Gentil Lopes - Artigo Dois Erros Graves Cometidos Pelos Matemáticos

Dois Erros Graves Cometidos Pelos Matem´ aticos aticos Gentil, o iconoclasta ∗

15 de dezembro de 2018 A matem´ atica est´ a longe de ser est´ atica e perfeita; ela est´ a constantemente evoluindo, mudando a todo instante e plasmando-se em novas formas. formas. Novos conceitos conceitos continuamen continuamente te transfo transformam rmam a matem´ matematica ´ e criam novos campos, campos, novos pontos pontos de vista, novas ênfases enfases e novas quest˜ oes para serem respondidas. (Gregory Chaitin/Metamat! )

Resumo Este artigo tem por objetivo apontar e corrigir corrigir dois erros graves cometidos pelos matemáticos aticos há séculos. ecul os. Este Est e é o que podem po demos os denominar denominar de um artigo acachapant acachapante. e.

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Introdu¸ c˜ ao: No nosso entendimento entendime nto existem dois equ´ equ´ıvocos que vˆ em em sendo cometidos pelos matemáticos aticos há séculos, eculos, quais sejam: 1o ) Ambiguidades nas Representa¸c˜ coes o ˜es Decimais; 2o ) Representa¸ coes c˜ o ˜es decimais de n´ umeros reais s˜ umeros a o n´ ao umeros reais. umeros

Nota: No Google e no YouTube o leitor encontrará dezenas e dezenas de artigos e v´ v´ıdeos sobre estes temas. Por exemplo, digite 0, 999 . . . = 1 Em se tratando de um tema delicado, delicado, “abstrato”, “abstrato”, estaremos estaremos deliberadamente escrevendo um longo e detalhado artigo, para que “qualquer crian¸ca ca do Ensino Fundamental” entenda onde reside o erro crasso dos matemáticos aticos já que os próprios oprios se recusam recusam a enxergar. enxergar. Ou não ao se coloca vinho novo em odres velhos?. Nota: Este artigo foi escrito para a palestra anunciada a seguir.

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[email protected] / Mestre em matem´ atica / Professor do Departamento atica (65 p´ aginas)/Download: www.goo.gl/DVWQxz aginas)/Download: de Matem´ atica atica da UFRR.

1

CICLO DE PALESTRAS DO DEPARTAMENTO DE ´ MATEMATICA DA UFRR 2018 ´ TÍTULO: DOIS ERROS GRAVES COMETIDOS PELOS MATEMATICOS UNIVERSIDADE UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA ˆ CENTRO DE CI ENCIAS E TECNOLOGIA TECNOLOGIA ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICA CICLO DE PALESTRAS 2018

Prof. Prof. Me. Gentil, Gentil, o iconoclasta

Resumo: Existem dois erros de interpreta¸cão ao que os matemáticos ati cos vêm em cometendo come tendo há séculos, ecul os, quais quai s sejam: seja m: 1 o ) Ambiguidades nas Representa¸c˜ coes o ˜es Decimais; coes o ˜es Decimai Deci maiss s˜ ao ao n´ umeros umeros reais. 2 o ) Representa¸c˜

No livro “ Meu Professor de Matem´ cao) aõ) atica ” (5 a Edi¸c˜ o Prof. Elon Lages Lima trata das representa¸cões oes decimais. Sun Hsie Hsien n Ming Ming lhe dirige a seguinte pergunta: O leitor Sun “O fato de a mesma fra¸c˜ cao ˜ ordin´ ordin´ aria aria poder ter duas duas representa¸ c˜ coes ˜ decimais distintas, por exemplo

2 = 0 4000 5 ,

. . .

= 0 3999 ,

. . .

n˜ ao apresenta inconveniente nem origina paradoxos?”

Vamos argumentar no sentido de provar por que a respost po staa do Prof. Prof. Elon Elon est´ está errad errada. a. Ad Adem emai ais, s, uma outra outra “igual “igualdad dade” e” que que o Prof. Elon, Elon, e (quase (quase)) todos os outros outros matemáticos, aticos, não ao entende ente ndera ram m é esta esta 0 999 ,

. . .

= 1

Sugest˜ ao: Não ao perca esta palestra a final de contas não é todo século eculo que se tem a oportunidade de apontar dois erros grav´ grav´ıssimo ıss imoss (de matem´ mat emática atica elementar) cometidos pelos matemáticos aticos de todo o mundo. ´ rio do CCT/Anexo Bloco 5 Local: UFRR/Auditorio o ` s 15hs Data Data e hor´ hor´ ar io:: 29/11/2018 as ario a

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Contato: [email protected]

Adendo: As origens deste artigo As origens deste artigo remontam há cerca de 15 anos atrás. as. Na ocasiãaoo (Ver (Ver p. 50 deste pdf) eu estudava a constru¸c˜ cao ão da Curva de Peano 1

1



1 2

χ

2  3

A Curva de Peano pertence a um ramo da matemática atica conhecido como Topologia como Topologia e tem aplica¸c˜ coes o˜es em compressão ao de imagens image ns digitais. digit ais.



 1  3

0

0





1 3

2 3

1

pelo livro de Espa¸cos cos Métricos etricos do Prof. Elon Lages Lima, no qual se ler: cao ˜ decimal de um n´ umero real x [ 0, 1 ] é unica, ´ exceto por “a representa¸c˜ ambig¨ uidades do tipo 0, 47999 . . . = 0, 48000 . . . ” (p. 231) Para Para contor contornar nar as supostas supostas ambigui ambiguidad dades es o Prof. Prof. Elon Elon lan¸ lanca ça mão a o de alguns artif´ıcios, ıcios, como por exemplo, o conjunto de Cantor e a representa¸c˜ cãaoo de um n´ umero em base 3; pois bem, achei que a referida constru¸c˜ umero ao a o poderia ser consideravelmente simplificada se as supostas ambiguidades nãaoo existissem, fossem apenas ap enas um mito. Na época epoca consegui formular alguns algun s argumentos contra as ambiguidades, cheguei até a trocar alguns email´s com um matem´ atico atico do IMPA (Gugu/ver /ver p. 62) 62) cole colega ga do Prof Prof.. Elon Elon.. Me Meus us argumentos de 15 anos atr´ as as não ao foram suficientemente claros para me fazer entender. entender. Deixei Deixei de lado a questão ao (neste ´ınterim ınterim escrevi alguns livros, em um deles de fato consegui simplificar a constru¸c˜ cao aõ da Curva de Peano, e fui mais longe), mais recentemente retomei os argumentos contra as ambiguidades e agora consegui lapidar a pedra outrora bruta, transformando-a em um diamante cristalino (este artigo), agora creio que “qualquer crian¸ca c a do Ensino Fundamental” é capaz de entender meus argumentos. Ademais, tive a oportunidade de constatar que alguns matemáticos aticos (falo de doutores) d outores) chegam até a desdenhar do tema representa¸c˜ coes ˜ decimais por tratar-se tratar-se de “matem´ “matem´ atica atica element elementar”, ar”, isto n˜ ao é digno de suas aten¸c˜ ao cões, oes, seria perda p erda de tempo. Farei trˆ es es observa¸ observa¸c˜ coes. o˜es. Primeira: Primeira: eles tˆ em em razãaoo trata-se de matemática atica elementar, contudo, esquecem que esta “matemática atica elementar” reverbera em áreas areas importantes da matemática, atica, como a Topologia, por exemplo. exemplo. Segunda: Segunda: mesmo doutores doutores trope¸ trope¸cam cam nesta “matemática atica element elementar”, ar”, como estaremos estaremos provando provando neste artigo. A terceira observa¸ observa¸c˜ cãaoo fundamenta-se nesta cita¸c˜ cão: ao: ´ poss´ E oss´ıvel que os mitos matem´ matematic ati ´ cos sejam sejam fonte fonte do que Bachel Bachelar ard d chama de “obst´ aculos epistemol´ ogic ogicos”, os”, pois aquele aqueles, s, na sua condi¸ condi¸ c˜ c˜ ao de “verdades” matem´ aticas consolidadas, seriam obst´ aculos para o surgimento de outras verdades (interpreta¸c˜ c˜ oes) que as substituam. ([2]) Os dois erros graves objeto deste artigo são ao exemplos de mitos matem´ aticos aticos que “s˜ ao obst´ ao aculos para o surgimento de outras verdades aculos (interpreta¸c˜ coes) o ˜es) que as substituam.” Ver Gregory Chaitin, p. 1.

∈

−

3

1

Gˆ enios enio s tamb´ em em cometem com etem erros e rros elementare elem entaress Dissemos que (quase) todos os matemáticos aticos não ao entenderam a equa¸c˜ cãaoo

0, 999 . . . = 1 Parece mentira. Para atenuar um poss´ poss´ıvel cepticismo do leitor quanto ao t´ıtulo ıtu lo desta dest a seçc˜ cãaoo afirmamos que isto já aconteceu pelo ao menos uma vez na história oria da matemátic a tica. a. Com Com efeit efeito, o, não ao foram poucos os gˆ enios enios da matem´ atica que sucumbiram, intelectualmente falando, frente à seguinte atica “equa¸c˜ cao aõ elementar”

−

−

( 1) ( 1) = 1

− ·−

Dentre eles, destacamos:

− Leonhard Euler (1707-1783); − Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855); − Re René Descartes (1596-1650); − Pierre Simon Laplace (1749-1827); − Pierre Fermat (1601-1665); − Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716); − Isaac Newton (1643-1727).

Apenas Apenas para citar citar alg alguns uns dos mai maiss eminen eminentes tes.. Reiter Reiteramo amos, s, nenhu nenhum m destes matemáticos aticos entendeu a equa¸c˜ cao aõ acima entendeu significa provou.

−

Processa Proc essarr s´ımbolos ımbo los n˜ ao ao ´ e o mesmo que processar significado Veja bem, o fato de que eventualmente um aluno do ensino fundamental saiba que ( 1) ( 1) = 1 isto não ao significa que ele compreenda o porquê deste deste produto. produto. Dizemo Dizemoss que ele foi apenas programad programadoo para isto, isto, tipo: tipo: “o etc. inimigo do meu inimigo é meu amigo”, etc.

− ·−

Uma “simples” “simples” calculadora calculadora como a HP Prime em “sab “sa b e” Prime também que ( 1) ( 1) = 1, perguntamos, ela enten entende de isto?. isto?. De igual igual modo a grande maioria de estudantes foi apenas programada para lidar com a matem´ matem´ atica, atica, a efetiv efetivaa com comprepreens˜ ao ao n˜ ao é maior que a da calculadora. ao calculad ora. O c´ erebro erebr o humano é program´ progr am´ avel. avel.

− ·−

4

Foi precisamente a possibilidade de dar diversas interpreta¸ c˜ coes ˜ aos n´ umeros negativos que fez com que eles fossem aceitos aos poucos na coletividade matem´ atica. Porém, em, desde seu aparecimento, aparecimento, esses n´ umeros suscitaram d´ uvidas quanto a` sua legitim legitimidad idade. e. Em 1543 1543 Stieffel ainda os chamava de n´ umeros absurdos, e Cardano, contemporˆ aneo de Stieffel, ([5]) denominava-os solu¸c˜ coes ˜ falsas de uma equa¸c˜ cao. ˜ Descartes Descartes (1596 -1650 -1650)) chamav chamavaa de falsas as ra´ ra´ızes negativas de uma equa¸c˜ cao; aõ; Viete (1540 -1603) era mais radical: radical: simplesmente rejeitava rejeitava os negativos bem como D’Alembert (1767-1783).

−

Em um livro clássico assico da matemática atica “O Que Qu e é MaMa (Richard ard Couran Courantt & Herbert Herbert Robbins Robbins)/R )/Rio io de tem´ atica? ” (Rich janeiro: Editora Ciˆ encia encia Moderna., 2000. (p. 65/Grifo 65/Grifo nosso) Lemos: Por exemplo, a regra (3)

( 1) ( 1) = 1, 1,

− −

definida para a multiplica¸c˜ cao aõ de inteiros negativos, n egativos, é uma conseqüˆ uênci en ciaa do nosso desejo de preservar a lei distributiva a (b + c + c)) = a b + a + a c. Por que se tivéssemos essemos determinado determ inado que ( 1) ( 1) = 1, então, ao, ao definirmos a definirmos a = 1, b = 1, c = 1, dever´ dever´ıamos ter tido 1 (1 1) = 1 1 = 2, enquanto que, que, por outro outro lado, lado, temos temos efetiv efetivame ament nte, e, 1 (1 1) = 1 0 = 0. Os matem´ aticos levaram muito tempo para compreender que a “regra aticos (3),, juntamente com todas as outras defini¸c˜ coes o˜es que se referem de sinais” (3) aos inteiros negativos e fra¸c˜ coes o˜es não ao pode ser “prov “provada”. Elas s˜ aaoo criadas por p or n´ os os para alcan¸carmos carmos liberdade nas opera¸c˜ coes, o˜es, preservando ao mesmo tempo as leis fundamentais fundamentais da aritm´ aritmética. etica. O que pode p ode e deve ser provado é apenas que, com base nestas nestas defini¸c˜ coes, o˜es, as leis com comutativ utativa, a, associatia associatiav va e distributiva da Aritmética etica s˜ ao ao preservadas. preservadas. Inclusive Inclusive o gr grand ande e Eul Euler er lan¸cou cou m˜ ao de um racioc ao racioc´ ´ınio absolutame absolutamente nte não ao convincente para demonstrar que ( 1) ( 1) “deve” ser igual a +1. Isto porque, argumentava ele, deve ser +1 ou 1, e não ao pode ser 1, uma vez que 1 = (+1) (+1) ( 1).

− − − − − − − − − − − ·

−

−

− − −

−

−

−

−

−

O malabarismo apresentado por Euler para justificar a re regr gra a de si sina nais is de demo mons nstr tra a qu que e el ele e n˜ ao tin ao tinha ha ain ainda da co co-nhecimentos nhecimen tos suficien suficientes tes para esclarec esclarecer er conv convincentem incentemente ente os pontos obscuros apresentados pelas regras de sinais. sinais . Na mesma obra, segundo Glaeser (1981), Euler concebe o n´ umero negativo como sendo uma letra precedida com o sinal (menos). (menos). Euler n˜ ao consegue estabelecer uma ideia para a forma¸c˜ cao ˜ do conceito de n´ umero negativo, nem muito menos concebˆ concebˆ e-los e-los como como sendo quantidades menores que zero. ([5])

− −

5

1.1

Explici Explicitan tando do melh melhor or o erro erro de de Euler Euler

O argumento j´ a admite como conhecido conhecido que (+1) ( 1) = 1, ok. Euler argumenta argumenta “Mas como como (+1) ( 1) vale 1, não ao resta mais como unica u ´ nica possibilidade que ( 1) ( 1) = +1”. +1”. Ou seja, seja, Euler Euler afirma que que n˜ ao a o se pode ter simultaneamente

−

− ×−

(+1)( 1) =

−

−1

−

−

e

−

( 1)

− × (−1) = −1

o que é um erro assaz pueril uma vez que uma opera¸c˜ cao aõ sobre um conjunto um a apli ap lica¸ ca¸c˜ cão ao (fun¸c˜ cao) aõ) E é uma f : : E

× E → E

e não ao é obrigatoriame obrigatoriamente nte injetiva injetiva.. Por exemplo, seja E = opera¸c˜ caao õ : E E dada dada por a b = a = a b E,

∗ × →

∗

Por exemplo, temos

(+1) ( 1) = ( 1) (+1) =

∗−

1.2 1.2

−

{ −1, 1 } e a

−1

e

( 1) ( 1) = ( 1) (−1) =

− ∗−

−

−1

Como Como se res resol olv veu um um impas impasse se de 1600 anos?

Depois de 16 s´ eculos eculos de lutas inglórias orias na tentativa de se compreender os números umeros negativos e, em particular ( 1) ( 1) = 1, a questão ao come¸cou cou a se iluminar pela contribui¸c˜ cao aõ majorit´ aria aria de dois matemáticos aticos Hermann Hankel (1839-1873) e George Peacock (1791-1858).

− ·−

Peacock inicialmente admite a possibilidade de que tenhamos ( 1) ( 1) =

− ·−

−1

se fosse este o caso caso vejam vejamos os no que daria: daria: substit substituin uindo do a = c = 1 em em a a (b + c + c)) = ab + ab + ac ac,, temos

−

·

−1, b = 1,

−1 ·  1 + (−1)  = −1 · 1 + (−1) · (−1) Vamos substituir −1 · 1 = −1, logo (1 elemento neutro) −1 ·  1 + (−1)  = −1 + (−1) = −2 Por outro lado, temos efetivamente

−1 ·  1 + (−1)  = −1 ·  0  = 0 6

Numa an´ alise apressada poderiamos concluir que o argumento estabelece alise a seguinte contradi¸c˜ cão: 0 = 2 e que, portanto, a hipótese otese inici inicial al ( 1) ( 1) = 1 s´ o pode ser falsa, logo estaria provado que: ( 1) ( 1) = 1. Na verdade não ao é isto o que acontece∗ , o que na realidade realid ade foi provado é

−

−

−

− ·−

Se a (b + c + c)) = ab + ab + ac ac e ( 1) ( 1) =

·

− ·

− ·−

−1

ent˜ ent˜ ao 0 =

−2

O contrap co ntrapositivo ositivo deste teorema teorem a é Se 0 =

 −2 ent˜ ent˜ aaoo a · (b + c + c)) =  ab + ab + ac ac ou (−1) · (−1) =  −1 Certamente 0  = − 2, ma mass n˜ ao existe nada, logicamente falando, que nos ao

obrigue a escolher entre

a (b + c + c)) = ab + ab + ac ac ou ( 1) ( 1) =

·

− · −  −1



No per´ per´ıodo compreendido compreendido entre Diofanto e Hankel, muitos matem´ aticos se propuseram a construir uma demonstra¸c˜ c˜ ao para a regra de sinais pautada em exemplos pr´ aticos. aticos. Por´ Porém, em, Hankel Hankel em 1867, 1867, demons demonstr tra a que a unica ´ das regras regras poss poss´ıveis é aquela que preserva preserva a distributividade a` esquerda e a ` direi direita ta,, isso isso porque orque ele ele abor aborda da a ideia ideia de n´ umero umero relativo numa outra outra dimens˜ ao, que n˜ ao aquela procur procurada ada na natureza. natureza. Hankel, Hankel, diferentem diferentemente ente de Laplace, Laplace, que acreditava na existˆ encia de uma explica¸c˜ encia ao para a ao ao numa outra multiplica¸c˜ cao a õ dos relativos na natureza, natureza , aborda a quest˜ dimens˜ ao, os n´ umeros umeros n˜ ao s˜ ao descob descobertos, ertos, s˜ ao imaginados e a regra de sinais sina is é pura inven¸ inv en¸c˜ c˜ ao da mente humana, uma conven¸c˜ cao. ˜ ([5]) Diofanto de Alexandria, Alexandria, matem´ atico Grego nascido entre 201 e 214. atico Nota: Diofanto Temos, 1867 214 = 1653 anos de tentativas para se provar ( 1) ( 1) = 1. Observem a fundamental mudan¸ca ca de perspectiv perspectiva: a: “Os números umeros nãaoo s˜ ao ao descobertos como acreditava Laplace, e muitos outros , são ao inven¸ inven¸c˜ cões oes humanas”.

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−

−

aticos percebessem que a ‘regra “Levou muito tempo para que os matem´ dos sinais sinais’, ’, junto junto com todas todas as outras outras defini¸ defini¸ c˜ oes govern governand ando o os inteir inteiros os negativos e fra¸c˜ coes ˜ n˜ ao podem podem ser ‘provadas ‘provadas’’ ” (Hermann Hankel). ıd eo Hist´ His tória oria da Matemática atica para Professores 16 - N´ umeros umeros Sugest˜ ao: ao: O v´ıdeo negativos e Complexos https://www.youtube.com/watch?v=xjG2Z5XgS4o exibe uma tosca tentativa de provar que ( 1) ( 1) = 1, efetuada pelo matem´ atico atico Jean-Rober Jean-Robertt Argand Argand (1768-18 (1768-1822) 22).. Hoje a “prov “prova” de Argand pode ser enviada para a lixeira não ao tem nenhum valor matemático. atico. interessar possa, na referˆ referência encia [5] damos outros detalhes Nota: A quem interessar sobre este tema, inclusive citando a bibliografia consultada.

− · −

−

∗

Lembre-se que ` a época epo ca de d e Peacock os inteiros inteiro s ainda aind a n˜ ao ao existiam, isto é, e, n˜ ao ao possuiam legitimidade matem´ atica atica − Ou ainda, não ao haviam sido construidos, operava-se com eles de modo informal, intuitivamente, sem o necess´ ario ario rigor.

7

2

Meu Professor Professor de Matem´ Matem´ atica atica

No livro “Meu Professor de Matem´ atica ” Edi¸c˜ cao) aõ) o Prof. Prof. Elon Elon Lage Lagess Lima, Lima, trata trata das representa¸c˜ cões o es decim decimai ais. s. Na p´ agina agina 162, consta: (5 a

uvi das sobre sob re d´ızimas ızim as 7. Dúvidas A transforma¸c˜ cao aõ de fra¸c˜ coes o˜es ordinárias arias em decimais, dando origem ao fenômeno omeno curios cur iosoo das chamadas chama das d´ızimas ızim as p er´ıodic ıo dicas, as, é sem dúvida uvida um assunto que provoca questões, oes, suscita controv´ controv´ ersias ersias e gera problemas. Alguns colegas tˆ em em escrito com perguntas sobre o assunto. Duas das mais interessan interessantes tes entre entre essas perguntas perguntas foram feitas por Sun Hsien Ming, de São ao Paulo, SP. Elas são: ao: 1 a ) Existe alguma fra¸c˜ cao aõ ordin´ aria tal que, dividindo-se o numerador pelo aria denominador, obtenha-se a d´ızima periódica odica 0, 0, 999 . . . ? 2 a ) O fato de a mesma fra¸c˜ cão ao ordin´ aria poder ter duas representa¸c˜ aria coes o˜es decimais distintas (como 2/ 2 /5 = 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . . ) não ao apresenta inconveniente nem origina paradoxos? De momento momento vamos considerar considerar a segunda segunda pergun p ergunta ta acima. Vamos nos ater ao seguinte trecho da resposta do professor Elon: (p. 164 164)) “Seria bom que a correspondˆ correspondˆ encia encia entre entre n´ umeros umeros racionais e fra¸c˜ coes o˜es decimais periódicas odicas (d´ (d´ızimas) fosse biun´ biun´ıvoca. Mas não ao é. e. Caso insistamos muito em ter sua biunivocidade, biun ivocidade, vamos ter que fazer um sacrif´ıcio ıcio para p ara obtê-la. e-la. Um sacrif´ıcio ıcio poss pos s´ıvel seria s eria abster-se abster -se de considerar consid erar decimais decimai s ‘exatas’, substituindo sempre todas as fra¸c˜ coes õ es do tipo 5, 5, 183 183 por por 5, 5, 182999 . . . (por exemplo). exemplo). O outro seria excluir excluir as d´ızimas ızimas que terminam terminam com uma fileira de noves, substituindo-as sempre pela decimal exata obtida suprimindo os nove nove e somando somando 1 ao último ultimo algarismo que os precede; isto corresponderia a escrever sempre 0, 0 , 7 em vez vez de de 00,, 6999 . . . Nenhuma dessas escolhas é muito natural. Por isso me parece mais razoável avel que nos resignemos com a falta de biunivocidade. Há coisas piores no mundo.” Segundo entendemos, há um equ´ equ´ıvoco p or parte par te do professor Elon, na verdade não ao existe falta de biunivocidade, biunivocidade, pelo contrário, ario, existe excesso como provaremos. Mas n˜ ao a o apena apenass isto isto . . . escolhass é muito natura natural. l.” Ao con “Nenhuma dessas escolha contr tr´ ario, a´rio, mostraremos que qualquer uma das escolhas é muito natural, e deve ser feita.

−

8

Cuidado! . . . na matem´ atica atica nem sempre uma “igualdade” ´ e de fato uma igualdade Antes fa¸camos camos mais um interregno necessário. ario. Vamos exemplificar exemplificar no sentid sentidoo de mostrar mostrar que devemo devemoss ter muito muito cuidad cuidadoo ao inter interpret pretar ar certas certas “igualdades matem´ aticas”. aticas”. Vejamos três es exemplos: exempl os: 1 o ) Fra¸ c˜ coes o˜es equivalen equivalentes. tes. Há muitos anos atrás as corrigimos o gabarito de uma prova de cursinho. A questão ao era: x caao õ tal que a soma do numerador com o Problema: Encontrar a fra¸c˜ y denomindor seja 16 e o produto seja 48.

Solu¸ c˜ cao: a õ:

 x + y + y x·y

= 16 = 48

Alternativas:

→

a)

3 13

b)

5 11

d)

1 3

e) NRA

c)

7 9

1 A resposta resposta dada pelo gabarito gabarito foi a letra letra d). Aco Acont ntec ecee que a fra¸ c˜ cãaoo 3 não ao satisfaz ao enunciado da questão, ao, isto é, e, o sistema acima. 4 A resposta r esposta correta é dada d ada pela p ela fra¸ f ra¸c˜ cao aõ , veja: 12 x 4 1 = = y 12 3 Resumindo, fra¸c˜ coes ões equivalentes não ao s˜ ao ao fra¸c˜ coes ões iguais! 2 o ) Um resultad resultado o bizarro. bizarro. Na seç seçc˜ cao aõ 10 demonstramos a seguinte igualdade (p. 43)

0, 999 . . . =

9 9 9 + 2 + 3 + 10 10 10

··· = 0

3 o ) Ademais, Ademais, pode ser provado provado que 0, 4999 . . . =

(p. 43)

4 9 9 + 2+ 3+ 10 10 10 9

··· = 0

N˜ ao ao raro, na matemática atica uma “ig “iguald ualdade ade”” n˜ ao é uma igualdade absoao luta, mas relativ r elativa, a, isto é, e, deve ser interpretada dentro de um u m certo contexto. ´ Ou ainda: é o context contextoo que legitima a igualdade. igualdade. E precisamente o que acontece com a “igualdade” 0, 999 . . . = 1 ou com a dupla “igualdade”: 2 = 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . . 5 A nossa n ossa tese, reiteramos, é que os matemáticos aticos não ao est˜ ao ao sabendo interpretar terpretar adequadamen adequadamente te estas “igualdades”. “igualdades”. A dupla igualdade acima é um exemplo do que os matemáticos aticos denominam de “ambiguidades nas representa¸c˜ coes ˜ decimais ”. Pra come¸car, car, há um u m sentido em que esta dupla igualdade é verdadeira e há um sentido em que ela é falsa. Ela é verdadeira no sentido de convergˆ ver gência en cia de séries er ies,, assi as sim: m: 2 4 0 0 0 = + 2 + 3 + 4 + 5 10 10 10 10

· · · = 103 + 1092 + 1093 + 1094 + · · ·

Ela é falsa no sentido de representa¸c˜ cões oes decimais decimais (como veremos). veremos). Fui Fui prog program ramado ado para para detect detectar ar fissura nas estruturas. estruturas. (o iconoclasta) iconoclasta)

No livro A Matem´ atica ati ca do Ensino Ensi no Médio edi o (Vol. edi¸c˜ cão, a o, página agina 67, o profess professor or Elon escrev escreve: e: 1) ao decimal ´ “Uma express˜ é um s´ımbol ımb oloo da form fo rmaa 9a

α = a = a 0 , a1 a2 . . . an . . . , onde a0 é um numero u ´ mero inteiro 0 e a1 , a2 , . . . , an , . . . , sãaoo d´ıgitos , isto is to é, e, números umeros inteiros tais que 0 a n 9. 9. Para Para cada n N, tem-se um d´ıgito es imo o digi di gito to da expressão an , chamado o n o n--ésim ao decimal de α de α.. O n´ umero umero natural a0 chama-se parte inteira de α.

≥ ≤ ≤

∈

13,, 42800 . . . , β = 25 25,, 121212 . . . , π = 3, 14159265 . . . sãaoo Exemplo 1. α = 13 expressões oes decimais.”

10

ao decimal ´ Resumindo : uma express˜ ´ e um uma a se sequ quˆ ˆ enci cia a, dada assim: α = a = a 0 , a1 a 2 . . . an . . . Por exemplo, vamos obter a representa¸c˜ cao aõ decimal do n´ umero umero real

47 200

α =

Isto é, e, vamos obter a sequência encia denotada denota da por

.a1 a2 a3 . . . o ponto antes dos a dos a i ’ s é para lembrar que estaremos considerando apenas a representa¸c˜ cao aõ decimal de n´ umeros umeros do interv intervalo alo [ 0, 1 [ a parte inteira é 0.

−

Para Para que “qualq “qualquer uer crian¸ crian¸ca ca do Ensino Ensino Fundamen undamental tal”” enten entenda da onde reside o erro dos matemáticos aticos faremos farem os um tratamento tra tamento geom´ g eométrico etrico das reprerep resenta¸c˜ coes ões decimais. Primeiramente vamos situar α situar α geometricamente no intervalo unitário: ario: α 

0

1

Para obter o primeiro primeiro termo da sequˆ sequência, encia, a1 , divida dividamos mos o inter interv valo unitário ario em dez partes iguais, assim: a1

→

0 

0

1

2





1 10

2 10

α



3

4

5

6

7

8

9















3 10

4 10

5 10

6 10

7 10

8 10

9 10

1

Os subintervalos em sucessivas divisões oes a serem efetuadas serão ao sempre numer numerado adoss de 0 a 9, como como acima. acima. Como na primeira divisãao α o α caiu no subintervalo de n´ umero umero 2 este é o valor de a de a 1 , portanto, at´ e o momento, podemos p odemos escrever

47 200

= .2 . 2 a2 a3 . . .

Vamos dividir o (sub)intervalo ao qual α pertence novamente em dez partes iguais, assim:

11

− Segunda alternativa: Devemos abrir o extremo esquerdo e fechar o ex-

tremo direito de cada subinterv subintervalo, alo, veja: a3

→

0

1

2

3

4











230 1000

231 1000

232 1000

233 1000

234 1000

α 

5

6

7

8

9













235 1000

236 1000

237 1000

238 1000

239 1000

240 1000

− →

a3

→

0

1

2

3

4

α

5

6

7

8

9

























230 1000

231 1000

232 1000

233 1000

234 1000

235 1000

236 1000

237 1000

238 1000

239 1000

240 1000

Nesta alternativa teremos 47 = .2 . 2 3 a3 . . . 200

47 47 ⇒ 200 = .2 . 2 3 4 . . . ⇒ = .2 . 2 3 4 9 9 9 . . . 200

Resumindo, trata-se de uma escolha, uma vez feita a escolha, como deve ser feita, as supostas ambiguidades desaparecem! Não ao existem! existem! 2 5

47 200

= 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . . (Sun Hsien Ming) .4000 . . .

.235000 . . .

2 5

.234999 . . .

.3999 . . .

O Asno de Buridan Buridan é um paO asno de Buridan radoxo (par´ odia) em filosofia sobre o odia) conceito de livre arb´ıtrio. ıtrio. O Asno decidiu cidiu tomar tomar apenas apenas decis˜ decis˜ oes oes estritaestritamente mente racionais. Como estava estava exataexatamente à mesma distância ancia de dois montes montes de feno idˆ enticos, enticos, ele não ao tinha justificativa justificativa racional para escolher entre os dois . . . morreu de fome. Exatamente como o asno de Buridan procedem os matemáticos aticos que coes ˜ decimais : “Nenhuma dessas defendem as ambiguidades nas representa¸c˜ escolhas escolh as é muit m uito o natu natural ral . Por isso me parece mais razo´ avel que nos resignemos com a falta de biunivocidade. H´ a coisas piores no mundo.” 14

Nota: Oportunamente veremos de uma outra perspectiva por que a escolha deve obrigatoriamente ser feita as “am “ambig biguida uidades des”” conduz conduzem em a contradi¸c˜ cões. oes.

−

Preferimos chamar as representa¸c˜ d e cocoes ˜ decimais de n´ umeros reais de algoo an´ analogo a´logo a` codifica¸c˜ cao aõ de um caracter difica¸c˜ cao a õ de n´ umeros reais, é alg umeros do teclado do computador computador (ou celular). celular). Neste caso temos muitas alternatialternativas para codificar um caracter, escolhendo uma não ao existem “ambiguidades”. 8 De outro outro modo: dentre dentre 2 = 256 alternativas para se codificar um caracter, os fabricantes de computador fixaram (concordaram em) uma delas, sendo assim onde fica a “ambiguidade”? o mesmo deveria ser feito pelos matem´ aticos! aticos!

−

´ poss´ıvel E ıvel que os mitos matem´ aticos sejam fonte do que Bachelard chama de “obst´ aculos epistemol´ ogicos”, ogicos”, pois aqueles, na sua condi¸ c˜ cao ˜ de “verdades” matem´ aticas consolidadas, seriam obst´ aculos para o surgimento de outras verdades (interpreta¸ (interpreta¸c˜ c˜ oes) oes) que as substitu substituam. am. O conceito onceito de “ruptur “ruptura a epistemol´ ogica” tamb´ em em foi introduzido introduzido por Bachelard. Faz-se necess´ necess´ aria uma an´ alise alise mais mais aprofun aprofundad dada a desses desses conc conceitos. eitos. Os mitos mitos matem´ matem´ aticos, ent˜ ao, s˜ ao mitos no interior da pr´ opria matem´ atica e fazem parte do conhecimento matem´ atico sistematizado. ([2]) aticos os os dois erros graves Nota: Citamos como exemplos de mitos matem´ tratados neste artigo, por exemplo: 2 = 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . . 5 e 0, 999 . . . = 1 Enfatizamos:

´ poss E oss´ ´ıvel que os mitos matem matem´ atic ati ´ cos sej sejam am fon fonte te do que Bac Bachel helar ard d chama de “obst´ aculos epistemol´ ogiccos” ogi os”,, pois aqu aquele eles, s, na sua condi¸ condi¸ c˜ c˜ ao de “verdades” matem´ aticas consolidadas , seriam obst´ aculos para o surgiaculos mento de outras verdades (interpreta¸c˜ coes) o ˜es) que as substituam. 15

Tabela de C´ odigos odigos (ASCII) Caracter

C´ odigo odigo

Caracter

C´ odigo odigo

<

00111100

A

01000001

>

00111110

B

01000010

!

00100001

C

01000011



11100100

D

00100100

#

00100011

E

01000101

$

00100100

F

01000110

%

00100101

G

01000111

&

00100110

H

01001000

(

00101000

I

01001001

)

00101001

J

01001010

∗

00101010

K

01001011

[

01011011

L

01001100

]

01011101

M

01001101

+

00101011

N

01001110

−

00101101

O

01001111

/

00101111

P

01010000

00110000

Q

01010001

0 1

00110001

R

01010010

2

00110010

S

01010011

3

00110011

T

01010100

4

00110100

U

01010101

5

00110101

V

01010110

6

00110110

W

01010111

7

00110111

X

01011000

8

00111000

Y

01011001

9

00111001

Z

01011010 28 =256

O c´ odigo odigo alfanum´ alfanum´ erico erico mais com comumen umente te usado em sistemas sistemas de microcomputa comp utador dor é o AMERICAN S TANDARD TANDARD C ode for I nformation nformation I nterchange nterchange (C´ odigo Americano Padr˜ odigo ao para Troca de Informa¸c˜ ao coes) o˜es) Por exemplo, segundo este código, odigo, temos A = 01000001, 01000001,

9 = 001110 00111001 01,,



= 11100100

Obviamente que estas “igualdades” “igualdades” não a o s˜ ao ao absolutas, devem ser Nota: Obviamente interpretadas dentro de um contexto. Enfatiz Enfatizamo amos: s: De modo an´ alogo a logo os n´ umeros umeros reais são ao codificados por sequências enci as decimais deci mais.. 16

3

O Profe Professo ssorr Djair Djairo o Guede Guedess corro corrobora bora noss nossa a tese tese

Em seu livro An´ alise alise a I (2 Edi¸c˜ cão) o professor sor Djai Djairo ro trata trata das das repre repre-senta¸c˜ coes ões decimais.

Inicialmen Inicialmente te ele considera considera o conjunto conjunto

(p. 41)

{ 0, 1, 1 , 2, 2 , 3, 3 , 4, 4 , 5, 5 , 6, 6 , 7, 8, 9 }∞ = D de todas as decimais. Em seguida define a fun¸c˜ cao aõ ∞

f : : D

→ R,

dada por

a . . .) =

n

f ( f (.a1 a2 a 3

n=1

10n

Em seguida observa que f que f está bem definida mas que não ao é injetiva, inj etiva, pois po is



− 1 ) 9 99 . . . .  = f ( f (.a . . . a 0 0 . . .)

f .a1 . . . aj 1 (a (aj −

1

j

Por exemplo, considerando

2/5 = 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . . temos f (0 f (0,, 3999 . . . ) = f (0 f (0,, 4000 . . .) = pois

2 5

f (0 f (0,, 3999 . . . ) =

3 9 9 9 + 2+ 3+ 4+ 10 10 10 10

· · · = 25

f (0 f (0,, 4000 . . . ) =

4 0 0 0 + 2+ 3+ 4+ 10 10 10 10

· · · = 25

e

∗

∗

∗

agina 42 do seu livro Análise alise I o Prof. Djairo escreve: Adendo: Na página “De modo mais rigoroso, podemos po demos proceder assim. Uma decimal é uma fun¸c˜ caao õ f : : N 0, 1, 2, 3, 4, 4 , 5, 5 , 6, 6 , 7, 7 , 8, 8 , 9 ”

→{

}

Ou seja, segundo o Prof. Djairo, “de modo mais rigoroso” rigoroso” uma decimal é uma sequˆ encia. encia. Para o propósito osito que temos em mente isto é muito imporimp ortante! Esta defini¸c˜ cao aõ coincide com a do Prof. Elon, p. 10.

−

17

Mais à frente o professor Djairo escreve:

(p. 42)

“Se definirmos D∗ como o subconjunto de D formado por decimais que não ao têm em todos os elementos elementos iguais a 9, a partir de uma certa ordem, ent˜ aaoo ∗ a fun¸c˜ cãao f o f ,, definida acima, restrita a D é injetiva . Mostraremos agora que f é sobr s obree [ 0, 1 [ e, portanto, temos a seguinte correspondˆ corr espondência encia biun´ biun´ıvoca” D∗

↔ [ 0, 1 [ ∞

a .a a . . . ↔ 1

2

n n

10 n=1

Considerando Considerando nossos dois exemplos vistos vistos

47 200

ւ

.235000 . . . .234999 . . .

2 5



.4000 . . .

ւ

.3999 . . .



− O Professor Djairo escolheu as representa¸c˜ cões oes indicadas pelas setas Lembrando a resposta do Prof. Elon à pergunta de Sun Sun Hsien Hsien Ming Ming: “Seria bom que a correspondˆ correspondˆ encia encia entre entre n´ umeros umeros racionais e fra¸c˜ coes o˜es decimais periódicas odicas (d´ (d´ızimas) fosse biun´ biun´ıvoca. Mas não ao é. e. Caso insistamos muito em ter sua biunivocidade, biun ivocidade, vamos ter que fazer um sacrif´ıcio ıcio para p ara obtê-la. e-la. Um sacrif´ıcio ıcio poss pos s´ıvel seria s eria abster-se abster -se de considerar consid erar decimais decimai s ‘exatas’, substituindo sempre todas as fra¸c˜ coes õ es do tipo 5, 5, 183 183 por por 5, 5, 182999 . . . (por exemplo). exemplo). O outro seria excluir excluir as d´ızimas ızimas que terminam terminam com uma fileira de noves, substituindo-as sempre pela decimal exata obtida suprimindo os nove nove e somando somando 1 ao último ultimo algarismo que os precede; isto correspondee ria a escrever sempre 0, 0, 7 em vez de 0, 0, 6999 . . . Nenhuma dessas escolhas é muito natural . Por isso me parece mais razoável avel que nos resignemos com a falta de biunivocidade. Há coisas piores no mundo.” O que o professor Djairo fez acima foi fazer “naturalmente” uma escolha, como o Prof. Elon afirma: “Nenhuma “Nenhuma dessas dessas escolhas escolhas é muito muito natural.” natural.” ? Ainda destacamos mais dois erros na resposta do Prof. Elon, veja:

avel que nos resignemos com a falta de “Por isso me parece mais razo´ biunivocidade. H´ a coisas piores no mundo.”

18

1 o ) N˜ ao ao existe “ falta de biunivocidade ”, ”, pelo cont contr´ r´ ario, ario, existe “excesso de ”, posto que existem existem duas aplica¸ aplica¸c˜ cões oes bi´ univocas. univocas. Com efeito, efeito, biunivocidade ”, existe a escolhida pelo Prof. Djairo, ou seja: f : : D∗

→ [ 0, 1 [ ∞

a .a a . . . → 1

2

n=1

n n

10

Em conformidade com a primeira das alternativas da página agina 13

a3

→

0

1

2

3

4

α

5

6

7

8

9

























230 1000

231 1000

232 1000

233 1000

234 1000

235 1000

236 1000

237 1000

238 1000

239 1000

240 1000

− →

a3

→

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9























230 1000

231 1000

232 1000

233 1000

234 1000

235 1000

236 1000

237 1000

238 1000

239 1000

240 1000



α

e existe esta outra: ˜ f ˜ : : D

→ ] 0, 1 ] ∞

 a .a a . . . → 1

2

n=1

n n

10

(O asno de Buridan)

˜ é o subconju onde D sub conjunto nto de de D=

{ 0, 1, 2, 2 , 3, 3 , 4, 4 , 5, 5 , 6, 6 , 7, 8, 9 }∞

formado por decimais que não ao têm em todos to dos os elemento elementoss iguais a 0, a partir de uma certa ordem. Em conformidade conformidade com a segunda das alternativ alternativas as da página agina 13 a3

→

0

1

2

3

4

α

5

6

7

8

9

























230 1000

231 1000

232 1000

233 1000

234 1000

235 1000

236 1000

237 1000

238 1000

239 1000

240 1000

19

Temos aqui um exemplo do cl´ assico “copo meio cheio ou meio vaassico zio”. O pessimista ver ver o copo meio vavaavel zio: “Por isso me parece mais razo´ que que nos nos resig esigne nemo moss com a falt falta a de biunivo biunivocida cidade. de. H´ a coisa oisass pior piores es no otimis ista ta ver o me mesm smoo copo copo me meio io chei cheio: o: “n˜ ao ao existe falta de mundo.” O otim biunivocidade, pelo contrário, ario, existe excesso”. 2 o ) O Prof. Prof. Elon Elon acred acredit itaa no mito das am ambigu biguidade idadess, ou seja, que a dupla igualdade 2 = 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . . 5 é verdadeira sob o ponto de vista das representa¸c˜ coes o˜es decimais. Vamos mostrar que é falsa, inconsistente, n˜ n ão ao se susten sustenta. ta. Com efeito, efeito, segundo segundo a de(p. 10) 10), e do Pro fini¸c˜ cão a o do próprio o prio Prof. Prof. Elon Elon (p. Prof. f. Djai Djairo ro (p. 17), uma representa¸c˜ cao aõ decimal é uma sequência encia do conjunto conju nto

{ 0, 1, 1 , 2, 2 , 3, 3 , 4, 4 , 5, 5 , 6, 6 , 7, 8, 9 }∞ = D lembrando lembrando da defini¸ c˜ cão ao de igualdade iguald ade de sequências: encias:

(a1 , a2 , . . . , an , . . .) = (b1 , b2 , . . . , bn , . . .) temos a seguinte seguinte contradi¸ contradi¸c˜ cão: ao:

∀ i ∈ N

Se um caracter fosse codificado de dois modos distintos

↓ 2 5

ai = b i ,

⇐⇒

→← → ←

1=0

= 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . .

A = 01000001 = 00111001

4=3

− Código odigo ASCII ASCII

Lembramos a pergunta de Sun Hsien Ming: O fato de a mesma fra¸c˜ cao aõ ordin´ aria poder ter duas representa¸c˜ aria coes o˜es decimais distintas (como 2/ 2 /5 = 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . . ) não ao apresenta inconveniente nem origina paradoxos? Como vimos, a resposta deve deve ser: sim, mais que inconvenien inconveniente te e para(Adendo, Adendo, p. 65) doxo gera contradi¸c˜ coes. o˜es. O correto corret o é: e: 2/5 = 0, 4000 . . . , se escolhermos D∗

ou

˜. 2/5 = 0, 3999 . . . , se escolhermos D 20

Mais um autor corrobora nossa tese No livro a seguir

N´ umeros Reais/Jorge Aragona. Livraria da F´ısica, 2010.

− S˜ ao Paulo: Editora Editora

o autor constr´ oi oi a representa¸c˜ cão ao decimal para todos os reais, ele tal como o professor Djairo também em faz f az uma um a escolha esco lha:: exclui excl ui as decimai deci maiss que cont´ c ontém em 9 a partir de uma certa ordem. (p. 92) Vamos reproduzir aqui a defini¸c˜ cão ao do Aragona:

−

−

Defini¸ c˜ cão ao 1.6. 1. 6.10 10 “Chama-se desenvolvimento decimal ilimitado a qualque q ualquerr s´ımbolo do tipo tip o β 0 , β 1 β 2 . . . , βm . . .

(1. (1.6.10 10..1)

determinado por uma se em Z tal que 0 β m 9 para sequ quˆ ˆ enci cia a (β m )m ∗ cada m N , e, neste neste caso caso,, para para cada m N∗ , β m é chama cha mado do m-ésima casa decimal de de (1. (1.6.10 10..1). O desenvolvim desenvolviment entoo decimal decimal ilimitado ilimitado (1. (1.6.10 10..1) é dito pr´ contém em uma infinidade de casas decimais β m diferentes de oprio se cont´ 9 (ou equivalentemente, se não ao existe ν N tal que a sequˆ encia encia truncada (β m )m>ν seja constante e igual a 9). Indicamos com o s´ımbolo ımbolo

≤ ≤

∈N

∈

∈

∈ ∈

D

(Grifo nosso) o conjunto de todos os decimais ilimitados próprios.” oprios.” Sendo Sendo assim, assim, Aragona Aragona natural naturalmen mente te faz uma escolh escolhaa “o conjunto conjunto de todos os decimais ilimitados pr´ oprios ” , por sinal coincidindo com a escolha escolha do Prof. Djairo, Djairo, como o Prof. Elon afirma “Nenhuma dessas escolhas é muit mu ito o natural nat ural ” ?

−

−

Ademais, Aragona corrobora nossa afirma¸c˜ cão ao de que uma representa¸c˜ cãaoo decim dec imal al é unica u ńica (sem ambiguidades), vejamos: (Aragona, p. 92/(Grifo nosso))

A expres express˜ s˜ ao a o “n´ umero umero decimal” tamb´ em em é frequentemente frequentemente utilizado para indicar indicar um desenvol desenvolvimen vimento to decimal decimal ilimitado ilimitado (pr´ oprio o prio ou n˜ ao). a o). J´ a observamos, [. . . ], que é poss´ poss´ıvel associar a cada α R o seu desenvolvimento decimal ilimitado

∈

J (α) := α := α 0 , α1 α 2 . . . αm . . . que é determinado determi nado por α (isto (is to é, e, cada cad a α mento decimal ilimitado). 21

∈ R tem um unico u ńico desenvolvi-

4

Aden Adendo do:: Uma Uma esc escol olha ha hiper hiperna natu tura rall

O Prof. Elon afirmou “Nenhuma dessas escolhas é muito natural”, n´ os os afirmamos “Qualquer uma u ma das escolhas é muito natural”. Pensando melhor, vamos mostrar most rar que existe ex iste uma escolha que é hipernatural e hipernatural e que de certo modo se impõe. oe. Essa escolha está fundamentada em um teorema que encontramos no livro∗ : (p. 60) 0 e b > 1, existem existem inteiros inteiros Teorema 7. Dados inteiros a e b com a c0 , c1 , . . . , c n , . . ., ., univocamen univocamente te determinados determinados p elas seguintes seguintes condi¸ condi¸c˜ cões: oes: (i) Existe um natural m natural m tal que c que c n = 0 para todo n todo n m; (ii) Para todo n todo n,, temos que 0 cn < b;

≥

(iii) a = c = c 0 + c + c1 b + Mais à frente:

·

≥

≤

· · · + c · bn + · · · n

(p. 61)

A expressãao a o a = = c c 0 + c1 b + + cn bn com 0 ci < b para i para i = = 0, . . . , n, n, ao b adica ´ é chama cha mada da de expans˜ do do inteiro a inteiro a.. (p. 62) Um pouco mais à frente: O sistema de numera¸c˜ cao aõ de base b > 1 obt´ em-se em-se escolhendo um con junto com b s´ımb ımb olos ol os S = = s0 , . . . , sb 1

−

· ···

·

{

≤

−

}

com s 0 = 0, que representam os inteiros de 0 a b com s inteiro não ao negativo s como

− 1 e representando um

= x n xn 1 . . . x0 , s = x −

com x com x i S, i = 0, . . . , n. n. Ainda nesta mesma página: agina: A justificativa da validade da representa¸c˜ cao a õ acima se apoia no Teorema 7 que nos garante ser uma bije¸c˜ cao aõ a fun¸c˜ cao aõ

∈

Z+ b

xn . . . x0

−→ Z+ −→ c + · · · + c · bn 0

n

onde Z+ e o conjunto co njunto dos elementos el ementos da d a forma for ma x xn . . . x0 , com x com x n = 0 se n se n > 1 b ´ e onde para cada i cada i,, tem-se que ci é o inteir i nteiroo corres cor respo ponde ndente nte ao s´ımbolo ımb olo xi . Por exemplo vamos ver qual a escolha hipernatural escolha hipernatural para para a representa¸c˜ cãaoo 47 decimal da fra¸c˜ cãaoo 200 . Inicialmente obtemos a expansão ao de 47, assim:



47 = 4 101 + 7 100

·

·

Pelo teorema 7 esta expansão é unica. u ńica. Agora dividamos a equa¸c˜ cao ão anterior por 200, veja 47 4 101 + 7 100 = 200 2 102

·

∗

·

·

´ Hefez, Abramo. Curso de Algebra, Volume 1. 1. Rio de Janeiro: IMPA - CNPq, 1993.

22

Vamos reescrever esta equa¸c˜ cao aõ em conformidad confor midadee com a série erie D∗

↔ [ 0, 1 [ ∞

a .a a . . . ↔ 1

2

n=1

n n

10

Entãaoo 47 4 101 7 100 = + 200 2 102 2 102

· ·

Logo

· ·

47 2 6 1 5 = + + 200 10 2 102 2 102 5

· ·

·

Finalmente 47 2 3 5 = + 2 + 3 200 10 10 10

47 = .235 . 235 200

⇒

Que coinci coincide de com a escolh escolhaa do Prof. Djairo Djairo.. Porta Portant nto, o, podemos podemos concluir que o Teorema 7 nos fornece uma escolha natural , ao contrário ario do que o Prof. Elon Elon afirma. Ademai Ademais, s, podemos conclu concluir ir pelo teorem teoremaa 7 que esta representa¸c˜ caõ é unica oe contra as supostas ambiguidades. u ńica, o que depõe Hsien Ming Ming No caso da fra¸c˜ cão ao do Sun Hsien 2 = 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . . 5 temos 2 = 2 100

·

Pelo teorema 7 esta expansão é unica. u ńica. Agora dividamos a equa¸c˜ cao ão anterior por 5, veja 2 2 100 = 5 5

·

Entãaoo 2 2 100 2 4 = = 1 5 5 2 10

·

·

⇒

2 4 = 1 = .4 . 4 5 10

E esta representa¸c˜ cão é unica. u ńica. Podemos Podemos denominar de “unicidade “unicidade induzida”. Vejamos um fenômeno omeno interessante. interessante. Considere a “ambiguidade”: 2 3 5 47 2 3 4 9 9 9 + 2 + 3 = = + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 10 10 10 200 10 10 10 10 10 10 23

···

Multiplicando estas igualdades por 200, temos 2 102

·

2+

3 5 + 102 103

10

 = 200 · 47

(1)

200

Logo 4 10 + 6 + 1 = 200

·

47 = 4 10 + 7

⇒

·

Por outro lado 47 2 3 4 9 9 9 200 = 2 102 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 200 10 10 10 10 10 10

·



·

resulta 47 = 4 10 + 6 +

·

8 18 18 18 + + + + 101 102 103 104

 ···

···

No primei primeiro ro caso caso equa¸c˜ cao a˜ o (1) vo volta ltamos mos “natura “naturalme lment nte” e” para a expans˜ ao do inteiro 47, por isso dizemos que ao

−

−

2 3 5 47 + 2+ 3 = 10 10 10 200

47 = .235 . 235 200

⇒

é uma escolha natural. Como se vê, e, fundamentados no teorema 7 podemos po demos exorcizar para sempre o fantasma das ambiguidades. Ademais, observe que a representa¸c˜ cao aõ (codifica¸c˜ cao ˜ ) de um inteiro está fundamentada em uma bije¸c˜ cao ão entre dois conjuntos Z+ b

xn . . . x0

−→ Z+ −→ c + · · · + c · bn 0

n

o conjunto dos inteiros e um conjunto de sequências, encias, neste caso finitas. No caso dos n´ umeros umeros reais deve deve acontece acontecerr o mesmo, mesmo, isto é, e, a representa representa¸¸c˜ cãaoo (codifica¸c˜ cão) ao) deve deve estar estar fundame fundament ntada ada em uma bije¸c˜ cão, ao, é o que o Prof. Prof. ´ Djairo faz. E para obter esta bije¸c˜ cao aõ que na figura da página agina 13 a escolha dev deve ser ser feit feita. a. Ao contr´ contr´ ario ario da representa¸c˜ cao aõ de um inteiro, no caso da representa¸c˜ cao aõ de um n´ umero umero real temos duas alternativas. alternativas. Obser ve que q ue a sequência encia xn . . . x0 é a representa¸ Nota Importante: Observe cao c˜ a õ de um n´ umero umero inteiro, e não a o um n´ umero umero inteiro.

24

5

O Seg Segun undo do Erro Erro Gr Gra ave E que nossas perspectivas, mesmo nas quest˜ oes de matem´ atica b´ asica e mais mais aprofun aprofundad dada, a, se deslo deslocca, ami´ amiude, ´ de maneir maneira surpree surpreendent ndentee e inesperada. (Gregory Chaitin/Metamat! )

1 o ) Ambiguidades nas Representa¸c˜ coes o ˜es Decimais;



2 o ) Representa¸ coes c˜ o ˜es decimais s˜ a o n´ ao umeros reais. umeros

←

atic atica do Ensino Ensino No livro A Matem´ a cao, a˜ o, p´ agin a gina a 69, o M´ edio edio (Vol. (Vol. 1) 9 edi¸c˜ professor Elon escreve: (Grifo nosso)

“Comecemos “Comecem os com o caso c aso mais simples, simple s, que é tamb´ t ambém em o mais intrigante. Trata-se da expressão ao decimal, ou seja, do n n´ u umero ´mero real α = 0, 999 . . . =

9 9 9 + + + 10 100 1000

···

Afirmamos Afirmamos que α que α = 1.” Mais à frente lemos: (p. 70/Grifo 70/Grifo nosso) “A igualdade que 1 = 0, 0 , 999 . . . costuma causar perplexidade aos menos experiente experientes. s. A única unica maneira de dirimir o aparente aparadoxo aparad oxo é esclarecer que o s´ım ımb bol olo o 0, 999 . . . na realidade signi signific fica a o n´ umero cujos valores umero aproximados são ao 0, 9, 0, 99, 0, 999 999 etc. etc. E, como como vimos vimos acim acima, a, esse es se ´ e o n´ umero 1. umero Ademais Adem ais,, na n a referˆ r eferência enci a∗ lemos: “[ ] vocˆ e deve ter concluido que 0 , 999 . . . = 1. Esse sinal de igual é igual igual mesmo! mesmo! N˜ ao se trata de aproxima¸c˜ ao cão: a o: 0, 0, 999 . . . e 1 são ao duas formas (grifo nosso) diferentes de representar o mesmo n´ umero”. umero

···

Segundo entendo, os matemáticos aticos estão ao considerando considerando 0, 0, 999 . . . igual ao (mesmo!). !). Ademai Ademais, s, existe existe um lógico ogico (Prof. (Prof. Adonai Sant’Ann Sant’Anna/ a/ n´ umero 1 (mesmo umero em em defende o mesmo, diz ele concordando com o Prof. Elon: UFPR) que tamb´ “Lima tem raz˜ 0 , 999 . . . é apenas outra forma para ao. ao . A d´ızima ız ima 0, para representar representar o n´ umero real 1”. Precisamen Precisamente te neste ponto discordamos discordamos do prof. Elon e de (quase) todos os outros matemáticos. aticos. Sendo mais expl´ expl´ıcito: até prova em contrário, ario, (p. 64) afirmamos que 0, 0, 999 . . . n˜ ao ´ ao e um numero u ´mero real. ∗

Brolezzi, Brolezzi, Antonio Carlos/Monteiro, Carlos/Monteiro, Martha Salerno, Matem´ Salerno, Matem´ atica: atica: N´ umeros umer os para quê? e? Universidade de S˜ ao ao Paulo, Publica¸c˜ cao a õ eletrˆ onica. onica.

25

Ora, como vimos, 0, 0, 999 . . . é uma u ma sequˆ se quênci en ciaa e, a pri p rinc´ nc´ıpio ıp io,, uma um a seq s equˆ uênci en ciaa não ao é igual a um número. umero. São ao objetos de naturezas distintas. Observe onde cada um destes objetos mora: Desde Desde este ponto de vista, s´ o acrescentaremos que, quando se perde tão ao completamente o sentido de uma nota¸c˜ cao, aõ, é muito fácil acil passar do uso leg´ leg´ıtimo e ˜ válido alido desta d esta a um uso ileg´ıtimo, ıtimo, que já não ao corresponde f ˜ : : D ] 0, 1 ] efetivamente a nada, e que às as vezes pode ser inclusive ∞ completamente ilógico; ogico; isto pode parecer bastante exan .a1 a 2 . . . n traordinário ario quando se trata tra ta de uma ciência encia como as 10 n=1 matem´ aticas, que deveria ter com a lógica aticas, ogica la¸cos cos particularmente estreitos, e, no entanto, é muito certo que se podem p odem assinalar múltiplos ultiplos ilogismos nas no¸c˜ cões oes matemáticas aticas tais como se consideram comumente em nossa époc e poca. a. (Ren (Ren´é Gu´ Guénon e non (188 (18866-19 1951 51)/ )/Pri Princ nc´´ıpios ıpi os do Cálculo alc ulo Infinit Infi nitesi esimal mal))

0, 999 . . .

1

↓

↓

→

→



˜ é o subconju onde D sub conjunto nto de de D=

{ 0, 1, 2, 2 , 3, 3 , 4, 4 , 5, 5 , 6, 6 , 7, 8, 9 }∞

formado por decimais que não ao têm em todos to dos os elemento elementoss iguais a 0, a partir de uma certa ordem. O verdadeiro verdadeiro sentido sentido da “igualdade” “igualdade” 0, 999 . . . = 1 é este: est e: 9 9 9 f (0 f ˜(0,, 999 . . . ) = + + + 10 100 1000

··· = 1

0, 999 . . . = 1 é uma identidade oriunda oriund a desta bije¸c˜ cao. aõ. Neste Neste moment momentoo poder´ der´ıamos dar o assunto assunto por encerrado, encerrado, no entant entantoo vamos contin continuar uar argumentando com o objetivo de lan¸car car mais luz sobre a questão, ao, observá-la a-la de outras perspectivas.

cao ˜ decimal ´ cao ˜ dos n´ Uma representa¸c˜ é uma codifica¸c˜ umeros umeros reais por ˜ sequˆ se quênci en cias as é o que nos diz a bije¸c˜ caao õ f , segundo entendemos, tomar a identidade 0, 0, 999 . . . = 1 como sendo literal é o mesmo que na Tabela ASCII ASCI I (p. 16) tomar as codifica¸ coes c˜ ˜

−

A = 01000001, 01000001,

−

9 = 001110 00111001 01,,



= 11100100

como sendo absolutas, o que é, e, evidentemente, evidentemente, absurdo: uma letra é uma letra, uma sequência encia binária ar ia é uma um a sequˆ seq uência en cia bin´ bi nária. aria. c onsciência encia de que os matemáticos aticos sabem do que estamos faNota: Temos consciˆ ao completamente o sentido de uma nota¸c˜ cao ˜ ”, em lando, eles apenas “ perderam t˜ podem dem assinalar m´ ultiplos ilogismos nas conse con sequˆ quência enc ia “é muito certo que se po ”. no¸c˜ coes ˜ matem´ aticas tais como se consideram comumente comume nte em nossa no ssa época epoca ”. 26

6

Adendo: Adendo: Existe Existe um pol´ pol´ıgono ıgono de infinitos infinitos lados?

Opera¸c˜ coes o ˜es no dom´ dom´ınio finito, quando estendidas ‘at´ e o infinito’ se esboroam. (O iconoclasta) Na referência encia [2] lemos: PA = princ´ princ´ıpio de Arquimedes. Ademais (e) a sequˆ seq uência en cia 1/n (onde n (onde n ´ é um u m inteiro) inteir o) tende a zero zer o para p ara n n tendendo a ;

{ }

∞

Do ponto de vista intuitivo, a versão ao (e) do PA reflete a ideia de que a sequˆ se quênci en ciaa 1/n , pensada como uma cole¸c˜ cão ao discreta de pontos da reta, pode “pular” para zero no infinito. Elaborei a seguinte versão ao an´ aloga: aloga: considere conside re a sequência encia (αn ) dada por

{ }

αn = 1

− 101n

por exemplo: exemplo: α1 = 0, 9;

α2 = 0, 99;

α3 = 0, 999;

...

; αn = 0, 999 . . . 9

Temos lim αn = 1

(2)

n→∞

Do ponto de vista intuitivo intuitivo o limite limite (2) reflete a ideia de que a sequˆ sequência encia (αn ), pensada como uma cole¸c˜ cao aõ discreta de pontos pode “pular” para 1 no infinito. Escrever o limite (2) da seguinte forma α

∞

= 0, 999 . . . = 1

é apenas, apen as, e tão ao somente, uma nota¸c˜ cao. aõ. Para Para fins did´ did´ aticos, aticos, fa¸camos camos uma analogia analog ia geométrica etrica (“visual”). (“visua l”). Considere Consid ere a sequência encia ( pn ) de pol po l´ıgo ıgonos nos ... p3

p4

p5 . . .

. . . p11

{ p } converge para o c´ırculo σ , isto ist o é, e, lim p n→∞ n

 lim p = σ   lim α = 1 n→∞

n

n→∞

n

n

...

→ →

σ

= σ. σ . Observe a analogia

 p = pol infinit os lados = σ  pol´´ıgono de infinitos  α = 0, 999 . . . = 1 ∞

⇒

∞

Acontece que um pol´ pol´ıgono de infinitos infi nitos lados não ao faz sentido. Não ao é rig r igor oros oso. o. Observe que n que n = não ao é um numero u ´ mero natural. natural. Considerar 0, 0, 999 . . . (ou 2 = 1, 41421356237 . . . ) como um n´ umero umero real rea l é tão ao “rigoro “rigoroso” so” quant quantoo um pol´ pol´ıgo ıgono no de infinitos infinitos lados. Por Por oportuno, algum matem´ atico atico consegue me provar provar que uma decimal infinita é um n´ umero umero real?

∞

√

27

6.1

´ meramente uma estenografia matemática E

No livro∗ lemos lemos (p. 76): 76): Vamo amoss dividi dividirr o interv intervalo alo unit´ unitario ário em duas metades, a segunda metade novamente em duas partes iguais, a segunda metade metade destas destas em duas outras partes iguais, e assim por diante, diante, at´ e que os − n menores intervalos assim obtidos tenham um comprimento de 2 , onde n é escolhido arbitrariamente grande, por exemplo, n = 100, n = 100. 100.000, ou qualquer n´ umero umero que quiser quisermos mos.. Ent˜ Então, ao, adicionando os comprimentos de todos os intervalos exceto o ultimo, u ´ ltimo, obtemos um comprimento igual a (3)

1 1 1 1 sn = + + + + 2 4 8 16

· · · + 21n .

Observamos que sn difere de 1 por ( 12 )n , e que esta diferen¸ca ca torna-se arbitrari bitrariame ament ntee pequena pequena,, ou “tende “tende a zero” zero” a` medida que n aumenta indefinidamente finidamente.. N˜ ao faz qualquer sentido afirmar que a diferen¸ca ao ca é zero zer o se n for infini infinito. to. O infinito entra infinito entra somente no procedimento sem fim e não ao como uma quantidade efetiva efetiva.. Descrev Descrevemos emos o comportament comportamentoo de sn dizendo que a soma sn aproxima-se do limite 1 a` medida que n tende para o infinito, escrevendo (4)

1 1 1 1 1 = + 2 + 3 + 4 + . . . , 2 2 2 2

er ie infini in finita ta . Esta onde temos, à direita, uma série Esta “ig “igua uald ldad ade” e” n˜ ao ao significa que tenhamos efetivamente de adicionar infinitos termos ; trata-se apenas de uma expressão ao abrevia abreviada da para o fato fato de que 1 é o limite limite da soma soma finita finita sn à medida que n tende para o infinito (de forma alguma é infinito). infinito). Assim, a igualdade (4) com seu s´ımbolo incompleto “+ . . .” é meramente merame nte uma estenografia matem´ atica atica para a afirma¸c˜ cão ao precisa 1 = limite à medida que n que n tende para o infinito da quantidade (5)

1 1 1 1 = + 2 + 3 + 2 2 2

· · · + 21n .

Adaptando ao nosso contexto: Temos 1 = 0, 999 . . . =

9 9 9 + + + 10 100 1000

···

(3)

Esta “igualdade” não ao significa que tenhamos efetivamente de adicionar infinitos termos; termos ; trata-se apenas de uma expressão ao abreviada para o fato de 1 que 1 é o limite da soma finita αn = 1 10n à medida que n tende para o infinito (de infinito (de forma for ma alguma algu ma é infinito). infinito). Assim, a igualdade (3) com seu s´ımbolo incompleto “+ . . .” é meramente uma estenografia matem´ atic a tica a ... cao aõ de Brolezzi (0, (0, 999 . . . = 1, igual mesmo!, p. 25) contraNota: A afirma¸c˜ diz Courant. Aqui continua valendo a nota da página agina 26.

−

∗

O Que é Matem´ Mate m´ atica? (Richard atica? (Richard Courant & Herbert Robbins), p. 5.

28

7

Salto Salto arqu arquim imedi ediano ano e ruptur ruptura a epist epistem emol´ ol´ ogica ogica Retomemos novamente as afirma¸c˜ cões: oes:

(p. 25)

“Comecemos com o caso mais simples, que é tamb´ em em o mais intriao decimal, ou seja, do n gante. Trata-se da expressão n´ u umero ´mero real α = 0, 999 . . . =

9 9 9 + + + 10 100 1000

···

Afirmamos Afirmamos que α que α = 1.” Ademai Ademais, s, de um outro autor: autor: “[ ] vocˆ e deve ter concluido que 0 , 999 . . . = 1. Esse sinal de igual é igual igual mesmo! mesmo! N˜ ao se trata de aproxima¸c˜ ao cão: a o: 0, 0, 999 . . . e 1 são ao duas formas diferentes de representar o mesmo n´ umero”. umero

···

Nosso objetivo nesta se¸c˜ cão ao será visualizarmos geometricamente as implica¸c˜ coes o˜es por por trás as destas afirma¸c˜ coes. o˜es. Consideremos Consid eremos a sequência encia (αn ) dada por α por α n = 1 101n , veja:

−

α1 = 0, 9;

α2 = 0, 99;

α3 = 0, 999; . . . ; αn = 0, 999 . . . 9

Aqui temos a velha questão ao da passagem do infinito potencial ao infinito atual, veja: (n significa n significa n arbitrariamente grande)

→ ∞

− Infinito potencial (n → ∞)

αn = 0, 999 . . . 9

→

α

∞

= 0, 999 . . .

− Infinito atual (n = ∞ )

(p. 28): a igualda Lembramos Richard Courant (p. igualdade de α = 0, 999 . . . com seu s´ s´ımbolo incompleto “. . . ” é meramente uma estenografia matem´ atica. atica. Insisto: algum matem´ matem´ atico conseguiria me provar que as repreatico Adendo: Insisto: senta¸c˜ coes ões decimais infinitas, infinitas, tais como 0, 0 , 999 . . . ou 2 = 1, 41421356237 . . . , s˜ ao a o n´ umeros umeros reais? car defina multiplica¸c˜ cão ao de decimais infinitas em seSugest˜ ao: ao: Pra come¸car guida prove que ∞

√

1, 41421356237 . . .

× 1, 41421356237 . . . = 2

Posso ser um pouco mais enfático atico (acachapan (acachapante): te): represent representa¸ a¸c˜ coes ões decimais infinitas não a o são a o n´ umeros umeros reais e de nenhuma nenhuma outra esp´ espécie. ecie. Com efeito, como vai-se considerar n´ umeros umeros s´ımbolos que sequer podem po dem ser multiplicados? Ademais, veja cr´ıtica ıtica de Dedekind p´ p ágina agina 54. 29

Vamos plotar no interv intervalo alo [ 0, 1 ] alguns termos da sequˆ encia encia (α (αn ) αn = 1

− 101n

∴

α1 = 0, 9;

α2 = 0, 99;

α3 = 0, 999;

...

 α2

1

0

  

α1

2

− Salto arquimediano e ruptura epistemológica

→

1

Do ponto de vista intuitivo o limite lim αn = 1

n→∞

α

⇒

∞

= 0, 999 . . . = 1

reflete a ideia de que a sequˆ encia encia ( αn ), pensada como uma cole¸c˜ cao ão discreta de pontos pode “pular” para 1 no infinito. Substituindo Substituindo n n = = em

∞

αn = 1

− 101n

⇒

α

∞

=1

− 101∞

⇒

1 =0 10∞

Ou seja, realizamos algumas opera¸c˜ cões oes esp´ urias urias∗ (proibidas) (proibidas) com o objetivo de mostrar a ilegitimidade de se considerar 0, 0 , 999 . . . = 1 (mesmo!). mesm o que com compar parece ece na série: eri e: Nota: O sentido de 10 ∞ é o mesmo ∞



n=1

an a1 a2 a3 = + + + 10n 101 102 103

· · · + 10a ∞ ∞

Ver p. 17, ver René Guénon enon 26, ver Courant p. 28, ver Gauss p. 31. Salto arquimediano se refere à passagem do infinito potencial ao infinito atual, quando então ao ocorre uma “ruptura “ruptura espistemológica” ogica ” em nosso contexto significa algo que a rigor é falso; de outro modo, se aplicarmos um “zoom l´ ogico” ogico” encontrarem encontraremos os fissuras.

−

αn = 0, 999 . . . 9

→

α

∞

= 0, 999 . . . = 1

− 101∞

∗

− Infinito potencial (n → ∞) − Infinito atual (n = ∞ )

Pra come¸car car n = ∞ n˜ ao ao é um n´ umero umero natural natural.. N˜ ao ao pode ser substitu´ substitu´ıdo em Lembramos Courant: n tende para o infinito (de forma alguma algu ma é infinito), p. 28.

30

αn .

7.1

Mais Mais um exemp exemplo lo de rupt ruptura ura episte epistemol mol´ ´ ogica ogica A prop´ osito, osito, através es da conhecida conheci da identidade identidad e

1 1 1 1 1 1 π2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + = (4) 6 12 2 3 4 5 6 podemos exibir mais um exemplo de salto de salto arquimediano e arquimediano e consequente ruptura consequente ruptura epistemol´ ogica. ogica . Com efeito, efeito, uma leitura apressada apressada desta identidade identidade afirma que a soma de infinitos racionais produz um irracional. Seja

···

sn =

1 1 1 + + + 12 22 32

· · · + n12

Temos s1 =

1 12

s2 =

1 12

+

1 22

s3 =

1 12

+

1 22

+

1 32

·················· Como um exemplo de ruptura epistemológica ogica afirmamo afirmamos: s: o “´ ultimo ultimo racional cion al desta dest a sequência enci a é um número umero irracional” irra cional”,, isto é: e: ∞

s

∞

 =

n=1

1 1 1 1 1 1 = + + + + + 2 2 2 2 n2 1 2 3 4 52

1

· · · + ∞2

π2 = 6

Est´ a certo isto?. Não ao foi sem razão ao que o matemático atico Gauss afirmou∗ “Eu contesto o uso de um objeto infinito como um todo completo; em matem´ atica, essa opera¸c˜ atica, cao a õ ´ e pro proibi ibida; da; o infi infinit nito o´ e s´ o um modo de dizer”. O que concorda com Richard Courant:

(par´ afrase) afrase)

“Assim, a igualdade (4) com seu s´ımbolo incompleto “ + . . .” é merame ramente uma estenografia matem´ atica ... ” Escrevemos: “Opera¸ “Opera¸c˜ cões oes no dom´ dom´ınio finito, quando estendidas estendida s ‘até o infinito’ se esboroam.”, esboroam. ”, entram em colapso em colapso;; isto equivale à ruptura epistemológica ogica de Bachelard. Bachelar d. Na identidade ide ntidade (4) ( 4) é como se consegu conseg u´ıssemos atingir o transcendente por por ‘passos racionais’, simplesmente ilógico. ogico. Infelizmen Infelizmente te a perspicaz perspicaz e acachapante observa¸c˜ cão ao de René Guenon Guen on (p. 26) ainda continua verdadeira ´ em noss nossos os dias dias . . . E precisamente isto que ocorre quando consideramos decimais infinitas (p. ex., 0, 0 , 999 . . . ou 0, 4999 . . . ou 2 = 1, 41421356237 . . . ) como n´ umeros umeros reais reais e tentam tentamos os operar com elas . . . ´ E proibido!

√

∗

Scientific American, Edi¸c˜ cao a õ Especial, No 15. 15. As diferentes faces do infinito, infinito , 2006.

31

8

Os matem´ aticos atic os n˜ ao ao sabem sab em o que ´ e um numero u ´ mero

Vimos anteriormente que os matemáticos aticos levaram mais de 1600 anos para compreenderem os n´ umeros negativos, para compreenderem os n´ umeros umeros umeros comple com plexos xos precis precisaram aram de bem menos menos tempo, tempo, “apenas” “apenas” cerca cerca de trˆ três es ou quat qu atro ro século ecu los. s.

Novamente Euler J´ a chama hamamo moss a aten aten¸c˜ çao aõ para para o fato fato de que que uma cois coisaa é proces processa sarr s´ımbolos, outra bem distinta é processar significado. Na cita¸c˜ cao aõ a seguir ∗ temos mais uma comprova¸c˜ cão ao da veracidade deste fato

A ambivalência encia dos matem´ aticos do S´ eculo eculo XVIII em rela¸ c˜ c˜ ao aos n´ umeros complexos pode mais uma vez ser evidenciada em Euler. Apesar de seus trabalhos em que ensinava a operar com eles, afirma “Como todos os n´ umeros ume ros conceb´ conceb´ıveis ıve is s˜ ao maiores ou menores do que zero ou iguais a zero, fica ent˜ ao claro que as ra´ ra´ızes quadradas de n´ umeros negativos n˜ ao podem podem ser inclu´ inclu´ıdas entre os n´ umeros ume ros poss´ poss´ıveis ıve is [n´ umeros reais]. ais]. E esta esta circun circunstˆ stˆ ancia nos conduz ao conceito de tais n´ umeros, os quais quais,, por sua sua pr´ propria ´ natureza, natureza, s˜ ao imposs imposs´ıveis, e que s˜ ao geralmente chamados de n´ umeros imagin´ arios, pois existem somente na imagina¸c˜ cao.” ˜ Obser Observ ve que, que, na me men nte de Euler Euler,, “todo “todoss os n´ umeros umero s conceb´ıveis ıveis sãaoo maiore mai oress ou menores menores do que zero ou iguais iguais a zero”; zero”; o que prov prova que Euler Euler e, por extensão ao os demais matemáticos, aticos, não ao havia ainda atinado com uma compreens˜ ao ao necessária aria (satisfat´ oria) oria) do conceito de n´ umero. umero . O que q ue é confirmado pela cita¸c˜ cao aõ a seguir

N˜ ao constitui constituir´ r´ a ent˜ ent˜ ao uma uma ver vergo gonh nha a para ara a Ciência encia estar t˜ ao pouco ouco elucida elucidada da acer acercca do seu ob jeto mais pr´ oximo, o qual deveria, aparentemente, ser t˜ ao simples? Menos prov´ avel ainda é que se seja capaz capaz de dizer o que o n´ umero é. e. Se um u m conceito que est´ a na base de uma grande g rande ciência encia oferece oferece dificuld d ificuldades, ades, investig´ a-lo com mais precis˜ ao com vista a ultrapassar essas dificuldades dificul dades é bem uma tarefa inescap´ avel. (Frege/Os Fundamentos Fundamen tos da Aritm´ Arit mética etica )

atico, atico, lógico ogico Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925) foi um matem´ e filósofo osofo alem˜ ao. Trabalhando na fronteira entre a filosofia e a matemática, ao. atica, Frege foi um dos principais criadores da lógica ogica matem´ atica atica moderna. ∗

Fonte: Carmo, Manfredo Perdig˜ ao ao do, et alii, Trigonometria/N´ alii, Trigonometria/N´ umeros complexos . Rio de Janeiro − IMPA/VITAE, 1992.

32

Mas Frege faleceu em 1925, e hoje, os matemáticos aticos sabem o que é um n´ umero? umero? ´ um n´ umero? umero? do Professor Adonai Sant’Anna (UFPR) No artigo O que e (UFPR) ele escreve:

ao existe, em matem´ atica, uma defini¸c˜ c˜ ao universalmente aceita para “N˜ esclarecer esclarec er o que q ue é, e, afinal, um n´ umero.” Isto implica dizer que os matemáticos aticos ainda hoje não ao sabem o que é número. umero. Em particular o professor Elon n˜ ao sabe o que é um número. ao umero. A prop´ osito, osito, os biólogos olog os também em não ao sabem o que é vida se é que qu e isto serve de algum consolo.

−

8.1 8.1

Com Com vista vista a ultr ultrap apas assa sarr essas essas difi dificu culd ldad ades es . . .

Pouco a pouco, procuro liberar suavemente o esp´ esp´ırito dos alunos de seu apego apego a imagens privilegiad legiadas. as. Eu os encami encaminho nho para para as vias da absabstra¸c˜ cao, ˜ esfor¸cando-me cando-me para despertar o gosto pela abstra¸c˜ cao. ˜ (Gaston Bachelard/A forma¸c˜ cao aõ do esp es p´ırito ıri to cient´ ci ent´ıfico) ıfic o)

Com vista a ultrapassar essas dificuldades a respeito do que seja um número umero vamos contribuir com algumas informa¸c˜ coes. o˜es. Primeiro, um n´ umero umero não ao é um ob jeto que se encontre na natureza como grandes matem´ aticos aticos pensaram pen saram por s´ eculos eculos ∗ , e tamb´ tam bém em não ao é apeap enas um s´ımbolo ımb olo (“imagens privilegiadas ”), ”), tais como N = 0, 1, 1 , 2, 2 , 3, 3 , . . . .

−

{

− }

A inerente inerente tendˆ tendência encia humana humana a apeg apegar-se ar-se ao “concr “concreto”, eto”, conform conforme e exemplificado pelos n´ umeros naturais, foi respons´ avel por esta lentid˜ ao em dar um passo inevit´ avel. avel. Soment Somentee na esfera esfera do abstr abstrato ato um sistem sistema a satissatis fat´ orio de aritmética etica pode pode ser criado. criado . (Richard Courant) “concreto” “concreto”,, por exemplo, exemplo, veja Laplace, Laplace, p. 7.

Observe que o que caracteriza (define) o jogo de xadrez n˜ ao s˜ ao as pe¸ cas cas propr propriam iament ente, e, mas sim as regras o “software”, “software”, concon junto de instru¸c˜ coes. ˜

− −

∗

Como, por exemplo, Laplace, ver p. 7.

33

Suponhamos que desejamos jogar xadrez mas não ao dispomos das pe¸cas, cas, apenas do tabuleiro. Não ao h´ a o menor problema podemos substituir as pe¸cas cas por cereais. cereais.

feij˜ aaoo arroz

.. .

→ Rei

p eões oes → pe˜

.. .

.. . milho

→ torres

Por exemplo, um caro¸co co de feijão ao far´ a o papel de rei, os peões oes serão ao substituidos por gr˜ aos de arroz, as torres por caro¸cos aos cos de milho, etc. Obser Ob serve ve que qu e é a estrutura (jogo, (jogo, regras) que confere a identidade de um element elemento: o: um mero caro¸co co de feijão ao de repente rep ente vê-se e-se promovido pr omovido a “rei” ao participar da estrutura xadrez.

≡ .. .

(equivalentes)

≡

.. .

Estive refletind refletindo o melhor melhor . . . afirmo afirmo até prova em contrário ario Adendo: Estive (p. 17), qual seja: que apenas a afirma¸c˜ cao aõ do Prof. Djairo Djairo (p. seja: “De modo mais mais rigoroso, p odemos proceder pro ceder assim. Uma decimal é uma fun¸ f un¸c˜ cao aõ [se sequ quˆ ˆ enc ncia ia ]

−

f : : N

→ { 0, 1, 2, 3, 4, 4 , 5, 5 , 6, 6 , 7, 7 , 8, 8 , 9 }”

−

é suficien suficiente te para refutar refutar os “dois “dois erros erros grave graves”. s”. Enfatiz Enfatizamo amos: s: qualqu qualquer er defini¸c˜ cao aõ de representa¸c˜ cão ao decimal que comporte o mito das ambigbuidades est´ a errada, por ser inconsistente com essa defini¸c˜ cao ão do Prof. Djairo. 34

Retomando, de modo análogo alogo aconte acontece ce com o “jogo” n´ umeros; umeros; por exemplo, podemos “jogar o jogo dos naturais N” com estes s´ımbolos ımbolo s N=

{ 0, 1, 2, 3, 3 , 4, 4 , . . . }

ou até com os ideogramas chineses



.. .

N=

,

.. .

,

.. .







0

1

2

,

.. . 

,

3

.. . 

, ...



4

o que chamamos de n n´ u umeros ´meros naturais vermelhos. A questão ao é: e: por que os ideogramas chineses são a o n´ umeros umeros naturais? A respo res posta sta é: e: não ao eram, entretan entretanto, to, em 2015 publicamos publicamos um livro ([4]) no qual tornamos torna mos estes s´ımbolos ımbolo s números umeros naturais, agora s˜ ao. a o. Os n´ umeros umeros naturais s˜ ao caracterizados (definidos) pelo seguinte conjunto de regras: ao

(Manual Básico) asico)

A1 ) (a + b + b)) + c + c = = a a + + (b (b + c + c)) A2 )

N

∃ 0 ∈ N : a + 0 = 0 + a + a = = a a

A3 ) a + b + b = = b b + + a a M 1 M 1 ) (a b) c = a = a (b c) M 2 M 2 ) M 3 M 3 ) D)

· · · · ∃ 1 ∈ N : a · 1 = 1 · a = a = a a · b = b = b · a a · (b + c + c)) = a · b + a + a · c

• Ordenado

ıpio da Boa Ordem. PBO) : Princ´ıpio

Pois bem, para transformar os ideogramas chineses



N=

.. .

,

.. .

,

.. .







0

1

2

,

.. . 

3

,

.. . 

, ...



4

em n´ umeros umeros natura n aturais is tivemos que definir, defi nir, entre estes es tes s´ s´ımbolos, ımbolo s, duas dua s opera¸ oper a¸c˜ coes o˜es uma chamada de adi¸c˜ cão ao e outra de multiplica¸c˜ cao aõ e provar todas as regras que definem os naturais, constantes no quadro amarelo acima.

−

−

35

A prop´ osito, osito, através es da seguinte identifica¸c˜ cão ao 1 yang

0

yin

1

0

os ideogramas chineses transformam-se em sequˆ encias encias binárias, arias, assim: 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . = 0 = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 . . . = 1 = 1 0 1 0 0 0 0 0 0 . . . = 2 = 2 1 1 0 0 0 0 0 0 . . . = 3 = 3



N=

0 0 1 0 0 0 0 0 . . . = 4 = 4

.. .

,

.. .

,

.. .

,

.. .

,

.. .











0

1

2

3

4

, ...



1 0 1 0 0 0 0 0 . . . = 5 = 5

···················· O que chamamos de n n´ u umeros ´meros naturais azuis 2,, 3 3,, 4 4,, . . . N = 0, 1, 2

{

}

Portanto, sequências encias binárias arias agora s˜ ao a o n´ umeros umeros naturai naturais. s. Ao leitor leitor interessado na constru¸c˜ cão ao dos “n´ umeros umeros coloridos” consulte a referˆ r eferˆ encia encia [4]. Enfatizamos: Antes as sequˆ encias encias binárias arias eram consideradas apenas (p. 22); agora consrepresenta¸c˜ coes o ˜es dos n´ umeros naturais em base 2 (p. umeros truimos sobre o conjunto das sequˆ encias encias binárias arias a estrutura de n´ umeros umeros naturais (quadro amarelo, p. 35); portanto, sequˆ encias encias binárias arias tornaram-se números umeros naturais. Algo an´ alogo deve acontecer com as express˜ alogo oes decimais para que elas se tornem n´ umeros reais . De passagem, observamos que com o modelo dos naturais azuis podemos realizar opera¸c˜ coes ões que não a o são ao poss´ poss´ıveis de se definir com os “velhos naturais”. Por exemplo, dadas duas sequências encias binárias arias a opera¸c˜ cao aõ de multicar seus bits, assim: plexa¸c˜ cao a õ consiste em entrela¸car x 1 x2 x3 x4 x 5 x6 x7 x8 . . . x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 . . .

y1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 . . .

Nota: Uma sugestão ao é utilizar utiliz ar a multiplexa¸ multipl exa¸c˜ ao em criptografia de dados. ao dados . Podemos multiplexar um número umero arbitr´ ario ari o de sequências. enci as. 36

9

Um desafio aos matem´ matem´ aticos aticos

Uma questão ao que surge de imediato é: e: se uma sequˆ encia encia binária aria pode ser um n´ umero umero natural por que uma sequˆ encia encia decimal não ao poderia ser um n´ umero umero real? Veja só: o: o que caracteriza (define) os números umero s reais reai s é o quadro quadr o a seguir

A1 ) (a + b + b)) + c + c = = a a + + (b (b + c + c)) A2 )

∃ 0 ∈ R : a + 0 = 0 + a + a = = a a

A3 ) a + b + b = = b b + + a a A4 ) M 1 M 1 ) M 2 M 2 ) M 3 M 3 ) M 4 M 4 ) D)

R

∀ a ∈ R, ∃ − a ∈ R : a + (−a) = 0 (a · b) · c = a = a · (b · c) ∃ 1 ∈ R : a · 1 = 1 · a = a = a a · b = b = b · a ∀ a ∈ R∗, ∃ a−1 ∈ R : a · a−1 = 1 a · (b + c + c)) = a · b + a + a · c

• Ordenado • Completo Qualquer ob jeto (s´ımbolo) ımbolo) que possa ser manipulado segundo as regras desta estrutura, será um n´ umero umero real! Em analogia analogia com o xadrez dizemos que este é o “Manual “Manual B´ asico” asico” dos n´ umeros umeros reais. Pois bem, para que qu e os s´ımbolos do professor Elon α = a = a 0 , a1 a 2 . . . an . . . se tornem números umeros reais, ele deve definir entre os mesmos duas opera¸c˜ coes o˜es uma chamada de adi¸c˜ cao aõ e a outra de multiplica¸c˜ cão ao e provar que valem as propriedades do quadro acima. Ou ainda, implementar o quadro acima.

−

0, 999 . . .

≡

• Afirmar que 0,0, 999 . . . = 1 (como números) umeros)

−

é o mesmo que afirmar afi rmar que um u m caro¸co co de feijãaoo 1

é um u m rei. r ei. Perguntam Perg untamos, os, isso é verdad ver dade? e?

37

9.1 9.1

Cons Constr tru¸ u¸ c˜ coes o ˜es dos n´ umeros umeros reais

umero negativo como sendo uma letra precedida com o “Euler concebe o n´ sinal (menos)” .

− −

“Ora, isso n˜ ao faz sentido ...N˜ ao se estabelece um conceito a partir de uma nota¸c˜ cao ˜ ”. Prof. Adonai Sant’Anna Sant’Anna (UFPR)





N˜ ao é suficient ao suficientee defininir defininir o que seja uma sereia sereia.. Para Para que uma defini¸ defini¸c˜ cao aõ seja de alguma utilidade em matemática at ica é nece n ecess´ ssário ario exib exibir irmo moss pelo pelo ao me memo moss um exem exempl plar ar da coisa definida. Da´ Da´ı a necessidad necessidadee da constru¸c˜ cao aõ dos d os sistemas sis temas numéricos, ericos, em particul pa rticular ar dos n´ umeros reais.

(ver Brouwer, p. 42)

Assumindo a existˆ encia encia dos números umeros racionais (Q) existem duas constru¸c˜ coes o˜es clássicas assicas dos n´ n umeros u ´ meros reais, reais, a dos Cortes de Dedekind e e a das Classes de Equi Equivalˆ valências encias de Sequências encias de Cauch Cauchy y , por Georg Cantor; os objetos (s´ (s´ımbolos ımb olos,, números umeros reais) em cada uma dessas constru¸c˜ coes o˜es são ao distintos. distintos. Na constru¸c˜ cao ão de Dedekindo os números umeros reais são ao certos subconjuntos de números umeros racionais, chamados cortes . A t´ıtulo de curiosidade curiosidade enfatizamos enfatizamos o fato de que 2 é apenas ape nas uma umero umero real x que tem a propriedade de que x2 = 2. 2. EnEnnota¸c˜ cao ˜ para o n´ tretanto, tretanto, a bem da verdade, verdade, o s´ımbolo da “verdadeira “verdadeira”” raiz quadrada de 2 difere dif ere do s´ımbolo ımb olo 2, tanto quanto um caro¸co co de feijão ao difere de um rei.

√

√

≡

(equivalentes no xadrez)

Por exemplo, na constru¸c˜ cão ao do modelo dos reais pelo p elo método etodo de Dedekind (cortes (cortes de Dedekind), observe observe a “cara” da raiz quadrada de 2.

√

2=

Geometricamente temos

...

...

−4 

−4 

−3 

−3 

− 52

− 52

−2 

−2 

−1 

−1 

x ∈ − 12

− 12

0

0

Q : x < 0 ou x2 < 2

1 2

1 2

1

2

← √ 2

1

38

3

4



...

Q

Por exemplo, apenas por curiosidade, o triângulo angulo retˆ angulo angulo com catetos catetos unitários arios

d = ?

1

− Pitágoras agoras não ao sabia quanto media

1

a diagonal de um quadrado unitário. ario.

Os di´ alogos alogos de Plat˜ Plat˜ ao most mostrram que (...) (...) a comun omunida idade de mamatem´ atica atica greg grega a fora fora assombr assombrada ada por uma descob descoberta erta que pratic praticamente amente demolia a base da fé pitag´ orica orica nos inteiros. inteiros. Tratava-se atava-se da descob descoberta erta que na pr´ opria geometria os inteiros e suas raz˜ oes eram insuficientes para descrever mesmo simples propriedades b´ asicas. (BOYER)

na constru¸c˜ cao aõ de Dedekind fica assim:



2

: Q

 x

x

<

0

o u

x

<

2

∈

{ x

∈

Q :

x < 1

}

− Dedekind mediu a diagonal

{ x ∈ Q : x < 1 }

de um quadrado unitário. ario.

Ded ekind através es de sua s ua constru¸ constr u¸c˜ cao aõ dos cortes conseguiu provar Nota 1: Dedekind todas as propriedades propriedades dos reais, isto é, e, implemen implementou tou o quadro amarelo da página agina 37. O mesmo mesmo acontec acontecendo endo com a constru constru¸c˜ çao aõ de Georg Georg Canto Cantor. r. O que estamos insinuando é: e: para que os s´ımbolos (expressões oes decimais) do Prof. Elon sejam considerados n´ umeros reais ele deve fazer o mesmo. umeros Em resumo: construir sobre D uma estrutura de Corpo, de Corpo, ordenado, completo. completo . Nota 2: Mais precisamente deve-se tomar D como definido por Aragona na p´ agina agina 21. 39

Pois bem, afirmamos que enquanto o “triângulo angulo de Dedekind” é válido alido matematicamente falando, por outro lado, o “triˆ angulo angulo de Elon”

1

7 3 2 6 5 3 1 2 4 1 , 4

..

.

1

− O triângulo angulo do Prof. Elon não ao tem

1

validade matemática, ati ca, é esp´ esp urio. u ´ rio.

não ao tem validade matemática, atica, uma vez que a representa¸c˜ cao ão decimal da raiz quadrada de dois não ao é um numero u ´ mero real. 2 = 1, 41421356237 . . . .

√

Por exemplo, Dedekind consegue demonstrar que o seu triângulo angulo satisfaz ao teorema de Pitágoras, agoras, o Prof. Prof. Elon Elon conseg conseguiri uiriaa o mesmo? mesmo? sem (p. 30) praticar praticar o “salto “salto arquimediano” arquimediano”,, ruptura epistemol´ epistemol´ ogica. ogica. Estamoss apenas apenas tomand tomandoo o Prof. Prof. Elon Elon com comoo um represen representan tante te da Nota: Estamo classe de equivalência encia formada pelos matemáticos aticos que defendem que as representa¸c˜ coes o˜es decima decimais is s˜ ao a o n´ umeros umeros reais ou seja seja,, quas quasee todos todos os ma ma-tem´ aticos. aticos. Resumindo, o Desafio que deixamos a todos os matemáticos aticos da classe de equivalˆ encia encia a que p ertence o Prof. Elon é: e: Construir os n´ n umeros u ´ meros reais a partir de sequˆ sequências encias do conjunto conjunto das representa¸ representa¸ c˜ coes o˜es decimais D. Mais precisamente, definir sobre D duas opera¸c˜ cões oes adi¸c˜ cao aõ e multiplica¸c˜ cãaoo e implementar o quadro amarelo que consta na página agina 37. Lembramos que na página agina 24 observamos que a representa¸c˜ cao aõ de um n´ umero umero inteiro não ao é um número umero intei inteiro. ro. Por Por que a represe represent nta¸ a¸c˜ cao a˜ o de um número umero real deveria ser um número umero real? a menos que se prove, claro.

−

−

−

−

−

cão ao dos reais via representa¸c˜ cões oes Nota 1: Procuramos na internet a constru¸c˜ decimais, não ao encontramos apenas promessas. Caso algum leitor conhe¸ca ca essa constru¸c˜ cão ao me envie por favor, se isto acontecer metade deste artigo ter´ a que que ir para a lixe lixeir ira. a. Enqua Enquant ntoo isto isto não ao acontecer meus argumentos estar˜ ao de pé. ao e. Em resumo: r esumo: representa¸c˜ coes o˜es decimais não ao são a o n´ umeros umeros reais. (p. 83/Grifo 83/Grifo nosso) Nota 2: No livro do Aragona lemos: “Neste par´ agrafo vamos introduzir os n´ ao se consumeros decimais que umeros decimais que v˜ tituir na melhor aproxima¸ umeros reais.” aproxima¸c˜ cao, a õ, para fins pr´ aticos, dos n´ aticos, Achamos Ac hamos a denomina¸ denomina¸c˜ cão ao “n´ apropriada, ada, pois nos nos perumeros decimais ” apropri umeros reais ”. mite diferenciá-los a-los de “n´ ”. Ver Desafio. Desafio.

−

40

9.2

Mais Mais um exemp exemplo lo de rupt ruptura ura episte epistemol mol´ ´ ogica ogica A prop´ osito, em igualdades tais como osito,

√

2 = 1, 41421356237 . . .

(5)

temos exemplos de saltos de saltos arquimedianos arquimedianos e rupturas e rupturas epistemológicas. ogicas . Por opore Carlos Cifuentes lemos∗ tuno em um outro trabalho do Prof. Jos´

Ainda, no caso das sequˆ sequências, encias, a aceita¸ c˜ cao ˜ da “existência” encia” de uma sequência encia infinita infinit a como coisa terminada, termin ada, é também em resultado de um recurso de simplicidade como o é a aceita¸ c˜ ao do infinito infinito em ato. O estatuto ontol´ ogico dos n´ umeros irracionais baseia-se nisso, por exemplo, o n´ umero irracional 2 s´ o existe na medida em que sua express˜ ao decimal for admitida completa e terminada na sua infinitude. (p. 13)

√

Vale a pena lembrar Gauss novamente: “Eu contesto o uso de um objeto infinito como um todo completo; em matem´ atica, essa opera¸c˜ atica, cao a õ ´ e pro proibi ibida; da; o infi infinit nito o´ e s´ o um concorda com Richard Richard Courant: Courant: modo de dizer”. O que concorda

se u s´ımbolo ımbolo incomplet incomp leto o “ . . .” é meram m erament ente e “Assim, a igualdade (5) com seu uma estenografia matem´ atica ... ”

√

 2 · 2   6 · 6   10 · 10  ·· · · · 2=

7 3 2 6 5 3 1 2 1 4 4

1,

1

..

1 3

·

5 7

·

9 11

·

.

1

− No triângulo angulo do Prof. Elon n˜ ao a o se

demonstra o teorema de Pitágoras. agoras.

´ SE REAL: O MITO DA ANALISE ALI REAL : CONTRIBUI CONTR IBUIC C ¸ ˜ OES PARA A FORMAC FORMA C ¸ ˜ AO CON´ ´ CEITUAL DO PROFESSOR DE MATEMATICA SOBRE OS NUMEROS REAIS E A ´ ´ ANALISE MATEM MATEMATICA ∗

41

Para finalizar, uma observa¸c˜ cao: aõ: n˜ ao ao obstante as pe¸cas cas do xadrez serem arbitr´ arias arias

.. .

≡

.. .

não ao dizemos que existem diversos jogos de xadrez, não, ao, existe apenas um; de modo análogo alogo n˜ ao dizemo ao dizemoss que existem existem vários arios conjuntos de n´ umeros umeros reais (ou naturais, etc.), não, ao, existe apenas um; embora as pe¸cas cas possam ser de diversos “formatos”. Dizemos que todos os poss´ poss´ıveis modelos mo delos sãaoo Isomorfos, Isomorfos , pois todos implementam o “manual básico”. asico”.

−

Consideramos a cita¸c˜ cao aõ a seguir uma das mais relevantes em matemática

Brouwer ∗ tem como norma que toda defini¸c˜ cao ˜ seja construtiva, isto é, e, indique a maneira de obter os objetos obj etos definidos. [. . . ] De Dest stee modo modo o intui intuicio cioni nism smo o afirm afirmaa-se se como como uma forma forma de construtivismo de objetos matem´ aticos, onde a existˆ exi stência encia destes deste s somente some nte é poss´ poss´ıvel se for indicado um racioc racioc´ınio mental que efetivamente nos permita aceder a eles. Portanto, o intuicionismo é também em uma forma de anti-realismo. (Publica¸c˜ cão ao eletrônica) onica) N˜ ao é suficient ao suficientee defininir defininir o que seja uma sereia sereia.. Para Para que uma defini¸ defini¸c˜ cao aõ seja de alguma utilidade em matemática at ica é nece n ecess´ ssário ario exib exibir irmo moss pelo pelo ao me memo moss um exem exempl plar ar da coisa definida. Da´ Da´ı a necessidad necessidadee da constru¸c˜ cao aõ dos d os sistemas sis temas numéricos, ericos, em particul pa rticular ar dos n´ umeros umeros reais.

ao é dif´ dif´ıcil “definir” uma estrutura algébrica ebrica por um conjunto de “N˜ axiomas de tal forma que n˜ ao exista nenhum exemplo da tal estrutura.” (Jorge Aragona/N´ /p. 127) umeros Reais /p. ∗

L.E.J. Brouwer (1881-1966), matem´ atico atico holandˆ holandˆ es, es, um dos expoentes expoentes da escola escola de pensamento intuicionista − uma deriva¸c˜ cao a õ dos dos construtivistas , que defendem que os objetos matem´ aticos aticos devem ser se r constru´ c onstru´ıdos, ıdos, e n˜ nao aõ meramente assumidos como existentes. Em contraposi¸ c˜ cao aõ aos realistas aos realistas .

42

10

A m´ etri etrica ca quˆ quˆ antic antica a

Esta seçc˜ cão ao é para p ara aqueles aqu eles que já estudaram a teoria dos espa¸cos cos m´ et rico etri cos s na gradua¸c˜ cao aõ de matemática. atica. Para quem é autodidata au todidata e pretende conhecer esta teoria recomendamos o livro [3], é neste livro que encontra-se desenvolvido mais detalhadamente o tema desta seçc˜ cão. ao. Ent˜ ao, ao, provaremos que 0, 999 . . . = 0 não, ao, n˜ ao trata-se de um erro de digita¸c˜ ao cao, aõ, é isto mesmo leitor!. leitor !. Consideremos o intervalo unitário a rio [ 0, 1 [ e a seguin seguinte te aplic aplica¸ a¸c˜ cãaoo k : [ 0, 1 [

× [ 0, 1 [ −→ R   definida por: k(x, y ) = min |x − y|, 1 − |x − y | .

Podemos Podemo s provar (exerc´ıcio) ıcio) que k é uma um a métri et rica ca (dis (d istˆ tância) ancia) em [ 0, 1 [ .

Como funciona a m´ etrica etrica quˆ antic antica? a? Funciona unciona de modo bem b em simples, simples, não ao é nece ne cess ss´ário ario nenhum manual de instru¸c˜ cão, ao, veja: veja: dados dois pontos pontos x x e e y y,, ambos am bos no interv intervalo alo [ 0, 1 [, entre entre chave chavess obteremos obteremos dois valores, valores, escolhemos escolhemos o menor deles como sendo a distância ancia entre os pontos x e y . Por exemplo

|0 − 0, 4|, 1 − |0 − 0, 4| = min 0, 4; 0, 6 = 0, 4     (0; 0, 0, 6) = min |0 − 0, 6|, 1 − |0 − 0, 6| = min 0, 6; 0, 4 = 0, 4     (0; 0, 0, 8) = min |0 − 0, 8|, 1 − |0 − 0, 8| = min 0, 8; 0, 2 = 0, 2

0, 4) = min k(0; 0, k k

Observe Observe a localiza¸ localiza¸c˜ cao aõ geométrica etrica destes pontos: ponto s: 

0

տOrigem

0, 4

1 2





0, 6

0, 8

1

Por oportuno, observe que 0, 4) = k (0; 0, 0, 6) > 6) > k (0; 0, 0, 8). 8). k (0; 0, ´ isto mesmo que o leitor testemunha!: os dois primeiros pontos (0 , 4 e 0, 6) E est˜ ao ao a uma mesma distância ancia da origem, e, como se não ao bastasse, o terceiro ponto (0, (0, 8) está mais próximo oximo da origem que os dois primeiros primeiros . . . pasm´ pasmém! em! Quando o esp´ esp´ırito se apresenta a` cultura cient cie nt´´ıfica ıfi ca,, nun n unca ca é jovem. j ovem. Ali´ Al iás as é bem b em velho, velh o, porqu po rquee tem a idade de seus preconceitos preconceitos.. Aceder Aceder à ciência é rejuvenescer espiritualmente, ´ e acei a ceita tarr uma u ma bru brussca muta¸ cao c˜ a õ que contradiz o passado . (Gaston Bachelard/grifo nosso)

43

Pois bem, consideremos a sequˆ encia encia (αn ) dada por αn = 1

− 101n

Por exemplo: α1 = 0, 9;

α2 = 0, 99;

α3 = 0, 999;

...

; αn = 0, 999 . . . 9

Provaremos que lim αn = 0

(6)

n→∞

Com efeito, utilizando

|x − y|, 1 − |x − y|   (α , 0) = min |α − 0|, 1 − |α − 0|  1  1  (α , 0) = min 1 − , 1 − 1 − k(x, y ) = min

temos

k

isto é

k

n

n

n

10n

n

logo k(αn , 0) =

10n

1 10n

→0

α

= 0, 999 . . . = 0

Isto prova (6). Observe que lim αn = 0

n→∞

⇒

∞

Utilizando os mesmos argumentos que Richard Courant, p. 28. No livro do Prof. Elon citado na página agina 25 ele prova que lim αn = 1

n→∞

α

⇒

∞

= 0, 999 . . . = 1

E conclui que o n´ igual a 1. Apenas Apenas pergunt pergunto: o: umero real 0, 999 . . . é igual umero das considera¸ considera¸c˜ coes o˜es acima por que não ao posso concluir que “ o n´ umero real” umero 0, 999 . . . é igual a 0 ?. Lembramos o outro autor (Brolezzi): “[ ] vocˆ e deve ter concluido que 0 , 999 . . . = 1. Esse sinal de igual é igual igual mesmo! mesmo! N˜ ao se trata de aproxima¸c˜ ao cão: a o: 0, 0, 999 . . . e 1 são ao duas formas diferentes de representar o mesmo n´ umero”. umero

···

Se fosse assim eu poderia afirmar: “[ ] vocˆ e deve ter concluido que 0 , 999 . . . = 0. Esse sinal de igual é igual igual mesmo! mesmo! N˜ ao se trata de aproxima¸c˜ ao cão: a o: 0, 0, 999 . . . e 0 são ao duas formas diferentes de representar o mesmo n´ umero”. umero

···

E agora? como estes matemáticos aticos resolveriam esse impasse? 44

10.1 10.1

Descub Descubra ra onde onde se encon encontra tra o erro erro

“N˜ ao h´ a mais, para os teoremas, verdade separada e, por assim dizer, atˆ omica: sua verdade é apenas sua integra¸ integra¸ c˜ cao ˜ no sistema; e é por isso que teoremas teoremas incompat incompat´ ´ıveis entre si podem podem ser igualmente verdadeiros, verdadeiros, contanto que os relacionemos com sistemas diferentes.” (Curso Moderno de Filosofia /Por /Por Denis Huisman Huisma n e Andr´ A ndré Vergez)

Inicia Inicialme lment ntee observ observee que em nosso nosso unive universo rso [ 0 , 1[ não ao estão ao definidas opera¸c˜ coes o˜e s aari ritm´ tméticas eti cas adi¸c˜ cao aõ e multiplica¸c˜ cao aõ , raz˜ ao ao porque não ao podemos sair operando a esmo. Entretanto, observando que se

−

0

≤ x < 1

−

e

0

≤ y < 1 ⇒ 0 ≤ x · y < 1

significa que a opera¸c˜ cao aõ de multiplica¸c˜ cao aõ (usual):

· : [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [ −→ [ 0, 1 [ em nosso n osso universo é uma u ma oper o pera¸ a¸c˜ cão ao perfeitam per feitamente ente l´ıcita. Consideremos a seguinte sequência encia de somas parciais 0, 1; 0, 11; 0, 111; . . . , βn , . . . a expressão ao de β de β n é dada da da p or β n =

1 9

· 1 − 101n 

Esta sequˆ encia encia converge converge para 1/9, tanto na m´ etrica etrica usual quanto na na métri et rica ca quˆ qu antica. aˆntica. Sendo assim, temos: 0, 111 . . . =

1 1 1 + + n + 10 100 10

· · · = 19 .

Consideremos a identidade demonstrada anteriormente 0, 999 . . . = 0 Multiplicando esta equa¸c˜ cão a o por 1/ 1/9, resulta 1 1 0, 999 . . . = 0 9 9

·

·

⇒

0, 111 . . . = 0

Comparando com (7) concluimos que 91 = 0, donde 1 = 0. Onde encontra-se o erro?

− é o t´ıtul ıt uloo dest de staa (sub) (su b)sec seç¸c˜ cão. ao. 45

(7)

10.2

Algumas patologias patologias quˆ anticas anticas

Tudo isso, que à primeira vista parece excesso de irrazão, ao, na verdade dade é o efei efeito to da finur finuraa e da extens˜ ao ao do esp´ esp´ırito humano humano e o m´ etodo etodo para encontrar verdades at´ at é ent˜ en tão ao desconhecidas. (Voltaire)

Com Co m a métri et rica ca quˆ qu antica aˆntica obtive alguns resultados bizarros∗ e interessantes interessantes (relevantes), creio que q ue inéditos editos na literatura liter atura matemática, atica, raz˜ ao ao porque decidi incluir aqui um resumo, para os detalhes e outras aplica¸c˜ coes o˜es veja nosso livro citado na referência encia [3]. Os resultados a seguir valem no Universo (espa¸co co métri et rico co)) [ 0, 1 [, k . Ao mesmo tempo que deixamos como exerc´ exerc´ıcio, a quem interessar p ossa.

−

−



1 o ) Seja Seja M M = [ 0, 1[, seja X seja X = [ 12 , 1 [

⊂ M e M e seja p seja p = 0 ∈ M . M . Veja

0

1



0



1

1 2

M X

A distância ancia do ponto p = 0 ao subconjunto X ´ X é zer ze ro. 2 o ) Seja Seja M M = [ 0, 1 [, consid considere ere X X = [ 0, 31 ] e Y = [ 23 , 1 [ . 0

0

1

X

1 3

2 3

Y

M

1

A distância ancia de X de X a Y é zer z eroo. 3 o ) Mostre Mostre que que a aplica¸ aplica¸c˜ caao õ k : [ 0, 1/2 [

× [ 0, 1/2 [ −→ R, dada por   k(x, y ) = min |x − y |, 1/2 − |x − y |

é uma métrica etr ica sobre sob re [ 0, 1/2 [ . Ademai Ademais, s, prove prove que: que: ∗

0,4 0,4999. . . =0.

Patologia na matem´ atica tem sentido diferente da medicina, significa um resultado atica contraintuitivo, que, n˜ ao raro, agride o senso comum. ao

46

Um objeto em v´ arios arios lugares ao mesmo tempo 4 o ) Necessita Necessitaremos remos de uma defini¸c˜ cão: ao:

Diremos que um objeto p ( um ponto) encontra-se em uma regi˜ ao contida em um universo∗ , se e s´ o se sua distˆ ancia para essa regi˜ ao for nula .

R

Consideremos no quadrado da esquerda 1

1

R4

R3

R1

R2

2 3

[ 0, 1 [ 2 1 3



0

1

0

1 3

2 3

1

a origem juntamente com as quatro regiões oes em destaque destaque na figura da direita. Afirmamos que a origem encontra-se em todas essas quatro regiões. E mais: a distância ancia da origem para essas regiões oes é nula em qualquer qualqu er das métricas etr icas produt pro duto. o. 5 o ) Existe Existe uma uma Curva de Peano no quadrado acima, com propriedades topol´ ogicas totalmente distintas da curva original de Peano Por exemplo, ogicas veja o ´ıtem 7 o ) a seguir. Creio que com essa curva o próprio oprio Peano jamais sonhou.

−

6 o ) Considere a seguinte sequência encia de pontos do intervalo intervalo [ 0, 1 [ : n 1 2 3 (xn ) = = , , , ... n + 1 2 3 4



 



0











1 2

2 3

3 4

4 5

   

...

→



1

Essa sequência encia converge para zero. Em s´ımbolos ımbolo s

lim

n→∞

7o ) 0, 999 . . . =



1 1+

1 n

=0

9 9 9 + 2 + 3 + 10 10 10

··· = 0

Para os nossos propósitos ositos ser´ a suficiente considerar considerar como universo o hipercubo [ 0, 1 [ n . Ou seja o cubo unit´ ario em qualquer dimens˜ ario ao: ao: Intervalo, Intervalo, quadrado, cubo, etc. ∗

47

8 o ) As quatro quatr o sequˆ encias encias dadas dad as a seguir 1

xn =



1 1 , 1− n+1 n+1



  

→

 

x3 x 2

 

t2

t3



1 1 , 1− n+1 ← tn = 1− n+1





zn =



1 n+1

,

1 n+1

z2





→

  



z3

y2 y 3



1 ← yn = 1− n+1 ,

 

0

1 n+1



1

pertencem todas às as diagonais do quadrado unitário a rio [ 0, 1 [ [ 0, 1 [. O cent centro ro 1 1 do quadrado 2 , 2 é o primeiro termo de todas elas.

×

 

Estas quatro sequˆ encias encias convergem convergem para a origem. 9 o ) A fun¸c˜ caao f õ f : : ([ ([ 0, 1 ], µ)

f ( f (x) =

−→ ([ 0, 1 [, k) dada dada por por  1 (1 − 2x), se 0 ≤ x ≤ 1 ; 6 2



1 6 (7

− 2x),

se



1

1 2

≤ 1.

cujo gr´ afico afico está plotado a seguir f (x)

◦

1  5 6

  3  6  1  6 0

1 2

x

é cont´ınua ınua em todos to dos os p ontos do seu dom´ınio. ıni o. et rica ca usua us ual, l, isto is to é, e, µ( µ (x, y ) = x Nota: µ é a métri

| − y|.

10 o ) Considere Considere a aplica¸ aplica¸c˜ cãaoo f dada f dada por f por f ((x) = x, x , identidade. Mostre que para: [ , k a) f : : [ 0, 21 [,

  −→ ([ 0, 1],1], µ) temo temoss que que lim lim x = 1;  1[,  −→ ([ 0, 1[,1[, µ) temo temoss que que lim lim x =  0. b) f : : [ 0, 1[, x→0

k

x→0

48

Se deslocando entre dois pontos sem passar pelo meio 11 o ) Creio que o exemplo exemplo dado a seguir seguir é totalmen totalmente te in´ edito edito na literaliteratura matem´ atica; por exemplo, certa feita o mostrei ao Gugu (Carlos Gusatica; tavo/IMP tavo/IMPA), A), a princ pr inc´´ıpio ele se mostrou reticente, “custou a acreditar” que fosse verdade. Gentil/11..09 09..2008 2008)). Afirmamos que o conjunto a seguir Teorema 1 (Gentil/11

1 3

0

é conexo por caminhos caminh os

2 3

1

− quando se considera a métrica etrica quântica. antica.

Traduzindo em termos intuitivos, intuitivos, o que estamos afirmando é que dados dois pontos quaisquer neste conjunto, como, por exemplo os pontos p e q vistos a seguir 

0

p



1 3

2 3

q

1

podemos uni-los por um tra¸co co cont co nt´´ınuo, sem abando a bandonar nar o conjunto. co njunto. De outro outro modo: modo: sent sentan ando do a ponta ponta de um l´ apis apis no primeiro ponto, p, podemos atingir o segundo ponto, q , sem levantar a ponta do lápis apis e sem sair do conjunto. p

q



0



1 3

2 3

Existe uma versão ao bidimensional deste fenômeno omeno dimens˜ ao. ao. Dados dois pontos quaisquer na figura ao lado como como A A e B , por exemplo sentando a ponta de um lápis apis no primeiro ponto podemos pod emos un´ un´ı-los por um tra¸ co co co cont´ nt´ınuo ınuo , sem levantar a ponta do lápis apis e sem abandona donarr a figura, figura, cons consti titu tuid idaa pelos pelos quat quatro ro retˆ angu a ngulo los. s. Ou ainda ainda:: podemo podemoss mov mover o ponto A ponto A pelas quatro regiões oes da figura sem que ele passe pelos pelo s interst inter st´´ıcios.

−

1

− E até em qualquer qualque r 1

−

49

B





0

A



1

Apêndi endice ce 1: Poss Pos s´ıveis ıveis ap apli lica ca¸ c˜ ç˜ oes oes ´ dif´ E dif´ıcil prever como este artigo irá reverberar na matemática, atica, entretanto uma aplica¸c˜ cao aõ relevante já podemos adiantar, na área area da Topologia.

10.3 10.3

Curv Curva a de Peano eano

Como consequˆ encia encia do exorcismo do fantasma das ambiguidades nas representa¸c˜ coes o˜es decimais na referˆ encia encia [3] simplificamos uma das constru¸c˜ coes o˜es da clássica assica Curva de Peano. O sécul ec uloo X I X X se iniciou com a descoberta de que curvas e fun¸c˜ coes o˜es não ao precisa precisam m ser do tipo bem com comporta portado, do, o que at´ até ent˜ ent˜ ao ao se supunha. O matem´ atico atico italiano italiano Giuseppe Giuseppe Peano Peano (1858-1932) (1858-1932) em 1890 mostrou mostrou at´ e que ponto a matemática atica podia insultar o senso comum quando, tratando ao, publ do aprofund aprofundame ament ntoo dos conce conceito itoss de continuidade e dimens˜ public icaa a sua famosa curva, proposta como cobrindo totalmente uma superf´ superf´ıcie plana quadrangular. A curva de Peano hoje possui aplica¸c˜ coes o˜es em compressão ao de imagens digitais. Adotamos I = [ 0, 1 ].

curva de Peano Peano num espa¸co (Curva de Peano) Peano). Chama-se curva co Defini¸c˜ cao a õ 1 (Curva métr et rico ic o (M, d) a uma aplica¸c˜ cão ao cont´ co nt´ınua ınua χ : I que χ I = M . M tal M tal que χ M .

→

1

1

z  1 2



χ

2  3



 1  3

0

0





1 3

2 3

1

O professor Elon por acreditar nos fantasmas das ambiguidades complica em demasia e desnecessariamente a constru¸c˜ ao ao da sua Curva de ∗ Peano . (p. 21)

−

∗

−

Elon Lages. Espa¸cos cos Métrico et ricos s . Rio de Janeiro: IMPA - CNPq,1993./p. 230

50

B

1

{ 0, 1 }N

η

Ψ

1

ξ

(x, y)



z



η2





0

η1

0

{ 0, 1 }N

1

• Curva de Peano simplificada Por exemplo, na figura a seguir mostramos χ mostramos χ(0 (0..8) = 1

0.8

2 2 3 3

 , .

1 

2  3

χ

1 2

ξ



 1  3

0

0





1 3

2 3

1

O quadrado quadr ado hiperm´ hip ermágico agic o O exorcismo do fantasma das ambiguidade nos permitiu definir e construir uma esp´ ecie ecie de “volta” da curva de Peano, esta totalmente inédita edita na literatura. agico). Chama-se quadrado hiperm´ Defini¸c˜ cao a õ 2 (Quadrado hipermágico) agico agico num espa¸co co métri et rico co M, d uma aplica¸c˜ cão ao ϕ : M ınua e injetiva. inj etiva. I cont´ınua

 



0

x

1



µ y

B

ν

B

(1,1)

1

→ →

σ



1

B

• Quadrado hipermágico agico encia [3]. Nota: Para mais detalhes consulte a referência 51



0

z

Refutando algumas algumas “prov “provas” da internet internet Apˆ Apˆ end en dice ic e 2: Refutando 1 a ) Na internet internet encontrei encontrei a seguinte seguinte “prov “prova” de que 0, 0 , 999 . . . = 1: “Tente escrever um número umero x tal que 0, 0 , 999 . . . < x < 1, verá que é imposs´ıvel. ıvel. Dado que não ao existe um tal x em R então ao 0, 999 . . . = 1.” No meu entendimento entendimento esta é uma “prova” “prova” por demais ingˆ enua. enua. De fato, nunca poderemos exibir um tal x simplesmente porque 0, 0, 999 . . . não é (p. 26) um n´ umero, ume ro, isto é, e, não ao encontra-se na reta real. Lembramos

•

0, 999 . . .

1

↓

↓

˜ f ˜ : : D

N˜ ao se pode comparar um número ao umero com uma sequência: enci a:

→ ] 0, 1 ]

0, 999 . . . < 1

∞

 a .a a . . . → 1

2

n=1

n˜ ao ao faz sentido!

n n

10

2 a ) Encontrei o seguinte argumento na internet

O n´ umero umero

1 , certo? 9 Multiplicando ambos os lados por 9, temos 0, 1111 . . . =

9

1 × (0, (0, 1111 . . . ) = 9 × ⇒ 9

0, 9999 . . . = 1

Obje¸c˜ cao: aõ: N˜ ao me foi dito como multiplicar um número ao ume ro por p or uma um a sequência, enci a, isto is to é não ao foi definida a opera¸c˜ caao õ R

× ˜D → D˜

Observe: Observe: usando o mesmo “argument “argumento” o” do autor, temos O número umero

1 , certo? 81 Multiplicando ambos os lados por 81, temos 0, 012345679012 . . . =

81

× 0, 012345679012. 012345679012 . . . ??? ???

como com o fazer fazer este produto? produto?

Nota: Ver Brouwer, p. 42. Ver Chaitin, p. 54, atitude “construtiva”. 52

´ Igual a Um” 3 a ) O v´ıdeo: ıd eo: Isto Ist o é Matem Mat em´ática atica - T10E01 - “0,999999999. “0,999999999. . . E https://www.youtube.com/watch?v=3by2j7YO30o&t=498s mostra três es “provas” “provas” de que 0, 999 . . . = 1. Bast Bastar aria ia uma prov prova, se esta esta estivesse correta. 0, 999 . . . < 1 ?!?! ?!?!!!

Qual a obje¸c˜ cao aõ que fazemos contra a “prova”que se encontra na tela da esquerda? Não ao nos foi dito como multiplicar uma decimal por um número. umero.

0, 333 . . .

1 3

↓

↓

˜ f ˜ : : D

N˜ ao foi definida uma opera¸c˜ ao cao aõ ˜ R ˜ D D o produto

→ ] 0, 1 ]

0, 333 . . .

 a .a a . . . →

n n

2

n=1

×3

n˜ ao ao faz sentido!

(Multiplica-se uma nota¸c˜ cao aõ por um número) umero)

∞

1

× →

10

− Não ao se opera com o infinito atual • Ver Gauss, Gauss, p. 31; Ver 31; Ver Courant, Courant , p. 28 • Ver Cifuentes, p. 41

Na tela da esquerda, acima, vamos trocar 3 por 27 Ver Nota 2, 2, p. 40

1 = 0.037037037037 037037037037.. . . 27

“N´ umeros Decimais” umeros

Defina a opera¸c˜ cao aõ ˜ R ˜ D D e calcule o produto

× →

× 271 = 27 × 0.037037037037 . . . ??? O computador calcula o produto 27 × 0.037037037037 037037037037.. . . com uma preao faz − e nenhum ser humano − é cis˜ ao arbitr´ aria , o que o computador não ∴

27

calcular efetivamente produtos como o da tela à direita, acima (utilizando uma defini¸c˜ cão, ao, se houvesse). Uma das utilidades das representa¸c˜ coes o˜es decimais 1 é fazer faz er opera op era¸c˜ çoes o˜es aproximadas com com n´ umeros umeros reais ( π 2, por exemplo), isto satisfaz a todas as necessidades do engenheiro, não do matem´ atico. atico.

· √

53

cão ao a` An´ alise alise Matem´ Matematica ática na Reta” Adendo: No pdf do livro “Introdu¸c˜ (Claus I. Doering) encontramos encontramos uma cr´ cr´ıtica ıtica a n´ umeros reais com infinitas umeros (Grifo (Grifo nosso) (pp. 16,17) casas decimais, senão ao vejamos:

√

2 = 1, 41421356237309504880 . . .

Entretanto, Entretanto, a arbitrariedade arbitrariedade da base escolhida e os trˆ es es pontinhos ao final de todos os n´ umeros n˜ ao racionais e de muitos racionais, n˜ ao têm em si sido do interpretados como suficientemente rigorosos . Dedekind, por exemplo, argumentava que n˜ ao se conhece (e nunca se conhecer´ a) toda a expans˜ ao decimal de 2, nem a de 3 e nem a de 6, mas, mesmo assim, se afirma, sem 3 = 6. [ . . . ] piscar, que 2 Dedekind introduziu a no¸c˜ cao ˜ de corte dos n´ umeros racionais, segundo ele inspirada na teoria de propor¸c˜ coes ˜ de Eudoxo, e provou que a cole¸c˜ c˜ ao desses cortes tem uma estrutu e strutura ra de corpo corpo ordenado o rdenado que cont´ em em Q ao tem Q e que n˜ furos (além em do que, agora, nesse corpo, corpo, pode pode demonstrar demonstrar que 2 3 = 6).

√

√ √ · √ √

√

√ · √ √

Gregory Gregor y Chaitin Chaiti n é um matemático atico e cientista da computa¸c˜ cao, aõ, tal como Dedekind, Dedekind , ele também em é contra um “número umero real com infinitas casas decimais”, mai s”, tal como como

√

2 = 1, 41421356237309504880 . . .

Em suma: Por que deveria eu acreditar em um número real se n˜ ao posso calcul´ ao a-lo, se n˜ a-lo, ao posso provar o que s˜ ao ao os seus ao bits, e se n˜ ao posso sequer referir-m ao referir-me e a ele? E cada uma dessas coisas acontece com probabilidade um! (Gregory Chaitin/Metamat! /p. /p. 176)

Como Com o você vê, e, alguns alg uns matem´ mat em´ aticos apresentam a chamada atitude “construtiva” “construtiva”.. Isto significa significa que acred acreditam itam apenas apenas em objetos matem´ aticos que podem ser construidos, podendo, com bastante tempo, em teoria, teoria, efetivamente efetivamente ser serem em calculados alculados por n´ os. os. Eles Eles julgam julgam que devia devia haver alguma via para calcular um n´ umero real, para calcul´ a-lo a- lo d´ıgit ıg ito o por d´ıgito; ıgi to; do contr´ ario, em qual nexo se pode dizer que ele tenha algum tipo de existência encia matem´ atica? (Gregory Chaitin/Metamat! /p. /p. 163) No intermezzo vou discutir brevemente argumentos f´ısicos contra contra (Gregory Chaitin/Metamat! / p. 27) n´ umeros reais de precis˜ ao infinita. E no pr´ oximo cap´ cap´ıtulo eu gostaria de continuar nas pegadas pegadas de Zen˜ ao, assim como nas de Rolf, e argumentar que que um n´ umero com umero infinita precis˜ ao, um assim chamado n´ ao, umero real, ´ umero e, antes e, antes,, efe efe-(Gregory Chaitin/Metamat! / p. 144) tivamente n˜ ao real! ao ao esque¸ca ca do desafio aos matemáticos, aticos, seçc˜ cao aõ 9, p. 37. Nota: Não 54

Apˆ endice endice 3: O que os doutores doutores pensam de nossos nossos (polˆ (p olˆ emicos emi cos)) argum arg umento entoss Lel´ e, e, meu amor lel´ e, e, no cabo da minha enxada, não ao conhe¸co co “cor “c oron´ oné”! e”! (Raimundo Sodré - A Massa)

Em fevereiro de 2017 um aluno meu enviou a vários arios doutores em matem´ atica atica uma cópia opia do meu livro “Fundamentos dos N´ umeros ” ([4]) no qual consta o essencial dos argumentos aqui apresentados contra “os dois erros seculares”. nas respostas a seguir, estarei eventualmente inserindo meus comentários arios em itálico, alico, em azul. A todos eles meu aluno enviou uma única unica e mesma pergunta, ei-la:

−

- Olá professor me chamo Francinaldo, sou aluno de Matemática, atic a, é que eu estive estive dando uma lida em um livro de um autor no qual ele fala no “Mito das Ambiquidades” da´ da´ı me surgiu sur giu uma u ma d uvida, u ´ vida, na página agina do livro em anexo, onde o mesmo define em (8.11) igualdade entre duas representa¸c˜ coes o˜es decimais, pergunto: A defini¸c˜ cao aõ do autor poderia ser adotada? Desde já agrade¸co co pela aten¸c˜ cão. ao. Abra¸co. co.

∗

∗

∗

(p. 58 58)) fui acusado de estuprar a lógica ogica e Adendo: Já que na 6 a resposta (p. ser idiota, decidi transcrever aqui o trecho do meu livro ([4]) no qual consta a defini¸c˜ cao aõ (8. (8.11) para que todos possam tirar suas próprias oprias conclusões; oes; então, ao, o referido contexto reza (eu falando):

−

Ocorre Ocorreu-m u-mee mai maiss um argume argument ntoo contra contra a “ig “igual ualdade dade mesmo! mesmo!”” entre entre representa¸c˜ coes o˜es e n´ umeros umeros reais. Pergunt Pergunto: o: como definir igualdade igualdade entre entre representa¸ representa¸ c˜ coes? o˜es? a0 , a1 a2

· · · a · · · =? b , b b · · · b · · · 0

n

1 2

n

Para Para definir definir esta esta iguald igualdade ade vou vou me inspira inspirarr (copia (copiar) r) a defini¸ defini¸c˜ cao a˜ o de igualdade iguald ade entre sequências encias a bem da verdade uma representa¸c˜ cao aõ é uma um a sequência, enci a, qual qua l seja s eja::

−

a1 a2

· · · a · · · = b b · · · b ··· ⇐⇒ 1 2

n

n

ai = bi ,

∀i ∈ N

De igual modo, entre duas representa¸c˜ coes ões definimos: a0 , a1 a2

· · · a · · · = b , b b · · · b ··· ⇐⇒ n

0

1 2

n

ai = bi ,

∀ i ∈ N ∪ { 0 }

(8. (8.11)

Acho esta defini¸c˜ cao ão bastante razo´ avel e, se algum matemático avel atico se opõe oe a` mesma, gostaria que me argumentasse suas razões. oes. 55

Pois bem, vamos considerar as duas representa¸c˜ coes o˜es seguintes: 1, 0 0 0

··· 0, 9 9 9 · · · Podemos escrever: 1, 0 0 0

· · · = 1 + 100 + 1002 + 1003 + · · · = 1

(8)

· · · = 109 + 1092 + 1093 + · · · = 1

(9)

Tamb Tamb´ém, 0, 9 9 9 Ora, se, 1, 0 0 0

··· = 1

(mesmo!)

(10)

0, 9 9 9

··· = 1

(mesmo!)

(11)

e,

e, usando o axioma de que duas quantidades iguais a uma terceira são iguais entre entre si, obtemos, obtemos, 1, 0 0 0

· · · = 0, 9 9 9 · · · (mesmo!)

Tendo em conta nossa defini¸c˜ cao aõ em (8. (8.11) concluimos que, 1 = 0 e 0 = 9 (mesmo!) Conclus˜ ao: ao: Os matemáticos aticos diriam que fui insensato em estabelecer a defini¸c˜ cao aõ (8. (8.11). Da minha minha perspect perspectiv iva; a; digo digo,, para para ten tentar tar me livr livrar ar da pecha pecha de ininsensat sensato, o, vejo vejo as coisas coisas da seguin seguinte te forma: forma: primeir primeiro, o, manten mantenho ho a defini¸ defini¸c˜ cãaoo (8. (8.11), n˜ ao ao vejo nenhuma estult´ estult´ıcie na mesma. Depois interpreto as (segundas) igualdades em (8) e (9) como a convergˆ convergˆ encia encia de duas s´ eries eries para um mesmo limite. Do exposto não ao posso concluir (como o fazem os matemáticos) aticos) que as igualdades (10) e (11) são ao absoluta absolutas! s! digo, digo, que 0, 0 , 9 9 9 e 1 represent representam am o mesmo n´ umero! umero! N˜ ao, ao, n˜ ao trata-se disto senhores matemáticos, ao aticos, por favor parem um pouco prá raciocinar! cao aõ (8. (8.11), entre representa¸c˜ coes, o˜es, sem Reitero: podemos adotar a defini¸c˜ nenhum nenhum sentimen sentimento to de culpa, da´ da´ı que 0, 9 9 9 e 1, 0 0 0 s˜ ao a o duas representa¸c˜ coes o˜es distintas, bem como as respectiv resp ectivas as séries eries em (8) e (9); agora agor a o que estas séries eries têm em em comum é o mesmo limite: 1.

···

···

∗

∗ 56

∗

···

Vamos as a`s respostas ao email do Francinaldo: 1 a ) Bom, de fato considero que a defini¸c˜ cao ão dele está errada. At´ Até porque por conta disso se chega num absurdo (0=1). Para mim, na defini¸c˜ cao aõ tem uma implica¸c˜ cao aõ que qu e é válida alida e uma que não. ao. Porém, em, concordo concor do com ele na observa¸c˜ cão ao final que faz sobre as matemáticas aticas e os matemáticos. aticos. Na area a´rea de teoria de conjuntos, conjuntos, faz quase 100 anos, houve uma época epoca em que até os mesmos matemáticos aticos duvidaram das matem´ aticas, aticas, por conta de paradoxos inevitáveis aveis que aparecem relacionadas aos n´ umeros umeros inteiros. Mas, não ao se preocupe, preocup e, naquela época epoca eles encontrara formas para contornar esses problemas. 2 a ) Boa tarde Francin Francinaldo. aldo. O texto sobre represent representa¸ a¸c˜ cão ao decimal não ao está errado. Tirando algum algum sensacionalism sensacionalismoo que confunde o leitor, leitor, n˜ ao ao vi erro no texto, nas partes que li. O autor não ao é um u m idiota id iota ou um charlat˜ char latão, ao, como há tantos tantos por a´ı, tipo uns Malba alguma coisa. O texto texto é fluido, embora vê-se e-se que o auto a utorr não ao tem uma visão ao adiante. adiante. Assim, enaltece enaltece muito muito tópicos opicos que, na matem´ atica, atica, n˜ ao ao tem muita importância, ancia, para quem sabe um pouco mais. Por exemplo, embora seja uma questão ao de gosto, a constru¸c˜ cao aõ dos reais via sequˆ encias encias de Cauchy Cauchy tem muito mais aplica¸c˜ coes o˜es que a por corte de Dedekind que o autor escolheu. As modelagens computacionais do livro sãaoo muito interessantes.

− E´ poss poss´ ´ıvel sim que eu n˜ ao tenha uma “vis˜ ao adiante adiante”, ”, mas n˜ ao pelo mo-

tivo alegad alegado. o. Se ele tive tivesse sse olhado olhado o pr pref´ ef´ acio do meu livro com um pouco mais de aten¸c˜ cao, ˜ teria constatado que de fato fa¸co co a constru¸c˜ cao ˜ dos reais pelos dois métodos etodos que ele cita .

3 a ) Oi Francinaldo, O livro em questão ao parece bastante delicado, para nãaoo dizer perigoso. p erigoso. Claro que toda to da leitura é válida alida quando se tem t em senso se nso cr´ cr´ıtico, mas nesse caso o senso cr´ cr´ıtico deve estar bem agu¸cado. cado. O autor autor j´ a come¸ca ca misturando Matem´ atica e misticismo, que me parece uma escolha perigosa. atica Passei uma vista rápida apida e vi várias arias constru¸ constru¸c˜ coes o˜es bem feitas, incluindo os racionais como classes de equivalˆ equivalência. encia. Outras, p elo menos engra¸cadas cadas como os n´ umeros umeros colorido coloridos. s. Por Por outro outro lado, lado, em 8.1 8.111 ele tenta tenta “rein “reinve vent ntar ar uma roda” bastan bastante te bem estabelec estabelecida ida.. Se aceitamo aceitamoss a matem´ matem´ atica atica dos ultimos u ´ltimos 3 século ecu los, s, ent˜ ent ão ao 8.11 est´ a errada. Se realmente acreditamos que dever´ dever´ıamos modificar a representa¸c˜ cao aõ decimal, essa escolha não ao poderia ser unilateral, feita por uma unica u ´ nica pessoa, sem uma ampla discussão ao da comunidade matem´ atica. atica. A matem´ matem´ atica atica se constrói oi como uma parede, tijolo por tijolo e não ao derrubando conceitos bem estabelecidos e substituindo por outros de relevˆ ancia duvidosa. Espero ter ajudado. ancia

57

− Primeiro, o que ele consider considera a misticismo, eu considero considero filosofia. Discor Discordo do

quando ele afirma que uma mudan¸ca ca na matem´ atica n˜ ao possa ser unilateral. Com efeito, estamos estamos falando de matem´ atica e n˜ ao de religi˜ ao. Se alg algo o é e provado, ent˜ ao n˜ ao se deve pedir permiss˜ ao de ninguém, em, a matem´ atica n˜ ao possui um “p “pap apa”, a”, digo, uma sumida sumidade de infal infal´ ´ıvel, a exemp exemplo lo das religi˜ oes. “Relevˆ ancia duvidosa”: é uma pena o doutor n˜ ao conseguir enxergar que a elimina¸c˜ c˜ ao das ambiguidades s´ o po pode de trazer benef benef´ ´ıcios a` matem´ atica! Todo Todo conhecimento é polˆ emico. emico. Antes de constituir-se, constituir -se, deve des´ este truir as constru¸c˜ coes ˜ passadas e abrir lugar a novas constru¸c˜ coes. ˜ E movimento dialético etico que constitui constitui a tarefa da nova epistemologia. (Gaston Bachelard)

4 a ) Sim, Francina Francinaldo. ldo. A defini¸c˜ cao aõ é sobre uma Representa¸ Represe nta¸c˜ cão ao n˜ ao ao sobre um n´ umero umero em si. 5 a ) O problema são ao as contradi¸c˜ coes. o˜es. Talvez alvez seja necessario necessario introduzir introduzir classes de equivalência encia nessa igualdade. iguald ade. Talvez o professor Samuel de lógica ogica consiga explicar melhor. 6 a ) Prezado Francinaldo, me limitei a ler a página agina indicada e devo dizer que, infelizmente, o autor - literalmente - estupra a lógica ogica de uma maneira escandalosa, misturando igualdade igualdade de representa representa¸c˜ ções oes definida por ele com igualdade entre números, umeros, enfim chegando a um absurdo usando uma argumenta¸c˜ cao ão simplesmente idiota. Se você é aluno alu no de Matem´ Mat emática, atica, sugiro procurar livros que falem de Matem´ atica atica e não ao de bobagens. Abra¸co. co. 7 a ) Veja .. . A defin definii¸c˜ cão ao está ok. Ele, Ele, ou qualquer qualquer um, pode definir definir o que quiser quiser . . . O problema problema é o de consistˆ consistência. encia. Ele cria um falso problema. problema. Isto é, e, um problema criado p or ele mesmo. mesmo. Veja, a rural tem excelente excelentess professores. fessores. Muito bons mesmo. mesmo. Adriano R´ egis, egis, Rodrigo Gondim, Tiago Dk, Mait´ Maité, e, Barbara . . . Seria mais fácil acil vc conve conversar rsar com um deles deles . . . Abcs 8 a ) Obrigado Francinaldo, mas aparentemente o autor fala de muitas coisas ao mesmo tempo, das quais ele não ao entende muito bem e atrav´ através es argumentos em geral baseados em falsas premissas e de muita verbosidade criticar teorias e conceitos já a tempos bem aceitos no mundo cient´ cient´ıfico. Eu gostaria de encerrar aqui a discussão, ao, por p or achar que é perda de temp o. 9 a ) Segundo a minha opinião, ao, n˜ ao! ao! Somente uma das implica¸c˜ coes o˜e s é válida, alida, mas não ao vou entrar a discutir quest˜ oes oes talvez filosóficas! oficas! 10 a ) Veja: eja: um mesmo mesmo objeto objeto matem´ matem´ atico pode ser representado de duas atico formas formas diferen diferentes tes . . . 58

Por exemplo um vetor em dois sistemas de coordenadas diferentes possui duas diferentes representa¸c˜ co˜es . . . ness nessee text textoo temtem-se se de ser cuid cuidado adoso so . . . Veja eja que que 0 .999 . . . representa uma s´ erie erie infinita . . . Qdo escrevemos 0. 0.999 . . . (infinitos noves representados aqui pelas pela s reticˆ r eticências) encias) na verdade está se representando o limite dessa s´ erie erie (nãaoo podemos escrever um número umero com infinito infinitoss algaris algarismos mos . . . ).

− E´ exatamente isto que estou defendendo, estamos de pleno acordo! . 11 a ) Francinaldo.

Partindo de uma premissa errada podemos provar qualquer afirma¸c˜ cao. aõ. Talvez você conhe con he¸¸ca ca o que vou vou escrev escrever er em seguida: seguida: Se 2=1 ent˜ então ao sou Napole˜ ao Bonaparte (ou qualquer outra pessoa ou entidade) ao Demonstra¸c˜ cao: aõ: Considere os conjuntos A=Brito e B=Napoleão ao e considere a união ao desses dois conjuntos C=A união ao com B. (I) Se A e B não ao s˜ ao ao disjuntos então ao A=B e portanto Brito=Napole˜ ao. ao. (ii) Se A e B são ao disjuntos, o n´ umero de elementos da união umero ao é 1 + 1 = 2 = 1, logo a união ao tem apenas um elemento e portanto Brito=Napoleão. ao. N˜ a o se pode partir do pressuposto que cada n´ ao umero u mero real tem uma unica u ´ nica representa¸c˜ cao aõ decima decimal, l, com comoo claram claramen ente te 1, 000 . . . e 0, 9999 . . . são ao representa¸c˜ cões oes diferentes do mesmo número umero 1. Todo n´ umero que possui uma representa¸c˜ umero cao aõ decimal terminando em uma infinidade infinid ade de zeros, admite também em uma um a representa¸ rep resenta¸c˜ cao aõ terminando em uma infinidade de noves, por exemplo, 2, 2 , 3400000 . . . = 2, 339999 . . . Os n´ umeros umeros que possuem representa¸ representa¸c˜ cão ao decimal unica u ´ nica são a o os n´ umeros umeros reais que não ao admitem representa¸c˜ cao aõ decimal terminando em um infinidade de zeros ou uma infinidade de noves. Desculpe eu não ao lhe dar uma resposta mais elaborada, mas este assunto nãaoo é muito uito do me meu u inte intere ress sse. e. Boaa sort Bo sorte. e.

− Meu coment´ ario:

(p. 3) que mesmo doutores trope¸cam cam Quando Quando afirmei afirmei (p. maiss uma prov prova. Ele afirma afirma que nesta “matem´ atica elementar” , aqui está mai “claramente 1, 1, 000 . . . e 0, 9999 . . . são ao representa¸c˜ coes o˜es diferentes do mesmo número umero 1.” Isto Isto não ao é verda ver dade, de, o certo cer to é: e: ou 1, 000 . . . é repr re prese esenta nta¸¸c˜ cão ao decimal de 1 ou 0, 9999 . . . é repr re prese esenta nta¸¸c˜ cao aõ decimal de 1, este ou é exclusivo. Pelo ao menos é isto o que acontece para o Prof. Djairo e é isto o que acontece para o outro autor, Aragona, como já salientamos. Nota: me ocorreu o seguinte: segu inte: é poss p oss´´ıvel que o professor pr ofessor esteja utilizando utiliza ndo a defini¸ de fini¸c˜ cao ão que consta no adendo da página agina 65, mas isto não ao o exime de culpa, haja vista que se deu conta de que a referida defini¸c˜ cão ao é inconsistente, incons istente, esp´ esp uria. u ´ ria. Umaa outr Um outraa obje¸ objec˜ çao a˜ o que fa¸co co é contra contra a iguald igualdade ade:: 2, 3400000 . . . = 2, 339999 . . . , como sendo entre representa¸c˜ cões, oes, como afirma este professor. Ora segundo o Prof. Djairo:

59

“De modo mo do mais rigoroso, po demos proceder assim. Uma decimal decimal é uma fun¸c˜ caao õ f : : N 0, 1, 2, 3, 4, 4 , 5, 5 , 6, 6 , 7, 7 , 8, 8 , 9 ”

→{

}

segundo segund o o Prof. Djairo, Djair o, de modo mo do mais rigoroso rig oroso uma u ma decimal decima l é uma sequência; encia; logo, de modo mais rigoroso, por defini¸c˜ cao aõ de igualda i gualdade de entre sequências encias concluo de 2, 2, 3400000 . . . = 2, 2 , 339999 . . . que 4 = 3 e 0 = 9, e agora doutor? Reiteramos: Não ao apenas ap enas segundo o Prof. Djairo como tamb´ também em segundo Aragona, uma decimal é uma sequˆ encia. encia. E mais: considerando a representa¸c˜ cãaoo decimal unica u ´ nica como enuncia explicitamente Aragona conseguimos eliminar estas contradi¸c˜ cões. oes. coes o˜es que mostro na págin a gina a 56 (1 = 0 e 0 = 9) 9) decor decorre rem m Nota: As contradi¸c˜ da minha defini¸c˜ cão ao de igualdade entre representa¸c˜ coes o˜es decimais (defini¸c˜ cãaoo (8.1 (8.11) 1),, p. 55), 55), o que que os matem´ matem´ aticos aticos não ao entendera entenderam m é que a minha defini¸c˜ cão a o n˜ ao ao está errada, já que de fato uma representa¸c˜ cao aõ decimal é uma sequência, encia, de acordo aco rdo com as defini¸ defi ni¸c˜ coes o˜es do:

−

−

• Prof. Elon, p. 10 • Prof. Djairo, p. 17 • Prof. Aragona, p. 21. 21. Acho que até uma crian¸ca ca do ensino ensino fundamenta fundamentall conseguiria conseguiria entender entender isto! Por isso, penso que fui chamado de idiota sem merecer, gratuitamente. (p. 58 58)) lemos: lemos: “Talv “Talvez ez o professor professor Samuel de Adendo: Na 5 a resposta (p. l´ ogica ogica consiga explicar explicar melhor.”. melhor.”. Adonai Sant’Anna (UFPR) Por acaso encontrei na internet um lógico ogico Adonai (UFPR) que se posiciona contra contra meus argumentos argumentos.. Um internauta internauta perguntou ao Prof. Prof. Adonai Adonai:: “Apro “Aprove veita itando ndo que o sr. faz uma cr´ cr´ıtica ıtica ao livro do Elon Elon para professores de matem´ atica, gostaria de perguntar se concorda com a atica, ideia de Gentil Gentil Lopes Silva Silva (UFRR) (UFRR) de que a d´ızima 0, 0 , 999 . . . não ao é um n´ umero umero real.” (Este ponto é s´ erio, erio, pois se Gentil estiver certo ent˜ ao ao todos est˜ ao errados). Dentre outras coisas, o Prof. Adonai responde: ao a grave gravemen mente te err errado ado.. Dizer Dizer que n´ umeros n˜ ao s˜ ao elementos de “Gentil est´ conjuntos, mas de estruturas estrut uras alg´ a lgébricas, ebricas, é um disparate que beira a loucura. loucu ra. O conceito usual de estrutura estru tura algébrica ebrica é um conjunto! Além em disso, desconhe¸co co o conceito de n´ umero. [. . . ] Eu Eu ja´ conhecia esse trabalho de Gentil, o qual comete in´ umeras impropriedades matem´ aticas, escreve muito mal e usa tom messiˆ anic anico o em seus seus texto textos. s. Mas Mas n˜ ao achei que a influência encia dele persistiria.” E o Pr Prof. of. Adonai conclui: conclui: Resumo: Lima tem raz˜ 0 , 999 . . . é apenas outra ao. ao . A d´ızim ız ima a 0, out ra forma f orma para representar o n´ umero real 1. Bem,, eu pens Bem ensei ei que uma est estrutu ruturra alg alg´ ébric ebrica a . . . fos fosse se uma est estrut rutur ura!. a!. Deixo Dei xo aqu aquii o des desafio afio para para o Pr Prof. of. Adon donai ai pr prova ovarr que 0, 999 . . . = 1 como n´ umeros, umer os, ver “tabuleiro “tabuleiro dos reais” reais” . Adonai contr contradiz Courant, Courant, p. 28 .

−

−

60

Reiteramos: Reiteramos: Prof. Adonai para o senhor prov provar que “Lima tem raz˜ ao” ao” é muito mui to simples: simples : prove que qu e 0, 0 , 999 . . . pode ser alocado neste tabuleiro: A1 ) (a + b + b)) + c + c = = a a + + (b (b + c + c)) A2 )

∃ 0 ∈ R : a + 0 = 0 + a + a = = a a

A3 ) a + b + b = = b b + + a a

?

A4 )

0, 999 . . . = 1

M 1 M 1 ) M 2 M 2 ) M 3 M 3 ) M 4 M 4 ) D)

R

∀ a ∈ R, ∃ − a ∈ R : a + (−a) = 0 (a · b) · c = a = a · (b · c) ∃ 1 ∈ R : a · 1 = 1 · a = a = a a · b = b = b · a ∀ a ∈ R∗, ∃ a−1 ∈ R : a · a−1 = 1 a · (b + c + c)) = a = a · b + a + a · c

• Ordenado • Completo

Prove que 0, 0, 999 . . . se encaixa encaixa (“redondinho”, (“redondinho”, n˜ ao ao “quadradinho”) “quadradinho”) neste tabuleiro, tabulei ro, isto é, e, defina adi¸c˜ cao ão e multiplica¸c˜ cão ao entre entre decimais e depois prove prove que todas as propriedades listadas neste tabuleiro são verificadas por sua defini¸c˜ cao; aõ ; é simpl sim ples es,, é só isto! Foi assim que Dedekind fez para os seus s´ımbolos; foi assim que Cantor fez para os seus s´ımbolos; por que para os “s´ “s´ımbolos de Lima” teria que ser diferente?. Observe: se

−

0, 999 . . . = 1 não ao h´ a porque não ao ser

(12)

√

2 = 1, 41421356237 . . .

e a´ı lembramos lembramo s Cifuentes, p. 41; René Guénon, enon, p. 26; lembramos lembramo s Gauss: “Eu contesto o uso de um objeto infinito como um todo completo; em matem´ atica, essa opera¸c˜ atica, cao a õ ´ e pro proibi ibida; da; o infi infinit nito o´ e s´ o um modo de dizer”. Seguido de uma paráfrase afrase da afirma¸c˜ cao aõ de Richard Courant:

se u s´ımbolo ımbolo incomplet incomp leto o ‘ . . .’ é meram m erament ente e “Assim, a igualdade (12) (12) com seu uma estenografia matem´ atica ... ” Ademais, lembramos o senhor próprio oprio Prof. Adonai: “Ora, isso n˜ ao faz sentido ...N˜ ao se estabelece um conceito a partir de uma nota¸c˜ cao ˜ ”. Prof. Adonai Sant’Anna Sant’Anna (UFPR)

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

Se me permite, gostaria apenas de acrescentar: “e nem por autoridade”. p endenga: a: Tempos depois encontrei encontrei por Nota: Para encerrar de vez esta pendeng acas acasoo na inte interne rnett um cole colega ga de traba trabalh lhoo do pr´ oprio Adonai (da mesma oprio Universidade-UFPR) que dá raz˜ ao ao a mim, e não ao a ele, Adonai. Ver Nota 2 na página agina 65 deste pdf. 61

11

Conc Conclu lus˜ s˜ ao ao

Do ponto de vista cognitivo, a evolu¸c˜ cao ˜ tamb´ tamb ém em avan¸ ava n¸ca ca no chamamento ou na cria¸c˜ cao ˜ de “senti “sentido” do”,, de signifi significca¸ c˜ cao, ˜ ou, em outr outras palavr alavras, as, de novos conceitos conceitos e novas formas de inteligibilidade. inteligibilidade. Criar, portanto, portanto, n˜ ao é apenas produzir produzir novas formas, mas sobretudo criar compreens˜ compreens˜ ao e entendiment entendimento. o. Novas figuras figuras mentais, conceituais conceituais;; novas formas e maneiras de existir, de expressar-se, de perceber e perceber-se, de sentir e de sentir-se. (Marcelo Malheiros/A Potência encia do Nada, p. 178) cão ao come¸cou cou a voltar-se para Adendo: Na verdade o foco da minha aten¸c˜ as “represent “representa¸ a¸c˜ coes o˜es decima decimais” is” h´ a muitos anos atrás a s quando fui estudar a constru¸c˜ cão ao da Curva de Peano no livro de Espa¸cos cos Métricos etricos do Prof. P rof. Elon, na época epoca cheguei a trocar tro car alguns email´s com um colega dele do IMPA. IMPA.

Subject: Curva de Peano < [email protected]> > From: Gentil Lopes da Silva
Subject: Re: Curva de Peano < [email protected]> > From: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira
Subject: Curva de Peano < [email protected]> > From: Gentil Lopes da Silva > To: Carlos Gustavo Caro Gugu, inicialmen inicialmente te obrigado obrigado pela aten¸ c˜ cao. aõ. Eu gostaria de confirmar dois pontos: 1) Se minha refuta¸c˜ cao ão da constru¸c˜ cao aõ constante do livro do Elon procede; 2) Se é verdade que outras demonstra¸c˜ cões oes matemáticas aticas que invocam as supostas ambiguidades terão ao que ser revistas. N˜ ao ao se preocupe. preocup e. Aguardarei até que lhe sobre um tempinho. um abra¸co, Gentil.

Subject: Re: Curva de Peano < [email protected]> > From: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira
{

63

}

que, se y=1/3 não ao faria sentido dizer que phi−1 (y) é a seq¨ seq uˆ u ¨ênci en ciaa (an ) com an em 0,2 para todo n tal que 0, 0 , a1 a2 a3 ... ´ ... é a repres rep resenta¸ enta¸c˜ cao aõ em base 3 de 1/3, pois a unica u ńica representa¸c˜ cão ao em base 3 de 1/3 seria 0,1. Tudo bem. Mas − isso não ao quer dizer que phi 1 não ao exista, só quer dizer que a descri¸c˜ cao aõ de 1 − phi em termos da representa¸c˜ cao aõ em base 3 não ao faria sentido nesse caso. Se vocˆ vo cê insiste ins iste nesse nes se ponto po nto de d e vista, vi sta, é s´ s ó mudar a descri¸c˜ cao aõ da fun¸c˜ cao aõ phi−1 : podemos definir, para y em K, phi −1 (y ) como a unica u ´ nica seq¨ uˆ uênci en ciaa (an ) com n an em 0,2 para todo n todo n tal tal que soma(a soma(an /3 )=y. Tal fun¸c˜ cao aõ est´ a bem definida 1 − (pois (po is phi é uma bije¸c˜ cao aõ sobre K), e temos phi (1/ (1/3) = (02222... (02222...)). Espero ter ajudado a esclarecer a questão. ao. Abra¸cos, cos, Gugu. P.S.: Gostei da sua fórmula ormula da ultima u ´ ltima página, agina, mas acho que qu e é preciso uma pequena corre¸c˜ cao: aõ: no seu exemplo exemplo,, pela p ela sua fórmula, ormula, o resultado parece ser 2(n, 2(n, 3) + 2(n, 2(n, 2) + n + n,, que não ao é o resultado result ado correto corre to n(n + 1)(2n 1)(2n + 1)/ 1) /6. Eu acho que sei provar uma fórmula ormula parecida usando a f´ ormula ormula para o n´ umero umero de fun¸c˜ coes o˜es sobrejetivas de um conjunto em outro. Depois falamos mais sobre isso... cão” a o” n˜ ao ao foi precis preciso, o, o Gugu Gugu se equivoc equivocou. ou. AdeAdeNota: A “pequena corre¸c˜ mais, a “fórmula ormula parecida parecida”” era a minha minha pr´ opria, opria, ele não ao lembrava mais de que já a tinha provado h´ a tempos atrás as quando elaborei um desafio que chegou nas mãos aos dele Na época epoca eu me encontrava encontrava na UFSC fazendo Mestrado. Ademais, a respeito da “opera¸c˜ cao” a˜ o” 0, 0, 5 0, 4999 . . . ver Gauss, p. 31; ´ ver Ren´ Ren é Guénon en on,, p. 26 26.. E neste sentido que afirmei que (quase) todos os matem´ aticos aticos n˜ ao ao entenderam a equa¸c˜ cão ao 0, 999 . . . = 1. Tratam sequências encias (representa¸c˜ coes o˜es decimais) como se fossem números umeros reais. Ver Desafio, p. 37.

−

−

Uma f´ ormul or mula a in´ in´ edit ed ita a Gostei ei da sua sua f´ ormula ormula” “Gost Carlos Carlos Gustav Gustavo o T. de A. Moreir Moreira a (Gugu/ (Gugu/IMP IMPA) A)

Durante muitos anos possi po ssivelment velmentee séculos ecul os os matemáticos aticos estiestiveram a` procura de uma fórmula ormula para a soma de potˆ encias encias dos n´ umeros umeros naturais, natur ais, ningu´ n inguém em teve t eve êxito, exito, coube coub e a mim materia m aterializar lizar esta aspira¸ aspir a¸c˜ cao. aõ.

−

−

umero natural arbitrariamente umero Teorema 2 (Gentil/1997). Sendo m um n´ (Ver (Ver [6]) fixad fix ado, o, é válida alida a seguinte identidade: m

m

1

m

m

+2

+3

Onde:

+

· · · + n

m

  = j = 0

n j + j + 1



j

a(m

−j )

 j   = (−1) (1 − k + j + j)) k

m

k

k=0

64

a(m

−j )

Refe Re ferˆ rˆ enci en cias as [1] Figueiredo, Figueiredo, Djairo Guedes de, An´ Janeiro: LTC alise I . 2a ed. Rio de Janeiro: Livros Livr os Técnicos ecni cos e Cient´ıficos, ıfic os, 199 1996. 6.

“Salto Ar Arquim quimeediano” diano”:: Um Pro Processo esso de Ruptur Ruptura a [2] Cifuent Cifuentes, es, J. C. O “Salto Epistemol´ ogica no Pensamento Matem´ atico. Scientiae Studia – Revista Latino-Americana de Filosofia e História oria da Ciência, encia, São ao Paulo, vol. 9, no. 3, 2011. [3] Silv Silva, Gentil Gentil Lopes. Lopes. An´ alise Real Real (Com espa¸ cos co s métri et ricos) cos) . 2017. Publica¸c˜ cão ao Eletrˆ onica. onica. [4] Silva, Gentil Lopes. Fundamentos dos N´ umeros ume ros (Tudo o que qu e você gosta go staria ria de saber sobre os n´ umeros mas n˜ ao tinha a quem perguntar). Publica¸c˜ cãaoo eletrˆ onica, onica, 2016.

N umeros ´ N˜ ao Euclidianos (Vers˜ ao [5] Silva, Silva, Gentil Gentil Lopes. N´ Eletrˆ onia, onia, 2018.

3D ).

Publica¸c˜ cãaoo

Nov as Sequˆ Sequ ênci en cias as Aritm´ Ari tméticas et icas e Geométri et ricas cas (Com (Co m [6] Silva, Silva, Gentil Gentil Lopes. Novas a c˜ cao, ão, 2016. Publica¸c˜ cao aõ Eletrˆ onica. onica. programa¸c˜ c˜ ao na HP Prim Prime e ). 2 Edi¸ livros acima, acima, ([3], ([3], . . . , [6]), podem ser baixado baixadoss no Nota 1: Todos os meus livros endere¸co: co: www.goo.gl/DVWQxz

Nota 2: No artigo [2] o autor chega a afirmar explicitamente: “Também, em, a iguald igu aldade ade 0, 999 . . . = 1 . . . essa é uma falsa igual que o método etodo de exaust˜ exaustao ˜ for¸ca ca a ser uma identidade. (Grifo nosso) dade que dade cao aõ∗ : Adendo: Encontrei na literatura a seguinte defini¸c˜ “Dizemos que uma sequência encia infinita infinit a de d´ıgitos d1 , d2 , . . . é uma ex−k for converpans˜ ao decimal do do n´ umero umero x [ 0, 1 [ se a s´ erie erie ∞ k = 1 dk 10 gente e tiver soma igual a x. x . Nesse caso, escrevemos



∈

x = 0, d1 d2 . . . =

d1 d + 22 + 10 10

· · · .”

Por Por essa essa defini¸ defini¸c˜ cão, ao, temos temos 52 = 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . .. Duas oob bserva¸c˜ coes. o˜es. Primeira: Essa defini¸c˜ cao aõ é incom in compa patt´ıvel com a defi d efini ni¸¸c˜ cão ao de igualdade de sequˆ sequências. encias. Segunda: Segunda: Mesmo Mesmo que se adote esta defini¸c˜ cão ao esp´ uria, uria, meus argumentos contra a resposta do Prof. Elon (a Sun Sun Hsien Hsien Ming Ming) continuam integralmente válidos, alidos, posto que a defini¸c˜ cao aõ dele (Elon) é outra é a mesma do Prof. Djairo e, como tal, deveria ter feito a escolha mencionada. mencionada.

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/Fernanda Martinez Menezes/PROFMA Menezes/PROFMAT. T. Propriedades da expans˜ ao ao decimal/Fernanda

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Gentil Lopes - Artigo Dois Erros Graves Cometidos Pelos Matemáticos

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