber ser igual a 0. Dado n el problema de endogenidad, cuya expresión formal es Cov X * , U ≠ 0, el 1 término X ’ U es diferente de 0, por lo cual plim . Esto demuestra n que los estimadores de MCO son inconsistentes en presencia de endogenidad.

Para que el estimador resulte consistente

(

)

62


Anexo 1.11. Variables aproximativas como alternativa para resolver un problema de endogenidad Retomando la demostración en A.1.30, existe sesgo en los βMCO. Sin embargo, al incluir la variable aproximativa, el vector C queda vacío y esto permite que los estimadores del modelo recobren sus propiedades. Dado que H es un componente estocástico, se deduce: E[X ’ U] = E[X ’ H] = 0

(A.1.34)

por lo que E éë β MCO ùû = β + (X ' X )-1 E[(X 'U )] E éë β MCO ùû = β + (X ' X)-1 E[(X ' ε)]

(A.1.35)

E éë β MCO ùû = β

Los estimadores de MCO resultan ser insesgados. Para la prueba de consistencia se tiene: æ1 ö βMCO ¾P¾ ® β + Q -1 ç X ' ε÷ èn ø æ1 ö ® β + Q -1 ç X '(αC + U)÷ βMCO ¾P¾ èn ø

(A.1.36)

Al incluir la variable aproximativa el vector C queda vacío. Por lo tanto, æ1 ö βMCO ¾P¾ ® β + Q -1 ç X'( ε)÷ èn ø βMCO ¾P¾ ®β

(A.1.37)


63

Anexo 1.12. MC2E En forma matricial es posible obtener el estimador de MC2E fácilmente. Si se parte del modelo en la ecuación A.1.25, la primera etapa de la regresión está dada por la estimación mediante MCO de la forma reducida en la ecuación A.1.38. X* Z π υ

(A.1.38)

´

´

´

(A.1.39)

´

La ecuación A.1.39 contiene los elementos y tamaños de las matrices de la ecuación A.1.38. Puede observarse que la matriz Z conserva la cantidad de instrumentos equivalentes a las variables endógenas (Z = E) y exógenas (m) de la forma estructural en A.1.25. Por su parte, X* es la matriz de variables explicadas, S es la matriz de coeficientes que acompañan a las variables explicativas (instrumentos y variables exógenas) y X la matriz de errores. El estimador de MCO de S está dado por: MCO = (Z' Z)-1 ( Z' X*) π

(A.1.40)

que tienen la forma X = Zπ . Al De la primera etapa se *obtienen los X reemplazar A.1.40 en X se obtiene la ecuación A.1.41. El estimador de MC2E se deriva de la ecuación A.1.27 y tiene la nueva forma acorde con la expresión A.1.42. *

* = Z(Z’Z)−1 ( Z’X* ) X

*

(A.1.41)

(A.1.42)

64


La expresión matricial del estimador de MC2E está dada por βMC 2 E. Asimismo, y de acuerdo con la condición de orden, si se encuentran bien identificados los instrumentos el estimador de dos etapas β MC 2 E equivale al de variables instrumentales βVI en la ecuación A.1.42. En caso de tener instrumentos sobreidentificados sólo es posible obtener los estimadores mediante MC2E, como se encuentra definido en A.1.43.

1 β MC 2 E X 'Z (Z ' Z) 1 Z ' X ( X' Z)(Z ' Z) 1 Z ' Y

(A.1.43)

Para comprobar si los estimadores son insesgados se debe obtener el valor esperado de la expresión β MC 2 E y revisar que el estimador converja al parámetro poblacional.

(A.1.44)

Si se supone que el instrumento usado es válido o exógeno se tiene que E[Z’ U] = 0, por lo que E β MC 2 E β

(A.1.45)

Esto demuestra que los estimadores de MC2E son insesgados incluso cuando hay un problema de endogenidad. La prueba de consistencia es análoga, siguiendo los pasos presentados desde A.1.31 a A.1.33.

2

MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS

2.1. Introducción

E

n el capítulo anterior se discutieron los problemas de la especificación incorrecta (ocasionados por variables omitidas relevantes, errores de medición y sesgo de selección) y de endogenidad en un modelo, así como las metodologías de variables aproximativas, variables instrumentales y mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E) como medidas para remediarlos. Este capítulo discute el problema de simultaneidad que corresponde a un caso especial de endogenidad, pero requiere un tratamiento diferente. Mientras que en los casos discutidos en el capítulo anterior se suponía una relación unidireccional de causalidad entre las variables independientes y las dependientes del modelo, aquí se trabajará con modelos de causalidad conjunta que requieren utilizar un sistema de ecuaciones simultáneas para su estimación.

Por lo anterior, inicialmente se introducen de manera formal los modelos de ecuaciones simultáneas y se presentan las diferentes técnicas para identificar el problema de simultaneidad con el respectivo método de estimación más conveniente. En particular se discuten las condiciones de orden y rango que determinan cuándo un sistema de múltiples ecuaciones puede ser estimado empleando los métodos de mínimos cuadrados indirectos (MCI), MC2E o mínimos cuadrados en tres etapas (MC3E). También aplicando el caso especial de sistema de regresiones aparentemente no relacionados (abreviado SUR por seemingly unrelated regressions).

65

66


Por último se aplican las metodologías expuestas mediante dos estudios de caso. El primero se basa en el artículo Análisis empírico del fondo de estabilización de precios del azúcar en Colombia de Vásquez (2005) y el segundo en un ejemplo de Hill et ál. (1993) acerca de la oferta regional de ganado en Estados Unidos.

2.2. El problema de simultaneidad En algunos modelos económicos constituidos para representar el funcionamiento de procesos y fenómenos (como la formación de precios, el crecimiento del producto interno bruto (PIB) y las decisiones de consumo e inversión de los individuos) existe cierta interdependencia entre las variables endógenas, las cuales deben estudiarse por medio de ecuaciones simultáneas.

2.2.1. Modelo de ecuaciones simultáneas Los modelos econométricos estudiados hasta ahora constan de una ecuación. En este capítulo se estudia un sistema conformado por varias ecuaciones simultáneamente, cuyas características principales son las siguientes: 1.

Hay una relación de causalidad conjunta entre las variables independientes y la dependiente.

2.

Las variables endógenas se determinan conjuntamente.

3.

Se tienen tantas ecuaciones como variables endógenas.

4.

Los errores no deben estar correlacionados entre ecuaciones (ausencia de autocorrelación contemporánea).

Desde la perspectiva de causalidad, las definiciones de las variables dependientes e independientes en los modelos de una sola ecuación son reemplazadas por los conceptos de variables endógenas (aquellas que se determinan dentro del modelo) y exógenas (determinadas fuera de éste o predeterminadas). Un ejemplo de un modelo con dos ecuaciones simultáneas, dos variables endógenas (Yi 1 y Yi 2 ) y ninguna variable exógena se presenta en las ecuaciones 2.1 y 2.2. Yi 1 = E1Yi 2 + Ui 1

(2.1)

Yi 2 = D1Yi 1 + Ui 2

(2.2)

En la ecuación 2.1 el efecto de la variable Yi 2 sobre Yi1 es capturado por el parámetro poblacional E1 , y el efecto contrario por D1 en la ecuación 2.2. La representación anterior se conoce como forma estructural del modelo de


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ecuaciones simultáneas (v. anexo 2.2), donde las ecuaciones y parámetros son denominados estructurales. De esta forma, un modelo de ecuaciones simultáneas es considerado completo si se tiene una ecuación estructural por cada variable endógena (Judge et ál., 1988, cap. 14). Adicionalmente, es posible complementar este modelo incluyendo variables exógenas Xi 1 y Xi 2 (v. ecuaciones 2.3 y 2.4). Yi 1 = E1Yi 2 + E 2 Xi 1 + Ui 1

(2.3)

Yi 2 = D1Yi 1 + D2 Xi 2 + Ui 2

(2.4)

No obstante, en las ecuaciones anteriores el incumplimiento del supuesto de independencia condicional para el caso de simultaneidad se manifiesta en que Cov(Yi 2 , U i 1 ) ≠ 0 o Cov(Yi 1 , U i 2 ) ≠ 0. Al igual que en el caso de endogenidad, estimar estas ecuaciones individualmente por MCO conduce a coeficientes sesgados e inconsistentes. Por otra parte, existe una forma adicional de representar el problema de simultaneidad donde las variables endógenas se expresan únicamente en función de las exógenas, los parámetros estructurales y los errores estocásticos, representación conocida como forma reducida (v. anexo 2.2, ecuación A.2.18; Wooldridge, 2009, cap. 16). Al igual que en el caso de endogenidad, cada forma estructural tiene una ecuación reducida asociada. Así, remplazando Yi 2 de la ecuación 2.4 en 2.3 y suponiendo β1 α1 ≠ 1, se deduce la ecuación 2.7, la cual puede estimarse por MCO. Los coeficientes S1 y S 2 se conocen como parámetros reducidos. Una expresión similar puede obtenerse para representar Yi 2 , si se reemplaza Yi1 de la ecuación 2.3 en 2.4. Yi 1 = β1 ( α1Yi 1 + α2 Xi 2 + ei 2 ) + β 2 Xi 1 + Ui 1

(2.5)

Yi 1 = β1 α1Yi 1 + β1 α2 Xi 2 + β1Ui 2 + β 2 Xi 1 + Ui 1

(2.6)

Yi 1 =

β U + Ui 1 β1 α 2 β2 Xi 1 + Xi 2 + 1 i 2 (1 − β α1 ) (1 − β α1 ) (1 − β α ) 1 1 11 μi π2 π1

(2.7)

Sin embargo, puede especificarse un sistema con un número M de ecuaciones y variables endógenas,1 las cuales pueden definirse fácilmente de manera matricial (v. anexo 2.2). Esta notación también puede utilizarse para representar un sistema de dos ecuaciones (v. ecuación 2.8).

1

Se debe recordar que hay tantas ecuaciones como variables endógenas en el sistema. En otras palabras, habrá M ecuaciones si existen M variables endógenas en el sistema.


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Yi1 β1Yi 2 β 2 Xi1 Ui 1 0 Yi 2 α1Yi 1 α 2 Xi 2 U i 2 0 YΓ XB U

(2.8)

En la ecuación 2.8 Y, X y U son matrices que contienen las variables endógenas, las exógenas y los errores del sistema, respectivamente.2 *es una matriz de parámetros de las variables endógenas, B la de las exógenas (para detallar los elementos y tamaños de las matrices y vectores ver anexo 2.2). Algunas de las características del modelo estructural son: B es no singular y de rango M, el rango de X es igual al número de variables exógenas y los términos de error de las distintas ecuaciones son independientes entre sí. A partir de lo anterior, es posible obtener la forma reducida del modelo (v. ecuación 2.9 y anexo 2.2, ecuación A.2.18). Y Xπ V 1

donde π B Γ y V = –U Γ

(2.9) 1

El objetivo principal en un sistema de ecuaciones simultáneas es encontrar los estimadores de la forma estructural a partir de los parámetros de la forma reducida (v. anexo 2.3). Con este fin, las secciones siguientes presentan el concepto de identificación del modelo y varios métodos de estimación recomendados según el caso.

2.2.2. Sesgo de MCO bajo ecuaciones simultáneas Una vez introducido el modelo de ecuaciones simultáneas, se puede analizar formalmente el incumplimiento del supuesto de independencia condicional. Como se expuso en el capítulo 1, un modelo incumple esta condición cuando existe relación entre alguna de sus variables independientes y el término de error. Esto conduce a estimadores sesgados e inconsistentes si se estiman por medio de MCO. Al desarrollar la ecuación 2.7 es posible demostrar que un modelo de ecuaciones simultáneas es siempre endógeno (v. ecuación 2.10). Yi 1 =

β2 β1 α 2 β1 1 Xi 1 + Xi 2 + Ui 2 + Ui 1 (2.10) (1 − β1 α1 ) (1 − β1 α1 ) (1 − β1 α1 ) (1 − β1 α1 )

De la ecuación 2.10 se deduce que existe correlación entre Yi 1 y Ui 2 siemβ1 α 2 sea diferente de cero. Dado que en la ecuación pre y cuando (1 − β1 α1 ) 2

Formalmente, Y = [Yi 1Yi 2 ] y X = [ X i 1 X i 2 ] .


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2.3 Xi 2 determina Yi 2 , D2 es diferente de cero. Asimismo, cuando Yi1 tenga un impacto en Yi 2 , E1 será un coeficiente significativo. Por lo tanto, existe simultaneidad y debe especificarse un sistema de ecuaciones. Así, la ecuación 2.10 representa el sesgo de simultaneidad. Su dirección y magnitud están determinadas por la forma en que están relacionadas las variables endógenas. Igualmente, la significancia estadística del sesgo puede determinarse mediante la prueba estadística de Hausman presentada a continuación, que se constituye en la principal herramienta para detectar sesgos de los parámetros en un modelo econométrico.

2.3. Detección del problema: prueba de Hausman Como se discutió anteriormente, la existencia de simultaneidad genera sesgos en las estimaciones de MCO. Por esta razón, resulta conveniente contar con herramientas que permitan evaluar la existencia de este problema en una ecuación específica. En esta sección se presenta una vez más la prueba de Hausman, que permite diagnosticar el incumplimiento del supuesto de independencia condicional en un modelo de regresión lineal. Este procedimiento es el mismo presentado en el capítulo 1, en el que se comparan los estimadores de MCO de una ecuación estructural, que estarían sesgados ante la presencia de este problema, con los coeficientes obtenidos mediante alguna otra metodología (como MC2E y MC3E) que los haga insesgados y consistentes. De manera general, la prueba de Hausman plantea que si los estimadores de MCO y MC2E no son estadísticamente diferentes, es posible concluir que el modelo no presenta problema de simultaneidad. Por el contrario, si los estimadores difieren estadísticamente, se supone que esto es el resultado de algún sesgo de endogenidad y, por lo tanto, es necesario emplear una metodología más apropiada que MCO (v. prueba de hipótesis 2.11). H 0 : β MCO β MC 2 E No existe simultaneidad.

(2.11)

H1 : β MCO β MC 2 E Existe simultaneidad.

El estadístico de prueba, que se conoce como estadístico de Hausman, está dado por la siguiente ecuación: Var

(2.12)

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' Los términos βMC2E βMCO y βMC2E βMCO capturan la distancia entre los estimadores de MC2E y los de MCO. El término restante, Var , pondera por la varianza conjunta de los estimadores y se puede reescribir como la resta de las varianzas al suponer eficiencia del estimador de MCO. La hipótesis nula se rechaza si el valor del estadístico es mayor que el valor crítico determinado por F 2k (donde k es el número de grados de libertad equivalente al número de parámetros comparados) para el nivel de significancia deseado. En ese caso se afirmaría que hay un problema de simultaneidad y que el método de estimación recomendado podría ser MC2E o MC3E. Si, por el contrario, no es posible rechazar la hipótesis nula, es posible concluir que no hay ningún sesgo relevante en los estimadores de MCO.

Para resumir, el procedimiento general de la prueba de Hausman es: 1.

Realizar la estimación de la ecuación estructural que se quiere estudiar por MCO.

2.

Realizar la estimación mediante alguna otra metodología (en este caso MC2E o MC3E).

3.

Construir el estimador de Hausman y verificar el resultado de la prueba de hipótesis.

En los casos de simultaneidad, en los que no es recomendable la aplicación de MCO, se requiere determinar primero el estado de identificación de cada una de las ecuaciones del sistema, con el fin de establecer el método de estimación más apropiado.

2.4. Proceso de identificación De acuerdo con lo anterior, si se detecta la existencia de simultaneidad mediante la prueba de Hausman, es necesario realizar estimaciones utilizando metodologías distintas a MCO. Esta sección presenta el conjunto de condiciones, equivalentes a la condición mínima de orden discutida en el capítulo 1, que se deben verificar antes de calcular nuevas estimaciones. Como se discutió anteriormente, bajo el esquema de ecuaciones simultáneas la doble causalidad impide encontrar los estimadores estructurales mediante MCO. El proceso de identificación que se presenta a continuación pretende determinar cuándo es posible encontrar los valores de los parámetros de la forma estructural (E y * en la ecuación 2.8) a partir de las estimaciones de la forma reducida (S en la ecuación 2.9). Como ejemplo,


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en ciertos casos es posible aplicar MCO a la especificación de la forma reducida, para luego obtener los parámetros estructurales mediante una transformación. Así, una ecuación puede clasificarse como: 1) no identificada, cuando a partir de la forma reducida no es posible obtener estimaciones de los parámetros estructurales; 2) exactamente identificada, cuando a partir de la información de los parámetros de la forma reducida es posible encontrar un único valor para los coeficientes de la forma estructural; y 3) sobreidentificada, cuando a partir de los estimadores disponibles en la forma reducida se puede establecer más de un valor para los parámetros de la forma estructural. Lo anterior también se cumple para los sistemas de ecuaciones. Un modelo de simultaneidad está exactamente identificado cuando todas sus ecuaciones estructurales lo están. Con el fin de definir el estado de cada una de las ecuaciones de un modelo, a continuación se presentan las condiciones de orden y de rango, las cuales permiten determinar el estado de identificación de un modelo.

2.4.1. Condición de orden El primer criterio utilizado para determinar el estado de identificación de un sistema de ecuaciones simultáneas es la condición de orden, cuyo cumplimiento es necesario aunque no suficiente para obtener parámetros estructurales a partir de los coeficientes calculados de la forma reducida. La notación es la siguiente: J es el número de variables endógenas y exógenas del sistema que no aparecen en la ecuación de interés y M es el número total de variables endógenas o de ecuaciones en el sistema. Si alguna de las ecuaciones en la expresión estructural determinada tiene J = M − 1, la ecuación se encuentra exactamente identificada, lo que implica que a partir de la matriz S (v. ecuación 2.9) pueden encontrarse los estimadores únicos de los parámetros estructurales del sistema. Si por el contrario J > M − 1, la ecuación está sobreidentificada, lo que genera múltiples estimadores para cada uno de los parámetros estructurales del sistema. Finalmente, cuando J < M − 1 la ecuación es no identificada y por esto no es posible obtener aproximaciones de los parámetros estructurales desde los estimadores reducidos. De acuerdo con el ejemplo de las ecuaciones 2.3 y 2.4, se tiene un total de ecuaciones igual a 2 (M = 2). En cada una de las ecuaciones J = 1 debido a que en las dos no existen endógenas excluidas y cada una cuenta con una


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variable exógena excluida (Xi 2 en 2.3 y Xi1 en 2.4). Entonces J = M – 1, por lo cual puede afirmarse que cada una de las ecuaciones está exactamente identificada. Esta regla de orden permite identificar fácilmente cuándo un modelo no puede ser estimado (es decir, cuándo es no identificado). Sin embargo, debe aclararse que cuando J ≥ M − 1 no necesariamente se puede afirmar que la ecuación esté realmente identificada. Por tal razón, esta regla se considera aproximada. A continuación se presenta la condición de rango que, aunque es más compleja de verificar, es un criterio suficiente para determinar el grado de identificación de las ecuaciones en el sistema.

2.4.2. Condición de rango El segundo criterio utilizado para determinar el estado de identificación de un sistema de ecuaciones simultáneas es la condición de rango y, a diferencia de la condición de orden, determina exactamente cuál es el estado de identificación de cada ecuación en la forma estructural. No obstante, su cálculo requiere establecer el rango de la matriz Ri de tamaño [ J × ( M + K )], donde el número de filas es J (número de variables endógenas y exógenas del sistema excluidas en una determinada ecuación de la forma estructural). Asimismo, la cantidad de columnas en la matriz Ri denota el total de variables endógenas y exógenas en el sistema. Este análisis debe contar con una matriz ' que contenga los parámetros de las variables endógenas y exógenas del sistema. Su número de filas es el mismo número de columnas en Ri (es decir, M + K) y el de sus columnas es la cantidad de variables endógenas o de ecuaciones en el sistema (M).3 A partir de lo anterior, la regla de identificación es la siguiente: si el rango es menor que M – 1 y el rango de Ri es menor que M – 1, puede de concluirse que la ecuación i no está identificada. Por el contrario, si el rango de es igual a M – 1 y el rango de Ri también, se afirma que la ecuación i está exactamente identificada. Por último, si el rango de es igual a M – 1 y el rango de Ri es mayor que M – 1, se deduce que la ecuación i está sobreidentificada.

3

B Formalmente, Δ . Γ M K M


73

A continuación se presenta una aplicación de la condición de rango expuesta utilizando como ejemplo las ecuaciones 2.3 y 2.4. Tenga en cuenta que por normalización4 (v. anexo 2.2, ecuación A.2.17) éstas son equivalentes a las ecuaciones 2.13 y 2.14, respectivamente. Yi 1 − E1Yi 2 − E 2 Xi 1 = Ui 1

(2.13)

− D1Yi 1 + Yi 2 − D2 Xi 2 = Ui 2

(2.14)

De acuerdo con las ecuaciones 2.13 y 2.14, puede construirse la matriz ' cuya forma es la siguiente: 1 β1 α 1 1 Δ β2 0 0 α2

(2.15)

Adicionalmente, con la especificación de cada ecuación es posible construir los vectores Ri. Según la ecuación 2.3, R 1 = ⎡⎣0 0 0 1⎤⎦ , donde el valor de 1 en la posición (1,4) de la matriz R1 representa la exclusión de la variable exógena ( Xi 2 ) en ésta y su rango es 1. En cuanto a la ecuación 2.4, R 2 = ⎡⎣0 0 1 0 ⎤⎦ tiene igualmente rango 1 y el valor de la unidad en la posición (1,3) representa la exclusión de la variable predeterminada ( Xi1 ). Finalmente, con la información anterior y la matriz ' se construye la matriz R i Δ para cada una de las ecuaciones consideradas. Así, en la ecuación 2.3 R i Δ 0 α2 con rango 1, y en la ecuación 2.4 R i Δ β2 0 con rango 1. De esta manera se concluye que las ecuaciones se encuentran bien identificadas. Una vez determinado el estado de identificación de las ecuaciones estructurales a partir de las condiciones anteriores, debe utilizarse un método como MCI, MC2E o MC3E (MCI y MC2E se pueden hacer para cada ecuación identificada, mientras que MC3E se aplica a todo el sistema en conjunto). A continuación se presentan estas metodologías que permiten obtener estimadores insesgados y eficientes de los parámetros estructurales.

4

⎧ γ1Yi 1 − β1Yi 2 − β 2 Xi 1 = Ui 1 , J1 = 1 y J 2 = 1 por normalización. ⎨ ⎩ − α1Yi 1 + γ 2Yi 2 − α2 Xi 2 = Ui 2


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2.5. Metodologías de estimación de ecuaciones simultáneas Esta sección expone tres metodologías para estimar los parámetros estructurales de un modelo de múltiples ecuaciones. Dichas metodologías varían en complejidad y precisión. Se introducen adicionalmente los sistemas de regresiones aparentemente no relacionadas (SUR), técnica que, a pesar de no estar diseñada para casos de simultaneidad, también permite estimar sistemas de ecuaciones. En los casos más complejos se usarán estimaciones combinadas de MCO y mínimos cuadrados generalizados (MCG), técnica que se estudia en los cursos básicos de econometría.5

2.5.1. Mínimos cuadrados indirectos La primera alternativa para encontrar estimadores de los parámetros estructurales se conoce como mínimos cuadrados indirectos (MCI) y consiste en aplicar directamente MCO a la ecuación reducida, para luego deducir indirectamente las expresiones estructurales. Esta metodología se utiliza para las ecuaciones que están exactamente identificadas, por lo que se obtienen valores únicos para los estimadores de la forma estructural. Para ilustrar el funcionamiento de esta técnica, las ecuaciones 2.16 y 2.17 contienen un sistema simple de dos ecuaciones con dos variables endógenas (Yi 1 y Yi 2 ) y una exógena ( Xi1 ). Yi 1 − E 0 − E1Yi 2 − E 2 Xi 1 − Ui 1 = 0

(2.16)

Yi 2 − D0 − D1Yi 1 − D2 Xi 1 − Ui 2 = 0

(2.17)

La metodología de MCI puede desarrollarse fácilmente en tres etapas: 1.

De las ecuaciones 2.16 y 2.17 se obtiene la representación de la forma reducida del sistema que es Y Xπ V (v. anexo 2.2, ecuación A.2.18).

2.

Se estiman los parámetros de la forma reducida por MCO. Esta estimación es adecuada porque la forma reducida cuenta únicamente con variables exógenas (Gujarati, 2003: 740).

5

Aquí se supone que el lector está familiarizado con el método de MCG. Para una introducción general a este tema véase Guajarti (2003: 379).


3.

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A partir de la estimación de MCO se derivan los parámetros estruc1 turales del sistema utilizando la relación π B Γ .

Los estimadores de MCI son consistentes y eficientes para las ecuaciones exactamente identificadas. Sin embargo, cuando se utiliza MCI no se dispone fácilmente de la desviación estándar estimada de los parámetros, lo cual resulta inconveniente dado que imposibilita realizar pruebas de hipótesis parciales sobre los parámetros.

2.5.2. Mínimos cuadrados en dos etapas En segundo lugar, puede utilizarse la técnica de MC2E como fue presentada en el capítulo 1. Esta metodología hace posible estimar los parámetros de las ecuaciones estructurales que se encuentran sobreidentificadas y exactamente identificadas. Para este caso, las ecuaciones 2.18 y 2.19 expresan un sistema de dos ecuaciones con dos variables endógenas (Yi1 y Yi 2 ) y dos exógenas (Xi1 y Xi 2 ). Yi 1 = E 0 + E1Yi 2 + E 2 Xi 1 + Ui 1

(2.18)

Yi 2 = D0 + D1Yi 1 + D2 Xi 2 + Ui 2

(2.19)

Por lo tanto, la metodología de MC2E consiste en: 1.

Extraer el componente exógeno de Yi 2 mediante una regresión auxiliar o forma reducida, donde esta variable se explique en función de todas las variables exógenas del sistema ( Xi 1 y Xi 2 ). También pueden utilizarse instrumentos externos al sistema.

2.

A partir de la regresión auxiliar de la primera etapa se calculan los i 2 ) de la variable endógena (Y ). valores ajustados (Y i2

3.

Con esta información se estima la ecuación estructural de interés (2.19) por MCO, remplazando la variable endógena (Yi2) por los i 2 ). El estimador β es un estimador insesgado valores estimados (Y 1 y consistente del parámetro estructural E1 .

Algunas características del método de MC2E son: 1.

Puede aplicarse a una ecuación individual en el sistema sin tener en cuenta las otras ecuaciones.

2.

Arroja los mismos resultados que MCI para las ecuaciones exactamente identificadas.

3.

A diferencia de MCI, MC2E puede emplearse para las ecuaciones sobreidentificadas.

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4.

Es fácil de implementar porque sólo se necesita saber el número total de variables exógenas o predeterminadas en el sistema sin conocer ninguna otra variable en éste.

5.

Los errores estándar de MC2E pueden determinarse dado que los coeficientes estructurales son estimados directamente por MCO en la segunda etapa.

6.

Si los coeficientes R2 en la forma reducida son altos (superiores a 0.80), las estimaciones de MCO y de MC2E serán cercanas.

En términos operativos, para estimar los parámetros de MC2E también es posible obtener directamente un estimador (v. ecuación 2.20). El procedimiento completo de la deducción de esta expresión se presenta en el anexo 2.3. βMC 2 E [H ' X( X ' X) 1 X ' H] 1 ( H ' X)( X ' X) 1 X ' Y1

(2.20)

En la ecuación 2.20 Y1 corresponde a la variable endógena que determina la ecuación que se debe estimar, X es una matriz que incluye todas las variables exógenas del sistema y H es una matriz que contiene la totalidad de variables que serán utilizadas como independientes en la respectiva ecuación.

2.5.3. Mínimos cuadrados en tres etapas La última técnica relevante es MC3E, en la que se estima el sistema estructural de forma conjunta en lugar de estimar cada ecuación individualmente (como en MCI y MC2E). De manera general, estos métodos se conocen como métodos de información completa debido a que utilizan todas las ecuaciones del sistema conjuntamente. En contraste con otras técnicas de estimación, aquí la información adicional conduce a estimadores eficientes (de mínima varianza). MC3E es una metodología que parte del método de MC2E, pero tiene en cuenta la autocorrelación contemporánea entre los términos de error de las ecuaciones y por esto corrige el problema que generalmente se presenta en MC2E. El procedimiento general consiste en lo siguiente: 1.

Calcular los estimadores de MC2E de las ecuaciones identificadas.

2.

Utilizar los estimadores del paso anterior para estimar los errores de cada una de las ecuaciones estructurales. Con esta información se construye la matriz de varianzas y covarianzas de los errores contemporáneos de las ecuaciones estructurales.


3.

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En la tercera etapa se realiza una estimación por MCG en la que se especifica la matriz encontrada en el paso dos. De esta forma se obtienen los estimadores de MC3E. δMC 3 E Z '

1

Px n n Z Z' M M

1

1 M M

Px n n y

(2.21)

Al igual que en la metodología de MC2E, es posible obtener directamente un estimador de MC3E ( δ MC 3 E en la ecuación 2.21). Aquí, ⊗ corresponde al producto de Kronecker. El procedimiento completo de cómo se encuentra esta expresión es presentado en el anexo 2.4.

2.5.4. Sistema de regresiones aparentemente no relacionadas Las tres técnicas anteriores están diseñadas para estimar modelos de múltiples ecuaciones con simultaneidad. Sin embargo, no todos los sistemas de ecuaciones presentan este problema: varias ecuaciones pueden estar conectadas no por compartir variables endógenas, sino por una correlación entre sus términos de error. Como caso típico puede considerarse un sistema de ecuaciones de oferta de un cultivo; un choque capturado por el error de una de las ecuaciones puede afectar también la oferta de otros cultivos, aunque explícitamente las ecuaciones estructurales de ambas no compartan ninguna variable. Esta clase de fenómenos se estudia utilizando el modelo SUR, el cual estima un conjunto de ecuaciones aparentemente no relacionadas como una sola regresión. De esta manera se aprovecha la información similar de las diferentes ecuaciones para mejorar la eficiencia de los estimadores (Zellner, 1962). Como las ecuaciones de este método no presentan un problema de simultaneidad debido a que no comparten variables endógenas (Yi 1 y Yi 2 ) ni exógenas ( Xi1 y Xi 2 , aunque sí es posible), se supone exogenidad en los modelos del sistema (v. ecuaciones 2.22). Yi 1 = β 0 + β1 Xi 1 + Ui 1 Yi 2 = α0 + α1 Xi 2 + Ui 2

(2.22)

Al igual que MC3E, el método SUR está basado en el enfoque de MCG para obtener estimadores eficientes con respecto a MCO. Si las ecuaciones no resultan relacionadas, las estimaciones de SUR son equivalentes a las de MCO. Para entender la metodología, las expresiones descritas en 2.22 pueden representarse matricialmente como en la ecuación 2.23.


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Y X β U

(2.23) (2.24)

En la ecuación 2.23 el vector Y contiene M variables dependientes, X es una matriz de k variables independientes, E contiene los parámetros estructurales del sistema y U es el vector de errores (la dimensión y la composición detalladas de la matrices se encuentran en el anexo 2.5). El procedimiento inicia estimando cada ecuación individualmente por i1 y U i 2 . Así, el vector MCO para obtener el error ajustado de cada una U de coeficientes estimados mediante SUR βSUR está descrito en la ecuación 2.24 (v. anexo 2.5)

(

)

2.5.5. Resumen de metodologías A continuación se presenta un cuadro que compara las diferentes técnicas de estimación presentadas, sus requerimientos y resultados. Esto permite reconocer cuál es la metodología apropiada para cada estudio empírico (v. cuadro 2.1). CUADRO 2.1.

Metodologías de estimación de ecuaciones simultáneas Resultados

Metodología

Requerimiento

MCI

Modelo exactamente identificado.

Se encuentran estimadores para el modelo estructural.

Imposibilita realizar pruebas de significancia parcial para los estimadores de la forma estructural.

MC2E

Modelo exactamente identificado o sobreidentificado.

Se encuentran estimadores insesgados y consistentes.

Los estimadores no son eficientes.

Positivos

Negativos

MC3E

Modelo exactamente identificado o sobreidentificado.

Estimadores eficientes.

Si el modelo no tiene correlación de los errores entre las ecuaciones o está exactamente identificado, los estimadores de MC3E son iguales a los de MC2E.

SUR

Correlación contemporánea de los errores de las ecuaciones y ausencia de simultaneidad.

Estimadores eficientes.

Si los errores de las ecuaciones están correlacionados, se obtienen las mismas estimaciones que mediante MCO.


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2.6. Estudio de caso: evaluación del fondo de estabilización de precios del azúcar Una vez estudiados los diferentes métodos de estimación de los modelos de ecuaciones simultáneas y los de sistemas de regresiones aparentemente no relacionadas, se puede dar paso a su aplicación en la práctica mediante estudios de caso. El caso empírico que se desarrolla a continuación está basado en el artículo titulado Análisis empírico del fondo de estabilización de precios del azúcar en Colombia de Vásquez (2005), que pretende probar si el fondo de estabilización de precios del azúcar (FEPA) ha sido eficaz como mecanismo para promover las exportaciones de azúcar colombiana hacia los mercados extranjeros. El FEPA es un fondo colombiano creado como reacción a la crisis de precios del azúcar en 1999 y busca asegurar un ingreso remunerativo para los productores, aumentar las exportaciones y regular la producción nacional de azúcar a lo largo de los ciclos internacionales.6 Dado el gran número de subsidios al azúcar en el mercado internacional, el precio del azúcar en Colombia suele ser mayor que en el extranjero. Para evitar que todos los ingenios nacionales productores de azúcar saturen el mercado local, el fondo compensa las ventas a bajo precio en el exterior usando el dinero que se obtiene de un canon que se cobra a las ventas locales. En este trabajo Vásquez (2005) plantea un sistema de ecuaciones simultáneas que permite modelar el comportamiento del mercado del azúcar, teniendo en cuenta la interacción entre los productores, los consumidores locales e internacionales y el fondo de estabilización. El modelo está conformado por tres ecuaciones estructurales: una que describe la oferta, otra la demanda y la que describe las exportaciones de azúcar producida en Colombia. Dentro de la ecuación de exportaciones se incluye una variable que pretende capturar el efecto del fondo de estabilización. Si el fondo de estabilización ha sido efectivo para promover las exportaciones, el coeficiente que acompaña esta variable debería ser positivo y estadísticamente significativo. El autor plantea que teóricamente existen dos ecuaciones adicionales que deberían tenerse en cuenta para especificar el modelo econométrico y describir el funcionamiento del mercado: una para las importaciones de 6

Para más información véase Prada (2004).

80


azúcar que se compran para satisfacer la demanda local y otra para el cambio en los inventarios de azúcar de un período a otro. En el artículo se encuentra que para el caso colombiano estas cantidades son despreciables, por lo que es posible excluirlas del modelo sin que el análisis de mercado pierda validez. Además de las tres ecuaciones, el modelo adiciona una condición de equilibrio que relaciona las variables entre sí. El uso de un sistema de ecuaciones simultáneas permite modelar la determinación conjunta de los niveles de producción, consumo y exportaciones. Estas tres serían las variables endógenas. A continuación se presenta la especificación de cada una de las ecuaciones. En la ecuación usada para representar la demanda, la variable dependiente corresponde a la cantidad de azúcar demandada en el mercado local. Adicionalmente se identifican seis determinantes que actúan como variables independientes: el índice de precios al consumidor de aquellos productos que usan azúcar como insumo ( IPCt ) y que sirve como aproximación al precio de mercado, la población de Colombia ( Pobt ) y el ingreso per cápita (Yt Pobt ). Adicionalmente se incluyen variables binarias trimestrales para capturar el componente estacional propio del mercado de azúcar (ver ecuación 2.25). QtD = D0 + D1 IPCt + D2

Yt + D3 Pobt + D4 Trim2 t + D5 Trim3 t + D6 Trim 4 t + U 2 (2.25) Pobt

En esta ecuación estructural se espera que el precio tenga un efecto negativo sobre la cantidad demandada. El ingreso debería tener un efecto positivo, dado que se espera que el azúcar se comporte como un bien normal. Finalmente, como las variables de la ecuación están en su valor original, a mayor población se espera una mayor demanda de azúcar. Para la oferta, la variable dependiente corresponde a la cantidad de azúcar producida para satisfacer tanto el mercado local como la demanda de azúcar colombiana en el mercado internacional. Entre los determinantes de la oferta se encuentra el precio de mercado de aquellos productos que usan azúcar como insumo, que se mide con el índice de precios al consumidor ( IPCt ), y el índice de precios al productor de azúcar ( IPPt ) que sirve como aproximación de los costos de producción que enfrentan las firmas. Finalmente, al igual que en la ecuación estructural de la demanda, Trim2t, Trim3t y Trim4t son variables binarias que pretenden capturar el componente estacional del mercado (v. ecuación 2.26). QtO = E 0 + E1 IPCt + E 2 IPPt + E 3 Trim2 t + E 4 Trim3 t + E 5 Trim 4 t + U 2

(2.26)


81

En la especificación 2.26 se espera que el precio tenga un efecto positivo sobre la cantidad ofrecida. Los costos de producción que enfrentan las firmas deberían tener un efecto negativo, porque modifican el óptimo de producción de la firma cuando se iguala el ingreso marginal al costo marginal. Para terminar, las exportaciones están representadas mediante la variable del lado izquierdo en la ecuación 2.27 que corresponde a la cantidad de azúcar producida por los ingenios nacionales que es vendida en el mercado internacional. La primera variable determinante identificada es la relación entre los precios internos y externos, que se aproxima mediante el índice de la tasa de cambio real para productores no tradicionales (TCt ). Esta variable debería tener un efecto positivo y significativo sobre las exportaciones. Adicionalmente se incluye la variable FEPAt, el indicador de interés que corresponde a una variable binaria que toma el valor de 1 en los años en los que el fondo de estabilización estuvo activo. Al igual que en las otras ecuaciones, para capturar el componente estacional del mercado se incluyen las variables trimestrales (v. ecuación 2.27). QtE = S 0 + S1TCt + S 2 FEPAt + S 3 Trim2 t + S 4 Trim3 t + S 5 Trim 4 t + U 3

(2.27)

La condición de equilibrio del mercado que establece una interrelación entre estas tres ecuaciones estructurales es la ecuación 2.28. Esta expresión representa una identidad, por lo que en ella no hay parámetros que se deban estudiar. Q D t = QO t − Q E t

(2.28)

Para iniciar el procedimiento de estimación es necesario evaluar las condiciones de identificación para cada una de las cuatro ecuaciones estructurales. Esto no sólo permite comprobar si el modelo es estimable, sino también indica qué metodología es la más pertinente. La condición de orden se presenta en el cuadro 2.2 y la de rango en el 2.3. De acuerdo con las ecuaciones 2.26, 2.27 y 2.28 se puede establecer la representación de las matrices Ri y Ri '. A continuación, las ecuaciones 2.29 y 2.30 relacionan las matrices para identificar el sistema de ecuaciones.7

7

El orden de los elementos de las matrices se generó a partir de la ecuación de demanda.


82

CUADRO 2.2.

Condición de orden para identificación J

Ecuación

M–1

Estado de identificación

Endógenas

Exógenas

Total

2.25

2

3

5

3

Sobreidentificada

2.26

2

4

6

3

Sobreidentificada

2.27

2

4

6

3

Sobreidentificada

R D = ⎡⎣0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1⎤⎦ R o = ⎣⎡1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1⎤⎦ R E = ⎡⎣1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 ⎤⎦

1 - π1 - π2 ùû R Δ = éë1 - α1 - α2 0 1 - π1 - π2 ùû R E Δ = éë1 - α1 - α2 - α3 1 - β1 - β 2

(2.29)

R D Δ = éë0 1 - β2 o

(2.30) 0 ùû

Así, el cuadro 2.3 resume los resultados encontrados en el conjunto de matrices 2.29 y 2.30 para cada una de las ecuaciones en consideración. CUADRO 2.3.

Condición de rango para identificación

Ecuación

Rango (Ri )

Rango (Ri ')

M-1

Estado de las ecuaciones

2.25

5

2

3

Sobreidentificada

2.26

6

2

3

Sobreidentificada

2.27

6

2

3

Sobreidentificada

De acuerdo con lo anterior, las ecuaciones del sistema se encuentran sobreidentificadas, lo que implica que la estimación del modelo puede realizarse mediante MC2E o MC3E. A la ecuación de identidad o de equilibrio no se le aplican las condiciones de orden y rango, porque no cuenta con ningún parámetro adicional. Para estimar estas regresiones conjuntamente, se realizará paso a paso el procedimiento en Stata.

2.6.1. Análisis general de los datos Esta primera sección abarca los comandos del programa computacional para el análisis de ecuaciones simultáneas, así como una exploración general de los datos que se utilizarán. A continuación se presentarán los pasos necesarios para este propósito:


1.

83

Inicialmente es necesario cargar la base de datos usando el comando use. Con las variables en la memoria, es posible obtener la lista de variables disponibles usando el comando describe o des (v. figura 2.1). La tabla resultante muestra que la base cuenta con 36 observaciones para el mercado azucarero colombiano. Éstas son observaciones trimestrales, desde el primer trimestre de 1996 hasta el último del 2004. Para cada una hay información sobre 21 indicadores específicos. La variable de interés es la variable binaria FEPAt (v. cuadro 2.4).

FIGURA 2.1.

Salida de los comandos use y describe


84

2.

Con el comando sum es posible obtener las principales estadísticas descriptivas. En este caso se pide la tabla sólo para las variables de interés, especificando cada una después del comando (v. cuadro 2.4 y figura 2.2).

CUADRO 2.4. Tipo de variable

Variables que se utilizarán en el modelo de ecuaciones simultáneas Variable del modelo

QD t Endógenas

QO t QE t

Exógenas

Exógenas

TCt FEPAt IPCt IPPt Yt Pobt Pobt Trim2t Trim3t Trim 4 t Cualquier variable exógena de todo el sistema de ecuaciones

Variables en la base

Descripción

demtotal ofertotal expototal

1. La demanda de un bien está en función de los precios y la renta de los consumidores. 2. La oferta nacional está influenciada por el precio interno, mientras que la oferta de exportaciones por el precio internacional. 3. Las exportaciones, como bienes producidos en el interior y demandados en el exterior, dependerán de la capacidad de compra del resto del mundo y de los precios internos y externos.

itcrntipc, fepa, ipcprodazu ipprefinada ingpc población est2 est3 est4

Tasa de cambio real, variable binaria que es 1 si está en un período anterior a 1999 y 0 de lo contrario, índice de precios del azúcar, índice de precios al productor, ingreso per cápita, población, trimestre 2, trimestre 3 y trimestre 4.

itcrntipc, fepa, ipcprodazu, ipprefinada, ingpc, población, est2, est3, est4


85


2.6.2. Estimación del modelo por MCO A continuación se presentan los pasos necesarios para estimar el modelo por MCO: 1.

Se estimará la ecuación de exportaciones por MCO utilizando el comando reg, con el fin de comparar los resultados más adelante. Esto permitirá definir si realmente hay evidencia de un sesgo de simultaneidad (v. figura 2.3).


86

FIGURA 2.3.

Salida de la regresión lineal

En este caso la variable de interés (fepa) tiene el signo esperado pero no es estadísticamente significativa. Dado el planteamiento teórico, puede determinarse que este modelo debe ser calculado con alguna técnica específica para los modelos de ecuaciones simultáneas.

2.6.3. Estimación del modelo por MC2E y MC3E Las estimaciones de sistemas de ecuaciones simultáneas en Stata se realizan con el comando reg3. Este comando permite realizar estimaciones por MC2E y MC3E. A continuación se presenta la forma de estimar cada uno de estos modelos:


1.

87

Inicialmente se estimará una regresión usando MC2E. En este caso específico, después del comando reg3 y la especificación de cada una de las ecuaciones, se debe añadir la opción 2sls. El programa estadístico calculará los parámetros estructurales de cada una de ecuaciones del modelo, usando las variables exógenas de todo el sistema (v. figura 2.4). La estimación por MC2E muestra los signos esperados para cada una de las regresiones. En la ecuación de la demanda el IPC de los productos que contienen azúcar presenta una relación negativa y significativa (el estadístico t es de -3.12), lo que indica el cumplimiento de la ley de la demanda. La población y el ingreso per cápita

FIGURA 2.4.


88


tienen los signos positivos esperados en el modelo teórico y sus coeficientes son significativos (con estadísticos t de 3.30 y 1.86, respectivamente). Asimismo, los resultados son los esperados en la ecuación de la oferta. El IPC muestra una relación positiva y significativa, lo que indica el cumplimiento de la ley de la oferta, mientras que el IPP del azúcar tiene un signo negativo que refleja el hecho de que si los costos de producción de los ingenios aumentan, éstos reducirán su nivel de producción. Por último, en la ecuación de las exportaciones el índice de tasa de cambio real de los productos no tradicionales deflactado por el IPC resultó positivo y significativo, lo que significa que las exportaciones tienden a crecer cuando aumenta la devaluación. No obstante, la variable de interés (FEPAt) no es significativa, aunque sí tiene el signo positivo esperado (el estadístico t es de 0.65). 2.

Si no se especifica ninguna técnica de estimación, el comando reg3 obtendrá los coeficientes usando el método de MC3E. Como se expuso anteriormente, esta estimación es más eficiente que la de MC2E, lo que aumenta la posibilidad de rechazar la hipótesis nula. Esto es relevante en este caso porque hasta ahora ha sido imposible encontrar evidencia estadística de la significancia de FEPAt (v. figura 2.5).

Los signos esperados de las demás variables incluidas en el modelo se mantienen en esta regresión. Esto ocurre porque la metodología de MC3E obtiene los estimadores con un procedimiento casi idéntico al de MC2E, lo que mejora únicamente la eficiencia de los coeficientes. Con ninguna de las metodologías usadas se encontró evidencia estadística de la significancia de la variable FEPAt. A partir de este análisis es posible afirmar que el fondo de estabilización de precios del azúcar no ha sido efectivo para fomentar las exportaciones. La dinámica del mercado de azúcar continúa siendo la misma que prevaleció antes de la implementación del fondo. Para terminar, la comparación de los resultados obtenidos mediante las técnicas de ecuaciones simultáneas con los del método de MCO permite probar la existencia de sesgos de simultaneidad. Se observa que los coeficientes cambian notoriamente de tamaño. En particular, la variable de interés pasa de 15,377 a 22,011.


89


2.7. Estudio de caso: análisis regional de la oferta de ganado El segundo caso empírico de este capítulo está basado en el ejemplo 17.6 del libro Learning and Practicing Econometrics de Hill et ál. (1993). Este ejercicio pretende mostrar el funcionamiento de la metodología de estimación de un sistema de regresiones aparentemente no relacionadas con datos sobre producción ganadera. Se quiere construir un modelo que permita predecir los inventarios de reses en una región particular (Ct ) . Con este propósito, se construye

90


un modelo lineal donde se consideran como variables independientes el precio promedio de la carne ( Pt ), la cantidad de lluvia del año ( Rt ) como una variable aproximativa de la disponibilidad de alimento para los animales, y la cantidad de ganado en la región en el año anterior (Ct −1 ). El modelo se presenta en la ecuación 2.31, donde el superíndice de las variables indica la región. Ct1 = E 0 + E1 Pt1 + E 2 Rt1 + E1Ct1−1 + e1

(2.31)

La ecuación 2.31 corresponde a la ecuación de interés en la investigación. Aun cuando podrían obtenerse los estimadores mediante MCO, resulta conveniente utilizar la metodología SUR para mejorar la eficiencia de los estimadores. En este caso particular es posible estimar esta expresión junto con otras expresiones equivalentes para distintas regiones del país (v. ecuaciones 2.32 y 2.33). Ct2 = E 0 + E1 Pt2 + E 2 Rt2 + E1Ct2−1 + e2

(2.32)

Ct3 = E 0 + E1 Pt3 + E 2 Rt3 + E1Ct3−1 + e3

(2.33)

A continuación se presenta el procedimiento para estimar este sistema de ecuaciones, relacionadas únicamente mediante el término de error, en el programa estadístico Stata, tal y como se hizo en el caso empírico anterior. En primer lugar se hace un análisis general de los datos, para luego pasar a analizar las estimaciones.

2.7.1. Análisis general de los datos A continuación se presentan los pasos necesarios para realizar el análisis general de los datos: 1.

En primer lugar, la base de datos se carga con el comando use. Con las variables en la memoria es posible obtener la lista de variables disponibles usando el comando des o describe (v. figura 2.6). Esta base cuenta con una descripción detallada de cada variable.

2.

Con el comando sum o summary es posible obtener las principales estadísticas descriptivas (v. figura 2.7, p. 92).


91

Comandos use y describe

2.7.2. Estimación del modelo por MCO A continuación se presentan los pasos necesarios para estimar el modelo por MCO: 1.

Antes de pasar a estimar el sistema de regresiones aparentemente no relacionadas, primero se calcularán los coeficientes de la ecuación 2.31 por MCO con el comando reg. Esto permitirá observar cómo cambian los resultados una vez adicionadas las otras ecuaciones estructurales (v. figura 2.8, p. 93).

La figura 2.8 muestra que todas las variables independientes de la ecuación de interés son significativas, con estadísticos t de 2.79, 2.28, y 4.87, respectivamente. En este caso la constante es el único parámetro que no es estadísticamente significativo.


92

FIGURA 2.7.

Comando summary

2.7.3. Estimación del modelo por SUR Una vez se ha realizado la estimación por MCO, a continuación se presenta el procedimiento para obtener estimadores usando un modelo SUR. Como se mencionó anteriormente, este procedimiento saca provecho del enfoque de MCG para obtener una ganancia en la eficiencia de los parámetros. Para realizar una estimación SUR, se utiliza el comando sureg. En el programa estadístico es necesario especificar cada una de las ecuaciones del sistema entre paréntesis, como se observa en la figura 2.9. La estimación de cada una de las ecuaciones muestra todas las variables con los signos esperados. Para la ecuación de interés, tanto los


93

Regresión lineal

coeficientes de las variables independientes como la constante aparecen significativas con estadísticos t de 3.34, 1.95, 5.60 y 3.41, respectivamente. El procedimiento presentado permite realizar estimaciones de sistemas de regresiones aparentemente no relacionadas. Los signos en todas las estimaciones fueron los esperados: el inventario de reses depende positivamente de los precios, de la precipitación y de la cantidad inicial de ganado. Al comparar los resultados obtenidos en este caso con los de MCO, se observa una mejora en la eficiencia de cada uno de los estimadores. Como muestra, los valores p estimados para los coeficientes que acompañan el precio y la precipitación en la región de interés pasan de 0.011 y 0.033 a 0.001 y 0.051, respectivamente.


94

FIGURA 2.9.

Regresión del modelo SUR

Resumen s

0ARAPODERCAPTURARLAMAYORCOMPLEJIDADPRESENTEENLOSFENÍMEnos de simultaneidad, es necesario replantear el problema econométrico como un sistema conformado de múltiples ecuaciones. Esta representación se conoce como forma estructural de un modelo de ecuaciones simultáneas.

s

!DEM´S DE LA REPRESENTACIÍN ESTRUCTURAL ES POSIBLE RESUMIR EL sistema en una única ecuación donde se incluyen todas sus variables exógenas. Esta representación se conoce como forma reducida.


95

s

,A METODOLOGÄA DE -#/ ANTE ECUACIONES SIMULTŃEAS NO PERMITE obtener estimadores consistentes de los parámetros estructurales. Esto hace necesario el uso de metodologías alternativas.

s

#OMO EL PROBLEMA DE SIMULTANEIDAD ES UN CASO PARTICULAR DEL DE endogenidad, la prueba de Hausman es la principal herramienta de identificación. Esta prueba compara los estimadores de MCO, que estarían sesgados ante la presencia de este problema, con los estimadores obtenidos a partir de alguna otra metodología que garantice parámetros insesgados y consistentes.

s

,OSPAR´MENTOSESTRUCTURALESPUEDENESTIMARSESIEMPREYCUANDO se tengan variables exógenas adicionales en el sistema. Según la relación entre las variables exógenas y las endógenas dentro de un modelo, una ecuación estructural puede estar sobreidentificada, identificada o no identificada. Esto se evalúa mediante las condiciones de orden y rango.

s

0ARAESTIMARLOSPAR´METROSDEUNAECUACIÍNESTRUCTURALSEPUEDEN usar las metodologías de MCI, MC2E o MC3E. La primera arroja estimadores insesgados pero no permite realizar pruebas de hipótesis. Las otras dos conducen a estimadores consistentes y eficientes de los parámetros estructurales.

s

0ARASISTEMASDEECUACIONESNOENDÍGENASSEUTILIZALAMETODOLOGÄA SUR, la cual permite obtener estimadores más eficientes que los de MCO.


Justifique cuáles de los siguientes pares de variables pueden considerarse válidos en un sistema de ecuaciones simultáneas. Es decir, diga cuándo es posible expresar una de las variables en función de la otra y viceversa. a.

Salario por hora y salario por hora en horas extras.

b.

Tasa de crímenes per cápita y gasto per cápita en policía.

c.

Gastos en investigación y desarrollo y compras de tecnología extranjera en el caso de una firma.

d.

Salario por hora y consumo de alcohol.

e.

Gastos mensuales de un hogar y ahorro anual de un hogar.


96

f.

Markup de un precio y gasto en publicidad para un agente maximizador.

g.

Cantidad demandada de un bien y gasto en la publicidad de ese bien.

h.

Nivel de incidencia del VIH y ventas per cápita de condominios en una zona determinada.

2.

Demuestre que no es posible estimar por MC2E una ecuación no identificada.

3.

Demuestre que las estimaciones por MC2E y MCI son iguales para el caso de una ecuación exactamente identificada.

4.

Explique las diferencias entre las siguientes metodologías:

5.

a.

MCI y MC2E.

b.

MC2E y MC3E.

c.

Ecuaciones simultáneas y SUR.

Considere un modelo en el que la demanda monetaria está descrita por la siguiente ecuación: Mtd = E 0 + E1Yt + E 2 Rt + E 3 Pt + U1t

Por su parte, la ecuación de la oferta monetaria es: Mts = J 0 + J1Yt + J 4 Tt + U 2 t

En las ecuaciones anteriores las variables son: Mtd : demanda por dinero; Mts : oferta monetaria; Yt : ingreso; Rt : tasa de interés; Pt : precio;

T : variable de tendencia; Ut : errores.


97

El dinero y el ingreso son variables endógenas. Identifique las condiciones de orden y rango para este sistema de ecuaciones y determine cuál es el mejor procedimiento para su estimación. 6.

Suponga que quiere estimar el siguiente modelo de ecuaciones simultáneas: yi 1 = β 0 + γ 1 yi 2 + β 1 X i 1 + β 2 X i 2 + U i 1 yi 2 = β 3 + γ 2 yi 1 + β 4 X i 3 + U i 2

La siguiente tabla muestra las observaciones de las variables del sistema anterior. Y1

Y2

X1

X2

X3

10

31

1998

0

919,595

117

9

4342

0

1,072,067

10

16

8349

1

2,966,150

5

35

8230

0

32,375

5

91

9185

1

240

13

17

540

0

55,598

11

72

4454

1

166

6

58

9228

1

11,781

10

38

534

1

43,483

207

23

1529

0

424,162

a.

Halle las condiciones de orden y de rango para cada una de las ecuaciones y determine si están exactamente identificadas, sobreidentificadas o subidentificadas.

b.

Estime por MCO las ecuaciones en forma estructural para cada una de las variables dependientes. Ilustre cómo quedarían conformadas las matrices y su respectivo tamaño.

c.

Estime por MCO las ecuaciones en forma reducida para cada una de las variables dependientes. Muestre cómo quedarían conformadas las matrices y su respectivo tamaño.

d.

Estime las ecuaciones por MCI. Muestre cómo quedarían conformadas las matrices y su respectivo tamaño.

e.

Estime las ecuaciones por MC2E. Muestre cómo quedarían conformadas las matrices y su respectivo tamaño.


98

f.

Teniendo en cuenta la estimación del literal anterior, muestre cómo queda conformada la matriz de varianza-covarianza y estime los errores del sistema.

g.

Partiendo del literal anterior, estime el sistema de ecuaciones por MC3E. Muestre cómo quedarían conformadas las matrices y su respectivo tamaño.

Disponible en http://economia.uniandes.edu.co/econometria_intermedia


99

Anexo 2 Anexo 2.1. Otros ejemplos de ecuaciones simultáneas 1.

2.

3.

Modelo de demanda y oferta de un bien (Gujarati, 2003: 692): Función de demanda: Qtd = D0 + D1 Pt + U1t

(A.2.1)

Función de oferta: Qto = E0 + E1 Pt + U 2 t

(A.2.2)

Equilibro: Qtd = Qto

(A.2.3)

Modelo Keynesiano de determinación del ingreso (Judge et ál., 1988: 621): Función de consumo: Ct = E0 + E1Yt + Ut

(A.2.4)

Identidad del ingreso: Yt = Ct + I t ( = St )

(A.2.5)

Modelo de inflación y apertura comercial (Wooldridge, 2009: 556): Inf = E0 + E1 open + E 2 log( pcnic ) + U1

(A.2.6)

Open = D0 + D1 Infl + D2 log( pcinc ) + D3 log(land ) + U 2

(A.2.7)

Anexo 2.2. Notación general Un sistema conformado por M variables endógenas y K exógenas puede escribirse de la siguiente manera: (1) γ11Y1 + γ 21Y2 + γ 31Y3 + + γ M 1YM + β11 X1 + β 21 X2 + + β K 1 XK + U1 = 0 ( 2) γ12 Y1 + γ 22 Y2 + γ 32 Y3 + + γ M 2 YM + β12 X1 + β 22 X2 + + β K 2 XK + U 2 = 0 . . (A.2.8) . ( M ) γ1 M Y1 + γ 2 M Y2 + γ 3 M Y3 + + γ MM YM + β1 M X1 + β 2 M X2 + + β KM XK + U M = 0

El anterior sistema de ecuaciones representa la forma estructural. Para simplificarlo puede utilizarse la representación matricial, con el fin de facilitar las operaciones y ofrecer al lector un mecanismo más claro para entender el problema de ecuaciones simultáneas (v. ecuación A.2.9).

100


YΓ XB U 0

(A.2.9)

La forma de la matriz Y es la siguiente: ⎛ Y11 … Y1 M ⎞ Y=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ Yn1 YnM ⎠ n × M

(A.2.10)

La matriz A.2.10 contiene la información de las M variables endógenas del sistema de ecuaciones. Su tamaño corresponde al total de la muestra (n) multiplicado por el número de variables endógenas del sistema estructural (M). Sus columnas están compuestas por los vectores [Y1Y2 Y3 YM ] . ⎛ X11 … X1K ⎞ X=⎜

⎟ ⎜ ⎟ ⎝ Xn1 XnK ⎠ n × K

(A.2.11)

La matriz A.2.11 contiene la información de las K variables exógenas del sistema de ecuaciones, incluido el vector de unos para el intercepto (que corresponde a X 1, es decir, X11 = X21 = ... = Xn1 = 1). Sus columnas están compuestas por los vectores [ X 1 X 2 X 3 X K ].

γ 11 … γ1 M

Γ γ M 1 γMM M M

(A.2.12)

La matriz A.2.12 contiene la información de los parámetros estructurales del sistema de ecuaciones para las variables endógenas. Sus columnas están compuestas por los vectores Γ1 Γ 2 Γ 3 Γ M . ⎛ E11 … E1 M ⎞ B=⎜

⎟ ⎜ ⎟ ⎝ E K 1 E KM ⎠ K × M

(A.2.13)

La matriz A.2.13 contiene la información de los parámetros estructurales del sistema de ecuaciones para las variables exógenas. Sus columnas están compuestas por los vectores [B1 B2 B3 BM ] . ⎛ U11 … U1 M ⎞ U=⎜

⎟ ⎜ ⎟ ⎝ Un1 UnM ⎠ n × M

(A.2.14)


⎛ 011 … 01M ⎞ 0=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 n1 0 nM ⎠ n × M

101

(A.2.15)

Finalmente, U es la matriz que contiene los errores de las ecuaciones de la forma estructural y 0 es una matriz de ceros. Dada la simplificación de las matrices, el sistema quedaría resumido de la siguiente forma (los tamaños de las matrices resultantes se muestran debajo): Y n M Γ M M X n K BK M U n M 0 n M n M n M n M M n

(A.2.16)

n M

n M

A partir de esta representación es posible transformar el modelo para que tenga la forma tradicional Y X β U . Con base en la expresión A.2.17 y con el fin de normalizar la forma estructural, ambos lados en la ecuación se multiplican por Γ 1: YΓ + XB + U 0

(A.2.17)

1 1 1 Y ΓΓ Γ 1 XBΓ UΓ 0 I

0

1

Y XBΓ UΓ

1

0

(A.2.18)

1 Y XB UΓ 1 Γ Xπ

V

Y X π+ V

Esta última expresión se conoce como la forma reducida del sistema de ecuaciones simultáneas. Al estimar el sistema por medio de MCO obtiene: MCO (X ' X) 1 (X ' Y) π

(A.2.19)


102

Anexo 2.3. Estimación por MC2E En forma matricial es posible obtener el estimador de MC2E fácilmente. Suponga un modelo completo con dos ecuaciones estructurales y un conjunto de variables exógenas ( Xi 1 y Xi 2 ) para cada una (v. ecuaciones A.2.20 y A.2.21). Yi1 β 0 β1Yi 2 β2 Xi1 U i 1 Yi 1 H δ U i 1 β0 δ β1 y H= 1 Yi 2 β 2

(A.2.20) Xi1

Yi 2 = D1Yi 1 + D2 Xi 2 + Ui 2

(A.2.21)

A partir de lo anterior, suponiendo que se desea encontrar los estimadores de la primera ecuación del modelo, debe realizarse la primera etapa del proceso, donde Y2 es función de las variables exógenas del sistema (v. ecuación A.2.22). Yi2 X π V

(A.2.22)

En la ecuación A.2.22 X es una matriz que incluye todas las variables exógenas del modelo usadas para explicar la variable endógena. El estimador de MCO de S se presenta en la ecuación A.2.23. MCO (X ' X) 1 (X ' Yi 2 ) π

(A.2.23)

i2 X π X(X ' X) 1 X ' Yi 2 , Px n n X(X ' X ) 1 X ' Y

(A.2.24)

i2 para la segunda De lo anterior se obtienen los valores estimados Y etapa. Al calcular el estimador mediante MCO en este segundo paso y al reemplazar la expresión A.2.23, se obtiene el estimador general de MC2E βMC 2 E para una ecuación específica (A.2.20) en el sistema de dos ecuaciones. De acuerdo con las condiciones de orden y rango, si se encuentra exactamente identificada en la ecuación correspondiente, se utiliza el estimador de dos etapas de la ecuación A.2.25. Sin embargo, si la ecuación se encuentra sobreidentificada, debe emplearse MC2E de la forma A.2.26. El mismo procedimiento deberá continuarse para establecer el estimador de MC2E de la ecuación A.2.21.


(

βMC 2 E = H ' éëX( X ' X )-1 X ùû H

) (H ' éëX (X 'X ) -1

-1

X ùû Y1

103

)

-1 Dado que éë(H ' X ) (X ' X )-1 ùû éë(H 'X ) ( X ' X ) ùû = I , entonces (A.2.25) 1

-1 βMC 2 E = ( X ' H ) ( X ' Y1 )

(

βMC 2 E = H ' éëX( X ' X )-1 X ùû H

) (H ' éëX(X 'X ) -1

-1

X ùû Y1

)

βMC 2 E = [H ' X( X ' X )-1 X ' H]-1 (H ' X )(X 'X )-1 X ' Y1

(A.2.26)

Para determinar si los estimadores son insesgados hay que obtener el valor esperado de la expresión βMC 2 E y establecer que el estimador corresponda al parámetro poblacional (v. ecuación A.2.27). La prueba es presentada a continuación: βMC 2 E = [H ' X( X ' X) -1 X ' H] -1( H ' X)( X ' X) -1 X ' Y1 E éë βMC 2 E ùû = E éë[H ' X( X ' X) -1 X ' H] -1 ( H ' X)( X ' X) -1 X ' Y1 ùû -1 E éë βMC 2 E ùû = E éë éëH ' X( X ' X) -1 X ' H ùû (H ' X)( X ' X) -1 X' (Hβ + U )ùû

é éH ' X( X ' X) -1 X ' H ù -1 (H ' X)( X ' X) -1 X ' Hβ + ù ë û ú E éë β MC 2 E ùû = E ê ê éH ' X( X ' X) -1 X ' H ù -1 ( H ' X)( X ' X )-1 X ' U ú ë û ë û

(A.2.27)

E éë βMC 2 E ùû = E éë β + éëH ' X(X ' X )-1 X ' H ùû ( H ' X)(X ' X )-1 X ' U ùû -1

E éë βMC 2 E ùû = β dado que X' U = 0

Lo anterior muestra de manera general el procedimiento necesario para encontrar directamente los estimadores de MC2E en el contexto de ecuaciones simultáneas. Este resultado puede generalizarse fácilmente para un modelo de M ecuaciones.

Anexo 2.4. Estimación por MC3E Suponga un modelo estructural como el siguente: y = Yγ + X β + U y = Zδ + U

(A.2.28)


104

A continuación se muestra la representación extendida de las matrices y los vectores que aparecen en A.2.28.

é1 ê. ê ê1 ê ê0 ê. Z=ê ê. ê0 ê ê0 ê. ê êë0

X12 . X1k Y12 . Y1m 0 . . . . . . . 0 . Xn 2 . Xnk Yn 2 . Ynm 0 . 0 . . . . 0 1 X12

. . . .

. .

. 0 . .

0 . 0 0 . . . . 0 0 . . X1k Y11 . Y1m . . . . . . . . Xnk Yn1 . Ynm . 0 . . . 0 . .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

. .

.

.

. .

. .

. . . . . . . . .

. . 0 . . . . . . 1 Xn 2 . . . 0 0 . .

. .

. . . .

. . 0 0 . . . . . .

. .

. .

. .

. .

0 . 1 X12 . X1k 0 . . . . .

0 . .

. . 0 0 .

.

.

.

.

0 . 1 Xn 2 . Xnk

.

. . 0ù . . . ú ú . . . ú ú . . . ú . . . ú ú . . 0ú . . . ú ú Yn1 . Y1mú . . . úú Yn1 . Ynmúû

[ n ´ M ] ´ [ k + m]

El número de filas de la matriz Z = [YX] corresponde al total de observaciones (n) multiplicado por el número de ecuaciones en el sistema (M); el número de columnas es la suma de cada una de la variables exógenas (k) y endógenas (m) en cada ecuación del sistema (por eso k ≠ K y m ≠ M ). Por su parte, y corresponde al vector normalizado de la forma estructural (razón por la cual y z Y1 de MC2E y por esto es importante diferenciar estos dos vectores en tamaño, contenido y forma de conformación dado que MC3E estima todo el sistema simultáneamente, mientras que MC2E estima cada ecuación del sistema individualmente), G al vector de parámetros del sistema estructural y U al término de error. El tamaño y el contenido de estos últimos pueden apreciarse en la descripción de cada matriz y vector.

FUNDAMENTOS DE ECONOMETRÍA INTERMEDIA: TEORÍA Y APLICACIONES MC 3 E Z ' δ

1

⊗ Px n n Z Z' MM

1

1 MM

⊗ Px n n y

105

(A.2.29)

se encuentra expresado en la ecuación El estimador de MC3E 2 A.2.29, donde es la matriz cuadrada de varianza ( σ i ) y covarianza ( σ ij ) de los errores estimados U i y U j en cada ecuación mediante MC2E (v. ecuaciones A.2.30 y A.2.31), Px n × n es la matriz extraída de la forma reducida en la primera etapa y ⊗ es el producto de Kronecker (v. Greene, 1999, cap. 2).

6

(

)

2 σ 11 … σ 1 M

2 σ M 1 σ MM M M

(A.2.30)

(A.2.31)

Anexo 2.5. Estimación mediante SUR Yi 1 = β 0 + β1 Xi 1 + + U i 1 . . . YiM = α0 + α1 XiK + + U iM

(A.2.32)

Y Xβ U

(A.2.33)

106


El número de filas de la matriz X equivale al total de observaciones (n) multiplicado por el número de ecuaciones en el sistema (M) y el número de columnas es la suma de cada una de la variables exógenas en cada ecuación del sistema (k) y por eso k ≠ K . Por su parte, Y corresponde al vector de variables endógenas para cada ecuación de la forma estructural, E al vector de parámetros del sistema estructural y U al término de error. El tamaño y el contenido de estos últimos pueden apreciarse en la descripción de cada matriz y vector. βSUR X '

1

⊗ InM nM X X' MM

1

1 MM

⊗ InM nM Y

(A.2.34)

El estimador SUR βSUR se encuentra expresado en la ecuación A.2.34, 2 donde 6 es la matriz cuadrada de varianza σ i y covarianza σ ij de los i y U j en cada ecuación mediante MCO (v. ecuaerrores estimados U ciones A.2.35 y A.2.36), I es una matriz identidad y ⊗ es el producto de Kronecker (v. Greene, 1999, cap. 2).

(

)

2 σ 11 … σ 1 M

2 σ M 1 σ MM M M

(A.2.35)

(A.2.36)

3

MODELOS DE PROBABILIDAD: LINEAL, PROBIT Y LOGIT

3.1. Introducción

U

na vez abarcado el tratamiento de endogenidad y simultaneidad en los capítulos anteriores, a continuación se discuten los modelos de regresión probabilísticos en un contexto de corte transversal, caracterizados por que su variable dependiente es discreta o binaria con valores de cero y uno.1 Éstos difieren en su estimación e interpretación de los resultados clásicos obtenidos mediante MCO. En este capítulo se presentan las metodologías, la pertinencia, las ventajas y las desventajas de los modelos de probabilidad lineal (MPL), logit y probit, que se emplean en economía para explicar el comportamiento individual de los agentes, el consumo de bienes durables y para analizar los desequilibrios. Igualmente, éstos tienen aplicaciones en datos de corte transversal, series de tiempo y datos en panel. A partir de lo anterior, inicialmente se estudia el MPL utilizando MCO. Posteriormente se estudian los modelos logit y probit, estimados mediante máxima verosimilitud (MV). El objetivo principal de cada uno es encontrar la probabilidad de que un acontecimiento suceda dado un conjunto de variables explicativas.2

1 Las variables binarias se caracterizan por registrar únicamente dos opciones mutuamente excluyentes entre sí. Por ejemplo, una variable que indica si una persona está empleada o no. 2

Los modelos de corte transversal clásicos tienen como objetivo estimar el valor esperado de la variable explicada dadas las explicativas E (Yi Xi 1 , Xi 2 , Xi 3 ,..., Xik ) o la probabilidad de que Y = 1 , es decir, P (Yi = 1 Xi 1 , Xi 2 , Xi 3 ,..., Xik ) .

(

107

)

108


Finalmente, los fundamentos teóricos de las funciones probabilísticas se ilustran con dos estudios de caso. El primero se basa en la información del artículo de Bernal (2009), titulado The Informal Labor Market in Colombia: Identification and Characterization, cuyo propósito es identificar los determinantes del trabajo informal en Colombia. El segundo emplea la base de datos del artículo de Sánchez et ál. (2008), titulado Land Conflict, Property Rights, and the Rise of the Export Economy in Colombia, 1850-1925, el cual pretende explicar la baja integración institucional entre la economía colombiana y el mercado internacional a finales del siglo XIX.3

3.2. Modelo de probabilidad lineal 3.2.1. Estimación del modelo de probabilidad lineal El MPL se basa en los supuestos del modelo clásico de regresión lineal y es la primera forma de estimar funciones con variable dependiente binaria. Este método permite entender las particularidades de los modelos probabilísticos (v. ecuación 3.1). Y = Xβ + U

(3.1)

En la ecuación 3.1 Y es un vector que toma los valores 0 y 1 y describe la variable dependiente (v. anexo 3.1 para ver detallamente los elementos y los tamaños de las matrices), X es una matriz de variables explicativas del modelo, E el conjunto de coeficientes y U el vector de errores. A partir de la ecuación 3.1, el principal objetivo del MPL es estimar por MCO el valor esperado de la variable dependiente dados los valores de X. Como Y es una variable discreta, el resultado equivale a la probabilidad condicional dados los valores de X (Gujarati, 2003: 563). E( Y |X ) = Xβ = P( Y = 1|X )

(3.2)

Teniendo en cuenta lo anterior, la ecuación 3.2 muestra la relación existente entre cada variable (X j ) en la matriz X y la probabilidad de que ocurra el evento relacionado con la representación Y = 1. Igualmente, como la probabilidad es un valor entre cero y uno, las predicciones de Y deberán estar en este intervalo (v. ecuación 3.3). 0 ≤ E( Y |X ) ≤ 1

3

(3.3)

Para otra aplicación del tema véanse Perdomo (2010; 2011) y Peñaranda et ál. (2012).


109

Si la condición 3.3 se cumple, el vector de estimadores βMCO captura el cambio marginal en la probabilidad de éxito, teniendo en cuenta los cambios en las variables X j . Desafortunadamente el método de probabilidad lineal generalmente incumple esta restricción, lo que conduce a problemas de inferencia y a dificultades para las conclusiones.

3.2.1. Problemas en el modelo de probabilidad lineal A partir de la sección anterior se puede afirmar que mediante MCO es posible encontrar estimadores insesgados para el MPL, siempre y cuando se cumplan los supuestos del modelo de regresión lineal clásico. No obstante, existen tres principales problemas bajo esta aproximación. En primer lugar, los errores tienen una distribución de Bernoulli (binomial). Considerando la característica binaria de la variable dependiente (v. ecuación 3.4 a partir de los residuales estimados de la ecuación 3.1), se tiene que: Y Xβ U

(3.4)

i = 1 - X β Si Yi = 1, entonces U i

(3.5)

i = -X β Si Yi = 0 , entonces U i

(3.6)

Para un individuo i se tiene:

i del vector Así, las ecuaciones 3.5 y 3.6 muestran cada elemento U de errores estimado ( U ), los cuales toman únicamente dos valores , razón por la cual tienen una distribución Bernoulli. Por lo tanto, las estimaciones por MCO incumplen el supuesto de distribución normal del error, que es importante para poder hacer inferencias estadísticas (pruebas de significancia individual y global).

Como consecuencia de ello, resulta inadecuado formular un modelo lineal para describir el comportamiento de una variable dependiente binaria. Sin embargo, es importante destacar que esta dificultad no es crítica, porque los estimadores siguen siendo insesgados y, a medida que pueda ser aumentada la muestra, la distribución de Bernoulli tiende asintóticamente a una normal (prueba basada en el límite central; Gujarati, 2003: 564). Adicionalmente, el incumplimiento del supuesto de homoscedasticidad se convierte en el segundo inconveniente del modelo de probabilidad lineal, generado por la distribución de los residuales (v. anexo 3.3). Cuando se incumple este supuesto se produce un sesgo del error están-


110

dar del estimador, el cual es utilizado para efectuar pruebas de significancia individual. Este problema tampoco es crítico porque puede tratarse mediante estimaciones robustas y mínimos cuadrados generalizados (MCG). Finalmente, el efecto marginal sobre la probabilidad es constante para cualquier valor de X. Éste es el aspecto más criticado del modelo debido a que los valores predichos de la variable dependiente generalmente no se sitúan en el intervalo [0,1] como en la ecuación 3.3 (v. gráfica 3.1), lo cual es ilógico en un modelo de probabilidad. Además, dicha condición es compleja de mantener suponiendo un efecto marginal variable desde el punto de vista teórico. GRÁFICA 3.1.

Estimación del MPL

1,5

Probabilidad

1

0,5

0

-0,5 -2

-1

x Y

0

1

2

Y estimada (MPL)

Por lo anterior, para modelar relaciones económicas donde la variable dependiente es binaria, resulta adecuado alejarse del enfoque de MCO y optar por metodologías que mitiguen las falencias presentadas. En este contexto se introducen a continuación los modelos logit y probit basados en una estimación mediante MV, método alternativo que permite que los residuales se distribuyan de otra forma distinta a la normal, como lo requieren los modelos probabilísticos.


111

3.3. Modelos logit y probit Una vez identificados los principales problemas del MPL, se contemplan métodos alternativos con el fin de obtener estimaciones acordes con los modelos probabilísticos, es decir, estimaciones cuya probabilidad estimada se encuentre entre cero y uno. Para esto se requieren predicciones no lineales, por lo cual los nuevos modelos tienen las siguientes características: 1.

Presentan incrementos de Pi (Yi = 1|Xij ) dentro del intervalo [0,1] cuando aumenta la variable Xij .4

2.

Existe una relación no lineal entre Pi y Xij porque las observaciones tienden ajustarse en forma de s como lo muestra la siguiente gráfica5 (Greene, 2000: 815).

GRÁFICA 3.2.

Diferencia teórica entre logit y probit Probabilidad (Y)

–

+

0,5

Variables explicativas Logit

Probit

La gráfica 3.2 presenta un mejor ajuste respecto a las predicciones en la gráfica 3.1 (derivadas del MPL). Asimismo, los valores de X β están en el intervalo ( −∞ , +∞ ) mientras que las estimaciones están en el intervalo 4

Los subíndices i, j hacen referencia a las observaciones y a las variables, respectivamente.

5 Esta forma es similar a la función de distribución acumulada (FDA), la cual representa la probabilidad de que una variable aleatoria (X) tome un valor menor o igual que X0 , donde X0 es algún valor especificado de X.

112


[0,1]. Igualmente, la probabilidad de que ocurra un evento no se encuentra linealmente relacionada con X β . Por consiguiente, se emplea una especificación distinta a la trabajada en los capítulos anteriores, con el fin de entender cómo funcionan estos modelos. Así, la probabilidad está determinada por una función no lineal, denotada como F (v. ecuación 3.7). P( Y = 1|X ) = F (X β)

(3.7)

En la ecuación 3.7, F (X β ) denota la relación denominada modelo base (o index model en inglés), que toma valores en un intervalo abierto (0,1), es decir, –0 < F ( Xβ) < 1, para todo X β Î 6 por el tipo de respuesta condicionada P( Y = 1|X ) 7 (Wooldridge, 2002: 457). Adicionalmente, la forma específica de F(⋅) puede derivarse mediante un modelo de variable dependiente no observada o latente (v. ecuación 3.8). Y * = X β + U con Y = 1 si Y * > 0

(3.8)

Por consiguiente, en la ecuación 3.8 Y * es conocida como variable latente, Y como la variable binaria observada con valores de cero o uno, X como una matriz que contiene todas las variables explicativas del sistema y U como el vector de errores. Así, con la relación entre Y * y Y puede deducirse la probabilidad de éxito para un evento, la cual está determinada de la siguiente forma: P( Y = 1|X ) = P( Y * > 0|X ) = P(U > -X β|X )

(3.9)

P (U > -X β|X ) = 1 - F ( -X β) = F (X β)

(3.10)

De este modo, el equivalente a la ecuación 3.7 está representado por las expresiones 3.9 y 3.10, cuyo resultado genera una relación teórica entre X y Y * . Dado que Y * no es observada, es imposible evaluar esta relación mediante el modelo clásico de regresión lineal.8 Por esta razón, los modelos logit y probit permiten una mejor aproximación a la variable observada binaria Y.

6

Los elementos de XE pertenecen a los números reales.

7

Para los modelos econométricos F(⋅) es una FDA.

8

Para más detalles véase Wooldridge (2002: 457).


113

3.3.1. Definición del modelo logit El modelo logit, basado en la función de probabilidad logística acumulada porque supone una distribución logística en los residuales del modelo con variable latente, es el método más utilizado para estimar apropiadamente modelos probabilísticos (v. ecuación 3.11). P( Y = 1|X ) = F (X β) =

eXβ [1 + e X β ]

(3.11)

La ecuación 3.11 presenta la función de distribución logística no lineal. La función describe la probabilidad de que pueda presentarse un evento ( Y = 1). De este forma, y como muestra la gráfica 3.3, el modelo logit se ajusta a lo enunciado anteriormente, esto es, genera estimaciones que se encuentran en el intervalo [0,1]. GRÁFICA 3.3.

Modelo logit

La gráfica 3.3 representa la función de distribución acumulativa logística en forma de s como la gráfica 3.2 (Gujarati, 2003: 575). Ahora, al comparar las estimaciones del MPL con las del logit, se esperan distintos resultados cuando: 1.

Existen pocas observaciones que representen la respuesta Y = 1 o Y = 0.

2.

Existe gran variabilidad en una variable independiente.

114


Por esta razón se introduce a continuación otro método para estimar modelos probabilísticos, el modelo probit, reconociendo sus semejanzas y diferencias con otras alternativas de predicción, su pertinencia y su técnica de estimación.

3.3.2. Definición del modelo probit Una vez consideradas las particularidades del modelo logit, en esta sección se especifica el modelo probit (también conocido como normit) con el fin de identificar sus similitudes y diferencias con otros modelos probabilísticos. Este modelo supone que los errores tienen una distribución normal. Por lo anterior, la función de probabilidad está dada por: Xβ

P( Y 1|X ) F Xβ φ( z)dz φ X β

φ X β

1 2π

e

( X β)2

(3.12)

2

La ecuación 3.12 presenta la función de distribución acumulada normal estándar (z) no lineal que describe la probabilidad de que pueda presentarse un evento ( Y = 1). El modelo probit, al igual que el logit, produce estimaciones que se encuentran en el intervalo [0,1] (v. gráfica 3.4). GRÁFICA 3.4.

Modelo probit


115

Sin embargo, la diferencia con el modelo logit está dada por el extremo ligeramente más angosto de la distribución normal (v. gráfica 3.4). Esto significa que la probabilidad condicional se aproxima a cero más rápidamente (Greene, 2000: 815). Hasta ahora se ha discutido la especificación de los modelos logit y probit, pero no su estrategia de estimación. Por consiguiente, a continuación se introduce el concepto de estimación por MV y su importancia dentro de los modelos probabilísticos.

3.3.3. Estimación por máxima verosimilitud Teniendo en cuenta la definición de logit y probit, esta sección discute la técnica de MV utilizada para derivar los estimadores poblacionales desconocidos de estos modelos probabilísticos. Al igual que MCO, este procedimiento permite encontrar un vector de estimadores β para un modelo de regresión. A diferencia de MCO, esta técnica facilita el uso de modelos no lineales para estimar los parámetros, como los expuestos anteriormente. En este sentido, el punto de partida es contar con un modelo probabilístico general definido por: P Y y F y , β

(3.13)

donde Y corresponde a una variable aleatoria, y a un valor específico de esta variable y E a un vector de parámetros. De esta manera, el principal objetivo es encontrar la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor igual o inferior al establecido por y (llamado umbral). Con base en los principios básicos de estadística matemática, lo anterior puede resolverse con una función de densidad de probabilidad f (⋅) para la variable aleatoria, evaluando el valor de z en la distribución acumulada de probabilidad F(⋅) asociada a esta densidad. En general, la ecuación anterior permite calcular las probabilidades de que ocurran determinados valores de la variable aleatoria Y a partir de una distribución de probabilidad conocida, cuya forma exacta está determinada por el vector E. Para llevar esto a cabo es necesario conocer el tipo de distribución y el valor de los parámetros. Sin embargo, cuando se usa MV se toma el camino inverso, pues se trata de encontrar el valor de los parámetros (E, en este caso desconocidos) suponiendo la distribución de probabilidad a partir de un conjunto de valores observados (p) de la variable aleatoria en consideración (Yp ) . De esta manera, la verosimilitud es contraria a la especificación tradicional de probabilidad de la ecuación 3.13.

116


Para un valor observado particular ( yi ) de Y se define la función de verosimilitud como una relación matemática para establecer la posibilidad de que yi provenga de una densidad de probabilidad subyacente caracterizada por E (v. ecuación 3.14). De esta manera, el valor máximo de esta función con respecto a E indica los parámetros más verosímiles (o aceptables) que pudieron generar los valores observados de Y. l β, y f y, β

(3.14)

Para un conjunto de valores observados de la variable de interés p = y1 , y 2 ,..., yi ) y suponiendo independencia entre cada elemento, la función de verosimilitud es la multiplicación de cada función de verosimilitud individual, es decir, la función de verosimilitud para cada valor observado (v. ecuación 3.15).

(Y

(3.15) Para el caso particular de los modelos logit y probit se considera la siguiente función de probabilidad conjunta: n

L β L β , Y G Y |x'i ; β

(3.16)

i 1

En este orden de ideas, la ecuación 3.16 representa la función de verosimilitud para una muestra de n observaciones, definida como el producto ( representa el operador de producto) de las funciones de densidad de cada uno de los individuos (i = 1, 2,…, n), donde G Yi |x'i ; β f x'i β , caracterizada por una ecuación binomial (v. ecuaciones 3.17 y 3.18): G Yi |x 'i ; β P Yi 1|x'i P Yi 0|x'i Yi

G Yi |x 'i ; β F x'i β 1 F x'i β Yi

1 Yi

1 Yi

(3.17) (3.18)

Adicionalmente, cuando se cuenta con observaciones independientes, el cálculo de la función de verosimilitud en la que interviene el producto de las probabilidades individuales se trabaja con el logaritmo natural ln de la función para simplificar los valores esperados y las varianzas. Esto también facilita el procedimiento matemático para encontrar soluciones numéricas sin alterar los valores de E. Por último, sus valores en logaritmo serán negativos debido a los resultados menores que uno, obtenidos del producto de probabilidades en la función de verosimilitud (v. ecuaciones 3.19 y 3.20).


117

(3.19) (3.20) No obstante, para encontrar los estimadores de MV es necesario dericon respecto a E (v. anexo 3.4 para detallar los elementos, var los tamaños matriciales y las condiciones de primer orden). Para obtener el vector estimado de interés β, la función de verosimilitud debe ser estrictamente cóncava (Gourieroux, 2000: 12) con el fin de conseguir un máximo global de . Los estimadores serán eficientes (de varianza mínima), insesgados y consistentes siempre y cuando la muestra empleada resulte suficientemente grande y se cumpla el supuesto de independencia condicional. Así, a partir de lo anterior es posible utilizar MV para llevar a cabo la estimación de modelos probabilísticos específicos (v. anexo 3.4) partiendo de la ecuación 3.20, utilizando la función de densidad acumulada no lineal en los parámetros asociados a los modelos logit y probit, y considerando algoritmos numéricos o métodos matemáticos para encontrar los estimadores a partir de las condiciones de primer orden (Gourieroux, 2000: 13). Una vez derivadas las estimaciones por MV, es necesario recalcar algunas particularidades de esta técnica. En primer lugar, el resultado obtenido difiere del encontrado con MCO dado que los parámetros no son lineales en los modelos logit y probit y que la distribución de los residuales es distinta. En segundo lugar, estos modelos difieren de MCO en la estimación de la varianza del estimador para hacer pruebas de hipótesis. En este caso, el inverso negativo de la segunda derivada de la función de verosimilitud se utiliza como aproximación de la varianza. Esta diferencia también exige la utilización de un estadístico alternativo para el análisis de significancia individual (prueba de Wald), que tiene una distribución normal estándar (Z). Para la prueba de significancia global se utiliza el estadístico de razón de verosimilitud, calculado como el cociente entre el valor de la función de verosimilitud bajo la hipótesis nula y su valor bajo la alterna. Este estadístico también se emplea para probar la significancia individual y en varios casos es preferible a la prueba de Wald, pues no requiere la aproximación de la varianza. El estadístico calculado de esta forma tiene una distribución ji cuadrada 2 con q número de restricciones F q .

( )

118


En tercer lugar, la varianza de los modelos probabilísticos por naturaleza mantiene el problema de heteroscedasticidad identificado en el MPL (v. anexo 3.5) y estimarlos mediante MV no necesariamente soluciona el problema. Por lo tanto, es importante corregirlo usando MCG o estimaciones con errores estándar robustos. Finalmente, aun cuando las funciones mantienen funciones de distribución distintas sobre los residuales, los modelos logit y probit están estrechamente relacionados dado que sus funciones de distribución acumulada son parecidas, lo que permite comparar sus estimadores. Así, la distribución logística tiene una variación de S 2 3 y, por lo tanto, en la media βlogit 1.6 β probit (Greene, 1999: 755).

3.3.4. Pruebas de significancia Con respecto a las estimaciones de MV es posible hacer análisis estadísticos mediante la comparación de modelos, con lo cual es posible determinar la dependencia global entre las variables explicativas y la variable dependiente binaria en la función de interés (una vez determinados los estimadores y los dos modelos que se quiere contrastar). Como ejemplo se especifica un modelo con dos variables explicativas ( Xi 1 y Xi 2 ) de la siguiente forma: Modelo sin restricción: P (Yi = 1|X ) = F ( E0 + E1 Xi 1 + E 2 Xi 2 )

(3.21)

Modelo con restricción: P (Yi = 1) = F ( E0 )

(3.22)

La ecuación 3.21 se refiere al modelo no restringido o inicial que se estimará por MV, mientras que la ecuación 3.22 representa un modelo restringido caracterizado por no contar con las variables explicativas. Para realizar la comparación entre los estimadores se utiliza una prueba de hipótesis que compara las funciones lineales de los parámetros de cada uno de los modelos (v. ecuación 3.23). H 0 : E1 = E 2 = ... = E k = 0 Los coeficientes no son significativos conjuntamente. H1 : E j ≠ 0 Los coeficientes son significativos conjuntamente (al menos uno es diferente de cero).

(3.23)


119

Dado que las funciones de densidad de probabilidad no tienen una distribución normal, como en los modelos de regresión lineal, los estadísticos de la prueba de hipótesis son distintos a las pruebas t o F. Por lo tanto, se emplea la razón de verosimilitud (RV) descrita en la siguiente ecuación: RV = 2 ( lNR − lR ) ∼ F q2

(3.24)

Donde RV se conoce como el cociente o razón de verosimilitud (likelihood ratio en inglés), lNR es el logaritmo natural de la función de verosimilitud no restringida9 y lR es el logaritmo natural de la función de verosimilitud del modelo restringido.10 Por su parte, q se refiere al número de restricciones y F 2 a la distribución ji cuadrada. La forma de interpretar la prueba es comparando el estadístico RV con el valor crítico (o tabulado) F q2 . Si RV > F q2 debe rechazarse la hipótesis nula, es decir, se puede afirmar que las variables independientes en conjunto son importantes para explicar el comportamiento de la variable dependiente binaria.

3.3.5. Efectos marginales Los estimadores obtenidos mediante MV carecen de interpretación porque los modelos no son lineales en los parámetros. Para definirlos es necesario obtener los efectos marginales y las elasticidades derivando parcialmente la probabilidad con respecto a la variable independiente evaluada en su valor promedio (v. ecuación 3.25). ∂P(Y = 1|X ) ∂E(Y |X ) ∂F (X β ) = = = f (X β ) β i ∂Xij ∂Xij ∂Xij

(3.25)

La ecuación 3.25 muestra el cambio marginal para cualquier función probabilística logit o probit, pero sus resultados difieren según el modelo logístico y el normal estándar (v. anexo 3.6). No obstante, su interpretación consiste en el efecto que tiene un cambio de una unidad de Xij sobre la probabilidad de que se presente el evento determinado, manteniendo constantes las demás variables explicativas.

9

10

( ) ln ( L ( E )R ) .

ln L ( E )NR .

120


3.3.6. Bondad de ajuste En los modelos logit y probit el coeficiente de determinación ( R 2 ) difiere del convencional derivado de MCO porque sus estimadores son obtenidos a partir de MV. Por esta razón es necesario usar el pseudo R2 (o R2 de McFadden) y el porcentaje de predicciones correctas como indicadores de la bondad de ajuste para los modelos probabilísticos (Gujarati, 2003: 584). 3.3.6.1. Pseudo R2 o R2 de McFadden

El pseudo R2 o ajuste de un modelo probabilístico se calcula de la siguiente forma: Rp2 = 1 −

lNR lR

(3.26)

En la ecuación 3.26 lNR es igual al máximo del logaritmo natural de la función de verosimilitud (FV) del modelo no restringido y lR al logaritmo natural de la FV del modelo restringido. Estos valores se obtienen estimando cada modelo como se señaló en las ecuaciones 3.21 y 3.22. El resultado es interpretado de forma similar al R2 convencional de MCO, aunque no se debe sobrevalorar la importancia de éste en modelos cuya variable dependiente es binaria (Gujarati, 2003: 585). 3.3.6.2. Ajuste del modelo: porcentaje de predicciones correctas

El porcentaje de predicciones correctas es otra medida para establecer si las estimaciones se ajustan a los datos observados. Este procedimiento consiste en comparar las probabilidades estimadas con los valores observados. Por consiguiente, si F x'i β 0.5 y coincide con su valor observado Yi = 1, estas predicciones son correctas, al igual que cuando F x 'i β 0.5 y sus observaciones son Yi = 0 . No obstante, si el valor pronosticado no se ajusta al observado (F x'i β 0.5 cuando Yi = 0 o F x'i β 0.5 cuando Yi = 1) la probabilidad estimada es incorrecta ( n2 + n3 ). Así, el número total de aciertos ( n1 + n4 ) sobre el tamaño de la muestra (N) multiplicado por 100 es el porcentaje de predicciones correctas (PPC) del modelo (v. ecuación 3.27 y cuadro 3.1). PPC =

n1 + n4 * 100 N

(3.27)


121

Cuadro de predicciones correctas Estimado

Observado

=0 Y

=1 Y

Total

Y=0

n1

n2

n1 + n2

Y=1

n3

n4

n3 + n4

Total

n1 + n3

n2 + n4

N

Una vez expuestas las principales generalidades de los modelos probabilísticos, a continuación se retoman los problemas de sesgo de especificación por variable omitida y de endogenidad en las funciones logit y probit cuando se incumple el supuesto de independencia condicional en las estimaciones de MV. También se presentará su respectivo tratamiento con variables instrumentales como fue explicado en el capítulo 1.

3.3.7. Omisión de variables y endogenidad en modelos con variable dependiente binaria Después de tratar la especificación y la estimación de los modelos con variable dependiente binaria, el desarrollo de pruebas de hipótesis sobre sus coeficientes, el cálculo de los efectos marginales y el uso de criterios de bondad de ajuste, resulta conveniente determinar las implicaciones de omitir variables independientes teóricamente relevantes y del problema de endogenidad en estos modelos. Lo anterior se origina por el incumplimiento del supuesto de independencia condicional o correlación entre una o más variables independientes y el término de error. Aunque estos temas se analizan para ambos modelos, logit y probit, se hace hincapié en el segundo debido a la facilidad de su planteamiento. A continuación se definen de forma introductoria y se discuten sus consecuencias y las estrategias que permiten remediarlos. Para un tratamiento más riguroso del tema pueden consultarse las distintas referencias que se mencionan en esta sección. 3.3.7.1. Omisión de variables independientes teóricamente relevantes

Al igual que en el caso de la función de regresión lineal (v. cap. 1), la omisión de variables teóricamente relevantes en un modelo probabilístico puede tener consecuencias sobre los estimadores calculados mediante MV y las pruebas de hipótesis realizadas a partir de los resultados. Así, para formalizar lo anterior, considere un modelo probit con una matriz

122


X compuesta por k variables explicativas teóricamente relevantes y una matriz de factores no observados (c) acompañados de sus respectivos parámetros (J), como se muestra en la siguiente ecuación. P( Y 1) F X β c γ

(3.28)

El modelo anterior puede reescribirse en función de una variable latente no observada (v. ecuación 3.29). Por consiguiente, los factores no observables c γ y el error del modelo (U) ahora hacen parte de un nuevo residual compuesto ( U * ), como se puede ver en la siguiente ecuación. Y * X β c γ U con Y = 1 si Y * > 0

(3.29)

U*

En este sentido, estimar la ecuación 3.29 mediante MV lleva a estimadores β sesgados e inconsistentes como en el modelo clásico de regresión (v. anexo 3.7). No obstante, la magnitud de los coeficientes no tiene una interpretación económica y el sesgo no modifica ni el signo ni los efectos marginales evaluados en la media. Así, cuando el propósito es estimar el signo de la relación entre la variable dependiente y las independientes o el cambio en la probabilidad de que se presente un evento, el uso de los coeficientes sesgados de esta forma no es problemático (Wooldridge, 2002: 471). 3.3.7.2. Endogenidad

Si alguna de las variables omitidas está correlacionada con una o más variables independientes en la ecuación 3.29, dichas variables serán endógenas. Por consiguiente, el problema de endogenidad es esencialmente el mismo que afecta al MPL y ocurre a causa del incumplimiento del supuesto de independencia condicional (v. cap. 1). Considerando lo anterior, y a diferencia del sesgo por omisión de variables relevantes, los coeficientes del modelo son sesgados y no se pueden utilizar para inferir las relaciones entre la variable dependiente y las independientes ni para calcular los efectos marginales. Igualmente, la metodología para solucionar y detectar el problema de endogenidad en un modelo probabilístico es la misma que en MCO (es decir, se utilizan variables instrumentales). No obstante, en este caso la metodología apropiada no es MC2E (porque depende del tipo de variables dependiente y endógenas consideradas). En este caso existen tres procesos diferenciados que requieren un procedimiento metodológico ligeramente distinto, los cuales se discuten a continuación.


123

Caso 1

El primer caso es un modelo de regresión lineal múltiple cuya variable dependiente es continua y presenta un problema de endogenidad. Esta situación es relevante para los modelos que buscan evaluar el impacto de una política pública y cuya variable independiente es binaria, para lo cual el modelo general es estimado mediante MCO. No obstante, en estos casos también se deben usar modelos probabilísticos (logit o probit) con el fin de modelar el comportamiento de la variable endógena. Considere como ejemplo un modelo de regresión definido por la ecuación 3.30, donde la variable dependiente Yi es continua y no binaria, Xi1* es una variable independiente endógena binaria ( Cov ( Xi*1i , U i ) ≠ 0 ) y Xi 2 ,..., Xik son variables exógenas. Yi = E 0 + E1 Xi*1 + E 2 Xi 2 + + E k Xik + U i

(3.30)

Para estimar correctamente el modelo de la ecuación 3.30 y encontrar coeficientes insesgados, es necesario contar con al menos una variable instrumental ( Zi1 ) cualitativa o cuantitativa que explique la variable endógena binaria (Xi1* ). Así, las variables instrumentales hacen posible estimar P (Xi1* = 1) mediante un modelo no lineal (v. ecuación 3.31). P ( Xi*1 = 1) = F ( S0 + S1 Zi 1 + S 2 Xi 2 + + S k Xik )

(3.31)

La ecuación 3.31 pretende explicar el comportamiento de la variable endógena en función de las variables explicativas exógenas del modelo inicial en 3.30 y el instrumento ( Zi1 ). Los coeficientes de este modelo se denotan como S0 , S1 ,..., S k , que, una vez calculados mediante MV, permiten verificar fácilmente la relevancia de los instrumentos mediante las pruebas de significancia individual. *i 1 ) con un modelo logit o probit se reemLas probabilidades estimadas ( X plazan por la variable binaria endógena de la ecuación 3.30 y nuevamente se hace la regresión mediante MCO (v. cap. 1). En términos generales, esta metodología consta de los siguientes pasos:

1.

Estimar un modelo probabilístico (probit) como regresión auxiliar donde la variable binaria endógena ( X * ) se explique a partir de las exógenas del modelo estructural y al menos un instrumento.

2.

A partir de los resultados del paso anterior, realizar una prueba de significancia parcial sobre el coeficiente que acompaña la variable instrumental, con el fin de determinar la relevancia del instrumento.


124

3.

Si el instrumento es relevante, calcular las probabilidades estimadas ( X * = 1). de la variable endógena P

4.

Con esta información, estimar una segunda regresión auxiliar donde la variable binaria endógena ( X * ) se explique a partir de las exógenas ( X * = 1)) del modelo estructural y de las probabilidades estimadas ( P que actúan como instrumentos.

5.

Calcular nuevamente los valores estimados de la variable endógena (X * ) a partir de la segunda regresión auxiliar.

6.

Finalmente, remplazar en el modelo inicial la información observada para la variable endógena ( X * ) por la estimada en el paso anterior (X * ) y estimar los coeficientes por MCO.

Este procedimiento permite obtener coeficientes insesgados del modelo inicial, así como errores estándar válidos y eficientes que permiten realizar pruebas de hipótesis confiables para los coeficientes calculados. En caso de que no se cumpla el supuesto de homoscedasticidad, conviene calcular el modelo con errores estándar robustos (Wooldridge, 2002: 623). Caso 2

En este caso se considera un modelo general probabilístico o con variable dependiente binaria cuya variable explicativa endógena es continua. Formalmente, se tendría un conjunto de ecuaciones de la siguiente forma: P (Yi = 1) = F ( E 0 + E1 Xi*1 + E 2 Xi 2 + + E k Xik )

(3.32)

Xi*1 = π 0 + π1 Zi 1 + π 2 Xi 2 + + π k Xik + υi

(3.33)

La ecuación 3.32 representa el modelo de interés, donde P(Yi = 1) denota la probabilidad que tiene la variable binaria (Yi ) de ser igual a uno. Xi1* es la variable continua endógena y Xi 2 , Xi 3 ,..., Xik son las variables exógenas relevantes. La ecuación 3.33 es una regresión auxiliar que describe el comportamiento de la variable endógena (Xi1* ) a partir de una variable instrumental continua o discreta ( Zi1 ) y las variables exógenas del modelo inicial. Por su parte, E0 , E1 ,..., E k son los coeficientes del modelo de interés y S0 , S1 ,..., S k son los del modelo auxiliar.


125

En este caso la estimación de la ecuación 3.32 debe ser realizada mediante MV con un modelo logit o probit, mientras que la regresión auxiliar se desarrolla como un modelo lineal. En términos generales, la metodología que se utiliza para obtener coeficientes insesgados puede resumirse en los siguientes pasos: 1.

2. 3.

Estimar la ecuación 3.33 mediante MCO, donde la variable endógena ( X * ) se explica a partir de las exógenas del modelo estructural y al menos un instrumento. Esto se conoce como la primera etapa de esta metodología. Si el instrumento es relevante, obtener los residuales υ i del modelo estimado en el paso anterior. Efectuar la segunda etapa en la que se estima la ecuación 3.32 por MV con un modelo probit que incluya como regresor adicional los residuales de la regresión auxiliar obtenidos en el paso dos.

Una ventaja de este procedimiento es que posibilita verificar estadísticamente y de manera directa el supuesto de endogenidad generado por X * . Esto se consigue analizando los resultados de la regresión y evaluando la significancia parcial de los residuales υ i incluidos en la segunda etapa. Así, cuando los errores son estadísticamente significativos se evidencia la endogenidad de X * . Otra aproximación consiste en utilizar una estimación conjunta de las ecuaciones 3.32 y 3.33 por MV. En esta alternativa los estimadores tienen mayor eficiencia (Wooldridge, 2002: 476). Caso 3

En este último caso el modelo está caracterizado por una variable dependiente binaria y una variable independiente binaria endógena. Esto significa que el modelo tendría la siguiente forma: P (Yi = 1) = F ( E 0 + E1 Xi*1 + E 2 Xi 2 + + E k Xik )

(3.34)

P ( Xi*1 = 1) = F ( S0 + S1 Zi 1 + S 2 Xi 2 + + S k Xik )

(3.35)

En este caso, a diferencia de los anteriores, no es posible realizar la estimación en varias etapas, por lo que resulta necesario estimar ambos modelos conjuntamente mediante MV con un modelo probit bivariado. Por la complejidad de esta metodología se remite al lector a Wooldridge (2002: 477).

126


Una vez expuestas las diferentes metodologías relevantes para los modelos que tienen una variable dependiente binaria, en los que se estima a partir de un conjunto de variables explicativas la probabilidad de que un evento determinado ocurra, a continuación se expone su aplicación mediante dos estudios de caso desarrollados en el programa estadístico Stata.

3.4. Estudio de caso: mercado de trabajo informal en Colombia El caso empírico que se desarrolla a continuación está basado en el artículo de Bernal (2009) titulado The Informal Labor Market in Colombia: Identification and Characterization. Este trabajo evalúa los determinantes del trabajo informal en el mercado laboral colombiano. Para entender el enfoque del artículo es indispensable definir primero el empleo informal. Éste se refiere al trabajo no reportado y que evade la regulación formal y deja a los participantes desprotegidos y vulnerables. Con base en esta definición, el estudio quiere identificar la naturaleza de la informalidad en Colombia y las características personales y sociodemográficas del grupo de personas que se encuentran realizando trabajos informales. El propósito del artículo es entender los motivos e incentivos que tienen los trabajadores para pertenecer al sistema de trabajo formal. En esta sección se estimarán los determinantes de la informalidad en Colombia siguiendo las metodologías de los modelos probabilísticos como el MPL, el logit y el probit, con base en el módulo de informalidad aplicado por el DANE en la Encuesta Continua de Hogares (ECH). El modelo empírico que se estudiará tiene la siguiente especificación: Y Xβ U

(3.36)

donde Y es el vector de la variable dependiente binaria que toma el valor de uno si representa informalidad y de cero en caso contrario. X es la matriz de variables que caracterizan la informalidad y U es el término de error de la regresión. A continuación se presenta todo el desarrollo que lleva a los resultados esperados de los modelos probabilísticos.

3.4.1. Análisis general de los datos 1.

En Stata se determina la memoria con la que se va a cargar la base de datos. Esto se consigue con el comando set mem. Para este ejercicio se utiliza una memoria de 500m tal como se ve en la figura 3.1, debido al tamaño de la información con que se trabaja.


127

Después de definir la memoria del sistema se carga la base de datos. Ésta hace parte de la información que utilizó Bernal (2009) y lleva el nombre capitulo3.dta. La información hace referencia a la ECH para el año 2006 entre agosto y diciembre. 2.

FIGURA 3.1.

Para observar las variables que se encuentran disponibles para el ejercicio, se usa el comando describe o des. Este comando hace que Stata muestre un cuadro con la lista de las variables que se encuentran en la base, el formato en que están guardadas y una descripción de cada una (v. figura 3.1). Salida de los comandos set mem, use y des

128


En la figura 3.1 se observa que la base cuenta con 318,104 observaciones y 61 variables disponibles para realizar las metodologías pertinentes en cada caso. En el cuadro 3.2 se presentan las variables según la notación de la ecuación 3.36. CUADRO 3.2. Variable del modelo

3.

Variables que se utilizan en el modelo Variables en la base

Descripción

Y

informal

Es una variable binaria que toma el valor de uno cuando se cumplen las características de informalidad y de cero en caso contrario.

X

hombre edad_15_18 edad_19_24 edad_25_44 edad_45_mas jefehogar conyuge hijo nieto otro_pariente cabecera educ_primaria educ_secundaria educ_superior indigena afrocolombiano quintil_1 indepte_otros

Conjunto de variables explicativas. Todas son variables binarias que toman el valor de uno si se cumple la característica descrita en el nombre de la variable y de cero en caso contrario.

Antes de estimar la regresión lineal es necesario observar las estadísticas descriptivas de las variables que se van a utilizar. El comando summary o sum presenta un cuadro con el número de observaciones, la media, la desviación estándar, el mínimo y el máximo de las variables que aparecen en el cuadro 3.2 (v. figura 3.2).

3.4.2. Estimación del modelo de probabilidad lineal Después de conocer la información necesaria para las estimaciones se puede desarrollar el ejercicio empírico propuesto por Bernal (2009). El objetivo es estimar la ecuación 3.36 a mediante el MPL con las variables del cuadro 3.2. Para esto es necesario seguir los siguientes pasos: 1.

Se usa el comando reg en Stata seguido de la variable dependiente y las explicativas. Al utilizar este comando se está estimando una regresión lineal (v. figura 3.3, p. 130).


129

Salida del comando sum

Los resultados de la figura 3.3 indican que ser joven, estar en el quintil más bajo de ingreso, ser afrocolombiano o independiente aumentan la probabilidad de ser informal, en comparación con las personas que no tienen esas características. Tener mayor educación, ser hombre o tener edad media disminuyen en promedio 35.5, 2.7 y 8.6 puntos porcentuales, respectivamente, la probabilidad de estar en la informalidad en comparación con los individuos que no presentan dichas características. Ahora bien, estas primeras conclusiones deben mirarse con cautela, como se mencionó en la sección 3.2, puesto que las estimaciones por MPL pueden presentar errores, ya sea porque las predicciones del modelo no se ajustan al rango de probabilidad o porque existen problemas de heteroscedasticidad.

130

FIGURA 3.3.

2.


Salida de la regresión del MPL

Para detectar dichos errores es necesario revisar las predicciones del MPL. Para ello se utiliza el comando predict seguido del nombre con el que se crea la nueva variable predicha (v. figura 3.4). En la figura 3.4 se evidencian las falencias descritas en la sección 3.3.1, dado que las predicciones de la variable dependiente resultan alejadas del intervalo [0,1]. Lo anterior sugiere que el MPL no se ajusta bien a los requerimientos del modelo de Bernal (2009).


131

Salida de las predicciones del MPL

3.

Antes de introducir nuevas metodologías para derivar resultados satisfactorios, es pertinente hacer una prueba de heteroscedasticidad para el modelo 3.36. Esta prueba se hace con el comando estat hett luego de haber realizado la regresión. La figura 3.5 muestra el resultado de la prueba que evalúa la hipótesis nula de varianza constante (homoscedasticidad), contra la hipótesis alterna que dice que la varianza no es constante (heteroscedasticidad). En el modelo 3.36 se rechaza la hipótesis nula con un valor p de 0.000 y se concluye que hay heteroscedasticidad. Por consiguiente, es necesario volver a estimar el modelo con errores estándar robustos (opción robust después del comando reg) o utilizar otras metodologías que garanticen estimaciones precisas y eficientes que generen conclusiones favorables para la investigación.

132

FIGURA 3.5.


Salida de la prueba de heteroscedasticidad con el comando estat hett

3.4.3. Estimación del modelo probit Después de advertir los problemas del MPL, en esta sección se llevará a cabo una nueva estimación de la ecuación 3.36, utilizando esta vez el modelo probit. Como se estudió en la sección 3.3.2, esta metodología garantiza que las estimaciones estén en el rango [0,1] y cumplan los requerimientos de los modelos probabilísticos. A continuación se presentan los pasos para conseguir los resultados de este modelo: 1.

El comando en Stata para realizar la estimación del modelo 3.36 con esta metodología es probit, seguido de las variables del modelo tal y como se muestra en la figura 3.6.


133

Salida de la regresión del modelo probit

La figura 3.6 muestra las inconsistencias que se presentaban en la estimación del MPL. En los primeros grupos de edad que se tienen en cuenta los estimadores cambian de signo positivo a negativo y pasan a ser estadísticamente significativos dado que el valor p de la prueba de significancia Z es 0.000. En este caso el pseduo R2 tiene el valor de 0.37. 2.

Los coeficientes que muestra la figura 3.6 no pueden interpretarse de la misma manera que los estimados por MPL. Para conocer los efectos marginales del modelo probit se utiliza el comando mfx justo después del resultado de la estimación (v. figura 3.7).

134


A partir de los resultados de la figura 3.7 se pueden derivar conclusiones sobre los cambios marginales en el modelo de informalidad que se está trabajando en esta sección. Por ejemplo, ser afrocolombiano aumenta la probabilidad de ser informal en 2 puntos básicos en comparación con las personas que no lo son.11 FIGURA 3.7.

11

Salida de los efectos marginales del modelo probit con el comando mfx

Para las demás variables explicativas la interpretación es similar.


135

3.4.4. Estimación del modelo logit El modelo 3.46 puede ser estimado también por medio del modelo logit. En esta sección se presenta el proceso de estimación con esta técnica y se comparan las dos metodologías. A continuación se presentan los pasos para conseguir los resultados de este modelo: 1.

FIGURA 3.8.

La estimación de la ecuación 3.36 se consigue utilizando el comando logit seguido por la variable dependiente y las explicativas. Los resultados del procedimiento anterior se exponen en la figura 3.8. Salida de la regresión del modelo logit

136


La figura 3.8 muestra los resultados de la estimación del modelo logit, que resultan similares a los que se mostraron en la figura 3.6 en lo que tiene que ver con los signos, aunque existen algunas diferencias en la magnitud de los coeficientes. La significancia estadística de las variables del modelo es la misma, puesto que los valores p tienen un valor de 0.00. El ajuste del modelo también se mantiene en 0.37. 2.

Al igual que en el modelo probit, para poder interpretar los resultados es indispensable conocer los efectos marginales. Para este fin se utiliza el comando mfx después de la estimación, tal y como se hizo anteriormente. La figura 3.9 muestra los efectos marginales derivados de la estimación de un modelo logit. Los coeficientes de las figuras 3.9 y 3.7 no son tan diferentes. A partir de esto se pueden derivar conclusiones similares con respecto a los determinantes de la informalidad en el mercado laboral colombiano. Bernal (2009) utilizó el modelo logit para realizar las primeras aproximaciones a los determinantes de la informalidad en Colombia. Según lo obtenido en la figura 3.9, los hombres tienen 2 puntos porcentuales menos de probabilidad de ser informales en comparación con las mujeres. Por su parte, los trabajadores mayores tienen una menor expectativa de ser informales que los trabajadores jóvenes. Los trabajadores urbanos tienen 6 puntos porcentuales menos de probabilidad de ser informales que los trabajadores rurales.12 Por último, se puede ver que estos dos métodos solucionan los problemas de la estimación por MPL, especialmente en lo que concierne a las predicciones de los modelos probabilísticos (v. figura 3.10, p. 138). La figura 3.10 muestra que las predicciones del MPL resultan distantes de las de probit y logit. Las estimaciones de los modelos logit y probit se encuentran dentro del intervalo [0,1], mientras que las del MPL están por fuera de dicho intervalo. Por lo tanto, las estimaciones de los modelos probit y logit resultan más propicias cuando se trabaja con variables dependientes binarias.

12

El resto de variables explicativas del modelo se pueden interpretar de la misma forma.


137

Salida de los efectos marginales del modelo logit con el comando mfx

3.

Para finalizar es necesario estimar el número de predicciones correctas del modelo que se escoja. De acuerdo con lo anterior, y siguiendo las estimaciones de Bernal (2009), se utilizará la estimación logit para encontrar el porcentaje de predicciones correctas. Para esto es necesario tabular la variable dependiente observada con la predicha mediante el método expuesto en la sección 3.3.6 de la siguiente forma (v. figura 3.11, p. 139): a.

Se escoge el método con el cual se realizarán las estimaciones finales del modelo. En este ejercicio se utiliza el modelo logit.

b.

Se realiza la estimación tal y como se vio en las figuras 3.8 y 3.9.


138

FIGURA 3.10.

Salida de las predicciones de MPL, probit y logit

c.

Luego se predice la variable dependiente con el comando predict y el nombre de la variable predicha, que en este ejercicio se llamará informallogit.

d.

Se genera una variable con la siguiente condición: si la variable dependiente predicha es mayor que 0.5 tome el valor de 1 y de 0 en caso contrario. Esto se realiza con el comando gen y la condición if.

e.

Posteriormente se deben cambiar los puntos por ceros, puesto que la variable creada sólo tiene los unos dentro de las casillas de las variables. Esto se consigue con el comando recode seguido por el nombre de la variable del paso anterior y adicionalmente .=0.

f.

Por último se tabulan los resultados de la variable observada y la predicha con las condiciones de los dos pasos anteriores. El comando para tabular es tab seguido de las variables de interés.


139

Salida del porcentaje de predicciones correctas

El cuadro que aparece al final de la figura 3.11 muestra el porcentaje de predicciones correctas del modelo logit. Para obtener el ajuste del modelo se tiene en cuenta la información de las casillas (0,0) y (1,1) tal y como se sugiere en la ecuación 3.36. Los resultados del modelo que utilizó Bernal (2009) muestran que el 82.8% de predicciones son correctas, con lo que se puede decir que las conclusiones derivadas de la figura 3.9 tienen suficiente validez.

140


3.5. Estudio de caso: derechos de propiedad en Colombia e integración al mercado mundial Una vez expuesta la aplicación de las diferentes metodologías relacionadas con los modelos de probabilidad lineal, logit y probit simples, a continuación se extiende el uso de estos modelos a los contextos en que se desea detectar y remediar las causas y las consecuencias de los problemas de endogenidad. Con este fin se utilizan los datos del estudio titulado Land Conflict, Property Rights, and the Rise of the Export Economy in Colombia, 1850-1925 de Sánchez et ál. (2008). El artículo pretende mostrar econométricamente que la debilidad de los derechos de propiedad en la frontera de colonización agrícola colombiana condujo a una baja integración económica entre el país y los mercados mundiales a finales del siglo XIX. De acuerdo con los autores, la segunda mitad del siglo XIX se caracterizó por un rápido crecimiento económico mundial y una expansión significativa del comercio entre países. Latinoamérica no fue ajena a este fenómeno y países como Brasil, Argentina y Chile aumentaron significativamente su producción y sus exportaciones. No obstante, en Colombia las exportaciones crecieron por debajo del promedio mundial. El bajo desempeño del país usualmente es explicado por factores externos como ciclos de precios internacionales desfavorables y una baja demanda de los productos locales en el mercado exterior. Sin embargo, en este artículo Sánchez et ál. (2008) tratan de establecer que la baja integración fue el resultado de factores internos y no externos, como la mala calidad institucional en algunas regiones de Colombia. De esta forma, los autores argumentan que la falta de derechos de propiedad formales en las zonas agrícolas alejadas del centro de la nación y las oportunidades de altos ingreso provenientes de una coyuntura mundial apropiada, causaron conflictos por el control de la tierra entre campesinos y terratenientes. Estos enfrentamientos impactaron negativamente el desempeño económico de estas zonas, llevando a una producción exportable menor que la potencial. Para probar la hipótesis anterior se especifica un modelo econométrico (v. ecuación 3.37), dada la información con la que cuentan los autores sobre los indicadores geográficos (distancia a las principales ciudades, ríos, altitud, entre otros) y la producción exportable de 760 municipios


141

colombianos en 1892. Esta relación teórica general permite mostrar la aplicación y el funcionamiento de las diversas metodologías en torno al tema de endogenidad presentadas en este capítulo. BienesExportablesi βo β 1ConflictoTierrasi X δ ei

(3.37)

En la ecuación 3.37 BienesExportablesi corresponde a una variable que captura la producción de productos exportables en el municipio i durante 1892 y ConflictoTierrasi es la variable de interés que captura si existe evidencia de conflictos por la propiedad de la tierra en un determinado municipio. Para los diferentes modelos que se exponen a continuación, estas variables pueden ser binarias en algunos casos y continuas en otros. Por último, X corresponde a una matriz de variables de control (con su respectivo vector de coeficientes G) relacionadas con la geografía del municipio (v. cuadro 3.3). CUADRO 3.3. Variable del modelo

Variables empleadas en el modelo y su descripción Variables en la base

Descripción

lpibpc_exp_1892 d_exp_92

Logaritmo del PIB per cápita de bienes exportables producidos en el municipio i en 1892 (variable continua). Variable binaria igual a uno si hay evidencia de producción de bienes exportables en el municipio i .

conflicto_27_1917 d_conflic_27_1917

Número de conflictos por la propiedad en el municipio i (variable continua). Variable binaria igual a uno si hay evidencia de conflictos por la propiedad en el municipio i .

X

laltura, lind_fertilidad, lprecipitac, lrios, ltemperatura, lhumedad, d_magdalena, d_cauca, dist_barranq, dist_ buenaven, dist_bogota, dist_cali

Variables geográficas: altitud, fertilidad, precipitación promedio, existencia de ríos, temperatura promedio, índice de humedad, distancia desde el municipio hasta los ríos Magdalena y Cauca y hasta las ciudades de Barranquilla, Buenaventura, Bogotá y Cali.

Instrumentos

inf_indios_1560, inf_esclavos_1800, d_esclavos_mas80

Variables binarias iguales a uno si en el municipio existían encomiendas en 1560, centros productivos o más de 80 esclavos en 1800.

BienesExportablesi

ConflictoTierrasi

142


Para comprobar el cumplimiento de la hipótesis de los autores, E1 debe resultar estadísticamente diferente de cero y con signo negativo, dado que teóricamente se espera una menor producción exportable como consecuencia de mayores conflictos por la tierra. Sin embargo, el cumplimiento de esta hipótesis no es fácil de probar mediante un modelo lineal o de probabilidad simple (dependiendo de si BienesExportablesi es continua o binaria), puesto que cualquier variable que capture la existencia de conflictos por derechos de propiedad teóricamente es endógena. En particular, el número de conflictos se relaciona con los retornos esperados y la existencia de derechos informales de propiedad, variables que no se encuentran en el modelo. Para superar este inconveniente, Sánchez et ál. (2008) sugieren usar como variable instrumental la distancia entre el municipio y los centros de poder coloniales. De acuerdo con los autores, existe una relación inequívoca entre la calidad institucional y la distancia de los centros de mando gubernamentales tradicionales de la región.

3.5.1. Análisis general de los datos En esta primera sección se expone el uso de Stata para el análisis econométrico y se realiza una exploración general de la base de datos, incluyendo una descripción de las variables relevantes utilizadas en el modelo. Este tipo de sondeo es relevante porque permite familiarizarse con los datos y conocer su calidad y consistencia. El procedimiento en Stata es el siguiente: 1.

Determinar la memoria del sistema mediante el comando set memory o set mem. Cuando se desconoce con exactitud el tamaño de la base de datos puede asignarse 500m de memoria al programa. Esto debería ser suficiente para cargar prácticamente cualquier base.

2.

Cargar la base de datos, cuyo nombre es mercado_tierras_sept.dta con el comando use (v. figura 3.12).

3.

Para observar el nombre y la descripción de las variables disponibles se utiliza el comando describe o des. La salida muestra el formato en que están guardadas las variables (v. figura 3.13, p. 144). En este caso, existen 760 observaciones y 131 variables, de las cuales sólo se emplean 19 (v. cuadro 3.3). La descripción de las variables no está disponible, aunque los nombres de cada una indican claramente su contenido.


4.

143

Salida de los comandos set memory y use

Antes de estimar el modelo es necesario observar las estadísticas descriptivas de las variables relevantes. Para eso se utiliza el comando summary o sum, que presenta una tabla con el número de observaciones, la media, la desviación estándar, el valor mínimo y el máximo de cada variable. En este caso sólo aparecen aquellas que se encuentran explícitamente en el modelo (v. figura 3.14, p. 145).

3.5.2. Estimación de los modelos probabilísticos con variables instrumentales cuando la variable dependiente es continua y la endógena binaria Una vez descritos los datos, puede darse paso a ilustrar el funcionamiento de las diferentes metodologías tratadas en este capítulo. Suponga que se desea estimar la relación teórica planteada en la ecuación 3.37 con un modelo que tiene una variable dependiente continua (lpibpc_exp_1892)

144

FIGURA 3.13.



y una variable explicativa binaria que captura la existencia de conflictos por la propiedad de la tierra (d_conflic_27_1917). El modelo quedaría definido como se muestra en la siguiente ecuación: lpibpc _ exp _ 1892 i βo β 1 d _ conflic _ 27 _ 1917 i Xδ ei

(3.38)

De acuerdo con lo expuesto en la introducción, posiblemente existe endogenidad en la especificación anterior. Por esto resulta necesario estimar el ejercicio utilizando variables instrumentales. Tal como se mencionó anteriormente, la base de datos contiene variables que representan la ubicación de cada municipio con respecto a un conjunto de centros institucionales coloniales (encomiendas y centros productivos con presencia de más de 20 esclavos en 1800) útiles como instrumentos. De acuerdo con esto puede plantearse una regresión probabilística auxiliar que explique la variable binaria a partir de los instrumentos y las variables exógenas (v. ecuación 3.39). P d _ conflic _ 27 _ 1917 i 1 F Z π X γ υi

(3.39)


145


En la ecuación 3.39, d _ conflic _ 27_1917 corresponde a la variable endógena, Z corresponde a un vector con los diferentes instrumentos (inf_indios_1560, inf_esclavos_1800 y d_esclavos_mas80, v. cuadro 3.3) y X contiene las variables exógenas del modelo inicial. El vector S corresponde a los coeficientes de los instrumentos y J a los coeficientes de las variables geográficas. 1.

Para calcular los coeficientes de interés en este caso, en primer lugar es necesario estimar la regresión auxiliar mediante el comando probit. Debe listarse en primer lugar la variable dependiente seguida de las variables independientes y de los instrumentos.

2.

A continuación deben obtenerse las probabilidades predichas según el modelo con el comando predict (v. figura 3.15). En este caso, las probabilidades que calcula el modelo quedarán guardadas en una nueva variable con el nombre confli_hat.

146

FIGURA 3.15.


Salida de la regresión auxiliar

Los tres instrumentos usados en esta regresión auxiliar resultan significativos individualmente con estadísticos Z de -1.71, -1.91 y 1.68, y conjuntamente con un LR de 128.19. Lo anterior indica su relevancia y por esto pueden ser considerados buenos instrumentos (v. cap. 1). 3.

Finalmente se estima el modelo inicial con el comando ivreg utilizado en el capítulo 1. Deben listarse en orden la variable dependiente, las independientes y la endógena binaria, indicando que como instrumento se utilizará la predicción obtenida en el paso anterior (v. figura 3.16). En la segunda etapa (v. figura 3.16) se observa que el coeficiente que acompaña la variable ConflictoTierrasi tiene ahora el signo esperado y es significativo, con un estadístico t de -2.50 y un valor p de 0.013. Este resultado confirmaría la hipótesis central de los autores de este documento.


4.

147

Salida de la segunda etapa

Es posible probar la existencia de endogenidad mediante la prueba de Hausman (v. cap. 1). Para esto es necesario estimar el modelo inicial por MCO y VI (guardando cada regresión con el comando estimates store), para luego comparar estadísticamente los estimadores con el comando hausman con la opción sigmamore (v. figura 3.17).

2 El estadístico F reportado en la figura 3.17 como chi2(1) tiene un valor de 10.05, razón por la que se rechaza la hipótesis nula de exogenidad con un valor p de 0.0015%. En conclusión, es posible afirmar que el modelo inicial es endógeno.

Como se conoce que este estimador es confiable, puede afirmarse a partir de este modelo que existe evidencia estadística para explicar la baja integración de Colombia a los mercados mundiales como resultado de la mala calidad institucional de ciertas regiones. A continuación se prueba nuevamente la hipótesis con modelos alternativos.

148

FIGURA 3.17.



3.5.3. Estimación de modelos probabilísticos con variables instrumentales cuando la variable dependiente es binaria y la endógena continua Suponga que ahora desea estimar la relación teórica expuesta en la ecuación 3.37 con un modelo alternativo que cuenta con una variable dependiente binaria (d_exp_92) y una variable endógena continua (conflicto_27_1917). El modelo quedaría definido de la siguiente manera: P d _ exp _ 92 i 1 F βo β 1 conflicto _ 27 _ 1917 i Xδ ei

(3.40)


149

Al igual que en el caso anterior, aquí también existe endogenidad, por lo que es un requisito estimar el ejercicio utilizando variables instrumentales. En este caso la regresión auxiliar es lineal, dado que en el modelo la variable endógena es continua (v. ecuación 3.41). conflicto _ 27 _ 1917 i Z π X γ υi

(3.41)

En la ecuación 3.41 conflicto _ 27_1917i corresponde a la variable endógena, Z corresponde al vector con los diferentes instrumentos (inf_indios_1560, inf_esclavos_1800 y d_esclavos_mas80, v. cuadro 3.3) y X contiene las variables exógenas del modelo inicial. El vector S corresponde a los coeficientes de los instrumentos y J a los de las variables geográficas. Para calcular el modelo 3.40 basta con estimar la regresión probabilística mediante el comando ivprobit. Aquí deben listarse en orden la variable dependiente, las independientes y las endógenas con sus respectivos instrumentos (v. figura 3.18). Este comando estimará automáticamente ambas etapas. FIGURA 3.18.

Salida de la regresión por ivprobit

150


En la figura 3.18 se observa que el coeficiente que acompaña la variable ConflictoTierrasi es negativo y estadísticamente significativo, con un estadístico Z de -15.77 y un valor p de 0.000. Al igual que en el caso anterior, este resultado confirma la hipótesis central del documento. Tal y como sucede con el modelo probit sin instrumentar, la magnitud de los coeficientes calculados de esta forma no se interpreta directamente. Si se desea obtener el cambio en la probabilidad dado un movimiento de alguna variable explicativa, es necesario obtener los efectos marginales. Esto se consigue escribiendo mfx después de la regresión (v. figura 3.19). Al igual que en el modelo estimado en la sección 3.5.2, este nuevo modelo comprueba la hipótesis inicial de los autores: la mala calidad institucional en la frontera de colonización agrícola del país se vio reflejada en la aparición de conflictos por el control de las tierras, lo que a su vez generó una baja integración de Colombia a los mercados mundiales a finales del siglo XIX. FIGURA 3.19.

Cálculo de los efectos marginales después de un ivprobit


151

3.5.4. Estimación de modelos probabilísticos con variables instrumentales cuando la variable dependiente y la endógena son binarias Considere ahora un tercer modelo para explicar la relación teórica expuesta anteriormente (v. ecuación 3.42) en el que la variable dependiente y la endógena son binarias (d_exp_92 y d_conflic_27_1917). Este modelo es doblemente probabilístico como lo muestran las ecuaciones 3.42 y 3.43. P d _ exp _ 92 i 1 F βo β 1 d _ conflic _ 27 _ 1917 i Xδ ei

(3.42)

P d _ conflic _ 27 _ 1917 i 1 F Z π X γ υi

(3.43)

La ecuación 3.42 representa un modelo que explica la probabilidad que tiene un municipio de ser exportador ( P( d _ exp _ 92i = 1)) en función de sus características observadas y de la variable binaria que captura la existencia de conflictos. Asimismo, en la ecuación 3.43 se modela el comportamiento de la variable endógena a partir del vector Z que contiene los diferentes instrumentos (inf_indios_1560, inf_esclavos_1800 y d_esclavos_ mas80, v. cuadro 3.3) y a partir de las variables exógenas del modelo inicial (X). Para estimar este modelo teniendo en cuenta la existencia de endogenidad no es posible realizar una estimación en dos etapas (v. sección 3.3.7). En este caso es necesario implementar una estrategia que modele estas dos decisiones simultáneamente mediante una única función de verosimilitud. Para calcular los coeficientes en este caso basta con estimar ambos modelos probabilísticos simultáneamente mediante el comando biprobit. Aquí deben listarse ambas ecuaciones en paréntesis. En cada una deben listarse en orden la variable dependiente, las independientes y las endógenas (v. figura 3.20). La operación anterior calcula la estimación de todo el modelo. En la figura 3.20 se observa que hay dos bloques de estimaciones: uno corresponde a los coeficientes calculados para la ecuación 3.42 y el otro a los coeficientes calculados para la ecuación 3.33. El coeficiente que acompaña la variable ConflictoTierrasi (en el segundo bloque) es negativo y estadísticamente significativo, con un estadístico Z de -4.15 y valor p de 0.000. Al igual que en los casos anteriores, este resultado confirma la hipótesis central del documento.

152


Puede afirmarse entonces que existe evidencia estadística que prueba que la hipótesis inicial se cumple. La baja integración de Colombia a los mercados mundiales a finales del siglo XIX fue el resultado de la mala calidad institucional que se vio reflejada en la aparición de conflictos por el control de las tierras en la frontera de colonización agrícola del país. FIGURA 3.20.

Salida de la regresión por biprobit

Resumen s

%LAN´LISISDELOSMODELOSPROBABILÄSTICOSEXIGENUEVASHERRAMIENTAS econométricas. Esto sugiere que los supuestos del modelo básico de MCO, que tienen que ver con la distribución de los errores, no se cumplen en estos casos.

s

%L-0,TRATALOSMODELOSPROBABILÄSTICOSODEVARIABLEDEPENDIENTE limitada con el modelo lineal clásico. Los modelos caracterizados por tener una variable dependiente binaria presentan problemas


153

cuando se estiman por MCO: el término del error no tiene una distribución normal, su varianza es heteroscedástica, las estimaciones pueden estar por fuera del intervalo [0,1] y se supone una relación lineal entre la variable dependiente y las explicativas. s

%L MODELO LOGIT SE BASA EN LA FUNCIÍN DE PROBABILIDAD LOGÄSTICA acumulada que no es lineal. Por su parte, el modelo probit (o normit) se basa en la función de probabilidad normal acumulada.

s

,A ESTIMACIÍN DE MODELOS LOGIT Y PROBIT SE REALIZA MEDIANTE -6 que es un procedimiento estadístico que supone que los datos se comportan según un modelo matemático definido por una ecuación en la que se desconoce alguno de sus parámetros. Los cuales se estiman a partir de la información obtenida en un modelo econométrico diseñado para tal fin.

s

$ADOQUELASECUACIONESDE-6ASOCIADASCONLOSMODELOSPROBIT y logit no son lineales en los parámetros, no es trivial encontrar expresiones analíticas que resuelvan el sistema. Por consiguiente, es necesario utilizar algoritmos numéricos o métodos matemáticos para encontrar los parámetros del modelo.

s

$OSMEDIDASBUENASPARAESTABLECERSILASESTIMACIONESSEAJUSTANA los datos observados son el pseudo R2 y el porcentaje de predicciones correctas.

s

,A OMISIÍN DE VARIABLES INDEPENDIENTES RELEVANTES Y LOS PROBLEmas de endogenidad generan sesgos en los estimadores calculados mediante MV.


Suponga que el MPL sirve para ajustar una serie de observaciones de una variable Y que toma valores de cero y uno, y cuenta con una única variable independiente X. Obtenga la expresión exacta de la pendiente por medio de MCO en términos de la media y la varianza de X. Interprete los resultados.

2.

Suponga que la función de probabilidad acumulada de una variable aleatoria logística tiene la forma: F( X ) =

1 1 + e−X


154

a.

A partir de lo anterior, use el hecho de que F ’(X ) = f (X ) para mostrar que la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria logística es: f (t) =

b. 3.

e−X

(1 + e − X ) 2

Muestre que f (X ) = F(X ) [1 − F(X )] .

Para una variable de respuesta binaria Y, sea Y la proporción de unos en la muestra. Sea N0 el porcentaje de respuestas predichas correctamente para Y = 0 y N1 el porcentaje de respuestas predichas correctamente para Y = 1. Si PPC es el porcentaje total de respuestas predichas correctamente, demuestre que PPC es el promedio ponderado de N0 y N1 descrito por la siguiente ecuación: PPC = (1 − Y ) N0 + (Y ) N1


Anexo 3 Anexo 3.1. Definición matricial del modelo de probabilidad lineal La expresión matricial del MPL, cuya variable dependiente (Y) toma únicamente dos valores (cero o uno), es la siguiente: Y Xβ U

(A.3.1)

que equivale a:

(A.3.2)

La ecuación A.3.2 muestra los elementos y los tamaños de las matrices (n representa el total de observaciones y k la cantidad de variables independientes) en la ecuación A.3.1. X es una matriz que contiene las variables independientes (X1 , X2 ,..., X j ,..., X k ), Y es el vector de observaciones de la variable dependiente cuyos elementos son cero y uno (Y1 , Y2 ,..., Yn ), E es el vector de coeficientes que acompañan su respectiva variable explicativa y U es el vector de errores o residuales.


155

Anexo 3.2. Generalidades del modelo de probabilidad lineal A partir de una ecuación de regresión de probabilidad lineal simple como Yi = E 0 + E1 Xi 1 + Ui y suponiendo que E[Ui ] = 0 (para obtener estimadores insesgados), puede calcularse el valor esperado de Yi dados los valores de Xi1 como lo muestra la siguiente ecuación: E (Yi = 1|Xi 1 ) = E 0 + E1 Xi 1

(A.3.3)

Como Yi es una variable binaria, la ecuación A.3.3 define la probabilidad condicional de que pueda presentarse el evento Yi = 1 dado Xi1 . En este sentido, Pi y 1 − Pi son definidos equivalentemente a las probabilidades cuando Yi = 1 y Yi = 0 , respectivamente. Esto hace que Yi tenga una distribución de probabilidad binomial. Por consiguiente, y de acuerdo con la definición de esperanza matemática (E), se tiene: E (Yi ) = 0 (1 − Pi ) + 1 ( Pi ) = Pi

(A.3.4)

Por consiguiente, cuando se igualan la esperanza condicional de la ecuación A.3.3 y la probabilidad condicional de A.3.4, la representación es la siguiente: E (Yi X1i ) = E 0 + E1 X1i = Pi CUADRO A.3.1.

(A.3.5)

Equivalencias de probabilidad

Yi

Ui

Probabilidad

Esperanza condicional

1

1 − E 0 − E1 X i 1

Pi

Pi = β0 + β1Xi 1

0

− E 0 − E1 xi

1 − Pi

1 − Pi = 1 − E0 − E1Xi 1

La ecuación A.3.5 muestra la probabilidad de que suceda algún evento dado un conjunto de variables explicativas, mientras que el cuadro A.3.1 presenta los equivalentes para los residuales (Ui) y la probabilidad ( Pi ) cuando Yi = 1 y Yi = 0. Las ecuaciones A.3.6 y A.3.7 exponen por qué E[Ui ] = 0, con una distribución de Bernoulli (binomial) para el residual (Ui ). E (Ui ) = (1)Pi + (0) (1 − Pi )

(A.3.6)

A partir de las equivalencias en el cuadro A.3.1 es posible reescribir la ecuación A.3.6 como A.3.7. E (Ui ) = (1 − E 0 − E1 Xi 1 ) ( E 0 + E1 Xi 1 ) + ( − E 0 − E1 xi ) (1 − E 0 − E1 Xi 1 ) = 0

(A.3.7)


156

Anexo 3.3. Prueba de heteroscedasticidad para MPL A partir de las equivalencias del cuadro A.3.1 y de la definición de varianza E ⎡⎣Ui2 ⎤⎦ para una función de distribución binomial es posible escribir lo siguiente:

(

)

E (Ui2 ) = (1 − E 0 − E1Xi 1 ) Pi + ( − E 0 − E1Xi 1 ) (1 − Pi ) 2

2

(A.3.8)

E (Ui2 ) = (1 − E 0 − E1 Xi 1 ) ( E 0 + E1 Xi 1 ) + ( − E 0 − E1 Xi 1 ) (1 − E 0 − E1 Xi 1 ) (A.3.9) 2

2

E (Ui2 ) = (1 − E 0 − E1 Xi 1 ) ( E 0 + E1 Xi 1 )

(A.3.10)

E (Ui2 ) = V i2 = (1 − Pi ) Pi

(A.3.11)

Por lo tanto, es posible afirmar que hay heteroscedasticidad en el modelo. La ecuación A.3.11 hace evidente la heteroscedasticidad dado que la varianza se encuentra condicionada a las probabilidades o variables independientes.

Anexo 3.4. Función de verosimilitud matricial y condiciones de primer orden en la estimación de modelos logit y probit La expresión matricial del logaritmo de la función de verosimilitud general para un modelo logit o probit, cuya variable dependiente (Y) toma únicamente los valores cero y uno, está definida por A.3.12 y A.3.13. Yi 1 Yi n ln L β ln F x'i β 1 F x'i β i 1 n

(A.3.12)

ln L β Yi ln F x 'i β 1 Yi ln 1 F x'i β

i 1

(A.3.13)

La representación extendida de los vectores anteriores es la siguiente:

[Y

i

= 1]1×1 = ⎡⎣1 Xi 1

⎡ E0 ⎤ ⎢E ⎥ 1 Xik ⎤⎦ 1× (k + 1) ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ E k ⎦ (k + 1)×1

(A.3.14)


ln

157

(A.3.15)

La ecuación A.3.14 contiene los elementos y tamaños de las matrices de la ecuación A.3.13. Así, x i′ y E son vectores y Yi un escalar (Cameron y Trivedi, 2009: 16 y 466). Por su parte, la ecuación A.3.15 muestra las condiciones de primer orden donde β no tiene solución lineal, por lo cual debe encontrarse mediante procedimientos iterativos como Newton-Raphson para que converja rápidamente a su verdadero valor.

Anexo 3.5. Varianza de los modelos logit y probit A partir de las condiciones de segundo orden para la ecuación A.3.13 y mediante métodos de convergencia no lineales (series de expansión de Taylor) es posible encontrar la varianza de los estimadores de los modelos logit y probit como lo expresa la ecuación A.3.16. 2

σ

1 ni Pi 1 Pi

(A.3.16)

De esta forma, por naturaleza los modelos logit y probit tienen heteroscedasticidad dado que su varianza se encuentra condicionada con cada individuo en el tamaño de la muestra ( ni ) y la probabilidad ( Pi ). Por esta razón siempre deben estimarse mediante MCG o con errores estándar robustos (Cameron y Trivedi, 2009: 469).

Anexo 3.6. Efectos marginales para modelos logit y probit El resultado de los efectos marginales depende de la función de la cual son obtenidos. Las ecuaciones A.3.17 y A.3.18 muestran los de la función logit y las ecuaciones A.3.19 y A.3.20 los del probit. En esta última el valor de la probabilidad asociada a f ( X β ) puede obtenerse de los valores críticos (tabulados) en la normal estándar (Z). P Y 1|X F X β

eXβ 1 1 e X β 1 e X β

∂P eX β βi β i Pi 1 Pi ∂X i 1 e X β 2

(A.3.17)

(A.3.18)

158

RAMÓN ROSALES JORGE PERDOMO CARLOS MORALES JAIME URREGO Xβ

P Y 1|X F X β φ( z)dz φX β

(A.3.19)

∂P = f (X β ) β i ∂Xi

(A.3.20)

Anexo 3.7. Sesgo de los estimadores del modelo probit por variables omitidas Considere un modelo probabilístico, una serie de variables observables (X) y una forma estructural como la siguiente: P(Y 1|X , c ) Φ X β γc

(A.3.21)

donde c hace referencia a un elemento no observado (cuyo coeficiente es J) independiente de X y que tiene una distribución normal con media cero y varianza W 2 ⎡⎣es decir, c ∼ N (0, W 2 )⎤⎦ . El modelo puede escribirse en términos de una variable latente de la siguiente manera: * Y * X β γc U con Y = 1 si Y > 0

(A.3.22)

U*

Dados estos supuestos, la probabilidad de ocurrencia del evento puede expresarse como: P Y 1|X P γc U X β|X Φ X β/ σ

(A.3.23)

Así, al estimar un probit únicamente considerando las variables observadas incluidas en la matriz X y omitiendo los otros factores capturados en el término de error, cada estimador calculado tiene la forma β j β j /σ , es decir, está sesgado con respecto al parámetro poblacional. No obstante, por la forma del sesgo el estimador mantiene el signo del parámetro poblacional.

4

INTRODUCCIÓN A LAS SERIES DE TIEMPO

4.1. Introducción

L

os capítulos anteriores han centrado su análisis en las estimaciones con información estática en un contexto de corte transversal. Por el contrario, este capítulo examina el comportamiento de sucesos dinámicos mediante una introducción a las series de tiempo, exponiendo análisis estadísticos y econométricos para datos económicos recolectados periódicamente (frecuencias temporales en segundos, minutos, horas, días, semanas, meses, trimestres, semestres, años, quinquenios, entre otras). El capítulo también expone diferentes modelos y métodos para pronosticar tendencias de corto y largo plazo de variables macroeconómicas, empresariales o las obtenidas a partir de datos históricos. Esto permite obtener resultados para anticipar posibles acontecimientos futuros desfavorables y mitigar la incertidumbre sobre las variables económicas exploradas. De igual manera permite ayudar a establecer políticas para regular el consumo y la producción en cualquier actividad y manejar sistemas de inversión y planificación macroeconómica. De acuerdo con lo anterior, las siguientes secciones contienen algunos conceptos básicos que permiten comprender las diferentes metodologías para el análisis de las series de tiempo; se destaca el filtro de Hodrick y Prescott (filtro H-P) empleado con el fin de obtener la tendencia y el ciclo de una serie. También son importantes las técnicas econométricas para estimar la tendencia mediante sus distintas formas funcionales (incluida la función de tendencia Box-Cox) y con lo anterior obtener la predicción. Adicionalmente, este capítulo incluye técnicas estadísticas para pronosticar variables temporales mediante promedios móviles y métodos de atenuación exponencial simple, doble y Holt-Winters (no estacional, 159


160

aditivo o multiplicativo). Por último se emplean las metodologías tratadas en un estudio de caso con datos trimestrales del producto interno bruto (PIB) colombiano.

4.2. Conceptos básicos para las series de tiempo Una serie de tiempo es un conjunto de observaciones coleccionadas sucesiva y homogéneamente1 para una misma variable en períodos específicos. Cada observación es denotada generalmente como Yt , con t = 1, 2 ,… , T (v. ecuación 4.1). A diferencia de los datos estáticos (de corte transversal), las series temporales posibilitan observar la evolución de una variable a lo largo del tiempo y esto permite analizar su dinámica y realizar correlaciones no contemporáneas en distintos momentos entre variables dinámicas. ⎡ y1 ⎤ ⎢y ⎥ 2 Yt = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ yT ⎦ T ×1

(4.1)

Una vez constituida una serie de tiempo es posible definir un método para t + p 2 a partir de su propio pasado Y t −1, Y t−2, Y t − p ,3 realizar pronósticos Y , suponiendo que estos sucesos continuarán en el futuro. En otras palabras, se t + p ) no se encuentran relaciona t y su predicción (Y supone que el curso de Y dos con variables independientes4 porque en ese caso también sería nece t + p ,1 , X t + p ,2 ,… , X t + p , k 5 para proyectar sario predecirlas individualmente X Y t + p . Una vez determinado el significado de una serie de tiempo y con el fin de proseguir con esta conceptualización, a continuación se encuentran los componentes y la naturaleza de cualquier variable dinámica.

(

(

1

)

)

Quiere decir que la variable debe tener la misma periodicidad.

se refiere a los nuevos valores pronosticados y t + p es el subíndice que representa Y los p períodos futuros proyectados.

2

Yt = F (Yt −1 , Yt −2 , Yt − p ), donde t − p es el subíndice que representa los p períodos rezagados de Yt . 3

(

)

,X ,X Yt = F X para todo el conjunto (J) de variables independientes con J t + p ,1 t + p ,2 t + p ,k = 1, 2,…, k, como se trabajó en los capítulos anteriores, ante la imposibilidad de especificar un modelo estructural con variables exógenas (Pindyck y Rubinfeld, 1998: 488). 4

X se refiere a los nuevos valores pronosticados de cada variable independiente y ( t+ p ) k t + p es el subíndice que representa los p períodos futuros proyectados.

5


161

4.2.2. Componentes y naturaleza de una serie de tiempo Partiendo del concepto descrito para una serie de tiempo y con el fin de predecirla, se hace necesario conocer sus componentes y naturaleza. Los primeros son la tendencia, el ciclo, el elemento irregular y el estacional de la variable, mientras que la segunda hace referencia a si es aditiva o multiplicativa. Estas especificaciones son concebidas a partir del historial de la variable porque con él se forma su trayectoria y partir de ésta se logra identificar las características mencionadas mediante una gráfica. De esta manera, conocer el contexto de la variable dinámica ayuda a identificar los períodos en los que ocurrieron cambios metodológicos para su medición o las políticas y los sucesos económicos coyunturales exógenos que posiblemente alteraron drásticamente el recorrido regular de la serie (cambios estructurales6). El objetivo de esto es establecer los momentos en los que ocurrieron para entender cómo pueden afectar su predicción (Yt → Y t + p ). GRÁFICA 4.1.

Componentes de una serie de tiempo

Nota: Ésta es una serie de tiempo hipotética con frecuencia mensual entre el 2005 y el 2009.

6

Observaciones atípicas dentro del trayecto regular de una variable.

162


GRÁFICA 4.2.

Naturaleza aditiva de una serie de tiempo hipotética

GRÁFICA 4.3.

Naturaleza multiplicativa de una serie de tiempo hipotética


163

Para determinar lo anterior, en la gráfica 4.1 se observa la evolución de varias series de tiempo (Yt ) generadas hipotéticamente en Stata,7 cuyos comportamientos históricos establecen sus componentes: tendencia (Tt , línea azul), ciclo (Ct , línea negra), componente irregular (It , línea punteada negra) y componente estacional (St , línea punteada roja). Sin embargo, Yt puede contener uno o algunos elementos aditivos o multiplicativos (v. gráficas 4.2 y 4.3). Yt = Tt + Ct + St + I t

(4.2)

Yt = Tt * Ct * St * I t

(4.3)

La primera especificación se caracteriza por tener cada componente de forma independiente, lo que posibilita descomponer la serie en una suma de los cuatro factores (v. gráfica 4.2). La segunda, por otra parte, surge cuando la tendencia (Tt), el ciclo (Ct), la irregularidad (It) y la estacionalidad (St) son dependientes entre sí y definidas por una alta variabilidad (v. gráfica 4.3). A continuación se definen y caracterizan individualmente dichos componentes. 4.2.2.1. Tendencia

La tendencia (Tt) se define como el componente de baja frecuencia o poca volatilidad que evoluciona lentamente en alguna dirección particular y cuya interpretación se relaciona con el comportamiento de largo plazo de una serie y explica los cambios permanentes en sus valores promedio o en su media aritmética (Montenegro, 2007, cap. 1). Esta conducta es reflejada comúnmente por las variables económicas como la población, la producción, las exportaciones y las importaciones, entre otras, que presentan recorridos crecientes o decrecientes a lo largo del tiempo. Como ejemplo, en el gráfico 4.4 se observa una tendencia creciente a lo largo del tiempo creada hipotéticamente en Stata. La tendencia de Yt es generada partir de los choques persistentes en ella y los cambios dinámicos que recaen directamente sobre su comportamiento de largo plazo. Por ejemplo, la variable población suele crecer a un ritmo constante, dado que cada individuo tiene la posibilidad de procrear hijos. Sin embargo, durante los períodos bélicos puede cambiar Creadas en Stata 10.0 de esta forma: tendenciat = −5 + 0, 2Tt , ciclot = sen (Tt S 2 ) + 0.5, estacionalt = 1, 8 * sen (Tt S 2 ) e irregulart = 0, 8 * irregular t −1 + Ut ; donde Ut denota el

7

componente estocástico (error) con media igual a cero y varianza igual a uno, y Tt los valores de tendencia para el período t.

164


Gráfica 4.4.

Componente de tendencia para una serie de tiempo

el rumbo, como consecuencia de las muertes ocasionadas, y alejarse de la dinámica normal que había adquirido para el largo plazo. Lo anterior no sólo sucede en las variables formadas naturalmente, sino también en las calculadas artificialmente,8 dada la existencia de elementos observables empleados en su estimación que pueden determinar su dirección. En el caso del PIB, éste usualmente conserva una tendencia creciente en el tiempo porque sus componentes (consumo, inversión y gasto público) tienen el mismo comportamiento de la población. Ante esto es posible dividir el PIB sobre la población (PIB per cápita), con el fin de remover la tendencia derivada del efecto poblacional y conocer si el PIB contiene este elemento. Lo que ocurre con el crecimiento de los precios es análogo: la serie resultante es el PIB real (Granger, 1993, cap. 2). 4.2.2.2. Ciclo

El segundo competente es el ciclo que corresponde a una oscilación de corto plazo alrededor de una media (v. gráfica 4.5) o tendencia (v. gráfica 4.6). En el primer caso este movimiento se define por no tener implicaciones permanentes sobre el promedio de Yt , mientras que en el segundo

8

Como el PIB, el desempleo, la tasa de interés, la inflación, entre otras.


165

ocurre lo contrario. Sin embargo, en ambos la inclinación ondulada siempre logra sus picos máximos por encima y los mínimos por debajo del promedio o tendencia. GRÁFICA 4.5.

Componente cíclico de una serie de tiempo alrededor de una media

También el ciclo se caracteriza por que su amplitud no es definida claramente, dado que su frecuencia puede suceder de manera heterogénea como respuesta a los acontecimientos o fenómenos económicos. Además de la tendencia, el ciclo puede incluir un componente estacional y uno irregular discutidos a continuación. 4.2.2.3. Componente estacional

El componente estacional corresponde a los movimientos de una variable que ocurre reiteradamente durante una frecuencia homogénea de tiempo, para series de tiempo cuya periodicidad es diaria, semanal, mensual, trimestral o semestral. Este elemento se caracteriza por aparecer en un período y desvanecerse en el siguiente (v. gráfica 4.7). Aunque una serie puede contener movimientos cíclicos y estacionales, gráficamente se puede distinguir entre ambos porque en el primer caso los picos máximos y mínimos pueden presentarse en distintos períodos, mientras que en el segundo acontecen con el mismo patrón. En otras

166


GRÁFICA 4.6.

Componente cíclico de una serie de tiempo alrededor de una tendencia

palabras, la estacionalidad es un conjunto de oscilaciones de corto plazo y baja persistencia que ocurren nuevamente después de un lapso equivalente de tiempo (Makridakis y Wheelwright, 1978, cap. 1). Un ejemplo de esto son las ventas de bebidas calientes que aumentan en los meses de invierno y disminuyen en verano. 4.2.2.4. Componente irregular

Finalmente Yt puede contener un componente irregular debido a fenómenos externos impredecibles y coyunturales, de índole natural o económica.9 A diferencia de los componentes previamente mencionados, este comportamiento irregular no tiene forma definida y sus movimientos son desiguales e impredecibles en el tiempo (v. gráfica 4.8). A diferencia de la tendencia, el ciclo y la estacionalidad, la conducta irregular de una variable no se considera como un componente determinístico de Yt debido a su naturaleza aleatoria.10 A continuación se

9

Como cambios climáticos, guerras, catástrofes, políticas públicas transitorias, choques especulativos bursátiles, entre otros. 10

Totalmente al azar (v. cap. 5).

FUNDAMENTOS DE ECONOMETRÍA INTERMEDIA: TEORÍA Y APLICACIONES GRÁFICA 4.7.

Componente estacional de una serie de tiempo

GRÁFICA 4.8.

Componente irregular de una serie de tiempo

167

presentan los procedimientos y tratamientos para una variable dinámica de acuerdo con sus componentes y naturaleza con el fin de estimar su pronóstico.

168


4.3. Filtro de Hodrick y Prescott A partir de los componentes para Yt y con el fin de tratar, extraer y separar su elemento tendencial y cíclico, esta sección expone el filtro H-P (Montenegro, 2007, cap. 1). Este método consiste en obtener una serie atenuada (St ) a partir de la original (Yt ) mediante una solución al problema de optimización plasmado en la ecuación 4.4. Esto permite estimar tanto el ciclo como la tendencia de la serie. n

n −1

min ∑ (Yt − St ) + O∑ ⎡⎣(St + 1 − St ) − (St − St −1 )⎤⎦ t =1

2

2

(4.4)

t=2

En la ecuación 4.4 se encuentra el problema de minimización de la suma ⎛ n 2⎞ de la varianza de Yt alrededor de St ⎜ ∑ (Yt − St ) ⎟ más la diferencia entre ⎝ t =1 ⎠ 2⎞ ⎛ n −1 11 ⎡ los pares cercanos de St ⎜ ∑ ⎣(St + 1 − St ) − (St − St −1 )⎤⎦ ⎟ multiplicada por el ⎝ t=2 ⎠ parámetro de atenuación O, que representa el grado de atenuación de la nueva serie. Cuanto mayor sea el valor de este parámetro, la variable resultante (St ) será más cercana a una tendencia lineal (Yt = E0 + E1Tt ) . En caso contrario la serie atenuada equivaldrá a la original (St = Yt ) . Los valores sugeridos para O dependen de la periodicidad de Yt y son los siguientes: 14,400 para una periodicidad mensual, 1600 para una trimestral y 100 para una anual. Por otra parte, una vez obtenido el componente cíclico (Yt − St ) a partir del filtro H-P, la diferencia puede ser interpretada como la brecha entre su valor real (Yt ) y el potencial (St ) . El filtro H-P no es una técnica para proyectar Yt hacia el futuro. Por esto en la siguiente sección se presentan algunos modelos para pronosticar el valor de esta serie cuando tiene tendencia.

4.4. Modelos de pronósticos con tendencia determinística De acuerdo con lo señalado en la sección 4.2.2, es posible identificar gráficamente la tendencia de una serie de tiempo y desde ella definir su forma funcional12 (v. gráfica 4.9). A partir del comportamiento tendencial de

11 En este caso se quiere que el dato de un período sea muy cercano al del período siguiente. 12

Dependiendo de su trayectoria puede tener una forma funcional implícita lineal, exponencial, logarítmica, cuadrática o logística.


169

Yt es posible conformar un modelo que tenga una parte determinística ( E0 , E1Tt1 ,..., Ek Ttk ) y otra estocástica o aleatoria (Ut ) combinadas econométricamente (v. ecuación 4.5).

Yt = F ( E 0 , E1Tt1 ,..., E k Ttk , Ut )

(4.5)

La ecuación 4.5 define Yt como el resultado de una combinación entre la reacción constante ( E0 , E1 ,..., E k ) a lo largo del tiempo y la parte impredecible (Ut ) acumulada cada período. Las funciones implícitas para la T de Yt están expuestas en la ecuación 4.5 y desagregadas en el cuadro 4.1. Éstas, excluyendo la forma Box-Cox, son estimables mediante mínimos cuadrados ordinarios (MCO). Sin embargo, si gráficamente no se logra determinar el comportamiento de la tendencia, excluyendo la forma Box-Cox, debe estimarse cada relación expuesta en el cuadro 4.1 y seleccionar la más adecuada de acuerdo con los resultados de la evaluación para cada modelo teniendo en cuenta lo siguiente: 1.

Los signos de los parámetros ( E0 , E1 ,..., E k ) deben ser coherentes con los esperados previamente.

2.

La significancia parcial de los coeficientes con el estadístico t.

3.

La significancia global del modelo con el estadístico F.

El coeficiente de determinación ajustado ( R ), el valor más cercano a uno. 2

4.

Los criterios de Akaike (CA)13 y Schwarz (CS) 14. La forma funcional estimada será aquella cuyos valores de CA y CS resulten menores en términos absolutos sin importar si su valor es negativo (no deben compararse en valor absoluto). Cuanto más negativo resulte su valor mejor.

5.

2 ⎛ U ⎛ 2k ⎞ ∑ t ⎞⎟ , donde k se refiere al número de estima; ln(CA) = ⎜ ⎟ + ln ⎜ ⎝ n⎠ ⎝ n ⎠ n t2 a la suma de errores estimados al cuadrado, e al número de dores ( E0 , E1 ,..., E k ), ∑ U

13

CA = e 2 k/n

∑ U

2 t

Euler, ln es el logaritmo natural y n el tamaño de la muestra. 2 ⎛ U ⎛ k⎞ ∑ t ⎞⎟ , donde k se refiere al número de esti; ln(CS) = ⎜ ⎟ ln(n) + ln ⎜ ⎝ n⎠ ⎝ n ⎠ n madores ( E0 , E1 ,..., E k ) , ln es logaritmo natural y n el tamaño de la muestra.

14

CS = nk/n

∑ U

2 t


170

GRÁFICA 4.9.

Formas funcionales para modelos deterministas con tendencia A. Lineal

B. Exponencial 15000

7.00e+07 6.50e+07

10000 6.00e+07

Yt

Yt 5.50e+07

5000 5.00e+07 4.50e+07

2000q1

2002q3

2005q1

2007q3

0 2000q1

2010q1

2002q3

Mes

2005q1

2007q3

2010q1

Mes

C. Logarítmica

D. Cuadrática

2,5

100

2

50

Yt

Yt 1,5

0

1

-50

0,5

2000q1

2002q3

2005q1

2007q3

2010q1

-100 2000q1

2002q3

2005q1

Mes

Mes

E. Logística 0,25

0,2

Yt

0,15

0,1

0,05

0 2000q1

2002q3

2005q1 Mes

2007q3

2010q1

2007q3

2010q1


171

6.

El término estocástico (Ut ) debe tener una distribución normal, lo que se verifica con el estadístico Jarque-Bera.15

7.

Debe haber ausencia de autocorrelación residual, multicolinealidad, heteroscedasticidad, endogenidad y cambio estructural (v. Guajarati (2003) para más detalles).

CUADRO 4.1.

Formas funcionales para pronósticos con modelos de tendencia determinística

Función de tendencia

Forma del modelo

Lineal

Yt = E0 + E1Tt + Ut

Logarítmica en Yt y Tt

ln (Yt ) = ln ( E0 ) + E1 ln (Tt ) + ln (Ut )

Exponencial o log-lineal

ln (Yt ) = E0 + E1Tt + Ut

Lineal-logarítmica

Yt = ln ( E0 ) + E1ln (Tt ) + ln (Ut )

Recíproca en Tt

Yt = E0 ±

Recíproca en Yt

1 = E 0 + E1 t + U t Yt

Recíproca en Yt y Tt

1 E = E0 ± 1 + Ut Yt t

Autorregresiva (un período)

Yt = E0 + E1Yt −1 + Ut

Autorregresiva-logarítmica (un período)

ln (Yt ) = E0 + E1 ln (Yt −1 ) + Ut

Cuadrática

Yt = E0 ± E1Tt ± E 2Tt2 + Ut

Cúbica

Yt = E0 ± E1Tt ± E 2Tt2 ± E 3Tt3 + Ut

Logística

ln (Yt ) = E0 −

Box-Cox

Ytθ = β0 + β1Tt λ + Ut

E1 + Ut t

E1 + Ut ; 0 < E1 < 1; E1 > 1 t

Fuente: Elaboración propia con base en Mendieta y Perdomo (2008) y Pindyck y Rubinfeld (1998).

Un segundo método consiste en establecer la función implícita a partir del modelo Box-Cox (v. cuadro 4.1 y ecuación 4.6). Esto es posible mediante máxima verosimilitud (MV) (v. cap. 3), que otorga valores para los 15

Para más detalle sobre esta prueba véase Gujarati (2003: 142-144).


172

parámetros de transformación T y O16 en Box-Cox. Esto permite determinar si la tendencia se ajusta a cualquier forma explícita en el cuadro 4.1 o si es desconocida (denominada Box-Cox). Yt θ = β 0 + β1t λ + U t

(4.6)

YtT − 1 tO − 1 y tO = representan una función no T O lineal para el modelo Box-Cox no restringido (NR), motivo por el cual los parámetros de transformación (T y O) y los coeficientes ( E0 y E1 ) deben encontrarse mediante MV a partir de la siguiente ecuación:

En la ecuación 4.6 YtT =

l NR σ U2 t , θ, λ, β 0 , β 1

n n n ln 2 π ln σ U2 t λ 1 ln(Yt ) 2 2 t1

1 2 σ U2 t

Y n

t1

θ t

β0 β1t λ

(4.7)

En la ecuación 4.7 lNR se refiere al logaritmo de la función de verosimilitud no restringida (Greene, 1999: 420), n representa el tamaño de la muestra, V U2 la varianza del modelo y S la constante que hace alusión al número pi (3.1416). Una vez estimados los parámetros T y O, se puede establecer la función de tendencia adecuada subyacente para Yt (v. cuadro 4.2) y con t+ p ). ella realizar su respectivo pronóstico (Y t

Para continuar el proceso selectivo de la forma funcional adecuada para la tendencia de Yt , implícita en Box-Cox, se elige la más adecuada (v. ecuación 4.8) mediante la prueba de razón de verosimilitud (Greene, 1999: 422). En la ecuación 4.8 lR es el logaritmo de la función de verosimilitud restringida a los valores de los parámetros T y O del cuadro 4.2 y lNR es la función no restringida Box-Cox (v. ecuación 4.7). El estadístico RV tiene una distribución ji cuadrada con 2 grados de libertad ( F 22 ) que se refieren al número de condiciones impuestas sobre T y O en el modelo Box-Cox (v. cuadro 4.2). RV = 2 ( lNR − lR ) ∼ F 22

16

Este coeficiente es distinto al que se utilizó en la sección 4.3.

(4.8)


173

Valores de los parámetros de transformación para determinar la forma de la tendencia

Función de tendencia

Condición para T y O

Método de estimación

Lineal

θ= λ=1

MCO

Logarítmica

θ= λ=0

MCO

Exponencial o log-lineal

θ = 1; λ = 0

MCO

Lineal-logarítmica

θ = 0; λ = 1

MCO

Recíproca en Tt

θ = 1; λ = −1

MCO

Recíproca en Yt

θ = −1; λ = 1

MCO

Recíproca en Yt y Tt

θ = −1; λ = −1

MCO

Box-Cox restringida I

θ= λ≠0

MV

Box-Cox restringida II

θ≠ λ≠0

MV

Fuente: Elaboración propia a partir de Mendieta y Perdomo (2007). Nota: En el anexo 4.1 se demuestra que la tendencia logarítmica equivale al caso en que los parámetros de transformación en Box-Cox equivalen a cero ( θ = λ = 0 ) .

Es importante aclarar que generalmente los pronósticos que se basan en modelos determinísticos de tendencia no son tan precisos porque cuando se estiman las funciones los modelos incumplen algunos supuestos de MCO como la ausencia de autocorrelación en el error y la homoscedasticidad. Esto implica que los estimadores son ineficientes porque vulneran la condición de Gauss-Markov y, por consiguiente, no son MELI (mejor estimador lineal insesgado). Por otra parte, las proyecciones se adhieren al comportamiento de la tendencia y desconocen los otros elementos relevantes de Yt (el ciclo, el componente irregular y el estacional). Por esta razón en la sección 4.5 se discuten las metodologías de atenuación exponencial, con el fin de incor t + p ) los otros componentes de la serie de tiempo, porar al pronóstico (Y aunque esta técnica no corrige el incumplimiento de los supuestos de MCO para los modelos abarcados de tendencia determinística.

4.5. Pronóstico con métodos de atenuación exponencial Las técnicas de atenuación exponencial emplean la información histórica (Yt −1 , Yt − 2 ,… , Yt − p ) de Yt para obtener sus pronósticos (Y t + p ). Se emplean generalmente cuando se cuenta con muestras pequeñas (mínimo 10 y

174


máximo 30 datos) y se pretende proyectar escenarios de largo plazo (más de tres períodos). Éstas son prácticas de tanteo no paramétricas sin especificación previa de alguna forma funcional, como las desarrolladas en la sección anterior, donde fue necesario utilizar algún método de estimación (MCO o MV) para encontrar los parámetros. En este caso la información de Yt que se emplea para estimar sus valo t +1 , Y t + 2 ,… , Y t + p ) 17 no está relacionada con la tendencia (T ) res futuros ( Y t sino con su propio pasado ( Yt −1 , Yt − 2 ,… , Yt − p ). En esta metodología también existen distintos métodos de atenuación (v. cuadro 4.4) entre los que se destacan los siguientes: promedio móvil, promedio móvil doble, atenuación simple, atenuación doble o Holt-Winters (no estacional, aditivo o multiplicativo). Estos métodos se utilizan de acuerdo con la naturaleza de Yt (tendencial, estacionaria,18 cíclica, estacional, o una combinación de éstas). Para cada caso expuesto en el cuadro 4.3, D, E y J son coeficientes de atenuación que toman valores arbitrarios entre cero y uno.19 Sin embargo, para seleccionar el más adecuado dentro de este rango se cuenta con distintos indicadores de error para el pronóstico (v. cuadro 4.4), los cuales se derivan de la diferencia entre el valor observado (Yt ) y el pronosticado (Y t + p ), teniendo en cuenta el tamaño de la muestra (n). De esta manera, los valores entre cero y uno para D, E y J serán los que garanticen el mínimo valor para el indicador del error de pronóstico. Algunos de estos indicadores son el promedio del valor absoluto del error (PVAE), el promedio del error al cuadrado (PEC), el porcentaje del promedio del valor absoluto del error (PPVAE), la raíz cuadrada del promedio de la suma de errores al cuadrado (RCPSEC) y el coeficiente de Theil (CT), como se puede ver en el cuadro 4.4. Una vez expuestos los métodos de atenuación exponencial y los indicadores del error de pronóstico, en la siguiente sección se analiza un estudio de caso con información trimestral del PIB colombiano para aplicar t+1 se refiere a los nuevos valores pronosticados de Y y t + p es el subíndice Donde Y t que representa los p períodos futuros proyectados después de t.

17

18

Su media aritmética y su varianza no están relacionadas con el tiempo. En otras palabras, su promedio es constante y tiene poca variación (la varianza es constante). Esto equivale a una serie cíclica sin componente irregular, estacionalidad y tendencia (v. cap. 5).

19

Para conocer más detalles sobre la conceptualización, las características y la formulación de los métodos en el cuadro 4.4, véanse Makridakis y Wheelwright (1978) y Hanke y Reitsch (1996, caps. 4 y 5).

CUADRO 4.3.

Técnicas de atenuación exponencial

Nombre de la técnica

Estacionaria

Expresión t+1 = (Yt + Yt −1 + Yt −2 + + Yt −n+1 ) Y n Y t+ p = a + b p t

Promedios móviles doble (PMD)

Estacionaria

Atenuación simple (AS) Estacionaria

Restricción -

t

t+1 = (Yt + Yt −1 + Yt −2 + + Yt −n+1 ) Mt ≡ Y n Mt + Mt −1 + Mt −2 + + Mt −n+1 ) ( Mt′ = n

t+1 = DY + (1 − D) A Y t t

-

0≤ D≤1

t+ p = a + b p Y t t Atenuación doble (AD) Estacionaria

At = DYt + (1 − D) At −1

t+ p = A + pT Y t t Tendencia lineal y A = DY + (1 − D) A + T ( t−1 t−1 ) t t cíclica Tt = E ( At − At −1 ) + (1 − E ) Tt −1 t+ p = ( A + pT ) S Y t t t −L+ p

Holt-Winters estacional Estacional con multiplicativo tendencia y ciclo

At = D

Yt + (1 − D) ( At −1 + Tt −1 ) St −L

Tt = E ( At − At −1 ) + (1 − E)Tt −1

0≤ D≤1 0≤ E≤1

0≤ D≤1 0≤ E≤1 0≤ J≤1

Y St = J t + (1 − J)St −L At

at = 2 Mt − Mt′ 2 Mayor ponderación bt = ( M − Mt′ ) n−1 t de los datos recientes p: número de períodos que se pronosticarán At: valor atenuado de t = DY + (1 − D) A Y t −1 t Yt

t+ p = ( A + pT ) + S Y t t t −L+ p

Fuente: Elaboración propia a partir de Mendieta y Perdomo (2008) y Hanke y Reitsch (1996).

bt =

D ( A − At′ ) 1− D t

At: valor atenuado de Yt At′ : valor doblemente suavizado de Yt

Tt: estimación de tenAt: valor atenuado de dencia p: número de períodos Yt que se pronosticarán

St: estimación de la estacionalidad L: longitud de la estacionalidad

175

Holt-Winters estacional Estacional con aditivo tendencia y ciclo

Anotación según el caso

n: número de períodos Mayor ponderación en el PM de los datos recientes

at = 2 At − At′ 0≤ D≤1

At′ = DAt + (1 − D) At′−1 Holt-Winters no estacional

Equivalencia


Promedio móvil (PM)

Naturaleza de la variable

176


CUADRO 4.4.

Indicadores del error de pronóstico

Nombre

Sigla

Promedio del valor absoluto del error

PVAE

Promedio del error al cuadrado

PEC

Porcentaje del promedio del valor absoluto del error

PPVAE

Raíz cuadrada del promedio de la suma de errores al cuadrado

RCPSEC

Expresión

PVAE =

∑

∑ PEC =

n t =1

n t =1

PPVAE =

t U

n t2 U

n

∑

t U

n t =1

RCPSEC =

∑ ∑

Coeficiente de Theil

CT

CT =

∑

Yt

n

n t =1

n

Yt

n t =1

t2 U

n

n t =1

t2 U

n

+

∑

n t =1

t Y

n

Fuente: Elaboración propia a partir de Hanke y Reitsch (1996).

las técnicas expuestas en este capítulo (el filtro H-P y los métodos de pronóstico mediante modelos de tendencia determinística y atenuación exponencial).

4.6. Estudio de caso: el PIB colombiano Para continuar el desarrollo y la aplicación del filtro H-P y los métodos de pronóstico usando modelos de tendencia determinística y atenuación exponencial, en esta sección se trabaja con información trimestral (entre 2000-I y 2009-I) sobre la serie de tiempo PIBt en millones de pesos, desestacionalizada y en precios constantes del año 2000 (v. cuadro A.4.1). La variable fue construida trimestralmente por el Departamento Administrativo Nacional de Estadística (DANE), entidad encargada de recolectar, consolidar y publicar información sobre las cuentas nacionales colombianas desde 1970.20 Conforme a lo señalado en este capítulo PIBt equivale a Yt. 20

Departamento Administrativo Nacional de Estadística. Ficha Metodológica Cuentas Nacionales Anuales.


177

4.6.1. Filtro de Hodrick y Prescott Debido a la periodicidad trimestral del PIB se cuenta con 37 datos (n = 37 ) en la muestra. El contenido de esta información se puede apreciar en el cuadro A.4.1 mediante la cual se pretende separar la tendencia y encontrar el componente cíclico del PIB colombiano entre el primer trimestre del 2000 y el primer trimestre del 2009 (2000-I y 2009-I) empleando el filtro H-P. Después de cargar los datos del PIB en Stata, en este programa se realiza paso a paso la aplicación del filtro H-P de la siguiente manera: 1.

FIGURA 4.1.

Se configura el programa para que reconozca PIBt como una serie de tiempo trimestral con el comando gen y tsset (v. figura 4.1). En caso de contar con frecuencias temporales distintas, en el cuadro A.4.3 se encuentra la programación en Stata para su debida manipulación. Salida de Stata para especificar una variable como serie de tiempo

178

2.

FIGURA 4.2.


Se genera una nueva variable con el comando gen que contenga el logaritmo natural del PIB (lnpib) como aparece en la figura 4.2. Salida de Stata para crear una variable como logaritmo natural

3.

Se descarga y se instala el filtro H-P mediante el comando ssc install hprescott (v. figura 4.3).

4.

Se grafica el comportamiento de lnpib a lo largo del tiempo con el comando tsline para conocer sus componentes y su naturaleza como lo muestra la figura 4.4. En este caso y según lo señalado en la sección 4.2.2, para lnpib se observa la combinación entre una tendencia creciente y un componente irregular (v. figura 4.4, p. 180) sin componente cíclico ni estacional. Como consecuencia de lo anterior, la variable en cuestión presenta una media y una varianza inestables entre 2000-I y 2009-I porque tiene un componente tendencial.


179

Instalación del filtro HP

Adicionalmente, su trayectoria normal (creciente) cambia a finales del 2008 y principios del 2009, momento a partir del que se observa una trayectoria decreciente (desaceleración) debido a la posible influencia de la crisis financiera internacional desatada en estos períodos sobre la economía colombiana. Éste es un fenómeno económico que exterioriza el componente irregular de la serie. 5.

Se obtiene la tendencia atenuada (St) y el ciclo (Yt-St) de la serie lnpib con el comando hprescott y la opción stub. Se puede especificar también el valor del parámetro de atenuación O, programando la instrucción smooth (v. figura 4.5, p. 181), aunque por defecto equivale a 1600 cuando la serie es trimestral.

180

FIGURA 4.4.


Salida de Stata para graficar una serie de tiempo

Observe que, una vez ejecutados los comandos hprescott, stub y smooth, aparecen dos nuevas variables: slnpib_lnpib_1 y slnpib_lnpib _sm_1. Éstas son el resultado obtenido de solucionar la ecuación 4.4 expuesta en la sección 4.3 y corresponden al componente cíclico (Yt − St ) y a la tendencia atenuada (St ) de lnpib, respectivamente. 6.

Se grafica la tendencia atenuada (slnpib_lnpib _sm_1) y el ciclo o la fluctuación de corto plazo (slnpib_lnpib_1) de ln ( PIBt ) con el comando tsline para conocer su trayectoria (figura 4.6, p. 182, y línea en la 4.7).

En la figura 4.7 se puede observar el movimiento cíclico de lnpib, cuya trayectoria es decreciente a finales de 1998 y comienzos de 1999. Esto se debe a la desaceleración económica colombiana explicada posiblemente por la crisis financiera internacional y evidencia el componente


181

Salida de Stata para ejecutar el filtro H–P

irregular de la variable analizada. Con esto se culmina el estudio de caso y el análisis del filtro H-P. El siguiente tema corresponde a la aplicación de los modelos de pronósticos con tendencia determinística.

4.6.2. Modelos de pronósticos con tendencia determinística Para continuar el estudio de la serie de tiempo PIBt se proyectará su valor

t + 1 = 2009 − II ) mediante los modelos de pronósticos para el período ( PIB con tendencia determinística. La metodología se realiza paulatinamente en el programa Stata de la siguiente manera: 1.

Se grafica el comportamiento de PIBt a lo largo tiempo con el comando tsline (v. figura 4.8, p. 184) para conocer la forma funcional de la tendencia.

182

FIGURA 4.6.


Salida de Stata para graficar la tendencia atenuada con el filtro H–P

En este caso la serie PIBt muestra una tendencia creciente lineal hasta el primer trimestre del 2008, momento en el que existe un punto de inflexión (v. figura 4.8, p. 184). Como se mencionó anteriormente, la variable presenta media y varianza inestables entre 2000-I y 2009-I por los componentes irregular y de tendencia contenidos en ella. 2.

Se adiciona una observación con el comando tsappend, add(1) (v. figura 4.9, p. 185) para poder involucrar el nuevo valor del pronóstico

t + 1 = 2009 − II ). Esto modifica el tamaño de la muestra de manera (PIB que ahora consta de 38 observaciones (n = 38). Posteriormente se genera una nueva variable de tendencia (Tt) con el comando range (v. figura 4.9, p. 185) que contenga una serie que acumule la tendencia desde el período 1 hasta el 38. El nuevo dato corresponde a la

t +1 (v. figura 4.10, p. 186). tendencia (t + 1 = 38) y permite calcular PIB


183

Salida de Stata para graficar el ciclo obtenido con el filtro H–P

3.

Se estima la función Box-Cox mediante el comando boxcox (v. figura 4.11, p. 187) para conocer la forma funcional que mejor se ajusta a la tendencia del PIB según los cuadros 4.1 y 4.2. De acuerdo con los resultados obtenidos en la prueba RV (probabilidad de 0.256 en la figura 4.11), se puede concluir que el modelo de tendencia determinística lineal es el más adecuado para pronosticar el PIB. En otras palabras, sus parámetros de transformación T y O son simultáneamente iguales a uno.

4.

Por los resultados del numeral anterior ( θ = λ = 1) , se puede estimar el modelo de tendencia determinística lineal mediante MCO en Stata utilizando el comando reg seguido del pronóstico con la opción predict pibp, xb (v. figura 4.12, p. 188 y cuadro 4.2) y finalmente graficar paralelamente la serie observada ( PIBt ) y la proyec-

184

FIGURA 4.8.


Salida de Stata para graficar una serie de tiempo

t + 1 ) con la instrucción tsline para determinar si el ajuste y tada ( PIB la tendencia de la predicción (ppib) son similares a los originales (v. figuras 4.13 y 4.14, pp. 189 y 190).

En las figuras 4.13 y 4.14 se observa gráfica y numéricamente que el valor del PIB proyectado (70 , 900 , 000 y 71, 600, 000) difiere del observado (69,741,066) y no se ajusta al comportamiento de su tendencia. No obstante, se debe recordar que generalmente las predicciones que se hacen con base en estos modelos no son tan precisas. Por esto, en la siguiente sección se utilizará el mismo ejemplo pero se aplicarán los métodos de atenuación exponencial.


185

Salida de Stata para adicionar datos y generar Tt

4.6.3. Pronóstico con métodos de atenuación exponencial En esta sección se retoma el ejemplo del PIB trimestral colombiano ( PIBt ) y se aplican los métodos de atenuación exponencial doble (AD) y el método no estacional de Holt-Winters. Se pronosticará el valor cuatro

t + 4 = 2010 − I ) debido a que previamente se idenperíodos después ( PIB tificó la tendencia creciente de la serie. Por esto fueron descartadas las otras técnicas expuestas en el cuadro 4.3 (promedios móviles, atenuación simple y Holt-Winters estacional) porque no son apropiadas para este caso. Las metodologías se aplican gradualmente en el programa Stata de la siguiente manera: 1.

Se realiza la atenuación exponencial doble (AD) adicionando previamente los períodos que se pronosticarán con el comando tsappend, add(4) y posteriormente la instrucción tssmooth dexponential spib =

186

FIGURA 4.10.


Salida de Stata con información sobre el PIB colombiano en millones de pesos en precios constantes del año 2000 y la tendencia

pib, forecast(4) (v. figura 4.15, p. 191), para conocer la nueva variable atenuada (spib) que contiene la predicción hasta el primer trimestre del 2010. También se grafica la variable spib con el comando tsline para saber si es similar a la original (v. figuras 4.15, p 191, y A.4.1). 2.

Se ejecuta la atenuación Holt-Winters no estacional mediante la instrucción tssmooth shwinters spibhw = pib, forecast(4) iterate(100) (v. figura 4.16, p. 192) para conocer la nueva variable suavizada (spibhw) que contiene la predicción hasta el primer trimestre del 2010. También se grafica (con el comando tsline) spibhw para ver si es similar a la original (v. figuras 4.16 y A.4.1). Para las series temporales con otras naturalezas, en el cuadro A.4.3 se encuentra la programación en Stata para aplicar el método de atenuación adecuado según el caso.


187

Salida de Stata para el modelo Box-Cox

De acuerdo con lo expuesto en la sección 4.5 (v. cuadro 4.4), las figuras 4.16 y 4.17 (pp. 192)muestran que el pronóstico de mejor ajuste es el obtenido mediante Holt-Winters no estacional porque la raíz cuadrada del promedio de la suma de errores al cuadrado (RCPSEC= 631,135.7) es menor para este método que para el de AD (RCPSEC= 671,942.28).

t + 1, 2009 − II = 69, 000 , 000 , Además los resultados de sus predicciones ( PIB

t + 4 , 2010 − I = 67 , 300, 000 )

t + 2 , 2009 − III = 68 , 600 , 000, PIB

t + 3 , 2009 − IV = 68, 100, 000 y PIB PIB gráficamente se ajustan mejor a la tendencia de la serie original ( PIBt ) . Los valores de los parámetros (D=0.4109 y E=1) minimizan el indicador de error de pronóstico RCPSEC expuesto en el cuadro 4.4. Por otra parte, los resultados del pronóstico reflejan la posible desaceleración en que puede entrar la economía colombiana durante el 2009 y el 2010.

Con este estudio de caso finaliza la introducción a las series de tiempo y a la aplicación del filtro H-P, los modelos de pronósticos con tendencia

188

FIGURA 4.12.


Salida de Stata con la regresión lineal y pronóstico del PIB

determinística y los métodos de predicción con atenuación exponencial. En el próximo capítulo se encuentra la metodología Box-Jenkins (BJ) que se utiliza también para realizar proyecciones a partir de series estacionarias, procesos autorregresivos y procesos de media móvil.

Resumen s

5NASERIEDETIEMPOSEDElNECOMOUNCONJUNTODEOBSERVACIONES de una misma variable coleccionadas sucesiva y homogéneamente en períodos específicos. En el análisis de este tipo de variables se desarrollan modelos en los que se supone que su comportamiento actual es una función de su tendencia o de su propio pasado, lo que proporciona la información sobre la trayectoria que tendrá en el futuro.


189

Salida de Stata con la representación del pronóstico

s

5NA SERIE DE TIEMPO GENERALMENTE CONTIENE CUATRO COMPONENtes que pueden desagregarse de la siguiente manera: la tendencia (componente de baja variabilidad que evoluciona en alguna dirección particular), el ciclo (oscilación alrededor de la tendencia), el componente estacional (movimientos de una serie que ocurren con una frecuencia determinada) y el componente irregular (variables ocasionadas por choques exógenos impredecibles e inesperados que alteran bruscamente el curso normal de la variable).

s

,A TENDENCIA EL CICLO LA ESTACIONALIDAD Y EL COMPONENTE IRREGULAR de una serie pueden relacionarse entre sí aditiva o multiplicativamente. El tipo de relación define la naturaleza de la serie y las diversas dinámicas de su comportamiento a lo largo del tiempo.

190

FIGURA 4.14.


Salida de Stata con la información sobre el pronóstico del PIB colombiano

s

%L lLTRO ( 0 PERMITE SEPARAR LA TENDENCIA DEL COMPONENTE CÄCLICO de una serie de tiempo a partir de una variable atenuada. La brecha entre la tendencia y la atenuación se puede interpretar como el ciclo que corresponde a la diferencia entre el valor real y el potencial.

s

%LM¿TODOM´SSENCILLOPARAPRONOSTICARUNASERIEDETIEMPOCONSISTE en emplear los llamados modelos de tendencia determinística que proyectan la variable de acuerdo con la forma funcional subyacente en su tendencia.

s

/TRAST¿CNICASPARAPRONOSTICARSERIESDETIEMPOSONLASDEATENUAción exponencial, que tienen en cuenta el pasado, la tendencia, el ciclo, la estacionalidad y la naturaleza de la variable dinámica para


191

Salida de Stata al usar atenuación exponencial doble

proyectarla. Esta metodología obtiene sus parámetros de atenuación (D, E y J) entre cero y uno por tanteo, seleccionando los valores que minimicen el indicador del error de pronóstico. s

$ENTRODELAST¿CNICASDEATENUACIÍNEXPONENCIALM´SDESTACADASSE encuentran el método de promedios móviles, la atenuación simple, la doble y los métodos de Holt-Winters (no estacional, aditivo y multiplicativo).

192

FIGURA 4.16.


Salida de Stata utilizando atenuación exponencial no estacional de Holt-Winters


193


La siguiente tabla muestra la información de la demanda de un producto durante los últimos cinco años: t

2.

D(t)

t

D(t)

t

D(t)

t

D(t)

1

239

16

254

31

237

46

173

2

186

17

155

32

234

47

260

3

164

18

158

33

300

48

192

4

179

19

210

34

174

49

136

5

229

20

143

35

187

50

184

6

219

21

261

36

153

51

239

7

259

22

223

37

211

52

219

8

208

23

368

38

129

53

174

9

201

24

231

39

207

54

208

10

186

25

219

40

175

55

241

11

166

26

142

41

165

56

220

12

196

27

179

42

119

57

194

13

191

28

188

43

176

58

197

14

229

29

237

44

177

59

218

15

169

30

126

45

200

60

252

a.

Use el primer año para establecer un pronóstico inicial al comienzo del segundo año. Use los años 2, 3 y 4 para ajustar un modelo con atenuación exponencial simple para D = 0.1.

b.

Determine todas las medidas de desempeño del pronóstico para esos tres años. ¿Al final del mes 48 cuál es el pronóstico para el mes 49 y para el mes 60? Use el primer año para establecer los valores iniciales al comienzo del año.

c.

Use los años 2, 3 y 4 para ajustar un modelo de pronósticos con el método de Holt-Winters para D = 0.1 y E = 0.15 . Determine todas las medidas de desempeño del pronóstico para esos tres años. ¿Al final del mes 48 cuál es el pronóstico para el mes 49 y para el mes 60?

La demanda mensual en una tienda de baterías para automóvil se muestra en la siguiente tabla:


194

3.

t

D(t)

t

D(t)

1 2

34.00

11

36.00

44.00

12

46.00

3

42.00

13

42.00

4

30.00

14

30.00

5

46.00

15

52.00

6

44.00

16

48.00

7

56.00

17

46.00

8

50.00

18

52.00

9

38.00

19

54.00

10

44.00

20

48.00

21

40.00

a.

Use el método de atenuación exponencial simple con D = 0.15 para determinar el pronóstico de la demanda en el mes 25 y en el mes 30. Use el primer año para iniciar la técnica de atenuación.

b.

Realice lo mismo utilizando ahora el método Holt-Winters con D = 0.2 , E = 0.05 y J = 0.1. Use el primer año para iniciar la técnica de atenuación.

Las ventas mensuales de una importadora de alfombras persas durante los últimos 15 meses han sido las siguientes: t

Ventas

t

Ventas

1

95

8

96

2

80

9

116

3

103

10

83

4

119

11

89

5

117

12

74

6

125

13

72

7

67

14

85

15

88

a.

Grafique la serie y descríbala. ¿Cuáles métodos para predecir la serie pueden resultar apropiados en este caso?

b.

Calcule el pronóstico con promedios móviles de 3 períodos (PM(3)).


195

c.

Calcule las medidas del error.

d.

¿Cuál es el pronóstico determinado al final de la semana 6 (se conoce la demanda del período 6) para las ventas en el período 12 utilizando PM(3)?

e.

¿Cuál es el valor de D adecuado con n = 3 períodos si se utiliza el método de atenuación exponencial? Es decir, ¿cuál es el valor de D para el cual los errores son estadísticamente equivalentes en el caso de promedios móviles?


Anexo 4 Anexo 4.1. Deducción de la función de tendencia logarítmica a partir del modelo Box-Cox cuando sus parámetros de transformación son iguales a cero Cuando los parámetros de transformación en Box-Cox son equivalentes a cero se utiliza la regla de L’Hôpital. Para el caso de la variable explicativa tendencia (t) la aplicación de la regla de L’Hôpital es la siguiente:

lim λ→ 0

tλ − 1 = lim λ→ 0 λ

∂ ( t λ − 1) 1

∂λ

(A.4.1)

(λ ) lim ∂ t − 1 ∂λ = lim t λ ∗ ln(t) = ln(t) λ→ 0

λ→ 0

Ahora, para la variable explicada (Yt ) el procedimiento L’Hôpital es el siguiente:

lim θ→ 0 lim θ→ 0

Ytθ − 1 = lim θ → 0 θ

∂ (Ytθ − 1)

∂ (Ytθ − 1) 1

∂θ

Ytθ ∗ ln (Yt ) = ln (Yt ) ∂θ = lim θ→ 0

(A.4.2)


196

Anexo 4.2. Información utilizada, cuadros de programación en Stata y resultados de los pronósticos mediante atenuación exponencial CUADRO A.4.1. Fecha

PIB colombiano en millones de pesos y en precios constantes del año 2000 Trimestre

PIB

Fecha

Trimestre

PIB

2000

1

48,761,358

2004

4

57,865,201

2000

2

48,767,355

2005

1

58,169,473

2000

3

49,363,348

2005

2

59,512,768

2000

4

49,481,790

2005

3

59,699,761

2001

1

49,605,295

2005

4

60,600,295

2001

2

49,616,119

2006

1

61,933,499

2001

3

50,451,353

2006

2

62,952,287

2001

4

50,984,342

2006

3

64,621,274

2002

1

50,294,569

2006

4

64,998,538

2002

2

51,835,077

2007

1

67,280,742

2002

3

51,800,912

2007

2

67,763,402

2002

4

51,660,723

2007

3

68,400,334

2003

1

52,986,417

2007

4

70,265,779

2003

2

53,249,260

2008

1

70,128,727

2003

3

53,984,567

2008

2

70,292,938

2003

4

54,853,411

2008

3

70,643,052

2004

1

55,408,406

2008

4

69,583,150

2004

2

55,532,045

2009

1

69,741,066

2004

3

56,298,505

-

-

-

Fuente: DANE.

FUNDAMENTOS DE ECONOMETRÍA INTERMEDIA: TEORÍA Y APLICACIONES FIGURA A.4.1.

Salida de Stata con información sobre el pronóstico del PIB colombiano con todas las metodologías expuestas en el capítulo

197

198


CUADRO A.4.2.

Transformación de las variables de tiempo

Caso

Solución

La variable de tiempo está guardada de la forma día-mes-año Existen múltiples variables de tiempo de la forma día-mes-año

CUADRO A.4.3.

Comando

Transformar la variable origen nueva variable = date(variable ginal en una nueva variable original, “DMY”) Consolidar las variables origen nueva variable = mdy(mes, ginales en una única nueva día, año) variable

Casos particulares del comando tssmoth

Metodología de atenuación

Comando

Promedios móviles (PM)

tssmooth ma pib_ma=pib

Atenuación simple (AS)

tssmooth exponential pib_as=pib

Atenuación doble (AD)

tssmooth dexponential pib_ad=pib

Holt-Winters

tssmooth hwinters pib_hw=pib

Holt-Winters estacional

tssmooth shwinters pib_shw=pib

5

METODOLOGÍA BOX-JENKINS PARA PRONOSTICAR SERIES DE TIEMPO MEDIANTE PROCESOS AUTORREGRESIVOS Y DE MEDIA MÓVIL

5.1. Introducción

P

ara continuar el análisis de las series de tiempo, este capítulo discute el método ARIMA1 (autoregressive integrated moving average) mediante la metodología Box-Jenkins (BJ) a partir de los procesos autorregresivos (AR) y de media móvil (MA por moving average). Estos procedimientos permiten especificar y estimar modelos para generar pronósticos de corto plazo con muestras representativas (grandes). Por otra parte, los pronósticos obtenidos mediante modelos ARIMA incluyen todos los componentes de la serie (la tendencia, el ciclo, la estacionalidad y la irregularidad), mientras que los métodos de atenuación exponencial tratados en el capítulo anterior no consideran su elemento irregular. En otras palabras, la diferencia entre estas metodologías radica en el elemento irregular considerado en las primeras. Este capítulo se centra en modelar el componente señalado, lo que permite predecir el comportamiento de la variable en el corto plazo. Por esta razón se estudian temas relacionados con el análisis de variables estacionarias, ruido blanco y ergódicas; funciones de autocorrelación simple (FAS) y funciones de autocorrelación parcial (FAP), pruebas de correlogramas, raíz unitaria y estadísticos Box-Pierce y Ljung-Box. Igualmente, se estudiarán las formas para detectar y estimar procesos AR, MA, ARMA, ARIMA y SARIMA2.

1

Autorregresivo integrado de media móvil.

2

Sigla en inglés de seasonal autoregressive integrated moving average (estacional autorregresivo integrado de media móvil). 199

200


Las secciones posteriores presentan algunos conceptos básicos usados a lo largo de este capítulo y el siguiente. También describen los procesos generadores de datos (PGD) como los AR y MA empleados para modelar el componente irregular de una serie. Adicionalmente se discute la metodología BJ que considera todo el proceso necesario para efectuar pronósticos, así como sus ventajas y desventajas. Por último se aplica la técnica BJ en un estudio de caso con los datos del producto interno bruto (PIB) colombiano utlilizados en el capítulo 4 y la información mensual del índice de precios al consumidor (IPC) en Colombia.

5.2. Conceptos básicos Esta sección expone algunos conceptos para el estudio de otros temas relacionados con las series de tiempo cuyo objetivo es facilitar la comprensión de los modelos AR y MA mediante la metodología BJ y las técnicas de rezagos distribuidos que se discutirán en el siguiente capítulo. Entre estos temas se encuentran el proceso estocástico, la estacionariedad,3 el ruido blanco y la condición de ergodicidad que amplían un poco más las técnicas presentadas en el capítulo 4.

5.2.1. Proceso estocástico discreto, estacionariedad, ruido blanco y ergodicidad A partir de la definición de una serie de tiempo4 expuesta en capítulo anterior se deriva el proceso aleatorio o estocástico,5 entendido como el ejercicio que realizan las organizaciones especializadas de acumular información estadística sobre diversas variables. Esta composición se convierte en un proceso estocástico discreto (PED) porque los valores recopilados son obtenidos sin estar predeterminados. En otras palabras, se derivan de alguna metodología para su cálculo o monitoreo. Esta labor permite coleccionar datos o variables aleatorias ordenadas en el tiempo (Gujarati, 2003: 771) y abre paso a cualquier aplicación de las metodologías para analizar series de tiempo. 3 Es importante aclarar que el concepto de estacionariedad es diferente al de estacionalidad tratado en el capítulo anterior. En otras palabras, una variable estacionaria es distinta a una estacional. 4 Una serie de tiempo se define como un conjunto finito de observaciones recogidas en momentos consecutivos y homogéneos de tiempo. Esta frecuencia es un valor entero positivo discreto. 5

Un evento totalmente independiente, no relacionado con ningún suceso. En otras palabras, es un evento que se da por azar.


201

Además del concepto anterior y con el propósito de realizar pronósticos mediante BJ, el PED que se quiere predecir debe cumplir la condición de estacionariedad.6 Esta condición establece que la variable debe tener una distribución conjunta e incondicional7 que se mantiene constante a lo largo del tiempo. En otras palabras, su media o promedio aritmético (E [Yt ]), su varianza (Var [Yt ]) y la covarianza entre su valor actual y sus valores rezagados Cov ⎣⎡Yt , Yt − p ⎦⎤ no dependen del tiempo (Greene, 1998: 612).

(

)

Asimismo, cuando todos los momentos del PED (media, varianza, asimetría y curtosis) son finitos e independientes del tiempo determinan una serie temporal estricta o fuertemente estacionaria. En otras palabras, el PED es fuertemente estacionario cuando cumple las condiciones de estacionariedad débil y normalidad simultáneamente (el PED tiene una distribución normal). De esta forma, un PED es débilmente estacionario cuando su media, su varianza y la covarianza entre sus rezagos son constantes a lo largo del tiempo. No obstante, la característica de estacionariedad débil o fuerte en un PED resulta ser una serie de tiempo ruido blanco o totalmente estocástica, la cual no puede pronosticarse porque su condición aleatoria8 impide especificar una estructura ARMA, ARIMA o SARIMA para predecirla. Por esta razón, el PED únicamente debe cumplir que su media y su varianza sean finitas e independientes del tiempo (Gujarati, 2003: 772). Esto se puede probar analíticamente y estadísticamente para un PED sobre una muestra determinada. Como ejemplo de un PED débil o fuertemente estacionario, considérese la serie cuyas observaciones son varios lanzamientos de un dado. Si se registra cada resultado obtenido y el dado no está alterado de ninguna manera (no se hace trampa en su lanzamiento) es posible formar una serie y con ella obtener un PED. Los valores de esta serie fueron producidos completamente al azar, razón que impide encontrar un pronóstico antes del siguiente lanzamiento, 6 El término estacionario es tomado de la física y significa ‘que se reproduce de forma idéntica a lo largo del tiempo’.

Función de distribución de probabilidad conjunta p (Y1 , Y2 ,..., YT ) que resulta de la colección de datos individuales Y1 , Y2 ,..., YT . De esta misma forma la predicción para T +1 ) se obtiene mediante una función de distribución condicioel siguiente período (Y nal p Y T +1 Y1 , Y2 ,..., YT . En otras palabras, el pronóstico depende de las observaciones pasadas (Pindyck y Rubinfeld, 1998: 519). 7

(

8

)

Cualquier serie de tiempo con esta condición es impredecible como los juegos de azar.

202


dada su naturaleza totalmente estocástica. En pocas palabras, las series de tiempo de las loterías y los juegos de azar son impredecibles cuando no existe ningún tipo de fraude. A partir de la noción de estacionariedad expuesta anteriormente se puede introducir el concepto de ruido blanco, que se define como una serie de tiempo completamente aleatoria que no se puede pronosticar, dado que ambos comparten las mismas características (media, varianza y covarianza entre los rezagos independientes del tiempo). Otro concepto relacionado con la estacionariedad es la ergodicidad, que se manifiesta cuando la media y la varianza de una serie de tiempo convergen a sus mismos momentos poblacionales. Dicha condición resulta útil para distinguir entre las variables predecibles y las que no se pueden pronosticar como las series de ruido blanco (Greene, 2000: 721). Desafortunadamente no existe un procedimiento formal que permita deducir si una serie de tiempo es ergódica. Por esta razón, en la práctica se supone que una variable estacionaria es ergódica (Montenegro, 2007: 11). Para finalizar la conceptualización, las series de tiempo también pueden ser no estacionarias (es lo más común) porque su media, su varianza y la covarianza entre sus rezagos dependen del tiempo. Este caso predomina en la mayor parte de las series temporales, razón por la cual se exponen a continuación los métodos para detectar estacionariedad. Así, cuando el PED no es estacionario debe tratarse adecuadamente para conseguir que se convierta en un proceso estacionario con el fin de realizar pronósticos mediante la metodología BJ.

5.3. Estacionariedad y ruido blanco: métodos para detectarlos y alternativas de solución que conduzcan a obtener variables estacionarias Para abrirle paso a la metodología BJ para pronósticos univariados, en esta sección se considera el estudio de la estacionariedad mediante el análisis gráfico, el correlograma y las pruebas de raíz unitaria de Dickey y Fuller, que son las formas más convencionales en la teoría y en la práctica para detectarla. El correlograma ayuda a conocer si un PED es ruido blanco, aunque para esto también son utilizadas las pruebas Box-Pierce y Ljung-Box. También es importante resaltar la transformación en primeras diferencias, muy


203

empleada para conseguir que un PED sea estacionario cuando con los resultados de las pruebas presentadas a continuación se determina que no lo es.

5.3.1. Análisis gráfico para detectar estacionariedad Uno de los métodos más sencillos para determinar si un PED es estacionario consiste en realizar una gráfica con forma sinusoidal (cíclica), sin tendencia y con movimientos similares a los de un electrocardiograma. Bajo estas condiciones, el comportamiento del Baloto9 (Yt ) representado en la gráfica 5.1.A es el de un PED estacionario (ruido blanco). En otras palabras, si el componente y la naturaleza de la serie temporal son tendenciales, la variable no es estacionaria porque su media y su varianza son inestables a lo largo del tiempo. Este comportamiento puede apreciarse en la gráfica 5.1.B para el PIB colombiano, el cual es un PED no estacionario porque presenta una tendencia creciente y no se observa la forma sinusoidal (cíclica). La gráfica 5.1 es una primera aproximación para determinar si el PED es estacionario. Aunque es un método exploratorio, no es concluyente debido a que pueden existir períodos con y sin tendencia para el PED. Esto puede conducir a conclusiones erróneas sobre la estacionariedad del proceso. Para evitar este juicio de valor y llegar a una conclusión objetiva sobre el carácter estacionario de la serie, también existe la prueba gráfica del correlograma y el estadístico de raíz unitaria de Dickey y Fuller expuestos a continuación.

5.3.2. Análisis gráfico del correlograma para detectar estacionariedad y ruido blanco Otra prueba gráfica para detectar estacionariedad en una serie temporal o en un PED se denomina correlograma, derivada de la función de autocorrelación simple FAS ρp 10. La FAS depende de la función de autocovarianza ( J p = Cov ⎡⎣Yt , Yt − p ⎤⎦ ) y se estima como lo expresa la ecuación 5.1. En otras palabras, resulta del cociente entre la autocovarianza y la varianza (Var [Yt ,] = J0 ) de Yt . Cada valor de ro estimado ρp se grafica para obtener el correlograma de la FAS.

9

El Baloto es la lotería colombiana más comprada.

El subíndice p señala la longitud del rezago para U, para T = 1, 2,… , t − p . El valor de p generalmente equivale al 25% de la muestra. En otras palabras, si n = 80 entonces p = 20.

10

204


GRÁFICA 5.1.

Condición de estacionariedad A. Baloto Trayectoria temporal del Baloto

Baloto

30

20

10

0 0

0200

0400 Tiempo

0600

B. PIB Trayectoria temporal del PIB 70000000

PIB

65000000 60000000 50000000 55000000

2000q1

2002q3

2005q1

2007q3

2010q1

Tiempo Fuente: Elaboración propia con los datos del Baloto y el DANE.

Cov

(5.1)

Var

(

)

En la ecuación 5.1 ρp , toma valores únicamente entre -1 y 1 -1 £ ρp £ 1 y tiene una distribución normal éë ρp ∼ N ( μ, σ 2 )ùû con μ = 0 y V 2 = 1 n . A partir de esto, las gráficas 5.2.A y 5.2.B exponen el comportamiento de la FAS mediante el correlograma para el Baloto y el PIB graficados en la sección anterior.


205

Correlograma de la FAS

Fuente: Elaboración propia con los datos del Baloto y el DANE.

De esta manera, la gráfica 5.2.A muestra que el PED del Baloto es estacionario porque sus valores de ρ p se mueven sinusoidalmente dentro de su intervalo de confianza.11 Por su parte, la gráfica 5.2.B indica que el PIB no es estacionario puesto que sus estimaciones ρ p decrecen exponencialmente entre 1 y –1, llegan a cero y posteriormente toman valores negativos. También se puede observar que la mayor parte de las ρ p se encuentran fuera de su intervalo de confianza.

( )

11

De acuerdo con las la distribución normal prob ρp - 1.96 * 1 n £ ρp £

(

2 p ∼ N ( 0, 1 n ) y de propiedades para ρp ∼ N ( μ, σ ) ® ρ estándar, este intervalo de confianza equivale a p + 1.96 * 1 n = 0.95, con 95% de confianza para cada ρp. ρ

)

206

FIGURA 5.1.


Valores de la FAS y de la FAP

Por otra parte, las figuras 5.1.A y 5.1.B muestran los valores de la FAS (v. columnas AC)12 graficados en los correlogramas anteriores para el Baloto (sinusoidal entre 0.0208 y –0.0553) y el PIB colombiano (decrecen exponencialmente desde 0.9412 hasta –0.3657), respectivamente. En ellos pueden apreciarse numéricamente los comportamientos y las conclusiones sobre la estacionariedad descritos a partir de las gráficas 5.2.A y 5.2.B. También se observan los estimadores ρ p13 (v. columnas PAC)14 para la FAP y la prueba Ljung-Box (v. columnas Q).15 Los resultados descritos para la FAS y el estadístico Q ayudan a comprobar si el PED es ruido blanco.16 Por el momento, la FAP no desempeña un papel predominante en este análisis. FAS: Yt = U0 ± U1Yt −1 + Ut1 , Yt = U0 ± U2 Yt − 2 + Ut 2 ,…, Yt = U0 ± Up Yt − p + Utp FAP: Yt = U0 ± U1Yt −1 ± U2 Yt − 2 ± ... ± Up Yt − p + Ut

(5.2) (5.3)

No obstante, la diferencia entre la FAS y la FAP puede observarse en las ecuaciones 5.2 y 5.3. La FAS para cada rezago es semejante a un modelo de regresión lineal simple y la FAP a un modelo de regresión múltiple, 12

Indica autocorrelation.

13

Observe que los valores ρp para la FAS y la FAP son diferentes, es decir, ρp _ FAS ρp _ FAP.

14

PAC indica partial autocorrelation.

15

Estadístico Q de Box y Pierce.

16

Es importante tener en cuenta que toda serie de tiempo ruido blanco es estacionaria, pero no toda variable temporal estacionaria es ruido blanco.


207

aunque ninguna depende de variables independientes y sus respectivos son obtenidos empleando MCO. Su comporestimadores tamiento también se expone en un correlograma, lo que quiere decir que hay dos correlogramas, uno para la FAS y otro para la FAP (v. figura 5.1.A y 5.1.B) y Ut hace referencia al error (perturbación aleatoria del modelo). Una vez se han estimado los coeficientes de la FAS, por medio de ellos se establece si la serie Yt (Baloto y PIB) es un ruido blanco o un proceso estacionario. Para esto se emplea una prueba de significancia conjunta que determina si en conjunto los coeficientes estimados estadísticamente equivalen a cero. Esta hipótesis (v. pruebas de hipótesis 5.4 y 5.5) está soportada por la prueba Q de Box y Pierce y por la prueba Ljung-Box (LB) que aparecen en las ecuaciones 5.6 y 5.7. H0 : U1 = U2 = ... = Up = 0

La serie (el Baloto y el PIB en este caso) es ruido blanco, lo que implica automáticamente que es estacionaria (p = 29 como se puede ver en la figura 5.1).

(5.4)

H1 : U1 ≠ U2 ≠ ... ≠ Up ≠ 0

La serie (el Baloto y el PIB en este caso) no es ruido blanco, lo que posiblemente implica que es estacionaria.

(5.5)

Q n t 1 ρp Q ∼ χ 2p

(5.6)

ρ2 p LB ∼ χ 2p LB n n 2 t 1

n p

(5.7)

2

p

p

2 En las ecuaciones 5.6 y 5.7, n equivale al tamaño de la muestra, ρ p a cada estimador al cuadrado y p al número de rezagos calculados y evaluados. Ambos estadísticos tienen una distribución ji cuadrada Q, LB ∼ F 2p con p grados de libertad (número de rezagos calculados y evaluados). Si el valor calculado de Q o LB excede el valor crítico F 2p , se rechaza H0 y se concluye que Yt no es ruido blanco y, por lo tanto, es posible pronosticarla. Cuando el valor de los estadísticos es menor que el valor crítico, no se rechaza H0. Significa que es ruido blanco y puede afirmarse que Yt es estacionaria.

(

)

Estas condiciones expuestas en la hipótesis nula ( H0 ) y en la alterna ( H1 ) concluyen que toda variable dinámica que sea ruido blanco también es estacionaria y, por ende, no predecible. Sin embargo, no todo PED


208

estacionario es ruido blanco. De acuerdo con esto y con los resutados de la figura 5.1.A, no se rechaza la hipótesis nula para el Baloto y se puede afirmar que es ruido blanco no pronosticable. Por su parte, el PIB no es ruido blanco porque debe ser rechazada la hipótesis nula y tampoco es estacionario por su comportamiento tendencial que se puede ver en la caída exponencial de la FAS (v. gráfica 5.2.B y figura 5.1.B). Aunque lo anterior condujo a conclusiones preliminares sobre la estacionariedad del PIB, el correlograma de la FAS también es una prueba exploratoria y no concluyente sobre este aspecto. Por esta razón se prosigue con el análisis de raíz unitaria de Dickey y Fuller.

5.3.3. Análisis de raíz unitaria de Dickey y Fuller para detectar estacionariedad Una prueba estadística formal concluyente para la existencia de estacionariedad es la de raíz unitaria desarrollada por Dickey y Fuller (Gujarati, 2003: 788). Antes de abordarla analíticamente, en primera instancia se exponen los conceptos de caminata aleatoria y proceso integrado con el fin de poseer los elementos teóricos necesarios para su entendimiento y aplicación. Yt = Yt −1 + Ut

(5.8)

dado que Yt = P + Yt −1 + Ut , donde μ = β0 = 0 y β1 = 1 Así, la forma más sencilla de representar una caminata aleatoria (v. ecuación 5.8) está dada por el cambio sucesivo17 en Yt, que tiene media cero ( β0 = μ = 0) más el término de error (Ut ) o perturbación aleatoria del modelo (Pindyck y Rubinfeld, 1998: 519). La ecuación 5.8 indica que la variable Yt es igual a su valor rezagado un período (Yt −1 ) más un choque aleatorio (Ut ) .18

17

(Y

t −1

, Yt −2 , Yt , Yt+1 , Yt+ 2 ,… , Yt+ p ).

(

)

El valor esperado (E) del error es igual a cero E (Ut ) = 0, E (U1 ) = 0,..., E (U p ) = 0 , así como las covarianzas entre sus rezagos E (Ut U p ) = 0 para t ≠ p .

18

(

)


209

Caminata aleatoria pura sin intercepto y con media igual a cero

Nota: Ésta es una serie de tiempo hipotética con frecuencia anual entre 1902 y 2009.

En la ecuación 5.8 se puede determinar que su media es constante ( β0 = μ = 0), pero su varianza y sus covarianzas dependen del tiempo: γ 0 = γ 0t−p + pσ U2 t y γ p = γ 0t−p . Estas dos últimas características señalan que la caminata aleatoria (v. gráfica 5.3) expuesta en la ecuación 5.8 no es un proceso estacionario (v. demostración en el anexo 5.1). Yt + 1 = Yt + E (Ut + 1 ) = Yt

(5.9)

Yt + 2 = Yt + 1 + E (Ut + 2 ) = Yt + E (Ut + 1 ) + E (Ut + 2 ) = Yt

(5.10)

Yt + 3 = Yt + 2 + E (Ut + 3 ) = Yt + E (Ut + 1 ) + E (Ut + 2 ) + E (Ut + 3 ) = Yt

(5.11)

De este modo, los choques estocásticos (Ut + 1 , Ut + 2 , Ut + 3 ) de una caminata aleatoria son persistentes y por esa razón se dice que este proceso tiene t + p ) siempre converja una memoria infinita19 que hace que el pronóstico (Y a Yt (v. ecuaciones 5.9-5.11). Otro tipo de caminata aleatoria es la que lleva dirección (tendencia creciente o decreciente en Yt ).20 Recuerde que

19

(Y

20

Creciente si E0 > 0 y decreciente si E0 < 0 .

t−p

,..., Yt −2 , Yt −1 , Yt , Yt+1 , Yt+ 2 ,..., Yt+ p ) .

210


el componente tendencial describe el comportamiento de la media (P) en Yt . Ésta se denomina caminata aleatoria con deriva, media, variaciones o intercepto ( μ = β0 , como en la ecuación 5.12 y en la gráfica 5.4). Yt = E 0 + Yt −1 + Ut GRÁFICA 5.4.

(5.12)

Caminata aleatoria con variaciones

Nota: Ésta es una serie de tiempo hipotética con frecuencia anual entre 1902 y el 2009.

Por último, se destacan las caminatas aleatorias que tienen raíz unitaria21 ( E1 = 1) y tendencia22 ( E 2Tt ) . Éstas se encuentran definidas en las ecuaciones 5.13, 5.14 y 5.15, respectivamente. En esta última se puede apreciar que la primera diferencia es igual al ruido blanco o término de error (Ut ). En otras palabras, la primera diferencia ( 'Yt )23 de Yt es estacionaria. Yt = E1Yt −1 + Ut , donde 1 β1 1

(5.13)

21

Tenga en cuenta que, a diferencia de la caminata aleatoria pura expuesta en la ecuación 5.6, ahora aparece el coeficiente E1 multiplicando al primer rezago (Yt −1 ) de Yt .

22

En conclusión una caminata aleatoria, un proceso de raíz unitaria y un proceso no estacionario son considerados equivalentes.

23

Todos los aspectos sobre la primera diferencia y las ecuaciones en diferencia se encuentran en el anexo 5.3. Es recomendable su lectura previa antes de continuar la lectura de este capítulo.


211

Yt = E 0 + E1Yt −1 + E 2Tt + Ut

(5.14)

Yt = Yt −1 + Ut ⇒ Yt − Yt −1 = Ut ⇒ 'Yt = Ut

(5.15)

Teniendo en cuenta la ecuación 5.12, E0 , E1 y E 2 son los parámetros del modelo en la ecuación 5.14 que representan la media (P), la raíz unitaria y la constante de tendencia (Tt), respectivamente, y Ut hace referencia al error (perturbación aleatoria o ruido blanco en cada ecuación). Una vez definido el concepto de camita aleatoria, se aborda a continuación el concepto de proceso integrado (PIN) para realizar posteriormente el análisis de estacionariedad mediante la prueba de raíz unitaria de Dickey y Fuller (DF). Un proceso integrado se refiere al orden de diferenciación a partir del cual la serie temporal es estacionaria. En otras palabras, si la variable debe diferenciarse d veces para lograr que sea estacionaria, se dice que la serie es integrada de orden d y simbólicamente se escribe Yt ∼ I ( d). Así, cuando 'Yt es estacionaria significa que la serie Yt es integrada de orden uno [Yt ∼ I (1)] o que su primera diferencia es integrada de orden cero [ 'Yt ∼ I (0)]. Si la serie Yt es estacionaria sin necesidad de diferenciarla, se denomina integrada de orden cero [Yt ∼ I (0)]. Ahora es posible proseguir con el análisis de estacionariedad mediante la prueba DF de raíz unitaria. Esta prueba es considerada concluyente porque parte de hipótesis formales (v. 5.17 y 5.18) para determinar si la serie temporal es estacionaria. Al restar Yt −1 a ambos lados de la ecuación 5.13 se obtiene la ecuación 5.16 (donde δ = β1 − 1 y equivale al coeficiente del modelo). Yt − Yt −1 = β1Yt −1 + Ut − Yt −1 → ΔYt = ( β1 − 1) Yt −1 + Ut → ΔYt = δYt −1 + Ut (5.16) H0 : δ = 0 ; β1 = 1.

La serie Yt tiene raíz unitaria, es decir, es una ca- (5.17) minata aleatoria o simplemente no es estacionaria.

H1 : δ ≠ 0 ; β1 ≠ 1 . La serie Yt no tiene raíz unitaria, es decir, no es una (5.18) caminata aleatoria o simplemente es estacionaria.

La hipótesis nula ( H0 ) es rechazada por medio del estadisco tau24 (W). En este caso W debe tomar un valor negativo porque 1 β1 1 y debe ser

δ . El parámetro estimado es G y la expresión para su error estándar (SG ). Se les Sδ atribuye a Dickey y a Fuller (1979) y se compara con los valores críticos de la tabla de MacKinnon. 24

τ=

212


comparado en valor absoluto ( W ) con los valores críticos de MacKinnon25 al 1%, 5% o 10% de confianza, también en valor absoluto. Si W resulta positivo, significa que β1 > 1 y, por ende, Yt es una serie de tiempo explosiva no estacionaria. En este caso no se hace necesario realizar la prueba de hipótesis sobre la estacionariedad de Yt dado que automáticamente no es estacionaria. Si el estadístico W es negativo, el criterio para decidir rechazar H0 consiste en comparar W con el valor absoluto del número correspondiente en la tabla de MacKinnon (Engle y Granger, 1991, cap. 13). Si resulta mayor que el valor correspondiente al 1%, al 5% o al 10%, debe rechazarse H0 y se concluye que Yt cumple la condición de estacionariedad (en media y varianza). En cambio, cuando W es menor que estos valores no se rechaza H 0. La decisión de rechazar H0 siempre se toma con el estadístico W porque las pruebas parciales convencionales (con el estadístico t) resultan inadecuadas para concluir sobre la estacionariedad de Yt debido al sesgo del estimador ( δ ). También se puede cometer un error tipo I o tipo II por el sesgo de especificación implícito en el modelo de caminata aleatoria con raíz unitaria (ecuación 5.16) dado que puede tener tendencia e intercepto y el término de error (Ut ) puede estar correlacionado consigo mismo o con su pasado (autocorrelación residual). ΔYt = β 0 + δYt −1 + β 2 Tt + β 3 ΔYt − 1 + β 4 ΔYt − 2 + + β p + 2 ΔYt − p + Ut → (5.19) p+ 2

ΔYt = β 0 + δYt −1 + β1Tt + β p + 2 ∑ β=3 ΔYt − p +Ut

Por lo anterior es necesario especificar y probar las caminatas aleatorias con intercepto y tendencia (v. cuadro 5.1) de las ecuaciones 5.12 y 5.14, y además aplicar la prueba de Dickey y Fuller aumentada (DFA) para corregir el problema de autocorrelación residual. Esta última consiste en involucrar rezagos ('Yt −1 , 'Yt − 2 , , 'Yt − p ) de la variable dependiente ( 'Yt ) en DF (v. ecuación 5.19). El cuadro 5.1 contiene las formas DF y DFA para ayudar a determinar si las series son estacionarias.

25

Los valores se encuentran en Engle y Granger (1991, cap. 13).

FUNDAMENTOS DE ECONOMETRÍA INTERMEDIA: TEORÍA Y APLICACIONES CUADRO 5.1. Orden de integración de la serie 0 0 0 0 1 1 1 1 D D D D

213

Formas de los modelos para realizar pruebas de raíz unitaria DF y DFA Tipo de modelo No contiene intercepto ni tendencia Contiene intercepto pero no tendencia Contiene intercepto y tendencia Aumentado con intercepto y tendencia No contiene intercepto ni tendencia Contiene intercepto pero no tendencia Contiene intercepto y tendencia Aumentado con intercepto y tendencia No contiene intercepto ni tendencia Contiene intercepto pero no tendencia Contiene intercepto y tendencia Aumentado con intercepto y tendencia

Forma del modelo

ΔY = δYt −1 + Ut ΔYt = β0 +δYt −1 + Ut ΔYt = β0 +δYt −1 + β 2Tt + Ut ΔYt = β0 +δYt −1 + β 2Tt + β p+ 2 ∑ ΔYt − p + Ut Δ 2Yt = δΔYt −1 + Ut Δ 2Yt = β0 +δΔYt −1 + Ut Δ 2Yt = β0 +δΔYt −1 + β 2Tt + Ut Δ 2Yt = β0 +δΔYt −1 + β1Tt + β p+ 2 ∑ Δ 2Yt − p + Ut Δ d+1Yt = δΔ d Yt −1 + Ut Δ d+1Yt = β0 +δΔ d Yt −1 + Ut Δ d+1Yt = β0 +δΔ d Yt −1 + βTt + Ut Δ d+1Yt = β0 +δΔ d Yt −1 + β 2Tt + β p+ 2 ∑ Δ d+1Yt − p + Ut

Fuente: Elaboración propia a partir de Mendieta y Perdomo (2008: 129), Pulido y Pérez (2001), Gujarati (2003) y Greene (1998).

En el cuadro 5.1 las ecuaciones para 'Yt , ' 2 Yt y ' d +1Yt son las ecuaciones de primera, segunda y d+1 diferencias.26 El parámetro G está asociado a los rezagos (Yt −1 o 'Yt −1 ) en los períodos inmediatamente anteriores y equivale a δ = β1 + 1. Por su parte, E0 es el intercepto, E 2 es el coeficiente de tendencia (Tt) y E p+ 2 son constantes que acompañan las demás variables en cada modelo. Si G es estadísticamente igual a cero (de acuerdo con W ), se concluye que la serie tiene raíz unitaria o no es estacionaria. Ante esto se prosigue con la transformación de una serie no estacionaria en estacionaria (cuando G = 0) y con el orden de integración.

26

Todos los aspectos sobre la primera diferencia y las ecuaciones en diferencia se encuentran en el anexo 5.3. Es recomendable su lectura previa antes de continuar con la lectura de este capítulo.

214


5.3.4. Transformación de una serie no estacionaria en estacionaria y orden de integración Cuando se sospecha que una serie temporal no es estacionaria27 por los resultados de las pruebas gráficas (trayectoria en el tiempo y FAS) y de raíz unitaria (DF y DFA) presentadas anteriormente, es necesario recurrir a algún proceso de transformación con el fin de hacerla estacionaria y poder llevar a cabo la metodología BJ, la cual requiere que Yt sea estacionaria aunque no ruido blanco. Cuando Yt no es estacionaria en su media ( P) y varianza ( J 0 ) porque tiene tendencia,28 ésta puede ser removida mediante diferenciación ( ' d Yt ) de algún orden hasta conseguir que sea estacionaria. Aunque esta práctica generalmente corrige la media, en ocaciones su varianza sigue dependiendo del tiempo. En este caso la serie resultante sería estacionaria en su media pero no en su varianza. Yt = Yt −1 + Ut ⇒ Yt − Yt −1 = Ut ⇒ 'Yt = Ut ⇒ (1 − L)Yt = Ut

(5.20)

(1 − L)d Yt = Ut

(5.21)

ln(Yt ) = ln(Yt −1 ) + Ut ⇒ ln(Yt ) − ln(Yt −1 ) = Ut ⇒

(5.22)

'ln(Yt ) = Ut ⇒ (1 − L) ln(Yt ) = Ut

(1 − L)d ln(Yt ) = Ut

(5.23)

En este último caso es posible hacer estacionaria Yt en su media y su varianza aplicando el logaritmo a la variable [ ln(Yt )] y adicionalmente diferenciándola ⎡⎣ ' d ln(Yt )⎤⎦ . La primera difencia ( 'Yt ) representa económicamente el valor en que subió o disminuyó la variable entre un período y otro, mientras que la primera diferencia logarítmica [ 'ln(Yt )] representa su tasa de crecimiento o disminución porcentual (v. ecuaciones 5.20-5.23). 29 Si la variable Yt es integrada de orden uno [Yt ∼ I (1)], estacionaria en sus primeras diferencias, es porque la serie tiene una raíz unitaria. Si es 27

Esta característica prima en las series de tiempo que se trabajan en la práctica.

28

Cuando una serie tiene tendencia, su media y su varianza están relacionadas con el tiempo.

29 Todos los aspectos sobre el operador de rezago (L) , los polinomios de rezago ( I( L)) y su relación con las ecuaciones en diferencia se encuentran en los anexos 5.2 y 5.2.1. Es recomendable su lectura previa antes de continuar con la lectura de este capítulo.


215

integrada de orden dos [Yt ∼ I ( 2)], Yt tiene dos raíces unitarias y así sucesivamente. Es decir, si Yt es integrada de orden d [Yt ∼ I ( d)] , entonces la serie tiene d raíces unitarias y se deberá diferenciar d veces (Gujarati, 2003: 794). Sin embargo, las pruebas para detectar la estacionariedad (pruebas gráficas, FAS y DFA) y el orden de diferenciación o integración se utilizan cuando las series no contienen un componente estacional. Los temas de desestacionalización, estacionariedad y predicción para variables con estacionalidad son expuestos en la sección 5.5. Una vez desarrollado el tema de estacionariedad y con el fin de aplicar la metodología de pronóstico BJ a una serie no estacional, a continuación se expone esta técnica en el contexto de modelos univariados ARIMA.

5.4. Modelos univariados ARIMA y metodología Box-Jenkins Los componentes de tendencia y ciclo (abarcados hasta el momento) son elementos determinísticos o semideterminísticos de una serie temporal, mientras que el componente irregular es su característica aleatoria o estocástica (no determinística). Esta consideración dificulta un poco más los análisis para predecir una variable recopilada a lo largo del tiempo y hace más complejos los tratamientos determinísticos (tendencia y ciclo). En el mismo contexto, los métodos de atenuación exponencial del capítulo 4 no consideran su elemento estocástico (irregular). En cambio, los modelos univariados ARIMA desarrollados por Box y Jenkins incluyen tanto los componentes determinísticos (tendencia y ciclo) como el aleatorio (irregular) para proyectar Yt a partir de procesos AR y MA.

t + p ) de De esta forma, la metodología BJ pretende obtener la predicción (Y un PED estacionario a corto plazo (máximo tres períodos) a partir de una muestra representativa de más de 30 datos (Pulido y Pérez, 2001: 643). La metodología BJ se puede resumir de la siguiente manera:

1.

Es necesario familiarizarse con la serie. Hay que conocer el contexto histórico y las políticas que han afectado la serie a lo largo del tiempo con el fin de conocer los posibles cambios estructurales que surgieron por distintos fenómenos económicos o políticos o por algún cambio en la metodología de medición o recolección del PED.

216


2.

El primer análisis que se debe realizar con esta metodología es determinar si la variable de estudio es estacionaria30 o ruido blanco31 (es importante recordar que si es ruido blanco no se puede predecir). Para esto se realizan las pruebas gráficas (trayectoria temporal y correlograma de la FAS), la prueba Q y la DFA. También se debe determinar el orden de integración de la variable en cuestión.32

3.

Se identifica el proceso generador de datos (AR y MA) mediante los correlogramas (FAS y FAP) de la variable estacionaria.

4.

Se especifica y se estima33 un modelo AR, MA, ARMA (para variables integradas de orden cero), ARIMA (para variables integradas de algún orden) o SARIMA (ARIMA estacional, v. sección 5.5).

5.

Se valida el modelo especificado y estimado mediante las pruebas de significancia parcial (con el estadístico Z de la distribución normal estándar) y global (con el estadístico de Wald o la prueba de RV), las raíces invertidas de AR y MA (menores que uno),34 los residuales ruido blanco (no autocorrelacionados), la distribución normal de los residuales (independientes e idénticamente distribuidos) y la ausencia de heteroscedasticidad en la varianza de los residuales.

6.

Se realiza el pronóstico de corto plazo con el modelo correctamente especificado y validado mediante las pruebas del numeral anterior. t o Y t + p ) mediante una gráfica en la que se Se valida la predicción (Y comparan los valores observados con los proyectados. También es necesario tener en cuenta los indicadores del error de pronóstico (v. cuadro 4.4): el promedio del valor absoluto del error (PVAE), el promedio del error al cuadrado (PEC), el porcentaje del promedio del valor absoluto del error (PPVAE), la raíz cuadrada del promedio de la suma de errores al cuadrado (RCPSEC) y coeficiente de Theil (CT).

7.

30

Su media aritmética y su varianza no dependen del tiempo.

31

La media aritmética, la varianza y la covarianza entre sus rezagos no dependen del tiempo. Es totalmente aleatoria y no se puede pronosticar utilizando un modelo ARIMA dado que no permite conocer el proceso generador de datos (AR y MA) de la variable.

32

Integrada de orden cero (estacionaria en su nivel original), uno (estacionaria en la primera diferencia 'Yt = Yt − Yt −1 ) o dos (estacionaria en la segunda diferencia ' 2Yt = Yt − 2Yt −1 + Yt −2 ).

33

Mediante los métodos de mínimos cuadrados no lineales, MV o Yule-Walker si el proceso es únicamente AR (v. sección 5.4.2).

34

Más detalles se encuentran en los anexos 5.4.1 y 5.5.


8.

217

Por último se utilizan los resultados para tomar decisiones.

En las siguientes secciones se cubren en detalle cada uno de los incisos presentados desde el numeral 3. En la sección 5.5.2 se presenta un esquema que resume el proceso de la metodología BJ.

5.4.1. Identificación del proceso generador de datos (AR, MA, ARMA y ARIMA) Los modelos univariados (ARIMA) se denominan modelos de series de tiempo estocásticas. En otras palabras, éstos suministran descripciones sobre la naturaleza aleatoria del proceso generador de datos (PGD). Esta descripción no es resultado de una relación causa-efecto (como los modelos de regresión convencionales), sino es una función que añade la aleatoriedad del proceso (Pindyck y Rubinfeld, 1998: 514). Por esta razón los procesos AR y MA, una vez estimados sus parámetros ( φ y θ ) cuyos valores deben estar dentro del círculo unitario,35 son utilizados para construir modelos ARIMA de series de tiempo, los cuales buscan explicar el movimiento de Yt para poder pronosticarla a partir de su propio pasado (AR,36 v. ecuación 5.24), de los rezagos del error (MA,37 v. ecuación 5.25) o de una combinación de ambos (ARMA, v. ecuación 5.26). Yt = f (Yt −1 , Yt − 2 , , Yt − p )

(5.24)

Yt = f (Ut , Ut −1 , Ut − 2 , , Ut − q )

(5.25)

Yt = f (Yt −1 , Yt − 2 , , Yt − p , Ut , Ut −1 , Ut − 2 , , Ut − q )

(5.26)

El orden de integración de la serie y el PGD (AR, MA o ARMA) especifican el modelo que será estimado. Por ejemplo, la estructura para realizar la predicción de una serie estacionaria como Yt ∼ I (0) posiblemente sea AR (p), MA (q) o ARMA (p, q). Ahora, si se trata de una serie estaciona-

35 Es la región factible donde I y T se encuentran entre –1 y 1 garantizando que Yt sea estacionaria y que el proceso sea invertible, como se muestra en el anexo 5.4.1.

El subíndice t − p representa los p períodos rezagados de Yt o los valores de Yt que ocurrieron p períodos atrás.

36

El subíndice t − q representa los q períodos rezagados de Ut o los valores de Ut que ocurrieron q períodos atrás. 37

218


ria integrada de orden 1 o de orden d [Yt ∼ I (1) o Yt ∼ I ( d)] seguramente tendrá una forma ARIMA (p, d, q)38. Para especificar la forma del proceso, supongamos que una vez realizadas la pruebas de estacionariedad de la sección 5.3 se determina que Yt es estacionaria e integrada de orden cero [Yt ∼ I (0)]. La estructura de su PGD puede estar dada por un AR (p), un MA (q) o un ARMA (p, q), como lo exponen las ecuaciones 5.24, 5.25 y 5.26, las cuales pueden observarse y determinarse en los correlogramas de la FAS y la FAP de la figura 5.2. De acuerdo con la figura 5.2 se puede determinar que el PGD de Yt es un AR (1) cuando se observa lo siguiente: 1.

La FAS decrece de manera exponencial y simultáneamente el primer rezago de la FAP está fuera de su intervalo de confianza para los valores positivos de ρ 0 ρ 1.

2.

La FAS tiene movimientos sinusoidales y simultáneamente el primer rezago de la FAP está fuera de su intervalo de confianza para los valores negativos de ρ 0 ρ 1. Yt = δ + φYt −1 + Ut ⇒ (1 − φL ) Yt = δ + Ut ⇒ φ( L)Yt = δ + Ut

(5.27)

Con cualquiera de los dos comportamientos anteriores de la FAS y la FAP se puede especificar y estimar el modelo AR (1) de la ecuación 5.27, donde G y I son el intercepto y el componente friccional,39 respectivamente. Por su parte, G equivale a la media40 ( δ = μ) de Yt , Ut es el término aleatorio o error (ruido blanco), L es el operador de rezago y I( L) es el polinomio de rezago.41 De acuerdo con la figura 5.2 se puede determinar que el PGD de Yt es un AR (2) cuando se observa lo siguiente:

1. La FAS decrece de manera exponencial y simultáneamente los dos primeros rezagos de la FAP están fuera de su intervalo de confianza para los valores positivos de ρ . 38 d se refiere al número de diferencias ( ' d Yt ) realizadas para convertir Yt en una serie estacionaria en su media y su varianza.

I no tiene interpretación económica, pero equivale al peso o a la influencia que tiene el pasado inmediatamente anterior de la variable (Yt−1 ) sobre su comportamiento actual, Yt. En otras palabras, I es el valor friccional que viene desde atrás hacia delante. 39

40

La demostración se encuentra en el anexo 5.4.

Todos los aspectos sobre el operador de rezago (L), los polinomios de rezago [ I( L)] y su relación con las ecuaciones en diferencia se encuentran en los anexos 5.2 y 5.3. 41


219

Correlogramas de la FAS y la FAP para los procesos AR, MA y ARMA Modelo AR

Modelo MA

AR (1)

MA (1)

FAS

FAP

FAS

FAP

FAS

FAP

FAS

FAP

FAS

FAP

FAS

FAP

FAS

FAP

FAS

FAP

FAS

FAP

FAS

FAP

FAS

FAP

FAS

FAP

AR (2)

MA (2)

(Continúa)

220


FIGURA 5.2.

Correlogramas de la FAS y la FAP para los procesos AR, MA y ARMA (continuación) Modelos ARIMA ARMA (1,1)

FAS

FAP

FAP

FAS

FAP

FAP

FAS

FAP

FAS

FAP

FAS

FAS

Fuente: Pulido y Pérez (2001: 649). Nota: Las FAS se encuentran a la izquierda y las FAP a la derecha para las distintas formas AR, MA y ARMA.

2.

La FAS tiene moviemientos sinusoidales y simultáneamente los dos primeros rezagos de la FAP están fuera de su intervalo de confianza, intercalando el valor negativo y el positivo de ρ o solamente hacia el lado de los negativos. Yt = δ + φ1Yt −1 + φ2 Yt − 2 + Ut ⇒

(1 − φ L − φ L ) Y 2

1

2

t

(5.28)

= δ + Ut ⇒ φ( L)Yt = δ + Ut

(

)

Yt = δ + φ1Yt −1 + φ2 Yt − 2 + + φp Yt − p + Ut ⇒ 1 − φ1 L − φ2 L2 − − φp Lp Yt

(5.29)

= δ + Ut ⇒ φ( L)Yt = δ + Ut

Con los dos comportamientos anteriores de la FAS y la FAP se puede especificar y estimar el modelo AR (2) de la ecuación 5.28, donde δ, φ1 y φ2 son el intercepto y los componentes friccionales, respectivamente. Por su


221

parte, G equivale a la media (P) de Yt , Ut al término aleatorio o error (ruido blanco), L al operador rezago y A(L) al polinomio de rezago.42 Asimismo, la ecuación 5.29 representa un AR (p). De acuerdo con la figura 5.2 se puede determinar que el PGD de Yt es un MA (1) cuando se observa lo siguiente: 1.

La FAP tiene movimientos sinusoidales y simultáneamente el primer rezago de la FAS está fuera de su intervalo de confianza para los valores positivos de ρ .

2.

La FAP no tiene movimientos (no existen porque estadísticamente 0 ) y el primer rezago de la FAS está fuera de su intervalo de ρ confianza para los valores negativos de ρ . Yt = δ − θUt −1 + Ut ⇒ Yt −δ = (1 − θL)Ut ⇒ Yt −δ = θ( L)Ut

(5.30)

Cuando la FAS y la FAP tienen estos comportamientos se puede especificar y estimar el modelo MA (1) de la ecuación 5.30, donde G y T son el intercepto y el componente friccional43 del residuo, respectivamente, Ut es el término aleatorio o error (ruido blanco), L el operador de rezago y T( L) el polinomio de rezago. De acuerdo con la figura 5.2 se puede determinar que el PGD de Yt es un MA (2) cuando se observa lo siguiente: 1.

La FAP crece de manera exponencial desde los valores negativos hacia los positivos de ρ y los dos primeros rezagos de la FAS están fuera de su intervalo de confianza para los valores negativos de ρ .

2.

La FAP no tiene movimientos (no existen porque estadísticamente 0 ) o tienen forma sinusoidal y simultáneamente los dos primeρ ros rezagos de la FAS están fuera de su intervalo de confianza, intercalando los valores negativos y positivos de ρ o solamente hacia el lado de los positivos. Yt = δ − θ1Ut −1 − θ 2Ut − 2 + Ut ⇒

(5.31)

Yt − δ = (1 − θ1 L − θ 2 L2 )Ut ⇒ Yt − δ = θ( L)Ut 42

Para más detalles sobre los procesos AR véase la demostración en el anexo 5.4.

T no tiene interpretación económica, pero equivale al peso o la influencia que tiene el pasado inmediatamente anterior del error (Ut−1 ) sobre el comportamiento actual de Yt. Recoge todos los choques exógenos actuales y anteriores que no son fácilmente controlables para explicar Yt. 43

222


Yt = δ − θ1Ut −1 − θ 2Ut − 2 − + θ 2Ut − q + Ut ⇒

(

(5.32)

)

Yt − δ = 1 − θ1 L − θ 2 L − .. − θ q L Ut ⇒ Yt − δ = θ(L)Ut q

2

Con las características anteriores de la FAS y la FAP se puede especificar y estimar el modelo MA (2) de la ecuación 5.31, donde δ, θ1 y θ 2 son el intercepto y los componentes friccionales del residuo, respectivamente. Ut es el término aleatorio o error (ruido blanco), L el operador de rezago y T( L) el polinomio de rezago. La ecuación 5.32 representa un MA (q). Por último, de acuerdo con la figura 5.2 se puede determinar que el PGD de Yt es un ARMA (1,1) cuando se observa lo siguiente: 1.

La FAS y la FAP decrecen o crecen exponencialmente de manera simultánea desde los valores positivos hacia los negativos de ρ o viceversa, y el primer rezago de ambas está fuera de su intervalo de confianza para los valores positivos o negativos de ρ según su dirección.

2.

La FAS y la FAP tienen movimientos sinusoidales y su primer rezago está fuera de su intervalo de confianza, intercalando los valores negativos y positivos de ρ o solamente hacia alguno de estos lados. Yt = δ + φYt −1 − θUt −1 + Ut ⇒ (1 − φL ) Yt − δ = (1 − θL )Ut ⇒

(5.33)

φ( L)Yt − δ = θ( L)Ut Yt = δ + φ1Yt −1 + φ2 Yt − 2 ++ φp Yt − p − θ1Ut −1 − θ 2Ut − 2 − − θ qUt − q + Ut ⇒

(1 − φ L − φ L

2

1

2

)

(

)

− − φp Lp Yt − δ = 1 − θ1 L − θ 2 L2 − − θ q Lq Ut ⇒

(5.34)

φ( L)Yt − δ= θ( L)Ut

Cuando la FAS y la FAP tienen estos comportamientos se puede especificar y estimar el modelo ARMA (1,1) de la ecuación 5.33, donde δ, φ y θ son el intercepto y los componentes friccionales, respectivamente. Ut es el término aleatorio o error (ruido blanco), L el operador de rezago y φ( L) y θ( L) son polinomios de rezago AR y MA, respectivamente. La ecuación 5.34 representa un ARMA (p, q). Una vez realizado un análisis general para identificar el PGD de Yt , mediante las estructuras AR, MA y ARMA, en el cuadro 5.2 se encuentran resumidos los principales comportamientos de la FAS y la FAP que caracterizan dichos procesos, con el fin de especificar y estimar mediante


223

mínimos cuadrados no lineales (MCNL), máxima verosimilitud (MV) o Yule-Walker (YW) si es un caso específico de un AR, el modelo más adecuado para generar el pronóstico de la serie. CUADRO 5.2.

Procesos AR, MA o ARMA según el comportamiento de la FAS y de la FAP

FAS

FAP

Todos las correlaciones iguales a cero.

Todos las correlaciones iguales a cero.

Caída exponencial directa a cero.

Primera correlación positiva y significativa. Todas las demás estadísticamente iguales a cero.

AR (1)

Caída exponencial oscilatoria a cero.

Primera correlación negativa y significativa. Todas las demás estadísticamente iguales a cero.

AR (1)

Caída a cero; puede ser oscilatoria.

p correlaciones significativas (pueden ser positivas, negativas o intercaladas). Todas las demás estadísticamente iguales a cero.

AR (p)

Primera correlación positiva y significativa. Todas las demás estadísticamente iguales a cero.

Caída oscilatoria a cero.

Primera correlación negativa y significativa. Todas las demás estadísticamente iguales a cero.

Caída directa a cero.

q correlaciones significativas (pueden ser positivas, negativas o intercaladas). Todas las demás estadísticamente iguales a cero.

Caída a cero; puede ser oscilatoria.

Caída exponencial directa a cero a partir de la primera correlación.

Caída exponencial directa a cero a partir de la primera correlación.

ARMA (1,1)

Caída exponencial oscilatoria a cero a partir de la primera correlación.

Caída exponencial oscilatoria a cero a partir de la primera correlación.

ARMA (1,1)

Caída a cero que puede ser oscilatoria a partir del rezago q.

Caída a cero que puede ser oscilatoria a partir del rezago p.

Fuente: Enders (2004: 85).

Tipo de proceso Ruido blanco

MA (1)

MA (1)

MA (q)

ARMA (p,q)

224


No obstante, si se encuentra mediante los correlogramas de la FAS y la prueba LB que Yt ∼ I (0), Yt ∼ I (1) o Yt ∼ I ( d) son ruido blanco, entonces ninguna de estas series es predecible. Esto se debe a que su PGD es inobservable o que es imposible especificar las estructuras AR, MA o ARMA para un modelo univariado (ARIMA), como ocurrió en el caso expuesto sobre el Baloto en la figura 5.1, cuya serie no diferenciada resultó ser estacionaria [ Balotot ∼ I (0)]. Se retoma ahora el ejemplo del Baloto en la figura 5.3, donde se puede observar que la FAS y la FAP carecen de movientos, dado que el valor de cada ρ es estidísticamente igual a cero. Por esta razón no se puede determinar su PGD mediante las estructuras AR, MA y ARMA señaladas en la figura 5.2 y, por lo tanto, no es posible especificar y estimar un modelo univariado para su pronóstico. Para finalizar la etapa de identificación del PGD, las trayectorias para la FAS y la FAP de Yt en la figura 5.2 y el cuadro 5.2 se pueden utilizar también en los correlogramas para series estacionarias integradas

FIGURA 5.3.

Valores de la FAS y de la FAP para el Baloto


225

de orden 1 o d que hubiesen sido diferenciadas con el fin de obtener estacionariedad. Una vez especificado el modelo, la estimación de los procesos (AR, MA, ARMA o ARIMA) es el siguiente paso dentro de la metodología BJ.

5.4.2. Métodos para estimar modelos AR, MA, ARMA y ARIMA La estimación de los coeficientes para los procesos AR, MA y ARMA (p, q) puede ser efectuada mediante distintos métodos como MCNL, MV y YW, según el caso especificado, es decir, según el grado de integración (d) de Yt y el orden de integración de las estructuras AR y MA (esto es, p y q respectivamente). Asimismo, en el cuadro 5.3 se exponen los modelos con las características señaladas. De acuerdo con cada modelo especificado en el cuadro 5.3, la estimación puede obtenerse mediante Yule-Walker y la de θ de los coeficientes δ y φ mediante MCNL o MV. Estos métodos se exponen a continuación. CUADRO 5.3. Orden de integración de la serie Yt

Plataformas ARIMA para predecir una serie de tiempo Orden del proceso y modelo ARIMA (p, d, q)

Forma del modelo

0

AR(1) o ARIMA (1, 0, 0)

Yt = δ + φYt −1 + Ut

0

MA(1) o ARIMA (0, 0, 1)

Yt = δ − θUt −1 + Ut

0

ARMA(1, 1) o ARIMA (1, 0, 1)

Yt = δ + φYt −1 − θUt −1 + Ut

0

AR(p) o ARIMA (p, 0, 0)

Yt = δ + φ1Yt −1 ++ φpYt − p + Ut

0

MA(q) o ARIMA (0, 0, q)

Yt = δ − θ1Ut −1 −−θ qUt −q + Ut

0

ARMA(p, q) o ARIMA (p, 0, q)

1

ARIMA (1, 1, 0)

ΔYt = δ + φΔYt −1 +ΔUt

1

ARIMA (0,1, 1)

ΔYt = δ − θΔYt −1 +ΔUt

1

ARIMA (1, 1, 1)

ΔYt = δ + φΔYt −1 − θΔUt −1 +ΔUt

1

ARIMA (p, 1, 0)

ΔYt = δ + φ1ΔYt −1 + + φp ΔYt − p +ΔUt

1

ARIMA (0, 1, q)

ΔYt = δ − θ1ΔUt −1 − − θ q ΔUt −q +ΔUt

Yt = δ + φ1Yt −1 ++ φpYt − p − θ1Ut −1 − − θ qUt −q + Ut

(Continúa)


226

CUADRO 5.3.

Plataformas ARIMA para predecir una serie de tiempo (continuación) ΔYt = δ + φ1ΔYt −1 + + φp ΔYt − p

1

ARIMA (p, 1, q)

d

ARIMA (1, d, 0)

Δ d Yt = δ + φΔ d Yt −1 + Δ dUt

d

ARIMA (0,d, 1)

Δ d Yt = δ − θΔ dUt −1 + Δ dUt

d

ARIMA (1, d, 1)

Δ dYt = δ + φ1Δ dYt −1 − θ1Δ dUt −1 + Δ dUt

d

ARIMA (p, d, q)

− θ1ΔUt −1 −−θ q ΔUt −q +ΔUt

Δ dYt = δ + φ1Δ dYt −1 + + φp Δ dYt − p − θ1Δ dUt −1 − − θ q Δ dUt −q + Δ dUt


5.4.2.1. Método Yule-Walker para procesos AR (p)

El método YW es empleado únicamente para estimar los parámetros del proceso AR de algún orden (1, 2, …, p) como los describe la ecuación 5.35. Los parámetros se obtienen a partir de los valores de ρ en la FAS expuesta en la sección 5.3.2 (v. ecuación 5.36).44 Adicionalmente esta metodología suministra los valores iniciales requeridos bajo MCNL o MV, como se puede ver en las secciones 5.4.2.2 y 5.4.2.3. Yt = δ + φ1Yt −1 + + φp Yt − p + Ut

(5.35)

ρp = φ1 ρp −1 + φ2 ρp − 2 + + φp ρp − g

(5.36)

A partir de las ecuaciones 5.35 y 5.36 se desarrolla el siguiente sistema en un proceso AR (p). para estimar matricialmente ρ1 = φ1 + φ2 ρ1 + + φp ρp −1

ρ2 = φ1 ρ1 + φ2 + + φp ρp − 2

(5.37)

ρp = φp −1 ρp −1 + φ2 ρp − 2 + + φp

El sistema 5.37 puede transformarse matricialmente (v. ecuaciones 5.38, 5.39 y 5.40) de la siguiente forma:

44

en el rezago t-p-1. Para más detalles véase el anexo 5.4. g equivale a ρ

FUNDAMENTOS DE ECONOMETRÍA INTERMEDIA: TEORÍA Y APLICACIONES ⎡ ρ1 ⎤ ⎡ 1 ⎢ρ ⎥ ⎢ ρ ⎢ 2⎥ = ⎢ 1 ⎢

⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ρp ⎥⎦ px 1 ⎣⎢ ρp −1

ρ1 1

… …

ρp − 2 …

ρp −1 ⎤ ⎡ φ1 ⎤ ρp − 2 ⎥ ⎢ φ2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥

⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ φp ⎥⎦ pxp px 1

227

(5.38)

φ ρ R

(5.39)

R 1 ρ φ

(5.40)

La ecuación 5.39 corresponde a la expresión matricial del sistema 5.37, donde U es un vector columna de tamaño px1 que contiene todos los valores poblacionales de U para la FAS. R es una matriz cuadrada de tamaño pxp que contiene los U poblacionales y una diagonal principal de unos. Por último, I es un vector columna de tamaño px1 donde se encuentran los parámetros poblacionales del proceso AR (p) de la ecuación 5.35. A partir de lo anterior puede despejarse I en 5.39 para conseguir los esti del proceso AR (p) en la ecuación 5.40. Éste es el procedimadores φ 1 es la inversa estimada de la matriz cuadrada R yρ miento YW. Así, R es un vector columna de tamaño px1 que contiene todos los valores esti , mediante YW, éstos mados de U. Una vez calculados los elementos de φ se utilizan para iniciar el método no lineal que se explica en la siguiente sección. 5.4.2.2. Método de mínimos cuadrados no lineales para procesos AR(p) y MA(q)

El método de MCNL es utilizado con el fin de calcular los otros coeficientes ( T 1 , T 2 ,..., T q ) asociados al componente MA cuando la especificación del modelo corresponde a un MA (q), ARMA (p, q) o ARIMA (p, d,q) de acuerdo con el cuadro 5.3. No obstante, previamente deben obtenerse del proceso AR mediante el método YW. los estimadores φ

(

)

,φ ,..., φ , θ 1 , θ 2 ,..., θ q El objetivo es encontrar estimadores AR y MA φ 1 2 p que minimicen la suma de errores al cuadrado (SEC) que aparece en la ecuación 5.41. Los estimadores deben obtenerse mediante MCNL debido a la no linealidad de T −1 ( L) en los parámetros MA ( T 1 , T 2 ,..., T q ), situación que puede observarse en la ecuación 5.42 suponiendo G = 0 y despejando el polinomio de rezago [ T( L)] para el componente MA desde la ecuación 5.34. En este caso se incumple el supuesto de linealidad en los coeficientes, razón por la cual es imposible aplicar MCO.


228

T

SEC =

∑

n= d + p+1

(

T ,φ ,..., φ , θ 1 , θ 2 ,..., θ q Ut2 = ∑ n = d + p + 1 Ut φ p 1 2

θ −1 ( L) φ( L)Yt = Ut

)

2

(5.41) (5.42)

En este orden de ideas, MCNL soluciona el problema planteado en la ecuación 5.42 a partir de los siguientes métodos numéricos: ensayo y error (búsqueda directa), optimización directa o linealización iterativa (expansión de una serie de Taylor mediante Gauss-Newton o NewtonRaphson).45 Ahora, intuitivamente los estimadores de un MA (q) pueden obtenerse a partir de los encontrados en AR (p) con YW de la siguiente forma: θ 1 = − φ 1 θ 1 − φ θ 2 = φ 1 2 θ 1 + φ θ 2 − φ θ 3 = φ 1 2 3

(5.43)

θ 1 + φ θ 2 + θ 3 θ 3 + ... − φ θ q = φ p 1 2

Por otra parte, además de YW y MCNL también existe el método de máxima verosimilitud que se expondrá en la siguiente sección y se utiliza para calcular los estimadores MA, ARMA o ARIMA. No obstante, MV requiere previamente los valores iniciales obtenidos a partir de YW para los procesos AR y resuelve igualmente el problema no lineal con los métodos numéricos de MCNL. 5.4.2.3. Método de máxima verosimilitud para procesos AR (p) y MA (q)

Otro método adecuado estadísticamente para estimar los parámetros de los procesos MA, ARMA o ARIMA es MV, cuyos estimadores ,φ ,..., φ , θ 1 , θ 2 ,..., θ q deben maximizar la función de verosimilitud φ 1 2 p con respecto a la varianza ( V U2 )46 del error. De manera equivalente es posible maximizar el logaritmo de la función de verosimilitud (l) de las ecuaciones 5.44 y 5.45.

(

)

t

45

Para más detalles algebraicos véase Pindyck y Rubinfeld (1998, cap.10) y Gujarati (2003, cap.14). T

46

V

2 Ut

=

∑

t2 U

n = d + p +1

n−d−p−q

.


229

(5.44)

⎛ n − d − p⎞ 2 l σ U2 t , θ −1 ( L) φ( L) = − ⎜ ⎟⎠ ⎡⎣ ln ( 2 π) + ln σ Ut ⎤⎦ 2 ⎝

(

)

−

1 2 σ U2 t

∑

T n= d+ p+1

(θ

−1

( L) φ( L)Yt

)

2

(5.45)

Las ecuaciones 5.45 y 5.44 no tienen solución analítica. Por lo tanto, se utilizan el método YW y las técnicas numéricas de MCNL para encontrar ,φ ,..., φ , θ 1 , θ 2 ,..., θ q con el fin de resolver el problema y obtener estiφ 1 2 p madores AR y MA que maximicen el logaritmo de la función de verosimilitud. Este último método finaliza la etapa de estimación de los modelos univariados en la metodología BJ y en la siguiente sección se explica su validación.

5.4.3. Validación de los modelos AR, MA, ARMA y ARIMA estimados mediante YW, MCNL o MV La verificación del modelo estimado es el siguiente paso en la técnica BJ. Las etapas previas de este procedimiento son la identificación del PGD de una serie estacionaria mediante los comportamientos simultáneos de los correlogramas de la FAS y la FAP y su respectiva estimación por cualquiera de los métodos estudiados en la sección anterior (YW, MCNL o MV). En las etapas de identificación y estimación del PGD puede contarse con varias especificaciones AR, MA, ARMA o ARIMA. En consecuencia, debe realizarse la validación de cada proceso estimado con el fin de conocer cuál es el que minimiza la suma de errores al cuadrado, pues éste es considerado como el mejor modelo estimado entre el conjunto de las distintas posibilidades con que se cuente. A continuación se plantean algunas pautas para validar47 un modelo: 47

Tenga en cuenta que dentro de éstos no se debe tener presente el coeficiente de deter2 minación R2 o el ajustado R porque los estimadores no son obtenidos mediante MCO sino mediante YW, MCNL o MV.

230


1.

Sus estimadores deben ser relevantes individualmente según las pruebas de significancia parcial (con el estadístico Z de la distribución normal estándar).

2.

Sus estimadores deben ser relevantes globalmente según las pruebas de significancia conjunta o global (con el estadístico de Wald o la prueba RV).

3.

La mejor estructura ARIMA debe tener el valor más pequeño según los criterios de Akaike y Schwarz (CA y CS). En otras palabras, el modelo seleccionado será aquel cuyos valores de CA y CS sean menores (la comparación no debe hacerse en valor absoluto). En la sección 4.4 se encuentran las expresiones de CA y CS.

4.

El término estocástico (Ut ) debe tener una distribución normal según el estadístico Jarque-Bera,48 como se señaló en la sección 4.4.

5.

El término estocástico (Ut ) debe ser ruido blanco, lo que significa que no puede haber autocorrelación entre los errores (esto se verifica con el estadístico Q y la prueba LB expuestos en la sección 5.3.2).

6.

Se deben obtener las raíces del polinomio característico para verificar si se cumple la condición de estacionariedad. Las raíces invertidas del AR y del MA deben ser menores que uno, se pueden obtener analíticamente a partir del polinomio característico del modelo (v. anexo 5.5) y son calculadas por la mayoría de programas computacionales de análisis estadístico.

Comprendida la etapa de validación que ayuda a seleccionar la mejor especificación del modelo para predecir Yt que minimice la suma de errores al cuadrado, las siguientes secciones exponen el pronóstico y su respectiva evaluación que son la última parte de la metodología BJ.

5.4.4. Pronóstico con el modelo validado y seleccionado Una vez se cuenta con un modelo estimado que cumpla los criterios de validez anteriores, éste puede ser utilizado para realizar pronósticos (Y t + p ). Por simplicidad, considere un modelo AR (1) (v. cuadro 5.3) con t + 1 ). Para esto el fin de predecir el valor de Yt para el período siguiente (Y basta con plantear la expresión 5.46 en términos de t+1 (v. ecuación 5.47). Yt = δ + φYt −1 + Ut

48

(5.46)

En Gujarati (2003: 142-144) se pueden encontrar más detalles sobre esta prueba.

FUNDAMENTOS DE ECONOMETRÍA INTERMEDIA: TEORÍA Y APLICACIONES t + 1 = δ + φ Y Y t

231

(5.47)

A partir de la ecuación 5.47 se realiza la proyección reemplazando los ) obtenidos por YW y el último valor observado de Y . estimadores ( δ , φ t t + 2 ) o tres (Y t + 3 ) períodos Este proceso se repite si se quiere predecir dos (Y posteriores (v. ecuaciones 5.48 y 5.49) con un modelo AR (1). t + 2 = δ + φ Y t +1 Y

(5.48)

t + 3 = δ + φ Y t+2 Y

(5.49)

t + p = δ + φ Y Y 1 t + p − 1 + + φ p Yt − θ 1 U t + q − 1 − − θ q U t

(5.50)

t + 1 = δ + φΔ Y − θΔ U t ΔY t t +1 = Y t +1 − Y 'Y t

(5.51)

t +1 = Y t +1 + Y Y t t + p = δ + φ Δd Y t + p −1 + + φ Δ d Y − θ 1 Δ d U t + q −1 − − θ q Δ d U t Δd Y t p 1

t + p = ' (' d −1 Y t ) 'd Y

(5.52)

t+ p ) Asimismo, si se requiere un pronóstico de p períodos hacia adelante (Y a partir de un modelo ARMA (p, q), ARIMA (1,1,0) o ARIMA (p, d, q), será necesario utilizar como insumo el valor del error actual y de los errores t + q −1 y U t o 'd U t + q −1 y ' d U t en las ecuaciones estimados para el futuro U t + p −1 o ' d Y t + p −1 . 5.50, 5.51 y 5.52) y los períodos previamente proyectados Y

(

(

)

Adicionalmente, cuando la serie es integrada debe resolverse la ecuación en diferencia resultante del modelo ARIMA para despejar de ella el valor pronosticado de Yt en su valor original (v. ecuaciones 5.51 y 5.52). Una vez proyectada la serie con el modelo seleccionado, la metodología BJ finaliza con la validación del pronóstico.

5.4.5. Validación del pronóstico El último paso de la metodología BJ consiste en validar el pronóstico obtenido con la manipulación algebraica del modelo. En primer lugar debe realizarse una gráfica de trayectoria temporal comparativa entre los

232


valores observados y los proyectados, para observar si ellos tienen un comportamiento similar en el tiempo. Esto permite comparar intuitivamente la calidad del pronóstico. Sin embargo, para seleccionar la mejor predicción se cuenta con el menor valor obtenido en los indicadores del error de pronóstico expuestos en el capítulo 4 (v. cuadro 4.4): el PVAE, el PEC, el PPVAE, la RCPSEC y el CT. Un menor valor de estos indicadores señala una buena proyección. El más utilizado en la metodología BJ es el indicador CT que se encuentra en el intervalo [0,1]. En el caso de predicción perfecta este coeficiente será igual a cero, valor ideal para concluir sobre la buena calidad de la predicción. Ocurre lo contrario si el coeficiente tiende o es igual a uno. 0.5 0.5 p ⎛ ⎡ 2 + q θ 2p ⎤ σ U t ≤ Y ≤ Y t + p + n ⎡1 + p φ 2 + q θ 2p ⎤ σ U t ⎞ = 0.95 prob ⎜ Y φ t+ p − n 1 + ∑ ∑ ∑ ∑ + t p p p ⎟⎠ p=1 q=1 p=1 q=1 ⎢⎣ ⎢⎣ ⎦⎥ ⎦⎥ ⎝

(5.53) Por último, también es posible calcular un intervalo de confianza con un nivel de confianza del 95% para el pronóstico (v. ecuación 5.53). Éste se hace mayor conforme aumenta el número de períodos de la proyección (t+p). En términos generales una buena predicción debe conducir a intervalos de confianza pequeños; ocurre lo contrario cuando se quieren proyectar más de tres períodos con la metodología BJ. No obstante, la metodología BJ descrita hasta el momento es útil para las series estacionarias que no contienen componente estacional. Por esta razón se deben desestacionalizar las variables antes de proyectarlas mediante la técnica BJ en caso de que sea necesario. En la siguiente sección se presentan los modelos univariados SARIMA para series estacionales en la metodología BJ.

5.5. Modelos univariados SARIMA y metodología BJ Los análisis realizados sobre la estacionariedad y los PGD no están diseñados para trabajar con series estacionales. Al igual que la tendencia, el componente estacional es un obstáculo en el momento de aproximarse al componente irregular que se desea modelar para realizar el pronóstico. A continuación se encuentra el tratamiento de las variables estacionales no estacionarias.49

49

Hay que tener en cuenta que los conceptos de estacionalidad y estacionariedad son diferentes.


233

5.5.1. Uso de series estacionales y ajuste estacional o desestacionalización Cuando el componente estacional prevalece en la serie deberá desestacionalizarse antes de realizar las pruebas de estacionariedad y de aplicar la metodología BJ para pronosticarla, debido a que esta condición invalida las conclusiones derivadas de dichas pruebas sin importar el grado de integración de la variable. En otras palabras, las pruebas gráficas y de raíz unitaria (DF) aplicadas a una serie diferenciada y que aun así es estacional pueden señalar estacionariedad en ella cuando no es cierto. La conclusión en este caso sería errada por la presencia de raíces unitarias estacionales50 desconocidas en la transformación inicial. Por esto deberá aplicarse una diferencia estacional (v. ecuación 5.54) o desestacionalizar la serie antes de cualquier tipo de análisis o pronóstico. ' (Yt − Yt − s ) o ' ds Yt = ' s (Yt − Yt − s )

(5.54)

Otra alternativa para eliminar el componente estacional consiste en usar una de las metodologías de atenuación exponencial estacional (HoltWinters multiplicativo y aditivo) presentadas en el capítulo 4. Así, se procede a realizar los análisis de estacionariedad mediante las gráficas, los correlogramas (de la FAS) y las pruebas de raíz unitaria (DFA) en la serie sin estacionalidad. Una vez se ha eliminado el componente estacional de la serie, posteriormente se puede emplear la metodología BJ para su respectiva predicción, ahora con un modelo univariado SARIMA (estacional autorregresivo integrado de media móvil) o un ARIMA (p, d, q) (P, D, Q)s estacional.51

50

Las raíces unitarias abarcadas hasta el momento para series sin componente estacional son denominadas regulares. En el caso de las series estacionales sus raíces unitarias se llaman implícitas debido al componente estacional que caracteriza la serie.

51

Puede observase que las letras minúsculas p, d, q son las que se utilizaron en el modelo ARIMA de la sección anterior, mientras que las mayúsculas se relacionan con la estacionalidad así: P se refiere al orden del proceso autorregresivo estacional (SAR), D al orden de integración o diferenciación estacional (D)s y Q al orden de la media móvil estacional (SMA).


234

CUADRO 5.4.

Plataforma SARIMA para predecir una serie de tiempo estacional

Orden de integración de la serie Yt d-s

Orden del proceso y modelo SARIMA

SARIMA (p, d, q) P,D,Q)s

Forma del modelo

Δ ds Yt = δ + φ1 Δ ds Yt − 1 + ... + φp Δ ds Yt − p − θ1 Δ ds Ut −1 − ... − θ q Δ ds Ut − q + Δ ds Ut


De esta forma, la metodología BJ en este caso es similar a la expuesta en la sección 5.4, teniendo en cuenta que el procedimiento debe realizarse sobre la serie desestacionalizada de la siguiente manera: 1.

Se desestacionaliza la serie mediante una diferencia estacional (v. ecuación 5.54).

2.

Se hace un análisis de estacionariedad para la variable desestacionalizada. Si resulta estacionaria (no ruido blanco) se realizan las pruebas gráficas (trayectoria temporal y correlograma de la FAS), la prueba Q y la DFAS (v. ecuación 5.55) para determinar el orden de integración de la serie no estacional. Δ ds + 1Yt = β 0 + δΔ ds Yt −1 + β 2 Tt + β p + 2 ∑ Δ sd + 1Yt − p + Δ ds + 1Ut

(5.55)

3.

Se identifica el PGD de la variable desestacionalizada estacionaria a partir de los correlogramas, es decir, de acuerdo con los comportamientos de la FAS y de la FAP simultáneamente (v. sección 5.4.1) mediante los términos AR y MA.

4.

Se especifica y se estima52 (v. sección 5.4.2) el modelo AR, MA, ARMA, SAR o SMA para las variables integradas de orden cero o el SARIMA para las variables integradas de algún orden con estacionalidad.

5.

Se valida el modelo especificado y estimado (v. sección 5.4.3) mediante las pruebas de significancia. Con el estadístico Z de la distribución normal estándar se determina si los estimadores son relevantes individualmente y con el estadístico de Wald o la prueba RV se verifica su significancia global. Las raíces invertidas del AR 52

Mediante los métodos de MCNL, MV o YW se determina si el proceso es únicamente AR (v. anexo 5.4).


235

y MA deben ser menores que uno y se escoge el modelo cuyos valores de CA y CS sean más pequeños. El estadístico Q y el LB se utilizan para examinar si los residuales son ruido blanco (no autocorrelacionados). Por último, los residuales (independientes e idénticamente distribuidos) deben tener una distribución normal, lo que se examina con el estadístico Jarque-Bera. 6.

7.

Se realiza el pronóstico de corto plazo con el modelo SARIMA correctamente especificado y validado mediante las pruebas del numeral anterior (v. sección 5.4.4).

(

)

t o Y t + p con los indicadores del error de Se valida la predicción Y pronóstico y mediante una gráfica que compare los valores observados con los proyectados (v. sección 5.4.).

Una vez culminado el tratamiento de las series estacionales, a continuación se presenta mediante un esquema el resumen de la metodología BJ y sus principales ventajas y desventajas sobre los modelos ARIMA abarcados en este capítulo.

5.5.2. Resumen de la metodología BJ Para finalizar la exposición de la metodología BJ, en esta sección se presenta un diagrama de flujo (v. figura 5.4) que resume su procedimiento y todos los aspectos abarcados en el capítulo sobre ésta. Los diferentes pasos se encuentran enumerados de la misma manera en que se han presentado desde el inicio de la sección 5.4.

5.6. Ventajas y desventajas de los modelos ARIMA Entre las ventajas y desventajas de los modelos ARIMA descritos en la exposición de la metodología BJ se pueden destacar las siguientes: 1.

En general son una buena herramienta para realizar pronósticos de corto plazo.

2.

A diferencia de las metodologías de tendencia determinística y atenuación exponencial, existen procedimientos formales para evaluar la precisión de un pronóstico determinado que permiten la comparación entre los diferentes modelos que se pueden especificar y estimar.

3.

Una de las desventajas es que estos modelos necesitan bastante tiempo para estimarse y usualmente requieren recursos computacionales


236

FIGURA 5.4.

Diagrama de flujo con el procedimiento BJ Inicio

1. Análisis inicial de estacionariedad y estacionalidad

Uso de modelos SARMA o SARIMA Sí

¿Es la serie estacionaria?

Sí

¿Es la serie estacional? No

No Transformar la serie

Se usa la nueva serie

2. Identificación de procesos AR y MA Uso de modelos ARMA o ARIMA

Elección de un modelo ARIMA (p, d, q) candidato

Sí

No

3. Estimación del modelo

La serie es ruido y no puede ser modelada

4. Verificación del modelo

El modelo no es válido. Regreso al paso 2

No

¿Se cumplen todos los criterios de verificación?

¿Hay rezagos significativos en alguno de los correlogramas?

Sí

5. Pronóstico

6. Validación del pronóstico

significativos. En particular, para el proceso de estimación se hace necesario usar diferentes métodos numéricos que sólo están disponibles en los programas especializados de última generación.


237

4.

Otra desventaja es que requieren una cantidad relativamente grande de datos para poder llegar a estimaciones válidas. Al igual que para los modelos econométricos de corte transversal, se recomiendan al menos 40 observaciones de la serie; esta cantidad puede no encontrarse disponible en el caso de las series anuales.

5.

Por último, estos modelos no cuentan con un sistema sencillo para incorporar nuevos datos. Esto hace que el modelo tenga que reajustarse periódicamente o incluso volver a estimarse totalmente después de unos períodos, lo cual es complejo cuando las series son diarias o semanales (Hanken y Wichem, 2006: 426).

Para cerrar el capítulo y una vez expuestos los modelos ARIMA y SARIMA mediante la metodología BJ, en la siguiente sección se encuentra un estudio de caso con su aplicación. Para esto se tomó la información trimestral del PIB colombiano utilizada en el capítulo 4 y los datos mensuales del IPC en Colombia.

5.7. Estudio de caso: el PIB colombiano A continuación se realizan todos los pasos de la metodología BJ que permiten modelar una serie y obtener sus pronósticos. En esta sección se utiliza como ejemplo la serie trimestral del PIB colombiano utilizada en el capítulo 4 para exponer el caso del modelo ARIMA. En la sección 5.8 se utilizan los datos mensuales (desde enero de 1992 hasta junio del 2009) del IPC en Colombia para ilustrar el caso del modelo SARIMA. Con la información del PIB colombiano se pretende estimar un modelo ARIMA con el propósito de realizar su predicción para los dos perío t + 1 = 2009q 2 y dos siguientes: el segundo y el tercer trimestre del 2009 PIB

t + 2 = 2009q 3 . A continuación se presentará paso a paso la metodología PIB BJ para realizar la estimación.

)

(

5.7.1. Análisis de estacionariedad 5.7.1.1. Análisis gráfico para detectar estacionariedad

Los pasos para hacer el análisis gráfico para detectar estacionariedad en una serie son los siguientes: 1.

Se debe cargar la base de datos y configurar el programa para que reconozca PIBt como una serie de tiempo trimestral con el comando gen y tsset (v. figura 5.5).

238

FIGURA 5.5.

2.


Salida de Stata para especificar una variable como serie de tiempo

Se grafica el comportamiento de PIBt a lo largo del tiempo con el comando tsline (v. figura 5.6) para conocer si la serie tiene tendencia.

En este caso la serie PIBt muestra una tendencia creciente lineal hasta el primer trimestre del 2008, momento en el que existe un punto de inflexión (v. figura 5.6). Como se mencionó anteriormente, la variable en cuestión presenta una media y una varianza inestables entre 2000q1 y 2009q1 por el componente tendencial y el irregular en ella, lo que implica que la serie PIBt no es estacionaria ni en su media ni en su varianza. 5.7.1.2. Análisis gráfico mediante el correlograma de la función de autocorrelación simple para detectar estacionariedad

Para detectar estacionariedad mediante el análisis del correlograma de la FAS, en primer lugar se debe graficar los valores de ρ p estimados de la FAS con el comando ac y corrgram (v. figuras 5.7 y 5.8, pp. 240 y 241).


239

Salida de Stata con la gráfica de una serie de tiempo

Las figuras 5.7 y 5.8 indican que el PIB no es estacionario puesto que sus estimaciones ρ p decrecen exponencialmente entre 1 y 0, y posteriormente toman valores negativos. También se puede observar que la mayor parte de las ρ p se encuentra fuera de su intervalo de confianza. Por otra parte, en la figura 5.8 los valores de la FAS del PIB colombiano ( ρ p en las columnas AC), graficados en el correlograma anterior, decrecen exponencialmente desde 0.9412 hasta –0.1797.

( )

La hipótesis nula es H 0 : U1 = U2 = = Up = 0 con p = 16. Según esta hipótesis la serie PIBt es ruido blanco, lo que implica automáticamente que es estacionaria. La hipótesis alterna es H1 : U1 ≠ U2 ≠ ≠ Up ≠ 0. Según esta hipótesis la serie PIBt no es ruido blanco, lo que posiblemente implica que es estacionaria.

240

FIGURA 5.7.


Salida de Stata para graficar la FAS del PIB

Adicionalmente, los resultados descritos de la FAS y del estadístico Q ayudan a comprobar que el PIB no es ruido blanco. Esto se puede ver en la última columna de la figura 5.8 que tiene las probabilidades del estadístico Q que indican que se rechaza la hipótesis nula de ruido blanco para el PIB con un nivel de significancia del 5%. 5.7.1.3. Análisis de raíz unitaria (DFA) para detectar estacionariedad

El análisis de raíz unitaria se realiza de la siguiente manera: 1.

Se estima el estadístico W de DFA con tendencia e intercepto con el comando dfuller pib, trend regress lags(1) (v. figura 5.9, p. 242). La ecuación ΔPIBt = β0 + δPIBt −1 + β 2 Tt + β 3 ΔPIBt −1 + Ut representa un modelo con intercepto, tendencia y un rezago para ΔPIBt con δ = β1 − 1 .


241

Salida de Stata para graficar la FAS del PIB

La hipótesis nula es H0 : δ = 0; β − 1. Según esta hipótesis la serie PIBt tiene raíz unitaria o, en otras palabras, es una caminata aleatoria o simplemente no es estacionaria. La hipótesis alterna es H1 : δ ≠ 0; β1 ≠ 1. Según esta hipótesis la serie PIBt no tiene raíz unitaria. Esto equivale a decir que no es una caminata aleatoria o simplemente que es estacionaria. En este caso (v. figura 5.9) W = −1.842 y su probabilidad es igual a 0.6841. Por esto no se rechaza la hipótesis nula (con un nivel de significancia del 1%, 5% y 10%) y se afirma que la serie no diferen-

242

FIGURA 5.9.


Salida de Stata para realizar DFA

ciada del PIB no es estacionaria, es decir, se descarta que sea una serie integrada de orden cero [PIBt ∼ I (0)]. En este caso el valor de W es negativo y su valor absoluto es 1.842 ( W = 1.842), lo que significa que −1 ≤ E1 ≤ 1 . Este valor es comparable con los valores absolutos críticos de MacKinnon ( 1% = 4.288, 5% = 3.560 , 10% = 3.216); W < 1% , 5% y 10% ) , y ratifica que no se rechaza la hipótesis nula. El modelo también debe estar especificado con intercepto y tendencia debido a que sus valores estadísticos (1.98 y 1.93) son estadísticamente significativos al 10% de significancia. 2.

Se estima el estadístico W de DFA sin tendencia ni intercepto con el comando dfuller pib (v. figura 5.10).


243

Salida de Stata para realizar DFA sin tendencia ni intercepto

La ecuación ΔPIBt = δPIBt −1 + Ut representa un modelo sin intercepto ni tendencia con δ = β1 − 1 . La hipótesis nula es H0 : δ = 0; β1 − 1 . Según esta hipótesis la serie PIBt tiene raíz unitaria. Esto equivale a decir que es una caminata aleatoria o simplemente que no es estacionaria. La hipótesis alterna es H1 : δ ≠ 0; β1 ≠ 1 . Según esta hipótesis la serie PIBt no tiene raíz unitaria. Esto equivale a decir que no es una caminata aleatoria o simplemente que es estacionaria. En este caso (v. figura 5.10) el modelo se encuentra mal especificado porque W = 0.322 y su probabilidad es igual a 0.9783. Por esta razón no se rechaza la hipótesis nula, lo que indica que la serie original del PIB no es estacionaria. Sin embargo, en este caso el valor de W es positivo

244


y no se rechaza la hipótesis nula porque β1 > 1 y este valor debe estar entre –1 y 1. Esto muestra que la serie del PIB es explosiva (su media, su varianza y su covarianza están relacionadas con el tiempo), lo que impide que W tome valores negativos e imposibilita evaluar los valores críticos de MacKinnon (al 1%, 5% y 10% de significancia) en valor absoluto. De esta manera se puede concluir que el valor de W obtenido con el modelo bien especificado de la figura 5.5 prima sobre el anterior de la figura 5.10 porque su tendencia, su intercepto y su rezago son significativos al 10% de significancia. Una vez determinado que la serie no es estacionaria, existen transformaciones con ecuaciones en diferencia para lograr que la variable PIBt sea estacionaria. 5.7.1.4. Transformación en primeras diferencias logarítmicas para convertir el PIB en una serie estacionaria

Los pasos para implementar la transformación en primeras diferencias logarítmicas de la serie del PIB colombiano son los siguientes: 1.

Generar una nueva variable con el comando gen que tenga el logaritmo natural del PIB ⎡⎣ln (PIBt )⎤⎦ como se puede ver en la figura 5.11.

2.

Generar dos nuevas variables con el comando gen, una que sea el primer rezago del logaritmo natural de PIBt y la otra que sea la primera diferencia logarítmica ⎡⎣'ln (PIBt )⎤⎦ , como se indica en la figura 5.12 (v. p. 246).

3.

Graficar el comportamiento de la primera diferencia logarítmica del PIB ⎡⎣'ln (PIBt )⎤⎦ a lo largo del tiempo con el comando tsline (v. figura 5.13, p. 247). En este caso, la primera diferencia del logaritmo del PIB ⎡⎣'ln (PIBt )⎤⎦ no muestra una tendencia sino un movimiento sinusoidal (v. figura 5.13). Aparentemente la media y la varianza de la variable son estables entre 2000q2 y 2009q1, momento en el que probablemente la primera diferencia de la serie logarítmica es estacionaria en media y varianza.

4.

Graficar los valores de ρ p de la FAS para la primera diferencia logarítmica del PIB ⎡⎣'ln (PIBt )⎤⎦ con el comando ac y corrgram (v. figuras 5.14 y 5.15, pp. 248 y 249). Las figuras 5.14 y 5.15 indican que el PIB posiblemente es estacionario porque muestra estimaciones ρ p sinusoidales intercaladas y la mayor parte de éstas se encuentra dentro de su intervalo de confianza. Por otra parte, en la figura 5.15


245

Salida de Stata para crear el logaritmo natural del PIB

se pueden observar los valores de la FAS del 'ln (PIBt ) colombiano ( ρ p en las columnas AC) graficados en el correlograma anterior (alternados desde –0.1664 hasta –0.0671). La hipótesis nula es H 0 : U1 = U2 = = Up = 0 con p = 16. Según esta hipótesis la serie 'ln (PIBt ) es ruido blanco, lo que implica automáticamente que es estacionaria. La hipótesis alterna es H1 : U1 ≠ U2 ≠ ≠ Up ≠ 0 . Según esta hipótesis la serie 'ln (PIBt ) no es ruido blanco, lo que implica que posiblemente es estacionaria. Adicionalmente, los resultados de la FAS y de la prueba Q ayudan a comprobar que 'ln (PIBt ) no es ruido blanco, como se puede observar en la última columna de la figura 5.15 que contiene las probabilidades del estadístico Q. Por esto se rechaza la hipótesis nula de

246

FIGURA 5.12.


Salida de Stata para crear una la primera diferencia logarítmica de una serie de tiempo

ruido blanco para 'ln (PIBt ) con un nivel de significancia del 5%. Este resultado indica que se puede encontrar el PGD de la serie del PIB en primeras diferencias logarítmicas para poder predecirla. Esto no sería posible si no se hubiera rechazado la hipótesis nula. 5.

Estimar el estadístico W de DF con intercepto para 'ln (PIBt ) con el comando dfuller dlnpib, drift regress (v. figura 5.16, p. 250). La ecuación Δ 2 ln (PIBt ) = β0 + δΔln (PIBt −1 ) + Ut representa un modelo con intercepto y δ = ( β1 − 1) .


247

Salida de Stata para graficar una serie de tiempo en primeras diferencias logarítmicas

La hipótesis nula es H 0 : δ = 0; β1 = 1. Según esta hipótesis la serie 'ln (PIBt ) tiene raíz unitaria. Esto equivale a decir que es una caminata aleatoria o simplemente que no es estacionaria. La hipótesis alterna es H1 : δ ≠ 0; β1 ≠ 1. Según esta hipótesis la serie 'ln (PIBt ) no tiene raíz unitaria. Esto equivale a decir que no es una caminata aleatoria o simplemente que es estacionaria. En este caso W = −6.842 y su probabilidad es igual a cero (v. figura 5.16). A partir de esto se rechaza la hipótesis nula (con un nivel de significancia del 1%, 5% y 10%) y se puede concluir que el PIB es estacionario en su primera diferencia logarítmica. En otras palabras, la serie es integrada de orden uno ⎡⎣ln (PIBt ) ∼ I (1)⎤⎦ . En este

248

FIGURA 5.14.


Salida de Stata para graficar la FAS de Δ ln (PIBt )

caso el valor de W es negativo y su valor absoluto ( W = 6.842) significa que −1 ≤ E1 ≤ 1. Este valor es comparable con los valores absolutos críticos de MacKinnon ( 1% = 2.445 , 5% = 1.692, 10% = 1.308; W > 1% , 5% y 10% ) y ratifica el rechazo de la hipótesis nula. Por lo tanto, el modelo debe especificarse con intercepto y sin tendencia ni rezagos. Estos resultados junto con los anteriores de ruido blanco muestran que la serie 'ln (PIBt ) es estacionaria en media y varianza, por lo cual es posible encontrar su PGD estructuras AR y MA que permitan pronosticarla. Como se encontró que la serie es integrada de orden uno sin componente estacional, la especificación del modelo para proyectarla es un ARIMA (p, 1, q).


249

Salida de Stata para graficar la FAS de Δ ln (PIBt )

5.7.2. Identificación del proceso generador de datos Para identificar el PGD de la serie es necesario graficar los valores de ρ p de la FAS y la FAP para la primera diferencia logarítmica del PIB ⎡⎣'ln (PIBt )⎤⎦ con el comando corrgram (v. figura 5.17, p. 251). A partir de la figura 5.17 y del cuadro 5.2 se puede determinar que el PGD de 'ln (PIBt ) es un MA (3) por el movimiento sinusoidal en la FAP y el tercer rezago significativo en la FAS fuera del intervalo de confianza. Por lo tanto, el modelo que se debería especificar y estimar para proyectar el PIB es un ARIMA (0,1,3).

250

FIGURA 5.16.


Salida de Stata para realizar la prueba DF de Δ ln (PIBt )

5.7.3. Estimación del modelo mediante máxima verosimilitud Los pasos para estimar el modelo mediante MV son los siguientes: 1.

Estimar los parámetros T del modelo ARIMA (0, 1, 3) de la ecuación 5.56 con el comando arima lnpib, arima(0,1,3) vce(robust) y las raíces del polinomio mediante armaroots (v. figuras 5.18 y 5.19, pp. 252 y 253).

Δ ln (PIBt ) = δ − θ1 Δ ln (Ut −1 ) − θ 2 Δ ln (Ut − 2 ) − θ 3 Δ ln (Ut − 3 ) + Δ ln (Ut ) (5.56)

2.

Estimar el CA en Stata mediante el comando estat ic (v. figura 5.20, p. 254).

3.

Descargar y ejecutar la ayuda para instalar la prueba Jarque-Bera en Stata mediante el comando ssc install jb (v. figura 5.21). Una vez realizada la estimación con la instrucción arima lnpib, arima(0,1,3)


251

Salida de Stata para graficar el correlograma de la FAS y la FAP de Δ ln (PIBt )

vce(robust), se captura el error del modelo con el comando predict error, residual e inmediatamente después se ejecuta jb error para comprobar si tienen una distribución normal. 4.

Realizar el correlograma (FAS y FAP) y calcular los estadísticos LB y Q para determinar si el error es ruido blanco mediante los comandos corrgram error y wntestq error (v. figura 5.22, p. 256), respectivamente.

5.7.4. Validación del modelo estimado

' ln ( PIBt ) = 0.0093932 + 0.6460007 ' ln (Ut − 3 )

(5.57)

A partir de la figura 5.18 se plantea la ecuación 5.57 con los valores estimados para δ = 0.0093932 y θ = 0.6460007, los cuales son significativos

252

FIGURA 5.18.


Salida de Stata con los resultados de la estimación del modelo ARIMA (0,1,3)

individualmente de acuerdo con la probabilidad Z (igual a cero en la columna p > Z ). También con la probabilidad ji cuadrada (Prob>chi2 es igual a cero en la figura 5.18), el estadístico de Wald indica significancia conjunta (v. figura 5.18). En otras palabras, con los resultados anteriores los parámetros estimados son estadísticamente diferentes de cero e importantes para explicar el PGD de acuerdo con lo esperado previamente. Los tres valores de las raíces del polinomio característico para el proceso MA son menores que uno. Aunque esta estructura por naturaleza es estacionaria, el resultado lo confirma y también indica que el modelo no se encuentra “sobreparametrizado” (no se estiman demasiados coeficientes que


253

Salida de Stata con los resultados de la estimación de las raíces del polinomio característico y el círculo unitario del modelo ARIMA (0,1,3)

sobrecarguen el modelo, así éstos sean significativos). Adicionalmente, estos tres valores se encuentran dentro del círculo unitario, lo que indica que la variable dependiente es estacionaria (v. figura 5.19). Como se puede ver en la figura 5.20, CA= –218.7194. Aunque éste es un valor muy bajo, debería especificarse otro modelo ARIMA para hacer una comparación y seleccionar el valor de CA más pequeño entre ellos. Ahora, en cuanto a normalidad del error, de acuerdo con la probabilidad Jarque-Bera (0.7495 como se puede ver en la figura 5.21, p. 255) los errores tienen una distribución normal como lo exige esta metodología.

254

FIGURA 5.20.


Salida de Stata con los resultados de la estimación del modelo ARIMA (0, 1, 3) y el CA

La hipótesis nula es H0 : U1 = U2 = ... = Up = 0 con p = 16. Según esta hipótesis los errores son ruido blanco. La hipótesis alterna es H1 : U1 ≠ U2 ≠ ... ≠ Up ≠ 0. Según esta hipótesis los errores no son ruido blanco. De acuerdo con las hipótesis anteriores se puede concluir que los errores son ruido blanco, dado que los resultados descritos de la FAS, la prueba LB y la prueba Q ayudan a comprobarlo. En la figura 5.22 (v. p. 256) se puede ver que las probabilidades del estadístico Q y el valor asociado a 2 F16 son mayores que el nivel de significancia del 5% (0.05), por lo que no se rechaza la hipótesis nula de ruido blanco para el error.


255

Salida de Stata con los resultados de la estimación del modelo ARIMA (0, 1, 3) y prueba de normalidad JB

5.7.5. Pronóstico con el modelo estimado y validado Para realizar un pronóstico con el modelo estimado y validado según los criterios expuestos en las secciones anteriores, es necesario adicionar el número de períodos del pronóstico (dos en este caso) con el comando tsappend, add(2). Posteriormente se transforma la primera diferencia para obtener el valor predicho en la serie logarítmica inicial mediante la instrucción predict lnpibf, y dynamic(196). La opción y dynamic(196) indica que la predicción debe hacerse con base en el modelo en logaritmos antes de ser diferenciado y en las estimaciones dinámicas a partir de la última

256

FIGURA 5.22.


Salida de Stata con los resultados de las pruebas LB y Q de ruido blanco para el error

observación real disponible. Por último, se debe calcular e ln(PIB ) en Stata para recuperar la variable original (PIBt ) mediante la instrucción gen pibf=exp(lnpibf). Con el comando edit se pueden observar los nuevos valores del PIB (v. figura 5.23, p. 257). t

En la figura 5.23 se puede observar que el nuevo valor proyectado para el PIB en el segundo trimestre del 2009 (2009q2) corresponde a 70,088,648. Este valor se incluye como una nueva observación en la serie original y se estima de nuevo el modelo ARIMA (0, 1, 3) de acuerdo con el procedimiento anterior para predecir su valor en 2009q3, siempre y cuando los resultados anteriores analizados no se alteren.


257

Salida de Stata con el pronóstico del PIB para los próximos dos períodos

5.7.6. Validación del pronóstico Para validar el pronóstico en primer lugar se deben graficar las variables pib y pibf con el comando tsline para determinar si la serie original es similar a la proyectada (v. figura 5.24). Posteriormente se descarga y se ejecuta la ayuda para instalar la RCPSEC y el CT en Stata mediante los comandos ssc install rmse y ssc install inequal7, respectivamente (v. figura 5.25, p. 259). Una vez realizada la estimación se ejecuta la instrucción rmse pib pibf, est y inequal7 pibf [weight=pib].

258

FIGURA 5.24.


Salida de Stata con las gráficas del PIB proyectado y el observado

En la figura 5.24 se puede notar que el valor observado y el proyectado del PIB tienen trayectorias similares. No obstante, los valores pronosticados para los últimos períodos sobrepasan los observados, suponiendo que el pronóstico puede estar por encima del valor real de ese período en 639,063.18 (RCPSEC que corresponde a rmse en la figura 5.25). Por lo tanto, a 70,088,648 se le debe restar 639,063.18 para que la proyección se aproxime mejor a la observación en 2009q2. Ahora, en la figura 5.25 la predicción está bien ajustada de acuerdo con el CT (0.00831), pues éste es cercano a cero (ocurriría lo contario si tendiera a uno). Con este estudio de caso finaliza el procedimiento de la metodología BJ para series no estacionales. A continuación se analiza el IPC en Colombia que es una serie estacional.


259

Salida de Stata con los resultados de la RCPSEC y el CT

5.8. Estudio de caso: el IPC colombiano Con la información del IPC colombiano se pretende estimar un modelo SARIMA para realizar su predicción para el mes de agosto del 2009

t +1 = 2009m8). A continuación se explicarán los pasos de la metodolo(IPC gía BJ para realizar el pronóstico.

260


5.8.1. Análisis de estacionalidad y desestacionalización con estacionariedad implícita falsa 5.8.1.1. Análisis gráfico para detectar estacionalidad

Para determinar gráficamente si una serie es estacional en primer lugar se debe configurar el programa para que reconozca IPC t como una serie de tiempo trimestral con los comandos gen y tsset (v. figura 5.26). Posteriormente se debe graficar la serie con la instrucción tsline. En este caso el IPC t muestra una tendencia creciente lineal con leves movimientos ondulatorios (v. figura 5.26). Como se mencionó anteriormente, la media y la varianza de esta variable son inestables entre 1992m1 y 2009m7 porque tiene un componente tendencial, uno estacional y uno irregular. Esto implica que la serie IPC t es estacional y no es estacionaria en media y varianza.

FIGURA 5.26.

Especificación de la serie de tiempo y gráficas


261

5.8.1.2. Análisis gráfico mediante el correlograma de la FAS para detectar estacionariedad

Se deben graficar los valores de ρ p de la FAS con el comando ac y corrgram (v. figura 5.27). La figura 5.27 indica que la serie del IPC no es estacionaria dado que los valores de ρ p decrecen exponencialmente entre 1 y 0, llegan a cero y toman valores negativos. La mayor parte de éstos se encuentra fuera de su intervalo de confianza. Por otra parte, los valores de la FAS del IPC colombiano ( ρ p en las columnas AC), graficados en el correlograma anterior, decrecen exponencialmente desde 0.9866 hasta 0.6385. La hipótesis nula es H 0 : U1 = U2 = = Up = 0 con p = 40. Según esta hipótesis la serie IPC t es ruido blanco, lo que automáticamente implica que es estacionaria. FIGURA 5.27.

Salida de Stata para con la gráfica de la FAS del IPC

262


La hipótesis alterna es H1 : U1 ≠ U2 ≠ ... ≠ Up ≠ 0. Según esta hipótesis la serie IPC t no es ruido blanco, lo que implica que posiblemente es estacionaria. Adicionalmente, los resultados de la FAS y de la prueba Q ayudan a comprobar que IPC t no es ruido blanco. La última columna en la figura 5.27 muestra las probabilidades del estadístico Q (Ljung-Box) que indica que se rechaza la hipótesis nula de ruido blanco para el IPC con un nivel de significancia del 5%. 5.8.1.3. Análisis de raíz unitaria (DFA) para detectar estacionariedad

Para hacer el análisis de raíz unitaria se debe estimar la W de DFA con intercepto y tres rezagos, con el comando dfuller ipc, drift lags(3) regress (v. figura 5.28). FIGURA 5.28.

Salida de Stata para realizar DFA


263

La ecuación ΔIPCt = β0 + δIPCt −1 + β 3 ΔIPCt −1 + β 4 ΔIPCt − 2 + β 5 ΔIPCt − 3 + Ut representa un modelo con intercepto y tres rezagos ( δ = β1 − 1) . La hipótesis nula es H0 : δ = 0; β1 = 1 . Según esta hipótesis la serie IPCt tiene raíz unitaria. Esto equivale a decir que es una caminata aleatoria o simplemente que no es estacionaria. La hipótesis alterna es H1 : δ ≠ 0; β1 ≠ 1 . La serie IPCt no tiene raíz unitaria. Esto equivale a decir que no es una caminata aleatoria o simplemente que es estacionaria. En este caso W = −0.604 y su probabilidad igual a 0.2734 (v. figura 5.28). Por esta razón no se rechaza la hipótesis nula (con un nivel de significancia del 1%, 5% y 10%) y se puede afirmar la serie original no es estacionaria, es decir, se descarta que sea integrada de orden cero [ IPCt ∼ I (0)]. En este caso el valor de W es negativo y su valor absoluto es 0.604 ( W = 0.604 ), lo que significa que −1 ≤ E ≤ 1. Este valor 1

es comparable con los valores absolutos críticos de MacKinnon ( 1% = 2.345, 5% = 1.652, 10% = 1.286 − ; W < 1% , 5% y 10% ) y ratifica que no se rechaza la hipótesis nula. El modelo debe estar especificado con intercepto y tres rezagos debido a que sus valores estadísticos (4.75, –2.30, –1.81 y 12.03) son estadísticamente significativos. 5.8.1.4. Transformación en primeras diferencias logarítmicas para convertir el IPC en una serie estacionaria y detectar estacionalidad

Los pasos para transformar la serie del IPC en estacionaria y detectar su componente estacional son los siguientes: 1.

Generar una nueva variable con el comando gen que sea la primera diferencia logarítmica del IPC ⎡⎣ 'ln ( IPCt )⎤⎦ y graficarla con el comando tsline (v. figura 5.29). La primera diferencia logarítmica del IPC ⎡⎣ 'ln ( IPCt )⎤⎦ muestra una tendencia decreciente con movimientos sinusoidales que reflejan su componente estacional (v. figura 5.29). Esta transformación ⎣⎡ 'ln ( IPCt )⎦⎤ representa económicamente el incremento porcentual mensual de los precios al consumidor, es decir, la tasa de inflación mensual. Aparentemente la media y la varianza de esta variable son estables entre 1992m2 y 2009m7, momento en el que la primera diferencia logarítmica de la serie es estacionaria en

264

FIGURA 5.29.


Salida de Stata para crear la primera diferencia logarítmica del IPC

media y varianza, pero el componente estacional hace que parezca lo contrario, así aparentemente tenga un movimiento sinusoidal sin tendencia. 2.

Graficar los valores de ρ p de la FAS para la primera diferencia logarítmica la serie ⎡⎣ 'ln ( IPCt )⎤⎦, con los comandos ac y corrgram (v. figura 5.30). La figura 5.30 indica que IPC t posiblemente es una serie estacionaria dado que muestra estimaciones ρ p sinusoidales intercaladas. Sin embargo, la mayor parte de éstas se encuentra fuera su intervalo de confianza. Adicionalmente, los valores de la FAS ( ρ p en las columnas AC) se intercalan (desde 0.7631 hasta 0.0747), aunque los rezagos 12 y 24 sobresalen repetitivamente cada 12 meses, lo que permite detectar mejor el componente estacional del IPC en diciembre.

( )


Salida de Stata para graficar la FAS de ' ln (IPCt )

265

266

3.


Estimar la W de DFA con intercepto, tendencia y tres rezagos para 'ln ( IPCt ) con el comando dfuller dlnipc, trend lags(3) regress (v. figura 5.31). La figura 5.31 muestra que W = −8.572 y su probabilidad es igual a cero. Por esta razón se rechaza la hipótesis nula (con un nivel de significancia del 1%, 5% y 10%) y se puede afirmar que la primera diferencia logarítmica de IPCt es estacionaria. En otras palabras, la serie ln ( IPCt ) es integrada de orden uno ⎡⎣ ln ( IPCt ) ∼ I (1)⎤⎦ . En este caso el valor de W es negativo y su valor absoluto ( W = 8.572 ) significa que −1 ≤ E1 ≤ 1 . Este valor es comparable con los valores absolutos críticos de MacKinnon ( 1% = 4.005, 5% = 3.436, 10% = 3.136; W > 1% , 5% y 10% ) y ratifica el rechazo de la hipótesis nula. También se puede concluir que el modelo debe estar especificado con intercepto, tendencia y tres rezagos. No obstante, el análisis realizado con las pruebas de raíz unitaria es inválido por la presencia de estacionalidad en el IPC, dado que

FIGURA 5.31.

Salida de Stata para realizar la DFA de ' ln (IPCt )


267

la serie tiene raíces estacionarias y no regulares como las que se presentan en la figura 5.31. Por lo tanto, no importa si la prueba DFA indica que la serie es estacionaria porque el correlograma muestra un componente estacional cada 12 meses y por esta razón se debe desestacionalizar la serie, calculando la diferencia estacional de la primera diferencia logarítmica ⎡⎣ 'ln ( IPCt )⎤⎦ y trabajando con el IPC desestacionalizado. 5.8.1.5. Desestacionalización del IPC mediante diferencia estacional

1.

Generar una nueva variable con el comando gen y DS12 que sea la diferencia estacional cada 12 períodos ⎡⎣ '12 ln ( IPCt )⎤⎦ de la primera diferencia logarítmica del IPC y graficarla con el comando tsline (v. figura 5.32). En este caso, la diferencia estacional cada 12 períodos ⎡⎣ '12 ln ( IPCt )⎤⎦ del IPC desestacionalizado ⎡⎣ 'ln ( IPCt )⎤⎦ muestra movimientos

FIGURA 5.32.

Salida de Stata para crear la primera diferencia logarítmica estacional del IPC

268


sinusoidales sin tendencia (v. figura 5.32). Esta transformación ⎡⎣ '12 ln ( IPCt )⎤⎦ representa económicamente el incremento porcentual anual de los precios al consumidor, es decir, la tasa de inflación anual. Aparentemente la media y la varianza de esta variable son estables entre 1992m2 y 2009m7, período en el que posiblemente la primera diferencia logarítmica estacional de la serie es estacionaria en media y varianza. Por lo tanto, se puede afirmar que la transformación eliminó el componente estacional. 2.

Graficar los valores de ρ p de la FAS para la primera diferencia logarítmica estacional del IPC ⎡⎣ '12 ln ( IPCt )⎤⎦ , con el comando ac y corrgram (v. figura 5.33). En la figura 5.33 se puede apreciar que se desvaneció por completo la estacionalidad de diciembre, lo que indica que la serie del IPC posiblemente es estacionaria, dado que muestra estimaciones ρp sinusoidales intercaladas y la mayor parte de éstas se encuentra dentro de su intervalo de confianza. Adicionalmente, los valores de la FAS ( ρ p en las columnas AC) se intercalan desde 0.5080 hasta 0.0785.

La hipótesis nula es H 0 : U1 = U2 = = Up = 0 con p = 28 . Según esta hipótesis la serie '12 ln ( IPCt ) es ruido blanco, lo que implica automáticamente que es estacionaria. La hipótesis alterna es H1 : U1 ≠ U2 ≠ ≠ Up ≠ 0. Según esta hipótesis la serie '12 ln ( IPCt ) no es ruido blanco, lo que implica que posiblemente es estacionaria. Adicionalmente, los resultados de la FAS y la prueba Q ayudan a comprobar que '12 ln ( IPCt ) no es ruido blanco. La última columna en la figura 5.33 que muestra las probabilidades del estadístico Q (Ljung-Box) indica que se rechaza la hipótesis nula de ruido blanco para la serie '12 ln ( IPCt ) con un nivel de significancia del 5%. Este resultado indica que es posible encontrar el PGD de la primera diferencia logarítmica estacional de la serie para poder predecirla. Esto no sería posible si no se hubiera rechazado la hipótesis nula. 3.

Estimar la W de DFA sin intercepto ni tendencia, con un rezago para '12 ln ( IPCt ) , con el comando dfuller dlnipc12, noconstant lags(1) regress (v. figura 5.34).


Salida de Stata para graficar la FAS de '12 ln (IPCt )

269

270

FIGURA 5.34.


Salida de Stata para realizar DFA de '12 ln ( IPCt )

2 2 2 2 ln ( IPC )t = δΔ12 ln ( IPCt −1 ) + β 3 Δ12 ln ( IPCt −1 ) + Δ12 Ut La ecuación Δ12 representa el modelo con un rezago, sin intercepto y sin tendencia ( δ = β1 − 1).

La hipótesis nula es H0 : δ = 0; β1 = 1. Según esta hipótesis la serie '12 ln ( IPCt ) tiene raíz unitaria. Esto equivale a decir que es una caminata aleatoria o simplemente que no es estacionaria. La hipótesis alterna es H1 : δ ≠ 0; β1 ≠ 1. Según esta hipótesis la serie '12 ln (IPCt ) no tiene raíz unitaria. Esto equivale a decir que no es una caminata aleatoria o simplemente que es estacionaria. En este caso W = −7.391 y su probabilidad es igual a cero (v. figura 5.34), lo que indica que se debe rechazar la hipótesis nula (con un nivel de significancia del 1%, 5% y 10%). Por lo tanto, se puede afirmar que la primera diferencia logarítmica desestacionalizada del IPC es estacionaria. En otras palabras, es integrada de orden uno [ '12 ln ( IPC ) ∼ I (1)]. En este caso el valor de W es negativo y su


271

valor absoluto ( W = 7.391) significa que −1 ≤ E1 ≤ 1. Este valor es comparable con los valores absolutos críticos de MacKinnon ( 1% = 2.587 , 5% = 1.950, 10% = 1.616; W > 1% , 5% y 10% ) y ratifica el rechazo de la hipótesis nula. También se puede concluir que el modelo debe especificarse con un rezago, sin intercepto y sin tendencia. Estos resultados junto con los anteriores de ruido blanco permiten concluir que la serie '12 ln ( IPCt ) es estacionaria, por lo cual es posible encontrar su PGD mediante las estructuras AR, MA, SMA y SAR para pronosticarla. Como la serie desestacionalizada es integrada de orden uno, la especificación del modelo para proyectarla es un SARIMA (p, 1, q) (P, 1, Q)12.

5.8.2. Identificación del proceso generador de datos Para identificar el PGD de la serie en primer lugar se deben graficar los valores de ρ p de la FAS y de la FAP para la primera diferencia logarítmica estacional del IPC ⎡⎣ '12 ln ( IPCt )⎤⎦ , con el comando corrgram (v. figura 5.35). De acuerdo con la figura 5.35 y con el cuadro 5.2 se puede identificar que el PGD de '12 ln ( IPCt ) es un MA (1) y un SMA (1)12 por el movimiento sinusoidal de la FAP y la significancia de los rezagos 1 y 12 en la FAS que están fuera del intervalo de confianza. Entonces, el modelo que se debería especificar y estimar para proyectar el IPC es un SARIMA (0,1,1) (0,1,1)12. En esta notación la última parte significa que hay una diferencia estacional y un componente MA cada 12 períodos (s=12) en el PGD del IPC. No obstante, de acuerdo con la figura 5.2 y el cuadro 5.2 el modelo se debe especificar mediante ensayo y error. Por esta razón también se pueden estimar posiblemente las especificaciones SARIMA (4, 1, 0) (0,1,1)12 y SARIMA (1, 1, 4) (0, 1, 1)12. En la etapa de validación del modelo se elige el que tenga el CA más pequeño.

5.8.3. Estimación de los modelos mediante máxima verosimilitud Para realizar la estimación de los modelos mediante el método de MV se debe hacer lo siguiente: 1.

y θ del modelo SARIMA (4, 1, 0) (0, 1, 1) Estimar los parámetros φ 12 con el comando arima DS12.lnipc, ar(4) sarima(0,0,1,12) vce(robust). Adicionalmente se calcula el CA y se realiza la prueba de ruido blanco en los errores mediante las instrucciones estat ic, predict error1 y wntestq error1, respectivamente (v. figura 5.36, p. 273).

272

FIGURA 5.35.

2.

3.


Salida de Stata para graficar el correlograma de la FAS y la FAP de '12 ln (IPCt )

y θ del modelo SARIMA (1, 1, 4) (0, 1, 1) Estimar los parámetros φ 12 con el comando arima DS12.lnipc, ar(1) ma(4) sarima(0, 0, 1, 12) vce(robust). Adicionalmente se calcula el CA y se realiza la prueba de ruido blanco en los errores mediante las instrucciones estat ic, predict error2 y wntestq error2, respectivamente (v. figura 5.37). y θ del modelo SARIMA (0, 1, 1) (0, 1, 1) Estimar los parámetros φ 12 con el comando arima DS12.lnipc, ma(1) sarima(0,0,1,12) vce(robust). Adicionalmente se calcula el CA, se realiza la prueba de ruido blanco de los errores y se hallan las raíces del polinomio característico para determinar si se encuentran dentro del círculo unitario mediante las instrucciones estat ic, predict error3, wntestq error3 y armaroots, respectivamente (v. figura 5.38 y ecuación 5.58).


273

Salida de Stata con los resultados de la estimación del modelo SARIMA (4, 1, 0) (0, 1, 1)12

5.8.4. Validación del modelo estimado

'12 ln ( IPCt ) = −0.0009294 + 0.5111' ln (Ut −1 ) − 0.6110'12 ln (Ut −1 ) (5.58)

A partir de los resultados de las figuras 5.36, 5.37 y 5.38 se seleccionó el modelo SARIMA (0, 1, 1) (0, 1, 1)12 porque los valores estimados de sus parámetros son estadísticamente significativos de manera individual de acuerdo con la probabilidad Z (igual a cero en la columna Prob > Z de la figura 5.38). También con la probabilidad ji cuadrada (Prob>chi2 es igual a cero en la figura 5.38), el estadístico de Wald indica significancia conjunta. El CA de este modelo es más pequeño que el del primer modelo y los residuales son ruido blanco. Por su parte, los trece valores de las raíces del polinomio característico de los procesos MA y SMA son menores que uno (v. figura 5.38). Aunque esta estructura por naturaleza es estacionaria, el resultado lo confirma y


274

FIGURA 5.37.

Salida de Stata con los resultados de la estimación del modelo SARIMA (1, 1, 4) (0, 1, 1)12

señala también que el modelo no se encuentra “sobreparametrizado” (no se estiman demasiados coeficientes que sobrecarguen el modelo así sean significativos). Adicionalmente, estos trece valores se encuentran dentro del círculo unitario, lo que indica que la variable dependiente es estacionaria.

5.8.5. Pronóstico con el modelo estimado y validado Los pasos para pronosticar la variable con base en el modelo estimado y validado son los siguientes: En primer lugar se indican los períodos del pronóstico (uno en este caso) con el comando tsappend, add(1). Posteriormente se transforma la primera diferencia estacional para obtener el valor predicho en la serie logarítmica inicial mediante la instrucción predict lnipcf, y. Por último, se debe


275

Salida de Stata con los resultados de la estimación del modelo SARIMA (0, 1, 1) (0,1,1)12

(Continúa)

276

FIGURA 5.38.


Salida de Stata con los resultados de la estimación del modelo SARIMA (0, 1, 1) (0,1,1)12 (continuación)

calcular e ln (IPC ) en Stata para recuperar la variable original (IPCt ) mediante la instrucción gen ipcf=exp(lnipcf). Con el comando edit se pueden observar los nuevos valores del IPC (v. figura 5.39). t

En la figura 5.39 se puede apreciar que el nuevo valor proyectado para el IPC en agosto del 2009 (2009m8) es 102.0621. Este valor se incluye como una nueva observación en la serie original y se estima de nuevo el modelo SARIMA (0, 1, 1) (0, 1, 1)12 de acuerdo con el procedimiento anterior para predecir 2009m9 y 2009m10, siempre y cuando los resultados anteriores analizados no se alteren.

5.8.6. Validación del pronóstico Para validar el pronóstico en primer lugar se deben graficar las variables ipc e ipcf con el comando tsline para determinar si la serie original es similar a la proyectada (v. figura 5.40). Posteriormente se calculan la RCPSEC y el CT en Stata mediante los comandos rmse ipc ipcf, est e inequal7 ipcf [weight=ipc], respectivamente (v. figura 5.41).


277

Salida de Stata con el pronóstico del IPC para el período siguiente

En la figura 5.40 se puede notar que el valor observado y el proyectado del IPC tienen trayectorias similares, casi sobrepuestas, suponiendo que su pronóstico puede estar por encima del valor real de este período en 0.20543509 (RSPSEC que corresponde a rmse en la figura 5.41). Por lo tanto, a 102.0621 se le debe restar 0.20543509 para que la proyección se aproxime mejor a la observación en 2009m8. En la figura 5.41 también se puede ver que la predicción está bien ajustada de acuerdo con el CT (0.005070) cercano a cero. Se afirmaría lo contario si éste tendiera a uno. Con este estudio de caso finaliza el procedimiento de la metodología BJ para series estacionales. En el próximo capítulo se encuentran algunos aspectos sobre series de tiempo con variables endógenas y exógenas dinámicas, causalidad y cointegración entre ellas.

278

FIGURA 5.40.


Salida de Stata con las gráficas del IPC proyectado y el observado

Resumen s

%LTRATAMIENTODESERIESDETIEMPOAPARTIRDEPROCESOS!2Y-!CON la metodología BJ permite generar pronósticos de corto plazo con muestras representativas (grandes).

s

,ASSERIESDETIEMPOSONPROCESOSALEATORIOSOESTOC´STICOSCARACTERIzados por un mecanismo generador de datos desconocido. Siempre que éstas cumplan las condiciones de estacionariedad y ergodicidad será posible realizar una aproximación al funcionamiento interno de la serie para obtener pronósticos a partir de sus valores históricos.

s

,AEXISTENCIADEUNATENDENCIAIMPLICANECESARIAMENTEUNINCUMplimiento de la condición de estacionariedad. Por esta razón, en algunos casos surge la necesidad de transformar la serie inicial para poder emplear correctamente la metodología BJ. Las series que requieren al menos una transformación se conocen como series integradas.


279

Salida de Stata con los resultados de la RCPSEC y el CT

s

,OS PROCESOS !2 RELACIONAN EL VALOR CONTEMPORŃEO DE LA SERIE directamente con sus rezagos. Por otra parte, los MA relacionan el valor presente de la variable con un conjunto de residuales pasados. Estos dos elementos pueden ser combinados en modelos que se conocen como ARMA, para las series integradas de orden cero, y ARIMA para las series con un orden de integración mayor que cero.

s

,A&!3YLA&!0INDICANCU´LESLAFORMAM´SPARSIMONIOSADEMODElar una serie específica mediante procesos AR, MA o una combinación de ambos.

s

#UANDOSECUENTACONSERIESQUETIENENUNCOMPONENTEESTACIONAL no se puede aplicar la metodología BJ convencional directamente. En este caso, se hace necesario modelar adicionalmente el componente estacional, desestacionalizando la variable mediante una diferencia estacional y modelando la variable desestacionalizada con estructuras SARIMA.


280

s

,AMETODOLOGÄA"*RESUMETODOSLOSPASOSNECESARIOSPARAOBTENER un pronóstico de una serie de tiempo. En primer lugar se efectúa un análisis general de la serie para examinar si se cumplen las condiciones de estacionariedad y ergodicidad y si existe un componente estacional. En segundo lugar se identifica un modelo candidato que se estima y se verifica. Por último, se genera un pronóstico que a su vez es validado gráficamente mediante la RCPSEC y el CT.


Exprese las siguientes ecuaciones en términos del operador y del polinomio de rezago según el caso (lleve la expresión a su forma más reducida): a.

Yt = δ + φ1Yt −1 + Ut

b.

Yt = δ + φ1Yt −1 + φ2 Yt − 2 + Ut

c.

Yt = δ + Ut − θ1Ut −1

d.

Yt = δ + Ut − θ1Ut −1 − θ 2Ut − 2

e.

Yt = δ + φ1Yt −1 + Ut − θUt −1

Suponga que G ≠ 0 y encuentre lo siguiente para cada una de las expresiones anteriores: I.

Las condiciones requeridas para que el proceso sea estacionario.

II.

Las condiciones requeridas para que el proceso sea invertible.

III. La media, la varianza y las cinco primeras autocovarianzas. IV. 2.

Los cinco primeros términos de la función de autocorrelación simple.

Considere el siguiente modelo ARMA (1, 1): Yt = 0.8Yt −1 + Ut + 0.7Ut −1

a.

Determine si el modelo es estacionario.

b.

Determine si el modelo es invertible.

c.

Calcule la función de autocorrelación.


3.

281

Considere el proceso MA infinito definido por: Yt = μ + φ( L)Ut ∞

donde L es el operador de rezago y I( L) = ∑ Ii Li . Demuestre que el i=0

proceso se puede reescribir como un proceso AR (1). 4.

A partir de 200 observaciones de la serie Yt se obtuvieron los siguientes cinco primeros coeficientes para las funciones de autocorrelación simple y parcial: Rezago

FAS

FAP

1

–0.909

–0.909

2

0.727

–0.317

3

–0.545

–0.225

4

0.454

–0.136

5

–0.364

–0.041

Identifique el proceso generador de datos. 5.

Suponga que tiene un proceso AR (3) cuyos primeros coeficientes de autocorrelación simple son I1 = 0.9 , I2 = 0.8 y I3 = 0.5. Halle los parámetros del modelo y establezca si el proceso es estacionario.

6.

Genere 600 números aleatorios de un ruido blanco con varianza igual a 0.25 y simule 600 observaciones del proceso Yt = 2.8 + 0.8Yt −1 − 0.6Yt − 2 + Ut . Suponga que Y1 = Y2 = P , donde P es la media del proceso. a.

Halle la función de autocorrelación simple teórica y grafíquela.

b.

Estime la función de autocorrelación simple y compárela con la teórica.

c.

Halle la función de autocorrelación parcial teórica y grafíquela.

d.

Estime la función de autocorrelación parcial y compare.

e.

Estime los parámetros del modelo incluyendo la constante y compárelos con los verdaderos.

f.

Analice los residuos del modelo con el correlograma y la prueba de ruido blanco.


282


Anexo 5 En este anexo se encuentran algunas demostraciones y notaciones matemáticas que se refieren al desarrollo, las pruebas y la estimación de los modelos ARIMA expuestos en este capítulo sobre la metodología BJ.

Anexo 5.1. Caminatas aleatorias no estacionarias en varianza y covarianza Las series que tienen raíces unitarias regulares tienen una media constante ( P = 0 ). A continuación se demuestra esto desde la ecuación A.5.1 hasta la A.5.2. Yt = P + Yt −1 + Ut

(A.5.1)

E (Yt ) = E ( P) + E (Yt −1 ) + E (Ut )

Dado que E (Yt −1 ) = E (Yt ) = E (Yt + 1 ) = P y E (Ut ) = 0 entonces E (Yt ) − E (Yt −1 ) = E ( P) + E (Ut ) P− P = P μ=0 Yt = Yt −1 + Ut

(A.5.2)

Las series que tienen raíces unitarias regulares tienen una varianza que depende del tiempo [ J 0 = J 0 ( p)], razón por la cual no son estacionarias. A continuación se encuentra la demostración desde la ecuación A.5.3 hasta la A.5.4. Yt = Yt −1 + Ut 2 2 σ Y2t = γ 0 = E ⎡⎣(Yt − μ) ⎤⎦ = E ⎡⎣(Yt −1 + Ut − μ) ⎤⎦ 2 γ 0 = E ⎡⎣(Yt −1 − μ) ⎤⎦ + E (Ut2 ) + 2E (Yt −1 − μ) E (Ut )

γ 0 = γ 0 t−1 + σ U2 t Yt −1 = Yt − 2 + Ut −1 2 2 γ 0t−1 = E ⎡⎣(Yt −1 − μ) ⎤⎦ = E ⎡⎣(Yt − 2 + Ut −1 − μ) ⎤⎦

(A.5.3)


283

2 γ 0t−1 = E ⎡⎣(Yt − 2 − μ) ⎤⎦ + E (Ut2−1 ) + 2E (Yt − 2 − μ) E (Ut −1 )

γ 0 t−1 = γ 0 t−2 + σ U2 t

Reemplazando J 0 en J 0 se obtiene: t−1

γ 0 = γ 0 t−2 + σ U2 t + σ U2 t

γ 0 = γ 0 t−2 + 2 σ U2 t

Al repetir sucesivamente este procedimiento se obtiene la siguiente expresión: γ 0 = γ 0 t−p + P σ U2 t

(A.5.4)

Las series que contienen raíces unitarias regulares tienen una covarianza que depende del tiempo ( J1 = J 0t−1 ), razón por la cual no son estacionarias. A continuación se encuentra la demostración desde la ecuación A.5.5 hasta la A.5.6. Yt = Yt −1 + Ut

(A.5.5)

γ1 = Cov (Yt , Yt − p ) = E ⎡⎣(Yt − μ) (Yt −1 − μ)⎤⎦

γ1 = E ⎡⎣(Yt −1 + Ut − μ) (Yt −1 − μ)⎤⎦ 2 γ1 = E ⎡⎣(Yt −1 − μ) + Ut (Yt −1 − μ)⎤⎦

J1 = J 0t−1 ; J 2 = J1t−1 ; J 3 = J 2t−1 ;...; J p = J p −1t−1

(A.5.6)

Como se conoce que γ 0 = γ 0 + σ U2 y γ 0 = γ 0 + 2 σ U2 , entonces J1 queda en función de J 0 y esta última depende de P. t −1

t−2

t

t−2

t

t−1

Anexo 5.2. Operador y polinomio de rezago empleado en las series de tiempo El operador de rezago L53 es un operador lineal para obtener equivalentep mente un único valor de Yt (v. ecuación A.5.10). Cuando L se antepone a Yt se obtiene su valor p períodos atrás (Enders, 1995: 45). La relación entre la variable Yt y sus rezagos de orden uno, dos, tres o p se puede apreciar en las ecuaciones A.5.7, A.5.8 y A.5.9, respectivamente. 53

La inicial de la palabra inglesa lag que significa ‘rezago’ en castellano.

284


LYt = Yt −1

(A.5.7)

L2 Yt = L ( LYt ) = Yt − 2

(A.5.8)

L3 Yt = L ( L2 Yt ) = Yt − 3 . . . Lp Yt ≡ Yt − p ⇒ Lp Yt = L ( Lp −1Yt ) = Yt − p

(A.5.9)

(A.5.10)

Usando el operador de rezago (L), se puede reescribir la ecuación Yt = δ + φ1Yt −1 + φ2 Yt − 2 + ... + φp Yt − p + Ut como se expresa en la ecuación A.5.11.

(1 − φ L − φ L

)

(A.5.11)

A( L)Yt = G + Ut

(A.5.12)

2

1

2

− ... − φp Lp Yt = δ + Ut

Al reemplazar A.5.11 en la ecuación A.5.12, se puede definir y deducir el polinomio A( L). A( L) es el polinomio (1 − I1 L − I2 L2 − ... − Ip Lp ) y I1 , I2 ,..., Ip son los parámetros54 del modelo, G la media y Ut el término aleatorio. Estos polinomios son empleados tradicionalmente en los análisis de series de tiempo porque permiten expresar de manera concisa y simple modelos que representan fenómenos reales.

Anexo 5.2.1. Propiedades del operador de rezago

Las principales propiedades del operador rezago son las siguientes: 1.

L0 = 1 y por esto L0 Yt = Yt .

2.

El rezago de una constante ( D) es la misma constante: LD = D.

3.

Se cumple la ley distributiva en los operadores de rezago así: ( Lp + Li ) Yt = Lp Yt = Li Yt = Yt − p + Yt − i .

4.

Se cumple la ley asociativa en los operadores de rezago así: Lp Li Yt = Lp + i Yt = Yt − p − i .

5.

Los valores negativos de L son los operadores hacia adelante: L− i Yt = Yt + i , definiendo p = −i de tal forma que L− i Yt = Yt − p = Yt + i . 54

Constantes que denotan el peso o ponderan la importancia de los rezagos a los que se encuentran asociados (Guerrero, 2003: 11).


6.

285

Si D < 1, (1 + DL + D2 L2 + D3 L3 + ...) Yt = Yt (1 − DL ) . Aparentemente esta propiedad no puede comprenderse intuitivamente, pero retomando las propiedades 3 y 4 y multiplicando cada lado por (1 − DL ) se tiene lo siguiente:

(1 + DL ) (1 + DL + D2 L2 + D3 L3 + ⋅⋅⋅) Yt =

Yt

(1 − DL )

(1 − DL )

(1 + DL ) (1 + DL + D2 L2 + D3 L3 + ⋅⋅⋅) Yt = Yt

(1 − DL + DL − D2 L2 + D2 L2 − D3 L3 + D3 L3 + ⋅⋅⋅) Yt = Yt Dado que D < 1, la expresión Dn Ln Yt converge a cero cuando n → ∞ (Enders, 1995: 45). 7.

Si D > 1, ⎡⎣1 + ( αL )−1 + ( αL )−2 + ( αL )−3 + ⋅⋅⋅⎤⎦ Yt = − αLYt (1 − αL ) . Lo anterior se puede expresar como: ∞

−1 −p Yt (1 − DL ) = − ( DL ) ∑ p = 0 ( DL ) Yt .

Multiplicando cada lado por (1 − DL ) se obtiene lo siguiente:

(1 − DL ) ⎡⎣1 + ( DL )−1 + ( DL )−2 + ( DL )−3 + ⋅⋅⋅⎤⎦ Yt = − DLYt ⎡⎣1 − DL + ( DL )−1 − 1 + ( DL )−2 − ( DL )−1 + ( DL )−3 − ( DL )−2 + ⋅⋅⋅⎤⎦ Yt = − DLYt

Dado que D > 1 , la expresión D− n L− n Yt converge a cero cuando n → ∞ (Enders, 1995: 45).

Anexo 5.3. Ecuaciones en diferencia para series de tiempo La comprensión y el desarrollo de las ecuaciones en diferencia es importante en la técnica BJ porque se emplean como instrumento para construir modelos de series de tiempo, comprender la teoría económica implícita en este tipo de modelos e identificar el PGD de la serie temporal. Adicionalmente, las ecuaciones en diferencia describen las consecuencias dinámicas de los eventos propios de una variable a lo largo del tiempo (Hamilton, 1994: 1).

286


Las ecuaciones en diferencia son un caso especial de ecuaciones diferenciales ⎛ ∂Yt = ΔYt ⎞ y también son lineales, no lineales, homogéneas, ⎝ ∂t Δt ⎠ no homogéneas, de orden uno y de orden superior. Son lineales cuando el término Yt sólo está elevado a la primera potencia, no homogéneas si el término al lado derecho de la igualdad es diferente de cero y de primer orden cuando se refieren a una primera diferencia.55 Las ecuaciones en diferencia se originan cuando la variable de tiempo (t) tiene naturaleza discreta. Debido a que t sólo toma valores enteros, siempre 't = 1. Esto conduce a lo siguiente: ∂Yt = ΔYt = ΔYt = ΔYt , que es 1 ∂t Δt la primera diferencia de Yt y toma distintos valores dependiendo de qué períodos consecutivos se involucren en la diferenciación. ' se define como el operador de diferencia, vinculado estrechamente con el de rezago (L). Se emplea para describir una ecuación como Zt = Yt − Yt −1 , donde Zt se denomina variable de resultado y Yt variable de flujo. La ecuación 5.74 muestra las equivalencias utilizando ' y su vínculo con L (operador de rezago), que se encuentra expresado en las ecuaciones A.5.13 y A.5.14. ' Yt = Yt − Yt −1 ⇒ ' Yt = Zt

(A.5.13)

' = 1 − L ⇒ ' Yt = (1 − L)Yt

(A.5.14)

' d Yt = (1 − L ) Yt

(A.5.15)

d

En la ecuación A.5.15 d, se refiere al orden de la diferencia para Yt . En las ecuaciones A.5.13 y A.5.14, ' está elevado a la primera potencia que es equivalente a una ecuación de primera diferencia. Por su parte, la ecuación A.5.15 indica una ecuación diferenciada d veces. De esta misma forma se pueden obtener ecuaciones en primeras ( 'Yt , 'Yt + 1 ,..., 'Yt − 2 ) , segundas ('2 Yt , '2Yt +1 ) y terceras ('3 Yt ) diferencias (v. ecuaciones A.5.16-A.5.22).

55

'Yt + 1 = Yt + 1 − Yt

(A.5.16)

'Yt + 2 = Yt + 2 − Yt + 1

(A.5.17)

'Yt −1 = Yt −1 − Yt − 2

(A.5.18)

'Yt − 2 = Yt − 2 − Yt − 3

(A.5.19)

Ver más detalles en Chiang (1987, caps. 16 y 17).

FUNDAMENTOS DE ECONOMETRÍA INTERMEDIA: TEORÍA Y APLICACIONES ' 2 Yt ≡ ' ( 'Yt ) = ' (Yt − Yt −1 ) = 'Yt − 'Yt −1 =

287

(A.5.20)

(Yt − Yt −1 ) − (Yt −1 − Yt − 2 ) = Yt − 2Yt −1 + Yt − 2 ' 2 Yt + 1 ≡ ' ( 'Yt + 1 ) = ' (Yt + 1 − Yt ) = 'Yt + 1 − 'Yt =

(A.5.21)

(Yt +1 − Yt ) − (Yt − Yt −1 ) = Yt +1 − 2Yt + Yt −1 ' 3 Yt ≡ ' ( ' 2 Yt ) = ' (Yt − 2Yt −1 + Yt − 2 ) = 'Yt − 2 'Yt −1 + 'Yt − 2 = (A.5.22)

(Yt − Yt −1 ) − 2 (Yt −1 − Yt − 2 ) + (Yt − 2 − Yt − 3 ) = Yt − 3Yt −1 + 3Yt − 2 − Yt − 3 Las ecuaciones en diferencia, al igual que las diferenciales, tienen como objetivo principal analizar la dinámica de una serie temporal para hallar la trayectoria temporal de Yt .

Anexo 5.4. Modelos AR, MA y ARMA para series estacionarias Los procesos AR explican el comportamiento de Yt a partir de sus rezagos (v. ecuación A.5.23). Los procesos AR de orden p se denotan como AR (p). Un AR (1) es representado por la ecuación A.5.24, donde I < 1 indica que Yt es estacionaria. En este sentido se puede obtener la media (P), la varianza ( J 0 ), la covarianza ( J p ) y la FAS ρp para un AR (1), como

se observa en las ecuaciones desde A.5.24 hasta A.5.28 suponiendo que E (Yt ) = E (Yt −1 ) = P. Yt = f (Yt −1 , Yt − 2 , ,..., Yt − p )

(A.5.23)

La siguiente es una expresión para un AR (1): Yt = δ + φYt −1 + Ut ⇒ (1 − φL ) Yt = δ + Ut ⇒ φ ( L ) Yt = δ + Ut

(A.5.24)

Para calcular la media del AR (1) se calcula el valor esperado (E) de la ecuación A.5.24: E ( Yt ) = E ( δ) + φE ( Yt −1 ) + E (Ut ) μ = δ + φμ + 0 ⇒ μ − φμ = δ ⇒ (1 − φ) μ = δ ⇒ μ =

δ (1 − φ)

(A.5.25)

288


Para calcular la varianza del AR (1) se calcula el segundo momento de la ecuación A.5.24: 2 2 σ Y2t = γ 0 = E ⎡⎣(Yt − μ) ⎤⎦ = E ⎡⎣( δ + φYt −1 + Ut − μ) ⎤⎦ , δ = 0 . Por ende, P = 0 . 2 γ 0 = E ⎡⎣( φYt −1 ) ⎤⎦ + E (Ut2 ) + 2E ( φYt −1 ) E (Ut )

γ 0 = E ( φ2 Yt2−1 ) + E (Ut2 ) + 2E ( φYt −1 ) E (Ut ) γ 0 = φ2 γ 0 + σ U2 t γ 0 − φ2 γ 0 = σ U2 t

(1 − φ ) γ 2

γ0 =

0

= σ U2 t

σ U2 t

(A.5.26)

(1 − φ ) 2

La covarianza del primer rezago del AR(1) se calcula de la siguiente forma: γ1 = Cov ( Yt , Yt −1 ) = E ⎡⎣( φYt −1 + Ut )(Yt −1 )⎤⎦

γ1 = ⎡⎣E ( φ) E (Yt −1 ) + E (Ut )⎤⎦ E (Yt −1 ) γ1 = φγ 0 ⇒ γ1 =

φσ U2 t

(1 − φ ) 2

γ 2 = Cov (Yt , Yt − 2 ) = E ⎡⎣( φYt −1 + Ut )(Yt − 2 )⎤⎦

Como Yt − p = δ + φYt − p −1 + Ut − p , la covarianza del segundo rezago del AR (1) se calcula de la siguiente forma: γ 2 = E ⎡⎣ φ ( φYt − 2 + Ut −1 ) + Ut ⎤⎦ E (Yt − 2 )

γ 2 = E ⎡⎣ φ2 Yt − 2 + φUt −1 + Ut ⎤⎦ E (Yt − 2 ) γ 2 = φ2 γ 0 ⇒ γ 2 =

φ2 σ U2 t

(1 − φ ) 2

La covarianza del rezago p del AR (1) se calcula de la siguiente forma: γ p = φp γ 0 ⇒ γ p =

φp σ U2 t

(1 − φ ) 2

(A.5.27)


289

Finalmente, la FAS se obtiene de la siguiente manera: p ρ

γp φp γ0

(A.5.28)

En la ecuación A.5.28, ρ p se refiere a la FAS que inicia en ρ0 1 y disminuye geométricamente. Adicionalmente, Ip señala que el proceso tiene memoria infinita porque su valor actual (Yt ) depende de sus valores pasados (Yt −1 ,..., Yt − p ). Por otra parte, es posible obtener la condición de estacionariedad del AR (1) de esta misma manera a partir del polinomio de rezago dado por I ( L ) = (1 − IL ), con una única raíz L = 1 I. Para que esta raíz sea mayor que uno en valor absoluto, se debe cumplir la condición I < 1. Asimismo, un proceso AR (p) describe el valor actual de Yt mediante el promedio ponderado de las observaciones pasadas más el término aleatorio, término de error o ruido blanco (Ut ) . La ecuación A.5.29 expresa un p AR (p), donde ∑ t = 1 Ip < 1 , lo que indica que Yt es estacionaria. A partir de ésta se derivan su media (P), varianza ( J 0 ), covarianza ( J p ) y FAS ρp , como se observa en las ecuaciones desde A.5.30 hasta A.5.32.

La siguiente es una expresión para un AR (p): Yt = δ + φ1Yt −1 + φ2 Yt − 2 + + φp Yt − p + Ut

(

)

⇒ 1 − φ1 L − φ2 L2 − − φp Lp Yt = δ + Ut ⇒ φ( L)Yt = δ + Ut

(A.5.29)

Para calcular la media del AR (p) se calcula el valor esperado (E) de la ecuación A.5.29 y se obtiene: μ=

δ (1 − φ1 − φ2 − − φp )

(A.5.30)

Para calcular la varianza del AR (p) se calcula el segundo momento de la ecuación A.5.29: 2 σ Y2t = γ 0 = E ⎡⎣(Yt − μ) ⎤⎦ , δ = 0 . Por ende, P = 0

E (Yt ) = E ⎡⎣Yt ( I1Yt − 1 + I2 Yt − 2 + ⋅⋅⋅ + Ip Yt − p + Ut )⎤⎦ 2

γ 0 = E (Yt ) = φ1Y1 + φ2 Y2 + ⋅⋅⋅ + φp Yp + σ U2 t 2

(A.5.31)

290


La covarianza del primer rezago del AR (p) se calcula de la siguiente forma: γ1 = Cov (Yt , Yt −1 ) = E ⎡⎣( φ1Yt −1 + φ2 Yt − 2 + + φp Yt − p + Ut ) Yt −1 ⎤⎦

γ1 = φ1 γ 0 + φ2 γ1 + + φp γ p −1 ⇒ γ1 =

φ1 γ 0 + + φp γ p −1 1 − φ2

La covarianza del segundo rezago del AR (p) se calcula de la siguiente forma: γ 2 = Cov ( Yt , Yt − 2 ) = E ⎡⎣( φ1Yt −1 + φ2 Yt − 2 + + φp Yt − p + Ut ) Yt − 2 ⎤⎦

γ 2 = φ1 γ1 + φ2 γ 0 + + φp γ p −1

La covarianza del rezago p del AR (p) se calcula de la siguiente forma: γ p = Cov ( Yt , Yt − p ) = E ⎡⎣( φ1Yt −1 + φ2 Yt − 2 + + φp Yt − p + Ut ) Yt − p ⎤⎦

γ p = φ1 γ p −1 + φ2 γ p − 2 + + φp γ 0

(A.5.32)

En el cuadro A.5.1 se presentan la media (P), la varianza ( J 0 ), las covarianzas ( J1 , J 2 ,..., J p ) y la FAS ρ p γ p γ0 de los procesos AR (1), AR (2) y AR (p), deducidas mediante el mismo razonamiento que se utilizó desde la ecuación A.5.24 hasta la A.5.32.

Por otra parte, los procesos MA explican el comportamiento de Yt a partir de los rezagos de Ut (v. ecuación A.5.33). El proceso de orden q se denota MA (q). El proceso de primer orden MA (1) es representado por la ecuación A.5.34. Una característica prevaleciente en los procesos MA es la estacionariedad por su naturaleza. Esta condición hace posible que todo proceso AR se represente de manera equivalente mediante un MA. En otras palabras, garantiza la invertibilidad del AR. A partir de lo anterior, se puede expresar la idea de dualidad entre estacionariedad para un proceso AR e invertibilidad para un proceso MA. En este sentido, todo proceso MA es estacionario, mientras que todo proceso AR es invertible (Guerrero, 2003: 83). La media (P), la varianza ( J 0 ), la covarianza J p y la FAS ρp de los procesos MA (1) y MA (q) se derivan de la siguiente manera:

( )

Yt = f (Ut −1 , Ut − 2 , … , Ut − q )

(A.5.33)

La siguiente es una expresión para un MA(1): Yt = δ − θUt −1 + Ut ⇒ Yt − δ = (1 − θL )Ut ⇒ Yt − δ = θ ( L )Ut

(A.5.34)

CUADRO A.5.1.

La media, la varianza, las covarianzas y la FAS de los procesos AR

Orden de integración de la serie Yt

0

0

AR(2);

Forma del modelo

Yt = δ + φ1Yt −1 + Ut

Media P

(1 − φ1 )

Varianza σ Y2t = γ0

Covarianza γ1 Covarianza γ2 Covarianza γp

t=1

φp 1

Yt = δ + φ1Yt −1 + φ2Yt −2 + Ut

δ

AR(p);

p t=1

φp 1

Yt = δ + φ1Yt −1 + φ2Yt −2 + + φpYt − p + Ut δ

δ

(1 − φ − φ

(1 − φ1 − φ2 )

1

2

− − φp )

φ1Y1 + φ2Y2 + σ U2 t

σ U2 t

(1 − φ ) 2

φσ U2 t

(1 − φ ) 2

φ2 σ U2 t (1 − φ2 ) φp σ U2 t

(1 − φ ) 2

γ0 =

(1 − φ2 ) σ U2 (1 + φ2 ) ⎡⎣(1 − φ2 )2 − φ12 ⎤⎦ t

Ip

φ1 γ1 = φ2 γ 2 + + φp γ p + σ U2 t

φ1 γ 0 + φ2 γ1 φγ γ1 = 1 0 (1 − φ2 )

φ1 γ 0 + φ2 γ1 + + φp γ p−1 φ1 γ 0 + + φp γ p−1 γ1 = 1 − φ2

φ1 γ1 + φ2 γ 0

φ1 γ1 + φ2 γ 0 + + φp γ p−1

φ1 γ p−1 + φ2 γ p−2

γ p = φ1 γ p−1 + φ2 γ p−2 + + φp γ 0

ρ1 =

FAS

γ ρp P γ0

φ1 1 − φ2

φ2 ρ2 = φ2 + 1 1 − φ2

ρ1 = φ1 + φ2 ρ1 + + φp ρp−1

ρp = φ1 ρp−1 + φ2 ρp−2 + + φp


Proceso

0 2

ρ2 = φ1 ρp−1 + φ2 ρp−2 291

Fuente: Elaboración propia a partir de Pindyck y Rubinfeld (1998).

292


Para calcular la media del MA (1) se calcula el valor esperado (E) de la ecuación A.5.34: E (Yt ) = E ( δ) + θE (Ut −1 ) + E (Ut ) E (Yt ) = E ( δ) = μ

(A.5.35)

Para calcular la varianza del MA (1) se calcula el segundo momento de la ecuación A.5.34: 2 2 σ Y2t = γ 0 = E ⎡⎣(Yt − μ) ⎤⎦ = E ⎡⎣( δ − θUt −1 + Ut − μ) ⎤⎦ , μ = δ = 0 2 γ 0 = E ⎡⎣( θUt −1 ) ⎤⎦ + E (Ut2 ) + 2E ( θUt − 1 ) E (Ut )

γ 0 = E ( θ 2Ut2−1 ) + E (Ut2 ) + 2E ( θUt −1 ) E (Ut ) γ 0 = θ 2 σ U2 t + σ U2 t γ 0 = (1 + θ 2 ) σ U2 t

(A.5.36)

La covarianza del primer rezago del MA(1) se calcula de la siguiente forma: γ1 = Cov (Yt , Yt −1 ) = E ⎡⎣(Ut − θUt −1 ) (Ut −1 − θUt − 2 )⎤⎦ , μ = δ = 0

γ1 = − θσ U2 t

(A.5.37)

La covarianza del rezago p del MA (1) se calcula de la siguiente forma: γ p = Cov (Yt , Yt − p ) = E ⎡⎣(Ut − θUt −1 ) (Ut − p − θUt − p −1 )⎤⎦

J p = 0 para todo p>1

(A.5.38)

Finalmente, la FAS se obtiene de la siguiente manera: (A.5.39) Asimismo, un proceso MA (q) describe el valor actual de Yt mediante el promedio ponderado de las observaciones pasadas de Ut . La ecuación q A.5.40 expresa un MA (q), donde ∑ t = 1 T t2 < ∞ , que satisface la condición de dualidad y a partir de ella se deriva su media (P), su varianza ( J 0 ) , su covarianza ( J p ) y su FAS ρ p , como se observa en las ecuaciones desde A.5.41 hasta A.5.45.


293

La siguiente es una expresión para un MA (q): Yt = δ − θ1Ut −1 − θ 2Ut − 2 − − θ qUt − q + Ut ⇒

(

(A.5.40)

)

Yt − δ = 1 − θ1 L − − θ q Lq Ut ⇒ Yt − δ = θ(L)Ut

Para calcular la media del MA (q) se calcula el valor esperado (E) de la ecuación A.5.40 y se obtiene: E (Yt ) = P

(A.5.41)

Para calcular la varianza del MA (q) se calcula el segundo momento de la ecuación A.5.40: 2 2 σ Y2t = γ 0 = E ⎡⎣(Yt − μ) ⎤⎦ = E ⎡⎣( θ1Ut −1 − θ 2Ut − 2 − ⋅⋅⋅ − θ qUt − q + Ut ) ⎤⎦ , μ = δ = 0

γ 0 = E ⎡⎣( θ1Ut −1 − θ 2Ut − 2 − − θ qUt − q + Ut ) ( θ1Ut −1 − θ 2Ut − 2 − − θ qUt − q + Ut )⎤⎦

(

γ 0 = σ U2 t 1 + θ12 + + θ q2

)

(A.5.42)

La covarianza del primer rezago del MA (q) se calcula de la siguiente forma: J1 = Cov (Yt , Yt −1 )

γ1 = E ⎡⎣( θ1Ut −1 − θ 2Ut − 2 − ⋅⋅⋅ − θ qUt − q + Ut ) ( θ1Ut − 2 − θ 2Ut − 3 − ⋅⋅⋅ − θ qUt − q − 1 + Ut − 1 )⎤⎦ γ1 = σ U2 t ( θ1 + θ 2 θ1 + ⋅⋅⋅ + θ q θ q −1 )

(A.5.43)

La covarianza del rezago p del MA (q) se calcula de la siguiente forma: J p = Cov (Yt , Yt − p )

γ p = E ⎡⎣( θ1Ut −1 − − θ qUt − q + Ut ) ( θ1Ut − p −1 − − θ qUt − p − q + Ut − p − q − 1 )⎤⎦

J p = 0 , para todo p>1

(A.5.44)

Finalmente, la FAS se obtiene de la siguiente manera: (A.5.45)

294


Las ecuaciones A.5.39 y A.5.45 se refieren a la FAS, que inicia en un valor para ρ1 y luego se desvanece totalmente porque para todo p > 1 el valor de ρ p es cero. Esto indica que los procesos MA tienen memoria finita o de un solo período y así su valor actual depende únicamente de su pasado inmediatamente anterior (Yt −1 ) . Esto quiere decir que el proceso olvida todos los períodos a excepción del inmediatamente anterior. A partir de lo anterior, en el cuadro A.5.2 se presentan la media (P), la varianza ( J 0 ), las covarian p γ p γ0 de los procesos MA (1), MA (2) y zas ( J1 , J 2 ,..., J p ) y la FAS ρ MA (q), deducidas mediante el mismo razonamiento que se utilizó desde la ecuación A.5.34 hasta la A.5.45.

Finalmente se tiene la combinación de los procesos AR y MA, que se expresa como ARMA (p, q), de acuerdo con su respectivo orden. En el cuadro A.5.3 se presenta la media (P), la varianza ( J 0 ), las covarianzas ( J1 , J 2 ,..., J p ) y la FAS ρp γ p γ0 de la forma más sencilla ARMA (1, 1), deducidas mediante el mismo procedimiento que se empleó anteriormente.

Todo el proceso anterior también se utiliza para las series integradas o desestacionalizadas. Simplemente hay que realizar un equivalente en su orden de diferenciación de esta manera: 'Yt = Yt − Yt −1 ⇒ 'Yt = Zt y reemplazar en todos los procesos Yt ,..., Yt − p por Zt ,..., Zt − p . A continuación se realiza una pequeña reseña matemática sobre la dualidad, que establece que todo proceso AR se puede representar de manera equivalente mediante un MA, es decir, que se garantiza la invertibilidad del AR.

CUADRO A.5.2.

La media, la varianza, las covarianzas y la FAS de los procesos MA 0

Proceso

MA(1)

Forma del modelo

Yt = δ − θ1Ut −1 + Ut

Yt = δ − θ1Ut −1 − θ 2Ut −2 + Ut

Yt = δ − θ1Ut −1 − θ 2Ut −2 − − θ qUt −q + Ut

Media P

G

G

G

Varianza

σ U2 t (1 + θ 2 )

σ U2 t (1 + θ12 + θ 22 )

σ U2 t 1 + θ12 + θ 22 + + θ q2

Covarianza γ1

−θ1 σ U2 t

− θ1 σ U2 t + θ1θ 2 σ U2 t = − θ1 (1 − θ 2 ) σ U2 t

σ U2 t ( − θ1 + θ1θ 2 + θ 2 θ 3 + + θ q θ q+1 )

Covarianza γ2

0

−θ 2 σ U2 t

σ U2 t ( − θ 2 + θ1θ 3 + + θ q θ q+ 2 )

Covarianza γp

0

0

0

FAS γ ρp P γ0

− θ1 ρ1 = (1 + θ 2 )

0

Up = 0

0 MA(2);

0

2 t =1

θt2

− θ1 (1 − θ 2 )

ρ1 =

(1 + θ

ρ2 =

(1 + θ

2 1

+ θ 22 )

−θ2 2 2 1 + θ2 )

Up = 0

MA(q);

q t =1

(

ρ1 =

θt2

)

− θ 1 + θ 1 θ 2 + θ 2 θ 3 + + θ q θ q +1

(1 + θ

2 1

+ θ 22 + + θ q2

U2 = 0 Up = 0

)



Fuente: Elaboración propia a partir de Pindyck y Rubinfeld (1998). 295

296


CUADRO A.5.3.

La media, la varianza, las covarianzas y la FAS de los procesos ARMA (1, 1)


0

Proceso

ARMA(1,1)

Forma del modelo

Yt = δ + φYt −1 − θ1 Ut −1 + Ut

Media μYt

(1 − φ1 )

Varianza σ Y2t γ0

1 + θ12 − 2 φ1θ1 2 σ (1 − φ12 ) Ut

δ

(1 − φ1θ1 ) ( φ1 − θ1 ) σ 2

Covarianza J1

1 − φ12

Covarianza J2

φ1 γ1

Covarianza Jp

φ1 γ p−1 ρ1 =

FAS γ ρp P γ0

Ut

(1 − φ1θ1 ) ( φ1 − θ1 ) 1 + θ12 − 2 φ1θ1

ρp = φ1 ρp−1

Fuente: Elaboración propia a partir de Pindyck y Rubinfeld (1998).

Anexo 5.4.1. Condición de dualidad, estacionariedad e invertibilidad

Los procesos AR y MA están estrechamente ligados, de manera que es posible transformar cualquier proceso AR (p) en un MA y un MA en AR (p). Esto se conoce como invertibilidad y es posible dado que todo proceso MA p es estacionario por naturaleza y si se supone que ∑ t = 1 Ip < 1 para que el proceso converja en ambos sentidos y pueda ser llevada a cabo la metodología BJ (v. ecuaciones A.5.46, A.5.47, A.5.48 y A.5.49). Así, empleando el operador y el polinomio de rezago en un AR (p) se tiene:

(1 − I L − I L

2

1

(

2

)

− ⋅⋅⋅ − Ip Lp Yt = Ut

(A.5.46)

I( L)Yt = Ut

(A.5.47)

Yt = I−1 ( L)Ut

(A.5.48)

Yt = 1− φ1 L − φ2 L2 − − φp Lp

)

−1

Ut

(A.5.49)


297

La ecuación A.5.49 representa la estimación no lineal de un modelo MA derivado a partir de un AR (p), como se observa en el procedimiento p desde la ecuación A.5.46 hasta la A.5.49. No obstante, si ∑ t = 1 Ip ≥ 1 el proceso AR no converge y, por lo tanto, no es estacionario. En ese caso no es posible utilizar la técnica BJ.

Anexo 5.5. Círculo unitario y estacionariedad De acuerdo con la condición ∑ t = 1 Ip < 1 para que converja un AR (p), los valores de cada Ip deben ser tales que las raíces complejas estén dentro del círculo unitario y se mantenga la estabilidad del proceso y del modelo. Para ilustrar esto, suponga un proceso AR (2) (v. ecuación A.5.50) cuyo polinomio se expresa en la ecuación A.5.51. Sus raíces equivalen a las expresiones A.5.52 y A.5.53 a partir de una solución homogénea. p

(1− φ L − φ L ) Y 2

1

2

t

= Ut

(A.5.50)

1− φ1 L − φ2 L2 = 0

(A.5.51)

λ2 − φ1 λ − φ2 = 0

(A.5.52)

φ1 φ12 + 4 φ2 2

(A.5.53)

λ=

I12 + 4 I2 < 2 ± I1 , donde I1 ± I2 < 1

(A.5.54)

A partir de la ecuación A.5.53 se puede ver que las raíces deben ser inferiores a uno en valor absoluto (v. ecuación A.5.54).

6

MODELOS CON REZAGOS DISTRIBUIDOS Y AUTORREGRESIVOS, CAUSALIDAD DE GRANGER Y COINTEGRACIÓN

6.1. Introducción

E

n los capítulos 4 y 5 se explicaron los conceptos y las metodologías para trabajar las series de tiempo, los cuales pretendían modelar y pronosticar el comportamiento de una variable económica a lo largo del tiempo. Por consiguiente, el presente capítulo explora el análisis de las relaciones temporales entre dos o más series de tiempo o modelos econométricos dinámicos. A diferencia de los modelos estáticos, los que se estudian en este capítulo incorporan el efecto del rezago temporal que requiere la variable dependiente como respuesta a los cambios en las variables independientes (Gujarati, 2003: 633). Asimismo, reconocer este factor temporal en los modelos de regresión es aceptar que los fenómenos económicos son dinámicos y no estáticos (Pena, 1967: 2). De esta manera, las secciones siguientes contienen los principales aspectos técnicos sobre los modelos con rezagos distribuidos y autorregresivos. En el primer tipo de modelos se considera que la respuesta total de la variable dependiente (Yt ) a los cambios en las variables independientes se alcanza después de cierto número de períodos (Xt , Xt −1 ,..., Xt − p ). El segundo se caracteriza por incluir como variables explicativas los rezagos de la variable dependiente (Yt −1 , Yt − 2 ,..., Yt − p ) , además de las variables explicativas de interés sin rezagos ( Xt ) o con rezagos (Xt , Xt −1 ,..., Xt − p ). También se introducen los modelos y las variables de expectativas adaptativas, los multiplicadores y las elasticidades de corto y largo plazo, los períodos de ajuste, los criterios de Akaike (CA) y Schwarz (CS), las transformaciones de Koyck y Almon, el ajuste parcial o de Nerlove, la causalidad de Granger y la cointegración. Finalmente, para comprender los

299


300

modelos presentados en este capítulo se desarrolló un estudio de caso basado en la información sobre la oferta de azúcar de Hill, Griffiths y Judge (2001).

6.2. Introducción a los modelos con variables rezagadas El estudio del comportamiento de las variables económicas requiere entender sus relaciones temporales y analizar la respuesta de éstas a los eventos exógenos y endógenos con cierta periodicidad o rezago. Así, los modelos econométricos que incluyen rezagos en las variables explicativas se denominan regresiones dinámicas (v. ecuación 6.1). Estos modelos suponen que las variables independientes y dependientes son integradas de orden cero (v. cap. 5). p+1

Yt = E 0 + E1 Xt + E 2 Xt −1 + E p + 1 ∑ Xt − i + Ut

(6.1)

i=2

En la ecuación 6.1 Yt es la variable dependiente temporal, Xt − p la variable explicativa rezagada estacionaria ( p = 0, 1,..., n) y Ut el error del modelo. Bajo esta especificación, un cambio de la variable independiente Xt − p en cualquier momento del tiempo puede afectar Yt en el período actual (t), dado que su valor esperado (E) es E Yt Xt , Xt −1 ,..., Xt − p . No obstante, si los efectos de la variable explicativa toman demasiado tiempo, los modelos pueden convertirse en rezagos infinitos. En el caso contrario se trata de un modelo con rezagos finitos (Greene, 2003: 560).1

(

)

El efecto de un cambio marginal de algún rezago de la variable independiente (Xt − p ) sobre la dependiente (Yt ) está dado por el valor estimado de los parámetros ( E1 , E 2 ,..., E p+ 1 ), porque reflejan las secuelas de corto y largo plazo. Así, el coeficiente E1 captura los efectos de corto plazo y se denomina multiplicador de corto plazo o de impacto y las sumas parciales de los coeficientes a lo largo de los períodos2 son los multiplicadores de largo plazo o de equilibrio, cuando los cambios en Xt − p se mantienen constantes a lo largo del tiempo. En relación con lo anterior, los rezagos incluidos son justificados por el comportamiento del mercado y de los agentes económicos. Éstos dependen de las razones psicológicas (hábitos de consumo determi1

En la realidad los efectos de las variables tienen persistencia en períodos cortos. p +1

2

∑E i =1

i

= E 1 + E 2 + + E p +1 = E .


301

nados por el ingreso), tecnológicas (actualización de capital) e institucionales (como los contratos). En caso de que un evento económico se modele equivocadamente como estático, sin considerar las características fundamentales de los individuos, los resultados empíricos serán incorrectos. Por esto, a continuación se exponen los procedimientos para trabajar modelos dinámicos.

6.2.1. Operador rezago (L) y diferencia para modelos dinámicos Como se expuso en el anexo 5.2, los modelos con rezagos distribuidos y autorregresivos pueden expresarse en términos del operador rezago y de los polinomios de rezago. Esto permite transformar algebraicamente las expresiones con el fin de simplificar los modelos como los autorregresivos (AR) considerados en el capítulo 5 o los modelos de rezagos distribuidos (v. ecuación 6.2). Lp Xt = Xt − p

(6.2)

En la expresión 6.2 Xt − p es una variable rezagada p períodos y L es el operador de rezago. De acuerdo con esto pueden desarrollarse operaciones de primera diferencia (v. anexo 5.3 y ecuación 6.3). Así, el modelo de regresión dinámica en la ecuación 6.1 puede reescribirse como la ecuación 6.4. 'Xt = Xt − Xt −1 = (1 − L ) Xt

(6.3)

p+1

Yt = E 0 + E1 Xt + E 2 Xt −1 + E p + 1 ∑ Xt − i + Ut

(

)

(6.4)

i=2

= E 0 + E1 + + E p + 1 Lp Xt + Ut = E 0 + B ( L ) Xt + U t

En la ecuación 6.4 B(L) es el polinomio de rezago que agrupa todos los rezagos de Xt . A su vez, éste se transforma mediante una expansión de Maclaurin o Taylor3 (v. ecuación 6.5 y anexo 5.2), si es el resultado del multiplicador de largo plazo o de equilibrio ( E ) . Yt = E 0 +

3

p +1

E X + Ut 1 − EL t

B( L) = E1 + E 2 L + + ( E p+1L) = ∑ ( EL) = p

i =1

i

EXt con E < 1 . 1 − EL

(6.5)

302


La ecuación 6.5 se denomina forma de promedio móvil o rezago distribuido (v. sección 6.3). Ahora, multiplicando ambos lados de la ecuación 6.5 por (1 − EL ) se obtiene la expresión del modelo autorregresivo (v. ecuación 6.6). E

(1 − EL ) Yt = E0 (1 − EL ) + 1 − EL Xt (1 − EL ) + (1 − EL )Ut Yt − EYt −1 = E 0 (1 − EL ) + EXt + (1 − EL )Ut

(6.6)

Yt = E 0 (1 − EL ) + EXt + EYt −1 + (1 − EL )Ut

En la ecuación 6.6 el operador de rezago (L) es útil para representar los modelos de variable rezagada. En las siguientes secciones se encuentran más detallados los conceptos de los modelos dinámicos para justificar la teoría económica.

6.3. Modelos de rezagos distribuidos y autorregresivos Los modelos dinámicos incluyen los rezagos de la variable independiente como variables explicativas (Xt , Xt −1 , Xt − 2 ,..., Xt − p ). Esto permite encontrar los efectos de un cambio marginal de la variable explicativa en el período presente ( Xt ) o en otro momento anterior (Xt −1 , Xt − 2 ,..., Xt − p ) sobre la variable dependiente (Yt ). Un ejemplo económico es la curva J, que representa el ajuste gradual de los flujos comerciales externos de un determinado país. La curva J se presenta con frecuencia cuando empeora la cuenta corriente en una nación inmediatamente después de que ocurre una depreciación real de la moneda local, y su recuperación comienza sólo después de que transcurra un tiempo (Krugman y Obstfeld, 2006: 468). Por consiguiente, la ecuación 6.7 representa el modelo de rezagos distribuidos en forma convencional mediante el operador y el polinomio de rezago ⎡⎣ L y B ( L )⎤⎦ . Yt = E 0 + E1 Xt + E 2 Xt −1 + E 3 Xt − 2 + + E p + 1 Xt − p + Ut

(

)

Yt = E 0 + E1 + E 2 L + + E p + 1 Lp Xt + Ut

(6.7)

Yt = E 0 + B(L)Xt + Ut

En la ecuación 6.7 están relacionadas dos series de tiempo (Yt y Xt ). Si la variable Xt cambia en una unidad en el momento t, su efecto esperado sobre Yt es E1 . Pero evaluada parcialmente en Xt −1 , Xt − 2 ,..., Xt − p , la derivación sería capturada por E 2 ,..., E p+ 1, manteniendo constante cada uno de los rezagos.


303

Por otra parte, los modelos dinámicos especifican también una estructura diferente a la de rezagos distribuidos (RD) denominada modelo autorregresivo (ADL4). Este tipo de modelos es la ampliación de los procesos estacionarios AR expuestos en el capítulo 5. Su divergencia de los modelos RD y AR radica en que el ADL (v. ecuación 6.8) emplea simultáneamente dos series de tiempo (Yt y Xt ) que tienen uno o más rezagos cada una. Yt = β 0 + β1 Xt + β 2 Xt −1 + + β p + 1 Xt − p + α1Yt −1 + + αp Yt − p × Ut

(

)

(

)

Yt = β 0 + β1 + β 2 L + + β p + 1 Lp Xt + α1 L + α2 L2 + + αp Lp Yt + Ut (6.8)

(1 − α L + α L + + α L ) Y = β + ( β p

2

1

2

p

t

0

1

)

+ β 2 L + + β p + 1 Lp Xt + Ut

A(L)Yt = E 0 + B(L)Xt + Ut

En 6.8 Ut representa el error ruido blanco (v. capítulo 5), es decir, que no tiene problemas de autocorrelación y heteroscedasticidad. Por su parte, A(L) y B(L) son los polinomios de rezago de orden p establecidos para Yt y Xt (Greene, 2003: 571). Los rezagos de esta expresión (Xt −1 , Xt − 2 ,..., Xt − p y Yt −1 ,Yt − 2 ,...,Yt − p ) implican un conjunto de respuestas dinámicas que afectan el comportamiento de Yt en el corto, mediano y largo plazo (Johnston y Dinardo, 1997: 245). Por último, E1 , E 2 ,..., E p+ 1 simbolizan los parámetros de los rezagos de la variable independiente (Xt ) y D1 , D2 ,..., Dp los de la dependiente (Yt ). Una vez especificados los modelos dinámicos RD y ADL, sus resultados pueden obtenerse mediante mínimos cuadrados ordinarios (MCO). Esto permite obtener estimadores de los parámetros que indican los cambios de las variables en distintos períodos. Sin embargo, esta aproximación metodológica puede llegar a presentar las siguientes dificultades: 1.

La elección del número de rezagos5 influye en la estimación porque a medida que se incluyen más rezagos se pierden grados de libertad.

2.

Los rezagos están altamente correlacionados y originan multicolinealidad en el modelo.

4 5

Autorregresive distributed lags.

Para determinar la longitud del rezago deben utilizarse el CA y el CS expuestos en la sección 4.4. De esta forma, se escogerán los rezagos que resulten estadísticamente significativos con la prueba parcial (t) y el modelo cuyos valores del CA y el CS resulten más pequeños (sin hacer la comparación en valor absoluto).

304


3.

Puede haber autocorrelación entre los errores por la presencia de variables dependientes rezagadas.

4.

Puede haber endogenidad cuando se incluyen los rezagos de la variable dependiente que por construcción estarán correlacionados con el error estocástico contemporáneo.

En vista de estos problemas, las transformaciones de Koyck y Almon se convierten en las alternativas para lograr los resultados esperados desde la perspectiva económica o desde la teoría. Asimismo, se discuten los modelos de expectativas adaptativas, los de ajuste parcial (modelos de Nerlove) y la prueba h de Durbin para detectar problemas de autocorrelación residual en los modelos dinámicos (RD y ADL).

6.3.1. Modelo de Koyck La transformación de Koyck es la primera aproximación al manejo de los modelos de rezagos distribuidos. Es un método alternativo para estimar RD infinitos. En este sentido, se toma el modelo de rezagos distribuidos infinitos en la ecuación 6.9 y se supone que el signo de sus coeficientes (β1 , β 2 , … , β p + 1 ) es el mismo geométricamente. Yt = E 0 + E1 Xt + E 2 Xt −1 + E 3 Xt − 2 + + Ut

(6.9)

β p + 1 = β1 λp + 1 , con p = 0 , 1, 2 ,...

(6.10)

En la ecuación 6.10, O es la tasa de descenso del rezago distribuido, con un valor entre cero y uno (0 < O < 1) y 1 − O significa la velocidad de ajuste. Igualmente, el coeficiente E p+1 depende de β1 y de λ , y cuando λ → 1 el ajuste es más lento. Por lo tanto, los valores del pasado lejano de Xt tienen un impacto significativo sobre Yt . En el caso contrario, cuando su valor tiende a cero ( O → 0 ), la velocidad de ajuste es mayor. En otras palabras, los rezagos más cercanos de Xt ( Xt −1 , Xt − 2 ) tienen mayores efectos en el comportamiento de Yt (Gujarati, 2003: 641). Así, con la expresión 6.10 y el modelo 6.9 puede obtenerse la ecuación 6.11. Yt = β 0 + β1 Xt + β1 λXt −1 + β1 λ2 Xt − 2 + + Ut

(6.11)

A partir de la ecuación 6.11 y con esta misma especificación puede plantearse la ecuación 6.12, cuando Yt se rezaga un período. Adicionalmente, los nuevos coeficientes del modelo ( β1 λ2 ,..., β1 λp ) no son lineales, lo que impide su estimación mediante MCO. Por lo tanto, el modelo necesita ser


305

reestructurado nuevamente multiplicando ambos lados de la ecuación 6.12 por O (v. ecuación 6.13) y restando la ecuación 6.11 de la 6.13, con el fin de lograr que puedan ser estimados mediante MCO (v. ecuación 6.14). Yt −1 = β 0 + β1 Xt −1 + β1 λXt − 2 + β1 λ2 Xt − 3 + + Ut −1

(6.12)

λYt −1 = β 0 λ + β1 λXt −1 + β1 λ2 Xt − 2 + β1 λ3 Xt − 3 + + λUt −1

(6.13)

Si se resta la ecuación 6.13 de la 6.12 tenemos: Yt − λYt −1 = ( β 0 + β1 Xt + β1 λXt −1 + β1 λ2 Xt − 2 + + Ut ) −

(β

0

λ + β1 λXt −1 + β1 λ2 Xt − 2 + + λUt −1 )

Yt = β 0 (1 − λ) + β1Xt + λYt −1 + υt

(6.14)

(1 − λL ) Yt = β0 (1 − λ) + β1Xt + υt A ( L ) Yt = β 0 (1 − λ) + β1Xt + υt

La ecuación 6.14 representa un modelo ADL y υt = Ut − λUt −1 es un proceso MA (v. cap. 5). Por consiguiente, con este método se logra simplificar la estimación del modelo RD infinito al haberlo transformado en un ADL estimable mediante MCO. Adicionalmente, aunque la expresión 6.14 resulta favorable para eliminar el efecto de la multicolinealidad, el nuevo modelo genera autocorreleación residual ( υt = Ut − λUt −1 ) . Una vez especificado el modelo RD, es posible caracterizar sus resultados mediante la transformación de Koyck. De esta manera, el rezago medio (RM) o el mediano (RME) son empleados para tipificar la estructura de los rezagos. El RM corresponde al tiempo requerido para que se presente el 50% del cambio total en Yt cuando ocurre un cambio marginal en Xt . En el modelo ADL, RM = − ln( 2) ln ( O) . Por su parte, el RME es el promedio ponderado de todos los rezagos involucrados y está representado por RME = O 1 − O en la transformación de Koyck. Estos dos rezagos son una medida de la velocidad con la que se ajusta Yt cuando cambia Xt. Adicionalmente, con la información de los modelos dinámicos es posible calcular las elasticidades de corto y largo plazo. ln (Yt ) = β 0 (1 − λ) + β1 ln ( Xt ) + λln (Yt −1 ) + ln ( υt )

(6.15)

306


ln (Yt ) = E 0 + E1 ln ( Xt ) + E 2 ln ( Xt −1 ) + + E p + 1 ln ( Xt − p ) + ln (Ut )

(

)

ln (Yt ) = E 0 + E1 + E 2 L + + E p + 1 Lp ln ( Xt ) + ln (Ut )

(6.16)

ln (Yt ) = E 0 + B( L)ln ( Xt ) + ln (Ut )

Las elasticidades6 son determinadas mediante MCO a partir de un modelo dinámico doblemente logarítmico7 para ADL (v. ecuación 6.15) o RD (v. ecuación 6.16). En la ecuación 6.16 la elasticidad de corto plazo es el coeficiente E1 , mientras que la de largo plazo equivale a la sumatoria ⎛ p+1 ⎝ i =1

⎞ ⎠

de todos los parámetros sin incluir el intercepto ⎜ ∑ Ei = E1 + E 2 + ... + E p + 1 ⎟ .

6.3.2. Modelo de expectativas adaptativas Mediante el modelo de Koyck explicado en la sección anterior se transformó la especificación de RD en una ADL. Sin embargo, esto no cuenta con un sustento teórico para su aplicación en el análisis económico. Por esta razón se introduce el modelo de expectativas adaptativas (Cagan, 1956) a partir de un modelo dinámico cuya variable explicativa (Xt* ) se caracteriza por ser una expectativa o un valor que se espera de ella en el largo plazo (v. ecuación 6.17). Dada la existencia de variables económicas (tasas de interés nominales y reales, devaluación, inflación, entre otras) que deben converger a un equilibrio o cuyo valor debe ser óptimo en un determinado momento del tiempo para mantener una dinámica aceptable en una economía, dicho razonamiento es un componente importante para especificar modelos econométricos. Yt = β 0 + β1Xt* + Ut con Xt* − Xt*−1 = γ (Xt − Xt*−1 )

(6.17)

En la ecuación 6.17 Yt es la variable dependiente, la variable independiente Xt* es el valor esperado de la variable Xt , J es el coeficiente de esperanza y Ut el término del error. La idea básica de este modelo es especificarlo con base en la información del pasado cercano, suponiendo que los agentes económicos necesitan tiempo para cambiar sus perspectivas sobre cualquier fenómeno económico favorable o desfavorable, debido a

6

Éstas son variaciones porcentuales en Yt como repuestas a un incremento del 1% en Xt. En el caso particular de los modelos dinámicos, las elasticidades (H) hacen referencia al ajuste que tienen las variables consideradas a lo largo del tiempo. 7

En este caso es calcular el logaritmo natural de Yt , Xt y sus rezagos (Yt −1 , Xt −1 ,..., Xt − p ).


307

la incertidumbre sobre el futuro (Gujarati, 2003: 459). En este sentido, la ecuación 6.17 se rezaga un período y dicho resultado es multiplicado por 1 − J para obtener la siguiente ecuación:

(1 − γ ) Yt −1 = (1 − γ ) β0 + β1 (1 − γ ) Xt*−1 + (1 − γ )Ut −1

(6.18)

Por último, se restan las ecuaciones 6.17 y 6.18 y se obtiene un modelo autorregresivo de expectativas adaptativas (v. ecuación 6.19). Yt − (1 − γ ) Yt −1 = ( β 0 + β1Xt* + Ut ) − ⎡⎣(1 − γ ) β 0 + β1 (1 − γ ) Xt*−1 + (1 − γ )Ut − 1 ⎤⎦ Yt = β 0 + γβ1Xt + (1 − γ ) Yt −1 + υt con υt = Ut − (1 − γ )Ut −1

(6.19)

En la ecuación 6.19 puede observarse que la variable de expectativa (Xt* ) desaparece y el modelo final se caracteriza por ser un ADL estimable mediante MCO. Por otra parte, además de los modelos de expectativas adaptativas también existen otros basados en ADL que están sustentados bajo otra premisa teórica. Estos modelos se presentarán en la siguiente sección.

6.3.3. Modelo de ajuste parcial El modelo de ajuste parcial (Nerlove, 1956) es otro razonamiento de la transformación de Koyck que se basa en postulados económicos representados mediante modelos dinámicos. Es una técnica establecida a partir del ajuste en el tiempo de las variables económicas, especialmente las relacionadas con los costos. De forma general, el modelo de Nerlove se especifica de acuerdo con el valor óptimo de la variable dependiente (Yt* ) como función de los efectos de la variable explicativa observada (Xt ), como aparece en la ecuación 6.20, donde Ut es el término del error. Yt* = E 0 + E1Xt + Ut

(6.20)

De acuerdo con lo anterior, no es posible alcanzar el óptimo dado que no es observado. Por lo tanto, la ecuación 6.21 muestra la diferencia entre sus valores observados en dos períodos (Yt − Yt −1 ) y así la expresión 6.22 representa un ADL similar al obtenido mediante la transformación de Koyck. Yt − Yt −1 = J (Yt* − Yt −1 )

(6.21)

Yt = γα0 + β1 γXt + (1 − γ ) Yt −1 + γUt

(6.22)

308


La ecuación 6.22 contiene los valores observados para Yt , Yt −1 y Xt . Esta ecuación puede ser estimada mediante MCO o mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E) y la velocidad de ajuste está dada por el coeficiente J, que representa la dinámica del modelo. La utilización de variables instrumentales se recomienda en este caso, pues el rezago de la variable dependiente estará correlacionado por construcción con el error contemporáneo. De acuerdo con estas características derivadas de la transformación de Koyck, puede concluirse que aparentemente los modelos de expectativas adaptativas y de ajuste parcial guardan algún tipo de relación. En el primero se modela la incertidumbre de los agentes económicos sobre el futuro. Por consiguiente, lo mejor que puede esperarse es que suceda lo mismo que ocurrió anteriormente. El segundo, en cambio, mantiene la rigidez técnica e institucional de las variables económicas e impide incorporar los cambios contemporáneos cuando suceden eventos exógenos.

6.3.4. Modelo de Almon El modelo de Almon es una extensión de la transformación de Koyck que flexibiliza el supuesto de que los estimadores E 1 , E 2 ,..., Ei + 1 conservan el mismo signo y, por lo tanto, el modelo puede reducirse geométricamente a la expresión 6.10. Para esto no sólo deben presentarse relaciones ascendentes (o descendentes) entre dos variables temporales (Yt y Xt ) , sino que las series también deben presentar comportamientos cíclicos (ver más detalles sobre esta característica en el capítulo 4). Yt = E 0 + E1 Xt + E 2 Xt −1 + E 3 Xt − 2 + + E i + 1 Xt − i + Ut

(6.23)

Por lo tanto, los modelos deben ajustarse a esta naturaleza que fue llevada a cabo en el modelo de Almon (Judge et ál., 1985: 729). Este método parte de una especificación de RD finitos como el de la ecuación 6.23, transformado mediante el teorema matemático de Weierstrass. Este teorema establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado puede ser aproximada uniformemente mediante un polinomio de un grado apropiado (Montalvo, 2003: 31). Así, Almon (1965) supone que E i +1 puede ser aproximado mediante la ecuación 6.24 (Gujarati, 2003: 664). β i + 1 = α0 + α1 i + α2 i 2 + + αm i m

(6.24)

La ecuación 6.24 es un polinomio de grado m en i con m < i . Para ilustrarlo utilizando la técnica de Almon puede expresarse E i +1 como el


309

ajuste de un polinomio de grado dos. Por consiguiente, la ecuación 6.24 quedaría β i + 1 = α0 + α1i + α2 i 2 y reemplazándola en 6.23 se obtiene la expresión 6.25. i +1

Yt = β 0 + ∑ ( α0 + α1 p + α2 p 2 )Xt − i + Ut i =1

i +1

i +1

i +1

i =1

i =1

i =1

Yt = β 0 + ∑ α0 Xt − i + ∑ α1 pXt − i + ∑ α2 p 2 Xt − i + Ut

(6.25)

Yt = β0 + α0 Zt 0 + α1 Zt1 + α3 Zt 3 + Ut i +1

i +1

i +1

i =1

i =1

i =1

En la última ecuación, Zt 0 = ∑ D0 Xt − i, Zt1 = ∑ D1 pXt − i y Zt 2 = ∑ D2 p 2 Xt − i . En el esquema de Almon se estima mediante MCO el modelo de regresión entre Yt y las variables Zti. Con los valores de los parámetros ( D0 , D1 y D3 ) que acompañan a Zti se calculan los de E1 , E 2 , E 3 y Ei + 1 (Gujarati, 2003: 665). No obstante, las transformaciones presentadas desvanecen el efecto de multicolinealidad en los modelos de RD, pero aún permanece en cada uno de ellos la autocorrelación residual.

6.3.5. Detección de autocorrelación residual en los modelos autorregresivos Una vez estudiadas las características de los modelos RD y ADL, es pertinente realizar pruebas estadísticas que garanticen el cumplimiento de los supuestos básicos de MCO, especialmente el de ausencia de autocorrelación residual. Bajo esta perspectiva, la presente sección desarrolla la prueba h propuesta por Durbin (1970), que se encuentra en la ecuación 6.26 y sustituye la prueba de Durbin y Watson8 para verificar la correlación serial de orden uno entre los errores del modelo autorregresivo (la relación temporal entre Ut y Ut −1 ).

Var

(6.26)

es la varianza En la ecuación 6.26 n es el tamaño de la muestra y Var del coeficiente del primer rezago de la variable dependiente (Yt −1 ) en un modelo ADL como el señalado en la ecuación 6.8. Sin importar la 8

La prueba de Durbin y Watson se encuentra sesgada para los modelos autorregresivos y no es adecuada para detectar la autocorrelación residual de primer orden en éstos. Para más detalles véase Gujarati (2003: 655).

310


cantidad de rezagos de la variable exógena (Xt , Xt −1 , Xt − 2 ,..., Xt − p ) ni los de la endógena (Yt − 2 ,..., Yt − p ), el estadístico h siempre es calculado con la varianza del parámetro de Yt −1 . Por su parte, ρ es el estimador de Durbin y Watson dw 2 1 ρ . Cuando U = 0 el estadístico h tiene la distribución normal estándar [ h ∼ N (0 , 1)] y la prueba se evalúa como una distribución normal estándar. Si h tiende a cero quiere decir que no existe autocorrelación residual.9 La prueba de hipótesis en este caso está expresada en 6.27. H0 : U = 0

No existe correlación serial de primer orden entre (6.27) los residuales.

H1 : U ≠ 0

Existe correlación serial de primer orden entre los residuales. Yt − Yt −1 = E 0 + E1 ( Xt − Xt −1 ) + (Ut − Ut −1 ) ΔYt = β 0 + β1 ΔXt + ΔUt

(6.28)

(1 − L)Yt = E 0 + E1 (1 − L)Xt + (1 − L)Ut

Sin embargo, si se detecta autocorrelación residual, el problema debe solucionarse mediante ecuaciones en primeras diferencias (v. ecuación 6.28) para las variables dependientes e independientes (Yt y Xt ) , como se muestra en el anexo 5.3. Aunque los modelos anteriores fueron explicados bajo el supuesto de que Yt y Xt están relacionadas, son estacionarias e integradas del mismo orden, a continuación se expone la prueba de causalidad de Granger cuyo propósito es determinar si Yt y Xt tienen una relación causal unidireccional o bidireccional a lo largo del tiempo de acuerdo con sus rezagos.

6.4. Prueba de causalidad de Granger Hasta el momento han sido explicados los modelos que conciernen a la evaluación de dos series de tiempo y a sus relaciones de corto y largo plazo. Estos modelos requieren que exista una relación entre las series. Sin embargo, la causalidad entre ellas y la estacionariedad de cada una

9

Existe una prueba más potente que sirve para muestras grandes y pequeñas conocida como la prueba de Breusch-Godfrey. Más detalles sobre esto se encuentran en Gujarati (2003, cap. 19).


311

han sido supuestas sin determinarse mediante alguna evidencia estadística. La prueba de causalidad de Granger pretende determinar si existe o no causalidad entre dos variables temporales o series de tiempo. Bajo el supuesto de que Yt y Xt son estacionarias o integradas de orden cero, la prueba de Granger busca establecer si las observaciones pasadas de una serie de tiempo (Xt −1 , Xt − 2 ,..., Xt − p ) permiten explicar o pronosticar otra (Yt ), o si los rezagos de Yt pueden afectar el valor actual de Xt . En otras palabras, busca determinar si una variable causa otra unidireccionalmente10 o si se relacionan bidireccionalmente.11 Asimismo, esta prueba admite comprobar cuánto tiempo debe transcurrir para que el cambio en el comportamiento de Xt afecte Yt o viceversa. También, si existe exogenidad en el modelo, equivale a concluir que no existe causalidad en el sentido de Granger. Por consiguiente, esta sección expone el caso simple en el que se quiere determinar si Xt causa Yt o lo contrario. Con el fin de llevarla a cabo empíricamente para determinar cuánto tiempo se demora en responder Yt a los cambios de Xt y poder concluir que esta última causa Yt , en primera instancia deben especificarse los respectivos rezagos de Yt y Xt. Así, el modelo no restringido (NR) en la ecuación 6.29 incluye los rezagos de la variables ( Xt −1 , Xt − 2 ,..., Xt − p , Yt −1 , Yt − 2 ,..., Yt − p ) , mientras que el restringido (R) en la ecuación 6.30 sólo considera los de la dependiente (Yt −1 , Yt − 2 ,..., Yt − p ). p

p

i =1

α=1

NR: Yt = β0 + βi ∑ Xt − p + αi ∑ Yt − p + U1t

(6.29)

p

R: Yt = β0 + αi ∑ Yt − p + U 2 t

(6.30)

i =1

Por otra parte, para comprobar la relación bidireccional o conocer cuánto tiempo demora en responder Xt a los cambios de Yt y poder concluir que esta última causa Xt, ahora el modelo NR (v. ecuación 6.31) incluye los rezagos temporales de la variables (Xt −1 , Xt − 2 ,..., Xt − p , Yt −1 , Yt − 2 ,..., Yt − p ) pero mantiene como dependiente a Xt, mientras que el modelo restringido (v. ecuación 6.32) sólo tiene en cuenta los de Xt (Xt −1 , Xt − 2 ,..., Xt − p ).

10

Xt −1 , Xt −2 ,..., Xt − p → Yt .

11

Xt −1 , Xt −2 ,..., Xt − p → Yt y Yt −1 , Yt −2 ,..., Yt − p → Xt .

312

RAMÓN ROSALES JORGE PERDOMO CARLOS MORALES JAIME URREGO p

p

i =1

i =1

NR: Xt = β0 + βi ∑ Xt − p + αi ∑ Yt − p + U1t

(6.31)

p

R: Xt = E0 + Ei ∑ Xt − p + U 2 t

(6.32)

i =1

En las ecuaciones 6.29, 6.30, 6.31 y 6.32, los coeficientes E1 , E 2 ,..., E p corresponden a las constantes de los rezagos de Yt (Yt −1 , Yt − 2 ,..., Yt − p ) y D1 , D2 ,..., Dp a los parámetros de los rezagos de Xt (Xt −1 , Xt − 2 ,..., Xt − p ). En la mismas expresiones U1t y U 2 t son los términos de error en los modelos NR y R. Cuando no existe relación causal entre las variables (unidireccionalmente o bidireccionalmente), los modelos restringidos en las ecuaciones 6.30 y 6.31 deberán ser los estimados mediante Yule-Walker (YW) o máxima verosimilitud (MV) para explicar el respectivo comportamiento de cada una, dado que estas especificaciones corresponden a los procesos AR expuestos en el capítulo 5. En otras palabras, el trayecto temporal de cada serie dependería de su propio pasado y no de otras variables explicativas en el tiempo, siempre y cuando Yt y Xt sean variables integradas de orden cero. Por el contrario, si Yt y Xt no son series integradas de orden cero, deben diferenciarse hasta lograr que sean estacionarias del mismo orden de integración (v. cap. 5). Una vez son estacionarias, la prueba de causalidad de Granger debe realizarse sobre estas series. Para finalizar, el estadístico de Granger puede calcularse empíricamente mediante MCO de la siguiente forma: 1.

Estimar las ecuaciones 6.29 y 6.31 por MCO y obtener la suma de cuadrados del error de los modelos no restringidos (SCENR ).

2.

Estimar las ecuaciones 6.30 y 6.32 por MCO y obtener la suma de cuadrados del error de los modelos restringidos (SCER ).

3.

Realizar las pruebas de hipótesis 6.33 y 6.34.

H 0 : E1 = E 2 = = E p = 0 No existe evidencia de que algún rezago de Xt (Xt −1 , Xt − 2 ,..., Xt − p ) causa Yt . H1 : E1 ≠ E 2 ≠ ≠ E p ≠ 0 Existe evidencia de que algún rezago de Xt (Xt −1 , Xt − 2 ,..., Xt − p ) causa Yt . H 0 : D1 = D2 = = Dp = 0 No existe evidencia de que algún rezago de Yt (Yt −1 , Yt − 2 ,..., Yt − p ) causa Xt . H1 : D1 ≠ D2 ≠ ≠ Dp ≠ 0 Existe evidencia de que algún rezago de Yt (Yt −1 , Yt − 2 ,..., Yt − p ) causa Xt .

(6.33)

(6.34)


4.

313

Utilizar el estadístico F (v. ecuación 6.35) para concluir si se rechaza la hipótesis nula ( H0 ) . F=

(SCER − SCENR ) l ∼ Fl , n − p SCENR n − p

(6.35)

La ecuación 6.35 denota el estadístico F, donde SCER representa la suma de los errores al cuadrado del modelo restringido y SCENR la del no restringido. Por su parte, p corresponde al número de parámetros del modelo no restringido y n es el total de observaciones. La cantidad de restricciones es l, que corresponde en este caso al total de coeficientes asociados a los rezagos de la variable independiente especificada. Si el valor de F calculado supera el valor crítico determinado por Fl , n − p con un nivel de significancia determinado (usualmente 1%, 5% o 10%), entonces los coeficientes β1 , β 2 ,..., β p o α1 , α2 ,..., αp son conjuntamente significativos, o por lo menos uno de ellos es diferente de cero. Es decir, existe evidencia que permite concluir que algún rezago de Xt (Xt −1 , Xt − 2 ,..., Xt − p ) causa Yt o que algún rezago de Yt (Yt −1 , Yt − 2 ,..., Yt − p ) causa Xt. Adicionalmente, con la prueba de significancia parcial mediante el estadístico t se puede determinar cuánto tiempo demora en responder Yt a los cambios de Xt o viceversa, de acuerdo con el número de rezagos estadísticamente significativos. Estos resultados se obtienen suponiendo que las variables contrastadas son estacionarias y que no existe autocorrelación residual ni contemporánea entre los errores en los modelos NR y R (Gujarati, 2003: 673). Ahora, aunque la causalidad de Granger determina si existe o no una relación causal entre dos series de tiempo estacionarias, no establece si ésta es de corto o de largo plazo. Desconocer esto puede llevar a resultados espurios12 en una regresión en la que estén involucradas dos series de tiempo no estacionarias. A continuación se presenta el análisis de cointegración, cuyo propósito es determinar si Yt y Xt tienen alguna de estas relaciones a lo largo del tiempo para evitar las regresiones espurias.13

12

El término correlación espuria fue acuñado por Karl Pearson en 1924, quien determinó que una correlación puede describirse como espuria si es inducida en el método de datos y no está presente en la información original.

13

Una regresión espuria se caracteriza por tener resultados aparentemente buenos en sus pruebas parciales y globales que en realidad son falsos. En otras palabras, las variables temporales son estadísticamente significativas, lo que indica que se relacionan cuando no es cierto.

314


6.5. Cointegración La cointegración es otra técnica que se utiliza para estimar los modelos de series de tiempo bivariados. Esta metodología ayuda a comprobar si existe una relación de corto o de largo plazo entre dos series de tiempo (Yt y Xt ) que deben ser integradas del mismo orden aunque no sean estacionarias.14 Entonces, una vez comprobada su causalidad unidireccional o bidireccional mediante la prueba de Granger, pueden analizarse políticas económicas y lograr simultáneamente sus proyecciones. Por lo tanto, si Yt y Xt no son estacionarias las series originales, mantienen la misma tendencia y son integradas del mismo orden, la relación lineal entre ambas es un buen mecanismo para eliminar sus tendencias estocásticas. La diferencia entre ellas puede derivar en una serie estacionaria, propiedad que se denomina cointegración (Granger, 2004). En términos económicos, dos variables estarán cointegradas si existe una relación de corto o de largo plazo y de equilibrio entre ellas (Gujarati, 2003: 796). En la práctica, algunas series macroeconómicas parecen tener dicha propiedad de acuerdo con la teoría económica. Sin embargo, existen otras variables integradas que no cumplen esta característica y cuando se realiza una regresión entre ellas los resultados son espurios.15 No obstante, el análisis de cointegración puede ser llevado a cabo cuando las variables Yt y Xt tienen una combinación lineal o presentan las mismas tendencias y son integradas del mismo orden (v. cap. 5), en especial cuando las series de tiempo son I(1) como se observa en la gráfica 6.1. Si lo anterior no se cumple, entonces Yt y Xt no están cointegradas o no tienen relación ni de corto ni de largo plazo. Por lo tanto, cualquier regresión entre ellas es espuria. Yt = E 0 + E1Xt + Ut

14 15

(6.36)

Integradas de orden d [Yt ∼ I (d) y Xt ∼ I (d)]. Ver más detalles en el capítulo 5.

Una regla muy práctica para sospechar que se tiene una regresión espuria es cuando el coeficiente de determinación ( R 2 ) excede el valor del estadístico convencional de Durbin Watson (dw); es decir, cuando R 2 > dw . No obstante, se advierte que este análisis es exploratorio pero no concluyente.

FUNDAMENTOS DE ECONOMETRÍA INTERMEDIA: TEORÍA Y APLICACIONES GRÁFICA 6.1

315

Cointegración de la ecuación 6.36

Fuente: Elaboración propia a partir de Montenegro (2007).

La ecuación 6.36 se representa en la gráfica 6.1, donde puede apreciarse que Yt y Xt mantienen la misma tendencia y, aunque esto significa que son dos series no estacionarias, la primera diferencia de cada una es estacionaria. Esto indica que ambas son integradas de orden uno [Yt ∼ I(1) y Xt ∼ I(1)] y que posiblemente la regresión expresada en 6.36 no es espuria porque el término de error (Ut ) es integrado de orden cero [Ut ∼ I (0)], como se deduce de su movimiento sinusoidal en la gráfica 6.1. Entonces, aunque antes del análisis anterior el valor obtenido mediante MCO para el coeficiente de determinación ( R 2 ) exceda el del estadístico dw (lo que haría sospechar que la regresión es espuria) esta sospecha queda descartada16 porque el error de la ecuación 6.36 es integrado de orden cero.17 Por consiguiente, el análisis de cointegración para la expresión 6.36 es válido y permite establecer que Yt y X t tienen una relación de largo plazo, la cual se denomina regresión cointegrante. Una vez seleccionadas las series temporales de acuerdo con las características señaladas, éstas son potencialmente cointegradas. Adicionalmente puede encontrarse evidencia estadística de que existe cointegración de largo plazo entre Yt y X t 18 mediante una prueba DF o DFA de estaciona t ), como se estudió anteriormente (v. cap. riedad para el error estimado (U 5 y ecuación 6.37).

16

Por esta razón esta regla es exploratoria pero no concluyente, mientras que el análisis de cointegración es determinante para establecer si realmente se estimó una regresión espuria entre dos series de tiempo.

17

Esto puede igualmente determinarse mediante la prueba de raíz unitaria DFA para el error (Ut ) expuesta en el capítulo 5.

18

Porque la regresión mediante MCO se realiza con las series originales, no estacionarias con la misma tendencia y sin obtener su primera diferencia dado que son integradas de orden uno.

316


p+ 2 t = β + δΔU t −1 + β T + β ΔU 0 1 t i + 2 ∑ i = 3 ΔU t − p + υt

H0 : δ = 0 ; β1 = 1 No existe evidencia para concluir que Xt y Yt se encuentran cointegradas en el largo plazo [Ut ∼ I(1)] . H1 : δ ≠ 0 ; β1 ≠ 1

Existe evidencia para concluir que Xt y Yt se encuentran cointegradas en el largo plazo [Ut ∼ I(0)].

(6.37)

(6.38)

Al igual que en el capítulo 5, la prueba de hipótesis 6.38 puede contrastarse con el estadístico W.19 Si se rechaza H0 significa que el error estimado es integrado de orden cero y, por consiguiente, las series temporales están cointegradas en el largo plazo y la regresión analizada en 6.36 no es espuria. Yt − Yt −1 = E 0 + E1 ( Xt − Xt −1 ) + (Ut − Ut −1 ) ΔYt = β 0 + β1 ΔXt + ΔUt

(6.39)

(1 − L)Yt = E 0 + E1 (1 − L)Xt + (1 − L)Ut

Cuando no se rechaza H0 se puede concluir que el error estimado es integrado de orden uno y, por lo tanto, las series temporales están cointegradas en el corto plazo y la regresión analizada en 6.36 es espuria. A partir de esto debe realizarse una estimación mediante MCO con las variables en primeras diferencias (v. ecuación 6.39) y realizar el mismo análisis en t ) mediante DFA. Si el error estiesta regresión para el error estimado ( ΔU mado resulta estacionario se puede afirmar que Yt y X t tienen una relación de corto plazo.

6.6. Estudio de caso: la oferta de azúcar Además de la discusión de los conceptos de los modelos econométricos dinámicos, a continuación se expone un ejercicio empírico para ilustrar el funcionamiento de los modelos RD y ADL. Una de las ventajas de los modelos de variables rezagadas es que permiten entender los efectos y los cambios en el tiempo. En este caso se evaluarán las elasticidades de corto y de largo plazo con un modelo de oferta de caña de azúcar. 19

τ = δ Sδ . El parámetro estimado ( G ) se divide entre su error estándar (SG ) . El esta-

dístico se le atribuye a Dickey y Fuller (1979) y se compara con los valores críticos de la tabla de MacKinnon.


317

Los datos del ejercicio empírico fueron tomados del libro Undergraduate Econometrics de Hill, Griffiths y Judge (2001). En la base de datos hay información sobre el área sembrada de caña de azúcar (que es la variable aproximativa de la oferta) y el precio que recibe el productor en Bangladés. En esta sección se trabajará con distintas especificaciones de la oferta de azúcar para ilustrar las diferentes metodologías consideradas en el capítulo. En primer lugar se tendrán en cuenta los modelos RD, luego los modelos de expectativas adaptativas y de ajuste parcial, y finalmente el modelo de Almon. Posteriormente se examinará la causalidad de Granger y la cointegración (v. cuadro 6.1). CUADRO 6.1.

Modelos RD para la producción de caña de azúcar Modelo

Especificación

Koyck y Almon

Qt = E0 + E1Pt + E 2 Pt −1 + E 3 Pt −2 + E 4 Pt −3 + Ut

Expectativas adaptativas y ajuste parcial

Qt = β0 + λ1Pt −1 + λ2Qt −1 + Ut

Causalidad de Granger

Qt = β0 + α1Pt −1 + β1Qt −1 + Ut

Cointegración

Qt = E0 + E1Pt + Ut

En el cuadro 6.1 Qt es el área cultivada de caña de azúcar en el período t; Pt , Pt −1 y Pt − 2 son los precios de la caña de azúcar que recibe el productor en el período t, t − 1 y t − 2 , respectivamente; y Qt −1 es el área cultivada de caña de azúcar en t – 1. CUADRO 6.2. Tipo de variable Dependiente

Independientes

Variables que se utilizan en las ecuaciones del modelo RD Variable del modelo

Variables en la base

Qt

lareacultivada

Logaritmo del área cultivada de caña de azúcar en Bangladés.

Pt , Pt −1 , Pt −2 , Pt −3 , Qt −1

lpreciocazucar, lpreciocazucar_1, lpreciocazucar_2, lpreciocazucar_3, lareacultivada_1

Las cuatro primeras variables son el logaritmo del precio de la caña de azúcar en el período t, t–1, t–2 y t–3. La última variable es el logaritmo del área cultivada de caña de azúcar en t–1.

Descripción

318


6.6.1. Análisis general de los datos Para llevar a cabo el análisis general de los datos en Stata se deben seguir los siguientes pasos: 1.

Se establece la memoria necesaria y se carga la base de datos (v. figura 6.1).

2.

Con las variables en la memoria se puede determinar cuáles son las variables disponibles para las diferentes estimaciones mediante el comando des (v. figura 6.2).

3.

Si se requiere hacer un análisis descriptivo de los datos se utiliza el comando sum (v. figura 6.3, p. 320).

FIGURA 6.1.

Salida comandos set mem y use


319

Salida del comando des

La figura 6.3 muestra que la base de datos de la producción de azúcar cuenta con 34 observaciones y 9 variables para utilizar en los diferentes modelos. El resumen de los datos básicos para estimar las ecuaciones del cuadro 6.1 se encuentra en el cuadro 6.2. 4.

Finalmente es necesario nombrar la base de datos como serie de tiempo para las operaciones que se desarrollarán a lo largo del estudio de caso (v. figura 6.4, p. 321).

6.6.2. Estimación del modelo RD por medio de Koyck y Almon 1.

La estimación por MCO de la primera ecuación del cuadro 6.1 en Stata se realiza mediante el comando reg (v. figura 6.5, p. 322). En la figura 6.5 se muestra una regresión del modelo de RD para la oferta de caña de azúcar. Se utilizaron tres rezagos del precio

320

FIGURA 6.3.


Salida del comando sum

para establecer cuáles son los efectos de corto plazo. La variable contemporánea del precio resulta significativa al 5%, lo que indica que los cambios en los precios afectan la oferta de azúcar en el mismo período. 2.

En primera instancia se utiliza el método de transformación de Koyck para ilustrar de forma alternativa el modelo de rezagos distribuidos de la figura 6.5. Siguiendo el procedimiento descrito en la sección 6.3.1, se transforma el modelo inicial (v. cuadro 6.1) a partir de la expresión β p + 1 = β1 λp + 1, donde O es el factor de ajuste en el tiempo y p el número de rezagos (v. ecuación 6.40). Qt = β 0 + β1 Pt + β1 λPt −1 + β1 λ2 Pt − 2 + β1 λ3 Pt − 3 + Ut

(6.40)


321

Declaración de los datos como serie de tiempo

Al finalizar el procedimiento de transformación (v. sección 6.3.1) se obtiene el modelo autorregresivo de orden uno de la siguiente ecuación: Qt =β 0 (1 − λ) + β1 Pt + λQt −1 + et con et = Ut − λUt −1

(6.41)

De acuerdo con lo anterior se estima la ecuación 6.41 con sólo tres parámetros por medio de MCO con el comando reg (v. figura 6.6, p. 323). 3.

De acuerdo con la sección 6.3.1, los modelos autorregresivos pueden presentar problemas de autocorrelación. Con el fin de determinar si este modelo los tiene, se lleva a cabo la prueba h de Durbin que se basa en la estimación de la figura 6.6 (v. figura 6.7, p. 324). La prueba indica que no se puede rechazar la hipótesis nula que expresa que no existe autocorrelación en el modelo. Con esto se concluye con seguridad que las estimaciones de la figura 6.6 son correctas.

322

FIGURA 6.5.

4.


Salida de la estimación del modelo RD

De igual forma es posible utilizar el método de Almon para estimar un modelo autorregresivo básico. Si se supone que el modelo inicial (v. cuadro 6.1) se ajusta a un polinomio de grado dos ( βi +1 = α0 + α1 p + α2 p2 ), entonces el modelo se puede representar como: Qt = β0 + α0 Zt 0 + α1 Zt1 + α3 Zt 3 + Ut

(6.42)

i +1

i+1

i+1

L=1

i =1

i=1

2 En la ecuación 6.42, Zt 0 = ∑ Pt − i , Zt1 = ∑ pPt − i y Zt 2 = ∑ p Pt − i .

Empíricamente se deben generar las variables Zti de acuerdo con lo estipulado anteriormente (v. figura 6.8). 5.

Una vez generadas las variables Zti , es posible estimar el modelo de Almon de la ecuación 6.36 por medio de MCO con el comando reg (v. figura 6.9, p. 326).


323

Salida de la estimación mediante el método de Koyck

Los coeficientes que aparecen en la salida 6.9 son utilizados para calcular los iniciales por medio del polinomio de grado dos son 0.657, –1.0565 y ( βi +1 = α0 + α1i + α2 i 2 ). Los estimadores 0.320, respectivamente. A partir de esto se tiene: 0 0.657 β1 α

(6.43)

0 α 1 α 2 0.07 β2 α

(6.44)

0 2 α 1 4 α 2 0.139 β3 α

(6.45)

0 3 α 1 9α 2 0.45 β4 α

(6.46)

Estos estimadores tienen los mismos signos que los estimadores del modelo RD (v. figura 6.9). También es posible mostrar que el polinomio de grado dos utilizado para el método de Almon se ajusta bien al modelo de oferta de caña de azúcar (v. gráfica 6.2, p. 326).

324

FIGURA 6.7.


Salida de la prueba h de Durbin para autocorrelación

6.6.3. Estimación del modelo de expectativas adaptativas Para esta regresión se utiliza la segunda ecuación del cuadro 6.1 en la que se tienen en cuenta como variables explicativas el precio en el período t − 1 y el primer rezago del área cultivada. 1.

Se realiza la estimación del modelo de expectativas adaptativas por medio del comando reg (v. figura 6.10, p. 327). La figura 6.10 muestra que el precio en el período t − 1 es positivo y significativo al 10%, lo que valida la hipótesis de la oferta, mientras que el primer rezago del área cultivada no resulta significativo al 10%, lo que indica que el porcentaje de área cultivada no tiene en cuenta el período anterior. De acuerdo con lo anterior, las elasticidades se derivan preferiblemente del modelo doblemente logarítmico, con los estimadores de


325

Salida de las variables Z generadas

la figura 6.10. En el cuadro 6.1 la elasticidad en el corto plazo es igual al coeficiente que acompaña la variable del precio cuyo valor es 0.4410. Esto permite concluir que las variaciones en el precio no afectan en gran medida la cantidad cultivada de caña de azúcar. La oferta de largo plazo no se puede derivar dado que no se tienen más rezagos en consideración.

326

FIGURA 6.9.


Salida de la estimación del modelo de Almon

GRÁFICA 6.2.

Ajuste del modelo de Almon


2.

327

Salida de la estimación del modelo de expectativas adaptativas

Con el fin de determinar si el modelo presenta problemas de autocorrelación se lleva a cabo la prueba h de Durbin que se basa en la estimación de la figura 6.10 (v. figura 6.11). La prueba de la figura 6.11 indica que no se puede rechazar la hipótesis nula que dice que no existe autocorrelación en el modelo. Con esto se concluye con seguridad que las estimaciones de la figura 6.10 son correctas.

6.6.4. Prueba de causalidad de Granger Una vez se han derivado los resultados de los modelos RD y ADL, ahora se desarrolla la prueba de Granger para establecer si el precio del azúcar causa en el sentido de Granger el área cultivada (v. cuadro 6.1).

328

FIGURA 6.11.


Salida de la prueba h de Durbin para autocorrelación

1.

Siguiendo los pasos de la sección 6.5, la estimación del modelo restringido está dada por la figura 6.10. De allí se conoce el valor de SCER = 4.4014 .

2.

Adicionalmente se requiere el valor de SCENR . Para ello se realiza la estimación del modelo no restringido de la forma Qt = β 0 + α1 Pt −1 + β1Qt −1 + β 2 Pt − 2 + Ut (v. figura 6.12). De la figura 6.12 se deriva el valor de SCENR = 3.3416 . Con este resultado se puede realizar la prueba de Granger.

3.

Teniendo en cuenta SCER y SCENR se puede llevar a cabo la prueba de hipótesis mediante el estadístico de prueba F. Si se utilizan los resultados de cada estimación, el estadístico de prueba calculado quedaría de la siguiente forma: F=

( 4.4014 − 3.3416)/ 1 = 10.4723 3.3416 / 33

(6.47)


329

De acuerdo con la ecuación 6.47 y teniendo en cuenta los datos, Fc = 10.4723 mientras que F1, 33 = 4.17 . La conclusión de la prueba de causalidad es que el precio causa en el sentido de Granger el área cultivada, puesto que F > Fl , n − p y, por lo tanto, se puede rechazar la hipótesis nula. FIGURA 6.12.

Salida de la estimación del modelo no restringido

6.6.5. Prueba de cointegración Con el modelo dinámico se puede llevar a cabo una prueba de cointegración sobre las dos series de tiempo que se han trabajado en esta sección (Qt y Pt ). Para realizar la prueba de cointegración se debe hacer lo siguiente: 1.

Se grafica por separado cada una de las series para determinar si son estacionarias y para que se pueda plantear una regresión lineal

330


en la que el resultado sea estacionario. Para graficar las series de tiempo se utiliza el comando tsline seguido del nombre de la variable (v. figuras 6.13 y 6.14). En las figuras 6.13 y 6.14 hay evidencia de que las series de área cultivada y precio de la caña de azúcar no son estacionarias. De acuerdo con esto se puede llevar a cabo una combinación lineal entre estas dos series para que los errores sean estacionarios. Si lo anterior se consigue, las series están cointegradas. 2.

Se debe probar estadísticamente que cada una de las series es I(1). Para ello se realiza una prueba de estacionariedad con el fin de verificar dicha característica por medio del comando dfuller seguido del nombre de las variables (v. figura 6.15, p. 332). La figura 6.15 muestra la prueba DF para las dos series cuya cointegración se quiere determinar. Las variables areacultivada y

FIGURA 6.13.

Salida de la gráfica del área cultivada de caña de azúcar


331

Salida de la gráfica del precio de la caña de azúcar

preciocazucar no son estacionarias al 1% de significancia. Por lo tanto, se debe calcular la primera diferencia para que las series sean estacionarias.20 3.

De acuerdo con lo anterior es posible realizar una regresión lineal entre el área cultivada y el precio para derivar errores estacionarios. Esto se lleva a cabo con el comando reg (v. figura 6.16, p. 333).

4.

Después de la estimación y predicción de los errores se examina si estos últimos tienen un comportamiento estacionario. Para ello se grafican los errores predichos con el comando tsline (v. figura 6.17, p. 334).

20

El lector puede verificar que las series trabajadas son I(1) calculando la primera diferencia de cada serie de tiempo y realizando la misma prueba de estacionariedad.

332

FIGURA 6.15.


Salida de la prueba DF

De acuerdo con lo descrito anteriormente, se encontró que los errores predichos de la regresión lineal son estacionarios gráficamente. Con esto se intuye que las series Qt y Pt están cointegradas. 5.

Finalmente, para validar las conclusiones se realiza una prueba DF mediante el comando dfuller seguido del nombre de la variable (v. figura 6.18, p. 335). La figura 6.18 muestra las intuiciones planteadas en los numerales anteriores, esto es, que los errores son estacionarios dado que mediante la prueba DF se rechaza la hipótesis nula de no estacionariedad con un valor p inferior al nivel de significancia del 5%.


333

Salida de la gráfica del precio de la caña de azúcar

Resumen s

,OS MODELOS ECONOM¿TRICOS QUE INCLUYEN REZAGOS EN LAS VARIABLES explicativas se conocen como modelos de regresión dinámica. Existen dos tipos de modelos con variables rezagadas: los modelos de rezagos distribuidos y los modelos autorregresivos. En el primer tipo de modelos los valores actuales y los rezagados de los regresores son las variables explicativas. En el segundo tipo los valores rezagados de la variable dependiente aparecen como variables explicativas.

s

,AESCOGENCIADELNÝMERODEREZAGOS QUEINmUYEENLAESTIMACIÍNO en la correlación entre los rezagos, puede ocasionar inconvenientes en las conclusiones que se deriven de una estimación. Las transformaciones de Koyck y Almon se presentan como una herramienta útil para solucionar las dificultades mencionadas.

334

FIGURA 6.17.


Salida de la gráfica de los errores estimados

s

,ATRANSFORMACIÍNDE+OYCKESUNM¿TODOALTERNATIVOPARAESTIMAR los modelos de rezagos distribuidos infinitos que imponen condiciones a priori sobre los coeficientes Ei . Bajo esta transformación se encuentra un modelo autorregresivo de primer orden.

s

%L M¿TODO DE !LMON SURGE COMO UNA ALTERNATIVA AL MODELO DE Koyck, puesto que este último puede presentar problemas de autocorrelación que pueden generar inconsistencias en las estimaciones. Almon supone que Ei puede ser aproximado mediante un polinomio.

s

,OSMODELOSAUTORREGRESIVOSDEREZAGOSDISTRIBUIDOSSONUNAAMpliación de los procesos autorregresivos simples. En estos modelos se utilizan dos series de tiempo y se incluyen uno o más rezagos de la variable dependiente entre sus variables explicativas.


335

Salida de la prueba de estacionariedad DF

s

,OSMODELOSAUTORREGRESIVOSTIENDENAPRESENTARPROBLEMASDECOrrelación serial por la existencia de la variable dependiente rezagada como variable explicativa del modelo. Para detectar estos inconvenientes es indispensable realizar una prueba de autocorrelación. La prueba h de Durbin es una alternativa para probar autocorrelación, siempre y cuando exista una muestra grande.

s

,ACAUSALIDADDE'RANGERESUNAPRUEBAQUEBUSCADETERMINARSI las observaciones pasadas de una variable permiten pronosticar otra. Ésta indica, de acuerdo con los datos, si una variable causa otra. Asimismo sirve para establecer si existe exogenidad en el modelo.

s

,ACOINTEGRACIÍNSIGNIlCAQUE APESARDEQUEUNCONJUNTODESERIES no sean estacionarias individualmente, una combinación lineal entre ellas puede ser estacionaria.

336

s


0ORMEDIODELACOINTEGRACIÍNSEPUEDEAPROVECHARLARELACIÍNENTRE dos series integradas para encontrar relaciones de corto plazo. De esta forma se pueden analizar políticas económicas y hacer proyecciones.

Ejercicios propuestos Los siguientes ejercicios están basados en Judge et ál. (1985). 1.

Tenga en cuenta un modelo RD como el siguiente: Yt = ⎡⎣(0.6 + 2 L ) (1 − 0.6 L + 0.5 L2 )⎤⎦ Xt + Ut

Muestre cuál sería el coeficiente del cuarto rezago. 2.

Muestre cómo se puede estimar un polinomio de rezago distribuido con rezagos de orden 2, 4 y 6, suponiendo que tiene un polinomio de orden 3.

3.

Tenga en cuenta el siguiente modelo: Yt = α +

β + γL Xt + U t 1 − δ1 L − δ2 L2

Si se estiman por MCO, ¿los estimadores son consistentes o se requiere otro método de estimación? Explique por qué. 4.

Se quiere establecer con las series de tiempo del archivo Cap6_ejer.dta si existe algún tipo de relación entre las exportaciones mineras como porcentaje de las exportaciones totales (ratio_expo_M_T) y la desindustrialización medida como la participación del PIB industrial en el PIB total (ratio_pib_ind_T). Para ello determine si sus resultados son espurios y si cumplen las propiedades de integración y causalidad mediante la prueba Granger. Además realice la prueba de Durbin-Watson sobre la regresión de cointegración.


7

MODELOS PARA DATOS DE CORTE TRANSVERSAL AGRUPADOS EN EL TIEMPO Y ESTIMADOR DE DIFERENCIAS EN DIFERENCIAS

7.1. Introducción

E

n los capítulos anteriores se trataron metodologías para muestras de corte transversal o series de tiempo. En el primer caso los métodos simples de MCO y sus derivados sirven para muestras recolectadas en un mismo momento, es decir, son una “foto” de la realidad porque las variables son estáticas. Por su parte, las series de tiempo muestran el comportamiento de una variable en distintos momentos dejando a un lado las relaciones con otras variables. En cambio, este capítulo se enfocará en la explicación de metodologías que combinan los dos tipos de muestras anteriores, pasando de una “foto” a un “video” que muestra la dinámica de las variables en el tiempo por medio de la agrupación de datos de corte transversal a lo largo del tiempo. Es importante señalar que los datos de corte transversal agrupados ofrecen mayores beneficios que los de corte transversal convencionales. En primer lugar, el incremento en el tamaño de la muestra permite obtener estimadores más precisos (consistentes) y estadísticos de prueba más confiables. Una mayor cantidad de datos implica más variabilidad entre ellos, menor colinealidad entre las variables, más grados de libertad y mayor eficiencia en las estimaciones (Hsiao, 2002). En segundo lugar, esta metodología permite investigar si las relaciones entre las variables han cambiado con el paso del tiempo por medio de la prueba de Chow. Al final del capítulo se exponen las metodologías presentadas mediante un estudio de caso basado en la información del artículo de Rodríguez et ál. (2007), titulado Hacia una mejor educación rural: Impacto de un programa de intervención a las escuelas en Colombia, cuyo objetivo es evaluar el

337

338


impacto que tuvo el programa de educación rural (PER) sobre las tasas de eficiencia y la calidad educativa en los centros pedagógicos públicos donde se implementó.

7.2. Combinación de corte transversal y series de tiempo Este capítulo estudia la metodología econométrica que combina los procedimientos con muestras de corte transversal y series de tiempo, con el fin de estudiar las implicaciones del tiempo, que antes pasaban desapercibidas, sobre las relaciones entre las variables explicativas y la explicada. En el resto del capítulo se tendrán en cuenta dos dimensiones, una que identifica la unidad de corte transversal (i)1 y otra para el tiempo (t). Por lo tanto, se requerirán nuevos procedimientos para hacer notar las características particulares que ofrece este tipo de conformación de datos (Dougherty, 2007: 1). Antes de llevar a cabo una caracterización formal de estos modelos, se debe hacer alusión a la naturaleza de las muestras conformadas de esta manera. De acuerdo con esto, existen dos tipos de agrupación: 1.

Las muestras que agrupan datos en el ti0empo, es decir, las muestras aleatorias de corte transversal para la misma población en diferentes períodos, pero que no necesariamente tienen en cuenta la misma muestra en cada uno de ellos.

2.

Los paneles que agrupan las mismas unidades de corte transversal en diferentes períodos, es decir, que agrupan datos de la misma muestra de corte transversal en distintos momentos del tiempo (v. capítulo 8).

La primera caracterización o agrupación es el tema de este capítulo y es importante para analizar el cambio estructural o para evaluar el impacto de las políticas económicas realizadas en un momento determinado, lo cual es útil en la evaluación social de proyectos. Para entender este tipo de conformación de datos, es pertinente tener en cuenta un nuevo modelo teórico en el que se explicarán las características particulares de la información agrupada (v. ecuación 7.1). Yi , t = E 0 + E1Xi 1, t + E 2 Xi 2 , t + Ui , t

(7.1)

En la ecuación 7.1 Yi , t es la variable dependiente del modelo, Xi 1, t y Xi 2 , t son las dos variables independientes (los subíndices 1 y 2 señalan el 1

Individuos, hogares, municipios, ciudades, departamentos, países, etcétera.


339

número de variables independientes en este modelo) y Ui , t es el término de error. Adicionalmente es importante señalar que i hace referencia a las unidades de corte transversal en la muestra ( i = 1, … , n) y t representa los períodos según la frecuencia de tiempo en la que se encuentre expresado el conjunto de variables de cada unidad transversal i, que puede ser mensual, semanal, anual, entre otras ( t = 1, … , T ) . Una vez se tiene presente la estructura del nuevo método, a continuación se discuten sus particularidades, haciendo hincapié en los beneficios de su utilización y en el procedimiento práctico que se sigue para derivar los resultados.

7.3. Corte transversal a lo largo del tiempo Las muestras de corte transversal a lo largo del tiempo son la primera aproximación a las metodologías con paneles de datos. Éstas permiten estudiar las relaciones entre las variables en distintos períodos y facilitan la revisión de los efectos originados por choques exógenos sobre una o varias variables del modelo econométrico. Como se mencionó anteriormente, estos beneficios no están presentes en los métodos de corte transversal, dado que las muestras son tomadas en un determinado período y las relaciones entre las variables son estudiadas bajo ese contexto, sin permitir comparaciones temporales. Esta agrupación de datos permite establecer con mayor claridad cuáles son los tipos de relación que se pueden generar entre las variables independientes y la explicada (Wooldridge, 2009: 445). La estimación se realiza mediante mínimos cuadrados agrupados que simplemente traduce el procedimiento de MCO a un conjunto de variables que pertenecen a distintos períodos.

7.3.1. Introducción a mínimos cuadrados agrupados Mínimos cuadrados agrupados (MCA) es una metodología econométrica que sirve para investigar si las relaciones entre las variables (explicativas y explicadas) han cambiado con el paso del tiempo. Consiste en realizar estimaciones usando todo el conjunto de datos, sin hacer ninguna distinción entre grupos. Así la expresión 7.1 puede representarse matricialmente como la ecuación 7.2. Y X β U , donde X 1 X i1, t X i 2, t

(7.2)

En la ecuación 7.2 Y es el vector de la variable dependiente de tamaño (nT)u1, X es una matriz de variables explicativas (k) de tamaño (nT ) × (k + 1), E es el vector de parámetros que acompañan las variables

340


independientes incluido el intercepto ( E0 ) de dimensión (k + 1)u1 y U es el vector de errores del modelo de (nT)u1. Ahora bien, para obtener los estimadores de MCA βMCA se debe estimar la ecuación 7.2 por MCO. Éstos resultan más consistentes y eficientes, como consecuencia del incremento del tamaño de la muestra, que los estimadores de corte transversal. Los estimadores se calculan mediante la siguiente expresión:

1 βMCA X X X Y

(7.3)

De acuerdo con la expresión 7.3 puede establecerse con mayor precisión si las relaciones evaluadas en un modelo varían como consecuencia del paso del tiempo. Para conseguir conclusiones al respecto, se debe llevar a cabo la prueba de cambio estructural de Chow.

7.3.2. Prueba de cambio estructural de Chow Teniendo en cuenta la ecuación 7.2 y suponiendo dos períodos de agrupación ( t = 1, 2 ) , el modelo estructural puede desglosarse en dos grupos (1 y 2) que corresponden a los dos momentos del tiempo que tienen la misma frecuencia (anual, mensual, entre otras). De esta forma se puede evaluar qué pasa en cada año con las variables de interés (v. ecuaciones 7.4 y 7.5). Grupo 1: Yi ,1 = E 0 + E1Xi 1,1 + E 2 Xi 2 ,1 + Ui ,1

(7.4)

Grupo 2: Yi , 2 = E0 + E1Xi 1, 2 + E 2 Xi 2 , 2 + Ui , 2

(7.5)

Al estimar las ecuaciones 7.4 y 7.5 mediante MCO en forma agrupada y separadamente, quiere observarse si existe algún efecto del tiempo sobre las variables. Esto se consigue comparando los estimadores de MCO de cada grupo. Si se encuentra una diferencia estadística entre sus valores estimados existe cambio estructural. En el caso contrario, cuando son equivalentes, las relaciones de las variables no han cambiado en el tiempo. Este método intuitivamente ayuda a detectar si existe cambio estructural, que es la fuente de variación de las relaciones en el tiempo. Sin embargo, la prueba de Chow permite atribuirle este fenómeno al cambio en el intercepto o en la pendiente, o a una combinación de ambos. Cada caso es discutido a continuación. 7.3.2.1. Cambio en el intercepto o regresiones paralelas

La primera causa de cambio estructural es la variación del valor del intercepto estimado a lo largo del tiempo. Esto es equivalente a que las variables independientes cambiaran en la misma proporción entre los pe-


341

ríodos. Para examinar este efecto se transforma el modelo en la ecuación 7.1 añadiendo una variable binaria ( D2 ) que separe la muestra en dos períodos. Esta variable toma el valor de uno cuando t = 2 y de cero si t = 1. Bajo esta especificación, el modelo quedaría expresado de la siguiente forma: Yi , t = β 0 + β1Xi 1, t + β 2 Xi 2 , t + δ1D2 + Ui , t

(7.6)

Manteniendo las mismas variables iniciales, los valores esperados (E) de Yi , t están determinados por los períodos agrupados (v. ecuaciones 7.7.1 y 7.7.2). Éstos definen el pronóstico para la variable dependiente dado el cambio en el tiempo y manteniendo constantes las variables explicativas. Si t = 1 : E ⎡⎣Yi ,1 Xi 1,1 , Xi 2 ,1 , D2 = 0 ⎤⎦ = E 0 + E1 Xi 1,1 + E 2 Xi 2 ,1

(7.7.1)

Si t = 2 : E ⎡⎣Yi ,1 Xi 1, 2 , Xi 2 , 2 , D2 = 1⎤⎦ = ( β 0 + δ1 ) + β1 Xi 1, 2 + β 2 Xi 2 , 2

(7.7.2)

Mediante de las ecuaciones 7.7.1 y 7.7.2 puede identificarse la diferencia en el intercepto de cada grupo ( β0 , β0 + δ1, respectivamente) bajo el supuesto de que son iguales (no varían) las pendientes ( E1 y E 2 ). Por consiguiente, la diferencia la hace el coeficiente que acompaña la variable D2 y se refiere al cambio de período en la muestra. Si G1 es estadísticamente significativo existe cambio estructural ocasionado por el intercepto o por un desplazamiento (positivo o negativo) de la curva que hace referencia al valor esperado de la variable dependiente Yi , t (v. gráfica 7.1). Asimismo, la significancia individual del estimador ( G 1 ) en la ecuación 7.6 determina si existe cambio estructural ocasionado por el intercepto (v. prueba de hipótesis 7.8 y ecuación 7.9). H0 : G1 = 0 H1 : G1 ≠ 0

No existe cambio estructural ocasionado por el intercepto. Existe cambio estructural ocasionado por el intercepto.

(7.8)

G 1 ∼ t nt − p ee ( G 1 )

(7.9)

t=

De esta forma, para encontrar respuesta a la hipótesis de la expresión 7.8 el estadístico t se presenta en la ecuación 7.9, donde ee ( G 1 ) corresponde al error estándar del coeficiente G 1 . Si el valor calculado del estadístico t supera el crítico, determinado por tnt − p —donde p corresponde al número

342


GRÁFICA 7.1.

Cambio estructural ocasionado por el intercepto o regresiones paralelas

de parámetros en el modelo y nT al total de observaciones transversales (n) y de tiempo (T)—, con un nivel de significancia determinado (usualmente 1%, 5% o 10%), entonces el coeficiente G1 en la ecuación 7.6 es estadísticamente significativo. En otras palabras, se rechaza la hipótesis nula y hay evidencia de cambio estructural ocasionado por el intercepto. 7.3.2.2. Cambio en la pendiente o regresiones concurrentes

Por otra parte, también pueden presentarse cambios en las pendientes ( E1 y E2 ) sin que cambie el intercepto ( E0 no varía). Al igual que en el caso anterior, se añade la variable binaria D2 a la ecuación 7.1 que distingue los dos períodos, pero ahora multiplicada por las variables exógenas del modelo (v. ecuación 7.10). Así puede verificarse si la relación entre alguna variable explicativa y la dependiente cambia en el tiempo. Yi , t = β 0 + β1Xi 1, t + β 2 Xi 2 , t + δ2 Xi 1, t D2 + δ3 Xi 2 , t D2 + Ui , t

(7.10)

De acuerdo con el nuevo modelo de la ecuación 7.10, los valores esperados (E) para Yi , t dado t = 1, 2 (v. ecuaciones 7.11.1 y 7.11.2) adicionan las interacciones Xi 1, t D2 y Xi 2 , t D2 .


Si t = 1 : E ⎡⎣Yi ,1 Xi 1,1 , Xi 2 ,1 , D2 = 0 ⎤⎦ = E 0 + E1Xi 1,1 + E 2 Xi 2 ,1

343

(7.11.1)

Si t = 2 : E ⎡⎣Yi ,1 Xi 1, 2 , Xi 2 , 2 , D2 = 1⎤⎦ = β 0 + ( β1 + δ2 ) Xi 1, 2 + ( β 2 + δ3 ) + Xi 2 , 2 (7.11.2)

Las expresiones 7.11.1 y 7.11.2 permiten determinar si las relaciones entre las variables del sistema varían como consecuencia del tiempo. Lo anterior se consigue comparando los parámetros correspondientes a cada año de la muestra. La ecuación 7.11.1 muestra teóricamente tres estimadores ( E0 , E1 , E2 ) , mientras que la ecuación 7.11.2 muestra un estimador igual ( E0 ) y dos distintos ⎡⎣( β1 + δ2 ) y ( β2 + δ3 )⎤⎦ respecto a 7.11.1. La diferencia es reflejada en los coeficientes que acompañan las variables Xi 1, t D2 y Xi 2 , t D2 . Si G2 y G3 son estadísticamente significativos, existe cambio estructural generado por las pendientes, es decir, un movimiento (positivo o negativo) de la curva que hace referencia al valor esperado de la variable dependiente Yi , t , como se observa en la gráfica 7.2 en la que se mantiene constante Xi 2, t . GRÁFICA 7.2.

Cambio estructural generado por la pendiente o regresiones concurrentes

Con el estadístico F puede determinase el cambio estructural provocado por las pendientes (v. pruebas de hipótesis 7.12 y estadístico F en la ecuación 7.13).

344


H0 : G2 = G3 = 0 No existe cambio estructural generado por la pendiente. H1 : G2 ≠ G3 ≠ 0 Existe cambio estructural generado por la pendiente. F=

(SCER − SCENR ) SCENR nt − p

l

∼ Fl , nt − p

(7.12)

(7.13)

En la ecuación 7.13 SCE representa la suma de los errores al cuadrado, los subíndices R y NR hacen referencia al modelo restringido de la ecuación 7.1 y al no restringido de la expresión 7.10, p corresponde al número de parámetros en el modelo no restringido y nT al total de observaciones. La cantidad de restricciones se denota l, que en este caso son los dos coeficientes G2 y G3 asociados a las interacciones Xi 1, t D2 y Xi 2 , t D2 . Si el valor calculado de F supera el valor crítico determinado por Fl , n − p bajo un nivel de significancia determinado (usualmente 1%, 5% o 10%), entonces los coeficientes G2 y G3 son conjuntamente significativos o por lo menos uno de ellos es diferente de cero. Esto mostraría estadísticamente que existe cambio estructural ocasionado por las pendientes suponiendo un intercepto común. El estadístico t de significancia individual complementa la identificación del cambio estructural si existen una o más pendientes significativas parcialmente, mediante el análisis expuesto para el intercepto representado en la hipótesis 7.8 y en la ecuación 7.9. En otras palabras, para cualquier coeficiente G2 o G3 representativo con el estadístico t, pueden identificarse las pendientes que causan la inestabilidad estructural. 7.3.2.3. Cambio en intercepto y pendiente o regresiones no similares

Esta prueba se caracteriza por combinar las dos pruebas descritas anteriormente. El nuevo modelo contiene la variable binaria de tiempo ( D2 ) y la interacción de ésta con las variables explicativas (Xi 1, t D2 y Xi 2 , t D2 ). A partir de esta especificación quiere determinarse si la relación entre la variable explicada y las variables independientes cambia en el tiempo y también si la variación temporal tiene algún efecto sobre la función que se pretende estimar. Por lo tanto, el nuevo modelo se encuentra especificado en la ecuación 7.14. Yi ,t = β 0 + β1 Xi 1,t + β 2 Xi 2 ,t + δ1 D2 + δ2 Xi 1,t D2 + δ3 Xi 2 ,t D2 + U i ,t

(7.14)


345

Teniendo en cuenta la ecuación 7.14, los valores esperados (E) de Yi , t dado t = 1, 2 (v. ecuaciones 7.15.1 y 7.15.2) incluyen las nuevas variables (D2 , Xi1,t D2 y Xi 2 ,t D2 ) . Esto permite observar su comportamiento en los dos períodos. Si t = 1 : E ⎡⎣Yi ,1 Xi 1,1 , Xi 2 ,1 , D2 = 0 ⎤⎦ = E 0 + E1Xi 1,1 + E 2 Xi 2 ,1

(7.15.1)

Si t = 2 : E ⎡⎣Yi ,1 Xi 1, 2 , Xi 2 , 2 , D2 = 1⎤⎦ = ( β 0 + δ1 ) + ( β1 + δ2 ) X i 1, 2

( β2 +δ3 ) Xi 2 ,2

(7.15.2)

En las expresiones 7.15.1 y 7.15.2 puede identificarse si las relaciones entre las variables del sistema varían como consecuencia del tiempo o si el cambio estructural es ocasionado simultáneamente por el intercepto y las pendientes. Ahora, si G1 , G2 y G3 son estadísticamente significativos de manera conjunta, existe cambio estructural debido a la diferenciación temporal en el intercepto y en las pendientes, es decir, existe un desplazamiento (positivo o negativo) de la curva del valor esperado de la variable dependiente Yi , t (v. gráfica 7.3). GRÁFICA 7.3.

Cambio estructural ocasionado por el intercepto y la pendiente o regresiones no similares

346


Sobre la gráfica 7.3 (manteniendo constante las otras variables explicativas) puede observarse el comportamiento de las regresiones no similares causado por el cambio estructural del intercepto y de la pendiente. Esto también se examina mediante el estadístico F (v. pruebas de hipótesis 7.16 y ecuación 7.17). H0 : G1 = G2 = G3 = 0

No existe cambio estructural ocasionado por el intercepto y la pendiente.

H1 : G1 ≠ G2 ≠ G3 ≠ 0

Existe cambio estructural generado por el intercepto y la pendiente. F=

(SCER − SCENR ) SCENR nt − p

l

∼ Fl , nt − p

(7.16)

(7.17)

En la ecuación 7.17 SCE representa la suma de los errores al cuadrado, los subíndices R y NR hacen referencia al modelo restringido de la ecuación 7.1 y al no restringido de la expresión 7.14, p corresponde al número de parámetros en el modelo no restringido y nT al total de observaciones. La cantidad de restricciones se denota como l, que en este caso son los tres coeficientes G1 , G2 y G3 asociados a D2 y a las interacciones Xi 1, t D2 y Xi 2 , t D2 , respectivamente. Si el valor calculado de F supera el valor crítico determinado por Fl , n − p bajo un nivel de significancia determinado (usualmente 1%, 5% o 10%), entonces los coeficientes G1 , G2 y G3 son conjuntamente significativos o por lo menos uno de ellos es diferente de cero. Esto mostraría estadísticamente que existe cambio estructural ocasionado por el intercepto y las pendientes.

7.3.3. Estimador de diferencias en diferencias Una vez estudiado de forma práctica el modelo de datos agrupados temporalmente, a continuación se introduce el modelo de diferencias en diferencias (MDD). El MDD es una alternativa para evaluar los efectos directos o los choques exógenos de las políticas o programas económicos implementados sobre la variable explicada mediante un modelo econométrico. Este procedimiento es útil para explicar el impacto de alguna política económica. También se emplea comúnmente en áreas de estudio como la evaluación de proyectos. El MDD está basado en experimentos naturales (o cuasi experimentos), que ocurren cuando un evento exógeno al modelo cambia el contexto o la conducta de las unidades de corte transversal. Lo anterior puede dar


347

como resultado que las relaciones económicas entre las variables involucradas en un determinado estudio quizás resulten distintas con el paso del tiempo. Para poder evaluar el impacto de un choque o programa debe contarse con un grupo de control y uno de tratamiento. El primero se caracteriza por estar compuesto de individuos de la muestra de corte transversal que no han sido afectados por el choque exógeno, la política o el programa ejecutado, mientras que los miembros del segundo sí. Ambos conjuntos deben elegirse aleatoriamente para evitar sesgos de selección.2 Asimismo, para revisar las diferencias relativas entre los grupos es pertinente dividir la muestra en distintos períodos, teniendo en cuenta los escenarios antes y después de que ocurran el evento exógeno, la política o el programa. Por esta razón se escogen los grupos de control y tratamiento ( DT ) en cada período de tiempo ( D2 ) . Yi , t = D0 + D1D2 + D2 DT + D3 D2 ⋅ DT + ui , t

(7.18)

En la ecuación 7.18, DT es una variable binaria que toma el valor de uno si la unidad de corte transversal está en el grupo de tratamiento y de cero si está en el de control. Suponiendo nuevamente que hay dos períodos (t = 1 y t = 2), D2 es otra variable binaria que toma el valor de uno cuando t = 2 y de cero cuando t = 1. De esta manera, si se estima la . El ecuación 7.18 por MCA se obtienen sus estimadores 3 (v. ecuacioestimador de diferencias en diferencias (EDD) equivale a α nes 7.19 y 7.20). DD Y T 2 Y C 2 Y T 1 Y C 1 α

(7.19)

DD α 0 α 1 α 2 α 3 α 0 α1 α 0 α1 α 0 α DD α 2 α 3 α 2 α

(7.20)

DD α 3 α

El EDD ( D3 ) de la ecuación 7.18 captura el impacto del choque exógeno sobre la variable dependiente (Yi , t ), mediante la diferencia de los promedios (Y ) entre el grupo de tratamiento YT y el de control (YC ), con y sin política, correspondientes a cada período (YT 1 , YT 2 , YC 2 y YC 1 ) . Por consiguiente, el efecto de un choque exógeno en el modelo está determinado

( )

2

Para más detalles véase Gujarati (2003: 453).

348


por el coeficiente que acompaña el producto D2 ⋅ DT , que hace referencia al grupo de tratamiento en el período después de ser afectadas las unidades de corte transversal y temporales ( D2 = 1 y DT = 1) .

3 ) resulta estadísticamente significativo con En este sentido, si el EDD ( α la prueba t de significancia parcial expuesta en los análisis de cambio estructural, puede concluirse que el impacto de la política existe cuando se rechaza la hipótesis nula. En caso de que sea estadísticamente significativo se podrá saber si el efecto del choque es negativo o positivo.

Ahora bien, el modelo también puede involucrar otras variables independientes continuas (cuantitativas) de corte transversal a lo largo del tiempo como las descritas en la ecuación inicial (7.1). Si se quiere evaluar el efecto de un tratamiento con diferentes intensidades sobre una variable explicativa, puede plantearse una regresión equivalente a la de inestabilidad estructural ocasionada por el intercepto y la pendiente como en la ecuación 7.14 (v. ecuación 7.21). Yit = β 0 + β1Xit + δ1D2 + δ2 Xit ⋅ D2 + Uit

(7.21)

En este caso, cuando G 2 resulta estadísticamente significativo mediante la prueba t, existe evidencia del impacto de la política y los efectos de un cambio en la variable de interés Xit como consecuencia de ésta. Este estimador tiene las propiedades del de MCO siempre que se cumplan los supuestos del modelo de regresión clásico, en especial la ausencia de endogenidad. Aquí, el problema de endogenidad puede aparecer cuando la intensidad del tratamiento se encuentra correlacionada con algún elemento no observable que explique la variable dependiente. Para solucionar un problema como éste debe acudirse al uso de variables instrumentales tal como se expuso en el capítulo 1. Finalmente, es importante aclarar que el EDD funciona bien cuando se cuenta con información de corte transversal agrupada en el tiempo, es decir, sin información sobre la misma unidad de corte transversal en los distintos períodos en que fueron recolectados los datos. Ocurre lo contrario si se tiene la misma muestra a lo largo del tiempo, dado que serían datos en panel y para esto se utilizan otras técnicas que permiten llegar a las conclusiones esperadas. Estas metodologías se trabajarán a continuación en el capítulo 8.


349

7.4. Estudio de caso: impacto de un programa de intervención a las escuelas rurales en Colombia Luego de estudiar los conceptos y las metodologías para muestras de corte transversal agrupadas en varios períodos, esta sección desarrolla un ejercicio empírico con el que se pretende poner en práctica lo trabajado en este capítulo. Para ello se utiliza el artículo Hacia una mejor educación rural: Impacto de un programa de intervención a las escuelas en Colombia de Rodríguez et ál. (2007). Este trabajo evalúa el impacto que tuvo el programa de educación rural (PER) en las tasas de eficiencia y calidad de la educación en las escuelas rurales que accedieron a dicho programa. El PER, en su planteamiento original, buscaba diseñar y ejecutar proyectos educativos en instituciones rurales para alcanzar cuatro objetivos principales: primero, aumentar la cobertura y la calidad educativa; segundo, fortalecer la capacidad de gestión de los municipios y las instituciones educativas en la identificación de necesidades, el manejo de información, la planeación y la evaluación; tercero, mejorar las condiciones de convivencia en la institución educativa; y cuarto, diseñar mecanismos que permitieran una mejor comprensión de la situación de la educación media técnica rural. Con esta finalidad, el proyecto tendría una duración de diez años y se implementaría en tres etapas, cada una de tres años y medio. Las primeras experiencias del PER comenzaron en el año 2002 y un año después se había implementado en más de 1,800 sedes en 12 departamentos del país. De acuerdo con lo anterior, el artículo pretende comparar los resultados académicos que obtuvieron los estudiantes que fueron beneficiarios del PER con los que hubiesen alcanzado las personas que no participaron en el programa. Partiendo de la metodología descrita en este capítulo, la mejor forma de estimar los efectos de una política de este tipo es utilizar datos de corte transversal a lo largo del tiempo, puesto que permiten analizar los efectos del PER sobre la eficiencia y la calidad de la educación en la población rural colombiana. Bajo el MDD, los resultados de un grupo de escuelas no participantes en el PER se utilizan como control para los valores del grupo de tratamiento. Por lo tanto, el modelo es el siguiente: *

(7.22)

350


En la ecuación 7.22 Yit es la variable de interés para la evaluación3, Esc.PERit se refiere a las escuelas intervenidas por el programa PER, Esc.PERit ∗ A.2004 corresponde a las escuelas intervenidas en el año 2004 y X es una matriz de controles de la regresión con su vector de coeficientes E. La hipótesis central de la evaluación es que el programa de educación rural tuvo un impacto positivo sobre el crecimiento de la matrícula escolar y de la tasa de aprobación, y negativo sobre la tasa de reprobación y la tasa de deserción. Para corroborar lo anterior se llevará a cabo el procedimiento mediante programa computacional Stata.

7.4.1. Análisis general de los datos A partir de la información expuesta anteriormente, se describirán los pasos para determinar los resultados consignados en el artículo de Rodríguez et ál. (2007). A continuación están los requerimientos básicos para utilizar la base de datos: 1.

Se debe determinar la memoria con la que se van a cargar los datos. Esto se consigue con el comando set mem. Para este caso se utilizan 50m.

2.

Una vez se ha asignado la memoria del sistema, se puede proceder a cargar la base de datos. La base usada en este trabajo lleva el nombre capitulo7.dta y es tomada del trabajo de Rodríguez et ál. (2007). En la base hay información sobre los datos censales de matrícula y los indicadores de eficiencia y calidad de las escuelas rurales de Colombia (v. figura 7.1).

3.

Para observar las variables que se encuentran disponibles se usa el comando describe o des. Este comando genera un cuadro con la lista de las variables que se encuentran en la base de datos, el formato en que están guardadas y una descripción de cada una (v. figura 7.2, p. 352). En la figura 7.2 se observa que la muestra cuenta con 279,816 observaciones y 21 variables disponibles para realizar las estimaciones pertinentes en cada caso. En el cuadro 7.1 se presentan las variables que se utilizarán para estimar la ecuación 7.22.

3

El crecimiento de la matrícula escolar, el cambio en la tasa de aprobación, el cambio en la tasa de reprobación y el cambio en la tasa de deserción en diferentes regiones.


351

Salida de los comandos set memory y use

CUADRO 7.1. Variable del modelo

Variables que se usarán en el modelo Variables en la base

Descripción

Yit

C_total, C_taproba C_treproba, C_tdeser

Crecimiento de la matrícula, cambio en la tasa de aprobación, reprobación y deserción.

Esc.PERit

trata

Variable binaria que toma el valor de uno si la escuela hace parte del programa PER y de cero cuando no.

A.2004

d_04

Variable binaria que hace referencia al año 2004.

X it

log_gasto, familias, ataques, gini_av, nbi, tasa_urbanos, d_1

Logaritmo del gasto municipal en educación por alumno, porcentaje de la población municipal que pertenece a Familias en Acción, logaritmo de la actividad armada ilegal por cada 100,000 habitantes, Gini (avalúos de tierra), NBI, porcentaje de la población municipal que vive en una zona urbana.

352

FIGURA 7.2.

4.



Antes de pasar a estimar la regresión lineal es necesario observar las estadísticas descriptivas de las variables. El comando summary o sum presenta un cuadro con el número de observaciones, la media, la desviación estándar, el mínimo y el máximo de las variables especificadas (v. figura 7.3).

7.4.2. Estimación del modelo de diferencias en diferencias Cuando ya se sabe con qué información se cuenta para realizar las estimaciones, se pasa a desarrollar el ejercicio empírico propuesto por Rodríguez et ál. (2007). El objetivo es estimar la ecuación 7.22 mediante el MDD. Para esto es necesario hacer visible la variable de interés, que en este caso es el número de escuelas que participaron en el PER en el año 2004.


353


1.

Es necesario generar una variable que capture la interacción entre Esc.PERit y A.2004. Esto se consigue con comando gen seguido del nombre de la nueva variable que es la multiplicación de las dos variables en cuestión.

2.

A partir de la variable generada se ejecuta la regresión de la ecuación 7.21 por MCA. En Stata se utiliza el comando regress o reg al igual que para una regresión simple (v. figura 7.4). Una vez se tienen las regresiones de todo el modelo bajo alguna de las cuatro especificaciones, es pertinente establecer si las hipótesis planteadas inicialmente son ciertas o no. Para la ecuación 7.21 el coeficiente de interés es G3 , dado que es el estimador del efecto que tuvo el programa PER sobre las escuelas rurales en el año 2004.

354

FIGURA 7.4.

5.


Salida de la regresión por MCA con la variable c_tdeser

Por último es conveniente evaluar la significancia estadística de G3 para determinar si el PER tuvo efecto sobre las escuelas rurales. Para ello se utiliza la prueba de Chow. La prueba de hipótesis es la siguiente:

H0 : G3 = 0

El PER no tiene efectos sobre la tasa de deserción escolar.

H1 : G3 ≠ 0

El PER tiene efectos sobre la tasa de deserción escolar.

(7.23)


355

Esta prueba se hace después de realizar las regresiones mediante el comando test que utiliza el estadístico de prueba F para evaluar la significancia individual del estimador.4 También se puede desarrollar el mismo procedimiento para cada una de las variables dependientes con las que cuenta el artículo para evaluar el efecto de cada una. Si F > Fl , nt − p , se rechaza H0 y se concluye que G3 es significativo. En la figura 7.4 se puede ver que F = 70.94 con un valor p de 0.000, lo que quiere decir que F > Fl , nt − p . De esta manera se valida la existencia de un efecto del PER sobre la tasa de deserción escolar y, dado que el coeficiente de la interacción Esc.PERit ∗ A.2004 es negativo, se corrobora la hipótesis inicial de un impacto negativo del PER sobre la tasa de deserción escolar en el 2004.

Resumen s

,OS DATOS DE CORTE TRANSVERSAL AGRUPADOS EN EL TIEMPO SON UNA muestra que mezcla los datos de corte transversal con los de series de tiempo, al unir dos o más muestras representativas obtenidas en momentos diferentes del tiempo. Esto sirve para estudiar relaciones entre variables en distintos períodos, en especial para hacer evaluaciones de impacto de políticas económicas.

s

%STETIPODEAGRUPACIÍNOFRECEMAYORESBENElCIOSQUELASMUESTRAS de corte transversal. El principal es el incremento del tamaño de la muestra que permite obtener estimadores más precisos (consistentes) y estadísticos de prueba más confiables. La mayor cantidad de datos implica una mayor variabilidad entre ellos, menor colinealidad entre las variables, más grados de libertad y mayor eficiencia en las estimaciones. Asimismo, es posible investigar si las relaciones entre las variables han cambiado con el paso del tiempo.

s

%XISTENDOSTIPOSAGRUPACIÍNDELOSDATOSDECORTETRANSVERSALENEL tiempo: 1. las muestras que agrupan datos en el tiempo, es decir, las muestras aleatorias de corte transversal de la misma población en diferentes períodos, pero que no necesariamente tienen en cuenta la misma muestra en cada uno de ellos; y 2. los paneles que agrupan las mismas unidades de corte transversal en diferentes períodos.

4

Cuando se trata de la prueba de significancia individual, la prueba F muestra los mismos resultados que la prueba t.


356

s

,A PRUEBA DE #HOW ES LA REPRESENTACIÍN TEÍRICA DEL -$$ STA analiza los cambios estructurales en el tiempo como consecuencia de cambios exógenos en el modelo.

s

%L-$$RESUMETODOELPROCESOQUEDEBESEGUIRUNESTUDIOCUANDO está enfocado en evaluar impactos exógenos sobre las variables del modelo en distintos períodos.


Establezca la diferencia entre estimar un modelo de corte transversal y un modelo de corte transversal agrupado en el tiempo. ¿En qué se diferencian de los modelos de series de tiempo?

2.

Suponga que usted tiene una base de datos con observaciones de los departamentos que componen el territorio colombiano entre 1980 y el 2008. Se tienen en cuenta las siguientes variables: deltapib población inv

Crecimiento del PIB per cápita (en precios constantes del 2000) Población del municipio Inversión total del municipio

exports

Exportaciones del municipio (en precios constantes del 2000)

NBI

Índice de necesidades básicas insatisfechas

QG

Índice de calidad gubernamental

apertura

Variable binaria: 1 para el período después de 1991 cuando se dio la apertura comercial.

Plantee un modelo para probar las siguientes afirmaciones (use interacciones entre las variables en caso de necesitarlas): a.

La apertura comercial tuvo un efecto positivo en el crecimiento del PIB per cápita en Colombia.

b.

La apertura comercial favoreció la expansión de las exportaciones colombianas, con lo que hubo mayor crecimiento del PIB per cápita.

c.

La apertura comercial y el incremento de las exportaciones generadas por este hecho permitieron un mayor crecimiento del PIB per cápita.


3.

4.

357

Plantee un modelo de cambio estructural que le permita evaluar el efecto de una emergencia invernal en el año 2010 (variable binaria) sobre variables económicas como el gasto gubernamental, la salud y la educación de los afectados en Colombia. Se cuenta con información municipal para el período 2000-2010. a.

Para probar si existe algún efecto de la emergencia invernal sobre las variables de interés, ¿qué tipo de cambio estructural utilizaría para caracterizar este fenómeno?

b.

Es posible utilizar variables binarias por municipio para ajustar mejor el modelo. ¿Cómo plantearía un modelo de este tipo?

c.

¿Qué diferencias existen entre el modelo con variables binarias y el modelo sin ellas? ¿Es posible que cambien los coeficientes, los errores estándar o el R2?

Cuando se pretende hacer un análisis mediante un MDD es necesario establecer un grupo de control y otro de tratamiento. Si el investigador intenta determinar el efecto de un terremoto en el PIB de un país afectado, ¿cuáles serían las características que se deben consideran para separar los países en cada uno de los grupos?


8

MODELOS PARA DATOS EN PANEL O LONGITUDINALES

8.1. Introducción

E

n contraste con el capítulo anterior, donde fue expuesta una introducción a las muestras de corte transversal a lo largo del tiempo, este capítulo presenta las metodologías diseñadas para las bases de datos compuestas por un conjunto único de unidades de sección cruzada (países, regiones, personas, etcétera), agrupadas por períodos (mensuales, trimestrales, anuales, etcétera). Esta información, conocida como paneles de datos o bases longitudinales, corresponde a una sola muestra representativa observada con regularidad. Así, usar datos con estas características en estudios econométricos tiene al menos cuatro ventajas. En primer lugar, las observaciones repetidas en el tiempo permiten eliminar los efectos cíclicos, lo cual es útil para probar modelos teóricos de largo plazo. Adicionalmente posibilitan solucionar problemas de endogenidad que surgen de la omisión de variables constantes en todos los períodos. Al igual que los datos agrupados, también permiten identificar y medir los efectos no detectables en las muestras de corte transversal y, finalmente, mejoran la precisión de las estimaciones (Baltagi, 2005: 3-6). Con respecto a lo anterior, este capítulo discute inicialmente las características de este tipo de muestras, para luego centrarse en las consecuencias y metodologías de datos longitudinales. Específicamente se presentan las estimaciones de efectos entre grupos, efectos aleatorios y efectos fijos, comunes en los artículos recientes de economía. Al igual que en los capítulos anteriores, inicialmente se exponen los temas relevantes de manera formal para luego aplicarlos a un estudio de caso. En esta oportunidad, los datos y técnicas provienen del artículo titu359

360


lado Informalidad regional en Colombia. Evidencia y determinantes de García (2008), con el cual se pretende estudiar las diferencias regionales en el grado de informalidad laboral en Colombia utilizando datos de longitudinales.

8.2. Organización de los paneles de datos A diferencia de los datos de corte transversal y de las series temporales presentados anteriormente, este capítulo discute el uso de paneles compuestos por una combinación de observaciones recolectadas en el tiempo, para un conjunto determinado de unidades de corte transversal. La gráfica 8.1 representa la estructura de los paneles de datos que permite entenderlos conceptualmente. GRÁFICA 8.1.

Visión dimensional de un panel

En este caso la información cuenta con una dimensión para el tiempo (períodos anuales, desde 1988 hasta el 2005, identificados por la primera columna de cada superficie), otra para los individuos (corte transversal para las ciudades de Bogotá, Bucaramanga y Barranquilla, que se muestra en la segunda columna en cada plano) y una tercera para la variable dependiente (Y) y las independientes (X1, X2 y X3), representada desde la tercera hasta la sexta columna en cada caso. Por esta razón, una base de datos longitudinales puede interpretarse como el seguimiento de la misma muestra (las ciudades en este ejemplo) a lo largo del tiempo o como la composición de series de tiempo para varios individuos.


361

Aunque la gráfica 8.1 es útil conceptualmente, los datos longitudinales deben ordenarse como una matriz para el uso de programas computacionales (v. gráfica 8.2). GRÁFICA 8.2.

Panel con filas agrupadas por unidad

Fuente: Elaboración propia a partir de García (2008).

En este caso las filas representan a cada individuo (i) en los distintos momentos del tiempo (t) y las columnas indican la información (cuantitativa o cualitativa) de la variable dependiente y de las independientes para el corte transversal temporal. De esta forma, pueden observase n unidades de la sección cruzada (con i = 1,…, n) durante T períodos ( t = 1,..., T ) . Para cada observación se cuenta con k variables independientes (Xi 1, t , Xi 2 , t ,..., Xik , t ) y una dependiente (Yi , t ) y esto determina el tamaño de la muestra que equivale a nT.

362


Yi ,t = E 0 + E1 Xi 1,t + E 2 Xi 2 ,t + + E k Xik ,t + U i ,t

(8.1)

En este contexto, la ecuación 8.1 representa la especificación general de un modelo de datos longitudinales según la información descrita en las gráficas 8.1, 8.2 y 8.3. Sus parámetros los representan E0 , E1 , E 2 ,..., E k y el término de error es Ui , t . De forma ilustrativa, existen dos elementos que identifican cada observación: la unidad de corte transversal (por ejemplo, Barranquilla) y el momento del tiempo (por ejemplo, 2005). Su combinación se convierte en un panel de datos que debe organizarse de la siguiente manera para el uso de los programas computacionales: 1.

Agrupar las filas por unidad cuando la matriz de datos contiene inicialmente todas las observaciones del corte transversal (Barranquilla y Bucaramanga) a lo largo del tiempo (1988-2005), primero para una unidad (Barranquilla) durante 1988-2005 y de igual forma para la otra (Bucaramanga). Así, la matriz queda ordenada como un conjunto de series temporales apiladas verticalmente con n secciones por cada individuo, cada una de T filas (v. gráfica 8.2).

2.

Agrupar las filas por período. En este caso la matriz de datos estará compuesta por T secciones (una por cada unidad de tiempo) para cada una de las n filas (correspondientes a cada individuo). De esta forma, el primer bloque contiene las observaciones recolectadas en el primer período para cada uno de los individuos; el segundo, las del período siguiente, y así sucesivamente. Aquí la matriz de datos corresponde a un conjunto de muestras de sección cruzada apiladas verticalmente (v. gráfica 8.3).

Por otra parte, los primeros paneles contenían información sobre la evolución de un conjunto de indicadores económicos, como el PIB, la inversión y el consumo, para un grupo determinado de países. Éstos son denominados paneles macro y se usan generalmente para evaluar hipótesis sobre crecimiento, convergencia, ciclos y estabilidad macroeconómica. En estas bases de datos la dimensión del tiempo y la de los individuos son de tamaño similar. Una segunda clase son los paneles micro que registran información sobre un grupo particular de individuos o firmas. Estudios con este tipo de datos aparecieron por primera vez en la literatura relacionada con la producción agrícola y posteriormente su uso se expandió a otras corrientes de la literatura económica. Éstos son los más complejos de construir


363

Panel con filas agrupadas por período

Fuente: Elaboración propia a partir de García (2008).

por los altos costos de observar en cada período un conjunto de firmas o individuos. En este caso la dimensión de tiempo suele ser menor que la muestra de individuos (Arellano, 2003: 1-2). Los paneles macro y micro pueden catalogarse de acuerdo con la disponibilidad de datos. Aquellas bases de datos que tienen observaciones para toda la sección cruzada en momentos sucesivos se denominan completas o balanceadas. Aquí el tamaño de la muestra es nT, que corresponde al número de individuos (n) multiplicado por el número de períodos (T). Cuando ocurre lo contrario, es decir, cuando falta información sobre ciertos individuos o períodos, el panel se llama incompleto o desbalanceado (Gujarati, 2003: 617). Una vez presentada la organización y clasificación de los datos longitudinales, a continuación se explican las metodologías econométricas apropiadas para su análisis. Por simplicidad, durante el resto del capítulo se

364


supone un panel microeconómico balanceado. Inicialmente se describe el estimador de efectos entre grupos, útil para obtener estimaciones de largo plazo; posteriormente, el modelo con efectos fijos en el término de error; por último, las metodologías sobre efectos aleatorios y fijos.

8.3. Estimación de las dinámicas de largo plazo: efectos entre grupos La estimación de las dinámicas entre grupos es la primera metodología particular del análisis de datos longitudinales. El valor estimado de este efecto se conoce como estimación between (nombre en inglés, en español significa ‘entre’). Esta técnica, para cada individuo (i), divide los componentes temporales del ciclo y de la tendencia1 y permite obtener únicamente la información de largo plazo de las variables dependientes e independientes involucradas en el modelo. Esto se debe a que la información de su corte transversal captura el comportamiento tendencial y cíclico que sin el debido tratamiento resulta inadecuado para obtener correlaciones de largo plazo con datos longitudinales. En términos generales, el estimador de efectos entre grupos (EEG) reduce un panel longitudinal a un corte transversal empleando el promedio de las variables (Yi , Xi1 ,..., Xik ) para cada individuo. Esto permite eliminar el efecto cíclico cuando las variables son estacionarias.2 El procedimiento general para obtener el EEG es el siguiente: Calcular el promedio de las variables (Yi , Xi 1 ,..., Xik ) a lo largo del tiempo para cada unidad de sección cruzada (i).

1. 2.

Realizar una estimación mediante MCO usando como observaciones los promedios de las variables calculados en el numeral anterior.

En este sentido, a partir del modelo descrito en la ecuación 8.1 puede obtenerse el promedio de las variables (Yi , Xi 1 ,..., Xik ) para todos los períodos de tiempo (v. ecuaciones 8.2 a, b y c). Con estos resultados se plantea una nueva especificación que se estima por MCO (v. ecuación 8.3). Yi =

1 2

1 T Y T ∑ t =1 i ,t

(8.2a)

Para más detalles al respecto véase el capítulo 4.

Debido a que una serie estacionaria se encuentra distribuida alrededor de su valor de largo plazo. Para más información sobre la estacionariedad de una serie de tiempo véase el capítulo 5.


365

Xi 1 =

1 T X T ∑ t = 1 i 1, t

(8.2b)

Xik =

1 T X T ∑ t = 1 ik , t

(8.2c)

Yi = E 0 + E1 Xi 1 + E 2 Xi 2 + + E k Xik + U i

(8.3)

El modelo de regresión caracterizado por la ecuación 8.3 permite encontrar la correlación condicional de largo plazo entre la variable dependiente y las independientes. Los coeficientes de MCO ( βMCO en la representación matricial) para esta expresión se denominan estimadores entre grupos del modelo inicial en la ecuación 8.1 ( βEG en la representación matricial). En general, este procedimiento transforma el modelo en una estimación de sección cruzada. Con el fin de garantizar un vector de parámetros βEG insesgados, consistentes y eficientes, es necesario suponer el cumplimiento de los supuestos de ausencia de endogenidad, no multicolinealidad, no autocorrelación residual y homoscedasticidad. En la práctica el EEG tiene poco uso porque la pérdida de observaciones deteriora la precisión de las estimaciones y cuando se reduce el problema a uno de corte transversal se elimina la posibilidad de analizar la dinámica de las variables en el tiempo. Sin embargo, la importancia del modelo de efectos entre grupos consiste en que permite construir otros estimadores, en particular los de efectos aleatorios y fijos en el interior de los grupos.

8.4. El problema de efectos fijos en el término de error A partir del EEG expuesto anteriormente pueden construirse metodologías que permitan evidenciar y solucionar los problemas típicos de los datos longitudinales: la autocorrelación residual y la endogenidad por variables omitidas constantes incluidas en el error (Ui , t ). Para comprender su origen se presenta a continuación el modelo de regresión lineal con una descomposición del término de error en un efecto constante y una variable en el tiempo. Posteriormente se expone cada metodología y su relevancia en el análisis de los datos longitudinales.

8.4.1. Modelo con término de error compuesto Con el fin de comprender las problemáticas particulares que surgen del uso de datos longitudinales, es necesario replantear el modelo clásico de regresión mostrando los diferentes componentes del término de error


366

(U ). Para esto se presenta un modelo con dos variables independientes (X , X ) como aparece en la ecuación 8.4. Dada la estructura de los i ,t

i 1, t

i 2,t

datos longitudinales, su parte transversal generalmente tiene efectos fijos en el tiempo, es decir, variables de los individuos que no varían en el tiempo. Este efecto, representado por Ci , se conoce como heterogeneidad no observada de la muestra (v. ecuación 8.5). Yi , t = E 0 + E1Xi 1, t + E 2 Xi 2 , t + Ui , t

(8.4)

Yi , t = β 0 + β1Xi 1, t + β 2 Xi 2 , t + Ci + Dt + εi , t

(8.5)

Ui ,t

En la ecuación 8.5 aparecen tres nuevos elementos: el efecto constante de cada individuo (Ci ), el efecto temporal que no varía entre los individuos (Dt ) —como los rasgos comunes en toda la muestra que cambian a lo largo del tiempo (por ejemplo, el clima y lugar donde reside la población)— y un nuevo término de error ( Hi , t ) que difiere de Ui , t y captura las variables que cambian en el tiempo y entre los individuos. Por consiguiente, Ui , t es la suma de estos tres (Ci , Dt y Hi ,t ) y, como todos estos términos corresponden a un único término de error, el valor esperado ( E [Yi , t ]) del modelo en la ecuación 8.4 se representa como una suma ponderada de las variables independientes (v. ecuación 8.6). E [Yi , t ] = E 0 + E1Xi 1, t + E 2 Xi 2 , t

(8.6)

En este sentido, el resto del capítulo está centrado en los efectos de la heterogeneidad no observada (Ci ) y en el componente que varía entre los individuos pero es constante en el tiempo. Las consecuencias y metodologías presentadas a continuación son análogas para los casos en que se tiene un efecto fijo entre los individuos ( Dt ).3

8.4.2. Efectos aleatorios 8.4.2.1. Correlación serial que resulta de los efectos constantes en el error

La naturaleza del efecto constante por individuo (Ci ) en los datos longitudinales genera un problema de correlación serial entre los errores de diferentes períodos. Para observar su origen puede tenerse en cuenta el modelo de la ecuación 8.4 con un efecto fijo (Ci ) en el error y ausencia de efectos variables en el tiempo ( Dt ). Este modelo se puede escribir como: 3

Para más detalles véase Baltagi (2005).


367

Yi , t = β 0 + β1Xi 1, t + β 2 Xi 2 , t + Ui , t con Ui , t = Ci + εi , t

(8.7)

En este caso el panel longitudinal hipotético tiene información sobre dos períodos, lo que significa que en t = 1 Yi ,1 = β 0 + β1Xi 1,1 + β 2 Xi 2 ,1 + Ui ,1 con Ui ,1 = Ci + εi ,1

(8.8)

y en t = 2 Yi , 2 = β 0 + β1Xi 1, 2 + β 2 Xi 2 , 2 + Ui , 2 con Ui , 2 = Ci + εi , 2

(8.9)

Las ecuaciones 8.8 y 8.9 muestran que los errores del modelo usualmente tienen correlación serial por la presencia de Ci en Ui ,1 y Ui , 2 . Así, cuando se construye la matriz de varianza y covarianza ( ∑ ) de los errores puede determinarse que existe un componente ( V C2 ) en la parte superior e inferior de la diagonal principal en la matriz ∑ que produce el incumplimiento del supuesto de homoscedasticidad y la ausencia de autocorrelación residual (v. anexo 8.1). Específicamente, el incumplimiento de ambos supuestos ocurre pues la heterogeneidad no observada, aun siendo constante entre los individuos, tiene una distribución de probabilidad determinada, no necesariamente normal, con media cero y varianza no necesariamente constante. Esto genera estimadores ineficientes en comparación con los que se obtendrían cuando se cumplen los supuestos. En particular, es importante recordar que cuando se incumplen los supuestos de MCO anteriores, las pruebas de significancia parcial con el estadístico t para probar la relevancia de las variables independientes son incorrectas, debido a que los estimadores son ineficientes, lo que conduce a cometer errores de inferencia estadística. Para solucionar este problema en los datos longitudinales se emplea el estimador de efectos aleatorios (Baltagi, 2005: 13-18). 8.4.2.2. Estimador de efectos aleatorios

Cuando el término constante en el tiempo (Ci ) causa problemas de heteroscedasticidad y autocorrelación residual, los estimadores de un modelo de datos longitudinales deben obtenerse mediante efectos aleatorios, metodología que corresponde a un caso particular de mínimos cuadrados generalizados (MCG). Por lo tanto, esta sección presenta la transformación que permite encontrarlos a partir de una regresión tradicional por MCO. La técnica de MCG tiene dos supuestos. El primero es que el efecto fijo (o la heterogeneidad no observada) realmente existe. Esto quiere decir que

368


cierta fracción de las variables no observadas capturadas por el error es constante en el tiempo. De lo contrario, si éste no es el caso, el problema de autocorrelación residual sería inexistente, por lo cual el uso de MCO es adecuado para llevar a cabo la estimación. Para comprobar específicamente esta condición, es posible aplicar la prueba estadística de Breusch y Pagan (v. sección 8.5.2). Adicionalmente, el segundo supuesto de MCG es que el efecto fijo debe ser independiente de las variables explicativas del modelo. En otras palabras, no debe existir endogenidad. Incumplir este supuesto conduce a un problema de efectos fijos, que se presenta en la sección 8.4.3. El procedimiento general para obtener el estimador de efectos aleatorios con MCG es: 1.

Transformar el modelo inicial en un nuevo modelo ponderado sin correlación residual.

2.

Realizar una regresión por MCO del modelo transformado en el paso anterior. Estos estimadores son los coeficientes de efectos aleatorios del modelo inicial.

A partir de lo anterior, en primer lugar se transforma el modelo mediante el ponderador O, incluyendo la función de heterogeneidad no observada y el error que varía entre períodos e individuos. Esto se hace para obtener el estimador de MCG mediante una regresión lineal de MCO. Formalmente, para el modelo definido en la ecuación 8.7 se plantea: λYi = β1 λXi 1 + β 2 λXi 2 + λCi + λεi

(8.10)

con Yi =

1 T 1 T , = Y X Xi 1, t , i ,t i1 T∑ T∑ i =1 i =1

(8.11)

1 T σε Xi 2 = ∑ Xi 2 , t y λ = 1 − 2 T i =1 σ ε + T σ c2

Con esta información el modelo queda transformado en

(

)

(

)

Yi , t − λYi = β1 Xi 1, t − λXi 1 + β 2 Xi 2 , t − λXi 2 + υi , t Y

*

X1*

(8.12)

X2*

La regresión 8.12 puede ser estimada directamente por MCO. Los βMCO de la ecuación 8.12 corresponden a los estimadores de efectos aleatorios


369

β del modelo inicial en 8.7. La validez de esta transformación puede EA

verificarse partiendo de la formula convencional de MCG en la ecuación 8.13 (Greene, 2000: 568-570): 1 βMCG X′Ω1X X′Ω1Y

(8.13)

con 0 0 0

0 0 0

0 Ω 1 0

0 0 0 nT nT

(8.14)

En la ecuación 8.14 los datos longitudinales están expresados mediante X, que es la matriz de variables independientes con tamaño nT × ( k + 1). Y es un vector de la variable dependiente cuya dimensión es nT × 1. En esta misma ecuación Ω 1 es una matriz inversa cuadrada de nT × nT , cuya diagonal principal corresponde a la matriz de varianza-covarianza de la ecuación 8.10 (6). Así, Ω 1 mantiene la corrección de la autocorrelación residual dado que los valores por encima y por debajo de su diagonal son ceros. Por último, βMCG contiene los estimadores de MCG y es un vector de ( k + 1) × 1. No obstante, si el efecto fijo tiene relación con las variables explicativas, el problema del panel ahora radica en los efectos fijos y no en los aleatorios, como se describe a continuación.

8.4.3. Endogenidad resultante de efectos fijos en el error El supuesto de que el efecto fijo del error no está correlacionado con alguna de las variables explicativas en una regresión longitudinal es muy fuerte, porque realmente en los modelos econométricos de datos longitudinales los individuos tienen varias características no observadas que quedan en el error del modelo y, por consiguiente, la correlación entre los efectos constantes y las variables independientes es un problema común. Esta sección presenta alternativas de estimación que se utilizan bajo esta condición. La relación entre las variables independientes (Xi 1, t , Xi 2 , t ,..., Xik , t ) y Ci infringe el supuesto de independencia condicional o endogenidad discutido en el capítulo 1. Garantizar su cumplimiento es necesario para obtener estimadores insesgados de MCO. En el contexto de los datos longitudinales, contar con información para cada individuo en momentos diferentes del

370


tiempo ofrece nuevas alternativas para resolver el problema de endogenidad, mientras que esto no sucede en las muestras de corte transversal. En general, puede establecerse nuevamente el modelo bivariado con endogenidad en Xi 1, t (v. ecuaciones 8.15 y 8.16). Yi , t = β 0 + β1Xi 1, t + β 2 Xi 2 , t + Ui , t con Ui , t = Ci + εi , t

(8.15)

Cov (Ci , Xi 1,t ) ≠ 0

(8.16)

A continuación se presentan cuatro metodologías para corregir el problema de endogenidad: 1.

Usar variables binarias como variables independientes.

2.

Calcular el estimador de efectos fijos de las primeras diferencias ( 'Y , 'X ).

3.

Calcular el estimador de efectos fijos en el interior de los grupos.

4.

Usar variables instrumentales.

Aquí no se tratan temas de endogenidad que surgen de una correlación entre las variables independientes y el término de error que varía tanto entre individuos como en el tiempo ( Hi , t ). En estos casos necesariamente debe aplicarse la última alternativa: usar variables instrumentales en el contexto de datos longitudinales. 8.4.3.1. Uso de variables binarias como variables independientes

La alternativa más simple para resolver este tipo de endogenidad es capturar el efecto de la heterogeneidad no observada mediante una o más variables independientes binarias (D). Usando esta técnica, el efecto fijo deja de estar en el término de error (Ui , t = Ci + Hi , t ⇒ Ui , t = Hi , t ) y pasa a hacer parte de la especificación del modelo (v. ecuación 8.17), lo que permite que se cumpla el supuesto de independencia condicional. En el modelo de regresión es posible capturar los efectos fijos de los individuos que son constantes en el tiempo como cambios de intercepto. Esto equivale a incluir una variable binaria por individuo ( Di ) dentro de las explicativas. El procedimiento general de esta metodología es: 1.

Transformar el modelo inicial eliminando el intercepto y agregando una variable binaria ( Di ) por cada individuo de la muestra.

2.

Realizar una regresión por MCO del modelo creado en numeral anterior.


371

El nuevo modelo que se debe estimar es equivalente al inicial sin intercepto más una matriz D de dimensión nT u n con n variables binarias4 (v. ecuación 8.17). En caso de mantener el intercepto ( E0 ), la matriz D debe estar compuesta por n – 1 variables para no tener multicolinealidad perfecta. En la ecuación 8.17 G es un vector de n u 1 que agrupa todos los coeficientes que acompañan a cada variable binaria en la matriz D. Yi , t = β1Xi 1, t + β 2 Xi 2 , t + δ D + εi , t

(8.17)

Aunque esta metodología es sencilla y efectiva para obtener parámetros insesgados y consistentes, estadísticamente es dispendiosa porque cada nueva variable binaria deteriora la precisión de las estimaciones. En los datos longitudinales con una dimensión de individuos muy grande, la pérdida de grados de libertad puede incluso imposibilitar el cálculo de los coeficientes. Para resolver la pérdida de grados de libertad se usan los estimadores de primeras diferencias, los estimadores de efectos en el interior de los grupos y la metodología de variables instrumentales presentados a continuación. 8.4.3.2. Estimador de efectos fijos por primeras diferencias

Otra opción para solucionar el problema de endogenidad es eliminar el efecto constante (Ci ) del error mediante el estimador de primeras diferencias (EPD) o el de efectos al interior de grupos (v. sección 8.4.3.3). La metodología de primeras diferencias consiste en restar el primer rezago en el tiempo (Yi , t −1 , Xi 1, t −1 , Xi 2 , t −1 ) a cada observación individual en el panel (Yi ,t , Xi1,t , Xi 2 ,t ) para eliminar el término constante del error. El procedimiento es el siguiente: 1.

Restarle a cada observación por individuo los valores observados en el período anterior (Yi , t − Yi , t −1 , Xi 1, t − Xi 1, t −1 , Xi 2 , t − Xi 2 , t −1 ) .

2.

Realizar una estimación de MCO en la que se usan como variables las primeras diferencias ( 'Yi , t , 'Xi 1, t , 'Xi 2 , t ) que surgen de la transformación del paso anterior.

Las primeras diferencias del modelo 8.15 están definidas en la ecuación 8.18 en la que se puede ver que el intercepto y el efecto fijo por individuo (Ci ) en el término de error desparecieron mediante la transformación. De

4

Una por cada individuo de la muestra. La variable binaria i tomará el valor de uno para el individuo i y de cero para todos los demás.

372


manera general, al restar las observaciones del mismo individuo en dos momentos del tiempo, todas las variables constantes desaparecen de la especificación del modelo. Yi , t − Yi , t − 1 = β1 (Xi 1, t − Xi 1, t −1 ) + β 2 (Xi 1, t − Xi 2 , t −1 ) + (Ui , t − Ui , t −1 ) ΔY = Yi*

ΔX1 = Xi*1

ΔX2 = Xi*2

(8.18)

ΔU = εi*

Al estimar la ecuación 8.18 a través de MCO βMCO los parámetros resultantes se denominan estimadores de primeras diferencias del modelo inicial βPD , caracterizado por la expresión 8.15. A diferencia del método de variables binarias, esta metodología corrige el problema de endogenidad perdiendo únicamente un grado de libertad al rezagar las variables un período.

( )

8.4.3.3. Estimador de efectos fijos en el interior de los grupos

La tercera forma para remover el problema de endogenidad consiste en eliminar el efecto fijo del error restando a cada variable (Yi , t , Xi 1, t , Xi 2 , t ) su media muestral (Yi , Xi 1 , Xi 2 ) . Este procedimiento tiene el mismo efecto que el de primeras diferencias, porque todo elemento constante en el tiempo desaparece cuando se restan las observaciones del mismo individuo (Baltagi, 2005: 10-13). El procedimiento general para obtener este estimador es: 1.

Calcular el promedio en el tiempo de la variable dependiente y de las independientes para cada individuo (Yi , Xi 1 , Xi 2 ) como lo expresa la ecuación 8.19.

2.

Restarles a los valores contemporáneos de cada variable el promedio calculado en el paso anterior.

3.

Realizar una estimación de MCO con las variables resultantes del numeral anterior.

El primer paso consiste en calcular los promedios de la variable dependiente y de las independientes del modelo en la ecuación 8.15 (v. ecuación 8.19). Con esta información se transforma la especificación inicial (8.15) restándole a cada una de las observaciones su promedio. Por consiguiente, la nueva especificación que debe ser estimada por MCO es la que aparece en la ecuación 8.20. Yi =

1 T Y T ∑ t =1 i ,t

(8.19a)


Xi 1 =

1 T X T ∑ t = 1 i 1, t

(8.19b)

Xi 2 =

1 T X T ∑ t =1 i 2 ,t

(8.19c)

(

)

(

)

Yi , t − Yi = β1 Xi 1, t − Xi 1 + β 2 Xi 2 , t − Xi 2 + (Uit − Ui ) Yi*

373

Xi*1

Xi*2

ε*i

(8.20)

Al utilizar esta metodología es posible eliminar el efecto fijo sin perder ningún grado de libertad y corregir el problema de endogenidad. Los coeficientes de MCO βMCO en la ecuación 8.20 se denominan estimadores de efectos fijos en el interior de los grupos (EEFI) para el modelo inicial en la ecuación 8.15.

Sin embargo, el EPD y el EEFI son idénticos cuando T = 2 . Por otra parte, si T > 3, cuando los errores Uit no están autocorrelacionados debe emplearse la metodología de EFI, transformación que no implica perder grados de libertad. De lo contrario, si los errores están relacionados con su pasado, el modelo de primeras diferencias resulta más conveniente. 8.4.3.4. Estimador de variables instrumentales

Finalmente, la última alternativa es utilizar la técnica de variables instrumentales discutida en el capítulo 1. Como se mencionó anteriormente, la relación entre las variables independientes (Xi 1, t , Xi 2 , t ..., Xik , t ) y Ci en el contexto de datos longitudinales es un caso particular de la infracción del supuesto de independencia condicional, por lo que las metodologías ya expuestas también se utilizan en este caso. Una ventaja de esta metodología es que las transformaciones de primeras diferencias y efectos fijos tienen el inconveniente de eliminar la posibilidad de analizar las variables constantes en el tiempo. Cuando se quiere analizar estas variables es conveniente utilizar la metodología de variables instrumentales. No obstante, el costo de esta metodología es el de encontrar una variable instrumental que cumpla con las condiciones de validez y relevancia (v. cap. 1), aunque en ciertos casos pueden utilizarse los rezagos de las variables endógenas con este fin. No obstante, con datos longitudinales es posible conocer la existencia de problemas de autocorrelación residual y endogenidad por heterogeneidad no observada mediante las pruebas estadísticas que se presentan en la siguiente sección.

374


8.5. Identificación del estimador apropiado Una vez comprendidas teóricamente las diferentes metodologías disponibles para estimar un modelo con datos longitudinales, pueden discutirse los criterios de selección aplicados en la práctica con el fin de identificar cuál es la que conviene en cada caso. Esta sección expone las técnicas basadas en argumentos teóricos y estadísticos que permiten determinar el modelo más apropiado entre los modelos de EFI, EA y EF.

8.5.1. Elección entre dinámicas de largo plazo y datos a lo largo del tiempo El primer paso para elegir la metodología apropiada para un modelo econométrico longitudinal consiste en determinar la relevancia estadística del estimador durante las dinámicas de largo plazo. Para esto debe analizarse previamente de manera teórica el propósito de las regresiones econométricas que se pretende ejecutar. Así, cuando el objetivo es obtener coeficientes en una dinámica de largo plazo sin importar el comportamiento temporal de las variables, conviene optar por el estimador entre grupos (v. sección 8.3). Si en cambio se desea continuar usando la información longitudinal completa, debe elegirse entre MCA u otra de las metodologías de datos longitudinales (v. sección 8.4). Por otra parte, como se mencionó anteriormente, el uso del estimador entre grupos genera pérdida de un número grande de observaciones y deteriora la precisión de las estimaciones. Cuando se elige esta alternativa es necesario contar con suficiente información para obtener estimaciones precisas, aun después de eliminar la dimensión temporal del problema.

8.5.2. Elección entre mínimos cuadrados agrupados y efectos fijos o aleatorios Cuando es necesario usar el panel completo y no utilizar estimadores entre grupos, inevitablemente debe analizarse la existencia del efecto constante (Ci ) en el término de error (Ui , t ) . Esto es posible identificando las inconsistencias de una estimación inicial por MCO que no puedan ser atribuidas a otros problemas del modelo (como la heteroscedasticidad) y que indican la necesidad de emplear EA o alguna metodología de EF. No obstante, cuando las regresiones no tienen inconsistencias, la estimación por MCO (o MCA como en el capítulo 7) es la apropiada. Para esto, la prueba estadística de Breusch y Pagan facilita la identificación de la


375

existencia del efecto fijo (Ci ). Ésta se expone a continuación con el fin de complementar el análisis de los problemas, aunque no es el único criterio para no usar MCO con datos longitudinales. 8.5.2.1. Prueba de Breusch y Pagan

La prueba de Breusch y Pagan (BP) ayuda a identificar si existe autocorrelación residual entre los términos de error (Ui , t ) en un modelo de datos longitudinales estimado por MCA o, en otras palabras, a determinar si hay efectos constantes (Ci ) en el término de error (Ui , t = Ci + Hi , t ). De esta forma, la prueba BP consiste en: 1.

Realizar la estimación del modelo por MCA (MCO) suponiendo la ausencia del efecto fijo o la autocorrelación residual.

2.

Obtener los errores calculados ( e i, t ) en la regresión del paso anterior.

3.

Construir el estimador del multiplicador de Lagrange (ML) y verificar el resultado de la prueba de hipótesis (v. ecuación 8.21).

H0 : V c2 = 0

No existe evidencia de efectos constantes en el error (Ui , t = Hi , t ). MCA prevalece sobre EA y EF.

H1 : V c2 > 0

Existe evidencia de efectos constantes en el error (Ui ,t = Ci + Hi ,t ). EA o EF prevalecen sobre MCA.

(8.21)

2

2 n T nT i 1 t 1 εit 1 ∼ χ12 ML 2 n T 2 T 1

ε

i 1 t 1 it

(8.22)

La hipótesis está expresada en la ecuación 8.21 y el estadístico ML en 8.22. Si el valor de ML excede el valor crítico de la distribución ji cuadrada 2 con un grado de libertad F1 , con un determinado nivel de significancia (usualmente 1%, 5% o 10%), debe ser rechazada la hipótesis nula (H0). En este caso se concluye que existe autocorrelación residual por un componente fijo en el error (Ui , t = Ci + Hi , t ) y los estimadores mediante EA o EF prevalecen sobre los de MCA que resultan ineficientes. Por el contrario, cuando el valor de ML es menor que el de F12 no es posible rechazar H0, lo que implica que no existe un término fijo en el error (Ui , t = Hi , t ) y la regresión por MCA es más conveniente que por EA y EF (Greene, 2008: 205-208).


376

8.5.3. Elección entre efectos aleatorios y efectos fijos Como se discutió en la sección 8.4, cuando existe correlación entre el término fijo del error y al menos una de las variables independientes, debe emplearse alguna de las metodologías de EA. Cuando por el contrario no hay problema de endogenidad, es conveniente usar el EEA. Este dilema equivale a la disyuntiva entre utilizar MCA o MC2E en un problema de corte transversal (v. cap. 1). Por esto, la prueba de Hausman expuesta en los capítulos 1 y 2 ayuda a solucionar el dilema. 8.5.3.1. Prueba de Hausman

Para elegir entre estimadores de EA y EF se utiliza la prueba de Hausman, que plantea la desigualdad estadística entre los estimadores de EA βEA y EF βEF con el fin de establecer si existe o no endogenidad (v. prueba de hipótesis 8.23).

H 0 : β EA β EF

No existe evidencia de endogenidad. EA prevalece sobre EF.

H1 : β EA β EF

Existe evidencia de endogenidad. EF prevalece sobre EA.

(8.23)

En términos generales, la prueba de Hausman consiste en: 1.

Realizar la estimación del modelo por EA.

2.

Realizar la estimación por alguna de las metodologías de EF.

3.

Construir el estadístico de Hausman (H) y verificar el resultado de la prueba de hipótesis en 8.23.

Los primeros dos pasos consisten en realizar las regresiones por EA y por alguna metodología de EF (v. secciones 8.3.2 y 8.3.3). Con el valor de estos estimadores βEA y βEF se construye el estadístico de prueba H definido

en la ecuación 8.24. Var

(8.24)

En la ecuación 8.24 Var corresponde a la diferencia de las varianzas de los estimadores de EF y EA. H tiene una distribución ji cuadrada ( F 2k ) con k grados de libertad (número de variables independientes en el modelo). Cuando el valor de H excede el crítico ( F 2k ) para un determinado nivel de significancia (usualmente 1%, 5% o 10%), H0 debe rechazarse.


377

En ese caso puede concluirse que existe endogenidad, que los parámetros de EF son eficientes e insesgados y que prevalecen sobre los coeficientes de EA. Pero si H es inferior al valor crítico ( F 2k ) para un determinado nivel de significancia (usualmente 1%, 5% o 10%), H0 no debe rechazarse. En ese caso puede concluirse que no existe endogenidad y que los parámetros de EA son eficientes e insesgados y prevalecen sobre los coeficientes de EF (Greene, 2008: 208-209).

8.5.4. Resumen del proceso de identificación A continuación se presenta un esquema que resume el proceso de identificación del estimador apropiado con todos los conceptos presentados a lo largo de esta sección (v. grafica 8.4). GRÁFICA 8.4.

Esquema de identificación del estimador idóneo para un problema de datos longitudinales

Inicio

¿Es la dinámica de largo plazo?

No

¿Hay inconsistencias en la estimación?

Estime el modelo por MCO

Sí Usar el EEG

Puede existir un término constante en el tiempo en el error

El problema queda reducido a uno de corte transversal

Es necesario usar otra técnica de estimación

Estime el modelo tanto por EA como por EF

¿Hay sospechas de heterogeneidad no observada?

Sí

No

Sí

Realice una prueba de Breusch-Pagan. ¿Hay evidencia de un efecto fijo?

Realice una prueba de Hausman. ¿Hay endogenidad?

Sí Los estimadores de EF son los apropiados

No

No

Los estimadores de MCO son los apropiados

Los estimadores de EA son los apropiados

378


8.6. Estudio de caso: informalidad regional en Colombia El estudio de caso desarrollado a continuación está basado en el artículo titulado Informalidad regional en Colombia. Evidencia y determinantes de García Cruz (2008), que pretende estudiar las diferencias regionales en el grado de informalidad laboral en Colombia utilizando datos longitudinales. En particular, el estudio identifica la relación entre la informalidad, la importancia relativa del sector industrial y el grado de burocratización del Estado. En ese estudio el autor sostiene que en Colombia una gran proporción de la población trabajadora se encuentra desempleada o trabajando en el sector informal. Usando datos del Departamento Administrativo Nacional de Estadística (DANE) se encuentra que para el 2006 cerca de seis de cada diez trabajadores colombianos se encontraban en el sector informal. Para medir la informalidad se utilizan dos indicadores. El primero sigue la definición del DANE, que considera informales a quienes trabajan por cuenta propia (no profesionales ni técnicos), a aquellos empleados en el servicio doméstico, a los trabajadores familiares sin remuneración, y a los empleadores y empleados en empresas de hasta diez trabajadores. La segunda definición, proveniente de diferentes trabajos disponibles en la literatura internacional, asocia la informalidad con la ausencia de la seguridad social en salud, la pensión o el salario mínimo vigente como ingreso laboral. Aquí se realizará el análisis únicamente con el primer indicador. Las fuentes de información son los módulos de informalidad aplicados por el DANE en la Encuesta Nacional de Hogares (ENH) y en la Encuesta Continua de Hogares (ECH) en los meses de junio del período 1988-2006. Los indicadores construidos son series bianuales desde 1988 hasta el 2000, con excepción de 1990, y anuales desde el 2001 hasta el 2006, para un conjunto de diez áreas metropolitanas (Barranquilla, Bogotá, Bucaramanga, Cali, Cúcuta, Manizales, Medellín, Pasto, Pereira y Villavicencio). Para capturar las diferencias locales de la informalidad laboral, se hace un análisis con regresiones de datos longitudinales. La variable dependiente corresponde a uno de los dos indicadores de informalidad y las variables independientes son el grado de desarrollo industrial, y el grado de burocratización que intenta capturar el elemento institucional (v. ecuación 8.25).

FUNDAMENTOS DE ECONOMETRÍA INTERMEDIA: TEORÍA Y APLICACIONES TI it = E 0 + E1 PPIBit + E 2 Gastoit + Uit

379

(8.25)

En la ecuación 8.25 TI it corresponde a la tasa de informalidad en la región i para el año t. PPIBit es el grado de desarrollo industrial, medido como la participación porcentual del PIB industrial sobre el PIB departamental. Gastoit corresponde al gasto en nómina per cápita y pretende capturar la ineficiencia del Estado. En la literatura se ha documentado que las ciudades con mayor desarrollo industrial, de mayor tamaño, con mercados grandes y buena infraestructura presentan menor crecimiento de las actividades informales. Por esta razón, el autor espera que la variable de desarrollo industrial tenga una relación inversa con el grado de informalidad laboral. Con respecto a la variable de eficiencia estatal espera una relación directa, pues una mayor burocracia desincentiva el trabajo en el sector formal.

8.6.1. Análisis general de los datos Esta primera sección expone los comandos que preparan el programa computacional para el análisis econométrico con datos longitudinales y presenta una exploración general de la base de datos y las variables relevantes. 1.

Para realizar el análisis en Stata se debe determinar la memoria con el comando set mem y cargar la base de datos con el comando use. En este caso la base lleva el nombre de informalidad.dta.

2.

Como este programa viene predeterminado para trabajar con datos de corte transversal, también es necesario declarar que la base de datos es un panel. Esto se consigue por medio del comando xtset, indicando la variable que identifica a cada uno de los individuos y la que mide el paso del tiempo. Adicionalmente es conveniente especificar la frecuencia en que están registrados los datos, en este caso con la opción yearly que indica datos anuales (v. figura 8.1).

3.

La tabla de variables disponibles puede verse con el comando describe. En este caso, las variables son ti (la tasa de informalidad), ppib (la variable aproximativa del desarrollo industrial) y gasto (que mide la eficiencia estatal), como se observa en la figura 8.2.

4.

Para el análisis de datos longitudinales existen varios comandos descriptivos adicionales. Por ejemplo, el comando xtdescribe muestra la disponibilidad de los datos para cada unidad de corte transversal.


380

FIGURA 8.1.

Salida de los comandos setmem, use y xtset

Esto es particularmente útil para analizar si el panel está balanceado. A continuación se resumen algunos comandos descriptivos útiles (v. cuadro 8.1). CUADRO 8.1.

Transformación de las variables de tiempo

Comando

Descripción

xtdescribe

Análisis de desbalance del panel

xtsum

Estadísticas descriptivas

xttab

Tabla de frecuencias

xtline

Gráfico de series de tiempo por individuo

Fuente: Elaboración propia a partir de Cameron y Trivedi (2009).


381


8.6.2. Estimaciones e identificación del modelo apropiado Para identificar el modelo que se debe utilizar se sigue el esquema presentado en la sección 8.4.1. Esta metodología permite deducir cuál es el modelo econométrico apropiado para un ejercicio particular. En este caso no interesa reducir el problema a uno de corte transversal, por lo que directamente se estima el modelo por MCO. 1.

La estimación por MCO es igual que en los capítulos anteriores sin realizar diferenciaciones por individuo. Esto se consigue usando el comando reg seguido de la variable dependiente (ti) y las independientes (ppib y gasto), como se puede ver en la figura 8.3. En la figura 8.3 la variable que captura el desarrollo industrial tiene el signo esperado (negativo) y es significativa al explicar la tasa de

382

FIGURA 8.3.


Salida de la regresión por MCA

informalidad con un estadístico t de 9.07, el cual equivale a una significancia mayor que el 1%. En cambio, el gasto en nómina per cápita no resulta significativo con un estadístico t de 1.61 y presenta un signo contrario al esperado. Esta inconsistencia hace pensar que la heterogeneidad no observada de las ciudades puede estar sesgando los resultados del modelo. Para estimar una regresión siguiendo las metodologías propuestas en este capítulo se usa el comando xtreg, que bajo diversas especificaciones puede calcular los estimadores de efectos aleatorios y fijos entre grupos y en el interior de éstos (v. cuadro 8.2). Las estimaciones por PD deben realizarse manualmente.


383

Casos particulares del comando xtreg Descripción

Comando

Estimador de efectos entre grupos

xtreg ti ppib gasto, be

Estimador de efectos aleatorios

xtreg ti ppib gasto, re

Estimador de efectos fijos en el interior de los grupos

xtreg ti ppib gasto, fe

Fuente: Elaboración de los autores con base en Cameron y Trivedi (2009).

2.

FIGURA 8.4.

Siguiendo el esquema de identificación, el siguiente paso consiste en realizar una prueba BP para probar la existencia de correlación entre los términos de error del modelo. Para esto se realiza una regresión de EA y se prueba la evidencia de autocorrelación entre los términos de error con el comando xttest0 (v. figura 8.4). Salida de la regresión por EA y prueba BP

384


La salida de la regresión por EA que se observa en la figura 8.4 tiene la misma estructura que aquella que arroja una regresión lineal simple, aunque muestra algunas estadísticas adicionales. En la parte superior se muestra el número de observaciones totales (nT) así como el número de individuos o grupos (n). En lugar del esta2 dístico F, se presenta un estadístico análogo ( F ) que se interpreta de la misma manera. Para el estadístico de bondad de ajuste (R2) se muestran tres diferentes medidas que indican cómo explica el modelo la varianza en el interior de cada individuo (within), entre individuos (between) y de manera general (overall). Los estadísticos sigma_u y sigma_e corresponden respectivamente a un estimador de la desviación estándar del componente constante del error y del error de ruido blanco tradicional. Con respecto a la prueba BP, en este caso se rechaza la hipótesis nula al 1%, lo que muestra evidencia estadística de heterogeneidad no observada en el término de error. Esto implica la necesidad de usar alguna de las metodologías que tengan en cuenta la existencia de efectos constantes en el tiempo. En la estimación por EA, tanto la variable que captura el desarrollo industrial como la del gasto en nómina tienen el signo esperado y son significativas al 1% al explicar la tasa de informalidad. 3.

La regresión por efectos fijos en el interior de los grupos se realiza también con el comando xtreg, pero con la opción fe en lugar de re. Para esta estimación, ambas variables independientes tienen el signo esperado y son significativas con estadísticos t de –1.99 y 3.80, respectivamente (v. figura 8.5).

4.

El último paso para identificar el estimador apropiado es realizar una prueba de Hausman para probar la endogenidad que resulta de la correlación de una de las variables independientes con el componente fijo del término de error. Esta prueba se realiza en dos pasos. Primero, se estiman una vez más las regresiones por EA y EF, pero guardando en cada caso los estimadores en la memoria del programa. Esto se consigue ejecutando el comando estimates store o est sto después de cada regresión. A continuación se ejecuta la prueba con el comando hausman utilizando la opción sigmamore, indicando el nombre de las variables donde se guardaron los estimadores. La variable que guarda los resultados del estimador por EF debe ir primero y luego la de EA. En este caso se


385

Salida de la regresión por EFIG

utilizó el comando quietly en cada una de las estimaciones para que Stata no muestre en la pantalla los resultados. Los estimadores de las regresiones se guardaron como RE y FE (v. figura 8.6). Esta prueba de Hausman rechaza la hipótesis nula de estimadores de efectos aleatorios consistentes con una significancia del 1%, lo que muestra que hay una fuerte evidencia estadística de endogenidad. En este sentido, el estimador adecuado es el de EFIG cuyos resultados se encuentran en la figura 8.5 (Perdomo y Ramírez (2011) y Morales (2011) son otros estudios de caso).

386

FIGURA 8.6.



Resumen s

,OSPANELESDEDATOSOBASESLONGITUDINALESCONTIENENINFORMACIÍN sobre la evolución de un conjunto de unidades de corte transversal a lo largo del tiempo, a las que se les hace un seguimiento cada período.

s

%L USO DE DATOS LONGITUDINALES ES ÝTIL PORQUE MEJORA LA PRECISIÍN de las estimaciones, permite separar el componente de largo plazo del de corto plazo en las observaciones, posibilita eliminar proble-


387

mas de endogenidad que surjan de variables no observables fijas y hace posible analizar la dinámica de un conjunto de variables en el tiempo. s

,AS BASES LONGITUDINALES PUEDEN DIVIDIRSE EN PANELES MICRO QUE registran información sobre hogares o firmas y los macro que contienen un conjunto de regiones o países. Adicionalmente, se habla de paneles balanceados, cuyos datos están completos y son reportados con una temporalidad constante, y desbalanceados.

s

0ARAPROBAREMPÄRICAMENTEMODELOSTEÍRICOSDELARGOPLAZO LAMEtodología de estimación de efectos entre grupos permite reducir el problema de un panel longitudinal a uno de corte transversal de largo plazo.

s

5NPROBLEMAPARTICULARDELASESTIMACIONESQUEUSANDATOSLONGITUdinales es la correlación serial entre los términos de error de los diferentes períodos. Para solventar este problema se usa la estimación de efectos aleatorios.

s

!DICIONALMENTE ES POSIBLE QUE LA CORRELACIÍN ENTRE EFECTOS lJOS Y variables cree un problema de endogenidad. Para solucionarlo es posible utilizar variables binarias que capturen el efecto de la heterogeneidad no observada o metodologías de efectos fijos (primeras diferencias o estimador de efectos entre grupos) que transformen el modelo inicial y eliminen la endogenidad.

s

0ARALOGRARESTABLECERQU¿MODELOESELADECUADOESNECESARIOTENER un criterio de selección. La prueba de Breusch y Pagan se usa para identificar si el efecto constante del término de error causa correlación serial. Para establecer si existe endogenidad se usa la prueba de Hausman.


Muestre algebraicamente que para T = 2 el EEF es igual al EPD.

2.

Demuestre que si un modelo se debe estimar por EF, pero se estima por EA, sus estimadores son sesgados.

3.

Demuestre el caso contrario al numeral anterior: si un modelo que se debe estimar por EA se estima por EF, sus estimadores no serán sesgados.


388

4.

Considere el siguiente modelo de inversión para una misma industria manufacturera en varios países y durante T períodos: log(inversion) = θ t + β1 impuestosit + β 2 desastreit + Xit + ci + U it

La variable impuestosit es la tasa marginal de impuesto al capital de un país i en el momento t. La variable desastreit toma el valor de uno si existió un desastre natural significativo en el país i en el período t. La variable Xit representa un conjunto de variables que afectan la inversión de capital y T t es un intercepto de tiempo.

5.

a.

¿Por qué es importante incluir un intercepto de tiempo en la ecuación?

b.

¿Qué tipo de variables son capturadas en ci (parte constante no observada)?

c.

¿Cuál es el signo esperado de E1 ?

d.

Explique de forma detallada cómo estimaría usted este modelo. Mencione específicamente qué supuestos hacer, la forma de los estimadores y cómo la forma elegida corrige el problema de endogenidad causado por el efecto no observado.

La base de datos Punto5.dta contiene información de 359 municipios del país para el período 2000-2007. La base cuenta con información sobre el logaritmo de la inversión per cápita municipal (log_invpc), el porcentaje de los ingresos totales del municipio que corresponden a transferencias del Gobierno central (ing_trans), un índice de desempeño fiscal definido entre 0 y 100 (desemp_fisc) –donde mayores valores indican un mejor manejo de las finanzas públicas–, la tasa de homicidios por cada 100,000 habitantes (tasa_homicidios), el número de personas desplazadas por la violencia por cada 100,000 habitantes (desplazamiento) y una variable binaria que es igual a uno si hay cultivos de coca en el municipio en ese año y a cero de lo contrario (H_Coca). Suponga que está interesado en analizar la manera en la que el manejo fiscal y las condiciones de seguridad están afectando la inversión municipal, por lo que se construye el siguiente modelo: log(imppcit ) = E 0 + E1 ingreso _ transit + E 2 desemp _ fisc _ estit +

E 3 tasa _ homicidios _ lit + E 4 desplazamientoit + E 5 H _ coca + Uit


389

donde desemp _ fisc _ estit es el índice de desempeño fiscal estandarizado y tasa _ homicidios _ lit es la tasa de homicidios rezagada un período. Las demás variables de control ya han sido definidas en el enunciado. a.

Desde el punto de vista teórico ¿cuál cree usted que es la dirección de los efectos de las variables explicativas sobre la inversión municipal per cápita? Estime el modelo por MCO (como datos de corte transversal agrupados en el tiempo) y discuta los resultados. ¿Se ajustan a lo que esperaba en un comienzo? De no ser así, ¿a qué podría atribuir esta diferencia?

b.

Estime por EF, EA, PD y primeras diferencias instrumentadas (utilice como instrumento de las variables de control el rezago de la primera diferencia). Discuta las diferencias entre los cuatro estimadores. ¿A qué cree que se puedan deber estas diferencias?

c.

Realice una prueba estadística formal para comparar los estimadores de EF y EA. ¿Qué puede concluir?

d.

Realice una prueba estadística formal para comparar los estimadores de MCO (suponiendo datos de corte transversal agrupados en el tiempo) y EA. ¿Qué puede concluir?

e.

Realice una prueba estadística formal para comparar los estimadores de EF y MCO con datos de corte transversal agrupados en el tiempo. ¿Qué puede concluir?

f.

¿Cómo se realiza el procedimiento de prueba de hipótesis con el fin de determinar si es más adecuado PD o EF?


390


Anexo Anexo 8.1. Construcción de la matriz de varianza-covarianza de los errores cuando existen efectos fijos en el error Para la construcción de la matriz debe suponerse que los errores Hit se caracterizan por tener media cero y varianza constante (homoscedasticidad). Por otra parte, los errores no pueden estar correlacionados entre sí ni tampoco con otros componentes del error (Ci ). En la ecuaciones A.8.1 y y , son matrices y Ci es un vector. Las varianzas ( σ 2ε + σ c2 ) de A.8.2 los errores están dadas por: E U it U it X it E εit εit 2 εit Ci C iCi X it E εit εit X it 2E εit Ci X it E C iCi X it

(A.8.1)

= σ 2ε + σ c2

Las covarianzas ( V c2 ) del modelo tienen la forma: E U it U jt X it E εit Ci ε jt Ci Xit E εit ε jt X it E εit Ci X it E ε jt C i X it E C i Ci X it

(A.8.2)

= V c2

Así, la construcción de la matriz de varianza-covarianza para los errores, cuando existen efectos fijos, está conformada de la siguiente forma: ⎛ σ 2ε + σ c2 ⎜ σ2 c Σ=⎜ ⎜ ⎜ 2 ⎝ σc

σ c2 σ 2ε + σ c2 σ c2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ 2 2⎟ σ ε + σ c ⎠ nT × nT σ c2 σ c2

(A.8.3)


391

Apéndice. Aplicación de comandos en Stata A.1. Introducción Este anexo resume los diversos comandos del paquete estadístico Stata utilizados a lo largo del libro. Está pensado como una referencia tanto para los estudiantes que inician la utilización de las técnicas econométricas como para los usuarios experimentados que puedan no tener presente la sintaxis exacta con que se da una orden en particular en este programa computacional. Para mantener la coherencia con el resto del libro, los diferentes comandos vienen organizados por tema, cubriendo separadamente variables instrumentales y ecuaciones simultáneas, modelos con variable dependiente binaria, series de tiempo y datos longitudinales. Adicionalmente se presenta una lista de comandos generales, cuyo uso suele ser frecuente en los trabajos de investigación en economía. Cada uno de los comandos se presenta en una tabla con una breve descripción de su función, el tipo de variables que se deben incluir y una lista de opciones comunes. Adicionalmente se presenta la sintaxis en la forma de un ejemplo, que debería permitir al lector utilizar fácilmente el comando expuesto en otro trabajo con una base de datos particular. La notación de este apéndice se describe a continuación. Comandos y opciones

Órdenes que comprende el paquete estadístico (pueden ser comandos u opciones).

x1, x2, x3, x4.

Variables que se encuentran en la base de datos y que serán usadas como variables independientes en los modelos econométricos.

y1, y2, y3,

Variables que se encuentran en la base de datos y que serán usadas como variables dependientes en los modelos econométricos.

392


A.2. Comandos generales Comando

set mem

Función Especifica cuántos megabytes (m) de memoria usará Stata para este proyecto.

Variables que se deben incluir

Ninguna.

Opciones principales La opción perm hace el cambio permanente, lo cual cambia la memoria predeterminada. Stata iniciará todos los proyectos futuros con esta cantidad de memoria.

Ejemplo set mem 50m, perm

Comando

gen

Función


Opciones principales

Es necesario incluir el nombre de Permite crear una la nueva variable. Se incluyen otras Ninguna. nueva variable. para definir el contenido de la nueva variable.

Ejemplo gen x3 = x2 – x1

Comando drop

Función



Permite eliminar una varia- Las variables que se quiere Ninguna. ble. eliminar.

Ejemplo drop x2 x3

Comando

replace

Función



La variable que se quiere modifiPermite remplazar los car. Se incluyen otras cuando con datos contenidos en Ninguna. base en éstas se va a crear el nuevo una variable. contenido.

Ejemplo gen x3 = 0 replace x3 = x2 – x1


Comando

for var

Función


393


Las variables a las que se Permite repetir el mismo aplica el mismo procediprocedimiento para un Ninguna. miento. X corresponde a la conjunto de variables. variable general.

Ejemplo for var x1 x2 x3: gen X_sq = X^2

Comando

des

Función



Opcionalmente se indica una Muestra la descriplista de variables. Si no se especión de cada variable Ninguna. cifica ninguna, se describen y su formato. todas las disponibles.

Ejemplo des x1 x2 x3 y1 y2 y3

Comando

sum

Función


Opcionalmente se indica Presenta un resumen una lista de variables. Si de estadísticas descripno se especifica ninguna, tivas de las variables se muestra una tabla para especificadas. todas las disponibles.

Opciones principales La opción detail hace que se presenten estadísticas adicionales.

Ejemplo sum x1 x2 x3, detail

Comando

tab

Función



La opción missing hace que se presenten los valores no disponiMuestra una tables. bla con las fre- La variable cuali- La opción gen (a) crea una variacuencias de una tativa. ble binaria para cada categoría. variable discreta. El valor en paréntesis (a) corresponde a un sufijo que tendrán las variables creadas.

Ejemplo tab x1, missing gen(a)

394


Comando tab


Función


Muestra una tabla de frecuencias Las variables cuaNinguna. cruzadas para dos variables discretas. litativas.

Ejemplo tab x1 x2

Comando display

Función


Muestra el resultado de Ninguna. un cálculo matemático.

Opciones principales Ninguna.

Ejemplo display 125*2

Comando

corr

Función


Calcula una matriz Las variables para de correlación o de las que se desee covarianza entre dos calcular la matriz. variables.

Opciones principales La opción cov hace que se presente la matriz de varianzacovarianza. Sin esta opción Stata presenta la matriz de correlaciones.

Ejemplo corr x1 x2, cov

Comando

reg

Función


Estima una La variable dependienregresión por te seguida de las variaMCO. bles independientes. Incluir constante al final si se utiliza la opción hascons.

Opciones principales La opción nocons hace que se realicen las estimaciones sin constante. La opción hascons hace que use una constante escogida por el usuario. La opción robust hace que se estime la varianza con el estimador de White.

Ejemplo reg y x1 x2 x3, robust


Comando

predict


Función

395


La opción resid hace que el Predice los valo- Una nueva variable que programa calcule los errores res ajustados o guarde los valores ajusen lugar de los valores estilos errores de un tados. mados de la variable depenmodelo. diente.

Ejemplo reg y x1 x2 x3 predict, resid

Comando ssc install


Función Instala un componente adicional.

Ninguna.


Ejemplo ssc install ivreg2 ssc install hprescott

A.3. Especificación, endogenidad y simultaneidad Comando estat ovtest

Función



Ejecuta una prueba Ninguna. El comando únicamente Ninguna. RESET de Ramsey. es válido después de una regresión.

Ejemplo reg y x1 x2 x3, robust estat ovtest

Comando

ivreg

Función



Estima una regresión por MC2E.

La variable dependiente seguida de las variables independientes. Las variables endógenas se presentan en paréntesis igualadas a sus respectivos instrumentos. Incluir una constante al final en caso de que se utilice la opción hascons.

La opción first hace que adicionalmente se presente la primera etapa del modelo. La opción nocons hace que se realicen las estimaciones sin constante. La opción hascons hace que se use una constante escogida por el usuario. La opción robust hace que se estime la varianza con el estimador de White.

Ejemplo ivreg y x1 x2 (x3 = z1), first robust

396


Comando

ivreg2

Función



Estima una regresión por MC2E y presenta pruebas adicionales.

La variable dependiente seguida de las variables independientes. Las variables endógenas se presentan en paréntesis igualadas a sus respectivos instrumentos. Incluir una constante al final en caso de que se utilice la opción hascons.

La opción first hace que adicionalmente se presente la primera etapa del modelo. La opción nocons hace que se realicen las estimaciones sin constante. La opción hascons hace que se use una constante escogida por el usuario. La opción robust hace que se estime la varianza con el estimador de White.

Ejemplo Ivreg2 y x1 x2 (x3 = z1), first robust

Comando

reg3

Función

Estima un modelo de ecuaciones simultáneas.



Indicar una por una las diferentes ecuaciones del modelo en paréntesis. En cada ecuación se escribe la variable dependiente en primer lugar seguida de las independientes.

Las opciones ols, 2sls y sure obligan al comando a realizar las estimaciones por MCO, MC2E o SUR. La opción first obliga al programa a presentar la primera etapa del modelo. Las opciones nocons y hascons se utilizan dentro de cada ecuación para que se realicen las estimaciones sin constante o con una constante determinada. Las opciones endog y exog permiten especificar las variables endógenas y exógenas.

Ejemplo reg3 ( y1 x1 x2 x3) ( y2 x4 x5) ( y3 x1 x5, nocons), endog (y1, y2, y3)

Comando

sureg

Función

Estima un modelo SUR.



Indicar una por una las diferentes ecuaciones del modelo en paréntesis escribiendo cada ecuación de la manera convencional.

Las opciones nocons y hascons se utilizan dentro de cada ecuación para que se realicen las estimaciones sin constante o con una constante determinada. La opción constraints(constraints) permite especificar restricciones. La opción small se utiliza para muestras pequeñas.

Ejemplo sureg ( y1 x1 x2 x3) ( y2 x4 x5)


Comando est store

Función


397


Guarda el conjunto de Ninguna. El comando únicaNinguna. estimadores de una mente es válido después de regresión. una regresión.

Ejemplo reg y x1 x2 x3 est store MCO

Comando

hausman

Función

Ejecuta una prueba de Hausman.



La opción sigmamore obliga al programa a calcular los errores Los estimadores obteestimados a partir del modelo nidos en las regresiode MCO; recomendada para nes de MC2E y MCO. una prueba de endogenidad de Hausman.

Ejemplo reg y x1 x2 x3 est store MCO ivreg y x1 x2 (x3 = z1) est store MC2E hausman MC2E MCO, sigmamore

Comando

overid

Función



La opción chi2 obliga al programa a calcular la prueba 2 usando una F . Es la opción Ninguna. El comando por defecto. Ejecuta una prueba únicamente es válido La opción f obliga al programa de restricciones después de una regre- a calcular la prueba usando sobreidentificadas. sión. una pseudo-F. La opción all hace que se reporten cinco versiones del estadístico automáticamente.

Ejemplo ivreg y x1 x2 (x3 = z1) overid, all

398


A.4. Modelos de probabilísticos: lineal, probit y logit Comando

probit

Función

Estima un modelo probit.



La opción nocons hace que se realiLa variable dependiente cen las estimaciones sin constante. binaria seguida de las va- La opción robust hace que se riables independientes. estime la varianza con el estimador de White.

Ejemplo probit y x1 x2 x3

Comando

logit

Función

Estima un modelo logit.



La opción nocons hace que se realiLa variable depencen las estimaciones sin constante. diente binaria seguida La opción robust hace que se de las variables indeestime la varianza con el estimapendientes. dor de White.

Ejemplo logit y x1 x2 x3

Comando

mfx

Función

Estima los efectos marginales.



La opción varlist(x1 x2) hace que se calculen los efectos marginales únicamente para las variables x1 Ninguna. El comando y x2. únicamente es válido Las opciones eyex, dyex y eydx después de una regrese utilizan para especificar que sión. se desean elasticidades de la forma w(lny)/w(lnx), w(y)/w(lnx) o w(lny)/w(x), respectivamente.

Ejemplo logit y x1 x2 x3 mfx


Comando

ivprobit

Función

Estima un modelo probit con variables independientes continuas endógenas.


La variable dependiente seguida de las variables independientes. Las variables endógenas se presentan en paréntesis igualadas a sus respectivos instrumentos.

399

Opciones principales La opción twostep indica que se desea que se realicen las estimaciones en dos etapas. Si no se especifica, las estimaciones se realizarán directamente mediante máxima verosimilitud. La opción first obliga al programa a presentar la primera etapa del modelo. Sólo funciona si se realizaron las estimaciones por twostep. La opción robust hace que se estime la varianza con el estimador de White.

Ejemplo ivprobit y (x1 = z1) x2 x3

Comando

biprobit

Función



Estima un modelo probit bivariado.

Indicar una por una las diferentes ecuaciones del modelo en paréntesis. En cada ecuación se escribe la variable dependiente en primer lugar seguida de las independientes.

La opción nocons se utiliza dentro de cada ecuación para indicar que se desea que se realicen las estimaciones sin constante. La opción robust hace que se estime la varianza con el estimador de White.

Ejemplo biprobit ( y1 x1 x2 x3) ( y2 x4 x5)

400


A.5. Series de tiempo Comando

tsset


Función Declara una base de datos como serie de tiempo.


Las opciones daily, weekly, monthly, Una variable que quarterly, halfyearly y yearly permiregistre el paso del ten especificar la frecuencia en que tiempo. se encuentran los datos.

Ejemplo tsset year, yearly

Comando

tsline


Función Realiza una gráfica de una o más variables con respecto al tiempo.


Las variables que se quiera graficar. Todas se mostra- Ninguna. rán simultáneamente en un mismo gráfico.

Ejemplo tsline y1 x1

Comando

hprescott

Función



La opción stub(a) especifica que las nuevas series se guardarán en una Calcula el filtro variable con el sufijo a. Para este de Hodrick y Las variables de comando siempre es necesario usar Prescott para interés. esta opción. una variable. La opción smooth define el parámetro de atenuación.

Ejemplo hprescott y, stub(a) smooth(6.25)

Comando

tssmooth

Función


Calcula una nueva serie mediante una metodología de atenuación.

En primer lugar es necesario incluir el tipo de atenuación que se desea realizar. ma corresponde a un promedio móvil, exponential a una atenuación simple, dexponential a una atenuación doble y hwinters y shwinters a atenuaciones Holt-Winters. Adicionalmente es necesario añadir el nombre de una nueva variable donde se guardará la serie atenuada. Por último se añade la variable que se atenuará después de un signo de igualdad.

Ejemplo tssmooth dexponential y_ad=y


La opción coef(a,b) especifica los parámetros.


Comando

dfuller


Función

401


La opción trend incluye una tendencia en la prueba. La opción regress muestra la tabla de Ejecuta una regresión. prueba DF Las variables de La opción lags(a) especifica el número de de estaciona- interés. rezagos. riedad. La opción drift incluye un término de desviación. La opción nocons elimina la constante.

Ejemplo dfuller y, trend Comando ac

Función

Variables a Incluir


Muestra un gráfico de Las variables de interés. Ninguna. autocorrelación simple.

Ejemplo ac y

Comando pac


Función Muestra un gráfico de autocorrelación parcial.

Las variables de interés.


Ejemplo pac y

Comando corrgram


Función

Muestra una tabla de correLas variables de interés. laciones.


Ejemplo corrgram y x1 x2

Comando

arima

Función

Estima un modelo ARIMA.



La opción arima(p,i,q) especifica el número de términos autorregresivos, de media móvil y el orden de integración. Las variables de La opción sarima(p,i,q,s) especifica el interés. número de términos autorregresivos, de media móvil, el orden de integración y la periodicidad estacional.

Ejemplo arima y, arima(1,0,1) arima y, arima(1,0,1) sarima(0,0,1,12)

402


Comando armaroots

Función



Muestra las raíces del Ninguna. El comando únicamente polinomio caracterís- es válido después de una regresión Ninguna. tico. ARMA.

Ejemplo Armaroots

Comando tsappend

Función


Adiciona períodos para el pronóstico Ninguna. en la base de datos.

Opciones principales La opción add(a) permite especificar cuántos períodos adicionar.

Ejemplo tsappend, add(a)

Comando Rmse

Función



La opción est usa la misma muestra Calcula la La serie inicial y la y los mismos grados de libertad en RCPSEC. serie pronosticada. la última regresión.

Ejemplo Rmse y yhat

Comando inequal7

Función



Calcula el coefi- La serie pronosticada ponderada Ninguna. ciente de Theil. por la variable original.

Ejemplo inequal7 yhat (weight=y)

Comando wntestq

Función



Ejecuta una prueba La opción lags(a) especifica de normalidad de los La serie de interés. el número de rezagos. errores.

Ejemplo arima y, arima(1,0,1) predict e, resid wntesq e


Comando


Función

Ejecuta una prueba de La serie de interés. normalidad Jarque-Bera.

jb

403


Ejemplo arima y, arima(1,0,1) predict e, resid jb e

Comando wntestb


Función

Ejecuta una prueba de normalidad de La serie de interés. los errores.

Opciones principales La opción table indica que se desea obtener una tabla y no una gráfica.

Ejemplo arima y, arima(1,0,1) predict e, resid wntesb e

Comando

estat durbinalt


Función


Ejecuta una prueba de Ninguna. El comando únicaautocorrelación a los mente es válido después de Ninguna. modelos autorregreuna regresión. sivos.

Ejemplo reg y x1 x2 y_1 estat durbinalt

A.6. Datos longitudinales Comando

xtset

Función

Declara una base de datos como una base de datos longitudinales.



Una variable que registre el paso del tiempo. Una variable que identifique a cada individuo.

La opción chi2 obliga al programa 2 a calcular la prueba usando una F . Es la opción por defecto. La opción f obliga al programa a calcular la prueba usando una pseudo-F. La opción all hace que se reporten cinco versiones del estadístico automáticamente.

Ejemplo xtset id year

404


Comando

xtreg


Función


La opciones fe, re y be hacen que se estimen modelos por efectos en el La variable depenEstima un mointerior del grupo, efectos aleatorios diente seguida de delo de datos y efectos entre grupos. las variables indelongitudinales. Para efectos fijos o aleatorios la pendientes. opción robust hace que se estime la varianza con el estimador de White.

Ejemplo xtreg y1 x1 x2 x3, fe

Comando est store

Función



Ninguna. El comando únicaGuarda el conjunto de estimente es válido después de Ninguna. madores de una regresión. una regresión.

Ejemplo xtreg y x1 x2 x3, fe est store FE

Comando xttest0

Función



Ejecuta una prueba de Ninguna. El comando únicaBreuch y Pagan para mente es válido después de una Ninguna. efectos aleatorios. regresión por efectos aleatorios.

Ejemplo xtreg y x1 x2 x3, re xttest0

Comando

hausman

Función


Indicar la variable que guarda los estiEjecuta una madores obtenidos prueba de en las regresiones Hausman. de EF y EA (en ese orden).

Opciones principales La opción sigmamore obliga al programa a calcular los errores estimados a partir del modelo de MCO; recomendada para una prueba de endogenidad de Hausman. La opción constant obliga al programa a incluir la constante en la comparación.

Ejemplo xtreg y x1 x2 x3, re est store RE ivreg y x1 x2 x3, fe est store FE hausman FE RE

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ÍNDICE TEMÁTICO

autocorrelación residual 309 bondad de ajuste 120 Box-Jenkins 193, 215, 232 causalidad de Granger 299, 310 ciclo 164 cointegración 299, 314 componente irregular 166 condición de orden 71 de rango 72 datos de corte transversal agrupados 337, 338, 339 en panel 359, 360 desestacionalización 233 ecuaciones simultáneas 66, 74 efectos aleatorios 366 fijos 365 marginales 119 endogeneidad 1, 16, 21, 25, 122, 369 ergodicidad 200 errores de medición 4, 18 de muestreo 4 especificación 1, 2, 3, 7, 13 estacionalidad 165, 233 estacionariedad 200, 202, 203 estimador de diferencias en diferencias 337, 346

filtro de Hodrick y Prescott 168 forma funcional incorrecta 6 identificación 70 máxima verosimilitud 115, 228 método Yule-Walker 226 modelo Almon 308 ARIMA 215, 217, 225, 235 autorregresivo 299, 302 de ajuste parcial 307 de atenuación exponencial 173 de efectos entre grupos 364 de efectos fijos al interior de grupos 372 de efectos fijos por primeras diferencias 371 de expectativas adaptativas 306 de Koyck 304 de mínimos cuadrados agrupados 339 de mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E) 21, 75 de mínimos cuadrados en tres etapas (MC3E) 76 de mínimos cuadrados indirectos 74 de mínimos cuadrados no lineales 227 de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) 1, 68

411

412


de probabilidad lineal 108, 109 de rezagos distribuidos 299, 302 de tendencia determinística 168 Logit 107, 111, 113 Probit 107, 111, 114 SARIMA 232 SURE 77 omisión de variables 5, 16, 121 operador de rezago 301 problema de simultaneidad 66 prueba de Breusch-Pagan 375 de Chaw 340 de Hausman 25, 69, 376 de Sargan 28 Dickey y Fuller 208 J de Davidson y MacKinnon 9 multiplicador de Lagrange 11 Reset de Ramsey 7 pseudo-R2 120

regresiones concurrentes 342 no similares 344 ruido blanco 200, 202 selección 19 series de tiempo 159, 160, 161 simultaneidad 17, 66 supuesto de especificación correcta 1, 2 de homoscedasticidad 1 de independencia condicional 1 de no correlación serial 1 de no multicolinealidad 1 de normalidad 1 tendencia 163 variable dependiente 1 variables aproximativas 14, 23 independientes 1 independientes redundantes 6 instrumentales 19, 373 rezagadas 300

Fundamentos de econometría intermedia: teoría y aplicaciones se terminó de imprimir y encuadernar en enero de 2013 en Bogotá, D. C., Colombia. Se compuso en la fuente Palatino de cuerpo 10,5 puntos.

Fundamentod de Econometria Intermedia

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