Gerçekten Bilmeniz Gereken 50 Matematik Fikri - Tony Crilly

İçindekiler Giriş

27 Paralellik Postülatı 108

3

28 Aynk Geometri 112

01

Sıfır

02

Sayı Sistemleri

4 8

29 Çizgeler 116

03 Kesirler 12

30 Dört-Renk Problemi 120

04 Kareler ve Karekökler 16

31

05 :rt 20

32 BayesTeoremi 128

06 e24

33 Doğum Günü Problemi 132

07 Sonsuzluk 28

34 Dağılımlar 136

08 Sanal Sayılar 32

35 Normal Dağılım 140

09 Asal Sayılar 36

38 Verileri Birleştirmek 144

10 Mükemmel Sayılar 40

37 Genetik 148

11 Fibonacd Sayılan 44

38 Gruplar 152

12 Altın Dikdörtgenler 48

39 Matrisler 156

13 Pascal Oçgeni 52

40 Kodlar 160

14 Cebir 56

41 İleri Düzey Sayma 164

15 ÖklidAlgoritması 60

42 Sihirli Kareler 168

16

Mantık

64

Olasılık

124

43 Latin Kareler 172

17 İspat 68

44 Paranın Matematiği 176

18 Kümeler 72

45 Diyet Problemi 180

19 Kalkülüs 76

48 Seyyar Satıcı 184

20 Çizimler 80

47 Oyun Kuramı 188

21 Oçgenler 84

48 Görelilik 192

22 Eğriler 88

49 Fermat'nın Son Teoremi 196

23 Topoloji 92

50 Riemann Hipotezi 200

24 Boyutlar 96 25 Fraktallar 100 26 Kaos 104

Terimler Sözlüğü 204 Dizin 206

cırıı

<,:

Giriş Matematik öylesine engin bir konudur ki, tek bir kişinin hepsini bilmesine imkful yoktur. Bu yüzden matematikçiler her alan hakkında fikir sahibi olduktan sonra kendi kişisel yollarını çizer. Kitabı mızdaki konular bizleri başka zamanlara, başka kültürlere ve matematikçileri asırlardır meşgul eden fikirlere götürecek. Matematik hem kadim, hem moderndir; gelişimi boyunca yaygın kültürel ve siyasi etkilerle iç içe olmuştur. Modem sayı sistemimiz Hintliler ve Araplardan geliyor olsa da, tarih boyunca üzerine yapışıp kalan midyeleri beraberinde taşır. Babillilerin bundan dört ila beş bin y ıl önce ku llandığı 60 tabanının izlerini modem kültürde görmek mümkündür: bir dakikada 60 saniye ve bir saatre 60 dakika vardır. Dik açı ise, Fransızların devrim sonrası her şeyi onluk taba n;ı geçirdikleri sırada 100 grad yapmalarına rağmen, h§l§ 90 derecedir. Modern çağın teknolojik zaferlerinin temelinde matematik yatar. Dolayısıyla okuldayken matematikte ne kadar kötü olduğunuzdan matah bir şeymiş gibi bahsetmenin de pek bir esprisi kalmadı artık. Gerçi okul matematiği ayrı mesele - ders sırasında genelde aklın bir köşesinde hep sınavlar · olur. O kuldaki zaman baskısının da duruma yardımcı olduğunu söylemek güç; sonuçta hız, gerçek matematikte bir erdem say ılmaz. Fikirlerin sindirilebilmesi için zaman gerekir. Bazı en büyük matematikçiler bile derinliklerine vakıf olabilmek için üzerinde çalı ştıkları konuları eziyet verecek düzeyde yavaştan almışlardır. Telaşa bizim kitabımızda da yer yok. Canınız nerden isterse oradan başlayabilirs iniz. Belki önceden kulak aş inalığını z olan fikirlerin gerçekten ne an lama geld iği ni sakin bir şekilde keşfedin. Sıfır'ın hik§yesinden ya da dilediğini z başka bir yerden başlayarak matematiksel fikir adaları arasında güzel bir gezintiye çıkabilirsiniz. Örneğin Oyun kuramı hakkında fikir sahibi olduktan sonra sihirli kareleri okuyabilirsiniz. Ya da a ltın dikdörtgen lerden Ferm at' nın meşhur son teoremine geçebilirsiniz. Tamamen size ka lmış. Matematik açısınd an heyecanlı bir çağda yaşıyoruz. En temel soru lardan bazıla rı geçtiğimiz y ıl larda yanı t buldu. Modern bilgisayarlar bazı sorularda yard ımımıza koşarken bazılarında çaresiz kaldı. Dört-renk problemi bilgisayarların yardımıyla çözüldü ama örneğin kitabın son bölümünde ele ald ı ğımız Riemann hipotezini ne bilgisayarlarla, ne de başka yöntemlerle çözebilmiş değiliz. Matematik herkes içindir. Sudokunun popülerliği geniş kitlelerin (bilmeden de olsa) matematikten zevk a lab ileceğinin bir göstergesi. Nasıl ki resimde veya müzikte dehalar ç ıkmışsa matematikte de benzer bir durum vardır. A ma dehalar h ik§yenin tamamını anlatmaz. Bazı öncü isimlerin farklı bölümlerde tekrar tekrar ortaya çıktığını göreceksiniz. Bunlardan birisi 18. yüzyılda yaşam ış olan Leonhard Euler. Fakat matematikteki gerçek ilerlemeler, çoğunluğun yü zyıllar içinde üst üste konan çabalarıyla ortaya çıkar. Seçilen konu sayısının 50 olması keyfi olsa da konul arı dengeli dağ ıtmaya çalıştım. Biraz soyut, biraz uygulamalı; biraz eski, biraz yeni; biraz günlük hayatın içinden ve biraz ileri düzey matematiğe yer verdim. Öte yandan matematiğin bir bütün olduğunu da akıldan çı karmamak gerek. Asıl zorluğu konuları seçerken değil , elerken yaşadım. Kitapta 500 fikir de yer a labilirdi gerç i, ama matematik kariyerinize başlamanız için 50 yelerli gibi duruyor.

01 Sıfır

Akademik Kitap Kulübü

Sayılar diyarında gezinmeye küçük yaşlarda başlarız. "Sayı alfabesi"nin olduğunu da o dönemde öğreniriz. Saymaya hep onunla başlarız: ı, 2, 3, 4, 5, ... Sayma sayılan, adından da anlaşılacağı üzere nes-

ilk harfinin ı

neleri, örneğin elmaları, portakalları, muzlan veya armutları saymamıza yarar. İçi boş sepette kaç elma olduğunu saymayı ise daha sonra öğreniriz. Ne bilim ve matematiği dev adımlarla ileri götüren Antik Yunanlar, ne de mühendislikte müth iş başarılanı imza atan Romalılar boş sepetteki elma sayısını gerektiği gibi ifade edemezdi. Hiçliği ifade eden say ıya henüz bir ad konmamıştı. Romalı lar sayıları l, V, X, L, C, O ve M harflerini değişik şekillerde bir araya getirerek gösteriyorlardı fakat O'a yer vermemişlerdi. O sayılarda yoktu.

Sıfır nasıl kabul gördü? "Hiçl iği" gösteren bir simgenin kullanılmaya başlanması bundan binlerce yıl önce oldu. Günümüzdeki Meksika'da yaşamış olan Maya uygarlığı sıfırı farklı şekillerde kullanmıştı. Onlardan bir süre sonra, Babillilerden etkilenen gökbil imci Klaudyos Baclamyus, kendi sayı sisteminde modem O'a benzer bir simgeyi yer belirteci olarak kullandı. Bu sayede örneğin 75 ve 705 sayılarını Babillilerin yaptığı gibi bağlama göre ayırt etmek yerine doğrudan ayırt etmek mümkün hale geliyordu. Bunu d ildeki virgüle benzetebiliriz: her ikisi de mümkün olan anlamlardan hangisinin kastedildiğini saptamamıza yardımcı olur. Ye tıpkı virgülde olduğu gibi, sıfır için de kuralların belirlenmesi gerekiyordu. Yedinci yüzyılda yaşamış Hintli matematikçi Brahmagupta, sıfırı bir yer belirteci bir sayı olarak kabul etti ve sıfırla yapılabilecek işlemle rle ilgili kuralları belirlemeye çalıştı. Örneğin pozitif bir sayıyla sıfırın toplamı aynı pozitif sayı, sı fırla sı fırın toplamı ise yine sıfır etmeliydi. Sıfırı bir yer belirtecinden ziyade bir sayı olarak ele alması açısından çağının çok ilerisindeydi. Sıfıra bu şekilde yaklaşan ! !im-Arap sayı sisteminin, Battya ayak basmak için 1202'ye kadar, yani Pisa'lı Leonardo Fibonacci'nin Liber Abaci (Sayı Sayma Kitabı) adlı

olmanın ötesinde

Sdır

E.. eserini yayımlamasına kadar beklemesi gerekecekti. Kuzey Afrika'da büyüyen ve 1!im-Arap aritmetiği üzerine eğitim alan Fibonacci, O say ısı ile Hint simgeleri olan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9'un birleşiminden oluşan sayı sisteminin gücünü takdir ermekte gecikmemişti. Sayı sistemine sıfırın eklenmesi, Brahmagupta'nın üstesinden gelmek için çaba sarf ettiği bazı sorunları da beraberinde getirmişti: sayı sistemine yeni katılan bu elemana nasıl davranmak gerekiyordu? Kendisi iyi kötü bir baş langıç yapmışsa da üstü kapal ı yanıtlar bulduğuyla kalmıştı. Sıfır, varolan aritmetik sistemine kesin kurallarla nasıl dahil edilebilirdi? Toplama ve çarpmada O yerine güzelce oturuyordu, ama iş çıkarma ve bölmeye gelince bu "yabancı" yerini yadırgamışa benziyordu. Sıfırın kabul edilmiş olan aritmetikle uyumlu davrandığına emin olmak için bazı şeyleri anlamlandırmak gerekiyordu.

Sıfırla nasıl işlem yapılır? Sıfırla toplamak ve çarpmakta anlaşıl mayacak bir şey yoktur. 10 say ısına O ekle dendiğinde O'ı sona ekleyerek 100 elde etmek mürrıkün tabii, ama bizim buradaki kastımız toplamaktır. Bir sayıya O eklediğimizde sayı yine aynı kal ır. Oile çarptığımızdaysa sonuç hep O olur. Örneğin 7 +0= 7 ve 7 x 0=0 olur. Çıkartma basit bir işlem olsa da sonucun negatif olabileceğine dikkat etmek gerekir: 7-0= 7 ve O- 7=-7 olur. Asıl sorunlar bölmede ortaya çıkar.

Bir ölçüm çubuğuyla belirli bir uzunluğu ölçtüğümüzü hayal edin. Çubuğun uzunluğu 7 birim olsun. Ôlçeceğimiz uzunluğa bu çubuklardan kaç tanesinin uç uca sığacağını öğrenmek istiyoruz. Eğer ölçeceğimiz uzunluk 28 birimse, 28+7-4 çubuk uzunluğunda demektir. Bunu göstermenin daha iyi bir yolu şudur: 28 = 4

7

Ardınd:m "içler-dışlar çarpımı"

yaparak ifadeyi 28 - 7 x 4 şek linde yazıp sağla yapabiliriz. Aynı mantıkla O'ı 7'ye bölmeyi deneyelim. Bu işlemin yanıtı aobun: masını

830

1100

1202

sıfırla yapılabilecek işlemler konusunda fikirler gelişti rir.

Bhaskara sıfırı cebirde kullanır ve nasıl kullanılabileceğini göstermeye çalışır.

Fibonacci sıfırı aynı kategoriye koymasa da 1'den 9'a kadar olen Hint-Arap rakamlarına ekler.

Mahavira

1

lsııır D içler dışlar yaparsak: O= 7 x a olur ki a'nın alabileceği tek değer O'dtr: sonuçta iki O ediyorsa, en az biri O olmalıdır.

sayının.çarpımı

Ne var ki O'la ilgili asıl sorun bu değil. Asıl sorun O'a bölünce ortaya çıkar. %işlemine de <)17 'de yaptığımız gibi yaklaşırsak

Eğer

elde ederiz. içler-dışlar yapınca O x b - 7 olur ki buradan O - 7 gibi saçma bir sonuca ulaşırız. Eğer %'ın bir sayı olduğunu kabul edersek büyük çaplı bir sayısal karmaşaya zemin hazırlamış oluruz. Bunun önüne geçmenin yolu %'ın tanımsız olduğunu söylemektir. Basitçe söyleyecek olursak, 7'yi (veya başka bir sayıyı ) O'a bölme iş lem i hiçbir anlam ifade etmediğinden bu işleme izin vermeyiz. Aynı şekilde ömeğin bir sözcüğün orta,sına an lamsızlığa yol açmadan virgül yerleştiremeyiz.

Brahmagupta'nın

izinden giden 12. yüzyıl Hint matematikçisi Bhaskara, O'a bölünme üzerinde yaptığı çalışma l ar sonucunda, bir sayıyı sıfıra bölersek sonsuz elde edeceğim i zi ileri sürdü. Bu akla yatkın görünüyordu, çünkü bir say ıyı çok küçük bir sayıya bölersek sonuç çok büyük bir sayı olur. Örneğin 7'yi O, l 'e böldüğümüzde 70 elde ederiz; 0,01 'e böldüğümüzde ise 700. Paydadaki sayı ne kadar küçülürse sonuç o kadar büyür. Bu mantıkla mutlak küçüklük olan O'da cevabın sonsuz olması gerekir. Fakat bunu doğru kabul edersek, daha da akıl almaz bir kavram olan sonsuzluğu aç ıklamak durumunda ka lırız. Sonsuzlukla başa çıkm a çalışmalarımız ise bu aşamada son uç vermeyecektir, çünkü sonsuzluk (standart gösterimiyle oo) aritmetiğin genel kurallarına uymaz ve bu bakımdan bir sayı olarak kabul edilemez. [Eğer%= oo olduğunu kabul edersek, O x oo = 7 olması gerekir. Ama aynı zamanda %- oo ve O x oo - 8 olduğundan, O x oo'un hem 7 hem de 8'e eşit olması gerekir ki bu klasik aritmetik kuralları çerçevesinde mümkün değildir. ç.n.] % bu kadar sorunlu olduğuna göre, daha da garip bir ifade olan % için ne söyleyebiliriz? % - c gibi bir sayı olsun. içler-dışlar çarpımı yaparsak O = O x c ve buradan O - O elde ederiz. Bu belki çok aydınlatıcı bir sonuç olmadı ama hiç olmazsa anlamsız değil. Hatta burada c her sayı olabilir ve bir önceki gibi sonsuzlukla karşılaşmayız. Buradan % ifadesinin her sayıya eşit olabileceği sonucu çıkar. Matematik çevrelerinde buna "belirsiz" deriz.

Sıfır

G Sadede gelirsek, en iyisi hesaphıma yaparken O'a bölme işle mini işin içine hiç sokmamaktır. Aritmetik onsuz da gayet güzel yürür. Sıfır ne işe yarar? En basit ifadesiyle, sıfır olmasa bilim de olmazdı . Sıfırıncı boylam, sıfır derece sıcaklık, sıfı r enerji ve sıfır kütleçekimi bunun örnekleridir. Hatta sıfırdan başlamak, sıfır tolerans, sıfır hata gibi sayısız terimle günlük kon uşma dilimize girmiştir.

Daha bile çok girebilirdi gerçi. Eğer New York'ta 5. caddeden Empire State birıasına adım atarsanız; kendinizi 1. katın muhteşem giriş lobisinde bulursunuz. Sayılarla sıra lama yaparken genelde bu şekilde ! 'den başlarız. ABD dışında dünyanın büyük bölümünde katlar O'dan sayılmaya başlansa da insanlar genelde "sıfırıncı kat" terimini kullanmayı tercih etmez.

Hiçlikle ilgili her şey Sıfırla pozitif bir sayının toplamı pozitiftir. Sıfırla negatif bir sayının toplamı negatiftir.

Pozitif ve negatif bir sayının toplamı farkları kadardır. Sayıların

mutlak değeri

eşitse,

sıfırdır.

Sıfırın sayıya

pozitif veya negatif bir bölümü sıfırdır.

Brahmagupta, Mô 628

Matematik sıfır olmadan çalışmaz. Sayı sistemi, cebir ve geometrinin işlemesini sağlayan matematiksel kavramların özünde yer alır sıfır. Sayı doğrusunda pozitif ve negatif sayıları birbirinden ayırdığından dolayı özel bir konuma sahiptir. Onluk sistemdeyse sıfır, hem devasa sayıları, hem de mikroskobik küçüklükleri ifade etmemizi sağlayan bir yer belirteci görevi görür. Sıfır, asırlar

içinde kabul görmüş ve kullarıılmaya başlanmış, insanoğlunun en büyük keşifleri arasında yer almıştır. 19. yüzyıl Amerikan matematikçisi G.B. Halsted, Shakespeare'in Bir Yaz Gecesi Rüyası adlı oyunundan bir cümleyi uyarlayarak, sıfırın icadının c isimsiz hiçliğe bir ikametgah ve bir isim, bir görünüş, bir simge vermekle kalmayıp, faydalı bir güç kazandırdığını , bunun da bağrından çıktığı Hint ırkının bir özelliği olduğunu dile getirmiştir. S ıfır

ilk canmldığında insanlara garip gel miş olsa gerek; fakat matematikçilerin, çok uzun zaman sonra orcaya çıkacak olan kavramlarla uğraşmak gibi bir huyl arı vardır. Sıfırın günümüzdeki bir berızeri ise boş küme, yani içinde hiç eleman olmayan kümedir. Bu da tıpkı sıfır gibi garip olmanın yanında yine onun gibi olmazsa olmaz bir kavramdır. faydaları

>>

fikrin özü

Hiçlik deyip geçmemek lazım

•A •

'*' 02 Sayı Sistemleri


Sayı

sistemleri, "kaç tane" sorusunu yanıtlayabilmek için geliştiril olan yöntemlerdir. Farklı kültürler farklı dönemlerde "bir, iki, üç ve çok"tan oluşanlardan tutun, günümüzde kullandığımız oldukça karmaşık onluk basamak değerli gösterime kadar değişik yöntemler miş

kullanmışlardır.

4000 yıl önce, günümüzde Suriye, Ürdün ve lrak'a ev sahipliği yapan coğrafya.da yaşamış olan Sümerler ve Babillilcr, günlük hayatta basamak değerli bir sistem kullanıyorlardı. Bu sistemlere basamak değerli denmesinin nedeni, simgelerin değerlerinin bulundukları yere bağlı olmasıdı r. Ayrıca kullandıkları 60 tabanlı sistemin bir kalıntısı olarak saat sistemimizde bir saatte 60 dakika, bir dakikada ise 60 saniye vard ır. Metrik sisteme geçildiği dönemde dairenin tamamını 400 grad (dolayısıyla dik açıyı 100 grad) yapma girişimlerine rağmen bu değişiklik uzun dönemde tutmamış, 360 dereceye geri dönülmüştür. Kadim atalarımız sayılarla asıl pratik yararları için ilgilenmiş olsalar da, matematiğin kendisinden de etkilendikleri ve matematiksel gerçekleri gü nlük hayattaki faydalarından bağımsız olarak keşfetmeye çalıştıkları yönünde kanıtlar bulunuyor. Bunların arasında bazı cebir konularını ve geometrik şekillerin özelliklerini sayabiliriz. Hiyeroglifle yazılan MÔ 13. yüzyıldan kalma Mısır sayı sistemi 10 tabanını kullanıyordu. İlginç bir not olarak Mısırlılar kesirli sayılar için kendi sistemlerini geliştirmişlerdi. Fakat bizim bugün kullandığımız sistem Babillilerden kalma ve sonradan Hintlilerin arıttığı bir sistemdir. En büyük avantaj ı hem çok küçük, hem
Avrupa'daki taş devri insanları kemiklerin üzerine sayı işaretleri yapar.

Babilliler sayıları göstermek için simgeler kullanır.

Sayı Sistemıerı 1 H

Romen sistemi

Romalı ların kullandığı temel simgeler "onluklar" (1, X, C

(V, L, D). Bu simgeler bir araya getirilerek diğer Bir görüşe göre !, Il, lll ve IIII parmaklarımızın, V ise elimizin görünüşünden türetilmişti r. iki V'nin (veya iki elin) birleştirilmesi nden ise X, yani on sayısmı elde ederiz. C ha rfi Latince yüz demek olan cenı:um'dan, M ise bin demek olan mi!'den geli r. Romalı lar ayrıca "yarım" anlamında S harfıni ve 12 tabanında bir kesir sistemi kulla nırdı.

ve M) ve

bunların "yarılar" ıdır

sayı lar oluşturulur.

Romen sisteminde simgelerin önce veya sonra olmasına göre anlamları değişirdi, fakat bunun genel kabul görmüş bir yöntem olmadığı anlaşı lıyor. Antik Romalılar dördü llll diye yazmayı tercih ederlerdi; IV şeklinde yazma yönte mi ise daha sonra çıkmıştı. Dokuzu IX diye yazdıkları olurdu, fakat sıx [lng. altı. ç.n. ] yazarsanız bunu sekiz buç uk olarak anlarlardı! Roma sistemindeki rakamları, Ortaçağ'daki baz ı ekle melerle birlikte yanda görüyorsunuz.

Romen Rakamları Roma imparatorluğu

s

ya rı m

1

bir

v

beş

x

on elli yüz

L

c D

beş

M

bin

Ortaçağ'daki

v

x [

c yüz

B

M

eklemeler

b eş bin on bin elli bin yüz bin beş yüz bin bir milyon

Romen rakamlarıyla işlem yapmak kolay değildir. Örneğin MMMC DXLllll sayısının kaç olduğunu ancak zihnimizde sayıyı (MMM)(C D)(XL)(llll) şeklinde parçalara ayırıp 3000 + 400 + 40 + 4 - 3444 diye hesaplayarak görehiliriz. Şimdi de MMMCDXLIIII + CCCXCIII! toplamın ı bulmayı bir deneyin. Bu işte ustalaşmış bir Romalı , çeşitli kısayollar ve numaralarla doğru yan ı tı bulabilirdi, ama bizim bu işlemi yapabilmemiz için önce sayılan on luk sisteme çevirmemiz, ardından sonucu tekrar Romen sistemine çevirmemiz gerekir: Toplama 3444 + 394 = 3838

MMMC DXLllll cccxcıııı

MMMOCCCXXX.Vl!I

iki sayının çarpılmasıysa çok daha zordur ve bazen Romalılar için bile imkansız olabilir! 3444 ile 394'ü Romen rakaml a rıy la çarpmak için Ortaçağ'da kullanı imaya başlanan ek yöntemler gerekir. İS

600

Hintliler ond a lık sistemimizin öncüsü o lan bir sist em kulla nır.

1200

1600

O ve 1'den 9'a ra kaml a rı içeren Hint-Arap sa y ı sistemi yay ılır.

Ond alı k

sistem in simgeleri m odern biçimine kavuşur.

1Sayı Slstemıerı qO Çarpma 3444 x 394 s 1.356.936

MMMCDXLIIII -+

cccxcııır

MCCC[VMCMXXXVI

Romalıların sıftr için belirli bir simgeleri yoktu. Eğer vejetaryen bir Roma vatandaşından

o gün kaç şişe şarap içtiğini yazmasını isteseydiniz lll yazabilirdi ama kaç tavuk yediğini sorsaydınız O yazamazdı. Roma rakamlarının kalıntılarına bazı kitapların sayfa numaralandırmalarında (gerçi bizimkinde kullanmadık) ve binaların yapım yılını gösteren kitabelerinde rastlayabilirsiniz. Örneğin 1900 sayısı için kullanılan MCM gibi bazı gösterimler Romalılar tarafından asla kullanılmamış, modem zamanlarda estetik nedenlerden dolayı ortaya çıkmışlardır. Romalılar 1900'ü MDCCCC diye yazarlardı. Frarısa kralı on dördüncü Louis, ya da standart yazılışıyla XIV. Louis, aslında adının Xllll. Louis diye yazılmasını tercih ederdi. Hatta daha da ileri giderek saatlerdeki dördün mı şeklinde yazılmasını yasal zorunluluk haline getirmişti.

Xllll. Louis

devrinden bir saat

sayılar Sayı denince aklımıza doğal olarak ondalık sayılar gelir. Onluk sistem on tane rakam üzerine kuruludur: O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9. Sayıların lO'un katlarına göre düzenlenmesine dayanır. Örneğin 394 diye yazdığımız sayı 3 tane yüz, 9 tane on ve 4 tane birden oluşur. Bunu şu şekilde yazabiliriz: 394 = 3 x 100 + 9 x 10 + 4 x 1

Onluk tam

Ya da istersek aynı

sayıyı

onun "üs"lerine (veya kuvvetlerine) göre yazabiliriz:

394

= 3 x 102 + 9 x 10 1 + 4 x 100

Burada 102 • 10 x 10, 101 = 10 ve 10° = 1 eder. Bu son ifadede, sisteme neden onluk dendiği daha net görülüyor. Ondalık virgülü Şu ana kadar tamsayıların gösterimine baktık. Onluk sistem, örneği n 572/ıooo gibi bir sayıyı da gösterebilir mi? Bunu şu şekilde yazabiliriz:

572 1000

500 70 2 1000 1000 1000

-----+--+--

Paydalarda yer alan 10, 100 ve lOOO'i, lO'un negatif kuvvetleri olarak yazarsak: 572 - 5 x ıo-• + 7 x 10-2 + 2x ıo-' 1000

Sayı Sistemleri 1 Bu da 0,572 olarak

yazılabilir.

Bunu

örneğin

394

sayıs ına

eklersek

394 57 2/ıcıoo sayısını elde ederiz ki bunun onluk sistemdeki yazılışı da son derece kolaydır:

394,572.

Çok büyük sayıların gösteriminde okuma kolaylığı sağlamak adına "bilimsel gösterim''i tercih ederiz. Örneğin l.356.936.892 sayısını 1,356936892 x 109 olarak yazabiliriz. Hesap makinelerinde veya bilgisayarlarda bu sayı genelde 1,356936892 x 1OE9 olarak gösterilir. Sayıdaki basamak adedi, lO'un üssü olan 9'un bir fazlasına eşittir. E harfi ise lngilizcedeki "üstel" anlamına gelen "exponential" sözcüğünün baş harfidir. Kimi zaman daha bile 2'ni~kuvvetleri büyük sayı lara ihtiyacımız olduğunda bilimsel gösterim hayatımızı kolaylaştırır. Örneğin evrendeki hidrojen atomu sayısı yapılan tah1 2' minlere göre l,7xl077ıdir. Keza çok küçük sayıları göstermek de 2ı bilimsel gösterimde çok basittir; bu sefer örneğin 1,7x ıo- 77 'de ol2' dut;ıu gibi 1O'un üssü negatif olur. Böylesi sayıları Romen rakamlarıyla göstermeye kalmak ise pek akıl karı değildir.

.......

Sıfırlar ve birler 10 tabanı günlük hayatta egemenliğini ilan etmesine rağmen bazı uygulamalar farklı tabanlar kullanır. Modem bilgisayarların temelinde 2 tabanını kullanan ikilik sistem yatar. Bu sistemin güzel yanı her sayının O ve 1'lerin bileşkesi olarak ifade edilebilmesidir. Kötü yanı ise sayıların çok daha uzun yazılmasıdır.

32 64 128

2"

256

2' 2 10

394 • lx256 + lxl28 + Ox64 + Ox32 + Ox16 + l x8 + Ox4 + lx2 + Oxl O ve l 'leri yan yana yazacak olursak 394'ün ikilik sistemde 110001010 olduğunu görürüz. İki tabanındaki ifadeler çok uzun olduğu için bazen taban olarak 2'nin kuvvetleri olan 8 ve 16 kullanılır. 8'lik sistemde kullandığımız simgeler O, l, 2, 3, 4, 5, 6 ve 7; 16'lık sistemde ise O, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, O, Eve F'
Sayıların kağıda dökülüşü

1 2 4 8 16

21

394 sayısını ikilik sistemde yazmayı deneyelim. Bu sefer lO'un kuvvetlerini değil, 2'nin kuvvetlerini kullanacağız. Biraz hesaptan sonra şu ifadeyi elde ederiz:

>> fikrin özü

Ondalık

•

vA


03 Kesirler Kesir,

sözcüğün

gerçek anlamıyla,

sayının

parçalara "kesilmesi" demektir.*

Şimdi gelin parçalara ayırma denilince ilk akla gelen örnek olan meşhur pastayı

kesmeye başlayalım. Üçe ayrılmış bir pastanın iki parçasını alan kişi 2,J'ünü almış olur. Diğer bahtsız kişiye ise 111 kalır. Parçaları geri birleştirirsek yine tamamını elde ederiz: 1/3 + 2/3 = 1(ı = 1. Bulduğumuz l sayısı, pastanın tamamı anlamına gelir. Bir başka örnek: indirimdeki tişört asıl fi yatının beşte dördüne satılıyor. Burada kesri 'Ys olarak yazar, "dört bö lü beş" veya daha ziyade "beşte dört" diye söyleriz. Yine dikkat ederseniz 1/5 + 'Ys = 1 olur ki buradaki 1 o rijinal fiyatı gösterir. Kesirler, bir tam say ı bölü bir ba:ıka tam sayı biçiminded ir. Bütünün kaç paya ayrıldığını gösteren alttaki say ıya "payda" ve kaç payın a lındığını gösteren üstteki say ıya "pay" denir. Dolayısıyla kesrin genel biçimi şöyledir:

pay payda Pasta örneğinde yemek istediğiniz kısım 3 payda 2 pay, yani 2/ 1 'tür.

4/s gibi payın paydadan büyük okluğu kesirler de vard ır. Bunlara bileşik kesir denir. 14'ü 5'e bölersek bölüm 2, kalan 4 olur. Ya ni l4' ün içi nde iki tane 5 vardır, 4 ise artar. Bunu "tam sayılı kesir" o larak 2"1s şeklinde yazahilir, böylece tam kısım artı "basit kcsir"e çevirebiliriz. Bazı eski yazarlar bunu "ls2 şeklinde yazardı. Genelde kesiiler yazılırken sadeleşme yapılabiliyorsa yapılır, böylece pay ve paydanın urrak çarpanı o lmaz. Örneğin 8110 kesrinde pay ve paydada 2 1

• Burada kesirden kasıt, "bayağı kesir"dir. Bayağı kesirler, o ve b tumsayı ve b 1' Oolmak Uzere % şeklinde ifade edilen kesirlerdir. (ç.n.)

Babilliler kesirli ku llanır.

say ı ları

M ısırlılar birim faydalanır.

kesirlerden

Kesırıer 1 çarpanı ortaktır

(8

=

2 x 4 ve 10 • 2 x 5). Pay ve paydadaki 2 çarpanını sadeleş

tirdiğimizde geriye% kalır.

Kesirlerlc ilgili tuhaf bir özellik, çarpmanın toplamadan daha kolay olmasıdır. Tam sayıları çarpmanın zorluğundan dolay ı insanlar çeşitli numaralar bulmak zorunda kalmışrır. l lalbuki kesirlerdc daha zor o lan çarpma değil, toplamadır.

Toplama ve çarpma

Önce çarpmayla başlayalım. Eğer 30 liralık tişörtü beşte dördü (iyatına alırsanız 24 lira verirsiniz. Bunu bulmak için önce 30'u 5 eşit parçaya böler <1%- 6), ardından 4 parçasının değe rini hesaplarız (6 x 4 - 24). Satışların

hal§ istediği gibi artmadığını gören mağaza müdürü bir indirim daha yaindirimli fiyatın da Yı'sine düşürdüklerini açıklıyor. Anık tişörtler l 2 lira. Eğer art arda yapılan bu iki indirimi çarparsak toplam indirimi bulabiliriz. Yapmamız gereken payları kendi, paydaları kendi aralarında çarpmak: pıyor ve tişörtleri

.lx.!=hl=.±.. 2

5

2x5

10

Eğer müdür iki indirimi tek seferde yapmak isteseydi, tişörtleri ilk fiyatın o nda

dördüne satması gerekirdi. Bir başka deyişle Yıo x 30 = 12 liraya. iki kesri toplamak ise farklı bir konudur. v~ + 21} gibi bir toplamda bir sorun çıkmaz, çünkü paydalar aynıdır. iki sayının paylarını ekleyip 11}, yani 1 buluruz. Peki ama bir pastan ın üçte biriyle beşte ikisini nasıl toplayabiliriz? ılJ + % kaç eder? Eğer payları ve paydaları kendi aralarında toplayabilseydik ne güzel olurdu; hemen 3/s bulurduk. Ama ne yazık ki bu yöntem doğru sonucu vermez. Ke~irleri toplayabilmek için önce paydalarının aynı olmasını sağlamalıyız. iki kesrin paydaları olan 3 ve 5'in ortak katları 15 olduğu için birincisini 5 ile, ikincisini 3 ile genişletelim. Bu durumda her ikisinin de payda la;ı 15 olur ve artık payları toplayabiliriz:

-

1 3

2 5 6 11 +-= - +-= 5 15 15 15

-

ıs

100

Çınliler kesirli sayıları lıoıaplamak için bir ~ lııom geliştirir.

1202

1585

1700

Pisa'l ı

Simon Stevin ondalık kesirlere dair bir kuram geliştirir.

Kesir çizgisi standart hale gelir(% gibi).

Leonardo (Fibonacci) kesirlerin çizgiyle gösterimini yaygınlaştırır.

1 Kasırlar Kesri ondalık

sayıya çevirmek Bilim dünyasında ve çoğu matematik uygufamasında kesirli sayılar ondalıklı olarak ifade edilir. '\15 kesri lliıo ile aynıdır ki bunu 0,8 olarak yazabiliriz. Paydasında 5 veya 10 olan kesirleri çevirmek kolaydır. Peki ama 7ls gibi bir kesri nasıl çevireceğiz? Burada asıl bilmemiz gereken şudur: İki tamsayıyı birbirine böldüğümüzde ya tam bölünür, ya da "kalan" adını verdiğimiz bir kısmı bölünmeye devam eder. Şimdi gelin 7ls sayısını ondalığa nasıl çevireceğimize adım adım bakalım:

• 7 sayısının içinde kaç tane 8 var? Hiç yok veya O tane var. Bu durumda bölüm O, kalan 7 eder. Bölümü kaydetmek için O, ardından tamsayı kısmının bittiğini belirtmek için virgül koyarız: "O," •

Kalanın

sonuna bir O ekleyip (lO'la çarpıp) 70 yapıyoruz. 70'in içinde kaç tane 8 var? 8 tane, çünkü 8 x 8 - 64. Dolayısıyla 70'in içindeki 8 tane 8'i alıyoruz, geriye 70 - 64 - 6 kalıyor. Bölümün ikinci sayısı olan 8'i virgülden sonra yazıyoruz: "0,8"

•

Şimdi 60'ın

(kalanm sonuna O koyduk) içinde kaç tane 8 var ona bakıyoruz. 7 x 8 - 56. Kalan ise 60 - 56 - 4. Bölümün yeni hali "0,87"

• Kalan 4 olduğuna göre 40'ın içinde kaç 8 var? 5 x 8 - 40. Tamı tamına 5 tane. Dolayısıyla kalan O. Kalan O olunca işlemin sonuna geldik demektir. Nihai cevap "0,875". Bu çevrim reçetesini uyguladığımız her kesir, bir noktada mutlaka sonlanır diye bir şey yok! işlem sonsuza kadar gidebilir. Örneğin 2%'ü ondalıklı yazmak iitersek her adımda 20'yi 3'e bölerek 6 bölümünü ve 2 kalanını elde ederiz. Kalan asla O olmaz. Sonuçta sonsuza doğru uzayıp giden 6,666666... sayısını elde ederiz. Bunu kısaca 6,6 olarak gösteririz. Virgülden sonraki 6 sürekli "devrettiği" için bu sayılara devirli sayılar denir. Bu şekilde sonsuza dek süren sayısız kesir vardır. 511 gibi bir kesirde devreden kısım daha uzundur: 511=0,714285714285714285... Bir kesrin virgülden sonraki kısmı bir kez bu şekilde devretmeye başladı mı sonu gelmez. Burada 714285 kısmı devrettiğinden tamamının üstüne çizgi çekeriz: O, 714285.

Kasırıer 1 MısırWann kesir gösterimleri Mısırlılar, milattan 2000 yıl önce hiyerogliflerle gösterdikleri birim kesirlere, yani paydaları 1 olan kesirlere dayanan bir kesir sistemi geliştirdi. Bunu günümüzde British Museum'da bulunan Rhind Papirüsü'nden biliyoruz. Bu o kadar karmaşık bir sistemdi ki sırlarına hakim olup doğru hesaplamalar yapabilmek için uzmanı olmak gerekiyordu.

/3 gibi bazı ayrıcalıklı kesirlerin kendi gösterimleri olsa da diğer tüm kesirler Yı, ı;3, Yıı veya Yı68 gibi birim kesirlerin bileşimi olarak ifade ediliyordu. Bunlar, diğer tüm kesirlerin ifade edilebildiği "temel kesirler"di. Örneğin 5/7 kesrini şu şekilde yazabiliriz:

2

.1 - .l 7 -

3

.l

.l

+4+8 +

_L 168

Aynı birim kesirden birden fazla kullanmaya izin yoktu. Sistemin kendiliğinden gelen bir özelliği , bazı kesirlerin birden fazla yazım şeklinin olmasıdır. Örneğin,

"Mısır açılımı"nın

pratik faydaları kısıtlı olsa da soyut matematikçileri kuşaklar boyu etkilemiş ve bir kısmı hiilii çözü lememiş olan ilginç problemler sunmuştur. Örneğin en kısa Mısır açılımını veren yöntemlerin tam analizi, gözü pek matematikçileri beklemektedir.

>> fikrin özü Tamı

parçalara

ayırmak

1

2 1

3 2

3 1

4 3

4

::J C:> il

1

C> il

o

1111

9

Mısırlıların kesir gösterimleri

1

~

~


04 Kareler ve

Karekökler

Eğer noktalardan kare yapmayı seviyorsanız, Pisagorcularla bir ortak yönünüz var demektir. Adı teoremiyle özdeşleşen önderlerinin izinden giden müritleri, bu gibi etkinliklere büyük değer verirdi. Sakız Adası'nda doğan Pisagor'un gizli dini cemaati, güney İtalya' da serpilmişti. Pisagorcular evrenin anahtarının matematikte gizli olduğuna inanıyordu.

.. • • 4

• • • • • •

• •9 •

En küçük "kare", cek nokcadan oluşur. Pisagorcuların gözünde ruhsal varoluşun simgesi olan 1 en önemli sayıydı. Eğer giccikçe büyüyen karelerdeki noktaları sayarsak "kare" say ıları elde ederiz: l, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ... Bu gibi hir tam sayının kendisiyle çarpımından elde edilen sayı lara "mükem•••• mel" kare denir. Bir karenin dışına eklenen 1 şeklindeki • noktaları sayarak bir sonraki kareyi elde edebilirsiniz. Örneğin •••• 9 + 7 = 16. Pisagorcular yalnız kareleri incelemekle kalmam ış, •••• üçgen, beşgen ve diğer çokgenleri de incelemişlerdir.

• •• 16

Üçgen sayılar üst üste dizilmiş taş yığınını andırır. Bu taşları sayınca 1, 3, 6, 10, J 5, 21, 28, 36, ... dizisini elde ederiz. Bir üçgen sayının altına yeni bir sıra nokta ekleyip bir sonraki üçgen sayıyı bulabilirsiniz. Örneğin lO'dan sonra gelen üçgen sayı kaçtır? 10 noktalı üçgenin altına 5 nokta yapabildiğimize göre bir sonraki sayı 1O + 5 = 1 5.

•

• 3•

•

•

• •6

•

• •

Babilliler karekök tabloları o lu şturur.

•

• •

•

.. 10

• •

•

Üçgen ve kare sayıları karşılaştırdığımızda 36'nın ortak olduğunu görüyoruz. Fakat bunun etkileyici bir benzerlik olduğunu söylemek zor. Daha ilginç bir bağlantıyı ardı~ık iki üçgen sayıyı top ladığımızda görüyoruz. Bu sayıları hesaplayarak oluşturduğumuz tabloya bakalım.

Pisagorcular geometrik kare sayıları inceler.

Elemanların 5. K itap'ında Ôdoksos'un irrasyonel sayılar kuramı yayınlanır.

Kareler ve Karekökler Ardışık iki üçgen sayıyı topladığımızda bir kare sayı elde ediyoruz. Bunun ko lay bir görsel ispatı var. Örneğin dörder noktalı 4 sıradan oluşan bir kareyi alalım ve şekildeki gibi köşegenel bir doğruyla ikiye ayıralım. Ç izginin üstünde ve altında kalan noktalar ardışık iki üçgenin şekilleridir. Bu gözlem her boyuttaki kare için geçerlidir.

Bu noktalı şekillerden alan hesaplarına geçmek artık basit bir adımdan ibarettir. Bir kenarı 4 birim olan karenin alanı 4 x 4 - 42 - 16 birim karedir. Genel olarak, bir karenin kenarının uzunluğu x ise alanı x2 olur. Bir sayının karesini ifade eden il aynı zamanda parabolik şekillerin genel ifadesidir. Örneğin uydu antenlerinin çanakları ve araba farlan n m yansmcı arka duvarları parabolik olur. Bu şeklin bir özelliği, paralel gelen ışmların toplandığı bir odak noktasının olmasıdır. Örneğin uydu antenlerinde uzaydan gelerek çanağın herhangi bir noktasına çarpan paralel ışınlar yansır ve parabolün odak noktasına yerleştirilmiş o lan sensörde toplanır. A raba farında ise odağa yerleştirilmiş ampulden çıkarak arkaya doğru saçılan ışınlar yansıyarak paralel bir şekilde öne gönderilir. Sporda ise çekiç, gülle ve mızrak atıcıları , anlan bir nesnenin havada parabol ç izerek yere ineceğini iyi bilirler.

iki a rd ı şık üçgen sayının top lamı

1+3

16

15 +21

36

- -10+ 15 - - -

- 49-

28+36

64

• • • • • • • • • • • •

Soruyu tersten soralım: Alanı 16 olan karenin bir kenarının nedir? Cevap 4. Bunu sözel olarak " l 6'nın karekökü 4'tür" diye ifade eder ve v'16 diye yazarız. Karekök işareti (v') l SOO'lerden beri kullanılmaktadır. "T am kare"ler, karekökleri de tamsayı olan sayılardır. Örneğin v'l-1, v'4-2, v'9=3, v'l6- 4, v'25 = 5. Yalnız bu sayılar arasında, sözgelimi v'2, v'3, v'S gibi bir tamsayıya eşit olmayan daha pek çok sayı yer alır. Örneğin hesap makinenizdeki v' düğmesini kullanarak v'7 = 2,64575 13 11 olduğunu görebilirsiniz.

1

4

6

7

8

10

11

12

13

25

21+28

uzun luğu

5

9

6+ 10

Karekökler

3

4

3+6

14

9

is 630

1550

1872

Brahmagupla karekökleri hesaplamak için bir yöntem sunar.

Karekökleri göstermede .J simgesi ilk kez kullanılır.

Richard Dedekind irrasyonel sa yılara iliş kin bir kuram geliştirir.

• • • •

1

1Kareler ve Karekökler Şimdi gelin v2 sayısına bakalım. 2 sayısı ilk çift sayı olduğundan Pisagorcular için özel bir qnemi vardı (Yunanlı lar çift sayıl arı dişi, tek sayı larıysa erkek olarak düşünürdü; küçük sayılarınsa kendi kişil ikleri vardı) . Hesap makinenizde v2'nin değerine bakarsanız ekrana s ı ğan basamak sayısına bağlı olarak 1.414213562 gibi bir sayı görürsünüz. Peki bu 2'nin tam karekökü müdür? Bunu kontrol etmek için 1,414213562 x 1,414213562 değerini hesaplaya lı m. Sonuç 1,999999999 çıkıyor. Demek ki 1,414213562 sayısı aslında 2'nin karekökünün yaklaşık değeri.

Daha da ilginci, elimizden gelen tek şey, 2'nin karekökünü ancak yaklaşık değer olarak söylemektir! Sonucu virgülden sonra bir milyon basamağa kadar yazsak da bu yaklaşık sonuç olmaktan öteye gitmez. 7t ya da e sayısı kadar olmasa da (bkz. sf. 20-27), v2'nin matematikte kendine özgü bir yeri vardır. Öyle ki, özel bir ada layık görülmüştür: v2 bazen "Pisagor sayısı" olarak adlandırılır. Karekökleri yazmanın alternatif bir gösterimi daha var. Nasıl x2 bir kareyi gösteriyorsa, x 11ı de karekökü gösterir. Üstelik bu gösterim, tabanı aynı o lan sayıların çarpılırken üslerinin toplanması kuralına uyar. 1600'lerde bir çarpma sorusunun toplama sorusu olarak ifade edilebileceğini fark ettikten sonra bulunan logaritmanın temel mantığıyla da uyum içindedir. Fakat bu ayrı bir hikaye.

Karekökler bayağı kesir midir?

A

c

Kareköklerin bayağı kesir olup Antik Yunanların ölçüm yapma yöntemleriyle yakından ilişki B lidir. Uzunluğunu ölçmek istediğimiz bir AB doğrusu ve ölçümü yaparken birim uzunluk olarak kullanacağımız bir CD uzunluğu olsun. AB'yi ölçmek için yanına CD'yi koyup uç uca ilerleterek içinde kaç tane CD olduğunu sayarız. Eğer CD'lerden m tanesi AB' ye tamı tamına sığıyorsa ve hiç fazlaB lık kalmıyorsa, AB'nin uzunluğu m birim demektir. Yok eğer artan kısım varsa, AB'nin ucuna bir tane daha kendisinden koyup CD ile ölçmeye devam ederiz (şekle bakınız). Yunanlılara göre bu şekilde devam ettiğimizde, belli bir tekrardan sonra CD'lerin AB'l~rin içine tamı tamına oturduğu bir noktaya varmam ız kaçınılmazdı. Eğer m tane A B'nin içine n tane CD sığmışsa, AB'nin uzunluğu m;,, demekti. Örneğin 3 tane AB'nin içine yan yana 29 tane CD sığıyorsa, AB'nin uzunluğu 29./.ı demekti. olmadığı sorusu,

D

A

A

1 birim

Yunanlar ayrıca dik kenarları birer birim olan bir dik üçgenin hipotenüsünün (yandaki AB uzunluğunun) kaç birim o lduğun u ölçmek istiyorlardı. Pisagor'un teoremini kullanarak AB'yi ../2 o larak ifade edersek, v2-"'ln midir? B

c 1 birim

Kareler ve Karekökler Bu ifadenin ondalıklı gösteriminin sonsuza kadar gitme ihtimali olduğunu hesap makinemizin yardımıyla gördük. Fakat bundan nasıl emin olabiliriz? Örneğin devirli 0,3333333 ... sayısı da sonsuza dek sürüyor ama bayağı kesir olarak (\tJ) göstermek mümkün. Daha güçlü argümanlara ihtiyacımız var.

v2 bayağı kesir midir? Bu soru bizi matematiğin en meşhur ispatlarından

birine getiriyor. Yunanlıların sevdiği, olmayana ergi [reductio ad absurdum] yöntemini kullanan ispatta, ilk önce v2'nin bir bayağı kesir olduğunu varsayacak, ardından bu varsayıma dayanarak yaptığımız çıkarımlar sonucunda ilk varsayımımızın yanlış olduğunu söyleyen bir sonuca varacağız. "Üçün cü halin imkılnsızlığı" yasası gereğince bir şey hem doğru hem de yanlış olamayacağına göre, ilk varsayımımızın yanlış olduğu, yani v2'nin bayağı kesir olamayacağı sonucuna varacağız. Şimdi ispaumıza başlaya lım. m ve n tamsayı olmak üzere, rı

olsun. Ayrıcam ve n'nin ortak çarpanı olmasın. Bunu sağlamak kolay çünkü onak çarpanları varsa sadeleştirme yaparak ortak çarpandan kurtulabiliriz. (Örneğin 2\tJs kesrinde hem pay, hem de paydayı 7'ye bölüp 3/5 olarak yazabiliriz.) v2=mln ifadesinde her iki tarafın karesini alarak kökten kunulalım: z-mX,2. Buradan m2- 2n2 elde ederiz. Artık ilk gözlemimizi yapabiliriz: m2 bir sayının 2 katı olduğuna göre çift sayı olması gerekir. Ayrıca m'in kendisi de tek o lamaz (çünküm tek oba karesi de tek olurdu), demek kim çifttir. m çift olduğuna göre, k bir tamsayı olmak üzere, m = 2k yazabiliriz. Her iki tarafın karesini alırsak m 2 = 4k2 elde ederiz. m2 = 2n2 olduğuna göre 2n2 = 4k2 yazabiliriz. Her ik i tarafı 2'ye bölersek n2 = 2k2 olur. Fakat biz bu ifadenin benzerini biraz önce gördük zaten: Yine aynı şekilde n 2 ve n'nin çift olduğunu söyleyebiliriz. Böylece hem m, hem de n'nin çift olduğunu bulmuş olduk. Fakat m ve n çiftse her ikisinde de 2 çarpanı var demektir, ki bu durum m ve n'nin ortak çarpanı olmadığına dair başta yaptığımız varsayımla çelişir. Demek ki v2 bayağı kesir olarak yazılamaz. tamkare olmadığı sürece vn'nin bayağı kesir olarak yazılamayacağı da ispatlanabilir. kesir olarak yazılamayan say ılara "imısyonel" sayılar denir. Buradan irrasyonel sayıların sonsuz say ıda olduğunu
11

Bayağı

>> fikrin özü

Mantığın sınırları dışındaki sayılar

1

•A •

'*-


05.Jr

Matematikteki en ünlü sayı Jt'dir. Doğadaki tüm sabitlerin şahıdır. Eğer sayı Oscar'lan olsaydı, ödülü her sene Jt alırdı. Bir daırenın çevresinin uzunluğunun çapına (merkezinden geçen uzunluğa) oranı her daire için aynıdır; dairen in küçük veya büyük olması fark ermez. Bu sabit oranı 7t (pi) ile gösteririz. 7t dairedek i bu remel orandan geliyor olsa da matematiğin daireyle uzaktan yakından ilgisi olmayan alanlarında bile karşımıza çıkar. Sirakuzalı Arşimet Dairenin çevresinin çapına oranı rarih boyunca ilgi konusu olmuştur. MÔ 2000 civarlarında Babilliler çevrenin, çaptan yaklaşık 3 kar daha uzun olduğunu bulmuşlardı. d çaplı ve r yarıçaplı bir dairede:

Ama rt'nin maremariksel kuramı üzerine ilk büyük atılımı yapan kişi, yaklaşık MÖ 2SO'de Sirakuzalı Arşimer olmuştur. Arşimer matematiğin çevre =1td =27tr devleri arasında yer alır. Meslektaşlarına değer biçerek aralarında sı 2 alan= 1tr ralama yapmaya meraklı maremarik camiası, onu matematiğin prensi addedilmiş Cari Friedrich Gauss ve Sir lsaac NewLOn'la aynı seviyeye d çaplı ve r yarıçaplı bir koyarlar. Fakat Arşimer matematiğin geri kalan her şeyden soyutlanmış kürede: fildişi kulesinde yaşayan biri değildi; astronomi, matematik ve fiziğe olan katkılarının yan ında, Roma işgaline karşı Sirakuza'nın savunmayüzey alanı= 1td2 = 47tr" sına yardım etmek amacıyla mancınıklar, kaldıraçlar ve "yakıcı aynalar" gibi savaş makineleri icat ermişti. Dalgın bilim insanı karikatürünün erten kemikten bir örneğiydi. Zaten suyun kald ırma kuvvetini keşfetti ğinde hamamdan çıplak fırlayarak "Eureka" diye bağıra bağıra koşması da bunun en güzel kanın değil mi? n'yle ilgili keşiflerini nasıl kutladığındaı;ı ise kayıtlarda bahsedilmiyor. n'yi çevrenin çapa oran ı olarak tanımladıktan sonra, yarıçapı r olan bir dairenin alanının rtr2 olduğunu çıkartabiliriz. Bu formül 7t'nin çevre/çap tanımdan kaynaklanan bir çıkarım olsa da daha yaygın olarak bilinir. 7t'nin hem çevre, hem de alan formüllerinde sabit sayı görevi görüyor olması etkileyicidir.

Babilliler 7t'nin yaklaşık 3 oldu!junu fark eder.

Arşimet 7t'nin yaklaşık 22 / 7 oldu(junu belirtir.

Peki bu formülü nasıl gösterebiliriz? Daireyi eş üçgenlere ayıralım. Bu üçgenlerin her birinin tabanı b uzunlukta ve yüksekliği yaklaşık yarıçap r kadar olsun. Bu üçgenler dairenin içinde bir çokgen oluşturur. Bu çokgeni dairenin alanın ı tahmin etmek için kullanabiliriz. Diyelim ki daireyi 1000 üçgene böldük. Her iki komşu üçgenden birini ters çevirip diğeriyle yan yana getirerek alanı yaklaşık bxr olan bir paralelkenar elde edebiliriz. Bu paralelkenarlardan toplam 500 tane olduğundan çokgenin toplam alanı 500xbxr olacaktır. Ddireyi ne kadar çok d ilime ayırırsak çokgenle daire arasında kalan alanlar o kadar küçülecek, çokgenin alanı ve çevresi dairenin alanı ve çevresine o kadar yaklaşacaktır. Bu durumda çokgen in çevresinin yarısına karşılık gelen 500xb değeri dairenin çevresinin yarısı olan 7tr'ye yak laşır ve 500xb yerine 7tr yazdığımızda 7tr2 ifadesin i elde ederiz. Arşimet 7t'nin değerinin 223/ 71 ile 220110 arasında olduğunu bulmuştu. Dolayısıyla bazen 7t yerine kullandığımız 2o/7 değerini Arşimec'e borçluyuz. Pi'yi 7t simgesiyle gösterme fikri ise 18. yüzyılda Londra Kraliyet Cemiyeti ne başkanlık yapmış pek bilinmeyen Galli matematikçi William Joncs'a aiccir. 7t'yi daire oranı olarak popüler hale getiren ise matematikçi ve fizikçi Leonhard Euler olmuştur. değeri Johann Lambert'in 1 768'de ispacladığı üzere, 7t bir irrasyonel sayı olduğundan dolayı cam değerini asla bilemeyiz. Virgülden sonra gelen sayılar hiçbir düzene uymadan sürüp gider. ilk 20 basamağı şöyledir: .1, 14159265358979323846 ... Yaklaşık MS 500'de llincli matematikçi Brahmagupta, gerçek değeri 3,lQ.227766016837933199 ... olan vlO'un pi olduğuna

Jt'nin tam

inanmıştı.

7t'nin değeri serilerle de hesaplanabilir. iyi bilinen örneklerden biri şudur: 7t 1 1 1 1 1 --!--+-- - +---+ ... 4 3 5 7 9 il Ne var ki hesaplanmasının zor olması bir yana, bu serinin 7t'ye yakınsaması insanı canından bezdirecek kadar yavaştır. Euler'in bulduğu bu seri ise çok daha

hızlı yakınsar:

Is 1706

1761

1882

William Jones 7t simgesini ilk kez kullanır.

Lambert 7t'nin irrasyonel o l duğunu ispatlar.

Lindemann 7t 'nin transandant olduğunu ispatlar.

2 ıt 1 1 1 1 1 --1+-+-+-+-+-+··· 6 22 32 42 52 62

Matematiği

kendi çabalarıyla öğrenmiş olan Srinivasa Ramanuyan ıt'nin dehesaplamak için bazı müthiş formüller geliştirmiştir. Bunlardan içinde yalnızca v2 bulunduran bir tanesi şöyledir:

ğerini

9801 4412

.fi. =3,1415927300133056603139961890 ...

matematikçileri büyülemesini her zaman bilmiştir. Lambert 1882'de ıt'nin bir kesir olamayacağını ispatlarken, Ferdinand von Lindemann n'ye ilişkin en önde gelen soruyu çözmüş ve ıt'nin "transandant" olduğunu, yani cebirsel bir denklemin (x'in yalnızca tamsayılı üslerinden oluşan bir denklemin) çözümü olarak ifade edilemeyeceğini göstermiştir. "Asırların bilmecesi" olan bu soruyu çözünce "daireyi kareleme" sorusunu da yanıtlamış oluyordu: Yalnızca bir pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak, verilen bir dairenin alanına eşit alanlı bir kare yapmak mümkün müdür? Lindemann bunun imkansız olduğunu tartışmaya yer bırakmaksuın ispatladı. Günümüzde daireyi karelemek deyimi imkansız bir şeye yeltenmek anlamında kullanı lır oldu. 7t

bayağı

n'nin değerini hesaplama çabaları ise h ız kesmeden devam erri. 1853'te William Shanks ilk 607 basamağı bulduğunu iddia etti (gerçekte ilk 527 basamak doğruydu). Çağımuda bu çalışmalar bilgisayarın yardımıyla hız kazandı. 1949'da ENIAC bilgisayarının ilk 2037 basamağı hesaplaması 70 saatini a ldı. 2002'ye gelindiğinde 7t sayısının akıl almaz biçimde ilk 1.241.100.000.000 basamağı hesaplanmıştı. Fakat ıt'nin ondalıklı kısmı sonsuza dek uzayan bir kuyruktur. Eğer ekvatorda durup Shanks'in bulduğu kısmı yere yazarsak 14 metre sayı yazmamız gerekir, ama bir de 2002'de bulunan kısm ı yazmaya kalkışırsak dünyanın çevresinde 62 tur atmamız gerekir! [Ekim 201 l'de n'nin ilk 1013 basamağıı;un hesapland ığı açıklanmıştır. ç.n.) Bugüne kadar n'yle ilgili pek çok soru sorı,ılmuş ve yanıtlanmıştır. n'nin basakestirilebilen bir kurala uyar mı? Herhangi bir yerinde 0123456789 dizisi yer alır mı? 1950'lerde bu bilinemiyordu. ıt'nin ilk 2000 basamağında böyle bir dizi yoktu. 1997'de 13.387.594.880. basamaktan başlayan böyle bir dizi bulundu. Ekvator metaforumuzu sürdürecek olursak, hu dizi yaklaşık birinci turu tamamlayıp üstüne 5000 km daha gidince karşımıza çı kıyordu. Üst üste on tane 6 bulmak için yalnızca 1000 km gitmek yeterliyken on tane 7'yle karşı laşmak için birinci turun üstüne 6000 km daha gitmemiz gerekir. makları rassal mıdır? Açılımı önceden

ŞiirdekiJt n'nin rakamla rını ezberlemek isterseniz edebiyattan yardım alabilirsiniz. Edgar Ailen Poe'nun " Kuzgun" şiirinin M ichael Keith tarafı ndan yapılan zekice bir düzenlemesi şöy le başlar:

Poe'nun orijinal fiirinin

başı

Keith'in 1t için düzenlemesinin

başı

The Raven - E.A. Poe

Poe, E. - Near A Raven

Once upon a midnight dreary, while I pondered weak and weary,

M idnights so dreary, tired and weary.

Over manya quaint and curious volume of forgotten lore,

Silently pondering volumes extolling ali by now obsolete lore.

Keith'in versiyonundaki sözcüklerin harf sayıları n'nin ilk 740

basamağını

verir.

n 'n in bu kadar basamağını bilmenin ne gibi bir faydası olabilir? Sonuçta çoğu hesaplama için birkaç basamak yeterli. Muhtemelen uygulamaya yönelik hiçbir hesaplama için virgülden sonra on basamağından fazlası gerekmiyordur. Arşimet' in 22/7 kesri hile çoğu hesaplama için yeterli olsa gerek. A ma sonu gelmeyen n hesaplamalarının tek amacının merak gidermek ve kendilerine "pi'nin dos tları" adın ı veren bir grup matematikçiye meşgale sağlamak olduğunu sanıyorsamz yanı l ıyorsunuz; bu hesaplamalar ayrıca bilgisayarların limitlerin i test etmede kullanılıyor.

:Tt'nin öne mi

n 'yle ilgili tarihteki belki de en garip olay ABD'de lnd iana eyalet meclisinin pi'nin değerini kararname ile belirleme girişimidi r. Bu olay 19. yüzy ıld a tıp doktoru Dr. E.J. Goodwin'in n 'yi daha kull an ılabilir hale getirmek adına yaptığı tasarı sonucu yaşanır. Tasarının h ayata geçirilmesindeki sorunlardan biri teklifi hazırlayan kişinin pi'yi isted iği değerde sabidemekteki başarıs ızlığı olmuştur. Neyse ki n 'nin değerin i kanunla sabitlemeye çal ışmanın ne kadar ahmakça bir çaba olduğunun son anda fark ına varan meclis tasarıy ı reddetmişti. O gün bu gündür poli tikac ılar pi'ye bulaşmazla r.

>> fikrin özü

Jt'yi açacak olursak...

1

06e


e'yi tek rakibi Jt ile karşılaştıracak olursak, Jt'nin heybeti ve Babillilere dek uzanan muhteşem geçmişi yanında e daha dünkü çocuk sayılır. Tarihin tozlu sayfaları için fazla genç ve hareketlidir. Nüfus, para veya ne tür fiziksel nicelik olursa olsun, "büyüme"nin olduğu her yerde kendini gösterir. e, yaklaşı k değeri 2,71828 o lan bir sayı dır. Peki onu bu kadar özel yapan nedir? 17. yüzyılda büyük sayıların çarpımını toplama olarak ifade edebilmemizi sağla yan logaritma fikri üzerine eğilen matematikçiler yeni bir matematik sabitiyle karşılaştılar.

Jacob Bemoulli, dünyaya dahi matematikçiler kazand ırmayı adeta aile mesleğine dönüştürmüş İsviçreli ünlü Bernoulli ailesinden geliyordu. Jacob 1683 yı l ında bileşik faizin özell iklerini incelemeye koyuldu. Diyelim ki bankaya 1 yıllığına, %100 faizle 1 lira (ana para) yatırıyoruz. Tabii gerçek hayatla bu kadar yüksek faiz alam::ıyız genelde, ama hesabı basit tutmak için %100 olsun. Zaten fai zin %6 veya% 7 o lması asıl konuyu değiştirmeyecektir. Aynı şekilde ana paranın 10.000 olması da fark etmez.

Para, para, para

Yıl

sonunda ilk koyduğumuz 1 lira artı faizden kazandığımız 1 lira, yani toplam 2 liramız olur. ikinci senaryoda parayı 6 aylığına %50'den faize yatıralım ve 6 ay sonunda elimize geçen paranın tamamını tekrar 6 aylığına %50'den faize yarnalım. ilk 6 ayın sonunda 50 kuruş faiz alacağımızdan toplam 1,50 liramız olur. ikinci 6 ayın sonunda ise bunun yarısı, yani 75 kuruş faiz alırız ve toplamda 2,25 liramız olur. Sonuç o larak iki 6 aylık sürede "bileşik fa iz" alarak 25 kuruş fazladan paramız oldu! 25 kuruş gözünüze küçük geldiyse şöyle düşünün: Ana paramız 10.000 lira olsayd ı 20.000 lira yerine 22.500, yani fazladan 2.500 liramız

John Napier logaritmayla ilgilenirken e sa bitiyle karşılaşır.

Euler logaritma kuramı üzerine e harfini kullanır. Buna bazen Euler sayısı da denir.

çalışırken

olur
Faiz süresi

-

Biriken para

yı l

2,00000

yarım yıl

2,25000

çeyrek yıl

2,44141

ay

2,61304

-Peki parayı gittikçe daha küçük zaman d ilimlerinde faize yatırsak sonunda milyoner olur muyuz? Yandaki tabloya baktığımızda, toplam paranın belirl i bir değere yakınsadığ ını görüyoruz. Tabii gerçekçi o lan en küçük zaman d ilimi, bileşik fa izi günlük olarak hesaplamaktır (ki zaten bankalar
e'nin tam değeri

Tıpk ı

7t gibi ede bir

- hafta - --

2,71457

saat

2,71813

dakika saniye

irrasyonel sayıdır, dolayısıyla tam 2, 7 l 828182845904523536 ...

değerini asla bilemeyiz. tik yirmi basamağı şöyledir:

e'yi bayağı kesir olarak yazmak istersek, iki basamak l ı say ılar içinde en yakın oran 8 7/ 32 'dir. İ lginç bir şekilde üç basamak lı sayılar için
Burada faktö riye l ünlem ini kullan mak gösterimi kolaylaştırır. Örneğin 5! - 5x4x3x2x1 'dir. Formülü faktöriyelle b~tan yazarsak şu şekilde olur: e-

ı +.!_ +_.!.. + _.!_+ _.!_ +_.!_+ ... !!

Euler e'nin ilk 23 basama?J ı nı hesaplar. Ünlü ein + 1 =O formü lünü de bu dönemde bulur.

2!

3!

4!

5!

Hermite e'nin bir transandant sayı olduğu nu ispatlar.

2,71457

gün

e sayıs ı 10 11 basama(ja kadar hesaplanır.

- -- 2,71828 2,71828

e'nin irrasyone l olduğunu (bayağı kesir olarak yazılamayacağını) gösteren kişi 173 7'dç Eu ler oldu. l 840'ta Fransız matematikçi Joseph Liouviile e'nin herhangi bir ikinci dereceden denklemin çözümü olamayacağını , 1873'te ise vatandaşı Charles Hermite yaptığı öncü bir ça lışmada e'nin transandant olduğunu, yani yalnızca ikinci dereceden değil, hiçbir cebirsel denklemin çözümü olamayacağın ı gösterdi. Burada asıl önemli olan Hermite'in kullandığı yöntemdi. 9 yıl sonra Ferdinand von Lindemann, Hermite'in yöntemini kullanarak daha zorlu bir soru olan ıt 'nin transandant olduğunu gösterdi. Bir soru yanıtlanmıştı fakat yeni sorular onun yerini almakta gecikmed i. e üssü e de transandant mıydı ? Bu kadar tuhaf bir ifadenin başka türlü olması düşü nülebilir mi ? N e var ki bu kesin olarak kanıtlanmış bir şey değil ; dolayısıy la matematiksel a çıdan buna ancak tahmin diyebiliriz. Matematikçiler bir ispata doğru yaklaştılar ve hem e" hem de e2'nin transandant olamayacağını gösterdiler. Ama bu yeterli değ il. ıt ve e arasındaki bağlantı insanı hayrete düşürür. e• ve ıt''nin değerleri yakın olsa da e• > ıt' olduğu kolayca gösterilebilir. Eğer soruyu hesap makinesinden yardım alarak çözecek olursanız e• - 23 , 14069 ve ıt' = 22,45916 olduğunu görebilirsiniz. e• sayısına Rus matematikçi Aleksandr Gelfond'un adından "Gelfond sabiti" denir ve transandant olduğu gösterilmiştir. ıt' hakkındaki bildiklerimiz ise çok daha kısıc l ı; henüz irrasyonel o lduğu bile gösterilememiştir - tabii eğer gerçekten irrasyonelse.

sayısı neden önemli? Büyümeyle ilgili konularda e sayısı kilit role sahiptir. Örneğin ekonomik büyüme ve nüfus büyümesi bunlar arasındadır. Radyoaktif bozunma modelleri de yine e sayısını temel alı r.

e

Fakat e sayısının geçtiği konular bunlarla sınırlı değ ildir. Pierre M ontmort' uı;t 18. yüzy ılda ele ald ığı ve sonradan üzerinde etraflı çalışmalar yürütülen bir olasılık probleminin basit versiyonu şu şeki ldedir: Bir grup insan bir lokantada yemek yemiş, sonra şapkala rını kendilerininki mi değil mi hiç bakmadan rasgele almışla r. Hiçbirinin kendi şapkasını almamış olma ihtimali nedir? Bu olasılığın Ye olduğu gösterilebilir (yaklaşık %37). En az bir kişinin kendi şap ihtimali de 1 - Ye yani yaklaşık %63 olur. Olasılık kuramında

kasını almış olma

e'nin geçtiği buna benzer daha pek çok uygulama vardır. Nadir olayları modellemeye yarayan Poisson dağılımı bunlardan birisidir. Fakat e sayısının geçtiği yerler bunlarla da sınırl ı değildir. James Stirling e ve ıt sayılarını kullanarak n! faktöriyelin çok başarılı bir kestirimini elde etti. istatistikteki normal dağılımın ünlü "çan eğrisi" e sayısını içerir. Ayrıca mühendislikte kullan ı lan asma köprü kablolarının eğim formülünde yine e sayısı bulunur. Ve bu liste uzayıp gider.

Önemli bir özdeşlik e sayısı, matematiğin en güzel özdeşliği olarak bilinen eşitlikte de kendine yer bulur. Matematiğin en temel sayılarından o, 1, ıt, eve sanal i = v-J sayılarını bir araya getiren özdeşlik şöyledir:

eiıt

-4

+ 1 =O

Bu eşitlik, Euler özdeşliği adıyla bilinir.

-3

-2

-1 Normal

o Dağılım

önemi, matematikçileri kuşak lar boyu büyüleyerek kendine Yazar E.V. Wright, e'siz bir edebiyat olabileceğini göstermek adına Gadsby adlı romanında hiçe harfi kullanmamıştı. Ama e'siz bir matematik kitabı yazmayı düşünmek pek mümkün değil. Belki de e'nin

asıl

çekmiş ol masındadır.

>> fikrin özü

Sayıların

en doğah

2

3

4

riWA•

'*~

Akademik Kita p Kulübü

07 Sonsuzluk Sonsuzluk ne kadar büyüktür? Bunun en basit cevabı, sonsuzluğun çok ama çok büyük olduğudur. Sonsuza doğru uzanan sayı doğrusunu dü1000 şünün. Aklınıza en büyük hangi sayı gelirse (örneğin 10 ), her zaman 1000 ondan bir büyük sayı (10 +1) vardır. Bu geleneksel sonsuzluk anlayışıdır, sayılar sonsuza dek uzar gider. Matematikçi· lcr sonsuzluğu genelde ince eleyip sık dokumadan kullansalar da sank( herhangi bir sayıymış gibi davranmamak gerekir. Zira bir sayı değildir sonsuz.

Sayma

A lman matematikçi Georg Cancor bizi çok daha farkl ı bir sonsuzlukla

tanıştırdı. Dahası bunu yaparken modem matematiğin hüyük bir kısmına yön

veren bir kuram oluşwrdu. Cancor'un kuramınm dayandığı fikir, ilkel bir sayma yönteminden geliyordu. Sayı saymasını bilmeyen bir çiftçi koyunlarının hesabını nasıl tutabilir? Çok

basit: tek yapması gereken sabah koyunlarını ağıldan çıkarırken her koyun için bir torbaya bir taş atmak. Eğer koyunlardan bi ri kaybolmuşsa, akşam her koyun için torbadan bir taş çıkarırken son bir taş artacaktır. Çiftçi saymayı bilmese de kullandığı yöntem tamamen matematiksel: taşlarla koyunlar arasında bire-hir eşleme yapıyor.

Cantor'un kuramı kümeler üzerine kuruludur. Örneğin N-/1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}pozitif tam sayılar kümesidir. Elimizde bir küme varsa, onun alt kümelerini de oluşturabi liriz. Bir kümenin hazı elemanları al ınarak oluşturulan daha küçük kümeye alt küme denir. Yukarıdaki N kümesin in ilk akla gelen iki alt kümesi T- {l, 3, 5, 7, ... }ve Ç-12, 4, 6, 8, ... },yani tek ve ç ift sayılar kümeleridir. Peki, iki kümenin eleman sayıları eşit midir, diye sorulsa ne diyebiliriz? Kümelerdeki elemanları saymamız mümkün olmasa da cevabın "evet" olması gerekir. Ne de olsa tamsayı ların yarısı çift, yarısı tektir. Cantor da bu cevaba katılırdı ama

Aristoteles gerçek bir sonsuzlul'Ju reddeder.

Girard Desargues geometriye sonsuzluk kavramını getirir.

Sonsuzluk daha fark lı bir neden dile getirirdi. O na göre h er tek sayının bir çift sayı "eşi" olurdu. Tek ve çift tamsayıların eşit sayıda elemanı olduğu fikrini şu eşleşmeyle destekleyebiliriz:

T:

Ç:

3 5 7 9 il 13 15 17 19 21...

• • • • • • • • • • • t t t t t t t t t t t • • • • • • • • • • •

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 ...

Ş imdi

de şu soruyu yanıtlamaya çalışalım: "Tamsayı ve ç ift sayıların adedi eşit midir?" Buna sezgisel olarak hayır diyebiliriz, ne de olsa tamsayılar kümesi yalnızca çift sayı lan değil, tek sayıları da barındmr. Yalnız şu

var ki, "eşit" veya "daha çok" gihi kavramlar, sonsuz sayıda elemanla Bu gibi durumlarda bire-bir eşleme fi krine geri dönmemiz yerinde olur. Şaşırtı cı biçimde, N ile çift sayılar kümesi Ç arasında bir bire-bir eşleme vardır: uğraşı rken muğlaklaşır.

N:

Ç:

2 3 4 5 6 7

8

9

10 11...

• • • • • • • • • • • t t t t t t t t t t t • • • • • • • • • • •

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 ...

Bu şekilde yaklaşınca tam sayıların çift sayılarla eşit miktarda olduğu sonucuna varıyoruz! Bu lskenderiyeli Öklid'in Elemanlar ad lı eserinin başında dile getirdiği "bütün,

parçalardan büyüktür" fikriyle de tezat oluşturur.

Eleman sayısı Bir kümedeki elemanların adedine eleman sayısı denir. Ç iftçi örneğinde torbada 42 taş varsa, koyun kümesinin eleman sayısı 42 demektir. {a, b, c, d, e) kümesinin eleman sayısı S'tir; bunu s{a, b, c, d, e) = 5 ~eklinde yazabiliriz. N kümesinin veya N ile bire-bir eşleme yapılabilen bir kümenin eleman sayısı için Cantor, X 0 simgesini kullanmıştı ( X veya 'alef', İbrani alfabesinin ilk harfidir. X 0 simgesi 'alef sıfır' diye okunur.) Dolayısıyla matematik dilinde s(N) - s(T) = s(Ç) - X 0 yazabiliriz.

1655

1874

1960'lar

John Wallis sonsuzluk için ilk kez "aşk düğümü" oo simgesini kullanır.

Can ıor

Abraham Robinson sonsuz küçüklük kavramı için standart · dışı bir aritmetik geliştirir.

sonsuzluk kavramını ciddiyet ve özenle inceler. Sonsuzlu!)un farklı derecelerini belirler.

1

1 SODSUDUK

N ile bire-bir eşleme yapılabilen bir kümeye "sayılabilir sonsuz" küme denir. Sayı labil ir sonsuz kümelerin elemanlarını bir liste halinde sırayla yazabil iriz. Örneğin tek sayılar l, 3, 5, 7, 9, ... diye gider ve hangisi birinci, hangisi ikinci biliriz.

Bayağı kesirler "sayılabilir sonsuz" mudur? Doğal sayılar kümesini {N ) bayağı kesirler {veya rasyonel sayı lar) kümesin in (Q ) bir alt kümesi olarak düşünebiliriz; bu açıdan Q , N'den daha büyük bir kümedir. Peki Q 'nun tüm elemanlarını liste halinde yazabilir miyiz? Bu öyle bir liste olmalı -1 2 -2 3 -3 4 ... ki her kesir bu listenin bir yerlerinde yer almalı. Bu kadar büyük bir kümenin -1 3 -3 5 -5 r ... 2 2 2 2 2 2 - üstelik negatif sayılar da dahil olmak üzere-N ile bire-bir eşleme yapılabilmesi -1 z. -2 i ·! ~ ... pek olası gelmiyor insana. Gclgelelim bu mümkün. 3 3 3 3 3 3 ·1

3

~ 4

-5

·1

2 -2 3

-3

-3

4 4 4

5 5

5 5

4

5

r ... 4

! ... 5

işi n sırrı listeyi iki boyutlu olarak düşünmekte. llk olarak tamsayıları bir pozitif, bir negatif olarak yazalım. Bir alt satıra paydasında 2 olan kesirleri yazal ı m (Yalnız üst satırda eşiti yer alan örneğin 6/2 = 3 gibi kesirleri tekrar yazmıyoruz). Bu satırın altına paydasında üç o lanları yazarak bu şekilde devam edelim. Tabii bu listeyi tamamlamak gibi bir niyetimiz olamaz. Ama önemli olan, artık her kesrin listenin neresinde yer aldığını biliyor olmamız. Örneğin 20'%1 kesri, 67. satırda, 4 11 . sütunda yer alır. [Sadelcştirilebilen 67/67, - 67/67• 134/67• - 134/67, 201/67• ve 201 20 / 6 7 kesirlerinin bu satırda yer almadığına dikkat edin. Dolayısıyla %1'den önce yer alması gereken 208 x 2 - 416 kesirden 6'sı eksiktir. ç.n.)

Bir sonraki hedefimiz bu iki boyutlu listeyi tek boyutlu hale getirmek, yani yan yana yazmak. Eğer önce birinci satırın elemanlarını yazalım dersek asla ikinci satı ra geçemeyiz; ne de olsa birinci satır sonsuza dek sürüyor. Bu yüzden zikzaklar çizerek ilerlemeyi deneyelim. Yanda numaralandırılan sırada l'den baş layarak oklar yönünde ilerlersek listemiz ortaya çıkar: l, - 1, Vı, 1/3, -Vı, 2, -2, ... Her kesir bu listenin bir yerinde mutlaka yer alır.' Sonuç olarak kesirler kümesi Q'nun sayılabilir sonsuz olduğunu söyleyebilir ve s(Q ) - X 0 yazabiliriz.

Reel sayılan listelemek

Kesirler, reel sayı çizgisindeki (R ) pek çok yeri doldursa da örneğin ../2, e veya 7t gibi bazı boşluklar yine ka lı r. Bun lar irrasyonel sayılardır. irrasyonel sayılar, "boşlukları" doldurarak bize reel sayı doğrusunu verir.

Sonsuzluk

-vs

v2

\

-3

-2

-1

o

l1

\1

2

e

1r

t

J 3

4

Boşluklar dolduru lduğunda,

R kümesi süreklilik oluşturur. Peki R kümesinin liste halinde nasıl yazabiliriz? Cantor, dehasını kullanarak, reel say ıları O ile 1 arasına yerleştirme konusunda her türlü girişiminin hüsranla sonuçlanacağını ispatladı. Peki ama reel sayı ları birbiri ardına yazarak listelemek neden mümkün olmasın ki? elemanlarını

Cantor'a kulak asmayarak O ile l arasındaki tüm sayıları ondalıklı olarak yazmaya başlıyoruz. Örneğin 'iz - 0,500000000000000000... ve Yıı 0,31830988618379067153 ... Cantor'a "İşte," diyoruz, "O ile 1 arasındaki tüm sayıların listesini yaptım". Cantor listede yer almayan bir sayı bulamazsa bu işi başardık demektir. Cantor listemizde art arda gelen r1, r1 , r,, r., r., ... diye adlandırdığımı z sayılara bakıyor ve bazı rakamların üzerinden kalın kalemle geçiyor: r,: O,a 1 a 1 a 5a 4 a 5 ••• r 2 : O,b,b2 b,b.b... .

r,: O,c,c1 csc4 c 5 .. . r 4:

O,d,d1d,d 4 d, .. .

Ve ardından "iyi, güzel de," diyor, "x - O,x 1x1 x,x4 x5 ... sayısını göremedim. Bu b,'den farklı; x,, c,'ten farklı ve bu şeki lde gidiyor." Bu sayıya eşit olan bir rn sayısı gösteremeyiz, çünkü n'inci basamağı rn'nin n'inci basamağından farklı olur. Korkarız Cantor haklı. sayı üyle bir sayı ki x,, aı'den farklı ; x2 ,

işin aslı , reel sayıları hiçbir listeyle göstermek mümkün deği ldir. Dolayısıyla bu "daha büyük" bir sonsuz küme, Q'ya oranla daha yüksek dereceden bir sonsuzluktur. Dernek ki büyüğün de büyüğü varmış.

>> fikrin özü Sonsuzluk seli altında

1

:iiWAWiıı

~~ Akademik Kitap Kulübü

08 Sanal Sayılar Kafamızdan sanal sayılar üretebiliriz. Banka hesabımda bir milyar lira var dersem bu hayli sanal bir sayı olur örneğin. Fakat matematikteki anlamıyla sanal sayıların bu türden hayali sayılarla bir ilgisi yoktur.

"Sanal" adını, reel sayılarda çözümü olmayan bazı denklemlerin çözümü için filozof ve matematikçi Rene Dcscartes'ın koyduğuna inanılır. Sanal sayılar gerçekte var mıdır yok mudur? Bu soru sanal sözcüğü üzerine kafa yoran filozofları meşgul etmiştir. Oysa matematikçiler için bu sonınun yanıtı nettir. 5 veya n ne kadar gündelik hayatın bir parçasıysa, sanal sayılar da o kadar parçasıdır. Alışveriş yaparken pek bir faydalarının dokunmad ığı doğru; ama bir uçak tasarımcısına veya elektrik mühendisine soracak olursanız, sanal sayıların hayati öneme sahip olduğunu söyleyecektir. Ve bir reci sayı yla sanal sayıyı birbirine eklerseniz, felsefi aç ıdan kulağa daha sorunsuz gelen "karmaşık say ı"ları elde edersiniz. Karmaşık say ılar kuramının temelinde -1 'in karekökü yatar. Peki ama hangi sayıyı kendisiyle çarpınca -1 elde ederiz?

Odışında bir sayıyı kendisiyle çarparsa nız (karesini alırsanız) hep pozitif bir sayı elde edersiniz. Pozitif bir sayının karesinin pozitif olduğuna inanmak kolaydır; peki ya negatif sayı l arda durum nedir? -1 x-1 'e bakalım örneğin. Okulda öğre tilen "eksiyle eksinin çarpı mı art ı eder" kural ını unuttuysanız bile cevabın ya+ 1 ya -1 olması gerektiğini anımsarsınız. Eğer -1 x-1 - - 1 olsaydı, her iki tarafı -1 'e böldüğümüzde -1=1 gibi anlamsız bir sonuca ulaşırdık. Buradan -1x-1=+1 olması gerektiğini çıkarabiliriz. Aynı argüman - 1 d ışındaki negatif sayılar için de geçerlidir; dolayısıyla bir sayın ın kendisiyle çarpımı asla negatif olamaz. Bu durum 16. yüzyıld a, karmaşı k sayıl arın ilk bu lunduğu yıll arda matematikçilerin önünde bir engel oluşturuyord u. Ancak bu soru n aşılıp da matematikçiler sı radan sayıların hegemonyasından kurtulunca, daha önceden

Rafael Bombelli sanal hesap yapar.

sayıla rla

Euler-1'in karekökünü göstermek için i harfini kullanır.

Sanal Baydar h ayal bile ed i lmemiş geniş alanlar açıklı . Karmaşık sayı ların bulunmast, daha mükemmel ve eksiksiz bir say ı sistemine kavuşmamtzı sağladı .

-l'in karekökü -3

Kendimizi reel sayt doğrusuyla kısıtladığıımzda,

-2

-1

o

2

4

3

h içbir say ının karesi negatif olamayacağından dolayı - 1' in karekökün ün olmadığınt görürüz. Eğer tüm say ıların reel sayılardan ibaret olduğunu kabul edersek, bu noktada pes etmemiz gerek ir. Bunun imkansız olduğund a karar ktlabilir ve filozoflarla karşılıklı oturup çaylarımızı yudumlayabiliriz. lkinci bir yol ise, v- l 'e yeni bir kiml ik vererek bunun da bir sayı olduğunu düşünmek ve bu yen i sayıya yeni bir simge (i) vermektir. A rtık zihnimizde de olsa san al sayı l ar bir varlığa kavuşur. Ne işe yarayacak larını ise henüz bilmiyoruz. i1 - - 1 olması gerektiğini b iliyoruz en azından . Artık yeni sistemimizde 1, 2, n:, v3'ün yanında 1+2i, -3+i, v3+ni gibi sayılar da mevcut.

Matematikte bu önemli adımın atılarak tek boyutlu sayı doğrusunda n iki boyutlu sayı düzlem in e geçiş 19. yüzy t lın başlarına rastlar.

v-ı Mühendisliği

Peki karmaşık sayı larla neler yapabi liriz? Örneğin tıpkı reel saytlarla yaptığtmtz gibi onl arı tuplayıp çarpabi liriz. T oplarken reel kı sıml a rı reel k ıs ımlarla, san al k tsı ml a rı sanal kısımlarla toplarız. 2 +3i ile 8 +4i'yi toplarsak (2 + 8) + (3 +4 )i - 10+ 7i elde eder iz.

Toplama ve çarpma

Çarpmada da yapm am ız gerekenler basittir. 2 +3i ile 8+4i'yi çarpmak için ilk sayının her bir teri mini ikincinin terimleri yle sırayla çarparız:

Cari Friedrich Gauss karmaş ı k sayılı fonksiyonla rla çalışma la r yapar.

Uygulamaya odaklı insanlar olan mühendis ler, karmaşık sayılar için bir kullanım alanı bulmuşla rdır. Michael Faraday 1830'1arda alternatif ak ı mı keşfettiğ i nde karmaşık sayılar fiziks el bir g e rçek li ğe büründü . El ektrikte i harfi gene lde a kımı göstermek için kull anıld ı ğından v-1 için daha çok j harfi kulla nılır .

1

1 Sanal Sayılar (2 + 3i) x (8 + 4i) = (2 x 8) + (2 x 4i) + (3i x 8) + (3i x 4i) Ardından terimleri toplarız: 16 + Si + 24i + l 2i2 (son terimde i2 yerine -1 yaza-

nz). Böylece ( 16 - 12) + (8i + 24i), yani 4 + 32i sonucunu elde ederiz. Karmaşık sayılarla tüm aritmetik işlemler yapılabilir. Çıkarma ve bölme de mümkündür (tabii O+ Oi sayısına bölmeye kalkışmazsak; zaten reel sayılarda da O sayısına bölemiyorduk). Hatta biri dışında karmaşık sayılar reel sayıların rüm özelliklerine sahiptir: karmaşık sayıları pozitif ve negatif diye ayırmayız.

2

,, 1+2i

..

+i

•·····....

Argand diyagramı

Karmaşık sayıları diyagram üzerinde göstermek istediğimizde iki boyutlu doğaları hemen kendini gösterir. -3 + i ve 1 + 2i sayılarını Argand adı verilen diyagram üzerinde gösterelim. Bu diyagramlara İsveçli matematikçi Jean Roberc Argand'ın adı verilmiştir. Gerçi aynı dönemde benzer gösterim kullanan başka matematikçilerin de olduğunu belirtmeliyiz.

//

, 1+2i

2

~/ /

/ 1

o\ \

:' I 1

,2

Her karmaşık sayının "eşlenik" denilen bir "kankası" bulunur. 1 + 2i'nin eşlen iğini bulmak için sanal kısmının işaretini ters çeviririz: 1 - 2i. T abii aynı şekilde 1 - 2i'nin eşleniği de 1 + 2i'dir, dolayısıyla kankalıkları karşılıklıdır. Birbirinin eşleniği iki sayıyı toplar veya çarparsak her zaman bir reel sayı elde ederiz. Örneğin 1 + 2i ve 1 - 2i'yi toplayınca 2, çarpınca 5 ekle ederiz. Çarpmanın şöyle bir ilginçliği vardır: buradaki 5 sayısı l + 2i 'nin uzunluğu nun karesini verir. Bu vS aynı zamanda eşleniğinin de uzunluğudur. Tersten söyleyecek olursak karmaşık sayının uzunluk tanımını şu şekilde yapabiliriz:

"1ı 1-2i (kanka)

z'nin uzunluğu= v(z x z'nin eşleniği)

-3 + i için hesapladığımızda, uzunluğunun v((-3 + i) x (-3 - i)) - ../(9 + 1) ·vıo olduğunu görürüz. Karmaşık sayıların mistik ögelerden tamamen arındırı lmasında 19. yüzyıl lrlanda'sının ilk akla gelen matematikçisi Sir William Rowan Hamilton'un önemli katkısı olmuştur. Hamilton kuram açısından i'nin gizemli bir anlam taşımadı ğına kanaat getirerek v-l'e yüz vermeden karmaşık sayıları sıralı ik ili olarak (a, b) şeklinde yazabileceğimizi fark ermişti. i'den arındırıldığında toplama şu şekli alır:

(2, 3) + (8, 4)

~

(10, 7)

Sanal

Sayılar 1

Çarpma ise toplama kadar basit olmasa da şöyle olur:

(2, 3) x (8, 4) = (4, 32) Karmaşık sayı sisteminin içerdiği bütünlük, sayıların n'inci dereZı Zı ceden köklerini göz önüne aldığımızda daha belirgin hale gelir. --~: ···::ıo-., i' = 1 denklemini hangi sayılar sağlar? Örneğin{' - 1 eşitliğine ./' '., ,/ ' bakalım. Reel sayılar üzerindeki iki kök kolayca gözüküyor: z :' '·. ,' tat '\\ / t z. 1 ve z = -1 (Çünkü 16 - 1 ve (-1)6 = 1 olur). Ancak toplam 6 ---··········•·-·-----kök olması gerekir. Diğer dördü hani? iki reel kökte olduğu gibi, ·1\ ,/"\ :+1 x ,.' ' köklerin hepsi 1 birim uzunluktadır ve orijin merkezli 1 birim 'i ,, .. yarıçaplı çemberin üzerinde bulunurlar. z• ........ ... -........• z,

.......

\.,

1. kadrandaki Zı = ılı + "3ıı i kökünden başlayıp saatin tersi yönde ilerlersek diğer kökler Zı. z3, Zıı Zs ve z. = 1 toplu halde bir düzgün çokgenin köşelerinde yer alırlar. Genel olarak l'in n'inci dereceden kökleri birim çember üzerinde ven-kenarlı çokgenin köşelerinde yer alır. Karmaşık sayılan genişletmek Matematikçiler karmaşık sayı fikrini oturttuktan sonra içgüdüsel olarak daha büyük çaplı genellemeleri denediler. Karmaşık sayı lar iki-boyutluydu ama 2'nin ne özelliği vardı? Daha çok boyutlu sayılar olamaz mıydı? Hamilton yıllarca üç-boyutlu sayılar ve bunlarla ilgili bir aritmetik sistem oluşturmayı denediyse de dört boyuta geçene kadar başarı sağlayamadı. Çok geçmeden dört-boyutlu sayılar da sekiz-boyutlu sayılara (Cayley sayılarına) genellendi. Çoğu kişi bir sonraki genellemenin 16 boyutta olacağını tahmin ettiyse de, Hamilton'un çığır açıcı adımından 50 yıl sonra, bunun imkansız olduğu ispatlandı.

>> fikrin özü

Gerçek hayatta kullanllan hayali sayılar

,

'

,

I

~

w


09 Asal Sayılar Matematik insanoğlunun tüm ilgi alanlarının arasında mekik dokuyan öylesine engin bir konudur ki, bazen içinde kaybolup gidersiniz. Arada bir temel esaslara geri dönmeniz gerekir. Sayıların temelinde sayma sayılan vardır: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, g, 1 0 , 11, 12, ... Peki bunun bile temelinde başka sayılar var mıdır? Mesela 4 = 2 x 2 'dir, dolayısıyla daha temel bileşenlerine ayrılabil ir. Diğer sayı ları da böyle ayırabilir miyiz? Neden olmasın, işte birkaç tane daha: 6 - 2 x 3, 8 - 2 x 2 x 2, 9 - 3 x 3, 10 = 2 x 5, 12 = 2 x 2 x 3. Daha küçük sayı ların ça rpı mından oluştukları için bun lara "bileşik sayılar" denir. Bazı sayı larıysa ayırmak mümkün değildir: 2, 3, 5, 7, 11 , 13, ... Bunlara asal sayı lar veya kısaca asallar denir. Asal sayı yalnızca l'e ve kendisine tam bölünür. Peki l de asal mı diye soruyor olabilirsiniz. Geçmişte pek çok matematikçi 1'i asal kabul etmiş ulsa da teoremlerin tutarl ıl ığını sağlamak adına l asal sayılar arasından çıkarılm ıştır. Bu yüzden asal sayıların tan ım ına "l'den büyük" ifadesi ek lenmiştir. llk birkaç sayına sayısı için asalların altını çizelim: 1, ı, l, 4, .5., 6, l, 8, 9, 10, il, 12, Ll., 14, 15, l 6, il, 18, 12., 20, 21, 22, 2.3., ... Asal sayı ları incelemek bizi temelin de temeline götürür. Asal sayılar matematiğin atom larıdır adeta. Diğer tüm kimyasalları meydana getiren kimyasal atomlar gibi asal sayılar da diğer sayıları meydana getirir. matematiksel o larak ifade eden teorem "aritmetiğin temel teoremi" bilinir. Buna göre l'den büyük her tamsay ı asal sayıların çarpımı olarak yalnızca tek bir şekilde ifade edilebilir. Örneğin 12 = 2 x 2 x 3'tür ve asal yıların çarpımı olarak başka türlü ifade edilemez. Bunu genelde üslü gösterim yardımıyla 1ı 22 x 3 diye yazarız. Bir başka örnek olarak 6.545.448 = 23 x 15 x 7 x 13 x 3 7 diye yazılabilir.

Bu

gerçeği

ad ıyla

sa-

-

Öklid'in Elemanlar'ında asal sayıların sonsuz tane oldu{lunun ispatı yer alır.

Kirene'li Eratosten asal sayıları tam sayılardan ayıran elek yöntemini tanımlar.

Asal

Sayılar 1

Asalları keşfetmek Asal sayıları belirlemeye yarayan bir formül ne yazık ki yok. Dahası bilebildiğimiz kadarıyla hiçbir kalıba uymazlar. Asal sayıları bulmaya yarayan en eski yöntemlerden birini, Arşimet'in genç çağdaşı Kirene'li Eratosten icat etmişti. Dünyanm çevresini hassas bir şekilde ölçmesi kendi çağında oldukça takdir görmüştü. Günümüzde ise daha çok asal sayıları bulmaya yarayan eleğiyle hatırlanır. Eratosten sayıları sırasıyla yazarak oluşrur duğu tabloda asal olan ı sayısının altını çizdi ve 2'nin tüm katlarmm üstünü çizerek eledi. Ardından 3'ün altın ı çizip 3'ün katlannı eledi. Bu şekilde devam ederek tüm bileşik sayıları eledi. Geriye kalan altı çizili sayı lar asal sayılardı.

Asal

sayıları sırasıy la

bulmak için bu yöntemi kullanabiliriz. Peki verilen bir

sayının asal olup olmadığını nasıl anlayabiliriz? Örneğin 19.071 asal mıdır? Ya

da 19.073? 2 ve S'in katları dışmdaki sayıların sonu l, 3, 5, 7 veya 9'la biter ama bu illa asal olacakları an lamına gelmez. Büyük bir sayının asal olup olmadığını anlamak için kendinden küçük asa llara bölünüp bölünmediğini kontrol etmemiz gerekir. Bu arada merak ettiyseniz, 19.071 - 3ı x 13 x 163 asal değildir ama 19.073 asaldı r. Bir başka zorlu soru ise asal sayıların bir örüntüye sahip olup olmadığıdır. 1 ile 1000 arasındaki asal sayıların dağılımı görülüyor:

Aşa

ğıda

Aralık

Asal sayı adedi

1-100 101-200 201- 300 301-400 401-500 501- 600 601-700 701-800 801-900 901- 1000 1-1000 25

21

16

16

17

14

16

14

15

14

168

Cari Friedrich Gauss 1792'de, henüz 15 yaşındayken belirli bir n say ısın dan küçük asa l sayıların adedini rahmin etmek için bir formül önerdi (buna

is 1742

1896

1966

Goldbach, 2'den büyük her çift sayının iki asalın toplamı olarak yazılabileceğini ileri sürer.

Asalların dağılımıyla ilgili sayı kuramı ispatlanır.

Chen Jingrun, Goldbach ispatlamaya çok yaklaşır

asal

sanısını

1Aıaı ıardar günümüzde asal sayı teoremi denir). n = 1000 için formülün verdiği tahmin 172'dir. Gerçek adet olan 168 bundan daha küçüktür. Bunun her n değeri için geçerli olduğu düşünülüyordu, ta ki n = 1031 ı ( 1 ve ardından 3 71 tane O içeren devasa bir sayı) sayısında tahminin gerçek sayıdan daha büyük o lduğu gösterilene dek. Asal sayı lar her zaman böyle sürprizler banndırı r. Dahası, bazı sayı aralıklarında tahminle gerçek arasındaki fark bazen az, bazense çok olacak şe kilde dalgalanır.

Kaç tane?

Asal sayılar sonsuzdur. Öklid, Elemanlar adlı kitabında (9. Kitap, ZO. Önerme) "asal sayılar belirli bir miktar asal sayıdan daha çoktur" diye yazmıştı. Öklid'in zarif ispatı şu şekildedir: En büyük asal sayı P olsun. Şöyle bir N say ıs ı tanımlayalım: N s (2 x 3 x 5 x ... x P) + 1. N ya asaldır, ya da değildir. Eğer asalsa, P'den büyük bir asal bulduk demektir ki ilk varsayımımızla çelişir. Yok eğer asal değilse, kendinden küçük tüm asal sayılar olan 2, 3, 5, ... , P sayı larından birine bölünüyor olmas ı gerekir. N'yi bölen bu asal sayı r olsun. Bu durumda r sayısı N - (2 x 3 x 5 x ... x P) sayısını böler. Fakat bu ifade l'e eşit ol duğundan r - 1 olmak zorundadır. 1 ise asal değildir. Dolayısıyla ilk varsayımımızla çelişmiş olduk. Demek ki asal sayılar sonsuz tane olmalıdır.

Asallar sonsuza uzansalar da insanoğlunun en büyük asal sayıyı bulma sevdası hiç dinmemiştir. Şu andaki rekor bir Mersenne asalı olan 224036581 -1 sayısıdır ki yaklaşık olarak loızmıı, ya da bir başka deyişle l'in ardından 7.235.732 tane O olan bir sayıya karşı l ık gelir.

Bilmediklerimiz Asal sayılara ilişkin öne çıkan iki cevapsız soru, "ikiz asallar problemi" ve "Goldbach sanısı"dır. ikiz asallar, aralarında 2 fark olan asallardır. l 'den lOO'e kadar olan ikiz asallat şunlardı r: 3, 5; 5, 7; 1l,13; 17, 19; 29, 31; 41, 43; 59, 61; 71, 73. I0 10 'dan küçük tam 27.412.679 tane olduğunu biliyoruz. Bu da demektir ki bu çift sayılar (örneğin 11 ile 13 arasındaki lZ), bu aral ıktaki sayıların yalnızca %0,274'ünü oluşturur. Peki ikiz asallar sonsuz mudur? Eğer değillerse bu şaşırttcı bir sonuç olur, fakat şu ana kadar bunu veya aksini ispatlamayı başarabilen olmadı. ikiz

asalların

aral ı ktaki asalların arasındaki

Christian Goldbach sanısı ise şunu söyler: 2'den büyük her çift sayı iki tane asalın toplamı olarak ifaıle edilebilir.

Asal Örneğin çift sayı olan 42'yi 5+37 o larak yazabiliriz. Ayrı ca 11+3 1 veya13 +29 veya 19 +23 o larak yazabiliyor olmamız gerçeği değ i ştirmez - Goldbach sanısı böyle en az b ir çift asal say ı o lduğunu iddia eder. Devasa sayılar da dahil olmak üzere bugüne kadar denenm iş h er sayıda bu sanı doğr u ç ıksa da gen el ispatı yap ılamamıştır. Ö te yan dan ilerleme kayd etmey i başa rd ı k . Baz ıları ispa tın çok da uzak olmadığını düşünüyor. Ç inli matematikçi C hen Jingrun çok önemli bir ad ım attı . Teoremine göre yeterince büyük h er ç ift say ı , iki asal ın toplamı veya bir asalla b ir yarı-asalın (yani iki asalın çarpımınd an o luşan bir sayının) toplam ı o larak ifade edilebilir.

Sayılar 1

Nümeroloğun sayısı Sayı kuramının

en çetin konularından biri "Waring problemi"d ir. 1770' de Cambridge'de profesör olan Edward Waring tamsayıları kuvvetlerin toplamı o larak yazmaya dair bazı sorular ortaya attı. Bu sorularda nümerolojinin gizemli sanatı, matematiğin tarafsız bilimi ile karelerin ve küplerin toplam l arı ve asal sayı ların biçimleri üzerinde buluşuyordu . Örne(lin mistik anlamlar yükl e nmiş sayıların belki de en ünlüsü olan ve lncil'in Vahiy bö lümünde "şeytanın sayısı" olarak geçen 666' nın nümerolojik açıdan ilginç bir özelliği, ilk 7 asa l ın karele rinin toplamı olması dır: 666 =22 + 32 + 52 + 7 2 + 112 + 132 + 172 Nüme rologlar ayrıca bu sayının palindromik bir küp- · ler toplamı olduğunu , üstelik gö bekteki 6 3 teriminin açılımının da 6 x 6 x 6 oldu(lunu göstermekten geri kalmazlar:

Büyük say ı kura mcısı Pierre de Fermat, 666 = ı3 + 23 + 33 + 43+ 53 + 63 + 5' +43 + 33+ 23 + ı3 4k + 1 şeklimle yaz ıl a bilen asalların iki 666 şeytandan çok nümerolo(lun sayısına benziyor. karen in top l amı o larak tek ama tek bir şekilde yazılabileceğini (ör. 17=1 2 + 4 2) , öte yandan 4k+3 şeklinde olanlarınsa iki karen in toplamı şek linde asla yazılamayacağın ı göstermeyi başardı. Joseph Lagrange ise kare kuvvetlerle ilgili ün lü bir teoremi ispatladı: H er pozitif tamsayı, 2 1 2 2 dört karen in toplamı şeklinde ifade edilebilir. Örneğin, 19 • 1 + 1 + 1 + 4 • Daha büyük kuvvetler incelend i ve kitaplar do lusu teorem yazıldıysa da pek çok soru h ala yanıt beklemekte. Asal sayıları "matematiğin atomları" olarak tanımladı k. "iyi de," diyeceksiniz, "atomlardan bile daha temel parçacıklar, sözgelimi kuarklar keşfedildi." Matematik geri kalu mı h iç? Eğer kend imizi sayma sayılarıyla sınırlandırırsak S'i çarpanlarına ayıramayız. Ama Gauss, örneğin 5 gibi bazı asal sayıları 5 = ( 1 - 2i) x ( 1 + 2i) şeklinde yazabileceğimizi gösterdi. Bu gibi asal sayıları l 'den farklı iki camsayının çarpımı olarak yazamasak da iki Gauss taınsayısının çarpımı olarak yazabiliriz.

>> fikrin özü

Matematiğin

atomlan

r

~

10 Mükemmel

~


Sayılar

Mükemmellik arayışı, matematik heveslilerini farklı yönlere sevk etmiş tir. Mükemmel kareler olarak da bilinen tamkarelere bu ismin verilmesi estetik nedenlerden ziyade mükemmel olmayan karelerin de olmadığım anımsatmak içindir. Bazı sayıların az, bazılarının çok sayıda böleni vardır. Fakat üç ayıcık masalında olduğu gibi, bazılarının bölen sayısı ise "tam olması gerektiği gibi"dir. Bir sayının bölenlerinin toplamı, sayının kendisine eşit olduğunda sayıya mükemmel deriz. Amcaşı Platon'dan Akademi'yi devralan Yunan filozof Speusippus, Pisagorcularm 10 sayısının mükemmel sıfatını hak ettiğine inandıkl arını ileri sürmüştü. Neden mi? Çünkü LO'dan küçük asal sayıların (2, 3, 5, 7) adedi asal olmayanların (4, 6, 8, 9) adedine eşitti. 10 bu özelliğe sahip sayıların en küçüğüydü. Bazı insanların mükemmellik anlayışları biraz garip oluyor.

Gerçekteyse Pisagorcularm daha zengin bir mükemmel sayı anlayışları vard ı. Mükemmel sayıların özelliklerinin ana hatları Ôklid tarafından Elemanlar adlı eserde belirtilmiş ve 400 yıl sonra Nikomakus tarafından derinlemesine incelenmiş, bu fikirden bağdaşık sayılar ve hatta sosyal sayılar doğmuştu. Bu kategoriler sayılar ve bölenleri arasındaki ilişki lere göre tanımlanmıştır. Bir noktada eksik ve artık sayıları keşfetmişler, bu da onları mükemmel sayı tanımına götürmüştü. Bir sayının eksik, artık veya mükemmel olduğunu anlamak için kendisi dışın-• daki bölenlerini toplayıp sayıyla karşılaştırırız. 30 sayısına bakalım örneğin. 30'ıın kendi dışındaki tam bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15. Topladığımızda 42 elde ederiz. Bölenlerinin toplamı sayının kendisinden büyük olduğu ndan 30 artık bir sayıdır.

Pisagorcular kusursuz sayılara ve artık sayılara merak duyar.

Ôklid'in Elemanlarının 9. Kitap'ı mükemmel sayıları anlatır.

Nikomakus sayıları mükemmel sayılara göre sınıflandı rır.

Mii
Sıra

3

4

5

6

7

ilk 7 mükemmel sayı

Mükemmel sayı

6

28

496

8128

33.550.336

8.589.869.056

137.438.691.328

Bunun tersi olursa sayı eksik olur. Örneğin 26'nın bölenleri olan 1, 2 ve 13'ün toplamı 16 eder. Asal sayılar her zaman eksiktir çünkü kendileri dışındaki tek bölenleri 1'dir. Ne eksik, ne de artık olan sayı mükemmel demektir. Mükemmel sayının bölenlerinin toplamı kendisine eşittir. ilk mükemmel sayı 6'dır. Bölenleri olan 1, 2 ve 3'ü toplayınca 6 eder. Pisagorcuların gözünde büyülü bir sayı olan 6, "evlilik, sağlık ve güzelliğin" simgesiydi. Aziz Augustinus ise 6'nın önemini doruğa çıkannıştı: ona göre 6'nın mükemmelliği evrenin özün
önemli bir yeri vardır, çünkü her çift mükemmel sayının bu ikisinden biriyle bittiği ispatlanabilir. 28'den sonra bir sonraki mükemmel sayı için 496'ya kadar beklememiz gerekir. Kontrolünü yapalım h emen: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 - 496. Bir sonraki mükemmel sayı içinse say ı stratosferine çıkmamız gerekir. llk beş mükemmel sayı 16. yüzyılda biliniyordu, fakat en büyük mükem mel sayı diye bir şey var mı, yoksa sonsuza kadar gid iyorlar mı bunu bilmiyoruz. Genel fikir tı pkı asallar gibi on ların
sayıda boncuğumuz

sayılan Mükemmel sayıları bulmanın sırrı, adını bir Cizvit kolejinde Rene Descartes'la birlikte okumuş olan Fransız keşişi Peder Marin Mersenne'
Mersenne

1603

2006

Pietro Cataldi 6. ve 7. mükemmel sayıları bulur. 2' 6 (2 17 - 1) = 8.589.869.056 ve 218(218 -1) 137.438.691.328

Büyük asal sayı arama projesi, 44. Mersenne asalını (neredeyse on milyon basamaklı) bulur. Böylece yeni bir mükemmel sayı bulunmuş olur.

=

1

1Mükemmel Sayılar Kuvvet

Sonuç

2 3 4

- - 87 9 10 11 12 13 14 15

4

3

8 16 32 64 128 256 512 1.024 2 048 4.096 8.192 16.384 32.768

7 15 31 63 127 255 511 1.023 2 047 4.095 8.191 16.383 32.767

-

- - 56-

1 çıkarınca elde edilen M ersenne say ı sı

Asal

m ı?

asal asal asal de!jil asal asal de!j_il_ _

--

asal asal

--

değil

asal değil asal asal

değ i l dcğıl

asal de!jil

Mersenne müke mm el saytlara büyük ilgi duyuyordu . Mersen ne sayıları 2'nin kuvvetleriyle, yani 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ... diye sürekli ikiye katlanan sayı lardan 1 ç ıkartara k o luşturu l u r. Formülle ifadesi 2"- 1 şek l indedir. Bu sayılann hepsi tek olsa da hepsi asal değild i r. Mükemmel sayıları bulmak için bize as ıl gerekenler içlerine.len asal olanlard ı r.

asal

Merscnne , eğe r kuvvet asal deMe rsenne say ı sınm
ğilse,

Eski çağlarda, ya klaşık 1500 yı l ına kadar çoğu matematikç i böyle olduğunu sanıyordu. Fakat bu kural 11. kuvvelle bozulur: 2 11 - 1 - 2047 - 23 x 89. Benzer şekilde 2 17 -1 ve 2 19 - 1 asal olsala r da 2 23 - 1 asal değild ir: 221 -1 - 8.388.607 - 47 x 178.48 1

Sıkı dostlar Ciddi matematikçiler sayıl arın gizemine pek rağbet etmeseler de nümeroloji pes etmem işti r. Pisagorcular mükemmel sayılardan sonra bulunan bağdaşık sayılardan haberdar mıydı bilmiyoruz. Bu sayı l a r sonradan, sonsuz birlikteliği simgelediklerine hükmedilerek, romantik burçlar o l uşturmakta kulla nıl m ı şla rdır. En küçük bağdaşık sayılar 220 ve 284'tür. Neden? Çünkü 220'nin bölenleri olan 1, 2, 4, 5, 10, 11 , 20, 22, 44, 55 ve 110'u topladığımızda 284 elde ederiz. 284' ün bölenlerini topladığımızda ise -evet, doğru tahmin ettiniz- 220 elde ederiz. işte gerçek arkadaşlık.

Mükemmel Sayılar İnşa çalışmaları Ô klid ve Eule r'in çalışmalarını birleştirince, çift mükemmel sayıları bulmak için bir fo rmül elde ederiz:

2P- 1 bir Mersenne asalı olmak üzere, sadece ve sadece n - 21>-1 (2P- 1) ise n bir ç ift mükemmel say ıd ır. Örneğin 6- 2 1(2 2-1), 28 = 22(21_!) ve 496

= 24(2 1- 1). Ç ift mükemmel sayıları bulmaya yarayan bu formül, Mersenne asalları bulabildiğimiz sürece yeni mükemmel sayılar keşfedeb ileceğimiz anlamına gelir. Bugüne kadar gerek insanla rın, gerekse makinelerin sınırlarını zorlayan mükemmel say ılar gelecekte de eski kuşakların öngöremediği şek illerde bizleri zorlamaya devam edecek. Oluşturduğu matematiksel tablolarla ünlenen Peter Barlow, 19. yüzy ılın başında kimsenin Euler' in bulduğu

Mersenne asalları Yeni Mersenne asalları bulmak kol13y iş değildir. boyunca pek çok matematikçi listeye yeni sayılar eklerken hatalar ve düzeltmelerle dolu bir süreç yaşanmıştır. Büyük matematikçi Leonhard Euler, 1732'de sekizinci Mersenne asalını buldu: 231 -1 = 2.147.483.647. 1963'te 23. Mersenne asalını bulan lllinois Üniversitesi matematik bölümü, bundan o kadar büyük bir gurur duydu ki bunu üniversitenin posta pullarına bile koydu. Mersenne a salları bulma zanaatının sonraki adımları ancak modern bilgisayarlar sayesinde atılabildi. 1970' 1erin sonunda lise öğrencileri Laura Nickel ve Landon Noll 25. asalı birlikte keşfetti. 26. asalı ise Noll tek başına keşfetti. Bugüne kadar toplam 45 tane Mersenne asalı bulunmuştur.

Asırlar

210(231 - 1) - 2.305.843.008.139.952. 128 daha büyüğünü aramayacağını , çünkü bunun anla msız Ne günün birinde bilgisayarların erişeceği hızdan haberdardı , ne de matematikçilerin yeni zorluklara karşı olan iştahının n e kadar doymak bilmez o lduğundan . mükemmel

sayısından

olacağını söylemişti.

sayılar Günün birinde bir tek mükemmel sayı bulabilir miyiz bilmiyoruz. Descartes böyle bir sayı olmadığını düşünüyordu , ama uzmanlar da bazen yanılabilir. lngiliz matematikçi James Joseph Sylvester tek mükemmel sayı bulmanın, böyle bir sayının sağlaması gereken koşullardan ötürü "ufak çap lı bir mucize" o lacağını söylemişt i . Sylvester şüphele nmekte haklı. Eğer böyle bir sayı varsa en az 8 farklı asal çarpanı olması, bunlardan en az bir tanesinin bir milyondan büyük olması ve sayının en az 300 basamaklı olması gerektiğini biliyoruz.

Tek mükemmel

>> fikrin özü

Sayılardaki

gizem

il


11 Fibonacci Sayıları Yazar Dan Brown'ın Da Vinci Şifresi adlı kitabında, öldürülen küratör Jacques Sauniere, başına gelenlerle ilgili bir ipucu olarak geriye bir sayı dizisinin ilk sekiz sayısını bırakıyordu. 13, 3, 2, 2 1, 1, 1, 8 ve 5 sayılarım baştan dizerek ne anlam a geldiklerini bulmak için kriptograf Sophie Neveu'nün yardımı gerekecekti. Matematikteki en meşhur sayı dizisine hoş geldiniz. Fibonacci dizisi ı. ı.

şöyle başlar:

2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Bu dizi ününe katkıda bulunan pek çok ilginç özellik barındırır. içlerinde en temeli -zaten aynı zamanda tanımı olan özellik- her terimin kendinden ünceki iki terim in toplamına eşit olmasıdır. Örneğin 8-5+3, 13-8+5, ... , 2584=1597+987 gibi. ilk iki terimin 1 ve l olduğunu aklınızdan çıkarmazsanız diğer tüm terimleri hesaplayarak bulabilirsiniz. Fibonacci dizisi doğada, örneğin ayçiçcklerinin spirallerindeki çekirdek sayılarında (bir yüııe doğru 34, diğer yöne doğru 55 çekirdek olur) veya mimarların çizdiği oda ve bina oranlarında karşımıza çıkar. Klasik müzik bestecileri için ilham kaynağı olmuştur; sözgelimi Bart6k'un Dans Süiti'nin diziyle bağlantısı olduğuna inanılır. Günümüz müziğindeyse Brian Transeau'nun This Binary Universe adlı albümünde 1,618 ad lı bir parça yer alır. Sonradan da değineceğimiz gibi, bu sayı Fibonacci sayılarının yakınsadığı orandır.

Fibonacci dizisi ilk olarak, Pisa'lı Leonardo, ya da daha yayJ bilinen adıyla Fibonacci'n in 1202'de basılan Liber Abaci adlı ki tabında yer almışrır. Fakat öyle anlaşılıyor ki, Hintliler bu sayılardan daha önceden de haberdardı. Dizi, Fibonacci'nin H int-Arap sayılarını tanıtmak için yazdığı kitabına alı ştırma olsun diye sorduğu sorulardan birinde geçer:

Temelleri gın

Pisa " lı Leonardo, Liber Abaci adlı eserinde Fibonacci sayılarına

değinir.

Daniel Bernoulli, Fibonacci dizisiyle altın oran arasında bağlantı kurar.

Abonacci çifti her ay bir çift yallT'U yapar. Yeni doğan bir yaliT'U ise bir aybk kümeste bir çift ıavşan varsa ve mucizevi bir şekilde hiç ölen olmuyorsa yıl sonunda kaç çift ıavşan olur!

Sayıları 1

Yetişkin bir ıavşan

olduğunda yetişkin olur. Başıa

Kuşakları bir ağaç diyagramıyla gösterelim. 5. ay olan Mayıs ayı sonundaki Jurumu yanda görüyoruz. 8 çift tavşan var. Dikkat ederseniz son satırm solundaki grup

O

= yavru

çift

• = yetişkin

çift

____ , ----1 ----2

e o ee o üstündeki satırın aynısı. Sağdaki grup

•o•

---- 3

---- 5

ise iki üstteki satırın aynısı. Tavşan nüfusunun Fibonacci formülüne uyduğunu buradan anlayabiliriz.

----a

Tavşan

Nüfusu

n ay sonrnki nüfus - (n-1) ay sonraki nüfus + (n-2) ay sonraki nüfus

Özellikleri

Dizinin terimlerini art arda yazarak toplayalım:

1+ ı - 2 1+1+2=4 1+ 1 +2+3-7 1+1 + 2 + 3 + 5 = 12 1 + l + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 1 + 1+2+3+5 + 8 +13 - 33

Bu toplamlar ayrı bir Jizi oluşturur. Bu diziyi orijinalin altma yazdığımızda ilginç bir durum gözümüze çarpar: Fibonacci Toplamlan

1923 Bart6k, Fibonacci

1963 sayılarından

esinlendiği düşünülen

Süiti"ni besteler.

1 2 3 5 8 13 21 H 55 89 .. . 2 4 7 12 20 33 54 88 .. .

"Dans

2007

Fibonacci dizisinin

sayısal

kuramına adanmış

Fibonacci

Quarterly dergisi hayatına başlar.

yayın

Heykeltıraş Peter Randall-Page, lngiltere. Cornwall'daki Edon Proıoıl lçın Fibonacci dizisini temel alan "Tohum" adını verdiği 70 tonluk heykollnl yarnııı

1Flbonacci

Sayıları Fibonacci dizisinin ilk n teriminin toplamı , iki sonraki (yani n+2'inci) Fibonacci sayısından bir küçük olur. Eğer 1 + l + 2 + ... + 987 toplamının kaç olduğunu bilmek isterseniz 2584'ten 1 çıkartarak 2583 olduğunu bulabilirsiniz. Eğer sayı ları birer atlayarak, örneğin 1 + 2 + 5 + 13 + 34 = 55 şeklinde toplarsak, yine bir Fibonacci sayısı elde ederiz. Bunları değil de aralarında yer alan diğer Fibonacci sayılarını toplasaydık, örneğin 1 + 3 + 8 + 21 + 55 - 88, bu özellik yine değişmezdi. Fibonacci sayılarının kareleri de ilginçt ir. Her bir Fibonacci sayısının karesini alıp terimleri toplayacak olursak şöyle bir dizi elde ederiz: Fibonacci

1

2

3

Kareleri

1 2

4 6

ıs

Karelerin toplamı

9

s

8

13

21

34

ss

25 64 169 441 1156 3025 40 104 273 714 1870 4895

Bu durumda n'inci sayıya kadar olan kareleri toplayarak elde ettiğimiz yeni dizinin n'inci terimi, Fibonacci dizisinin n'inci ve n+l'inci terimlerinin çarpımına eşit olur. Örneğin, 1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 + 169 = 273 = 13 x 21 Fibonacci sayıları en beklemediğimiz yerlerde bile karşım ıza ç ıkabilir. içinde karışık 1 ve 2 dolarlar bulunan bir bozuk para cüzdanımız olsun. Belirli bir miktar parayı kaç türlü alabileceğimizi bulmak istiyoruz. Örneğin 4 doları şu şekillerde alabiliriz: l+l+l+l, 2+1+ 1, 1+2+1, 1+1+2 ve 2+2. Toplam 5 türlü. Dikkat ederseniz bu bir Fibonacci sayısı. Eğer 20 dolar almak isterseniz toplam 6. 765 seçeneğiniz olur ki bu da 21. Fibonacci sayısıdır! Basit bir matematiksel fikrin ne kadar güçlü olabileceğine güzel bir örnek. Altın oran Fibonacci dizisindeki terimlerin oranlarına baktığımızda dizinin

bir başka dikkate değer özelliğini fark ederiz. Gdin bu için hesaplayalım.

1,000

2,000

1,500

1,333

1,600

1,625

oranları

1,615

ilk birkaç terim

1,619

1,617

Abonaccl

Sayıları 1

Bu oran lar "al tın oran" olarak bilinen ve Yunan alfabesindeki =

l+v'S 2

Ondalıklı yaklaşık değeri ise 1,618033988 ... eder. Birkaç hesapla her Fibonacci say ısının
Fibonacci d izisiyle ilgili bunca bilgiye rağmen ha la cevap bekleyen sorulıır v~r-

o = yavru

dır. Fibonacci dizisindeki ilk asal sayılar 2, 3, 5, 13, 89, 233 ve 1 597'diı

çift

fakat bu asalların sonsuza dek sürüp sürmediğini bilmiyoruz. C) "

Aile bağlan

Fibonacci dizisi, pek çok benzer diziye ilham kaynağı olmuştur. Kayda değer bir örnek, tavşan yerine sığırları konu alan benzer bir soruda ortaya çıkar. Doğdu ktan bir ay sonra üremeye başlayan tavşan lar yerine, sığırlar doğduktan sonra bir ay buzağı, ardından bir ay dana o larak yaşıyorl ar ve bu iki aylık dönemde üreyemiyorlar. S ığır dizisi şu şekilde ilerler:

genç çih

• = yetişkin

çift

---· 1

---•1

l , 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88, 129, 189, 277, 406, 595, ...

---· 2

Bir başka deyişle yeni sayı belirlenirken bir önceki sayı atlanır. Örneğin 41 - 28 + 13 veya 60 - 41 + l 9. Bu dizinin de Fibonacci'ye benzer özellikleri vardır. Sığır dizisinin yakınsad ığı oran Yunan alfabesindeki 1Jı (psi) h arfiyle gösterilir:

---•3 ---· 4

---· 6

---•9

1JI= 1,46557123 187676802665 ... Bu urana "süper-altın oran" denir.

>> fikrin özü

Da Vinci Şifresi'nin şifresi

Sığır

nüfusu

1

~ v

12 Altın


Dikdörtgenler

Her yanımız dikdörtgenlerle doludur - binalar, fotoğraflar, pencereler, kapılar, hatta bu kitap bile dikdörtgendir. Sanat camiasında da sevilir dikdörtgenler - Piet Mondrian, Ben Nicholson ve soyut sanatta isim yapmış daha niceleri dikdörtgenleri şu veya bu şekilde kullanmıştır. Peki en güzel dikdörtgen nasıl olur? Uzun ince "Giacometti dikdörtgeni" midir en güzeli, yoksa neredeyse kare olan mı? Yoksa bu iki uç arasında bir yerlerde mi gizlidir? Hepsinden önce, bu soru anlamlı bir soru mudur? Kimine göre evet; bazı dikdörtgenler diğerlerinden daha "ideal"dir. Bunların arasında belki de en rağbet göreni, altın dikdörtgendir. Bu dikdörtgen sayısız ressamı, mimarı ve matematikçiyi etkisi altında hı rakmıştır. Fakat ona bakmadan önce gelin başka bazı dikdörtgenlere göz atalım.

Matematiksel kağıtlar Al

A2.

Ôklid'in Elemanlar'ında uç ve orta oranlardan bahsedilir.

Standart bir A4 ka297 mm'lik uzun kena rının 210 mm'lik kısa kenarına oranını hesaplayacak olursak 1,4142 sayısını buluruz. Bu oran, uluslararası standartlara uygun her A-hoyutlu kağıtta uzun kenarın kısa kenara oranıdır. A4'ün kısa kenarı 210 mm iken A 5'inki 148 mm'dir. A-boyutlu kağıtların çok hoş bir öze lliği vardır: Ru tür bir kağıdı ortadan ikiye bölerseniz, elde etriğiniz küçiik dikdörtgenlerin uzun kenarlarının kısa kenarlarına oranı yine aynı olur. Bu yüzden A4'ü ortadan

ğ ıdının

Pisa'lı Leonardo Liber Abacfyi yayınlar.

katlayarak ikiye ayırdığınızda iki tane AS elde etmiş o lursunuz. AS'i bölerseniz bu sefer iki tane A6'nız olur. A harfinin yanındaki sayı ne ka
Matematiksel altın Altın dörtgen
x

M

R

N

o

s

p

x-1 ve buradan x2 - x + 1 o lur. Bu denklemi sağlayan pozitif
ıfı- ı~vs

- 1,6 1803398874989484820...

ve bu sayı hem Fibonacci dizisiyle, hem de tavşan problemiyle bağlantılıdır.

1509

1876

Paciola İlahi Oran adlı eserini yayınlar.

Fechner, en " estetik" dikdörtgenin oranlarını belirlemek için psikoloji deneyleri yapar.

1975 Ulusl a ra rası Standardizasyon Örgütü {ISO) A kağıt boyutunu tanımlar.

1Altın Olkdiirtgenıır Altın peşinde Şimdi gelin altın dikdörtgeni pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak nasıl çizebileceğimizi görelim. Önce kenarları 1 birimlik bir kare (MQSR) çizip bir kenarın (QS) orta noktasını (0) belirleyelim. OS uzunluğu 1/ı birim R

olduğundan dolayı, ORS dik üçgeninde

Pisagor teoremini (sf. 84) kullanırsak

olduğun u görürüz.

RP yayını çizerek QS doğrusuyla P noktasında kesiştirirsek, OP = OR - ~5!ı olur. QP ise

o

p

olur ki, aradığımız budur:

altın dikdörtgenin kenarı!

Altın oran hakkında pek çok iddia ortaya atılmıştır. Cezbedici matematiksel özelliklerini bir kez fark ettikten sonra hiç umulmadık yerlerde unu görmeye başlarız; hatta olmadığı yerlerde bile. Ama en vahim olanı; müzisyenlerin, mimarlann ve sanatçıların bu oranı daha eserlerini ortaya çıkarmadan önce, henüz farkında değilken bile benimsemiş olduğu iddiasıd ır. Düşülen bu tuzağa "altın-sayıperesclik" denir. Sayı lardan gerçek dünyayla ilgili genel kurallar çıkarırken ortada başka bir kanıt yoksa dikkatli olmak gerekir.

Tarihçe

A tina'daki Parrhenon tapınağını alalım sözgelimi. inşası zamanında altın sayı biliniyor olsa da bu onun üzerine temellendirildiği anlamına gelmez. Evet, Parthenon'un önden görünüşünde eninin boyuna oranı (üçgen alınlığını da sayarsak) 1,74'dür ki 1,618'e yakın sayı lır; ama altın urana göre yapıldığın ı iddia edecek kadar yakın mı peki? Bazıları alınlığı hesaba katmamak gerektiğini söylüyor. Ama öyle yaparsak enin boya oranı olarak 3 tamsayısını elde ederiz. Luca Pacioli, 1509 tarihli kitabı De divina proportione'de Tanrı'nın özell ikleriyle altın oranın özellikleri arasında baz ı bağlar "keşfetm işti". Adına da "ilahi oran" diyerek kutsadı. Fransisken bir rahip olan Pacioli, matematik üzerine etkili kitaplar yazm ıştı. Venedikli tacirlerin kulland ı ğı çift tarafl ı kayıt sistemini bulduğu ndan do l ayı bazıları onu "muhasebenin babası" addeder. Adının günümüzde hatırla nmasının bir başka nedeni ise Lconardo da Vinci'ye matemat ik öğretmenliği yapmış olmasıdır. Rönesans döneminde a l tın oran neredeyse mistik bir payeye kavuştu. Gökbilimci Johannes Kepler onu matematiksel bir

Altın Dikdörtgenler 1 "mücevher" o larak tan ımladı. Daha sonra Alınan deneysel psikolog Gustav Fechner, dikdörtgen şeklindeki binlerce cismi (oyun kartlarını, kitapları, pencereleri) ölçtü ve en sık kullanılan kenar oranlarının ıp'ye yakın olduğunu gördü. Le Corbusier, mimari casarımda dikdörtgenlere, ama özellikle de altın dikdörtgenlere kafasını takmıştı. Büyük önem verdiği uyum ve düzeni matematikte bulmuştu. Mimariye bir matematikçinin gözüyle yaklaşıyordu. Çıkış noktaların dan biri "modülatör" sistemi adını verdiği oranlarla ilgili bir teoriydi. Aslında hu, tasa rı mlarında ku ll and ığı al tın dikdörtgenleri seri bir şekilde üretmenin bir yoluydu. Le Corbusier, Leonardo da V inci'den -defterinde, insanın bedensel oranlarına büyük önem veren Roma l ı mimar Vitruvius'a ilişk in dikkatli notlar vard ır- ilham almıştır. Diğer şekiller Yapımı altın dikdörtgenle benzerlikler içeren "süper-altın dikdörtgen" vardır bir de.

MQPN süper-al tın dikdörtgenini şu şek ilde oluştururuz. Önceki gibi MQSR, kenarları 1 birim olan bir kare olsun. MP köşegenini

R

M

·,

........... ',

çizelim ve RS'yi kestiği noktaya j diyelim. Ardından ]'den geçen, RN'ye paralel]K doğrusunu çizelim. RJ uzunluğunu y, MN uzunluğunu ise x ile gösterelim. MRJ ve MNP üçgenlerinin benzerliğinden !U;MR = NP;MN olur. Buradan 'lı = 11x ve x x y = l olur ki bu dunım
1/J = 1,46557123187676802665 ... Bu sayı daha önce sığır dizisinde karşımıza çıkmıştı (bkz. sf. 47). Altın dikdörtgeni ölçüsüz cetvel ve pergel ile çizmek mümkünken aynı şey süper-altın dikdörtgen için geçerli değildir.

>> fikrin özü

İlahi oranlar

N

~

.......... ',

',,

·. ....... ,..:;·--· ·-· ··J

·-,

s

... p

K

A

~ Akademik Kitap Kulübü

13 Pascal Üçgeni 1 sayısı önemlidir ama peki ya 11? O da ilginçtir ve aynca 11 x11 =121, 11 x11 x11 =1331ve11 x11 x11 x11=14.641 de öyle. Bunlan alt alta yazarsak: 11 121 1331 14.641 elde ederiz. Bunlar Pascal üçgeninin ilk satırlandır. Peki bunlar nerede karşımıza çıkar?

1 ı 0 - l'i de bu listenin tepesine ekleyip ardından noktaları atalım ve rakamların arasına hirer boşluk koyalım. Örneğin 14.64l'i şöyle yazalım: l 4 6 4 1. Pascal üçgeni simetrisi ve gizli ilişkileriyle ünlüdür. 1653'te Blaise Pascal da böyle düşünmüş olmalı ki tüm ilişkileri tek bir kağıda yazmasının mümkün olmayacağını belirtmişti. Pascal üçgeninin matematiğin pek çok konusunda tekrar tekrar karşımıza çıkıyor oluşu, ona adeta matematiksel bir kutsall ık kazandırmıştır. Aslında kökleri de Pascal'dan çok öncesine dayanır. Bu üçgen 13. yüzyılda yaşamış Çinli bilginler tarafından biliniyordu.

1 1

1. 1.

L

4

1

1

5

3

"3

t

10

'

ıo

Pascal üçgeni

Pascal üçgenini oluştunnaya tepesinden başlarız. llk satıra 1, ikinci satıra ilk 1'in sağ ve sol altına gelecek şekilde yine 1 yazarız. Bunun altındaki t tüm satırlar da her zaman 1 ile başlayıp 1 ile biter. Aradaki sayılar ise 1. sağ ve sol üstlerindeki iki sayının toplamıdır. Örneğin 5. satırdaki 6'yı elde etmek için, üstündeki iki adet J'ü toplarız. "Bir m
Pascal üçgenine dair bazı Sanskritçe delillerin va rlığı.

Ömer Hayyam, Pascal üçgenini bulur. Bazı ülkelerde bu üçgen onun adıyla anı l ır.

Pascaı üçgeni 1 Cebirle olan ilişkisi Pascal üçgeni gerçek matematiğe dayanır. i 1 1 Sözgelimi (l+x) 1-(l+x)x(l+x)x(I +x) ifadesini açacak olursak 1. '1. l +3x+3x2+x3 elde ederiz. Dikkatli bakacak olursanız her bir terimin katsayısının Pascal üçgenindeki sayı larla ayn ı olduğunu 1 görürsünüz. Buradaki düzen şöy ledir: 1 4 ' ( ( + x)O (1 + x)ı (1 + x)ı 2 (1 +x)l 1 3 3 6 ( 1 + x)4 4 4 (1 + x)S 5 10 10 5

1

~+)!)

1

Pascal üçgeninin herhangi bir satırındaki sayıl arı toplayacak olursak her zaman 2'nin bir kuvvetini elde ederiz. Örneğin 5. satırdaki sayıların toplamı 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24 olur. Sol sütunda x yerine 1 yazarsak yine aynı say ıyı elde ederiz. Pascal üçgeninin en göze çarpan özelliği simetrik oluşudur. bir çizgi çizecek olursak üçgenin "yansıma simetrisi"ne sahip olduğunu; yani sol tarafının, sağ tarnfının aynadaki yansıması gibi olduğunu görürüz. Bu özellik sayesinde, yönünü belirtmeden "köşegen" dememiz yeterli olur, çünkü kuzeydoğu köşegen iyle kuzeybatı köşegeni aynıd ı r. 1'lerden uluşan köşegenin bir altında sayma sayıları köşegeni vardır: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Bunun altında üçgen sayılar (üçgen şeklindeki noktaların adetlerine karşılık gelen sayılar) vardır: l, 3, 6, 1O, 15, 21, ... Bunun altında ise dörtyüzlü (tetra-'7 a:> hedral) sayılar yer alır: l, 4, 10, 20, 35, 56, ... (Tetrahedron veya dörtyüzlü, ı-··· _,,, @ üçgen piramittir. Pinpon toplarından bir üçgen piramit yaparsanız, i_ .• --ı··· ·"' © topların adedi bir tetrahedral sayıya karşılık gelir.) 1 .. ~.. --ı-- ...,,@

Özellikleri

Ortasından aşağı ya doğru

ı

1._ ••3-

3_ ••.ı···

·· + __ , ___

4

1t'

••ı:··-'7 ~

Gelin şimdi de "köşegenimsi" oluşturan sayılara bakalım. ı .s···ı~ .w·".5 ı Üçgen boyunca her satırda bir ilerleyerek sayıları birleştirir· r····-~ _ıs····ı~ ıs ı sek I, 2, 5, LJ, 34, ... dizisini elde ederiz. Burada her say ı , 1 __ ,1····i1 3S 35 :ı.t ; 1 bir önceki sayının 3 katının iki önceki sayı kadar eksiğidir. 1'"'; Örneğin 34-3 x LJ-5. Buna göre dizinin bir sonraki sayısı Pascal üçgenindeki "köşegenimsiler"

1303

1664

1714

Zhu Shıııe, Pascal uçgenını tanımlar ve bazı dizilerin nasıl toplanacaQını gösterir.

Pascal ın Pascal uçgenının özelliklerine dair makalesi öldükten sonra yayınlanır.

Leıbnız harmonık

üçgeni inceler.

Pascaı üçgeni

3x34-13-89 olmalıc.lır. A l ternatif"köşegen i msi"lcri atladık: l, 3., 8.•.ll, .U, ... Bunlar da aynı "bir öncekini 3'le çarp, iki öncekini çtkar" kuralıyla bulunabilir. Ömej;lin, dizinin bir sonnıki sayısını bulmak istersek: 3x55-21 =ill olur. Ama c.lahası var: Eğer bu iki diziyi iç içe yazarsak Fibonacci dizisini elde ederiz: ı, ı. 2, .ı.. 5,

a. 13, ıı. 34, .u. 89, nı....

kombinasyonları sayma soru !a rını yanıtlamamtzı sağlar. Bir odada 7 kişi l olsun: Alison, Catherine, Emma, l Gary, John, Matthew ve Thomas. Bu 7 kişi ar.ısından 3 kişilik bir grubu 1 kaç farklı şekilde seçebiliriz? A, C, E şeklinde bir seçim yapabiliriz örneğin. Bir başka seçim A, C, T olabilir. Matematikçiler Pascal üçgeninin n'inci satmn r'ninci (r-O'dan başlamak üzere) pozisyonunu C(n,r) ile gösterir. Bizim sorumuzun yanm C(7,3)'rür. 7. satırın 3. pozisyonundaki sayı 35'tir. Ayrıca 3 kişilik bir grup seçtiğimizde, 4 kişilik ikinci bir seçilmemişler grubu kendiliği n den oluşur. Bu yüzden C(7,4) = 35 olur. Genci olarak C(n,r) = C(n,n-r) olur ki bu da Pascal üçgeninin simetrik olmasının doğal bir sonucudur.

Pascal

.

l

. Pascal üçgenindeki tek ve çift sayılar

Pascal

.

sayıları bazı

,.

O ve l 'ler Pascal üçgeninde sayıların tek veya çift olmalarına göre farkl ı düzenler oluşturduğunu gördük. Eğer tek sayıların yerine l ve çift sayıların yerine O yazarsak, Sierpinski üçgeni olarak bilinen ünlü fraktalla aynı şekli elde ederiz (bkz. sf. 102). Sierpinski üçgeni

işaret eklemek (-1+x)'in kuvvetlerine, yani (-1+x)"'c karşılık gelen Pascal üçgenini oluşturabiliriz. Bu durumda üçgen, dikey çizgiye göre tam simetrik olmaz. Topladığımızda ise 2'nin kuvvetlerinden birini c.leğ i l , O elde cc.lcriz. Ama burada ası l ilginç olan 1 köşegenlerdir. Güneybatı köşegeni olan 1, -1, 1, -1, 1, -1, l, -1, 1, -1, -1 1 ... şu aç ıl ımın katsay ılarına karşılık gelir: 1 -2 1

-1 i - 1.

-4

s

3 -

@

-ıo

10

~

-"\

İşaret eklemek

(l+x)-1 - l -x+ x2 -x1 +.0-x5 +x6-x7 + ...

1

1

-s

1

Pascal üçgeni

1

Bir sonraki köşegendeki terimler ise şu açılımın katsayılarına karşılık gelir:

(l+x)-2 - 1 - 2x + 3x2 - 4i' + 5x4-6x5 + 71f'- 8x1 + ...

Leibniz harınonik üçgeni Alman çok yönlü bilim insanı Gottfried Leibniz, üçgen biçimine sahip çok ilginç bir sayı kümesi keşfetmişti. Leibniz sayıları, dikey eksene göre simetriktir. Fakat Pascal üçgeninden farklı olarak, her sayı alt satırdaki iki sayı toplanarak bulunur. Örneğin 1/30+ Yıo= Yıı· Üçgeni oluşturmak için üstten başlayıp sola ve sağa doğru çıkarma yaparak ilerleriz. Örneğin 1112 ve 1/:ıo'u bildiğimiz için Vız - Y30 - Yıo >.O sayısını 1/:ıo'un yanma yazabiliriz. Dış köşegenin ünlü 1 harmonik seri ol duğunu fark etmişsinizdir belki: ..L

1. l

...ı..

'

1 +J..+_.!__+J..+J..+J....+_!__+ ... 2 3 4 5 6 7

'

,...

_.L

1

ı

2x3

_ı_

60

6o

Leibniz harmonik üçgeni

nx(n+l)

Zekice bir numarayla bu dizinin 'Ycn+l)'e eşit olduğu gösterilebilir. Daha önce yaptığımız şekilde, n'inci satırın r'ninci Leibniz sayısını B(n,r) diye gösterebiliriz. Leibniz ve Pascal sayıları arasında şöyle bir ilişki vardır: 1 B(n,r) x C(n,r) = - n+ 1 Nasıl ki kaval kemiği uyluk kemiğine, uyluk kemiği de kalça kemiği ne bağ lıysa, Pascal üçgeni de matematiğin farklı alanları arasında bağlayıcı bir kemik gibidir. Modem geometri, kombinatorik ve cebir bunlardan sadece üçüdür. Pascal üçgeni, matematiğin özünde yatan ve konu ları daha derinlemesine anlayabilmemizi sağlayan uyum ve düzen peşindeki sonu gelmez arayışın harika bir örneğidir.

Sayı pınarı

/' 1\

_ı_

- - + - - +···+ - - -- -

>> fikrin özü

_ı_

l"l.

İkinci köşegen ise Leibniz serisidir:

ıxı

..1. 3 ..L ~

@+@

t

30

..

J.

ı:

..l. 5

1

To

...1..

'

~

w


14 Cebir

Cebir, kendine özgü bir çıkarsama yöntemi, belirli bir soru çözme Bu mantık, "tersten düşünmek"tir. Sözgelimi 25ile17'yi topladığımızda kaç elde ederiz? 42. Bu düz düşünmektir. Bize sayılar verildi, biz de onlan topladık. Peki ya bize 25 ile bir sayıyı topladığımız ve cevabının 42 çıktığı söylenirse? İşte burada tersten düşünme mantığı devreye girer. Bu sayıya x dersek soruda 25 + x = 42 olduğu söyleniyor. Bulmak için yapmamız gereken 42'den 25 çıkarmaktır. mantığıdır.

Okullarda cebir sorularına yüzyıllardır yer verilir:

Den 40 yaşındayım, kuzenim Michelle 6 yaşında. Kaç yıl sonra onun 3 katı yll§ta olacağım? Bu soruyu deneme yanılmayla da çözebiliriz gerçi, ama daha kısa olan yol cebir kullanmaktır. Bundan x yıl sonra Michelle 6+x yaşında, bense 40+x yaşında olacağım.

O gün geldiğinde benim yaşım onunkinin 3 katı olacağına göre

3 x (6 + x) = 40 + x Sol taraftaki çarpmayı dağıttığımızda 18 + 3x = 40+ x, ardından x'leri solda, sayıları sağda topladığımızda 2x-22 ve son olarak her iki tarafı 2'ye böldüğümüzde x- 11 buluruz. Demek ki ben 51 yaşında olduğumda Michelle 17 olacak. Sihir gibi! Peki kaç yıl sonra yaşım onun 2 katı olur? Bu sefer denklemimizi şöyle kurarız: 2x(6+x)=40+x Buradan x - 28 buluruz. 28 yıl sonra o 34, ben ise 68 yaşında olurum. Yukarıda çözdüğümüz denklemlere "doğrusal" denklemler denir. içlerinde il veya x3 gibi

Babilliler ikinci derece denklemlerle işlem yapar.

lskenderiyeli Diofantus, Aritmetika adlı eserini yayınlar.

cebir terimler yer almadığından çözmek daha kolaydır. içinde x2 ve ya x3 gibi terimler olan denkle mle re sırasıyla 2. dereceden (kuadratik) ve 3. dereceden (kübik) denklemler denir. Eskiden x2 yerine kare şekli, x3 yerineyse küp şekli çizi linniş. x2'li de nklemlere kuadratik denmesi, karenin dört yüzü olmasından kaynaklanır. A ritmetikten cebire geçilmesiyle matematikte büyük bir devrim yaşandı. Sayılar yerine harfler kullanmak farklı bir düşünme şekli gerektirse de sonuçları kesinlikle buna değerdi.

Başlangıcı Cebir 9. yüzyılda İslam bilginle rinin çalışmalarının ayrılmaz bir parçasıydı. Harezmi, içinde Arapça el-cebr sözcüğünün geçtiği bir matematik kirabı yazdı. Gerçek hayattan problemlerin doğrusal ve 2. dereceden de nk lemlerle çözümünü açıklayan H arezmi'nin "denklem bilimi", bize "cebir" sözcüğünü kazand ırmıştır. Ömer Hayyam ise Rubaiyat adlı ün lü eserinde

Bir ıesıi şarap, bir somun ekmek - ve sen Doğanın ortasında kulağıma şarkılar fısıldıyorsun

İtalyan usulü çözüm

diye yazmadan önce l070 'te, 22 yaşındayken cebir üzerine bir kitap yazmış ve 3. de receden denklemle ri incelemişti.

Kübik denklem lerin nasıl çözülmesi gerekt i ği Rönesans döneminde açıklığa kavuştu . Ne yazık ki bu ge l işme, matematikçilerin olgunluk sergilemekten uzak davrandıkları bir olayla sonuçl andı. Scipione Del Ferro kübik denklemlerin çeşitli özel durumlar için çözümünü bulmuştu. Venedikli bir öğretmen olan Niccolo Fonta na, namı diğe r "Tartaglia", yani "kekeme", yöntemlerini gizli tuta rak cebir üzerine kendi bulduğ u son u çla rı yay ı n l adı. Mi lanolu Girolamo Cardano, kimseye söylemeyeceğine yemin ederek Tartaglia'yı bu yöntemleri kendisiyle paylaşmaya ikna etti. Cardano 1545 tarihli

Girolamo C ardano'nun 1545'te basılan matematik eseri, 3. ve 4. derece denklemle rle ilgili çok değerli sonuç la r içeriyo rdu . Sonradan yapılan çalışmalar, 2., 3. ve 4. derece tüm denklemlerin yalnızca +, -, x, + ve V sembolleri kullanılarak çözülebileceğini ortaya koydu (son sembol n'inci derece kök anlamına gelir). Ömeğin ax2 + hx + c - O şeklindeki 2. dereceden denklemin kökleri şu formülle bulunabilir:

x-

-b± .Jbı -4ac 2a

kitabı

Ars Magna'da

Tartaglia'nın çalışmaların ı

yayınlayarak sı nda

yöntemlerini ifşa edince ikisi aradüşmanlık baş gösterdi.

-

825

1591

1920'ler

1930

El-Harezmi, "el-cebr"den türetilen " cebir" sözcü1jünü matemati1je kazandırır.

François Viete bilinen ve bilinmeyenleri harflerle göstererek matematiksel bir metin yazar.

Emmy Noether m odern soyut cebiri geliştiren makaleler yazar.

Bartel van der Waerden Modeme Algebra adl ı ünlü eserini yazar.

1

Cebir Eğer x!- - 3x + 2 - Odenklemini çözmek isterseniz tüm yapmanız gereken formülde a = 1, b- -3 ve c - 2 koymaktır.

3. ve 4. dereceden denklemleri çözen formüller uzun ve zahmetli olsa da mevcut· tur. Gelgelelim, matematikçiler tüm uğraşılarına rağmen 5. dereceden denklemler için bir formül bulamamışlardır. 5. dereceden denklemleri özel kılan neydi? Genç yaşta ölen Niels Abel 1826'da bu gizeme dair dikkate değer bir yanıt buldu. Genelde daha zor olan bir iş yaparak bunun olumsuzunu ispatladı: Abel tüm 5. dereceden denklemleri çözebilecek bir formül olamayacağını kanıtladı ve bu amaç uğruna tüm çabaların boşa çıkmaya mahkum olduğunu gösterdi. Gerçi tüm üst düzey matematikçileri ikna ettiyse de, haberin geniş matematik camiasına nüfuz etmesi uzun zaman aldı. Bazı matematikçiler ise sonucu kabul etmedi. Bunun sonucunda insanların var olmayan formülü bu ldukları yönündeki iddiaları 19. yüzyıla kadar sürdü.

Modern dünya 500 yıl boyunca cebir denilince akla "denklem kuramı" geldikten sonra 19. yüzyılda işler değişmeye başladı. İnsanlar cebirdeki simgelerin yalnızca sayıları değil, "önermeleri" de ifade edebileceğinin, dolayısıyla mantık çalışmalarında da kullanılabileceği nin farkına vardılar. Hatta örneğin matris cebirindeki (sf. 156) daha yüksek boyutlu nesneleri göstermek için de kullanıla· bilirlerdi. Dahası, matematikçi olmayan bazı insanların fark ettiği üzere, mutlaka bir şeyi simgelemeleri de gerekmezdi; kurallar belirlendikten sonra üzerlerimle bu kurallara bağlı olarak işlemler yapılabilirdi. Modem cebirdeki en önemli gelişmelerden biri l 843'te İrlandalı William Rowan Hamilton'un "kuatemion"ları keşfetmesiyle yaşandı. Hamilton iki-boyutlu kar· maş ık say ı ları daha yüksek boyutlara taşımanın bir yolunu arıyordu. Yıllarca üç-boyutlu simgelerde deneme yapmış, ama tatmin edici bir sonuca ulaşamamıştı. Her gün kahvaltıya indiğinde oğulları ona, "Ne oldu baba, üçlüleri çarpabildin mi?" diye sorar, o da yalnızca toplama ve ç ı karma yapabi ldiğini söylemek zorunda kaludı.

Başarı hiç beklenmedik bir şekilde geldi. Üç-boyutlu arayışlar beyhudeydi, cevap dört-boyutlu simgelerde yatıyordu. Hamilton karısıyla birlikte İrlanda Kraliyet Kanalı'ndan Dublin'e doğru yürürken birden kafasında bir ışık yanıverdi. Keşfin heyecanıyla kendinden geçti. Şovalye ünvanlı Kraliyet Gökbilimcisi, bir anda 38

Cebir yaşında

bir vandala dönüşerek Brougham Köprüsü'nün taşlarından birinin üzerine

keşfıni tanımlayan bağıntıları kazıdı. Bugün aynı noktada bilgilendirici bir tabela

bulunur. O günden sonra bu konu Hamilton'ın büyük tutkusuna dönüştü. Yıllar boyu bu konuda dersler verdi ve iki ağu kitap yayınladı. Kuatemionların

garipliklerinden biri, normal aritmetiğin aksine, çarpmada sı önemli olmasıdır. 1844'te Alman dilbil imci ve matematikçi Hennann Grassmarın, kendi cebirsel sistemini daha tantanasız bir şekilde yayınladı. O sı ralarda gönnezden gelinen bu sistemin çok daha gen iş kapsaml ı olduğu sonradan anlaşıldı. Günümüzde hem kuatemionlar, hem de Grassmann'ın cebiri gerek geometride, gerek fizikte, gerekse bilgisayar grafiğinde kullanıl maktadır. ranın

Soyuta doğru 20. yüzyı lda cebirin baskın paradigması aksiyomatik yöntem oldu. Ôklid'in geometride uygulamış olduğu bu yöntem son zamanlara kadar cebirde hiç uygu l anmamıştı. Soyut yöntemin öncülüğünü Emmy Noether yaptı. Cebirin bu modem versiyonunda ana fikir, genel soyut kavrama hizmet eden tekil örneklerin yapılarının incelenmesidir. Tekil örnekler aynı yapıya ama farklı gösterime sahipseler bunlara eşyapılı (izomorfik) denir. En temel cebirsel yap ı bir dizi aksiyom tarafından tanımlanan bir gruptur (bkz. sf. 155). Daha az aksiyomlu yapı lar (örneğin grubumsular, yarı -gruplar ve sözde-gruplar) ve daha çok aksiyomlu yapılar (örneğin halkalar, aykırı c isimler, integral tanım kümeleri ve cisimleri) vardır. Tüm bu yeni terimler matematiğe 20. yüzyılda, cebirin kendini "modern cebir" denilen soyut bilime dönüştürmesi sırasında ginniştir.

>> fikrin özü

Bilinmeyeni çözmek

1

1

~

v


15 Öl
Hindinin içini malzemeyle doldur Hindinin derisini yağla Tuz, karabiber ve kırmızıbiber koy 3Yı saat boyunca 335 derecede pişir. Pişmiş hindiyi Yı saat dinlendir.

Algoritmanın adımlarını sırasıyla yerine getinnemiz yeter.

Bu algoritmada bulunmasa da çoğu matematiksel algoritmada bulunan bileşenlerden biri "döngü"dür. Döngüler belli talimatların tekrarlanmasmı sağlar. Hindiyi bir kezden fazla pişir memiz gerekmiyor neyse ki.

Elemanların 7. Kitap'ında Ôklid'in algoritmasına yer verilir.

Sun Tzu, Çinlilerin kalan teoremini keşfeder.

ÖkDd AlgOrltmaSI Matematikte de malzemeye ihtiyaç duyarız. Bu malzeme sayılardır. Öklid'in bölme algoritması en büyük ortak böleni (EBOB) bulmak için tasarlanmıştır. lki tamsayının EBOB'u demek, her ikisini de tam bölen en büyük sayı demektir. Örnek malzeme olarak 18 ve 84'ü kullanalım. Aradığımız sayı, hem 18 hem de 84'ü bölen en hüyük sayı. Örneğin 2 sayısı hem 18 hem de 84'ü bölüyor ama 3 sayısı da bölüyor. O zaman 6 da bölüyor olmalı. Her ikisini birden bölen daha büyük bir sayı var mı peki? 9 veya 18'i deneyebiliriz örneğin. Fakat denediğimizde 6'dan daha büyük hiçbir sayının 18 ve 84'ün ikisini birden bölmediğini görürüz. Dolayısıyla 18 ve 84'ün EBOB'u 6'dır. Bunu EBOB(l8, 84)=6 şeklinde yazarız.

En büyük ortak bölen

EBOB'u şu şekilde ifade edebiliriz: 18'e 84 birim boyutunda bir duvarımız olsun. Kare karolarla hiç kcsmcdt:n bu duvarı döşeyecek olsak, en hüyük kaça kaç boyutta karolar kullanabiliriz? Bu durumda karolar 6'ya 6 olmalıdır. EBOB'la yakından ilişkili bir başka kavram ise en küçük ortak kat, yani EKOK'tur. 18 ve 84'ün EKOK'u demek, hem 18 hem de 84'e cam bölünen en küçük sayı demektir. EBOB ve EKOK arasındaki bağın en belirgin ifadesi, ikisinin çarpımının sayıların çarpımına eşit olmasıdır. Örneğin EKOK( 18, 84) - 252'dir ve 6 x 252 = 1512 = 18 x 84 eder. Geometrik olarak ise EKOK, 18'e 84'lük dikdörtgen karolarla döşenebilecek en küçük kare alana karşılık gelir. EKOK(a,b) -ab+EBOB(a,b) olduğundan, EKOK'u bulmak için EBOB'u bilmemiz yeter. EB08(18, 84)=6 olduğunu görebilmek için önce 18 ve 84'ü çarpanlarına ayırmam ız gerekir: 18-2x3x3 ve 84= 2 x 2 x 3 x 7. lki listt:yi karşılaştırdığımızda birer tane 2 vt: birer tane 3'ün on.ak olduğunu görüyoruz. 7 ise 84'ün çarpanlarından biri olsa da 18'in çarpanları arasında yer almıyor. Dolayısıyla onu ortak çarpanlar arasına alamayız. Sonuç olarak 2x3=6 her iki sayıyı da bölen en büyük sayıdır. Bu çarpanlarına ayırma işine hiç girmeden EBOB'u bulmanın bir yolu var mı peki? Sözgelimi EBOB(l 7640, 54054)'ü bulmak için yapmamız gereken hesaplamaları düşünün bir. Bunun daha kolay bir yolu olmalı.

ı 18x84'1ük dikdörtgenle kareyi döşemek.

810

1202

1970'ler

El-Harezmi matematilje "algoritma• sözcüljünü

Fibonacci Liber Abacı' de denklik konusuna yer

Çinlilerin kalan teoremi mesaı kodlamaya

kazandırır.

verir.

uygulanır.

>

1

1 Algoritması Ök11d

Algoritma Daha kolay bir yolu var gerçekten. Öklid'in algoritması Elemanlar adlı eserinin 7. Kitap'ında, 2. Önerme olarak geçer: "Birbirlerine göre asal olmayan iki sayı verildiğinde en büyük ortak ölçülerini bulmak."

Öklid'in açıkladığı algoritma verimli olmasının yanında çarpanlara aynına zahmetine girmeden basit çıkarma işlemiyle sonuca ulaşır. Ş imdi gelin bu yöntemin nasıl uygulandığına bakalım .

Amacımız d = EBOB(l8, 84 ) sayısını bulmak. Önce 84'ü 18'e bölüp kalanın 12 olduğunu

buluyoruz: 84=4xl8+12

d sayısı 84 ve J8'i bölmek zorunda olduğuna göre, 12'yi de bölmek zorunda. Dolayısıyla d - EBOB( 12, 18). Aynı işlemi tekrarlayarak bu sefer 18'i 12'ye bölelim: 18 - 1 x 12 + 6 Kalan 6 o ldu. Şimd i d - EBOB(6, 12). 12'yi 6'ya bölünce O kalanını elde ed iyoruz. Dolayısıyla d = EBOB(O, 6). O ve 6'y ı bölen en büyük say ı 6 olduğundan aradığımız cevap bu. Eğerd-

El30B(l 7640, 54054) olsayd ı kalanlar sı rasıyla 1134, 630, 504 ve O olur,

d - 126 olurdu.

EBOB'un kullanım alanları

Sonucun tamsayı olması gereken durumlarda denklemlerin çözümü için EBOB kullanılabilir. Bunlara Yunan matematikçi lskenderiyeli Diofantus'un adından Oiofantus denklemleri denir.

Diyelim ki Christine Teyze yıll ık tatili için Barbados'a gidiyor. Uşağı John'u havaalanına, toplam 652 kilo gelen bavullarını alması için yolluyor. Bunların bir kısmı 18, gerisiyse 84 kiloluk bavullar. John Londra'ya geri döndüğünde, 9 yaş ın daki oğlu James, "Bu doğru olamaz," diye uyarıyor babasını, "çünkü 652, say ıların EBOB'u olan 6'ya tam bölünmüyor." Toplam ağırlığın 642 kilo olabileceğini de eklemeyi unutmuyor.

Öklid Algoritması James 18x + 84y = c denkleminin tamsayılarda çözümü olması için c'nin sayıla rın EBOB'u olan 6'ya bölünmesi gerektiğinin farkında. 652, 6'ya bölünmez ama 642 bölünür. Bu çıkarımı yapmak için bavul sayıları olan x ve y'yi bilmesi bile gerekmez. Eğer iki sayının EBOB'ları 1 ise bunlara asal" deriz. Aralarında asal sayıların kendilerinin asal olması gerekmez. Örneğin 6 veya 35 asal olmasa da aralarında asaldırlar: EBOB(6, 35)- l. Bu bilgiye Çinlilerin kalan teoremi için ihtiyacımız olacak.

Çinlilerin kalan teoremi "aralarında

Bir başka soruya bakalım: Kaç şişe şarabı olduğunu bilmeyen Angus, şişeleri ikişerli dizince 1 tanesi, beşerli dizince 3 tanesi artıyor. Acaba Angus'un kaç şişesi var? Aradığımız sayı 2'ye bölünce 1, 5'e bölünce 3 kalanını vermeli. Sayıları sırayla denediğimizde 3'ün bu koşullara uyan en küçük doğal sayı olduğunu görüyoruz. Kuralı sağlayan bir sonraki sayıysa 13. Devam ettiğimizde şöyle bir dizi ortaya çıkıyor: 3, 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, ... Bir koşul daha ilave edelim: Şişeleri ?'şerli dizince 3 tanesi artıyor olsun (yani ?'ye bölünce de 3 kalanını veriyor olsun). Dizideki sayıları kontrol ettiğimizde 73'ün tüm koşulları sağladığını görürüz; 143 ve 213 sayıları da koşulları sağlar - ve bu sayılara 70'in katı olan bir sayıyı eklediğimizde elde ettiğimiz herhangi bir sayı da. işte Ç inlilerin matematik teoremi, bize sayılar ar..c;ında 2 x 5 x 7 = 70 fark olması gerektiğini söyler. Eğer Angus'un 150'yle 250 arasında şişesi olduğunu bilseydik tam olarak 213 şişesi olması gerektiğini söylerdik. Üçüncü yüzyılda keşfedilmiş bir teorem için hiç fena sayılmaz.

>> fikrin özü

En büyüğe giden yol

1

16 Mantık

v~


"Eğer yollarda daha az araba olursa hava kirliliği kabul edilebilir olacak. Ya yollarda daha az araba olmalı, ya yollar paralı olmalı, ya da her ikisi birden olmalı. Eğer yollar paralı olursa yazın dayanılmaz derecede sıcak olacak. Yaz şu ana kadar oldukça serin geçti. O zaman şu sonuç çıkıyor: hava kirliliği kabul edilebilir."

Günlük bir gazetedeki bir yazıda geçen bu argüman "geçerli" ya damantıklı mıdır? Araba trafiği için iyi bir tedbir olmasıyla veya iyi bir gazetecilik örneği

olup olmamasıyla ilgilenmiyoruz. Yalnızca bir mantık argümanı olarak geçerliliğiyle ilgileniyoruz. Mantık, usavurum yöntemini sıkıca kontrolden geçirerek bu soruyu yanıtlamamıza yardım eder. İki öncül, bir sonuç Gazetedeki yazı oldukça karmaşık. Gelin önce mantık

biliminin kurucusu sayılan Yunan filozof Aristoteles'in zamanına gidip daha basit argümanlara bakalım. Aristoteles'in yaklaşımı farklı "tas ım" yöncemlerine dayanıyordu. Tasım, iki öncül ve bir sonuca dayalı belirli bir usavurum yöntemidir. Şu örneğe bakalım: 'ti~· '.el ~eJ.1

r

Tüm spanieller köpektir. Tüm köpekler hayvandır.

~}:,<;>\.? 1~ f\--v,SV /')

??

Tüm spanieller hayvandır. Çizginin üzerinde öncüller, altındaysa sonuç var. Bu örnekte, spaniel, köpek've hayvan sözcüklerinin anlamını bilmesek bile sonuç kesindir. Aynı tasımı farklı sözcüklerle ifade edelim:

//

b.,ş.\of'-'O'\.:,.ıfl.,

Aristoteles tasım formalize eder.

mantığ ı nı

Boole Mantığın Matematiksel Analizi adlı çalışmasını yayınlar.

Mantık 1 Tüm elmalar ponakaldrr. Tüm ponakallar muzdur. Tüm elmalar muzdur. Bu sefer ifadeler tamamen anlamsız olsa da diğeriyle aynı yapıda olduğu için bu tasım da geçerlidir. Çünkü tasımların geçerliliği yapılarına bağlıdır. Bu örnekte A'ların, B'lerin ve C'lerin yerine ne koyarsak koyalım, öncüllerin doğru olup da sonucun yanlış olduğu bir örnek olamaz. Geçerli bir argümanı faydalı kılan da budur. Niceleyicileri "Tüm", "Bazı" veya "Hiçbir" ile değiştirerek çeşitli tasımlar elde edebiliriz (örneğin "Hiçbir A, B değildir" gibi). Bir başka örnek: Bazı A'lar Bazı

B'dir. B'ler C'dir.

Bazı

A'lar C'dir.

Bu geçerli bir argüman mı? A, B ve C'nin her durumunda geçerli midir yoksa öncüllerin doğru ama sonucun yanlış olduğu bir karşı-örnek var mıdır? A spaniel, B kahverengi nesneler, C ise masa olsa nası l olur örneğin? Aşağıdaki örnek geçerli midir? Bazı Bazı

spanieller kahverengidir. kahverengi nesneler masadır.

Bazı

span ieller masadır.

Karşı-örneğimiz hu rasımın geçerl i olmadığını gösteriyor. O kadar farklı tür tasım vardır ki ortaçağ bilginleri bunları ezberlemek için anımsatıcılar icat etmek zo-

runda kalmışlard ı. ilk gösterdiğimiz örneğe, BARBARA deniyordu. Buradaki 3 adet A harfi, 3 adet "Ali" (tüm) sözcüğünü simgeliyordu. Bu argüman analiz yöntemleri, 2000 yı ldan uzun bir süre boyunca üniversite eğitiminde önemli bir yer tuttu. Aristoteles'in mantığının, bir başka deyişle tasıınlar kuramının, ta 19. yüzyıla kadar kusursuz olduğu düşünüldü.

1910

1965

1987

Russell ve Whitehead

Lütfi Zade bulanık

matematiği mantığa

mantığı geliştirir.

Japonya'daki metro tren sistemi bulanık mantıl)a göre işletilir.

indirgemeye

ça l ışır.

Tüm A'lar B'dir. Tüm B'ler C'dir. Tüm A'lar C'dir. Geçerli bir argüman

1

Mantık

Önermeler mantığı a

b

avb

o o

o o

o o o

y

y

y

y y "Veya" tablosu

doğruluk

a

b

o o

o

o

y

y y y

o

y y "Ve"

a

y doğruluk

A

b

tablosu

Bir b
fil y

o

"Değil" doğruluk

tablosu

at.(b v c) • (a" b) v (a" c) a

b

a-b

o o

o

o

y

y

y y

o

o o

y

"ise" (gerektirme) tablosu

doğruluk

Denklik simgesi (•), iki mantık ifadesinin doğruluk tablolarının aynı olduğu, yani iki ifadenin birbirine denk olduğu anlamına gelir. " ve v simgeleri x ve + simgelerine benzer bir işleyişe sahip olduğundan, mantık cebiri ve normal cebir arasında bir koşutluk vardır. Yukarıdaki ifadenin normal cebirdeki benzeri x x (y + z) = (x x y) + (x x z) şeklindedir. Ne var ki bu koşutluk kusursuz değildir; bazı istisnalar barındırır. Diğer manuk işlemleri işlem,

bu temel işlemler kullanılarak tanımlanabilir. Faydalı bir a -+b şek l inde yazı lan "gerektinne"dir ve-. av b önermesine denktir.

Gazetedeki yazıya geri dönecek olursak, simgesel formda şöyle ifade edebiliriz:

Manbk A = yolda daha az Araba H • H ava kirliliği kabul edilebilir seviyede Y =Yollar paralı S - yaz dayanılmaz derecede Sıcak

1

A--+ H AvY Y--+S ~s

Sağ üst kenarda yazan argüman geçerli midir değil midir? Diyelim ki H sonucu

H

yanlış ama ı:üm öncüller doğru olsun. Eğer bu durumun bir çelişki oluşturduğunu gösterebilirsek argüman geçerli olmak zorundadır, çünkü o zaman öncüllerin doğru ama sonucun yanlış olması imkılnsız o lur. Eğer H yanlışsa, o zaman birinci A --+ H öncülünden dolayı A da yanlış olmalıdır. A v Y doğru ise, A yanlış

olduğundan dolayı Y doğru olmalıdır. Üçüncü Y --+ S öncülü doğru ise, Y doğru olduğundan dolayı S de doğru olmalıdır. Bu durumda 4. öncül olan ~ S yanlış olur. Ama biz tüm öncüllerin doğru olduğunu varsaymışnk. Çelişki doğdu. Gazetede yazılan ifadelerin içerikleri tartışmaya açık olsa da argümanın yapısı geçerlidir.

Diğer mantıklar Gottlob Fregc, C.S. Peirce ve Emst Schröder, önermeler

.....

...~

mantığına nicelik katarak "birinci-dereceden yüklem mantığı"nı geliştirdiler. Bu mantıkta evrensel niceleyici olan 'r/ ''her" anlamında, varlıksal niceleyici olan 3 ise "bazı" veya "en az bir" anlamında kullanılır.

Mantıktaki bir başka gelişme ise bulanık mantıkcır. Bulanık mantık deyince sanki kafası karışık gibi bir anlam akla gelse de aslında mannğın geleneksel sınırlarının genişletilmiş halidir. Geleneksel mantık kümelere dayanır. Daha önceki örnek-

lerimizde spanicller kümesi, köpekler kümesi ve kahverengi nesneler kümesini kullanmıştık. Bu örneklerde, neyin kümenin elemanı olup neyin olmadığını net bir şekilde bildiğimizi varsaymıştık. Örneğin safkan bir "Afrika tazısı" görünce bunun spaniel kümesinin bir elemanı olmadığı kesindir. l3ulanık küme kuramı ise sınırların kesin olmadığı durumları da güz ününde bulundurur. Örneğin büyük spanieller diye bir kümemiz olsa, bir spanielin bu kümeye ait olması için ne kadar büyük olması gerekir? Bulanık mantıkta bir elemanın bir kümeye ait olması derece derecedir. Matematik bu bulanıklığı tam o larak ifade edebilmemizi sağlar. Mantık, her şeyin bulunmuş olduğu durağan bir alan değil, Aristotcles'tcn bu yana uzun bir yol kat etmiş, modem araştırmalarm ve uygulamaların devam ettiği aktif bir aland ır.

>> fikrin özü

Akhn yolu bir

v /\

veya ve değil

'r/

ise tüm

3

bazı

--+

•

17 İspat


Matematikçiler iddialannm doğruluğunu ispatlayarak göstermeye çalışır. Saf matematiğin itici gücü, demir gibi sağlam mantıksal argüman arayışıdır. Bilinen veya varsayılanlardan yola çıkarak ilerleyen mantık zincirleri ile vanlan sonuçlar, matematik hazinesinin birer parçası haline gelir. ispat bazen hiç de kolay olmayabilir; araştırma yapa yapa ve yanlış yollara sapa sapa varılan ispatlar, bir matematikçinin hayatının ana uğraşıdır. Başarılı bir ispat, kendisini sanılardan, parlak fikirlerden veya ilk tahminlerden ayı ran, matematiğin kesinlik mührünü taşır. Bir ispatta hatasızlık ve şeffaflığın yanında zarafet de aranan bir özelliktir. Ayrıca bunlara içgörüyü de ekleyebiliriz: iyi bir ispat, "bizi daha bilge kılar". Bununla birlikte herhangi bir ispat hiç ispatın olmamasına yeğdir. ispatlanmamış san ılarla sağlanacak bir gel işme, kumun üzerine inşa edilmiş bir yapın ın matematikteki muadilidir.

İspat nedir? Matematiksel bir sonuç duyduğunuzda buna inanır mısınız? inanmanız için ne gibi bir özelliğe sahip olması gerekir? Kabul ettiğiniz fikirlerden yola çıkarak mantıksal açıdan geçerli argümanlarla sonuca ulaşması etkili olabilir. İşte matematikçilerin ispattan kastettikleri de budur. ispatın geçerli olup olmamasına bağlı olarak ikna olur veya şüphe duymaya devam edersiniz.

Matematiksel ispatta kullanılan başlıca teknikler şunlardır: terme, doğrudan ispat, dolaylı ispat ve tümevarım yöntemi.

karşı-örnek

gös·

Karşı-örnek

gösterme Bu aslında bir şeyin doğru olduğunu değil, ispatlama yöntemidir. Diyelim ki birisi size her sayının karesinin çift olduğunu söyledi. Bunu bazı sayılarla hemen deneyebilirsiniz. Örneğin

yanlış olduğunu

Öklid'in Eleman/alı matemaıiksel ispat için model oluşturur.

Descartes Yöntem Üzerine Konuşmalar eserinde matematikte gösterilmesi gereken özene ve kesinli{ıe de{ıinir. adlı

ispat 6x6=36 olsa da bir gülle bahar olmaz diyerek aramaya devam etmeliyiz. Sonuçta iddia bunun her sayı için geçerli olduğuydu. Örneğin 9'u denediğimizde 9x9-81 eder ki tek sayıdır. Bu da demektir ki her sayının karesi çift değildir. Sadece tek bir karşı-örnek bile orijinal iddiayı çürütmeye yeter. "Tüm kuğular beyazdır" iddiasını çürütmek için tek bir siyah kuğunun varlığı yeter. Teorem olma hevesindeki bir önermeyi tek bir karşı-örnek bularak yıkmak, matematiğin keyiflerinden biridir. Eğer karşı-örnek bulmakta başarısız olursak, belki önerme gerçekten de doğ rudur. O zaman oyunun kuralları değişir. Bu durumda matematikçi bir ispat yapmak zorundadır. Bununsa en düz yolu doğrudan ispattı r.

Doğrudan İspat Bu yöntemde önceden gösterilmiş ya da kabul edilmiş doğrulardan yola çıkarak mancık silsilesiyle yeni doğruya ulaşmaya çalışırız. Bunu yapabilirsek yeni bir teoreme kavuşmuş oluruz. Bir sayının kendisiyle çarpılınca sonucun çift olacağını ispatlamamız artık mümkün değil, çünkü çürüttük zaten. 6'nın karesi çift sayıydı, 9'unki ise tek. iddiamızı şu şekilde güncelleyelim o zaman: bir çift sayının karesi her zaman çifttir.

Yine ilk yapmam ız gereken birkaç çift sayı deneyerek karşı-örnek bulabilecek miyiz diye bakmak olmalı. Bu sefer karşı -örnek yok gibi gözüküyor. Peki ama bunu ispatlamak için nereden işe başlayacağız? Çift sayıya n diyerek başlamak mümkün olsa da, burada daha somut bir örnek üzerinden gidelim. 6 sayısını ele alalım. Çift sayılar ikinin katı olan sayılardır. Örneğin 6-2x3 diye yazabiliriz. 6x6-6+6+6+6+6+6 olduğundan, 6x6=2x3 + 2x3 + 2x3 + 2x3 + 2x3 + 2x3 yazabiliriz. Onak paranteze a l ırsak: 6x6-2x(3+3+3+3+3+3) Demek ki 6x6, Z'nin katıdır ve dolayısıyla çift sayıdır. Fakat bu çıkarımda 6'ya özgü bir ayrıcalık yok; n = Zxk yazarak da aynı sonucu elde edebiliriz:

n x n = 2 x (k + k + k + ... + k)

1838

1967

1976

De Morgan •matematiksel tümevarım" terimini kullanır.

Bishop ya lnızca yapısal yöntemler kullanarak ispatlar yapar.

lmre Lakatos ispatlar ve Çürütmeler adlı iz bırakan eserini yayınlar.

1

,- ispat Buradan n x n'in çift olduğu görülür. lspatımız tamamlandı. Sonraki matematikçi ler Öklid'in Elemanlar adlı eserini çevirirken ispatın tamamlandığını belirtmek için "QED" yazmaya başl adılar. Bu, Latince quod erat demonsırandum (göstennek istediğimiz buydu) sözünün kısaltmasıdır. Şimd i lerde içi dolu kare " • "kullanılıyor. ilk Paul Halmos tarafından kullanıldığı için bu işarete halmos deniyor. Dolaylı İspat Bu yöntemde sonucun yanlış olduğunu varsayar ve mantık sal çıkarımlarla ilk varsay ımla çel işen bir durum elde ederiz. Gelin bir önceki sonucu bu yöntemle ispatlayalım.

Diyelim kin çift ama nxn tek sayı. nxn'i n tane n'in toplam ı olarak yazabiliriz: nxn = n + n + n + ... + n. Ama o zaman n çift olamaz (çünkü olsaydı nxn de çift olurdu). Dolayısıyla n tek olmalıdır ki bu da ilk varsayımım ı zla çelişir. • Bu aslında dolaylı ispatın yumuşak hali. Tam donanımlı haline olmayana ergi (veya saçmaya indirgeme) diyoruz. Bu Antik Yunan !arın bayıldığı bir yöntemdi. Atina akademisinde Sokrates ve Platon, karşılarındaki kişini n söylediklerinden bir çelişki doğurarak söylediklerinin yanlış olduğunu göstermekten çok hoşlanırlardı. 2'nin karekökünün irrasyonel olduğunun klasik ispatında, 2'nin karekökünün rasyonel olduğunu varsayar ve çelişkili bir duruma varırız. Tümevarım, P1, P2 , P3, .•• gibi bir dizi önermenin hepsinin doğru olduğunu göstermek için güçlü bir yöntemdir. Yüzyıllardır bilinen bu yöntemi formüle eden kişi 1830'\arda Augustus De Morgan olmuştur. Matematikte tam.sayıları içeren önermeleri ispatlarken tümevarım yöntemine sık başvurulur. Özellikle ç izge kuramında, sayı kuramında ve bilgisayar biliminde oldukça faydalıdır. Bir örnek olarak, tek sayıların toplamına bakalım. Örneğin 1 +3+5'in toplamı 9, 1+3+5+ 7'nin toplamı ise 16'dır. Dikkat ederseniz 32-9 ve 4 2 -16'dır. Bu durumda ilk n tane tek sayının toplamının n 2 olduğunu söy,. leyebilir miyiz? Bir başka örneğe bakalım: n= 7 olsun. Gerçekten de ilk 7 tek sayının toplamı 1+3 + 5 + 7 +9+ 1 1+13 = 49 - 72• Peki bu her tek sayı için geçerli midir? Tüm tek say ı ları kontrol edecek halimiz olmadığına göre bundan nasıl emin olabiliriz?

Tümevanm yöntemi

ispat Bu tam tümevarım yöntemine göre bir soru. Aslına bakarsanız buna domino taş ları yöntemi de diyebiliriz. Amacımız birinci domino taşını düşürmek ve her bir taşın kendisinden bir sonrakini düşüreceğini garantilemek. Bizim ömeğimizdeki Pn ifadesi, ilk n tek sayının toplamının n 2 olduğunu iddia ediyor. P1 ifadesinin doğru olduğu açık, çünkü 1 = 12• Ardından P2 de doğru çünkü 1+3 - 12+3 - 22• P3 de doğru çünkü 1+3+5-22 +5 =Jl. P4 de doğru çünkü 1+3+5+7 =32 + 7 =42• Her adımda, bir önceki adımda bulduğumuz sonucu kullanıyoruz. Bu süreci formüle ederek matematiksel tümevarım yönteminin çerçevesini çizebiliriz.

İspatın zorlukları ispatlar çeşit çeşittir. Bazıları ders kitaplarında olduğu gibi kısa ve çabuktur, bazılarıysa binlerce sayfayı bulahilir. Bu gibi durumlarda tüm söylenenlere çok az kişi hakim olabilir. Bir de daha temelde yatan meseleler vardır. Örneğin küçük bir matematikçi grubu, olmayana ergi yönteminin varlığa ilişkin kullanılmasından rahatsız. Eğer bir denklemin çözümünün olmaması bir çelişkiye yol açıyorsa, bu bir çözümün olduğunu ispatlamak için yeterli midir? Onlara göre elle tutulur bir çözüme nasıl varılacağı hakkında hiçbir ipucu vermeyen bu mantık bir tür hokkabazlıktan başka bir şey değil. Bu ispat yönteminin "sayısal anlam" sağlamaktan aciz olduğunu savunan bu kişilere "yapılandırmacı" denir. O lmayana ergi yöntemini matematiksel cephaneliğin ana silahlarından biri olarak görenlere dudak bükerler. Geleneksel matematikçi ise böyle bir ispat yöntemini dışlamanın bir elinizi arkaya bağlamakla aynı şey olduğunu, dahası bu yöntemle ispatlanan sonuçları ç ıkardığımızda matematik kiliminin kevgire döneceğini söylerler.

>> fikrin özü

Matematik ispatlar üzerinde yükselir

1

1

•11•

18Kümeler

~~ Akademik Kitap Kulübü

Matematiği "doğru şekilde" baştan yazmak isteyen bir grup kendinden menkul Fransız akademisyeni, kendilerine ortaklaşa Nicholas Bourbaki takma adım verdi. Cüretkar iddialarına göre her şey kümeler kuramı üzerine inşa edilmeliydi. Aksiyomatikyöntemi merkeze oturtarak yazdıkları kitaplarında "tamın, teorem ve ispat" sırasını titizlikle takip ettiler. Bu çalışma aym zamanda 196o'lardaki modern matematik hareketinin de itici kuvveti olmuştur.

Georg Cantor küme

kuramını,

reel

sayı kuramını sağlam

bir temele oturtma

sevdasıyla oluşturmuştu. llk başlardaki önyargı ve eleştirilere rağmen küme kuramı

20. yüzyıla girilirken kendine yeni bir matematik dalı olarak yer edindi.

Kümeyi nesneler topluluğu olarak düşünebil iriz. Bu resmi bir tanım olmasa da ana fikri vermektedir. Kümeye dahil olan nesnelere kümenin "eleman" la rı veya "üğe"leri denir. a, A kümesinin bir elemanıysa bunu biz de Cantor gibi aE A şeklinde yazarız. Örneğin A - (1, 2, 3, 4, 5) ise 1EAve6'nm _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _...., E A kümesinin eleman ı olmad ığını göstermek için 6 fi:. A yazarız.

Küme nedir?

8

A

Kümeler ile yapılabilecek iki temel işlem vard ır. A ve B kümelerinden birinde veya her ikisirule bulunan eleman ların oluşturduğu kümeye A ve B'nin birleşimi denir ve A U B ile gösterilir. Bunu bir Yenn şemasıyla
birl eşimi

A ve B'nin her ikisinde bulunan elemanların kümesi denir ve A n B şeklinde gösterilir.

Cantor küme

kuramında

tartışmalar başlatır.

oluşturduğu

kümeye

"kesişim"

Venn, •venn diyagramları"nı yaygın hale getirir.

Kümeler

1

Eğer A • /l, 2, 3, 4, 5} ve B = {1, 3, 5, 7, 10, 211 ise birleşimleri A U B - (1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 21) ve kesişimleri An B - {I, 3, 5) olur.

A kümesini evrensel küme E'nin bir alt kümesi olarak düşü nürsek, A'da o lmayan elemanların bu lunduğu , A kümesine A'nın tümleyeni denir. n ve U simgeleri cebirdeki x ve + simgelerine benzer. Tümleme işlemi , ile birl ikte bir "küme cehiri" oluşturur. Hindistan doğumlu İngiliz matematikçi Augustus De Morgan, üç işlem i n birli kte kullan ı mına dair yasalar bu lmuştur. De Morgan kuralları modem gösterimiyle şu şekildedir: ,(A U B)

=

(,A)

A ve B'nin

kesişimi

E

n (,B)

ve

Paradokslar Sonlu kümeleri göstermekte bir sorun yoktur, ne de o lsa elemanlarını A - {l , 2, 3 , 4, 5) diye teker teker yazabiliriz. Sonsuz kümeleri göstermekse daha zordur.

A'nın

tümleyeni

Cantor kümeyi, belirli bir özelliğe sahip olan elemanlar topluluğu olarak tanım lad ı . 1O'dan büyük tamsayılar kümesini düşünün : {l l , 12, 1.3, 14, 15, ... }. Bu küme sonsuz olduğu için tüm elemanlarını yazamayız, ama tüm elemanların sahip olduğu özelliğe göre ifade edebiliriz. Canror'un izinden giderek A kümesini A = {x: x tamsayıdır ve x > 1O) şeklinde yazabiliriz. Bu gösterimdeki " :" iki nokta işareti "öyle ki" d iye okunur. Peki "soyut şeyler kümesi" diye bir küme tan ımlarsak ne olur? A - (x: x soyut bir şeydir). Bu durumda A kümesinin kendisi de soyut bir şey olduğundan içinde

kendisinin de bu lunması gerekir: A E A. Faka t böyle bir şeye izin verirsek bazı ciddi sorunlar doğar. İngiliz filozof Bertrand Russell kendisini eleman olarak iç inde bulundurmayan şeyler kümesini tanımlamıştır: S - lx: x (/; x}. Ardındansa

1931

1939

1964

Gödel her formal aksiyomatik matematiksel sistemin karars ız ifadeler içermek zorunda olduğunu ispatlar.

Fransız

Cohen süreklilik hipotezinin bağımsızlığını ispatlar.

matematikçiler ilk kez Bourbaki takma adını kullanır.

Kümeler şu

soruyu sormuştur: S kümesi kendisinin bir elemanı mıdır? SES? Eğer cevap evetse, o zaman kendisini içinde bulunduran şeylerden olmadığı için S fi:_ S olmakdır. Yok cevap hayırsa, o zaman S içinde kendisini bulundurmayan bir şey olduğuna göre kendisini de eleman olarak S kümesine eklemek gerekir, yani SES. Russell paradoksu denilen bu durumu şu şekilde yazabil iriz:

S E S ancak ve ancak S '1. S. Bu biraz "berber paradoksu"nu andırıyor. Bir köyün berberi yalnızca kendini tıraş etmeyenleri tıraş ediyormuş. Peki bu berber kendini tıraş eder mi? Eğer ederse kendini tıraş etmiş birini tı raş etmiş olur. Eğer etmezse kendini tıraş etmeyenleri tıraş edeceğinden kendini tıraş etmesi gerekir. Bu tür paradoksları mutlaka ortadan kaldırmak gerekir. Matematikçiler için çelişkili bir sisteme izin verilmesi söz konusu olamaz. Russell bir "türler kuramı" ol uşturarak a E A gibi bir ifadenin geçerli olabilmesi için a'nın A'dan daha düşük bir tür olmasını şart koştu. Böylece S ES gibi ifadelerin önünü tıkamış oldu. Bu tür çelişkileri ortadan kaldırmanın bir başka yolu, küme kuramını kesin kurallara bağlamaktır. Bu yaklaşımda kümelerin doğasını incelemektense onların üzerinde ne gibi işlemler yapılabileceğini tanımlarız. Antik Yunanlar da benzer bir yöntemi doğru çizgiler için uygulamıştı - doğrunun ne olduğunu açıklamak tansa doğrulara nasıl davranılması gerektiğini tanımlamışlardı. Küme kuramındaysa bu yaklaşım, aşırı "büyük" kümelerin varl ığını engelleyen Zermelo-Fraenkel aksiyomlarının temelini oluşturur. Bu sayede tüm kümelerin kümesi gibi tehlikeli yaraukların ortaya çıkması engellenmiş olur.

Gödel teoremi Avusturyalı matematikçi Kurt Gödel, paradokslardan kaçarak biçimsel aksiyomatik sistemlere bel bağlayanlara ölümcül bir darbe vurdu. 1931 '
E

Sonlu bir kümenin eleman sayısını belirlemek kolaydır. {l, 2, 3, 4, 5) kümesinin 5 elemanı vard ır. Bunu n(A) - 5 diye

Kümeler Can tor'un küme kuramına göre rasyonel sayılar kümesi Q ve reel sayı lar kümesi R çok farklıdır. Q kümesi bir liste halinde yazılabilir ama R kümesi yazıla maz (bkz. sf. 31 ). Her iki küme sonsuz olsa da, R kümesinin sonsuzluk derecesi Q'nunkinden yüksektir. Matematikçiler Q'nun eleman sayısını K0 ile gösterirler. R 'nin eleman sayısına c dersek K0 < c olur. 1878'de Cantor'un ortaya attığı süreklilik hipotezi, Q'nun sonsuzluğundan bir sonraki sonsuzluk seviyesinin reel sayıların sonsuzluğu olduğunu söyler. Bir başka deyişle süreklilik hipotezine göre, eleman sayısı Ko ile c arasında olan hiçbir küme yoktur. Cantor bunun doğru olduğuna inansa da tüm çabasına rağmen ispatlamayı başaramadı. Bunu ispatlamak için K 0 < kard(X) < c koşulunu sağlayan R'nin bir X alt kümesini bulması gerekiyordu ama bunu ela bulamadı.

Süreklilik hipotezi

Bu soru o kadar önemliydi ki Alman matematikçi David Hilbert bir sonraki yüzyılın önemli 23 sorusu olarak adlandırdığı ve 1900'de Paris'teki Uluslararası Matematik Kongresi'nde sunduğu ünlü listesinde buna da yer verdi. Gödel'e bu hipotez sezgisel olarak yanlış gibi gelse de ispatlamayı başaramadı. Ama l 938'de hipotezin küme kuramındaki Zermelo-Fraenkel aksiyomlarıyla uyumlu olduğunu ispatladı. Bir çeyrek yüzyıl sonra Paul Cohen, süreklilik hipotezinin Zermelo-Fraenkel ııksiyomlarından çıkarsanamayacağını ispatlayarak Gödel'i ve mantıkçıları şaşkınlığa uğrattı. Bu, aksiyomların ve hipotezin tersinin de uyumlu olduğu anlamına geliyordu. Gö
diğer aksiyomlarını bozmadan kabul ya da reddedilebilir. Cohen' in çığır açıcı sonucunun ardından, onun süreklilik hipotezinin bağımsızlığını ispatlarken kullandığı tekn ikleri benimseyen matematikçilerin kuşaklar boyu ilgisini çekecek

yepyeni bir alan doğdu.

>> fikrin özü

Nerede çokluk, orada küme

1

19 Kalkülüs

~

~


Kalkülüs, sözcük anlamı olarak hesaplama demektir. Bu yüzden matem atikçiler bazen "mantık kalkülüsü" ya da "olasılık kalkülüsü" gibi terimler kullanır. Fakat tek başına "kalkülüs" denilince, herkes aynı, "asıl" kalkülüsü anlar. Kalkülüs, matematiğin temel taşlarında n biridir. Uygulama alanları o kadar ki, bir bilim insanının, mühendisin veya ekonomistin kalkülüsle hiç karşılaşmamış olması çok nadirdir. Tarihsel olarak 17. yüzyılda lsaac Newton ve Gottfried Leibniz öncülüğünde gel iştirilmiştir. Çalışmalarının benzerliğinden dolayı kalkülüsü hangisinin keşfettiği uzun tartışmalara yol açmıştır. Gerçekteyse hu iki bilim i nsan ı kalkülüsü birbirlerinden bağımsız keşfetmişlerdi ve ku llandıkları yöntemler oldukça farklıydı. geniştir

O günden bu yana kalkülüs sürekli genişleyen bir alan oldu. Her bir nesil bir sonrakine daha fazla tekniği miras bıraktıkça konu üzerine olan ders kitaplarının kalınlığı da bin sayfayı aştı. Ama tüm bu eklemelerden bağımsız olarak, Newton ve Le ibniz'in kurduğu şekliyle kalkülüsün ikiz kuleleri diyebileceğimiz iki temel konusu türev ve inıegralılir. Bu iki terim Leibniz'in differenr:ialis (farkların ı alma veya "parçalara ayırma") ve integralis (parçaların bütünü veya "birleştirme) sözcüklerinden gelir. Teknik dilde türev değişimin, integral ise alanın ölçümüyle ilgilidir. Fakat kalkülüs tacının pırlantası, bu ikisinin bir madalyonun iki yüzü gibi olmasıdır: Türev ve integral birbirinin tersidir. Kalkülüs, iki yüzü olan tek bir konudur. Gilbert ve Sullivan'ın komik operas ı The Pirates of Penzance'ta "modern bir tümgeneralin kusursuz örneği" karakterinin her ikisinde birden iyi olduğumı iddia etmesine şaşmamak gerek: Hipotenüsün karesiyle ilgili nice eğlenceli şeyler hilen hen Hem integral, hem de diferansiyel kalkülüste çok iyiyimdir.

Zeno paradokslarıyla sonsuz küçükleri alaya a l ır.

Newton ve Leibniz kalkülüsün ilk adımlarını atar.

·KalkÜIÜS

1

"Dü~ünce deneyleri"ne meraklı bilim insanlarının en ünlülerinden biri şüphesiz Einstein'dır. Diyelim ki yüksek bir köprüden aşağıya bir taş atıyoruz. Ne olur? Düşünce deneyinin avantajı, bizzat orada olmamızın gerekmemesidir. Dahası, taşı havada durdurabilir veya belirli bir zaman aralığında yavaş çekim izleyebiliriz.

Türev

Newton'un kütleçekim kuramına göre taş düşecektir. Bunda şaşılacak bir şey yok. Taş dünya tarafından çekilmektedir ve her an biraz daha hızlanarak düşer. Düşünce deneylerinin bir başka güzel yanı, hava sürtünmesi gibi işi karmaşıklaştıran faktörleri istemezsek görmezden gelebilmemizdir. Taşın belirl i bir zaman sonra, sözgelimi bırakıldıktan tam 3 saniye sonraki hızı nedir? Bunu nasıl hesaplayabil iriz? Ortalama hızı bulabiliriz elbeue ama bizim istediğimiz anlık hız. Bu bir düşünce deneyi olduğundan, neden taşı havada durdurup saniyenin küçük bir bölümü kadar daha düşmesini incelemiyoruz? Eğer düştüğü ekstra mesafeyi ekstra zamana bölersek bu kısa zaman dilimindeki ortalama hızını bul muş o luruz. Bu zaman dilimini ne kadar kısa tutarsak taşı durdurduğumuz andaki anlık hızına o kadar yaklaşmış olu ruz. Kalkülüsün al tında yatan ana fikir bu limitleme işlemidir.

mesafe y

süre

x

45

3 1

st.ıs

1

·······-··O -········-

Ekstra süreyi sıfır yapmak geçebilir aklınızdan. Ama o zaman taş hiç ilerleyemez. Bu durumda ortalama hız% o lur ki lrlandalı filozof Bishop Berkeley'in sözleriyle ifade edersek bu "geçmiş niteliklerin hayaletleri"nden başka bir şey değildir. Bu bölme işlemi hesaplanamaz, hatta anlamsızdır. Bunu yaparsak sayısal bir batağa saplanırız. Daha ileri gidebi lmek için bazı simgelere ihtiyacımız var. Düşme mesafesi y ile geçen süre x arasındaki ilişki Galileo tarafından şöyl e ifade edilmiştir:

y=5xx2 Buradaki 5 çarpanı ölçüm birimlerinin metre ve saniye olarak alınmasından kaynaklanır. Eğer taşın 3 saniyede ne kadar düştüğünü merak edersek x - 3

1 734

1820'ler

1854

1902

Berkelcy bazı temel zayıflıklara dikkat çeker.

Cauchy, kuramı sağlam temellere oturtarak formalize eder.

Riemann, Riemann integralini tanıtır.

Lebesgue,Lebesguc integral kuramını ortaya atar.

3.s

1

Kalkülüs yazarak y = 5 x 3 2 - 45 metre olduğunu hesaplayabiliriz. Peki ama x - 3 iken taşın hızı ne kadardır? Şimdi taşın yarım saniyelik bir sürede, 3

ile 3,5 saniyeleri arasında ne kadar düş y- 5 x 3,5 2 = 61,25 metre düşmüştür. Dolayısıyla 3. ve 3,5. saniyeler arasında 6 1,25 - 45 - 16,25 metre düşer. Hız demek, yol bölü zaman demek olduğundan ortalama hız 16•2%,s-32,5 "Y, olur. Bu sayı x-3 'teki anlık hıza yakın olsa gerek. Aynı hesapları daha kısa bir zaman dilimı için, örneğin 0,05 saniye için tekrarlayabiliriz. O zaman da taşın düşmesi 1,5125 m ve ortalama hm 1•5125/o.os = 30,25 m ;. olur. Bu sayı taşın tam 3. saniyedeki hızına daha ya kın olmalı. tüğünü hesaplayalım. 3,5 saniye geçtiğinde taş toplam

Artık

meseleyi kökünden çözmek için x saniye ile x + h saniye arasındaki orta· lama hızı hesaplamalıyız. Bir iki aritmetik işlemden sonra bunun

5 x (2x) + 5 x h olduğunu

görürüz. 0,5'i 0,05'le değiştirirken yaptığımız gibi h'yi küçülttükçe ilk terimin etkilenmediğini (çü nkü içinde h yok), ikinci terimin ise gittikçe küçüldüğünü görüyoruz. Buradan çıkaracağımız sonuç: v - 5 x (2x) Burada v, x anındaki anlık hızdır. Örneğin taşın 1 saniye sonraki anlık hızı (x= 1 iken) 5 x (2 x 1) = 10 m;, olur. 3 saniye sonraki hızı ise 5 x (2 x 3) = 30 m;, olur. Eğer Gal ileo'nun uzaklık formülü

u 2x 3x2

4x3 5x"

x'

y = 5 x x2 ile v - 5 x (2x) formülünü karşılaş tıracak olursak, temel fark x2 'nin 2x'e dönüşmüş olmasıdır. u - x2 ifadesinden iı - 2x ifadesine geçiş, türev almanın etkisidir. Newton, iı = 2x ifadesini ekle etmeye "akı" [/luxion) ve x değişkenine de "akan" adın ı vermişti, çünkü bunları akan nicelikler olarak kafasında canlandırmıştı. Günümüzde genelde u - x2, türevini ise du;dx - 2x olarak yazarız. Leibniz tarafından geliştirilen bu gösterim, kullanım açısından d harfinin Newton'un noktalı gösterimine baskınlığının örneklerinden biridir. Düşen taş tek bir örnekti, fakat u başka bir bağlamda başka bir şeye eşit olsaydı yine türevini alabilirdik. Burada şöyle bir kural geçerli: ifadenin türevini almak için her terimi x'in üssüyle çarpıyor ve üssü bir azaltıyoruz.

KalkÜIÜS

İntegral

lnregralin ilk uygulaması alan ölçümüydü. Bir eğ rinin altında kalan alan ı ölçmek için tüm bölgeyi her biri dx genişliğindeki dikdörtgen şeritlere ayırabiliriz. Her birinin alanını hesaplayıp toplarsak toplam alanı bulmuş oluruz. S harfini uzatarak f şeklinde yazan kişi yine Leibn iz olmuştur. Her bir dikdörtgen şeridin alanı udx kadar olduğundan, O'dan x'e kadar toplam alan A şu şekilde ifade edilir:

u

o

x

A = J udx o Eğer a lanını hesaplamak istediğimiz eğri u - x2 ise, al tında kalan alanı bulmak için ince dikdörtgen şeri tler oluşturup alanlarını toplar ve limitlerin i alırsak şu

ifadeyi elde ederiz:

u Farklı eğriler (dolayısıyla farklı li ifadeleri) için de integrali hesaplayabiliriz. Tıpkı türev gibi x'in kuvvetleri için de düzenli integral alma kuralları vardır. Bu tür ifadelerde üssün bir fazlasına böler, üsse 1 ekleriz.

lntegralden elde ettiğimiz A - x3;3 ifadesinin türevini alırsak baştaki u - x2 ifadesini tekrar elde ederiz. Benzer şekilde türevden elde ettiğimiz dıydx = 2x ifadesinin integralini a lırsak u - x2 ifadesine geri döneriz. Türev integralin tersidir. Bu gerçeğe Kalkülüsün Temel Teoremi denir ve matematikteki en önem li teoremlerden biridir.

Ana sonuç

Ka lkülüs olmasaydı ne yörüngede dolaşan uydu lar olurdu, ne ekonomi kuramı, ne de bildiğimiz anlamıyla istatistik. Değişimin olduğu her yerde karşımıza kalkü lüs çıkar.

>> fikrin özü

Limitlere uzanmak

J udx o

x2

x3;3

x'

x5

x'A x5;5 x6;6

X'

x••j(n+I)

.0

1

1 ~

20 Çizimler

~


Olumsuz bir önermeyi ispatlamanın zorluklarına rağmen matematikteki pek çok başarı tam da bunu yaparak, yani bir şeyin yapılamayacağını ispatlayarak elde edilmiştir. Örneğin daireyi karelemenin imkansız olduğunu nasıl ispatlayabiliriz? Antik Yunanların dört büyük çizim sorusu vardı: • açıyı üçe bölmek (bir açıyı üç eşit açıya ayırmak) • küpü iki katına çıkarmak (verilen bir küpün iki katı hacme sah ip yeni bir küp ç izmek • daireyi karelemek (verilen b ir daireyle aynı alana sah ip bir kare çizmek) • düzgün çokgenler çizmek Bu çizimleri yaparken iki alete izin vardı: • düz çizgi çizebilmek için düz bir kenar veya ölçüsüz cetvel (üzerinde h içbir işaret yok) • daire çizebilmek için pergel Eğer yanınızda halat, oksijen tüpü, cep tdefonu ve başka araç gereç-

ler olmadan dağa çıkma fikri size cazip geliyorsa bu sorular da ilginizi çekebilir. Modern ölçüm aletleri olmadan bu şekillerin çizilip çizilemeyeceğini helirleyebilınek için gerekli olan modern analiz ve soyut cebir gibi matematik teknikleri oldukça ileri düzey olduklarından dolayı, antik çağların çizim sorularına yanıt verebilmek ancak 19. yüzyılda mümkün olabilmiştir.

Açıyı

ikiye bölmek

Açıyı üçe bölmek Açıyı ikiye bölmek kolaydır. Pergelinizi O noktasına koyarak açıyı A ve B noktalarında kesin. Ardından pergeli sırayla A ve B noktalarına koyarak yaylar çizin. Bu iki yayın

Anaksagoras hapishanedeyken daireyi karelemeye çalışır.

Mohr tüm Öklid çizimlerinin yalnızca pergelle çizilebileceğini gösterir.

~i l 1

kesiştikleri nokta P olsun. Ölçüsüz cetvelle O ve P noktalarını birleştirdiğinizde oluşan AÔP ve BÔP açıları birbirine eşit olur.

Buna benzer bir yöntemle herhangi bir açıyı üç eşit parçaya bö lebilir miyiz? Açıyı üçe bölme sorusu budur. Eğer açı 90 derece,

yani dik aç ı ise sorun yok, çünkü 30 derecelik açı oluşturmak mümkündür. Ama açı sözgelimi 60 derece olursa üçe bölmek mümkün değildir. Her bir açının 20 derece olması gerektiğini bilsek de bunu ölçüsüz cetvel ve pergelle tamı tamına çizemeyiz. Dolayısıyla özetlersek:

• her açıyı her zaman ikiye bölebilirsiniz, • bazı açıları her zaman üçe bölebilirsiniz, ama • bazı açıları hiçbir zaman üçe bölemezsiniz. Delos sorusu olarak da bilinen küpün hacminin ikiye katlanması da benzer bir problemdir. Hikayeye göre Yunanistan'c.laki Delos adasının yerlileri yakaland ı kları veba salgınına karşı kahine başvurmuşlar. Kahin de onlara eski sunağın yerine iki katı hacminde yeni bir sunak yapma larını söylemiş. Dclos sunağının her kenarı a birim uzunlukta üç-boyutlu bir küp olduğunu düşü nelim. Yeni yapılacak sunağın kenarları b birim olacaksa b3 • 2a:1 olması gerekir. Buradan b-Vz x a ele.le ederiz. Vz (küp kök 2), kendisiyle 3 kez çarpıldığında 2 eden say ıdır. Delos'l uların, eğer orijinal küpün bir kenarı a • 1 birim ise bir kenarı b = VZ o lan yeni bir küp yapmaları gerekiyordu. Fakat ne yazık ki ne kadar uğraşırlarsa uğraşsınlar, ne kadar yaratıcı o lurlarsa olsunlar, ya lnızca ölçüsüz cetvel ve pergel kullanarak bunu yapmaları mümkün değildi.

Daireyi kareleme Diğerlerine.len biraz daha farklı o lan bu soru, aynı za mane.la çizim problemlerinin en ünlüsüdür:

A

A?

Verilen bir dairenin alanına eşit alanlı bir kare çivnek. Daireyi karelemek

Gauss Aritmetik Üzerine Söylem adlı eserinde düzgün 17-genin Ôklidyen çizimine yer verir.

Wantzel küpün hacmini iki katına çıkarma ve açıyı üçe bölme klasik problemlerinin ölçüsüz cetvel ve pergelle yapılamayacağını ispatlar.

..

1

Çizimler lngilizcedeki "daireyi karelemek" [squaring ıhe circle] deyimi imkllnm bir şeyi yapmaya ça l ışmak anlamında kullanılır. x2 - 2 = Ocebirsel denkleminin iki kökü v.ardır: x = v2 ve x - -v2. Bunla( irrasyonel sayı olduklarından iki tamsayının oranı o larak ifade edilemezler. Dairenin karelenemeyeceğini göstermek , 7t'nin herhangi bir cebirsel denklemin kökü olamayacağını göstermeye denktir. Bu öze lliğe sahip irrasyonel sayılanı transandant sayı denir. Matem
sonucundan sonra daireyi kareleme

girişimlerinin kesildiğini

sanıyorsanız yanılıyorsunuz. ispatın mantığına inanmayanlar ve hiç duymamış

olanlar, matematiğin tali yolundan ilerleme çalışmalarını sürdürmekteler.

Çokgen çizimleri

Düzgün bir çokgenin nasıl çizilebi leceği sorusunu ilk olarak Ö klid ortaya atmıştır. Düzgün çokgen, her kenarı eşit uzunlukta ve iç açı ları birbirine eşit olan çok kenarlı şekildir. Öklid, Elemanlar adlı ünlü eserinin 4. Kirap'ında 3, 4, 5 ve 6 kenarlı düzgün çokgenlerin ölçüsüz cetvel ve pergelle nasıl çizileceğini göstermiştir.

3 kenarlı düzgün çokgene eşkenar üçgen deriz. Bunun ç izimi

kolaydır.

Üçgenin iki kenarı olan A ve B noktalarını dilediğiniz gibi belirleyin. Pergeli AB kadar açarak önce A noktasına, ardından B noktas ına yerleştirip yaylar ç izin. Bu iki yayın kesiştiği nokta olan P noktası , üçgen in üçüncü köşesidir. AB - AP - IJP olduğundan üç ken a rın uzunluğu eşit olur. Eğe r düz bir çizgi çizebilmek

B

A Eşke nar

üçgen çizimi

için ölçüsüz cetvele de gerek yok d iyorsa nız bu ko nuda yalnız say ılmazs ınız ; Danimarkalı Georg Mo hr da böyle düşünü yordu. Eşkenar üçgen çizimini P noktasını bularak yaptık ve bunun için yalnızca pergeli kullandık. Ö lçüsüz cetveli yalnızca J noktayı fiziksel olarak birleşt irmek için kullandık. Mohr, pergel ve ölçüsüz cetvelle yapı labilecek her türlü çizimin yalnızca pergelle de yapılabileceğini gösterdi.

Çizimler ltalyan Lorenzo Mascheroni 125 yıl sonra Mohr\ın ispatında.ki bir belirsizliğe de açıklık getirerek ispatı tamamlamış oldu. l 797'de Napolyon'a adadığı geometri kitabı Geomeııia del Compasso'nun ilginç bir özell iği, nazımla yaz ılmış olmasıdır.

Genel probleme dönecek o lursak, p bir asal sayı olmak üzere p kenarlı bir çokgenin çizilebilir olması özel öneme sah iptir. 3 kenarlı çokgeni çizdik. Öklid 5 kenarlı çokgeni çizmeyi başardıysa da 7 kenarlıyı çizemedi. 17 yaşındayken bu soruyu inceleyen Cari Friedrich Gauss bunun imkansız olduğunu ispatladı. p - 7, 11 ve 13 için çokgen çizmek mümkün

Bir prens doğuyor Cari Friedrich Gauss 17-genin çizilebilir olduğunu gösterdiğinde bundan o denli etkilendi ki dil üzerine öğrenim görmektense matematikçi olmaya karar verdi. Gerisi zaten malum: "matematiğin prensi" olarak bilim tarihine geçti. Almanya, Göttingen'deki anıtın ı n tabanı, dehasına yaraşır bir şekilde 17-gendir.

değildi.

Ama Gauss sırf olumsuzlukları ispatlamakla kalmayıp 17 kenarlı çokgeni çizmenin mümkün olduğunu gösterdi. Daha da ileri giderek p kenarlı bir çokgenin çizilebilmesi için p'nin şu kalıba uyması gerektiğini ispatladı:

P- 22" + 1 Bu kalıba uyan sayılara Fermat sayıları denir. n - O, 1, 2, 3 ve 4 için hesaplarsak Kenarları bu sayılara karşı lık gelen çokgenler çizilebilir.

p- 3, 5, 17, 257 ve 65.537 asal sayılarını elde ederiz.

n - 5 için denediğimizde p = 2 12 + 1 = 4.294.967 .297 Fermat sayısını elde ederiz. Pierre de Fermat bunların hepsinin asal sayı olduğunu ileri sürmüştü, ne var ki bu sayı asal değildir, çünkü: 4.294.967.297 - 64 1 x 6. 700.417 olarak çarpanlarına ayrılabilir. n - 6 veya 7 denediğimizde elde ettiğimiz devasa sayılar da yine asal değildir. Başka Fermat asalı var mı? Kimse kesin o larak bilmese de genel kanı olmadığı yönünde.

>>fikrin özü

Bir pergel ve bir düz kenarh alln ve...

1

1

21 Qçgenler

~

w

Akademik Kit ap Kulübü

Üçgenin açılan ve uzunlukları ile ilgili hesaplaryapmam1z1 sağlayan matematik alanına trigonometri denir. En basit şekillerden biri olan üçgen, bitmek tükenmez bir ilgili odağı olagelmiştir. N

A

Üçgenin iç açıları toplamının 180 degöstermenin basit bir yolu var. A köşesinden BC tabanına paralel bir MAN doğrusu çizelim. MN ve BC paralel olduğundan dolayı x ile gösterdiğimiz iç-ters açılar olan ABC açısı ve BAM açısı eşittir. Aynı şekilde y açıları da iç-ters olduğundan eşittir. A noktasında komşu olan üç açı birbirini 180'e (360'ın yarısına) tamamlar: x + y + z = 180. Tabii burada üçgenin düz bir masanın üzerindeki kağıt gibi bir düzleme çizilmiş olduğunu varsayıyoruz. Eğer üçgeni örneğin bir topun üzerine çizersek açıların topl amı 180'den farklı olur.

Üçgenin hikayesi rece

c

olduğunu

Öklid tümevarım yöncemini kullanarak üçgenlerle ilgili pek çok teorem ispatladı. Örneğin üçgenin ht!rhangi iki kenarının toplamının, üçüncüden her zaman daha uzun olduğunu gösterdi. Soyut matematikte önemli olan bu teoreme günümüzde "üçgen eşitsizliği" denir. Epikürcüler ise meselelere pratik yaklaşımlarını burada da sergileyerek bunun ispatlanmasının gerekmediğini, çünkü zaten bir eşeğin bile görebileceği kadar aşikar olduğunu söylediler. Üçgenin bir köşesine bir eşek, bir diğer köşesine bir yığın saman konsa, eşeğin bile iki kenarı deği l tek kenarı tercih edeceğine işaret ettiler.

Pisagor teoremi

Tüm üçgen teoremlerinin en ünlüsü olan Pisagor teJ oremini ilk Pisagor'un mu yoksa bir başkasının mı bu lduğu hakkımla kesin bir bilgimiz yok. En bilinen hali cebirsel ifadesidir: a1 + b1 - c1 . Ancak Ö klid, tc· oremi açıklarken gerçek kare şekillerden fayda lanmıştır: "Dik açılı üçgen lerde dik açının karşısındaki kenarda bulunan kare, dik açının kollarını oluşturan kenarlarda bulunan karelerin toplamına eşittir."

Babilliler Pisagor teoremini kullanır.

Willingford'lu Richard trigonometri üzerine çığır açan bir eser yazar.

.üçgenler

1

Okullarda öğrencilerin ezberlemek ya da sonuçlanna katlanmak zorunda kaldtkları ispatın ı Öklid, Elemanlar'ın 1. Kitap, 47. Önerme'sinde yapınışnr. Pisagor teoreminin yüzden fazla ispatı vardtr. Bunların en güzellerinden biri 12. yüzyılda Bhaskara'nın yaptığı ispattır.

b

a

Bu ispatta söze yer yoktur. Yandaki şekilde bir kenarı a+b kadar olan karenin iki farklı biçimde parçalara ayrı 1masın ı görüyoruz. dörder dik üçgen aynı olduğundan, bunları çıkardığımızda kalan alanların yine aynı olması gerekir. Solda kalan iki karenin alanları toplamı sağda kalan karenin alanına eşit olacağından: Her iki

şekildeki

A

8

b

8

B

b

b

·()· b

c

a

b

oc

8

8

c

a

b

a

a

~

c1

b

Enler doğrusu Üçgen lerle ilgil i yüzlerce lı1 b önermede bulunulabilir. Öncelikle kenarların orta noktalarını düşünelim. Herhangi bir AI3C üçgeninde kenarlann orta noktaları D, E, F'yi işaretleyelim. Şimdi 13F ve CD doğrularını çizerek kesiştikleri noktaya G diyelim. Ardından AE doğ nısunu çizersek, bu da her zaman G'den geçer mi? Bunu bir baktşta görmek zor olsa da gerekli işlemler yapıldığında böyle olduğu ortaya çıkıyor. G noktasına üçgenin "ağtrlık merkezi" diyoruz.

A

Bunun dışında daha pek çok merkezden söz etmek mümkün. Bir başkası yüksekliklerin (tepe noktasından tabana inen diklerin) kesiştiği H noktası (sf. 86'da kesikli çizgilerin kesiştiği nokta). Bu noktaya "yükseklik merkezi" diyoruz. Bir başkası ise D, E, F'den çizilen dikmelerin (yani kenar orta-dikmelerin) kesiştiği "çevre! merkez"dir. Bu noktaya da O diyelim. O noktası aynı zamanda A, B, C'den geçen çemberin (çevre! çemberin) merkezidir. Dahas ı var. Herhangi bir ABC üçgeninde G, H ve O merkezleri, yani sırasıyla ağırlık merkezi, diklik merkezi ve çevre! merkez, "Euler

e

E Ağırlık

merkezi

1571

1822

1873

François Viiıte tri gonometri ve trigonometrik tablolar üzerine bir kitap yayı nlar.

Kari Feuerbach üçgenin dokuz noktalı çemberini tanımlar.

Brocard üçgen üzerine kapsamlı çalışmasını yayınlar.

c

1Üçgenler doğrusu"

denilen aynı doğru üzerinde bulunur. bu üç nokta aynıd ır.

Eşkenar

üçgende ise

Napoleon teoremi

Herhangi bir ABC üçgeninde, her üç kenarda birer eşkenar üçgen oluşturulur ve bunların ağırlık merkezleri birleştirilerek yeni bir DEF üçgeni oluşturulursa, Napoleon teoremine göre bu DEF üçgeni de eşkenar üçgen olur.

B

Bu teorem, Napoleon'un 182l'de St. Helena'da ölmesinden birkaç yıl sonra, 1825'te bir lngiliz dergisinde yaymlandı. Napoleon'un okulda matematikteki başarısının askeri topçu okuluna girmesine Euler doQrusu katkı sağladığına şüphe yok. Ayrı ca imparator olduktan sonra Paris'in önde gelen matematikçileriyle de tanışmışt ı. Ne yazı k ki teoremin kendisine ait olduğuna dair elimizde başka kanıt yok. "Napoleon teoremi" de başka pek çok matematiksel sonuç gibi, asl ında keşfiyle ve ispatıyla ilgisi olmayan birine atfedilmişe benziyor. Sonuçta bu, tekrar tekrar keşfedilen teoremlerden biridir. Bir üçgende herhangi bir uzunluğu hesap lamamız için bir kenarı ve ona ait iki açıyı bilmemiz yeterlidir. Geri kalan tüm ölçüleri trigonometri sayesinde bulabiliriz. arazi ölçümleri yaparken dünyanın düz olduğunu böylece üçgenleriniz de düz olur. Eğer BC uzunluğunu biliyorsak, seçtiğimiz bir A noktasının (üçgenleme noktası) oluşturduğu ABC ve ACB açılarını bir teodolitle ölçebiliriz. Bunu yaptıktan sonra trigonometri sayesinde ABC üçgeniyle ilgili her şeyi hesaplanabilir artık. Haritacı bir sonraki üçgene gider ve bu şeki lde bölgeyi üçgen ağıyla dilediği gibi ölçebilir. Bu yöntemin avantajlarından biri, çalılık, bataklık, nehir gibi geçilmesi zor arazileri de üstünden geçmeden ölçmeye izin vermesidir. Haritalama

lapoleon teoremi

çalışmalarında

düşünmek faydalıd ır;

Büyük Hindistan Trigonometrik incelemesi için bu yöntem ku llanılmış, 1800'lerde başlayan çalışma 40 yıl sürmüştür. Projenin amacı, Büyük Meridyen Yayı boyunca güneyde Komorin Burnu'ndan kuzeyde Himalaya lar'a kadar olan 2500 km'l ik bölgeyi inceleyerek haritalandırmaktı. Aç ı ları ölçerken en yüksek kesinliğe ulaşmak amacıyla Sir George Everest, Londra'da ağı rlık l arı toplam bir tonu bulan ve taş ımak için on adam gerektiren iki dev teodolit yaptırmıştı. Açıları doğru belirlemek hayati öneme sahipti. Kesinliğin bu kadar önemli olduğu ölçümlerin merkezinde ise mütevazı üçgen yer alıyordu. Viktorya dönemindeki insanlarm küresel konumlandırma sistemleri yoktu belki ama hesapları

ÜÇgenler

Üçgenlerle inşaat Üçgenler inşaatl arda çok gereklidir. Kullanışlı lı (Jı ve dayanıklı l ı(Jı, onu aynı zamanda ha ritalama çalışmaların da da önemli k ı lan kıpırdamaz oluşundan gelir. Bir kareyi veya

/\1\/\/\10

~ "- 1

Warran tipi kiriş köprü

ı

/

dikdörtgeni iterek şeklini bozabilirsiniz ama üçgeni bozamazsınız. Üçgenlerden oluşan takviye kafesleri, inşaatlarda ve çatı yapımında sık ku llanılır.

Warren tipi üçgen kirişler a(Jırlıklarına oranla büyük yükleri kaldırabilir. James Warren tarafından 1848'de patenti alınan bu yapılar ilk olarak iki yıl sonra Londra Köprüsü lstasyonu'nda kullanılmıştır. Eşkenar üçgenler, ikizkenar üçgenlere göre daha iyi sonuç verir.

yapmak için insan aklı vard ı. Bir üçgendeki tüm uzunluklar hesaplandıktan sonra artık alan hesaplaması yapmak dolambaçsız bir iştir. Temel birim yine üçgendir. Üçgenin alanı için pek çok formül bulunmuşsa da en dikkate değer olanı lskenderiyeli Heron'un formülüdür:

A-Js x(s -a)x (s -b)x(s -c) Açı ları gerektirmeyen bu formül her üçgene uygulanabilir. Formüldeki a, b, c harfleri üçgenin kenar uzunlukları; s harfi üçgenin çevresin in yarısıdı r. Örneğin üçgenin kenarları 13, 14 ve 15 birimse, çevresi 13+14+ 15 = 42, dolay ısı y la s-2 1 olur. A lan ise A=v'(21x8x7x6)-84 ol ur. Üçgen gerek şekillerle oyun oynayan çocuklar için, gerekse soyut matematikte çalışmalar yapan araştırmacı lar için tanıdık bir şekildir. Trigonometri, üçgen le ilgili yapıbın hesaplamaların temelinde yatar; sinüs, kosinüs ve tanjant ise üçgendeki uzunlukların arasmdaki ilişkileri tanımlayan araçlardır. Bugüne kadar d ikkarleri hu derece üzerine toplamış üç çizgiden oluşan basit bir şekli n hala keşfedilmeyi bekleyen sırlar içerdiğine inanası gelmiyor insanm.

>> fikrin .. özü

Uç ahbap çavuş

1

1

22 Eğriler Eğri çizmek kolaydır. Ressamlar bunu her zaman yapar; mimarlar bir hilalin eğrisine bir dizi yeni binayı dizebilir. Beyzbol atıcısı topu eğri bir şekilde atar. Futbolcular şut çektiklerinde top eğri bir yol takip eder. Ancak "eğri nedir?" diye sorduğumuzda bunun yanıtım vermek o kadar kolay olmaz.

Matematikçiler eğrilere asırlar boyu farklı farklı yaklaşımlar getirmişti r. ilk olarak Yunan 1ı ların incelediği eğrilere günümüzde "klasik" eğri ler denir. Daire

Klasik eğriler Klasik eğriler denince ilk akla gelenler "konik kesit· ler"dir. Bu ailede daire, elips, parabol ve hiperbol bulunur. Konik yüzeyi, sivri uçları uç uca eklenm iş iki dondurma külahı gibi düşünebil iriz. Bir dondurma külahını kesme açın ıza bağlı olarak bir daire, bir elips, bir parabol veya bir h iperbol elde edebilirsin iz. Konik kesitleri bir çemberin duvardaki yansıması gibi de düşünebiliriz. Silindirik bir masa lambasının ışığ ı , l ambanın üstündeki ve altındak i dairesel açıklık l ardan çık arak da iresel yansımalar Hiperbol oluşturur. Eğer lambayı eğersek bu yansımalar elipse dönüşür. Diğer taraftan duvardaki yansımalar ise üstte ve altta hiperbo ller oluşturur.

,.

Konik kesitleri bir düzlem üzerinde farklı kurallara göre ilerleyen noktalar olarak da açıklayabiliriz. Bu Antik Yunanl arın sevd iği konumsal yöntemdir. Yansımaya • göre yapı lan tanımdan farklı olarak uzak lı klara daya· nır. Eğer bir nokta tek bir sabit noktaya olan uzaklığı hep ayn ı kalacak şekilde ilerlerse da ire ol uşur. Eğer

Konik kesitler

Ôklid konik kesitleri

Arş i met

tanımla r.

inceler.

spiralleri

Perge' li Apollonius Konikler adlı eserini yayınlar.

EğrUer 1 bir nokta iki sabit noktaya olan uzaklıkları roplamı hep aynı kalacak şekilde ilerlerse elips oluşur (iki sabit nokta aynı olursa elips daireye dönüşür). Elips, gezegenlerin hareketlerini anlamak için de anahtar şekildir. 1609'da Alman gökbilimci Johannes Kepler, gezegenlerin güneşin çevresinde eskiden inanıldığı gibi dairesel deği l , eliptik yörüngeler çizdiğini ilan ecri. Bir noktaya (odak noktası F) ve bir doğruya (doğrultman) uzaklığı eşir olan noktanın nasıl bir yol izleyeceğini görmek o kadar

kolay değild i r. Bu durumda parabol elde ederiz. Parabolün pek çok faydalı özelliği vardır. Eğer odak noktası F'ye bir ışık kaynağı konulursa, yansıyan ışıklar PM'ye paralel gider. Diğer taraftan örneğin bir uydudan gelen TV sinyalleri parabol şeklinde bir çanak amene geld iklerinde, odak noktasında toplanarak televizyona ileti lirler. Bir sopa bir nokra çevresinde döndürüldüğünde , üzerindeki herhangi bir noktanın izi daire şeklinde olur, fakat sopa dönerken nokra da sopa boyunca ilerliyorsa o zaman bir spiral ortaya çıkar. Pisagor spiralleri çok severdi. Leonardo da Vinci ise hayatının 10 yılını farklı tipte spiralleri inceleyerek geçirdi. Rene Descanes ise spiraller üzerine bir inceleme yazısı yazmıştı. Logaritmik spiralin herhangi bir noktasında merkezi birleştiren yarıçapta reğer arasındaki açı hep sabit olduğundan bir diğer adı da eş açılı spiraldir. İsviçreli ünlü matematikçi ailesinin bir üyesi olan Jacob Bernoulli logaritmik spiralden öylesine büyülenmişti ki Basel'deki mezarının üzerine kazınmasını vasiyet eni. "Rönesans insanı" Emanucl Swedcnborg ise spirali tüm şekillerin en kusursuzu kabul erci. Bir silindirin çevresinde dolanan üç boyutlu spirale sarmal (burgu) denir. DNA'nın remel yap ıs ı da bunların iki tanesinin iç içe geçmesiyle oluşan çifte sarmal bir yapıdır.

is 1 704

ı 890

ı 920'ler

Newton 3. dereceden e{Jrileri sın ı flandırır.

Peano bir e!jriyle içi dolu bir kare oluşturu l abilece!j i ni gösterir.

Menger ve Urysohn e!jrileri topolojik olarak tanımlar.

Parabol

1

Eğriler p

Üç-çubuklu devinim

Klasik eğriler arasında limaçon, lemniskat ve çeşitl i ovaller gibi daha pek çok şekl,; sayabiliriz. Kalp eğr isi (kardioid), adını kalbe benzemesinden alır. 18. yüzyıl da incelenmiş olan zincir eğris i , iki nokta arasında ası l ı olan zincir olarak tammlanm ıştı. Parabol ise asma köprünün iki ayağı arasındaki halatta görülen eğridir. 19. yüzy ı l eğri araştırmaları daha çok mekanik çubuklarla o l uşturulan eğriler üzerine yoğun laşm ıştır. Bu sorular, dairesel devinimi doğrusal devinime dön üştüren eklene il i çubukları tasarlayan İskoç mühendis James Watt'ın çalışmalarının bir devamı niteliğindeydi. Buhar çağında bu ileriye doğru çok büyük bir ad ımdı. Bu rür mekanik düzeneklerin en basiti, çubukların her iki uçtan sabit noktalarla birbirine bağlandığı üç-çubuklu devinimdir. Eğer "bağlama kolu" PQ herhangi bir yöne doğru hareket ederse, üzerindeki herhangi bir noktanın odağı 6. dereceden, d i ğer ad ıyla "sekstik eğri" oluşturur.

Cebirsel eğriler

Descartes kendi adıyla anı lan kartezyen koordinat sistemini geliştirdikten ve x, y, z koordinatlarını bularak geometride çığır açtıktan sonra, konik eğrileri cebirsel denklemlerle incelemek mümkün oldu. Örneğin yarıçapı l birim olan çemberin denklemi x2 + y2 - 1 olur ki tüm konik eğriler gibi 2. derecedendir. Cebirsel geometri adı verilen yeni bir
Eğriler

Basit kapalı bir Jordan e{ırisi

Bir tanıın

Macemacikçiler yalnızca belli örnek eğrilerin değil, eğrinin genel tanımının peşindeydi. Camille Jordan eğrinin tanımının değişken noktalara bağlı olarak yapıldığı bir eğri ler kuramı fikrini ortaya attı. Şöyle

bir örnek verelim. Eğer x = ı 2 ve y - 2ı dersek, ı'nin değişen değer leri için farklı (x, y) koordinatları elde edebiliriz. Örneğin ı - O için (O, O), ı - l iç in (1, 2) vs. elde ederiz. Eğer x-y eksenlerinde bu noktaları işaret ler ve birleştirirsek bir parabol ç izmiş oluruz. Jordan'a göre eğriler bu şekilde tanımlanabilirdi.

Jordan'ın eğrileri, örneğin

daire gibi "basic" (kendini kesmeyen) ve "kapalı" (bir başlangıç ve bitişi olmayan) özellikte olsalar bile dallı budak lı olabilirlerdi. Eğrinin bu şekilde tanımlanması ku lağa mantıklı geliyordu. Basir kapalı eğrinin bir içi, bir de dışı vard ı. Fakac bunun aşikar olduğunu düşünüyorsanız yanılıyorsunuz.

l 890'da lcalyan Giuseppe Peano, Jordan'ın tanımını kabul edersek içi dolu bir kareyi de eğri olarak sınıAandırmamız gerekeceğini gösterince ortalık karıştı. içi dolu bir karenin cüm nokcalarımlan geçecek hir eğri canımlamayı başarmıştı. "Boşluk-dold uran eğri" den ilen bu yapı lar Jordan'ın tanımında koca bir delik açtı. Karenin bilindik tanımıyla bir eğri olmadığı kesindi. Boşlu k-dolduran eğrileri

ve diğer sonınlu örnekleri gören macemacikçiler eğri temellerini baştan yazmak için cekrar karacahcanın başına geçtiler. Daha iyi bir eğri canımı gerekiyordu. 20. yüzyılın başında bu görev macemacikçileri yeni bir alan olan copolojiye yönelcti. kuramının

>> fikrin özü

Kıvrımın etrafından

dolanmak

1

1 Topoloji, yüzeylerin ve genel şekillerin özelliklerini inceleyen, fakat . uzunluk ve açılarla ilgilenmeyen geometri dalıdır. Önem verdiği şeylerin başında şekillerin başka bir şekle dönüştüklerinde değişmeyen özellikleri gelir. Şekilleri dilediğimiz gibi çekiştirmek serbesttir, hatta bu yüzden topolojiye bazen "lastik çarşaf geometrisi" denir. Şişme tekerle kahve bardağı arasındaki farkı ayırt edemeyen kişiye topolog denir! Şişme teker, ortasında bir delik o lan bir yüzeydir. Kahve bardağı da öyle; ondaki delik kulp şeklindedir. Bir şişme lastiği kahve bardağına şöyle dönüştürebiliriz:

Çokyüzlülerin sınıflandırılması

Topologlar temel olarak çokyüzlüleri inceler. Örneğin küp bir çokyüzlüdür; 6 yüzü, 8 köşesi , 12 ;:ıyrırı (yüzlerin kesişriği yerdeki çizgiler, kenarlar) vard ır. Küp düzgün çokyüzlüdür çünkü: • her yüz aynıdır, • köşede birleşen ayrıtların hepsinin açıları aynıdır. Topoloji kısmen yeni bir konu sayılsa da kökenini Antik Yunanlara kadar götürmek mümkündür. Hatta Öklid'in Elemanlar'ının doruk

Öklid düzgün çokyüzlülerin beş tane olduğunu gösterir.

Arşimet tıraşlanmış

çokyüzlüleri inceler.

Euler bir çokyüzlünün köşe, kenar ve yüzleri arasındaki ilişkiyi veren formülü bulur.

TopoloJI n oktası, düzgün çokyüzlülerin tam 5 tane olduğunu göstermesidir. Bunlara platonik cisimler denir:

• • • • •

dörtyüzlü (4 tane üçgen yüzü olan) küp (6 kare yüzlü) sckizyüzlü (8 tane üçgen yüzü olan) 12-yüzlü ( 12 tane beşgen yüzü olan) 20-yüzlü (20 tane üçgen yüzü olan)

dörtyüzlü

küp

Her yüzün aynı olma koşulunu bırakırsa k Arş imet sekizyüzlü c isimlerinin diyarına girmiş o luruz ki bunlara yarı -Jüz gün çokyüzlüler denir. Platonik cisimleri değiştirerek örnekler üretilebilir. Eğer 20-yüzlünün köşelerini kesip atarsak (tıraşl arsak) moJem futbol topunun tasarı · mında kullanılan şekli elde ederiz. Topu oluşturan 32 yüzün 12'si beşgen, 20'si altıgendir. 90 köşesi ve 60 ayrıtı va rdır. Futbol topuyla aynı şekle sahip karbon 20-yüzlü molekülüne, RicharJ Buckminster Fuller' in jeoJezik kubbesine benzediği için buckminsterfulleren ad ı verilmiştir. Bir diğer adı da "bucky topu" olan bu moleküller, karbonun daha önce bilinmeyen, her köşede bir karbon molekülünün olduğu c60 yapıs ını meydana getirir.

12-yüzlü

tıraşlanmış

20-yüzlü

Euler'in formülü bir çokyüzlünün köşelerinin (K), ayrıt (A) ve yüzlerinin (Y) arasındaki ilişkiyi verir:

Euler formülü l arının

Y-A+K= 2 Örneğin küple K - 8, A - 12 ve Y - 6 olduğundan Y - A + K = 6 - 12 + 8 = 2 olur. Buckminsterfullerende ise Y - A + K 32 - 90 + 60 - 2 olur. Bu teorem aynı zamanda çokyüzlünün ne olduğu konusunda da ipucu sağlar. İçinden tünel geçen küp

1858

1961

1982

2002

Möbius ve Listing, M öbius şe ridini tanıtır.

Stephen Smale, Poincare sanısını dömen büyük boyutlar için ispatlar.

M ichael Freedman, Po incare sanısını dört boyut için ispatlar.

Perelman, Poincare sanısını üç boyut için ispatlar.

1

1

Topoloji Küpün içine bir "tünel" açarsak hıilfi çokyüzlü müdür? Bu durumda K - 16, A - 32, Y = 16 ve Y - A + K - 16 - 32 + 16 - O. Euler'in formülüne uymadı. Bı.ı sorunu gidermek için, çokyüzlülere içlerinde tünel olmaması gerektiği kı sıtlamasını getirebiliriz. Ya da formü lü bu durumları da içine alacak şekilde genellemeye çalışabiliriz. sınıflandırılması Topologların gözünde bir şişme tekerle kahve bardağı aynı şey olabiliyorsa hangi şeki l bunlardan farklıdır? Lastik bir top olabilir mesela. Topta delik olmadığı için şişme laı;tiği topa dönüştürmek imkılnsızdır. Bu fark, iki yüzey arasındaki remel farklardan biridir. Dolayısıyla yüzeyleri delik sayılarına göre sınıflandırabiliriz.

Yüzeylerin

r delikli bir yüzey alıp, yüzeydeki köşeleri birleştiren ayrıtlarla sınırlanmış bölge-

lere ayıral ım. Bunu yaptıktan sonra köşeleri, ayrıtları ve yüzleri sayabiliriz. Nasıl bölersek bölelim, Euler'in Y - A + K ifadesi hep aynı değeri alır. Buna yüzeyin Euler karakteristiği denir:

Y-A+K-2- 2r Normal çokyüzlüde olduğu gibi eğer yüzeyde hiç delik yoksa (r - O) ifade daha önceki Y - A + K - 2 haline dönüşür. içinden tünel geçen küpte olduğu gibi bir tane delik varsa (r = 1), Y -A + K - Oolur.

Tek

taraflı

yüzeyler

Normalde bir yüzeyin iki tarafı olur. Bir topun

dışıyla içi farklı yüzlerdir; bir yüzden öbürüne geçmek için delik açmak gerekir

ki ropolojide bu gibi işlemlere izin yoktur (çekmek serbest ama kesmek yok). iki tarafı olan bir başka örnek kağıttır. iki taraf yalnızca kenarın ol uş turduğu sınırda bir araya gelir. ilk başta aklı-• ve gökbilimci A ugust Möbius, 19. yüzyılda böyle bir şekil keşfetti. Bu şekli elde ermek için yapmanız gereken bir kağıt şeridi a l ıp bir ucunu bir tur döndürerek diğer ucuyla bi rleştir mektir. O luşan tek taraflı ve tek kenarlı kıvrık şekle "Möbius şeridi" denir. Bir kalem le ortasından çizmeye başlarsanız bir süre sonra başladığınız yere dönersiniz! Tek

taraflı

bir yüzeyin

nasıl olabi leceğini

mız alma<>a da Alman matematikçi

Möbius

şeridi

TopoloJI Kenarı olmayan tek taraflı bir yüzey bile yapılabi lir. A lman matematikçi Felix K lein'ın adından "Klein şişesi" denilen şekil bu özelliği sağlar. Bu şişenin son derece etkileyici bir özelliği, kendisiyle kesişmiyor oluşudur. Ne var ki Klein şişesi ni üç-boyutlu uzayda kendisiyle hiç kesişmeden yapmak mümkün deği ldir. Onun kendini kesmeden yaşadığı gerçek dünyası dört-boyutludur.

Bu yüzeylerin her ikisi de topologların "manifold" adını verdiği, küçük parçalarına tek başlarına bakıldığında iki-boyutlu kağıda benzeyen geometrik yüzeylere örnekt ir. Klein şişesinin kenarı olmadığından buna "kapalı" 2-manifold denir.

Klein şişesi

Poincare sanısı Yüz yıldan uzun bir süre boyunca topoloj ideki en meşhur sorulardan biri, adını Henri PoincarC'den alan Poincare sanısıydı. Bu, cebirle topoloji arasındaki bağı kuran sanıdır. Sanının son döneme kadar bir türlü çözülemeyen kısmı kapalı 3-manifoldlarla

ilgiliydi. Bunlar oldukça karmaşık olabilir; fazladan bir boyutu olan bir Klein şişesi düşünün. Poincare cebirsel olarak üç-boyutlu kürelere işaret eden belirli kapalı 3-manifoldların hepsinin gerçekten de küre olması gerektiğini tahmin etti. Bunu şuna benzetebiliriz: Dev bir kürenin üzerinde yürüyorsunuz ve bulduğunuz tüm ipuçları bunun bir küre okluğuna işaret ediyor, fakat şekli uzaktan göremediğiniz için gerçekten küre mi bilemiyorsunuz.

Kimse Poincare sanısını 3-manifoldlar için ispatlayamamıştı. Acaba gerçekten doğru muydu? Tüm boyutlar için ispatlanmış, fakat 3-manifoldlar inatçı çık mıştı. Pek çok ispat ortaya atıldıysa da hatalı oldukları gösterildi. Ta ki 2002'de Sr. Petersburg'daki Steklov Enstitüsünden Grigori Perelınan sonunda doğru ispatı yapana kadar. Matematikteki d iğer büyük problemlerde olduğu gibi Poincare sanısının ispatı da kendi dışındaki alanların, örneğin ısı difüzyonuyla ilgili bir tekniğin yardımını gerektiriyordu.

>>fikrin özü

Simitlerden kahve

bardaklarına

1

1

24 :Soyutlar "Resim sanatı noktayla başlar," diye yazmıştı Leonardo da Vinci defterine, "ardından çizgi, sonra düzlem gelir; dördüncü sırada ise düzlemlere bürünmüş cisimler yer alır. " Da Vinci'nin hiyerarşisinde, nokta sıfır-bo yutlu, doğru tek-boyutlu, düzlem iki-boyutlu ve uzay üç-boyutludur. Bu zaten çok açık değil miydi? Leonardo, ilk olarak Yunan geometricisi Öklid'in ortaya koyduğu sıralamayı izliyordu.

z

Fiziksel uzayın üç-boyutlu olduğu binlerce yıldır kabul ediliyordu. Fiziksel uzayJa x-eksenindc hareket ederseniz bu sayfanın dışına doğru çıkabilir, y-ekseninde yatay veya z-ekseninc.le dikey hareket edebilirsiniz. Her noktanın, bu üç eksenin kesiştiği başla ngıç noktasına göre kendine özgü hir x, y ve z c.leğeri vardır. Bu üçlü koordinat, (x, y, z) şeklinde gösterilir. Gerek küp, gerekse tüm katı cisimler bu üç boyuta sah iptir. Okulda genelde iki-boyutlu düzlem geometrisini öğrendik ten sonra üç-boyutlu cisimleri inceleyip bırakırız.

-->y x

üç-boyutlu uzay

Matematikçiler 19. yüzyılın başlarında c.lört-boyutlu ve hatta daha yüksek, n-boyutlu matematik üzerine kafa yormaya başladılar. Pek çok filozof ve matematikçi üç boyuttan daha yüksek boyutlar olup olmadığını sorgulamaya başladı.

Geçmişte pek çok önde gelen matematikçi dört boyutun hayal edilemeyeceğini düşünmüştü. Dört boyutlu bir gerçekliğin nasıl olabileceğini sorgulam ış ama hunu açıklamayı

Daha yüksek fiziksel boyutlar başaramam ışlard ı .

Dört boyutun nasıl mümkün olabi l eceğini açıklamanın zekice bir yolu, iki boyuta geri dönmektir. 1884'te lngiliz okul müdürü ve dinbilimci Edwin Abbott,

Öklid üç-boyutlu dünyayı tanımlar.

Cantor boyut kuramında şaşırtıcı ve tartışmalı keşifl er yapar.

Boyutlar "Düzülke" aJın
Einstein ortaya çıkınca dön-boyutlu uzay fikri daha ciddi bir hal aldı. Einstein'ın modelindeki
cevap vermemize yardım edebilir. Maddenin yapısın ı ortaya çıkarma amacıyla yapılan bu mıknatıs, aynı zamanJa bizi boyutlar konusunda gerçeğe daha yakın bir cevaba ulaştırabilir. Şu an için akla en yatkın varsayım, evrenimizin 11-boyuclu olduğu. Fiziksel dünyadan farklı olarak, matematikte daha yüksek boyutlarla ilgili hiçbir sorun bulunmaz. Matematiksel uzaylarda boyut sınırlaması yoktur. 19. yüzyılın başlarınJan itibaren matematikçiler çalışmalarında ıı tane değişken kullanmakta bir sakınca görmediler. İngiltere Nottingham'dan bir değirmenci olan ve elektriğin matematiğini araştıran George Green de aralarında

Hiperuzay

1909 Brouwer'in

çalışmaları

anlayışımızı değiştirir.

boyut

1919

1970

Hausdorff kesirli "Hausdorff boyutu"

Sicim kuramı Evren'imizin 10, 11 veya 26 boyutlu olduğunu ifade eder.

kavramını tanıtır.

1

1

Boyutlar olmak üzere A.L. Cauchy, A rthur Cayley ve Hermann G rassman gibi mareınatikçiler çalışmalarından-boyutlu bir hiperuzay kullanmışlardı. Matematikte böyle bir sınırlama koymanın hiçbir geçerli nedeni olmadığı gibi kolay anlaşı labilirlik ve matematiksel zarafet adına pek çok getirisi vardır. n-boyutlu uzay fikri, (x, y, z) koordinatlı üç-boyutlu uzay fikrinin genişletil~ mesidir. iki boyutlu bir dairenin denklemi xı + y2 - l , üç boyutlu bir kürenin denklemi xl + y2 + i = 1 ~eklindedir. O zaman dört-boyutlu bir hiperuzaydaki denklemi de neden x2 + y2 + z2 + v2 - 1 şeklinde olmasın? Üç-boyutlu bir küpün 8 köşesi ve her köşenin O veya 1 değerini alan (x, y, z) koordinatları vardır. Ayrıca her biri kare olan 6 adet yüzü vardır. Köşe sayısını 2 x 2 x 2 - 8 şeklinde bulabiliriz. Bir de dört-boyutlu küpe bakalım: Köşelerin O veya l değerini alan (x, y, z. tı) koordinat· lan vard ır. Dolayısıyla 2 x 2 x 2 x 2 - 16 köşesi o lur. Ve her biri küp olan 8 yüzü vardı r. Bu dört-boyutlu küpü gözle görmemiz mümkün olmasa da kağıda sanatsal bir çizimini yapabiliriz. Yanda gö rdüğümüz resim, matematikçinin hayalindeki dört-boyutlu küpün iki boyutlu kağıda yansımasıdır.

Soyut matematikçiler için çok boyutlu bir uzay sıradan bir şeydir. Platonik bir fikirler dünyasında belki var olsa bile gerçek dünyada var olduğu iddia ed ilmez. Örneğin grupların sınıflandırmasına dair büyük soruda (bkz. sf. 155), bir matematik uzayındaki simetriyi ö lçmeyi sağl ayan "canavar grup" tam 196.883 boyutludur. Bu uzayı sıradan üç-boyutlu uzay gibi gözümüzde canlandıramayız ama modem cebirde üzerinde işlem yapabiliriz.

dört-boyutlu küp

Fizikçilerin boyut analizinden kasıtları matematikçilerinkinden çok daha ana birimler kütle (M), uzunluk (L) ve zamandır (T). Fizikçilerin bir denklemin hatalı olup o lmadığını anlamak için yaptıkları testlerden biri, denklemin iki tarafındaki boyutların aynı olup olmadığına bakmaktır. farklıdır. Kullandıkları

Sözgelimi kuvvet - hız diye bir denklem olamaz. Çünkü boyut analizi yaparsak hız demek bir saniyede kaç metre gidildiği, yani uzaklık bölü zaman demektir

Boyutlar 1 ( /T). Bunu LT-ı şeklimle de yazabiliriz. Kuvvet ise kütle çarpı ivmedir. ivme , bir saniyede kaç metre bölü saniye hızlandığımızı gösterir ("\.-Sis - mh2). Özetle kuvvetin boyutu M LT - 2 olur. Boyut kuramı gene l topolojini n bi r parçasıdır . Di ğe r boyut kav ra mları soyut ma tematik uzay larıyl a bağımsız olarak ta nıml anabilir. T e mel iş le rden biri bunl arın a ra larındaki ilişkileri göste rmektir. H e mi Lebesgue, L.E.J. Brouwe r, Kari Menger, Paul U rysohn ve Leopold Y ietoris ( 2002'de 11 0 yaşında öldüğü sırada A vusturya'nın en yaşlı k i şisi ydi ) gib i pek çok farklı matematik alanında n öncü isimler boyutun anlamını ortaya

Topoloji

Koordine insanlar İnsanların

da üçten çok daha fazla boyutu boy, ağırlık, cinsiyet, ayakkabı numarası vs. için (a, b, c, d, e, f, g, h) gibi bir koordinat sistemi oluşturabiliriz. Geometrik noktaların yerine insanları koyabiliriz. Eğer böyle sekiz-boyutlu bir "uzay" kullanacak olursak herhangi birinin koordinatları örneğin (43 yaşında, 165 cm, 83 kg, erkek, 42 numara, mavi, sarışın, Danimarkalı) olabilir.

vardır. Örneğin yaş,

ç ıkarmaya çalışmıştır .

Bu konudaki kilit kitapla rdan biri Boyut Kuramı [Dimension Theory] adın ı taşı yordu. W itold Hurewicz ve Hen ry Wallman'ın 1948'de basılan bu ki tnbı , hoyut anlayışımız üzerin e bir dönüm noktası kabul edilir. şekliyle boyut Boyut kavramı , A ntik Yunanları n dile getırd i~i üç boyuttan başlayara k sürekli incelendi ve geliştirildi . Bi r yandan fizikçi ler dört-boyutlu uzay-zaman ve 10, 11 , hatta 26 boyutlu sic im kuramı (bkz. ~(. 97) üzerine kuramlar geliştirirken bir yandan matematikçile r n-boyuıl u ırnncmn t ik uzayları oluşturdular. Birkaç farklı ölçüyle çalışılan kesirli boyutlu fr:ıkrn l şekiller üzerine denemelerde bulun uldu (bkz. sf. 100). Hilbcrt, soyut matematikçiler için artık temel çerçeve görevi gören sonsuz-boyutlu bir matemat ik uzayı fi krin i ortaya attı. Artık boyutun Ö klid geometrisindeki gibi üç bileşenden ibaret olmad ığ ın ı çok iyi biliyoruz.

Her

>>fikrin özü

Üçüncü boyutun ötesinde

1

1 25 Fraktallar 198oyılmm Mart ayında, NewYork, Yorktown Heights'taki IBM araştırma merkezinin son teknolojiyle donatılmış ana bilgisayarı, komutlarını antik bir Tektronix yazıcıya gönderiyordu. Beyaz sayfa ü zerine yüksek görev bilinciyle kara noktalan tek tek yerleştiren yazıcı işini bitirdiğinde kağıdın üzerinde bulutumsu bir şekil belirmişti. Benoit Mandelbrot gördüklerine inanamayarak gözlerini ovuşturdu. Yavaşça beliren şekil fotoğraf banyosundan çıkan siyah-beyaz bir resmi andırıyordu. Bu insanoğlunun bir fraktalı ilk görüşüydü, bir başka deyişle Mandelbrot kümesini.

Bu, deneysel matematiğin nefis bir örneğiydi. Arttk matematikçilerin c.le tıpkı fizikçiler ve k imyagerler gibi laboratuvar tezgahları vardı. Onlar da artık deney yapabilirdi. Önlerinde yeni görsel imkanlar doğmuştu. Bu belki mantıksal argümanların sıkıntılarından tam bir kaçış değildi, ama "tanım, teorem, ispat" döngüsünün kuru ikliminde bir kaçamak gibiydi. Bu deneysel yaklaşımın kötü tarafı, görsel şekillerin kuramsal temelden önce ortaya çıkmış olmasıyd ı. Deneyciler ellerinde bir harita olmadan ilerl iyordu. Mandclbrot bunlara "frakta!" adını vermişti ama tam olarak neydi bunlar? Klasik matematiğe göre bir tanımları yapılabilir miydi? Başlarda Manc.lelbrot bunu yapmak istemedi. Yetersiz ve kısıtlayıcı keskin bir tan ımla bu deneyimin büyüsünü bozmak istemiyordu. Frakta! kavramının "iyi bir şarap gibi - şişelenmeden önce biraz bekletilmesi gerektiği" düşüncesindeydi. Mandelbrot ve çalışma arkac.laşları için "ne yapmatematikçilerdi" demek doğru olmaz. En basit formüllerle oynuyor, denemeler yapıyorlardı. Tüm fikir tekrar üzerine kuruluydu: Aynı formülü tekrar tekrar uygulamak üzerine. Örneğin Mandelbrot kümesini oluşturan formül x2 + c idi.

Mandelbrot kümesi tıkları anlaşılmayan

Cayley modern fraktalların öncü şekilleriyle çalışmalar yapar.

-

- ------,

' ATATUfıK iL HALKKUiUPHANESİ

von Koch kendi kar tanesi el:ırisini yaratır.

Fraktallar ilk yapmamız gereken c için bir değer belirlemektir. Diyelim ki c - 0,5 olsun.

x = O'dan başlayarak bu sayıyı il+ 0,5 formülünde yerine koyuyoruz. ilk seferde 0,5 elde ederiz. x yerine bu yeni bulduğumuz 0,5 sayısını yazınca ikinci değere ulaşırız: (0,5) 2 + 0,5 = 0,75. Üçüncü seferde ise (0,75)2 + 0,5 = 1,0625 olur. Tüm bu hesaplar bir hesap makinesiyle de kolayca yapılabilir. Devam edersek sonucun gittikçe büyümekte olduğunu görürüz. Şimdi başka bir c değeri deneyelim, örneğin c = -0,5 olsun. Önceki gibi x - O'dan başlıyoruz. 02 - 0,5 - -0,5. Bir sonraki seferde 0,25 buluruz. Bu sefer sayılar büyümüyor, birkaç salınımdan sonra -0,3660 ... gibi bir değere yaklaşıyor.

Demek ki c = 0,5 olursa dizi sonsuza doğru büyürken c • -0,5 için dizi yaklaşık olarak -0,3660'a yakınsıyor. işte Mandelbrot kümesi, x - O'dan başladığımızda diziyi sonsuza ıraksatmayan tüm c değerleridir. I likaye burada bitmiyor, çünkü şu ana kadar yalnızca tek-boyutlu reel sayılara baktık. Tek boyutlu bir Mandelbrot kümcsindcysc görülecek fazla bir şey yoktu. Yapmamız gereken, z ve c karmaşık sayı (bkı. sf. 32) olmak üzere aynı formülü z2 + c biçimiyle ele almak. Böylece iki-boyutlu bir Mandelbrot kümesi elde edebiliriz. z'lcrin oluşturduğu diziler, Mandelbrot kümesindeki c değerine bağlı olarak, sonsuza gitmeden belirli noktalar arasında dans etmek de dahil her türlü garip hareketi sergiler. Mamlelbrot kümelerinde fraktalların bir başka öze ll iğini daha görürüz ki o da öz-benıerliktir. Eğer kümenin herhangi bir yerine yakından bakarsak ne kadar yakla~tığımızı anlayamayız, çünkü hep aynı şekli görürüz. Mandelbrot kümesi

1918

1919

1975

Hausdorff kesirli boyut kavramını ortaya atar.

Julia ve Fatou karmaşık düzlemde frakta! yapıları inceler.

Mandelbrot frakta! tcrımini bulur.

1

1Fraktaııar Mandelbrot'tan önce Matematikteki pek çok şey gibi keşifler de as1ında nadiren yepyeni olur. Mandelbrot geçmişe baktığında Henri Poincar~ ve Arthur Cayley gibi matematikçilerin kendisinden 100 yıl önce aynı fikrin yakınlarından geçmiş olduğunu fark etti. Ne yazık ki onların elinde meseleyi daha derinden araştırmak için bilgisayarları yoktu.

_/\_ t Koch kar tanesinin oluşumu

Birinci kuşak frak tal kuramcılarının keşfettiği şekiller, daha önceden eğrile rin patolojik örnekleri olarak görmezden gelinen kıvrımlı ve "dev eğriler"di. Bu denli ucube olmala rından dolayı matematikçilerin dolabına kilitlenmiş ve kimsenin pek umurunda olmamışlardı. O zamanlar diferansiyel kalkülüsle çözülebilen normal "düzgün" eğriler aranıyordu. Fraktalların popüler hale gelmesinden sonra, !. Dünya Savaşı 'nı takip eden yıllarda karmaşık düzlemdeki fraktal benzeri yapılar üzerine çalışan Gaston Julia ve Pierre Fawu gibi matematikçilerin çalışmaları da tekrar hayat buldu. Onların eğri l er ine frakta! denmiyordu elbette; ayrıca şekillerini görebilecekleri teknolojik imkanlar da henüz yoktu. Diğer ünlü fraktallar Ünlü Koch eğrisi, adını İsveçli matematikçi Niels Fabian I-lelge von Koch'tan alır. Kar tanesi eğrisi için ilk fraktal eğridir diyebiliriz. Bir eşkenar üçgenin bir kenarını üç eşit parçaya ayırdıktan sonra orta parçasın ı çıkarıp yerine eşit uzunlukta iki parça koyar ve bu işlemi sürekli tekrarlarsak bu şekli elde ederiz.

Koch eğrisinin ilginç bir özelliği alanının sonlu o lmasıdır, çünkü bir daire içine sığdırmak mümkündür. Bununla birlikte her adımda uzunluğu biraz daha artar. Yani alanı sonlu ama çevresi sonsuzdur! Bir başka ünlü fraktal ise Polonya l ı matematikçi Waclaw Sierpinski'nin adını taşır. Eşkenar üçgenin içinden küçük üçgenler çıkartılarak elde edilir. Bu işlemi tekrarlamaya devam edersek Sietpinski üçgenini elde ederiz (oluşturulması için bkz. sf. 54). Koch kar tanesi

Sierpinski üçgeni

Fraktauar Frak.tal boyut Felix

Hausdorff, boyudara farklı bir bakış açısı gecirdi.

Aklına gelen fikir, ölçekleri esas almaktı. Eğer bir çizginin ölçeğini üç kat bü-

yütürsek boyu üç kat uzamış olur. 3 - 3 1 olduğundan çizginin boyutu birdir. Eğer bir karenin ölçeğini üç kat büyütürsek alanı 9, bir başka deyişle 3 2 kat artmış olur, dolayısıyla boyutu ikidir. Eğer bir küpün ölçeğini üç kat büyütürsek hacmi 2 7 - Jl kat artmış olur, dolayısıyla boyutu üçtür. Hausdorff'un boyut anlayışının buraya kadar olan kısmı klasik boyut anlayışımıza birebir uyuyor. Koch eğrisinde aynı hesabı yaptığımızda, ölçeği üç kat büyütünce kendisi 4 kat büyüyor. Hausdorff boyutuna D dersek 4 - 3° olması lazım. Bunu şöyle de yazabiliriz:

D _ log4 log3 Hesapladığımızda yaklaşık D - l,262 çıkar. Hausdorff boyutunun geleneksel boyuttan daha yüksek olması fraktallarda sık rastlanan bir durumdur. Koch eğrisinin geleneksel boyutu birdir.

Hausdorff boyutu, zamanla fraktalların cemel özelliklerinden biri haline geldi. Mandelbrot'un "D'nin tam sayı olmadığı noktalar kümesi" şeklindeki frakta! tanımında da anahtar role sahip oldu.

Frak.tal uygulamaları

Fraktalların potansiyel uygulama alanları geBitki büyümesi veya bulut oluşumu gibi doğal olayların matematiksel modellenmesinde kullanılabilirler.

niştir.

Fraktallar, mercan ve sünger gibi deniz organizmalarının büyümelerinin incelenmesinde kullanılmıştır. Modem şehirlerin yayılışının frakta! büyümeye benzediği gösterilmiştir. Tıpta beyin erkin l iğinin modellenmesinde faydalanılmıştır. Ayrıca gayrimenkul piyasalarındaki hareketlerin fraktal doğası da araştırılmıştır. Mandelbrot'un çalışmasının açtığı bu yeni kapının ardında k~ fedilmeyi bekleyen daha nice şey bulunuyor.

>> fikrin özü

Kesirli boyutlar, kesirli şekiller

1

1

26 Kaos Kaosun bir kuramı nasıl mümkün olabilir? Kaos zaten kuramların geçerli olmadığı yerde olan şey değil midir? Hikaye 1812'de başlıyor. Napoleon Moskova'ya doğru ilerlediği sırada yurttaşı Marki Pierre-Simon de Laplace belirlenimci (deterministik) evren üzerine bir makale yayın ladı: Eğer belirli bir anda evrendeki tüm cisimlerin konumlan, hızlan ve Üzerlerine etki eden kuvvetler bilinebilirse bu niceliklerin ileriki bir zamandaki değerleri de hesaplanabilirdi. Evren ve içindeki her şey tamamen belirlenebilir hale gelirdi. Fakat kaos kuramı bize dünyanın böyle bir hesap için aşın karmaşık olduğunu söyler. Gerçek dünyada her şeyin konumunu, hızın ı ve Üzerlerine etkiyen kuvvetleri ıam olarak asla bilemeyiz. Ama insan l arın Laplace'ın inanc ından çıkardığı doğal bir sonuç, hu değerleri yaklaşık olarak bilmemizin yeterli olacağı, sonuçta ufak farklılıkların büyük oynamalara yol açmayacağı yönündeydi. Bu kulağa manttk l ı geliyordu. Örneğin bir koşucu koşuya bir saniye geç başlasa, yaklaşık hir saniye geç bitirirdi. Genel kabul, başlangıç koşullarındaki ufak farkların sonuçlarda ufak oynamalar yapacağı ydı. Kaos kuramı bu fikri yerle bir etti. Kelebek etkisi, başlangıç koşullarındaki ufak değişik liklerin sonuç üzerinde ne kadar büyük farklılıklar yaratabileceğini gösterir. Avnıpa'da havanın güzel geçmesi beklenirken, Güney Amerika'daki hir kelebeğin kanat ç ı rpması, Avrupa'da bir fırtına kopmasına neden olabilir. Çünkü kanatların çırpılması hava basıncını çok az da olsa değiştirir, bu da hava durumunun tamamen değişmesine neden olabilir.

Kelebek etkisi

Bunu basit bir mekanik deneyle gösterebiliriz. Eğer bir bilyeyi iğneli bir panonun üstünden bırakırsanız iğnelere çarpttkça sağa veya sola gidip kendi rotasını çizerek aşağı iner. Ardı ndan bir başka topa aynı rotayı çizdirmek için aynı yerden

Laplace belirlenimci dünya üzerine denemesini yayınlar.

Poincare 3-cisimli soru üzerine çalışırken kaosla karşılaşır. Bu çalışması için lsviçre Kralı Oscar'dan ödül alır.

Kaos aynı hızla bırakın. Eğer bunu başarabilsey
• • •/ • \ •~ .

.,.. . ı\ . . '"'• .

ay nısını yapardı.

•

•••

ıl •

.. . . .. .. . ·~ · . ··~· ..

Ama ikinci topu tam aynı yerden ram aynı hızla bırakamazsı nız. Gerçekte, ö lçmenin bile mümkün olmayacağı katlar küçük farklar olacaktır. Sonuç o larak ikinci bilye çok farklı bir roın izleyerek farklı bir del iğe düşebilir.

ıC

~·

• ••••••••• t-

Basit bir sarkaç

Serbest sarkaç, incelenmesi en basit mekan ik sistemlerden biridir. Sarkaç öne ve arkaya sa lınJıkçn yavaş yavaş enerjisini kaybeder. Orta dikmeden açıklığı ve açısal hızı azalarak s ıfır olur.

IQneli pano deneyi

Ucundaki topun hareketi bir faz grafiğiyle gösterilebilir. Yatay ekmı
Serbest sarkaç

I

'

I

c'

ö

Hız

1

"'-tB 1

...... o 1

Yer de!jiştirme

c o

1

Basit sarkacın faz grafi!)i

1961

1971

2004

Lorenz kelebek etkisini gözlemler.

Robert May nüfus modelinde kaosu inceler.

Kaos kuram ı Kelebek Etkisi filmiyle popülerlik kazanır.

A

ı

.. sallanır,

Jüner ve ani hareketler yapar. AJeta rasgele hareket eJiyor gibidir. bir kuvvet uygula nmıyorsa yine bir süre sonra duracaktır; ama hareketini açıklayan eğri, tekli sarkacın düzgün spiralinden çok daha farklıdır. Dışarıdan

Kaosun özelliği, belirlenimci bir sistemin rassal davranışa yol açıyor gibi görünmesidir. Bir başka örnek olarak tekrarlayana x p x (1-p) formülüne bakalım. Burada p, belirli bir kesimin toplam nüfustaki oranını belirtir ve O ile 1 arns ı bir değer alır. p'nin O ile l arasında kalmasını sağlamak için a'ya O ile 4 arasında bir değer verme! iyiz.

Kaotik hareket

Çifte sarkac ı n devinimi

a- 2 için nüfusu modelleyelim. Basit bir hesap makinesiyle bile bu iş lemleri yapabiliriz. Sözgelimi t=O anınd a p=0,3 olsun. t= l 'deki durumu bulmak için formü lde P=0,3 koyarsak a x p x ( 1-p) formülü bize 0,42 verir. Şimdi p=0.42 koyarak tekrar hesaplarsak 0,4872 buluruz. Bir süre sonra p-0,5 değerinde sabitlenir. a, 3'ten küçük olduğunda p değerinde her zaman böyle bir sabitlenme olur. p

Eğer

izin verilen üst

1,0

0,5

0,30

0.29 zaman

o

2

a = 3,9 için nüfusun zamana bağ lı değişimi

3

4

5

6

8

9

10 11

sınıra yakın

bir ve yine p=O,J'ten başlarsak nüfus sabitleneceğine sert salınımlar yapmaya başlar. Bunun nedeni a'nın kaotik bölgede, yani 3,57'den büyük olmasıd ır. Dahası , biraz farklı bir başlangıç nüfusu, örneğ in p-0,3 değil de 0,29 alırsak nüfusun değişimi ilk birkaç ad ımda benzer değişimler gösterd ikten sonra tamamen farklı davranmaya başlar. 1961 'de Edward Lorenz'in gözlemlediği hareket de budur (sağ sayfadaki kutuya bakınız). değer, örneğ in

a=3,9

a l ır

12 13 14

Hava durumunu tahmin etmek En güçlü bilgisayarlarla bi le hava durumunu en fazla birkaç gün sonrasına kadar öngörebiliriz. Bundan daha uzak tahmin denemelerimiz nahoş sürprizler doğurabilir. Bu durum havayla ilgili denklem lerin doğrusal olmamasından kaynaklanır - sonuçlar yal n ızca değiş kenlere değil, onların birbiriyle çarpı mına da bağlıd ır.

Kaos Hava durumu tah mininin altında yatan matemacik kuramı 1821 'de Fransız mühendis C laude Navier ve İngiliz matematiksel fizikçi George Gabriel Stokes tarafından bağımsız olarak geliştirildi. Ortaya çıkan Navier-Srokes denklemleri bilim insanları için büyük bir araştırma konusu oldu. ABD Massachusetts'teki Clay Matematik Enstitüsü bu denklemler in sırlarını çözebilecek bir matematiksel kurama giden yolda sağ lanacak önemli bir gelişme için bir milyon dolar ödü l koydu. Sı vı ların ak ışı problemine uygulandığında, atmosferin üst tabakaların daki düzenli h areketler hakkında pek çok şey biliyoruz. Fakat gerek yeryüzün e yakın yerlerdeki hava akı m ın ın yarattığı tü rbülans, gerek bu türbülanstan doğan kaos ve gerekse sonuçta ortaya çıkan hareketlerle ilgili çok az şey biliyoruz. Doğrusal den klem sistemlerini

iyi bilmemize Navier-Stokes denklemleri doğru sal o lmayan terimler içerdiğinden takibini yapamıyoruz. Pratikte bunun tek yöntem i güçlü b ilgisayarlar kullan arak sayısal çözümler aramaktır. rağmen,

Meteorolojiden matematiğe Kelebek etkisi 1961 'de bir tesadüf eseri keş fedildi. MIT'den Meteorolog Edward Lorenz kahve almak için bilgisayarını çizim yapar halde bırakıp geri geldiğinde beklemediği bir şey fark etti. Önceden elde ettiği bir sonucu bulmayı umarken daha önce hiç görmediği bir çizimle karşılaştı . Ortada garip bir durum vardı, çünkü bilgisayara aynı verileri girince ayn ı sonucun çıkması gerekirdi. Belki artık külüstür bilgisayarını değiştirmesinin vakti gelmişti. Üzerinde kafa yorduktan sonra girdiği verilerin fark etti. Kağıda kaydetmiş olduğu eski verileri elle girerken virgülden sonra üç basamağa kadar girmişti. Halbuki bilgisayar ekranda virgülden sonra üç basamağa kadar gösteriyor, hafızasındaysa a ltı basamağa kadar tutuyordu. Bu ufacık farkın çok farklı sonuçlar doğurmasını açıklamak için "kelebek etkisi" terimini kullandı . Ve bu keşfinin ard ı ndan entelektüel merakını matematiğe yönlendirdi. aynı olmadığını

Dinamik sistem lerin faz diyagram larında beli rli durumlarda "çekildikleri" alanlar vardır. Örneğin basit sarkaçta bu nokta orijin dir. Çifte sarkaçta işler daha karmaşık olsa da faz diyagramında bazı düzenler ve grafiğin çekildiği belirli noktalar görülür. Bu gibi sistemlerde noktalar kümesi bir frakta! (bkz. sf. 100) oluşturabil ir. "Garip çeker" adı verilen bu noktalar kümesin in belirgin bir matemat iksel yapısı vardır. Dolayısıyla tümüyle kaybolmuş say ıl mayız. Yeni kaos kuramında "kaotik" kaostan "düzenli" kaosa geçişler mümkün.

Garip çekerler

>> fikrin özü

Düzenin çılgınhğı

I

1 27 Paralellik Postülatı

Bu dramatik hikaye basit bir geometrik senaryoyla başlar. Bir d doğrusu ve bu doğrunun üzerinde olmayan bir P noktası alalım. P'den geçen, d'ye paralel kaç tane doğru çizebiliriz? P'den geçip de d'yi hiç kesmeyecek şekilde yalnızca bir tane doğru çizebilecep ğimiz aşikar. Sezgilerimiz bize böyle olması • gerektiğini söylüyor. İskenderiyeli Öklid de geometrinin temeli sayılan Elemanlar adlı - -- - - - - - - d kitabında bunu bir postülat olarak belirtti. Ne var ki sezgilerimiz bazen güvenilir bir yol gösterici o lmaktan uzaktır. Öklid'in v arsayımının matematiksel olarak ne derece an lamlı olduğunu birazdan göreceğiz.

Öklid'in Elemanlar'ı

Ö klid geometrisi, yaklaşık Mô 300'de yazılmış 13 kitap l ı k Elemanlar ad l ı eserde ortaya konmuştur. Bugüne kadar yaz ı l m ış tüm matematik eserleri içinde en derin iz bırakanlardan biridir. Yunan matemat ik çiler bu kitabı geometrinin ilk sistemat ik kodlanması o larak görürlerdi. Sonraki bilginler eseri çalı ştı ve başka dillere çevirdi. Kuşaktan kuşağa geçen eser, geometrinin nasıl olması gerektiğine dair evrensel bir model kabul edildi. G eometrinin "kutsal kitabı "nın bazı bölümleri sa
Öklid Elemanlar'da paralellik postü latına yer verir.

Lobachevsky ve Bolyai hiperbolik geometri üzerine çalı şmalarını yayınlar.

ParaleUik

Postülatı 1

Elemanlar' ı bu kadar di kkate değer kılan şey tarzıdır; başarısı geometriyi ispatlanmış ön er-

meler dizisi olarak sunmasından gelir. Sherlock H olmes olsa, n et bir şekilde ifade edilmiş birkaç postülanan man tıksal yollarla ilerleyen bu çıkarımsal sisteme h ayran kalır, be lki de Dr. Watson 'ı bu "soğuk ve d uygusuz sistem"in güzelliğini göremediği için paylardı. Öklid' in geometri mabedi postülatla nn, diğer adıyla aksi yomların üzerine inşa ed ilmiş olsa da (kutuya bakınız) bu yete rli değildi. Ö klid ayrıca "tanım lar" ve "gene l kavram lar" eklemişti . Bunların arasında "nokra hiç parçası o lmayan şeydir" ve "çizgi ensiz uzun luktur" gibi tanımlar vardı. Genel kavramla rda ise "bütün, parçadan daha büyüktür" ve "aynı şeye eşit olan şeyler birbirle rine de eşittir" gibi ifadeler yer al ıyordu. Öklid'in, yazılı o larak belirtmediği bazı varsayım larda bulunduğu ancak 19. yüzyılın sonunda fark edikli.

Öklid'in postülatlan özelliklerinden biri az sayıda varyola ç ıkarak çok derin kuramla ra ulaşı labi lmesidir. Öklid' in postülatları bunun harika bir örneğidir. Daha sonraki aksiyomatik sis te mlere de bir örnek oluştu r muştur. Öklid'i n beş postüla tı şunlardı: Matem ati ğin

sa y ı mdan

başka bir noktaya bir doğru çizilebilir. Sonlu bir doğru sonsuza dek uzatılabilir. Herhangi bir nokta merkez seçilerek isten ile n yarıçapta daire çizilebilir. Tüm dik açılar birbirine eşittir. Eğer bir doğru başka iki doğruyu kestiğinde aynı tarafta oluşan iki açının toplamı iki dik açıd a n azsa, bu iki doğru sonsuza dek uzatıld ığında açıların iki dik açı nın topl a m ı ndan küçük olduğu tarafta kesişi r ler.

1. Herhangi bir noktadan

2. 3. 4.

5.

Beşinci postülat Elemenlar'da yer alan 5. postülat, eserin ilk ortaya çıkı şından 2000 yıldan uzun zaman sonra tartışmalara neden o ldu. S ırf ifade ediliş tarzı ve eğreti d u ruşuyla bile yersiz olduğunun işaretlerini verir gibiydi. Zaten Öklid de bu durumdan memnun deği ldi , fakat bazı önermeleri ispatlayabilmek için onu dahil etmek zorunda ka lm ıştı. Bun ları diğe r postüla tlardan ispatlamaya çalışmışsa da başaramamıştı. Sonraki matematikçiler bunu ispatlamaya ya da daha basit bir postüla tla değiştirmeye çalıştı. l 795'te John Playfair'in farklı ifade ediş şekli popülerlik kazandı: bir d doğrusu ve doğrunun üzerinde olmayan bir P noktası için P'den geçen Ôklid'in beşinci posıu ı atı

.

1854

1872

1915

Riemann geometrinin temelleri

Klein grup kuramını kullanarak geometriyi bir leşti rir.

Einstein genel görel i lık kuramını Riemann geometrisi uterlno kurur

üzerine dersler verir.

1 Parılelllk Postületı ve d'ye paralel olan ıek bir doğru vardtr. Aynı dönemde Adrien Marie Legendre açıları toplamı l80 derece olan üçgenin varlığma dayanan bir başka denk ifade daha buldu. Beşinci postülatm bu yeni biçimleri yapaylık itirazlarınm bir derece önüne geçti. Her ikisi de Öklid'in hantal ifadesine tercih edilebilirdi. Bir diğer plan beşinci postülatı ispatlamaya çalışmaktı. Bunun en cazibeli yol olduğuna şüphe yoktu. Eğer bir ispat bulunabilirse postülat teorem haline gelir ve tamşmaya yer kalmazdı. Ne yaıtk ki bu türden ispat denemeleri dönüp başa gelmekten kaçamıyor, ispat etmeye çalıştıkları şeyi varsaymak zorunda kalıyorlardı.

Öklid-dışı geometri Dönüm noktası Cari Friedrich Gauss, Janos Bolyai ve Nikolai lvanovich Lobachevsky'nin çalışmalarıyla geldi. Gauss çalışmalarını yayınlamadıysa da sonuçlara 1817'de vardığı açıkça gözüküyor. Bolyai 1831 'de,

Lobachevsky ise bağımsız olarak L829'da çalışmalarını yaymlayınca aralarmda bir öncelik tartışmas ı baş gösterdi. Bu kişilerin ne kadar büyük matematikçiler olduklarma şüphe yoktur. Her biri beşinci postülatın diğer dördünden bağımsız olduğunu gösterdi. Beşinci postülatı değiştirerek başka tutarlı sistemlerin oluş turulabileceğini gösterdiler. Bolyai ve Lobachevsky, P'den geçen ve d'yi kesmeyen birden fazla doğru olduğunu kabul ederek yeni bir geometri inşa etti. Peki ama bu nasıl olabilir? Şekildeki noktalı çizgiler d doğrusunu mutlaka keser. Bunu kabul edersek ister istemez Öklid'in bakış açısına geri döneriz. Dolayısıyla bu şekil bizi aslında aldatmaktadır. Bolyai ve p Lobachevsky'nin önerdikleri ise Öklid'in sezgilere hitap eden yaklaşımına uymayan yeni bir tür geometriydi. ... ~ Aslma bakarsanız onların Öklid-dışı geometrileri çakma-küre (pseudosphere) diyebileceğimiz eğimli bir yüzey - - - - - - - - - - - - - - - - - d üzerinde geçerlidir.

...

--

--

....

Bir çakına-kürenin üzerindeki noktalar arasmdaki en kısa yollar, Öklid geometrisindeki doğrulara karşılık gelir. Bu Öklid-dışı geometrinin ilginç özelliklerinden biri, bir üçgenin iç açı larınm toplamının 180 dereceden küçük olmasıdır. Bu geometriye hiperbolik geometri adı verilir. Beşinci postülatın bir alternatifi ise P'den geçen her doğrunun d'yi kestiğini kabul etmektir. Bir başka deyişle d'ye paralel olan hiçbir doğru yoktur. Bu geometri Bolyai ve Lobachevsky'ninkinden farklı olsa da onlar kadar sahici bir geometridir. Bu geomerrinin geçerli olduğu yerlerden biri kürenin yüzeyidir.

Paralellik Postülab Burada büyük daireler (çevre uzunluğu kürenin çevresine eşit olan daireler) Öklid geometrisindeki doğrulara karşı lık gelir. Bu Öklid-dışı geometride bir üçgenin iç açılarının toplamı 180 dereceden büyüktür. Buna eliptik geometri denir ve 1850'lcrde inceleyen Alman matematikçi Bemhard Riemann'ın adıyla anıl ır.

Tek gerçek geometri olduğu düşünülen Öklid geometrisi -Immanuel Kant'a göre "insanoğluna kazınmış olan geometri"- tahtından indirilmişti. Artık Öklid geometrisi hiperbolik ve e liptik geometri sistemleri arasındaki pek çok sistemden bir tanesiydi. Farklı versiyon lar 1872'de Felix Klein tarafından tek bir şemsiye altında toplandı. Öklid-dışı geometrilerin geliştirilmesi matematikte çığır açmış, ayrıca Einstein'ın genel görel ilik kuramında (bkz. sf. 192) kullandığı geometriye de önayak ol muştur. Genel görelilik kuramı yeni bir tür geometri -bükük uzay-zaman geometrisi, yani Riemann geometrisi talep ediyordu. Artık cisimlerin niye yere düştüğü Newton'un c isimler arası kütleçekimiyle değil, bu Ökl id-dışı geometriyle açıklanıyordu. Dünya veya Güneş gibi dev kütleli cisimlerin uzaydaki varlıkla rı uzay-zamanın bükülmesine neden olur. Elastik bir örtünün üzerindeki bir bilye küçük bir girinti yaparken örneğin bir bovling topu örtüyü içe doğru ciddi biçimde büker. Riemann geometrisi tarafından ölçülebilen bu eğim, ışık ışınlarının uzaydaki dev kütleli cisimler tarafından nasıl bükülebildiğini de açıklar. Zamanı bağımsız bir bileşen olarak değerlendiren sıradan Öklid uzayı, genel göreliliği açıklamaya yetmez. Bunun bir nedeni Öklid uzayının düz ve eğimsiz olmasıdır. Bir masanın üzerine serilm iş bir kağıdı düşünün; kağıdın üzerindeki eğimin hep sıfır olduğunu söyleyebiliriz. Riemann uzay-zamanının altında yatan ise, buruşuk bir tül gibi eğimi bir noktadan ötekine sürekli değişen eğ im kavramıdır. Bunu düz olmayan bir aynaya bakmaya benzetebiliriz: Gördüğümüz şey aynanın neresine baktığımıza bağlıdır.

Gauss'un 1850'lerde genç Riemann'dan bu denli etkilenerek onun fikirlerinin uzayın "metafiziğinde" devrim yapacağını ileri sürmüş olmasına şaşmamak gerek.

>> fikrin özü

Peki, paralel doğrular ya

kesişirse?

1

1

1

28 Ayrı}{ Geometri Geometri en eski zanaatlardan biridir. Sözcük anlamı olarak yeryüzünün [geo] ölçümü [metri] anlamına gelir. Klasik geometride çizgiler ve şekiller vardır ki bunları noktaların yan yana birleşmesiyle oluşmuş gibi düşünebiliriz. Ayrık matematik sürekli ve reel sayılar yerine tam sayılarla ilgilenir. Ayrık geometri sonlu sayıda nokta ve çizgi, veya noktalar kafesi içerir. Ayrıklık sürekliliğin yerini almıştır. Kafes veya ızgara, genel anlamıyla koord inatlarının tamsayı olduğu bir noktalar kümesidir. Kodlama kuramı ve bilimsel deney tasarımları gibi farklı alanlarda uygulamaları olan bu geometri, ilginç soruları da beraberinde getirir.

• • c, I • : • B,• / • ,, / ,' .,. .. , ,

y

. .. . . . . . '. • ,,...· . . . •

A,-

/

I

,

'

~/ •

'

.',

o x-y eksenlerinin kafes noktaları

•

/

/

•

Bir fener kulesinden çıkan ışığı düşünel im. Başlangıç noktasından bir ışın kafeste ilerlerken acaba hangi noktada sonlan ır? Buradaki noktaları limana oldukça düzgün bir şekilde demirlemiş kayıklar olarak da düşünebiliriz.

çıkan

O rijinden geçen bir doğrunun denklemi y-mx şeklindedir. Buradaki m, doğrunun eğimin i gösterir. Eğer ışın y- 2x şeklindeyse koordinatları x = l , y- 2 olan noktayı vuracaktır, çünkü bu x ve y tamsayı değerleri denklemi sağlar. Eğer ışın x = a, y- h olan nokx tadan geçiyorsa bunu m'yi bulmak için de kullanabiliriz: m-%. Dolayısıyla eğer m bayağı kesir değilse (../2 olabilir örneğin ), bu durumda ışın tüm kafes noktaların ı ıskalayacak demektir. y - 2x ışını ( 1, 2) koord inatlı A noktasın ı vurduktan sonra artık A'nın arkasında kalan (2, 4) koordinatlı B noktasını veya daha da arkadaki noktaları vuramaz (örneğin C(3, 6) veya 0( 4, 8) noktalarını). Kendimizi orijinden bakarak görebildiği noktaları belirlemeye çalışan bi r gözlemci gibi düşünebiliriz.

Pascal henüz 16 yaşındayken teoremini keşfed er.

Brianchon Pascal teoreminin kardeşini keşfeder.

Ayrık Geometri 1 Görebildiğimiz noktalarda

x = a ve y - b sayılarının aralarında gösterebiliriz. Aralarında asal sayılar, örneğin 2 ve 3 gibi, l 'den başka ortak böleni olmayan sayı lardır. (2, 3) noktasının arkasındaki (4, 6) veya (6, 9) gibi nokcalar arkada kalır ve görünmez.

asal

y

olması gerektiğini

Pick teoremi

Avusturyalı matematikçi Georg Pick'i üne

kavuşturan iki olay vardır. Birincisi Albert Einstein'ın yakın arkadaşı olması ve genç bilim insanını 1911 'de Prag'daki A lman Üniversitesi'ne getirmesidir. Diğeri ise 1899'da "retiküler" geometri üzerine yazdığı kısa bir makaledir. Ömrü boyunca pek çok konu üzerine yaptığı çalışmaların ardından bugün hlllll hatırlanmasını bu küçük teoreme borçludur.

x Başl angıç noktasından

Pick teoremi, köşe koordinatları tamsayı olan çokkenarlı bir şekl in alanını hesaplamaya yarar. Alanı hesaplamak için ilk önce sınırdaki noktaları • ve içerideki noktaları O saymamız gerekiyor. Yandaki örneğimizde sınırdaki noktalar s - 22, içerideki noktalar i = 7 tane. Gerisini Pick teoremi hallediyor:

"görülebilen" O ve "görülemeyen" x noktaları.

alan=~+ i - l 2 Bizim örneğimizdeki alan 22/ı + 7 - 1 - l 7 olur. Bu kadar basit. Pick teoremi tamsayı koordinatlı ayrık noktaları birleştiren her şekil için geçerlidir; ancak kenar çizgilerinin birbirlerini kesmemeleri şartıyla.

Fano düzlemi

- 0-0-

Fano düzlem geometrisi Pick formülüyle

yaklaşık o larak aynı zamanda keşfedildi. Fakat bunun ölçüm yap-

makla pek bir ilişkisi yoktur. Sonlu geometriye öncülük eden İtalyan matematikçi Gino Fano'nun adıyla anılan Fano düzlemi, "yansıma" geometrisinin en basit örneğidir. Yalnızca 7 noktası ve 7 çizgisi vardır.

Bir çokgen

1846

1892

1899

Kırkman,

Fano, yansıma geometrilerının en basit örneği olan Fano düzlemini keşfeder.

Pick, çokgenlerın alanlarınıı ilişkin teoremini yayınlar.

Uçlü Steiner Sistemleri'nin keşfini tahmin eder.

1

Ayrık

Geometri

c Yedi noktayı A, B, C, D, E, F ve G ile işaretleyelim. Yedi çizgiden altısı kolayca görülüyor. Peki ama yedinci nerede? Bu geometrinin özellikleri ve şeklin oluşturuluş yöntemi, D, F ve G noktalarından geçen DFG çemberini de bir doğru olarak görmemizi gerektirir. Ayrık geometride doğruların illa düz olması gerekmed iğinden bu bir sorun yaratmaz. Bu küçük geometrinin pek çok özelliği vardır. Örneğin: A

F

B

Fano düzlemi

• her ıki nokta her ikisinden de geçen bir doğru belirler, • her iki doğru her ikisinin de üzerinde bulunan bir nokta belirler. Bu iki özellik bu tür geometrilerde rastlanan etkileyici ikiliği gösterir. iki özellik, birbirinin "nokta" ve "doğru" sözcükleri yer değiştirmiş halidir. ikil iğin olduğu durum larda, herhangi bir doğru ifadede iki sözcüğün yerini değiştirip gramer hatalarına karşı ufak değişiklikler yapınca bir başka doğru ifade

c

A Öklidyen hale getirilmiş bir Fano düzlemi

elde ederiz. izdüşümsel geometri çok simetrikken Öklid geometrisi o derece simetrik değildir. Öklid geometrisinde asla kesişmeyen paralel doğrular bulunur. Öklid geometrisinde paralellik doğal bir durumken izdüşümsel geometride bu durum geçerli deği ldir. izdüşümsel geometride tüm çizgiler bir noktada kesişir. Matematikçiler için bunun anlamı Ôklid geometrisinin bir bakıma daha düşük seviye bir geometri olduğudur. Fano düzleminden bir doğruyu ve ona ait noktaları çıkartırsak simetrik olmayan Öklid geometrisine ve paralel doğru lara geri döneriz. Bir Öklid diyagramı elde etmek adına DFG "dairesel" doğrusunu çıkaralım sözgelimi. Artık 6 doğrumuz var: AB, AC, AE, BC, BE ve CE. Ve "paralel" doğrularımız var; bunlar AB ve 8 CE, AC ve BE, BC ve AE. Buradaki anlamıyla, ortak noktası olmayan doğrular paraleldir. Fano düzlemi, çok sayıda fikir ve uygulamayla olan bağları yüzünden matematikte ikonik bir konuma sahiptir. Thomas Kirkman'ın kız öğrenciler probleminin (bkz. sf. 167) anahtarlarından biridir. Deney tasarlama kuramında Fano düılemi sürekli değişen yapıdaki bir Steiner Üçlü Sistemi (SÜS) olarak kendini gösterir. SÜS sınırlı n tane sayıda cisim veri ldiğinde herhangi ikisinin bir ve yalnızca bir blokta yer almasını sağlayan bir yöntemdir. A, B, C, D, E, F ve G gibi 7 cisim veri ldiğinde SÜS'tcki bloklar Fano düzlemindeki doğrulara denk gelir.

Ayrık Geometri 1 Bir çift teorem Pascal teoremi ve Brianchon teoremi sürekli ve ayrık geometri arasındaki sınırda yer alır. Farklı ama birbiriyle ilişkilidirler. Pascal teoremini Blaisc Pascal 1639'da, henüz 16 yaşındayken bulmuştur. Bir elipsin (bkz. sf. 89) üzerinde 6 tane nokta alıp bunları A,. B,, C , ve A 2, B2, C 2 olamk adlandıralım. A,B, ve A 2B1 doğrularının kesiştiği noktaya P; A 1C 2 ve A 2C 1 doğrularının kesiştiği noktaya Q; ve B1C 2 ve B2C 1 doğrularının kesiştiği noktaya R diyelim. Teorem P, Q ve R noktalarının aynı doğru üzerinde olduklarını belirtir. Pascal teoremi elips üzerindeki her altı nokta için geçerlidir. Dahası , elips yerine hiperbol, daire, parabol veya hatta bir çift doğru koyduğumuzda bile teorem yine geçerliliğini korur. Brianchon teoremi, Fransız matematikçi ve kimyager Charles-Julien Brianchon tarafından çok daha sonra keşfedilmiştir. Bir elipsin çevresine altı teğet çizip bunları a,. b,, c, ve az, b2, c 2 olarak adlandıralım . Doğruların kesiştiği yerleri birleştirerek p, q ver köşegenlerini tanımlayabiliriz. Burada p, a, ve b,'nin kesiştiği noktadan aı ve b,'in kesiştiği noktaya; q, a, ve c 2'nin kesiştiği noktadan a2 ve c1'in kesiştiği noklaya; r ise b, ve c2'nin kesiştiği noktadan b2 ve c1'in kesiştiği noktaya uzanır. Brianchon teoremi p, q ve r doğrularının bir noktada kesişe ceğini belirtir.

B, Pascal teoremi

Birbirinin eşi olan bu iki teorem, çiftler halinde olan izdüşümsel geometri teoremlerinin bir başka örneğidir.

c,

>> fikrin özü Noktaları birleştirin

Brianchon teoremi

29 Çizgeler Matematikte iki tür çizge vardır. Okulda xve y arasındaki ilişkiyi gösteren eğriler çizeriz. Daha yeni olan diğer türde ise noktalar kıvnmlı çizgilerle birbirine bağlanır. Doğu Prusya'daki Kön igsberg şehri, Pregel Nehri'nin üzerinden geçen yedi köprüsüyle ünlüdür. Meşhur filozoflm manucl Ka nt'ın yaşadığı şehir, aynı zamanda ünlü matematikçi Leonhard Euler ile de bağıntı l ı dır.

18. yüzyıl da şöyl e ilginç bir soru ortaya at ıld ı : Königsberg'deki her köprüden bir kez geçerek dolaşmak mümkün müydü! Mutlaka başladığımız yerde bitirmem iz gerekmiyordu , önemli o lan her köprüden yalnızca bir kez geçmekti. Euler çözümünü 1735'te Rus A kadem isi'ne sundu. Bu o lay modern ç izge ku ramının başl a ng ıcı kabul ed ili r. Bizim yan-soyut diyagra m ı mızd a nehr in ortasınd a ki ada 1 ile, nehrin kıyıla rı ise A , B ve C harfleriyle gösteri lmiş t ir. Her köprüden ya lnı zca bir kez geçen bir pazar gezisi p lanlayabi lir misin iz? Dilerseniz bir kurşun kalemle den eyebilirsiniz. Burad a anahta r, ya rı -soy utlukta n tam soyutluğa geçmektir. Bu şek ilde geriye yalnızca noktalar ve çizgiler kalı r. Toprak k ısımla r "nokta"larla, köprülerse "çizgi"lerle gösterilm iştir. Ç izgilerin
A

Euler başarılı bir yü rüyüşle ilgi li önemli bir gözlemde bulundu. Baş langı ç ve bi tiş bö lgeleri d ışındaki her gelinen

Euler, Königsberg köprüleri sorusunu çözer.

Cari Schorlemmer kim ya ile "ağaçlar" a rasında bağ kurar.

Çtzgaler hölgede, oradan

haşb

hir hölgeye gitmeyi sağlayacak ve daha önce üzerinden

geçilmemiş bir köprü olmalıdır. Bu düşünceyi soyut şekle uyarlarsak, başlangıç

ve

bitiş noktaları dışındaki noktaları birleşen

çizgilerin mutlaka çift sayıda ol-

ması gerekir. llk veya son durak olmayan bir bölgeye kaç kez giriyorsak o kadar çıkmamız

gerekir.

Tek hir noktada

birleşen

ç izgi sayısına o

noktanın

"derecesi" denir.

Euler teoremine göre:

l3ir şehirdeki köprü/erin her birinin üzerinden yalnızca bir kez geçilebilmesi için, en fazla iki noktanın derecesi ıek olmalıdır.

A

Königsberg'i temsil eden çizgeye baktığımı zda her noktanın derecesinin tek olduğunu görürüz. Bu da her köprüden bir kez geçen bir yürüyüşün imkansız olduğunu gösterir. Eğer köprülerin düzenini değiştirebilseydik böyle bir yürüyüş mümkün olabilirdi. Örneğin eğer I ile C arasında bir köprü daha inşa edilseydi hem 1, hem de C'nin dereceleri çift olurdu. Böylece A'dan başlayıp B'de bitecek biçimde her köprüden bir kez geçerek yürüyebilirdik. Bir de örneğin A ile B arasma bir köprü yapılsaydı (sağda), herhangi bir yerden başlayıp aynı yerde hilirebilirdik, çünkü her noktanın derecesi çift olurdu.

El sıkışma teoremi mi ? Deneyin isterseniz. Bu

B

Üç noktasının derecesi tek olan bir çizge çizilebilir çünkü:

imkansızdır,

Herhangi bir çizgede ıek dereceli noktaların sayısı çift olmak zorundadır.

1930

1935

1999

Kuratowski kendi düzlemsel çizgeler kuramını ispatlar.

George P61ya çizgeler için cebirsel sayma teknikleri geliştirir.

Eric Rains ve Neil Sloane a()oç sayma tekniklerini ilerletir.

1

çızgeler

El sıkışma teoremi denilen bu teorem çizge kuraınmın ilk teoremidir. Herhangi bir çizgede her çizgin in bir başlangıç, bir de bitiş noktası vardır. 13ir bemeaneyle el sıkışmak için iki kişi gerekir. Herhangi bir çizgedeki tüm noktaların derecelerini toplarsak N gibi bir çift sayı elde ederiz. Tek dereceli noktalar x, çift dereceli noktalar y kadar olsun. Tek dereceli noktaların derecelerinin toplamına Nx, çift dereceli nokta ların derecelerinin toplamı da Ny diyelim. Dolayısıyla Nx + Ny = N olur ki buradan Nx = N - Ny diyebiliriz. N ve Ny çift olduğundan Nx de çift olmak zorundadır. Ama o zaman x de tek olamaz, çünkü her biri tek dereceli x tane noktanın dereceleri toplamı çift ettiğine göre x çift olmak zorundadır.

Düzlemsel olmayan çizgeler Tesisat problemi eski bir bilmecedir. Üç eve elektrik, gaz ve su bağlamanız gerekiyor. Yalnız ufak bir sorun var: Bağlantıların birbirinin üzerinden geçmemesi gerekiyor. Bunu yapmak mümkün değildir; siz yine de saf arkadaşları nıza denettirehilirsiniz. Üç noktayı başka üç noktaya (toplam

dokuz çizgiyle) bağlayan bir çizge, düzlem üzerinde hiç keolmadan çizilemez. Buna düzlemsel olmayan çizge denir. Bu tesisat çizgesi, beş noktay ı b irleştiren tüm çizgilerin çizgesiyle birlikte, çizge kuramında özel bir yere sahiptir. 1930'da Polonyalı matematikçi Kazimierz Kuratowski, bir çizgenin ancak ve ancak bu ikisinden birini bir alt-çizge olarak barındırmaması durumunda düzlemsel olabileceğini söyleyen şaşırtıcı teoremi ispatladı. sişme

Ağaçlar Ağaç, tesisat çizgesi veya Königsberg çizgesinden çok daha farklı,

kendine özgü bir tür çizgedir. Königsberg köprüleri probleminde herhangi bir noktadan başlayıp belirli bir rota izleyerek geri dönmek mümkündü. Bu şekildc bir noktadan başlayıp geri dönen rotalara döngü dcnir. İşte ağaç, hiçbir dön'gü içermeyen çizgedir. Kök

ı

Çizgeler Ağaç çizgelerinin ranıdık örneklerinden hiri hilgisayarlardaki klasörlerin düzenlenme biçimidir. Bir kök klasörün altında alt klasörler yer alır. Hiç döngü içermediklerinden dolayı, bir daldan diğerine geçmek için kök klasöre geri dönmek gerekir - bilgisayar kullanıcıları için gayet tanıdık bir işlem.

Ağaçları saymak Belirli sayıda noktadan kaç farklı ağaç yapılabilir ? Ağaçları sayma sorusunun üstesinden gelen kişi 19. yüzyıl lngiliz matematikçisi Arthur Cayley olmuştur. Örneğin 5 noktası olan tam 3 farklı tür ağaç vard ır:

Cayley, 14'ten az noktası olan ağaçların kaç farklı türlü olabileceğini saymayı başarmıştı. Bundan sonrası elinin akında bilgisayar olmayan biri için fazla karmaşıktı. O günden bu yana 22 noktalı ağaçlara ka
>> fikrin özü

1 maktan öteye ağaçlann içine

11

30 Dört':'Renk Problemi

KüçükTiny Tim'e boş bir İngiltere haritası ve dört renk pastel boyayı kim vermiş olabilir?* Şu arada bir küçük hediyeler gönderen haritacı komşusu

olabilir mi acaba? Ya da şu yakınlarda oturan ve Tim'in babasıyla vakit öldürmeyi seven garip matematikçi Augustus De Morgan? En azından Bay Scrooge olmadığı kesin. Cratchit'ler, De Morgan'ın hocalık yaptığı yeni açılan University College'ın tam kuzeyinde kalan Camden kasabasındaki Bayham sokağında, bitişik nizam teraslı bir evde oturuyorlardı. Profesör yılbaşında telefon edip de Tim'e haritayı boyayıp boyamadığını sorunca hediyenin kaynağı da anlaşıldı. Bunun

nas ıl yapı l mas ı gerektiği

"hari tayı

konusunda De Morgan'ın net fikirleri vardı: öyle hir boyama lısın ki yan yana iki şehrin rengi aynı ol mamalı."

"Ama yeterince rengim yok ki," diye söylendi T im, üzerinde fazla düşünmeden. De Morgan gülümseyerek yanından ayrı l dı. Daha geçenlerde Frederick Guthrie adlı bir öğrencisi kendisine bunun la ilgili bir soru sormuş, İngiltere haritasını sadece dört renkle boyayabildiğinden bahsetmi~ti. Soru De Morgan'm matematiksel hayal gücünü harekete geçirmişti. Sadece dört renk kullanarak her haritayı tüm bölgeleri birbirinden ayırt edilebilecek şeki lde boyamak mümkün müdür? l laritacı lar amlardır buna inanıyor olabilir ama bunu matematiksel olarak da ispatlayabilir miyiz? İngiltere haritası ·Bumda sö, edilen Tiny Tim, Bay Scroogc ve Cmıchit'lcr. Charles Dickens'ın '"Bir Yıl~ı Öyküsü" adlı eserinden karakterlerdir. (ç.n.)

Öğrencisi Guthrie, De

Kempe'nin soruyu

Morgan'a soruyu yöneltir.

çözdüğüne inanılır.

Heawood, Kempe'nin ispatındaki hataları açığa çıkarır ve beş·renk teoremini ispatlar.

Dört-Renk Problemi

1

dışınd a

ABD, Fransa, hatta gelişigüzel bölgelere ve sınırlara sahip yapay haritalar bile bu biçimde boyanabilir mi?

Üç rengin yeterli olmayacağını kolayca görebiliriz. Amerika'nın bacı eyaletleri haritasına bakalım. Eğer yalnızca mavi, yeşil ve kırmızı boyamız olsaydı Nevada ve ldaho'dan başlayabilirdik. llk hangi rengi kullanacağımız fark etmediğinden Nevada'yı maviye, ldaho'yu yeşile boyayalım. Şimdilik her şey yolunda. Bu durumda Utah kırmızı olmak zorunda, ardından Arizona yeşil, Kaliforniya kırmızı, Oregon'sa yeşil. Ama hem Oregon hem Idaho yeşil olduğundan ayırt edilemiyorlar. Halbuki dört rengimiz, örneğin bir de sarımız o lsaydı, Oregon'u sarıya boyardık ve sorun çıkmazdı. Peki bu dört renk - mavi, yeşil, kırmızı ve sarı her harita için yeterli midir? Bu soruya dört-renk problemi denir.

Sorunun üne kavuşması

De Morgan'ın soruya eğilmesinden 20

ABD'nin batı eyaletleri·

yıl sonra, soru Avrupa ve Amerika'nın matematik camialarında bilinir oldu.

1860'larda Amerikalı matematikçi ve filozof Charles Sanders Peirce bir ara ümitleri boşa çıktı.

ispatı bulduğunu sandıysa da

Viktorya dönemi bilimcisi Francis Galton'un el atmasıyla sorunun şöhreti daha da arLtı. Soruyu daha geniş kitlelere tanıtmak amacıyla Cambridge'li seçkin matematikçi Arthur Cayley'i 1878'de konu üzerine bir makale yazmaya ikna etti. Maalesef Cayley de yeni lgiyi kabul etmek zorunda kalacaktı. Fakat bu arada yalnızca kübik (tam olarak üç bölgenin tek bir noktada buluştuğu) haritalara bakmanın yelerli olacağını gözlemledi. Bu gözlem sonrası öğrencisi Alfred Bray Kempe de bir ispat denemesin e girişti. Yalnızca bir yıl sonra Kempe bir ispat bulduğunu duyurdu. Cayley onu en içten şekilde Lebrik ettikten sonra ispatı yayınlandı ve Londra Kraliyet Cemiyeti'ne kabul edildi.

Sonra ne oldu? Kempe'nin ispatı uzundu ve teknik ustahk gerektiriyord u. Birkaç ki şi ikna olmamışsa da genel kabul gördü. On y ıl sonra Percy H eawood, Kempe'nin argümanında bir hatayı su yüzüne çıkaran bir harita örneğiyle ortaya çıkuğında büyük bir şaşkınlık yaşandı. Kendi ispaunı oluştura mamışsa da Heawood dört-renk problemin in hala ortada olduğunu göstermişti.

1976

1994

Appel ve Hakan genel sonucun bilgisayar destekli ispatını yapar.

ispat sadeleştirilir ama yine bilgisayar destekli olarak ka lır Bilgisayarlı

Dört-Renk Problemi

Basit şişme teker ya da ·ıorus·

Soru, matematikçilerin karatahtalanmı geri dönebilir, bir başka çaylağa şöhret yolunu açabilirdi. Heawood, Kempe'nin bazı tekniklerini kullanarak beş-renk teoremini ispatladı: En fazla beş renk kullanarak her harita boyanabilirdi. Eğer birisi gerçekten dört rengin yeterli o l madığı, beş rengin gerektiği bir harita bulabilse bu harika bir sonuç olurdu. Ama bu haliyle matematikçiler ikilemde kalmışlardı: Dört renk mi gerekiyordu yoksa beş renk mi? Temel dört-renk problemi düz veya küresel bir yüzeye çizilen haritalarla ilgileniyordu. Peki ya şişme teker, yani torus gibi yüzeye çizilen haritalar? Heawood bu tür haritalar için yedi rengin gerekli ve yeterli olduğunu gösterdi. Hatta d tane deliği olan bir torus için her türlü haritanın renklendirilebileceğini garantileyen renk sayısını belirledi (gerçi bu sayı ların minimum olduğunu ispatlamamıştı). Heawood'un farklı sayıda delik için bulduğu değerlerin ilk birkaçı şöyleydi:

İki delikli torus

delik sayısı, d yeterli renk

sayısı,

R

7

2

3

4

5

6

7

8

8

9

10

ll

12

12

13

Genel olarak R -[ 1/ı(7 + v(1+48d))]. Burada en dıştaki çift çizgili parantez, içteki değerin tam kısmını almamızı söyler. Örneğind-8 için R~~ 13,3107 ...]- 13 olur. Heawood'un formülü deliklerin sayısının sıfırdan çok olacağının kabulüne dayalıdır. Yasaklı d- O kullanıldığında ise kışkırtıcı şekilde R - 4 değerini verir. l852'de ortaya atılan soru 50 yıl sonra hi\la isSoru 20. yüzyılın seçkin malematikçilerini de çuvallatmayı

Soru çözülüyor mu? patlanamamıştı.

sürdürüyordu. Bir matematikçi 27 bölgeye kadar olan bir harita için dört rengin yeterli oldugöstermeyi başardı. Bir başkası aynı şeyi 31, daha bir başkasıysa 35 bölke için aynı şeyi gösterdi. Ama böyle kemire kemire bu iş sonsuza kadar sürebilirdi. Aslında Kempe ve Cayley'in ilk makalelerinde yaptığı gözlemler daha iyi bir yola işaret ediyordu. Matematikçiler yalnızca belirli harita düzenlemelerini kontrol etmelerinin dört rengin yelerli olduğunu göstermeye yeteceğini fark ettiler. Sorun şu ki binlerce olası düzenleme vardı. Hepsini elle kontrol etmek mümkün değildi. Neyse ki soru üzerine yıllarca çalışmış olan Alman matematikçi Wolfgang Haken, Amerikalı matematikçi ve bilgisayar uzmanı Kenneth Appel'i konuya dahil olmaya ikna etmişti. Zekice yöntemlerle düzenlemelerin sayısını ISOO'ün altına indirmeyi başardılar. Nice uykusuz gecenin ardından,

ğunu

Dört-Renk Problem! 1976 1 laziranının sonlarına doğru işlemi tamamladılar. !BM 370 bilgisayarlarının da yardımıyla soruyu nihayet çözmüşlerdi. lndiana Üniversitesi matematik bölümünün göğsünü kabartacak yeni bir başarısı vardı artık. Üzerinde "bulunmuş en büyük asal" yazan posta pulunu yeni bir pulla değiştirdiler: "dört renk yeter". Bu büyük bir övünç kaynağı olsa da dünya matematik camiası ne diyordu bu işe? Sonuçta bu Tiny Tim gibi küçük bir çocuğun bile anlayabileceği, öte yandan bazı en büyük matematikçileri yüz y ıldan uzun süre kendi ağına çekip eziyet etmeyi başarmış hatırı sayılır bir soruydu. Al k ış sesi çok kısık çıkmıştı. Bazıları istemeden de olsa bu defterin kapandığını kabul etti. Pek çok kişiyse şüpheyle yaklaştı. Sorun, ispatın bilgisayarla yapılmış olmasından kaynaklanıyordu. Bu çözüm geleneksel matematiksel ispat biçiminin dışında kalıyordu. Bir ispatın takibinin zor olmasında veya uzun olmasında bir sorun yoktu, ama bilgisayarlı ispat haddi aşmak demekti. "Kontrol edilebilirlik" sorunu doğuyordu. İspatın dayandığı binlerce sanrlık bilgisayar kodunu kim kontrol edebilirdi? Bilgisayar kodlarında hata olağan bir durumdu. Ve böyle bir hata tüm ispatı geçersiz kılabilirdi.

Hepsi bu da değil. Asıl eksik olan şey "aha" faktörüydü. Bir insan böyle bir ispatı okuyarak güzelliğini takdir edebilir miydi? Argümanın hayati noktasını idrak edebilir miydi? Aha anını yaşayabilir miydi? İspatı en sert eleştirenlerden biri saygın matematikçilerden Paul Halmos'tu. Ona göre ünlü bir falcının sözü ne kadar geçerliyse bilgisayarın yapacağı ispat da anca o kadar geçerliydi. Bununla birlikte çoğu matemaı ikçi ispatın başarısını takdir etmektedir. Bundan sonra değerli araştırma zamanını beş renk gerektiren karşı-örnek bir harita bulmaya çalışarak geçirecek birisi ya çok cesurdur ya da çok ahmak. Appel ve Haken'den önce bu olabilirdi belki, ama artık değil.

isp attan sonra ı976'dan bu yana komroı edilmesi gereken düzenlemeler yarı yarıya azaltıldı. Bilgisayarlar ise çok daha hızlandılar. Ama matematik dünyası daha kısa ve geleneksel yapıda bir ispatı hala bekliyor. Bu arada dört-renk problemi matematikçiler arasında matematiksel ispatın tam olarak ne demek olduğu tartış masını başlatmakla kalmadı, aynı zamanda çizge kuramında bazı önemli soruları da beraberinde getirdi.

>> fikrin özü Dört renk kafi

1

1 31

Olasılık

Yann kar yağması olasılığı nedir? İlk treni yakalama olasılığım nedir? Piyangoyu kazanma olasılığınız nedir? Bu gibi sorulann cevaplarım ararken olasılık, ihtimal, şans gibi sözcükler kullamnz. Bunlar aynı zamanda matematiksel olasılık kuramının sözcükleridir. Olasılık kuramı önemlidir. Belirsizlik üzerine düşünmemizi ve risk değerlen dirmesi yapmamızı sağlar. Peki ama belirsizlik üzerine bir kuramı nasıl say ı lara dökebiliriz? Matematik kesinliklerin bilimi değil midir sonuçta?

Burada ası l sorun olası l ığı sayılara dökebilmekıe yatar. O labilecek en basit örnekten başlayalım: yazı-tura. Tura gelme olası l ığı nedir? Bunun Vz (veya 0,5 veya %50) olduğunu iyi biliriz. Paranın hilesiz okluğunu varsayarsak, yazı gelme olasılığıyla tura gelme olasılığı c~it, yani ikisi de 1/z olmalıd ır. Yazı-tura

atma, kutudan top çekme veya benzeri "mekanik" örnekler kısmen belirlenmesinde iki ana yöntem vardır. Madeni paranın iki yüzünün simetrik olduğuna bakmak bunlardan birid ir. Diğeri ise görece frekanslar yaklaşımıdır. Bu yöntemde deneyi çok kez tekrar edip kaç kez yazı, kaç kez tura geldiğine bakarız. Peki buradaki "çok kez"den kasıt kaç kezdir?Turalarla yazıların sayısının yak laşık yarı yarıya olması gerektiğini bilsek de deneyde tam olarak bu oranın çıkması zordur.

kol aydır. Olasılıkların

Peki ya yarın kar yağma olasılığını nasıl bilebiliriz! Yine iki sonuçtan biri gerçekleşecek: ya kar yağacak ya da yağmayacak. Fakat hu sefer ikisinin olasıl ıklarının aynı olup ol madığı net değil. Yarın kar yağma olasılığını değerlendirebilmemiz için başta şu anki hava durumu olmak üzere pek çok faktörü göz önünde bu lundurmamız gerekir. Ama o

Pascal ve Huygens temellerini atar.

olasılığın

Condorcet, olasılığı jüri ve seçim sistemlerinin analizine uygular.

otasdık 1 zaman bile bu olasılığm tam değerini belirlememiz mümkün olmaz. Böyle bir değer bulamasak da, bunun olasılığı düşüktür, onadır veya yüksektir gibisinden

bir "inanma derecesi" belirleyebiliriz. Matematikte olasılıklar O'dan 1'e kadarlık bir ölçekte belirlenir. lmkfosız bir olayın olasılığı O, kesin olayın ise l'dir. 0,1 düşük bir olasılığa, 0,9 yüksek bir olas ılığa işaret eder.

Olasılığın çıkışı Olasılığın matematiksel kuramı 17. yüzyılda Blaise Pascal, Pierre de Fermat ve Anrnine Gombaud (diğer ad ıyla Chevalier de Mere) arasmdaki kumar problemleri üzerine tartı~malarından çıkmıştır. Kafaların ı basit bir oyunla ilgi li bir soru meşgul ediyordu. Chevalier de Mere'nin yönelttiği soru şu şekildeydi: hangisi daha yüksek olasılıktır, tek bir zarı dört kere atuğı mızda en az bir tane "al tı" gelmesi mi, yoksa bir çift zarı 24 kere attığımızda bir tane "altı-altı" gelmesi mi? Siz olsanız paranızı hangisine koyardınız? O günlerde genel kabul gören anlayış parayı "altı-altı" olası lığına yatırmaktı. N e de olsa çok daha fazla atış yapılıyordu. Olasılıklar incelendiğindeyse bu anlayış yerle bir oldu. Bunu biz de hesaplamaya çalışalım. Tek zar atımı: Bir kez attığımızda bir zarın altı gelmeme olası lığı %'dır. Dört kez üst üste 6 gelmemesi olasılığıysa % x % x % x % - (%) 4 olur. Zar atışları birbirini etkilemediğinden birbirinden "bağımsız"dır, bu yüzden birbiriyle çar· pabiliriz. En az bir kez 6 gelme olasılığıysa

1 - (% ) 4 - 0,517746 ... olur. İki zar atımı: Bir kez attığımızda altı-altı gelmeme olası lığı 35/36'dır. 24 atıştaysa bu olasılık (35136) 24 olur. Dolayısıyla en az bir tane altı-altı gelme olasılığı

olur. Bu örneği daha da ileri götürebiliriz. Günümüzde kumarhane ve İnternet bahis sitelerinde po· püler o lan barbut da yine iki zarla oynanır. Birbirinden ayrı (kırmızı ve mavi)

Barbut oyunu

1812

1912

1933

Laplace iki ciltlik Olasılıkların Analitik Kuramı adlı eserini

Keynes, ekonomi ve istatistik üzerine kuramlarına ilham kaynağı olan Olasılık Üzerine bir Makale adlı çalışmasını yayınlar.

Kolmogorov olasılıljı aksiyomatik bir sistem olarak sunar.

yayınlar.

iki zar atıldığında 36 olası sonuç vardır. Bunları (x,y) şeklinde sıralı ikili olarak gösterebilir ve x, y koordinat sisteminde işaretleyebiliriz. T üm o lası sonuçların kümesine "örnek uzay" denir. İki zarın toplamlarının 7 gelmesine A "olay"ı diyelim. Bunu

.. .. ~

6

sağlayan 6 farklı kombinasyon vardır:

N

·;;

5 ::1

A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)1

4

Diyagramda bunları kalemle çevreledik. 36 noktadan 6'sı A'nın içinde olduğundan A'nın olası lığı P(A) = 6136 • 1/6'd ır. B olayı iki zarın toplamının 11 gelmesiyse B - {(5,6), (6,5)} ve P(B) = 2/J6 • \!ıs olur.

3

~·

-·+-·

2

Barbutta

2 iki zar için örnek uzay

3

5

61

eğer

ilk

atışınızda

A veya 8

olaylarından

biri ger-

çekleşirse doğrudan kazanırsın ız. Doğrudan kazanma olasılığı A ve B olasılıklarının toplamıdır: 6116 + 2t'ı6 ~ 8/36· Eğer ilk

atışınızda iki zarın toplamı 2, 3 veya 12 olursa doğrudan kaybedersiniz. Hesapladığımızda doğrudan kaybetme olası lığım ızın 4/36 olduğunu görürüz. Toplamda 4, 5, 6, 8, 9 veya 10 atılırsa ikinci aşamaya geçili r ki bunun da olasılığı 24136 = 2/3'tür.

Bahis dünyasında olasılıkların ifade ediliş tarzı daha fark l ıd ır. Barbutta ortalama olarak her 36 oyunda 8 kere ilk atışta kazanırsın ız. Do layısıyla ilk atışta kazanma oranınız 28'e karşı 8, yani 3,5'a karşı 1 olarak verilir.

Daktilo başındaki maymun Alfred yerel hayvanat bahçesindeki bir maymun. Kafesinin içinde eski püskü bir daktilosu var. 26 tuş alfabenin harfleri için, bir tuş nokta, bir tuş virgül, bir tuş soru işareti, bir tuşsa boşluk için. Yani toplam 30 tuş var. Alfred yazarlığa pek meraklı, fakat yazma yöntemi oldukça kendine özgü: Tuşlara gelişigüzel basıyor. Herhangi bir harf dizisini yazma olasıl ığı sıfı rdan yüksek olduğundan Shakespeare'in oyunlarını birebir yazma olasılığı da yok deği l. Dahası, bunun ardından (her ne kadar daha düşük bir olasılıksa da) Fransızca, lspanyolca, daha sonra da Almanca çevirilerin i yapma olasılığı bile var. Hazır oraya kadar gelmişken W ill iam Wordsworth'ün şi irleriyle devam etme olasılığı o lduğunu da belirtelim. Tüm bunların olasılığ ı çok düşük olsa da sıfır değildir. Asıl nokta da bu. Hamlet'teki monoloğun başını yazmasının ne kadar süreceğine bir bakal ım.

Olasılık 1 İngilizce "To be or" [olmak ya da) yazması için boşluklarla birlikte 8 karakteri gerekir.

doğru basması

ITlo 1 Birinci karakter için toplam 30 seçenek var. ikinci için yine 30 ve bu şekilde devam ediyor. Dolayısıyla ilk 8 karakter için toplamda 30 x 30 x 30 x 30 x 30 x 30 x 30 x 30 seçenek var. Alfred' in "To be or" yazma olasılığı 6,56 1x l0 11 'de l. Eğer saniyede bir twja basarsa "To be or" yazması yaklaşık 10.000 yıl sürecektir ki kendisine sabırlar dileriz. Dolayısıyla Shakespeare'in tüm eserlerini yazması için sabırsızlanmanın alemi yok. Alfred zamanının çoğunu "xo,h?yt?" gibi şeyler yazarak geçirecek.

Kuram

nasıl geliştirildi? Olasılık kuramı uygulandığında ortaya

çıkan sonuçlar bazen oldukça tartışmalı olabilse de en azından matematik-

sel temelleri güvence altındadır. l 933'te Andrey Nikolaevich Kolmogorov, geometrinin temelleri için 2000 yıl önce yap ılmış olduğu gibi, olasılığı da aksiyomatik bir temele oturtmakta büyük rol oynadı. Olasılık şu

aksiyomlara göre

tanım lanm ıştır:

1. herhangi bir olayın olasılığı O'a eşit veya büyüktür. 2. tüm olayların olasılıkları toplamı l 'dir. 3. o laylar ayrık ise olasıl ı kları toplanabil ir. Bizim burada teknik dilden arındırarak verdiğimiz bu aksiyom lardan olasılığın matematiksel özellikleri çıkartılabilir. Olasılık kavramının uygulama alanları çok gen işti r. Modern hayat onsuz düşünülemez. Risk ana lizi, spor, sosyoloj i, psikoloji, mühendislik tasarımları, finans vs. diye liste uzar gider. 17. yüzyıldaki bahis problemlerinin tüm bu fikirleri doğuracağı kimin aklına gelirdi? Bunun olasılığı neydi acaba?

>> fikrin özü

Kumarbazın

gizli sistemi

32 :Qay~s Teoremi Peder Thomas Bayes'in gençlik yılları hakkında pek bilgi yoktur. İngiltere'nin güneydoğusunda, büyük olasılıkla 1702' de doğmuş, yenilikçi bir papaz olmuş, aynı zamanda bir matematikçi olarak ün yapmış ve 1742'de Londra Kraliyet Cemiyetine seçilmişti. Bayes'in ünlü "Şans doktrini üzerine bir problemin çözümü yolunda deneme" adlı çalışması, ölümünden iki yıl sonra 1763'te basılmıştı. Çalışmasında ters olasılığı, bir başka deyişle "diğer yolun" olasılığım bulmak için bir formüle yer vermiş, aynca Bayesçi felsefenin temel kavramlarından olan koşullu olasılık kavramım dile getirmişti. Adını

Thomas Bayes'ten alan Bayesçiler, geleneksel istatistikçilerden, diğer gösterir. Frekansçılar sırf say ısal verilere dayalı olasılık görüşünü benimserken, Bayesçiler ünlü Bayes formü lünü temel alır ve öznel inanış derecelerine matematiksel ulasıl ı kmış gibi davranılabileceği görüşünü benimserler. adıyla "frekansçı"lardan farklı l ık

Koşullu olasılık Diyelim ki bir doktorun hastalarına doğru bir şekilde kızamık teşhisi koyması

gerekiyor. Beneklerin çıkmış olması bir gösterge olsa da teşhis o kadar basit değ i l. Bazı hastalarda benek olmadan kızamık olabileceği gibi bazı larında kızamık olmadan benek olabiliyor. Bir hastanın kızamık olduğu bilindiğinde beneklerin belirme olasıl ığına koşullu olasılık denir. Bayesçiler formüllerinde "eğer" anlamında dik bir çizgi koyarlar: o!( hastanm benekleri var 1 hasta kızamık) Bu ifade, hasta kızamıksa yüzünde benek çıkma olasılığı anlamına gelir. ol(hastanm benekleri var 1 hasta kızamık) ile o!(hasta kızamık 1 hastan ı n benekleri

Bayes'in olasılıklar üzerine denemesi yayınlanır.

De Finetti, sıklık kuramına bir alternatif olarak öznel olasılıl'Jın kullanı lması nı savunur.

Bayn Teoremi var) değerleri aynı değildir. Biri diğerinin d iğer yoldan olasılığıdır. Birini bildiğimizde diğerini Baycs'in formülüyle buluruz. Ma te matikç iler uzun ifadeler yerine kısa göste rimle re bayılırlar. Biz de kızamık olasıl ığına K, ben ek olasılığına B d iye lim. Kkızamık o lma ma, B ise ben ek o lma ma olasılıklarını göstersin. Bunu b ir Verın diyagramıyla gösterebiliriz. Tabloya bakan do ktorumuz, hem kızamık hem be nekli olan x tane h asta, topla mda kızamık ola n k ta ne hasta olduğunu görüyor. Toplam h asta sayısı ise N. Bu diyagrama bakara k bir hastanın kızamık ve benekli o lma ihtimalinin YN olduğunu söyleyebiliriz. Kızamık olma ihtima li ise k; N· Kızamık o lan birinin benekli o lma koşullu olasıl ığı ise o!(B 1 K) - %o lur. Bunları bir araya getirdiği mizde, bir hastanın hem benekli, hem kızamık o lma iht imalini bu luruz:

Benek o lu şumu ve kızamı{ıın mantıksal

yapısın ı gösteren diyagram ı

Venn

o!(K&B)- ..!... - ..!... x i..

N

k

N

ya da o!(K&B)

=

ol(B 1K) x ol(K)

o!(K& B)

=

ol(K 1 B) x ol( B)

ve benzer şekilde

Bayes formülü

ol (K&B) iç in ver ilen iki formülü eşitlersek koşullu

olasılıkla te rsi arasındaki ilişkiyi veren Bayes formülünü e lde ederiz. Do kto-

rumuz o!(B 1 K), yan i h asta kızamık olduğunda beneklerin çıkması ihtimalini zaten biliyor, ama asıl istediği bir hastada be ne k varsa k ızamık olma ih t imali. işte bu ters olası lık Bayes'in makalesinde bahsettiği proble mle aynı. Sayıları ye rin e koyarak bu olasılığı bulmay ı de neyelim. Bir hasta k ızamıksa bene kle ri olma ihtimali, ul(B 1 K) çok yükol (K i E}= sek, sözgelimi 0,9 olsun. Eğer hasta kızamık değilse ben ek le ri o lma ihtima li , o!(B 1 K) dü~ük, diyelim ki 0, 15 o lsun. Ile r iki durumda da doktorumuzun bu olasılıklar hakkında iyi bir fi kri ol acaktır. Yine t üm hastalar iç inde ne kadarının kızamık olduğu hakkında da bilgisi olacaktır. Bu olasılığa %20 diyelim: o!(K) = 0,2. Geriye bil memiz gereken bir tek ol(B) kaldı , yani tüm hastalar arasında beneklilerin oranı. Bunu hesapla mak mümkün :

Jimmy Savage ve Dennis Lindley modern Bayesçi harekete öncülük eder.

" Bayesçi" terimi ilk kez kull a nıl ır.

ol (K} ol (E} x ol (El K}

" U l u sla ra rası Bayesçi Analiz Cemiyeti" kurulur.

1

1

Bayes Teoremi Benekli o lma ihtimali, hastan ın kızamık olup benekli olmasıy la kızamık olmayıp benekli olması ihtimallerinin toplamıdır. Daha önceki bağıntılardan o!(B) -0,9x0,2+O,15 x0,8 - 0,3 olur. Bu değerleri Bayes formü lünde yerine yerleştirdiğimizde:

ol(K 1B) =

02 • x 0,9 = 0,6 0,3

buluruz. Buradan da an laşı lıyor ki hasta eğer benekliyse, kızamık olma ihtimali %60'tır. Diyelim ki doktorun k ızamıkla ilgili edin
Günümüz Bayesçileri Jiği

Mahkemeler
Jüri mahkemede bir davayı dinledikten sonra sanığın suçluluk olasılığının yüzde 1 olduğuna karar verm iş olsun. Jüri toplantısı devam ederken savcılık yeni bir del ilin bulumluğunu duyuruyor. Sanığın evinde bir silah bulunmuş. Savcı sanı ğın suçlu olması durumunda evinde silah bulundurma olasılığının 0,95 ve eğer masumsa 0,1 olduğunu bildiriyor. Dolayı sıyla sanı ğın evinde silah bulunma olasılığı, sanık suçluysa çok daha yüksek oluyor. Jüri bu yeni bilgi ışığında sanıkla

Bayes Teoremi ilgili kanısını nasıl değiştirmeli? Önceki gösterim yöntemimize dönecek olursak, olması, D ise yeni delil bulunması olsun. Jürinin önceki değerlendirmesi o!(S) = Vıoo = 0,01 idi. Buna "önsel olasılık" denir. Yeni D delili sonrasındaki tekrar değerlendirmeden elde edilen ol(S 1 D) ise "sonsal olasılık" adıyla bilinir. Bayes formülünü uygulayacak olursak

S sanığın suçlu

ol(S 1 D) -

o!(D IS) x o!(S) ol(D)

önsel olasılıktan sonsal olasılığı hesaplayabiliriz. Kızamık örneğinde ol(D)'yi hesapladığımız gibi ol(D)'yi ve ardından ol(S 1 D)'yi hesaplayabiliriz.

ol(S 1O) -

o,95 x

0 95 • x O,Ol - 0,088 + 0,1 x o,99

o,oı

Bu durum jüride bir kuşku uyandıracaktır; ne de olsa sanığın suçluluğuyla ilgili %1 'lik ilk değerlendirme neredeyse %9'a fırladı. Eğer savcı sanığın suçlu olması durumunda evinde silah bulunma olasılığının 0,99 ve masum olma durumunda 0,01 olduğunu söylemiş olsaydı, baştan değerlendirme sonuc u olasılık % l'den %50'ye çıkmış olurdu. Bayes formülünün bu gibi durumlarda kullanılması eleştirilere yol açmışttr. Ana itiraz önsel olasılık değerlerini nereden bildiğimiz konusundadır. Savunmak adına diyebiliriz ki Bayesçi yöntem öznel olmakla birlikte, olasılıklar yeni verilere bağlı olarak güncellenebilir. Bayesçi yöntemin bilimsel konulardan tutun, hava durumu tahminine ve hukuksal konulara kadar uygulama alanları bulunur. Savunucul a rı belirsizliklerle uğraşırken sağlamlığına ve pratikliğine özellikle dikkat çekerler. Bayesçi yaklaşımı değerli kılan, gerçek hayattaki sorunların çözümünde işe yarıyor olmasıdır.

>> fikrin özü

İnanışları kanıtlara göre güncellemek

1

1 33

Doğum Günü

Problemi

Sabah her günkü otobüsünüze binip işinize gidiyorsunuz. Sabahın köründe işe giden diğer yolcuları saymak dışında yapacak hiçbir şeyiniz yok. Diğer yolcuların doğum günlerinin birbirinden bağımsız olduğunu düşü nerek (ki zaten öyle olmaları gayet doğal), yıl içinde gelişigüzel dağıldığını varsayacağız. Sizinle birlikte otobüste toplam 23 yolcu var. Belki çok fazla değil, ama yine de en az ikisinin doğum günlerinin aynı olma ihtimalinin yandan fazla olduğunu iddia etmeye yeter. İnanmıyor musunuz? Zaten çoğu insan inanmıyor ama bu doğru olduğunu değiştirmez. Olasılık konusunda yılların uzmanı William Feller bile bunu akıl almaz bulmuştu. Şimd i otobüse sığmayacak kadar çok insana ihtiyacımız olacağı için argümanımua büyük bir salonda devam edelim. Bir salonda kaç k işi olmalı ki en az ikisinin doğum gününün ay nı olması kesin o lsun ? S tandart bir y ı lda 365 gün olduğuna göre ( işleri karıştırmam a k için artık- y ılları görmezden geleceğiz), salonda 366 kişi olursa en az iki tanesinin doğum günü kesinlikle aynı olur. Sonuçta hepsinin doğum gününün farklı olması imkansız.

Buna güvercin-yuvası ilkesi den ir: eğer n yuva ve n+ 1 güvercin varsa, bir yuvada birden fazla güvercin olmalıdır. Eğer 36 5 kişi olsaydı her birinin doğum günü farklı olabilirdi. Ne var ki eğer 365 kişiyi gelişigüzel seçmişseniz bu çok ama çok düşük bir olasıl ıktır. Öyle ki en az ikisin in aynı doğum gününe sah ip olmaıtıa olasılığını neredeyse yok kabul edebiliriz. Odada 50 kişi bile o lsa en az ikisinin doğum gününün aynı olma ihtimali %96, 5 o lur.

Blaise Pascal olası lık kuramının temellerini atar.

Christiaan Huygens üzerine ilk basılı

olasılık

çalışmayı yayı n la r.

Abraham de Moivre Şansın Doktrini adlı eserini yayınlar. 1738 ve 1756'da genişlet i lmiş baskıları yayınlanır.

Doğum Günü Problem! 1 Eğer insan sayısını daha da azaltırsak bu olasılık düşer. incelediğimizde 23 kişide bu olasılığın yarıdan birazcık fazla, 22 kişideyse yarıdan az olduğunu görürüz. Burada kritik sayı 23'tür. Bu sonuç şaşırtıcı olsa da paradoksal bir yanı yoktur.

Buna nasıl ikna olabiliriz? Gelişigüzel bir insan seçelim. Başka birinin bu kişiyle aynı doğum gününe sahip olma ihtimali V365'tir. Dolayısıyla doğum gün lerinin farklı olma ihtimali 364;365 olur. Üçüncü hir kişinin doğum gününün bu ikisinden biriyle aynı o lma ihtimali 71365. farklı olma ihtimali 36 Y~65 olur. Üçünün doğrum günlerinin farklı o lma ihtimali bu iki ihtimalin çarpımı kadar, yani (364;365) x (363/365) - 0,9918 olur.

Bunu ispatlayabilir miyiz?

Bu mantığı 4, 5, 6, ... kişi için sürdürürsek doğum günü probleminin gizemini çözebiliriz. 23'üncü kişiye geldiğimizde kimsenin doğum gününün aynı olmama ihtimali için hesap makinemizde 0,4927 sayısını görürüz. Bunun tersi, yani "en az iki kişinin doğum gününün aynı olması" ise L - 0,4927 • 0 ,5073 ucu ucuna yarımdan fazla olur. n-22 olunca en az iki kişinin doğum gününün aynı o lma ihtimali 0,4757 olur ki bu da yarımdan azd ır. Doğum günü probleminin paradoksal gözükmesinin nedeni biraz da d ilde gizlidir. Soru iki kişinin doğum gününün aynı olmasından bahsederken hangi iki kişi o lduğunu söylemiyor. Eğer doğum günü 8 Mart o lan Bay Trevor T homson odadaysa farkl ı bir soru sorabilirdik.

Kaç kişinin doğum günü Bay Thomson'la aynıdır? Bu soru için farklı bir hesap yapmamız gerekiyor. Bay Thomson 'ın doğum gününün bir kişiden farklı o lma ih timali 3641J65'tir. Odadaki diğer n-L kişiden farklı olma ihtimali ise (3641365)"-1• Bu değeri l 'den çıkartırsak en az bir kişinin Bay Thomson'la ayn ı gün doğmuş olma ihtimalini buluruz. n -23 için hesap lad ığı mızda başka birinin daha 8 Mart'ta doğmuş o lma ihtimalinin sadece 0,061151, yani %6 okluğunu görürüz. n değerini artırı rsak bu olası lık da a rtaca kt ır. Fakat yarıdan büyük olması için (Bay Thomson da

1920'ler

1939

Bose, Einstein'ın ışık kuramın ı bir doldurma problemi olarak ele alır.

Richard von Mises do!'ıum günü problemini ortaya atar.

'

Doğum

Günü Problemi dahil olmak üzere) n-254 'e kadar gitmemiz gerekir. n= 253 olduğunda olası lık 0 ,4991, n= 254 olduğunda ise 0 ,5005 olur. Yani birinin Bay Thumson'la aynı günde
Diğer doğum günü problemleri Doğum günü probleminin pek çok türevi var
Bir başka soru ise neredeyse aynı gün doğanlarla ilgilidir. Bu soruda iki kişinin doğum günleri arasında belirli bir gün sayısına kadar fark varsa doğum günleri

neredeyse-aynı sayılır. Örneğin doğum günleri arasında bir gün fark o lanlara neredeyse-aynı dersek en az iki kişinin neredeyse-ayn ı doğum günü olması için cupu topu 14 kişi yeter.

Biraz daha karmaşık yöntemler gerektiren bir soru ise kızlar ve erkeklerle ilgilidir: Eğer bir sımfta eşit say ıda erkek ve kız varsa, bir kız ve bir erkeğin doğum günlerinin aynı olma ihtimalinin yarıdan fazla olması için en az kaç kişi olması gerekir? Bu sorunun cevabı ise 32 (16 kız, 16 erkek). Bu cevap, orijinal so rudaki 23'le karşıl aştırılabilir.

K ızlar

Soruyu az ıc ık değ iştire rek yanı t lam as ı hiç
Doğum Günü Problemi 1 kişinin doğum gününün aynı olması için ortalama kaç kişilik bir kuyruk oluş ması

gerekir!

Doğum günü hesaplarında doğum günlerinin düzenli dağı ldığını ve bir insanın

belirli bir günde doğmuş olma ihtimalini 365'te 1 kabul ettik. Deneysel sonuçlar gerçeğin tam böyle olmadığını gösteriyor (yaz aylarında daha çok çocuk doğar).

Fakat bu durum sonuçlarımızı ciddi anlamda etkilemeyecektir. Doğum günü problemleri, topların kutulara nasıl gireceğini konu alan "doldurma problemleri"ne örnektir. Doğum günü probleminde kutular 365 tane, bu kutulııra yerleştirilecek toplar ise insanlardır. Soruyu iki copun aynı kutuya girme olasılığı ~eklinde basitleştirebiliriz. Kız ve erkek çocukların ayrı olduğu örnekte coplar iki farklı renktedir. Doğum günü

problemleriyle ilgilenenler sırf matemacikçiler değildir. Satyendra Nath Bose, Albcrc Einstein'ın fotonlara dayanan ışık kuramına merak salmıştı. Klasik araştırma yöntemlerinin dışma çıkarak fiziksel onamı bir doldurma problemi olarak ele aldı. Ona göre kutular doğum günü problemindeki gibi günler değil, foconların enerji düzeyleriydi. insanların yerine foıonları kutulara dağıt maya çalıştı. Doldurma problemlerinin başka bilim dallarında da uygulamaları vardır. Örneğin biyolojide salgm hastahkların yayılma~ı bir doldurma problemi olarak modellenebilir. Bu durumda kutular coğrafi bölgeler, coplar ise hastalıklar olur. Buradaki soru hastalıkların nasıl dağılacağıdır. Dünya inanılmaz rastlantılarla doludur. Bu rastlantıların olasılıklarını hesaplama yöntemleriniysc bize matematik sunar. Klasik doğum günü problemi bu anlamda buzdağının ucu ve sayısız uygulaması olan bu alana ufak bir girizgah o labilir olsa o lsa.

>> fikrin özü Tesadüfleri hesaplamak

1

34 :O.ağı~ımlar Ladislaus J. Bortkiewicz ölüm nedenlerini incelemeye bayılırdı. Bu onun için iç karartıcı değil, bilimsel merakım uyandıran bir konuydu. Prusya ordusunda at tepmesiyle ölen asker sayısını hesaplaması meşhurdur. Frank Benford ise sayısal verilerde kaç tane ı, kaç tane 2 vs. olduğunu sayan bir elektrik mühendisiydi. George Kingsley Zipf derseniz, bir yandan Harvard Üniversitesi'nde Almanca dersleri verirken bir yandan metinlerde hangi sözcüğün kaç kez geçtiğinin analizini yapan bir filoloji meraklısıydı. Tüm bu örnekler, olayların ihtimallerinin ölçümüyle ilgilidir. Y ılda x tane süvarinin at tepmesi sonucu ölme olasıl ığı nedir? Olası l ık l arı her x değerine göre listelersek bir olası l ık dağılımı e lde ederiz. x <.!eğerleri yalnızca tamsayılar olabileceğinden ve araları boş olduğun<.lan bu aynk bir dağılımdır. Üç veya dört Prusya lı süvari at tepmesiyle ölebi lir ama üç buçuk süvari ölemez. Daha sonra göreceğimiz üzere Bcnford dağıl ım ı ise ya l n ızca O'dan 9'a kadar rakam lar ın gözükme adediyle ilgilenir. Zipf <.lağılı mı ise sözcü kleri sıklıkları na göre s ıralar. İngilizcede "it" sözcüğü en çok kullanılan 8'inci sözcüktür, ama 8,23'üncü sözcük diye bir şey olmaz.

Prusya ordusunda ölüm kalım meseleleri

Bortkiewicz 20 bir dönemde 10 süvari k ıtası için veri topla<.lı . Bu 200 kıta-yı lı demektir. Ölüm adetlerine (matematikçilerin tabiriyle değişkene) ve bu ölümlerin gerçekleşLiği kıta-yıllarına baktı. Örneğin 109 kıta-yılı boyunca hiç ölüm gerçekleşmemiş, ardından 1 kıta-yı lında dört ölüm gerçek leşmişti. Kış ladaki tek bir kıtada o yıl dört ölüm birden gerçekleşmişti. yıllık

Ö lüm a<.letleri nasıl bir <.!ağı lı m gösterir? istatistikçinin işlerinden biri bu verileri toplamak ve kaydetmektir. Bortkiewicz'in topladığı veriler şöyl eydi :

Simeon-Denis Poisson kendi a d ıyla a nı lacak da1)ılımı tanıtır.

Newcomb, Benford yasası bilinen yasayı keşfeder.

ad ı yla

Bortkiewicz, Prusya süvarilerinin ölüm nedenlerini inceler.

DağJlımıar 1 Ölüm adetleri

4

Sıklık

Neyse ki atın çiftesiyle ölmek nadir gerçekleşen bir o lay. Nadir olayların ne sıklıkta gerçekleştiğini modellemek için en uygun kuramsal yöntem "Poisson dağılımı" kullanmaktır. Bortkiewicz bu yöntemle ahırlara hiç uğramadan bu sonuçları tahmin edebilir miydi? Poisson dağılımı, ölüm adetlerinin (buna X diyelim) x olma ihtimalinin Poisson formülüyle bulunabileceğini söyler. Formüldeki e, daha önce sözünü ettiğimiz, büyümeyle ilişkili sayıdır (bkz. sf. 24). Ünlem ise faktöriyel anlamına gelir, yani sayının 1'den ken
Poisson formülü

Poisson formülünde x - O, 1, 2, 3 ve 4 değerlerini yerine yazarak teorik olası lıkl arı (p) bulabiliriz: Ölüm adetleri Olasılık,

p

Beklenen ölüm adetleri, 200 x p

o

1

2

3

4

0,543

0,33 1

0,101

0,020

0,003

108,6

66,2

20,2

4,0

0,6

İkinci tablodaki tahmini değerlerin, Bortkiewicz'in deneysel verilerden elde ettiği ilk tablodaki gerçek değerlere oldukça yakın olduğu görü lüyor.

İlk sayılar

Bir telefon rehberindeki telefon numaralarının son rakamlarına

baktığımızda O'dan .9'a her rakamın eşit dağılmış olmasını bekleriz. Sonuçta

neredeyse gelişigüzel dağılmış olduklarından, her rakamın belirme olasılığı eşit olmalıdır. 1938'de elektrik mühendisi Frank Benfor
1938

1950

2003

Benford, birinci

Zipf, sözcük kullanım ıyla kelime da!'Jarcığı arasındaki ilişkiyi inceler.

Poisson dağılımı Kuzey Atlantik'teki balık stoklarının analizinde kullanılır.

basamakların da!'Jılımı

yasasını baştan

ifade eder.

1

Dağılımlar

Dün küçük bir deney yaptım. Ulusal bir gazetede veri len döviz kurlarını inceledim. 2, l 19 gibi değişim oranları gözüme çarptı. Bu, 1 pound almak için 2,119 dolar vermeniz gerektiği anlamına geliyor. Aynı şekilde, 1 pound almak için l ,59 avro veya 15,39 Hong Kong doları vermeniz gerekir. Verileri tarayarak ilk basamakta yer alan rakamların sıklıklarını not edince şu tabloyu elde ettim: Birinci basamak

2

3

Gözükme adedi

18

10

3

Yüzde,%

36

20

6

4 2

5

6

7

8

9 Toplam

3

5

7

2

50

6

10

14

4

2

100

Bu sonuçlar Benford yasasını destekler nitelikte. Yasaya göre bazı veri türlerinin birinci basamağında 1 rakamının görülme sıkl ığı %30, 2 rakamının görülme sık lığı %18'dir. Bu durumun telefonların son basamaklarında gözlemlenen düzgün dağılıma benzemediği kesin. Farklı

türden pek çok veri kümesinin neden Benford yasasına uyduklarını bir anlamak kolay değil. l 9. yüzyılda Simon Newcomb bunu matematiksel tablolarda gözlemled iğinde bu denli yaygın bir kural olduğunu tahmin bakışta

edememişti.

Benford dağılımının görüldüğü yerler arasında spor karşılaşmalarının skorlarını, borsa verilerin i, ev numaralarını, ülke nüfuslarını ve nehirlerin boylarını sayabiliriz. Ölçüm birimlerinin bir önemi yoktur - nehirlerin boyunun metreyle veya mille ölçülmüş olması bir şey değiştirmez. Üstelik Benford yasası gerçek hayatta da işe yarar. Muhasebe kayıtlarının da bu yasaya uyduğu fark edildikten sonra, yanlış bilgi ve sahtekarl ıkların ortaya çıkarılması daha kolay olmuştur. G.K. Zipf'in geniş ilgi alanlarından birisi, yazılarda hangi sözcüğün kaç kere geçtiğini saymaktı. İngiliz dilinde en sık kullanılan on sözcüğün

Sözcükler

şunlar olduğunu bulmuştu: Sıra

Kelime

the

2

3

4

of

and

to

5

6

7

8

9

10

in

that

it

is

was

Bu tablo, geniş bir eser yelpazesinden büyük bir örnek lem alınarak oluşturulmuş tur. l numaralı sözcük en s ı k, 2 numaralı sözcük ikinci en sık sözcük şeklind e

Dağılımlar 1 devam eder. Belki belirli bir konudaki metinler incelendiğinde sıralamada bazı değişiklikler olsa da ciddi bir oynama olmayacaktır. "The" sözcüğünün en sık, "of'un ise ikinci en sı.k sözcük olm ası şaşırtıcı değil. Liste bu şeki lde uzayıp gidiyor. Eğer merak ederseniz, SOO'üncü sırada "among", l OOO'inci sıradaysa "neck" sözcüğü bulunuyor. Biz yalnızca ilk on sözcüğe bakacağız. Eğer herhangi bir metni alıp bu sözcükleri sayarsanız üç aşağı beş yukarı aynı sıralamayı elde edersiniz. Şaşırtıcı olan şey, metinde geçen sözcük sayıla rıyla sıralama arasında matematiksel bir ilişki olmasıdır. "The" sözcüğü "of" ların iki katı, "an
.!:.. x r

100

biçimindedir. Zipf'in verilere bakarak bulduğu bu formül, tamamen deneysel bir yasanın ifadesidir. Eğer yazar, lngiliz dilindeki, bazı tahminlere göre bir milyon civarı nda olan tüm sözcükleri kullanmışsa, k değeri yaklaşık 0,0694 olur. Bu durumda Zipf'in formülüne göre "the" sözcüğü metindeki tüm sözcüklerin %6,94'üne karşılık gelir. "Of' ise bunun yarısına, yani yaklaşık %3,47'sine karşılık gelir. Dolayısıyla böylesi yetenekli bir yazarın 3000 sözcüklük bir yazısında "the" 208 kere, "of' ise 104 kere geçer. 20.000 sözcük dağarcığı olan bir yazarda k değeri 0,0954'e yükselir. Dolayısıyla "the" sözcüğü 286 kere, "of" ise 143 kere geçer. Sözcük haznesi ne kadar küçülürse "the"lar o kadar artar. bakış Poisson, Benford ve Zipf'in dağı lımları tahmin Kesinkes bilemesek de olasılıkların nas ıl dağıldığını bilmek, hiçbir şey bilmeden desteksiz sallamaktan çok daha yeğdir. Bunlara bir de binom, negatif binom, geometrik, hipcrgcomctrik gibi başka dağılımlar da ek lendiği nde, insan etkinliklerine dair muazzam genişlikte bir araç yelpazesi istatistikçinin elinin altında demektir.

Kristal topa yapmamızı sağlar.

>>fikrin özü

Adedi tahmin etmek

•35 l\forınal

Dağılım

"Normal" dağılım istatistikte kilit rol oynar. Matematikteki doğru çizginin dengi olduğu bile iddia edilmiştir. Önemli matematik özellikleri olduğu tartışmasız olsa da gerçek verileri analiz etmeye kalktığımızda normal dağılıma tamı tamına uyduğu pek nadirdir. Normal eğri, çan-eğrisi şeklinde bir eğri ol~turan özel bir matematiksel formüle göre hareket eder; ortasında bir çıkıntı ve her iki tarafa doğru uzayıp giden kuyrukları vardır. Normal eğrinin önemi doğadan ziyade, uzun bir soyağacına sahip kuramından gelir. Fransa'da protestanlara uygulanan dini zulümden kaçarak lngiltere'ye yerleşen Abraham de Moivre, 1733'te şansa ilişkin analiziyle bağlantılı olarak normal eğriyi tanıttı. Pierre Simon Laplace onunla ilgili kendi bulduklarını yayınladı. Cari Friedrich Gauss ise gökbilimdc kullandı; bugün de bazen Gauss hata fonksiyonu ad ıyla anılır. Adolphe Quetelet normal eğriyi 1835'te yayınladığı sosyolojik çalışmalarında, "ortalama insan"dan ıraksamayı ölçmek için kullandı. Başka deneylerinde Fransız acemi erlerin boyunu ve lskoç askerlerin göğüslerini ölçtü ve hunların normal dağılıma uyduğunu varsaydı. O dönemde çoğu olgunun normal dağılım gösterdiğine dair güçlü bir inanç vardı.

Kokteyl partisi Kokteyl partisine ev sahipliği yapan Sebastian, Georgina'ya uzaklardan m ı geliyorsun diye sordu. Sonradan üzerinde düşününce, Georgina bunun kokteyl part ileri için çok uygun bir soru olduğuna kanaat getirdi; hem herkese sorulahilirdi, hem de insanlar cevaplamakta zorlanmazdı. Konuşma sıkıştığı anlar için b irehirdi.

De Moivre, binom dağılımının kestirimi için normal da{lılımın kullanılması na i l işkin çalışmasını yayınlar.

Gauss, gökbilim çalışmalarında hala payını belirlemek için normal (Gauss) da{lılımı kullanır.

Normal Ertesi gün Georgina, biraz

akşamdan

kalma bir halde ofisine giderken,

işyeri

arkadaşlarının işe nerelerden geldiğini merak etti. lşyeri kantininde yaptığı sohbetler sonucunda, bazılarının hemen köşedeki binadan, bazılarınmsa 50 kilometre öteden geldiğini öğrendi. Mesafeler çok büyük farklılık gösteriyordu.

Çok büyük bir şirketin insan kaynakları müdürü olma~ının avantaj ını kullanarak çalışanlara verdiği yıllık ankette şöyle bir soru sordu: "Bugün işe ne kadarlık bir yoldan geldiniz?" Şirket çalışanlarının kat ettikleri ortalama mesafeyi hesaplamak istiyordu. Sonuçların histogramını çizdi~inde, ortaya tanıd ık bir şekil çıkmadıysa da hiç olmazsa gidilen ortalama mesafeyi hesaplamı~tı. çalışanların

yüzdesi

Georgina'nın iş arkadaşlarının işe gelmek için kal ettikleri mesafe histogramı

mesafe x

o

10

20

30

40

50

O rtalama 20 km çıktı. Matematikçiler ortalamayı Yunan harfi mü (µ) ile gösterir. Burada µ= 20'dir. Verilerdeki değişkenlik ise Yunan harfi sigma (a) ile gösterilir. Bu değişkenliğin bir diğer adı da "standart sapma"
kadar büyük olursa o kadar iyi, ama 30 kişi de işimizi görecektir. Bu 30 kişilik grupta köşedeki binada oturanlarla beraber uzun yoldan gelenlerin de bulunması

1835

1870'ler

Oucıclet,

Dağılıma

ortalama insan boyundan farklılığı ölçmek için normal dağılım ı kullanır.

verilir.

"normal"

1901 adı

Aleksandr Lyapunov, karakteristik fonksiyonlar kullanarak Morkezı Limit Teoremi'ni ispatlar.

Dağılım 1

1

Normal Dağılım olasıdır. Ömeklemimizin ortalamasını hesapladığımızda, uzun mesafeler ve kısa mesafeler bi rbirlerin i ortalar. Matematikte öm eklemin ortalaması r ile gösterilir ve "x bar" diye okunur. Georgina'nın örneğinde r'ın, nüfusun ortalaması olan 20'ye yakın çıkması olasıdır. Örneklem ortalamasının çok küçük veya çok büyük çıkma olası lığı düşük de olsa vardır.

20 Örneklem

Normal dağı lımın istatistikçiler için bu denli önemli olmasının nedenlerinden biri merkezi limit tcuremidir. Buna göre x'in dağıl ımı nasıl olursa olsun, ömeklem ortalama larının (r) dağılımı normal dağılıma yakınsar. Bu ne demektir ? Georgina'nın durumunda x, işyerine olan mesafeleri ver, örneklemin orta lamasını gösteriyordu. Georgina'nın h istogramındaki dağılım hiç de çan eğrisine benzemiyordu. Ama r'ların dağı lımı normal dağılıma benzer ve µ•20 değe Ortalama x uzaklığı rini merkez alır.

o rt alamasının dağılımı

Herh angi bir örneklemin ortalaması olan r değerine, tüm nüfusun ortalaması µ gibi clavranabilmemizi de yine bu özellik sağlar. Örneklcm ortalamasının değiş kenliği ise ekstra bir bilgi kazandırır. Eğer x değerlerinin değişkenl iği standart sapma (a) kadarsa, r'ların değişkenliği, n örneklemin büyüklüğü olmak üzere 0 ivn kadar o lur. Örneklem ne kadar büyük olursa normal eğri ele o kadar dar olacak,µ tahmini daha sağlıklı olacaktır. Diğer normal dağılınılar Gelin basit b ir deney yapalım. Bir madeni parayı 4 kez aracağız. T ek seferde tura gelme olasılığı p • Yz'dir. Dört atışın sonuçlarını turayı T, yazıyı Y ile göstererek kaydedebiliriz. Toplamda 16 olası lık vardır. Örneğin YTTT gelmişse ilki yazı, sonraki üçü tura gelmiş demektir. Toplamda üç kez tura gelmesini sağlayan 4 farklı o lay vardır (diğer üçü TYTT, TTYT, TTTY şeklindedir). Dolayısıyla üç cura gelmesi olasılığı 4/ı6 - 0,25 olur. Atış sayısı az olduğunda o lasılıkları kolayca hesaplayarak bir tabloyla gösterebilir, o lasılıkları n nasıl dağıld ığını görebi liriz. Bu kombinasyonlar Pascal üçgeninden de elde edilebilir (bkz. sf. 52):

T ura

sayı sı

o

1

4

6

4

1

0,0625

0,25

0,375

0,25

0,0625

( = 11ı6l

(- 4116)

(- 6116)

(- 4116)

(= 11ı6)

Kombinasyon say ısı Olasılık

2

3

4

Normal

Dağılım 1

Buna olasılıkların binom dağılımı denir ve yalnız iki sonuç (yazı veya tura) mümkün olduğunda orraya çıkar. Bu olasılıkları bir grafikte yükseklik ve alanları kullanarak gösterebiliriz.

Binom da!jılımına göre dört yazı-tura atışında gelen tura sayılar ı

o

2

3

4

---Tura

x

sayısı

Parayı dört kere atmak biraz kısıtlayıcı. Sözgelimi 100 kere atarsak ne olur? n-100 olmak üzere olasılığın binom dağılımını çıkarabiliriz. Ama bunuµ= 50 (çünkü 100 auşra 50 tura bekliyoruz) ve değişkenlik (standarr sapma) a-5 olmak üzere normal dağılımla da tahmin edebiliriz. 16. yüzyılda De Moivre tarafından k~fedilen gerçek de buydu. Başarılı

olay sayısını ölçen x değişkeni, n büyüdükçe no rmal da-

100 yazı-tura atışında tura adedinin olasılık

ğılıma uymaya başlar. Bu yüzden n değeri ne kadar büyük olursa

kestirimler de o kadar iyi olur. LOO sayısı büyük n değerleri sını fına girer. Diyelim ki 40 ila 60 arasında tura gelme olasılığını merak ediyoruz. Sağdaki A alanı bizim ilgilendiğimiz bö lge. Bu bölgenin alanı o!(40 $ x $ 60) değerini verir. Tam değerini bulmak için önceden hesaplanmış bazı matematiksel tablolara baktığımızda, bu değe rin o!(40 $ x $ 60) - 0,9545 olduğunu görürüz ki bu da epey yüksek bir olas ılıktır .

da!jılımı

x 40

50

60

Geriye kalan ise 1-0,9545 =0,0455 kadarcık bir alandır. Normal eğri orta· sından simetrik olduğu için bunun yarısı 60'dan fazla tura gelme ol asılığını verecektir. Bu da %2,275 eder ki gerçekten düşük bir olasılıktır. Las Vegas'a giderseniz aklınızda bulunsun.

>> fikrin özü

Çan eğrisi her yerde

Tura

sayısı

1 36 Verileri . . .

Birleştirmek

İki veri kümesi birbirine nasıl bağlıdır? 100 yıl önceki istatistikçiler cevabı bulduklarını düşünüyorlardı.

Korelasyon ve regresyon, et ve tırnak gibidir. Tıpkı onlarda olduğu gibi birbirinden farklıdırlar ve kendi görevleri vardır. Korelasyon, ağırlık ve boy gibi iki niceliğin aralarındaki ilişkiyi inceler. Regresyon ise birinin değerinden diğerini (diyelim ki ağırlık değerinden boyu) tahmin etmeyi sağlar. Pearson korelasyonu

Korelasyon [correlationJ terim ini 1880'lerde Francis Galton bu l muştur. Galton, ilk başta buna "ortak ilişk i" anlamındaki "co-relarion" terimini uygun görmüştü. Bir Viktorya dönemi bilimcisi olan Galton, her ~ey i ölçüp korelasyon tekniği ni kullanarak, örneğin kuşun kanat uzunluğuy la kuyruk uzunluğu gibi ikili değişkenler arasındak i ilişkileri belirleme sevdasındaydı. Adın ı Galton'un himayesindeki ve sonradan biyografisini yazan Kari Pearson'un adında n alan Pearson korelasyon katsayısı, -1 ile + l arası bir ölçekte yer alır. Eğer sayısal değeri bire yakınsa, sözgelimi +0,9'sa, değişkenler arasında güçlü bir korelasyon var denir. Korelasyon katsayısı , iki değişkenin bir doğru üzerinde yer alma eği l imlerinin bir ölçüsüdür. Eğer O'a yakınsa, iki değişken arasında neredeyse hiçbir ilişki yok demektir. iki değişken arasındaki bağın gücünü anlayabilmek için korelasyonu bulmak isteriz. Örneğin güneş gözlüğü ve dondurma satışları arasındaki ilişkiyi inceleyelim. San Francisco'da her ay ne kadar gözlük ve ne kadar dondunna satıldığıha bakalım. Yatay x ekseninde güneş gözlüğü satışlarını, dikey y ekseninde de dondurma satışlarını göstererek bir grafik çizelim. Her ay için (x, y) noktasını grafiğiınizde işaretleyeceğiz. Örneğin Mayıs ayındaki (3, 4) noktası 30.000 dolarlık güneş gözlüğü ve 40.000 dolarlık dondurma satıldığı anlamına geliyor. Bu

Adrien-Marie Legendrc en küçük kare toplamlarına göre verileri yerleştirir.

Cari Friedrich Gauss en küçük kareler yöntemini gökbilimde kullanır.

Galıon,

regresyon ve korelasyonu tanıtır.

Verileri örnekte Pearson korelasyon katsayısı yaklaşık +0,9 çıkar; demek ki korelasyon çok güçlü. Noktalar bir doğru çevresinde toplanmışa benziyor. Korelasyonun pozitif çıkması doğrunun eğimi nin pozitif olmasından (yani kuzeydoğu yönünde olmasından) kaynaklanır.

y

lki değişken aragiiç lü bir korelasyonun olması, m ut laka bi rinin öbürüne neden olduğu anlamına gelmez. Bir nedensellik i l işkisi o lsa bile hunu sırf verilere bakarak ileri süremeyiz. Tek söyleyebileceğimiz, veriler arasında bir tür koşutluk sında

ol duğudur.

Güneş gözlüğü ve dondurma örneğinde ikisi arasında güçlü

.. ..E

~ 6

5

.,,:oc: o

4

Korelasyon ve nedensellik

C>

3

•

2

• • • • • • • • • •

•

Güneş gözlüğü satışı

2

bir korelasyon vardı. Güneş gözlüğü satışları arttıkça dondurma satışları da artıyordu. Ama daha çok güneş gözl üğü satılması dondurma satışlarının artmasına neden oluyor demek komik olur. Korelasyonda her iki değişkeni etkileyen üçüncü bir değişken olabilir. Örneğin hava koşulları hem güneş gözlüğü sarışla rını, hem de dondurma satışlarını etkiliyor o labilir. Korelasyonda gizli bir tehlike daha vardır. Veriler arasında güçlü korelasyon gözükmesine rağmen aslında ne mantıksal ne de bi limsel bir ilişki o lmayabilir. Ev numaralarıyla evlerde oturanların yaş toplamları arasında güçlü bir korelasyon gözüküyorsa buradan bir anlam çıkartmaya çal ışmak sakıncalıdır. Korelasyonu başka amaçlar için de kullanabiliriz. Korelasyon katsayısı, sıralı verileri (birinci, ikinci, üçüncünün hangisi olduğunu bi ldiğimiz, ama başka sayısal verileri mutlaka bilmemizin gerekmediği verileri) incelerken de işe yarar.

Spearman korelasyonu

Bazen verilerin yalnızca sırasını bildiğimiz durumlar olur. Albert ve Zac örneğine bakal ım; bunlar buz patencilerini sanatsal açıdan puanlandıran iki tane

dediğim dedik buz pateni hakemi. Bu öznel bir değerlendirme olacak. lkisi de zamanında

Birleştirmek

Olimpiyat madalyası kazanmış olan Alben ve Zac, son beş kişiden

1896

1904

Pearson, korelasyon ve regresyona önemli katkılar yapar.

Spearman, psikolojik çalışmalarda sıra l ama korelasyonundan faydalanır.

3

4

5

6

Saçılım grafı!)i

1

1

---, VerllePi Blrlefllrmek oluşan final grubunu puanlayacaklar. Bu beş kişi Ann, Beth, C harlotte, Dorothy ve Ellie. Eğer yarışmacıları ikisi de aynı şekilde sıralarsa hiçbir sorun yok. Ama belli mi o lur, belki birbirlerinin tam tersi sıralarlar. işin gerçeği , sıralama ları bu iki uç arasında bir yerlerde olacak. Albert'in birincisi Ann, sonra sırayla Ellie, Beth, Charlotte ve Dorothy geliyor. Zac ise ilk sıraya Ellie'yi, ardından Beth, Ann, Dorothy ve Charlo tte'u yerleştiriyor. Bunları bir tabloda go"sterelim.

I- 6 Xtop/CAW.. n x (nLI) Spearman formülü

Patenci Ann Ellie Bcth Charlotte Dorothy

Albert'in sıralaması 1

2 3

4 5

n-5 Zac

•

"' ....

.., N

•

• 2

•

• 3

4

iki hakem arası ndaki uyumlulu('ıun ölçümü

Zac'in sıralaması

3

Fark, d

dı

-2

4 1

1

2 5 4

1

-1 To lam

1 1

8

iki hakem arasmdaki uyuşma oranını nasıl ölçebiliriz? Matematikçiler bu gibi sıralı veriler için Spearman korelasyon katsay ısını kullanır. Buradaki değeri +0,6 olur ki Al bert ve Zac arasında sın ırlı bir uy uşma old uğu anlamına gelir. Eğer sıra çiftlerine noktanın koordinatları gibi yaklaş ıp grafiği ni çizersek iki hakemin uyumunu görsel olarak görebiliriz.

Albart

Bu korelasyon katsayısı formülünü l 904'te, tıpk ı Pearson gibi Francis Galton'un çalışmala rından etki l enmiş psikolog Charles Spearman

5

gel iştirm işt i.

Regresyon doğnıları Boyunuz anne-babanızdan uzun m u, yoksa ikisi arasmda mı ? Eğer hepimiz anne-babamızdan uzun olsaydık, günü n birinde boyhırım ız 3 metreden uzun olurdu. Eğer hep kısa olsaydık, bu sder de gittikçe küçülüp yok olmamız gerekirdi ki bu pek mümkün görülmüyor. G erçek bu ikisinin arasında bir yerlerde olmalı. Francis Galton 1880'lerde yetişkin gençlerle anne-baba ların boyla rını karşı laştırdı. A nne ve babanın boylarının ortalamasını (x), çocukla rının boyuyla karşı laştırdı. Her pratik bilim insanının yapacağ ı gibi Galton da kareli kağıtlarını ve kalemini çıka rıp verileri işaretledi . 205 ebeveyn ortalaınas ı ve 928 çocuk için boy ortalamasmı 173,4 cm buldu. Buna vasatlık [lng. mediocrity. ç.n.] adını verdi. Genelde çok uzun boy ortalamalı ~nne-babaların çocuklar mm boyunun

Verııerı eırıeşurmek 1 ela vasatlığın üstünele, ama ebeveyn ortalamasınelan kısa oleluğunu fa rk etti. Kısa çocuklar ise genelde anne-babalannın ortalamasından uzun, ama vasatlığm altınelayelılar. Bunu New York Yankees'in ünlü vurucusu A lex Roclriguez'in performansına benzetebiliriz. Çok iyi bir sezonundan sonraki sezonda ortalaması o elcrcce iyi olmasa ela ligeleki eliğer oyuncuların ortalamasımlan iyi olacaktır. Bu durumda "vuruş ortalaması ligin ortalamasına geriledi" veya "regrese oldu" deriz. Regresyon güçlü hir tekniktir ve çok geniş uygu lama alanlnrı vnrd ır. Diyelim ki bir mağaza zincirinin yöneylem araştırma ekibi, bir anket için ayda lOOO'dcn az müşterili küçük dükkiinlarından, ayda 10.000 müşterili nıega-dükkiinlarına kaelar 5 farklı dükkan tipi belirliyor. Araştırma ekibi her dü kkllm.la çalışanların sayısına bakıyor. Regresyona bakarak diğer dükkanlarda kaç ça lışan olması gerektiğini hesaplayacaklar. Müşteri sayıs ı

(x 1000)

Çalışan sayısı

24

4

6

9

10

30

46

47

53

x koordinatı müşteri sayısını (buna açıklayıcı değişken diyeceğiz), y koordinatı

ise çalışan sayısını (buna açıklanan değişken diyegöstermek üzere bir grafik çizelim. Burada gereken çalışan sayısını belirleyen şey müşteri say ısıd ır, tersi değil. Dükkiinlardaki ortalama müşteri sayısı 6 (yani 6000 müşteri) ve ortalama çalışan sayı sı 40'tır. Regresyon doğrusu her zaman "ortalama noktası"ndan geçer. Bu örnekte bu nokta (6, 40)'tır. Regresyon doğrusunu, yani verilere en iyi uyan doğruyu hesaplamak için formüller vardır. Bizim örneğimizde bu doğru y - 20,8 + 3,2x şeklindedir. Burada eğim 3,2 ve pozitiftir. Doğru, dik y eksenini 20,B'de keser. y terimi doğrudan elde edilen y tahminidir. Dolayısıyla eğer ayda 5000 müşteri gelen bir dükkanda kaç çalışan o lması gerektiğini öğrenmek istiyorsanız, regresyon elenklem inde x - 5 koyarak y - 37 çalışan olması gerektiği tahmininde bulunabiliriz. ceğiz)

>> fikrin özü Verilerin

etkileşimi

y

-=..:

.·

54

;6;

48 ~ 44

;

ı::

40

:; 36

!' iii

..

32 28

~ 24 ı:: 20

,.

...·

"'!!!'

öi .,.

x 5

10

Müşteri sayısı (x 1000) (açık l ayıcı değişken)

1 37 Genetik Biyolojinin bir dalı olan genetiğin matematik kitabında ne işi var? Bunun cevabı, bu iki konunun çapraz döllenmeyle birbirini zenginleştirmesinde yatıyor. Genetiğin problemleri için matematik gerekmiş, ama aym zamanda cebirde yeni alt dalların oluşumuna ön ayak olmuştur. Gregor Mendel, kalıtım bilimi olan genetiğin baş-aktörüdür. Göz rengi, solaklık/ sağlaklık ve kan grubu gibi kalıtımsal özelliklerin hepsi genler (aleller) tarafından belirlenir. Mendel'in dediği gibi bu özellikler bağımsız olarak bir sonraki nesle geçer. Peki göz rengi bir sonraki nesle nasıl aktarı lır? Temel modelde iki faktör vardır:

kveK. k m::ıvi gözlü olma faktörü, K kahverengi gözlü olma faktörüdür. k

1 1

ı

k

IiI

k ; K

K

K

K

III K

K

1 1

' kk, kK ve KK genotiplerinin 1:1:3 oranlarını gösteren nüfus

K

Bu faktörlerin bireylerde çifter çifter bulunması kk, kK ve KK genotiplerini mümkün kılar (kK ile Kk ayn ı şeydir). Bir insanda göz n:ngini belirleyen bu üç genotipten biri bulunur. Ömeğin bir nüfusun beşte birimle kk, başka bir beşte birinde kK ve geri kalan beşte üçünde KK genotipi bulunabilir. Yüzde olarak ifade edersek bunlar %20, %20 ve %60 olur. Bu genotip oranlarını bir diyagramla gösterebiliriz. Kahverengi gözü temsil eden K faktörü baskın, mavi gözü temsil eden k ise çekiniktir. KK genotipli birinin gözleri kahverengi olur. K baskın olduğundan dol ayı , kK h ibrit genotipli bireyin gözleri de aynı şekilde kahverengi olur. Yalnızca kk genotipli bireylerin gözleri mavi olur. 19. yüzyıl da biyolojide çok tartışmalı bi r soru ortaya atıldı: Zamanla toplumun her bireyi kahverengi gözlü mü olacak? Mavi gözlüler tamamen yok olup gidecek mi? Bunun yanıtı kesin bir "hay ır"dı.

Abraham de Moivre Şansın Doktrini adl ı çalışmasını yayınlar.

Mendel, genlerin va rlı!jını ileri sürer ve kalıtım yasalarını keşfeder.

Genetik Hardy-Weinberg yasası

Bu sorunun y:mırı Hardy-Weinberg yasasın Bu yasa Mendeki kalıtım kuramında baskın olan bir genin nüfusa tam olarak hakim olamayacağını, çekinik genlerin yok olmayacağını söyler. dadır.

G.H. Hardy, üzerinde çalıştığı matematik konularının uygulamaya yönelik olmamasıyla övünen bir İngiliz matematikçiydi. Soyut matematik alanında büyük bir araştırmacı olsa da, daha çok genetiğe olan bu tek katkısıyla bilinir. Hardy'nin bu keşfi, bir kriket maçı sonrası bir zarfın arka yüzüne çiziktirdiği matematiksel hesaplarla hayat bulmuşnır. Wilhelm Weinberg ise çok daha farklı bir altyapıdan geliyordu. Almanya'da tıp doktorluğu yapan Weinberg, tüm ömrünü genetik çalışmalarla geçirmişti. Yasay ı 1lardy'le ayn ı zamanda, l 908'de keşfetti. Yasa, çiftleşmelerin rassal olduğu büyük bir nüfus için geçerlidir. Çiftleşmeler rassal olduğundan, örneğin mavi gözlülerin mavi gözlülerle çiftleşmek gibi özel bir tercihleri yoktur. Çiftleştikten sonra çocuk her bir ebeveynden birer faktör alır. Örneğin iki kK hibrit genotipi birbiriyle çiftle~tiğinde kk, kK veya KK ortaya çıkabi lir, ama kk ile KK çiftleşirse ortaya yalnızca kK çıkabilir. k-faktörünün aktarılması olasılığı nedir? k-faktörlerinin adedini ımyars;ık, kk genotipinde iki tane k-faktörü ve kK'larda birer tane olduğundan oransal olarak her 10 genotipte 3 k-faktörü vardır (bizim örneğimizde üç genotipin oranları 1: 1:3 şeklindeydi). Dolay ısıyla bir k-faktörünün çocuğun genotipine aktarılma oranı 3 /ıo ya da 0,3'tür. K-faktörünün aktarılma ornnı ise 7/ıo ya da O, 7'dir. Örneğin kk genotipini n bir sonraki kuşakta var olma olası lığı 0,3 x 0,3 - 0,09'dur. Tüm olasılıkları tek bir tabloyla gösterebiliriz:

k k

kk

K Kk

0,3 x 0,3 = 0,09 0,7 x 0,3 - 0,21

K kK

KK

0,3 x 0,7 - 0,2 1 0,7 x 0,7 = 0,49

Hibrit genotipler kK ve Kk aynı olduğundan bun ların ol asılığı 0,21 +0,2 1 =0,42 olur. Yüzde olarak ifade edersek, yeni nesildeki kk, kK ve KK genotiplerinin oranı %9, %42 ve %49 olur. K baskın fakrör olduğundan birinci neslin %49 +

1908

1918

1953

Hardy ve Weinberg, baskın genlerin çekinik genleri neden yok edemedi{ıini açıklar.

Fisher. Darwin'in kuramını Mendel'in kalıtım kuramıyla

DNA'nın

bağdaştırır.

çifte-sarmal

yapısı keşfedilir.

1

1Genetllı %49 =%91 'inin göz rengi kahverengi olacaktır. Mavi göz, yalnızca genotipi kk şeklinde olan %9'luk kısımda görülecektir. Genotiplerin başlang ıçtaki oranı %20, %20, %60 şeklindeydi . Şi mdi ise %9, %42 ve %49 oldu. Bundan sonra ne olacak? Bir sonraki nesli yeni durumdan hesaplamaya çalışal ım. k-faktörlerinin oranı 0,09 + 1/2 x 0,42 - 0,3; K-faktörLerinin oranıysa 1/2 x 0,42 + 0,49 ~ 0,7. Bunlar k ve K faktörlerinin bir önceki aktarım oranlarıyla tıpatıp aynı. Dolayısıyla kk, kK ve KK gcnotiplerinin bir sonraki nesildeki dağılımları da bir üncekiyle aynı olur. Mavi göz rengini veren kk genotipinin yok olmadan %9 oranında kaldığına dikkat edin. Rassal çiftleşmeler sonucu oluşan ardışık genotip dizilerindeki oranlar şu şekilde olur: %20, %20, %60 - %9, %42, %49-+ ... - %9, %42, %49 Bu durum Hardy-W cinberg yasasına uyar: Birinci kuşaktan sonra genotip oran· ları ve aktarım olasıl ıkları kuşaktan kuşağa sabit kalır.

Hardy'nin argümanı

Hardy-Weinberg yasasının yalnızca %20, %20, %60 değil, her ıürlü başlangıç nüfusu iç in geçerli olduğunu görmenin en iyi yolu, Hardy'nin 1908'de Amerikan Science dergisinin editörüne yazdığı kendi argümanına bakmaktır.

Hardy, kk, kK ve KK genotiplerinin başlangıç dağı lımlarını p, 2r ve q, aktarım oranlannı p+r ve r+q a lmıştı. Bizim sayısa l örneğimizde p-0,2, 2r-0,2 ve q-0,6 olur. k ve K faktörlerinin a ktarım ora nları ise p+r -0,2 +0, 1 -0,3 ve r+q-0,1 +0,6=0,7 olur. Peki başlangıç oranları diyelim ki %10, %60 ve %30 olsa ne olurdu? O zaman P=O,l; 2r=0,6 ve q=0,3; ak tarım oranl arıysa p+r-0,4 ve r+q=0,6 olurdu. Buradan da bir sonraki kuşağın genotip oranları %16, %48 ve %36 olurdu. Rassal çiftl eşmeler sonunda oluşan ardışık genotip dizilerindeki oranlar ise şöyle olurdu: % 10, %60, %30-+ %16, %48, %36 - . . . --+ % 16, %48, %36 0,4 ve 0,6 aktarım oran ları ve o lasılıklar, daha önceki gibi ilk kuşaktan sonra sabitlenirdi. Bu say ı lara göre nüfusun % 1 6'sı mavi gözlü, ayrı ca kahverengi göz geni baskın olduğundan %48 + %36 = %84'ü kahverengi gözlü olurdu.

ATATÜRK İl HALK 1:('-;·."!-IAN~Sİ

Genetik Dolayısıyla Hardy-Weinberg yasası, başlangıçtaki genotip oranları ne olursa o lsun, kk, kK ve KK genotiplerinin kuşaktan kuşağa sabit kalacağını söyler. Baskın K geni diğer genleri ortadan kaldırmaz.

Hardy bu modelin yalnızca bir kestirim olduğunu özellikle vurgulamıştı. Basitliği ve güzelliği gerçek hayatta tam tutmayan pek çok varsayıma dayalıydı. Modelde gen mutasyonu veya genlerin kendilerinde meydana gelecek değişim olasılıkları hesaba katılmadı. Ayrıca aktarım oranlarının sabit olmasına bakılarak evrim hakkında bir çıkarımda bulunmak doğru olmaz. Gerçek hayatla "genetik sürüklenme" vardır ve faktörlerin aktarım oranları sabit kalmaz. Bu da toplam nüfusta değişimlere ve yeni türlerin evrilmesine yol açar. 1 lardy-Weinberg yasası, Mende! kuramı (genetiğin "parçacık kuramı") ile Darwinizm ve doğal seçilimi özgün bir şekilde bir araya getiri r. Mendcl'in kalı tım kuramını özelliklerin evrildiği süreklilik kuramıyla bağdaştırabilmek içinse R.A. Fisher' in dehası gerekecekti. Genetik biliminde ! 950'lere kadar eksik olan şey genetik malzemenin fiziksel yapısının anlaşılmamış olmasıydı. Bu konuda Francis Crick, James Watson, Maurice Wilkins ve Rosalind Franklin tarafından büyük ilerlemeler kaydedildi. Genetik malzeme deoksiribonükleik asit, ya da kısaca DNA'dan oluşuyordu. Meşhur çifte-sarmalı modelleyebilmek için bir kez daha matematik gerekiyordu. Genler bu çifte-sarmalın üzerinde yer alıyordu. Matematik, genetik çalışmalarının ayrılmaz bir parçasıdır. ONA spirallerinin temel geometrisinden tutun, kısmen ileri düzey Hardy-Weinberg yasasına kadar, yalnızca göz rengini değil, kadın-erkek farkları da dahil olmak üzere nice özelliği açıklayan ve rassal olmayan çiftleşmeleri aydınlatan matematiksel modeller geliştirilmiştir. Genetik bilimi ise matematiğe olan borcunu, soyut cebirde yeni dallara öncülük ederek ödemiştir.

>> fikrin özü Gen havuzundaki belirsizikler

1

il

38 Gruplar Evariste Galois 20 yaşındayken bir düelloda öldüğünde, geriye matematikçileri yüzyıllarca meşgul etmeye yetecek fikirler bırakmıştı . Bunlar simetriyi sayısal ifade etmeyi sağlayan matematiksel yapılar olan grup kuramım içeriyordu. Simetri, sanatsal cezbediciliği bir yana, gelecekte her şeyin kuramını bulmayı hayal eden bilim insanları için de vazgeçilmez bir bileşendir. Grup kuramı, "her şeyi" birbirine bağlayan yapıştırıcıdır. Simetri her yanımızdadır. Yunan vazolarında, kar tanelerinde, çoğu binada, hatta alfabemizin bazı harflerinde. Simetrinin birkaç farklı çeşidi vardır. Bunlar arasında ayna simetrisi ve dönel simetri başta gelir. Biz burada sadece iki-boyutlu simetriye bakacağız. lnceleyeceklerimizin hepsi sayfa düzleminde yaşayan cisimler olacak. Yansıma

simetrisi Ne tür şekillerin aynadaki görüntüsü kend isiyle aynı olur? MUM sözcüğü yansıma simetrisine sahiptir, ama HAM öyle değildir. MUM'un aynadaki görüntüsü kendisiyle aynıyken HAM aynada MA H olur. Tripod, yansıma simetrisine sahiptir, ama triskelion (ayakları olan tripod) öyle değildir. Triskelion sağ-elliyse aynadaki görüntüsü sol-ellidir.

Ayna

Dönel simetri Bir şek l i sayfaya dik

Cisim

Aynadaki görüntü

bir eksen çevresinde belirli bir açı kadar döndürerek tekrar aynı şekli elde edebilir miyiz? Hem tripod, hem de triskelion dönel simetriye sahiptir. "Üç bacak" anlamına gelen triskelion ilginç bir şekildir. Sağ-elli versiyonu Man Adası'nm simgesidir ve ayrıca Sicilya bayrağında yer alır. 120 veya 240 derece• döndürdüğümüzde tekrar aynı şekli elde ederiz. Döndürmeye başlama dan önce gözlerinizi kapatırsanız, döndürdükten sonra açtığınızda aynı şekli görürsünüz.

Galois, permütasyon fikrini ortaya atar. gru pları

Cayley, g rup kavramını ge nelleştirmeyi dener.

Felix Klein, grupları kullanarak geometriyi sınıflandırmak için bir program başlatır.

Gruplar Gelgelelim, şekli ne kadar döndürürseniz döndürün sağ elli triskelionu sol elliye dönüştüremezsiniz. Aynadaki görüntüsü kendisiyle aynı olmayan cisimlere "kira!" denir. Üç boyutta sağ-elli ve sol-elli o lmak üzere iki farklı biçimde olabi len kimyasal bi leşiklerin moleküler yapıları kira! cisimlere örnektir. Bir türü limon gibi, diğer türü ponakal gibi kokan "liınonen" bi leşiği bunun örneklerinden biridir. Thalidomide ilacının bir türü hamilelikte sabah bulantısına karşı etkiliyken, diğer türü trajik sonuçlar doğurur.

Simetriyi ölçmek T riskelion örneğimizde temel simetri işlemleri (saat yönünde) 120 derece döndürme (R) ve 240 derece döndünı1edir (S). 1dönüşümü ise 360 derece döndürmektir ki bu hiçbir şey yapmamakla aynı şeydir. Bu döndürmelere göre çarpım tablosuna benzer bir tablo oluşturabiliriz.

Man Adası triskelionu

Burada bir bakıma simgeleri "çarparız". En yaygın kullanı lan yönteme göre R 0 S demek, şekle önce S işleminin, sonra R işleminin uygu lanması demektir. Yani önce 240 derece döndürme, ardından 120 derece döndürmek
vardır. Üç eksendeki yansımaları U, V ve W ile gösterelim.

1891

1983

Evgraf Fedorov ve Arthur Schönflies, birbirlerinden bağımsız olarak 230 kristalografik grubu sınıflandırır.

Sonlu basit grupların ve olur.

sınıflandırılması tamamlanır

devasa teorem

ispatlanmış

o I R 1 I R

s s

R R S S I

1

s

R

Triskelionun simetri grubu tablosu

1

1

Gruplar

su v w

o 1 R I I R s R R I I R

s s

s

u v w v w u w u v

u u w v 1 s R v v u w R I s ww v u s R I Tripodun simetri grubu tablosu

Tripodun I, R, S, U, V ve W işlemlerinden oluşan 6 derece li daha büyük olan simerri grubunu yandaki tabloda görüyoruz. ilginç bir dönüşüm, U

o

W gibi iki farklı eksendeki yansımaların bir-

leştirilmesinden elde edilir (burada ö nce W, sonra U'yu uyguladığımızı unutmayın). Bu aslında rripoclu 120 derece döndürmekle aynı kapıya çıkar:

U o W - R. Sırayı değiştirirsek 240 derece döndürmüş oluruz: W U • S. Buradan görüleceği üzere U o W W o U olur. Bu durum normal bir çarpım tabloı.unda karşılaştığımızdan çok farklıdır.

o

*

i şlem sırasının fark ermediği gruba "değişmeli grup", ya da Norveçli matematikçi Niels Abel'in adından "Abel grubu" denir. Tripodun simerri grubu, değişmeli o lmayan en küçük gruptur.

w

Tripodun yans ımaları

20. yüzyılda cebirdeki eğilim, grupların aksiyom adı verilen bazı remel kurallara göre tanımlandığı soyut cebire doğruydu. Bu bakış açısına göre üçgenin simetri gnıbu, soyut bir sistemi n örneklerinden ya ln ızca biridir. Cebirde gruptan daha temel ve daha az aksiyom gerektiren sistemler bulunur; daha kannaşık sistemler daha çok aksiyoma ihriyaç duyar. Gelgelelim, grup kavramı tam doğru ve en önemli cebirsel sistemdir. Bu kadar az aksiyomdan bu kadar büyük bir bilgi külliyatının çı kmış olması hayret vericidir. Soyut yöntemin avantaj ı genci teoremlerin tüm gruplar için çıkarsanabi lmesi ve gerektiğinde bazı özel gruplara uygulanabilmesidir.

Soyut gruplar

Grup kuramının bir özelliği de büyük bir grubun içinde daha küçük grupların bulunabilmesidir. Üçüncü dereceden triskelion simetri grubu, altıncı dereceden tripod simetri grubun un bir alt grubudur. J.L. Lagrange'ın ispatladığı temel bir teoreme göre, bir alt grubun derecesi her zaman üst-grubun derecesinin bir böleni o lur. Dolayısıyla tripod simetri grubunun dört veya beşinci dereceden alt grupları olmadığını doğrudan söyleyebiliriz.

Grupların sınıflandırılması Olası tüm sonlu grupları sınıflandır mak için geniş kapsam lı bir program yü rütüldü. Bazı gruplar daha temel başka gruplardan oluştuğu için hepsin i listelemeye gerek yoktur; asıl gerekenler temel gruplardır. Sınıflandırma ilkesi kimyadakine benzer; onda da amaç tüm bileşik leri listelemek değil, temel kimyasal elementleri -e lemanları- belirlemektir.

Gruplar Tripodun altı eleman lı simetri grubu (üç dereceli) döndürmelerden ve (iki dereceli) yansımalardan oluşan bir "bileşik"tir. Neredeyse tüm temel gruplar, bilinen sınıf lara ayrılabilir. Daniel Gorenstein tarafından l 983'te tanıtılan tam sınıflandırma, matematikçilerin 30 yıllık araştırma ve yayın larının bi rikimi sonucunda o rtaya çıkmıştır. Bu t üm grupların bir atlasıdır. Temel gruplar dört ana gruptan birine ait o lmakla birlikte 26 tane grubun hiçbir kategoriye ait olmadığı görülmüştür. Bunlara seyrek gruplar denir.

Grup aksiyomlan "Çarpma" işlemi (o) tanımlı bir G kümesinde şu özellikler varsa gruptur: 1. Her a için 1 sağlayan

2. Her a için sa ğ layan

o

a =a o 1 =a eşitliğini

bir 1 etkisiz elemanı

ao a = a o a= 1 eşitliğ ini

bir aters e l emanı vardır .

3. G'deki her a, b, c için a o (b o c) = (a o b) o c eşitliği

geçerlidir (birleşme özelliğ i).

Başına buyruk seyrek gruplar genelde yüksek derecedendir. Emile Math ieu 1860'larda bun· !arın en küçük beş tanesini bulduysa da asıl etkinlikler 1965 ile 1975 arasında gerçekleşti. En küçük seyrek grubun derecesi 7920 • 2 4 x 3 2 x 5 x 11 'dir. Fakat diğer uçtaki "bebek canavar" ve "canavar"ın dereceleri 2 40 x3 20 x5 9 x 76 x 11 2 x 13 3 x 17x 19x23 x29x31 x41x47x59x 71 eder ki 10 tabanımla yaklaşık olarak 8x 1053 sayısına karşıl ı k gelir. Bu 8'in ardından 53 tane sıfır demektir. 26 seyrek gruptan 20'si "canavar"ın alt grupları olarak gösteri lebilir. Hiçbir sınıf land ırmay ı kabul ermeyen diğer altı grup ise "altı parya" olarak bilinir.

Matematikte kısa ve şık ispatlar tercih edi lmekle birlikte sonlu grupların st· simgelerle dolu ispatı yaklaşık bir 10.000 sayfayı bulur. Matemat ikteki her gelişme bir d~hin in öne çıkmasıyla sağlanmaz.

nıflandırılmasının

>> fikrin özü Simet iyi ölçmek

vardır.

1

1

39 Matrisler Bu hikaye, matematikte 19. yüzyılda meydana gelen bir devrimin, "sıra dışı cebir"in hikayesidir. Matematikçiler asırlarca sayı bloklanyla oynamışlardı; fakat bu bloklara tek bir sayıymış gibi davranmayı akıl edenler, bundan 150 yıl önce bu yaklaşımın potansiyelini fark eden küçük bir grup matematikçi oldu. Ol ağan cebirde a, b, c, x ve y gibi semboller birer say ıy ı simgeler. Çoğu insan bun u w r bulur ama bu matemat ikçiler için ileriye doğru büyük bir adımdı. Bun un la karşılaştırdığımızda, "olağan-dışı" cebirin sismik bir kaymaya yol açtığını görürüz. Karmaşık uygulamalarda bir-boyutlu cebirden çok boyutlu cebire geçiş mü rhiş faydalar sağlad ı .

Çok boyutlu

sayılar Olağan cebirde örneğin a harfi, 7 gibi bir sayıyı temsil edebilir. Bu durumda ac 7 yazarız. Fakat matris k uramında A matrisi "çok boyutlu bir sayı" halini alır. Şöyle olabilir sözgelimi:

il

7 5 o A- O 4 3 7 (3 2 o 2

Bu matris 3 satı r ve 4 sütundan oluşuyor (3'e 4'lük bir matris) fakat satır ve sütunlar başka adetlerde de o labilir. Örneğin lOO'e 200'lük dev bir matris bile olabilir. Matris cebirinin kilit bir avanraj ı , çok uzun sayı dizilerine tek hir girdi gibi davranabilmemizdir. Dahas ı, bu sayı b lokları üzerinde kolayca işlem yapabiliriz. Her hiri 1000 elemandan oluşan iki veri kümesindeki sayıları birbiriyle toplamak veya çarpmak istersek 1000 farklı hesap yapmamız gerekmez; yalnızca tek bir hesap yapmamız yeterli olur.

Çinli matematikçiler sayı dizilerini kullanır.

J.J. Sylvester ilk kez "matris" terimini

kullanır.

Cayley, Matris/erin Kuramı Üzerine inceleme adlı çalışmasını yayınlar.

Matrısıer 1 A matrisi AJAX şirketinin bir haftalık üretimini göstersin. AJ AX şirketinin ülkenin farklı yerlerinde olmak üzere üç fabrikası var. Ü retim miktarı l OOO'er birimle ölçülen dört farklı ürün üret iyor. Bizim örn eğimizde A matrisini oluşturan bu ürünlerin üretimi şu şekilde:

Gerçek hayattan bir örnek

1. ürün

2. ürün

3. ü rün

4. ürün

7

5

o

o

4 2

3

1 7 2

1. fab rika 2. fab rika 3. fabrika

3

o

Bir sonraki haftanın üre tim programı farklı olabilir. Bun u da B matrisiyle gösterelim:

ol

9 4 ı B - O 5 1 8. [4 1 1 o

iki haftanın topla m üretimi nedir? Matris kuramcıları bunun iki matrisin toplamı o lan A + B matrisi olduğunu söyler:

A+ B -[~:~ ~:: ~:: ~:~)- [ : : ~ ı s) 1

3 +4

2+ 1 0+1

2+0

7

1

3

1

2

Çok zor sayılmaz. N e yazık ki matris çarpı mı biraz daha karmaşık. AJAX şir ketine dönersek, d iyelim ki dört ürününün birim kllrı 3, 9 , 8, 2 o lsun. Birinci fabrikanın 7, 5, O, l üretimi iç in toplam karı hesaplayabiliriz: 7x3 + 5x9 + 0 x8 +l x2-68. Ancak tek bir fabrikayla uğraşma k yerine tüm fabri kal arın toplam kıirla rını (T ) şu şekilde hesaplayabiliriz: 7 5

T-

o 4 [3 2

l

3

o3

7x 3+ 5x9+0 x 8+ 1x 2 l [68) 9 7l x - Ox3 + 4 x 9+ 3x 8+ 7x 2 • 74

o

2

8 2

[ 3 x3+ 2x 9+0 x 8+ 2x 2

31

1878

1925

Georg Frobenius. matris cebirinin bazı kilit sonuçlarını ispatlar.

Heisenberg, matris mekani!)ini kuantum kuram ı nd a kullan ır .

.-:atrısıer Dikkatli bakarsanız hirinci matristeki satırların ikinci matristeki sütunlarla ç;ır fark edebilirsiniz. Bu matris çarpınım en temel özelliğidir. Eğer biri karla~a ek olarak birim hacimler de verilmişse, tek bir matris çarpımıyla üç fabrikanın hem karlarını hem de depolama gereksinimlerini hesaplayabiliriz: pıldığını

[ ~ ! ~ ~ı 1:8 ~1 ~: ~:ı 3 2

o

2

x

=[

2

5

31 39

Depo gereksinimleri 74, 54 ve 39 olmak üzere sonuç matrisinin ikinci sütununda yer alıyor. Matris kuramı çok güçlüdür. Yüzlerce fabrikası ve binlerce ürünü olan bir şirket düşünün. Birim karları ve depolama gereksinimleri her hafta değişiyor olsun. Matris cebiri sayesinde hem hesaplamalar basitleşir, hem de ayrıntıları dert etmemiz gerekmez. karşılaştırması Matris cebiri ve normal cehir arasında pek çok koşutluk vardır. En belirgin fark matrislerin çarpımında olur. A matrisini B matrisiyle, ardından B matrisini A matrisiyle çarpalım:

Matris cebiri ve normal cebirin

AxB=(3 5)x(7 6)-(3x7+5x4 3x6+5x8)-(41 58) 2 1 4 8 2x7+ lx4 2x6+lx8 18 20

BxA-(7 6)x(3 5)-(7x3+6x2 7x5+6xl)-(33 41) 4 8 2 1 4x 3+ 8x 2 4 x 5 + 8 x 1 28 28 Görüldüğü

gihi matris cebirinde A x B ve B x A aynı olmak zorunda Halbuki normal cebirde çarpınım sırası fark etmez.

değildir.

Bir başka fark ise tersleri hesaplarken ortaya çıkar. Normal cebirde sayı ların tersini hesaplamak kolaydır. a= 7 ise tersi 1/7'dir, çünkü ikisini çarpınca 1 eder. Bunu bazen a- 1 = 111 ve a 1 x a = 1 diye yazarız. Şimdi de matrislerden bir örneğe bakalım.

Sağlamasını

yaparsak K' x A-

(-37 -1ı) x (31 72) (oı o)1 g

olur.

Matrisler

1

Burada 1 -( . o 1) matrisi birim matristir ve normal cebirdeki 1 sayısına karşılık ge1ır. 1 0

Normal cebirde tersi o lmayan tek sayı sıfırken matris cebirinde tersi olmayan pek çok matris vard ır.

Gezi planlan

Matris uygulamalarının bir başka örneği havaalan-

larının uçuş trafiği analizidir. Bunların bazıları merkezi, bazıları küçük havaalanlarıdır. Gerçek hayattaki uygulamalarda yüzlerce havaalanı olsa da, bizim örneğimizde merkezler Londra (L) ve Paris (P), küçükler ise Edinburgh (E), Bordeaux (B) ve Toulouse (T) olacak. Sağdaki şekilde doğrudan uçuşlar çizgiyle belirtilmiş. Bu gibi ağları bilgisayarda ana liz edebilmek için önce matris şeklinde kodlamak gerekir. Eğer iki havaalanı arasında doğru dan uçuş varsa matriste bu iki havaalanının satır ve sütunlarının kesiştiği kutuya 1, yoksa Oyazı lır. Bu ağın bağlantı matrisini Aile gösterelim.

A matrisinde sağ alt köşede noktalı çizgi lerle çevrelenmiş olan alt-matris, üç küçük havaalanı arasında doğrudan uçuş olmadığın ı gösteriyor. Bu matrisin kendisiyle çarpımı olan A x A - N matrisini iki havaalanı arasında tek bir aktarma ile gidilebilecek olası yolculukların sayısı o larak düşünebiliriz. Dolayısıyla örneğin Paris'e hu şek ilde 3 türlü yolculuk mümkünken Londra'dan Edinburgh'a aktarmalı yolculuk mümkün değildir. Doğrudan veya bir aktarmalı rotaların sayısın ı ise A + A 2 matrisi ile bulabiliriz. Bu durum, matrislerin tek bir işlemin ~emsiyesi altında çok fazla veriden bilgi üretme kapasitesinin bir başka örneğidir.

Sayı

bloklar1yla çahşmak

!.. 0

A "'

E

6"

\

\

p

"'

P/

Küçük bir grup matematikçi l850'lerde matris kuramını yarattığında amaçları soyut matematikte karşılaştıkları bazı problemleri çözmekti. Uygulamalı matematik açısından matris kuramı "problem arayan bir çözüm"dü adeta. Çoğu zaman olduğu gibi, gelişmekte olan bu kurama ihtiyaç duyan problemler ortaya çıktı. ilk uygulamalardan biri 1920'lerde, Werner Heisenberg kuantum kuramının bir parçası olan "matris mekaniği"ni incelerken doğdu. Bir başka öncü ise bir dönem uçak tasarımı üzerine çalışan ve matris cebirini kullanan Olga Taussky-Todd oldu. Konuyu nasıl keşfettiğ i sorulduğunda kendisinin matris kuramını değil, matris kuramının kendisini keşfettiğini söyledi. Matematik oyunu böyledir işte.

>> fikrin özü

I

L

1

!',

\

C)

,'

\ 1

,-,

c

cı

o

'

,-,

40 Kodlar

~

~


Julius Caesar'ın modern dijital sinyallerin aktarımıyla ortak yam nedir? Kısa cevap: kod ve kodlama. Bir bilgisayar veya dijital televizyona dijital sinyaller göndermek için, resim ve sesleri sıfır ve birlerle (ikili sayma sisteminde) kodlamak gerekir, çünkü bu aletlerin anladığı tek dil budur. Caesarda komutanlarıyla iletişim kurmak için kodlar kullanır, mesajları nın harflerini yalnızca kendisinin ve komutanlarının bildiği bir anahtara göre değiştirirdi. Mesaj ların hatasız olması Caesar için hayati önemdeydi.

Dijital sinyaller içinde ay-

nısı geçerlidir. Üstelik sinyalleri yalnızca ödeme yapan müşterilerin çözebilmesini

isteyen kablo ve uydu yayın kanalları gibi, Caesar da kodları gizli tutmak istiyordu. Önce hatasızlıktan başlayalım. insan hatası veya "hatta gürültü" her zaman meydana gelebilir. Bir şekilde bun un üstesinden gelmek gerekir. Matematiksel yöntemlerle hatayı kendiliğinden fark eden ve hatta düzeltmeler yapan kodlama sistemleri oluşturabiliriz.

Hata belirleme ve düzeltme

ikili kodlama sistemlerinin ilk örneklerinden biri, nokta • ve ç izgi - kullanan Mors koduydu. Amerikalı mucit Saınuel F.B. Morsc ilk şehirlerarası mesaj ı kendi koduyla Washington'clan Baltimore'a 1844'te göndermişti. Bu kod, 19. yüzyılın ort asında e lektrikli telgraf için tasarlanmış, verimli olup olm aması dikkate alınmamış bir koddu. Mors kodunda her karakter nokta ve çizgilerden oluşur. Örneğin A harfi •-, B-• • • , C -•-• biçimindedir. "CAB" mesajını göndermek isteyen bir telgraf operatörü -•-• / •- / -••• dizisini gönderir. iyi yanları ne olursa olsun, Mors kodunda hataları düzeltmesini geçtik, fark etmesi bile çok zordu. Telgraf operatörü "CAB" mesajını göndermek isterken C'de nokta yerine çizgi koyar, A'daki çizgiyi unutur ve teldeki gürültü yüzünden B'nin bir noktası çizgiye dönüşür de ••-• / • / --•• mesaj ı giderse a lıc ı bunu "FEZ" diye okurdu.

Julius Caesar. Britanya'yı fet hederken generalleriyle konuşmak için gizli bir kod

Euler'in teoremi açık anahtarlı kriptografinin temellerini oluşturur. kullanır.

Kodl8J' Yalnızca bir tane O veya l 'den oluşan çok ilkel bir mesajlaşma sistemi düşü

nelim. Diyelim k i bir komutan ordusuna "istila edin" anlamında "1 ", "istila etmeyin" anlamım.la "O" mesajını gönderecek. Eğer bu 1 veya O yanlış giderse alıcının bunu bilmesine imkan yok. Bu da korkunç sonuçlar doğurabi lir. Kodların uzunluğunu iki karaktere çıkartarak işleri biraz c.laha güvenli hale getirebiliriz. Eğer "istila edin" komutunu 1 1 ve "istila etmeyin" komutunu 00 ile gösterirsek, tek bir karakterde meydana gelen hataları fark edebiliriz. Geçerli kodlar yalnızca 11 ve 00 olduğundan, karşı tarafa Ol veya 10 mesajları ulaşırsa bir hata olduğunu anlayabilir. Bu sistemde hataları belirleyebilsek de nasıl düzelteceğimizi yine bilemeyiz. Eğer Ol mesajı gelirse, asıl mesaj 11 mi yoksa 00 mıydı nasıl anlayabiliriz?

Daha iyi bir sistem için daha uzun kodlar kullanmamız gerekir. "İstila edin" komutunu 111 ve "istila etmeyin" komutunu 000 ile kodlarsak daha önce olduğu gibi tek karakterdeki hataları fark edebiliriz. Ayrıca eğer en fazla tek bir karakterde hata olabileceğini biliyorsak (aynı kodun iki karakterinde hata olasılığı düşük olduğundan kabul edilebilir bir varsayım) alıcı hatayı düzeltebilir bile. Örneğin 110 mesajı gelmişse orijinal mesaj 1 1 1 olmal ıdır. Kurallarımıza göre mesaj 000 olamaz, çünkü o zaman 110 mesajımla iki hata ol muş demektir. Bu sistemde mesaj lar sadece üç karakterden ol uşsa hile, 000 ve 11 l şeklindeki iki kod sözcüğü birbirlerinden yeterince uzak oldukları için hatayı belirlemek ve düzeltmek mümkündür. Metin programları otomatik düzeltme modundayken de aynı ilke kullanıltr. Eğer "hayvon" yazarsak program h atayı fark eder ve en yakın sözcük olan "hayvan"a dönüştürür. Gerçi bazı sözcükler arasında tek karakterlik fark olduğundan dilde tam o tomatik düzeltme o lmaz. Örneğin "!ar" yazdığımızda bu bar, dar, far, kar, nar, sar, zar vs. gibi pek çok sözcük olabilir. Modem ikili kcxllarda kcxl sözcükleri sıfır ve birlerden oluşan bloklar halindedir. Geçerli kod sözcükleri birbirinden yeterli uzaklıkta seçilirse hataları hem belirlemek, hem de düzeltmek mümkün olur. Mors alfabesindeki kodlar birbirine çok yakındır, oysa uydulardan veri aktarımı yapan tüm mo
ı 844

ı 920'ler

ı 950

Morsa, kendi kodunu kullanarak ilk mesajı gönderir.

Enigma

Richard Hamming, hata bulan ve hata düzelten kodlar üzerine kilit bir makale yayınlar.

bilgisayarı

geliştirilir .

ı 970'ler Açı k anahtar kripıografisi ge l iştirilir.

1

1

Kodlar sistemlerinde otomatik düzeltme modu bulunur. Hata payını düşüren uzun kod sözcüklerini aktarmak daha uzun sürdüğünden burada hatasızl ık ve hız arasında bir getiri-götürü vardır. NASA, uzayın derinliklerine yaptığı yolculuklarda üç-hata düzeltmeli kodlar kullanmış ve hatlardaki gürültüyle baş edebilme konusunda tatmin edici sonuçlar almıştır.

Gizli mesaj göndermek Julius Caesar, yalnızca kendisinin ve generallerinin bildiği bir anahtara göre mesajındaki karakterlerin yerlerini değiştirerek mesajlarını gizli tutardı. Anahtar yanlış kişilerin eline geçerse düşmanları mesajları okuyabilirdi. Ortaçağda lskoç Kraliçesi Mary, hapishane hücresinden gizli bir kodla mesaj gönderirdi. Mary, kuzeni Kraliçe Elizabeth'i tahtından indirmeyi planlıyordu, fakat gizli mesajları ele geçirildi. Kullandığı kod Romalı ların bir anahtara göre harflerin yerini değiştirme tekniğinden daha karmaşıktı; harfler başka simgelerle temsil ediliyordu. Ancak harflerin ve kullanı lan simgelerin sı kl ığını inceleyerek şifreyi çözmek mümkündü. 2. Dünya savaşında Almanların Enigma kodu, anahtarı keşfedilerek çözülmüştü. Bu kodu çözmek her ne kadar çetin bir i ş o lsa da, kodun anahtarı mesajın bir parçası olarak iletildiğinden her an tehlikeye açıktı. Mesaj kriptolamada şok edici bir gelişme 1970'lerde yaşandı. Daha önceki tüm inanışların aksine, gizli anahtar herkese duyurulup yine de mesajın gizli kalması mümkündü. Buna açık anahtarlı kriptografi denir. Yöntemi, en gereksiz matematik dalı olarak ünlenen bir konudaki 200 yıllık bir teoreme dayanır. Açık anahtarlı kriptografi Casusluk camiasında kısaca 'T' olarak bilinen John Gönderici, şehre az önce geldi ve amiri Dr. Rodney Alıcı'ya geldiğini gizli bir mesajla haber vermek istiyor. Ardından hiç beklenmedik bir şey yaparak halk kütüphanesine gidiyor ve raflardan aldığı rehberde Or. R. Alıcı'ya bakıyor. Rehberde doktorun karşısında iki numara var: biri uzun, 247; diğeri kısa, 5. Bu herkese açık bir bilgi. John'un mesajını kriptolamak için ihtiya cı olan tüm bilgi de bu. Basit olması açısından mesajında yalnızca adının kısaltması olan J harfi var. Bu harf, bilgisayarlarda kullanılan ASCII kodunda 74 sayısına karşılık geliyor ki hu bilgi de herkese açık.

Gönderici 74 sayısını kriptolamak için 745 (mod 247) sayısını hesaplıyor. Bu sayı, 745'in 247'ye bölümünden kalana eşittir. Hesaplarsak:

745 = 74 x 74 x ve

74 x 74 x 74 = 2.219.006.624

Kodlar 2.219.006.624 = 8.983.832 x 247 + 120 Kalanın 120 olduğunu görüyoruz. Gönderici, şifreli mesajı olan l 20'yi Alıcı'ya gönderiyor. 247 ve 5 sayıları herkese açık olduğundan dileyen herkes mesaj şifreleycbilir ama herkes şifreyi çözemez. Dr. R. Alıcı'da diğerlerinde olmayan bir bilgi var. Kişisel iki numarasından biri olan 247'yi iki asal sayıyı çarparak elde etmişti. 24 7, p = 13 ve q = 19'un çarpımıydı ve bunu yalnızca o biliyordu.

İşte tam bu noktada Leonhard Euler'in kadim teoremini çıkarıp üstündeki tozları silmemiz gerekiyor. Dr. R Alıcı'nm öyle bir a sayısı bulması lazım ki bu a sayısı 5 x a • 1 mod(p-1 )(q-1) denklemini sağlas ın. Buradaki• işa reti modüler aritmetikte eşittir anlamına gelir. 5 x a sayısını 12 x 18- 216'ya böldüğümüzde kalanın 1 olmasını istiyoruz. Bunu hesapladığım ızda a • l 73 olduğunu buluruz.

p ve q sayılarını b ir tek kendisi bildiği için 173

sayısını yalnı z Dr. Alıcı hesaplayabiliyor. Bunu daha önce bulduğu 120 ile birlikte kullanarak 120173 sayısını 247'ye bölüp kalanı hesaplıyor. Bu sayı bir hesap makinesiyle olmasa bile bir bilgisayarla kolayca hesaplanabilir. Euler'in 200 yıl önceden belirttiği gibi cevap 74 çıkar. Alıcı, 74 sayısının hangi harfe karşıl ık geldiğine bakıyor ve J'nin şehre

gelmiş olduğunu anlıyor.

Diyebilirsiniz ki şifreyi kırmak isteyen biri 247 - 13 x 19 olduğunu fark edip kodu kolaylıkla çözebilir. Haklısınız. Fakat Dr. A lıcı çok daha büyük iki asal sayı seçip on ları çarparak 247'den çok daha büyük bir sayı kullanabilirdi. Çok büyük bir sayının iki asal çarpanını makul sürede bulmak uygulamada mümkün değildir. 24.812.789.922.307'nin çarpan ları nedir mesela? Bundan da çok daha büyük sayılar seçilebilir. Açık anahtarlı kriptografiyi güvenli kılan budur. Eğer süper-bilgisayarları bir araya getirerek kripto sayısını çarpanlarına ayırabil iyorsanız, Dr. Alıcı'nın tek yapması gereken sayı ları daha da büyütmektir. Sonuçta Dr. Alıcı'nın yaptığı "kara kumla beyaz kumu karıştırma işi", şifreyi kırmak isteyenin yapmaya çalıştığı kumları ayırma işinden her zaman çok daha kolay olacaktır.

>> fikrin özü

Mesajları

gizli tutmak

1

1 41

•

Il~ri

Düzey Sayma v ~


Matematiğin

kombinatorik adı verilen dalının bir diğer adı ileri düzey Burada söz konusu olan bir sütundaki sayılan kafadan toplamak değildir. "Kaç tane?" sorusunun yanında "cisimler kaç farklı şekilde birleştirilebilir?" sorusu da önemlidir. Sorular genelde basitçe ifade edilir - matematiksel kuramların ağır ifadelerinden uzaktır. Kollarınızı sıva madan önce ön çalışmalar yapmanız gerekmez. Bu etkenler kombinatorik sorularım çekici kılar. Fakat bu soruların yanlarına bir sağlık uyarısı eklemek gerekir: Bağımlılık yapabilir ve uykusuzluğa neden olabilirler. saymadır.

Çocuklar kombinatorikle erken yaşlarda tanış Geleneksek bir yuva tekerlemesi kombin::ıtorik sorusu sorar:

St Ives'den bir hikaye tırı labilir.

St. lves'e giderken Yedi karılı bir adama rastladım; Her kadında yedi çanta, Her çantada yedi kedi, Her kedide yedi yavru vardı. Yavrular, kediler, çantalar, kadınlar, St. lves'e gidenlerin sayısı kaçtı? Tuzak soru son dizede. St. lves'e bir tek soruyu soran kişi gidiyor, dolayısıyla• cevap birdir. Bazıları soruyu soran kişiyi de katmıyor; onlara göre cevap sıfır dır. Bu gibi sorularda doğan belirsizlikler için bazı varsayımla rda bulunmamız gerekir. Sr. lves'den gelenlerin sayısı kaçtı diye de sorabilirdik. Yi ne varsayı m lar önemli. Adamın ve eşlerinin St. lves'dcn ge l diğine emin miyiz? Adamı

Mısır'da Rhind papirüsü yazılır.

Bhaskara, permütasyon ve kombinasyonlardan bahseder.

lıerı Düzey Sayma 1 gördüğümüzde eşleri yanımla mıydı netliğe ka vuşcurınaınız

yoksa başka yerde miydi ? Hunları en baştan

gerekir.

Grubun St . lves'den geldiğin i ve "yavrular, kediler, çantalar, kad ınla r"ın hep birlikte olduğunu varsayalım. S t. lves'den gelen lerin sayısı kaçtı ? Aşağıdaki tablo bunun cevabını veriyor.

1 7 7x7 7 x7 x 7 7x7x7x7

adam karıları

cantalar kediler vavrular Toplam

1

7

49 343 240 1 2801

İskoç antikacı A lexander Rhind, 1858'de Luksor'u ziyaret ede rken r;ı~ıl:ıdığı MÖ l 800'den ka lına, üzeri Mısır matematiğiyle dolu 5 metre uzunluğund:ık i papirüsü satın aldı. Bir kaç yı l sonra British Museum'a geçen papirü, un uzerin deki hiyeroglifler tercüme edild i. Rhind papirüsündeki evler, kediler, f;ı rek•r w buğdayla ilgili 79. soru, St. lves sorusuna oldukça benzer. Her iki' i de yedini n katlarıyla ilgilidir ve aynı şeki lde çözülür. Öyle anlaşılıyor ki koınbınaıori k epey uzun bir geçmişe sahip.

Bekleme kuyruğuyla ilgili bir soruya bakarak koıııbimııorik ilk sil ah ıy la tanışalı m: fa ktöriyeller. Diyelim ki Al:ın , Br i:ın, Charlotte, D avid ve Ellie bir sıra oluşturmak istiyorlar.

Faktöriyeller cepha n el iğimi zin

E

C

A

B

D

Buna benzer toplam kaç farklı biçimde sı ra lana bilirler? Bu soruda olası l ıkla rı sayarken seçeneklere bakma lıyı z. Ku yruğa ilk kimin gireceği konusunda 5 farklı seçeneğimiz var. Bu kişiyi seçt ikten sonra ikinci için geriye 4 seçenek kal ır ve bu şekilde devam eder. Son yere geldiğimizde geriye tek bir kişi kaldığı için tek seçenek o lur. Toplamda 5 x 4 x 3 x 2 x l • l 20 türlü sıra lanabilirler. 6 kişi olsaydı 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 - 720, eğer 7 ki~i olsaydı 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x l = 5040 farklı şekilde sıralanabilirlerdi.

1850

1930

1971

Kirkman, 15 kız öğrenci

Frank Ramsey, kombinatorik üzerine çalışmalar yapar.

Ray Chaudhuri ve Wilson, genel Kirkman sistemlerinin varlığını ispatlar.

sorusunu sorar.

1

beri Düzey Sayma

savı

o 1 2

3 4 5 6

7 8 9

faktörivel 1 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362 880

Ardışık tamsayıların bire kadar çarpımıyla elde edilen sayıya faktöriyel sayı denir. Bunlara matematikte o kadar sık rastlanu ki özel bir gösterimle belirtilir· ler. Ômeğ(n 5 x 4 x 3 x 2 x 1 yerine 5! yazılır ve "beş faktöriyel" diye okunur. 1lk birkaç faktöriyelin değerine bakalım. O!'i l olarak tanımlayacağız. llk fark ettiğimiz şeylerden biri faktöriyellerin değerlerinin hızla büyüdüğü. n küçükken bilen! çok büyük olabilir.

Yine beşli bir kuyruk oluşturalım, ama bu sefer aralarından seçeceğimiz 8 kişi olsun: A, B, C, D, E, F, G, H. Analiz neredeyse aynı. Birinci yer için 8 seçe· nek, ikinci yer için 7 seçenek var ve böyle gidiyor. Fakat bu sefer son yer için 4 seçenek kalıyor. Olası kuyruk sayısı 8x7x6x5x4-6720 olur. Bunu faktöriyel gösterimiyle yazmak istersek: 8 x 7x 6 x 5 x 4 - 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 3x2x1

Kombinasyon C

E

B

8! 3!

Kuyrukta sıralama önemlidir.

A

D

D

A

C

E

B

aynı

harflerden oluşur ama farklı kuyruklardır. 5 harfin 5! farklı şekilde sıra· zaten görmüştük. Eğer 8 kişiden 5 kişiyi sırasına bakmadan kaç farklı şekilde seçebileceğimizi bulmak istersek 8 x 7 x 6 x 5 x 4 ~ 6720'yi 5!'e bölmemiz gerekir. Dolayısıyla 8 kişiden 5 kişiyi lanabileceğini

8 x 7 x 6 x 5x4 5x4x3x2xl

=

56

farklı şekilde seçebiliriz. 8'in 5'li kombinasyonu olan bu ifade 8C5 şeklinde yazılır: 8

C

s

Sayısal

!otoda 49'a kadar 6

=

..!!.__ = 56 3! 5!

farklı sayıyı doğru

bilmemiz gerek ir. Toplam kaç

olasıl ık vardır?

C

=

49

6

49! _ 49 x48x 47 x 46x 45x44 43!6! 6x5x4x3x2xl

Tek bir doğru kombinasyon milyonda birdir.

olduğu

=

!3.

981816

için büyük ikramiyeyi kazanma olasılığı 14

beri Düzey Sayma Kombinatorik çok geniş bir alandır. Eski olmasına bilgisayar bilimiyle olan bağından dolay ı son 40 yılda çok hızlı ge l işm i şt ir. Çizge kuramı, Latin kareleri gibi problemler modern kombinatoriğin örnekleridir.

Kirkman problemi rağmen

Kombinatoriğin

özünü en iyi yakalayanlardan biri, kombinatoriğin daha çok bir devirde üzerinde çal ışan, ko nunun uzmanı Peder Thomas Kirkman olmuştur. Ayrık geometri, grup kuramı ve kombinatoriğe pek çok orijinal katkıda bulunmasına rağmen h içbir üniversitede görev a lmam ı ştır. Matematikte kendisine saygın l ı k kazand ı ran problem, adının bugün de anılma sının baş nedenidir. 1850'de Kirkman "15 kız öğrenci problemi"ni ortaya attı. Eğer sudokudan sıkıl
Kirkman'ın sorusunun 7 farklı çözümü var. Bizim burada vereceğim iz çözüm "döndürerek" elde edilen "döngüsel" çözüm.

Salı

Pazartesi a b c

d e

A E B f F

v o G I!

c

b c d e f

B F

Çarşamba

v

g

E A a

G

o

c

c d e f g

c v G D a A

F B b E

Perşembe

d e f g

a

o v A E b B

c

e f g

c F

a b

G

C umartesi

C uma E B F c

v

f

F

A

g

c

o

c

G

a b c

d

G
o

v B E e A

Çözümün döngüselliği her gün yürüme sırasının a'dan b'ye, b'den c'ye, en son g'den a'ya değişiyor olmasından geliyor. Aynısı büyük harfler için
>> fikrin özü Kaç farkh kombinasyon var?

Pazar g a b c d

v o c

G A e E

F f B

1


42 Sihirli Kareler "Bir matematikçi tıpkı bir ressam veya şair gibidir," diye yazmıştı G.H. Hardy, "örüntüler bulmaktır işi." Sihirli kareler, matematik standartlarına göre bile çok ilginç örüntülere sahiptir. Bol simgeli matematik ve bulmaca severlerin bayıldığı baştan çıkarıcı örüntülerin sınırında yer alırlar.

B D

Sihirli kare, her kutusunda farkl ı bir say ı o lan ve her satır, sütun ve köşegenin aynı top lamı verdiği kare matristir. Tek bir kutudan oluşan matrisler de bu tanım gereği sihirli kare o lsalar hile herhangi bir ilginçlikleri olmad ı ğından onlara değinmeyeceğiz. 2 satır ve 2 sütunlu sihirli kare olamaz. Olsaydı yandaki gibi olması gerekirdi. Satırl ar ve sütunların toplamı aynı olacağı için a+b-a+c olurdu. Ama o zaman b = c olacağından tanımda yer alan kutulardaki sayıların birbirinden farklı olması koşuluyla çelişir.

Lo Şu karesi 2x2 kare matris olmad ığı için 3x3'lere bakalım. Normal bir sihirli kareyle başlayalım. Normalden kastımız, içindeki sayıların 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 olması. Bu küçüklükte bir kareyi "deneme ya nılma" yöntemiyle o luşturab iliri z. Ama önce işimizi kolaylaştıracak bir iki çıkarımda bulunsak fena olmaz. Matristeki tüm sayı ları toplarsak

c

1 +2+3+4+5+6+7+8+9-45 eder. Toplam 3 satır olduğuna göre her satırın (ve sütunun ve köşegenin) 15 toplamın ı vermesi gerektiğini çıkartabiliriz. Şimdi ortadaki kutuya (c) bakalım. • Bu c kutusu 2 köşegende, orta satırda ve orta sütunda geçiyor. Bu dört sıradaki sayıları toplarsak 15 + 15 + 15 + 15 = 60 olması gerekir. Fakat dikkat edecek olursak, iki köşegen, orta sa tır ve orta sütundaki kutular matristeki tüm kutular

Slh rD Kareler artı üç tane fazladan c mı l am ına gelir. Dolay ıs ıyla 3c + 45 • 60 olmalı. Buradan da c • 5 o lmak zorundadır. Daha başka kural lar
S ihirli kare olu~turmak için tamamen sistematik bir yöntem o lsa hiç fena o lmaz. Bunlardan biri 17. yüzyıl son larında Siyam Kralı'nın Fransa elçisi Simon de la Loubere t a rafından bulunmuştur. Ç in ma tematiğine merak salan Loubere, tek sayıda satır ve sütundan oluşan sihirli kareler için bir yöntem bulmuştu . Bu yöntemde birinci satırın ortasına 1 koyar, a rdından "yuka rı , karşıya ve gerek irse döndürerek" 2 ve diğer sayıları sıray la koyarız. Eğer o say ı o lmuyorsa bir sonraki sayı kullanılır.

ilginç bir şekilde, 3 sütun ve 3 satırlı bu normal sihirli kare tek olası çözümdür. Diğer tüm 3x3 kareler bunun yansıma veya dönel simetrisini alarak elde edilebilir. Ç in'de MÖ 3000 yılından beri bilinen bu kareye "Lo Şu" karesi adı verilir. Efsaneye göre ilk olarak Lo ırmağını geçen bir kap l umbağa nın s ırtında rastlanmıştır. Yerli halk bunu, adaklarını artırmazlarsa sa lgın h asrn lıkların bitmeyeceğine dair tanrıl ardan gelen bir mesaj o larak al gıl amı~tır.

8

1

6

3

5

7

4

9

2

Siyam yöntemiyle çözülmüş bir 3x3 sihirli kare

3x3 sihirli karelerin tek çözümü vardır dedik. Peki ya 4x4'lerin ? Şaş ırtıc ı ama bun lar tam 880 tanedir (ve haz ır o lun, Sx5 sihirli kareler tam 2.202.441 .792 tanedir) . Genel o larak nxn'lik kaç sihirli kare olduğunu bi lmiyoruz. Lo Şu sihirli karesi eskiliğinden iyi bilini r. Ama 4x4 karelerden bir tanesi ün lü bir ressamın eserinde ikonlaşmıştır. 880 farklı tür arasında ken
Dürer ve Franklin'in kareleri ve

yeganeliğinden dolayı

Dürer'in karesinde tüm sat ır, sütun ve köşegenler, ayrıca 4x4'lük kareyi oluştu ran 2x2'lik kareler 34 toplamını verir. Hatta Dürer eseri yaptığı 1514 tarihini de son satırın ortasına yerleşt irmeyi başarmıştır.

1693

1770

1986

Bernard Frenicle de Bessy, mümkün olan 880 adet 4x4 karenin hepsini sırala r.

Euler, karelerden oluşan bir kare oluşturu r.

Sallows, harflerden karesini oluştu rur.

oluşan

1

1

Sihirli Kareler Amerikalı

52

61

4

13

20

29

36

45

14

3

62

51

46

35 30

19

53

60

5

12

21

28

37

44

11

6

59

54

43

38

27

22

55

58

7

10

23

26

39

42

9

8

57

56

41

40

25

24

50

63

2

15

18 31

34

47

16

1

64

49

48

32

17

33

bilim insanı ve diplomat Benjamin Franklin sihirli kare oluşturma işini bir zeka bileme egzersizi olarak görürdü. Bu işte oldukça ustalaşan Franklin'in, karelerini nasıl oluşturduğu hakkında pek bir bilgimiz yok. Büyük sihirli kareleri bulmak için şanstan fazlası gerekir. Fr:ınklin çocukken "Arithmetick"e pek meraklı olmasa da sihirli karelere oldukça uzun zaman harcadığını itiraf etmiştir. Gençliğinde keşfet tiklerinden bir tanesini yanda görebilirsiniz. Bu normal sihirli karede her türlü simetri bulunmaktadır. Tüm satırlar, sütunlar ve köşegenlerin toplamı 260 eder. Ayrıca birini boyadığımız "eğik sanrlar"ın toplamı da 260'tır. Daha keşfedilecek pek çok özelliği vardır. Örneğin merkezdeki 2 x 2 kare ve dört köşe kutuların toplamı yine 260 eder. Dikkatli bakarsanız her 2x2 kare için ilginç bir özellik göreceksiniz.

Bazı sihirli kareler farklı tamkare sayılardan oluşur. Bunları ilk dile getiren 1876'da Edouard Lucas olmuştur. Bir tanesi oldukça yaklaşmışsa da bugüne kadar kimse 3x3 tamkare kare bulamamıştır.

Kare kareler

1272

462

582

22

1132

942

742

822

97 2

Bu karenin tüm satırları, sütunları ve köşegenlerinden bir tanesi 21.609 toplamını verir. Fakat diğer köşegenin toplamı 1272 + 113 2 + 972 = 38.307 olur. Eğer siz de denemeye niyetlenirseniz şu ispatlanmış bilgi aklın ızda bulunsun: Ona kutunun 2, 5 x 1025 'ten büyük olması gerekir. Dolayısıyla küçük sayılarla denemeler yapmak boşuna. Bu konu, Fermat'nın Son Teoremi'nin ispatında kullanılan eliptik eğrilerle bağı olan ciddi bir matematik konusudur. Kutuları küp veya dördüncü dereceden olan 3x3 sihirli kareler olamayacağı ispatlanmıştır. Daha büyük boyutlu kare kareler için olan araştırmalarsa başarıyla sonuçlanmışrır. 4x4 ve 5 xS kare kareler bulunmaktadır. l 770'te Euler inşa yöntemini göstermeden bunlardan bir tanesini buldu. O günden beri kuatemion, yani dört-boyutlu karmaşık say ıların cebiriyle bağlantılı olarak pek çok örnek bulundu.

Egzotik sihirli kareler Bazı büyük sihirli kareler çok ilginç özelliklere sahiptir. William Benson'un bulduğu 32x32 boyutundaki sihirli karede sayılar,

Sihirli Kareler kareleri ve küplerinin hepsi sihirli kare oluşturur. 2001 'de bulunan 1024x 1024 boyutundaki bir karede, sayıların beşinci kuvvetine kadar hepsi sihirli kare oluş turur. Bunlar gibi daha pek çok ilginç sonuç bulunmuştur. Koşulları gevşetirsek

daha pek çok çeşit sihirli kare elde edebiliriz. En popüler olanlar normal sihirli karelerdir. Eğer köşegenlerin satır ve sütunlarla aynı toplama sahip olma koşulunu kaldırırsak envai çeşit özel sonuç elde edebiliriz. Elemanları yalnızca asal sayı olan kareler elde edebilir, kare dışında başka "sihirli" şekiller deneyebiliriz. Yeni boyutlar ekleyerek sihirli küpler veya hiperküpler üzerinde düşünebiliriz. Fakat gariplik açısından değerlendirecek olursak, birincilik ödülünü belki de Hollandalı elektronik mühendisi Lee Sallows'un şu mütevazı 3 x3'1ük sihirli karesine vermemiz gerekir: 5

22 18

28 15

2

12

25

8

Bunun ne özelliği mi var? ilk önce sayıları İngilizce olarak kutulara yazalım:

fi ve twenty-eight twelve Ardından

twenty-two fifteen

eighteen

eiı?ht

twenty-five

[WO

her sözcüğün harflerini sayarak yeni bir kare oluşturalı m:

4

9

8

11

7

3

6

5

10

Fevkalade ilginç bir biçimde, 3'ten l l 'e kadar ardışık sayılardan oluşan bir başka sihirli kare elde ettik. Ayrıca her iki 3x3 sihirli karenin (21: "twenry-one" ve 45: "forty-five") harflerinin toplamı 9 ve 3x3 • 9.

>> fikrin özü

Matematik cambazhğı

1

o Latin Kareler Akademik Kitap Kulübü

43

Dünyada birkaç yıllığına bir sudoku çılgınlığı yaşanmıştı. Her yerde kalemlerin arkası çiğneniyor, kutuya yazılacak doğru sayılar bulunmaya çalışılıyordu. 4 mü olacak yoksa 5 mi? 9 olamaz mı? Sabah işe gidenler trenlerden inerken, günün geri kalanında 8 4 3 harcayacaklarından daha fazla zihinsel 3 7 enerji harcamış oluyorlardı. Fırında unutulan akşam yemekleri, yanıyordu. 4 mü, 5 2 6 9 7 mi? 7 mi yoksa? Tüm bu insanlar Latin kare1 9 7 3 leriyle oynuyor, bir süreliğine matematikçi 6 9 8 oluyorlardı. 1 6 5 2 2 3 6 5 Sudoku nedir? Suuoku, başta bazı kutularda sayılar yazılı olan 9x9'luk bir matristir. Amaç boş olan kutuları ipuçlarına 1 6 göre doldurmaktır. H er satır, sütun ve küçük 3 x3 ' lük karelerde 2 8 5 l'den 9'a kadar olan

rakam ların

hepsi yer almak zorundadır.

"Tek basamak" anlamına gelen sudokunun l 970'lerde icat ed ildiği düşünülüyor. Japonya'da l 980'lerde popüler olduktan sonra 200S'te tüm dünyaya yay ı ldı. Kare bulmacauan farklı olarak, sudokuda bilgili olmanız gerekmez, ama bağ ı m l ıl ı k yaratma derecesi ona denktir. Bu iki farklı kendine işkence yapımı yönteminin bağımlıları arasında pek çok ortak yön bulunur.

3 X3 Latin kareler Her satır ve sütununda her simgeden birer tane bulunduran kare matrislere Latin kareler denir. Simge sayısı matrisin derecesine bir 3 x3 'lük matrisi her satır ve sütununda a, b, c harflerinden birer • tane bulunacak şekilde doldurabilir misiniz? Bunu yapabilirsen iz 3. dereceden bir Latin kare ekle etmiş olursunuz.

eşittir. Boş

Leonharu Euler, Latin kare kavramın ı ranıtırken bunu "yeni bir tür sihirli kare" olarak tan ımlamıştı. Gelgelelim, Latin kareler sihirli karelerden farkl ı olarak

Euler. Latin karelerin ku ram ını inceler.

Tarry, 6. dereceden köşegen Latin kare olmad ı!jını göst erir.

Ladn Kareler aritmetikle değil, illa rakam olmast gerekmeyen simgelerle ilgilenir. Latin denmesinin nedeni, genelde simge olarak Latin alfabesindeki harflerin kullanılmastdtr. Euler ise Yunan harflerini tercih etmişt ir. 3x3 bir Latin kareyi yazmak kolaydtr. Eğer a, b ve c'yi Pazartesi, Çarşamba ve Cuma o larak düşünürsek üçer kişilik iki grubun gör üşmele rini kareyle gösterebiliriz. Birinci grupta Larry, Mary ve Nancy; ikinci grupta Ross, Sophie ve Tom olsun.

L M N

R

s

a b c

b c a

T c a b

Örneğin 1. gruptan Mary'nin 2. gruptan Tom'la Pazarte~i görüşmesi var (M satırının T sütunuyla kesişiminde a=Pazartesi yer altyor) . Latin karesi her iki grubun üyeleri arasında birer eşleşme olmasınL ve aym güne
Tek Latin karesi bu değildir. iki grubun konuştuğu konular A, B ve C o lsun. Herkesin diğer gnıptakilerle farklL bir konuyu tartışmas ını garanti leyen bir Latin karesi oluşturabiliriz .

L M N

R

s

A

B A

c B

c

T

c B A

Burada örneğin 1. gruptan Mary 2. gruptan Ross'la C konusunu, Sophie'yle A konusunu, Tom'la da B konusunu tartışır. Peki ama tamşma l ar ne zaman, kimler arasında, hangi konuda olacak? Bu karmaştk organizasyon tam olarak nasıl i ş l eyecek? Neyse ki 9 farkl ı gün ve konu eşleşmesini içeren iki Latin kareyi birleştirebiliriz.

1925

1960

1979

Fisher. istatistiksel deneyler tasarlamak için Latin karelerin kullanılmasını önerir.

Euler'in belirli Latin karelerin olmadığına dair sanısı, Bose, Parker ve Shrikhande tarafından çürütülür.

Sudoku benzeri oyunlar New York'ta icat edilir.

1

1

Latin Kareler

L M N

R a,A b,C c, I3

s b,B c, A a,C

T C a, I3 b,A C,

Karenin bir başka yorumu ise tarihi "9 subay problemi"dir. 3 alaya (a, b, c} bağlı 3 farklı rütbeden (A, B, C) 9 suhay var. Bunlar tören alanına öyle yerleştirilecek ki her sırada ve her sütunda her alaydan ve her rütbeden hi r kişi olacak. Bu şekilde birleştirilen Latin kare lerine "ortogonal" denir. 3 x3 durumu kısmen basit olsa da daha büyük derecelerden ortogonal Latin kareleri bulmak hiç de basit değildir. Bunu ilk keşfeden Euler olmuştur. 4 x4 Latin karesinde "16 subay problemi"ni iskambil kağıtlarıyla da sorabiliriz. Dört fark l ı renkten (maça, sinek, kupa ve karo) dört farklı değerde (ör. As, Papaz, Kız ve Vale) 16 iskambil kağıdı alal ım. Bunlardan öyle bir kare oluştur malıyız ki her satır ve sütunda her değer ve her renkten birer tane bulunsun. l 782'de Euler aynı soruyu "36 subay" için sordu. Aslında 6. dereceden iki ortogonal kare arıyordu. Bunu bulamadı ve 6, 10, 14, 18, 22 ... derecelerinden ortogonal Latin kare oluşturulamayacağı sanısını ortaya attı. Peki bunu ispatlamak mümkün müydü? Ardından sahneye Cezayirli bir devlet memuru ve amatör matematikçi Gaston Tarry ç ıktı. Çeşitli örnekler üzerinde çalışuktan sonra l 900'de Euler'in sanısını bir durum için ispatladı: 6. dereceden ortogonal Latin kare mümkün deği ldi. Matematikçiler arasında, Euler'in diğer dereceler ( 1O, 14, 18, 22 ... ) için de haklı olduğu kanısı ağırlık kazandı.

1960'ta üç matematikçinin ortaklaşa çalışmaları Euler'in diğer tüm durumlarda göstererek matematik dünyasını şok e etti. Raj Bose, Ernest Parker ve Sharadchandra Shrikhande, 10, 14, 18, 22 ... derecelerinden ortogonal Latin • kare çiftlerinin varlığını ispatladılar. Latin karelerin olmadığı tek durum (aşikar olan 1 ve 2 derecelerinin dışında) 6 derecesidir. yanı ldığın ı

3. dereceden birbirine ortogonal iki Latin kare olduğunu gördük. 4. dereceden birbirine ortogonal üç kare oluşturabilir iz. n derecesi için bi rbirine ortogonal en fazla n-1 Latin karesi olduğu gösterilebilir. Dolayısıyla örneğin n=lO için en fazla 9 tane birbirine ortogonal kare olabilir. Fakat bunları bulmak ayrı bir hikayedir. Bugüne kadar 10. dereceden birbirine ortogonal olan üç tane bile Latin karesi bulabilen ol mamıştır.

LaUn Kareler işe yarar? Ünlü istatistikçi R.A. Fisher, Latin karelerinin faydalı bir uygulamasını keşfetti. lngiltere, Hertfordshire'daki Rothamsted Araştırma istasyonunda çalışırken tarım yöntemlerini geliştirmek için

Latin kareleri ne bunları kullandı.

Fisher' in amacı gübrelerin mahsul üzerindeki etkilerini incelemekti. ideal olanı, ürünü aynı toprağa ekmek, böylece toprak kalitesindeki farkların mahsul üzerindeki etkilerini ortadan kald ırmaktır. Böylece mahsuldeki farkların gübreden kaynaklandığını biliriz. A ma tamamen aynı toprak koşullarını sağlamanm tek yolu aynı toprağa ekmektir ki tekrar tekrar aynı yere dikmek de bir çözüm olamaz. Her şey aynı olsa bile bu sefer de hava koşulları farklı olacaktır. Bunun üstesinden gelmenin bir yolu Latin karele ri kullanmaktır. Diyelim ki dört farklı gübre deniyoruz. Eğer kare tarlamızı 16 parçaya ayırırsak bunu toprak kalitesinin "dikey" ve "yatay" olarak değiştiği bi r Latin karesi olarak düşünebiliriz.

Ardından a, b, c, d ile gösterdiğimiz dört gübreyi her birinden her sacır ve her sütunda bir kez olacak şeki lde uygulayalım. Böylece toprak kali tesinin değ iş kenliğini ortadan ka ld ırmış oluruz. Eğer mahsule etki eden başka bir fak tör daha olduğunu düşünüyorsak bunu da halledebili riz. Sözgelimi gübreyi günün hangi saatinde uyguladı ğımı z da önemli olsun. Günün dört farklı zamanını A, B, C ve D ile gösterelim. Şimdi ortogonal bir Latin kare kullanarak her toprak türünün ve zaman diliminin olduğu bir tarla elde edebiliriz. Bu deneyin tasarımı şu şekilde olabilir:

a, A zamanı b, C zaman ı c, D zama nı

d, B zamanı

b, B zamanı

c, C

zaman ı

d, Dzamanı

a, Dzamanı d, C zamanı c, A za manı

d, A zamanı

c, B zamanı

a, B zamanı

b, A zamanı

b, D zamanı

a, C zamanı

Daha karmaşık Latin kareleri ile başka faktörler de kontrol edilebil ir hale getirilebilir. Euler subay problemini n tarımsal deneylerde k ullanı ldığını görse kim bilir ne derdi?

>> fikrin özü

Sudokunun sırlan

1

1

44 Paranın

o

~

Akademik Ki tap Kulübü

Matematiği

İş bisiklet satmaya gelince kimse Norman'ın eline su dökemezdi. Herkesin

bir bisiklete sahip olmasını kendine görev edinen Norman, o gün bir müş teri dükkana girip de 99 dolarlık bir bisikleti hiç duraksamadan satın aldığında keyiften ne yapacağım şaşırmıştı. Müşteri 150 dolarlık bir çek verince, bankalar kapalı olduğundan dolayı Norman çeki komşusuna bozdurmak zorunda kaldı. Döndüğünde müşteriye para üstü olarak 51 dolar verdi. Müşteri ortadan hızla kaybolduktan sonra aksilikler birbirini kovaladı. Çek karşılıksız çıktı ve komşusu parasını geri istedi. Norman bir arkadaşından borç para almak zorunda kaldı. Bisikleti başta kendisi 79 dolara aldığına göre, toplamda ne kadar zarar etmiş oldu? Bu küçük bilmece, ünlü bilmece ustası Henry Oudeney tarafından bulunmuştu. Buna bir tür para matematiği diyebiliriz; parayla ilgili bir bilmece dersek daha doğru olur gerçi. Bu bilmece, ayrıca paranın nasıl zamana bağl ı olduğunu ve enflasyonun varlığını görmemizi sağl ar. Oudeney l 920'lerde bu bilmeceyi yazdığında sorudaki bisiklet 15 dolardı. Enflasyonla başa çıkmanın yollarından bi ri faizdir. Bu ciddi bir matematik ve modern finans konusudur. Bileşik faiz İki tür faiz vard ı r: ba~it ve bileşik. Matematik lambamızı iki kardeşin üzerine tutalım: Basit Simon ve Bileşik Charlie. Babalan her ikisine de 1000 dolar veriyor ve onlar da parayı bankaya yatırıyor. Bileşik Charlie bileşik • faiz uygulayan bir banka hesabı seçerken, daha eski kafalı Basit Simon basit faiz uygulayan bir banka hesabı seçiyor. Bileşik faiz tarihte tefecilikle bağdaş tırılmış ve ayıplanmıştır. G ünümüzdeyse modem hayatın bir gerçeği ve parn

Babilliler parasal işlemler için 60 b ir sayma sistemi gelişt i ri r.

tabanlı

Luca Pacioli, finansal tablolar ve çift ıaraflı muhasebe sistemini anlatan çalışma l arını yayınla r.

Paranın Matematiği 1 sistemlerinin ana direklerinden biridir. Bileşik faiz, faizin faizini hesaba katan bir yöntemdir. Charlit:'nin bu yöntemi tercih etmesi de bundan. Basit faiz ise "ana para" denilen miktara göre hesaplanır. Simon da bunun farkında; ne de olsa her yıl aynı faizi alıyor. Matematik konularından bahsederken Albert Einstein'ın adı en az bir kez geçmezse olmaz. Fakat ona atfedilen, bileşik faizin tüm zamanların en büyük icadı olduğu sözü biraz fazla uçuk bir iddiadır. Zaman söz konusu olduğunda bileşik faiz formülünün ünlü E - mc1 formülünden bile önemli hale geldiğine şüphe yoktur. Eğer para yatırır, borç alır, kredi kartı kullanır veya malınızı ipotek ederseniz, bileşik faiz formülü sizin için (veya size karşı) arn vermeksizin çalışır. Formüldeki P harfi ana parayı, i faiz oranının lOO'e bölümünü ve n dönem sayısını gösterir.

A--

Bileşik

Charlie 1000 doları yıllık %7 faiz veren bir hesaba yatırıyor. 3 yıl sonrn kaç doları olur? Burada P-1000, i-0,07 ve n-3 'tür. Bu durumda toplam para A-1225,04 dolar olur. Simon'ın hesabı da aynı faizi veriyor fakat basit faiz olarak. Onun parası 3 yıl sonunda ne kadar olur? Birinci yılda 70 dolar faiz alır. Bu miktar 2. ve 3. yılda da aynı olacağından toplam 3x70=210 dolar faiz alır ve toplam 1210 doları olur. Charlie'ninki daha akıllıca bir yatırım.

Bileşik faizle hesaplanan paralar çok hızlı artabilir. Eğer paranızı yatırdıysanız bir sorun yok, fakat borç aldıysamz iyi değil. Bileşik faizdeki kilit faktörlerden

biri faizin hesaplandığı dönem süresidir. Charlic'nin kulağına haftalık % 1, yani h er 1 dolara l scnt faiz veren bir yatırım planı gelmiş. Bu plana geçerse kazancı ne kadar o lur? S imon cevabı bildiğini düşünüyor: Yılda 52 hafta olduğuna göre, % 1' lik faiz oranını 52 ile çarpmamız gerektiğini söylüyor. Böylece 520 dolar faiz alırız ve toplam 1520 dolarımız o lur. Fakat Charlie bunun bileşik faiz olduğunu hatırlatıyor.

Abraham de Moivre ölüm istatistiklerini inceler ve yıllık ödenek kuramının temellerini atar.

James Dodson, Sigortalar Üzerine ilk Dersler adlı çalışmasını yayınlar.

Londra'da Sigorta Değerlendirme Enstitüsü kurulur.

faiz formülü

1Paranın Matematiği P-1000, i-0,01 ve n-52 olursa toplam pa ramız IOOOx (l,01P2 = 1677,69 dolar olur - S imon'ın bulduğundan çok daha fazla. Charlie'nin bileşik faizi yıllık %67,769 getiriJ:ken Simon 'ınk i %52 getiriyor. Simon bundan etkilenmiş görünse de parasın ı bankaya basit faizden çoktan yatırd ı bile. Orijinal 1000 dolarını ikiye katlamanın ne kadar süreceğ ini merak ediyor. Her yıl 70 dolar faiz ald ığına göre 1000110 - 14,29 yani kabaca 15 yıl sürecek. Bu beklemek için uzun bir süre. Bileşik faizin üstünlüğünü göstermek isteyen Charlie kendi ikiye katlama süresini hesaplamak için bir arkadaşından duyduğu 72 kuralını kullanıyor.

72 kuralı

72 kuralı belirli bir yüzde için paranın ikiye katlanması gereken dönem sayısını verir. Gerçi Charlie yıl hesabı yapıyor ama 72 kuralı gün veya ay için de kullanılabilir. C harlie'nin süreyi bulmak için tek yapmas ı gereken 72'yi faiz oranına bölmek. 72/7- l 0,3 olduğuna göre parasının l 1 yıl sonra iki katımı çıkmış olacağını Simon 'a söyleyebilir. Bu süre Simon'ın 15 yı lından çok daha kısa. Bu kurnl yaklaşık sonuç vermekle birlikte hızlı hesap yapmak gereken durumlarda çok kullanışlıdır.

Şu anki değer Bileşik Charlie'nin babası oğlunun verdiği karardan o kadar etkilendi ki onu bir kenara çekip kendisine 100.000 dolar vereceğini söyledi. Ne var ki bu parayı hemen değil, 10 yıl sonra 45 yaş ına bastığında vereceğini söyleyince Charlie'nin heyecanı bir anda sönüverdi.

Charlie ise bu parayı şimdiden harcamaya başlamayı arzuluyor. Bankaya gidip 1O yı 1sonra 100.000 dolar vereceğini garanti ederek borç istiyor. Banka ise vaktin nakit olduğunu söyleyerek on yıl sonraki 100.000 doların bugünkü L00.000 dolarla aynı olmadığını belirtiyor. Bankanın on yıl sonra 100.000 dolar değerine ulaşacak bugünkü yatırımı hesaplaması gerek iyor. Charlie'ye verebilecekleri para da bu olacak. Banka %12'lik bir faizin kendilerine yeterli karı sağlayacağı ' düşüncesinde. 10 yıl sonra %12 faizle 100.000 dolar olacak olan para bugün ne kadardır? Bileşik faiz formülünü burada da kullanabiliriz. Bu sefer elimizde A= 100.000 var ve P'yi, yani A'nın şu anki değerini hesaplamamız gerekiyor. n-10, i-0,1 2 olduğundan banka Charlie'ye 100.000/1,1210 =32.197,32 dolar verebilir. Charlie bu miktarın küçüklüğünden şok olsa da istediği son model Porsche'yi alabi lecek olmasına seviniyor.

Düzenli ödemeler nasıl hesaplanır? O n yıl sunra 100.000 doları ödeme sözü veren Charlie'nin babas ının bir şeki lde para birikcirmesi gerekiyor. Bunun için her yıl ın sonunda aynı para mik carını on y ıl boyunca bankaya yacırmayı plan lıyor. Böylece günü geldiğinde sözünü verd iği parayı C harlie'ye verebilecek, Charlie'de o parayla bankaya borcunu ödeyebilecek. Charlie'nin babası 10 y ıl boyunca kendisine y ıllık %8 faiz verecek bir hesap açıyor. Yıllık ne kadar yacırması gerektiğini C harlie'den hesaplamasını isciyor. Bileşik faiz formülünde Charlie'nin tek bir ödemeyi (yacırı lan paray ı ) hesapla mas ı gerekirken bu ömekce fark lı zamanlarda yap ılacak 1O ödemeyi hesap laması gerekiyor. Eğer i faizli bir ortamda her y ılın sununda aynı R miktarı yatırılırsa, n yı lın sonunda biriken para düzenli yacırım formülüyle hesaplanabilir.

S= Rx((1+LY'-t) l

C harlie'nin e lindeki verile r şöy l e: S = 100.000, n• 10, i-0,08. Buradan R-6902,95 olduğunu hesap l ıyor. Banka sağ o lsun, Charlie yeni Porsche'sine kavuştuğuna göre ona şimdi bunu koyacak bir de garaj lazım . Ev a lmak için 300.000 dolar kredi almaya karar veriyor. Bu parayı 25 yıl boyunca düzenli ödemelerle geri ödeyecek. Bu soruda 300.000 doların , ödemelerin ~u anki değe ri o ld uğunu fark ederek ona göre hesap yapı yor. Oğl unun para işl erindeki becerisinden iyice etkilenen babasıysa ondan yeni bir hesap yapmasını isciyur. Emeklilik ikrami yesi o larak geçenlerde aldığı 150.000 doları yıllık o larak almak istiyor. "Sorun değil," diyor Charlie, "ayn ı formülü kullanabiliriz. Sunuçca matematik aynı . Bankanın benim düzenli olarak geri ödeyeceğim bir para vermesindense sen parayı veriyorsun ve onlar düzenli ularak sana ödüyor." Ha unutmadan, Henry Dudeney'in bilmecesinin cevabı 130 dolar; müşteri ye verdiğ i 51 dolar artı hisiklec için ödedi ği 79 dolar.

>> fikrin özü

En karii faiz,

bileşik fai~

Norman'ın

Düzenli ödemeler formülü

1

~ v


45 Diyet Problemi Tanya Smith sporu son derece ciddiye alan biri. Her gün spor salonuna gitmenin yanında yediğine içtiğine de son derece dikkat ediyor. Sağlıklı ve zinde kalmak için mineral ve vitaminleri her ay doğru miktarda alması çok önemli. Bunların miktarlarını koçu belirliyor. Dediğine göre Olimpiyat şampiyonluğu adaylarının her ay en az 120 miligram (mg) vitamin ve 880 mg mineral alması gerekiyormuş . Tanya bu rejime uyabilmek için iki besin takviyesi kullanıyor. Birisi katı haldeki Solido, diğeriyse sıvı olarak satılan Liquex. Tanya'nın derdi, koçunun söylediklerini yerine getirebilmek için hangisinden ne kadar alması gerektiğini hesaplamak. Klasik diyet problemi, en az parayla sağlıklı bir diyeti organize etme sorusudur. 1940'larda ge liştirilen ve günümüzde çok çeşi tli uygulama ları olan doğrusal programlama problemleri için bir prototip oluştunnuştur. Mart başında Tanya süpermarkete uğrayıp Solido ve Liquex'in içeriğini inceliyor. Solido kutusunun üzerinde yazanlara göre içinde 2 mg vitamin ve 10 mg mineral var. Bir şişe Liquex ise 3 mg vitamin ve 50 mg mineral içeriyor. Market arabasına onu bir ay idare edecek 30 kutu Solido ve 5 şişe Liquex atıyor. Kasalara doğru ilerlerken acaba doğru miktarlarda mı aldım diye merak ediyor. ilk olarak vitamin miktarını hesaplıyor. 30 kutu Solido'da 2 x 30=60 mg, Liquex'te ise 3 x 5- 15 mg vitamin var. Toplamda 2x30+3x5-75 mg. Mineral için hesapladığmda ise 10x30+ SOx 5-550 mg mineral olduğunu görüyor.

Vitamin Mineral

Solido 2 mg 10 mg

Fourier, doğrusal programl amayı ça!)rıştıran çalışmalar yapar; Gauss, doğrusal denklemleri Gauss eleme yöntemiyle çözer.

Liquex 3 mg 50mg

Gereken miktar 120 mg 880mg

Farkas, eşitsizl ik sistemlerini çözer.

Diyet Problemi Koçu ona en az 120 mg vitamin ve 880 mg mineral dediğine göre
pek çok seçeneği var. Arabasını yalnızca Solido'yla doldurabilir. Böyle yaparsa en az 88 kutu alması gerekir. 2x88+3x0- 176 mg vitamin ve 10x88+50x0-880 mg mineral içerdiğinden (88, O) her iki koşulu da sağlar. Eğer yalnızca Liquex alırsa en az 40 şişe gerekir. 2 x O+ 3 x 40 - 120 mg vitamin ve 10x0+50x40-2000 mg mineral olduğundan (O, 40) kombinasyonu da koşulları sağlar. Bu kombinasyonlardaki vitamin ve mineral alımı tam istendiği oranda olmasa da Tanya'nın koçunun söylediklerini karşılar.

Optimum çözünıler Şimdi parayı da işin içine katalım. Tanya'nın kasada aldıklarını ödemesi gerek. Kutu ve şişelerin her ikisinin de 5 dolar olduğunu görüyor. Şu ana kadar bulduğumuz (40, 15), (88, O), (O, 40) olası çözümlerinin maliyetleri sırasıyla 275, 440 ve 200 dolar. Dolayısıyla aralarındaki en iyi çözüm hiç Solido almayıp 40 şişe Liquex almak. Fakat Tanya yalnızca o anda aklına gelen birkaç kombinasyonu değerlendirdi ve sırf bunların bedellerini karşılaş tırdı. Koçunun isteklerini sağlayan daha iyi bir çözümü gözden kaçırmış olamaz mı? Bir an önce evine gidip eline kağıt-kalem alarak soruyu analiz etmek istiyor. Doğnısal programlama problemleri Tanya her zaman hedeflerini gözünde canlandırmaya özen gösteren biri olmuştur. Eğer bunu Olimpik madalya için yapabiliyorsa neden matematik için yapamasın? O
1945

1947

1984

Stigler. diyet problemi için üstünkörü bir yöntem geliştirir.

Dantzig, simpleks yöntemini formüle eder ve diyet problemini doğrusal programlamayla çözer.

Karmarker. doğrusal programlama problemleri için yeni bir algoritma bulur.

Diyet Problemi için bunu yapması mümkün. AD doğrusu 120 mg vitamin içeren Solido ve Liquex kombinasyonlarını gösteriyor. Bu doğrunun üstünde kalan bölgedeki kombinasyonlarda 120 mg'dan fazla vitamin var. EC doğrusu 880 mg mineralli kombinasyonları gösteriyor. Her iki çizginin de üstünde kalan bölgedeki kombinasyonlar tüm olası çözümleri içeriyor.

Liquex

o

Diyet problemi tarzı sorulara doğrusal progrnmlama problemleri denir. Buradaki "programlama"dan kasıt bir reçeteyi uygulamaktır. "Doğrusal" ise doğru ç izgilerin kullanılı~ma işaret eder. Matematikçiler, Tanya'nın problemini çözmek için tek yapmamız gerekenin grafikte doğruların köşe noktalarına bakmak olduğunu ispatladılar. Tanya (48, 8) koord i natlarındaki B noktasında yeni bir Solido ve çözüm keşfetti. Yani 48 kutu Solido ve 8 şişe Liquex Liquex'in olası alabilir. Bu, diyetinin koşullarını tam sağlayan komkombinasyonları binasyonlardan biri, çünkü 120 mg vitamin ve 880 mg mineral içerir. Kutular ve şişeler beşer dolar olduğundan bu kombinasyon ona 280 dolara mal olur. Sonuçta oprimum alışverişi değişmedi; hiç Solido almadan 200 dolara 40 şişe Liquex alabilir. Solido

Optimum kombinasyon takviyelerin görece fiyatına bağlıdır. Eğer Solido'nun kutusu 2 dolara düşer ve Liquex 7 dolara çıkarsa A (O, 40), B ( 48, 8) ve C (88, O) köşe noktası kombinasyonları sırasıyla 280, 152 ve 176 dolar olur. Bu durumda Tanya için en ak ıllı cası 152 dolara 48 kutu Solido ve 8 şişe Liquex almaktır.

Tarihçe

Amerikalı matematikçi Gcorge Dantzig, 1947'de Amerikan Hava Kuvvetleri için çalışırken, doğrusal programlama problemlerini çözmek için simpleks yöntemi adında bir yöntem buldu. Bu o kadar başarılı oldu ki Dantzig Banda doğrusal programcılığın babası olarak anıldı. Soğuk Savaş döneminde ' Sovyet Rusya'da Leonid Kantorovich, bağımsız olarak bir doğrusal programlama kuram ı ge l iştirdi. 1975'te Kantorovich ve Hollandalı matematikçi Tjalling Koopmans, doğrusal programlama teknikleri
myet Problemi T anya yalnızca iki besin (iki değişken) üzerinde n hesap yapmıştı. Fakat günümüzde binlerce değişken içeren problemler hayli yaygın. Oantzig, yöntemini geliştirdiğinde dünyada topu topu birkaç bilgisayar vardı, fakat bunların yanında bir de Matematiksel T ablolar Projesi vardı. Bu, 1938'de New York'ta başlamış o n yıllık bir iş yaratma şemasıydı. 9 "vitamin" gereksinimli ve 77 değişkenli bir diyet problemini çözmek için on kişi 12 gün boyunca hesap yapm ıştı. Çok başarılı olan simpleks ve türevlerinin yanında başka yöntemler de denenmiştir. 1984'te Hintli matematikçi N arendra Karmarkar büyük pratik öneme sahip yeni bir algoritma geliştirirken, Rus Leonid Khachiyan daha çok kuramsal öneme sahip bir yöntem bulmuştur. T emel doğrusal programlama modeli, diyet seçme dışındaki durumlara da uygulanmıştır. Bu problemlerin bir türü olan nakliye problemi, fabrikalardan depolara mal taşınmasıyla ilgilidir. Kendine özgü bir yapıya sahip bu problem, başlı başına bir alan oluşturur. Amaç taşıma masraflarını en aza indirmektir. Bazı doğrusal programlama problemlerindeyse a maç, bir şeyleri , örneğin karı maksimize etmek olarak ifade edilir. Bazı problemlerde değişkenler yaln ızca tamsayı ya da yalnızca O veya 1 değeri alabilir. O ldukça farklı olan bu sorular kendilerine özgü farklı çözüm yöntemleri gerektirir. Tanya Smith O limpiyatlarda madalya kazanabilecek mi bilmiyoruz. Kim bilir, belki diyetini düzenli uygularsa, doğrusal programlama hanesine yeni bir zafer daha ekleyebilir.

>>fikrin özü

Minimum maliyetle sağhkh beslenme

46 S.e yyar Satıcı Amerika, Kuzey Dakota'mn Bismarck bölgesinde yaşayah James Cook, halı temizleyicisi üreten Electra şirketinin en becerikli satıcılanndan biri. Üç yıl üst üste kazandığı yılın satıcısı ödülü de zaten bunu açıkça gösteriyor. Ona ait satış bölgeleri, Albuquerque, Chicago, Dallas ve El Paso şehirlerinden oluşuyor. Her ay bu şehirlerin hepsini kapsayacak bir tura çıkıyor. Onun derdi bu turlan atarken kat ettiği kilometreleri en aza indirmek. Bir başka deyişle klasik seyyar satıcı problemi. Jamcs şehirler arası mesafeleri gösteren bir tablo oluşturmuş. Sözgelimi Bismarck ve Dallas arası, Bismarck sütunuyla Dal\as satırının kesişiminde görüldüğü üzere 1020 km (gölgeli).

Açgözlü yöntem

Pratik biri olan James Cook, satış hölgesinin kabaca bir haritasını çizip şehirlerin birbirine olan uzaklarını üzerinde gösterdi. Sık kullandığı bir rota Bismarck'tan başlayıp Chicago, Albuquerque, Dallas ve El Paso'yu dolaştıktan sonra Bismarck'a geri geliyordu. Fakat toplam 4113 km'lik bu BCADEB rotası uzunluğundan dolayı paha lıya geliyordu. Acaba daha kısa bir rota var mıydı? Satış bölgesinin haritasını çıkarıp hesap yapması sizi yanıltmasın, Jamcs'in ayrın

Albuquerquc 883 1138

580 236

tılı planlarla işi olmazdı. Kapıdan çıkıp sa uş yapmaktı asıl derdi. Bismarck'taki ofisinde haritasına baktı ve en yakın şehrin C hicago olduğunu gördü. C hicago'ya 706 km, Albuquerque'ye 883 km, Dallas'a 1020 km, El Paso'ya ise 1100 km uzaktaydı. Daha fazla ince eleyip sık doBismarck kumadan Chicago'ya doğru yola ç ı ktı. Chica o Varıp da iş ini h allettikten 785 Dallas sonra yine gidebileceği El Paso 1256 589 en yakın şehre baktı.

Charles Babbage soruyu ilginç bulduğunu söyleyerek yazılarında değinir.

Seyyar satıcı problemi gerçek hayata dair bir probleme dönüşür.

Borü11ka. açgözlü a l goritmayı bulur.

Seyyar sancı Diğerlerinden

daha yakın olan 785 km ötedeki Dallas'ra karar kıldı.

Dallas'a vardığında 706 + 785 km yol gitmişti. Şimdi A lbuqucrque ile El Paso arasında bir seçim yapması gerekiyordu. Daha yakın olan Albuquerque'yi seçti. Ardından tek kalan yer El Paso'ya ve oradan da Bismarck'a geri dönerek turunu tamamladı. Toplamda 706 + 785 + 580 + 236 + 1100 - 3407 km gitmişti. Bu BCOAEB rotası öncekinden çok daha kısaydı. Karbon salımının çok daha az olması da cabası. Bu çözüm yöntemine açgözlü yöntem denir. James Cook'un kararlar hep bulunduğu yerden en yakın mesafedeki yere girmekti. Bu yöntemde hep bir sonraki adımı değerlendirilir ve daha sonraki adımlar hesaba katılmaz. Tüm rotalar arasındaki en iyi rotayı belirlemediğinden dolayı stratejik değildir. James, Son durağı El Paso olduğundan dolayı Bismarck'a dönmek için uzun bir yol gitmek zorunda ka ldı. Dah a kısa bir yol bulduğu doğru, ama bu en kısa yol muydu? Jamcs bunu merak ediyordu. aldığı

E

James yalnızca beş şehir olmasının avantajını kullanarak tüm rotaları yazıp en kısa olanı seçebilir. Beş şehirle en fazla 24 farklı rota oluşturulabilir; harta birbirinin tersi olan ları aynı sayarsak 12. Sonuçta her ikisinin de kilometreleri aynı olur. Bu yöntemi kullananJames Cook, yalnızca 3199 km olan BAEOCB (ya da tersi BCDEAB) rotasının optimum olduğunu buldu. Bismarck'a döndüğünde yoldan değil, asıl zamandan kar etmenin önemli olduo lan yol sürelerinden yeni bir tablo yaptL.

ğuna karar verdi. Şehirlerin birbirine

A lbuquerquc 12 (araba) 6 (u ak) 2 (uçak) 4 (araba)

Chicago Dallas 1 (uçak)

El Paso

1954

1971

2004

Dantzig ve Dijkstra, seyyar satıcı problemine yeni yaklaşımlar üretir.

Cook. algoritmalar için P ve NP kavramlarını formüle eder.

David Applegate, soruyu lsveç' in tüm 24.978 şehir/ kasabası için çözer.

1

Seyyar Satıcı Problem km üzerine yoğunlaşm ışken James bir üçgenin iki kenarının toplamı nın her zaman üçüncü kenardan uzun olduğunu biliyordu. Öklid geometrisine dayanan bu duruma uygun çözüm yöntemleri iyi bilinir. Ama aynı şey zaman için geçerli değildir. A na rotalardan uçmak genelde tali rotalardan uçmaktan daha hızlıdır. Jamcs Cook, El Paso'dan C hicago'ya giJetken Dallas üzerinden geçmenin daha hızlı olduğunu fark etti. Üçgen eşitsizliği denilen kural burada geçerli değildi. Zaman problemine açgözlü yöntemi uyguladığımızda 22 saatlik BCDEAB rotasını elde ederiz. Diğer yandan, birbirinden farkl ı optimum rotalar olan BCADEB ve RCDAEB ise 14 saattir. Bu iki rotadan ilki 41 13 km, ikincisiyse 3407 km'dir. James Cook BCDAEB rotas ıyla iyi bir seçim yaptığmı düşünüyor. Bir sonraki planı en ucuz rotayı bulmak. asırlara Seyyar satıcı probleminin asıl zorluğu şehir ortaya çıkar. Jamcs Cook gibi örnek bir satıcının müdürlüğe yükselmesi çok sürmedi. Artık eskisi gibi Bismarck'tan 4 şehri değil, tam 13 şehri dolaşması gerekiyor. Yaptığı bir hesap sonunda, incelemek için 3,1 x 109 farkl ı rota olduğunu fark etti. Başka bir deyişle, bilgisayar saniyede bir rotayı bassa hepsini basması için yüz yıl gerekir. 100 şeh irli bir problemdeyse bilgisayarın binlerce yıl çalışması gerekir.

Saniyelerden

sayısı arttığında

Seyyar satıc ı problemi için bazı ileri düzey yöntemler geliştiri lmişt ir. 5000 ve daha az şehir için geçerli olan kesin yöntemler bulunmuştur. Bir keresinde muazzam bir bilgisayar gücü desteğiyl e 33.810 şehirli bir problem çözüme kavuşturuldu. Bir de belirli bir olasılıkta optimum aral ıkta sonuçlar veren kesi n olmayan yöntemler bulunuyor. Bu tür yöntemlerin iyi tarafı, milyonlarca şehir içeren problemlerle bile başa çıkabilmeleridir.

Hesaplama karmaşıklığı

Probleme bilgisayarın yapması gereken ' bir çözüm bulmanın ne kadar sürebileceğini bulmaya çalışa lım . Tüm olası rotaları yazmak en kötü durum senaryosu. James bu yöntemi 13 şehir için kullanmanın neredeyse bir asır süreceğini fark etmişti. Buna 2 şeh ir daha eklersek bu süre 20.000 yı l daha uzar! işlem sayısı aç ısından yaklaşmaya çalışarak,

Tabii bu zaman tahminleri gerçekte ku llanı lan bilgisayarlara göre değişir. Fakat n şehir için süre, n faktöriycl sayıs ına bağlıdır. 13 şehir için 3, 1 x 109 farklı rota olduğunu bulduk. Her bir rotanın şu ana kadar bul unanların en kısası olduğunu bulmak da faktöri.yel zaman alır ki bu da uzun bir zaman demektir.

Seyyar sancı ~dıir için zamanın 2n (n tane 2'nin çarpımı ) olarak Jeğişliği farklı çözüm yöntemleri de vardır. Dolayısıyla 13 şehrin çözümünde 8192 {1O şehir için olanın 8 katı) ile orantılı işlem yapılması gerekir. Bu karmaşıklık seviyesinJeki yöntemlere üssel zaman algoritması denir. "Kombinatoryal optimizasyon problemleri"nin kutsal hedefi, n'in sabit bir üssüyle orantılı bir algoritma bulmaktır. Bu üs ne kadar küçük olursa o kadar iyi olur. Algoritma sözgelimi n 2 ile orantılı bir zaman alıyorsa, 13 şehir için bu 169 işlem anlamına gelir; yani 10 şehir için gerekenin iki katından az. Bu "karmaşıklık"ta bir yönteme polinomsal. zamanlı denir. Bu tür problemler "hızlı problemler"dir ve asırlar yerine birkaç dakikada bitebilirler.

n

Bilgisayarla polinomsal zamanda çözülebilen problem sınıfı Pile gösterilir. Seyyar satıcı probleminin bunlar arasında ulup olmadığını bilmiyoruz. Ne biri çıkıp böyle bir algoritma bulabildi ne de kimse böyle bir algoritmanın o lamayııcağını ispatlayabilJi. NP olarak gösterilen daha geniş bir problem sınıfı ise bulduğu çözüm polino msal zamanda doğrulanabilen problemleri içerir. Seyyar satıcı problemi bu sınıfa kesinlikle girer, çünkü verilen bir rotanın herhangi bir başka rotadan Jaha kısa olup olmadığı polinomsal zamanda kontrol edilebilir. Tek yapmanız gereken rornJaki mesafeleri toplayıp verilen sayıyla karşılaştırmaktır. Bulmak ve doğrulamak fark!ı işlemlerd ir: sözgelimi 167 x 241-40.247 olduğunu doğrulamak kolaydır ama 40.247'yi çarpanlarına ayırmak bambaşka bir mescleJir. Peki polinomsal zamanda doğrulanabilen her soru polinomsal zamanda çözülebi li r mi ? Eğer bu doğruysa P ve NP sınıfları aynı demektir ve o zaman P-NP yazabiliriz. P= NP midir sorusu günümüzde bilgisayar bilimcilerin en büyük sorularından biridir. Konuyla ilgilenenlerin çoğu bunun doğru olmad ığı görüşünJc: Polinomsal zamanda doğrulanabilen ama polinomsal zamanda çözülemeyecek problemlerin var olduğuna inanıyorlar. Bu o kadar önemli bir soru ki C lay Matematik Enstitüsü P=NP veya P"' NP olduğunu ispatlayan kişiye 1.000.000 dolar ödül vaat ediyor.

>> fikrin özü

En iyi rotayı belirlemek

1 47 Oyun Kuramı ,,

Bazıları Johnny'ni.n dünyanın en zeki insanı olduğunu söylerdi. Daha küçük bi.r çocukken dahi. olduğu belli. olan John von Neumann, matematik dünyasında bi.r efsaneye dönüşmüştü. İnsanlar onun oyun kuramındaki "mi.ni.maks" teoremini., taksiyle bi.r toplantıya gelirken bi.r kağıda çiziktirerek bulduğunu duyduklarında şaşırmaz olmuşlardı. Bu tam da von Neumann'lık bir hareketti. Kuantum mekaniği.ne, mantığa ve cebi.re katkılarda bulunmuştu, dolayısıyla neden oyun kuramı gözünden kaçsındı? Elbette kaçmamıştı - Ekonomik Davranış ve Oyunlar Kuramı adlı büyük etki yaratan çalışmayı Oskar Morgenstern'le bi.rli.kte yazmışlardı. Oyun kuramı en geniş anlamında antik çağlara kadar uzanan bi.r konudur, fakat "i.ki kişi.li.k sıfır-toplamlı oyun" kuramını net hatlarıyla ortaya koyan von Neumann olmuştur.

İki kişilik sıfır-toplamlı oyunlar Adı cafcaflı olsa da,

iki

kişilik

sıfır-toplamlı oyun demek, iki kişi , iki şirket veya iki takım arasında "oynanan",

bir tarafın kaybettiği kadarını diğer tarafın kazandığı oyun demektir. Eğer A 200 lira kazanmışsa, B 200 lira kaybetmiş demektir; sıfır-toplamlıdan kasıt budur. A'nın B'yle işbirliğine gitmesinin h içbir anlamı yoktur - bu yalnızca kazanan ve kaybedenlerin olduğu katıksız rekabettir. "Kazan-kazan" diliyle söyleyecek olursak A 200 lira kazanırken B -200 lira kazanmıştır ve toplamları 200 + (- 200) - O, yan i sıfır olur. A TV ve BTV adında iki televizyon kanalı olsun. Bunlar lskoçya ve lngilcere'de yeni bir haber hizmeti için teklif veriyor. Her iki şirket de yalnızca ülkelerden biri için Leklif verebil ir. Tekliflerine izleyici sayılarında beklenen artışa göre karar verecekler. Medya analistlerinin izleyici say ılarını rah min edip hazırladığ ı tablo, her iki kanal ın da elinin altında hazır bulunuyor. Tabloda kanalların kazanıp kaybedeceği izleyici say ısı milyon cinsinden göster ilmiş.

Waldegrave, iki kişilik oyun için ilk matematiksel sonucu bulur.

von Neumann ve Morgenstern, Ekonomik 08Vr8nış ve Oyun Kuramı ad l ı çalışma larını yayınlar.

Oyun Kuramı Eğer hem A TV, hem de BTV lskoçya'da faa-

liyet göstermek isterse A TV 5 milyon izleyici kazanırken BTV 5 milyon kaybedecek. T ablodaki -3'teki eksinin anlamı, A TV'nin 3 milyonluk izleyic i kaybedeceği. Artılar A TV için iyiyken , eksiler BTV için iyi.

a

BTV ln ilrere

ATV~~~+-~~-ı-~-3~~ +4

Kanalların tekliflerini bu tabloya göre yapacaklarını ve tek bir seferde kapalı teklif vereceklerini varsayacağı z. T abii her iki kanal da kentlisi için en iyi olanı istiyor.

Eğer ATV lskoçya'yı seçerse karşılaşacağı en kötü Jurum 3 milyonluk izleyici kaybı o lur. Yok eğer lngiltere'yi seçerse en kötü durum 2 mi lyonluk kazanç o lur. ATV iç in en karlı stratejinin İngiltere (2. satır) ol
yaparsa yapsın, A TV en kötü ihtimalle 2 m ilyon izleyic i kazanacak. Sayısa l o larak bakarsak, AT V -3 ve 2'yi ( satırların minimumlarını) karşılaştırıp büyüğünü seçiyor. Daha zayıf bir konumda o lan BTV, potansiyel zararını minimumda tutup önümüz
Akıl oyunları Cefalı hayatının

2001 yapımı Akıl Oyunları filminde anlatıldığı John F. Nash (d. 1928), 1994'te oyun kuramına yaptı!jı katkılardan dolayı ekonomi dalında Nobel Ödülü kazandı. Nash ve diğerleri oyun kuramını ikiden fazla oyuncuya ve oyuncu lar arasında i şbirli !j i nin de olduğu durumlara genişlettiler. Hatta iki oyuncunun üçüncü oyuncuya karşı birlik olduğu durumları ele aldılar. Matematikteki semer noktası dengesine benzeyen "Nash dengesi", von Neumann tarafından ortaya konandan çok daha geniş bir bakış açısı kazandırarak ekonomik dengelerin daha iyi anlaşı l masını sağ l adı .

1

Oyun

Kuramı Bir oyun ne zaman belirlenmiş olur? Ertesi yıl iki TV şirketinin önüne yeni bir seçenek kondu: Galler'de faaliyet göstermek. Bu yeni durumda yeni getici-götürü dengeleri şu şekilde oluştu: BTV Galler ATV

lşkoçya

satır

min imumu

Gallcr

+5

+2

lskoçya

+4

-1

o

-1

+1

İngiltere

-3

+5

-2

-3

sütun maksimumu

+4

+5

+1

Önceki gibi ATV için güvenli strateji en kötü durumda olacakları maksimize eden satırı seçmek. (+ l , -l, -3} arasında en iyisi Galler (1. satır). BTV için güvenli strateji {+4, +5, + 1) arasından en düşük olan İngiltere (3. sütun). ATV Galler'i seçtiğinde, BTV ne yaparsa yapsın en az 1 milyon izleyici kazanacağını garantiliyor. BTV ise lngiltere'yi seçerek, A TV ne yaparsa yapsın 1 mi lyondan fazla izleyici kaybetmemeyi garantiliyor. Bu aç ıdan hu seçimler her iki şirket için de en iyi strateji. Ve bu açıdan oyun belirlenmiş durumda (her ne kadar BTV için adil olmasa da). Bu oyunda maksimum {+ l , - 1, -3} - minimum {+4, +5, +l) ve denklemin her iki tarafında + 1 ortak değeri var. ilk oyundan farklı olarak burada +l değeri "semer noktası"dır. Tekrarlı oyunlar Tekrarlı oyunların en ünlüsü klasik "taş-kağıt-makas" oyunudur. Bu oyun genelde defalarca, hatta yıllık Dünya Şampiyonalarında yüzlerce kez oynanır. Taş - kağı t-makas

kağıt

makas taş

sütun maksimumu

oyununda iki oyuncu ellerini ya düz tutar (kağ ı t) ya iki parmak gösterir (makas) ya da yumruk (taş) yaparlar. Üçe kadar sayıp aynı anda seçim yaparlar: kağıt kağıtla berabere kalır, makasa yenilir (makas kağıdı keser), fakat taşı yener ' (kağıt satır min imumu kağıt taş makas taşı sarar). Dolayısıyla e~itlik =O kaybet - -1 kazan= +l -1 kağıdın getirisi O, - 1, + 1 kazan=+l eşitlik= o kaybet - -1 -1 şekl i ndedi r. Bunu tabkaybet- -1 kazan= +l eşitlik - O -1 lonun ilk satırında da görüyoruz. +l +l +l

Oyun Kuramı Bu oyunda bir semer noktası ya
Bir oyun ne zaman sıfır-toplamlı olmaz?

Her oyun sıfır-top Bu durumda her oyuncunun kendine özgü getiri tabloları oluşur. Ünlü bir örnek A.W. T ucker'ın tasarladığı "tutuklu ikilemi"
Andrew ve Bertie, hırsızlık şüphesiyle polis tarafından yakalanıp farklı hücrelere konuyor. Birbirleriyle konuşma şansları yok. Ne kadar ceza alacakları sırf kendi söylediklerine değil, diğerinin ne söyleyeceğine de bağlı. Eğer A itiraf eder de B etmezse, A serbest kalırken B 3 yıl yatacak. Eğer A suç işlemedik der de B itiraf ederse, bu sefer ram tersi olacak. Eğer her ikisi de itiraf ederse ikişer yıl yatacaklar. Ama her ikisi de inkar ederse birer yıl yatıp çıkabilecekler.

A A

1 1

itiraf inkar

B itiraf

inkar

-2 -3

o -1

B A 1 itiraf 1 inkar

B itiraf

inkar

-2

-3

o

-1

A eğer B'nin itiraf edeceğini düşünüyorsa kendisi için en iyisi itiraf etmek olacak. Bu durumda 3 yıl yerine 2 yıl yatacak. Eğer B'nin inkar edeceğini düşünüyorsa kendisi için en iyisi yine itiraf etmek olacak. Bu durumda 1 yıl yatacağına hiç yatmayacak. Dolayısıyla A'nın en iyi stratejisi itiraf etmek gibi gözüküyor. B için de aynı hesaplar geçerli olduğundan onun için de aynı durum söz konusu. Böyle yaparlarsa her ikisi de ikişer yıl yatacaklar. Halbuki aralarında anlaşabilseler, her ikisi de inkar edip birer yılla kurtu labilirlerdi!

>> fikrin özü Kazan-kazan

matematiği

1 48 Görelilik Bir cismin hızı, diğer cisimlere göre ölçülür. Eğer bir yolda saatte 70 km hızla gidiyorsak ve yanımızda bir başka araba aynı yönde saatte 70 km hızla ilerliyorsa, ona göre hızımız sıfır olur. Oysa ikimiz de yere göre 70 km/saat hızla hareket etmekteyiz. Karşı yönden aynı hızla gelen bir araca

göreyse hızımız 140 km/saat olur. Görelilik kuramı bu düşünce şeklini değiştirmiştir.

Göre lilik kuramı ilk olarak Hollandalı fizikçi Hendrik Lorentz tarafından 19. yüzyılın sonlarında ortaya atıldıysa da asıl gelişmeleri l 905'te A lbert Einstein kaydetmiştir. Einstein'ın özel görelilik üzerine ünlü makalesi cisimlerin hareketleriyle ilgili düşüncelerimizde devrim yaratmış, bir zamanlar mükemmel kabu l edilen Newton'un klasik kuramını özel bir duruma indirgemiştir.

Galileo'ya geri dönüyoruz

Görelilik kuramını açıklamak için bizzat

işin ustasının sözünü ettiği ipucunu kullanacağız: Einstein trenlerden ve düşünce deneylerinden bahsetmeyi çok severdi. Bizim örneğimizde Jim Diamond

saatte 60 km hızla bir trende ilerliyor. Trenin arka vagonundan kafeterya vagonuna doğru saatte 2 km hızla yürümeye başlıyor. Bu sırada yere göre hızı 62 km/ saat olur. Dönüşte ise trenin hareket yününün tersi yönde ilerlediğinden yere göre hızı 58 km/saat olur. Hız göreli bir kavramdır ve hızları birbirine ekleyip çıkarmaya Jim'in hareket yününe güre karar veririz. Tüm hareket göreli olduğundan belirli bir cismin hızını ölçerken bir referans sistemine göre ö lçeriz. Düz bir rayda ilerleyen bir trenin tek boyutlu hareketinde , bir tren istasyonunu sabit referans noktası , x mesafesi ve t zamanını değişken lerimiz o larak a labiliriz. S ıfır noktasını istasyonda işaretleyebilir ve zamanı istasyondaki saatten ölçebiliriz. (x, t) koordinatları bu referans sisteminde bize konum ve zamanı verir.

Galileo, düşen cisimler için "Galileo dönüşümleri"ni bulur.

Römer, Jüpiter'in uydularını inceleyerek ışıljın hızını hesaplar.

Newton, Principia adlı eserinde klasik hareket yasa larını açıklar.

GörelHik Trenin içinde de farklı bir referans sistemi vardır. Eğer mesafeyi trenin ucundan ve zamanı da Jim'in kol saatinden ölçersek yeni bir (x, I) koordinat sistemimiz olur. İstersek bu iki koordinat sistemini eşzamanlı hale de getirebiliriz. Tren, istasyondaki noktadan geçerken x =O ve t - O olduğunda Jim de O kabul edip saatini t =O yaparsa bu iki koordinat sistemi arasında bir bağ kurulmuş olur.

x-

Tren istasyondan geçerken Jim kafeterya vagonuna doğru harekete geçiyor. Beş dakika sonra istasyondan ne kadar uzakta o lacağını hesaplayabiliriz. Trenin dakikada 1 km hızla ilerlediğini biliyoruz, dolayısıyla 5 dakikada 5 km ile rl em iş olur. Jim ise saatte 2 km veya dakikada %o km ilerlediğinden 5 dakikada = 1 %o km ilerler. Dolayısıyla J im' in toplam uzaklığı (x) 5 1<1'60 km olur. x ve arasındaki ilişkiyi 11 - 60 olmak üzere x = + v x t şeklinde ifade edebiliriz. Jim'in trenin referans sistemine göre konumunu belirleyen denklemi bulmak için

x

x

x

x

değişkenini yalnız bırakırsak

X=X-\IXt

elde ederiz. Newtoncu anlayışta zaman geçmişten geleceğe doğru akan tek boyutlu bir değişkendir. Uzayın her yerinde aynıdır ve konumdan bağımsızdır. Mutlak bir nicelik olduğundan, Jim'in trendeki zamanıyla istasyondaki birinin zamanı aynıdır:

t=t

x

ve t için ilk olarak Galilco tarafından ifade edilen bu gibi formüllere dönüşüm formülleri denir; değ işkenleri bir referans sisteminden bir diğe rine dönüştü· rürler. Newtoncu klasik kurama göre ışığın hızının da bu dönüşümlere uyması gerekir. 17. yüzyılda insanlar ışığın da bir hızı olduğunun farkına vardılar. Yaklaşık hı ölçmeyi ilk başaran kişi 1676'da Hollandalı gökbilimci Ole Römer oldu. Albert Michelson 188 1'de yaptığı daha kesin ölçümlerde ışığın hızının saniyede 299.853 kın olduğunu buldu. Daha da önemlisi, ışığın ilerleyişinin sesin ilerlf inden çok daha farklı olduğunun ayrımına vardı. Michelson, trendeki zını

1881

1887

1905

1915

Michelson, ışığın hızını yüksek bir doğrulukla ölçer.

Lorentz

Einstein, özel göreliliği anlattığı Hareket eden cisimlerin elektrodinamikleri üzerine adlı

Einstein, genel göreliliği anlattıljı Kütleçekiminin alan denklemleri adlı çalışmasını

çalışmasını yayınlar.

yayınlar.

dönüşümleri

kez

kağıda

ilk geçirilir.

~'

Görelilik gözlemciden farklı olarak, ışığm yönünün hızı üzerinde hiçbir etkisinin olmadı ğını gördü. Bu paradoksal sonucun açıklanması gerekiyordu.

--- {1-"}[ı. 1

Lorentz faktörü

Özel görelilik kuramı

Lorentz, bir referans sistemi bir diğerine göre sabit t1 hızıyla ilerlediği durumlarda uzaklıkla zaman arasındaki bağlantıyı belirleyen matematiksel denklemleri buldu. Bu dönüşümler bizim önceden yazdığımız denklemlere oldukça benzemekle birlikte t1 ve ışık hızı c'ye bağlı bir Lorentz faktörü içerirler.

Sahneye Einstein çıkıyor bulgularını

Einstein, Michelson'un ışık h ızıyla ilgili bir postülat olarak baştan kabullendi:

lşığın hızı

tüm gözlemciler için aynıdır t1e yönden bağımsızdır.

Eğer Jim

Oiamond içinde bulunduğu tren istasyondan geçerken elindeki feneri c olarak ölçerdi. Einstein'ın postülatı, istasyonda duran birinin de bu ışığın hızını c + 60 km/saat olarak değil, c olarak ölçeceğini söyler. Einstein ikinci bir varsayımda daha bulundu: yakıp trenin gittiği yöne doğru tutsaydı, hızını

Bir referans sistemi diğerine göre sabiı hızla ilerler. Einstein'ın 1905'te yazdığı makalenin güzelliğinin bir nedeni de matematiksel zarafetle dolu yaklaşım tarzıydı. Ses dalgaları bir ortamdaki moleküllerin titreşi miyle ilerler. Diğer fizikçiler ışığın
Einstein ışığın taşınması için eter ortamınm gerektiği varsayımını kabul etmedi. Onun yerine, Lorentz dönüşümlerini bahsettiğimiz iki görelilik varsayımına dayandırdı ve gerisi çorap söküğü gibi geldi. Özel olarak, bir parçacığın E enerjisinin E - a x mc2 olduğunu gösterdi. Duran bir cisim için (t1 =O ve a = 1 iken) bu formül ünlü kütle-enerji denklemine dönüşür:

E=mc2 1912'de hem Lorentz, hem de Einstcin Nobel'e aday gösterild i. Lorentz zaten 1902'de almıştı , fa kat Einste i n'ın 1921 'e kadar beklemesi gerekecekti. O yıl fotoelektrik etkisi üzerine yaptığı çalışma için Nobel'e layık görüldü ki o

makalesini de l 905'te yayınlamıştı. İsviçre patent dairesindeki bir memur için hiç de fena sayılmaz. karşı Tren gibi nor mal hızlarda giden cisimlerle ilgili gözlemler için, Einstein'ın görelilik kuramıyla klasik Newtoncu kuram arasında neredeyse hiçbir fark yoktur. Bu dunımlarda v göreli hızı ışık hızının yanında çok küçük kaldığından Lorentz faktörü l 'e çok yakın bir değer alır. Sonuç olarak Lorentz denklemleri Galileo'nun k lasik denklemleriyle aynı kapıya çıkar. Bir başka deyişle yavaş hızlarda Einstein ve Newton birbirleriyle iyi anlaşır. iki kuramın arasındaki farkların gözle görülür hale gelmesi için hızların ve uzaklıkla rı n çok büyük o lması gerekir. Fransızların rekor kıran TGV treni bile bu hızların çok uzağındadır. Trenler için Newton yerine Einstein'ın kuramını kullanmamız gereken zamanlara daha çok var. Ama uzay yolculuklarında Einstein'ın kuramını kullanmak zorunda kalırız.

Einstein Newton'a

Genel görelilik kuramı

Einstein genel görelilik kuramın ı 1915'tc

yayınladı. Bu kuram referans sistemlerinin birbirine göre ivmelenebildiği durum-

larda geçerlidir ve ivmeyle kütleçekimin etkileri arasında bir ilişki kurar. Einstein genel göreliliği kullanarak, ışığın Güneş gibi büyük kütlelerin çekimiyle sapması gibi olgu ları öngörmeyi başardı . Kuramı ayn ı zamanda Merkür'ün dönme ekseninin hareketini de açıklıyordu. Bu yalpalama hareketi Newton'un kütleçekim kuramıyla ve diğer gezegenlerin Merkür'e uyguladığı kuvvetle tam olarak açıklanamıyordu. 1840'lardan beri gökbilimcilerin kafasını kurcalayan bir soruydu bu. Genel göreliliğin referans sistemi dört-boyutlu uzay-zamandır. Öklid uzayı düzdür (eğik değildir), fakat Einstein'ın dört-boyutlu uzay-zaman geometrisi (ya da diğer adıyla Riemann geometrisi) eğiktir. Cisimlerin birbirini çekmesini Newton'un kütleçekim kuvvetinden bağımsız olarak açıklar. Einstein'ın genci görelilik kuramında çekimin nedeni bu eğikliktir. Einstein 1915'te ikinci bir bilimsel devrime imza atmıştı.

>> fikrin özü

Işık hızı mutlaktır

49 Fermat'nın

Son Teoremi

İki sayının karelerini toplayarak üçüncü bir sayının karesini elde edebiliriz. Örneğin 52 + 12 2 = 13 2 • Peki ya iki sayının küpünü toplayarak üçüncü bir sayının küpünü elde edebilir miyiz? Ya da daha yüksek kuvvetlerini? İlginç bir şekilde cevap hayırdır; elde edemeyiz. Fermat'nın son teoremi, n 2' den büyük olmak üzere herhangi x, y, z ve n doğal sayılan için xn + yn =zn denkleminin çözümsüz olduğunu söyler. Fermat bunun "harika bir ispatını" bulduğunu söyleyip ispatı yazmayarak kuşaklar boyunca nice matematikçinin aklını çelmiştir. Bunlardan biri de yerel kütüphanede bu matematik hazinesine rastgelen on yaşında bir çocuktur. Fe rma t'nın Son Teoremi bir Diofamus denklemidir. Yaln ızca tamsayı çözümleri kabul eden bu tür denklemler amansız zorluk dereceleriyle ün salmışlardır. Adını , Aritmetika adl ı eseri sayı kuramında bir kilomerre taşı kabul edilen lskenderiyeli Oiofantus'tan alır. Pierre de Fcrmat, 17. yüzyılda Fransa'nın Toulousc şehrinde bir avukat ve devlet memuruydu. Çok yön lü bir matematikç i olan Fermat, adını say ı kuramındaki başarılarıyla duyurmuştu. Günümüzde ise en çok bu teoremiyle anılır. Fermat, Oiofan tus'un Aritmetika'sının elindeki kopyasının bir köşesine "Harika bir ispat keşfettim, fakat sayfanın kenarı yazmak için çok dar" diye bir not düşmüştü.

Her ne kadar Fennat pek çok zorlu problemi çözmüşse de, Son T eorem onlardan biri değilmiş gibi gözüküyor. Sonuçta üç yüz yıl boyunca nice matematikçi bu soruyla boğuşmuş, ispatı daha geç tiğimiz yı llard a anca yapı lab i l miştir. Herhangi bir sayfa kenarına yazılamayacak kadar uzun olması bir yana, modem matemat ik tekn iklerini de gerektiriyor o l ması açısından Fermat'nın idd iası old ukça şüphelidir.

Fermat, " harika i spat " ını yazamadan aramızdan ayrı l ır.

Euler, n = 3 durumunu ispatlar.

Legendre ve Dirichlet. birbirlerinden baO ı msız olarak n 5 durumunu ispatlar.

=

Lame, n= 7 durumunu ispatlar.

Fermarnm Son Teoremi

=

+ y Z denklemi Bu denklemi x, y, .z gibi üç değişken iç in nasıl çözebiliriz? Normalde bir denklemde tek bir bilinmeyen olur ama burada üç bilinmeyen var. Aslına bakarsanız bu durum x + y = z denklemini çözmeyi oldukça kolaylaştırır. x ve y değerlerini dilediğimiz gibi seçip bir .z değeri elde edebilir, böylece denklemin çözümlerinden birini bulabiliriz. Bu kadar hasit.

X

Örneğin x - 3 ve y = 7 seçersek z - LOolur ve bir çözüm elde ederiz. Bazı x, y, z değerlerin çözüm olamayacağını da görebiliriz. Örneğin x - 3, y = 7 ve z - 9 değerleri

x2

denklemi sağlamad ığından çözüm değildir.

+ y 2 = .z2 denklemi

kendisiyle çarpımıdır. Örneğin x

Şimdi karelere bakalım. Bir sayının karesi, 3 ise x2 • 3 x 3 - 9 olur. Yeni denklemimiz

=

şeklinde. Bu denklemde x ve y'ye değerler vererek .z'yi bulmayı deneyelim. Ö rneğin x = 3 ve y = 7 için 3 2 + 72 - 9 + 49 = 58 olur. 58'in karekökü (z - v58) ise yaklaşık 7,6158 olur. Fakat ne yazık ki x • 3, y - 7 ve z-v58 çözümü geçersizdir, çünkü Oiofantus denklemlerinde yalnızca tamsayılar geçerlidir. v58 ise tamsayı değildir.

x2 + y1 - z2 denkleminin üçgenlerle bağl antısı vardır. Bir dik üçgenin üç kenarı nın uzunluğuna x, y ve z dersek bu denklemi sağlarlar. Bunun tersi de doğnıdur; yani x, y, z hu denklemi sağ lıyorsa o üçgen dik üçgendir. Bu durum Pisagor teoreminden kaynaklandı ğ ı için bu sayı lara Pisagor üçlüleri denir.

Pisagor üçlülerini nasıl bulabiliriz? Bu noktada inşaatç ıların kulhir yöntem yard ımımıza koşar. Her yerde kar~ımıza çıkan 3-4-5 üçgeni, inşaatç ı ların aletleri arasında da yer alır. 32 + 42 - 9 + 16 - 5 2 olduğundan dolayı bu sayılar da Pisagor üçlüleri arasında yer alır. Bir başka deyiş le kenar uzunlukları 3, 4 ve 5 olan bir üçgen dik üçgen olmak zorundadır. İnşaatçılar yaptıkları duvarların dik olduğıınu kontrol ederken bu matematiksel gerçekten faydalanır. landığı

Kummer, teoremi ispatl adı{ıı nı iddia etse de Dirichlet bir hatası nı bulur.

von Lindemann, is patı buldu{ıunu iddia eder ama hatalı oldu{ıu anlaş ılır.

x?

Wolfskehl, sonraki 100 yıl içinde bulunacak ispat için ödül koyar.

Sonunda Wiles teoremi ispatlar.

1Fermarnın

Son Teoremi

Bu örnekte 3x3'lük bir kareyi parçalay ıp 4x4'lük bir karenin çevresine sararsak 5 x 5 'lik bir kare elde ederiz. 3

x2 + y2 - z2 denkleminin başka tamsayı çözümleri de vardır. Örneğin x=S,

olur.

y-12 ve z-13 de bir çözümdür çünkü 52+ 122 -13 2

Aslına bakarsanız

bu denklemin sonsuz çözümü vard ı r. x-3, y=4, z=S, en küçük çözüm olduğundan özel bir konuma sahiptir. Ayrıca ard ışık tamsay ı l ardan oluşan tek çözümdür. iki sayının ardışık olduğu pek çok çözüm vardır. x-20, y=21, z-29 ve x-9, y-40, z-41 bunlar arasındadır.

inşaatçının çözümü olan

4

il + 3 x 3

x x x x x )( xx

x xx

x x

x

xx

xxx ~ Xxx x xxx )(

xx

Bolluktan kıtlığa x2 + y2 = z2'den x1 + y1 z3'e geçiş küçük bir adım gibi gözüküyor. Peki iki 4x4 5 x5 kareyi birleştirerek üçüncü bir kare yapma numarasını bu sefer küplerle başarabili r miyiz? Bir küpü bir başka küpün çevresine sarıp yeni bir küp elde edebilir miyiz? Runu yapmanın imkansız olduğu anlaşılı yor. Fermat x2 + y2 - z2 denklemin in sonsuz çözümü olduğunu bilse de x3 + y3 z3 için bir tane bile çözüm bulamamıştı. Üstelik bu başlangıçtı. Tek bir çözüm bile bulamaması Fermat'yı ünlü son teoremine götürdü: x x

n ikiden büyük olmak üzere, X' + y" = :t' denkleminin u.ımsayılarda çözümü yokmr. Böyle bir ifadeyle karşı laşıldığında ilk yapılması gereken küçük n değerlerini inceleyerek ilerlemektir. Fermat da bunu yapmayı denedi. n - 4 durumu aslında n - .3'ten daha kolay olduğu için Fermat bunu ispatlamış olabilir. 18. ve 19. yüzyıllarda Euler n - 3 boşluğunu doldururken Adrien-Marie Legendre n - 5 , ve Gabriel Lamen = 7 dunım larını ispatladılar. Lame ilk başta genel teoremi ispatladığını sandıysa da ne yazık ki yanılıyordu. Emst Kummer ispata önemli katkılar yaptı. 1843'de genel teoremi ispatlad ığını iddia ederek bir çalışma sunduysa da Dirichlet bu ispatta bir hata buldu. Geçerli ispata 3000 frank ödül koyan Fransız Bilim Akademisi bu ödülü değerli çalışması için Kummer'e verdi. Kummer, teoremi 1OO'den küçük tüm asal sayılar (ve diğer sayılar) için ispatlam ıştı. Bir tek 37, 59 ve 67 buna dahi l deği ldi. Belki de

Fermar• son Teoremi :ıf>1 + y61 - {'1 denklemini sağlayan bazı tamsa yılar vardı. Teoremi ispatlamadaki başarısızlığı soyut cebirde önemli tekniklerin keşfedilmesini sağladı. Öyle ki bunlar matematiksel açıdan ispatın kendisinden bile daha önemli katkılar olarak değerlendirilebilir.

Dairenin karelenemeyeceğini ispatlayan Ferdinand von Lindemann (bkz. sf. 22), 1907'de teoremi ispatladığını iddia ettiyse de yanıldığı ortaya çıktı. 1908'de Paul Wolfskehl teoremi ilk ispatlayacak kişiye, 100 yıl için geçerli olmak üzere 100.000 mark ö
İspat Pisagor teoremiyle olan ilişki bir tek n - 2 için geçerli olsa da, geometriyle olan ilişki nihai ispatın anahtarı oldu. Bağlantı, Yutaka Taniyama ve Goro Shimura adında iki Japon matematikçinin ileri sürdüğü bir sanı ve eğriler kuramında yatıyordu. 1993'te Andrew Wiles, Cambridge Üniversitesi'nde bu kuram üzerine bir ders verdi ve Fermat'nın teoremini bu dersin bir parçası olarak ispatladı. Ama ne yazık ki bu ispat da yanlıştı. Adaşı diyebileceğimiz Fransız Andre Weil bu girişimleri boşuna buluyordu. Teoremi ispatlamak Everest'e çıkmak gibiydi; eğer birisi 100 metre kala durmuşsa Everest'e çıktı denemezdi. Baskı artıyordu. Wiles kendini soyutladı ve aralıksız çalışmaya başladı. Çoğu insan Wiles'ın yarı yolda kalanlar kervanına katılacağını düşünüyordu.

Gelgelclim, çalışma arkadaşlarının da yardımıyla Wiles ispattaki hatayı düzeltmeyi başardı. Ru sefer uzmanlar da ikna olmuştu. ispat l 995'te yayınlanınca, 100 yıllık süre neredeyse dolmak üzereyken Wolfskehl'in koyduğu ödüle hak kazanmış oldu. O arnk ünlü bir matematikçiydi. Yıllar önce Cambridge halk kütüphanesinde otururken teoremle karşılaşan on yaşındaki çocuk uzun bir yol kat ermişti.

>> fikrin özü

İspatı uzun sürer

50Riemann Hipotezi

~ w


Riemann hipotezi soyut matematiğin en zorlu zirvelerinden biridir. Poincare samsı ve Fermat' mn son teoremi çözüldüyse de Riemann hipotezi öylece durmaktadır. Bir kez şu ya da bu şekilde çözüme kavuşturulduğunda, asal sayıların dağılımıyla ilgili bazı zor sorular da yanıtlanmış olacak, aynı zamanda matematikçilerin üzerinde kafa yorması için yeni tür sorulara kapılan açacaktır. Hikilyemiz şu türden kesirlerin toplamıyla başlıyor: 1

1

2

3

l+ -+Bunun cevabı 1Y6 (yaklaşık 1,83) eder. Peki gittikçe küçülen kesirleri, sözgelimi on tanesini eklemeye devam edersek ne olur?

Terim

sayısı

1

10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 1.000.000.000

1 1 1 1 1 l 1 1 1 l+ - + - + - + - + - + - + - + - + 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Toplam (yaklaşık)

1 2,9 5,2

7,5 9,8 12,1 14,4 21,J

Riemann, zata fonksiyonu üzerine çalışmalarına ba lar.

ATATÜRK İl HALK KÜTÜPHANESİ

Bir hesap makinesiyle bu ifadenin değerinin yaklaşık 2,9 hesaplayabiliriz. Yandaki tııbloda yeni terim ler ekledikçe bu toplamın nasıl büyüdüğünü görüyoruz. 1 1 1 1 1 !+ - + - + - + - +-+ ... 2 3 4 5 6 olduğunu

şeklindeki seriye harınonik seri denir. Buradaki harmonik terimi, bir müzik telinin yarısının, üçte birinin, dörtte birinin vs. uyumlu, yani harmonik sesler verdiğini fark eden Pisagorculardan gelir.

Riemann, kilit çözümlerin kritik üzerinde yer aldı('ıını ispatlar ve sanısını ifade eder.

şerit

de la Vallce Poussin ve Hadamard, tüm önemli sıfırların Riemann' ın kritik şeridinin içinde yer aldığını gösterir.

Rlemann Hipotezi Harmonik seride gittikçe daha küçük kesirlerin eklenmesinden toplam nasıl etkilenir? Bu toplamın üstüne çıkamadığı bir sınır var mıdır? Bunu yanıdamak için bir numaraya başvurup, terimleri her seferinde iki kan sayıda o lacak şeki lde gruplara ayıralım. Örneğin ilk 8 terimi şöyle yazal ım:

T

~

=!+_!_+ (.!_3 +_!_)+ (.!_+.!_+.!_+_!.) 2 4 5 6 7 8

Burada T toplam anlamındadır. 11) sayısı 1/4'ten büyük, ayrıca 1/s'den büyük olduğundan T toplamı

Y5, '16 ve 1/7 sayıları

1+.!.+ (.!.+.!.) +(.!. +.!. +.!.+.!.) =1+.!.+.!.+.!.

2

toplamından

44

222

8888

büyüktür. Demek ki

3

T2, >l+2 •yazabiliriz. Ya da daha genel bir ifadeyle

k l+ 2 1.048.576 terimi topladığımızda k = 20 olur. Serinin toplamı 11'i anca T2,

>

220 geçmiş olur (tabloya bakınız). Azap verecek kadar yavaş bir şekilde ilerlese de, k değer'ini yeterince büyük seçerek bu toplamı ne kadar istersek o kadar büyük yapabiliriz. Bu durumda "seri sonsuza ıraksar" denir. Halbuki örneğin terimlerin karelerinin alındığı

11 -

1

1

1

1

1

!+-22 +-+-+-+ 32 42 52 -62 +··· serisinde aynı şey olmaz. Yine gittikçe küçülen sayıları birbirine ekliyor olsak da bu sefer bir sınıra varırız ki bu sınır 2'den küçüktür. Bu seri etkileyici bir şekilde 7t'i6 - 1,64493 ... c.leğerine yakınsar. Bu son seride terimlerin kuvv~ ikiydi. Harmonik seride ise paydaların kuvveti birdi. Bu nokta kritiktir: eğer kuvvet birin çok azıcık Ü>lüne çıkarsa seri yakın sar, fakat birin çok azıcık altına ine rse ıraksar. 1!armonik seri yakınsamayla ıraksamanın sınırında yer alır.

Hilbert, matematikçilerin çözmesi için hazırladı1'Jı listeye Riemann hipotezini de ekler.

Hardy, Riemann çizgisi üzerinde sonsuz çözüm olduğunu ispatlar.

ilk 10 trilyon sıfırın kritik doğru üzerinde oldu1'Ju teyit edilir.

Riemann Hipotezi Riemann zeta fonksiyonu

Ünlü Riemann zeta fonksiyonu l;;(s) 18.

yüzyılda Euler tarafından bilinmesine rağmen önemini gerçek anlamda kavra-

yan Bemhard Ricmann olmuştur. ı; simgesi Yunan alfabesindeki zeta harfidir. Fonksiyon şu şekildedir:

1 2'

l 1 1 + - + - +··· 3' 4' 5'

l;;(s)- 1 +-+ -

Zeta fonksiyonu her tür değer için hesaplanmıştır. Bunlar arasında l;;( 1) = oo harmonik mi olduğundan özellikle dikkat çekicidir. Değeri ny6 olan l;;(2), Euler tarafından hesaplanmıştır. s çift sayı olduğunda l;;(s) değerinin 7t sayısını içerdiği gösterilmiştir. s'nin tek değerleri içinse durum çok daha karmaşıktır. Roger Apery önemli bir keşif yaparak, l;;(3) değerinin irrasyonel olduğunu bulmuştur. Ne yazık ki kullandığı yöntem l;;(S), l;;(7), l;;(9) gibi diğer tek sayılar için geçerli değildir.

Riemann zeta fonksiyonunda s değişkeni reel bir sayı olabileceği gibi karmaşık sayı o lacak şekilde de genişle tilebilir (bkz. sf. 32). Bu sayede karmaşık analizin güçlü tekniklerini uygulama imkanı doğar.

Riemann hipotezi

r: •

J

'

• Kritik yşerit

x --.---tr-t-~----~ 3~ -1 1 2 o

r·

1

1. ,!:

Riemann zeta fonksiyonunu Oyapan sonsuz farklı değer vardır. Bir başka deyişle l;;(s) - Odenklemini sağlayan s'ler sonsuz tanedir. 1859'da Berlin Bilim Akademisine sunduğu bir makalede Riemann, tüm önemli sıfır ların x - O ile x - l arasındaki kritik şeritte yer alan karmaşık sayılar olduğunu gösterdi. Bir
1

l;;( s) Rierruınn zeta fonksiyonunu O yapan ıüm değerler kritik şeridin arı.asındaki x - 1/ı doğrusu üzerinde yer alır. Bu hipotezi çözme doğrultusunda ilk önemli adımı 1896'da Charles
RiemaM Hipotezi ise bunun ilk 100 milyar çözüm için geçerli olduğu gösterilmiştir. Bu deneysel sonuçlar hipotezin doğru olduğu fikrini verse de tek bir farkl ı değer çürütmeye yeter. Hipotez sıfır yapan say ıların hepsinin kritik çizgi üzerinde olmasını gerektirdiği için kesin bir ispat gerekir.

Riemann hipotezi neden önemli? Riemann zera fonksiyonuyla asal say ılar (sf. 36) arasında beklenmedik bir bağ vardır. Asal sayılar olan 2, 3, 5, 7, 11, ... sayıları yalnızca bire ve kendilerine bölünürler. Asal sayı ları kullanarak yazabileceğimiz

ifadesi, Riemann zeta fonksiyonunu yazmanın bir başka yoludur. Bu da, Riemann zeta fonksiyonu hakkında bilgi sahibi olmanın, asal sayı l arın dağ ılımına ışık tutacağı ve matematiğin temel yapı taşlarını daha iyi anlamamızı sağlayacağı anlamına gelir. 1900'de matematikç ilerin çözmesi için ünlü 23 soru belirleyen David Hilben, sekizinci soruya ilişkin şöyle demişti: "Eğer 500 y ıl uyuduktan sonra uyanırsam, ilk sorum, Riemann hipotezi ispatlandı mı olacak". Hardy, Danimarka'daki arkadaşı Harald Bohr'a yaptığı yaz ziyarer inden ülkesine dönmeye h azırlanırk en aklına değişik bir fikir geleli: Ricmann hipotezini Kuzey Denizi'ni geçiş sigortası olarak kullanacaktı. Limamlan ayrı lmadan önce arkadaşına hir karcposcal gönderip Riemann hipotezini ispathıdığını yazdı. Her halükarda karl ı çıkacaktı. Eğer gemi batıp da ö lürse insanlar hu büyük soruyu çözdüğüne inanacaktı. Öte yandan, Tanrı onun gibi bir ateistin böyle büyük bir onura sahip olmaması için geminin batmasına izin vermeyecekti . Hipotezi ispatlayan kişi C lay Matematik Enstitüsünün koyduğu bir milyon dolarlık ödü le kavuşacak. Fakat-burada para ikinci planda - çoğu matematikçi için soruyu çözüme kavuşturarak büyük matematikç iler arasın a adlarını yazd ırmak daha öneml idir.

>> fikrin özü

Matematiğin

en zorlu zirvesi

f ı

Terimler Sözlüğü 1 6'lık sistem O, l , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, O, Eve F harflerini kullanan 16 tabanındaki -sayı sistemi. Bilgisayar programlamada

Bire-bir eşleşme Bir kümedeki her e l e manın diğer kümeden yalnızca bir eleman la eşl eştiği ve tersin in de geçerli olduğu ilişki.

sık ku ll anıl ı r.

Bir im kesi r Payı 1 olan kesirler. A ntik Mısı rlı ların sayı sistemi kısmen birim kesirlere

A ksiyom Bir sistemi tan ı mlar ken hiçbir ispat ya da gerekçe göstermeksizin doğru kabul edilen ifade. Postülat da aynı anlama gelse de onda "ispatlanması gerekmeyen, zaten aşikar olan gerçek" anlamı da biraz vardır. A lgoritma Matematiksel bir yemek tarifi; bir soruyu çözmek için yapılmas ı gerekenler listesi. Alt-sonuç Bir teoremden doğa l olarak çıkan küçük sonuç. A rgand

di yagramı Ka rmaş ı k

say ıl arın

iki boyutlu düzlemini görsel olarak göstermek için bir yöntem. Asal sayı Yalnızca l 'e ve kendisine tam bölünen tamsayı. Örneğin 7 asal
"Sürekli"nin zıddı anbir sözcük.

lamında kull anılan

Ayrık değerlerin arasında boş

luklar vardır. Örneğin tamsayılar olan 1, 2, 3, 4, ... böyledir. Basamaklı

sayma sistemi Bir hangi sayı ya karşılık

dayanıyordu. Boş küme

H iç elemanı olmayan küme. Genelde 0 ile gösterilir. Bölen Bir ta msayıy ı tam olarak bölen bir başka tamsayı. 2, 6'nın bir bölenidir çünkü 6 + 2 - 3 olur. Tabii 3 de 6'nm bir bölenidir çünkü 6 + 3 - 2 o lur. Cebir Aritmetiğ i bir adım ileri götürerek say ıl ar yeri ne harfle rle işlem yapma. G ün ümüzde cebir, matematiği n tüm dallarında ku llanılmaktadır. "Cebir" sözcüğü 9. yüzyı l Arapçasındaki bir eserde geçen "cl-cebr" sözcüğünden gelir. Çoky üzlü Pek çok yüzü olan kacı şekil. Örneğin dört-yüzlüde dört tane üçgen yüz, küpte altı tane kare yüz va rdır. Dağılım Bir deney veya durumda meydana gelen olayların aralığa göre sıklık ları veya olası lıkları. Örneğin Poisson dağılımı her x değeri için nadir bir olayın x kere olma ihtimalini verir.

de

çarpmanın değişme özell iği

vard ır (axb -

bxa). Modern cehirin pek çok dalında bu durum geçerli değildir (Ör. matris cebiri). Diofantus denklemi Çözümlerinin tamsay ı ya da bayağı kesir olmas ı gereken denklem. Adını Yunan matematikçi l skenderiye li Diofantus'tan a l ır (Mô

-250). Dizi Art arda gelen ve bazı durumlarda sonsuza kadar gidebilen sayılar veya simgeler. Eleman sayı sı Bir kümede kaç tane e leman olduğu. {a, b, c, d, e} kümesinin eleman sayısı beştir. Bu terim yal n ız sonlu kümelerde değil , sonsuz kümelerde de anlam kazan ır. En büyük ortak bölen , EBOB iki sayının EBOB'u, her iki sayıyı da tam bölen tamsay ıl arın en büyüğüdür. Örneğin 18 ve 84'ün EBOB'u 6'dır. Geometri Çizgilerin, şekillerin ve uzayların şeki llerini konu alan geometri, 3. yüzyılda Öklid'in Elemanlar'ı ile formalize1 edilmiştir. Geometri günümüzde tarihsel kısıtlı anlamından uzaklaşmış ve matematiğ i n tümüne yayılm ıştır.

73 yazıldığında 7 tane on ve 3 tane bir olduğu anlaşı l ır.

Daireyi karele mek Yaln ı zca ölçüsüz cetvel ve pergel kullanarak, verilen bir daireyle aynı alana sahip bir kare oluşturma problemi. imkansızdır.

H ipotez lspatlanmayı ya da çürütülmeyi bekleyen, d oğru veya yanlış olduğu bilinmeyen ifade. "Sanı"yla aynı matematiksel statüye sahiptir.

B ayağ ı

Değişme özelliği

İkiz asallar 11 ve 13 gibi, ara-

başka

duğu

larında iki fark olan asallar. İkiz

rakamın

geldiği bulunduğu basamağa

bağlı olan sayı sistemi. Örneğin

kesir Bir tamsayınııı bir tamsayıya bölümü.

Aritmetikte olgibi (3x2 • 2x3) cebirde

Terimler SözJüğü asalların madığını

sonsuz say ıda olup olbilmiyoruz.

İntegral T emel kalkülüs işlem lerinden biri. Alan hesaplar. Türevin tersidir. İrrasyonel sayılar Bayağı kesir o larak yazılamayan say ıl ar. (Ör. ı/2)

Kalan Bir tamsayı başka bir tamsayıya bölündüğünde, artan kısım kalandır. 17 sayısı 3'e bölündüğünde bölüm 5, kalan 2 olur. Kaos Kuramı Rassal gibi gözükmesine rağmen bazı kurallara uyan dinamik sist e mlerin kuramı.

Kare sayı Bir tamsayının kendisiyle çarpımının sonucu. 9 bir kare sayıdır çünkü 9 - 3 x3 olur. Kare say ılar 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ... diye devam eder. Karekök Kendisiyle çarpıldı belirli bir sayıyı veren say ı. Örneğin 9'un karekökü 3'tür, çünkü 3 x3 - 9 eder. ğında

Karşı-örnek Bir önermeyi çürüten tek bir örnek. "Tüm kuğular

Küme Nesneler topluluğu. Ö rneğin evdeki mobilyalar kümesi M - {sandalye, masa, koltuk, tabure, dolap} şeklinde olabilir. Lemma Ana teoremi ispatlamak için ispatlanan ara ifadeler. Matris Bir kare veya dikdörtgen şeklinde dizilmiş sayılar. Bu sayı lar toplanabilir, çarp ılabilir ve cebirsel bir sistem oluşLururlar. Üptimal çözüm Pek çok soruda en iyi veya optimal çözümün bulunması istenir. Bu masrafları minimize eden veya karı maksimize eden çözüm olabilir. Pay Kesrin üst kısmı . Y1 kesrinde 3 sayısı payd ır. Payda Kesrin alt kısmı . Yı kesrinde payda 7'dir. Pisagor teoremi Kenar uzun lukları x, y ve z olan bir dik üçgende z en uzun kenar (hipotenüs) olmak üzere :r+y1-z1 olur. Rasyonel sayı Tamsayı veya bayağı kesir olarak yaz ıl ab ilen sayı lar.

beyazdır"

Sanal sayılar Sanal i - ı/- l sayısını içeren say ıl ar. Reel sa-

olduğunu

yılarla birleştiklerinde karmaşık

önermesinin yanlı ş göstermek için t ek bir siyah kuğu göstermek yete-;:-.

Konik kesitler Daire, doğru, elips, parabol ve hiperbol gibi şekilleri barındıran bir eğ ri a ilesi. Bu şekillerin h er biri kon in in farklı kesitlerini alarak elde edilebilir. Kuaternion W.R. llamilton tarafından keşfedilen dört-boyutlu sanal say ılar.

sayıları oluştururlar.

Seri Art a rda gele n ve bazı durumlarda sonsuza kadar gidebilen sayılar veya simgelerin top lamı .

Simetri Bir şek lin düzenliliği. Eğer bir şek il döndürülerek orijinaliyle aynı şekle getirilebili yorsa dönel simetriye sahip denir. Eğer yansımasıyla aynı

şekle

getirilebiliyorsa yansı ma simetrisine sahiptir. Taban Bir sayma sistemindeki rakam sayısı. Babillilcr 60 tabanını kullanırlardı. Günümüzdeyse 10 tabanını kullanıyoruz. Tekrar Belirli bir a değeriyle başl ay ıp sürekli aynı işlemi yaparak yeni say ılar e lde etme. Örneğin 3 ile başlayıp sürekli 5 eklersek 3, 8, 13, 18, 23, ... dizisini elde ederiz. Teorem Belirli bir ö neme sahip, ispatlanmış bir gerçek. Transandant sayı ax2+bx+c-O gibi veya daha yüksek dereceli cebirsel bir denklemin çözümü olamayacak say ı . 7t sayısı transandanr bir say ıdır. Türev Temel kalkülüs işl em lerinden biri. Değişimin hı zını hesaplar. Örneğin konumun zaman a göre nasıl değiştiğini gösteren bir ifade için türev, hızı simgeler. Hız ifadesinin türevi ise ivmeyi simgeler. Üs Aritmetikte bir gösterim. Bir sayıyı kendisiyle çarptığı mızda, örneğin 5x5'i 52 olarak yazarız. 5 x 5 x 5 ise 5 1 olarak yazılır vs. Bu gösterimle kökler de gösterilebilir; örneğin 5 Yı, 5'in karekökü anlamına gelir. Venn diyagramı Kümeleri göstermek için kullanılan şekilse l bir yöntem (balon d iyagramı). x-y eksenleri Rene Descartes' ın geliştirdiği, x ve y koordinatları olan bir noktayı yatay ve dikey eksenlerde gösterme fikri.

1

'domingo GERÇEKTEN BİLMENİZ GEREKEN 50 MATEMATİK FİKRİ TONYCRILLY Özgün ismi: 50 Mathematic:ıl ldcas You Really Nccd co Know

© 2007, Tony Crilly llu kitabın lUrkçe yayuı hakları

Akcalı Telif Ajansı araetlığıyla

Quercus Editions Ltd (UK)'den alınmıştır.

Tıirkçc yayın haklan: © 2014 Bkz Yayıncılık Ticaret ve Sanayi Ltd. Şti. Scrtifıka No: 12746 Domiııgo, Bkı Yayıncılık markasıdır.

Çeviri: Cem Duran Sayfa ve Kapak Uyarları»: Bahadır Erşık ll!üstra
1. Baskı: Kasım 2014 ili. Baskı: Mayıs 20 l 5

A w


Ertem Basım Lcd. Şti. Na
Bkz Yayıncılık T icar
e-posra: [email protected] www.domingo.com.tr

Gerçekten Bilmeniz Gereken 50 Matematik Fikri - Tony Crilly

Recommend Documents