INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS NO. 11 “WILFRIDO MASSIEU” ACADEMIA DE MATEMÁTICAS UNIDAD DE APRENDIZAJE DE CÁLCULO DIFERENCIAL UNIDAD 1 Resuelve problemas de funciones, en el campo de los números reales, que involucren los conceptos de límite y continuidad en situaciones relacionadas con su entorno académico.
RESULTADO DE APRENDIZAJE PROPUESTO: 1. Establece el comportamiento de las funciones, a través de su gráfica y sus operaciones. 2. Emplea la definición y teoremas de límites en la la continuidad y discontinuidad de las funciones
PAGINAS WEB DE CONSULTA: 1. Funciones http://www.vadenumeros.es/cuarto/conceptos-de-funciones.htm 2. Funciones http://www.vadenumeros.es/primero/dominio-y-recorrido-de-funciones.htm 3. Limites http://www.vadenumeros.es/primero/ejercicios-de-limites-resueltos.htm 4. Limites http://www.vitutor.com/fun/3/a_1.html
EJERCICIOS: 1. Grafica las siguientes funciones en los dominios indicados para cada caso a.
y=
b.
y=
c.
y=
d.
y=
1 x − 2 1 x − 2 1 x − 2 1
2 x − 6
3 < x < 10 -10 < x < 1 0
− 6 x + 9 x − 3 2 x − 6 x + 9 f. y = x − 3 2 x − 6 x + 9 g. y = x − 3 e.
y=
x
2
-3 < x < 3 3 < x < 10 -3 < x < 5
2. ¿Cuál es el valor de la función y = 8x - 5x - 3x + 8 cuando x = -5, 0, 3, 5, 10, 100, 5000? 3
3. ¿Cuál es el valor de la función y =
3 4
x2-
2
1 3
cuando x = -5, 0, 3, 5, 10, 100, 5000?
UNIDAD DE APREND IZAJE DE CÁLCULO DIFERENCI AL
Página 1
4. ¿Para qué valores de x (dominio) se puede graficar la función y =
5. ¿Para qué valores de x (dominio) se puede graficar la función y =
6. ¿Cuál es el valor de la función y =
2 x − 4
x − 2
1 x − 2 x
2
? ¿por qué?
+ 4 x + 3 ? ¿por qué? x + 1
cuando x = -5, -2, 0, 2, 5, 10, 100, 5000?
7. Si f(x) = √x2 -1 y g (x) = 2/x. Determine formulas para los siguientes y determine sus dominios a. (f g(x)) = b. f4 (x) + g4 (x) c. (fog) (x) = d. (gof) (x) = e. f(-2) f. g(0) g. f(-1) h. g(1) 8. Bosqueja la grafica de las siguientes funciones determina el dominio
− x si x < 0 a. f(x) = x si 0 ≤ x < 1 1 + x si x ≥ 1 b.
g(x) =
x2 − 4 2x
c.
h(x) =
d.
i(x) = 3 − x si x > 3
x2 − x − 2 x − 3 si x ≤ 3
9. Determina los siguientes límites de las funciones anteriores, a. lim f(x) = x →0
b. c. d.
lim g(x) = x →1
lim h(x) =
x →−2
Lim i(x) =
x →−1
10. Determina el límite de las siguientes expresiones
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x2 + x − 2 a) lim x →1 x −1 2x 2 − 6xπ + 4π 2 b) lim x →π x2 − π2 t c) lim t →∞ t − 5 sen 2 θ d) lim 2 θ →∞ θ − 5 x 2 + mx − x − m e) lim x → −3 x 2 − 2x − 3 x 2 − 14x − 51 f) lim 2 x →1 x + 4x − 21 2x + 1 g) lim x→∞ x2 + 3 3x 2 − 13x − 10 h) lim x →5 2x 2 − 7x − 15 1+ x − 1− x i) lim x →0 x 2+ x − 2 j) lim x →0 x 2 t − 1 − 21 t k) lim x → −7 t+7 x2 − 9 l) lim x →3 x − 3 11. Considera la función y = f(x) cuya grafica esta bosquejada
a. Estima f(2), f’(2), f(0.5) b. Estima la tasa de cambio promedio en “f” sobre el intervalo .5 ≤ x ≤ 2.5 c. En el intervalo -1 < x < 6, ¿En donde lim f(u) no existe? u → x
d. e. f. g.
En el intervalo -1 < x < 6, ¿En donde “f” es continua? En el intervalo -1 < x < 6, ¿En donde “f” no tiene derivada? En el intervalo -1 < x < 6, ¿En donde f’(x)=0? En el intervalo -1 < x < 6, ¿En donde f’(x)=1?
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12. Determine los puntos de discontinuidad en las siguientes funciones
a)
f(x) =
b)
g(t) =
c)
f(x) =
d)
f(x) =
x 2 − 5x + 6 x−2 t−4 3x + 7 (x − 30) 9 2 x −6
13. ¿Cómo es el valor de y cuando x crece mucho si y = x
2
+ 6x + 2 ?
14. ¿Cómo es el valor de y cuando x crece mucho si y =
5x
15. ¿Cómo es el valor de y cuando x crece mucho si y =
5
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2
+1 ?
x − 3
?
Página 4
UNIDAD 2 Resuelve problemas referentes a la derivada de funciones algebraicas en situaciones de su entorno académico, social y global.
RESULTADO DE APRENDIZAJE PROPUESTO: 1. Obtiene derivadas de funciones algebraicas a partir de su definición y el uso del formulario en situaciones académicas 2. Aplica la derivada en situaciones geométricas y físicas, en la resolución de problemas, de su entorno académico 3. Resuelve problemas de optimización que involucren funciones algebraicas, en situaciones académicas, sociales y globales
PAGINAS WEB DE CONSULTA: 1. Derivadas, definición y formulas. http://www.vadenumeros.es/primero/definicion-y-tabla-de-derivadas.htm http://www.vadenumeros.es/primero/derivada-potencial-logaritmica.htm http://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-trigonometricas.htm 2. Aplicación http://www.vadenumeros.es/primero/tangente-en-un-punto-derivada.htm http://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-maximos-y-minimos.htm http://www.vadenumeros.es/primero/grafica-polinomicas-racionales.htm 3. Derivadas, ejercicios resueltos. http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/ejercios_resueltos.htm 4. Derivadas (Vitutor) http://www.vitutor.com/fun/4/b_1.html
EJERCICIOS: 1. Comprobar cada una de las siguientes derivadas, utilizando la defunción de esta:
d
a.
(3x dx
b.
d 2 3 2 3 − 2=− 2 + 3 dx x x x x
c.
3 1 1 5 − − − d 2x 4 + 4x 4 = 3 x 4 − x 4 2 dx
d.
e.
4
− 2x 2 + 8) = 12x 3 − 4x
2 d a + bx + cx a =c− 2 dx x x y=
a2 + x2 x
a2
=− x
2
2 2 a +x
2. Comprobar cada una de las siguientes derivadas: a. b.
d
(4 + 3x − 2x ) = 3 − 6x dx d
(at dt
3
5
2
− 5bt 3 ) = 5at 4 − 15bt 2
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d z 2
z 7
− = z − z6 dz 2 7 4 2 1 8 1 − d 3 3 3 = t − 2t 3 d. 2t − 3t dt 3 2 a + bt + ct e. s = c.
t
y=
g.
r = 1 − 2θ
h.
f(t) = 2 − 3t 2
i.
g(x) = 3 4 − 9x
j. k.
l.
ax +
a
f.
ax
y=
m. y
=
dt dy dx dr dθ
(
b y = a + 2 x a−x y= a+x
ds
)
3
3
2 2 a +x
dx dy
dx
a2 + x2
dy
2 2 a −x
dx
s = t a2 + t2
=−
=− =− =
3c t 2
2x ax
1 − 2θ
)
2
3
(4 − 9x )
2
3
6b b = − 3 a + 2 dx x x dy 2a
1 + cx
p.
−
dy
dy
y = x a + bx
=−
g' (x) = −
1 − cx
o.
2 ax 1
+
2 t a
(
dx
y=
2t t a
=
b
+
f' (t) = -18t 2 - 3t 2
x
n.
a
=−
2
(a + x )2 a2 x2 a2 + x2 c
(1 + cx ) 1 − c 2 x 2 2
2a x
(a
− x2 ) a4 − x4 dy 2a + 3bx = dx 2 a + bx ds a 2 + 2t 2 = dt a2 + t2 2
3. Obtener la función derivada de los funciones siguientes: a. b. c. d.
d dx d dx d
dx d dx
cos(6x + 2) = sen(x 2 − 2x) =
cos (x − 3) = 4
tan( 4x 3 + 3 x ) =
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e. f. g. h. i. j.
x + 3 = dx x - 3 d x + 1 x + 1 sec tan = dx x - 1 x - 1 5 d 3 ctan (x + 4x ) = dx d
d dx d
dx d dx
csc
(
)
x 2 tan 2 x 3 + 7 x =
csc(x + 3) =
(
)
sen 4x 3 + 7x = cos( x )
k.
f ( x ) =
l.
g ( x ) = xsen
1 x
m. f ( x ) = n.
x
x sen( x ) 2
g ( x ) = ( x + ctg ( x ))
4. Obtener la tercera derivada de la función 5. Obtener y '''(x) , SI y = x4 - 2x2 + x – 5 (4)
6. Obtener y (x) , SI y = 3 / (2x - 1) 7. Dada x2 + y2 = 1 ; Demuestre y'''(x) = - (1 / y3) 8. Obtener f (5)(x) , SI f(x) = cos (2x) – sen (2x). 9. Obtener u'''(v) , SI u
= v v−2
10. Dada x 1/2 + y1/2 = 2 , demuestre que y ''' (x) = 1 / x 3/2 11. En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar el valor de
dy dx
para el valor dado de x, y determinas la
ecuación de la recta tangente y la recta normal en dicho punto. a.
y = (x 2 − x)3 ; x = 3
b.
y=3 x+
c.
y = 9 + 4x 2 ; x = 2
d.
y = x2 1+ x3 ; x = 2
e.
2 y = x 8+ x ; x = 2
f.
y=
x2 + 2 2 − x2
x ; x = 64
;x=2
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g.
y=
5 − 2x
;x=
2x + 1
1 2
12. Graficar las siguientes funciones, indicando sus puntos críticos y puntos de inflexión e indique la concavidad de la función: a.
2 f ( x) = x + 4 x
h.
3 2 f ( x ) = 2 x − 9 x + 12 x
b.
2 f ( x) = x + x
i.
3 f (t ) = 3t − 18t
c.
f ( x) = x − 3 x + 1
d.
f ( x) =
3
1
(2 x 2
3
+ 3 x 2 + 12 x )
4
k.
f ( x) =
f.
4 2 f ( x) = x − 2 x + 2
g.
5 f ( x) = x −
2
25 3
3
2
3 2 f ( x ) = 4 x − 3 x − 6 x + 12
f ( x) =
l.
1
e.
1 + x
f ( x ) = x − 6 x − 24 x + 3 x + 1
j.
x
2
2 x + 1
m. f ( x) = x x − 2
3 x + 20 x − 1
13. Un experimento indica que un cuerpo que cae descenderá aproximadamente 16t2 pies en t segundos. a) ¿Cuánto caerá entre t = 0 y t = 1? b) ¿Cuánto caerá entre t = 1 y t = 2? c) ¿Cuál es su velocidad en t = 2? d) ¿Cuál es su velocidad instantánea cuando t = 3? 2
14. Un objeto viaja a lo largo de un recta de modo que su posición es f(t) = t + 1 metros después de t segundos. a) ¿Cuál es su velocidad en t = 2? b) ¿Cuál es la ecuación de la velocidad? 3 2 15. El movimiento de una partícula a lo largo del eje x está expresado por la formula f(t) = 2t − 6t − 18t , con f(t) en metros y t en segundos. Calcula el tiempo en que la partícula se detiene (v = 0).
16. El movimiento de una partícula a lo largo del eje x está expresado por la formula f(t) =
( t 3 − t ) , con x en metros y t 3 1
en minutos. Calcula la velocidad de la p artícula cuando: a) t = 1. b) t = 0. 17. Una bola se lanza verticalmente hacia arriba desde el piso, con una velocidad inicial de 200 pies por segundo, la altura de la bola, y, al término de t segundos es f(t) = 200t − 16t 2 . a) Halla su velocidad al término de 3 segundos. b) Determina el momento en que su velocidad es cero. c) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la bola? d) ¿Cuál es la velocidad de la bola en el momento en que toca el piso? 18. Si un proyectil se dispara hacia arriba, su altura sobre la superficie de la tierra en el tiempo t está expresada por la 2
función cuadrática f(t) = at + bt + c , en la cual a, b y c son constantes determinadas por las condiciones del problema. Supón que un proyectil se dispara directamente hacia arriba desde un avión que vuela a una altura de 2000 pies, y que el proyectil tiene una velocidad inicial de 1000 pies por segundos. Si la aceleración del proyectil es de -32 pies por segundo por segundo por efecto de la gravedad: a) Encuentra los valores de a, b y c. b) Encuentra la altura que alcanza el proyectil. c) Determina cuánto tiempo toma al proyectil llegar hasta el piso. d) Determina la velocidad del proyectil en el momento en que toca el piso.
19. Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x 3 − 3x2 − 9x + 5 es paralela al eje OX. UNIDAD DE APREND IZAJE DE CÁLCULO DIFERENCI AL
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20. Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x 3, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,−2). Hallar el punto de tangencia. 21. Buscar los puntos de la curva f(x) = x 4 + 7x 3 + 13x2 + x +1, para los cuales la tangente forma un ángulo de 45º con OX. 22. Dada la función f(x) = tg x, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas. 23. Hallar los coeficientes de la ecuación y = ax 2 + bx + c, sabiendo que su gráfica pasa por (0, 3) y por (2, 1), y en este último punto su tangente tiene de pendiente 3. 24. La gráfica de la función y = ax 2 + bx + c pasa por los puntos (2, 3) y (3, 13). siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor num érico de a, b y c. 25. Dada la función f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, determina a, b, c y d; sabiendo que la curva pasa por los puntos (−1, 2) (2, 3), y que las tangentes a ella s en los puntos de abscisa 1 y −2 son paralelas al ejes de abscisas. 26. La tasa de cambio de la carga eléctrica con respecto al tiempo se denomina corriente. Suponga que
1 3
t 3 + t coulombs de carga fluye a través de un alambra en t segundo. Encuentra la corriente, en amperes
(coulombs por segundo) después de 3 segundos. ¿Cuándo se fundirá un fusible de 20 amperes en la línea? 27. Un negocio esta prosperando de tal manera que su ganancia total (cumulada) después de t años es 1000t2 dólares a. ¿Cual es su ganancia durante el tercer año (entre t = 2 y t = 3)? b. ¿Cuál es su tasa promedio de ganancia durante la primera mitad del tercer año, entre t = 2 y t = 2.5? (la tasa será en dólares por año). c. ¿Cuál fue la tasa instantánea de crecimiento en t = 2? 28. Una Ciudad es azotada por una epidemia de gripe asiática. Las autoridades estiman que t días después del 2 3 inicio de la epidemia el número de personas con la gripe está dada por p(t) = 120 t – t , cuando 0 ≤ t ≤ 4. ¿A qué tasa se expande la gripe en el instante t = 10, t = 20 y t = 40? 29. Una viajera espacial se mueve de izquierda a derecha a lo largo de la curva y = x 2. Cuando ella apague los motores, continuará viajando a lo largo de la recta tangente en el punto en que ella esté en ese momento. ¿En qué momento debe apagar los motores para que alcance el punto (4,15) 30. Una pelota rueda hacia abajo a la largo de un plano inclinado de modo que su distancia s desde su punto 2 de inicio después de t segundos es s = 4.5 t + 2t. ¿Cuándo su velocidad instantánea será de 30 pies por segundo? 31. La ecuación de un movimiento circular es:φ(t) = ½t². ¿Cuál es la velocidad y la aceleración angulares al cabo de siete segundos? 32. Un observador se encuentra a 2000 m de la torre de lanzamiento de un cohete. Cuando éste despega verticalmente mide la variación del ánguloΦ(t) que forma la ílnea visual que le une con el cohete y la del suelo horizontal en función del tiempo tran scurrido. Sabiendo que Φ'(t) = π /3, se pide: 33. Encuentra las pendientes de las rectas tangentes a la curva y = x x = - 2, - 1, 0, 1, 2 . 34. Encuentra la ecuación de la recta tangente a y
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=
1 x − 1
2
-1 en los puntos en donde
en (0,-1).
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35. Un experimento indica que un cuerpo que cae descenderá aproximadamente 16t 2 pies en t segundos. e) ¿Cuánto caerá entre t = 0 y t = 1? f) ¿Cuánto caerá entre t = 1 y t = 2? g) ¿Cuál es su velocidad promedio en el intervalo 2 ≤ t ≤ 3? h) ¿Cuál es su velocidad promedio en el intervalo 3 ≤ t ≤ 3.01? i) ¿Cuál es su velocidad instantánea cuando t = 3 ? 36. Un objeto viaja a lo largo de un recta segundos. c) ¿Cuál es su velocidad promedio d) ¿Cuál es su velocidad promedio e) ¿Cuál es su velocidad promedio
2
de modo que su posición s es s = t + 1 metros después de t en el intervalo 2 ≤ t ≤ 3? en el intervalo 2 ≤ t ≤ 2.003? en el intervalo 2 ≤ t ≤ 2 + h?
37. Cierto cultivo de bacterias crece de modo que tiene una masa de
1 2
2 t + 1 gramos después de t segundos
a) ¿Cuánto crecerá durante el intervalo 2 ≤ t ≤ 2.01? b) ¿Cuál es la tasa promedio de crecimiento durante el intervalo 2 ≤ t ≤ 2.01? 38. Calcula el área del triángulo que forman la tangente y la normal a la curva y el eje x. 39. Halla el área del triángulo que forman la tangente y la normal a la curva y eje y. 40. Halla la ecuación de la normal a la parábola y
2
= 6 x − x 2 en el punto (5,5) y = 9 − x en el punto (5,2) y el
= 5 x + x 2 que forma un ángulo de 45° con el eje de las x.
41. Halla las ecuaciones de las tangentes al círculo x
2
42. La ecuación de la trayectoria de una pelota es y
+ y 2 = 58 que son paralelas a la recta 3 x − 7 y = 19 .
= x −
x
2
100
, siendo la unidad de distancia un metro, el eje
de las x horizontal y el origen el punto desde el cual s e lanza la pelota. a) ¿Con que ángulo se lanza la pelota? b) ¿Con que ángulo dará la pelota contra una pared vertical, situada a 75 m del punto de partida? c) Si la pelota cae en una azotea horizontal de 16 m de alto, ¿con que ángulo dará en la azotea? d) Si la pelota se ha lanzado desde la azotea de un edificio de 24 m de alto, ¿con que ángulo dará al suelo? e) Si se ha lanzado desde la cumbre de una cuesta, inclinada hacia abajo en ángulo de 45°, ¿con que ángulo dará en el suelo? 43. El movimiento de una partícula a lo largo del eje x está expresado por la formula x =
1
(t − t ), con x en 3 3
metros y t en minutos. Calcula la velocidad de la partícula cuando: c) t = 1. d) t = 0. 44. Una bola se lanza verticalmente hacia arriba desde el piso, con una velocidad inicial de 200 pies por segundo, la altura de la bola, y, al término de t segundos es y = 200t − 16t . e) Halla su velocidad al término de 3 segundos. f) Determina el momento en que su velocidad es cero. g) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la bola? h) ¿Cuál es la velocidad de la bola en el momento en que toca el piso? 2
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45. Si un proyectil se dispara hacia arriba, su altura sobre la superficie de la tierra en el tiempo t está expresada por la función cuadrática s(t) = at + bt + c , en la cual a, b y c son constantes determinadas por las condiciones del problema. Supón que un proyectil se dispara directamente hacia arriba desde un avión que vuela a una altura de 2000 pies, y que el proyectil tiene una velocidad inicial de 1000 pies por segundos. Si la aceleración del proyectil es de -32 pies por segundo por segundo por efecto de la gravedad: e) Encuentra los valores de a, b y c. f) Encuentra la altura que alcanza el proyectil. g) Determina cuánto tiempo toma al proyectil llegar hasta el piso. h) Determina la velocidad del proyectil en el momento en que toca el piso. 2
46. Una compañía de transporte tiene un costo promedio por reparaciones de $ 1000 por camión y un costo de mantenimiento de rutina de: M(x) =
x2 10 6
+ 0.02x , en donde x es el intervalo, en millas, entre reparaciones
generales del motor. El costo total de mantenimiento del motor, en dólares por milla, por tanto está expresado, por:
C(x) =
1000 x
+ 0.02x +
x 10 6
a) Halla la rapidez de variación de los costos totales de mantenimiento del motor con respecto al intervalo entre reparaciones generales del mismo. b) Compara las razones encontradas en (a) para x = 50,000 y x = 100,000. c) ¿Qué intervalo minimiza el costo total de mantenimiento del motor por milla? 47. Supón que un cultivo bacteriano está creciendo en tal forma que hay 10 t miligramos del cultivo después de t horas de crecimiento. a) Halla la rapidez de crecimiento de este cultivo en el tiempo t = 2. b) Calcula la rapidez promedio de crecimiento de t = 2 a t = 2.1 y compárala con la respuesta anterior. 48. Si el poder adquisitivo del dólar está decreciendo a la tasa del 4 por ciento anualmente a causa de la inflación, ¿después de cuánto tiempo el dólar llegará a valer sólo 50 centavos de dólar? 49. Dada la función p(t): t
0
1
2
3
4
5
p(t)
12
14
17
20
31
55
a) Traza la gráfica de p’(t). b) Traza la gráfica de p’’(t)
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UNIDAD 3 Resuelve problemas referentes a la derivada de funciones trascendentes y el uso de la diferencial, en situaciones de su entorno académico.
RESULTADO DE APRENDIZAJE PROPUESTO: 1. Obtiene derivadas de funciones trascendentes, a partir de la definición de derivada y el uso del formulario, en situaciones académicas. 2. Resuelve problemas de optimización con funciones trascendentes, en situaciones académicas. 3. Resuelve problemas con el uso de la diferencial, en el entorno académico
PAGINAS WEB DE CONSULTA: 1. Derivadas, definición y formulas. http://www.vadenumeros.es/primero/definicion-y-tabla-de-derivadas.htm http://www.vadenumeros.es/primero/derivada-potencial-logaritmica.htm http://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-trigonometricas.htm 2. Aplicación http://www.vadenumeros.es/primero/tangente-en-un-punto-derivada.htm http://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-maximos-y-minimos.htm http://www.vadenumeros.es/primero/grafica-polinomicas-racionales.htm 3. Derivadas, ejercicios resueltos. http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/ejercios_resueltos.htm 4. Derivadas (Vitutor) http://www.vitutor.com/fun/4/b_1.html 5. Razón de cambio. http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Razon/FTRazon.pdf http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/cursoelsie/derivadafuncion/html/node11.html 6. Máximos y mínimos. http://www.dervor.com/derivadas/maximos_mimimos.html# http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/cursoelsie/aplicacionesderivada/html/node8.html http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Aplicaciones/FTMaximos.pdf
EJERCICIOS 1. Encuentra la derivada de:
e x x a) f ( x) = ln 6 ( x + 1) x b) y = e + 1 5 −3 ln x c) y = x e d) y =
1 2e x + 1
e) y = (3x2) ex+2 f)
y= e
g) y =
x
5e x
2
h) y = ln(3x) UNIDAD DE APREND IZAJE DE CÁLCULO DIFERENCI AL
i) j)
y = ln(1+2x2) y=
5 x ln(6 x )
k) y = 5x 2 ln(5x+2) l)
1 2 x + 1
y = ln
x 2 − 1 m) y = ln 2 x + 1 n) y = ln (x2 x
2
+1 ) Página 12
o) y = ln(1 + 3x 2)5
3 x 2 − 1 gg) y = log 2 e
p) y = 10 5x
x
q) y = 7 -x r)
hh) y = 5 x+log (5x)
x-2
y = 2
ii) y = x 5x
x+5
s) y = 5 t)
y=
jj) y =(1+x 2 )-x
2 x 2(6
x
kk) y = x √ x
)+1
2
ll) y =
x+2
u) y = (3x ) 3
(1 + e x ) x
3 x
v) y = 7 w) y =
1
5(3
5 x
x y = arc cos 3
mm)
)
x) y = log (7x) nn) y
3 = arc sec x
oo) y
= arc sin ( x − 6 )
pp) y
= xarc tan ( x )
bb) y = log3 (7 + x )
qq) y
= x 2 arc csc(3 x − 2 )
3 x 2 − 1 cc) y = log 2 x + 2
rr) y
=
ss) y
= ln (arc tan ( x − 3 ))
tt) y
= e x arc cos(4 − x )
uu) y
= arc sin ( x 2 + 3 x )
2
y) y = log2 (5+2x ) z) y = log5 (x-2) 5x 3 aa) y =
5 x 2 log(10 x ) 2 3
2 x + 2
dd) y = log2
ee) y = log5 (x5 x ff) y = 10
2
+5 )
e x
arc ctg (2 x ) x
2. Obtener la recta tangente de las siguientes derivadas. a. xy = 4 en (1,4) b. x2y + xy2 = 12 en (3,1) 2 2 c. x - y = 3 en (2,1) 2 2 d. x + y = 100 en (6,-8) e. (2xy / π) + sen y = 2 en (1 , π /2) 5 3 2 5 f. x + xy + x y + y = 4 en (1,1) 3 2 g. 2y + 4xy + x = 7 en (1,1) h. x + tan (xy) = 2 en (1 , π /4) 3. Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln (tg 2x) en el punto de abscisa: x = π/8. 4. ¿En qué punto de la curva y = ln x, la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (1, 0) y (e, 1)? 5. ¿Qué ángulos deben forma los lados iguales de un triangulo isósceles para que su área sea máxima? 6. De todos los triángulos rectángulos inscritos en un mismo circulo, ¿cuál es el que tiene área máxima? 7. De todos los rectángulos que tienen el mismo perímetro, ¿cuál es el que tiene área máxima? UNIDAD DE APREND IZAJE DE CÁLCULO DIFERENCI AL
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8. De todos los triángulos inscritos en un mismo circulo, ¿cuál es el que tiene área máxima? 9. De todos los triángulos circunscritos en un círculo dado, ¿cuál es el de mínimo perímetro? 10. ¿Cuál es el rectángulo de mayor área inscrito en una circunferencia? 11. En una cuchilla, con las dimensiones indicadas en la figura, se quiere construir un edificio de planta rectángulos, ocupando la mayor superficie posible y dejando el resto del terreno para jardines, ¿cuáles deben ser las dimensiones de la planta del edificio? 80 metros
y
6 0 m e t r o s
x
12. La casa de un granjero esta a 150 m de un camino recto, Su buzón está sujeto al granero, a 100 m de la casa y a 90 m del camino. Cada lunes deja la basura a la orilla del camino y después pasa a recoger el correo. ¿Qué punto del camino hace que su recorrido sea el mar corto? 13. Erika tiene 200 pies de valla, con la cual planea encerrar un patio rectángulos para su perro. Si desea encerrar el área máxima, ¿de qué dimensiones deben ser? 14. Un pedazo de alambre de 16 pulgadas de largo, se corta en dos pedazos; una pieza se dobla para forma un cuadrado y la otra se dobla para formar un circulo. ¿En dónde debe hacerse la corte para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea mínima?, ¿máxima? (Cabe la posibilidad de no cortar). 15. Un granjero tiene 80 pies de alambre con la cual planea encerrar un corral rectangular a lo largo de un lado de su estado de 100 pies de largo, como se muestra en la figura (el lado a lo largo del establo no necesita alambre). ¿Cuáles son las dimensiones del corral que tiene área máxima? Establo Corral
16. El granjero del problema anterior, decide hacer tres corrales idénticos con sus 80 pies de alambre, como se ve en la figura. ¿Qué dimensiones del área total encerrada hacen que el área total de los corrales sea tan grande como sea posible? Establo Corrales
17. Según la información que proporciona la gráfica de la función derivada de y = f(x), haz un análisis de la función y = f(x), es decir, establece los intervalos en donde y = f(x) es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo, en donde tiene sus extremos relativos y sus puntos de inflexión.
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y = f ’(x) d a
b
c
e
18. De una función f se sabe que la grafica de su función derivada, f ’, es:
1 −3
−2
−1
1
2
3
−1
y = f ' (x)
−2 −3 −4 −5
a) Determina de forma razonada los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Di cuáles son los puntos críticos de f y determina de forma razonada si en cada uno de ellos la función f alcanza un máximo o un mínimo relativo. 19. Un lote se encuentra en una esquina. En el lote hay una fuente a 27 m de una de las calles y a 64 m de la otra. Calcula la longitud mínima de la trayectoria rectilínea que pasa por la fuente y corta las calles que forman la esquina. 20. Considera un triángulo isósceles de base 10 y de altura 6, inscribe en él un rectángulo cuya base está situada sobre la base del triángulo. Encuentra las dimensiones del rectángulo de área máxima. 21. Se tiene que construir una caja de base cuadrada cuya capacidad sea 8 dm 3. Calcula las dimensiones de la caja para que el material que se utiliza sea mínimo. Calcula las dimensiones de la caja si la base es un triángulo equilátero. 22. Los frenos de un automóvil pueden producir una desaceleración constante de 24 m/s 2. Si el automóvil debe detenerse antes de 20 m después de que se han aplicado los frenos, ¿cuál es la velocidad máxima a la que puede ir el automóvil? 23. Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba con una velocidad de 130 metros por segundo. La altura sobre el suelo t segundos después del disparo esta dado por s (t ) = −4.9t . a) ¿Cuánto tiempo tarda el proyectil en alcanzar la altura máxima? b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el proyectil? c) ¿Cuál es la aceleración en un tiempo t cualquiera? 2
24. El costo total de producción y de cierto artículo depende del número de artículos x . Los economistas llaman costo marginal a la razón de cambio del costo con respecto al número de artículos, en cada nivel de producción. Una función de costo está dada por y
= 5 x 2 + 15 x + 200 , ¿cuál es el costo total cuando
x = 15 ?, ¿cuál es el costo marginal cuando x = 15 ? ¿cuánto cuesta producir el artículo número 16?
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25. Un niño usa una pajilla para beber agua de un vaso cónico (con el vértice hacia abajo) a razón de 3 cm3 /seg. Si la altura del vaso es de 10 cm y si el diámetro de la parte superior es de 6 cm , a. Con qué rapidez baja el nivel del agua cuando la profundidad es de 5 cm? b. Cuál es la variación del radio en ese mismo instante? 26. Suponga que un incendio forestal se propaga en la forma de un círculo cuyo radio cambia a razón de 1.8 m/min. ¿A qué razón está creciendo el área de la región incendiada cuando el radio alcanza 60 m ? 27. Dos lados de un triangulo miden 4 m y 5 m y el ángulo entre ellos aumenta con una rapidez de 0,06 rad/seg. Calcule la rapidez con que el área y la altura del triángulo se incrementan cuando el ángulo entre los lados es de π/3. 28. Un globo asciende a 5 m/seg desde un punto en el suelo que dista 30 m de un observador. Calcular el ritmo de cambio del ángulo de elevación cuando el globo está a una altura de 17,32 metros. 29. Sea l la longitud de la diagonal de un rectángulo cuyos lados tienen longitudes x & y respectivamente. Si aumenta con una rapidez de ½ m/s y si y disminuye con una rapidez de ¼ m/s, a. ¿A qué razón está cambiando la longitud de la diagonal cuando x = 3 m & y = 4 m? b. ¿La diagonal está aumentando o disminuyendo en ese instante?
x
30. Dos automóviles empiezan a moverse a partir del mismo punto con velocidad constante. Uno viaja hacia el sur a 60 km/h y el otro hacia al oeste a 25 km/h ¿Con qué razón aumenta la distancia entre los dos automóviles dos horas más tarde? 31. Un avión vuela con velocidad constante, a una altura de 3000 m, en una trayectoria recta que lo llevará directamente sobre un observador en tierra. En un instante dado, el observador advierte que el ángulo de elevación del aeroplano es de π /3 radianes y aumenta a razón de 1/60 radianes por segundo. Determine la velocidad del avión. 32. Un controlador aéreo sitúa 2 aviones a la misma altitud, convergiendo en su vuelo hacia un m ismo punto de encuentro (ver figura). Uno de ellos (avión 1) está a 150 millas de ese punto y vuela a 450 millas por hora. El otro (avión 2) está a 200 millas del punto y vuela a 600 m illas por hora. a. ¿A qué velocidad decrece la distancia entre los aviones? b. ¿De cuánto tiempo dispone el controlador para situarlos en trayectorias diferentes? Avión 1 y(t)
d(t)
Avión 2 x(t)
33. Una placa en forma de triangulo equilátero se expande con el tiempo. Cada lado aumenta a razón constante de 2 cm/h. a. ¿Con qué rapidez crece el área cuando cada lado mide 8 cm? 34. Un anuncio publicitario tiene forma de un cilindro circular recto. Determinar la variación de su volumen en el proceso de inflado, sabiendo que la altura permanece constante. 35. Un globo está a 100 metros sobre el suelo y se eleva verticalmente a una razón constante de 4 m/seg. Un automóvil pasa por debajo viajando por una carretera recta a razón constante de 60 m/seg. ¿Con qué rapidez cambia la distancia entre el globo y el automóvil ½ segundo después? 36. Un derrame de petróleo adopta una forma circular y tiene un espesor de 1/50 pie. Si el petróleo se está escapando a razón de 40 pies3/min, ¿a qué razón está aumentando el radio de la mancha de petróleo cuando el radio es de 50 pies? UNIDAD DE APREND IZAJE DE CÁLCULO DIFERENCI AL
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37. Una escalera de 4 metros se apoya contra una casa y su base comienza a resbalar. Cuando la base está a 3,7 metros de la casa, la base se aleja a razón de 1,5 m/seg. a. ¿Cuál es la razón de cambio de la distancia entre el suelo y la parte superior de la escalera sobre el muro en ese instante? b. ¿Cuál es la razón de cambio del área del triángulo formado por la escalera, la pared y el suelo en ese instante? c. ¿Cuál es la razón de cambio del ángulo θ entre la escalera y el suelo en ese instante?
38. En una reacción química se combinan dos estancias distintas para formar una tercera sustancia. La cantidad, y gramos, que se forma de la tercera sustancia después de x minutos es y = 18 x − 3x . Calcula, e interpreta, la razón, en gramos por cada minuto, a la que se forma la tercera sustancia después de: a) 2 minutos. b) 3 minutos. c) 4 minutos. 2
39. Un avión vuela con velocidad constante de 822 km /h y con una inclinación de 43° hacia arriba. Halla la rapidez con que se aleja el avión de una torre de control 1 minuto después de haber estado perpendicularmente a ella 3.5 km arriba. 40. Encuentra el aumento de área de una burbuja de jabón cuando su radio aumenta de 7 centímetros a 7.025 centímetros usando diferenciales y calcula el error con respecto al valor exacto. 41. Una arista de un cubo se midió como 11.4 cm con un posible error de ±0.05 cm. a. Evalúa el volumen del cubo y proporciona una estimación para el posible error en el volumen. b. Evalúa el área superficial del cubo y proporciona una estimación para el posible error en esta área. 42. El periodo de un péndulo simple, de longitud L metros, está dado por T debida a la gravedad en la superficie de la Tierra, g, es de 9.8
m s2
= 2π
L g
segundos. La aceleración
, Si el péndulo es el de un reloj que se
mantiene sincronizado cuando L = 1.2 metros, ¿cuánto tiempo se adelantará el reloj en 24 horas, si la longitud del péndulo se disminuye a 1.164 metros? 43. Un globo se está inflando introduciendo aire a razón de 100 cm 3 /s. ¿A qué razón crece el radio del globo cuando su diámetro es de 50 cm? 44. Un depósito de agua tiene la forma de un cono circular invertido con un radio de la boca de 2 m y una altura 3 de 4 m. Se está introduciendo agua al depósito a razón de 2 m /min. Calcula la razón a la que el nivel del agua sube cuando la profundidad del agua es de 1, 2, 3 y p metros. 45. La demanda de un monopolista es p = 200 – 0.015x, donde p es el precio y x el número de artículos demandados, y la ecuación de sus costos tiene la forma C(x) = 10 000 +50x. a) Halla la función del Ingreso Total. b) Halla la función de Utilidad. c) Halla el valor de x que maximiza la utilidad. d) Determina el precio correspondiente. UNIDAD DE APREND IZAJE DE CÁLCULO DIFERENCI AL
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e) Dibuja la gráfica de cantidad vs. precio. 46. Un fabricante puede producir cafeteras a un costo de 25,000 pesos por cada unidad y estima que, si se venden a p miles de pesos cada una, los consumidores comprarán 2,300e -0.024p cafeteras por semana. Los costos fijos semanales son de 8 millones de pesos. a) Calcula el precio por cafetera que maximiza las utilidades semanales. b) Encuentra las utilidades semanales y la demanda correspondientes. 47. Según un modelo basado en el supuesto de que la Tierra no puede soportar más de 40 mil millones de personas, la población mundial, en miles de millones de personas, t años después de 1960 es aproximadamente de p (t ) =
40 1 + 12e − 0.08t
.
a) Estima la población en 2010, 2020, 2050 y 2100. b) Calcula el ritmo de crecimiento, absoluto y relativo, en las mismas fechas. c) Determina el instante en que el ritmo de crecimiento es máximo. 48. Una máquina industrial se deprecia de tal manera que, t años después de que se adquirió, su valor es v(t ) = 30e
−0.4 t
millones de pesos. a) ¿A qué ritmo se deprecia al cabo de cada uno de los primeros diez años? b) Traza las gráficas del valor de la máquina y de su ritmo de depreciación. X
49. Dada la función f ( x) = xe 2 . a) Traza la gráfica. b) Encuentra su punto de inflexión. c) Los intervalos dónde es creciente y decreciente. d) Los extremos absolutos en el intervalo [− 4,2] 50. Un lago se encuentra contaminado con bacterias. Se somete a un tratamiento con un producto químico antibacteriano. Después de x días de tratamiento, el número y de bacterias por cada ml de agua es aproximadamente y
x x = 20 − ln + 30 en el intervalo 1 ≤ x ≤ 15 . 12 12
Encuentra: a) El instante en que el número de bacterias por cada ml de agua es mínimo. b) El número mínimo de bacterias por cada ml de agua. c) El instante en que el número de bacterias es máximo. d) El número máximo de bacterias por cada ml de agua.
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