. Historia de los sistemas de ecuaciones ecuaciones lineales.
Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios , los cuales llamaban a las l as incógnitas con palabras tales como longitud, l ongitud, anchura, área, o volumen , sin que tuvieran relación con problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos: té rminos: !" anchura # longitud $ % manos longitud # anchura $ & manos 'ambién 'ambién resolv(an sistemas de ecuaciones, ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática. Los griegos también resolv(an algunos sistemas de ecuaciones, pero utii)ando métodos geométricos. Thymaridas *"&& a. de +. hab(a
encontrado una fórmula para resolver resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Diophante resuelve también problemas en los que aparec(an sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal. Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. -o obstante, no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones. l libro El arte matemático , de autor chino desconocido *siglo /// a. de +., contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. n ellos encontramos un esbo)o del método de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial.
HISTORIA SISTEMA DE ECUACIONES 2X2 Antigedad
n el siglo 01/ 2.+. los egipcios resolbian problemas cotidianos que ten(an que ver con la repartición repartición de v(veres, de cosechas y de materiales que eran equivalentes a resolver ecuaciones algebraicas simples de primer grado como la notación algebraica no e3ist(a usaban un método iterativo apro3imado llamado 45'676 7 L2 L 2 82L92 82L92 69/+/;-. l matemático griego diofanto de alejandria publico su arimetria en el siglo /// tratando las ecuaciones de primer y segundo grado< fue uno de los primeros en utili)ar s(mbolos para representar las ecuaciones.
9iglos 01=01/
asada la edad oscura medieval, el estudio de las ecuaciones algebraicas e3perimentan un gran s(mbolo. n el siglo 01 estaban a la orden del d(a los desaf(os matemáticos p>blicos, con premios al vencedor as un desa?ó famoso enfrento a dos matemáticos a resolver ecuaciones el vencedor fue niccolo fontana tartana e3perto algebrista. n el mismo siglo el matemático francés rene descartes populari)o la notación algebraica moderna, iniciales del alfabeto 2, @, +..... y las variables por la ultimas 0, A, B... n esta época enuncian problemas de ecuaciones que solo han sido resueltos actualmente , algunos que son recientemente se han resuelto < entre ellos tenemos el ultimo teorema de fermat uno de los teoremas mas famosos de la matemáticas, que no fue demostrado hasta CCD por andreE Eiles y richard taylor.
siglos 01// = 01/// -eEton y leibri) publican los primeros métodos de resolución de las ecuación diferenciales que aparesen en los problemas de dinámica. probablemente de a dinámica. probablemente el libro grado de grabiele manfred) *%&%. 7urante el siglo 01/// matemáticos ilustres como leonhard eurler, danieh bernolli , joseph lagrange y pierre laplace publican resultados sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivada parciales. época moderna a pesar de todos los esfuer)os de las épocas anteriormente ecuaciones algebraicas de quinto grado y superiores se resistieron a ser resueltas< solo se consiguió en casos particulares, pero no se encontraba una solución general. a pFprincipios del siglo 0/0 niels henriG abel demostró que hay ecuaciones no resulbes< en particular mostró que no e3iste una formula general para resolver la ecuación de quinto grado acto seguido evariste galois demostró utili)ando su teor(a de grupos, que lo mismo puede a?rmarse de toda ocupación de grado igual o superior cinco.
ya en el siglo 0/0 la ciencias sigue ampliando un campo de acción< schrodinger pauli y dirac formulan ecuaciones diferenciales con funciones complejas para la mecánica acuantiar. instein utili)a ecuaciones tensoriales para su relatividad general. las ecuaciones diferenciales tiene también un amplio campo de aplicación de teor(a económica.
H/9'6I/2 7 L69 9/9'429 7 +U2+/6-9 L/-2L9 Los egipcios nos dejaron en sus papiros *sobre todo en el de Ihid =.JD& a. de += y el de 4osc> =.KD& a, de +.= multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayor(a de ellos son de tipo aritmético y respond(an a situaciones concretas de la vida diaria< sin embargo, encontramos algunos que podemos clasi?car como algebraicos, pues no se re?ere a ning>n objeto concreto. n éstos, de una forma retórica, obten(an una solución reali)ando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones. Los babilonios *el mayor n>mero de documentos corresponde al periodo J&& a. de +. a && d. de +. casi no le prestaron atención a las ecuaciones lineales, qui)ás por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado. Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, e3ceptuando a 7iophante *MD& d. de +., no se dedicaron mucho al álgebra, pues su preocupación era mayor por la geometr(a. 9obre la vida de 7iophante aparece en los siglos 1 o 1/ un epigrama algebraico que constituye una ecuación lineal. Los griegos también resolv(an algunos sistemas de ecuaciones, pero utii)ando métodos geométricos. 'hymaridas *"&& a. de +. hab(a encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de un ecuaciones con n incógnitas. 7iophante resuelve también problemas en los que aparec(an sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal. Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. -o obstante, no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones. l libro l arte matemático , de autor chino desconocido *siglo /// a. de +., contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. n ellos encontramos un esbo)o del método de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial.
Álgebra
Algunos antecedentes históricos Desde el siglo XVII aC. los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones de primero y segundo grado. Además resolvían también algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos inc!gnitas
"n el siglo XVI aC. los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental #ue usaron para resolver problemas cotidianos #ue tenían #ue ver con la repartici!n de víveres de cosec$as y de materiales. %a para entonces tenían un método para resolver ecuaciones de primer grado #ue se llamaba el &método de la 'alsa posici!n&. (o tenían notaci!n simb!lica pero utili)aron el *eroglí'ico hau +#ue #uiere decir mont!n o pila, para designar la inc!gnita.
Alrededor del siglo I dC. los matemáticos c$inos escribieron el libro Jiu zhang suan shu ( que significaEl Arte del cálculo) en el #ue plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones de primero y segundo grado así como sistemas de dos ecuaciones con dos inc!gnitas. Con su ábaco +suan zí , tenían la posibilidad de representar n-meros positivos y negativos.
"n el siglo II el matemático griego (ic!maco de erasa public! su Introducción a la Aritmética y en ella e/puso varias reglas para el buen uso de los n-meros.
"n el siglo III el matemático griego Dio'anto de Ale*andría public! su Aritmética en la cual por primera ve) en la $istoria de las matemáticas griegas se trataron de una 'orma rigurosa no s!lo las ecuaciones de primer grado sino también las de segundo. Introdu*o un simbolismo algebraico muy elemental al designar la inc!gnita con un signo #ue es la primera sílaba de la palabra griega arithmos #ue signi'ica n-mero. 0os problemas de álgebra #ue propuso prepararon el terreno de lo #ue siglos más tarde sería &la teoría de ecuaciones&. A pesar de lo rudimentario de su notaci!n simb!lica y de lo poco elegantes #ue eran los métodos #ue usaba se le puede considerar como uno de los precursores del álgebra moderna.
"n el siglo VII los $ind-es $abían desarrollado ya las reglas algebraicas 'undamentales para mane*ar n-meros positivos y negativos.
1iglo IX. 2poca en la #ue traba*! el matemático y astr!nomo musulmán Al345ari)mi cuyas obras 'ueron 'undamentales para el conocimiento y el desarrollo del álgebra. Al 3 45ari)mi investig! y escribi! acerca de los n-meros de los métodos de cálculo y de los procedimientos algebraicos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. 1u nombre latini)ado dio origen a la palabra algoritmo #ue usada primero para re'erirse a los métodos de cálculos numéricos en oposici!n a los métodos de cálculo con ábaco ad#uiri! 'inalmente su sentido actual de &procedimiento sistemático de cálculo&. "n cuanto a la palabra álgebra deriva del título de su obra más importante #ue presenta las reglas 'undamentales del álgebra Al-abr !al muqabala"
Con el paso de los siglos los matemáticos reconocieron #ue la obra de Al 3 45ari)mi era tan importante #ue se $icieron varias traducciones al latín #ue era el idioma en el
#ue se escribía la ciencia en la "uropa de esa época. 6ara 'inales del siglo XVI nadie tenía dudas ya7 Al 3 45ari)mi era el verdadero padre del álgebra. "n el siglo X vivi! el gran algebrista musulmán Abu 4amil #uien continu! los traba*os de Al345ari)mi y cuyos avances en el álgebra serían aprovec$ados en el siglo XIII por el matemático italiano 0eonardo de 6isa me*or conocido como 8ibonacci. Durante este mismo siglo el matemático musulmán Abul 9a'a al Bu*)ani $i)o comentarios sobre los traba*os de Dio'anto y Al345ari)mi y gracias a ellos los europeos conocieron la Arithmetica de Dio'anto.
"n :;<; después de via*ar al norte de ='rica y a >riente donde aprendi! el mane*o del sistema de numeraci!n indoarábigo 8ibonacci public! el #iber Abaci ($ratado del %baco) obra #ue en los siguientes tres siglos 'ue la 'uente principal para todos a#uellos estudiosos de la aritmética y el álgebra.
"n el siglo XV el matemático 'rancés (icolás C$u#uet introdu*o en "uropa occidental el uso de los n-meros negativos introdu*o además una notaci!n e/ponencial muy parecida a la #ue usamos $oy en día en la cual se utili)an indistintamente e/ponentes positivos o negativos.
"n :?@ el matemático alemán o$ann 9idmann d"ger invent! los símbolos && y &3& para sustituir las letras &p& y &m& #ue a su ve) eran las iniciales de las palabras &iu +más, y minus +menos, #ue se utili)aban para e/presar la suma y la resta.
"n :E;E el matemático alemán C$ristop$ Fudol'' introdu*o el símbolo de la raí) cuadrada #ue usamos $oy en día7 "ste símbolo era una 'orma estili)ada de la letra &r& de radical o raí).
"ntre :E?E y :EG< los matemáticos italianos irolamo Cardano y Fa'ael Bombelli se dieron cuenta de #ue el uso de los n-meros imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones de segundo tercero y cuarto grado.
"n :EEH el matemático inglés Fobert Fecorde invent! el símbolo de la igualdad .
"n :E: el matemático 'rancés 8ranJois ViKte desarroll! una notaci!n algebraica muy c!moda representaba las inc!gnitas con vocales y las constantes con consonantes.
"n :GLH el matemático 'rancés Fené Descartes 'usion! la geometría y el álgebra inventando la &geometría analítica&. Invent! la notaci!n algebraica moderna en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del al'abeto a b c y las variables o inc!gnitas por las -ltimas / y ). Introdu*o también la notaci!n e/ponencial #ue usamos
$oy en día.
"n la $istoria de las matemáticas se le dan créditos al matemático sui)o 0eon$ard "uler+:H
Historia de las Ecuaciones
7esde el siglo 01// a+ los matemáticos de 4esopotámia y de @abilonia ya sab(an resolver n el siglo 01/ a+. los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para re materiales. Aa para entonces ten(an un método para resolver ecuaciones de primer grado jerogl(?co hau *que quiere decir montón o pila para designar la incógnita. 2lrededor del siglo / d+. los matemáticos chinos escribieron el libro Oiu )hang suan shu * qu Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y, e3ceptuand hemos visto, mayor por la geometr(a. n el siglo /// el matemático griego 7iofanto de 2lejandr(a publicó su 2ritmética en la cual, ecuaciones de primer grado. /ntrodujo un simbolismo algebraico muy elemental al designa n>mero. Los problemas de álgebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos más poco elegantes que eran los métodos que usaba, se le puede considerar como uno de los l planteamiento de ecuaciones en matemáticas responde a la necesidad de e3presar sim
9obre la vida de 7iophante aparece en los siglos 1 o 1/ un epigrama algebraico que constit este sabio griego. !Transe"nte#$ en esta tum%a &acen los restos de Dio'anto. De la lectura de este t des)u-s transcurri, una docea+a )arte asta /ue su me0illa se cu%ri, de +ello. 1 tarde tu+o lugar el nacimiento de su )rimog-nito$ /ue muri, al alcan3ar la mitad su i0o$ Dio'anto muri,. De todo esto$ dime cu*ntos aos +i+i, Dio'anto.
En DD% el matemático inglés Iobert Iecorde inventó el s(mbolo de la igualdad, $. En DC el matemático francés 8ranPois 1iQte desarrolló una notación algebraica muy cóm
Un )oco m*s de Historia
La forma de escribir y resolver las ecuaciones es bastante moderna, pero el origen de los p 2rqueólogos, historiadores y matemáticos, formando equipos de trabajo, estudiaron a las c ellas. La primera fase, que comprende el periodo de %&& a. de +. a %&& d. de +., se caracteri) encontramos un álgebra desarrollada por los griegos *&& a. de +., llamada álgebra geom notación simbólica asociada a 1itte *D"&=J&, marca el inicio de una nueva etapa en la momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuacion distintas clasesN *cálculos con n>meros racionales enteros, fracciones ordinarias, ra(ces cu de la ecuación a3 # b $ c han pasado mas de .&&& aRos. Los egipcios nos dejaron en s problemas matemáticos resueltos. La mayor(a de ellos son de tipo aritmético y responden como algebraicos, pues no se re?ere a ning>n objeto concreto. n estos, de una forma retó resolvemos dichas ecuaciones. Las ecuaciones mas utili)adas por los egipcios eran de la fo 3 # a3 $ b 3 # a3 # b3 $ & 7onde a, b y c eran n>meros conocidos y 3 la incógnita que ellos denominaban aha o m NUn montón y un séptimo del mismo es igual a M"N. n notación moderna, la ecuación será:
3 # ! % 3 $ M"
La solución la obten(a por un método que hoy conocemos con el nombre de Nmétodo de la se veri?ca la igualdad ya tenemos la solución, si no, mediante cálculos obtendremos la sol Seneralmente, el cálculo de la solución correcta no era tan fácil como en este caso e impli dominaban los egipcios. n cuanto el simbolismo, solamente en algunas ocasiones utili)ab la suma y resta, respectivamente. Los babilonios *el mayor n>mero de documentos corres qui)ás por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron más los sistemas de ecuaci ecuación D3 $ K. n las tablas en base se3agesimal hallaban el reciproco de cinco que era Los primeros documentos matemáticos que e3isten *datan del siglo /// d. de +. son los 9ul aparece el siguiente problema: THallar el lado de un rectángulo, conociendo el otro lado y sabiendo que su rea es igual al sto es:
s decir, a 3 $ 9 . Lo resolv(an utili)ando el método de la falsa posición, como los egipcios. osteriormente, @rahmagupta *siglo 1// e3presa, ya de forma sincopada, como resolver ec primera silaba de las palabras.