Modelo distribuido distribu ido
Modelo distribuido distribu ido
Métodos emp íricos Estos mé métodos toman el área de la cuenca. Aunque no son mé métodos que analicen propiamente la relació relació n lluvia escurrimiento, son importantes por ser de utilidad en los los casos que solo se requieran estimaciones gruesas de los gastos má máximos probables, probables, o bien cuando se carezca casi por completo de informació informació n.
Fó rmula de Creager Creager (1945) introdujo la envolvente de mas uso en el mundo a fin de estimar los eventos maximos extraordinarios. La ecuacion prop uesta es:
q
1.303C c 0.386 A
0.936 A
0.048
A
1
Donde q es el gasto por unidad de area en m 3/s/km 2, A es el area de la cuenca en km 2 y Cc es un parametro empirico que define la envolvente. Creager determino un coeficiente mundial de Cc= Cc= 200, mientras que Aparicio determina un valor mas razonable de Cc=100 Cc=100.. La extinta SARH determino los coeficiente Cc para las diferentes regio nes de la Republica Mexicana.
Valores calcul ado por la SARH en el añ añ o 1978
Valores calcul ado por la SARH en el añ añ o 1978
Valores actualizados de Cc y CL para la republ ica Mexicana
Coeficientes para las 37 regiones hidrol ógicas Parámetros de las envolventes Región hidrológic a Creager Lowry Cc CL 15 500 1 Datos Insuficientes Datos Insuficientes 2a7 18 700 8 35 1800 9 130 4700 10 115 4500 11 30 1500 12 60 2300 13 a 15 120 5300 16 Datos Insuficientes Datos Insuficientes 17 70 2400 18 180 5600 19 60 2200 20 85 2456 21 a 23 50 2000 24 100 3000 25 75 2500 26 70 2300 27 100 2600 28 50 2200 29 250 7200 30 Datos Insuficientes Datos Insuficientes 31 a 35 15 600 36 Datos Insuficientes Datos Insuficientes 37
Coeficientes para las 13 regiones adm inistrativas Parámetros de las envolventes Región hidrológica Nombre Creager Lowry Cc CL P.de Baja California Datos Insuficientes Datos Insuficientes I Alto Noroeste 35 1800 II Bajo Noroeste 130 4700 III Pacífico Centro 120 5300 IV Pacífico Sur 180 5600 V Frontera Norte 50 2000 VI Centro Norte 15 670 VII Lerma-santiago 30 1500 VIII Golfo Norte 100 3000 IX Golfo Centro 100 2600 X Frontera Sur 250 7200 XI P. de Yucatán Datos Insuficientes Datos Insuficientes XII Valle de México 20 650 XIII
Fó rmula de Lowry La envolvente de Lowry es muy usada en Latinoamerica . La ecuacion para estimar los eventos maximos extraordinarios es:
q
C L A
259
0.85
Donde q es el gasto por unidad de area en m 3/s/km 2, A es el area de la cuenca en km 2 y CL es un parametro empirico que define la envolvente.
Tambien existen otras ecuaciones como l a de Matthai Crippen Francou Rodier
Valores calcul ado por la SARH en el añ añ o 1978
Métodos semiemp íricos Fó rmula Racional La formula racional es el modelo mas antiguo de la relació relació n lluvia escurrimiento (1851). Este modelo toma en cuenta, ademá lizado, además del área de la cuenca, la intensidad de lluvia y hoy en dia es el mas uti utilizado, particularmente en el diseñ ñ o de drenaje urbano. . dise urbano La ecuació ecuació n que define la formul a racional es:
Q
0.278
CiA
Donde Q (m 3/s) es el gasto má máximo posible que puede producirse con una lluvia de intensidad i (mm/h) mm/h) en 2 una cuenca de área A rea A (km ) y coeficiente de escurrimiento C (adimensional). (adimensional). El valor de C varia entre 0 y 1 y varia apreciablemente de una cuenca a otra y de una tormenta a otra debido a las condiciones de humedad del suelo. La intensidad i se obtiene de las curvas ii-d -Tr , lo que significa que la lluvia esta asociada a una duracion y a un periodo de retorno.
Valores de escurrim iento C
Consideraciones para la aplicació aplicació n de la f ó rmula Racional Las variaciones espacio t emporales de la lluvia no se toman en cuenta cuenta en la formul a racional. Debido a esto, el metodo da buenos resultados, solo sol o en cuencas pequeñ pequeñ as no mayores de 50 km2. La intensidad se obtiene de las curvas i – d - Tr . i –d Cuando una cuenca tiene dif erentes areas de uso de suelo hay que encontrar un c oeficiente pond erado C: C
C 1 A1 A1
C 2 A2 A2
...
C i Ai Ai
...
Supongase que en una cuenca impermeable se hace caer uniformemente una lluvia lluvia de intensidad constante durante un largo tiempo. Al principio, el gasto que sale sale por la cuenca sera creciente con el tiempo, pero llegara un momento en que alcance un punto d e equilibrio, equilibrio, es decir, el vol umen que entra por unidad de tiempo por la lluvia sea el mismo que el gasto de salida de la cuenca. El tiempo que transcurre entre el inicio de la lluvia y el establecimiento establecimiento del gasto de equilibrio se denomina tiempo de concentració concentració n .
t c 160 140 120
s / m100 N E , 80 O T S A 60 G
3
Qequilibrio
iAC
40 20 0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
TIEMPO, EN HORAS
22
24
26
28
30
32
El tiempo de concentracion t c va a depender de la longitud maxima que el agua debe recorrer hasta la salida de la cuenca y de la velocidad que adquiere, en promedio, dentro de la misma cuenca. Esta velocidad esta en funcion de la pendiente del terreno y los cauces, y de la rugosidad de la superficie del mismo . El tiempo de concentracion se calcula mediante la ecuacion: ecuacion:
t c
L 3600V
Donde t c es el tiempo de concentracion en horas, L es la longitud del cauce principal en metros, V es la velocidad media del agua del cauce principal en m/s. Sin embargo existen otr as ecuaciones para calcular t c, una de ellas es la ecuacion de Kirpich (1940):
t c
0.000325
L0.77 S 0.385
Donde t c es el tiempo de concentracion en horas, L es la longitud del cauce principal en metros, S es la pendiente media del cauce del rio. rio.
El m étodo tiene las siguientes limitaciones: Proporciona solamente el gasto pico, no el hidrograma de la avenida. Asume que el escurrimiento es directamente ó n (si se duplica la directament e proporcional a la precipitaci precipitació precipitaci ó n el escurrimi ento se dupli ca). Esto no es cierto, pu es el escur rimiento r imiento depende tambié también de muchos ot ros factores, tales como precipitaciones anteriores, condiciones de humedad del suelo, uso del suelo, tipo d e suelo, etc. 80
) h / 70 m m60 , d a 50 d i s 40 n e t 30 n i ( a 20 i v u 10 l L
Q
0.278
CiA
0
0
200
400
600
800
1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600
Gasto (m3/s)
Asume que el periodo de retorno de la precipitació precipitació n y el del escurrimiento son l os mismos, lo que no es cierto. La precipitació precipitació n es filtrada por la cuenca para producir escurrimiento, y ese f iltro i ltro no es lineal. La transform ació ó n de precipitació ó n en escurrimiento se ve afectada por las caracter í sticas de la aci precipitaci cuenca, el estado de la cuenca al momento de la lluvia, etc. Precipitaciones, Precipitaciones, por ejemplo, con periodos de retorno pequeñ pequeñ os pueden produci r gastos con period os de retorno mayores, debido debido a las condi ciones de humedad de la cuenca en el momento en que ocurra la tormenta. La mayor fuente de incertidumbre en la formula racional es la estimaci estimaci ó n del coeficiente de escurrimiento, los cuales dependen de las tormentas precedentes.
Métodos hidrometereol ó gicos Hidrograma Unitario Para aplicar el m étodo del hidrograma unitario se requiere tener registros simultaneos de escurrimientos y precipitaci ó n. Tiene la ventaja, respecto a los m étodos anteriores, de que permite predecir la forma del hidrograma de la avenida y no s ó lo el gasto m áximo. El hidrograma unitario de una cuenca se define como el hidrograma de escurrimiento directo, producido por un mm de lluvia en exceso. Que cae con intensidad uniforme en toda la cuenca durante un tiempo conocido como duració duració n en exceso. exceso. Existen diferentes tipos de hidrogramas unitarios los cuales se van a describir a continuació continuació n. Hidrograma Unitario Tradicional (HUT) Curva S Hidrograma unitario instant áneo Hidrogramas unitarios sint éticos Método de Chow Hidrograma Unitario Triangular Hidrogramas unitarios adimensionales
Hidrograma unitario : se define como el hidrograma de escurrimiento directo que se produce por una precipitació duració ón de y precipitació n efectiva (neta o en exceso) de altura unitaria (hp=1 mm de altura) y duraci repartida uniformemente en la cuenca. El m étodo esta basado en las sigu ientes hipó hipó tesis: a.a.- Tiempo base constante. Para una cuenca dada, la duració duració n total del escurrimiento directo o tiempo base es la misma para todas las tormentas con la misma du ració ració n de lluvia efectiva, independientemente del volumen total escurrido. Todo hidrograma unitario esta ligado a una duració duració n de la lluvia en exceso (figura (fig ura 1). b.b.- Linealidad o proporcionalidad. Las ordenadas de todos los hidrogramas de escurrimiento directo con el mismo tiempo base, son directamente proporcionales proporcionales al volumen total del escurrimiento directo, es decir, al volumen total de lluvia efectiva. efectiva. Como consecuencia, las ordenadas de dichos hidrogramas son prop orcio nales entre sí sí (figura 1). c.c.- Superposiciòn de causas y efectos. El hidrograma que resulta de un periodo de lluvia dado puede superponerse a hidrogramas resultantes de periodo s de ll uvias precedentes (figura 2). Figura 1
Figura 2
hp e
Periodos lluviosos
2 1 hp e
3 t HIDROGRAMA TOTAL
Hidrograma Unitario Tradicional (HUT)
EJEMPLO DE HUT EN EXCEL
Curva S Supongase que se tiene un hidrograma unitario para duraci ó n en exceso d e. Si ocurre una tormenta cuyo hietograma est é formado por un n ú mero muy grande de barras, cada una con una duraci ó n d e y altura de precipitaci ó n efectiva de 1 mm , y si se acepta el principio de superposici ó n de causas y efecto, entonces se tendr á un hidrograma de escurrimiento directo similar al de la figura de abajo. Dado que la intensidad de la lluvia es, en este caso 1 mm i d e Entonces, el gasto de equilibrio ser á Qe
iA c
1
mm d e
A c
La f ó rmula anterior es la f ó rmula racional, pero con un coeficiente de escurrimiento unitario. El hidrograma de escurrimiento directo que se produce con una lluvia como ésta se llama curva S. Esta curva es un hidrograma formado por la superposici ó n de un n ú mero de hidrogramas unitarios suficiente para llegar al gasto de equilibrio.
Es com ú n que al sumar las ordenadas de los hidrogramas unitarios al gasto de equilibrio definido por la ecuaci ó n anterior, sino que oscilaciones en la parte superior de la curva S.
no se lleguen se presentan
Esto ocurre para duraciones en exceso grandes o, mas exactamente , cuando el Hidrograma unitario no puede representarse con precisi ó n mediante l íneas rectas a cada d e hora. Cuando se presenta este problema, conviene revisar la separaci ó n del gasto base que se hizo y la duraci ó n en exceso d e, pues la proporci ó n que guardan ambas variables se sale de lo comú n. Si en la la revisi ó n se encuentra que t b y d e son correctos, entonces ser á necesario suavizar la curva S. Para ello, se debe de tomar en cuenta que: a) El tiempo de concentraci ó n t c o el tiempo en que se alcanza el gasto de equilibrio es:
t c
t b
d e
donde t b es el tiempo base del Hidrograma unitario. b) El gasto de equilibrio esta dado por la ecuaci ó n
Qe
iA c
1
mm d e
Ac
Si la curva S de la figura anterior se desplaza d e horas en el tiempo y las ordenadas de la curva se desplazada se restan de la original , el resultado ser ía el Hidrograma unitario con el que se construyo la curva S. Si la curva S se desplaza d e´ horas en el tiempo y sus ordenadas se restan de la curva S original, se obtendr ía el hidrograma resultante de una lluvia con intensidad 1 mm /d e que cae durante d e´ horas. Para que el hidrograma resultante sea unitario, la intensidad de la precipitació n debe de ser 1/d e´ ; entonces es necesario multiplicar sus ordenadas por d e/d e´. Con esto se obtiene un Hidrograma unitario para una duraci ó n en exceso d e´.
hp e
1 mm
q
a) Se obtiene la curva S. de
de
t
de
t
hp e
1 mm de
q
hp e
d e’
de
de
t
b) La curva S se desplaza una distancia de’ de’ .
t
de / d ’ e
d' e
t
q
t
c) Se restan las ordenadas de la curva S de (b) de las de (a).
EJEMPLO DE CURVA S EN EXCEL
Hidrograma Unitario Instant áneo Consideremos los hietogramas de lluvia efectiva mostrados en la figura de abajo, si observamos la altura de lluvia y la duraci ó n en exceso en los tres hietogramas es el mismo (hp e=36 mm y d e=14 hr ). ) . Por lo tanto si se obtiene un hidrograma unitario, para esta duraci ó n en exceso, podr ían obtenerse los respectivos hidrogramas de escurrimiento directo. Sin embargo en este caso los tres hidrogramas resultar ían exatamente iguales, lo que no sucede en la realidad. EL MÉTODO DEL HIDROGRAMA UNITARIO INSTANT Á NEO TOMA EN CUENTA este problema, es decir, LA DISTRIBUCIÓN TEMPORAL DE LA LLUVIA. hp e, mm
de
hp e, mm
t, horas
de
hp e, mm
t, horas
de
t, horas
Hp e, mm de
de
de
de
de
de
1 t, h
q U2 U1
Hietograma unitario con duració duració n en exceso d e que genera un hidrograma unitario.
U3 t, h
Hp e, mm P2 P1
P3 t, h
Q
P1U2 P1U3
P1U1
t, h Q
P2U2 P2U1
Hietograma de una tormenta con varios periodos lluviosos, cada uno de ellos de duració duració n en exceso d e , entonces, de acuerdo con el principio de superposició superposició n de causas y efectos, los hidrogramas producidos por cada barra del hietograma son los mostrados abajo.
P2U3
t, h Q
P3U2 P3U3
P3U1 Q3
Q
Q2 Q1
t, h Q4 Q5 t, h
Hidrograma de la tormenta compl eta.
Si Ui es la i -ésima ordenada del hidrograma unitario y P j es la j -ésima lluvia del hietograma, las ordenadas Qi del hidrograma son en este caso, Q1
=
P1U 1
Q2
=
P1U 2
Q3
=
P1U 3 + P2U 2
Q4
=
P2U 3 + P3U 2
Q5
=
P3U 3
P2U 1
+
+
P3U 1
En general la k -ésima ordenada del hidrograma, Qi es: k
Q k
P jU k j
1
j
1
Si consideramos el problema inverso, es decir, se conoce el hidrograma de la tormenta completa y la precipitaci ó n que genero ese hidrograma y se dese obtener un hidrograma unitario. El sistema anterior se puede escribir como:
P U
Q
Donde:
P
P1
0
0
P2
P1
0
P3
P2
P1
0
P3
P2
0
0
P3
Q1
U 1 U
U 2 U 3
Q2 Q
Q3 Q4 Q5
La incognita es el vetor (U), sin embargo en el sistema anterior tendr íamos cinco ecuaciones con tres incognitas , por lo tanto el sistema es indeterminado.
Para resolver esto multiplicamos la ecuaci ó n anterior con la matriz transpuesta de P. T T P P U P Q Lo que resultar ía: P12 P22 P32
P1 P2 P2 P3
P1 P3
U 1
P1Q1 P2Q2 P3Q3
P1 P2 P2 P3
P12 P22 P32
P1 P2 P2 P3
U 2
P1Q2 P2Q3 P3Q4
P1 P3
P1 P2 P2 P3
P12 P22 P32
U 3
P1Q3 P2Q4 P3Q5
Al aplicar lo anterior se comete un error al determinar el vector U y esto lo veremos en el ejemplo m ás adelante. El n ú mero de ordenadas del hidrograma final NQ esta ligado al n ú mero de barras del hietograma NP, y al n ú mero de ordenadas del hidrograma unitario NU por medio de la ecuació n: N Q
N P
N U
1
Con es posible saber el n ú mero de ordenadas que tendr á el hidrograma unitario y, por lo tanto el orden de la matriz de coeficiente del sistema de
EJEMPLO: Hidrograma Unitario Instant áneo Obtener un hidrograma unitario instantaneo para una cuenca en la que se registraron el hietograma de lluvia efectiva y el hidrograma de escurrimiento directo mostrados abajo.
m m n e , p H
45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
70
40
60 s 50 / 3
20 10
m n 40 e , o 30 t s a G20
10 0 0
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
Tiempo, en horas
Tiempo, en hor as
NQ = 5, NP= 3 , NU = NQ - NP - + 1 = 5 – 3 + 1 =3 El n ù mero de ordenadas del hidrograma unitario ser á 3.
EJEMPLO HIDROGRAMA UNITARIO INSTANTANEO EN MATHCAD
70 HIDROGRAMA ORIGINAL
60
HIDROGRAMA CALCULADO
s 50 /
3
m n 40 e , o 30 t s a G20
10 0 0
1
2
3
4
Tiempo, en horas
5
6
7
Hidrogramas Unitarios Sint éticos Si no se disponen de registros simult áneos de lluvias y escurrimientos, se puede estimar un hidrograma unitario para una cuenca hidrol ó gica en estudio, a partir de alguna de las caracter ísticas fisiogr áficas de la cuenca. Para este tipo de aplicaciones se utiliza un hidrograma unitario obtenido en una cuenca o regió hidroló ó gica utilizando los par ámetros fisiogr áficos del lugar donde fue regió n hidrol calibrado. Se denominan hidrogramas unitarios sint éticos.
Método de Chow El mé método de Chow permite conocer solamente el gasto m áximo del hidrograma de escurrimiento directo para un periodo de retorno dado y se aplic a a cuencas hidrol ó gicas menores a 25 km 2. El gasto pico del escurrimiento directo se calcula con la expresi ó n:
Q p
0.278
AZPe d e
Donde Qp= Gasto pico, en m 3/s A = Á rea de la cuenca, en km 2 Z= Factor de reducció reducció n, propuesto por Chow Pe= Precipitació Precipitaci ó n neta, en exceso o efectiva en mm d e= Duraci ó n en en exceso de la lluvi a, en horas. La duraci ó n puede ser igual al tiempo lluvia, de concentraci ó n, es decir, d e = t c
Con el auxilio de la figura, se calcula el factor Z en funció funció n de la relació relació n entre la duraci ó n de la tormenta d y el tiempo de retaso t R. El tiempo de retraso se define como el tiempo que transcurre entre el centroide del hietograma de lluvia lluvia efectiva y el tiempo pico del hidrograma de escurrimiento directo.
El tiempo de retaso t R, depende de las caracter ísticas fisiograficas de la cuenca y de la forma del hidrograma. hidrograma. Chow propuso la ecuació ecuació n:
t R
0.0050
Donde t R= Tiempo de retraso, en hor as horas L = Longitud del cauce principal, en metros S= La pendiente del cauce principal
L S
0.64
Hidrograma Unitario Triangular (HUT) Se ha desarroll ado para cuencas pequeñ as, su forma es triangular y para su aplicació n desarrollado es necesario conocer las caracter ísticas f ísiograficas de la cuenca. El gasto pico se obtiene con la expresi ó n:
Q p
0.208
APe t p
Donde Qp= Gasto pico, en m 3/s A= A= Área Área de la cuenca, en km 2 Pe= Precipitaci ó n neta, en exceso o efectiva en mm t p = Tiempo pico, en horas El tiempo pico (t p) y el tiempo de recesi ó n (t r ) y tiempo base (t b) se evalua con las siguientes ecuaciones:
Q Qp
t p
t tp
t r t
t c
0.6t c
t r
1.67 t p
t b
2.67 t p
t c = Tiempo de concentració concentració n, en horas t r = Tiempo de recesió recesió n, en horas
Hidrogramas unitarios adimensionales del Servicio de Conservació Conservació n de Suelos (SCS) El Servicio de Conservació n de Suelos de los E.U. propone usar el hidrograma unitario adimensional de la figura siguiente: sigui ente: Para definir el hidrograma unitario adimensional se calcula el gasto pico (q p) y el tiempo pico (t (t p) con las expresiones: expresiones:
q p
0.208
A t p
t b
t p
t c
0.6t c
2.67 t p
Donde q p= Gasto pico, en m 3/s/mm /s/mm A = Á rea de la cuenca, en km 2 t p = Tiempo pico, en horas t c = tiempo de concentració concentració n, en horas t b = tiempo base, en horas La forma del hidrograma unitario queda definida al multiplicar los valores de las ordenadas y las abcisas que aparecen en la figura de arriba, por q p y t p, respectivamente.
EJEMPLO:
Método de Chow
Determinar el gasto de diseñ diseñ o para una cuenca de 1 km 2, con un cauce que tiene por longitud 1 km , y una pendiente del cauce de 0.001. La precipitaci ó n en exceso es de 114.58 mm. mm. t c
t R
0.000325
0.0050
L0.77 S 0.385
L S
0.000325
0.77
1000
0.385
0.9482 horas
0.001
0.64
0.0050
1000
Si
d e
0.64
3.7929 horas
Si
0.001
t c
0.9482 horas
d e
0.9482
tR
3.7929
0.2499
De la figura obtenemos que Z = 0.2
Q p
0.278
AZPe d e
0.278
1
0.2
114.58
0.9482
6.72 m
3
s
EJEMPLO: t c
0.000325
t p
t c
Hidrograma Unitario Triangular (HUT)
L0.77 S 0.385
0.6t c
0.000325
1000
0.77
0.385
0.9482 horas
0.001
0.9482
0.6
0.9482
1.5427 horas
t r
1.67 t p
1.67
1.5427
2.5763 horas
t b
2.67 t p
2.67
1.5427
4.1190 horas
Q Qp
Q p
t tp
t r
t
0.208
APe t p
0.208
1 114.58 1.5427
15.49
m 3 s
EJEMPLO:
Hidrograma unitario adimensional t/tp
0.77
t c
0.000325
t p
t c
Q p
L
S 0.385
0.6t c
0.208
0.000325
0.385
0.208
0.6
0.9482 horas
1 114.58
t p
0.9482
15.49
1.5427
t 0 0.15427 0.46281 0.61708 0.92562 1.07989 1.23416 1.38843 1.5427 1.69697 1.85124 2.00551 2.31405 2.62259 2.93113 3.39394 4.01102 4.93664 7.7135
0 0.1 0.3 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.5 1.7 1.9 2.2 2.6 3.2 5
0.001
0.9482
APe
1000
0.77
1.5427 horas
m 3 s
18 16 14 12
s / 3 m 10 n e , s 8 o t s a G 6
4 2 0 0
1
2
3
4
5
Tiempo , en hor as
6
7
8
9
q/qp 0 0.03 0.19 0.31 0.66 0.82 0.93 0.99 1 0.99 0.93 0.86 0.68 0.46 0.33 0.21 0.11 0.04 0
Q 0 0.4647 2.9431 4.8019 10.2234 12.7018 14.4057 15.3351 15.49 15.3351 14.4057 13.3214 10.5332 7.1254 5.1117 3.2529 1.7039 0.6196 0
