Hidrologia Puente Julio c. Tello

“Diseño

hidrológico para el proyecto: Instalación del Puente Peatonal Julio C. Tello ” Municipalidad Distrital de Paucarpata

DI SE ÑO HI DRO DROLO LOGI GI CO

H i la larr i osE D

Pág.1

Ing. Jorge Hilario Quilla (Cel. 994604595)

“Diseño hidroló gico



1.

1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

2.

2.1.

2.2.

2.3. 2.4. 3.

3.1. 3.2.

para el proyecto: Instalación Instalación del Puente Puente Peatonal Julio C. Tello Tello ” Municipalidad Distrital de Paucarpata

ÍNDICE

CAPITULO I: GENERALIDADES. ................................................................................................ 2

ANCEDENTES .............................................................................................................................................................. 3 UBICACIÓN .................................................................................................................................................................. 3 CLIMA ............................................................................................................................................................................. 4 OBJETIVO ...................................................................................................................................................................... 5 1.4.1. Objetivo general. general. ................................ ................ ................................. ................................. ................................ ................................. ................................. ................................ ................... ... 5 1.4.2. Objetivos específicos. ........................................................................................................................... 5 CAPITULO II: PROPIEDADES DE LA CUENCA. ....................................................................... 6

CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DE LA CUENCA HIDROGRÁFICA. ................ ................................. ................................. ................................ ................ 7 2.1.1. Área de drenaje. ...................................................................................................................................... 7 2.1.2. Perímetro. ................................................................................................................................................... 8 2.1.3. Índice de Gravelius. ................................................................................................................................ 8 2.1.4. Pendiente de la corriente principal. ................................................................................................. 8 2.1.5. Pendiente de la cuenca Criterio de Horn. ................................. ................. ................................. ................................. ................................ ................... ... 9 MÉTODO DEL SCS PARA ABSTRACCIONES. ................................................................................................ 10 2.2.1. Clasificación hidrológica de los suelos. ....................................................................................... 11 2.2.2. Uso y tratamiento del suelo. ........................................................................................................... 12 2.2.3. Condición hidrológica. ....................................................................................................................... 12 2.2.4. Condición de humedad antecedente. ......................................................................................... 13 DETERMINACIÓN DEL TIEMPO DE CONCENTRACIÓN........................................................................... CONCENTRACIÓN........................................................................... 14 RESUMEN DE LAS PROPIEDADES FÍSICAS DE LAS CUENCAS. ............................................................. 15 CAPITULO III: HIDROLOGÍA ESTADÍSTICA ......................................................................... 16

PRECIPITACION O AGUA DE LLUVIA .............................................................................................................. 17 PARTICULARIDADES DEL MODELAMIENTO HIDROLOGICO ................................................................ 17 3.2.1. Registro de precipitaciones ............................................................................................................. 19 3.2.2. Conceptos teóricos del análisis probabilístico ......................................................................... 19 3.2.3. Periodos de retorno y análisis de riesgo de falla en diseño urbano ............................... .......................... ..... 20 3.2.4. Análisis estadístico previo de los datos hidrológicos ............................................................ 21 Análisis de datos dudosos .................................................................................................................................. 22 3.2.5. Predicciones con la distribución Normal (N). ........................................................................... 24 Estimación de parámetros por el método de Máxima verosimilitud. ............................................... 25 Proceso de cálculo para la obtención de la FDA Normal....................................................................... 25 Proceso de cálculo para la estimación de cuantiles. ................................................................................ 25 3.2.6. Predicciones con la distribución Log-Normal de 2 parámetros (LN2). .......................... 26 Estimación de parámetros por el método de Máxima verosimilitud. ............................................... 27 Proceso de cálculo para la obtención de la FDA Log-Normal Log- Normal de 2 parámetros. ......................... 27 Proceso de cálculo para la estimación de cuantiles. ................................................................................ 27 3.2.7. Predicciones con la distribución Log-Normal de 3 parámetros (LN3). .......................... 28 Estimación de parámetros por el método de Máxima verosimilitud. ............................................... 28 Proceso de cálculo para la obtención de la FDA Log-Normal Log- Normal de 3 parámetros. ......................... 29 Proceso de cálculo para la estimación de cuantiles. ................................................................................ 29


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1.

1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

2.

2.1.

2.2.

2.3. 2.4. 3.

3.1. 3.2.


ÍNDICE

CAPITULO I: GENERALIDADES. ................................................................................................ 2

ANCEDENTES .............................................................................................................................................................. 3 UBICACIÓN .................................................................................................................................................................. 3 CLIMA ............................................................................................................................................................................. 4 OBJETIVO ...................................................................................................................................................................... 5 1.4.1. Objetivo general. general. ................................ ................ ................................. ................................. ................................ ................................. ................................. ................................ ................... ... 5 1.4.2. Objetivos específicos. ........................................................................................................................... 5 CAPITULO II: PROPIEDADES DE LA CUENCA. ....................................................................... 6

CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DE LA CUENCA HIDROGRÁFICA. ................ ................................. ................................. ................................ ................ 7 2.1.1. Área de drenaje. ...................................................................................................................................... 7 2.1.2. Perímetro. ................................................................................................................................................... 8 2.1.3. Índice de Gravelius. ................................................................................................................................ 8 2.1.4. Pendiente de la corriente principal. ................................................................................................. 8 2.1.5. Pendiente de la cuenca Criterio de Horn. ................................. ................. ................................. ................................. ................................ ................... ... 9 MÉTODO DEL SCS PARA ABSTRACCIONES. ................................................................................................ 10 2.2.1. Clasificación hidrológica de los suelos. ....................................................................................... 11 2.2.2. Uso y tratamiento del suelo. ........................................................................................................... 12 2.2.3. Condición hidrológica. ....................................................................................................................... 12 2.2.4. Condición de humedad antecedente. ......................................................................................... 13 DETERMINACIÓN DEL TIEMPO DE CONCENTRACIÓN........................................................................... CONCENTRACIÓN........................................................................... 14 RESUMEN DE LAS PROPIEDADES FÍSICAS DE LAS CUENCAS. ............................................................. 15 CAPITULO III: HIDROLOGÍA ESTADÍSTICA ......................................................................... 16

PRECIPITACION O AGUA DE LLUVIA .............................................................................................................. 17 PARTICULARIDADES DEL MODELAMIENTO HIDROLOGICO ................................................................ 17 3.2.1. Registro de precipitaciones ............................................................................................................. 19 3.2.2. Conceptos teóricos del análisis probabilístico ......................................................................... 19 3.2.3. Periodos de retorno y análisis de riesgo de falla en diseño urbano ............................... .......................... ..... 20 3.2.4. Análisis estadístico previo de los datos hidrológicos ............................................................ 21 Análisis de datos dudosos .................................................................................................................................. 22 3.2.5. Predicciones con la distribución Normal (N). ........................................................................... 24 Estimación de parámetros por el método de Máxima verosimilitud. ............................................... 25 Proceso de cálculo para la obtención de la FDA Normal....................................................................... 25 Proceso de cálculo para la estimación de cuantiles. ................................................................................ 25 3.2.6. Predicciones con la distribución Log-Normal de 2 parámetros (LN2). .......................... 26 Estimación de parámetros por el método de Máxima verosimilitud. ............................................... 27 Proceso de cálculo para la obtención de la FDA Log-Normal Log- Normal de 2 parámetros. ......................... 27 Proceso de cálculo para la estimación de cuantiles. ................................................................................ 27 3.2.7. Predicciones con la distribución Log-Normal de 3 parámetros (LN3). .......................... 28 Estimación de parámetros por el método de Máxima verosimilitud. ............................................... 28 Proceso de cálculo para la obtención de la FDA Log-Normal Log- Normal de 3 parámetros. ......................... 29 Proceso de cálculo para la estimación de cuantiles. ................................................................................ 29


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3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 4.

4.1. 4.2.


ÍNDICE

3.2.8. Predicciones con la Distribución Log-Pearson Log- Pearson tipo III (LPIII). ................................ ................ ............................. ............. 29 Estimación de parámetros por el método de Momentos. ..................................................................... 30 Proceso de cálculo para la obtención de la FDA Log-Pearson tipo III. ................................ ................ ............................. ............. 30 Proceso de cálculo para la estimación de cuantiles. ................................................................................ 31 3.2.9. Distribución Gumbel o de Valores Extremos tipo I (EVI). ..................................................... 31 Estimación de parámetros por el método de Momentos. ..................................................................... 32 Proceso de cálculo para la obtención de la FDA Gumbel. ............................... ............... ................................. ................................. ..................... ..... 33 Proceso de cálculo para la estimación de cuantiles. ................................................................................ 33 3.2.10. Pruebas de bondad de ajuste ......................................................................................................... 33 3.2.10.1. Ajuste gráfico. ........................................................................................................................................ 33 Prueba Kolmogorov-Smirnov. .......................................................................................................................... 34 3.2.11. Selección del modelo probabilístico apropiado ................................ ................ ................................. ................................. ..................... ..... 34 3.2.12. Determinación de la Precipitación máxima de 24 horas representativa de la cuenca. ..................................................................................................................................................... 35 CURVAS INTENSIDAD-DURACIÓN-FRECUENCIA (CURVAS I.D.F.) ..................................................... 36 HIETOGRAMA DE DISEÑO PARA PERIODO DE RETORNO DE 250 AÑOS............... ................................ ........................ ....... 36 3.4.1. SUBCUENCA CIUDAD BLANCA ...................................................................................................... 37 TRANSFORMACIÓN LLUVIA ESCORRENTIA ................................................................................................ 38 3.5.1. Hidrograma unitario de la SCS ....................................................................................................... 38 CAUDAL DE DISEÑO. ............................................................................................................................................ 39 CAPÍTULO IV: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................................... 41

CONCLUSIONES...................................................................................................................................................... 42 RECOMENDACIONES............................................................................................................................................ 42

“Diseño

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hidrológico para el proyecto: Instalación del Puente Peatonal Julio C. Tello ” Municipalidad Distrital de Paucarpata

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1: Valores de temperatura en las cercanías del proyecto. Fuente: [SENAMHI]. ........................... 5

Valores del parámetro número de curva para vegetación natural (SCS, 1986. En negrita aparecen los valores añadidos por Smith y Maidment, 1995). Fuente: [Ferrer] . ................................ ................ ........................ ........ 13

Tabla 2:

Tabla 3: Precipitaciones máximas de 24 horas a diferentes periodos de retornos. ................................ ................ .................... 15 Tabla 4: Características de las estaciones Pluviométricas e Hidrométricas (Fuente: Elaboración propia). .................................................................................................................................................................................... 17 Tabla 5: Registros de Pmáx de 24horas (Fuente: SENAMHI). ............................................................................ 19 Tabla 6: Distribuciones de probabilidad más apropiados. ................................. ................. ................................. ................................. ................................ ................ 35 Tabla 7: Precipitaciones máximas de 24 horas a diferentes periodos de retornos. ................................ ................ .................... 35 Tabla 8: Cálculo de los factores de peso, con distancias verticales cuenca Ciudad Blanca. .................. ............... ... 36 Tabla 11: Precipitación máxima de 24 horas representativa para diferentes periodos de retorno cuenca Ciudad Blanca. ....................................................................................................................................................... 36 Tabla 12: Resultados del método de los bloques alternos Subcuenca CIUDAD BLANCA. .................... ............... ..... 37

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para el proyecto: Instalación del Puente Peatonal Julio C. Tello ” Municipalidad Distrital de Paucarpata

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. Suceso hidrológico del 27/01/2017 en las cercanías del proyecto Fuente: La República ................... 3 Figura 2. Suceso hidrológico del 27/01/2017 en las cercanías del proyecto Fuente: El Comercio .................... 3 Figura 3. Zona de ubicación del proyecto Fuente: Earth Google ..................................................................................... 4 Figura 4. Posición normal del Alta de Bolivia. Fuente: (SENAMHI). ............................................................................... 5 Figura 5. Pendiente del cauce por compensación de áreas. Fuente: Adaptado de [Villón, 2002]. .................... 9 Figura 6. La cuenca como un sistema hidrológico. ............................................................................................................. 15 Figura 7. La cuenca como un sistema hidrológico. Fuente: [Chow et al.,1994] ....................................................... 18 Figura 8. Prueba de datos dudosos estación La Pampilla (outlier)............................................................................... 23 Figura 9. Prueba de datos dudosos estación de Chiguata (outlier). ............................................................................ 23 Figura 10. Comparativo de registros de Pmáx de 24 horas de las considerados. .................................................. 24 Figura 11. Hietograma de diseño, asociado a un periodo de retorno de 150 años y un tiempo de duración de la tormenta de 120 min, Subcuenca CIUDAD BLANCA. .......................................................................... 37 Figura 12. Hidrograma Unitario Fuente: [Chow]. ................................................................................................................. 38 Figura 13. Modelamiento Hidrológico STORM AND SANITARY ................................................................................... 39 Figura 14. Hidrograma de diseño subcuenca CIUDAD BLANCA ................................................................................... 39 Figura 15. Resultados obtenidos del software STORM AND SANITARY .................................................................... 40



ÍNDICE DE ANEXOS

ANEXO I. DATOS DE HIDROLOGICOS ANEXO II. HIDROLOGIA ESTADISTICA ANEXO III. LLUVIA DE DISEÑO ANEXO IV. HIDROGRAMA DE DISEÑO


1.


CAPI TULO I : GE NE RALI DADE S.


1.1.


ANCEDENTES

Entre los meses de enero, febrero y marzo, del año 2017 en nuestro país, desde la región sur hasta el norte; los que vivimos en estas tierras, estuvimos viviendo y resistiendo los embates de la naturaleza. Lo dicho anteriormente ante situaciones de comportamiento bipolar tales como las sequías y las máximas avenidas (eventos extremos). Lo primero se evidencia por la falta del líquido elemento y los segundo por los diversos huaycos e inundaciones. Lo dicho anteriormente requiere que las autoridades políticas y las empresas privadas, deban pensar en proyectos orientados a resolver problemas de recursos hídricos y eventos extremos, el primero con miras a mejorar la disponibilidad hídrica en calidad y oportunidad para los agricultores, y el segundo para generar proyectos que protejan las infraestructuras de puentes ante peligros de máximas avenidas.

Figura 1. Suceso hidrológico del 27/01/2017 en las cercanías del proyecto Fuente: La República

Figura 2. Suceso hidrológico del 27/01/2017 en las cercanías del proyecto Fuente: El Comercio

Es, en este marco que el cliente la Municipalidad Distrital de Paucarpata conocedor del comportamiento hidrológico de esta zona de país y de los últimos sucesos del 27 de enero del 2017 en las cercanías del proyecto, contrata los servicios del HilariosED para realizar el estudio de Máximas Avenidas para diseño hidrológico y determinación del caudal Máximo a diferentes periodos de retorno, con miras a diseñar de manera correcta la infraestructura del puente peatonal Julio C. Tello. Para lograr el objeto mencionado en el último párrafo es importante dividir el trabajo en dos espacios, diseño hidrológico (determinación de caudales de ingreso al sistema) y diseño hidráulico para determinación del Nivel Aguas Máximas Extraordinarias y su respectivo nivel de socavación. 1.2.

UBICACIÓN

El emplazamiento del proyecto se encuentra en cercanías del colegio Julio C. Tello en el sector de Ciudad Blanca, ubicado en el Distrito de Paucarpata, Provincia y Departamento de Arequipa. Aproximadamente e ntre las

siguientes coordenadas (Datum WGS 84 zona 19 sur): 

E-1: 233702.20 m E, 8183306.77 m S



Figura 3. Zona de ubicación del proyecto Fuente: Earth Google

1.3.

CLIMA

Las características climáticas e hidrológicas de la región Arequipa y en particular de la ciudad de Arequipa, están gobernadas principalmente por los siguientes factores: 

Anticiclón del Pacífico Sur:

Centro de alta presión situado aproximadamente a 30°S, frente a las Costas de Chile, ejerce gran influencia sobre la Costa Occidental de América del Sur, especialmente de Mayo a Octubre. Durante el verano se encuentra ubicado a 33°S con 93°O. En invierno el centro es más amplio y se localiza a 27°S y entre los 95° a 100°O, con intensidades algo más bajas que las de verano (SENAMHI). 

Corriente Peruana:

La corriente peruana es también conocida como la corriente de Humboldt, en honor a su descubridor. Normalmente viene contorneando las costas del Perú de Sur a Norte, este fenómeno hace que las capas superficiales del mar sean frías, en pleno dominio del área tropical. Lo que motiva una evaporación muy restringida que limita la producción de nubes, produciendo gran estabilidad atmosférica, así como la casi completa escasez de lluvias en la región de la Costa, excepto para la costa norte que llueve en verano [Chávez, 1994]. Según Chereque [1989], “La Corriente Fría de Humboldt, es un fenómeno dinámico del Pacífico que ha tenido, y tiene, papel preponderante en la modificación del que debería ser un “lógico” clima costero, porque: Restringe fuertemente, al enfriar el agua, las tasas de evaporación desde el Pacífico, reduciendo proporcionalmente los posibles volúmenes de lluvia potencial; y Al enfriar a las capas de aire en contacto con el espejo de agua, reduce considerablemente el poder de ascender de esa masa de aire, cuya pequeña humedad suele condensarse a poca altura formando las nieblas costeras, que alimentan a las llamadas lomas o pastizales efímeros." 

Alta de Permanente de Bolivia:

Es un sistema de alta presión (anticiclón) que se localiza aproximadamente a los 12 km de altura, ubicado entre los 12º y 13°S y los 65º y 68°O, generalmente se acerca al sur peruano sólo en el verano, provocando las lluvias en las zonas alto andinas de la región Arequipa.



Figura 4. Posición normal del Alta de Bolivia. Fuente: (SENAMHI).

La interacción de estos fenómenos con la Cordillera de los Andes determina que las condiciones climáticas en la costa y cordillera occidental de la región Arequipa tengan climas áridos y semiáridos [Ministerio del Ambiente, 2010]. Según el SENAMHI se registraron temperaturas máximas con valores entre 18.4 y 25.8 °C; las mínimas mostraron un comportamiento con valores entre 5.4 y 10.3 °C.

Tabla 1: Valores de temperatura en las cercanías del proyecto. Fuente: [SENAMHI].

1.4.

OBJETIVO

1.4.1.

Objetivo general.

Realizar estudio de hidrológico de máximas avenidas para el punto de interés del proyecto “ Diseño hidrológico para el proyecto: Instalación del Puente Peatonal Julio C. Tello ”.

1.4.2.

Objetivos específicos.

Los Objetivos Específicos que se desean alcanzar con este estudio son los siguientes: 

Determinar la lluvia de diseño.



Determinar el hidrograma de diseño en el punto de interés.


2.


CAPI TULO I I : PROPI E DADE S DE LA CUE NCA.


2.1.


CARACTERÍSTICAS FÍSICAS DE LA CUENCA HIDROGRÁFICA.

“Las características físicas de una cuenca, son elementos que tienen una gran importancia en el comportamiento hidrológico de la misma. Dichas características físicas se clasifican en dos tipos según su impacto en el dren aje: las que condicionan el volumen de escurrimiento, como el área y el tipo de suelo de la cuenca, y las que condicionan la velocidad de respuesta, como el orden de corriente, la pendiente, la sección transversal, etc .” [ANA, 2010].

Para determinar los parámetros morfológicos de la cuenca en estudio, se han utilizado las cartas nacionales digitalizadas a una escala 1:100000. Los parámetros morfológicos estudiados para el modelamiento de la cuenca son el área y relieve, los cuales en el presente trabajo se determinaron con el uso del paquete computacional Global Mapper. 2.1.1.

Área de drenaje.

“El área de la cuenca es probablemente la característica morfológica más importante para el diseño. Está d efinida como la proyección horizontal de toda el área de drenaje de un sistema de escorrentía, dirigido directa o indirectamente a un mismo cauce natural ” [ANA, 2010]. La determinación del área de drenaje, está estrechamente

relacionada con la determinación de la línea divisoria topográfica o freática. Sin duda, determinar la divisoria freática o hidrológica es muy poco tratable, por ello la divisoria topográfica resulta útil y aplicable para las metas pretendidas en el análisis general de una cuenca Hidrológica [Monsalve, 1999]. Para trazar la divisoria topográfica, se tomaron en cuenta los siguientes criterios [Oñate]: o o

o

o

La línea divisoria corta ortogonalmente a las curvas de nivel. Cuando la divisoria se va trazando desde un nivel altitudinal mayor a un nivel altitudinal menor, esta línea corta a las curvas de nivel por su concavidad. Al cortar el terreno por el plano normal a la divisoria, el punto de intersección de ésta corresponde al de mayor altitud del terreno. La línea divisoria nunca corta a un curso de agua natural, excepto en el punto de control o desembocadura.

El proceso para trazar la divisoria topográfica de las sub cuencas se inició en las inmediaciones del puente peatonal proyectado Julio C. Tello, el cual se pudo identificar luego de una superposición de la cartografía y las imágenes satelitales del Eart Google. Para la determinación sistemática del área en la cuenca de estudio, se ha utilizado el software Global Mappes. Se ha identificado una cuenca pequeña de 5.39km2, en el cual se tomará como válido los siguientes supuestos: o

o o

Debe considerarse la variación de la intensidad de la precipitación durante la duración de la tormenta. Se puede asumir que la precipitación se distribuye uniformemente sobre la cuenca. Los procesos de laminación del flujo son despreciables. “La laminación del flujo produce un a atenuación de los hidrogramas en su tránsito por el cauce, que aumenta con el tamaño del cauce y con la disminución de la pendiente en el mismo. Puesto que las grandes cuencas suelen presentar pendientes suaves y cauces amplios, no se pueden despreciar los procesos de laminación en su estudio.” [Martínez, 1999].

Estos supuestos son indispensables para llevar adelante un modelo hidrológico agregado, que permitirá suponer una distribución uniforme de la precipitación (media o representativa de la cuenca) y la utilización de la metodología del Hidrograma Unitario.


2.1.2.


Perímetro.

El perímetro de la cuenca o la longitud de la línea de divorcio de la hoya es un parámetro importante, pues en conexión con el área nos permite concluir sobre la forma de la cuenca [ANA, 2010]. Para la determinación sistemática del perímetro en la cuenca de estudio, se ha utilizado el software Global Mapper. 2.1.3.

Índice de Gravelius.

También conocido como Coeficiente de Compacidad  Kc , se define como la relación del perímetro de la cuenca y la longitud de circunferencia de un círculo de igual área. Kc

P 

2

A 

Donde: 1  Kc  

Este coeficiente brinda algunas conjeturas sobre la forma de la cuenca. Un coeficiente de compacidad igual a uno, indica que la cuenca es de forma circular; y cuando éste es mayor que uno, la cuenca tiene una forma muy irregular o alargada. La hoya de forma circular es más propensa a respuestas rápidas, en cambio una cuenca alargada tendrá una respuesta más lenta. 2.1.4.

Pendiente de la corriente principal.

La pendiente del cauce es un factor muy importante, porque influye en la velocidad del flujo, la cual determina el tiempo de respuesta de una cuenca. En general, la pendiente de un tramo del río se puede considerar como el cociente que resulta de dividir el desnivel de los extremos del tramo, entre la longitud horizontal de dicho tramo. Un cauce natural presenta un perfil longitudinal del eje conformado por una serie ilimitada de tramos, que depende de la geología del lecho [Reyes, 1992]. Para la determinación de esta pendiente, en realidad existen varios métodos, los que se desarrollan a continuación: o

Método de la pendiente uniforme. Este método considera la pendiente del cauce, como la relación entre el desnivel que hay entre los extremos del cauce y la proyección horizontal, es decir:

S 

H L

Donde:

S : Pendiente. H : Diferencia de cotas entre los extremos del cauce. L : Longitud del cauce. Generalmente este método debe ser usado en tramos cortos. o

Método compensación de áreas. La manera más real de evaluar la pendiente de un cauce, es compensándola, es decir, elegir la pendiente de una línea que se apoya en el extremo final del tramo por estudiar, y que tiene la propiedad de contener la misma área (abajo y arriba), respecto al perfil del cauce [Villón, 2002].



A1= A2 at o

pendiente C

A1

A2

Distancia

Figura 5. Pendiente del cauce por compensación de áreas. Fuente: Adaptado de [Villón, 2002].

2.1.5.

Pendiente de la cuenca Criterio de Horn.

La pendiente es una de las propiedades del relieve que determina la rapidez de respuesta de un evento extremo. Este parámetro es de vital importancia pues da un índice de la velocidad media de escorrentía, su poder de arrastre, de erosión y el tiempo de concentración de las aguas en determinado punto del cauce [Villón, 2002]. Su estimación no es sencilla, por ello en el presente trabajo se empleará el criterio Horn. Este criterio fue desarrollado para la determinación de la pendiente a partir de una estructura espacial matricial o raster [Olaya, 2004]; la pendiente se calcula como el cambio en la elevación para cada celda en función de las celdas vecinas. A continuación, se realiza una breve descripción del método (tomado de la ayuda en inglés del Software ArcGIS 9.3). Observe el siguiente arreglo:

El objetivo es calcular la máxima pendiente de la celda “e”, con este criterio se calcula la pendiente teniendo en cuenta los valores de elevación de los ocho vecinos más p róximos a la celda “e”, pero teniendo mayor peso los

vecinos más cercanos.


para el proyecto: Instalación del Puente Peatonal Julio C. Tello ” Municipalidad Distrital de Paucarpata Dz

Por lo tanto, el ritmo de cambio de la superficie en la dirección horizontal

Dz

del Dy centro de las celdas, determinará su pendiente. El algoritmo básico utilizado para calcular la pendiente se encuentra resumido en las siguientes ecuaciones:

  a tan  

2

 Dz   Dz        Dx   Dy 

2

   

Dx

, como en la vertical

(en radianes )

 Dz 2  Dz  2  180       a tan    Dx   Dy     (en grados )     Donde:

Dz Dx Dz Dy





c  2 f  i   a  2d  g  8  Tamaño de Celda

 g  2h  i   a  2b  c  8  Tamaño de Celda

Siendo a, b, c, d, f, g, h e i las cotas del centroide geométrico de cada celda. Es importante indicar, que este moderno método no es el único en su clase, también existen otros como Batson (1975), O'Neill y Marck (1987), Carter (1992), Sharpnack y Akin (1969), etc., según refieren [Castillejo, Fernández, García-Ferrer y Sánchez]. Sin embargo, con el método de Horn se obtienen resultados más confiables [Castillejo et al.] y además tiene la virtud de estar implementado en el software ArcGIS y Glo bal Mappes. 2.2. MÉTODO DEL SCS PARA ABSTRACCIONES. Llamado también Método del Número de Curva, ha sido desarrollado por el Soil Conservation Service (SCS), denominado desde 1994 National Resources Conservation Service (NRCS), del Departamento de Agricultura de los Estados Unidos (USDA). Esta metodología encuentra su utilidad en cuencas naturales no aforadas, en las que se deseen estimar los caudales circulantes por métodos hidrometeorológicos. La primera versión apareció en el National Engineering Handbook del SCS en 1954, habiéndose publicado revisiones posteriores hasta 1997 por la NRCS. El modelo parte de dos hipótesis según NRCS (2001): 1) La escorrentía superficial se inicia una vez alcanzado un cierto umbral de escorrentía, denominado I

a

. 2) El cociente entre la retención de agua real y la retención máxima, es igual al cociente entre la escorrentía directa y la escorrentía superficial máxima. retención

real de agua

retención

máxima F a S

escorrentí a superficia 



l real

escorrentí a superficia l máxima

P e P  I a

P  I a


para el proyecto: Instalación del Puente Peatonal Julio C. Tello ” Municipalidad Distrital de Paucarpata P e



0

P  I a

Además, de la ecuación de continuidad se tiene: P  P e

 I a 

F a

Trabajando sobre las ecuaciones anteriores y resolviendo para P e, se obtiene la ecuación en su versión original: P e 

( P  I a ) 2 P  I a  S

En ella se puede observar que depende de los parámetros I y S , para resolver este inconveniente fue necesario encontrar una relación entre dichas variables. Después de muchas experiencias, el USDA estableció dicha relación como I 0.2S , que reemplazando resulta en la siguiente expresión: a

a



P e



( P  0.2S ) 2 P  0.8S

De esta manera el modelo depende únicamente de una variable, la capacidad máxima de almacenamiento de agua en los suelos. “A fin de poder cuantificarla se es tableció una relación entre ella y un parámetro adimensional, el número de curva (NC )” [Ferrer]: S

25400 



254

NC

Reemplazando se tiene [Ponce, 1989]:

P e

  P   25.4 CN   2   200   25.4      P    8   800 CN CN    25.4  

2

La cual está sujeta a:

 200   2 CN  

P  25.4

Donde: P : Profundidad de precipitación (mm). P e : Profundidad de exceso de precipitación (mm).

Para la determinación del número de curva, el SCS estableció una relación tabular entre los grupos hidrológicos de suelo, usos y tratamiento del suelo, las condiciones hidrológicas y el estado de humedad antecedente del suelo (AMC). La metodología seguida en el presente trabajo para la determinación del Número de Curva, consistió en analizar los diferentes factores que influyen en el modelo del NC y mediante visitas de campo al interior de la cuenca. En estos recorridos se fueron anotando datos sobre: tipos de cobertura vegetal (matorral o herbáceas), afloramientos rocosos, suelos (espesor de restos vegetales y de humus) y condiciones hidrológicas (para la infiltración y escorrentía). De manera complementaria se utilizó la cartografía temática disponible, elaborada po r el ANA. 2.2.1.

Clasificación hidrológica de los suelos.

“Se considera que un conjunto de suelos p ertenece a un grupo hidrológico cuando éstos tienen un comportamiento hidrológico similar respecto a la escorrentía, bajo unas mismas condiciones de cobertura vegetal y precipitación ”



[Ferrer]. Es decir, tienen una tasa de infiltración similar después de un prolo ngado periodo húmedo, siempre que el suelo este desnudo. Los factores que mayoritariamente influirán a la hora de asignar un suelo a un grupo u otro, serán: profundidad del nivel freático, permeabilidad y la profundidad hasta el estrato de permeabilidad muy lenta [Monsalve, 1999]. Las primeras definiciones de los grupos hidrológicos que se hicieron y que aún se mantienen por la NRCS son las siguientes: A. Bajo potencial de escorrentía: Los suelos tienen una alta tasa de infiltración incluso estando completamente húmedos. Básicamente son profundos, gravosos o arenosos, lo que se conoce como suelos bien drenados a excesivamente drenados. La velocidad de transmisión es elevada. El nivel freático permanente está a una profundidad mayor de 150 cm. B. Moderadamente bajo potencial de escorrentía: Los suelos tienen una tasa de infiltración moderada cuando tienen un contenido de humedad elevado. Van de medianamente profundos a profundos, su textura entra en el rango de moderadamente fina a moderadamente gruesa, de suelos moderadamente bien drenados a bien drenados. Tienen una velocidad de transmisión moderada. El nivel freático permanente está a una profundidad mayor de 60 cm. C. Moderadamente alto potencial de escorrentía: Los suelos tienen una tasa de infiltración lenta cuando el contenido de humedad es elevado, tienen alguna capa impermeable que impide el movimiento vertical, o son de textura moderadamente fina a fina. S u velocidad de transmisión es lenta. El nivel freático permanente es el mismo que el del grupo B. D. Alto potencial de escorrentía: Son suelos con una tasa de infiltración muy baja cuando su contenido de humedad es elevado. Básicamente son suelos poco profundos y situados sobre material casi impermeable, como lo son los suelos arcillosos y sobre todo las arcillas expansivas; con un nivel freático elevado permanente (a una profundidad menor de 60 cm), con costras o capas arcillosas cercanas a la superficie. La velocidad de transmisión que tienen es muy lenta.

2.2.2.

Uso y tratamiento del suelo.

El efecto de la cobertura superficial sobre la hoya hidrográfica se evalúa por medio de las clases de tratamiento y uso del suelo. El uso del suelo pertenece a la cobertura de la hoya, incluyendo todo tipo de vegetación natural, humus vegetal, superficies impermeables (caminos, techos, etc.) y áreas urbanas. El tratamiento del suelo se aplica principalmente a los usos agrícolas del suelo [Monsalve, 1999]. Para la determinación de este parámetro, fue necesario el recorrido de la cuenca, la revisión del estudio Diversidad biológica de la Reserva Nacional de Salinas y Aguada Blanca y la revisión del mapa de coberturas del suelo (ver Anexo B). En los recorridos antes mencionados se pudo observar áreas urbanas, zonas de muy poca vegetación, matorrales (la de mayor extensión) y afloramientos de roca. Recopilados, analizados y contrastados los datos e información existente, se determinó clasificar la cobertura del suelo como “Mezcla de vegetación herbácea con algo de matorral bajo” . 2.2.3.

Condición hidrológica.

La condición hidrológica se refiere al porcentaje del área cubierta por cultivo, pasto, bosque, etc., la cual es estimada visualmente. Una condición hidrológica pobre corresponde a menos del 50% de área cubierta y alta intensidad de pastoreo, una condición hidrológica media corresponde al 50% a 75% del área cubierta y media intensidad de pastoreo, una condición hidrológica buena corresponde a más del 75% del área cubierta y ligera intensidad de pastoreo [Monsalve, 1 999]. De lo anterior, se puede clasificar a la cuenca como “ Pobre”.


2.2.4.


Condición de humedad antecedente.

Si en los días anteriores a la precipitación estudiada, se produjeron precipitaciones abundantes (AMIII), las abstracciones (retenciones superficiales, infiltración, etc.) serán menores, por lo cual consecuentemente el número de curva proporcionado por la tabla es menor. Análogamente, y en sentido contrario, si en los días anteriores no ha llovido nada, el suelo estará seco (AMI), y todas las abstracciones serán mayores, por lo que será necesario corregir el valor de CN, disminuyéndolo. En la práctica, AMCII describe una condición típica de diseño [Monsalve, 1999].

USO DE SUELO Mezcla de vegetación herbácea con algo de matorral bajo

Matorral de área montañosa mezclado con roble y álamo

Bosque de pináceas

Artemisa con cobertura herbácea Áreas de desierto con mata y matorral: cactus, palo verde, matorral de áreas salinas

CONDICIÓN HIDROLÓGICA Pobre Media Buena Pobre Media Buena Pobre Media Buena Pobre Media Buena Pobre Media Buena

A

B

C

D

80 60 71 50 62 55 66 37 48 25 30 60 75 45 58 25 41 55 67 40 51 25 35 63 77 55 72 49 68

87 81 74 74 57 41 85 73 61 80 63 47 85 81 79

93 89 85 79 63 48 89 80 71 85 70 55 88 86 84

70

Tabla 2: Valores del parámetro número de curva para vegetación natural (SCS, 1986. En negrita aparecen los valores añadidos

por Smith y Maidment, 1995). Fuente: [Ferrer].

La popularidad del método del Número de Curva se debe a su sencillez, pero es necesario conocer sus parámetros y saber cómo influyen éstos en el modelo para su correcto uso. Este modelo es esencialmente conceptual y estima el volumen de escorrentía basado en mecanismos de abstracción hidrológica, con el efecto de la humedad antecedente en un contexto probable [Monsalve, 1999]. “No se debe perder de vista que este método fue desarrollado originalmente por el SCS para uso en hoyas hidrográficas rurales de mediano tamaño. Por consiguiente, su extensión a grandes hoyas debería hacerse con mucha precaución” [Monsalve, 1999].

En el proyecto en particular se observar dos zonas de marcada diferencia, una zona netamente urbana (34.88%) y una de suelo desnudo el cual representa el 65.12%. Ello será tomado en cuenta al momento de la determinación del Numero de curva representativo de la cuenca.



AREA

CUENCA SOCABAYA

Números de Curva

km2

62

5.35

65.1%

70

78

Numero de 85

98 34.9%

Curva 74.6

Fuente: Elaboracion propia

2.3. DETERMINACIÓN DEL TIEMPO DE CONCENTRACIÓN. También denominado tiempo de respuesta o de equilibrio, en adelante

T c,

Llamas en 1993 lo define como el

“tiempo requerido para que, durante una lluvia uniforme, se alcance el estado estacionario; es decir, el tiempo necesario para que todo el sistema (toda la cuenca) contribuya eficazmente a la generación de flujo en el desagüe” .

Se denomina comúnmente tiempo de concentración, al tiempo que tarda una partícula de agua caída en el punto más alejado de la cuenca a una sección determinada de la corriente (punto de interés). Esto no corresponde con el fenómeno real, pues puede haber puntos de la cuenca en los que el agua caída, tarde más en llegar al desagüe, que el más alejado. Además, debe tenerse claro que el tiempo de concentración real es función de muchos factores; depende, como indica Villón [2002], de las dimensiones de la cuenca, pendientes, cobertura vegetal y características del suelo. Existen varias metodologías para determinar el tiempo de concentración Villón [2002], éstas se indican a continuación:

T c

de una hoya hidrográfica, según

Desarrollada a partir de información del SCS (Soil Conservation Service) en siete cuencas rurales de Tennessee, con canales bien definidos y pendientes de 3 a 10%; no se debe hacer ningún ajuste para flujo superficial en suelo descubierto o para flujo en cunetas. t c

 L   0.01947     S 

0.77

1

2

Dónde: L =Longitud del cauce, m S= Pendiente media de la cuenca, m/m El tiempo de concentración es usado para encontrar en tiempo de retardo o recesión, el cual es necesario para utilizar el Método del Hidrograma Unitario de la SCS.



2.4. RESUMEN DE LAS PROPIEDADES FÍSICAS DE LAS CUENCAS.

Figura 6. La cuenca como un sistema hidrológico.

Sub cuenca

CIUDAD BLANCA

Área (km2)

Perímetro (km)

Pendiente Cuenca %

Pendiente cauce

Índice

Numero de Curva

Gravelius

de Concen

principal

tración

%

(min)

34.88% (urbano) 5.39

13.8

21.81

7

Tiempo

1.67 65.12% (suelo)

Tabla 3: Precipitaciones máximas de 24 horas a diferentes periodos de retornos.

41


3.


CAPI TULO I I I : H I DROLOGÍ A ESTADÍSTICA


3.1.


PRECIPITACION O AGUA DE LLUVIA

“Se aplica el término precipitación al agua, ya sea en estado líquido o sólido, que llega a tierra procedente de la atmósfera. Lo son, pues, la lluvia y la nieve, pero también el granizo, el rocío y la escarcha, aunque, en general, sólo las dos primeras co ntribuyen significativamente a las cantidades totales de precipitación.” [Casas y Alarcón,

1999]. En este acápite, se llevará adelante una corta pero necesaria descripción del origen de las lluvias en la región Arequipa, además de una descripción de las estaciones meteorológicas tomadas en consideración. El Océano Pacífico no genera las lluvias de la ciudad de Arequipa, debido al fenómeno de Inversión térmica , dicho fenómeno no permite que la poca humedad proveniente del Océano Pacífico logre sobrepasar los mil metros de altura; ello explica porque en la zona de la Joya o el Pedregal la precipitación es casi nula [Woodman e IGP, 1998]. El génesis de las lluvias intensas en Arequipa tiene su origen en el desplazamiento de la Alta de B olivia hacia los andes pe ruanos. Un evento que causó mucho daño fue la lluvia intensa del 25 de febrero de 1997, que “ según el SENAMHI las causas de la inundación, estuvieron relacionadas con la alteración climática en la región, que produjo el desplazamiento de una célula convectiva (masas de aire caliente que se elevan, siendo reemplazadas por aire frio) que vino del frente boliviano y se desplazó en dirección del SO (de Characato), al NO (hacia Cerro Colorado), lo que originó una precipitación torrencial acompañada de descargas eléctricas de gran intensidad. Este fenómeno también es conocido como el desplazamiento de la Alta de Bolivia”.

Según Chereque [1989] y Chávez [1994], las nubes vienen cargadas de vapor de agua de la amazonia, algunas de ellas logran sobrepasar la cordillera de los andes y al llegar a la cadena occidental andina intentan descender hacia la costa, pero son impedidas por efecto de la corriente peruana y se precipitan. Para el desarrollo del presente proyecto se consideró en primera instancia las siguientes estaciones pluviométricas: CARACTER STICAS DE LAS ESTACIONES PLUVIOM TRICAS EMPLEADAS Orden Nombre 1

Tipo

La Pam pilla MAP

Sistema Cuenca hidrográfico

Ubicación Dpto.

Prov. Arequipa

Pac ífic o

Chili

Arequipa

2 Chiguata CO Pacífico CO: Climatológica Ordinaria

Chili

Arequipa

Coordenadas Altitud Latitud S. Longitud O. (m.s.n.m.) 16º24' 18.22' '

Entidad

71º31' 24.02''

2365

SENAMHI

Arequipa 16º24'23.17'' 71º24'32.86'' MAP: Meteorológica-Agrológica-Principal

2894

SENAMHI

Tabla 4: Características de las estaciones Pluviométricas e Hidrométricas (Fuente: Elaboración propia).

3.2. PARTICULARIDADES DEL MODELAMIENTO HIDROLOGICO La mayoría de fenómenos hidrológicos requieren ser tratados como modelos matemáticos conceptuales, debido a la complejidad de estos fenómenos [Ponce, 1989]. Según Chow et al. [1994] y Gómez [2004], si consideramos la cuenca hidrológica objeto de estudio como un sistema hidrológico, el proceso que se produce en ella sería: considerar a la lluvia como una señal de entrada que sufre una modificación debida a las características de la cuenca (proceso lluvia–escorrentía), para luego transformarse en una señal de salida como el hidrograma. De acuerdo al párrafo anterior las entradas y salidas del sistema hidrológico son el hietograma de diseño ( I (t ) ) y el hidrograma resultante ( Q(t ) ), respectivamente. Q (t )   I (t )

En la ecuación anterior se puede observar la ecuación de transformación del sistema, donde el símbolo función de transferencia entre la entrada y salida.



es la



Figura 7. La cuenca como un sistema hidrológico. Fuente: [Chow et al.,1994]

De acuerdo a la definición anterior es necesario determinar I (t ) . En este capítulo se busca determinar el hietograma de diseño, necesario para posteriormente determinar el caudal de diseño. El llamado hietograma de diseño es también conocido como tormenta de diseño, en realidad no es más que la distribución temporal de la lluvia. Para ello, según Gómez [2004], en este tipo de análisis se puede emplear información pluviométrica registrada u obtenida a partir de las curvas IDF: 



“Lluvias históricas registradas y que produjeron serias consecuencias desde el punto de vista de inundación en la cuenca, y que dejaron además secuelas en la memoria histórica de la población. Se trataría de un proceso de diseño de una infraestructura (encauzamiento, etc) cuyo objetivo final es que si se volviera a dar una precipitación igual a la que se registró ese día, no se produjeran inundaciones. Este criterio no está basado en consideraciones estadísticas de riesgo, sino que se asocia a un suceso concreto. Es fácilmente explicable a la población, e incluso se puede ilustrar con documentación de los efectos producidos por la inundación histórica, indicando que esos daños ya no se producirán con las nuevas actuaciones.” “Lluvias de proyect o, obtenidas a partir de información globalizada en forma de curvas Intensidad – Duración– Frecuencia (IDF). Podemos definir a esta lluvia de proyecto como una lluvia tipo, o lluvia sintética que se puede asociar a un cierto periodo de retorno, y se admite (a pesar de que no sea estrictamente cierto) que el caudal de escorrentía calculado a partir de esta lluvia de proyecto tiene el mismo periodo de retorno. Esta idea introduce un concepto de seguridad/riesgo, al asociar una noción de periodo de retorno al hietograma de lluvia a utilizar, y por ende al caudal d e diseño.”

El anterior párrafo se refiere a la llamada Lluvia de proyecto, obtenida a partir de información globalizada en forma de curvas Intensidad –Duración–Frecuencia. Podemos definir a esta lluvia de proyecto como una lluvia tipo, o lluvia sintética que se puede asociar a un cierto periodo de retorno, y se admite que el caudal de escorrentía calculado a partir de esta lluvia de proyecto tiene el mismo periodo de retorno. Esta alternativa, es uno de los métodos que más adeptos ha ganado dentro de los hidrólogos, por considerar criterios de riesgo y falla.


3.2.1.


Registro de precipitaciones Registros de Pmáx de 24 horas AÑO

La Pampilla

Chiguata

1987

10.0

20.8

1988

9.5

13.2

1989

14.0

30.1

1990

11.5

16.5

1991

7.7

13.5

1992

3.4

5.2

1993

13.5

21.8

1994

13.6

35.3

1995

28.0

48.8

1996

12.1

15.9

1997

33.4

44.0

1998

9.5

12.6

1999

12.3

25.0

2000

23.7

36.2

2001

30.0

20.9

2002

15.4

24.3

2003

5.5

9.2

2004

8.4

18.7

2005

5.2

13.0

2006

14.9

14.4

2007

7.9

23.4

2008

25.5

20.7

2009

8.4

9.9

2010

4.7

9.7

2011

17.0

19.2

2012

35.3

39.2

2013

124.5

28.5

2014

16.0

16.3

2015

28.4

20.0

2016

28.0

17.2

Tabla 5: Registros de Pmáx de 24horas (Fuente: SENAMHI).

3.2.2.

Conceptos teóricos del análisis probabilístico

“Los sistemas hidrológicos son afectados algunas veces por eventos extremos, tales como tormentas severas, crecientes y sequías. La magnitud de un evento extremo está inversamente relacionada con su frecuencia de ocurrencia, es decir, eventos muy severos ocurren con menor frecuencia que eventos más moderados. El objetivo del análisis de frecuencia de información hidrológica es relacionar la magnitud de los eventos extremos con su frecuencia de ocurrencia mediante el uso de distribuciones de p robabilidad” [Chow et al., 1994].

El análisis de frecuencia de eventos extremos tiene muchas aplicaciones en ingeniería Civil, por ejemplo, el análisis de frecuencia de caudales máximos se puede usar para el diseño de presas, puentes, alcantarillas, estructuras de control de crecientes y para delimitar áreas inundables [Chow et al., 1994]. Se puede hacer el mismo análisis para determinar la velocidad máxima del viento a determinada probabilidad, que es de interés para un ingeniero que desea diseñar un edificio alto seguro; o bien si se quiere determinar cierta magnitud



sísmica en determinada zona geográfica; podría también analizarse los niveles del mar o bien las alturas máximas de las olas, para diseñar cierta estructura marítima [Kottegoda y Rosso, 2008]. El análisis de frecuencia puede ser clasificado en local y regional, esto desde el punto de vista de la extensión espacial de la información. El análisis de frecuencia local es hecho sobre una única serie de observaciones de cierta variable hidrometeorológica, en determinada estación. En cambio, el análisis de frecuencia regional hace uso de la información de varias estaciones de una región geográfica, en el análisis regional la información es agrupada en conjuntos que presentan semejanza fisiográfica, climática y/o estadística [Naghettini y De Andrade, 2007]. En general, el procedimiento para el análisis de frecuencia local es el siguiente: 















Elegir por utilizar series anuales o series de duración parcial. Garantizar la calidad de las observaciones muestrales. Verificar las hipótesis básicas de todo análisis de frecuencia convencional: independencia, homogeneidad, y estacionariedad de la serie de datos. Proponer ciertos modelos probabilísticos o distribuciones de probabilidad. Estimar los parámetros de los modelos propuestos. Realizar pruebas de bondad de ajuste de los modelos propuestos. Seleccionar el modelo probabilístico que describa mejor el comportamiento del fenómeno en análisis. Estimar los cuantiles o eventos de diseño para determinados periodos de retorno.

En la estimación de cuantiles hay dos tipos de errores inherentes. El primero surge de suponer que los datos observados siguen una distribución específica, este error puede ser revisado usando pruebas de bondad de ajuste; el segundo tipo de error se debe a que los parámetros de la distribución elegida son estimados a partir de muestras pequeñas, este error puede reducirse usando métodos de estimación de parámetros con mínima varianza [Rao y Hamed, 2000]. 3.2.3.

Periodos de retorno y análisis de riesgo de falla en diseño urbano

“Es el intervalo promedio de tiempo en años, dentro del cual un evento de magnitud x puede ser igualado o excedido, por lo menos una vez en promedio. Así, si un evento igual o mayor a x , ocurre una vez en Tr años, su probabilidad de ocurrencia P , es igual a 1 en Tr casos” [Villón, 2005], es decir: P  X

 x



1 Tr

Y despejando el periodo de retorno: Tr 



1

P  X  x 



Si P X  x es la probabilidad de excedencia, entonces la probabilidad de no excedencia es:







P X  x  1  P X  x



P X  x

  1



1 Tr

En este acápite se lleva a cabo un análisis crítico de la determinación del periodo de retorno real, siguiendo criterios de riesgo; el cual se basa en la determinación a priori del riesgo que se desea asumir, en caso fallara la estructura dentro del tiempo de vida esperada. La ecuación que relaciona las variables antes mencionadas es [Chow et al., 1994; McCuen, 1998; Monsalve, 1999; Villón, 2002].



 1  R  1  1    Tr 

n

Donde: R : Riesgo. n

: Vida esperada de la estructura o tiempo de exposición.

Tr : Periodo de retorno real.

El riesgo, llamado también “Riesgo de Falla”, “Riesgo Hidrológico Natural de Falla” [Chow et al., 1994] o “Riesgo Permisible” [Monsalve, 1999], es definido “como la probabilidad de que sí se produzca alguna vez un suceso de periodo de retorno Tr a lo largo de un periodo de n años” [Sánchez, 2004]. Sin duda la determinación de este

parámetro es muy complejo, se sabe que depende de factores económicos, sociales y técnicos [MTC, 2008]. Considerando que siempre es posible una falla hidráulica, obstrucción de las torrenteras por parte de la población o que puedan darse circunstancias accidentales (hundimiento o falla estructural, bloqueo por arrastres de materiales sólidos, etc.) que generen un desastre. Cualquier diseño en el campo de la Ingeniería Hidráulica e Hidrológica asume una vida esperada de la instalación, de manera que se espera que durante ese periodo de tiempo se cumplan las especificaciones y criterios utilizados en su diseño; sin embargo, en instalaciones grandes, léase encauzamientos, grandes conducciones, etc. este concepto de vida esperada no está tan claramente establecido [Gómez, 2004]. La vida esperada de la estructura o tiempo de exposición. En el proyecto en particular se espera un tiempo de vida esperada de 25 años y un nivel de riesgo de 20% y reemplazando en la formula anterior tenemos:

 1  0.2  1  1    Tr  Tr



25

113años

Finalmente se considera un periodo de retorno de 150 años, el cual está asociado a una vida esperada de la estructura de 25 años y el cual supone un riesgo de falla del 20 % de la estructura. 3.2.4.

Análisis estadístico previo de los datos hidrológicos

Para que los resultados del análisis probabilístico de estimación de valores máximos asociados a una determinada probabilidad de excedencia, sean teóricamente válidos, la serie de datos o muestra debe satisfacer ciertos criterios estadísticos que son: aleatoriedad, independencia, homogeneidad y estacionalidad. En un contexto hidrológico aleatoriedad significa básicamente que las fluctuaciones de la variable son originadas por causas naturales. Por ejemplo, las crecientes observadas aguas abajo de un embalse no pueden ser consideradas aleatorias. En cambio, la independencia se refiere a que ningún dato de la serie está influenciado por valores anteriores, o que él no influye en los subsecuentes. Por otra parte, la homogeneidad implica que todos los datos de la serie proceden de una sola población; entonces las series de crecientes en que éstas se originan por fusión de nieve y por lluvias, probablemente son no homogéneas. Finalmente, la estacionalidad significa que, excluyendo las fluctuaciones aleatorias, l a serie de datos es invariante con respecto al tiempo. Lógicamente, la no estacionalidad incluye saltos, tendencias y ciclos. En las series de crecientes, los saltos se originan por cambios abruptos en la cuenca o en el río como es la construcción de un embalse; las tendencias se pueden originar por cambios graduales en el uso del suelo, o bien por la urbanización, y los ciclos generalmente se asocian a las fluctuaciones climáticas de largo plazo. En cambio, en la serie de lluvias máximas o intensidades los saltos se originan por cambios en la ubicación, en el aparato o en el operador y las tendencias básicamente por la urbanización.



Análisis de datos dudosos Para el análisis de datos se ha utilizado la teoría de los outliers (datos dudosos), esta data se considera si por alejarse significativamente del comportamiento de la data existente, por ello debe verificarse que ello no se deba a errores en la recolección de los datos, registros o por causas naturales. En cualquier caso, la retención o eliminación de estos puntos atípicos, puede afectar de manera significativa a los parámetros estadísticos calculados a partir de la muestra, siendo ése efecto más notorio en muestras de pequeño tamaño. [Chow et al., 1994; Rao y Hamed, 2000]. A continuación, se describe la prueba de Grubbs y Beck o prueba G-B, la cual es una de las pruebas más empleada para la detección de puntos atípicos. o

Prueba de Grubbs y Beck.

Según esta prueba, las cantidades x H y x L definen respectivamente los límites superior e inferior, fuera de los cuales se pueden detectar e identificar los outliers presentes en una muestra. [Rao y Hamed, 2000; Naghettini y De Andrade, 2007]. Estos límites o umbrales se definen a continuación. Umbral de datos dudosos altos: x H e

 y

K n , S y



K n





Umbral de datos dudosos bajos: x L  e

Donde

y

 y





,



S y

es la media de los logaritmos naturales de la muestra,

logaritmos naturales de la muestra y

S y es

la desviación estándar de los

K n  es el estadístico de Grubbs y Beck para un nivel de significancia ,

 .

De acuerdo a la prueba, para un valor de

 0.10

y K

n ,



0.10

, los valores en la muestra mayores a x H , son

considerados datos dudosos altos; mientras que valores menores a x L , son considerados datos dudosos bajos. Los valores de K para distintos tamaños muestrales, se encuentran tabulados en varios textos n ,  0.10

de la literatura hidrológica, tales como Ponce [1989], Chow et al. [1994], McCuen [1998]. Sin embargo, según refiere Rao y Hamed [2000], es posible utilizar la aproximación de K , propuesta por Pilon, n ,



0.10

Condie y Harvey [1985]: 1/ 4

K n, 0.10  3.62201 6.28446n

1/ 2

2.49835n





0.491436n

3/ 4



0.037911n

Una vez hayan sido detectados e identificados los datos dudosos, éstos deben ser sujetos a una investigación, para determinar si serán usados o no, en el análisis de frecuencia. Si por ejemplo se tuviera evidencia de que cierto valor dudoso surgió por error de medición, éste debería ser eliminado; así también, si se comprobara que cierto dato dudoso corresponde a un evento extraordinario de origen natural, entonces es conveniente mantener el dato dudoso, de tal manera que el modelo probabilístico que finalmente se adopte, represente adecuadamente tal comportamiento. En general, para el tratamiento de los outliers es necesario considerar tanto una evaluación matemática, como hidrológica. En el presente proyecto, para el tratamiento de los o utliers, se asumieron los criterios antes descritos, en primer lugar se realizó una evaluación matemática con la prueba de Grubbs y Beck, para luego proceder a la evaluación hidrológica, comparando la serie temporal de Pmáx24h de la estación en análisis, con la serie temporal de una estación con características similares a las de la estación estudiada.



Prueba de datos dudosos de Grubbs y Beck - La Pampilla 140.0 ) 120.0 m m100.0 ( h 80.0 4 2 60.0 x á 40.0 m P 20.0

0.0 5 8 9 1

7 8 9 1

9 8 9 1

1 9 9 1

3 9 9 1

5 9 9 1

7 9 9 1

9 9 9 1

1 0 0 2

3 0 0 2

5 0 0 2

7 0 0 2

9 0 0 2

1 1 0 2

3 1 0 2

5 1 0 2

Año La Pampilla

xH

xL

Figura 8. Prueba de datos dudosos estación La Pampilla (outlier).

En el análisis de la serie de observaciones de Pmáx24h, correspondientes a la estación La Pampilla, se calcularon los siguientes umbrales: x H 91.8mm y x L 2 mm, donde se encontró un valor dudoso de tipo alto; por lo que se procedió a evaluar bajo criterios hidrológicos si tal evento ocurrió en realidad, para ello se realizó una comparación con la serie temporal de Pmáx24h de la estación Chiguata (2894 m.s.n.m.). 



Se observó entonces que la estación de Chiguata no se comportó de manera similar, sin embargo, al recurrir al Senamhi y las investigaciones realizadas por este se concluyó que el evento realmente paso. Esta última se tomó como evidencia válida para concluir que el outlier del año 2013 ha ocurrido, por lo que finalmente se decidió depurar éste valor para el posterior análisis de frecuencia, dado que sobredimensiona los c álculos de caudal. Prueba de datos dudosos de Grubbs y Beck - Chiguata 80.0

) 70.0 m60.0 m ( 50.0 h 440.0 2 x30.0 á m20.0 P10.0 0.0 5 8 9 1

7 8 9 1

9 8 9 1

1 9 9 1

3 9 9 1

5 9 9 1

7 9 9 1

9 9 9 1

1 0 0 2

3 0 0 2

5 0 0 2

7 0 0 2

9 0 0 2

1 1 0 2

3 1 0 2

5 1 0 2

Año CHIGUATA

xH

xL

Figura 9. Prueba de datos dudosos estación de Chiguata (outlier).

En el análisis de la serie de observaciones de Pmáx24h, correspondientes a la estación Chiguata, se calcularon los siguientes umbrales: x H 70.4mm y x L 5.3 mm , donde se encontró varios valores dudosos de tipo bajo; por lo que se procedió a evaluar bajo criterios hidrológicos si tal evento ocurrió en realidad, para ello se realizó una comparación con la serie temporal de Pmáx24h de la estación La Pampilla (2365 m.s.n.m.). 



Se observó entonces que la estación de Pampilla se comportó de manera similar, por lo tanto, se concluyó que el evento realmente pasó. Esta última se tomó como evidencia válida para concluir que el outlier del año 1992 ha ocurrido, por lo que finalmente se decidió no depurar éste valor para el posterior análisis de frecuencia.



140.0 120.0 100.0

) m m (

80.0

h 4 2 x á 60.0 m P

40.0 20.0 0.0 7 8 9 1

9 8 9 1

1 9 9 1

3 9 9 1

5 9 9 1

7 9 9 1

9 9 9 1

1 0 0 2

3 0 0 2

5 0 0 2

7 0 0 2

9 0 0 2

1 1 0 2

3 1 0 2

5 1 0 2

Año

La Pam pil la

Chi gua ta

Figura 10. Comparativo de registros de Pmáx de 24 horas de las considerados.

3.2.5.

Predicciones con la distribución Normal (N).

La Función de Densidad de Probabilidad (FDP) de la distribución Normal está definida por la siguiente expresión [Ponce, 1989; Aparicio, 1992; Rao y Hamed, 2000; Villón, 2005; Naghettini y De Andrade, 2007; MTC, 2008; Wilks, 2011]: 1

f ( x) 

2



e

1  x       2   

2

 x  

Con:

Los parámetros de la distribución Normal son dos: el de posición   y el de escala   . Si se realiza una transformación lineal de la variable aleatoria  X  , se obtiene la denominada variable aleatoria estandarizada   , así: z

z 

x  



Entonces la función de distribución que se obtiene al realizar tal transformación, es llamada Función de Densidad de Probabilidad Normal estándar: 2

z



1

f ( z ) 

2

e

2

La Función de Distribución Acumulada (FDA) Normal se define por la expresión: x

F ( x )



 

1



e

1  x       2   

2

dx

2

De forma similar para la FDA Normal estándar: z

F ( z )



 

1

e



z

2

2

dz

2

Las dos restricciones más importantes de la distribución Normal son su rango de variación continuo, es decir que está definida tanto para valores positivos de la variable aleatoria, como para valores negativos; y la segunda limitación es que posee un sesgo o asimetría nula, contrario al comportamiento sesgado de la mayoría de las variables hidrológicas [Chow et al., 1994].



Estimación de parámetros por el método de Máxima verosimilitud. 

Parámetro de posición:

 



n

1

 x  x i

n

i 1

Parámetro de escala: n

 x i 1

 

El parámetro

 es

  

2

i

 S x

n 1

estimado por la Media muestral y el parámetro

 por la Desviación estándar muestral.

Proceso de cálculo para la obtención de la FDA Normal. El procedimiento que a continuación se describe corresponde al uso de una función de aproximación para el cálculo de la FDA Normal estándar  F ( z ) , y por consiguiente para obtener F ( x) , pues F ( x) F ( z ) . El error en el cálculo de F ( z ) , usando la función de aproximación es menor a 7.5 10 . 



1.

Cálculo de la variable aleatoria estandarizada

2.

Cálculo de la FDP Normal estándar  f ( z )  .

3.

Cálculo de la FDA Normal estándar

8



 . z

 F ( z ) , a través de la siguiente aproximación numérica

[Abramowitz y Stegun, 1965]:

o

Si 0 

z

  :

F ( z )





1  f ( z )  b1t  b2 t 2



b3 t 3



b4 t 4



b5 t 5 

Donde: 1 t  1 0.2316419 z

b1

o



0.319381530

b2

 

b3



b4

 

b5



0.356563782

1.781477937 1.821255978

1.330274429

Si    z  0 : F ( z ) 



1



F ( z )

Proceso de cálculo para la estimación de cuantiles. El procedimiento descrito a continuación corresponde también al uso de una función de aproximación para el cálculo de la inversa de la FDA Normal estándar, es decir . El error en el cálculo de , usando la función de aproximación es menor a 4.5 10 . z





4

z


1.


 ,

Cálculo de la variable aleatoria estandarizada

z

a través de la siguiente aproximación numérica

[Abramowitz y Stegun, 1965]: o

Si 0  F ( z )  0.5 : z 

c0  c1 w  c2 w 1 d 1 w  d 2 w

2

2

 d 3 w

3

w

Donde:



  2    F ( z )  

ln 

w

c0



2.515517

c



0.802853

c



0.010328

1

o

2

d 1

 1.432788

d 2



0.189269

d 3



0.001308

1

Si 0.5  F ( z ) 1 :

z  w

c0  c1 w c2 w 1 d 1 w d 2 w

2

2

 d 3 w3

Donde: w

2.

Cálculo del cuantil



  2  1 ( )    F z  

 x  : Tr

xTr

3.2.6.

1

ln 



    z

Predicciones con la distribución Log-Normal de 2 parámetros (LN2).

La Función de Densidad de Probabilidad (FDP) de la distribución Log-Normal de 2 parámetros está definida por la siguiente expresión [Rao y Hamed, 2000; Villón, 2005; Naghettini y De Andrade, 2007; MTC, 2008; Wilks, 2011]:

1 f ( x)  e x y 2 Con:

1  ln  x   y     2   y 

2

0 x 

Los parámetros de la distribución LN2 son: el de escala

 y

y el de forma  y .



Si los logaritmos naturales de la variable aleatoria siguen una distribución Normal, entonces se dice que la variable aleatoria sigue una distribución Log-Normal. Siendo así, los parámetros  y  se calculan a partir de y

y



y

ln( x ) .

La variable aleatoria estandarizada   , entonces sería: z

 

ln x z





 y

y





 y

 y

 y

A partir de esta transformación se obtiene la FDP Normal estándar  f ( z ) . La Función de Distribución Acumulada (FDA) Log-Normal de 2 parámetros se define por la expresión: x

F ( x) 

 x

2

y

0



1

e

ln  x   y  1    2 

2

 

 y

dx

Así también para la FDA Normal estándar se tiene: z

F ( z )



1





e

z

2

2

dz

2



La ventaja de la distribución Log-Normal de 2 parámetros sobre la distribución Normal es que está definida para valores positivos de la variable aleatoria, además de que la transformación logarítmica reduce el sesgo positivo generalmente encontrado en las series de información hidrológica; en contraparte a esto, se requiere que los logaritmos de la variable aleatoria se distribuyan simétricamente [Chow et al., 1994]. Estimación de parámetros por el método de Máxima verosimilitud. 

Parámetro de escala:

 y





1

n

n

1

n

ln  x  n  y i

i 1

i

y

i 1

Parámetro de forma: n

n

 ln  xi   y   y

Los parámetros

 y

y

 y



 yi   y 

2

i 1



n 1

2

i 1

n 1

 S y

son estimados respectivamente por la Media y Desviación estándar muestral de los

logaritmos naturales de la variable aleatoria, es decir de

y ln( x ) . 

Proceso de cálculo para la obtención de la FDA Log-Normal de 2 parámetros. Se sigue el mismo procedimiento descrito para la obtención de la FDA Normal, pero considerando que ahora la variable aleatoria estandarizada es: z 

ln  x   y  y



y   y  y

Proceso de cálculo para la estimación de cuantiles. El procedimiento de cálculo es el mismo que fue descrito para la distribución Normal, con la única diferencia que el cálculo del cuantil  xTr  se realiza con la siguiente expresión:


para el proyecto: Instalación del Puente Peatonal Julio C. Tello ” Municipalidad Distrital de Paucarpata xTr

3.2.7.

e



 y

z

 y 



(4.59)

Predicciones con la distribución Log-Normal de 3 parámetros (LN3).

La Función de Densidad de Probabilidad (FDP) de la distribución Log-Normal de 3 parámetros está definida por la siguiente expresión [Rao y Hamed, 2000; Villón, 2005; Naghettini y De Andrade, 2007; MTC, 2008]:

f ( x) 

 x  x0  y

x

Con:



1

0



x

e

2

ln  x  x0   y  1    2 

 y

2

 

 

  , el de escala

Los parámetros de la distribución LN3 son: el de posición

x

0

 y

y el de forma

 y

. El cálculo

de los parámetros se realiza a partir de y ln  x x0  



La variable aleatoria estandarizada  z  es:





ln x x0 z







 y

y





 y

 y

 y

A partir de esta transformación se obtiene la FDP Normal estándar  f ( z ) . La Función de Distribución Acumulada (FDA) Log-Normal de 3 parámetros se define por la expresión: x

F ( x) 



1

  x  x 

x0

2

y

0

e

ln  x  x0   y  1    2 

 y

2

 

dx

De la misma manera para la FDA Normal estándar se tiene: z

F ( z ) 

1





2



e

z 2

2

dz

Estimación de parámetros por el método de Máxima verosimilitud. Parámetro de posición:



n

 y   y 2

 x  x i 1

i

0

n

 i 1

ln  xi  x0 

xi  x0

0

Para el cálculo del parámetro x 0 es necesario un proceso iterativo; sin embargo Stedinger, Vogel y Foufoula-Giorgiou [1993], sostienen que un estimador simple y eficiente de

x1 xn  xmed

2

x0  x1  xn  2 xmed Donde:

x

1

: Mínimo valor de la muestra.

x

0

es:


x

n


: Máximo valor de la muestra.

x med : Mediana de la muestra. Si x1  xn  2 x med  0 , entonces x 0 representa el límite inferior, por lo que los parámetros



 y

y

 y

se



estiman a partir de y ln x x0 . 



Si x1  xn  2 x med  0 , entonces x 0 representa el límite superior, por lo que los parámetros



 y

y

 y



se estiman a partir de y ln x0 x . 






 y



1

n

n

n

1

ln  xi  x  n  yi  y 0

i 1

i 1

Parámetro de forma:

o

n

n

ln  x  x    0

i

 y

Los parámetros



 y

y

 y



 y   

2

y

2

i

i 1

i 1



n 1

y

n 1

 S y

son estimados respectivamente por la Media y Desviación estándar muestral de



y ln x x0 . 



Proceso de cálculo para la obtención de la FDA Log-Normal de 3 parámetros. Se sigue el mismo procedimiento descrito para la obtención de la FDA Normal, pero considerando que la variable aleatoria estandarizada es:



ln x x0 z









 y

y





 y

 y

 y

Proceso de cálculo para la estimación de cuantiles. El procedimiento de cálculo es el mismo que fue descrito para la distribución Normal, con la única diferencia que el cálculo del cuantil  xTr  se realiza con la siguiente expresión:  y  y  z

xTr  x0  e 3.2.8.



Predicciones con la Distribución Log-Pearson tipo III (LPIII).

La Función de Densidad de Probabilidad (FDP) de la distribución Log-Pearson tipo III está definida por la siguiente expresión [Ponce, 1989; Rao y Hamed, 2000; Villón, 2005; Naghettini y De Andrade, 2007; MTC, 2008]:

ln  x  x0 

 1

f ( x) 

Con:

x

0



ln  x  x0 

e



x    

 x   ,  x0   ,

0    

  es la función Gamma completa, la cual se define como sigue:

y

0   


para el proyecto: Instalación del Puente Peatonal Julio C. Tello ” Municipalidad Distrital de Paucarpata 

    x

 1

e

x

dx

0

  , el de forma   y el de escala    .

Los parámetros de la distribución LPIII son: el de posición

x

0



La variable aleatoria reducida  y  , sería: y

 

ln x 

x' x0

x0











A partir de esta transformación se obtiene la FDP Gamma reducida  g  y . La Función de Distribución Acumulada (FDA) Log-Pearson tipo III se define por la expresión: x

F ( x) 



 1

ln  x  x0 



x 

x0

ln  x  x0 





e

dx

 

De forma similar para la FDA Gamma reducida: y

G( y) 



y  1e  y

 

0

dy

Estimación de parámetros por el método de Momentos. 

Parámetro de posición: x0



x '



2 S x '



Parámetro de forma: 

4





C s '

C s '

2




Los parámetros

x

0

,  y

 son

asimetría muestral C s  de '



C s S x' ' 2

estimados a partir de la Media   , Desviación estándar S x  y Coeficiente de

x' ln

x '

'

 . x

Proceso de cálculo para la obtención de la FDA Log-Pearson tipo III. El procedimiento que a continuación se describe corresponde al cálculo de la FDA Gamma reducida G( y) por desarrollo de series, de ésta manera se obtiene la FDA Gamma, pues F ( x) G( y ) . 1.

Cálculo de la variable aleatoria reducida

 y  .

2.

Cálculo de la función Gamma completa   de forma aproximada, usando la serie asintótica de Stirling [Abramowitz y Stegun, 1965]:

    e  Donde:

 b c d e f g h   a                  

2

2

3

4

5

6

7


a




1 1

b



12

1 c



288 139

d





51840 571 e





2488320

f g h

163879 

209018880 5246819 

75246796800

534703531 



9029615616 00

3.

Cálculo de la FDA Gamma reducida G( y) , a través del desarrollo de la serie [Villón, 2005]:

e

y

G( y ) 

p

 

 i 1

y

  i 1

k

   j  1 j 1

Donde: y

 

ln x 

x0





x' x0 





Proceso de cálculo para la estimación de cuantiles. El procedimiento de cálculo es el mismo que fue descrito para la distribución Gamma de 2 parámetros, con la única diferencia que el cálculo del cuantil  x  se realiza con la siguiente expresión: Tr

xTr  e 3.2.9.

  2    x0    2  

Distribución Gumbel o de Valores Extremos tipo I (EVI).

La Función de Distribución Acumulada (FDA) de la distribución Gumbel está definida por la siguiente expresión [Ponce, 1989; Rao y Hamed, 2000; Villón, 2005; Naghettini y De Andrade, 2007; MTC, 2008; Wilks, 2011]: F ( x )  e

Con

  x   ,  

y

e

 x        

0   

Los parámetros de la distribución EVI son dos: el de posición   y el de escala   . Si se realiza una transformación de la variable aleatoria  X  , se obtiene la denominada variable aleatoria reducida  y  , así: y 

x   



Entonces la función de distribución que se obtiene al realizar tal transformación, es llamada Función de Distribución Acumulada Gumbel reducida:

G( y) e





e

y



La Función de Densidad de Probabilidad (FDP) Gumbel se obtiene luego de derivar la FDA, entonces: 1

f ( x) 

 x      

e

 x       e   



De forma similar para la FDP Gumbel reducida: g ( y )

1 

e

y e





y





La gran limitación de la distribución Gumbel es que posee un coeficiente de asimetría fijo e igual a 1.14; lo cual conllevaría a subestimaciones de los cuantiles, si la asimetría muestral fuera superior a 1.14, así también se obtendrían sobreestimaciones de los cuantiles, si la asimetría muestral fuera inferior a 1.14 [De Salas, 2004]. Se puede entonces afirmar que mientras más próximo a 1.14 esté el Coeficiente de asimetría muestral, se obtendrá un mejor ajuste y por consiguiente serán mejores las estimas o predicciones. Estimación de parámetros por el método de Momentos. 

Parámetro de escala: 6  

S x



El parámetro

 en

su forma original fue definido como:  

S x 

y

Donde

 y

corresponde a la Desviación estándar poblacional de los valores que toma la variable

aleatoria reducida

 y  [Sánchez, 2004], es decir:



 m      n 1  

y   ln  ln  P ( x)  ln  ln 



 y

depende únicamente del tamaño de la muestra. Sin embargo, conforme el tamaño muestral sea

mucho más grande, es decir que

o

n   ,

el valor de

 y

tiende al valor



6

[Ponce, 1989].

Parámetro de posición:  x 

 n  



C 

1 1 1        ln n n 2 3 4  C  0.57721566490153286061

C  lim 1 

1

El parámetro  en su forma original fue definido como:



Donde

 y



x



 y

corresponde a la Media poblacional de los valores que toma la variable aleatoria reducida

 y  [Sánchez, 2004].


 y


depende únicamente del tamaño de la muestra. Sin embargo, conforme el tamaño muestr al

tienda al infinito, el valor de

 y

tiende al valor 0.5772 , que es la denominada Constante de Euler

C  [Ponce, 1989]. Los parámetros  y variable aleatoria.

 son

estimados a partir de la Media   y Desviación estándar muestral S x  de la x

Proceso de cálculo para la obtención de la FDA Gumbel. El procedimiento para el cálculo de la FDA Gumbel es sencillo, puesto que ésta ha sido definida de manera explícita. Sabiendo que F ( x) G ( y ) , se procede de la siguiente manera:

 y  . G( y ) .

1. Cálculo de la variable aleatoria reducida 2. Cálculo de la FDA Gumbel reducida

Proceso de cálculo para la estimación de cuantiles. 1. Cálculo de la variable aleatoria reducida

 y  : y

2. Cálculo del cuantil

ln  ln  F ( x)





 x  : Tr

xTr



    y

3.2.10. Pruebas de bondad de ajuste Las pruebas de bondad de ajuste tienen el objetivo de comprobar cuan bien describe un modelo teórico de distribución de probabilidades, el comportamiento probabilístico de una variable aleatoria. El método clásicamente utilizado en Hidrología es la prueba estadística de Kolmogorov-Smirnov, también son útiles los controles visuales o ajustes gráficos, además de pruebas que miden el desempeño de los modelos adoptados, como por ejemplo el Error Estándar de Ajuste o el Coeficiente de determinación. 3.2.10.1. Ajuste gráfico. Es posible realizar un ajuste gráfico partiendo de la comparación de las FDP empíricas con las FDP teóricas, o también comparando las FDA empíricas con las FDA teóricas, ésta última comparativa puede ser hecha también en papeles probabilísticos especialmente preparados [Villón, 2005]. El ajuste gráfico sólo se utiliza como una primera aproximación, es necesario verificar la bondad del ajuste a través del uso de métodos estadísticos válidos o bien utilizando otros criterios cuantitativos bien sustentados. En el presente proyecto se realizó el ajuste gráfico comparando las FDA empíricas y teóricas, este análisis se realízó para todas las distribuciones teóricas planteadas (N, LN2, LN3, LPIII y EVI), siempre y cuando los parámetros estimados de las funciones de distribución fueran consistentes. Se muestra a continuación los ajustes gráficos de las distribuciones de probabilidad que mejor ajustaron en cada estación pluviométrica considerada en el presente estudio.



Prueba Kolmogorov-Smirnov. La prueba de bondad de ajuste Kolmogorov-Smirnov o prueba K-S mide la máxima diferencia absoluta entre las probabilidades acumuladas teóricas y las probabilidades acumuladas empíricas, el estadístico que define la prueba es entonces:

 

 máx F x  P x

Donde:

  : Probabilidad acumulada teórica.

F x

  : Probabilidad acumulada empírica.

P x

  es calculada a partir de la distribución de probabilidad adoptada, y fórmula de posición de graficación. F x

Luego el estadístico



  se calcula con el uso de alguna

P x

se compara con cierto valor crítico del estadístico de prueba, designado como  0 . El

estadístico tiene una distribución que es independiente del modelo probabilístico propuesto, lo cual conlleva a que la función de distribución de  sea evaluada tan solo en función del tamaño muestral   [Canavos, 1988]. Los valores críticos del estadístico  corresponden a un nivel de significación  , y se encuentran tabulados en muchos textos de la literatura hidrológica (ver Anexo C). Típicamente se han usado niveles de significación   de 10%, 5% y 1%, siendo más común el uso de  0.05 o  5% [Aparicio, 1991; Chow et al., 1994]. n



Criterio de decisión:

Al comparar el estadístico de prueba con su respectivo valor crítico, se pueden tomar las siguientes decisiones [Aparicio, 1991; Villón, 2005]: 

Si    0 , entonces se acepta la hipótesis de que los datos se ajustan a la función de distribución de probabilidad propuesta, con un nivel de significación  o una probabilidad o nivel de confianza 1 .



Si    0 , entonces se rechaza la hipótesis de que los datos se ajustan a la función de distribución de probabilidad propuesta, con un nivel de significación  o una probabilidad o nivel de confianza 1 . 2

La prueba K-S es en general superior a la prueba  cuando se tratan variables aleatorias continuas, puesto que no se necesita agrupar los datos, además esta prueba es aplicable también a muestras pequeñas [Canavos, 1988]. El criterio que se sigue para preferir una distribución respecto de otra, luego de haber probado la adecuada bondad de ajuste de ambos, es el de elegir a aquella distribución con el menor valor del estadístico de prueba . 3.2.11. Selección del modelo probabilístico apropiado Luego de haber evaluado cada una de las pruebas de bondad de ajuste expuestas en el acápite anterior, vale decir: Ajuste gráfico y Kolmogorov-Smirnov, determinaron las distribuciones de probabilidad o modelos probabilísticos que mejor describían el comportamiento de la variable aleatoria, que en este caso es la precipitación máxima de 24 horas (Pmáx24h). Los resultados de tales evaluaciones se muestran en los siguientes cuadros y figuras, los cuales resumen el análisis de frecuencia practicado en cada estación pluviométrica.



Distribución más

Estación

apropiada

La Pampilla

Log. Pearson III parámetros

Chiguata

Log. Normal II parámetros

Tabla 6: Distribuciones de probabilidad más apropiados.

Pmax 24 horas

Pmax 24 horas

Pmax 24 horas

Pmax 24 horas

Altitud

(Tr=50años)

(Tr=100años)

(Tr=150años)

(Tr=250años)

(msnm)

La Pampilla

52.48

64.26

71.86

82.11

2365

Chiguata

53.58

51.45

66.21

72.38

2894

Estación

Tabla 7: Precipitaciones máximas de 24 horas a diferentes periodos de retornos.

3.2.12. Determinación de la Precipitación máxima de 24 horas representativa de la cuenca. La información de la altura de precipitación está dada de forma puntual, sin embargo, para trabajos de ingeniería es necesario determinar una altura de precipitación media o representativa de la cuenca, claro está dentro de un marco de hidrología Agregada, más no Distribuida. Para la determinación de la Pmáx24 Tr media de la microcuenca, se tienen habitualmente varios métodos: Media Aritmética, Polígonos de Thiessen, Isoyetas, Inverso de la distancia al cuadrado [Campos, 1998; Martínez, 1999; Raghunath, 2006], cada una de ellos debe ser asociado a criterios de variación espacial y orográfica. El método de la Media Aritmética no es aplicable en este caso particular, debido a que las estaciones no tienen una distribución uniforme y la diferencia de precipitaciones es considerable. El método de inverso de la distancia al cuadrado, es una metodología de interpolación, la que se define en seguida [McCuen, 1998]: n

Pmáx 24h( media) 

 W  Pmáx24h i

i

i 1

1

W i 

d i

2

n

1

i 1

i

 d

2

Donde: Pmáx24hi: Precipitación máxima de 24 horas de la estación i. d i: Distancia entre la estación i y el centro de gravedad de la cuenca . n:

Número de estaciones.

W i: Factor de peso de la estación i. Pmáx24h (media): Precipitación máxima de 24 horas media de la cuenca .

Según Martínez [1999], se puede “asignar a toda la cuenca la precipitación obtenida en el centro de gravedad de la cuenca mediante interpolación por el i nverso del cuadrado de las distancias a las estaciones consideradas” ; por



ello se definieron como distancias de ponderación, a la diferencia de elevaciones; dichas distancias se midieron respecto al centro de gravedad de la cuenca. Lo indicado en el párrafo anterior está basado en la innegable relación que existe entre la altitud y la precipitación. CUENCA CIUDAD BLANCA Hg=2620 m.s.n.m

Sub Cuenca

Estaciones

2

-2

Hg(m.s.n.m)

di(m)

La Pampilla

2365

255

1.53787E-05

53.59%

Chiguata

2894

-274

1.33198E-05

46.41%

Wi(%)

(1/di) (m )

Tabla 8: Cálculo de los factores de peso, con distancias verticales cuenca Ciudad Blanca. CUENCA CIUDAD BLANCA Periodo de retorno

Estaciones La Pampilla

Chiguata Media (mm)

W(%)

50

100

150

250

53.59%

52.48 53.58

64.26 51.45

71.86 66.21

82.11 72.38

53.0

58.3

69.2

77.6

46.41%

Tabla 9: Precipitación máxima de 24 horas representativa para diferentes periodos de retorno cuenca Ciudad Blanca.

3.3.

CURVAS INTENSIDAD-DURACIÓN-FRECUENCIA (CURVAS I.D.F.)

En el Perú la falta de registros pluviográficos que permitan determinar intensidades máximas inferiores a 24 horas, ha llevado al Servicio Nacional de Meteorología e Hidrología (SENAMHI), Universidad Nacional de Ingeniería (UNI) e Instituto Ítalo Latino Americano (IILA), a realizar un trabajo conjunto para resolver en parte este inconveniente; como resultado se tiene un estudio denominado Estudio de la Hidrología del Perú [1983]. Posteriormente, Dick Peschke obtuvo la siguiente relación [Guevara, 1991; Villón, 2010]

 d  Pd  Pmáx 24 h   1440 

0.25

Donde: Pmáx24h :

d :

Precipitación máxima en 24 horas (mm).

Duración (minutos).

Pd : Precipitación asociada a la duración

d (mm).

Esta relación ha sido muy utilizada en todo el Perú, debido a su sencilla formulación; adoptada por el Ministerio de Transportes y Comunicaciones (MTC) en su Manual de Hidrología, Hidráulica y Drenaje y por el Ministerio de Agricultura en el planeamiento de eventos extremos; sin embargo, cabe mencionar la falta de estudios recientes que le den más robustez a esta metodología. Para el presente proyecto se ha seguido la metodología del modelo IILA-SENAMHI-UNI y Dick Peschke, el cual consiste en determinar la precipitación total para diferentes duraciones en función de la precipitación máxima de 24 horas para algún periodo de retorno, con el objetivo de determinar las curvas Intensidad Duración Frecuencia (IDF). 3.4.

HIETOGRAMA DE DISEÑO PARA PERIODO DE RETORNO DE 250 AÑOS

En este acápite se muestran los resultados obtenidos a partir de la metodología de los bloques alternados, para un periodo de retorno de 250 años y un tiempo de duración Td  120 min .



Los bloques de lluvia mostrados en la cuarta columna de la tabla anterior se han distribuido de forma alternada, centrando el bloque de lluvia de mayor intensidad; el segundo bloque de mayor intensidad ha sido ubicado hacia la derecha del bloque central. 3.4.1.

SUBCUENCA CIUDAD BLANCA

LLUVIA DE DISEÑO SUBCUENCA CIUDAD BLANCA = 120 min

Ecuación ID

= 10

d (min)

I (mm/h)

P (mm)

ΔP

ΔP (ordenado)

I (mm/h)

10

119.9

20.0

20.0

0.9

5.1

20

71.3

23.8

3.8

1.0

6.0

30

52.6

26.3

2.5

1.2

7.4

40

42.4

28.3

2.0

1.6

9.7

50

35.9

29.9

1.6

2.5

15.2

60

31.3

31.3

1.4

70

27.9

32.5

1.2

3.8

22.7

80

25.2

33.6

1.1

2.0

11.8

90

23.1

34.6

1.0

1.4

8.4

100

21.3

35.5

0.9

1.1

6.6

110

19.9

36.4

0.9

0.9

5.5

120

18.6

37.2

0.8

0.8

4.8

20.0

119.9

Tabla 10: Resultados del método de los bloques alternos Subcuenca CIUDAD BLANCA.

Hietograma de diseño 140.0 120.0 100.0

) r 80.0 h / m m 60.0 ( P 40.0 20.0 0.0 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

T(min)

Figura 11. Hietograma de diseño, asociado a un periodo de retorno de 150 años y un tiempo de duración de la tormenta de 120 min, Subcuenca CIUDAD BLANCA.


3.5. 3.5.1.


TRANSFORMACIÓN LLUVIA ESCORRENTIA Hidrograma unitario de la SCS

El proceso de transformar la lluvia neta en caudal se abordó en los albores de la Hidrología Urbana mediante los mismos conceptos empleados en estudios hidrológicos de cuencas rurales. El método más universalmente utilizado en dichos estudios es el Hidrograma Unitario y ese es el primero de los métodos que se emplearon. El concepto existente propuesto por Sherman en los años treinta, es muy sencillo y fácil de comprender: entendemos por hidrograma unitario la respuesta en caudal de la cuenca, ante una lluvia unidad (1 mm) uniformemente repartida por toda la cuenca. Más tarde Nash y Dooge (1959) reformularían el concepto, generalizando el concepto de hidrograma unitario como el hidrograma resultante de un impulso de lluvia efectiva unitaria distribuido uniformemente sobre la cuenca y constante durante una unidad de tiempo. El hidrograma unitario instantáneo así definido considera que la transformación lluvia - caudales la de un sistema lineal e invariable en el tiempo. En general, se suele referir a una duración cualquiera “D”, por lo que tenemos un hidrograma como el indicado en la figura:

Figura 12. Hidrograma Unitario Fuente: [Chow].

El hidrograma adimensional SCS es un hidrograma unitario sintético en el cual el caudal se expresa por la relación del caudal q con respecto al caudal pico qp y el tiempo por la relación del tiempo t con respecto al tiempo de retardo para la duración de exceso de precipitación, el hidrograma unitario puede estimarse a partir del hidrograma sintético adimensional para la cuenca dada. El grafico anterior muestra uno de estos hidrogramas adimensionales, preparado utilizando los hidrogramas unitarios para una variedad de cuencas. Los valores de qp y Tp pueden estimarse utilizando un modelo simplificado de un hidrograma unitario triangular tal como se muestra en la figura en donde el tiempo está dado en horas y el caudal en m3/s.cm. Con base en la revisión de un gran número de hidrogramas unitarios, el Soil Conservation Service sugiere que el tiempo de recesión puede aproximarse como 1.67 Tp. Como el área bajo el hidrograma unitario debería ser igual a una escorrentía directa de 1 cm, puede demostrarse que:

q p 

CA Tp

Donde C=2.08 y A es el área de drenaje en Kilómetros cuadrados. Adicionalmente, un estudio de los hidrogramas unitarios de muchas cuencas rurales grandes y pequeñas indica que el tiempo de retardo tp=0.6Tc, donde Tc es el tiempo de concentración de la cuenca. Como se muestra en El grafico anterior el tiempo de ocurrencia del pico Tp puede expresarse en términos del tiempo de retardo tp y de la duración de la lluvia efectiva tr.

Tp



tr 2



tp



3.6. CAUDAL DE DISEÑO.

Figura 13. Modelamiento Hidrológico STORM AND SANITARY

El hidrograma generado en la subcuenca es el siguiente:

Figura 14. Hidrograma de diseño subcuenca CIUDAD BLANCA



Figura 15. Resultados obtenidos del software STORM AND SANITARY


4.


CAPÍ TULO I V: CONCLUSI ONE S Y RECOMENDACIONES


4.1.


CONCLUSIONES 

Luego de haber realizado el análisis de frecuencia y evaluado la bondad de ajuste de cada una de las distribuciones de probabilidad, se pudo finalmente elegir el modelo más adecuado para las series pluviométricas.

Distribución más

Estación



4.2.

apropiada

La Pampilla

Log. Pearson III parámetros

Chiguata

Log. Normal II parámetros

Se determinó la lluvia de diseño para un periodo de retorno de 150 años, encontrándose que el caudal de respuesta es de 5.5m3/s para la cuenca de CIUDAD BLANCA.

RECOMENDACIONES 

En el análisis de la serie de observaciones de Pmáx24h, correspondientes a la estación La Pampilla, se calcularon los siguientes umbrales: x H



91.8mm y x L



2 mm, donde se encontró un valor dudoso

de tipo alto; por lo que se procedió a evaluar bajo criterios hidrológicos si tal evento ocurrió en realidad, para ello se realizó una comparación con la serie temporal de Pmáx24h de la estación Chiguata (2894 m.s.n.m.), dicha estación se comportó de diferente manera. Así también, lo antes indicado debería ser mejor investigado para descartar por ejemplo que dicha lluvia no corresponda a un periodo de retorno muy extenso, dado los objetivos, la naturaleza y de la obra a proyectar, finalmente se encontró evidencia válida para concluir que el outlier del año 2013 ha ocurrido, pero dado que adopción distorsiona y sobredimensiona los caudales, se recomienda depurar éste valor para el análisis de frecuencia.



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Hidrologia Puente Julio c. Tello

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