Funciones Crecientes, Decrecientes y Constantes Hoy vamos a revisar teoría y ejercicios sobre funciones e intervalos crecientes, decrecientes, y constantes. Veamos de que se trata cada uno de ellos. Por ahora, no aplicaremos el concepto de la primera derivada, eso lo veremos en un capítulo posterior. Func Fu nció ión n cr crec ecie ient ntee
A medida que aumenta el valor de x, aumenta el valor de y. La definición es la siguiente: una función es creciente en un intervalo si se cumple que:
Veamos un ejemplo gráfico:
Función decreciente
A medida que aumenta el valor de x, disminuye el valor de y. La definición es la siguiente: una función es decreciente en un intervalo si se cumple que:
Veamos un ejemplo gráfico:
Función constante
A medida que aumenta el valor de x, se mantiene el mismo valor en y. La definición es la siguiente: una función es constante en un intervalo si se cumple que:
Veamos un ejemplo gráfico:
Guía de ejercicios
En este capítulo, los ejercicios se centrarán en evaluar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones. En la siguiente guía encontrarás muchos problemas propuestos, algunos de los cuáles resolveremos juntos en el video. Funciones, ejercicios propuestos PDF Video En el siguiente video, realizaremos un breve repaso de la teoría y luego resolveremos algunos ejercicios de la guía sobre funciones crecientes, decrecientes y constantes. EJEMPLO
Una buena manera de recordar lo aprendido es resolviendo un pequeño ejercicio:
Solución: Intervalos creciente: (-∞ ; -1) U (+1 ; +∞) / Intervalo decreciente: (-1 ; +1)
Función Creciente en un Intervalo
Definición de Función Creciente: Las Funciones Crecientes son aquellas funciones en las que al aumentar la variable independiente (x), aumenta la variable dependiente (y). Es decir: y x2 de una función f tales que x 1
También tenemos que la función f es creciente si para todo punto x se cumple que f '(x) ≥ 0
Función
Creciente
en
un
Intervalo:
Supongamos que ahora tenemos una función con intervalos en los que es creciente y otros en los que es decreciente, por ejemplo la función de la gráfi ca a continuación:
Para analizar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento se procede de la siguiente manera: Derivamos la función: f'(x) Obtenemos las raíces de la derivada primera, es decir, resolvemos la ecuación f'(x) = 0 Se identifican los intervalos entre los puntos en los que f'(x) = 0, es decir las raíces. Para cada intervalo se toma un valor cualquiera: Si f'(x) >0 entonces el intervalo es creciente Si f'(x) < 0 entonces el intervalo es decreciente
o
o
Ejemplos
de Intervalos
de
Crecimiento:
Ejemplo 1 : Sea la siguiente función f (x) = x3 +2x2 + 1, calcular los intervalos de crecimiento.
En primer lugar derivamos la función : f'(x) f '(x) = 3x2 +4x
Obtenemos las raíces de la ecuación f'(x) = 0 f '(x) = 0
3x2 +4x = 0 x (3x + 4) = 0 Raíces: o
x=0
o
x = -4/3
Identificamos los intervalos:
(-∞, -4/3) (-4/3, 0) (0, +∞)
Tomamos un valor de cada intervalo y analizamos si la función es creciente o decreciente :
(-∞, -4/3) → tomamos el valor -2 → f '(-2) = 3(-2)2 +4(-2) es creciente en este intervalo
= 12 - 8= 4 > 0 → la función f
(-4/3, 0) → tomamos el valor -1 → f '(-1) = 3(-1)2 +4(-1) es decreciente en este intervalo
= 3 - 4= -1 < 0 → la función f
(0, +∞) → tomamos el valor 1 → f '(1) = 3(1)2 +4(1) este intervalo
= 3 + 4= 7 > 0 → la función f es creciente en
Por lo tanto, los intervalos de crecimiento de la función son los siguientes: (-∞, -4/3)
∪
(0, +∞)
