GUÍA PARA EL EXAMEN A TÍTULO T ÍTULO DE SUFICIENCIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES MAYO 2010, ACADEMIA DE MATEMÁTICAS
IE, ICA, ISISA I. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN VARIABLES SEPARABLES Para esta sección se proporciona la solución completa de las ecuaciones para que puedas repasar las técnicas de integración, ya que muchas veces el problema no son los procedimientos sino las integrales que resultan:
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
ECUACIONES HOMOGÉNEAS. Resolver las siguientes E.D. empleando el método de sustitución:
1. ( x y)dx xdy 0
2. xdx xdx ( y 2 x)dy 0
3. ydx ydx 2( x y)dy
y x ln x cx
( x y) ln x y x c( x y)
2 y x
y
4. ( x y)dx xdy xdy 0 y
1 2
dy
7.
dx
cx
x
1
5.
2
y
y x
6.
( y yx)dx x dy 0 2
2
( y yx)dx x dy 0 2
x
2 x y
ln x c
y
8. ydx ( x
c 2
(cx) 2
xy )dy 0
y x
ln( x y ) 2 tan 2
2
1 x
y
ln y 2 x
c
y
c
ECUACIONES EXACTAS. Verifique si la E.D. es exacta y resuélvala:
1. (2 x 1)dx (3 y 7)dy 0 x 2 x
3. 5 2
3 2
(5 x 4 y)dx (4 x 8 y )dy 0 3
2
x y 3 x 4 y c 2
7.
ysenx x)dx (cos x x cos cos y y)dy 0 4. (seny ysen xseny xseny y cos x
(2 y x 3)dx (2 yx 4)dy 0 2
(2 x y)dx ( x 6 y)dy 0
No es exacta
y 2 7 y c
x 2 4 xy 2 y 4 c
5.
2.
6.
(2 y
1
x
1 2
y 2 c
cos cos 3 x)
dy dx
y x
2
4 x 3 3 ysen ysen3x 0
2
No es exacta
( x y) dx (2 xy x 1)dy 0 , 2
2
y(1) 1
8.
(e y)dx (2 x ye )dy 0 . y(0) 1 x
y
e xy 2 y ye e 2 x
y
y
x 3 3 x 2 y 3 xy 2 3 y 4
12
ECUACIONES LINEALES. LINEALES. Resuelva las siguientes E.D. por el método de factor integrante.
1 1 x x y x e 2 c 3 3 9
1 x x y x3e2 ce2 3
1 x x y x 2e 1 ce 2
y 2 xe ce
y x cos cos x x senx cx
x
y
3
3 x sen2 x x 1 cos cos 2 x ce 2 4
y x e 2
x 2
x2
ce
1
x
2
2
1
y
tan x c (1 x )
2 2
ECUACIONES DE BERNOULLI. Resuelva las siguientes E.D. empleando la sustitución apropiada:
1. x 2 y´2 xy 5 y 3 y 2
x 2 cx
5
7 x 15 cx
7
3.
y 2 y´2 xy 3 6 x
y 3 ce 3
4. x 2 y´2 xy 5 y 4 y
2.
3 x 2
5. x 3 y´2 xy y 3 0 y
y 2
x 0
x ce
2 x
1
6. xy´6 y 3xy
4
3
y ( x cx 2 ) 3
5 x 2 5cx
y´ y y 3
5
MISCELÁNEOS E.D. ORDEN 1: Resolver los siguientes problemas por el método que le sea posible:
y x 2 x c 2
2 ln(cx) y ln(
13
y
5.
3
x 3 c 1
( x 1)
dy dx
y 2 x 1 2
6.
x( y 2 1)
ln( x 1) c y tan x 1 ln(
dT dt
K (T 50) K Constante, T(0)=200
T (t ) 50 150 150e
kt
II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN COEFICIENTES INDETERMINADOS. Resuelva Resuelva las E.D. siguientes por el método de coeficientes indeterminados.
1. y´´3 y´2 y 6
2. y´´10 y´25 y 30x 3
y c1e c2e2 3 x
3.
1 4
y c1e5 x c2 xe5 x
2
2 x
c2 xe 2 x x 2 4 x
7
5
x
3 5
4 3 x 2 cos 3 x c2 sen 3 x (4 x 4 x )e y c1 cos 3
2
x 1 y´´ y´ y 3 e 2 4
1 y c1e x / 2 c2 xe x / 2 12 x 2e x / 2 2
7.
6
4. y´´3 y 48 x 2e3 x
y´´ y´ y x 2 x
y c1e
5.
x
cos 2 x y´´2 y´5 y e cos x
1 x x x cos 2 x c2e sen2 x xe sen2 x y c1e cos 4
6. y´´4 y 3sen2 x 3 y c1 cos cos 2 x c2 sen2 x x cos cos 2 x 4
cos 2 x 8. y´´2 y´ y senx 3cos
y c1e
x
1
12
2
25
c2 xe x cos cos x
sen2 x
9 25
cos cos 2 x
14
VARIACIÓN DE PARÁMETROS. Resuelva las siguientes E.D. por el método de variación de parámetros.
1. y´´ y sec x
2 2. y´´ y cos cos x
y c1cos xsenx cos cos x c2 senx xsenx cos x ln cos cos x ; ( / 2, / 2)
3.
5.
x
4.
1
y´´3 y´2 y
y c1e
2
1
cos cos 2 x 6
x y´´3 y´2 y sene
x
y c1e
x c2e2 x (e x e2 x ) ln( ln(1 e )
6.
x
y´´2 y´ y
1
1 e
e
1 x
2 x
c2e x e2 x sene x
y´´2 y´ y e ln x x
2
y c1e c2 xe x
7.
y c1cos cos x c2 senx
x
1 2
y c1e
1
ln(1 x ) xe tan x e ln( 2
x
x
x
1
c2 xe x x 2e x ln x 2
3 y´´6 y´30 y e tan 3 x x
cos 3 x c2e sen3 x y c1e cos x
x
1 27
cos 3 x ln sec 3 x tan 3 x e cos x
8. y´´´ y´ tan x cos x c3 senx ln cos cos x senx ln sec x tan x y c1c2 cos
ECUACIONES DE CAUCHY EULER. Resuelva las siguientes E.D. de Cauchy-Euler. Para las ecuaciones no homogéneas aplique variación de parámetros. 1. x y´´ xy´4 y 0
2. x y´´3 xy´2 y 0
y c1 cos(2 ln x) c2 sen(2 ln x)
y c1 x 2
3. x y´´5 xy´4 y 0
2 4. 3 x y´´6 xy´ y 0
2
2
y c1 x 2 c2 x 2 ln x
2
y x
1 / 2
6
c2 x2
6
3 3 cos ln x c2 sen ln x c1 cos 6 6
5. x y´´´6 y 0
3 2 6. x y´´´2 x y´´2 xy´8 y 0
y c1 x c2 cos( 2 ln x) c3sen( 2 ln x)
1 2 4 y c1 x c2 x c3 x
3
3
15
7. x 2 y´´3xy´ 0 , y 2 2 x
9.
8. xy´´ y´ x
y(1) 0 , y´(1) 4
2
y c1 c2 ln x
x 2 4
2 x y´´5 xy´ y x x 2
2
y c1 x
1 / 2
c2 x 1
1
1 x 2 x 15 6
III. TRANSFORMADA DE LAPLACE 1. Determine la Transformada de Laplace de las siguientes funciones:
a) L f (t )
b) L e
c) L t
4 t
4
2) f (t ) =
0 t 2
4
t 2
2t
0 t 5
1
t 5
3e2 t cos t 4 senh 2t
F ( s)
2
2
sen t
f) L t u(t 2) 2
g) L (t 1)
F ( s)
F ( s)
4
s
e
2 s
9 s 2 s 2 F ( s) e 5 2 e 5 2 s s s
1
s4 24
s5
2 ( s 2)
3
3 ( s 2) 1
1 1
2
6 ( s 1) 4
2
8
s2 4
2 s 1 ( s 1) 2 4
s 1
6s 2 2 F ( s) 2 3 ( s 1)
e) L t sen t
0
F ( s)
1) f (t ) =
t 2 e2 t 3e t sen 2t
t
d) L e
para
F ( s) e
2 s
F (s) e
2 4 4 s 3 s 2 s
s
16
2. Determine la Transformada de Laplace Inversa de las siguientes funciones: a) L
-1
b) L
c) L
-1
3s 12 s 2 8
cos 8t f (t ) 3 cos
1 2s 5
f (t )
2s 1 s( s 1)
-1
e) L
f) L
g) L
-1
h) L
i) L
-1
-1
-1
2
5
e
2
f (t )
1 24
t 4 e
f (t ) 2e
e 3s 2 s 2 s 1
f (t ) (t 3)e
s3 16s 24 s4 20s2 64
f (t )
1
s 1 6s 2 7s 2
f (t )
1
2
2
2 s 3 ( s 2)( s 3)(s 2 2s 5)
f (t )
1 2 1 3 2 s s 2 s 2
f (t )
j) L -1
1
(s 2 )
3
sen 8t
t
se2 S s2 3s 2
k) L -1
8
t t f (t ) 2e 1 e
s -1 d) L 5 ( s 1)
-1
1
12
s 1 ( s 1) 4 2
s 1 3
2
1 2
t
1
t 3 e t 6
2 (t 2)
e (t 2) u(t 2)
t 3
u(t 3)
sen4t cos cos 2t sen2t
e
1
(1 / 2 ) t
1 25
e ( 2 / 3)t 3
e
2t
3 50
3 e
t
9 25
t
e sen2t
1 50
t
cos 2t e cos
t 2 e 2 2sen 2t
f (t )
t
1 2
t 2 e
2t
e t cos cos 2t 3senht
17
3. Determine la Transformada de Laplace de las siguientes funciones periódicas:
f (t )
a) 1
0
1
2
3
4
t
-1 e 1 F ( s) s1 e 2
s
2s
b) f (t )
1
0
1
2
3
t
se s F ( s) s 2 s 1 e 1 e
s
4. Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes mediante Transformada de Laplace cos t , a) y' ' y' e cos
y(0) 0,
t
y' (0) 0 y(t )
b) y' '4 y'5 y
(t 2 ) ,
y(0) 0,
1 2
1
1
2
2
t e t cos cos t e sent
y' (0) 0
y(t ) e 2( 2 ) sen(t 2 )u(t 2 ) t
c)
y' '3y '2 y 4e
t
y(0) = 1, y’(0) = -1
y(t )
4 3
e
2t
2
e t e t 3
18
2 3t y y y t e ' ' 6 ' 9 d)
y(0) =2, y’(0) =6
y(t ) 2e t y y y e ' ' 4 ' 6 1 e)
y(0) =0,
cos 4t y' '16 y cos
y(0) =0,
y' '6 y'9 y t
y(0) =0,
y ' '4 y'4 y t 3e 2t
12
3t
1
1
1
3
2
e t e 2t cos( 2t )
6
2 3
e
2t
sen( 2t )
1 6
sen(4t )
1
2
2
8
t sen(4t )
y’(0) =1
y (t )
h)
4
t e
y’(0) =1
y (t )
g)
1
y’(0) =0
y (t )
f)
3t
y(0) =0,
1 9
t
27
27
3 e
t
10 9
te
3t
y’(0) =0
y (t )
1 20
5
t e
2t
IV. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 1. Resolver los siguientes sistemas sistemas de ecuaciones diferenciales diferenciales lineales mediante eliminación o determinantes: dx dt a) dy dt dx dt b) dy dt
2 x y
x
x c1e t c2 te t y (c1 c 2 )e c2 te t
y t
x t
t
x c1 cos cos t c2 sent t 1 y c1 sent c 2 cos cos t t 1
19
2
d x 2
c)
dt
4 y e t
x c1 c 2 cos cos t c3 sent
17
4 x e t
y c1 c 2 sent c3 cos cos t
4
2
d y 2
dt
15 15
e
3t
e
3t
2. Resolver los siguientes sistemas sistemas de ecuaciones diferenciales diferenciales lineales mediante mediante Transformada de Laplace dx
a)
x y
dt dy dt
2 x
x 2 y
5 x y
dt b) dy dt 2
c)
dx
dy
dt dt dx dy
dt
dt
2
d x 2
d)
dt 2
d x 2
dt dx dt b) dy
3
x(0) 1 y(0) 2
2 x 1
3 x 3 y 2
dy dt
3 y 0
3 y te t
y t
dt
x(0) 0 y(0) 1
dx
1 2t 1 t x e e 3 3 1 2t 2 t y e e 3 3
x t
x(0) 0 y (0) 0
x (0) 0, x´(0) 2 y (0) 0
x cos cos 3t
5
y 2 cos cos 3t
7
3 3
sen3t sen3t
3
y
x
8 13 1 2
y
e 3t
2
c)
dt
2
dt
2
2 t
e
2 t
2
1 3
1 2 1 6
t
1
1
3
3
e t te t
x c1 cos cos t c2 sent t 1 y c1 sent c 2 cos cos t t 1
4 y e t
x c1 c 2 cos cos t c3 sent
4 x e t
y c1 c 2 sent c3 cos cos t
2
d y
2 5
e
t t 1 e
2
d x
5
t x 2e
17 15 4 15
e
3t
e
3t
20
EJERCICIOS DE CONCEPTOS Y PROBLEMAS 1. (a) Diga con sus propias palabras que entiende por soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial. (b) Enuncie el principio de la superposición. s uperposición. (c) Defina el conjunto conjunto fundamental fundamental de soluciones (d) Demuestra que y1
e 3 x
y
e y1 e
4x
es un conjunto fundamental de la
ecuación
y' ' y '12 y 0 2. Una masa que pesa 20 libras alarga a un resorte 6 pulgadas. La masa se libera al inicio desde el reposo de un punto 6 pulgadas abajo debajo de la posición de equilibrio. (a) encuentre la posición de la masa en los tiempos t = π/12, π/8, π/6, π/4, Y 9π/32s. (b) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando t = 3 π/16 s? ¿en que dirección se dirige la masa en este instante? (c) ¿en que tiempo la masa pasa por la posición de equilibrio?
3. Una masa que pesa 64 libras alarga un resorte 0.32 pies. Al inicio la masa se libera desde un punto que esta 8 pulgadas arriba de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j)
encuentre la ecuación de movimiento ¿Cuáles son amplitud y periodo del movimiento? ¿Cuántos ciclos completos habrá completado la masa al final de 3π segundos? ¿en que momento la masa pasa por la posición de equilibrio con dirección hacia abajo por segunda vez? ¿en que instantes la masa alcanza sus desplazamientos extremos en cualquier lado de la posición de equilibrio? ¿cual es la posición de la masa en t = 3s? ¿cual es la velocidad instantánea en t = 3 s? ¿Cuál es la aceleración en t = 3s? ¿Cuál es la velocidad instantánea en los instantes cuando la masa pasa por la posición de equilibrio? ¿en que instante la masa esta 5 pulgadas abajo de la posición de equilibrio apuntando en dirección hacia arriba?
4. Calcule la carga del capacitor en un circuito en un circuito LRC en serie cuando L = ¼ h, R = 20 Ω, C = 1/300 f, E (t) = 0 V, q (0) = 4 C e i(0) = 0 A. ¿alguna vez la carga en el capacitor es igual a cero?
5. Encuentre la corriente de estado estable en un circuito LRC cuando L = 1/2h, R = 10Ω, C = 0.001 f y E (t) = 100 sen 60t + 200 cos 40t V.
21
6. (a) Definir la la Transformada de Laplace. (b) Explique Explique las condiciones condiciones que que debe cumplir f(t) para que exista su Transformada Transformada de Laplace (c) Emplee la definición de de transformada para para demostrar que: que: 2
L sen5t 5/(s + 25) -5t
L e
7. Dada
s/(s - 5 ) 0 t 2
1 t f (t ) 2 t 0
2 t 5 5 t 10
t 10
(a) Grafique la función. (b) Exprese la función en términos de la función del escalón unitario. (c) Calcule la transformada de f aplicando la definición.
8. Usando convolución, demuestre que: 1
1
L
s
2
t sen t s 2 1 1
9. Resuelva la ecuación integral dada usando la transformada de Laplace. x(t )
t
cost x d sent cos 0
solución : xt
2 3
t
3 2 t
e sen 2
10. Usando Transformada de Laplace, determina la carga q(t) y la corriente i(t) en un circuito en serie en el cual L = 1h, R = 20 , C = .01 F, E(t) = 120 sen(10t) V, q(0) = 0,e i(0) = 0, ¿cuál es la corriente de estado estable?.
22
