Formulario de Matemáticas Matemáticas
1
ÍNDICE
MATEMÁTICAS Geometría Trigonometría Números Complejos Geometría Analítica del Espacio Reglas Generales de Derivación Tablas de Integrales Vectores Integrales Múltiples Fórmulas Misceláneas
FÍSICA Cinemática Dinámica Trabajo, Energía y Conservación de la Energía Impulso e Ímpetu Electricidad y Magnetismo Constantes Factores de conversión
QUÍMICA Tabla Periódica de los Elementos Serie Electroquímica de los Metales Tabla de Afinidades Electrónicas Energías de Ionización de los primeros 20 elementos Electronegatividades Relativas Espectro Electromagnético Electromagnét ico Longitudes de Onda Espectrales y los Colores Tabla de Pesos Atómicos
1 1 2 2 3 4 6 10 11 13 14 14 14 14 15 15 18 19 20 20 21 22 22 23 23 24 25
1
FORMULARIO DE MATEMÁTICAS
Geometría
r
Volumen = 43 π r 3 Área de la Superficie = 4π
2
r
r
2 Volumen = π r h h
Área de la superficie lateral = 2 π rh
r
Volumen = 13 π r 2h h
Área de la superficie lateral = π r
r
2
l
+h2 = π rl
Volumen = 13 π h( a 2 + a b + b2 ) a
2
Área de la superficie lateral
= π ( a + b) h + ( b − a) = π ( a + b) l
2 l
h
b
2
Trigonometría sen2 A = 12 − 12 cos 2 A
se n2 A + cos 2 A = 1
cos2 A = 12 + 12 cos2 A sen 2 A = 2 sen A cos A cos 2 A = cos 2 A − s en 2 A
sec2 A − tan2 A = 1 c sc 2 A − cot 2 A = 1
sen A cos A cos A cot A = sen A tan A =
sen ( A ± B) = sen A cos B ± cos A sen B
sen A c s c A = 1
cos ( A ± B) = cos A cos B m sen A sen B
cos A sec A = 1
tan ( A ± B)
tan A cot A = 1
sen se n
A
tanA tanA ± tanB tanB
1 m tanAtanB
co s A = ± 1 − cos
2 1 + cos co s A A cos co s = ± 2 2 1 sen A sen B = 2 [ cos( A − B)
sen ( − A) = − sen A cos ( − A) = cos A
2
=
− cos ( A + B ) ] sen A cos B = 12 [ sen( A − B ) + sen ( A + B )] cos A cos B = 12 [ cos ( A − B ) + cos ( A + B ) ]
tan (− A) = −tan A
Las leyes siguientes son validas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B, C.
Ley de los senos a
sen A
=
b
sen B
=
c
sen C A
Ley de los cosenos c
b
c
2
2
2
= a + b − 2 a b cos C
C
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
a B
Ley de las tangentes a+b a−b
=
1 tan 2 ( A + B) tan 12 ( A − B)
Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar
Números Complejos Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que p [ r( cos θ + i senθ )] = r p ( cos p θ + i sen p θ ) Sea n cualquier entero positivo y p = 1 n , entonces [ r( cos θ + i senθ ) ]
1
n
1
= r n [ cos θ + n2 k π + i sen θ + 2n k π ]
3
donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n-ésimas distintas de un número complejo haciendo k = 0,1,2 ,L , n − 1
Geometría Analítica del Espacio Considerando P1 = ( x1 , y1, z1) y P2 = ( x2 , y2 , z2 ) Vector que une P 1 y P2 : P1 P2
= ( x2 − x1 ) ,( y2 − y1 ) ,( z2 − z1 ) = ( l, m, n)
Distancia entre dos puntos: 2
2
Recta que pasa por dos puntos: - Forma Paramétrica: x = x1 + l t
y = y1 + m t
-Forma Simétrica: x − x1 t =
t =
l
x2 − x1 d
=
l d
cosβ =
l
2
+ m2 + n2
z = z1 + n t
y − y1
Cosenos Directores:
cosα =
2
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1) =
d=
y2
t =
m
− y1 d
=
m
cos γ =
d
z2
z − z1 n
− z1 d
=
n d
donde α, β, γ deno denota tann los los ángu ángulo loss que que for forma mann la líne líneaa que que une une los los punt puntos os P1 y P2 con la parte positiva de los ejes x, y, z respectivamente. Ecuación del Plano: →
- Que pasa por un punto P1(x1, y1, z1) y tiene vector normal a = a1 , a2 ,a3 : a1 ( x − x1) + a 2 ( y − y1 ) + a 3( z − z1 ) = 0 -Forma General: Ax
+ By + Cz + D = 0
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
o
l
2
+ m2 + n2 = 1
Distancia del punto P0(x0, y0, z0) al plano Ax+By+Cz+D=0 d =
+ By 0 + Cz0 + D ± A 2 + B2 + C 2
Ax 0
en la cual el signo debe escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa.
4
Coordenadas cilíndricas:
z
2 2 r = x + y y o θ = tan −1( x ) z = z
x = r cosθ y = r sen θ z = z
{
(x,y,z) P (r,θ, z)
z
O
y r
x
θ y
x
Coordenadas esféricas:
z
r = x 2 + y 2 + z2 y o φ = tan −1 ( x ) θ = cos−1 x + zy + z
x = r sen θ cos φ y = r sen θ sen φ z = r cosθ
2
2
{
(x, y,z) y,z) P (r,θ, φ) r
θ z
O x
2
y
φ y
x
Ángulo entre dos rectas en el plano tan α =
m2
− m1
1 + m1m2
Reglas Generales de Derivación d dx d dx d dx d dx
d dx d dx
d
( c) = 0
dx
( uvw)
d u
( cx ) = c
= dx v
( cx n ) = ncx n−1 ( u ± v ± w±L) =
du dx
±
dv dx
±
dw dx
d L
dx
( cu) = c
dF
dx
dx
( uv ) = u
dv dx
+v
du
dx
dx
dw dx
=
(
dF du du dx
1
= dx
+ uw
dv
+v w
dx v du dx − u dv dx 2 v
) (
( un ) = nun−1
du
du
= uv
du
)
du dx
du dx
(Regla de la cadena)
5 dF dF = du dx dx du
6
Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas d dx d dx d dx d dx d
dx
log a u = ln u = au e
u
u
v
d dx
log a e du u
log e u =
= au ln a = eu
=
a > 0,
dx
a ≠1
1 du
u dx
du dx
du
d dx
dx
e
v ln u
= ev l n u
d dx
= v uv−1
v ln u
du dx
+ u v ln u
dv dx
Derivadas de las Funciones Trigonométricas y de las Trigonométricas Inversas d dx d
sen u = cosu
du
d
dx du cos u = − sen u dx dx d du tan u = sec 2 u dx dx d 1 du s e n− 1 u = dx 1 − u2 dx −1 du d cos−1 u = dx 1 − u2 dx d 1 du tan−1 u = dx 1 + u2 dx −1 du d cot −1 u = dx 1 + u2 dx d dx d dx
sec −1 u = csc −1 u =
1
du
2
− 1 dx
−1
du
2
− 1 dx
u u
u u
dx d dx d
cot u = − csc 2 u
du dx
sec u = sec u tan u
du
dx du csc u = − csc u cot u dx dx
− π2 < sen −1 u < 2π 0 < cos−1 u < π
− π2 < tan−1 u < π2 0 < cot −1 u < π
= =
±1 u u
2
− 1 dx
m1
u u
2
+ si 0 < sec sec −1 u < π2 −si π2 < sec−1 u < π −si 0 < csc−1 u < π2 +si − π2 < csc−1 u < 0
du
du
− 1 dx
Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas d
du
d
dx du
dx d
dx du tanh u = sec h2u dx dx
dx d
dx d
dx d
senh u = cosh u
cosh u = senh u
dx
coth u = − csc h2 u
du dx
sec h u = − sec h u tanh u csc h u = − csc h u coth u
du dx du dx
7 d dx
senh-1u =
1
du
u2
+ 1 dx + −
±1 du cos h-1u = 2 dx u − 1 dx d
d
1 du
tanh −1 u =
d dx d dx
±1
-1
sec h u = csc h -1u =
u u
2
si
u > 1 − +
du
− 1 dx
−1 1+ u 2
u
cosh u < 0, u < 1 −1
−1 < u < 1
1 − u 2 dx 1 du coth −1 u = 1− u 2 dx dx dx d
cosh−1 u > 0, u > 1
si
du dx
=
m1
u
o
u < −1
si
sec h−1u > 0,
si
−1
du
1 + u2 dx
0 < u < 1
sec h u < 0, 0 < u < 1 − si u > 0, +
u < 0
si
Tablas de Integrales u dv = uv − v du du
∫ u du = n 1+ 1 u ∫ duu = ln u + C
n +1
n
e du = e u
u
a
+C
csc u cot ud u du = − csc u + C ∫ tan udu = ln sec u + C
n ≠ −1
cot u du = ln sen u + C
∫ sec u du = ln sec u + tan u + C
+C u
csc u du = ln csc u − cot u + C
∫ a du = ln a + C u
sen u du = − cos u + C
∫ a du− u
2
cos u du = sen u + C ∫ cos ∫ sec u du = tan u + C
∫ a ∫
u
2
a
2
+u 2
du =
+u
2
du =
u
2 u
8
a
2
a
1
du
−1
u
2
1
2
2
+u + 2
a
2
∫ a du− u ∫ u du− a
( a + 2u ) 2
2
2
∫ sec u tan u du = sec u + C 2
u
= sen −1 + C
∫ a + u = a tan a + C ∫ u udu− a = a1 sec− ua + C
2
csc 2 u du = − cot u + C
a
2
2
2
2
2 2
2
2
2
ln u + a + u + C
+u − 2
a
2
8
ln u+ a 2 + u2 + C
1 u+a + C ln 2a u − a 1 u−a = ln + C 2a u + a
=
∫ u
∫ u
1
du a
2
= − ln
+ u2
a
2
2
+ u2 + a
a
du 2
a
2
+u
=−
u
a
2
+ u2
a 2u
+ C
+ C
8
∫ ∫
a2
+ u2 u
a2
+ u2 2
u
∫ a du+ u 2
2
a2
∫
+ u2
− u2
u
∫ a
2
∫ u
−u
=−
du
∫ u ∫ ( a
2
a
2
−u
−u 2 )
3
2
2
∫
( a2 − u2 )
u
2
3
2
=
a
2
1
u
a
2
2
2
−u +
a
u
1 a 2u
a2
u
8
u a
a
−u
2
a
a
2
+ u2 + C
du
−1
2
u a
2
+ C
u
sen −1 + C a
− u2
a2
+ u2 )
2
2
− u2 +
3 / 2
∫
2
a
2
− u2
∫ u ∫ u
2
−a
2
2
∫ a + bu bu
1 b
bu − a ln a + bu bu ) + C 2 ( a + bu
2
a
u
− u − a ln
u
2
2
−a − 2
− a2 du= ( 2u2 − a2)
2
− a2
u
u
2
=
− a2 du
2
2
u −a du 3
2
=
2
2
u
2
a
+
a+ a
u
sen− 1 + C
8
2
a
− u2
u
+ C
2
2
ln u + u2 − a 2 + C a
−a2 − lnu+
2
u
8
− a2 + C
u
u2
− a2 u
u
u
2
u
2
2
+ ln u +
− a2 + C 2
−a +
− a2
a u u
a
+ C
a
a
2
=−
2
a
u
− a 2 − a cos cos −1 + C
2
= ln u +
2
2
2
u
du = −
u du u
u
8
du =
2
2
u
2
∫ u du u + C ∫ a u −a ∫
=
du
2
−1
2
u
( u2 − a 2 )
=
a
2
2
du =
2
+ C
2
2
u
∫ u ∫ udu
u
2
u 2 − a2
3a 4 sen − 1 8
+ C
a 2 a 2 + u2
sen ∫ a − u du = 2 a − u + 2 sen ∫ u a − u du = u8 ( 2u − a ) a − u 2
∫
+ C
u
=
− u2 du =
2
− u2 + C
− ( 2u2 − 5a 2 ) 2
2
2
a+ a
+ C
ln u + a 2 + u2 + C
− u − sen sen 2
∫ ( a
2
2
1
2
+ ln u +
a
+u −
+ u2
u
+ u2 + C
2
a
u
2
a + a2
a
u
a
=−
du =
du
+ u − a ln
a2 + u2
= − ln
a 2 − u2 du 2
=
2
2
2
= ln u +
du = −
2
u du 2
a
du = −
2
u du
∫ a
du =
2
2
u
2
a
2
2
u
2
− a2 + C
ln u + u 2 − a 2 + C
+ C
− a2
+ C
2
∫ a + bu = 152b u du
3
( 8a 2 + 3b 2u2 − 4abu)
a + bu
du 1 a + bu − a l n = + C , si a > 0 1 a = 3 [ ( a + bu) 2 − 4a ( a + bu) + 2a 2 ln a + bu ] + C u a + b u a + bu + a a + bu 2b
∫
∫
2
u du
= u 1 = ln + C ∫ u( ad+ubu b u) a a + bu ∫ u ( adu+ bu) = − a1u + ab ln a +ubu + C 2
2
2
−a
tan −1
∫ a u+ bu du = 2 ∫ au+ bu du = − 2
a + bu
−a
+ C, si
a<0
∫ u adu+ bu a + bu b du + ∫ u 2 u a + bu
a + bu + a
9
∫ ( a udu + bu)
2
=
du
∫ u( a + bu) u 2 du
∫ (a + bu )
2
2
=
1
a
+ ln a + bu bu + C )
b a + bu bu 2(
=
1 a( a + b u )
b
−
1 a2
ln
a + bu u
∫ u
+ C
1
a2 + − − + a bu 2 a l n a bu 3 + C a + bu b
∫ u a + budu = 152b ( 3bu − 2a) ( a + bu) 2 ( bu − 2a) a + bu = bu ∫ audu + bu 3b
3
2
2
a + bu du du =
n
∫
2
bu) [ u ( a + bu b( 2n + 3) n
3
2
− na∫ un−1
]
a + bu bu du du
n −1 2u n a + bu 2na bu u du = ( − ( b 2 n + 1) b 2n + 1) a + bu a + bu du a + bu b( 2n − 3) du = − − n 1 n 2a( n − 1) u n−1 a + bu a( n − 1) u − u a + bu bu n
u du
∫
∫
∫
+C
2
sen2 u du = 21 u − 14 sen 2u + C cos2 u du = 21 u + 14 sen 2u + C
csc 3 u du = − 21 csc u cot u + 21 ln csc u − cot u + C n −1 sen n u du = − n1 sen n−1 u cos u + sen n−2 u du
∫ tan u du = tan u − u + C ∫ cot u du = − cot u − u + C 2
tan 2u + ln cos cos u + C
cot 3 u du = − 21 cot 2 u − ln sen u + C
n− 2
n −1
n
cos3 u du = 31 ( 2 + cos2 u) sen u + C 1 2
n −1
1
n
sen 3 u du = − 31 ( 2 + sen2 u) cos u + C
3
∫ ∫ n ∫ cos u du = cos usen u + n n− 1 ∫ cos u du 1 = tan tan u − ∫ tan udu u du ∫ n −1 ∫ cot u du = n−−11 cot u − ∫ cot u du ∫ sec u du = n 1− 1 tanu sec u + nn −− 21 ∫ sec u du ∫ csc u du = n −1 1 cot u csc u + nn −− 21 ∫ csc u du ∫ sen au sen bu du = se2n((aa−−bb)) u − se2n((aa++bb)) u + C ∫ cos au cos bu du = se2n((aa −−bb)) u + se2n((aa++bb))u + C n
2
∫ tan u du =
sec3 u du = 21 sec u tanu + 12 ln sec u + tanu + C
∫ sen au cosbu du = − co2s((aa −−bb)) u − co2s((aa++bb)) u + C u sen u du = sen u − u cos u + C
n −1
n
un sen u du = u n cos u + n un−1 cos u du
n− 2
n
n− 2
n−2
n
n− 2
n −2
un cos u du = u n sen u − n u n−1 sen u du
sen n u cosm u du senn−1 u cosm+1 u
=− =−
u cos u du = cos u + u sen u + C
n− 2
sen
∫ u cos
−1
∫
−1
n+m m−1 u cos
n +1
n+m 2u 2 − 1
u du =
utan u du =
4 u
2
+1
2
n −1
∫ sen n+ m u m−1 + ∫ sen n+ m +
−1
cos u − u
u
n− 2
n
u cos u du m
m −2
u cos
1 − u2 + C 4
tan −1u − + C 2
u du
10 n +1 u du 1 n + 1 −1 u sen u du = u s en u − , n ≠ − 1 n + 1 1− u 2 1 un+ du 1 n+ 1 − 1 n −1 u cos u du = u cos u + , n ≠ −1 n +1 1− u 2 n +1 u du 1 n +1 −1 n −1 u tan udu = u tan u − , n ≠ −1 2 n +1 1+ u
sen −1 u du = u sen −1 u + 1 − u2 + C
∫
cos−1 u du = u cos−1 u − 1 − u2 + C
∫
∫
∫
∫
∫ tan
−1
= u tan −1u − 12 ln (1 + u 2 ) + C
u du
2u2 − 1 −1 u 1− u2 + C sen u + u sen u du = 4 4 1 au au ue du = 2 ( au − 1) e + C
∫ ∫ ∫ u e
∫
−1
n
−1
ln u du = u ln u − u + C
a
1
n
∫ u
u n+
1
∫ u ln u du = ( n + 1) [( n + 1) ln u − 1] + C ∫ e senbu du = a e+ b ( a senbu − b cosbu) + C ∫ u ln1 u du = ln ln u + C n
au
du =
a
n
ue
au
−
a
n−1 au
n
e du du
2
au
au
2
∫ e
au
2
e
cosbu d u =
au
+ b2
a2
( a cosbu + b sen bu ) + C
senh u du = cosh u + C
cosh u du = senh u + C
∫ sech udu = ln tan u + C ∫ sech u du = tanh u + C ∫ csch u du = − coth u + C ∫ sech u tanh u du = −sech u + C ∫ csch u coth u du = −csch u + C 1 2
2
∫ tanh udu = ln cosh u + C coth u du = ln senh u + C
∫ sech udu = tan
∫ 2au − u
2
du du =
∫ u
2au − u du =
∫
2a u − u 2
∫
2a u − u2
∫
2
u
u
2
2
2au − u 2
=−
2
2au − u +
2 2 2u − au au − 3a
2a u − u
2
2
2au − u +
2
a − u + C a
cos−1 a
3
2
∫ 2aduu − u
2
a − u + C = cos−1 a
u du a − u a − u −1 + C + C ∫ = − a u − u2 + a cos 2 co s 2 a a 2au − u
cos cos−1
a − u + C + a cos a
2 2a u − u 2 u
a
2
6
du = −
senh u + C
u− a
du =
2
u du
−1
2
−1
a − u + C cos−1 − cos a
(u + 3a ) 3a2 a − u + C 2 au − u 2 + cos −1 2 2 a
∫ u
du
2a u − u 2
=−
2a u − u2 au
+ C
11
Vectores A • B = A
B
0≤θ ≤π donde θ es el ángulo formado por A y B
cosθ
A • B = A1 B1 +
+
A2 B2
A3 B 3
donde A =
A1 $i
+
A2 j$
A3 k$ ,
+
∧
∧
∧
B = B1 i + B2j + B3 k
Son resultados fundamentales: ∧
i
∧
∧
j k
Producto cruz: AxB = A1 A2 A3 B1 B2 B3
= ( A2 B3 − A3 B 2 )ˆi + ( A 3 B1 − A1 B3 ) jˆ + ( A1 B 2 − A2 B1 )kˆ Magnitud del Producto Cruz AxB = A B senθ El operador nabla se define así: ∧
∂ ∧ ∂ ∧ ∂ + j +k ∂ x ∂ y ∂ z
∇ =i
En las fórmulas que vienen a continuación vamos a suponer que U=U(x,y,z), y A=A( x,y,z x,y,z) tienen derivadas parciales. ∧ ∂ ∧ ∂ ∧ ∂ ∂ U ∧ ∂ U ∧ ∂ U ∧ Gradiente de U = grad U = ∇U = i + j + k = U i + j+ k ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y ∂ z
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ Divergencia de A = div A = ∇ • A = i ∂ + j ∂ + k ∂ A i A j A k • + + 2 3 1
∂ x ∂ y ∂ z ∂ A ∂ A ∂ A = 1+ 2+ 3 ∂ x
∂ y
∂ z
∧ ∧ ∧ ∂ ∧ ∂ ∧ ∂ ∧ + j + k + + x i j k A A A 1 2 3 ∂ x ∂ y ∂ z
Rotacional de A = rot A = ∇xA = i
∧
=
∧
∧
i
j
k
∂ ∂ x
∂ ∂ y
∂ ∂ z
A1
A2
A3
∧ ∧ ∧ = ∂ A3 − ∂ A2 i + ∂ A1 − ∂ A3 j+ ∂ A2 − ∂ A1 k ∂ y ∂ z ∂ z ∂ x ∂ x ∂ y 2
Laplaciano de U = ∇
2
2
∂ U ∂ U ∂ U + + U = ∇ • (∇U ) = ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z 2
2
12
Integrales Múltiples
∫ ∫ = ∫ {∫
f 2 ( x )
b
x =a y= f1 ( x )
F ( x, y) dyd dydxx
b
f 2 ( x )
x =a
y = f 1 ( x )
}
F ( x , y )dy dx
donde y = f 1( x ) e y = f 2 ( x ) son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así: d
g2 ( y )
y = c x = g1 ( y)
d g ( y ) = ∫ y= c ∫ x = g ( y) F( x , y )dxdy 2
F ( x ,y )dxdy
1
donde x = g1( y) , x = g2 ( y) son las ecuaciones ecuaciones de las curvas curvas HPG y PGQ respectivamente, respectivamente, mientras que c y d son las ordenadas de H y G. Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres dimensiones. s = s ( t) =
∫ rr′( t) dt t
a
Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico a , t .
Vector tangente unitario
En parámetro arbitrario: r → r ′ ( t ) T ( t ) = r r ′ ( t )
En parámetro parám etro s: →
r
& (s ) T ( s) = r r
→
Vector normal principal Vector binormal
→
r
N ( s)
r
N (t ) = b (t ) x t (t ) r r → r ′xr ′′(t ) B(t ) = r r r ′x r ′′(t )
→
r
r r r
r
&&( s ) r
r
B( s)
r r r
=
&&( s ) r
=
r r r
r
& ( s) xr &&( s ) r r
&&( s ) r r r
Los vectores unitarios t , n , b forman un triedo positivo ( b = t xn , n = b xt , t = nx b ) Recta tangente en t 0 Ecuación vectorial: r
r
r
r ( λ) = r ( t 0 ) + λr ′( t 0 )
Ecuación simétrica
x − x0 x′0
=
y − y0 y0′
=
r r
Plano osculador ( t , n ) en t 0 Ecuación vectorial
Ecuación simétrica
z − z0 x0′
13 r
r
r
x − x 0
r
( r − r ( t0 ) ) • ( r ′( t0 ) xr ′ ( t0 ) ) = 0
y
x 0′ x 0′′
− y0 y 0′ y ′0′
z
− z0 z0′ = 0 z0′′
Curvatura y Torsión r
κ ( t )
=
κ ( s ) =
r
r
r ′( t ) xr ′ ( t ) r
τ ( t ) =
3
r ′( t ) r r&&( s )
r
r
r ′( t ) ⋅ ( r ′ ( t ) xr ′′ ( t ) ) r
r
r ′( t ) xr ′ ( t )
2
Plano Normal Ecuación vectorial:
Ecuación simétrica: simétrica:
( r − r ( t0 )) ⋅ r ′( t0 ) = 0
x′0 ( x − x 0 ) + y′0( y − y 0 )
r
r
r
+ z0′ ( z − z 0 ) = 0
→ → Plano Rectificante T , B en t 0
Ecuación vectorial:
Ecuación simétrica: simétrica: x - x 0 y - y0
→
r r − r (t 0 )) ⋅ N (t 0 ) = 0 (r
x 0′
y0′
z 0′
y ′0 z 0′′′′ − y 0′′z 0′
′0′ − z0′′ x′0 z0′ x′′
x0′ y0′′ − x0′′ y′0
Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración → →
a = a ⋅T = ν →. a → →
T
ν
→
→
ν x a
→ →
a = a . N =
→
N
ν
Propiedades de la Divergencia →
→
→
→
i) div ( F + G ) = div ( F ) +div ( G ) →
→
→
ii) div (φ F ) = φ div( F ) + ( grad φ ) • F →
iii) div ( F +
→
G) =G
→
• [ rot ( F ) ] -
z - z0
→
→
F • [rot ( G )
]
=0
14
Fórmulas misceláneas Ecuaciones paramétricas paramétricas de la cicloide para x = a(t − sen t )
Trabajo
W =
y = a (1 − cos t ) b
r
r
r
∫ F • d r
Compb a =
a
Longitud de arco de m=
t ∈ R
y
∫ ∫ ρ ( x, y)dA
=
f ( x)
M x
R
b
[ a , b] =
en
M y
R
= ∫ ∫ xρ ( x, y )dA R
1 b 2 f ( x )] dx [ 2 a y = b f ( x) dx a
∫ ∫
b
= ∫ ab
xf ( x) dx
x
∫ f ( x)dx
,
a
Longitud de arco en forma paramétrica
L
β
= ∫ α
r
b
1+ ( y′) 2 dx
a
= ∫ ∫ yρ ( x, y )dA
Centro de gravedad de una región plana
r
r
a •b
2
2
dx + dy dt dt dt
Mome Mome nto de inercia de R respecto respecto al origen = I o =
∫ ∫ ( x
2
+ y 2 )ρ ( x, y )dA
R
Área de la superficie generada al girar la gráfica f alrededor de x S=
b
∫ 2π F ( x) a
1+ ( f ( x) )2 d x
Volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de f alrededor del eje y V =
Cálculo del volumen
b
∫ 2 π t F (t )d t a
b
b
∫ a
Derivada direccional
→
r (t ) =
y ′ + P( x) y = Q ( x) ye ∫
P ( x )d x
Dur f ( x, y , z ) =
F =
= ∫ Q( x)e ∫ P ( x ) dx dx + k
t
cos t , sen t , 2π r
∇f ( x , y, z ) • ur ( u vector unitario)
Ecuación satisfecha por la carga de un circuito LRC Fuerza ejercida por un fluído
2
a
Ecuación diferencial de primer orden Solución Ecuación del resorte helicoidal
∫
V = π ( f ( x)) dx
V = A( x) dx
Lq′′ + Rq′ +
1
q = E( t ) C
b
∫ γ y ⋅ L( y)dy a
Fuerza que actúa sobre un líquido encerrado en un tubo
F = δ A 2 x0 g − δ A 2 x g
