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El diseño de las bandas transportadoras de una planta embotelladora requiere el conocimiento de las fuerzas que actúan en ellas y la capacidad de predecir el movimiento de las botellas que transportan.
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La cinética es una rama de la Dinámica que se ocupa de la relación entre el cambio de movimiento de un cuerpo y las fuerzas que lo provocan. La base de la cinética es la segunda ley de Newton la que establece: QUE CUANDO UNA FUERZA DESBALANCEADA ACTÚA EN UNA PARTÍCULA, ÉSTA SE ACELERARÁ EN LA DIRECCIÓN DE LA FUERZA CON UNA MAGNITUD QUE ES PROPORCIONAL A ÉSTA.
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Al permanecer constante durante cualquier aceleración, m mide cuantitativamente la resistencia de la partícula a cualquier cambio de su velocidad, es decir de su INERCIA Si la masa de la partícula es m, la segunda ley del movimiento de Newton se escribe.
=
Esta fórmula, conocida como la ecuación de movimiento, es una de las fórmulas más importante de la mecánica . Su validez se basa sólo experimental. En 1905 sin embargo Albert Einstein desarrolló la teoría de la relatividad e impuso limitaciones en el uso de esta ley de Newton para describir el movimiento general de una partícula
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Mediante experimentos se comprobó que el tiempo no es una cantidad absoluta como lo supuso Newton, y por consiguiente, La ecuación de movimiento no predice el comportamiento exacto de una partícula. Sobre todo cuando su velocidad se aproxima a la velocidad de la luz (0.3 Gm/s). Los desarrollos de la Teoría de la mecánica cuántica por parte de Erwin Schrödinger y otros indican además que las conclusiones derivadas del uso de esta ecuación carecen de validez cuando las partículas son del tamaño de un átomo y se mueven muy cerca entre sí. Sin embargo, estos requerimientos en relación con la velocidad y el tamaño de una partícula no se presentan en problemas de la ingeniería.
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Poco tiempo después de formular sus tres leyes del movimiento, Newton postuló una ley que rige la atracción mutua entre dos partículas.
= Donde
= fuerza de atracción entre dos partículas ) = constante de gravitación universal (66.73x10− . m1, m2 = masa de cada una de las partículas r = distancia entre los centros de las dos partículas. En el caso de una partícula localizada en o cerca de la superficie terrestre, la única fuerza gravitatoria es la que existe entre la Tierra y la partícula. Esta fuerza se denomina «peso»
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En el sistema SI la masa de un cuerpo se especifica en kilogramos y el peso se calcula con la ecuación anterior por tanto.
= ( = 9.81 /)
Por consiguiente un cuerpo de 1 kg de masa pesa 9.81 m/s 2
En el sistema FPS (pies-libras-segundo) el peso de un cuerpo se especifica en libras. La masa en slugs término derivado «sluggish» (tardo, perezoso) el cual refiere la inercia de un cuerpo. Se calcula
= ( = 32.2 pies/s2)
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Cuando más de una fuerza actúa en una partícula, la fuerza resultante se determina por medio de una suma vectorial. Es decir,
= , en este caso la ecuación de movimiento se escribe.
Fig. (a)
=
Para ilustrar la aplicación de esta ecuación considere la figura (b) Fig. (b)
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Todos estamos familiarizados con la rara sensación que experimentamos cuando nos sentamos en el automóvil sometido a la aceleración hacia adelante. Pensamos que aparece una fuerza que nos empuja hacia atrás en el asiento y esto no es así. Esta sensación ocurre debido a nuestra inercia o a la resistencia de nuestra masa al cambio de movimiento
Consideremos al pasajero sujeto al asiento de un trineo de cohete. Si el trineo está en reposo o con velocidad constante, no se ejerce ninguna fuerza sobre su espalda, como se nuestra el el DCL. Cuando el empuje del motor acelera, el asiento en el cual está sentado el pasajero ejerce una fuerza F sobre él y lo empuja hacia adelante junto con el trineo. Observe la fotografía, que la inercia de su cabeza resiste este cambio en el movimiento y por tanto ésta se mueve hacia atrás contra el asiento. Al desacelerarse la fuerza del cinturón del asiento F tiende a tirar de su cuerpo para detenerlo, pero su cabeza pierde el contacto con el respaldo del asiento. De muevo debido a la inercia o tendencia a continuar en movimiento hacia adelante. ′
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Cuando una partícula se mueve con respecto a un marco de referencia inercial x, y, z, las fuerzas que actúan en la partícula, lo mismo que su aceleración, pueden expresarse en función de sus componentes i, j ,k Al aplicar las ecuaciones del movimiento tenemos.
= + +=( + + ) Para que esta ecuación se satisfaga, los componentes i, j, k respectivos del lado izquierdo deben ser iguales a los componentes correspondientes del lado derecho es decir:
= = = Roberto Gil Aguilar
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El embalaje de 50 kg mostrado en la figura descansa sobre una superficie horizontal cuyo coeficiente de fricción cinética es . Si el embalaje se somete a una fuerza de tracción de 400 N como se muestra, determinar su velocidad en 3 s a partir del punto de reposo. Solución Relacionemos la aceleración del embalaje con la fuerza que ocasiona el movimiento. Diagrama de cuerpo libre. El peso del embalaje es W = mg = (50 kg)9.81 m/s2 = 490.5 N La magnitud de la fuerza de fricción es F = NC Ecuaciones del movimiento. Con los datos mostrados en el DCL. Se puede escribir la siguientes ecuaciones: ;
μ =0.3
μ
= = ;
40030 0.3 =50 490.5+40030 = 0 Resolviendo las ec. Se obtiene: =290.5
(1) 2
a = 5.185 m/s 2 Cinemática. Observe que la aceleración es constante ya que la fuerza P también lo es. Como la velocidad inicial es cero, la velocidad del embalaje en 3 s será:
= + = 0 + 5.185 3 = 15.6 /
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Se dispara verticalmente un proyectil de 10 kg desde el suelo, con una velocidad inicial de 50 m/s, figura (a). Determine la altura máxima a la que llegará si (a) se ignora la resistencia atmosférica y (b) la resistencia atmosférica se mide como donde v es la rapidez del proyectil en cualquier instante, medida en n/s.
=0.01 , Solución
a)
En ambos casos la fuerza que actúa en el proyectil puede relacionarse por medio de la ecuación del movimiento.
= ; 98.1 = 10 a
donde a = -9.81 m/s2
Cinemática
= ++2 0 = 50 + 2 9.81 ℎ ; h = 127 m =0.01 N tiende a retardar el movimiento hacia arriba. Ver figura c. a = 0.001 +9.81
b) Diagrama de cuerpo libre. Ahora fa fuerza es
= ; - 0.01 98.1 = 10a ;
Aquí la aceleración no es constante depende de la velocidad. Podemos relacionar «a» con la posición mediante
=; 0.0 01 + 9.81 =
Al separar variables:
h
0
dz
0
vdv
50 0.001v 2 9.81
500 ln(v 2 9810)
0
50m / s
h = 114 m
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El furgón de equipajes A que se muestra en la foto pesa 900 lb y remolca un carro B de 550 lb y un carro C de 325 lb. Durante un corto tiempo la fuerza de fricción desarrollada en las ruedas del furgón es donde t está en segundos. Si el furgón arranca del punto de reposo, determine su rapidez en 2 segundos. También, ¿Cuál es la fuerza horizontal que actúa en el acoplamiento entre el furgón y el carro B en este instante? Ignore el tamaño del furgón y de los carros.
=
40 ,
Solución Consideraremos la fuerza de fricción la que acelera tanto al furgón como a los carros. En este caso consideramos los tres vehículos como un solo sistema. Como la aceleración esta en función del tiempo se obtiene Con la condición inicial que v 0 = 0 en t = 0, tenemos:
En la figura (b) 900 550 325 a ; a 0.7256 t 32.2
Fx ma x
40t
a
dv adt; Integrando,
v
0
dv
dv
dt
2s
0
0.7256 dt ; v 0.3628 t 2
2s 0
1.45 pies/s
900
Fx ma x ; 40(2) - T 32.2 0.7256(2) T 39.4lb Roberto Gil Aguilar
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Un collar liso de 2 kg C, como se muestra en la figura, está conectado a un resorte que tiene una rigidez de k = 3 N/m y una longitud sin alargar de 0.75 m. Si el collar se suelta del reposo en A, determine su aceleración y la fuerza normal de la barra en él instante y = 1 m. Solución
Fx ma x ; Fy ma y ;
- N c Fs cos 0
(1)
19.62 - Fs sen 2a
(2)
La magnitud de la fuerza del resorte es una función del alargamiento s del resorte; es decir Fs ks s CB - AB ( y 2 0.75 2 0.75);
como k 3N/m
2 2 Luego : Fs ks 3( y 0.75 0.75) N
el ángulo se determina : tan
y 0.75
si y 1 ; 53.1o al sustituir estos resultados en las ecuaciones 1 y 2 : se obtiene : N c 0.900N a 9.21 m / s 2
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