FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Trigonometría Funciones trigonométricas

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época época de Babilonia Babilonia,, y gran parte parte de los fundament fundamentos os de trigonometría fueron trigonometría fueron desarrollados por los matemáticos de la Antigua Grecia, Grecia , de la India y estudiosos musulmanes. seno aparece en el Sulba Sutras El primer uso de la función seno aparece escrit escrito o en India India del siglo siglo III III al I a. !. "as funcio funciones nes trigonométricas trigonométricas fueron estudiadas estudiadas por #iparco de $icea %&'() &*+ a. !., Aryab-ata %/0)++(, ara-ami-ira, Bra-magupta, 1u-a 1u-amma mmad d ibn 1usa 1usa al)2al)2-3ar 3ari4m i4mi, i, Abu5l) Abu5l)6 6afa, afa, 7mar 7mar 2-ayy 2-ayyam, am, B-as8 B-as8ara ara II, $asir al)9i al)9in n :usi usi,, ;egiomontanus %&0, G-iyat- al)2as-i y al)2as-i y a 1ad-a>a %ca. %ca. &((, ;-eticus, y el alumno de éste, alentin 7t-o. "a obra de "eon-ar "eon-ard d Euler Euler Introductio Introductio in analysin in?nitorum %&/' fue la @ue estableció el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas trigonométricas en Europa, de?niéndolas de?niéndolas como series in?nitas presentadas en las llamadas órmulas de Euler. "a noción noción de @ue debería debería eCistir eCistir alguna alguna corresp corresponde ondencia ncia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo siguió a la idea de @ue triángulos triángulos similares similares mantienen mantienen la misma propor proporción ción entre sus lados. lados. Esto es, @ue para cual@uie cual@uierr triángulo semeDante, la relación entre la -ipotenusa y otro de sus lados es constante. Si la -ipotenusa es el doble de larga, así serán los catetos. ustamente estas proporciones son las @ue eCpresan las funciones trigonométricas. PITÁGORAS E SAMOS !"#$%a&C'()*%a&C+ ilósofo l ósofo gri griego ego nac nacido ido en Sam Samos os y muerto en 1etaponto. Es considerado como uno de los Siete Grandes sabios de Grecia y su >ida estu> estu>o o siempre en>uelta por la leyenda. Fitágoras >iaDó a Egip Fitágoras Egipto to y Babi Babilonia lonia,, donde dond e asimi asimiló ló conocimientos mientos tanto matemáticos matemá ticos como astro astronómic nómicos, os, así como un gran bagaDe religioso. undó en !rotona %al sur de Itali Italia a una secta caracteri4ada por el retiro, ascetismo y misticismo misti cismo.. En la Escu Escuela ela Fita Fitagóric górica a podía podí a ingr ingresar esar cual@uier cual@uier person persona, a, -as -asta ta muDer muDeresH. esH. En ese entonces, enton ces, y duran durante te muc-o tiempo y en muc-os pueblos, las muDeres muDer es no eran admitidas admitidas en la escue escuelas. las. El símbolo símbolo de la Escuela de Fitágoras, y por medio del cual se reconocían entre sí, era el pentág pentágono ono estrellado, estrellado, @ue ellos llama llamaban ban pentalfa fa %cinco alfas. A él se le at ribuye la in>ención de la palabra pala bra ?ló ?lósofo. sofo. El mayor éCito cientí?co atribuido a Fitágoras fue su estudio del sonido, descubriendo @ue las cuerd cuerdas as de instr instrumento umentoss musicales musi cales prod producían ucían soni sonidos dos de tonos más agudos cuando cuando se las acort ab aba. Gr ac acia s a sus obser>aciones, el estudio del sonido -a perma permanecid necido o inalterable terable -asta nuestros nues tros días. Fitá Fitágoras goras pensa pensaba ba @ue todo el uni>erso se apoyaba en

Co.egio Particu.ar 6San ,uís 5e G7n3aga8 Pro9& :i.mer E& ;i..ca Maron

los nmeros y sus relaciones, procediendo a re>estir a los nmeros de ciertas propiedades propiedades mágicas, mágicas, lo @ue lle>ó de una manera indirecta a la in>estigación sobre las propiedades matemáticas de a@uellos.

cotangentede R

cot R

TRIÁNGU,O RECTÁNGU,O

secantede R

secR

cosecantede R

b

En la ?guraN

) ) ) )

cscR

Fodemos de?nir las funciones trigonométricas de O αP del modo siguienteN

catetoopuesto ⇒ -ipotenusa

cosenode R

cosR

=

=

⇒

& =

cot R

=

catetoopuesto catetoadyacent

⇒ csc α⋅sin α L &

&

⇒ sec α⋅cos α L &

cosR

& =

⇒ cot α⋅tan α L &

tanR

RA1ONES TRIGONOMÉTRICAS E ÁNGU,OS COMP,EMENTARIOS

sinR

a =

⇒

c

a =

-

tangentede R

sinR

secR =

tanR

!A =

-ipotenusa ⇒ catetoopuesto

;ecordemos ;ecordemos @ue dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es un ángulo recto. En la ?gura α ∧ β son complementarios. complementarios. Escribiendo las ra4ones trigonométricas de α ∧ β tenemosN

!7 -

catetoadyacent -ipotenusa

=

!7

"a ra4ón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo rectángulo se de?ne como el cociente cociente @ue se obtiene obtiene al di>idir las medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto del ángulo agudo.

sinR

⇒

=

RA12N TRIGONOMÉTRICA

=

-ipotenusa catetoadyacent

A las funciones cotangente, secante y cosecante se les llama ra3ones trigonométricas recí0rocas , puesN

OcP es es la -ipot -ipotenus enusa. a. %- %- OaP cate cateto to opues opuesto to a O αP %!7 ObP cateto cateto adyace adyacente nte a O αP. %!A OαP ∧ OβP ángulos agudos. % α Q β L J(K

seno de R

=

!A

c

cscR

⇒

=

β

α

catetoadyacent catetoopuesto

!A !7

=

a

=

cscR =

c c a

cos S

∧

∧

∧

=

cot S sec S

a c a

=

c c

=

a

⇒ sin α L cos βf

⇒ tan α L cot βi

⇒ csc α L sec βi

Nota4 "as tres ltimas relacionas se cumplen si y sólo si α ∧ β son com0.ementarios. com0.ementarios.

tan R

=

!7 !A

E. teorema 5e Pit-goras El teorema de Fitágoras a?rma a?rma @ue si a ∧ b son los catetos de un triángulo triángulo rectángulo rectángulo y c es la -ipotenu -ipotenusa, sa, entonces entonces se cumple la relación &


a* Q b* L c*s El recíproco también es cierto, es decir, si se cumple esta relación en un triángulo, entonces el triángulo es rectángulo. El teorema de Fitágoras aparece como la Froposición / del primer "ibro de los Elementos de Euclides. El recíproco del teorema de Fitágoras es la Froposición ' y ltima de dic-o libro. 9e las demostraciones del teorema de Fitágoras basadas en la disección, consideraremos a@uí la basada en la siguiente ?guraN

Son a@uellos ángulos formados por la línea de mira %o >isual y la línea -ori4ontal @ue parten de la >ista del obser>ador. "os ángulos >erticales pueden serN Angu.o 5e e.e>aci7n&' Es el ángulo formado por la línea -ori4ontal y la línea de mira cuando el obDeto de encuentra por encima de la línea -ori4ontal.

+ ;esol>er el siguiente triángulo, sabiendo @ue W L U(V y c L *(.

Ángu.o 5e 5e0resi7n&' Es a@uel ángulo formado por la línea -ori4ontal y la línea de mira cuando el obDeto se encuentra por debaDo de la línea -ori4ontal.

c+
A@uí, si a y b son los catetos menor y mayor, respecti>amente, el cuadrado central mide a T b, y entonces, sumando áreas tenemosN *

c

ab

B! L  B! L &* B! L &+

En cada caso, use el teorema de Fitágoras para encontrar el tercer lado y luego encuentre los ángulos R y .

*

+ %b − a, * * c L *ab Q b * T *ab Q a * c* L a* Q b*

=

.⋅

%a A! L U %b A! L + %c A! L '

En el siguiente grá?coN

■

RESO,UCI2N E TRIÁNGU,OS RECTÁNGU,OS

$ótese @ueN

"as aplicaciones de la trigonometría en campos como topografía y na>egación re@uieren resol>er triángulos rectángulos. "a eCpresión Oresol>er un triánguloP signi?ca encontrar la longitud de cada lado y la medida de cada ángulo del triángulo.

-  L R

Fodemos resol>er un triángulo rectángulo si se nos daN

ÁNGU,OS =ORI1ONTA,ES

son iguales, es decir son congruentes por ser ángulos alternos internos entre paralelas.

-

y γ son complementarios por@ue sus medidas suman J(K.

las longitudes de dos lados. "a longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo. ,INEAS ;ERTICA,ES < =ORI1ONTA,ES

Son los contenidos en el plano -ori4ontal. Sir>en para mediciones topográ?cas así como para ?nes de orientación marina. "os ángulos -ori4ontales generalmente se miden respecto a la línea $orte T Sur o meridiano terrestre.

A continuación enunciaremos algunos puntos consideramos importantes para el desarrollo del temaN

E?ERCICIOS PROPUESTOS&'

) )

@ue

) ,ínea >ertica., es la línea @ue coincide con la dirección @ue marca la plomada. ) ,ínea /ori3onta., se denomina así a toda línea perpendicular a la >ertical. ) ,ínea >isua., llamada también línea de mira, es a@uella línea recta @ue une el oDo del obser>ador con el obDeto a obser>arse.

@& ;esol>er los siguientes triángulos rectángulosN a+ ;esol>er el siguiente triángulo, sabiendo @ue a L &* y A L U(V.

ÁNGU,OS ;ERTICA,ES Co.egio Particu.ar 6San ,uís 5e G7n3aga8 Pro9& :i.mer E& ;i..ca Maron

*

5+ ;esol>er el triángulo cuya -ipotenusa mide */ cm y uno de sus ángulos es de U(V. e+ ;esol>er el triángulo @ue tiene un cateto de ' cm y cuya -ipotenusa mide &* cm. $& 9esde un punto A en la orilla de un río se >e un árbol Dusto enfrente. Si caminamos &+( metros río abaDo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el @ue se >e el pino formando un ángulo de &+V con nuestra orilla. !alcular la anc-ura del río.

Trigonometría Funciones trigonométricas So.& (B&$ mD

& 9esde un punto A en la orilla de un río, cuya anc-ura es de +(m., se >e un árbol Dusto enfrente. X!uánto tendremos @ue caminar río abaDo, por la orilla recta del río, -asta llegar a un punto B desde el @ue se >ea el pino formando un ángulo de 0(V con nuestra orillaY

So.& "& B# mD

*& 7btener la longitud de una escalera recargada en una pared de .UU m de altura @ue forma un ángulo de 0(K con respecto al piso.

So.& $#&#* mD

(& 1arta, @ue >i>e en primera línea de playa, obser>a un -idropedal a>eriado baDo un ángulo de depresión de &(V. Ella estima @ue la altura de su apartamento es de *( m. Ella desea conocer lo @ue deben nadar sus ocupantes -asta alcan4ar la costa. Aydala.

So.& " mD

@@& 9esde un punto se obser>a un edi?cio cuya parte más alta forma con el suelo un ángulo de U(V, si a>an4amos U( metros, el ángulo pasa a ser de +V. !alcular la altura del edi?cio.

#& 7btener el ángulo @ue forma un poste de /.+ m de alto con un cable tirante @ue >a, desde la punta del primero -asta el piso, y @ue tiene un largo de &U./+ m

So.& (B&$ mD

So.& "* So.& @@&( mD

"& 9esde una embarcación se >e un faro con ángulo de ele>ación de &(K&+Z. Se sabe @ue el faro tiene + metros de altura sobre el ni>el del mar. !alcular la distancia @ue -ay entre la embarcación, y el faro.

)& Fara determinar la altura de una torre de transmisión de tele>isión, un agrimensor camina aleDándose U(( metros de la base de la torre. "uego mide el ángulo de ele>ación y encuentra @ue es de (V. Si el teodolito está a * metros del piso cuando la obser>ación se reali4a, Xcuál es la altura de la torreY.

@$& Fara medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y >emos el punto más alto de la torre baDo un ángulo de 0(K. $os acercamos + metros a la torre en línea recta y el ángulo es de '(K. #alla la altura de la torre.

So.& @$H(* metros

So.& $(#&#" mD

&
So.& $"&* mD

@& 9esde el suelo >emos el punto más alto de un edi?cio con un ángulo de 0(K. $os aleDamos 0 metros en línea recta y este ángulo es de +(K.X!uál es la altura del edi?cioY

@B& !rea un problema utili4ando el siguiente grá?coN

So.& E. e5icio mi5e $$H)$ mD 5e a.to&


U


@(& 1arta y ;afael caminan por la a>enida separados &(( m. 1arta >e la es@uina i4@uierda de la a4otea de un edi?cio con un ángulo de ele>ación de U(V, y ;afael lo -ace con un ángulo de 0(V. #alla su altura.

@#& 1arta y ;afael caminan por la a>enida separados &(( m. 1arta >e la es@uina i4@uierda de la a4otea de un edi?cio con un ángulo de ele>ación de U(V, y ;afael lo -ace con un ángulo de 0(V. #alla su altura.

#alla el >alor de OcP y la longitud del cable

So.& #&  mD

@"& Se desea calcular la altura de la torre, para ello se miden los ángulos de ele>ación desde los puntos A y B. !on los datos de la ?gura tenemos @ueN

$$&
So.& (&( mD

@)& #alla los >alores de C, y, - en el siguiente triánguloN

.

So.& ,a .ongitu5 5e. ca.e es @H"" metros& E. >a.or 5e c es #H#" metros

.

$& Se desea construir un puente sobre un río, @ue mide &( m de anc-o, de manera @ue @uede a una altura de * m sobre el agua y @ue las rampas de acceso tengan una inclinación de *(E. X!uál debe ser la longitud de la barandaY, Xa @ué distancia del cauce se situará el comien4o de la rampaY

So.& @B&) mD So.& J K H"# cm&H L K (H* cm&

@& !alcular la altura de ambos edi?cios.

/ K $HB cm&

$B& Fablo y "uís están situados cada uno a un lado de un árbol, como indica la ?guraN So.& $@&*

"&"& mD

$(& #alla la longitud de las cuerdas @ue suDetan la tienda de campa[a y la longitud del lado C.

So.& )B

" mD

@*& Fara medir la altura de una monta[a, un topógrafo toma dos obser>aciones de la cima desde dos puntos separados una distancia de &((( metros en línea recta -acia la monta[a. "a primera obser>ación tiene como resultado un ángulo de ele>ación de /V, la segunda tiene un ángulo de ele>ación de U+V. Si el teodolito está dos metros del piso, Xcuál es la altura de la monta[aY.

a !alcula la altura del árbol. 

So.& E. -ro. mi5e HB) metros&

b XA @ué distancia está Fablo del árbolY 

So.& Pa.o est- a HB) metros 5e. -ro.

.

$@& #alla la altura del puente, sabiendo @ue tiene &/ m de largo.

So.& &$"

$&$ mD

$"& !alcula el ángulo de tiro.

So.& $B$"&( mD So.& # mD




So.& @(@)B


$& ará la propiedad del actorY, Xcuál es la máCima separación del muro a la @ue podrá tumbarse nuestro famoso si no desea >er turbada su intimidadY

B& !alcula los lados y los ángulos del triángulo AB!.

So.& $*H# QmD

(& #alla la altura de la torre _; de pie inaccesible y más baDo @ue el punto de obser>ación, con los datos de la ?gura. So.& A K "BH a K * cmDH  K ))  @H  K ) cmDH C K B " ") So.& @($@B

) mD

$*& a baDo un ángulo de ele>ación de +(V. XBaDo @ue ángulo proyectará una sombra el doble @ue la anteriorY

c K (H* cmD&

@& Al recorrer U ]8m^ por una carretera, -emos ascendido *'( m. X_ué ángulo forma la carretera con la -ori4ontalY

So.& *)H#$ mD mi5e .a a.tura 5e .a torre&

"& !alcula la altura de _;, cuyo pie es inaccesible y más alto @ue el punto donde se encuentra el obser>ador, con los datos de la ?gura.

So.& B(*$ So.& A K " $@ @)H((

$#& 9esde la cima de una monta[a se obser>a el -ori4onte baDo un ángulo de depresión de *V, calcula la altura de la misma.

$& #emos colocado un cable sobre un mástil @ue lo suDeta como muestra la ?gura. X!uánto miden el mástil y el cableY

So.& *(H)* mD mi5e .a a.tura 5e .a torre&

& Estimación de la distancia :ierra)"una %el radio lunar es de &/U' 2m..

So.& B&B@ R

$)& Estima el >alor del ángulo @ue forma la arista con la diagonal.

So.& $(H)) mD !ca.e+

& ión >uela entre dos ciudades, A y B, @ue distan '( 8m. "as >isuales desde el a>ión a A y a B forman á ngul os de *Jo y Uo co n l a -o ri 4o ntal , respecti>amente. XA @ué altura está el a>iónY So.&4 )"*) m&

*& e el pedestal baDo un ángulo de &+K y la estatua baDo un ángulo de (K. !alcula la altura del pedestal.

So.& BB$


+


So.& BH"# mD !e. 0e5esta.+

#& En una circunferencia de radio 0 tra4amos una cuerda AB a U cm del centro. #alla el ángulo A7B.

So.& @$B

)& #alla el ángulo @ue forma la diagonal de la cara de un cubo y la diagonal del cubo.

So.&

K " @" "@H#

ACTI;IAES&' Construcci7n 5e un a0arato me5i5or 5e -ngu.os "os agrimensores y los topógrafos se >alen de la trigonometría plana para sus mediciones. Fara la medida de ángulos sobre el terreno utili4an un instrumento llamado teo5o.íto. Acti>i5a5&' !onstruye con un grupo de compa[eros el siguiente aparato medidor de ángulos, utili4a en su construcción materiales caseros y económicos. Además prepara un informe sobre el funcionamiento de este aparato.


0


(B& e un signo @ue le indica @ue tiene + grados, o sea @ue asciende + m por cada &(( m de camino. X!uál es el ángulo entre el camino y la dirección -ori4ontalY ($& e-ículo baDo un ángulo de depresión de *+V, @uince segundos más tarde lo contempla baDo un ángulo de '(V. Si el -elicóptero se encuentra a U(( m de altura, Xresultará multado el conductor, sabiendo @ue la >elocidad está limitada a &U( 2mM-Y (& !ierto día de escasa >isibilidad un >igía obser>a la presencia de la `ota enemiga baDo un ángulo de depresión de &V. El obser>ador, cuya atalaya costera alcan4a una altura de *( m sobre el ni>el del mar, desea estimar el tiempo @ue tardará en alcan4ar la costa. For el tipo de embarcación @ue emplean y por las condiciones del día se supone @ue las na>es a>an4an a / 2mM- Xsabrías darle la soluciónY XBaDo @ué ángulo de depresión se obser>aría la `ota si estu>iese situada a &U 2m de la costaY XA @ue distancia de la costa se encuentra la línea del -ori4onte @ue obser>a nuestro >igíaY ((& 9esde un llano, Dunto al pie de una pared >ertical, se obser>a un alpinista baDo un ángulo de ele>ación de *0V, y la cima de la pared se obser>a baDo UV. Si estamos situados a /( m de la base de la roca, Xcuántos metros le @uedan por escalar -asta alcan4ar la cumbreY ("& 9on 1endo, @ue dispone de una escala de &( m, obser>a el -abitáculo de 9o[a ación de U*V.Además sabe @ue la altura desde su oDo al suelo es de &/( cm y @ue su distancia -asta el pie de la almena es de * m X:endrá @ue conseguir una escala más grande para alcan4ar su moradaY


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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

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