Formato Examenes Solucionario Cpf2

,ACULTADDEINENIERA

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREFACULTAT PREFACULTATIVO IVO – GESTIÓN I / 2009

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL

ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA

F I

FECHA: 05.05.2009 05. 05.2009

TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS NO ESTÁ PERMITIDO EL USO DE CALCULADORAS CALCULADORA S ***************************************************************************************************************************************************

SOLUCIONARIO

TEÓRICAS Demostrar que: 1.- (5 puntos Lo! a N "

 Log b N   Log b a

 Log a N  =  x  N  = a  x log b  N  =  Log b a  x log b  N  =  x log b a  x =

log b  N  log b a

remplazand ox log a  N  =

log b  N  log b a

#.- (5 puntos La suma suma $e %os n pr&meros pr&meros n'meros natura%es es n# La progresión aritmética es: 1, 3, 5, ………… a1

De la misma se sabe que

=

1 d  = 2  n = n

a n = a1 + (n − 1)d  ⇒ a n = 1 + (n − 1)2 ⇒ a n = 2n − 1

n

S n =

2

(a1 + a n )

empla!an"o en esta #ormula se tiene n

S n =

2

[1 + 2n − 1] =

# ϕ 

.- (5 puntos sen

 ) *os

# ϕ 

n 2

( 2n) = n 2

 " 1 a

2

a2

=1

c a

' b

+

+

b

2

b2

=

c

=

2

c2

c2 c2 c2 a b ( )2 + ( )2 = 1 c c a b  senα  = $ cos = c c  sen 2α  + cos 2 α  = 1

+.- (5 puntos

Cos α  + Senα  Cos α  − Senα 

= tan(&5% +α )

2  sen(&5% +α )

 sen&5% cos α  +  senα  cos &5%

= = 2 cos(&5% +α ) cosα  cos &5% − senα  cos &5% 2 2

cosα  + cos α  −

2 2 2 2

 senα 

=  senα 

cos α  +  senα  cos α  −  senα 

/R0CTICAS 5.- (1 puntos 2 (  3 ) 1   - 5 3 ) # "  3 ) + - 5 3 )  3 x 3 − 5 x 5 2

=

3 x 3 &

−

5 x 5 3

3 x 3 − 3 x 3 &

=

5 x 5 2

−

5 x 5 3

3 x (31 − 1) 3 3 ( )  x = ( ) 5 5  x = −1

=

5 x ( 25 − 125 )

1

−

4.- (1 puntos E% permetro $e un tr&6n!u%o re*t6n!u%o 7a%e 1# 8 %a suma $e %os *ua$ra$os $e %os %a$os 45. 9a%%ar %os %a$os.  p = a + b + c = 132 a 2 + b 2 + c 2 = +*5* a2 + b2 = c2 2c 2 = +*5* c = 55 a + b =  a 2 + b 2 = 3*25 a1 = 33$ b1 = && a 2 = &&$ b2 = 33

2.- (# puntos Demostrar que:  sen 2α  +  sen 2 β  + sen 2 γ   − 2 cos α  cos β  cos γ   = 2

α  + β  + γ   = π 

S&

α  = 1* − ( β  + γ  )

empla!an"o en la ecuación:  sen 2 (1* − (β  + γ  )) +  sen 2 β  + sen 2 γ  − 2 cos(1* − ( β  + γ  )) cos β  cos γ   = 2  (1

alculan"o por separa"o:  sen 2 (1* − ( β  + γ  )) = ( sen1* cos( β  + γ  ) − sen( β  + γ  ) cos 1*) 2 2

2

 sen (1* − ( β  + γ  ))

=

( sen( β  + γ  ))

 sen 2 (1* − ( β  + γ  ))

=

2 ( senβ  cos γ   +  senγ  cos β )

=

 sen β  cos γ   + 2 senβ  cos β  senγ  cos γ   +  sen γ  cos β 

2

 sen (1* − ( β  + γ  ))

2

2

2

2

cos(1* − ( β  + γ  )) = cos 1* cos( β  + γ  ) −  sen( β  + γ  ) sen1*) cos(1* − ( β  + γ  )) = − cos( β  + γ  )

empla!an"o estas ecuaciones en 1

2

2

2

2

2

2

2

2

 sen β  cos γ   + 2 senβ  cos β  senγ  cos γ   +  sen γ  cos β  +  sen β  +  sen γ   + 2 cos β  cos γ  − 2 senβ  cos β  senγ  cos γ   =

cos 2 γ  ( sen 2 β  + cos 2 β ) + cos 2 β ( sen 2 γ   + cos 2 γ  ) +  sen 2 β  +  sen 2 γ  

=

cos 2 γ   + cos 2 β  +  sen 2 β  +  sen 2 γ  

=

1+1

=

2

.- (# puntos Reso%7er: −  (3a − b)(a 2 + ab) 1  & 1 1 + log x = log b − − log b + log(a 3 − ab 2 )  −2 3 3 b   3  1 (3a − b)b 2  & 1 1 + log x = log b − − log b + log(a 3 − ab 2 )  2 3 3 a + ab  3 

1

 a 2 b − 2ab 2 + b 3  & 1 3 2 1 + log x = log   − log b + log(a − ab ) 2 3 3 a + ab   3  b(a − b) 2  & 1 1 2 2 1 + log x = log  2  − log b + log a (a − b ) 3 3  a + ab  3 1

 ( a − b) 3  3(1 + log x) = log   3  b  a − b log1* + log x = log   b  a −b log1* x = log b

 x =

a −b 1*b

;.- (# puntos En una pro!res& ter*ero 8 qu&nto equ&7a%en a %os t=rm&nos pr&mero> *uarto 8 $e*&mose?to $e una pro!res&
=

a1

u3

=

a&

u5

=

a1+

u1 r 

2

u1 r 

&

=

5

=

a1

+

=

a1

+ 15d 

esol.ien"o el sistema: d  = * d  = 5 a&

=

5

a&

=

2*

3d