ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA PREUNIVERSITARIA Esta denotado por (B ⊂ A) . Se lee:
TEORIA DE CONJUNTOS
Ejemplo:
1. NOCION DE CONJUNTO
Sea:
Un conjunto es la reunión, colección o agrupación de objetos que tienen características similares. A estos objetos se les denomina ELEMENTOS de un conjunto. Para simbolizar conjuntos se emplean las letras mayúsculas A, B, C,… y sus elementos separados por coma o punto y coma, y encerrados entre llaves, por ejemplo: =
B esta incluido en A B esta contenido en A B es subconjunto de A
A == {1, 2, 3, 4, 5, 6} B == {3, 4, 5}
3 6
4
B
5 2
=
Luego (B ⊂ A)
=
A
1
Pero ( A ⊄ B)
Observación: Todo
A) Por extensión: Un conjunto esta determinado por extensión cuando se observa todos y cada uno de los elementos del conjunto, enumerándolos o indicándolos en forma sobre entendida: Ej.:
A = {1,2,3,4} B = {1,4,9,16,25,36} C = {a, e, i, o, u}
Número de subconjuntos
nº subconjutos de A = 2 n( A ) Número de subconjuntos propios
B) Por comprensión: Un conjunto esta determinado por comprensión cuando sus elementos se caracterizan mediante una propiedad o característica común. Ej.: De los ejemplos anteriores
A = { x / x ∈ N ∧ x ≤ 4}
nº subconjutos propios de A = 2 n( A ) − 1 B) Conjuntos iguales: Dos conjuntos son iguales (=) si tienen los mismos elementos sin importar el orden.
A=B⇔ A⊂ B ∧ B⊂ A
B = { x 2 / x ∈ N ∧ x ≤ 6} C = { x / x es una vocal} OJO: No todo conjunto de puede expresar por comprensión y extensión a la vez.
C) Conjuntos diferentes: Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos por lo menos tiene un elemento que no posee el otro.
A≠B⇔ A⊄B∨B⊄A
En general:
D) Conjuntos comparables: Dos conjuntos son
forma del Caracteristicas Conjunto = elemento (propiedades)
comparables sólo cuando uno de ellos esta incluido en el otro.
A⊂ B ∨ B⊂ A.
3. RELACION DE PERTENENCIA: PERTENENCIA: Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de el. Además se dice que pertenece (∈) a dicho conjunto, en caso contrario “no pertenece” ( ∉ ) a dicho conjunto. OJO:
La relación de pertenencia se da entre un elemento y un conjunto sabiendo que un elemento puede tener forma de de conjunto.
E) Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen ningún elemento en común.
F) Conjuntos equivalentes: Dos conjunto son equivalentes cuando tienen la misma cantidad de elementos.
A <> B ⇔ n( A) = n(B)
4. RELACION ENTRE CONJUNTOS A) INCLUSION: Se dice que B está incluido en el conjunto A, si todos los elementos de B pertenecen al conjunto A.
Lic. F. Alberto Quispe Ayala
Todo conjunto esta incluido en si mismo. conjunto es subconjunto de si mismo El conjunto vacío esta incluido en todo conjunto Sea n(A) el número de elementos del conjunto A, entonces:
2. DETERMINACION DE CONJUNTOS CONJUNTOS
1
5. CLASES DE CONJUNTOS:
ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
A) Conjunto finito: Es aquel cuya cantidad de elementos es limitada; es decir se puede contar desde el primero hasta el último. B) Conjunto Infinito: Cuyo número de elementos es ilimitado.
A) Unión ( AUB ): La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por la agrupación de todos los elementos de A con todos los elementos de B.
6. CONJUNTOS ESPECIALES:
AUB = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B}
A) Conjunto Nulo o vacío: Conjunto que no tiene elementos. Este conjunto tiene la particularidad de ser subconjunto de todo conjunto B) Conjunto Unitario: También llamado Singleton, es aquel que tiene un solo elemento.
C) Conjunto Universal (U): Es aquel conjunto que contiene todos los demás conjuntos, simbolizado por la letra U. No existe un conjunto universal absoluto.
D) Conjunto Potencia o conjunto de partes: Conjunto formado por todos los subconjunto que es posible formar con un conjunto dado. Simbolizado por P(A); que es potencia del conjunto A. A = {a, b, c} entonces los Ej.: Sea subconjuntos de A son:
{a}, {b}, {c}, {a;b}, {a; c}, {b; c}, {a;b; c}, ∅
OJO:
El conjunto vació (∅ ) es subconj subconjunto unto de todo
Propiedades:
AUB == BUA A ⊂ ⊂ ( AUB)
B ⊂ ⊂ ( AUB)
AUA == A AU∅ = A
B) Intersección: ( A I B) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez. (Elementos comunes a ambos). Simbólicamente se define:
conjunto
A I B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}
Entonces
P(A)= { {a};{b};{c};{a;b};{a;c};{b;c};{a;b;c};∅} Luego el número de elementos del conjunto potencia de A es:
n[P(A)] =# subconjuntos de A = 2n(A) 7. CONJUNTOS DE NÚMEROS: Veamos el siguiente grafico:
Propiedades:
A IB = BI A AIB⊂ A A IB ⊂ B (A I B) ⊂ ( A U B) A I A = A
PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS :
DISTRIBUTIVAS:
A U (B I C) = ( A U B) I ( A U C)
A I (B U C) = ( A I B) U ( A I C)
DE ABSORCION:
Donde: de los números complejos R=Conjunto de los números reales Q=Conjunto de los números racionales Z=Conjunto de los números enteros N=Conjunto de los números naturales C=Conjunto
8. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Lic. F. Alberto Quispe Ayala
2
A I ( A U B) = A
A U ( A I B) = A
A U ( A'I B) = AUB
A I ( A'U B) = A I B
ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
C) Diferencia (A-B): La diferencia de dos conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A pero no a B. Simbólicamente se define:
A − B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B} PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS:
LEYES DE D´MORGAN
Propiedades:
A−B ≠ B− A ( A − B) ⊂ A
( A − B) ⊄ B
( A − B) U ( A I B) = A
( A U B)' = A'I B'
( A I B)' = A'U B'
NUMERO DE ELEMENTOS
n(∅) = 0 n( A ∪ B) = n( A) + n(B) − n( A ∩ B) n( A ∪ B ∪ C) = n( A) + n(B) + n(C) − n( A ∩ B) − n( A ∩ C) − n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C)
D) Diferencia Simétrica: ( A∆B ): La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B pero no a ambos. Simbólicamente se define:
El cardinal de un conjunto es el número de elementos que tiene dicho conjunto:
9. PAR ORDENADO: Es un conjunto que tiene dos elementos (no necesariamente diferentes), en la cual interesa el orden de estos, llamados también componentes. Se denota (a;b)
A∆B = { x / x ∈ ( A U B) ∧ x ∉ (A I B)}
10.PRODUCTO CARTESIANO: Dados dos conjuntos A y B diferentes del vacío, se denomina producto cartesiano de A y B (AxB), en ese orden, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a;b) tal que las primeras componentes pertenecen al conjunto A y las segundas componentes al conjunto B. Simbólicamente se define:
Propiedades:
A∆B = B∆A ( A∆B) ⊂ (A U B) Si
AxB = {(a; b) / a ∈ A ∧ b ∈ B}
A I B = ∅ ⇒ A∆B = A U B
n(AxB)=n(A).n(B)
A∆A = ∅ A∆∅ = A
SISTEMA DE NUMERACION NUMERACIO N N
E) Complemento de un conjunto (A’),( A C ): Conjunto cuyos elementos pertenecen al universo pero no al conjunto A. Simbólicamente se define:
AC = { x / x ∈ U ∧ x ∉ A} A U A' = U
A I A' = ∅
( A' )' = A
(∅ )' = U ∧ (U)' = ∅
Lic. F. Alberto Quispe Ayala
objetivo consiste en expresar y escribir los números. Es decir que es un conjunto de reglas y principios para representar cualquier cantidad.
1. PRINCIPIOS
Propiedades:
NUMERACIÓN es la parte de la aritmética cuyo
DEL ORDEN: Toda cifra en el numeral tiene un orden, por convención se enumera de derecha a izquierda.
3
ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
1a 1a
= n + xa O
1a
(n) 14243 x veces
DE LA BASE: Es un numeral referencial que nos
1m 1n
indica como se agrupan las unidades de un orden cualquiera para formar la unidad colectiva del orden inmediato superior.
abcd(n) donde
“n” es la base
del numeral
DE LAS CIFRAS: Las cifras son números naturales inclusive el cero, que siempre son menores que la base en la cual son empleados o utilizados.
abcd(n) a
= m + n + ... + p + a O
1p
(a )
7. CONVERSION DE NÚMEROS A DIFERENTES BASES: A) CASO 1: De base “n” a base 10 Tenemos dos formas de conversión: Ej. Convertir
321(5 ) al sistema decimal:
Por descomposición polinómica:
321(5 ) = 3X5 2 + 2X5 + 1 321( 5 ) = 86
2. PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION:
Por método de Ruffini:
∴ 321( 5 )
= 86
B) CASO 2: De base 10 a base “n” 3. NÚMERO CAPICÚA: Número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales Se leen igual por ambos lados. Ej. 44, 343, 67876, etc. En general:
Se convierte por medio de las divisiones sucesivas Ej. Convertir 329 al sistema quinario: Por divisiones sucesivas:
aa ; aba ; abba ; anitalavalatina ; etc. 4. DESCOMPOSICIÓN NÚMERO:
POLINÓMICA
DE
UN
Es expresarlo como la suma de los valores relativos da cada una de las cifras de dicho número. Sea:
N = abc ...xyz ; 14243 (n )
∴ 329 = = 2304(5 )
m cifras
Descomponiendo polinómicamente se tiene:
C) CASO 3: De base “n” a base “m” donde n ≠ m ≠ 10 .
N = anm−1 + bnm− 2 + cnm− 3 + .....yn1 + z 3 2 Ej. 3123( 4 ) = 3x 4 + 1x 4 + 2x 4 + 3 5. DESCOMPOSICIÓN EN BLOQUES:
El primer paso, es convertir de base “n” a base 10
El segundo paso, es convertir el número obtenido a base “m”.
Se llamara “bloque” a un grupo de cifras. Ej: Descompongamos
abcd(n) en bloques:
abcd(n) = ab(n) .n2 + cd(n)
6. PROPIEDADES: El mayor numeral de “x” cifras de base “n”. − 1)...(n − 1) (n)= nx − 1 (1 n4 4 244 3 x cifras
Lic. F. Alberto Quispe Ayala
4
ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
0, abcdedede...(n) =
abcde (n) − abc (n) (n − 1)(n − 1)000 (n)
11. CASOS ESPECIALES DE CONVERSIÓN: A) DE BASE n A BASE n k : Dado el número en base “n” se le separa en grupos de k cifras a partir de la derecha
8. REGLAS PRÁCTICAS: Todas las cifras son menores que la base:
CIFRA < BASE
Ej. Expresar
Si un número se expresa en dos sistemas distintos, se cumple que:
Vemos que cifras Base 2:
10011101(2) a base 8 8 == 23 ; se separa en grupo
10011101 (2) {{{
2
Base 8:
9. CONVERSION DE SISTEMAS EN LOS NÚMEROS MENORES QUE LA UNIDAD:
3
5
235(8 )
B) DE BASE n k A BASE n: k
A) CASO 1: De base “n” a base 10 0 , abcd (n ) = an − 1 + bn −2 + cn −3 + dn −4
0,32 ( 4 ) = 3x 4 −1 + 2x 4 −2 3 2 0,32( 4 ) = + 2 4 4 3 2 0,32( 4 ) = + 4 16 0,32( 4 ) = 0,875
↓ 010
Se multiplica solo la parte decimal 0,390625x4 = 1,5625 0,5625x4 = 2,25 0,25x4 = 1,00
∴ 0,390625 = 0,121( 4 ) 10. CONVERSIÓN DE DECIMAL A FRACCION EN DIFERENTES SISTEMAS
Número decimal exacto:
abc (n) 1000 (n)
Número decimal periódico puro:
0, abcabcabc...(n) =
abc (n) (n − 1)(n − 1)(n − 1) (n)
Número decimal periódico mixto:
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↓
011 101
12. TABLA DE NUMERACIÓN
Ej. Convertir: 0,390625 a base 4
0, abc (n) =
↓
235 (8) = 10011101(2)
B) CASO 2: De base 10 a base n
Dado el número en base n de cada cifra se obtiene k cifras al convertirse a base n: Ej. Convertir: 235 (8) a base 2 2 3 5
Ej: Convertir 0,32(4) a base 10
5
de 3
ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA INVERSA: O de descomposición, cuando conocido el resultado de una operación directa y uno de los números que intervino en dicha operación, se halla el otro numero.
1. ADICION: Operación que tiene por finalidad reunir varias cantidades en una sola.
S = a11 4 + a2 + a3 + a 4 + ... + an 4 4 4 244 4 4 3 n sumandos
Donde “S” es la suma total
2. RESTA O SUSTRACCION: Operación inversa a la suma.
PROPIEDADES:
M+S+D=2M
Si:
abc − cba = mnp ,
Se cumple que:
n=9 y m+p=9 3. MULTIPLICACIÓN: Operación donde dada dos cantidades multiplicando y multiplicador, se halla una tercera llamada producto.
Donde:
A es el multiplicando B es el multiplicador P es el producto
4. DIVISION: En una división se
identifican los siguientes elementos: dividendo, divisor, cociente y residuo
CUATRO OPERACIONES Al estudiar los números, se observa que determinados valores se modifican según la aplicación que se les da, este proceso origina un valor final que reemplaza a los iniciales. Esto ocurre en un conjunto de números señalado debidamente. Se conoce con el nombre de cuatro operaciones a una parte de la aritmética que comprende el estudio de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división, en el conjunto de los números naturales y luego por extensión en el conjunto de números enteros. Una operación aritmética será:
Donde
D: Dividendo d: divisor q: cociente r: residuo
ALGORITMO DE EUCLIDES: A la división también la podemos expresar de la siguiente forma:
DIRECTA: O de composición, cuando señalados dos números cualesquiera, se obtiene un tercer número como único resultado de dicha operación.
Lic. F. Alberto Quispe Ayala
6
CLASES DE DIVISION:
ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
DIVISION EXACTA: Cuando el residuo es cero D=d.q r=0
DIVISION INEXACTA
n sumandos
n(n + 1) 2
POR DEFECTO: D=d.q+r
+2 +3 S = 11+4 2 4 3 +4...4 n=
donde: 0
n sumandos
POR EXCESO:
D=d. (q+1)-R
S = 11+4 3 4 + 5... + (2n − 1) = n2 4 244 4 3 +4 +4 S = 21+444 62+4 ...4 23n = n(n + 1) n sumandos
donde 0
PROPIEDADES: r+R=d
2 2 + 24 +2 + 4 +3 S = 11 32 4 ... 4 n2 = 4 4 n sumandos
El residuo máximo es una unidad menos que el divisor
r max = d − 1
El residuo mínimo en cualquier división inexacta es 1
r min = 1 5. COMPLEMENTO ARITMÉTICO DE UN NÚMERO NATURAL:
n(n + 1)(2n + 1) 6
n(n + 1) S = 114 34 ... 4 n = + 24 4 +2 + 4 +3 2 n sumandos 3
3
3
2
3
8. CONTEO DE CIFRAS: Para calcular la cantidad de cifras usadas en una serie de números del 1 hasta N se usa la formula siguiente:
Es lo que le falta a este para ser igual a la unidad del orden inmediato superior de su cifra de mayor orden:
CF1→N = (N + 1)k − 11 ...3 11 12 k cifras
C.A.(abc ...xyz) = 10m − abc...xyz 14243
Donde k es la cantidad de cifras que tiene N
m cifras
TEORIA TEORIA DE LA DIVISIBILIDAD
OTRO MÉTODO: Para hallar el complemento aritmético del mayor orden de un número, se restan las cifras de nueves y la última cifra significativa de 10. Si hay ceros al final, estos permanecen en el complemento.
− a)(9 − b)...(9 − y)(10 − z) C.A.(ab ...yz ) = (1 94 1 424 3 4 4 4 4 244 4 4 4 3 m cifras
m cifras
6. COMPLEMENTO ARITMÉTICO EN SISTEMAS DIFERENTES DE 10:
C.A.(abc(8 ) ) = mnp(8 ) ; c ≠ 0
1. Divisor : Se denomina divisor de un número, a cualquier valor que lo divide exactamente mediante una división entera. Ejemplo: Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6,12 Divisores de 15: 1, 3, 5,15
Un número entero A es divisible entre otro entero B (módulo), si al dividir A entre B resulta una división exacta (cociente entero y residuo cero).
c + p = 8 (valor de la base) b + n = 7 a + m = 7(valor de la base − 1) 7. SUMAS NOTABLES: Sea: t 1 , t 2 , t 3 ,..., t n una progresión aritmética,
144 244 3 n ter min os
El cero (0) siempre es múltiplo de todo entero positivo.
Un número entero negativo puede ser múltiplo de un número entero positivo.
3. Multiplicidad de números:
entonces la suma será:
S = t 1 + t 2 + t 3 + ... + t n =
Parte de la teoría de los números que estudia las condiciones que debe cumplir un número entero para ser dividido exactamente entre otros.
2. Divisibilidad de un número:
Se cumple:
DIVISIBILIDAD:
(t 1 + t n ).n 2
Lic. F. Alberto Quispe Ayala
Se dice que un número entero es múltiplo de otro entero positivo llamado modulo, si el primero es el 7
ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
resultado de multiplicar el segundo por otro factor entero. Si A es múltiplo de B lo representaremos como:
A=KB donde K={…,-2,-1,0,1,2…}
o
Si un número entero no es divisible entre cierto modulo (divisor), se puede representar como un múltiplo del modulo más cierto residuo por defecto:
ó
A = B+ r
o
o
o
(a + r )k = a+ r k
o k a + r (a− r )k = o a − r k
− = o
.
o
o
n
o
o
o
N = a.b.c ⇒ N = a.b.c
Divisibilidad por 3 o 9:
Si Si
o
o
o
o
abcd == 3 entonces a + b + c + d = 3 abcd == 9 entonces a + b + c + d = 9
Divisibilidad por 11: Cuando la diferencia entre la suma de sus cifras de orden impar con la suma de las cifras de orden par deberá ser cero o múltiplo de 11. o
Ej.: Si
abcdefg == 11 ⇒ o
Principio de Arquímedes:
a b c d e f g = 11 1 1 1 1 1 1 1
Dados dos números enteros cuyo producto es divisible por un cierto modulo, si uno de tales números no admite divisores comunes con el modulo, aparte de la unidad, entonces el otro número será divisible por dicho modulo. Ej.:
+ − + − + − + o
a + c + e + g − (b + d + f ) = 11 ∨ 0
o
5a = 7 ⇒ a = 7 o
Si
Divisibilidad por 5 n :
Un número es divisible por 3 o 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3 o 9 respectivamente.
Si a una cantidad “n” se le multiplica por una fracción irreducible y el resultado es un número entero, entonces “n” es el múltiplo del denominador.
o
Divisibilidad por 5:
5 n si sus “n” ultimas cifras son n ceros o forman un número divisible por 5 .
° ° a ⇒ N = MCM( a; b ) N= ° b ao ± r o N= ⇒ N = MCM( a; b ) ± r o b ± r
Si
2n .
Es divisible por
a Sea n, m ∈ Z y f = (fracción irreducible). b o a .n = m ⇒ n = b Si b
“n” ultimas cifra son
Un número es divisible por 5 cuando termina en cifra 5 o cero.
o
(+ a)(+ b)...(+ z) = + a.b....z Si
2 n si sus
ceros o forman un número divisible por
o
o
Divisibilidad por 2 n : Es divisible por
=
( ) = o
k. = o
Divisibilidad por 2: Un número es divisible por dos cuando termina en cifra par o cero.
o
⇔ k es impar
Conjunto de reglas que aplicadas a las cifras de un numeral nos permite anticipar entre que cantidades es divisible dicho numeral.
+ =
k ∈ Z+
⇔ k es par
o
o
si
6. Criterios de divisibilidad:
4. Principios de la divisibilidad o
o
o
Se dice que un número B (módulo) es divisor o divide a A cuando esta contenido un número entero y exacto de veces.
o
o
abcd(n) = n+ d
(Notación de Leibnitz)
A = B.k + r
Todo número es múltiplo de la base en la cual esta escrito mas la última cifra
5. Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton
o
A == B
o
o
Cuando la suma algebraica del producto de sus cifras (de derecha a izquierda) por 1,3,2,-1,-3,2,1,3,2,-1… respectivamente, deberá ser 0 ó múltiplo de 7.
21a = 35 ⇒ 3a = 5 ⇒ a = 5
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Divisibilidad por 7:
8
ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA o
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS
a b c d e f g h = 7 1 3 21 33 1 1 22 331 424
1. NUMERO PRIMO O PRIMO ABSOLUTO:
{
+
−
+
Son números que admiten únicamente dos divisores, siendo estos la unidad y el mismo.
o
a + 3b − (2c + 3d + e ) + 2f + 3g + h = 7
Ej.: 2, 3, 5, 7, etc.
Divisibilidad por 13 Cuando la suma algebraica del producto de sus cifras (de derecha a izquierda) por 1,-3-4,1,3,4,1,… respectivamente, deberá ser múltiplo de 13. o
abcdefgh == 13
Son números que admiten más de dos divisores. Ej.: 4, 6, 8, 10, 12,…etc.
3. LA CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NÚMERO COMPUESTO N ES:
o
a b c d e f g h = 13 31 12 433 1 12 433 1
CDN = CD compuestos + CDprimos + 1
{
{
−
2. NÚMERO COMPUESTO:
+
−
+
o
4. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI):
h − (3g + 4f + e) + 3d + 4c + b − 3a = 13
Divisibilidad por 33 Y 99: Cuando la suma algebraica del producto de sus cifras (de derecha a izquierda) por 1 y 10 respectivamente, deberá ser múltiplo de 33 o 99. o
abcdefgh == 33
Es cuando un conjunto de dos o más números admiten como único divisor común a la unidad. Ej.: 4 y 9, 8 y 15, etc.
NOTAS:
o
a b c d e f g = 33 1 10 1 10 1 10 1
Todo número primo mayor que 3 siempre es de o
la forma cumple.
6± 1 :
lo contrario no siempre se
o
a + 10b + c + 10d + e + 10f + g = 33 = Respectivamente: abcdefgh =
o
99
Lucas:
o
a b c d e f g = 99 1 10 1 10 1 10 1
o
a + 10b + c + 10d + e + 10f + g = 99
Son todos los residuos que dejan las potencias sucesivas enteras y positivas de un número N (diferente de cero) al ser divididos entre otro “m” (modulo).
N0
Resultados en función de “m” o
m+ 1 o
N1
m+ r 1
N2
m+ r 2
N
m+ r 3 o
N4
m+ r 4
r 1
2 127 − 1 que tiene 39 cifras
n
22 + 1
Formulas del calculo de números primos: n 2 − n + 41 valida únicamente para n ∈ Z + y n ≤ 40
5. REGLA PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES PRIMO O NO:
Ej.: ¿El número 139 es primo?
r 2
6. TEOREMA FUNDAMENTAL ARITMÉTICA:
r 3
DE
LA
“Todo entero positivo mayor que uno, se puede descomponer como el producto de factores primos
r 4
Lic. F. Alberto Quispe Ayala
por
Se extrae la raíz cuadrada aproximadamente del numeral dado y aplicando la multiplicidad por cada uno de los números primos menores o iguales a dicha aproximación:
1
o o
3
Restos potenciales
primos descubiertos
Algo probablemente cierto, pero aun no demostrable: Todo número par, es la suma de los números primos Fermat:
7. RESTOS POTENCIALES:
Potencias sucesivas
Algunos números matemáticos son:
9
ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
diferentes entre si, elevados a ciertos exponentes, esta descomposición es única.” Llamada también “ DESCOMPOSICION CANONICA”
Se llama MCD de un conjunto de dos o más números enteros positivos, al entero que cumple dos condiciones:
OJO:
No confundir con la descomposición polinómica que vimos en sistema de numeración.
Sea “N” un número mayor que 1, entonces dicho número lo podemos expresar de la siguiente manera:
10.DETERMINACIÓN DEL MCD
Ej.: Sea
A, B, C;…; Factores primos α, β, λ , ... ; Exponentes
MCD = 22.3.5
360 = 23.32.5
Cantidad de divisores de un número : Es igual al producto de los exponentes de sus factores primos previamente aumentados en la unidad.
Algoritmo de sucesivas:
Suma de divisores de un número α +1
SD(N) =
β+1
λ + 1
A −1 B −1 C −1 . . ..... A−1 B−1 C−1
Producto de los divisores de un número:
Suma de las inversas de los divisores de un número:
SD(N) SID(N) = N 8. INDICADOR DE UN NÚMERO O FUNCIÓN DE EULER Es la cantidad de números enteros positivos menores que un número dado y primos con él. Sea el número N descompuesto canónicamente
N = A α .Bβ .Cλ ...
Ψ(N) = N. 1 −
Divisiones
q 1 q2 q3 q 4 q 5
}
r 1 r 2 r 3 r 4 r 1 r 2 r 3 r 4 r 5
}
11.MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Se llama MCM de un conjunto de dos o más números enteros positivos, al entero que cumple dos condiciones: Es un múltiplo de todos Es el menor posible
12.DETERMINACIÓN DE MCM
Por descomposición Canónica: El MCM es igual al producto de los factores primos comunes elevados a los mayores exponentes posibles.
1 1 1 . 1 − . 1 − A B C
Ej.:
Sea
entonces
9. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Lic. F. Alberto Quispe Ayala
o
r 2 = r 3 .q 4 + r 4 MCD( A;B) = r 4 ⇒ B = r 1 .q 2 + r 2 A = B.q + r 1 1
PD(N) = NCD(N)
Euclides
Es un procedimiento que se utiliza para calcular el MCD de solo 2 números. Su desarrollo se fundamenta en la teoría de la división.
CD(N) = (α + 1)(β + 1)(λ + 1)....
Por descomposición simultáneamente: El MCD es el producto de los factores comunes extraídos a los números hasta que sean PESI.”Se busca solo los factores comunes”. Ej.: Hallar el MCD de 12 y 18
7. DIVISORES DE UN NUMERO “N”
A = 22.32.5 y B = 23.3.5 2
Entonces
Ej.: Descomponer en sus factores primos el número 360.
Por descomposición Canónica: El MCD es igual al producto de los factores primos comunes elevados a los menores exponentes posibles.
N = A α .Bβ .Cλ ... Donde:
Es un divisor común de todos Es el mayor posible
10
A = 22.32.5 y B = 23.3.5 2 MCM == 2 3 .3 2 .5 2
ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
Por descomposición simultáneamente:
El MCM es el producto de los factores comunes multiplicados con los respectivos PESI. Ej.: Hallar el MCD de 24, 18, 30
13. PROPIEDADES DEL MCD Y MCM:
El producto de dos enteros positivos siempre es igual al producto de su MCM y el MCD. Es decir:
MCM(A; B).MCD( A; B) = A.B
MCD( An; Bn; Cn) = n.MCD( A; B; C)
MCM( An; Bn; Cn) = n.MCM( A; B; C)
A B C MCD( A; B; C) MCD( ; ; ) = n n n n
A B C MCM(A; B; C) MCM( ; ; ) = n n n n
MCD(pk − 1; ph − 1) = pMCD(k;h) − 1
Si A y B son PESI, entonces:
MCM(A,B)=A.B
Sea
A = Kα y
B = Kβ Donde: α
NÚMEROS FRACCIONARIOS FRACCIONARIOS β son
f =
primos entre si (PESI). Entonces:
MCD( A; B) = K MCM(A; B) = K.α.β Sea
MCM( A,B) = p
y
Por comparación de sus términos:
MCM(C,D) = q ,
entonces:
Sea
MCD( A, B) = p
y
Fracciones propias: Son aquellas cuyo valor es menor que uno o también aquella en la que el numerador es menor que el
MCM( A, B, C,D) = MCM(p, q)
denominador es decir:
MCD(C, D) = q ,
entonces:
Ej.:
MCD( A, B, C,D) = MCD(p, q)
Si un conjunto de enteros positivos se reemplazan dos o más de ellos por su MCD o su MCM; entonces el MCD o el MCM del conjunto de dichos enteros no es alterado. Es decir:
denominador, es decir: Ej.:
MCM( A; B; C ) = MCM(MCM( A; B); MCM(B; C ))
MCM( A; B; C; D ) = MCM[ MCM( A; B); MCM(C; D )]
MCD(a,b)=MCD(a ± b;m), Donde m=MCM(a,b)
4 9 15 , , , etc. 3 7 13
Fracciones iguales a la unidad: Son
denominador son iguales, es decir:
MCD(a;a+b)=MCD(a;b)
a >1 b
aquellas cuyo valor es igual a la unidad, o también en la que el numerador y el
14. CASOS ESPECIALES:
Si a y b son primos entre si entonces
3 2 7 , , , etc. 5 7 13
valor es mayor que uno, o también, aquella en la que el numerador es mayor que el
MCD( A; B; C; D) = MCD[ MCD( A; B); MCD(C; D )]
a <1 b
Fracciones impropias: Son aquellas cuyo
MCD( A; B; C) = MCD(MCD( A; B); MCD(B; C))
a numerador = b deno min ador
1. CLASIFICACIÓN: Se puede clasificar:
a.b(a + b) , d2
d=MCD(a,b)
Donde
Si A y B son PESI, entonces:
MCD(A,B)=1
MCD(a,b,a+b)=
Ej.:
MCD(a+b; a-b)= 1 ó 2
a =1 b
4 9 13 , , , etc. 4 9 13
Por su denominador:
Fracciones ordinarias o comunes: Son aquellas cuyo denominador es diferente a
Lic. F. Alberto Quispe Ayala
11
ARITMETICA
una
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
potencia
de
10.
Es
decir
a ; b
si:
b ≠ 10 n , n ∈ N 5 14 4 , , , etc Ej.: 17 3 7
Fracciones Decimales: Son aquellas cuyo denominador es una potencia de 10. Es decir:
a n ; b = 10 , n ∈ N b 5 14 4 , , , etc Ej.: 10 100 1000
3. NÚMERO DECIMAL: Representación lineal de una fracción. Consta de dos partes: parte entera y parte decimal. Ej.: 14,356
14 , 356 {
4. CLASIFICACIÓN DECIMALES:
denominadores
son
iguales.
Ej.
5 14 4 , , , etc 13 13 13 Fracciones heterogéneas: Son aquellas
Fracciones
reductibles: Son
Cuando el periodo empieza inmediatamente después de la coma decimal.
0,3333... = 0,3 0,8787...
Periódico mixto:
Cuando el periodo empieza de una cifra (o grupo) después de la coma decimal. Ej.: 0,3424242… 0,45366666…
5. CONVERSIÓN DE DECIMALES A FRACCIÓN :
irreductibles:
Son aquellas fracciones donde los términos son PESI.
Números decimales exactos: La fracción será igual al número formado por las cifras decimales divididos entre la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales.
3 14 4 , , , etc 10 13 17 NOTA:
0, abc =
Se llama fracción equivalente, cuando una fracción tiene el mismo valor que la otra pero sus términos son diferentes:
5 1 = 10 2
Se llama número mixto, a aquel que tiene parte entera y parte fraccionaria.
3 2 7 4 , 1 , 3 , etc. 5 7 13
2. MCD Y MCM DE NÚMEROS FRACCIONARIOS: Lic. F. Alberto Quispe Ayala
Ej:
Ej.:
puro:
)
5 1 25 , etc = = 10 2 50
Fracciones
Periódico
Ej.:
aquellas fracciones donde numerador y denominador se pueden simplificar. Ej.:
Ej.:
NÚMEROS
Número decimal inexacto: Cuando tiene un
Por la relación de los divisores de sus términos
LOS
Número decimal exacto: Cuando tiene un
5 14 4 , , , etc 10 15 11
DE
número ilimitado de cifras. Ej.: 0,333…; 0,324444… Los números decimales inexactos pueden ser:
cuyos denominadores son diferentes. Ej.:
{
número limitado de cifras. Ej.: 0,2; 0,356; etc.
Fracciones homogéneas: Son aquellas cuyos
El MCD de varias fracciones irreductibles es igual al MCD de los numeradores entre el MCM de los denominadores. El MCM de varias fracciones irreductibles es igual al MCM de los numeradores entre el MCD de los denominadores.
parte entera parte decimal
Por la comparación de los denominadores:
12
0,35 =
abc 1000
35 7 = 100 20
Números decimales inexactos:
Periódico puro: La fracción esta dada por el número formado por las cifras del periodo divido entre tantos nueves como cifras tenga el periodo.
ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
0, abcabc... =
abc 999
Entonces la proporción aritmética será:
a-b=c-d Ej:
0,363636... =
36 12 4 = = 99 33 11
Donde: a y d : extremos b y c : medios a y c : antecedentes b y d : consecuentes
Periódico mixto: La fracción esta dada por el número formado por todas las cifras de la parte decimal menos la parte no periódica entre tantos nueves como cifras tenga el periodo seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica.
4. TIPOS DE PROPORCIÓN ARITMÉTICA:
0, abcbcbc... = Ej:
0,205555 ... =
abc − a 990
P.A. CONTINUA: Los términos medios son iguales.
a-b=b-c
205 − 20 185 37 = = 900 900 180
Donde: b : Media aritmética o diferencial c : tercera diferencial
RAZONES Y PROPORCIONES
P. A. DISCRETA: Los cuatro términos son diferentes.
1. RAZONES:
a-b=c-d Es la comparación matemática de dos cantidades. Es decir es el resultado de compara dos cantidades por medio de una diferencia o por medio de un cociente.
5. PROPORCION GEOMETRICA:
TIPOS:
Donde: d : cuarta diferencial de a, b y c
Es la igualdad de dos razones geométricas dadas sabiendo que:
RAZON ARITMETICA:
a c = k y = k b d
Es la razón por diferencia
a – c =r
a c = b d
Antecedente – Consecuente = Razón
RAZON GEOMETRICA:
Donde: a y d: extremos b y c : medios a y c : antecedentes b y d : consecuentes
Es la razón por cociente.
a =k b
6. TIPOS DE PROPORCIÓN GEOMÉTRICA:
antecedente = Razón geométrica con sec uente
P.G. CONTINUA: Cuando los términos medios son iguales. Es decir:
2. PROPORCIONES: Es la igualdad de dos razones. Es decir, es la comparación de dos razones iguales ya sean aritméticas o geométricas.
a b = b c
3. PROPORCION ARITMETICA:
Donde: b : media proporcional o geométrica a, c: tercera proporcional
Es la igualdad de dos razones aritméticas dadas, sabiendo que:
a-b=r y c-d=r Lic. F. Alberto Quispe Ayala
13
P.G. DISCRETA:
ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
Cuando todos los términos son diferentes. Es decir:
a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n =k b 1 + b 2 + b 3 + ... + b n
a c = b d
a1.a 2 .a 3 .....an = kn b1.b2 .b3 .....bn
a 1n b 1n
Donde: d: cuarta proporcional
7. PROPIEDADES GEOMÉTRICA Si :
DE
LA
PROPORCIÓN
a c = es una proporción geométrica. b d a±b c±d = b d
a±b c±d = a c
a+b c+d = a−b c−d
a b±a
=
n
n
n
+ b 2 + b 3 + ... + b n
n n
= kn
REGLA DE TRES
Entonces:
n
+ a 2 + a 3 + ... + a n
La regla de tres puede ser: Simple o compuesta.
1. REGLA DE TRES SIMPLE: Intervienen tres cantidades conocidas (datos) y una desconocida (incógnita). Puede ser Directa o inversa.
R3S DIRECTA: Es el desarrollo de comparar 2 magnitudes que son directamente proporcionales.
c d±c
Método 1: Aplicando la definición directamente proporcional.
a+c b+d = a−c b−d
de
magnitud
A C BC = ⇒x= B x A
a±c a c = = b±d b d
Método 2:
8. SERIE DE RAZONES EQUIVALENTES
Una vez planteado el multiplicación será en aspa.
GEOMÉTRICAS
problema
la
Es la igualdad de dos o más razones geométricas. Sea:
a1 a a = k; 2 = k;....; n = k; b1 b2 bn = Ax=BC ⇒ x =
Entonces:
a1 a 2 a 3 a 4 a = ... = n = k = = = b1 b2 b 3 b 4 bn
R3S INVERSA: Es el resultado de comparar 2 magnitudes que son inversamente proporcionales
Donde:
a1, a2 , a3 ,...an b1, b2 , b3 ,...bn
BC A
: Antecedentes
Método 1:
: Consecuentes
Aplicando la definición inversamente proporcional.
K= constante de proporcionalidad Se cumple que:
Lic. F. Alberto Quispe Ayala
A.B = C.x ⇒ x = 14
de
AB C
magnitud
ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
Método 2:
Ej: Obreros, maquinas, esfuerzo, rendimiento, etc.
Una vez planteado el problema la multiplicación será en sentido paralelo.
2º Circunstancias:
animales,
habilidad,
Condiciones en el tiempo para realizarla. Ej.: días horas diarias, raciones diarias, etc.
3º Efecto:
AC=Bx ⇒ x = =
La obra en, si lo realizado y los inconvenientes o condiciones que pone el medio para la realización del trabajo. Ej. Las medidas de la obra, dificultades, resistencia del medio, etc.
AC B
MÉTODO PRÁCTICO: Si las cantidades proporcionales van de más a más o de menos a menos, la regla es directa; si van de menos a más o de más a menos, la regla es inversa.
Si es R3SD; se multiplican los datos en aspa y se dividen entre otro dato.
Si es R3SI; se multiplican los datos del supuesto y se dividen entre el otro dato del problema
2. REGLA DE TRES COMPUESTA: Es cuando al dar una serie de “n” valores correspondientes a “n” magnitudes y una segunda serie de “n-1” valores correspondientes a las magnitudes mencionadas. La finalidad de la regla de 3 compuesta es determinar el valor desconocido de la segunda serie de valores.
Método 1: “Ley de los signos” Se colocan los datos de manera que los valores pertenecientes a una misma magnitud estén en una misma columna. Se compara la magnitud donde se encuentra la incógnita con las demás magnitudes con el siguiente resultado
Si son directamente proporcionales: arriba (-) y abajo (+)
Si son inversamente proporcionales: arriba (+) y abajo (-)
El valor de la incógnita esta dado por un quebrado donde el numerador es el producto de los términos que tiene (+) y el denominador es el producto de los términos que tienen (-)
Método 2: “De las rayas”
Serie1 Hombres Animales Maquinas Serie2 Habilidad
1º Causa o acción: Realizadores de la obra o acción y condiciones que tiene para realizarla. 15
Días Rapidez características h/d, raciones
efecto Trabajorealizado Medidadelaobra dificultades
Finalmente, se igualan los productos de los valores que se encuentran en una misma raya.
3. RELACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES MÁS CONOCIDAS:
Nº de obreros
DP
obra
Nº de obreros
IP
eficiencia
Nº de obreros
IP
días
Nº de obreros
IP
horas diarias
Velocidad
IP
tiempo
Nº de obreros
DP
dificultad
Nº de dientes
IP
nº de vueltas
Obra
DP
días
Obra
DP
horas por día
PROMEDIOS Y PORCENTAJES 1. PROMEDIOS
Es un valor representativo de otras varias cantidades que tiene la característica de ser mayor que el menor de ellos y menor que el mayor de ellos. Dadas las siguientes cantidades:
a 1 , a 2 , a 3 ,... a n Donde:
Las magnitudes se pueden clasificar en 3 partes:
Lic. F. Alberto Quispe Ayala
circunstancia
acción
a 1 : Menor cantidad a n : Mayor cantidad
Se llama promedio P a una cantidad referencial y cumple:
ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
a1 ≤ P ≤ a n
n2 : Número de elementos del segundo grupo.
TIPOS:
Es decir el número de elementos del grupo correspondiente.
MEDIA ARITMETICA (Ma): Es aquel promedio que provienen de la suma de n cantidades divididas entre n.
PROPIEDADES
a1 + a2 + a3 + ... + an =P n
Ma, Mg y Mh los promedios de n números; entonces siempre se cumple:
Ma > Mg > Mh
Para dos números a y b:
a+b Ma = 2
Sean dos números y hallando su Ma y Mh siempre:
AxB=MaxMh
MEDIA GEOMETRICA (Mg): Es aquel promedio
que proviene de la raíz enésima del producto de n cantidades.
Se cumple:
Mg == MaxMh
Mg == a1.a2 .a3 .....an n
Para 2 números a y b:
La diferencia entre la media aritmética y la media geométrica de 2 números A y B esta dado por:
Mg == a.b
MEDIA ARMONICA.(Mh): Es la inversa de la media aritmética cantidades dadas.
Mh =
de las inversas de las n
2.
n 1 1 1 1 + + + ... + a1 a 2 a 3 an
Mh =
PORCENTAJES
Llamado también tanto por ciento. Se dice así, a una determinada cantidad con relación a 100 unidades. La regla del tanto por ciento es una aplicación de la regla de tres simple directa.
Para 2 números a y b:
( A − B)2 Ma − Mg = 4(Ma + Mg)
NOTACION:
2ab a+b
Sea:
PROMEDIO PONDERADO (P). Promedio de
ma1n1 + ma2n2 + ma3n3 + ...mamnm n1 + n2 + n3 + ... + nm
Donde:
ma 2 : Promedio aritmético del segundo grupo Y así sucesivamente; también
n1 : Número de elementos del primer grupo Lic. F. Alberto Quispe Ayala
APLICACIONES:
ma 1 : Promedio aritmético del primer grupo
16
5 100
• 5% indica que de cada 100 unidades se consideran 5. • Una cantidad total representa el 100% • Una cantidad aumentada en el 10% representa el 110% • Una cantidad disminuida en un 10 % representa 90%
promedios, es cuando tenemos el promedio aritmética de dos o mas grupos y queremos determinar el promedio de todos en conjunto, aplicamos el promedio aritmético ponderado.
P=
5% =
DESCUENTOS SUCESIVOS:
Cuando a una cantidad se le aplica mas de un descuento, los cuales equivalen a un descuento único que se obtiene de la siguiente forma:
Du = D1 + D2 −
D1xD2 % 100
ARITMETICA
ACADEMIA PREUNIVERSITARIA
AUMENTOS SUCESIVOS:
Cuando una cantidad se le aplica más de un aumento, los cuales equivalen a un aumento único, que se obtiene de la siguiente forma:
A xA Au = A1 + A 2 + 1 2 % 100 OJO:
Si hubiera más de dos descuentos primero se encuentra el descuento único de los dos primeros y luego se halla un nuevo descuento único con el valor encontrado y el siguiente y así sucesivamente.
APLICACIONES COMERCIALES:
Lic. F. Alberto Quispe Ayala
17
PV = PC + GB GB = GN + G PF = PV + D En caso de pérdida se cumple: PV = PC − perdida Donde: PC=Precio de costo PV=Precio de venta PF=Precio fijado GB=Ganancia bruta D=Descuento o rebaja GN=Ganancia Neta G=Ganancia
